\documentstyle[12pt]{jarticle}
%
\oddsidemargin 0.0cm
\evensidemargin -1.0cm
\topmargin 0.0cm
%
\textwidth 16.8cm
\textheight 22.5cm
\footheight 0.5cm
\footskip 1.2cm
%
%\setcounter{page}{77}
%
\newcommand{\re}{\vspace{0.15cm}\par\hangindent=0.7cm\noindent}
\newcommand{\btheta}{\mbox{\boldmath $\theta$}}
\newcommand{\bomega}{\mbox{\boldmath $\omega$}}
%\newcommand{\re}{\vspace{0.3cm}\par\hangindent=0.7cm\noindent}
%
\begin{document}
\setlength{\baselineskip}{3ex}
%\setlength{\baselineskip}{5ex}
%
\begin{flushright}
2002.10.22
\end{flushright}

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\Large
{\bf 2. KAM�����ʸ� -- Henon-Heiles}
}
\end{center}

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1.1 ����}

\noindent
{\bf 1.2 KAM�����ȥ�����}

\noindent
{\bf 1.3 ����Ū����} 

\noindent
({\bf 1.4 ����Ū����})


\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ����ʸ��}

\re
1. ë����δ��
��ŷ���ϳؤȥϥߥ�ȥ��ϳطϡ�, �������ϸ����潸��
�ֶ����ʬ�ϥߥ�ȥ�Ϥο����ȱ��ѡ�, 2002ǯ3��4����6��. 

\re
2. M. Henon \& C. Heiles, \\
The applicability of the third integral of motion: 
some numerical experiments, \\
{\it Astron. J.} {\bf 69}, 73-79(1964)

\re
3. �ƣ����ֲ����ϳعֵ��ס�����ɾ���ҡ�1991. 


\re
4. Alain Goriely, Integrability and Nonintegrability of Dynamical
Systems, World Scientific, 2001.

\noindent
5. K. Petersen, Ergodic Theory, Cambridge University Press, 1983.  



\newpage
\vspace{0.3cm}
\re
{\bf 1.1. ����}\\
ŷʸ�ؤΤϤ��ޤ�, -- ����ʸ���ˤ��ŷ�Τα�ư��\\
���ץ顼, �˥塼�ȥ�, $\ldots$ -- ����ŷʸ�ؤΤϤ��ޤ�, �˥塼�ȥ��ϳ�\\
19����������Ӥ���ʸ� -- �˥塼�ȥ��ϳ�Ū�����Ѥμ����Ӽ�\\
KAM���� -- ����ɤ�\\

\re
20����ŷ���ϳؤκ��������\\
����Ū�ˤ�KAM������ \\
���ס��ȥ˥��ϡ�ŷ���ϳؤ˸¤餺20��������κǹ�����̤ΤҤȤ�

\vspace{0.3cm}
������4����, ��ҤϿ������������򤷤�. ���������ܼ��Ǥ��뤳��, 
���������ʤ��ʤ�������Τ�����ʬ�����Ǥ��ޤ����Ȥ˵��Ť��Ƥ���. 

\re
�衼���å�\\
�������֥顼��(Tycho Brahe)(1546 �� 1601)�δ�¬\\
���ץ顼(J. Kepler)(1571 �� 1627): 3ˡ§ \\
�˥塼�ȥ�(I. Newton)(1643 �� 1727): ��ư������\\
Laplace(1749 �� 1827): ��ץ饹����(1814): \\

\re
�����Ѵ�����ư��

\re
��ư����ʬ�򸫤Ĥ���Ф�������ʤ�. \\
$f(q_1, q_2, \ldots, p_1, p_2, \ldots; t) = ����$

\vspace{0.3cm}
\re
19����������Ӥ���ʸ�\\
Bruns������(1887): ��ŵ��ʬ�ϻ��������ͣ��������ʬ�Ǥ���. \\
Poincar\'e������(1890). ���»�������ˤ�, �䥳����ʬ����Ӥ����Ʊ
������ʬ�������
$$
   \Phi = \Phi_0 + \mu \Phi_1 + \mu^2 \Phi_2 + \ldots = ����
$$
�η���(����)��ʬ��¸�ߤ��ʤ�. 


\vspace{0.5cm}
\re
Ǯ����, �ż�������, �����ϳ�\\
����Ҥ��ɤ줿������̤�������Ū�ˤʤä���\\
�ݥ��󥫥�β�����\\
�ܥ�ĥޥ�(1844��1906), ���֥�(1839��1903)�������ϳ�\\
���르���ɲ���: ����ʿ��$=$�����ʿ�� $\leftarrow$ 
                ñ��ε�ƻ������֤����Ԥ���\\
�२�르���ɲ���: �Ƶ�ƻ������������̩\\
\hspace*{0.5cm} ������, ���β��⤫��ϻ���ʿ��$=$�����ʿ�ѤϽФʤ�!\\
\hspace*{0.5cm} (Pertersen(1983), metric indecomposability�ʤ�OK) \\
\hspace*{0.5cm} Sinai(1963)�ˤ�륨�르���ɷϤ�¸�߾���\\
�С�����(1884��1944)�Υ��르��������(1931). \\

\newpage
\noindent
{\bf 1.2 KAM�����ȥ�����}

\vspace{0.3cm}
\hspace*{3.7cm}KAM���� \\
\hspace*{4.8cm}$\downarrow$

\vspace{0.3cm}
\begin{tabular}{cc|c|ccccc}
��ͳ��         \\
(����)       \\
  & (��§Ū)   & &  & {\bf �Ե�§������}$\rightarrow$ &&&  randomness\\
  &  ����ʬ    & & & $\leftarrow$ ������ $\rightarrow$ & (ʣ����) 
& $\ldots$\\
\hline
 1   &  �������� &&   $-$  & $-$ & $-$ & $-$    & $-$  \\
$2$         &    && 2�������� & $-$ & $-$ & $-$ &  $-$ \\
$2$         &    &K& Henon\&Heiles�� & $-$ & $-$ & $-$ &  $-$ \\
$2$         &    && ���»������� & $-$ & $-$ & $-$ &  $-$ \\
$2 \sim 9$  &    &A& ��������     & $-$ & $-$ & $-$ &  $-$ \\
$30$        &    && ���۷�9���� &  & $-$ & $-$ & $-$  \\
$\downarrow$ &   &M&  &  $N$������  & $-$ & $-$ & $-$  \\
$\downarrow$ &   &&  &  ($N > 10$)\\
$\downarrow$ &   &��&\\
 ��          &   &&  &  & ��ϡ���   & $-$ & $-$  \\
$\downarrow$ &   &��&  &  &  ���Ρ�Ǿ  & $-$ & $-$  \\
$\downarrow$ &����ʬ������  &&  &  &  $\ldots$ & $\ldots$\\
$\infty$ & ����ʬ�� && ����ȥ�? &  &  &  $\rightarrow$  &   �����ϳ�\\
\hline
\end{tabular}

\re
�������Ȥ�\\
�ֺ���ʣ���١�the maximal complexity proper to a particular 
dimension �����ꤽ��. \\
�ޤ��ϡֺ��祫�����١�

\vspace{0.3cm}
\re
����������: \\
�ݥ��󥫥�ˤ�����»�������������ʬ���ξ���\\
�ݥ��󥫥�δ���������\\
Sitnikov�ˤ���ʱ����»�������ο�ư���¸��


\newpage
\noindent
{\bf 1.3 ����Ū����}

\re
$\bullet$ Henon \& Heiles, \\
The applicability of the third integral of motion: 
some numerical experiments, \\
{\it Astron. J.} {\bf 69}, 73-79(1964)

$\bullet$ KAM�����������ˤ褤. 

$\bullet$ �����̡�������Ƴ��

$\bullet$ ���θ�θ���ο���

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{�����ư��}

�����Ǥα�ư���軰��ʬ��¸�ߤ�����. ��Ͻ��Ͼ�ϼ��о�. ������ɸ
$R, \theta, z$��, ���Υݥƥ󥷥���
$$
    U_g (R,z)
$$

\re
����: �����$(R, \theta, z, \dot{R}, \dot{\theta}, \dot{z})$�ǰ��ܤ�
��ƻ�����Ԥ�������ΰ�Ϥɤ���\\
(���르������������)?\\
ŷ�Τε��פ�, 5�Ĥα�ư��ʬ�Ƿ�ޤ�Ķ���̤θ���Ȥ��Ʒ�ޤ�. \\
���פʤΤ�isolating integral(��Ω��ʬ). $\rightarrow$ ��ʬ�Ȥ�Ф��. \\
���ͥ륮����ʬ��$z$���ޤ��γѱ�ư����ʬ���Τ��Ƥ���.
$$ \begin{array}{l}
  I_1 = U_g(R,z) + 
\frac{1}{2}(\dot{R}^2 + R^2 \dot{\theta}^2 + \dot{z}^2), \\
  I_2 = R^2 \dot{\theta}
   \end{array}
$$
$I_4, I_5$��non-isolating, �Ǥ�$I_3$��?\\
$I_3$��non-isolating�ʤ�, ���۶�˵������®��ʬ����ư������������������Ʊ��.\\ 
��¬�ˤ���, ư������ : ��������$=2:1$. 

\begin{center}
\fbox{��ʬ�������ư��������ˤʤ�}
\end{center}

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\large \S 2. \underline{��ä�����}}
$$
  U(R,z) = U_g(R,z) + \frac{C_2^2}{2R^2}
$$
��ư������
$$ \begin{array}{ll}
  \dot{R} = \displaystyle - \frac{\partial U}{\partial R}, & 
  \dot{z} = \displaystyle - \frac{\partial U}{\partial z}
   \end{array}
$$
$(R,z)$ʿ����α�ư. $(R,z)$��$(x,y)$�Ƚ�. 
$$
   I_1 = U(x,y) + \frac{1}{2}(\dot{x}^2+ \dot{y}^2)
$$
���������ʬ�ϥ��ͥ륮����ʬ(ñ�̼��̤�����). ������ʬ$I_2$��? 

����֤�4����$(x,y,\dot{x}, \dot{y})$���֤���3����$(x,y,(E,) \dot{y})$��
�� with
$$
   U(x,y) + \frac{1}{2}(\dot{x}^2+ \dot{y}^2) = E   \eqno(7)
$$
��ư��ǽ�ΰ��$\dot{x}^2 \geq 0$���
$$ \begin{array}{lcl}
\frac{1}{2} \dot{x}^2 = E - U(x,y) - \frac{1}{2}\dot{y}^2 \geq 0 & 
\rightarrow & 
   U(x,y) + \frac{1}{2}\dot{y}^2 \leq E
   \end{array}  \eqno(8)
$$

\re
case i) �ۤ��˸�Ω��ʬ���ʤ���е��פ��ΰ�(8)�����Ԥ����Ϥ�. \\
����򥨥르����Ū�Ȥ������Ȥˤ���. 

\re
case ii) ������ʬ�������, ���פ�����֤Ƕ��̾�ˤ���. $\rightarrow$ 
����ʬ. 

\vspace{0.3cm}
\re
{\bf �����̤�Ƴ��}\\
���פ�$x=0$�̤򲼤�����($\dot{x}>0$��)���ڤ���̤���������. \\ 
���פϲ��٤ⲣ�ڤ��ǽ��������. ��������$P_1, P_2, \ldots$�Ƚ�.\\ 
$x=0$�̤� $(y,\dot{y})$�̤Ǥ���. 
$$ \begin{array}{ll}
   x = 0, & \dot{x} > 0
   \end{array}
$$
���פ�̵�»��֤ˤ錄�ä����פ����, ̵�¸Ĥ�����$P_1, P_2, \ldots$��
������. 

\re
������ʬ \\
�ʤ�. $\rightarrow$ ��
$$
   U(0,y) + \frac{1}{2} \dot{y}^2 \leq E   \eqno(10)
$$
���������Ԥ���. ���ΤˤϤ櫓�ؤ��Ƥʤ������Ĥ��ޤ��. \\ 
����. $\rightarrow$ ����Ƕ������ư��. \\

\re
������ʬ��¸�ߡ���¸�ߤ�Ƚ���� \\
�����̤�����ư���򸫤�Ф褤. 2�����ΰ�����뤫, ������ˤ��뤫. 

\re
������Ƴ��\\
$P_i$����$P_{i+1}$�ؤΰܹԤ�{\bf ����}�ȹͤ��뤳�Ȥ��Ǥ���.\\
$U(x,y)$��$E$����ޤ�����ΰܹԤϷ�ޤ�. $\rightarrow$ ��������ޤ�.\\ 
$P_i = (y, \dot{y}, x=0, \dot{x} \leftarrow (7))$\\
������������¸.


\vspace{0.3cm}
\noindent
{\large \S 3. \underline{���}}

\re
�ݥƥ󥷥��\\
$$
   U(x,y) = \frac{1}{2} (x^2 + y^2 + 2x^2y - \frac{2}{3}y^3)
$$
����Ū��ñ�� $\rightarrow$ �׻�����ñ \\
�դˤ�������ʣ��\\
ŵ��Ū�ʾ�礫��. �⼡��ä��Ƥ�����Ū�˷�̤��Ѥ�ʤ�����. 

\vspace{0.3cm}
$x=0$�̤�$E=0$�α�ư��ǽ�ΰ��$y^2 - \frac{2}{3}y^3 + \dot{y}^2 = 0$, 
�Ĥޤ�$y^2(1 - \frac{2}{3}y) = \dot{y}^2$

\vspace{0.3cm}
\re
��ư������
$$ \begin{array}{l}
 \dot{x} = \displaystyle - \frac{\partial H}{\partial x} 
         = \displaystyle - \frac{\partial U}{\partial x}
         = - x - 2xy \\
 \dot{y} = \displaystyle - \frac{\partial H}{\partial y} 
         = \displaystyle - \frac{\partial U}{\partial y}
         = - y - x^2 + y^2\\
   \end{array}
$$

\vspace{0.3cm}
\re
��3������\\
���϶����˾�äƤ���. \\
�꼡�����϶�������ž����. \\
$O$���濴�Ȥ���ʿ�Ѳ�ž��$\alpha$����ޤ�.\\
��ž�Ѥ϶������Ȥ˰ۤʤ�. \\
$\alpha = 0.1143$(��ž)\\
$\alpha$�ϰ��̤�ͭ�����Ǥʤ�. ͭ�����ʤ鸵�����. 

\vspace{0.3cm}
\re
��4������\\
$E=\frac{1}{12} = 0.0833 \ldots$\\
�Ķ������Ȥ˵�ƻ�ϰۤʤ�. \\
���������ΰ������褦��.\\
��������ư����4��. ����ϰ���ʼ�����ƻ\\
�����θ�������ư��. ������԰���ʼ�����ƻ. 

\vspace{0.3cm}
\re
�ʾ夫�餹���������ʬ���ꤽ��. 

\vspace{0.3cm}
\re
��5������\\
$E= 0.12500$\\
�Ķ����Ϥ���. ���������ΰ�����ʤ�. \\
��Ω���ϤҤȤĤε�ƻ�Τ��. \\
�������ư���Ƥ���Ȥϻפ��ʤ�. �����ȶ����δ֤�Ǥ�����ư���Ƥ���褦
��.\\
\fbox{�����Ѳ�������������!}\\
{\bf �线}(a chain of island): 
���ˤ���5�Ĥ����Ʊ�쵰ƻ��°����. �����礫����ؤ�ķ��. \\
���Τ褦���繽¤�Ϥ��������ʤȤ����ˤ���. \\
�线����ο�$q$�Ͼ���. $q$�����礹���, ��Ͼ������ʤ�. \\
���$q$�����ΰ����������Ϥ�Ǥ���. \\
��Ω����ñ�Ȥ��Ķ�������ο���1���线������Ǥ���. \\
���르���ɵ�ƻ�Ϥʤ�. \\
ͽ��\\
\hspace*{1cm}(1) ��ο���̵��. \\
\hspace*{1cm}(2) ���٤Ƥ���ν���Ϥ�����Ȥ�����̩.\\
\hspace*{1cm}(3) ��������Ѥ�����櫓�ǤϤʤ�. \\
\hspace*{1cm}(4) �����δ֤˳�������. ������򥨥르���ɵ�ƻ��ư��. 

\vspace{0.3cm}
\re
��6������\\
$E=\frac{1}{6}= 0.16667$\\
����������ϵ޷���Ѥä�. \\
��Ω����Ʊ��ε�ƻ��°����.\\
�֥��르���ɡ׵�ƻ���ۤ������Ѥ�����. \\
���ϤǤ�����ư���ޤ��. \\
$y$����ˤ��ä��Ķ����Ͼ��Ǥ���. ���������԰��경����. \\
�Ĥ���礭������线�ˤʤä�(2�Ĥ��礫��ʤ�). \\
�ۤ��ˤ���ϸ����ʤ��ʤä�. \\
8�λ����ε�ƻ��, ���르����Ū�Ǥ�ʤ�, ��§Ū�Ǥ�ʤ�. 

\vspace{0.3cm}
\re
�ޤ������ΤޤȤ�\\
�ѥ�᡼���������٤��Ѳ��δ֤����꤬�ޤä����Ѳ�����. 


\vspace{0.3cm}
\re
�������������Ѥ�׻�����\\
������������°���뤫�ɤ���Ƚ�ꤹ��. \\
\hspace*{1cm}$d(P_1,P'_1) = 10^{-7}$����׻���Ϥ��. \\
\hspace*{1cm}25�������Ԥʤ�. \\
\hspace*{1cm}������Ʊ�Τε�Υ��������Υ��Ƥ����ж����ΰ�. \\
\hspace*{1cm}������Ʊ�Τε�Υ���ؿ��ؿ�Ū��Υ��Ƥ����Х��르����.
$$
   \mu = \sum_{i=1}^{25} (P_iP'_i�ε�Υ)^2
$$
\hspace*{1cm} $\mu < \mu_c$�ޤ���$\mu > \mu_c$ \\
\hspace*{1cm} $\mu = 10^{-12} \sim 10^{+1}$, $\mu_c \simeq 10^{-4}$.\\
��̤�Fig.7\\
\hspace*{1cm}�׳����ͥ륮��($E=0.11$)�ޤǶ�����������. \\
\hspace*{1cm}���θ�, �����ΰ�ϵ�®�˼��̤���. \\
\hspace*{1cm}��2��ʬ���׳����ͥ륮���ʲ��Ǥ�¸�ߤ��뤬����ʳ��Ǥ�, �ʤ�.
\\
$E=1/6$�ϥ��������ץ��ͥ륮��. �ݥƥ󥷥����ɤϤʤ��ʤ�. \\
�׳����ͥ륮��($<$)���������ץ��ͥ륮���δط���̤��. \\
$U = \frac{1}{2}(x^2+y^2-x^2y^2)$�ǤϾ�δط��ϵ�ž

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\large \S 4. \underline{�����θ���}}

\vspace{0.3cm}
\re
����\\
����: ��ʬ����������ʬ����ɬ�פ��ʤ�. 1000��®���ʤ�. \\
����: ŷʸ�ؤ�����������󤯤ʤ�. 

\vspace{0.3cm}
\re
������(������¸)
$$ \begin{array}{l}
  x_{i+1} = x_i + a(y_i - y_i^3) \\
  y_{i+1} = y_i - a(x_{i+1} - x_{i+1}^3)
   \end{array}  \eqno(14)
$$

\vspace{0.3cm}
\re
��8������\\
$a=1.6$\\
���Ƿ�������Ʊ��ε�ƻ, ��Ω���Ϥ��٤ƤҤȤĤε�ƻ��°����. \\
��5�α�¦�Ȥ褯���Ƥ���. �濴������线. �����Ƴ��Υ��르�����ΰ�. \\
������¸��������ʬ�������ˤ���ϳ�����Ȥۤ�Ʊ��. 

\vspace{0.3cm}
\re
��9������\\
��8�ξ�Ⱦʬ. ����åɥ������Ͽޤ����̤ˤ錄�ä�, �����Ȥ���. \\
1000������򷫤��֤�.\\
���르���ɵ�ƻ�Ϥ�����̵�±�˵��. ����ȯ����®��. $y^3$��ˤ��\\
1000�����᤯�ˤ�����($x^2+y^2<100$), �����Ǥ�. �����Ǥʤ���ж���.\\ 
���η�̤Ͽ�8��Ʊ��!


\vspace{0.3cm}
\re
��10, 11, 12������\\
��10��10�ܳ���. \\
\hspace*{1cm}�������礬�������󤢤�. \\
\hspace*{1cm}ʬ�ۤϥ�����. \\
\hspace*{1cm}�������ζ����ϥ��㡼�פʤΤ�, ������ζ����Ϥܤ䤱�Ƥ���.
\\
��11�Ͽ�10D��10�ܳ���.\\
\hspace*{1cm}�����ʾܺ٤��������褿. \\
\hspace*{1cm}̵�����礬���ä�, ��������̩�Ǥ�����. \\
��12�Ͽ�9B��10�ܳ���.\\
\hspace*{1cm}���̩�٤ϸ��ä�. \\
\hspace*{1cm}̩�ٸ��ۤ⤢��. \\
�ΰ�$C$�ˤ�0.002�Υ���åɤ���ʤ�.
\hspace*{1cm}���ʬ��̩�٤ϵ޷�˸���.


\vspace{0.3cm}
\noindent
{\large \S 4. \underline{����}}

\re
ñ��ʰ���Ū����, ���Ȥ���,\\ 
(a) �軰��ʬ�ϤĤͤ�¸�ߤ���, �Ȥ�,\\ 
(b) �軰��ʬ��¸�ߤ��ʤ��Ȥ�, \\
��������˾�ߤϤʤ��褦��. 

\re
���¤ξ���\\
�ݥƥ󥷥�뤬Ϳ����줿�Ȥ�, �ѱ�ư�̤ȥ��ͥ륮�������\\
���ͥ륮�������������, �軰��ʬ�ϤĤͤ�¸�ߤ���褦��.\\ 
(�����餯����Ͻ���ʬ�˲᤮�ʤ��Ǥ�������.)\\
���ͥ륮�����礭���ʤ��, �軰��ʬ��¸�ߤ����ΰ��̵���ξ����ʾ���
ʬ������¸�ߤ���. \\
�Ĥ�Υ��르�����ΰ�Ǥ��軰��ʬ��non-isolating�Ǥ���. \\
���르�����ΰ�����Ѥϥ��ͥ륮���ȤȤ�˵�®�����礹��. 

\vspace{0.3cm}
\re
����:\\
�����������˶�����? \\
�����Τΰ���Ū������?\\
��ƻ����ʬ�����˶�������뤳�ȤϤǤ��ʤ���?\\ 
����Ū���ץ������Ϥ����ؤ��񤷤���. 

\vspace{0.3cm}
\re
�����ǹͤ�������:\\
��ͳ��2���ϳط�\\
���»�������˶ᤤ

\vspace{1cm}
\noindent
��Ͽ: ���ݥƥ󥷥�����������. 

\vspace{0.3cm}
$x^2 + y^2 + 2x^2y - \frac{2}{3}y^3 = 2U(x,y) = ����$��$x$����ʬ����
$$
  2x + 2y y' + 4x y + 2x^2 y' - 2y^2 y' = 0
$$
��������������
$$ \begin{array}{lcl}
  y' ( y + x^2 - y^2 ) + x + 2xy = 0 , & {\rm or} & 
\displaystyle 
\frac{dy}{dx} = \displaystyle \frac{x + 2xy}{y^2 - y - x^2}
   \end{array}
$$
�ѥ�᡼����Ƴ������
$$ \begin{array}{ll}
\displaystyle \frac{dx}{dt} = y^2 - y - x^2, &
\displaystyle \frac{dy}{dt} = x + 2xy
   \end{array}
$$


\vspace{1cm}
\re
���߿ʹ��������

\re
��������\\
1������������\\
��ͳ���������

\re
���۷�\\
Wisdom -- ��ŷ�Τ˱�ư�ΰ�����\\
Ito\&Tanikawa -- Ĺ�����ͷ׻�
Tanikawa\&Ito -- ����������Ϥ���ʬ��

\re
�ͤ������\\
ɸ�����\\
Greene�ˤ��Last KAM����������\\

\re
Henon\&Heiles


\end{document}













