\documentstyle[a4j,fleqn,epsf]{jarticle}
\pagestyle{plain}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\raggedbottom
\oddsidemargin 0mm
\evensidemargin 0mm
\topmargin 0mm
\headheight 0mm
\headsep 0mm
\topsep 15pt
\jot 10pt
\renewcommand{\thefootnote}{\fnsymbol{footnote}}
\def\bmB{\mbox{\boldmath{$B$}}}
\def\bmV{\mbox{\boldmath{$V$}}}
\def\bmk{\mbox{\boldmath{$k$}}}
\def\OMEGA{{\mit\Omega}}
\def\NABLA{{\mit\nabla}}
\def\PHI{{\mit\Phi}}
\def\THETA{{\mit\Theta}}
\def\rin{r_{\rm in}}
\def\rout{r_{\rm out}}
\def\div{\hbox{\rm div}}
\def\phi{\varphi}
\def\vv#1#2{\hbox to -#2{}&#1&\hbox to -#2{}}
% Omega�Ȃǂ��Ύ��̂ɁAnabla�̓{�[���h�ɁA�w�b�_�[���Z�b�g
\newcounter{abc}
\def\topfraction{.9}
\def\bottomfraction{.9}
\def\textfraction{0.1}
\def\floatpagefraction{0.8}
%
\begin{document}
%
\begin{flushleft}
{\it Astronomy and Astrophysics} {\bf 152}, 121--129 (1985)
\par\bigskip
{\large ���C�P���� --- Weber-Davis���f���̂Q�����ւ̊g��}
\par\medskip
���� �� \footnote{������w���w���V���w�������o����} \\
�}�b�N�X�v�����N�����w�E�V�̕����w������ \\
�h�C�c�A�M���a�� D-8046�A
�K�[�q���N�A�J�[���E�V���o���c�V���g�ʂ�P�Ԓn
\par\medskip
1985�N2��18����t�A4��29����
\end{flushleft}
\begin{quotation}
\noindent
�T�v�@\\
���S���̂ɓ���������������A���Ώ́A���̍P�������f����
�v�Z������@���Ă���D
Weber and Davis (1967)�̃��f�����g�����āA�e���͐��ɉ����Ẳ��͑㐔������
�ł���x���k�[�C�̎����狁�߂邱�Ƃ��ł���D���̒i�K�łQ�̗ՊE�_�icritical point�j
�������D���C���̗͊w�ɂ�����x���g�islow mode�j
�Ƒ����g�ifast mode�j�̗ՊE�_�ł���D
�|���C�_������̌`�́A���͐������؂�����̗͂̒ނ荇���𖞂����悤��
���߂Ȃ���΂Ȃ�Ȃ��D���̌��ʁA���C�|�e���V�����Ɋւ���Q�K�̕Δ���������
��������D���̕Δ�����������Alfv\'en�ʂ����ٓ_�ɂȂ��Ă���A�����ł�
���������ƁA�������E�ł̏���������͈�ӂɌ��܂�D
�P�Ɏq�I�Ȏ���z�ʂ����肵�ė���v�Z���Ă݂��D���̌��ʌ���ꂽ�d�v�Ȑ����́A
�点���̎���ɂ��A�ɕ����ւ̗���̕Ό��ł���D���̉����ł̑Q�ߓI�U�镑����
����ƁA����͕��ˏ�ɂ͂Ȃ炸��]�������Ɏ����i�R�����[�g�j�����D 
���]���̂����ߖT�ł́A���C�s���`�̗͂��K�X������߂��A���x�̍��������
�\�����ł���D\\
�L�[���[�h�F�P�����A���z���A���C���̗͊w
\end{quotation}

\section*{1. �n�߂�}
�X�y�N�g���^F5������ŋN����A���]�̑���������x�����ւ̑J�ڂ�������邽�߁A
�P�����ɂ��u���[�L���ʂ���Ă���Ă���iSchatzman, 1962)�D
���Ȃ킿�A�ӊ��^�̐��ł͕\�ʂɑΗ��w�����邽�߂ɁA�_�C�i���E���J�j�Y���ɂ����
���ꂪ�ł��A�M���R���i�i���������ɂ���č����j���ł���D
������������������y�ڂ��u���[�L�̃g���N�́A����ɂ������I�ȃg���N�̘r��
�����Ȃ邽�߂ɁA����̂Ȃ������ɔ�ׂĂ����Ƒ傫���D
\par
������������̏��߂Ă̒�ʓI���f����Weber and Davis (1967)�ɂ���č��ꂽ�D
�ނ�̃��f���́A�S���̂Ȃ��A�d�C�`���x������̗��̂́A���Ŏ��Ώ̂ȗ����
�|���g���s�b�N�ȃG�l���M�[���ɂ�舵�������̂ł���D�􉽊w�I�`��͒P�Ɏq�I
�i������X�v���b�g�E���m�|�[���E���f���j�ŁA�|���C�_������i�q�ߖʓ��̎���j��
���ˏ�i�܂������j�ŁA�����������ԓ��ʂŋt�]����Ƃ������̂ł���D
���̎���z�u�ł́A�ԓ��ʂɓd���w�������āA���̏㉺���牟�����鎥�C�͂�
�K�X�̈��͂��x���Ă��邱�ƂɂȂ�D�������d���w�������ɔ����Ƌߎ��ł���Ȃ�΁A
�d���w�̑��݂͐��w�I�ɂ͉��̍�p���Ȃ��D
�ނ�͐ԓ��ʂ̋ߖT�̉������߁A���z�̎��]���������鎞�ԃX�P�[��
�� $\simeq 7 \times 10^9$ �N�ƌ��ς������D�i�������p�^���ʂ͑��z�����ň�l�ɍ�������
����Ƃ���D�j
\par
Weber and Davis (1967)�̃��f���ł́A���������C���̗͊w(MHD)�̂R�̔g�����[�h
[�x���g(slow mode)�A�����g(fast mode)�AAlfv\'en�g]�̑��x�ƈ�v����Ƃ����
�R�́u�ՊE�_�v������D
���̏󋵂́A���g�ɑΉ�����ՊE�_��݂̂������A����̂Ȃ������̏ꍇ
(Parker, 1958)�Ɣ�ׂĕ��G�ł���D
Weber and Davis (1967)���g������@�́A�ԓ����痣�ꂽ�̈�ɂ��Ă�
�g���ł���(Yeh, 1976)�D
������������ɂ���A�����̃��f���͎��͐������؂�����̗͂̒ނ荇����
�l���Ă��Ȃ��D�i�|���C�_������͕��ˏ�Ɖ��肳��Ă���D�j�@
�]���ă��f���͂P�����ŁA�e�����ǂɉ����ĉ���Ɨ��ɋ��߂邱�Ƃ��ł���D
\par
����A���͐������؂�����̗͂̒ނ荇���𖞂����悤�Ɏ���\���𖵏��Ȃ�
���߂悤�Ƃ���ƁA�|���C�_���f�ʂɂ������̈ʒu���W�Ɋւ���A�Q�K��
�Δ�����������������i�Q�������f���j�D
���̕��������������Ƃ������݂�Pneuman and Kopp (1971), Mestel (1968),
Okamoto (1974, 1975)�ɂ���ĂȂ��ꂽ�DPneuman and Kopp (1971)�ɂ�锽����@
�ł́A���͐��ɉ����Ă̐����̉��ƁA���͐������؂�����̗͂̒ނ荇�������݂�
�����Ă���D������Okamoto (1975)�́A���̂Q�Ԗڂ̃X�e�b�v�ł͕�������
���ٓ_������̂ɁAPneuman and Kopp (1971)�͂���𐳂��������Ă��Ȃ�����A
���ʂ��^�킵���Ɣᔻ���Ă���D�i���̓_�ɂ��Ă͑�S�͂ŏڂ����_����D�j�@
Mestel (1968, 1967, 1968), Okamoto (1974,1975)�͈�A�̘_���ŁA���̖��̉�͓I�莮��
���s�������APneuman and Kopp (1971)�Ɣ�ׂ���قǏڂ������l�I������
�^���Ă͂��Ȃ��D�����āA�ނ炪MHD fast mode�̗ՊE�_�ɂ���
���ӂ𕥂��Ă��Ȃ��̂��^��Ɏv����D
\par
���̘_���ł́A�Q�����̐����̉��𐔒l�I�ɋ��߂���@���q�ׂ�D
���̕��@��Weber-Davis�̂P�������f���̎��R�Ȋg���Ȃ̂ŁA�ŏ��ɑ�Q�͂�
Weber-Davis���f���̊�{�I�������ȒP�ɂ܂Ƃ߂Ă���D�����ŏq�ׂ邢����
�_�͉ߋ��̌�������(Weber and Davis 1967; Yeh 1976)�̂܂Ƃ߂ł��邪�A
�V�������ʂ��������܂�ł���D���ɁA���͐��ɉ����Ă̐����̉��������悭���߂�
���@���q�ׂĂ��邪�A���ꂪ��R�͂ɂ����ĂQ�������������Ƃ��ɂ����p�����D
��R�͂ł͂Q�������̗Ⴊ������邪�A���ꂪ���]�������Ɏ������邱�Ƃ������������D
���̐U�镑���́A�����ł̑Q�߉����������邱�Ƃɂ���Ă������ł���D
�����̌��ʂ��Q�l�ɁA��S�͂ō���̕��@��Pneuman and Kopp (1971)�̕��@��
��r����D
\par
�P�������f�����Q�����Ɋg������ۂɉ�͂𕡎G�ɂ���ЂƂ̗v�f�́A
�~���̈�idead zone�A���ꂪ���Ă��ė��ꂪ�Ȃ��j�̑��݂ł���D
���̈�Ǝ~���̈�̎����̔�́A�P���̎��]���x�̌����̓x���������߂�d�v��
�p�����[�^�ł��邱�Ƃ��킩���Ă���(Mestel, 1968)�D����̌����ł́A
���̈�Ǝ~���̈旼�����������w�I�A���l�I���G��������邽�߁A
�P�Ɏq�z�ʂ��̗p����D���̊ȒP���̉���ɂ��AWeber-Davis���f���ƁA
�Ή�����Q�������f���Ƃ̒��ڂ̔�r���\�ƂȂ�D
�~���̈���܂ރ��f���͏����̘_���ň����\��ł���D
�~���̈�̑��݂́A���w�I�E���l�I����̂ق��A
��̈�̋��E�ŁA�s�A�����̂��ߕs���肪�N����\�������邱�Ƃ���A
�����I�ɂ��󋵂𕡎G�ɂ���D

\section*{2. Weber and Davis (1967)�̈ꎟ�����f��}
\subsection*{2.1. ���f���̒�`}
%
���̃��f���͂U�̖��m���ɑ΂���U�̕���������Ȃ�D
���m���͖��x $\rho$�A���� $p$�A���x�Ǝ���̓��a�����ƕ��ʊp����
$V_r$, $V_\phi$, $B_r$, $B_\phi$ �ł���D�����W $(r,\,\theta,\,\phi)$ ��
�p���A�ԓ� $\theta =\pi/2$ �̋߂��̉������߂�D
���f�������肷���������
\begin{equation}
  p = K \rho^\gamma,  \label{2.1} % 1
\end{equation}
\begin{equation}
 \rho V_r r^2 = f,  \label{2.2} % 2
\end{equation}
\begin{equation}
 B_r r^2 = \PHI,  \label{2.3} % 3
\end{equation}
\begin{equation}
 (V_\phi - \OMEGA\, r ) B_r = V_r B_\phi,  \label{2.4} % 4
\end{equation}
\begin{equation}
 r \biggl( V_\phi - \frac{B_r B_\phi}{4\pi\rho V_r} \biggr) =
          \OMEGA\, r_A^2,  \label{2.5}  % 5
\end{equation}
\begin{equation}
 \frac{V_r^2}{2} + \frac{1}{2} (V_\phi - \OMEGA r )^2 +
         \frac{\gamma}{\gamma -1}\,\frac{p}{\rho} - \frac{GM}{r}
          - \frac{\OMEGA^2 r^2}{2} = E  �D \label{2.6} % 6
\end{equation}
������ $M$ �͐��̎��ʁA$G$ �͖��L���͒萔�ł���D
�U�̐ϕ��萔
$K$, $f$, $\PHI$, $\OMEGA$, $r_A$, $E$ �𓱓����Ă���D
(\ref{2.1})���͎w�� $\gamma$ (=���)�̃|���g���s�b�N�֌W�ł���D
(\ref{2.2})����(\ref{2.3})���͎��ʂƎ����̕ۑ���\���D
(\ref{2.4})���́A�p���x $\OMEGA$ �ŉ�]����n�ɏ���Č���Ɨ���Ǝ��ꂪ���s
�ł���ƌ������Ƃ�\���A���꓀�������ifrozen-in�����j����������������
�ł���D(\ref{2.5})���͊p�^���ʂ̕ۑ���\���D(\ref{2.6})���͉�]�n�ł̃x���k�[�C��
�ۑ����ŁA���S�͂̃|�e���V���� $-\OMEGA^2 r^2 /2$ �������Ă���D
��]�n�ł͎��C�͂͗����̕����ɐ����������Ȃ��̂ŁA(\ref{2.6})���ɂ͎���̍���
����Ȃ��DWeber and Davis (1967)�͐Î~�n�ŋL�q�����x���k�[�C�̕ۑ�����
�p�����̂ŁA$V_\phi - \OMEGA\, r$ �̑���� $V_\phi$ ������A�܂�
���S�̓|�e���V���� $-\OMEGA^2 r^2 /2$ �͌��ꂸ����Ƀ|�C���e�B���O������
�����t���Ă����D�ނ�̃G�l���M�[�萔��(\ref{2.6})���̒萔 $E$ ��
$\OMEGA^2\, r_A^2/2$ �����قȂ��Ă���D
\par
�U�̃p�����[�^ $K$, $f$, $\PHI$, $\OMEGA$, $r_A$, $E$ ��
�^������΁A�U�̕��������������߂�D
�ʏ�A$\OMEGA$ �͎��͐����������Ă��钆�S���̎��]�p���x�ɂƂ�D
�R���i�̒� $r=r_\ast$ �ł́A���x $\rho_\ast$�A
���� $p_\ast$�A���ꋭ�x $B_{r\ast}$ ���^�����Ă���Ƃ���D
�]���ĉ������߂�ɂ́A���ƂQ�������K�v�ł���D
�ȉ��A�Q����ՊE�_�����̂Q�̏�����^���邱�Ƃ������D
\par
(\ref{2.1})--(\ref{2.5})����(\ref{2.6})���ɑ������ƁA���x $\rho$ 
�݂̂��܂ގ���������D
���ꂪ���x���z $\rho (r)$ �����߂�x���k�[�C�̎��ŁA
\begin{equation}
  H(r,\,\rho)  = E \label{2.7} % 7
\end{equation}
�Ƃ����`�ɏ�����D�����ŁA
\begin{equation}
  H(r,\,\rho) = \frac{GM}{r_A} \tilde H(x,\,y), \label{2.8} % 8
\end{equation}
\begin{equation}
    x = r/r_A, \qquad y=\rho/\rho_A, \qquad \rho_A=4\pi f^2 /\PHI^2,
   \label{2.9}  % 9
\end{equation}
\begin{equation}
  \tilde H(x,\,y) = \frac{\beta}{2 x^4 y^2} + \frac{\THETA}{\gamma -1}
   y^{\gamma -1} - \frac{1}{x}+ \frac{\omega}{2}
   \biggl\{ \frac{(x-1/x )^2}{(y-1)^2} - x^2 \biggr\},
   \label{2.10} % 10
\end{equation}
�ł���A�܂�
\setcounter{abc}{1}
\def\theequation{\arabic{equation}\alph{abc}}
\begin{equation}
\beta = \frac{\PHI^2}{4\pi GM\rho_A r_A^3} 
= \biggl[ V_{Ar}^2 \bigg/ \frac{GM}{r} \biggr] _A ,
      \label{2.11a} % 11a
\end{equation}
\addtocounter{equation}{-1}
\setcounter{abc}{2}
\begin{equation}
 \THETA = \frac{ \gamma K \rho_A^{\gamma -1} r_A}{GM} =
 \biggl[ C_S^2 \bigg/ \frac{GM}{r} \biggr] _A ,
     \label{2.11b} % 11b
\end{equation}
\addtocounter{equation}{-1}
\setcounter{abc}{3}
\begin{equation}
 \omega = \frac{\OMEGA^2 r_A^3}{GM}
      = \biggl[ \OMEGA^2 r^2 \bigg/ \frac{GM}{r} \biggr] _A ,
     \label{2.11c}  % 11c
\end{equation}
\def\theequation{\arabic{equation}}
�ƒ�`����Ă���D������ $C_S^2 = \gamma p/\rho$ �͉����̂Q��A
$V_{Ar}^2=B_r^2/4\pi\rho$ �͓��a������Alfv\'en���x�̂Q��ł���D
���t�Y���� $A$ ��Alfv\'en�_���Ӗ�����D�Ȃ��Ȃ�
$(\rho/\rho_A)^{-1/2}=V_r/V_{Ar}$ ��Alfv\'en�}�b�n���ŁA
$\rho = \rho_A$ �łP�ɂȂ邩��ł���D

\begin{figure}[tbhp]  % fig 1
\begin{center}
\epsfxsize=9cm
\epsfbox{fig1.eps}
\end{center}
\caption{%
{\bf a} Weber-Davis���f���̉���ԁD���� $(r,\,\rho)$-���ʂɂ����ďォ�牺��
�������ď��ɁA����slow mode�̃}�b�n�Ȑ��i���a�����̑��x��slow mode��
���x�𒴂��鏊�A�j���j�AAlfv\'en���i���x��Alfv\'en���x�𒴂��鏊�A�����j�A
fast mode�̃}�b�n�Ȑ��i���x��fast mode�̑��x�𒴂��鏊�A��_�����j��ʉ߂���D
�_���́A�d�͂̌��ʂ�\�����o���E�m�Y���_�̈ʒu�������D
�}�b�n�Ȑ��Əd�̓m�Y���Ȑ��̌�_��slow mode�ՊE�_(S)��fast mode�ՊE�_(F)
��^����DAlfv\'en�_��A�Ŏ����Ă���D
{\bf b} ���Ȑ��Q�D���߂鐯�����͑������Ŏ����Ă���D
�p�����[�^�̒l($\THETA =0.5$, $\omega =0.25$)�́A�R�̗ՊE�_�����ꂢ�ɕ�������
�悤�ȗ�Ƃ��đI�񂾂��̂ł���D
}
\end{figure}

\smallbreak
���̃��f���̏d�v�Ȑ����͈ȉ��̂悤�ɂ܂Ƃ߂���D
\begin{itemize}
\item[1.]
���x���z $\rho (r)$ �� $(r,\,\rho)$-�ʓ��ł̃x���k�[�C�֐� $H(r,\,\rho)$ �̓������ł���D
\item[2.]
$\rho =\rho_A$ �ł́A$r\ne r_A$ �Ȃ� $H(r,\,\rho)$ �͔��U���邪�A
$r=r_A$ �Ȃ� $H(r,\,\rho)$ �͗L���ɂƂǂ܂�D
���Ȃ킿�A$\rho =\rho_A$ �� $(r,\,\rho)$-��Ԃ̖����ɍ����ǂŁA$(r_A,\,\rho_A)$ ��
�̂݌�������D�]���� $(r,\,\rho)$-�ʓ���Alfv\'en���x���ᑬ�̗̈� $(\rho > \rho_A)$ ����
Alfv\'en���x��荂���̗̈� $(\rho < \rho_A)$ �֑J�ڂ��邷�ׂẲ��͎����I��
Alfv\'en�_ $(r_A,\,\rho_A)$ ��ʂ�D
\item[3.]
������ $\rho (r)$ ��X�^�i���邢��O�^�j�ՊE�_�͊֐� $H(r,\,\rho)$ ��
�Ǐ��I�ɕ��R�ȂƂ���A���Ȃ킿
\begin{equation}
  \frac{\partial H}{\partial\rho} =
  \frac{\partial H}{\partial r}   = 0  \label{2.12}  % 12
\end{equation}
�ɂł���D
\item[4.]
$(r,\,\rho)$-�ʓ��̋Ȑ� $\partial H/\partial\rho = 0$ ��
slow mode, fast mode�̃}�b�n�Ȑ��Ɩ��t����D
�Ȃ��Ȃ�A
\begin{eqnarray}
\rho  \frac{\partial H}{\partial\rho} 
\vv{=}{2mm} - V_r^2 - \frac{\OMEGA^2 \rho}{\rho -4\pi f^2/\PHI^2}
\biggl( \frac{V_r B_\phi}{B_r} \biggr)^2 + K \rho^{\gamma -1} 
\nonumber \\
\vv{=}{2mm}
- \frac{V_r^4 - V_r^2 (C_S^2 + V_{Ar}^2 + V_{A\phi}^2) + C_S^2 V_{Ar}^2}{V_r^2 - V_{Ar}^2}
\nonumber \\
&=& - \frac{(V_r^2 - V_{sr}^2) (V_r^2 - V_{fr}^2)}{V_r^2 - V_{Ar}^2} \label{2.13} % 13
\end{eqnarray}
$(V_{A\phi}^2 = B_\phi^2 /4\pi\rho )$�ł���A
�]����$\partial H/\partial\rho$ �� $V_r$ ��slow mode�̓`�����x $V_{sr}$ �܂���
fast mode�̓`�����x $V_{fr}$ �Ɉ�v����Ƃ���Ń[���ɂȂ�D
\item[5.]
$(r,\,\rho)$-�ʓ��̋Ȑ� $\partial H/\partial r = 0$ ��
�d�̓m�Y���Ȑ��Ɩ��t����D
���z���̑J�����I�����̓��o���E�m�Y���Ƃ̗ގ��ōl���邱�Ƃ��ł�(Parker, 1963)�A
�m�Y���̂��т�̈ʒu�� $\partial H/\partial r = 0$ �ŗ^������D
\item[6.]
slow mode�̃}�b�n�Ȑ��Əd�̓m�Y���Ȑ��̌�_��
slow mode�̗ՊE�_ $(r_s,\,\rho_s)$�A
fast mode�̃}�b�n�Ȑ��Əd�̓m�Y���Ȑ��̌�_��
fast mode�̗ՊE�_ $(r_f,\,\rho_f)$ �ƂȂ�D
�����ł́A��̏������ۂ����D
\begin{eqnarray}
 H(r_s,\,\rho_s) \vv{=}{2mm} E, \nonumber \\
 H(r_f,\,\rho_f) \vv{=}{2mm} E�D \label{2.14}  % 14
\end{eqnarray}
���̂悤�ɂ��Đ���������ӓI�Ɍ��肳���D
\end{itemize}

�}1a��1b�ɓT�^�I�ȃ}�b�n�Ȑ��A�d�̓m�Y���Ȑ��A���Ȑ��̔z�u�������D
$r$ �̏������Ƃ���Œx�����x $(V_r < V_{sr})$ ����X�^�[�g���A
$r$ �̑傫���Ƃ���ō��� $(V_r > V_{fr})$ �ɂȂ�A�K�؂Ȑ�������
�����Ŏ�����Ă���D
Alfv\'en�_�͑����̉��Ȑ��̏W������_�ɂȂ��Ă���A���ʂ̉���I�яo��
�����͂��Ă��Ȃ��D�����Ɍ����΁AAlfv\'en�ՊE�_�ƌĂԂ̂͐������Ȃ��A
�P��Alfv\'en�_�ƌĂԂׂ��ł���D��������R�͂Ɍ���悤�ɁA
���͐������؂�����̒ނ荇���̕������ł́AAlfv\'en�ՊE�_����������
���ٓ_�Ƃ��Č����D
�x���k�[�C�̎��͖��x�Ɋւ��鎮�Ȃ̂ŁA���x�ω��𔺂�Ȃ�Alfv\'en�g��
�x���k�[�C�̎��ɂ͌���Ȃ��A�Ƃ����悤�ɗ����ł���D

\begin{figure}[tbhp]  % fig 2
\begin{center}
\epsfxsize=10cm
\epsfbox{fig2.eps}
\end{center}
\caption{%
Weber-Davis���f���̃p�����[�^��ԁD
�����͔M�I�͂�\�� $\THETA$�A�c���͉��S�͂̌��ʂ�\�� $\omega$ ������Ă���D
�}�̍����̗̈�ł́A�M�I�͂����S�͂��s�\���Ȃ��ߐ����������݂��Ȃ��D
�E���͔M�I�����̗̈�ŁA���S�͂͏d�v�łȂ��D����͉��S�͕��̗̈�ŁA
�M�I���͂͏d�v�łȂ��D���̗̈�ɓ���ɂ�āA�����̏I�[���x $V_\infty$ �́A
��]�������ł���ꍇ�̒l($V_{\infty ,P}$)������������D
�Ȑ� $V_\infty/V_{\infty ,P}=2$ �̍����̗̈���A�������C��]��FMR
(Belcher and MacGregor, 1976)�ƌĂсA����ȊO�̗̈悷�Ȃ킿
�x�����C��]��(SMR)�Ƌ�ʂ���D
Weber and Davis (1967)�̑��z�����f���� $\odot$ �Ŏ�����Ă���D
���]�p���x�A���ꋭ�x�A�܂��͂��̗�����
2�{�i���Ŏ����j�A5�{�i���j�A10�{�i���j�Ƒ��₵�čs���ƁA
���f���͎����ɉ�����FMR�̈�ɐi��ōs���D
}
\end{figure}

\subsection*{2.2. �������p�����[�^�ɂ�鐯�����̕���}
���̒��ɂ݂͌��ɃX�P�[����ς��������̂��̂�����̂ŁA
(\ref{2.7})���𖳎��������čl���Ă݂�D
\begin{equation}
  \tilde H(x,\,y;\; \beta,\,\THETA,\,\omega) = \tilde E�D \label{2.15}  % 15
\end{equation}
������ $\tilde E$ �� $E$ �ɑ����ē������ꂽ�p�����[�^�ł���
 $[\tilde E = E/(GM/r_A) ]$�D��������
\begin{equation}
\frac{\partial\tilde H}{\partial x} =
 \frac{ \partial\tilde H}{\partial y} =0,\qquad
 \tilde H = \tilde E, 
\qquad [(x,\,y)��(x_s,\,y_s)��(x_f,\,y_f)��]
\label{2.16}  % 16
\end{equation}
���狁�߂���D�����ŉ��t�Y���� $s$ �� $f$ ��slow mode, fast mode��
�ՊE�_��\���D
�W�̖��m��
($x_s$, $x_f$, $y_s$, $y_f$, $\beta$, $\THETA$, $\omega$, $\tilde E$)
�̂����A�U�͕��������猈�߂邱�Ƃ��ł���D
�c��Q�͎��R�Ɏw��ł���̂ŁA�����ł� $\THETA$ �� $\omega$ ���w�肷�邱�Ƃ�
����D����Ɩ��m�� $x_s$, $x_f$, $y_s$, $y_f$, $\tilde E$, $\beta$ ��
$\THETA$ �� $\omega$ �̊֐��ƂȂ�D�̂ɁA�����鐯�����͂Q�̖������p�����[�^
$\THETA$ �� $\omega$�i�e�X�A��������������M�I���͂Ɖ��S�͂̋����̎w�W�ł���j
�œ����Â�����D
����̋����̎w�W�ł��� $\beta$ [(\ref{2.11a})��]��Ɨ��̃p�����[�^�̈�Ɏ���Ă�
�悢�̂����A�����ł������Ȃ������̂́A���C�͂����ł͐����������ł��Ȃ�����
�ł���D���C�͎͂��͐��ɉ��������������Ȃ��̂ŁA��]�i���S�́j�Ƒg��
�Ȃ��ď��߂ĉ������ʂ𔭊�����D
\par
���������p�����[�^ $\OMEGA$, $\rho_\ast$, $p_\ast$, $B_{r\ast}$ �ƁA
�������p�����[�^ $\THETA$, $\omega$ �̊֌W�͈ȉ��̂悤�Ɍ����������D
�܂��萔 $E$ ���R���i�ꕔ��(\ref{2.6})���ɂ�茩�ς���D���̂Ƃ��A�n�߂̓񍀂�
�����ł���Ƃ���D(\ref{2.8})����(\ref{2.11c})�����g���ƁA
\setcounter{abc}{1}
\def\theequation{\arabic{equation}\alph{abc}}
\begin{equation}
  \tilde E /\omega^{\frac{1}{3}} =
  \biggl( \frac{\gamma}{\gamma -1} \frac{p_\ast}{\rho_\ast}
  - \frac{GM}{r_\ast} - \frac{\OMEGA^2 r_\ast^2}{2} \biggr)
  \bigg/
 (GM\OMEGA)^{\frac{2}{3}} \label{2.17a}  % 17a
\end{equation}
\addtocounter{equation}{-1}
��������D����(\ref{2.11a}--c)������ $r_A$ �� $\rho_A$ ���������A
$\PHI = r_\ast^2 B_{r\ast}$ ���g����
\setcounter{abc}{2}
\begin{equation}
  \beta^{\gamma -1} \THETA /\omega^{4/3 - \gamma}  =
 \frac{ \gamma p_\ast}{\rho_\ast}
 \biggl(  \frac{B_{r\ast}^2}{4\pi\rho_\ast}  \biggr)^{\gamma -1}
 \bigg/
 \biggl( \frac{GM}{r_\ast} \biggr)^{2\gamma- 4/3}
 (\OMEGA r_\ast)^{2(4/3-\gamma)}  \label{2.17b}  % 17b
\end{equation}
\def\theequation{\arabic{equation}}
�𓾂�D�Q�̎�(\ref{2.17a},b)�� $\THETA$ �� $\omega$ �̒l��
�����̂���p�����[�^ $\OMEGA$, $\rho_\ast$, $p_\ast$, $B_{r\ast}$ 
�̊֐��Ƃ��Č��߂�D�Ȃ��Ȃ� $\beta$ �� $\tilde E$ �� $\THETA$ �� $\omega$ ��
���m�̊֐�������ł���D
\par
�����ŋ������Ă����ׂ��d�v�ȓ_�́A�����������߂邽�߂ɁA
������``�_�������@�ishooting method�j''
�͕K�v�Ȃ��Ƃ������Ƃł���D
�A���㐔������(\ref{2.16})��Newton-Raphson�@�ɂ��ȒP�A�����ɉ������Ƃ��ł��A
�������� $x_s$, $x_f$, $y_s$, $y_f$, $\tilde E$, $\beta$ �̒l�����߂Ă���A
$(x,\,y)$-�ʓ��ł̓��������������ƂŖ��������������x���z $y(x)$ ��������D
���̕��@�ɂ�萯�����������ɋ��߂邱�Ƃ��ł���̂ŁA��R�͂̂Q�������f����
�v�Z�ł�����𗘗p���Ă���D
\par
�L���͈͂� $\THETA$ �� $\omega$ �̒l�ɑ΂��ĉ������߂����ʂ�}2��
�������D($\gamma =1.2$ �Ɖ��肵���D�j�@
$(\THETA,\,\omega)$-�ʂ̍����ɂ͐������͂Ȃ��D���̋֎~�̈��
�ߎ��I�� $\THETA < \gamma -1$ �� $\omega < (3/2)^{3/2}$ �ŗ^������D
���̗̈�ł͈��͂����S�͂��ア���߂ɐ������ł����A�Ð������t�̑�C��
�ł���ƍl������D
�E���̗̈�͔M�I�����̗̈�ł���A����̗̈�͉��S�͕��̗̈�ł���D
�E��̗̈�ł͔M���͂Ɖ��S�̗͂����������̉����Ɋ�^���Ă���D
�����̏I�[���x $V_\infty$ �́A�M�I�����̗̈�ł́A���̉�]�̂Ȃ��ꍇ
�̏I�[���x $(V_{\infty ,P})$ �ƕς�肪�Ȃ��D
$V_\infty /V_{\infty ,P} =2$ �ƂȂ�悤�ȉ��ʒu���}2�Ɏ����Ă���D
���̋Ȑ��̍����ł́A�����̏I�[���x $V_\infty$ �͉�]�̂Ȃ��ꍇ��
�l�iParker�̒l�j$V_{\infty ,P}$ �ɔ�ׂĖ��炩�ɑ傫���Ȃ��Ă���D
Belcher and MacGregor (1976)�ɂȂ���āA���̗̈�̉���
``�������C��]��(fast magnetic rotator, FMR)''�A
�t�� $V_\infty \simeq V_{\infty ,P}$ �̏ꍇ��
�x�����C��]�́islow magnetic rotator, SMR�j�ƌĂԁD
\par
Weber and Davis (1967)�̑��z������ $\THETA =1.5$, $\omega =0.3$ ��
�������A�}2�̒��� $\odot$ �Ŏ�����Ă���D
���z���͔M�I���̈�ɂ���D�������z�̎��]���x�A���ꋭ�x�A�܂��͂��̗�����
���������ꍇ�A���͐}2�Ɏ����ꂽ�Ȑ��ɉ�����FMR�̈�֐i�����čs���D
�����I�ɂ́A�K�v�ȋ��E����
($\OMEGA$, $\rho_\ast$, $p_\ast$, $B_{r\ast}$)���^������΁A��n�񐯑S�̂�
���̐}�Ƀv���b�g���邱�Ƃ��ł���D������ $\rho_\ast$ �� $p_\ast$ �̒l�A
���� $B_{r\ast}$ �̒l�͂悭�킩��Ȃ��̂ŁA�����ł͂���͍s���Ă��Ȃ��D


\section*{3. �Q�������Ώ̐������f��}
\subsection*{3.1. �莮��}
���̏͂ł́A����̊�{�\���i�X�v���b�g�E���m�|�[���j�͕ۂ��A�P����
Weber-Davis���f�����A���͐������؂�����̗͂̒ނ荇���𖞂���
�Q�������f���Ɋg������D
�����W $(r,\,\theta,\,\phi)$ �ŋL�q���邪�A���]������̋��� $\varpi =r\sin\theta$ 
���K�v�ɉ����ėp����D(\ref{2.1})--(\ref{2.6})���͉��L�̂悤�Ɉ�ʉ������
(Mestel, 1968; Okamoto, 1974)�D
�����̕ۑ���
\begin{equation}
  \bmB = \NABLA a \times \NABLA\phi + \varpi B_\phi
  \NABLA\phi \label{3.1} % 18
\end{equation}
�Ə������Ƃɂ��ۏ؂����D������ $a$ (����̗���֐�) �ƁA
����̃g���C�_������ $B_\phi$ �� $(r,\,\theta)$ �̊֐��ł���D
��ꍀ���|���C�_������ $\bmB_p$ ��^���A�|���C�_������̎��͐���
$a$=���Ƃ����Ȑ��Q�ŗ^������D
�i�ʏ�̃x�N�g���|�e���V�����̕��ʊp������ $a/\varpi$ �ł���D�j�@
���x��
\begin{equation}
  \bmV = \frac{\alpha (a)}{\rho} \bmB
  + \varpi^2 \OMEGA(a)\NABLA\phi \label{3.2} % 19
\end{equation}
�Ə������D�����ő�ꍀ�́A
�p���x $\OMEGA$ �ŉ�]����n���猩���A����ɕ��s�ȑ��x�ł���D
���ʂ̕ۑ�($\div\;\rho \bmV =0$)�ƗU��������
[$\NABLA\times (\bmV \times\bmB)=0$] �́A
�Q�̃X�J���[�ϐ� $\alpha$ �� $\OMEGA$ �� $a$ �̊֐��ł����
���������D$\OMEGA$ �� $a$ �Ɉˑ����Ă������Ƃ������Ƃ́A�l���Ă��钆�S����
�������]���Ă��Ă��������Ƃ�\���Ă���D(\ref{2.1}), 
(\ref{2.5}), (\ref{2.6})������ʉ����邱�Ƃ͂��₷���A
\begin{equation}
p = K(a)\rho^\gamma, \label{3.3}  % 20
\end{equation}
\begin{equation}
\varpi\biggl( V_\phi - \frac{B_\phi}{4\pi\alpha} \biggr)
  = \OMEGA\varpi_A^2 (a), \label{3.4}  % 21
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{V_p^2}{2} +\frac{1}{2} (V_\phi - \OMEGA\varpi)^2
  + \frac{\gamma}{\gamma -1} \, \frac{p}{\rho}
  - \frac{GM}{r} - \frac{\OMEGA^2 \varpi^2}{2}
   = E(a), \label{3.5} % 22
\end{equation}
�ƂȂ�D������ $\bmV_p =\alpha\bmB_p/\rho$ �͑��x�̃|���C�_�������A
$\varpi_A(a)$ ��Alfv\'en���a�ł���D
��Q�͂œ��������U�̐ϕ��萔
$K$, $f$, $\PHI$, $\OMEGA$, $r_A$, $E$ �̑���ɁA�����ł�
�T�́u���͐��ɉ������ϕ��萔�v
$K(a)$, $\alpha(a)$, $\OMEGA(a)$, $\varpi_A(a)$, $E(a)$ ��
����֐� $a$ �𓱓����Ă���D
\par
����֐� $a$ ���^������΁A(\ref{3.1})--(\ref{3.5})���͊e�X�̎��͐� $a$=���ɉ�����
��������^����D
���]�p���x $\OMEGA$ ��^���A�R���i�ꕔ�ł̖��x�ƈ��͂����E�����Ƃ��Ďw�肷��ƁA
slow, fast mode�ՊE�_�ł̏�����p���āA�萔
$K(a)$, $\alpha(a)$, $\varpi_A(a)$, $E(a)$ �̒l����ӓI�ɒ�܂�D
���̌��ʁA���x���z�����܂�̂���Q�͂̉ߒ��Ɠ����ł���D
���̂��߂̃x���k�[�C��������
\begin{equation}
 \frac{\alpha^2}{2\rho^2} \biggl( \frac{\NABLA a}{\varpi} \biggr)^2
 + \frac{1}{2} \biggl[
 \frac{ 4\pi\alpha^2\OMEGA (\varpi_A^2 - \varpi^2)}{\varpi (4\pi\alpha^2 - \rho )}
  \biggr]^2 
 + \frac{\gamma K}{\gamma -1}
   \rho^{\gamma -1} - \frac{GM}{r} - \frac{\OMEGA^2\varpi^2}{2} = E
   \label{3.6} % 23
\end{equation}
�ƂȂ�D
\par
�]���Ďc��X�e�b�v�́A���͐������؂�����̗͂̒ނ荇���ɂ��
$a$ �����肷�邱�Ƃł���D
�����炩�̎��ό`�̌�A�^�����������ȉ��̂悤�ɏ��������邱�Ƃ��ł���
(Okamoto, 1975; Heinemann and Olbert, 1978)�D
\begin{eqnarray}
0 \vv{=}{2mm} -\NABLA p + \frac{1}{4\pi} (\NABLA\times\bmB ) \times\bmB
   +\rho\NABLA \frac{GM}{r} - \rho (\bmV\cdot\NABLA )\bmV 
%% typo varpi<=> vecV
\nonumber \\
  \vv{=}{2mm} \NABLA a \bigg\{
     \div \biggl[ \biggl(
    \frac{\alpha^2}{\rho} - \frac{1}{4\pi} \biggr)
    \frac{\NABLA a}{\varpi^2} \biggr] 
  - \rho\biggl( E^\prime - \frac{1}{\gamma -1} \frac{p}{\rho}
    \frac{K^\prime}{K} + \varpi^2 \OMEGA\OMEGA^\prime \biggr) 
\nonumber \\
 \vv{-}{2mm} \frac{B^2}{\rho} \alpha\alpha^\prime - \varpi B_\phi
  \biggl[ (\alpha\OMEGA )^\prime -\frac{1}{\varpi^2}
  (\alpha\OMEGA\varpi_A^2 )^\prime \biggr] \bigg\},
 \label{3.7} % 24
\end{eqnarray}
������ $(\,^\prime)$ �� $d/da$ ���Ӗ�����D$\phi$-�����A���͐������̗͂̒ނ荇����
���ł�(\ref{3.4})����(\ref{3.5})���ōl������Ă���̂ŁA
(\ref{3.7})���͎��͐������؂�����A
���Ȃ킿 $\NABLA a$ �̕����̐������������Ȃ��D�]���āA�����ׂ���������
\begin{eqnarray}
 \div \biggl[ \biggl(
 \frac{\alpha^2}{\rho} - \frac{1}{4\pi} \biggr)
 \frac{\NABLA a}{\varpi^2} \biggr]
 \vv{=}{2mm} \rho \biggl( E^\prime - \frac{1}{\gamma -1} \frac{p}{\rho}
  \frac{K^\prime}{K} + \varpi^2 \OMEGA\OMEGA^\prime \biggr) 
 + \frac{B_p^2}{\rho} \alpha\alpha^\prime 
\nonumber \\
 \vv{+}{2mm} D\biggl[
 \frac{D}{4\pi} \OMEGA^2 \varpi^2 \alpha\alpha^\prime
  -\alpha^2\OMEGA^2 {\varpi_A^2}^\prime
  -\alpha^2 \OMEGA\OMEGA^\prime (\varpi_A^2 - \varpi^2 ) \biggr],
\nonumber \\
  D \vv{=}{2mm}
  \frac{4\pi\rho (\varpi_A^2 - \varpi^2 )}{\varpi^2 ( 4\pi\alpha^2 - \rho )}  \,,
 \label{3.8}  % 25
\end{eqnarray}
�ƂȂ�D������ $\rho$ ��(\ref{3.6})���ɂ��A
�z�ɂł͂Ȃ��� $r$, $\theta$, $a$, $\NABLA a$ �̊֐��ƂȂ��Ă���D
\par
(\ref{3.8})���� $a$ �Ɋւ���A�Q�K�̏����`�Δ����������ł���D
$a$ �̂Q�K������(\ref{3.8})���̍��ӂɂ����܂܂�Ȃ��D
���̕������̊�{�I�����́A���̎�v���i�ō��������̍��j�����o����
�͂����肷��D���Ȃ킿�A
\begin{eqnarray}
\div \biggl\{ \left( \frac{\alpha^2}{\rho} - \frac{1}{4\pi}
\right) \frac{\NABLA a}{\varpi^2} \biggr\}
\vv{=}{2mm} - \frac{\alpha^2}{\rho^2}\NABLA\rho\cdot\frac{\NABLA a}{\varpi^2}
+ \frac{1}{\varpi^2}
\biggl( \frac{\alpha^2}{\rho} - \frac{1}{4\pi} \biggr)
\NABLA^2 a 
\nonumber \\
\vv{+}{2mm} \hbox{(lower-order terms)} �D \label{26}
\end{eqnarray}
(\ref{3.6})����������邱�Ƃɂ��A
\begin{eqnarray}
\frac{\alpha^2}{2\varpi^2} \NABLA (\NABLA a )^2
\vv{-}{2mm}
\frac{V_p^4 - V_p^2 ( C_S^2 + V_{Ap}^2 + V_{A\phi}^2 ) +C_S^2 V_{Ap}^2}{V_p^2 - V_{Ap}^2}
\NABLA \rho 
\nonumber \\
\vv{+}{2mm} \hbox{(lower-order terms)} =0, \label{27}
\end{eqnarray}
�ƂȂ�i$V_{Ap}^2 = B_p^2 /4\pi\rho$, $V_{A\phi}^2 = B_\phi^2 /4\pi\rho$�j�̂ŁA
(\ref{3.8})���͌��ǎ��̂悤�ɏ�����D
\begin{eqnarray}
\frac{1}{4\pi\varpi^2} \biggl( \frac{V_p^2}{V_{Ap}^2} -1 \biggr)
 \vv{}{4mm} \biggl[
\NABLA^2 a -  \frac{\NABLA\NABLA a:\NABLA a\NABLA a}{(\NABLA a)^2} 
  \frac{V_p^4}{V_p^4 - V_p^2 ( C_S^2 + V_{Ap}^2 + V_{A\phi}^2 )
  +C_S^2 V_{Ap}^2}   \biggr] 
\nonumber \\
 \vv{=}{2mm} g(r,\,\theta,\,a,\,\NABLA a). \label{3.9} % 28
\end{eqnarray}
������dyadic�̕\���ŏ�����Ă���̂�
\begin{equation}
\NABLA\NABLA a:\NABLA a\NABLA a =
\sum_{i,j=1}^{3} \frac{\partial^2 a}{\partial x_i \partial x_j}
\frac{\partial a}{\partial x_i}
\frac{\partial a}{\partial x_j}
\label{29}
\end{equation}
�̈Ӗ��ł���D�܂��֐� $g$ �̋�̓I�Ȍ`��
(\ref{3.8})������e�Ղɓ�����D���̕������̏d�v�Ȑ����́A�Q�K�����̌W����
$\rho =4\pi\alpha^2$ �܂� $V_p=V_{Ap}$ �̏ꍇ�ɂ̓[���ɂȂ邱�Ƃł���D
�܂肱�̕�������Alfv\'en�_�����ٓ_�ƂȂ��Ă���D
�����ŁAAlfv\'en���ٓ_�ł̐����ȉ����ȉ��̂悤�ɑI�яo���D
�܂�(\ref{3.9})������AAlfv\'en�_�� $g=0$ �łȂ���΂Ȃ�Ȃ��D
���̏���������΂Q�K�����͂����ŗL���ƂȂ邪�A$0/0$ �̂悤��
�s��̕\���ɂȂ�D�Q�K���������肷��ɂ́A(\ref{3.9})���Ƀ��s�^���̒藝��
�K�p����D���Ȃ킿�AAlfv\"en�_$A$��(\ref{3.9})���� $r$ �ɂ��Ĕ������A
�ȉ��̎��𓾂�D
\begin{eqnarray}
\biggl[ \NABLA^2 a \vv{-}{2mm} \frac{\NABLA\NABLA a:\NABLA a\NABLA a}{(\NABLA a)^2}
 \frac{V_p^4}{V_p^4 - V_p^2 ( C_S^2 + V_{Ap}^2 + V_{A\phi}^2 ) +C_S^2 V_{Ap}^2}
\biggr]_A
\nonumber \\
 \vv{=}{2mm}
 4\pi\varpi_A^2 \biggl[
 \frac{\partial g}{\partial r} \biggr]_A \biggm/
 \biggl[  \frac{\partial}{\partial r}
  \biggl( \frac{V_p^2}{V_{Ap}^2} -1 \biggr) \biggr]_A
 �D \label{3.10}  % 30
\end{eqnarray}
�]���āAAlfv\'en�_�ł͂Q�̏������ۂ���邱�ƂɂȂ�A���s�^���̒藝��
��Â�(\ref{3.10})���͂����̋��E�����ƌ��Ȃ����D
�܂� $a$ �ɂ͂Q�̋��E�������ۂ��ꂽ���ƂɂȂ�D�ЂƂ̓R���i�̒ꕔ��
$a$ �̒l���w�肳��邱�Ƃɂ����̂ŁA�����ЂƂ�Alfv\'en�_�ł̃��s�^���̒藝�ɂ�����
�ł���DAlfv\'en�_�ł̉��̐��������́AAlfv\'en�g�̒�ݏՌ��g��r������
���ƂƓ����ł���D�����������ۂ��Ȃ��ƁA���͐���Alfv\'en�_�Ő܂�Ȃ���
���Ƃ����肤��D�����Q�̏���������� $a$ �����߂邱�Ƃ��ł��A
���M���ׂ��͖������ł̋��E�����Ȃǂ͕K�v�Ȃ����Ƃł���D
\par
(\ref{3.9})���̂����ЂƂ̏d�v�Ȑ����́A�����^�̕������ł���Ƃ������Ƃł���D
�܂�l���Ă����Ԃ̈ꕔ�ł͑ȉ~�^�A�ق��ł͑o�Ȍ^�ƂȂ�D
���̐��������邽�߁A(\ref{3.9})���̎�v����
$\NABLA^2 a$ �� $\NABLA\NABLA a$ �� $-k^2 a$ �� $-\bmk\bmk\, a$ �Œu��������D
�����g�ʂ�\���g���x�N�g�� $\bmk$�i�\���傫���Ƃ���j�����߂��
\begin{eqnarray}
 \frac{k_\parallel^2}{k_\perp^2}
 \vv{=}{2mm} \frac{V_p^2 ( C_S^2 + V_{Ap}^2 + V_{A\phi}^2 ) -C_S^2 V_{Ap}^2}%
{V_p^4 -V_p^2 ( C_S^2 + V_{Ap}^2 + V_{A\phi}^2 ) + C_S^2 V_{Ap}^2} 
\nonumber \\
 \vv{=}{2mm} \frac{(V_p^2 - V_{cp}^2 )( C_S^2 + V_{Ap}^2 + V_{A\phi}^2 )}%
{( V_p^2 - V_{sp}^2 )( V_p^2 - V_{fp}^2 )}
 \label{3.11}  % 31
\end{eqnarray}
�ƂȂ�D������ $k_\parallel$ �� $k_\perp$ �͔g���x�N�g�� $\bmk$ 
�̂����|���C�_������ $\bmB_p$ �ɕ��s�A���p�����̐�����\���D
�܂�
\begin{equation}
 V_{cp}^2 = \frac{C_S^2 V_{Ap}^2}{C_S^2 + V_{Ap}^2 + V_{A\phi}^2} \label{3.12}  % 32
\end{equation}
�ł���D(\ref{3.11})���̉E�ӂ����i���j�Ȃ�A$\bmk$ �͎��i���j�ƂȂ�A
�������͑o�Ȍ^�i�ȉ~�^�j�ƂȂ�D
���Ȃ킿�A�������� $V_p < V_{cp}$ �� $V_{sp} < V_p < V_{fp}$ �Ȃ�ȉ~�^�A
$V_{cp} < V_p < V_{sp}$ �� $V_{fp} < V_p$ �Ȃ�o�Ȍ^�ł���
(Heinemann and Olbert, 1978)�D
[$V_{sp}$ �� $V_{fp}$ ��slow, fast mode�g�̓`�����x�̃|���C�_�������ŁA
(\ref{2.13})���Ɠ����悤�ɂ��Ē�`�����.]
$a$ �Ɋւ�����������������ł̋��E������K�v�Ƃ��Ȃ��̂����̐���
���痝���ł���D�Ȃ��Ȃ琯����\�������ɍs���Ɨ����fast mode
�̓`�����x��葬���A�ǂ�Ȏ��C���̔g�����㗬�ւ����̂ڂ邱�Ƃ��ł��Ȃ��̂ŁA
����fast mode�ՊE�_�������̏����ł��ׂČ��肳��邱�ƂɂȂ邩��
�ł���D

\subsection*{3.2. �v�Z���@}
(\ref{3.8})���� $\rin \le r \le \rout$ �� $0 \le \theta \le \pi /2$ ��
��`�����̈�ŉ����D�i�ԓ��ʂɑ΂��ď㉺�Ώ̂ł���Ɖ��肷��D�j�@
�����̋��E $\rin$ �́A$0 \le \theta \le \pi /2$ �̎��͐���
slow mode�ՊE���a $r_s$ �̍ŏ��l���\�����������D
$r=\rin$ �ł̋��E�����Ƃ��āA$B_r$=���i���m�|�[���I����j
���ۂ��D
�O���̋��E $\rout$ �́A$r_f$�ifast mode�̗ՊE���a�j�̍ő�l���
�����傫���Ƃ���Ɏ��D
�O�ɏq�ׂ��悤�ɁA$a$ �Ɋւ���O�����E������Alfv\'en���a�ŗ^������̂ŁA
(\ref{3.8})����{\em ���x���z���^�������}�A$\rin \le r \le r_A$ 
�Ƃ����̈�ł��������Ƃ��ł���悤�Ɏv����D
���������ۂ́A���x���z��fast mode�ՊE�_�̈ʒu�ɂ��ˑ�����̂ŁA
�̈� $\rin \le r \le \rout$ �𓯎��ɉ����Ȃ���΂Ȃ�Ȃ��D
����A���a $\rout$ ���O�̗̈��(\ref{3.8})�����O�����ɐϕ����邱�Ƃɂ����
������D�Ȃ��Ȃ�(\ref{3.8})���͂��̗̈�ł͑o�Ȍ^�ł���A
�����̈� $\rin \le r \le \rout$ �œ���ꂽ���ɂ��
$a$ �̒l�Ƃ��̋�Ԕ����� $r=\rout$ �ŗ^�����邩��ł���D
\par
���C�P�Ɏq�̎���($B_r = \PHI /r^2$)��
$a=2\PHI\sin^2(\theta /2)$ �̂悤�ɕ\�����D�]���� $a$ �̑���ɁA
�ϐ� $\theta_0$ �� $a(\theta_0) = 2\PHI\sin^2(\theta_0/2)$ �ɂ��
��������̂��֗��ł���D�����Čv�Z���֗��Ȃ悤�ɁA�Ɨ��ϐ���
$(r,\,\theta )$ ���� $(r,\,\theta_0 )$ �ɕύX���A���Ƃ���
$\theta =\theta (r,\,\theta_0)$ �����߂邱�ƂƂ���D(\ref{3.8})���̍��ӂ͌��ǁA
\begin{eqnarray}
\div \vv{}{4mm} \biggl[ \biggl( 
 \frac{\alpha^2}{\rho} - \frac{1}{4\pi} \biggr)
 \frac{\NABLA a}{\varpi^2} \biggr]
\nonumber \\
 \vv{=}{2mm} - \frac{\PHI}{r^2} \biggl[
 \frac{\partial}{\partial r} - \frac{\partial\theta}{\partial r}
  \biggl( \frac{\partial\theta}{\partial\theta_0} \biggr)^{-1}
 \frac{\partial}{\partial\theta_0} \biggr]
  \biggl[\biggl( \frac{\alpha^2}{\rho} -\frac{1}{4\pi} \biggr)
 \frac{\sin \theta_0}{\sin^2\theta}
  \biggl( \frac{\partial\theta}{\partial\theta_0} \biggr)^{-1}
 \frac{\partial\theta}{\partial r} \biggr]
\nonumber \\
\vv{+}{2mm} \frac{\PHI}{\sin\theta}
  \biggl( \frac{\partial\theta}{\partial\theta_0} \biggr)^{-1}
 \frac{\partial}{\partial\theta_0}
  \biggl[\biggl(
 \frac{\alpha^2}{\rho} - \frac{1}{4\pi} \biggr)
 \frac{\sin\theta_0}{r}
  \biggl( \frac{\partial\theta}{\partial\theta_0} \biggr)^{-1}
  \frac{1}{r^2\sin\theta} \biggr]�@ \label{3.13}  % 33
\end{eqnarray}
�ƂȂ�D�܂�(\ref{3.8})���̉E�ӂŁA %% typo
$d/da=(\PHI\sin\theta_0)^{-1}\,d/d\theta_0$ �ł���A$B_p^2$ ��
\begin{equation}
  B_p^2 =\biggl(\frac{\NABLA a}{\varpi} \biggr)^2
  =\biggl( \frac{\PHI\sin\theta_0}{\sin\theta} \biggr)^2
  \biggl( \frac{\partial\theta}{\partial\theta_0} \biggr)^{-2}
  \biggl[ \frac{1}{r^2} +
  \biggl( \frac{\partial\theta}{\partial r} \biggr)^2\biggr]
 \label{3.14}  % 34
\end{equation}
�ŗ^������D(\ref{3.8})���� $(r,\,\theta_0)$-��Ԃ�
�i�q�ɐ؂邱�Ƃɂ�萔�l�I�ɉ������D
���͐��͕ϐ� $\theta_0$ �ɂ��ԍ��Â����Ă��邩��A����̕��@��
���͐������؂�����ɂ��Ă̓��O�����W���I�i�i�q�����͐��Ƌ��ɓ����j
�ł���A$r$-�����ɂ̓I�C���[�I�ł���D������ $r$-�����̊i�q���Œ�
����Ă���킯�ł͂Ȃ��A�e���͐��ɂ��āA��̊i�q�_�����
Alfv\'en�_�ɗ���悤�ɒ������Ă���D���̂悤�ɂ��Ȃ��ƁAAlfv\'en�_��
������������̓��ِ��𐳂����������Ƃ��ł��Ȃ��D
�ȉ��Ɏ�����ł́A$\theta_0$-�����Ɋi�q�_��10 ($10^\circ$�Ԋu)�A
$r$-�����ɂ�15--20�̊i�q�_���A$\log r$ �ɂ��Ăقړ��Ԋu�ƂȂ�悤��
�z�u���Ă���D$r=\rin$ �ɂ����鋫�E������ $\theta =\theta_0$ �ƊȒP��
�\���A�܂����R $\theta_0=0$ �� $\theta =0$�A$\theta_0=\pi /2$ �� $\theta =\pi /2$ 
�ł���D
\par


��Q�͂ŋc�_�����P�������f���Ɠ��l�A$\gamma =1.2$ �ƂƂ�D
$\OMEGA (\theta_0)$ �́A�i���̉�]���Ă���j���̎��]�p���x�ɓ������萔��
���肷��D�܂��A$K(\theta_0)$ �� $E(\theta_0)$ �� $\theta_0$ �ɂ��Ȃ�
�萔�Ɖ��肷��D���̉���́A���̎��]���������ŁA���̕\�ʋ߂��̑�C��
�قڋ��Ώ̂ȐÐ������t�ɂ���Ȃ�ΐ��藧�ƍl������D
���]�̑������ł́A���̉���͐��藧���Ȃ���������Ȃ��D�p�����[�^��
$\alpha (a)$ �� $\varpi_A(a)$ �́A���x�֐���slow, fast mode�ՊE�_��ʂ�Ƃ���
�����ɂ�茈�肳���D�i�ՊE�_�̈ʒu��������@�̈�񂲂ƂɍX�V�����D�j
\par
     (\ref{3.8})���������O�ɁA�܂������p�����[�^�̒l�ɑ΂��āAWeber-Davis���f����
�����Ă����DAlfv\'en���a $r_A$ ��Alfv\'en�_�ł̖��x $\rho_A$ �����߁A�����
$r_{A,WD}$ �� $\rho_{A,WD}$ �Ə������Ƃɂ���iWeber-Davis���f���ɂ��Ă̒l�ł���
���Ƃ��͂�����킩��悤�ɁA�Y���� $_{WD}$ ������j�D
�����Ɩ��x�̒P�ʂ� $r_{A,WD}$ ��
$\rho_{A,WD}$ �ɂƂ�ƁA(\ref{3.8})���𖳎����������`�ŉ������Ƃ��ł���D
\par
     ��Q�͂ł̋c�_�Ɠ����悤�ɁA���f���͂Q�̖������p�����[�^ $\THETA$ ��
$\omega$�A
\setcounter{abc}{1}
\def\theequation{\arabic{equation}\alph{abc}}
\begin{eqnarray}
\THETA \vv{=}{2mm}
\frac{\gamma K \,\rho_{A,WD}^{\gamma -1}\, r_{A,WD}}{GM}, \label{3.15} \\ % 35a
\addtocounter{equation}{-1}
\addtocounter{abc}{1}
\omega \vv{=}{2mm}
\frac{\OMEGA^2 r_{A,WD}^3}{GM},  \label{3.15b}  %% typo  35b
\end{eqnarray}
\def\theequation{\arabic{equation}}
�ɂ���ċK�肳���D���́A�p�����[�^��ԁi�}2)�̒��ŁA
$r_s$, $r_A$, $r_f$ �������x�̑傫���ł���Ƃ������߂₷���̂ŁA
$\THETA$ �� $\omega$ ���قڂP�ł���ꍇ���l����D
(\ref{3.8})���𗣎U�����ANewton-Raphson�@�ɂ�锽����@�ŉ����D
���̏����l�Ƃ��ẮA$\omega$ ���������Ƃ��͕��ˏ�̎�����Ƃ�D
��������܂�΁A����������l�Ɏg���āA�����傫�� $\omega$ �̒l�ɑ΂���
���̉������߂�D

\begin{figure}[tbhp]  % fig 3
\begin{center}
\epsfxsize=16cm
\epsfbox{fig3.eps}
\end{center}
\caption{%
{\bf a} ���ꂪ���ˏ�̏ꍇ�́A�q�ߖʓ��ɂ�����slow, Alfv\'en, fast mode��
�ՊE�ʁi�������珇��)�D�����̒P�ʂ� $r_{A,WD}$ �ł���D
{\bf b} ����`������������������ʁD{\bf a}�Ɣ�ׂ�ƁA���͐��͋ɂɌ������ċȂ���A
�ՊE�ʂ͋ɂł͊O���ւ���A�ԓ��ł͓����ɂ����D
}
\end{figure}


\subsection*{3.3. �v�Z����}
%
�}3--6�́A$\THETA =0.5$, $\omega =1.75$ �ɑ΂��ċ��߂����ł���D
�܂��A�̈� $r\le \rout$ �ɂ�������̐U�镑���ɂ��Ę_����
(�ȉ��Ɏ�����ł� $\rout=4\,r_{A,WD}$ �ł���)�D
�}3a�́A������@�ɂ��������߂�O�i����͕��ˏ�j�́A
�q�ߖʓ��̂R�̗ՊE�_(slow, Alfv\'en, fast)�̈ʒu�����������̂ł���D
�}3b�́A������@�ɂ�苁�߂�ꂽ���ł���D�|���C�_�����͐��́A�n�߂̕��ˏ󎥏�
�Ɣ�ׂĂ͂�����Ƌɕ����ɋȂ����Ă���D����͎�ɁA�g���C�_������̑����ɂ��
���ʂł���i�}4������j�D���͐��͐ԓ��ʕt�߂ł͂��������̂ɑ΂��āA���]����ł�
$B_\phi =0$ �ł��邩��A$B_\phi^2$ �͐ԓ��ʂő傫���ɂł͏������D�]���āA���C��
�̌��z $-\NABLA B_\phi^2/8\pi$ �͐ԓ��ʂ��痣�������ɍ�p����D
���̌��ʂ͑��z���̏ꍇ��Suess (1972), Winge and Coleman (1974),
Nerney and Suess (1975)�ɂ���ď��߂�
�w�E���ꂽ�D����ɁA$B_\phi$ �ɂ�鎥�C���͂��ɂɌ����Ă���̂ŁA���̌��ʂ�
���߂�D���͐��̋ɕ����ւ̕Ό��̂��߁A���]���t�߂̗��H�̖ʐς́A
���ˏ󎥏�̏ꍇ($\sim r^2$)�ɔ�ׂď������Ȃ�D�]���āA�������������������������A
���������ւ̑J�ڂ������̋����Ɏ����z����A�]���ėՊE�ʂ��O���ɉ����o�����D
����Ƃ͋t�ɐԓ��t�߂ł́A�L���������H�������������悭�������A���̌��ʗՊE�ʂ�
�����ɓ����Ă���D�P�ʎ���������̎��ʗ���[���Ȃ킿(\ref{3.2})���� $\alpha$]���ԓ��߂���
�傫���Ȃ�D�����̏I�[���x $V_\infty$ �́A�x���k�[�C�̎�(\ref{3.6})����
$V_\infty^2 /2= E + \OMEGA^2\varpi_A^2/2$ �ƂȂ�[(\ref{3.17})��������]�D
�������f����SMR�̈�ɂ���Ƃ��́A��ɏq�ׂ��悤�ȗ��H�̕ω��ɂ��A
�����͓���̏I�[�l $V_\infty \simeq \sqrt{2E}$ �ɐԓ��߂��ł͋}���ɁA�ɋ߂��ł͂�������
�߂Â��D
���f����FMR�̈�ɂ���Ƃ��́A���R�Ȃ���I�[���x�͐ԓ��t�߂ő������Ă���D
\par
     �}4�͐ԓ��ʓ��̎��͐��Ɨ��������������̂ł���D
�R�̉~�͓������珇��slow, Alfv\'en, fast mode�ՊE�ʂł���D
���͐��́A�g���C�_������̑����𔽉f���āA�点���������Ă���D
�����̗l�q����A�����牓�������Η���͒e���I�ł��邱�Ƃ��킩��D
�����牓���̗����̂܂������ȕ����𐯂Ɍ������ĉ��΂��ƁA���̒��S��ʂ�Ȃ�
���Ƃ���A���ꂪ�p�^���ʂ������Ă��邱�Ƃ��킩��D
�}5�͐ԓ��ʊO�̎��͐��̌`�����邽�߂ɁA�q�ߖʂɓ��e�������̂ł���D
���͐��̊����������]���t�߂ł����񂾂񂫂��Ȃ��čs��
�l�q���킩��D

\begin{figure}[tbhp]  % fig 4
\begin{center}
\epsfxsize=10cm
\epsfbox{fig4.eps}
\end{center}
\caption{%
�ԓ��ʓ��� $0 \le r \le 4\,r_{A,WD}$ �̗̈�ł̎��͐��i�����j�Ɨ����i�j���j�D
�R�̉~�́A�}3b�Ɏ����ꂽ�R�̗ՊE�ʂ̈ʒu��\���Ă���D
}
\end{figure}

\subsection*{3.4. �����ł̉��̑Q�ߓI�U�镑��}
%
���ɁA������\�������ł̉��̐U�镑���ɂ��čl����D
(\ref{3.8})����o�Ȍ^�̈� $r > \rout$ �ŊO�Ɍ������Đϕ�����ƁA
���͐��̎��]�������ւ̕Ό��͂ǂ�ǂ񉸂₩�ɂȂ邪�A������
�~�܂邱�Ƃ͂Ȃ��D�}6�͉��̍\�����A�ʏ�̋ɍ��W $(r,\,\theta)$ �łȂ��A
�L�� $r$ �͈̔͂�������悤�� $(\log r,\,\theta)$ �ɂ��Ď��������̂ł���D
(���]���t�߂ł� $\theta$ �� $\theta\sim 1/r$ �̂悤�Ɍ�������̂ŁA
$\varpi$ �͂قڈ��ł���D������������A���Ɍ������Ď������čs���̂́A
$r$ �ɂ��đΐ��I�Ȗڐ�����g�������߂ł���D�j�@
�������ˏ�($\theta\rightarrow$ �萔)�ɋ߂Â��l���͑S�������Ȃ��D
\par
���̂��̐U�镑���́A���̂悤�Ȕ���͓I�����Œ��ׂ邱�Ƃ��ł���D
���l���ɂ��΁A$r$ �̑傫�ȂƂ���ł́A���̐U�镑���� $\theta_0$ �̒l�ɂ��R��
��������D�����i�ɕt�߁j�̗̈� $0 \le \theta_0 \le \theta_{0a}$ �ł́A
$B_\phi$ �ɂ�钣�͂ƈ��͂������Ƃ��ɕ����Ɍ����A���ꂪ�K�X�̈��͂Ŏx�����Ă���D
���ԗ̈� $\theta_0a \le \theta_0 \le \theta_{0b}$ �ł́A$B_\phi$ �ɂ�钣�͂ƈ��͂�
�ނ荇���A�K�X�̈��͂̌��ʂ͖����ł���D�O���i�ԓ��t�߁j�̗̈�
$\theta_{0b} \le \theta_0 \le \pi /2$ �ł́A$B_\phi$ �ɂ��Ɍ����̗͂��A
����̊��� $\rho (\bmV\cdot\NABLA )\bmV$ �ƒނ荇���Ă���D
�i����������΁A���ꂪ���C�͂ŋȂ����Ă���D�j�@
�����ƒ��ԗ̈�ł� $\partial\theta /\partial r$ �͖����ł��A
�����ׂ��������� $\partial /\partial\theta_0$ �݂̂��܂ޏ������������
�A������D�O���̗̈�ł́A$\theta \simeq \pi/2 + f(r)(\theta_0 -\pi /2)$ 
�̂悤�ȕϐ������̉�������ł���D�����R�̗̈�̋ߎ�����
$\theta_{0a}$ �� $\theta_{0b}$ �łȂ���΁A$\theta_0$ �̑S�̈�ɂ킽��
�Q�߉���������D
\par

\begin{figure}[tbhp]  % fig 5
\begin{center}
\epsfxsize=10cm
\epsfbox{fig5.eps}
\end{center}
\caption{%
�q�ߖʓ��� $0 \le r \le 50\,r_{A,WD}$ �͈̔͂ɂ��āA�点���̎��͐���
�`�������́D�������ԓ��ʂ������D
���͐��́A����q�ɂȂ����~����̎��C�Ȗ�
($\theta_0=10^\circ$, $30^\circ$, $50^\circ$, $70^\circ$�j�̏�ɕ`����Ă���D
�������A�`����Ă���̂́A�}�̍������ŉ�X���牓������A�Ɏ��̗��������A
�}�̉E�����ŉ�X�Ɍ������Ă��鎥�͐��݂̂ł���D���ʂ���O���𑖂鎥�͐��́A
�d�Ȃ荇��������邽�ߕ`����Ă��Ȃ��D���̎��C�Ȗʂ̔w��ɂ��鎥�C�Ȗʂ�
�����Ă���D
}
\end{figure}

���̂悤�Ȃ��͂��̎葱���ɂ��ȉ��̂悤�Ȍ��ʂ�������D
�p $\theta_{0a}$ �� $\theta_{0a} \sim (\log r)^{-1/2} \ll 1$ �̂悤�ɕω�����D
�Ɉ� $0 \le \theta_0 \le \theta_{0a}$ �ł́A���x�� $r$ �Ƌ��ɔ��ɂ������ƁA
$\rho \sim (\log r)^{-1/(\gamma -1)}$ �̂悤�Ɍ�������D���̍����x�̃K�X��
���͂� $B_\phi$ �ɂ��s���`���ʂ̗͂ƒނ荇���D���̓����̈�̔��a��
�ΐ��I�ɂ����������Ȃ��̂ŁA����͂قƂ�ǉ~����ł���D
�|���C�_������̈��͂̓K�X�̈��͂ɔ�ׂĖ����ł���D�Ȃ��Ȃ�A
$p \sim (\log r)^{-\gamma /(\gamma -1)}$ �ł���̂ɑ΂���
$B_p^2 \sim (\log r)^{-2/(\gamma -1)}$ ������ł���D
���̍����x�̋Ɉ撌�󗬂͓T�^�I�ȃs���`�v���Y�}�̔z�u�����Ă���A
�\�[�Z�[�W�s����A�L���N�s���肪�N����\��������D
���������̒��󗬂̐c�̕����ł� $B_p^2 > B_\phi^2$ �ł���̂ŁA
$B_p$ �̈��艻��p���d�v�ł��邩������Ȃ��D
�p $\theta_{0b}$ �� $\pi /2$ �ɋ߂��A$\pi /2 - \theta_{0b} \sim (\log r)^{-1} \ll 1$ 
�̂悤�ɕω�����D���ԗ̈�ƊO���̗̈� $\theta_{0a} \le \theta_0 \le \pi /2$ �ł́A
$\theta$ �� $\theta\sim r^{-\nu}$ �̂悤�ɕω�����D�����ŁA�ׂ��w�� $\nu (\theta_0)$ 
�́A���]���ߖT�ł͂ق�1�ŁA�ԓ��߂��ł͂ق�0�ł���D
���̑Q�ߓI�U�镑���� $\theta \sim r^{-\nu}$ �ł���Ƃ������Ƃ́A
$r$ �̔��ɑ傫�Ȓl�ɑ΂��āA
$\theta_0 = \pi /2$ (�ԓ�)�̂����߂��������āA
$\theta$ �͂قڃ[�����Ƃ������Ƃł���D
�܂�A�قƂ�ǂ��ׂĂ̎��͐������]���̕����ɋȂ�����D
���x�� $\rho \sim r^{-2+2\nu}/\log r$ �̂悤�ɋ����Ƌ��Ɍ�������D
�]���Đԓ��ʂł̖��x�͎��]����̖��x��肸���Ə������Ȃ�D
\par
��ɐ����������̑Q�ߓI�U�镑���́A$B_\phi$ �̑����ɂ�铖�R�̌��ʂł���D
�]���āA�ǂ�Ȃ� $\OMEGA$ ���������Ă��A�����͍ŏI�I�ɂ͎��]�������ɑ��˂���D
$\OMEGA =0$ ($B_\phi =0$)�̐������f���ł́A����͐����牓������ɂ��
���ˏ�ɂȂ邪�A����͉�X�� $\OMEGA \ne 0$ �̃��f���Ƃ͉�R�ƈقȂ�D
����ɁA�x���k�[�C�̎�(\ref{3.5})����A�����̏I�[���x $V_\infty$ ��
\begin{equation}
   \frac{V_\infty^2}{2} = E + \OMEGA^2\varpi_A^2
 \biggl[ 1 - \frac{ (\rho\varpi^2 )_\infty}{(\rho\varpi^2)_A }
 \biggr] \label{3.16} % 36
\end{equation}
�ŗ^�����邱�Ƃ��킩��D���������������ŕ��ˏ�ɂȂ�Ȃ�A
$(\rho\varpi^2)_\infty$ �͂���L���̒l�Ɏ�������D
�i���̎���͂P������Weber-Davis���f���ł������ł���D�j�@
��X�̃��f���ł́A�Q�߉��ɂ�� $\rho\varpi^2 \sim 1/\log r\rightarrow 0$ 
�ł��邱�Ƃ��킩��A�]����
\begin{equation}
 \frac{V_\infty^2}{2} = E + \OMEGA^2\varpi_A^2
 \label{3.17}  % 37
\end{equation}
�ƂȂ�D���� $R=(\rho\varpi^2)_\infty /(\rho\varpi^2)_A$ �Ƃ�����́A
�������ł̃G�l���M�[���x�̔�A
$\frac{1}{2} \rho V^2:B^2/8\pi = E + \OMEGA^2\varpi_A^2(1-R):
\OMEGA^2\varpi_A^2 R$ �ɂ������D
���̊p�^���ʂ̌����́A�������^�яo���p�^���ʂƁA���C�g���N�ɂ��u���[�L��
�����̘a�ł���D���̂Q�̌��ʂ̔�� $1-R:R$ �ł���D
Weber and Davis (1967)�̑��z�����f���ł� $R\simeq 3/4$ �ł��邪�A
��X�̉�͂ł́A���̎��]��x������̂ɉʂ������C�g���N�̖����́A
�����ɍs���ɂꌸ������D
($r\rightarrow\infty$ �ɑ΂��� $R\rightarrow 0$ �ł���D�j

\begin{figure}[tbhp]  % fig 6
\begin{center}
\epsfxsize=10cm
\epsfbox{fig6.eps}
\end{center}
\caption{%
�����ł̃|���C�_��������������߁A$r$ �ɂ��đΐ��ڐ��ŕ`�������͐��D
����͏�Ɏ��]���Ɍ������ċȂ����čs���D$r=10^6r_{A,WD}$ �̋����ł́A
$\theta_0 \le 50^\circ$ �ɂ��������͐��� $\theta \le 5^\circ$ �̉~���̒���
���˂��Ă���D
}
\end{figure}

\section*{4. �܂Ƃ߂ƍl�@}
%
���̘_���ł́A�P������Weber-Davis���f���̎��R�Ȋg���Ƃ��āA
������������A��펲�Ώ̂̐����������߂���@���������D
���͐��ɉ������������́A���x�ɑ΂���㐔�������i�x���k�[�C�̎��j
�ɂ���ė^������D���̂Ƃ��Aslow mode��fast mode�̂Q�̗ՊE�_��
�����D���͐��̌`�́A��������؂�����̗͂̒ނ荇�������������悤��
���߂��Ȃ���΂Ȃ�Ȃ��D���̏����́A����̗���֐� $a$ �ɑ΂���
�Q�K�̕Δ����������ɋA������D����������ɂ͂Q�̋��E�������K�v�ł���D
�ЂƂ͓������E�i�R���i�̒ꕔ�j�ɂ����ė^�����A������ $a$ �̒l��
�w�肳���D������̏����́A$a$ �̂Q�K�����ɂ�����W�����[���ɂȂ�A
Alfv\'en�ʂɂ����ė^������D$a$ �̂Q�K���������炩�Ȋ֐��ƂȂ邽�߂ɂ́A
�����Ń��s�^���̒藝�ɂ���������������Ȃ���΂Ȃ�Ȃ��D
�ȏ�̒莮���ɉ��������l��@������A���̗Ⴊ��R�͂Ɏ����ꂽ�D
���̊�{�I�Ȑ����́A�����̒��ő������ꂽ�g���C�_������ɂ��A
����̋ɕ����ւ̕Ό��ł���D
�����ł̉��̑Q�ߓI�U�镑������A�قƂ�ǂ��ׂĂ̎��͐���
���]���̕����ɋȂ����邱�Ƃ����������D���Ȃ킿�A
����͑��˂���i�R�����[�g�����j�D
�����͎��]���̋ߖT�ł͂قډ~����ł���A�g���C�_������̃s���`����
�ɂ�荂���x�̃K�X�������߂�ꂽ����̔z�u�ƂȂ�D
\par
��X�̉�@��Pneuman and Kopp (1971)�̂��̂Ɣ�ׂĂ݂�ƁA
�ނ�̉�͂ł͈ꌩAlfv\'en���ٓ_������Ă��Ȃ��̂��傫�ȍ���ł���D
��X��(\ref{3.9})���͎��̂悤�Ȍ`�ɏ�����D
\begin{equation}
\NABLA^2 a = \frac{V_p^2}{V_{Ap}^2} \NABLA^2 a 
 + \frac{\NABLA\NABLA a:\NABLA a \NABLA a}{(\NABLA a)^2}
 \frac{V_p^2 (V_p^2/V_{Ap}^2 -1)}{V_p^4 -V_p^2 (C_S^2 +V_{Ap}^2 + V_{A\phi}^2 )
   +C_S^2 V_{Ap}^2} + 4\pi\varpi^2 g �D \label{4.1} % 38
\end{equation}
�ނ�̔�����@�ł́A(\ref{4.1})���̉E�ӂ�� $n$ ��ڂ̋ߎ���
$a_n$ �ɂ��Čv�Z���A
(\ref{4.1})�����|�A�\���������Ƃ��ĉ����� $(n+1)$ ��ڂ̋ߎ��� $a_{n+1}$ ��
���߂Ă���D
���̕��@�ł� $V_p =V_{Ap}$ �̓��ٓ_�͈ꌩ���ł���D�Ȃ��Ȃ�
$(1-V_p^2/V_{Ap}^2)\NABLA^2 a$ �̍����Q�ɕ������A
$\NABLA^2 a_{n+1}$ �͍��ӂɎc��A$V_p^2/V_{Ap}^2 \NABLA^2 a_n$ ��
�E�ӂɔ�Ď����Ƃ��Ĉڂ邩��ł���D
���ٓ_�ł̐����������Ȃ��Ȃ����ɁA�ނ�͎��͐�����������
���ˏ�ɂȂ�Ƃ����������ۂ����D
�ނ�̕��@�Ɖ�X�̕��@�Ƃ̈Ⴂ���A�P�ɐ��l�Z�@�̍������Ȃ̂��ǂ���
���m�肽���_�ł���D
Okamoto(1975) ���w�E�����悤�ɁA�܂���R�͂ł̋c�_�����
���炩�Ȃ悤�ɁA�ނ�̒莮���ł�
Alfv\'en���ٓ_�ł̔񐳑��ȉ������O����������Ȃ��̂ŁA
�B��̐����ȉ������߂邱�Ƃ͂ł��Ȃ��͂��ł���D
�ނ�̗^��������Alfv\'en�_�Ŋ��炩�Ɍ����邪�A
�����@�̉��͏�������̎����Ɉˑ�����\��������̂ŁA
���炩�ȏ���������o���������߂ɁA���炩�ȉ�������ꂽ�Ƃ���
�\��������D
������ɂ���A�ނ�̕��@�� $\OMEGA\ne 0$ �ł͎g���Ȃ��D
�Ȃ��Ȃ�A���̏ꍇ���͖������ŕ��ˏ�ɂȂ�Ȃ�����ł���D
\par
��X�̉�@�ɂ����w�I�s�m����������D
���ɁA���������̈� $\rin \le r \le \rout$ �ɂ����ċ��E�l���Ƃ��ĉ�����Ă���D
���̗̈�ɂ͑o�Ȍ^�̈���܂܂�A����܂œ������ł͓��ɖ��͋N����Ȃ��������A
�{�������ƌ����ȉ����������邩������Ȃ��D
���ɁA�O���̋��E������ $r_A$ �ŗ^�����Ă��邽�߁A��X�̕��@��
�ȉ~�^�̈� $r_A < r < r_f$ �ł�Cauchy�����l���������Ă���悤�Ɍ�����D
�悭�m���Ă���悤�ɁA����͕s�K�؂Ȗ��ݒ�iill-posed problem�j�ł���A
��@���s����ɂȂ肤��D
�����I�ɂ��A�s���肪�ȉ��̂悤�ɋN����Ɨ\�z�����D
���ʗ��� [���邢��(\ref{3.2})���� $\alpha(a)$] ���Œ肳��Ă���Ɖ��肷��D
�����̈� $r_A \le r \le r_f$ �ɂ����āA�ׂ荇�����͐��������ڋ߂�����
����ƁA�Q�{�̎��͐��̊Ԃ̗����͑������A���x�͌�������D�]���Ĉ��͂�
�Q�{�̎��͐�������ɐڋ߂����悤�Ƃ���̂ŁA������͐�������ł��낤�D
���������ۂ̌v�Z�ł́A���̂悤�ȐU�镑���͌���������Ȃ������D�Ȃ��Ȃ�A
$\alpha (a)$ �͎��ۂ͌Œ肳��Ă͂��炸�A���͐��̌`�̕ω��ɉ����ĕς�邩��
�ł���D���ۂɋN���邱�Ƃ́A�����ǂ����k�����ƁA���H���ׂ��Ȃ�A�����͗}�����A
���x�͑�������D�������̌^�i�ȉ~�^���o�Ȍ^���j�͋Ǐ��I�Ȑ����ł���A
�������̔�Ǐ��I�ȃt�B�[�h�o�b�N�̎d�g�݂��\���ɕ\�����̂ł͂Ȃ��ƍl������D
����A���x�֐� [���邢�� $\alpha (a)$] ���Œ肵��(\ref{3.8})�����������Ƃ�
���݂��Ƃ���A�m���ɉ�X�̉�@�͑ȉ~�^�̈� $r_A < r < r_f$ �ŕs����ƂȂ����D
�]���āA���͐��ɉ����Ă̐������ƁA���͐������؂�����̗͂̒ނ荇���Ƃ�
�����ɉ����˂΂Ȃ炸�A�Q�����݂ɉ����悤�Ȃ��Ƃ͂ł��Ȃ��D
\par

\begin{figure}[tbhp]  % fig 7
\begin{center}
\epsfxsize=10cm
\epsfbox{fig7.eps}
\end{center}
\caption{%
�΂߉�]�̂����d���w�̍\���D
�X�v���b�g�E���m�|�[���E���f���ł͂ǂ̎��C�ʂ��d���w�ƒu�������邱�Ƃ��ł���̂ŁA
���̂悤�Ȗʂ�}3--6�������Ă��Ă���D
}
\end{figure}

�Ō�ɁA��X�̃��f���̊ȒP�ȉ��p��Ƃ��āA�΂߉�]��
�i���]���ɑ΂��������X���Ă��鐯�j����̐������l���Ă݂悤�D
������񎥋C�P�Ɏq�ɂ͎����͂Ȃ��̂ł��邪�A�X�v���b�g�E���m�|�[���E���f����
�Ӗ�����Ƃ���́A
�ǂ�Ȏ��C�ʂ��A�����̎��ɂ�������d���w�ƍl���Ă悢�Ƃ������Ƃł���D
�}7�́A���̋߂��Őԓ��ɑ΂��� $10^\circ$ �X�������C�ʂ�\���A������
�u�o�����[�i�̃X�J�[�g�v�̗l���������Ă���D�����܂ł��Ȃ��A�΂߉�]�̂̈�ʓI��
�����͂R�����̃��f����K�v�Ƃ���D
\par
��X�̃��f�������ǂ��鎟�̃X�e�b�v�́A��茻���I�ȃ��f�����\�z���邽�߂ɁA
����̂Ȃ��A��������̈���܂ނ悤�ɂ��邱�Ƃł���D
������̋����[�����́A����̕��@���A����Ŋт��ꂽ�~���~�Ղɉ��p���邱��
�ł���D�~���~�Ղ̖��ł́A���ȑ������̌�����Blandford and Payne (1982)��ɂ����
�Ȃ���Ă��邪�A��X�̕��@�ł͂����ƈ�ʓI�ȏ������ŉ������߂邱�Ƃ��ł���D
�����̉ۑ�͍���̘_���ɂ����Ď��g�ޗ\��ł���D
\bigbreak
\noindent
�ӎ� \\
�����̗L�v�ȋc�_�����Ē�����H.~C.~Spruit���m�A
�_���̌��e�𒍈Ӑ[���ǂ�Œ�����H.~U.~Schmidt�A
F.~Meyer�AU.~Anzer�̊e���Ɋ��ӂ���D
���҂��}�b�N�X�v�����N�����w�E�V�̕����w�������ɑ؍݂����ۂɗ^����ꂽ
�ǍD�Ȍ������ɂ���R.~Kippenhahn�����Ɋ��ӂ���D
���̘_���̐��l�v�Z�̓K�[�q���N�ɂ���}�b�N�X�v�����N������
�R���s���[�^�Z���^�[��CRAY-1�ɂ���čs��ꂽ�D

\bigskip
\section*{�Q�l����}
\noindent
Belcher, J.~W., MacGregor, K.~B.: 1976, {\it Astrophys.\ J.} {\bf 210}, 498
\par\noindent
Blandford, R.~D., Payne, D.~G.: 1982,
   {\it Monthly\ Notices\ Roy.\ Astron.\ Soc.} {\bf 199}, 883
\par\noindent
Heinemann, M., Olbert, S.: 1978, {\it J.\ Geophys.\ Res.} {\bf 83}, 2457
\par\noindent
Mestel, L.: 1961, {\it Monthly\ Notices\ Roy.\ Astron.\ Soc.} {\bf 122}, 473
\par\noindent
Mestel, L.: 1967, in {\it Plasma Astrophysics}, ed.\ P.~A.~Sturrock,
Academic Press, New York, p.~185
\par\noindent
Mestel, L.: 1968, {\it Monthly\ Notices\ Roy.\ Astron.\ Soc.} {\bf 138}, 359
\par\noindent
Nerney, S.~F., Suess, S.~T.:1975, {\it Astrophys.\ J.} {\bf 196}, 837
\par\noindent
Okamoto, I.: 1974, {\it Monthly\ Notices\ Roy.\ Astron.\ Soc.} {\bf 166}, 683
\par\noindent
Okamoto, I.: 1975, {\it Monthly\ Notices\ Roy.\ Astron.\ Soc.} {\bf 173}, 357
\par\noindent
Parker, E.~N.: 1958, {\it Astrophys.\ J.} {\bf 128}, 664
\par\noindent
Parker, E.~N.: 1963, {\it Interplanetary Dynamical Processes}, Interscience,
     p.~51
\par\noindent
Pneuman, G.~W., Kopp, R.~A.: 1971, {\it Solar\ Phys.} {\bf 18}, 258
\par\noindent
Schatzman, E.: 1962, {\it Ann.\ Astrophys.} {\bf 25}, 18
\par\noindent
Suess, S.~T.: 1972, {\it J.\ Geophys.\ Res.} {\bf 77}, 567
\par\noindent
Weber, E.~J., Davis, L., Jr.: 1967, {\it Astrophys.\ J.} {\bf 148}, 217
\par\noindent
Winge, C.~R., Jr., Coleman, P.~J., Jr.: 1974,
   {\it Planetary Space\ Sci.} {\bf 22}, 439
\par\noindent
Yeh, T.: 1976, {\it Astrophys.\ J.} {\bf 206}, 768
\end{document}
