\documentstyle[12pt]{jarticle}
%
\oddsidemargin 0.0cm
\evensidemargin -1.0cm
\topmargin 0.0cm
%
\textwidth 16.8cm
\textheight 22.5cm
\footheight 0.5cm
\footskip 1.2cm
%
%\setcounter{page}{77}
%
\newcommand{\re}{\vspace{0.15cm}\par\hangindent=0.7cm\noindent}
\newcommand{\btheta}{\mbox{\boldmath $\theta$}}
\newcommand{\bomega}{\mbox{\boldmath $\omega$}}
%\newcommand{\re}{\vspace{0.3cm}\par\hangindent=0.7cm\noindent}
%
\begin{document}
\setlength{\baselineskip}{3ex}
%\setlength{\baselineskip}{5ex}
%
\begin{flushright}
2002.10.29
\end{flushright}

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\Large
{\bf 3. �ݥ��󥫥������(�����ʬ��)}
}
\end{center}

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 3.1 ��: ��ʬ��ǽ��}

\noindent
{\bf 3.2 �ݥ��󥫥������}

\noindent
{\bf 3.3 ���»����������������Ƴ��} 


\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ����ʸ��}

\re
1. Whittaker, E.T.\\
{\it A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and 
Rigid Bodies}, Cambridge University Press, 1952.\\
(���Ǥ�1904ǯ)

\re
2. �ƣ����, �ֲ����ϳعֵ��ס�����ɾ���ҡ�1991. 

\re
3. �������, 'Direct construction of polynomial first integrals for 
Hamiltonian systems with a two-dimensional homogeneous polynomial
potential', ���縦����ر����, �����ʸ, 2003. 

\vspace{0.5cm}
\re
20����ŷ���ϳؤκ��������\\
����Ū�ˤ�KAM������ \\
���ס��ȥ˥��ϡ�ŷ���ϳؤ˸¤餺20��������κǹ�����̤ΤҤȤ�

\re
�衼���å�\\
�������֥顼��(Tycho Brahe)(1546 �� 1601)�δ�¬\\
���ץ顼(J. Kepler)(1571 �� 1627): 3ˡ§ \\
�˥塼�ȥ�(I. Newton)(1643 �� 1727): ��ư������\\
Laplace(1749 �� 1827): ��ץ饹����(1814): \\

\re
�����Ѵ�����ư��

\re
��ư����ʬ�򸫤Ĥ���Ф�������ʤ�. \\
$f(q_1, q_2, \ldots, p_1, p_2, \ldots; t) = ����$

\vspace{0.3cm}
\re
19����������Ӥ���ʸ�\\
Bruns������(1887): ��ŵ��ʬ�ϻ��������ͣ��������ʬ�Ǥ���. \\
Poincar\'e������(1890). ���»�������ˤ�, �䥳����ʬ����Ӥ����Ʊ
������ʬ�������
$$
   \Phi = \Phi_0 + \mu \Phi_1 + \mu^2 \Phi_2 + \ldots = ����
$$
�η���(����)��ʬ��¸�ߤ��ʤ�. 


\newpage
\vspace{0.3cm}
\re
{\bf 3.1. ��: ��ʬ��ǽ��}\\

\vspace{0.3cm}
\noindent
3.1.1 \underline{�Ĳ���}

\vspace{0.3cm}
��ʬ������
$$ \begin{array}{ll}
\displaystyle
  \frac{dx_i}{dt} = F(x_1, \ldots, x_N), & (i=1, 2, \ldots, N)
   \end{array}  \eqno(1)
$$
���򤱤�, �Ȥ�? $N$����ʬ�������γ����Ȥ�Ф��. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ��� 1.} ��(1)��\underline{���Ѥˤ�äƲ򤱤�}�Ȥ�, �ʲ�������
ͭ�²���ȹ礻�ˤ�äư��̲�������Ȥ��Ǥ���. 

$\bullet$ �ø����

$\bullet$ ��ʬ

$\bullet$ ������ʬ

$\bullet$ �մؿ�����

$\bullet$ ������������


\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ��� 2.} �ؿ�$\Phi(x_1, x_2, \ldots, x_N)$����(1)�������ʬ��
������Τ�, �Ϥ�Ǥ�դβ�˱�äư�����ݤ����Ȥ��Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
$\bullet$ ��ʬ���������ʬ�������γ����򸺤餹���Ȥ��Ǥ���

\vspace{0.3cm}
$$
  \Phi_1(x_1, \ldots, x_N) = c_1 = ����
$$
�ΤȤ�, �����$x_1$�ˤĤ��Ʋ򤱤�
$$
  x_1 = x_1(x_2, \ldots, x_n, c_1)
$$
�����(1)�������������, (1)�ϳ���$N-1$�ηϤˤʤ�. �������߲�����. 

Ʊ�ͤˤ���, $N-1$�Ĥ���ʬ$\Phi_i(x_1, \ldots, x_n) = c_i, \ i=1, \ldots,
N-1$�������, 
$$
x_i(x_1; c_1, \ldots, c_{N-1}), \ i=1, \ldots, N-1
$$
�Ƚ񤱤뤫��, ��(1)��
$$ \begin{array}{ll}
\displaystyle
  \frac{dx_1}{dt} = F_1(x_1, x_2(x_1), \ldots, x_{N-1}(x_1)) 
= \widetilde{F}_1(x_1)
   \end{array}  
$$
�Ȥʤ�, ������ѿ�ʬΥ����ʬ�Ǥ���. ���ʤ��
$$
  \int \frac{dx}{\widetilde{F}(x)} = \int dt = t + ���
$$

\newpage
\vspace{0.3cm}
\noindent
3.1.2 \underline{�ϥߥ�ȥ�Ϥ���ʬ��ǽ��}

��ͳ��$n$��(����)�ϥߥ�ȥ��
$$ \begin{array}{lll}
\displaystyle \frac{dq_i}{dt} = 
     \displaystyle \frac{\partial H}{\partial p_i}, & 
\displaystyle \frac{dp_i}{dt} = 
     \displaystyle - \frac{\partial H}{\partial q_i}, & 
(i=1, \ldots, n)  
   \end{array}   \eqno(2)
$$
�������ʬ�Ȥ�, ��ɸ$q_i$�ȶ���ư��$p_i$�δؿ��Ǥ��ä�, ����֤ε��פ�
��ä����Ѥʤ��. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ����.} �ؿ�$\Phi$����(2)�������ʬ�Ǥ��뤿���ɬ�׽�ʬ����, 
$\Phi$��$H$�Υݥ��å����̤������ˤʤ뤳�ȤǤ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. 
$$
\displaystyle
\frac{d\Phi}{dt} = \displaystyle \sum_{i=1}^n \left( 
\frac{\partial \Phi}{\partial q_i} \frac{dq_i}{dt} + 
\frac{\partial \Phi}{\partial p_i} \frac{dp_i}{dt} \right) = 
\displaystyle \sum_{i=1}^n \left( 
\frac{\partial \Phi}{\partial q_i} \frac{\partial H}{\partial p_i} - 
\frac{\partial \Phi}{\partial p_i} \frac{\partial H}{\partial q_i}
\right) = \displaystyle \left\{ \Phi, H \right\}
=0 
$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
3.1.2 \underline{��塼�ӥ����ʬ}

\vspace{0.3cm}
\re
{\bf ��塼�ӥ������.} ��ͳ��$n$�Υϥߥ�ȥ�Ϥ�\\
$\bullet$ $n$�Ĥβ���Ū��������ʬ$\Phi_1, \Phi_2, \ldots, \Phi_n$��ͭ��,\\
$\bullet$ ����餬�ؿ�Ū����Ω�Ǥ��ä�, \\
$\bullet$ �����������Ȥ���
$$
\displaystyle \left\{ \Phi_i, \Phi_j \right\}  
= \displaystyle \sum_{k=1}^n \left( 
\frac{\partial \Phi_i}{\partial \Phi_k} 
   \frac{\partial \Phi_i}{\partial \Phi_i} - 
\frac{\partial \Phi_i}{\partial \Phi_k} 
   \frac{\partial \Phi_i}{\partial \Phi_k}
\right) = 0 
$$

���ΤȤ���ư�������ϵ��Ѥǲ򤯤��Ȥ��Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
3.1.2 \underline{��������ʬ}


\vspace{0.3cm}
\re
{\bf �����Υ��--��塼�ӥ������.} $H({\bf x})$��${\bf R}^{2n}$���
������줿�ϥߥ�ȥ�ؿ��Ǥ���Ȥ���. �ݥ��å����̤��������Ƥ���Ȥ�
��. �ʲ����ꤹ��

(1) $n$�Ĥγ�餫����ʬ$F_1({\bf x}), \ldots, f_n({\bf x})$�����ä�
���ط�
$$ \begin{array}{ll}
 \{ F_i, F_j \} = 0, & i,j = 1, \ldots
   \end{array}
$$
�ˤ���, 

(2) ��ʬ�ϥ�٥뽸��
$$
  C_{\bf a} = \{ ({\bf x}, t) \in {\bf R}^{2n} \times {\bf R} : 
F_i = {\bf a}, i=1, \ldots, n \}
$$
�����Ω,

(3) �٥��ȥ��$\delta_{F_j}$��$C_{\bf a}$��Ǵ���(...)�Ǥ���Ȥ���. 

\vspace{0.3cm}
���ΤȤ�...



\newpage
\noindent
{\bf 3.2 �ݥ��󥫥������}

\begin{center}
--------------------------------------
\end{center}

���»����������ʬ������
$$ \begin{array}{lll}
\displaystyle \frac{d q_r}{dt} = \displaystyle 
\frac{\partial H}{\partial p_r}, & 
\displaystyle \frac{d p_r}{dt} = \displaystyle 
- \frac{\partial H}{\partial p_r}, & (r=1,2)
  \end{array}
$$

$\mu$����ʬ���������, $H$��$\mu$�ζҵ����Ÿ���Ǥ���. ���ʤ��, 
$$
  H = H_0(p) + \mu H_1(q��p) + \mu^2 H_2(q��p) + \ldots
$$
�����
$$
  2h H_0 = \displaystyle \frac{1}{4p_1^4} + \frac{np_2}{p_1^2} + 
n^2 p_2^2 .  
$$
$H_0$�Υإ�����ϥ����Ǥʤ�, $(H_1, H_2, \ldots)$��
$q_1, q_2$�˴ؤ�, ����$2\pi$�Ǽ���Ū�Ǥ���. 

\begin{center}
--------------------------------------
\end{center}

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf �ݥ��󥫥������}: \\
���»�������ˤ�, (�䥳�ӥ��ͥ륮����ʬ����Ӥ����Ʊ����
��ʬ�������)
$$
  \Phi = \Phi_0 + \mu \Phi_1 + \mu^2 \Phi_2 + \ldots = ���� , 
$$
�η�����ʬ��¸�ߤ��ʤ�. 

\vspace{0.3cm}
\re
������, $\Phi$�� \\
$(q_1, q_2, p_1, p_2, \mu)$�δؿ�
$q_1, q_2 \in {\bf R}$, $\mu \leq \mu_0$, $(p_1, p_2) \in D$(�ΰ�)
�ǰ��������§\\
$q_1$��$q_2$�˴ؤ��Ƽ���$2\pi$�Ǥ���Ȥ���. \\
�����ξ��β���, �ؿ�$\Phi$��
$\mu$�ζҵ����Ÿ���Ǥ���. ���Ȥ���, 
$$
  \Phi = \Phi_0 + \mu \Phi_1 + \mu^2 \Phi_2 + \ldots . 
$$
$\Phi_0, \Phi_1, \Phi_2, \ldots$��$(q_1, q_2, p_1, p_2)$��
������ϴؿ���, $q_1$��$q_2$�˴ؤ��Ƽ���Ū�Ǥ���. \\ 

\newpage
\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. 

\noindent
(1) $\Phi_0, \Phi_1$���������٤����. 

$\Phi=����$����ʬ�Ǥ��뤿���ɬ�׽�ʬ���ϥݥ��å�����
$$
(H, \Phi) = 0
$$
��ɽ���Ǥ���. ������, 
$$
 (H_0, \Phi_0) + \mu \{ (H_1, \Phi_0) + (H_0, \Phi_1) \} + 
\mu^2 \{ (H_2, \Phi_0) + (H_1, \Phi_1) (H_0, \Phi_2) \} + \ldots = 0 , 
$$
�Ǥ���, �������ä�, 
$$
 (H_0, \Phi_0) = 0 , 
$$
�����
$$
  (H_1, \Phi_0) + (H_0, \Phi_1) = 0 , 
$$
�Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
(2) $\Phi_0$��$H_0$�δؿ��ǤϤʤ����Ȥ�������� -- ����ˡ

\vspace{0.3cm}
\noindent
$\bullet$ $\Phi_0 = \psi(H_0)$�ʤ���δط�������Ȳ��ꤷ, ����ؿ��Ǥ���
���Ȥ򼨤�. \\
$\bullet$ ��$H_0 = H_0(p_1, p_2)$��$p_1$�ˤĤ��Ʋ򤤤�, 
$p_1 = \theta(H_0, p_2)$�η��μ�������. \\
$\bullet$ �ΰ�$D$��$\partial H_0/ \partial p_1$�������Ǥʤ��¤�, 
$\theta$�ϰ����ΰ���ؿ��Ǥ���. \\
$\bullet$ �ؿ�$\Phi_0(q_1, q_2, p_1, p_2)$�ˤ�����$p_1$�򤽤���
$\theta$���֤��������
$$
 \Phi_0 (q_1, q_2, p_1, p_2) = \psi (q_1, q_2, H_0, p_2)
$$
�ʤ���μ���������. \\
$\bullet$ $\Phi_0$�ϰ����ΰ���ؿ��Ǥ��뤫��, $\psi$��$H_0$�Τߤ˰�¸����. \\
$\bullet$ �������ä�, �ѿ�$p_1, p_2$���ΰ�$D$��
����, $D$���$\partial H_0/ \partial p_1$�������Ǥʤ��¤�,
���뤤�Ϥ�äȰ��̤�, ��ʬ$\partial H_0/\partial p_1$��
$\partial H_0/\partial p_2$�Τɤ��餫������$D$�ǥ����Ǥʤ��¤�
(����ϰ��̤���������뤳�Ȥ����餫�Ǥ���), 
$\psi$��$H_0$�ΰ���ؿ��Ǥ���. \\

\vspace{0.3cm}
\noindent
$\bullet$ $\psi$�ϰ���ؿ��Ǥ��뤫��, ������$\psi(H) = ����$����ʬ��������
�������ʬ�Ǥ���. \\
$\bullet$ �������ä�$\Phi -\psi(H) = ����$��������ʬ�Ǥ���, 
$\mu$�ζҵ����Ÿ����ǽ�Ǥ���. \\
$\bullet$ �����$\mu$�ǳ���Ϥ��Ǥ���. �ʤ��ʤ�
$\Phi_0 - \psi(H_0)$������������Ǥ���. 
$$
  \Phi - \psi(H) = \mu \Phi' , 
$$
�Τ褦�˽񤯤�, \\
$\bullet$ ������$\Phi' = ����$������β�����ʬ�ˤʤ�. 
$$
  \Phi' = \Phi'_0 + \mu \Phi'_1 + \mu^2 \Phi'_2 + \ldots , 
$$
�Ƚ񤯤�, \\
$\bullet$ �ؿ�$\Phi'_0$�ϰ��̤�$H_0$�δؿ��ǤϤʤ�. \\
$\bullet$ ������, $H_0$�δؿ��Ǥ������, Ʊ������ۤɤ�����, 
�軰�ΰ��������ʬ����ã����.\\ 
$\bullet$ ���ʤ��, 
$$ \begin{array}{lcl}
  \Phi' - \psi'(H) = \mu \Phi'' , & {\rm or} &
  \Phi^{(1)} - \psi^{(1)}(H) = \mu \Phi^{(2)}
   \end{array}
$$
������
$$
  \Phi^{(2)} = 
\Phi^{(2)}_0 + \mu \Phi^{(2)}_1 + \mu^2 \Phi^{(2)}_2 + \ldots , 
$$
���ΤȤ�
$$ \begin{array}{rl}
 \Phi = & \psi(H) + \mu \Phi^{(1)} \\
      = & \psi(H) + \mu \psi(H) + \mu^2 \Phi^{(1)} 
   \end{array}
$$
���Τ���$\mu$�˰�¸���ʤ���ʬ�ϰ��̤�$H_0$�δؿ��Ǥʤ�. 
�ʲ������³����. ���Τ褦�ˤ����, 
$$ \begin{array}{rl}
 \Phi = & \psi(H) + \mu \Phi^{(1)} \\
      = & \psi(H) + \mu \psi^{(1)}(H) + \mu^2 \Phi^{(1)} \\
      = & \ldots \\
      = & \psi(H) + \mu \psi^{(1)}(H) + \ldots + \mu^n \psi^{(n)}(H) + 
  \mu^n \Phi^{(n)} 
   \end{array}
$$
$\Phi$��$H$�δؿ��Ǥʤ��¤�, ����$n$�ΤȤ���
$$
  \Phi^{(n)} = 
\Phi^{(n)}_0 + \mu \Phi^{(n)}_1 + \mu^2 \Phi^{(n)}_2 + \ldots , 
$$
��$\Phi^{(n)}_0$��$H_0$�Τߤδؿ��ǤϤʤ�. �Ĥޤ�, $\mu$�������ΤȤ���
$H_0$�ˤϴԸ��Ǥ��ʤ���ʬ��������Ϥ�����.
$\Phi$��$H$�δؿ��Ǥ�����ˤ���ʬ$H$��$\Phi$����ʪ�ǤϤʤ�,

\vspace{0.3cm}
\re
����������: \\
�������Ū����ʬ$\Phi$�����ä�$H$�Ȱۤʤ�, \\
$\Phi_0$��$H_0$�δؿ��Ǥ���ʤ��, \\
\hspace{1cm}��ʬ$\Phi$���̤���ʬ��Ʊ����������Ĥ�Τ���Ƴ�����Ȥ��Ǥ���. 
���$\Phi^{(n)}$\\
������ʬ($\Phi^{(n)}$)��$\mu$�������ΤȤ�$H_0$�δؿ��˴Ը�����ʤ�. 

$\Phi_0$��$H_0$�δؿ��Ǥʤ��Ȳ��ꤹ�뤳�Ȥ��Ǥ���.

\newpage
\vspace{0.3cm}
\noindent
(3) $\Phi_0$��$q_1, q_2$��ޤ����ʤ����Ȥξ���

\noindent
$\bullet$ �ؿ�$\Phi_0$���ѿ�$q_1, q_2$��ޤ�ʤ�, �����ѿ��˴ؤ���
����Ū�Ǥ��뤫��, ���Τ褦�˽񤱤�
$$
 \Phi_0 = \displaystyle \sum_{m_1, m_2} A_{m_1, m_2} 
e^{i(m_1q_1+m_2q_2)} = \displaystyle  \sum_{m_1, m_2} A_{m_1, m_2} \zeta
$$
$\bullet$ ������$m_1$��$m_2$�����ޤ�����������Ǥ���, $i$��
����ñ��$\sqrt{-1}$��ɽ��, \\
$\bullet$ ��$A_{m_1, m_2}$��$p_1, p_2$�δؿ�, 
$\zeta$��$A_{m_1, m_2}$�λؿ�co-factor�Ǥ���. \\ 
$\bullet$ $H_0$��$q_1, q_2$��ޤޤʤ�����
$$
\displaystyle - (H_0, \Phi_0) = \displaystyle 
\frac{\partial H_0}{\partial p_1}
\frac{\partial \Phi_0}{\partial q_1} + 
\frac{\partial H_0}{\partial p_2}
\frac{\partial \Phi_0}{\partial q_2} .
$$
$\bullet$ �Ȥ�����
$\partial \Phi_0/\partial q_r = \displaystyle \sum_{m_1, m_2} 
i m_r A_{m_1, m_2} \zeta$�Ǥ��뤫��, ������$(H_0, \Phi_0) = 0$��
$$
\displaystyle \sum_{m_1, m_2} A_{m_1, m_2} 
\left( m_1 \frac{\partial H_0}{\partial p_1} + 
m_2 \frac{\partial H_0}{\partial p_2} \right) \zeta = 0 .
$$
$\bullet$ �������ä�(���μ��Ϲ������Ǥ��뤫��),  
$$
\displaystyle A_{m_1, m_2} 
\left( m_1 \frac{\partial H_0}{\partial p_1} + 
m_2 \frac{\partial H_0}{\partial p_2} \right) = 0 .
$$
$\bullet$ �椨��, 
$$ \begin{array}{lcl}
\displaystyle A_{m_1, m_2} = 0 &  �ޤ��� & \displaystyle  
  m_1 \frac{\partial H_0}{\partial p_1} + 
m_2 \frac{\partial H_0}{\partial p_2}  = 0 .
   \end{array}
$$
$\bullet$ �Ȥ�������Ԥ���ǽ�ʤΤ�\\
\hspace*{1cm}$m_1$��$m_2$���Ȥ�˥����ΤȤ�, �ޤ���\\
\hspace*{1cm}$H_0$�Υإ����󤬥����ΤȤ��ΤߤǤ���. \\
$\bullet$ ���ޤ��Τɤ����Ǥ�ʤ�. \\
$\bullet$ �������ä�, ����$A_{m_1, m_2}$��, $A_{0, 0}$������Ƥ��٤�
�����Ǥ���. \\
$\bullet$ ����椨$\Phi_0$���ѿ�$q_1, q_2$��ޤޤʤ�. 

\newpage
\vspace{0.3cm}
\noindent
(4) ���̤ξ���, �������ʬ��¸�ߤ���$\phi_0$��$H_0$�δؿ��Ǥʤ����ȡ�
��ξΩ�����ʤ�����

\re
$\bullet$ $\Phi_0$��$H_0$����ɸ��ޤޤʤ�����, ������
$$
  (H_1, \Phi_0) + (H_0, \Phi_1) = 0 , 
$$
��, 
$$
\displaystyle \sum_{r=1}^2 
\frac{\partial \Phi_0}{\partial p_r}
\frac{\partial H_1}{\partial q_r} -  \sum_{r=1}^2 
\frac{\partial H_0}{\partial p_r}
\frac{\partial \Phi_1}{\partial q_r} = 0   \eqno(3.1)
$$
�Ȥʤ�.  

\re
$\bullet$ �ؿ�$H_1$��$\Phi_1$��$q_1, q_2$�˴ؤ��Ƽ���Ū�Ǥ��뤫��, 
���η��˽񤱤�. 
$$ \begin{array}{l}
 H_1 = \displaystyle \sum_{m_1, m_2} B_{m_1, m_2} 
e^{i(m_1q_1 + m_2 q_2)} = \displaystyle  
\sum_{m_1, m_2} B_{m_1, m_2} \zeta , \ \ (�㤨��) \\
 \Phi_1 = \displaystyle \sum_{m_1, m_2} C_{m_1, m_2} 
e^{i(m_1q_1 + m_2 q_2)} = \displaystyle  
\sum_{m_1, m_2} C_{m_1, m_2} \zeta , 
   \end{array}
$$

\re
$\bullet$ ������, $m_1$��$m_2$�����ޤ����������, 
����$B_{m_1, m_2}$��$C_{m_1, m_2}$��$p_1, p_2$�Τߤ˰�¸����. \\

\re
$\bullet$ �������ä�
$$ \begin{array}{ll}
\displaystyle \frac{\partial H_1}{\partial q_r} 
 = \displaystyle i \sum_{m_1, m_2} B_{m_1, m_2} m_r \zeta, & 
 \displaystyle \frac{\partial \Phi_1}{\partial q_r} 
 = \displaystyle i \sum_{m_1, m_2} C_{m_1, m_2} m_r \zeta,
  \end{array}
$$
���, (3.1)����
$$ 
\displaystyle \sum_{m_1, m_2} B_{m_1, m_2} \zeta \left( 
\sum_{r=1}^2 m_r \frac{\partial \Phi_0}{\partial p_r} \right) - 
\displaystyle \sum_{m_1, m_2} C_{m_1, m_2} \zeta \left( 
\sum_{r=1}^2 m_r \frac{\partial H_0}{\partial p_r} \right) = 0
$$
�ޤ���(����Ϲ�����������)
$$ 
\displaystyle B_{m_1, m_2} \left( 
m_1 \frac{\partial \Phi_0}{\partial p_1} + 
m_2 \frac{\partial \Phi_0}{\partial p_2} \right) = 
\displaystyle C_{m_1, m_2} 
\left( m_1 \frac{\partial H_0}{\partial p_1} + 
m_2 \frac{\partial H_0}{\partial p_2} \right) 
$$
�Ȥʤ�. 

\re
$\bullet$ �����������Ϥ��٤Ƥ�$p_1, p_2$���Ф�������Ω��. 

\re
$\bullet$ ������, ������
$$
m_1 \frac{\partial H_0}{\partial p_1} + 
m_2 \frac{\partial H_0}{\partial p_2} = 0 ,
$$
��������$p_1$��$p_2$���Ф���
$$ \begin{array}{lcl}
 B_{m_1, m_2} = 0 &  �ޤ��� & \displaystyle 
m_1 \frac{\partial \Phi_0}{\partial p_1} + 
m_2 \frac{\partial \Phi_0}{\partial p_2} = 0 
   \end{array}
$$
������Ω�ĤϤ��Ǥ���. 

\newpage
\re
$\bullet$ [{\bf ���}]. $p_1, p_2$���ͤ�
$m_1 \partial H_0/\partial p_1 + m_2 \partial H_0/\partial p_2 = 0$��
�������ͤ���Ȥ�, \\
����$B_{m_1, m_2}$��\underline{��ǯŪ}�Ǥ���ȸ�����. 

\re
$\bullet$ $H$��Ϳ����줿�ؿ��Ǥ��뤫��,  ����$B_{m_1, m_2}$��Ϳ�����Ƥ���. 
����줬���ͤ��Ƥ���褦����ʬ��������ɽ���������̤��ϳطϤξ��, 
�����η����ϱ�ǯŪ�Ǥ���¤ꥼ���ˤʤ�ʤ�. 

\re
$\bullet$ ���ξ���Ϥ���˹ͤ���(�����Ǥʤ����). 

\re
$\bullet$ 
$\displaystyle m_1 \frac{\partial H_0}{\partial p_1} + m_2 
\frac{\partial H_0}{\partial p_2} = 0$���
������
$$ 
m_1 \frac{\partial \Phi_0}{\partial p_1} + 
m_2 \frac{\partial \Phi_0}{\partial p_2} = 0 .
$$

\re
$\bullet$ $p_1, p_2$��, $k_1, k_2$�������Ȥ���, ������
$$ 
\displaystyle 
\frac{\partial H_0}{k_1 \partial p_1} = \displaystyle  
\frac{\partial H_0}{k_2 \partial p_2}  
$$
���������ͤǤ���Ȳ��ꤹ��. 

\re
$\bullet$ $m_1k_1 + m_2 k_2 = 0$�ʤ�$m_1, m_2$���Ȥ�̵�¸Ĥ���. 
$\displaystyle \frac{k_1}{k_2} = \displaystyle - \frac{m_2}{m_1}$
�ޤ���
$\displaystyle \frac{k_2}{k_1} = \displaystyle - \frac{m_1}{m_2}$

\re
$\bullet$ �������Ȥ��줾����Ф���
$$
m_1 \frac{\partial H_0}{\partial p_1} + 
m_2 \frac{\partial H_0}{\partial p_2} = 
m_1 \frac{\partial H_0}{\partial p_1} + 
m_2 \frac{k_2}{k_1} \frac{\partial H_0}{\partial p_1} = 0
$$
�������ä�
$$ 
m_1 \frac{\partial \Phi_0}{\partial p_1} + 
m_2 \frac{\partial \Phi_0}{\partial p_2} = 0 .
$$

\re
$\bullet$ �����դ��Ĥμ�
$$ \begin{array}{ll}
\displaystyle m_1 \frac{\partial H_0}{\partial p_1} = \displaystyle - 
m_2 \frac{\partial H_0}{\partial p_2}, & 
\displaystyle 
m_1 \frac{\partial \Phi_0}{\partial p_1} = \displaystyle -  
m_2 \frac{\partial \Phi_0}{\partial p_2}
   \end{array}
$$
����Ӥ���
$$ 
\displaystyle 
\frac{\partial H_0/ \partial p_1}  
{\partial \Phi_0 / \partial p_1} = 
\displaystyle 
\frac{\partial H_0/ \partial p_2}  
{\partial \Phi_0 / \partial p_2}
$$
������. \\

\re
$\bullet$ ������䥳�ӹ���
$$
\partial (H_0, \Phi_0)/\partial(p_1, p_2) = \left| 
   \begin{array}{cc}
\displaystyle 
      \frac{\partial H_0}{\partial p_1} & 
\displaystyle
      \frac{\partial H_0}{\partial p_2} \\ 
\displaystyle
      \frac{\partial \Phi_0}{\partial p_1} & 
\displaystyle
      \frac{\partial \Phi_0}{\partial p_2} \\ 
   \end{array}
\right|
$$
��, $\partial H_0/\partial p_1$��$\partial H_0/\partial p_2$��
�ߤ��˿Կ��ط��ˤ���褦��$p_1, p_2$���ͤ��٤Ƥ��Ф��ƥ����Ȥʤ�. 

\re
$\bullet$ ��������, �ɤ�ʤ˾�����������, Ǥ�դ��ΰ�ˤ�����, �䥳�ӹ���
(Jacobian)�������ˤʤ�褦��$p_1, p_2$���ͤ��Ȥ�̵����¸�ߤ���. 

\re
$\bullet$ �䥳�ӹ��󼰤�Ϣ³�ؿ��Ǥ��뤫��, ����Ū�˥����Ǥʤ���Фʤ�ʤ�. 

\re
$\bullet$ �������ä�$\Phi_0$��$H_0$�δؿ��ΤϤ��Ǥ���. \\
����. ...

\re
$\bullet$ �Ȥ����������(2)�Ǿ����������Ȥ�ȿ����. 

\re
$\bullet$ �������ä���ʬ$\Phi$��¸�ߤ˴ؤ�����ܲ��꤬�ְ�äƤ��뤳�Ȥˤʤ�. 

\re
$\bullet$ �Ĥޤ�, ����$B_{m_1, m_2}$����ǯŪ�Ǥ��ä�, ����ΤɤΤҤȤĤ⥼����
�ʤ�ʤ����, �ϥߥ�ȥ���������$H=h$�ʳ��ΰ��������ʬ������ʤ�. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
(5) ����$B_{m_1m_2}$�˴ؤ������¤ν���

\re
$\bullet$ ����$B_{m_1, m_2}$����ǯŪ�ˤʤä��Ȥ���, ���ξ��ʤ��Ȥ�ҤȤĤ�
�����ˤʤ����ͤ���٤��Ǥ���. 

\re
$\bullet$ ź������$(m_1, m_2)$��$(m'_1, m'_2)$
��Ʊ��\underline{��}(class)��°����Ȥ�, ����餬�ط�
$m_1/m'_1 = m_2/m'_2$���������Ȥ��Ǥ���. 

\re
$\bullet$���ΤȤ�����$B_{m_1, m_2}$��$B_{m'_1, m'_2}$��Ʊ�����°��, 
�Ȥ���. 

\re
$\bullet$ (5)-1. �ޤ�, �����ʬ����¸�ߤ˴ؤ���(4)�η�̤��������Τ�, 
�������˾��ʤ��Ȥ�ҤȤ�$B_{m_1, m_2}$�����ä�, 
��ǯŪ�ˤʤä��Ȥ��˥����Ǥʤ��Ȥ��˸¤뤳�Ȥ򼨤���. 

\re
$\bullet$ ����$B_{m_1, m_2}$�������Ǥ���Ȥ�, 
����$B_{m'_1, m'_2}$�ϥ����Ǥʤ��Ȥ���. 

\re
$\bullet$ $p_1, p_2$���ͤ�
$$
m_1 \frac{\partial H_0}{\partial p_1} + 
m_2 \frac{\partial H_0}{\partial p_2} = 0
$$
�ʤ��ΤȤ���.

\re
$\bullet$ ���ΤȤ�
$$
m'_1 \frac{\partial H_0}{\partial p_1} + 
m'_2 \frac{\partial H_0}{\partial p_2} = 0
$$
�Ǥ���, 

\re
$\bullet$ �������ä�
$$ \begin{array}{ll} 
\displaystyle B_{m_1, m_2} \left( 
m_1 \frac{\partial \Phi_0}{\partial p_1} + 
m_2 \frac{\partial \Phi_0}{\partial p_2} \right) = 0 , & 
\displaystyle B_{m'_1, m'_2} 
\left( m_1 \frac{\partial \Phi_0}{\partial p_1} + 
m_2 \frac{\partial \Phi_0}{\partial p_2} \right) = 0 .
   \end{array}
$$

\re
$\bullet$ �ط�
$$
m_1 \frac{\partial \Phi_0}{\partial p_1} + 
m_2 \frac{\partial \Phi_0}{\partial p_2} = 0
$$
�Ͼ����Ⱦ�μ�����ϽФƤ��ʤ�����ɤ�, ��Ⱦ�μ�����ϽФ����Ȥ��Ǥ���. 

\re
$\bullet$ �����λĤ����ʬ��(v)��Ʊ�ͤǤ���. 

\newpage
\re
$\bullet$ (5)-2. ����: ���ź���λؿ�$m_1, m_2$����ˤ�äƴ����˷��ꤵ���. 

\re
$\bullet$ $\lambda$��Ǥ�դοԿ�(commensurable number, ͭ����, ͭ����)�Ȥ�, 
$C$��$m_1/m_2 = \lambda$�ʤ�ź������Ȥ���. 

\re
$\bullet$ ��ñ�Τ���, ������$C$�������ΰ��°����, ���뤤�Ϥ����ΰ�
\underline{��}�ˤ���Ȥ�, �����ΰ����, 
$$ \begin{array}{ll}
\displaystyle  
\lambda \frac{\partial H_0}{\partial p_1} + 
\frac{\partial H_0}{\partial p_2} = 0 & 
\displaystyle 
\left( 
m_1 \frac{\partial H_0}{\partial p_1} + 
m_2 \frac{\partial H_0}{\partial p_2} = 0
\right)    
   \end{array}
$$
��������$p_1,p_2$���ͤ��Ȥ�����Ȥ�, �Ǥ���. \\
(����: $m_1, m_2$�ǽ񤯤�, ��������ޤäƤ��ޤ�. ��ˤʤ�ʤ�)

\re
$\bullet$ (5)-3. $D$�˴ޤޤ��ɤ�ʾ������ΰ�$\delta$�ˤ����Ƥ�, 
̵�¸Ĥ��ब���ä�, ��ǯŪ�ˤʤäƤ���η��������٤ƥ����ˤ�
�ʤ�ʤ��ʤ�, ����������Ω�Ĥ��Ȥ򼨤���. 

\re
$\bullet$ ��
$$ 
\lambda \frac{\partial H_0}{\partial p_1} + 
\frac{\partial H_0}{\partial p_2} = 0 .   
$$
���������褦��$p_1, p_2$��Ǥ�դ��ͤ��Ȥ�����. 

\re
$\bullet$ $\lambda$���Կ��Ǥ���Ȥ�, �ޤ�����$\lambda$���ͤ��б��������
�Ф�����η�����, ��ǯŪ�ˤʤä��Ȥ��ˤ��٤Ƥ������ˤϤʤ�ʤ��Ȥ���.

\re
$\bullet$ ����Ⱦ�ǽҤ٤����򤬤����ͤ��Ȥ�Ŭ�ѤǤ���. 

\re
$\bullet$ ������$p_1$�����$p_2$��
�����ͤ��Ф��ƥ䥳�ӹ���$\partial (H_0, \Phi_0)/ \partial (p_1, p_2)$
�ϥ����Ǥ���. 

\re
$\bullet$ �Ȥ���������ˤ��, �ɤ��ΰ�$\delta$�ˤ�, ���줬�ɤ�ʤ�
�������Ȥ�, $D$��ˤ����, ���Τ褦��$p_1, p_2$���Ȥ�̵���ˤ���. 

\re
$\bullet$ �������äƥ䥳�ӹ��󼰤�$D$�Τ��٤Ƥ����ǥ����Ǥ���, 
��ä�$\Phi_0$��$H_0$�δؿ��Ǥ���. 

\re
$\bullet$ ����������Ʊ��, $H$�Ȱۤʤ�����ʬ��¸�ߤ��ʤ�. 

\newpage
\vspace{0.3cm}
\noindent
(6) �ʾ�Ǽ���������

\re
$\bullet$ �ͤ����Ϥ�
$$ \begin{array}{lll}
\displaystyle \frac{dq_r}{dt} = \displaystyle 
\frac{\partial H}{\partial p_r}, & 
\displaystyle \frac{dp_r}{dt} = \displaystyle 
- \frac{\partial H}{\partial q_r},  & (r=1,2) 
   \end{array}
$$
�η���������. $H$��
$$
  H = H_0 + \mu H_1 + \mu^2 H_2 + \ldots , 
$$
�η���Ÿ�����뤳�Ȥ��Ǥ���Ȥ���. 

\re
$\bullet$ ������$H_0$��$p_1$�����$p_2$��
�ؤ���إ�����ϥ����Ǥʤ�, 

\re
$\bullet$ $H_0$��$q_1$��$q_2$��ޤޤ�, 
$H_1, H_2, \ldots$��$q_1, q_2$�μ����ؿ��Ǥ���. 

\re
$\bullet$ ����������: �������������ˤ�, \\ 
\hspace*{1cm}���ͥ륮����ʬ�Ȥ���Ω��, \\
\hspace*{1cm}���, \\ 
\hspace*{1cm}$q_1$�����$q_2$�μ¿����٤Ƥ��Ф���, \\
\hspace*{1cm}�ޤ������ͤ�ۤ��ʤ�$\mu$�Τ��٤Ƥ��ͤ��Ф���, \\
\hspace*{1cm}������ΰ�$D$�������뤹�٤Ƥ�$p_1,$��$p_2$���Ф���\\
��§����ʬ��¸�ߤ��ʤ�.

\re
$\bullet$ ���ꤷ������: $D$�˴ޤޤ��ɤ�ʤ˾������ΰ�ˤ����Ƥ�, \\ 
̵������$m_1/m_2$�����ä�, �б����뷸��$B_{m_1,m_2}$�ϱ�ǯŪ�ˤʤäƤ�
�����ˤʤ�ʤ�. 

\vspace{0.3cm}
\re
$\bullet$ ���η�̤Ϥ����������»�������˱��ѤǤ���. �Ȥ����Τ�, 

\re
$\bullet$ ��������α�ư�������ϻ��ꤵ�줿���ʤ����, 

\re
$\bullet$ ���¤�Ÿ���ˤ����ƴؿ�$H_1$�����ˤ����äƺǸ�ξ�郎
��������뤳�Ȥ��狼��. \\
(����: �ºݤ˳Τ���Ƥ��ʤ�. $H_1$��Ÿ����ͭ�¤��ڤ�Ƥ��ʤ�����)

\re
$\bullet$ �ݥ��󥫥�������Ϥ������Ƴ�Ω���줿.

\vspace{0.3cm}
�ݥ��󥫥�������ϥ��ץ顼�ѿ��˴ؤ��ư����, �Ĥޤ�Ʊ���ܿ��ʱߤ�
ͭ���뤹�٤Ƥε��פζ�˵�ˤ����ư������ʬ����¸�ߤ��Ω����. 
������Ȥ��ä��̤����ʤ��ΰ�ˤ����ư������ʬ��¸�ߤ��ӽ�����
��ΤǤϤʤ�. 

\newpage
\noindent
{\bf 3.3 ���»����������������Ƴ��}

\re
���»�������:\\
2ŷ��(����$S$������$J$)���ߤ��νſ�$O$�Τޤ���߱�ư����.\\
���̥������軰��$P$��$S, J$�ε�ƻ�����ư����.\\
$P$�α�ư�䤤����? 

\vspace{0.2cm}
$m_1, m_2$��$S,J$�μ��̤Ȥ�
$$
  \Phi = \displaystyle \frac{m_1}{SP} + \frac{m_2}{JP} 
$$
�Ƚ�. �軰�ΤΡ�ñ�̼��̡פ��ϴؿ�(���֥ݥƥ󥷥�����)�Ǥ���. 

\vspace{0.2cm}
�̾��, $O$�����Ȥ���Ǥ�դ�ľ���ɸ$(X,Y)$��Ȥ�. $(U,V)$��$P$��
®����ʬ�Ȥ���. ��ư��������
$$ \begin{array}{ll}
\displaystyle \frac{d^2X}{dt^2} = 
\displaystyle \frac{\partial \Phi}{\partial X},  &
\displaystyle \frac{d^2Y}{dt^2} = 
\displaystyle \frac{\partial \Phi}{\partial Y}
   \end{array}
$$
�ϥߥ�ȥ�ؿ���$H = \frac{1}{2} (U^2+V^2) - \Phi$�Ƚ񤱤�, 
�ϥߥ�ȥ�ư��������
$$ \begin{array}{llll}
\displaystyle \frac{dX}{dt} = 
\displaystyle \frac{\partial H}{\partial U},  &
\displaystyle \frac{dY}{dt} = 
\displaystyle \frac{\partial H}{\partial V},  &
\displaystyle \frac{dU}{dt} = 
\displaystyle - \frac{\partial H}{\partial X}, & 
\displaystyle \frac{dV}{dt} = 
\displaystyle - \frac{\partial H}{\partial Y}
   \end{array}
$$

\re
{\bf ����.} $\Phi$��$X,Y$��$t$�δؿ� $\rightarrow$ $H \neq ����$. 

\vspace{0.2cm}
��ؿ���
$$
  W = U(x \cos nt - y \sin nt) + V (x \sin nt + y \cos nt)
$$
�Ȥ���($n$��$SJ$�β�ž��®��), �ܿ��Ѵ�
$$ \begin{array}{llll}
   X = \displaystyle \frac{\partial W}{\partial U},  &
   Y = \displaystyle \frac{\partial W}{\partial V},  &
   u = \displaystyle \frac{\partial W}{\partial x},  & 
   v = \displaystyle \frac{\partial W}{\partial y}
   \end{array}
$$
��Ԥʤ���, 
$$ \begin{array}{llll}
\displaystyle \frac{dx}{dt} = 
\displaystyle \frac{\partial K}{\partial u},  &
\displaystyle \frac{dy}{dt} = 
\displaystyle \frac{\partial K}{\partial v},  &
\displaystyle \frac{du}{dt} = 
\displaystyle - \frac{\partial K}{\partial x}, & 
\displaystyle \frac{dv}{dt} = 
\displaystyle - \frac{\partial K}{\partial y}
   \end{array}
$$
�Ȥʤ�. ������, 
$$ \begin{array}{rl}
   K = & \displaystyle H - \frac{\partial K}{\partial t} \\
  = & \displaystyle \frac{1}{2}(U^2 + V^2) - \Phi - 
n U(-x \sin nt - y \cos nt) - n V (x \cos nt - y \sin nt) \\
  = & \displaystyle \frac{1}{2}(u^2 + v^2) - \Phi + 
n U(x \sin nt + y \cos nt) - n V (x \cos nt - y \sin nt) \\
  = & \displaystyle \frac{1}{2}(u^2 + v^2) - \Phi + 
n x (U\sin nt - V \cos nt) + n y (U \cos nt + V \sin nt) \\
  = & \displaystyle \frac{1}{2}(u^2 + v^2) + n (y u - xv) - \Phi \\
   \end{array}
$$
$\Phi$��$x,y$�Τߤδؿ�. �������ä�$K$��$t$�򤢤��餵�ޤ˴ޤޤʤ�. 
��ä�
$$
   K = ����
$$
�䥳����ʬ

\vspace{0.3cm}
�̤η��α�ư������
$$ \begin{array}{llll}
  q_1 = OP, & q_2 = POJ, &  
  p_1 = \displaystyle \frac{d}{dt}(OP),  &
  p_2 = \displaystyle {OP}^2 \frac{d}{dt}(POJ) 
   \end{array}
$$
���ΤȤ��ϥߥ�ȥ�ؿ���
$$
  H = \frac{1}{2}\left( p_1^2 + \frac{p_2^3}{q_1^2} \right) - np_2 
- \Phi
$$










\vspace{1cm}
���»�������ˤ����Ƥ�, ��ŷ�Τα�ư��������(162��)
$$ \begin{array}{lll}
\displaystyle \frac{dq_r}{dt} = \displaystyle 
\frac{\partial H}{\partial p_r}, & 
\displaystyle \frac{dp_r}{dt} = \displaystyle 
- \frac{\partial H}{\partial q_r},  & (r=1,2) 
   \end{array}
$$
�η��˽񤱤�. ������, 
$$
  H = H_0 + \mu H_1 + \mu^2 H_2 + \ldots
$$
�����
$$
 H_0 = \displaystyle - \frac{1}{2p_1^2} - n p_2
$$
�Ǥ���, $H_1, H_2, \ldots$��$q_1, q_2$�˴ؤ�����$2\pi$�Ǥ���. 

�إ�����
$$
\left| 
  \begin{array}{cc}
\displaystyle 
\frac{\partial^2 H_0}{\partial p_1^2} & 
\displaystyle 
\frac{\partial^2 H_0}{\partial p_1 \partial p_2} \\
\displaystyle 
\frac{\partial^2 H_0}{\partial p_1 \partial p_2} &
\displaystyle 
\frac{\partial^2 H_0}{\partial p_2^2}
  \end{array}
\right|
$$
�����餫�˥����Ǥ���. ���ξ����ϥݥ��󥫥���������������ݤ����Թ��
����Τ�, ��ư�������η��������ƥإ����󤬥����Ǥʤ��Ϥ�Ƴ��. 

$H^2 = K$�Ƚ�, $H = h$�򥨥ͥ륮����ʬ�Ȥ���. �����
$$ \begin{array}{lll}
\displaystyle \frac{d q_r}{dt} = \displaystyle 
\frac{1}{2h} \frac{\partial K}{\partial p_r}, & 
\displaystyle \frac{d p_r}{dt} = \displaystyle 
- \frac{1}{2h} \frac{\partial K}{\partial p_r}, & (r=1,2)
  \end{array}
$$
������Ω��. �������ä�, �������ؿ�$H$��$K/2\pi$������������, 
���»����������ʬ��������
$$ \begin{array}{lll}
\displaystyle \frac{d q_r}{dt} = \displaystyle 
\frac{\partial H}{\partial p_r}, & 
\displaystyle \frac{d p_r}{dt} = \displaystyle 
- \frac{\partial H}{\partial p_r}, & (r=1,2)
  \end{array}
$$
�η��˽񤯤��Ȥ��Ǥ���. ������, $\mu$����ʬ���������, $H$��$\mu$��
�ҵ����Ÿ���Ǥ���. ���ʤ��, 
$$
  H = H_0 + \mu H_1 + \mu^2 H_2 + \ldots
$$
�����
$$
  2h H_0 = \displaystyle \frac{1}{4p_1^4} + \frac{np_2}{p_1^2} + 
n^2 p_2^2 ; 
$$
�Ǥ���. $H_0$�Υإ�����ϥ����Ǥʤ�, $(H_1, HJ_2, \ldots)$��
$q_1, q_2$�˴ؤ�, ����$2\pi$�Ǽ���Ū�Ǥ���. 



\end{document}


