\documentstyle[12pt]{jarticle}
%
\oddsidemargin 0.0cm
\evensidemargin -1.0cm
\topmargin 0.0cm
%
\textwidth 16.8cm
\textheight 22.5cm
\footheight 0.5cm
\footskip 1.2cm
%
%\setcounter{page}{77}
%
\newcommand{\re}{\vspace{0.15cm}\par\hangindent=0.7cm\noindent}
\newcommand{\btheta}{\mbox{\boldmath $\theta$}}
\newcommand{\bomega}{\mbox{\boldmath $\omega$}}
%\newcommand{\re}{\vspace{0.3cm}\par\hangindent=0.7cm\noindent}
%
\begin{document}
\setlength{\baselineskip}{3ex}
%\setlength{\baselineskip}{5ex}

%F. Richard Stephenson����
%Historical eclipses and Earth's rotation, Cambridge, 1997.
%
\begin{flushright}
2002.11.5
\end{flushright}

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\Large
{\bf 4. �ݥ��󥫥�δ���������}(�ݥ��󥫥졦�С����դ�����)
}
\end{center}

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 4.1 ����}

%\noindent
%{\bf 1.2 �ͤ������}

\noindent
{\bf 4.2 �ݥ��󥫥�δ���������}


\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ����ʸ��}

\re
1. �����ؤΤ��������ˤĤ��� \\
Sur un theoreme de geometrie \\
H. Poincare, Rend. Cir. Mat. Palermo 33(1912), 375-407 

\re
2. �ݥ��󥫥�δ����������ξ��� \\ 
Proof of Poincare's geometric theorem \\
George D. Birkhoff, Trans. Amer. Math. Soc. 14(1913), 14-22 


\newpage
\noindent
{\bf 4.2 �ݥ��󥫥�δ���������}

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf (1) �������Ľ�}

\re
$\bullet$ Ⱦ�¤�$a$��$b$ ($a > b > 0$)��2�Ĥ�Ʊ����$C_a$�����$C_b$�ˤϤ��ޤ줿
�ߴ��ΰ��$R$�Ȥ��롥

\re
$\bullet$ $T$��$R$�򤽤켫�Ȥ˼̤�Ϣ³�ʰ��а��Ѵ��Ǥ��äơ�\\
$C_a$��������������$C_b$�������������˿ʤᡢ\\
������������¸�Ǥ����ΤȤ��롥

\begin{center}
\fbox{�ͤ������} (twist map)
\end{center}

\re
$\bullet$ \underline{���ΤȤ���ư�������ʤ��Ȥ�2�Ĥ���}��

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf �Ѹ������}

\re
$\bullet$ ����$T$: �����$A$���Ͱ�$B$��Ϳ����줿�Ȥ���$Ta \in B$ 
($a \in A$) ����������ʤ�Ȥ�.  

\re
$\bullet$ 1��1: ��$Ta=Tb$�ʤ�$a=b$�Ǥ���פȤ�1:1�Ǥ���Ȥ���.  

\re
$\bullet$ Ϣ³: $\varepsilon$ -- $\delta$��ˡ. �ɤ��$\varepsilon>0$��
��äƤ�, $\delta>0$��ʬ�������Ȥ��, 
$$
   T U_{\delta} \subset U_{\varepsilon}
$$
�ˤǤ���Ȥ�. ������, $U_{\delta}$��$a \in A$�ζ�˵, $U_{\varepsilon}$��
$Ta \in B$�ζ�˵

\re
$\bullet$ ��ư��: $Tp=p$.

\re
$\bullet$ ������¸�Ȥ�, Ǥ�դ��ΰ�$D \subset R$�����Ѥ�${\cal M}(D)$��
�񤯤Ȥ�, ${\cal M} D = {\cal M} (TD)$ \\
(���̤�${\cal M} D = {\cal M} (T^{-1}D)$�Ƚ񤯤�?) 

\re
$\bullet$ �ͤ���ˤ�����������. ������

\vspace{0.3cm}
\re
{\bf �Ѵ��Υ䥳�ӹ��󤪤�ӹ���}

\re
���̤ξ��\\
$$
  \int \int_{D} dx dy = \int \int_{TD}  
\frac{\partial (x,y)}{\partial (x',y')} dx' dy'
$$

$
\displaystyle \frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta)}  = 1 
$
�ʤ�������¸

\re
ľ���ɸ����˺�ɸ�� \\
$$ \begin{array}{ll}
  x = r \cos \theta, & y = r \sin \theta 
   \end{array}
$$
$$
\displaystyle \frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta)} = \displaystyle 
\left| \begin{array}{cc}
\displaystyle \frac{\partial x}{\partial r} & 
\displaystyle \frac{\partial x}{\partial \theta} \\  
\displaystyle \frac{\partial y}{\partial r} & 
\displaystyle \frac{\partial y}{\partial \theta} \\ 
       \end{array}
\right| = \displaystyle 
\left| \begin{array}{cc}
\displaystyle \cos \theta & 
\displaystyle - r \sin \theta \\
\displaystyle \sin \theta & 
\displaystyle r \cos \theta \\
       \end{array}
\right| = r
$$
������¸�Ǥʤ�. 

\newpage
\re
ľ���ɸ���齤���˺�ɸ�� \\
$$ \begin{array}{ll}
  x = r \cos \theta, & y = r \sin \theta 
   \end{array}
$$
$$ \begin{array}{ll}
  v = r^2 , & u = \theta
   \end{array}
$$
$(u,v)$��$(x,y)$��ľ�ܷ�ִط���
$$ \begin{array}{ll}
   v = x^2 + y^2, & u = \displaystyle \arctan \frac{y}{x} 
   \end{array}
$$
�䥳�ӹ��󼰤�
$$
\displaystyle \frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)} = \displaystyle 
\left| \begin{array}{cc}
\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} & 
\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y} \\  
\displaystyle \frac{\partial v}{\partial x} & 
\displaystyle \frac{\partial v}{\partial y} \\ 
       \end{array}
\right| = \displaystyle 
\left| \begin{array}{cc}
\displaystyle -\frac{y}{x^2+y^2} & 
\displaystyle  \frac{x}{x^2+y^2} \\
\displaystyle  2 x & 
\displaystyle  2 y  \\
       \end{array}
\right| = -2
$$

$\displaystyle \frac{d}{dx} \arctan x = \displaystyle \frac{1}{1+x^2}$
��Ȥä�. 

\newpage
\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf (2) �����ν���}


\vspace{0.3cm}
\re
$\bullet$ �����˺�ɸ$v = r^2, u = \theta$�κ���. \\
$$ \begin{array}{ll}
  v = r^2 , & u = \theta
   \end{array}
$$


\re
$\bullet$ �Ѵ�$T$��ɽ��.
$$ \begin{array}{cc}
   u' = \varphi (u,v), & v' = \psi (u,v).
   \end{array}
$$

\re
$\bullet$ �ؿ�$\psi(u,v)$������\\
�ؿ�$\psi(u,v)$��$(u,v)$��Ϣ³�ؿ�\\
$R$�γ����ǰ�դ˷�ޤ롥\\
�������ä�$\psi$��$u$�˴ؤ�����$2 \pi$�Ǥ��롥

\re
$\bullet$ �ؿ�$\varphi(u,v)$������\\
������ʤ�� (������)�ǹͤ���Ȥ狼��䤹��. \\
$\varphi(u,v)$�Ϥ��줾�줬$2 \pi$�������ܤ����ۤʤ�̵�¸Ĥ��ͤ�Ȥꤦ��. \\
$\varphi(u+2\pi,v) = \varphi(u,v) + 2\pi$�Ǥ���\\
\hspace*{0.5cm}��$q$����$C_a$���������˰���������$Tq$���$C_a$�������롥\\
\hspace*{1cm} �����Ǥʤ��ȼ�����1:1�Ǥʤ��ʤ�. \\
\hspace*{0.5cm}Ϣ³�����¾��Ǥ�դ����Ǥ�������������Ω��. 

\re
$\bullet$ $u'-u$��$v'-v$�ϤȤ��$R$����ǰ������Ϣ³�Ǥ���. \\
$\varphi(u,v)$��$\psi(u,v)$�ξ嵭���������. 

\begin{center}
------------------------
\end{center}

\vspace{0.3cm}
\noindent
�����ξܺ٤ʰ�̣�ϼ��ΤȤ���:
$$ \begin{array}{ccc}
  C_a�˱�ä� \ u' > u & ���� & C_b�˱�ä� \ u' < u,
   \end{array}
$$
�Ȥʤ�褦��$\varphi(u,v)$��Ǥ�դ˷�᤿�Ȥ���$R$���
$$ \begin{array}{cc}
    u' = u, & v' = v,
   \end{array}
$$
�ʤ��������ʤ��Ȥ�2�����롥

\newpage
\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf (3) ����ˡ�ˤĤ���}

\re
$\bullet$ ��ư�������Ĥ���Ф������ˤ⤦���Ĥ���ư����¸�ߤ������롥\\
�ȥС����դϸ����������ꤢ��. 

\re
$\bullet$ �������������������ʤ����$T$����ư��������ʤ���

\noindent
$\bullet$ ���ΤȤ�$R$�Τ��٤Ƥ������Ф���
$$
   (u' - u)^2 + (v' - v)^2 > d^2 > 0,            \leqno(4.1)
$$
�Ǥ��롥�ʤ��ʤ�ߴ�$R$���$u'-u, v'-v$�ϰ��Ϣ³�Ǥ��ꡢ�ޤ�Ʊ���ˤ�
$0$�ˤʤ�ʤ�����Ǥ��롥

\re
$\bullet$ ����$(1)$��̷���Ƴ�����Ȥ򼨤���������������褦��

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf (4) ����Ѵ�}

\re
$\bullet$ �Ѵ�$T_{\varepsilon}$��Ƴ��. \\
���а�Ϣ³�Ѵ�
$$ \begin{array}{cccl}
0 < \varepsilon < b^2 & �Ȥ���,  &
  T_{\varepsilon}:   u' = u, & v' = v - \varepsilon 
   \end{array}
$$

\re
$\bullet$ $T_{\varepsilon}$������\\
��$C_a$��$C_b$�򤽤줾��Ʊ����
$C'_a: v = a^2 - \varepsilon$��$C'_b: v = b^2 - \varepsilon$�˼̤���\\
$C'_a$��$C_a$����¦�ˤ��ä�$C_a$����$a - \sqrt{a^2 - \varepsilon}$
�ε�Υ�ˤ���. \\
$C'_b$��Ʊ�ͤ�$C_b$����¦�ˤ��ä�$C_b$����
$b - \sqrt{b^2 - \varepsilon}$�ε�Υ�ˤ��롥\\
ʿ�̤����˸����Ƽ��̤����롥���٤Ƥ�����Ʊ��ư�¾�����˼̤����ޤ�
������¸��\\
$$
   \int \int rdr d \theta = \frac{1}{2} \int \int dudv.
$$

\re
$\bullet$ $T T_{\varepsilon}$������
($T$����Ѥ������$T_{\varepsilon}$����Ѥ�����) 
$$ \begin{array}{cc}
 T T_{\varepsilon}: 
 \overline{u}' = \varphi(u,v), & \overline{v}' = \psi(u,v) - 
\varepsilon.
   \end{array}
$$
$$ \begin{array}{ccc}
    \varepsilon < b^2, & \varepsilon < d, & \varepsilon < a^2 - b^2. 
   \end{array} \leqno(4.2)
$$
��ư��������ʤ���($\leftarrow$ $\varepsilon < d$ )\\
\hspace*{1cm}������ʤ��$S:$
$ 
   - \infty < u < + \infty, \ \  b^2 \leq v \leq a^2,
$
�ǹͤ�������餫. \\

\newpage
\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf (5) ���̳Ѥ�Ƴ��}

\re
$\bullet$ $\omega(u,v)$��Ƴ��:
$$
   \omega(u,v) = \arctan \frac{v' - v}{u' - u},  \leqno(4.3)
$$

\re
$\bullet$ ������ʤ�̤Ǥ�$\omega(u,v)$������\\
$\bullet$ ̵��¿���ؿ��Ǥ���. ̵�¸Ĥ�ʬ�ޤ�����. ({\bf ��}ɬ��)\\
$\bullet$ $(u,v) \rightarrow (u',v')$�٥��ȥ뤬$u$����
�������Ȥʤ����٤ȹͤ���.  \\
$\bullet$ (1)���, ������Ϣ³�Ǥ��ꡢ��äư����ʬ�ޤˤ����ޤꡢ
�����Τ�Ϣ³�Ǥ��롥\\
$\bullet$ $C_a$�����$C_b$�˱�äƤ��줾��$\pi$�Τ����ޤä������ܤ�
����ܤǤ��롥\\
\hspace*{0.8cm}$C_a$�˱�ä�$u'>u, v'=v$���ޤ�$C_b$�˱�ä�$u'<u, v' = v$
������Ǥ��롥

\re
$\bullet$ $R$��Ǥ�$\omega(u,v)$������: ����Ǥ��뤳��. \\
���Ǥ˸����Ȥ��ꡢ
�ؿ�$v'-v$��$u'-u$��$u$�˴ؤ��Ƽ���$2 \pi$�Ǥ��뤫�顢\\
$\omega(u,v)$�γ�ʬ�ޤ���$(u + 2 \pi, v)$����$(u,v)$�� ($0$��ޤ��)
$2 \pi$�������ܰۤʤ롥\\
ʬ�ޤ�Ϣ³�Ǥ��뤫�顢���������ͤ�$S$���Τ�
Ʊ��Ǥ��롥\\
�Ȥ�������$C_a$�˱�äơ��ޤ�$C_b$�˱�äƤ�����ʬ�ޤ�
�����ͤ�ͭ���롥\\
�����餳�������ͤϼº�$0$�Ǥ��롥\\
�����顢$\omega(u,v)$�Τ�����ʬ�ޤ�$u$�˴ؤ��Ƽ���$2 \pi$�Ǥ��롥\\
$\bullet$�Ĥޤ�$R$��ǰ���Ǥ��롥

\re
$\bullet$ ¿���ؿ�$\overline{\omega} (u,v)$��Ƴ��:
$$
  \overline{\omega} (u,v) = 
\arctan \frac{\overline{v}' - v}{\overline{u}' - u},  \leqno(4.4)
$$
$\bullet$�����$(u,v)$����$(\overline{u}',\overline{v}')$�ؤΥ٥��ȥ뤬
$u$�������������Ȥʤ����١�\\
$\bullet$���δؿ���Ʊ�ͤ˰����Ϣ³��ʬ�ޤˤϤ��롥\\
$\bullet$����˴ؿ�
$\overline{v}' - v = v' - v - \varepsilon$��$\overline{u}' - u = u' - u$
��$u$�˴ؤ�����$2 \pi$�Ǥ��롥\\
$\bullet$�ޤ�$\overline{\omega}(u,v)$�γ�ʬ�ޤ�
$\omega(u,v)$��Ʊ��$u$�˴ؤ�����$2 \pi$�Ǥ��롥\\
$\bullet$�Ĥޤ�$R$��ǰ���Ǥ��롥

\re
$\bullet$ $\omega(u,v)$��$\overline{\omega}(u,v)$��ʬ�ޤ��Ȥ�
���٤Ƥ���$(u,v)$�ˤ������ͤ����θ����Ƿ�ޤ�褦��Ĵ���Ǥ��롥
$$
   | \omega(u,v) - \overline{\omega}(u,v) | < \frac{\pi}{2}.  \leqno(4.5)
$$

\re
$\bullet$ (4.5)���δ�����Ū������\\
������ʤ�������$(u',v')$����$(u,v)$���龯�ʤ��Ȥ��Υ$d$Υ��Ƥ���. \\
��$(\overline{u}', \overline{v}')$����$(u',v')$����$\varepsilon < d$����
Υ��Ƥ��롥\\
�������Ĥ��뻰�ѷ�����$(u,v)$�ˤ����ƺ����٤Ϸ褷��$\pi/2$��������
�ʤ�ʤ���\\
������$S$�Τ��������(5)���ˤ������äƣ��Ĥ�ʬ�ޤ�ط������Ƥ����С�\\
$S$�������Ϣ³Ū���Ѳ��������Ȥ�Ʊ����������
$S$��Τ�����Ȥ�������Ω���롥

\newpage
\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf (6) ����Ѵ��Τ�ȤǤζ������ΰ���Ѵ�}

\re
$\bullet$ $R$���Ѵ�$T T_{\varepsilon}$�ˤ��������Ѵ�\\
$C_a$��$C'_a$�˼̤롥$C'_a$��$C_a$��$C_b$�δ֤ˤ��롥\\
$C'_a$��ñ���Ķ���$C''_a$�˼̤롥$C''_a$��$C'_a$��$C'_b$�δ֤ˤ���.\\
\hspace*{0.5cm}$C'_a$��$C'_b$�ˤϤ��ޤ줿�ߴ��ΰ��$R'$�Ȥ��ơ�\\
\hspace*{0.5cm}$T T_{\varepsilon}$��$R$��$R'$�˼̤����а�Ϣ³�Ѵ��Ǥ��ꡢ
$R$��$T_{\varepsilon}$�ˤ�äƽ̤ࡥ\\
\hspace*{0.5cm}$C'_a$��$R$�˴ޤޤ�$C_b$��Ϥफ�顢\\
\hspace*{0.5cm}������$C''_a$��$R'$�˴ޤޤ�(�������ä�$C'_a$����¦�ˤ���)��
$C'_b$����Ϥࡥ\\
$C''_a$��ñ���Ķ���$C'''_a$�˼̤롥\\
����Ҥˤʤä�ñ���Ķ�������$C'_a, C''_a, \ldots$�������롥\\
���β������Ķ������Τ�$R$�˴ޤޤ��¤�³���뤳�Ȥ��Ǥ��롥

\re
$\bullet$ $R$���Ѵ�$T T_{\varepsilon}$�ˤ���ΰ���Ѵ�\\
�ߴ�$C_aC'_a$��$R'$�������αߴ�$C'_aC''_a$�˼̤�. 
ξ�Ԥ϶���$C'_a$�Ǹߤ����ܤ��롥\\
$C''_a$���Τ�$R$�˴ޤޤ��ʤ顢$C'_aC''_a$�ϱߴ�$C''_aC'''_a$�˼̤�. 
ξ�Ԥ�$C''_a$���ܤ��롥\\
����Ҥˤʤä��ߴĤ���$C_aC'_a, C'_aC''_a, \ldots$�������롥

\re
$\bullet$ $C_a$�����$P$�����ä�, ͭ�²�μ���($n$��)�ˤ������
��$C_b$�����¦�ˤ��롥\\
�ߴ�$C_aC'_a$�����Ѥ�$\pi \varepsilon$�Ǥ��ꡢ\\
�Ѵ�$T$��$T_{\varepsilon}$��������¸�Ǥ��뤫�顢
��$C'_aC''_a, C''_a$ $C'''_a, \ldots$�Ϥߤ�Ʊ������$\pi \varepsilon$��
ͭ���롥\\
�������$C^{(n)}_a (n \geq 2)$��
���ʤ��Ȥ��������$C_b$����¦���������ȱߴ�������ڤ��. \\
�Ȥ����������٤Ƥ�$l$���Ф���$C_a$��$C_a^{(l)}$�δ֤����Ѥ�
$\pi l \varepsilon$�Ǥ��뤫��\\
$l$����ʬ�礭�����$\pi l \varepsilon$��$R$�����Ѥ�Ķ���롥\\
�����餳�Τ褦��$C^{(n)}_a$��¸�ߤ��롥\\

\vspace{2cm}
\hspace*{6cm} ��

\vspace{4cm}

\newpage
\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf (7) ����Ѵ��Τ�Ȥ����Ѥʶ����ι���}

\re
{\bf ���.} $P^{(n)}$��$C_b$�β��˽Ф�. ���Τ�Ȥ�����$P \in C_a$�Ȥ���. 

\re
$\bullet$ ������ʤ�̾�ǤΡ���$P \in C_a$����Ӷ���ʬ�Τդ�ޤ�\\
$C_a, C'_a$ľ��, $C''_a, C'''_a, \ldots$�Ϥ��줾��ƶ��
$2k \pi \leq u \leq 2(k+1) \pi$�ǹ�Ʊ�ʷ��򤷤Ƥ���. \\ 
�ߴ�$C_aC'_a, C'_aC''_a, \ldots$��$S$���ñ���������ˤϤ��ޤ줿
�ؤ���\\
$P'  = TT_{\varepsilon}P$�Ȥ���$P$��$P'$����ʬ$PP'$�Ƿ��. 
�������$C_aC'_a$�˴����˴ޤޤ�롥\\
$PP', P'P'', \ldots, P^{(n-1)}P^{(n)}$���ۤ���. ������, 
$P'P'' = T T_{\varepsilon} PP'$, $P''P''' = TT_{\varepsilon} P'P''$,
$\cdots$��\\
������������ʤ�����
$C_aC'_a, C'_aC''_a, \ldots, C^{(n-1)}_aC^{(n)}_a$�˴ޤޤ졢\\
������Ǹ�θɤ�ü��$P^{(n)}$��$S$�β�¦�ζ���$C_b$�β�¦�ˤ��롥

\re
{\bf ���.} $PP^{(n)}$��$C_b$�θ�����$Q$�Ȥ���. 

\re
���θɤ��󤫤鹽����������$PQ$��ñ��Ǥ��롥\\
$PP', P'P'', \ldots$��ñ��ɤ���Ǥ��ꡢ\\
���줾��$S$���$C_aC'_a, C'_aC''_a, \ldots$�˴ޤޤ��
���뤫��Ǥ��롥\\
$PQ$�����Τ�$C_a$��$C_b$�δ֤˴ޤޤ�롥

\re
{\bf ���.} $Q'$��$Q$����, $Q^{-1}$��$Q$�ε���

\re
$\bullet$ $PQ'$��ñ������Ǥ���. \\
$\bullet$�Ѵ�$T T_{\varepsilon}$�ˤ��$PQ$����$P'Q'$��$P'Q$��
���α�Ĺ��ˤ���ñ���$QQ'$�������롥\\
$\bullet$��$QQ'$��$R$�������$T T_{\varepsilon}$�ˤ�����Ǥ��äơ�
������ľ��$C'_a$�β��ˤ��롥\\
$\bullet$�Ȥ��ˤ��θɤ�ü��$Q'$�Ϥ������$C'_b$��ˤ��롥\\
$\bullet$ $QQ'$��$PQ$�Ȥζ�������$Q$�ΤߤǤ��롥\\
\hspace*{0.5cm}�ʤ��ʤ鶦����������С������$P'Q$��ˤ��뤬
$T T_{\varepsilon}$�εռ�������Ѥ�����С�\\
\hspace*{0.5cm}$Q^{-1}Q$��$Q^{-1}$�ʳ���$PQ^{-1}$�ȶ�������ͭ���뤳�Ȥ�
�ʤ뤬��\\
\hspace*{0.5cm}�����$PQ$��¿����������ʤ����Ȥ���ͭ�����ʤ���\\

\re
$\bullet$ ����$PQ$���Ѵ��Τ�Ȥ����ѤǤ��롥\\
�Ѵ�$T T_{\varepsilon}$�ˤ�ä�$PQ'$�θ�$PQ$��$PQ'$��
��$P'Q'$�˼̤롥\\
���κݡ�$PQ$��γ�����$PQ'$������ʤ��롥\\

\re
$\bullet$ $T$�����$T_{\varepsilon}$���������顢�ޤ˼������褦�ˡ�\\
$P'$��$u$��ɸ��$P$��$u$��ɸ����礭����\\
$Q'$��$u$��ɸ��$Q$��$u$��ɸ��꾮������

\newpage
\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf (8) ���Ѷ�����Ǥ����Ū��-���٥��ȥ�β�ž}

\re
{\bf ���.} $B$: $PQ'$��, $P$����$Q$�ޤ�ư����. \\
$\overline{B}'$: $B$����. $PQ'$��, $P'$����$Q'$�ޤ�ư����.\\
$B \overline{B}'$: $B$����$\overline{B}'$�ؤΥ٥��ȥ�. 

\re
$\bullet$ ������������. \\
$B \overline{B}'$�β�ž�Ѥ�$- \pi$��ľ��$P P'$�����
$Q Q'$��$u$���Ȥʤ��ԳѤ�ä�����ΤǤ���. 

\vspace{0.2cm}
$\bullet$ ��ž�ѤϤ��γ��٤�$2 \pi$�������ܤ������ʤ�. 

\re
(i) �����Τ���������¤ϡ�\\
��$P, P', Q, Q'$��ޤ�ñ�����������̤äƶ���$PP'QQ'$��Ϣ³Ū���ѷ����ơ�
\\
���ζ������ޤ���$PP'QQ'$��ľ�����ȤǤ���(�޻���)��

\re
{\bf ���.} ����$PQ$��ñĴ���ä���ѥ�᡼����$t$�ǥѥ�᡼���Ť�����.\\
$P, P', Q, Q'$�Ǥ��줾��$t_0, t'_0, t_1, t'_1$���ͤ�Ȥ��ΤȤ��롥\\
��$B$�ˤ�����$t$�ΤȤ���
$\overline{B}'$�ˤ�����$t$���Ȥ��ͤ�$\tau(t)$�Ȥ��롥\\
���餫��$\tau(t)$��$t(t_0 \leq t \leq t_1)$��Ϣ³�����ôؿ��Ǥ��äơ�
$\tau(t) > t$�ʤ����������. 

\re
(ii) $B \overline{B}'$������ž�Ѥ����Ѥ��ݤ��ĤĶ������ѷ�����
\footnote[1]{�ѷ�����ˤ�Ʊ�������ΰۤʤ�ѥ�᡼���Ť���ޤ�Ȥ��롥}��\\
�����ϤĤͤ�$P,P',Q,Q'$���̤ꡢ$t$���ͤ�����Ʊ��
$t_0, t'_0, t_1, t'_1$�Ǥ���Ȥ��롥\\
�����ѷ��������ѷ����ζ���\\
������֤Ⱥǽ����֤ϤȤ���������ơ�\\
�٥��ȥ�Ʊ�Τγ��٤κ��Ϥ��٤���֤ΰ��֤ˤ����ư��ͤ˾���������Ǥ��롥

\re
(iii) �������ˤ�ꡢ����$PP'QQ'$��Ϣ³�ѷ�����\\
������Ĥͤ�$P,P',Q,Q'$��ޤ�褦��ñ������Ǥ���褦�ˤ���\\
�ѷ�������Ǥ��ޤ��ѥ�᡼���������֤��Ȥˤ�ä�$B \overline{B}'$��
����ž�Ѥ����ѤˤǤ��롥

\re
(iv) ��$QQ'$����$C'_aC'_b$����Ϥ߽Ф�����ľ��$QQ'$�ؤ�
Ϣ³Ū���ѷ��Ǥ��롥\\
����$PQ$�ϴ�����$S$�˴ޤޤ�뤫��($S$�γ��ˤ�����ʬ)$QQ'$�Ȥ�
����ʤ���\\
$C'_a$��$C'_b$�ˤϤ��ޤ��Ϣ³�Τ˶���
$P'Q$�ˤ�ä��ڤ��ܤ�����Ƥ�ñϢ��Ǥ���.\\
��$Q$��$Q'$����Ǥ�դ�(����Ϣ³�Τ˴ޤޤ��)ñ�������\\
ñ�����������̤ä��ѷ�����\\
������$Q$��$Q'$�ʳ����ڤ��ܤ˿��줺�ˤ�äƤ����뤫��Ǥ��롥

\re
(v) ��$P'Q$��$P'$��$Q$����$C'_aC_b$���ñ�������̤���
Ϣ³Ū����ʬ$P'Q$���ѷ��Ǥ��롥
��ʬ$QQ'$��$PP'$��$C'_aC_b$������ͭ���ʤ�����Ǥ��롥

\re
(vi) ��Ȥζ����˱�äƤ�$B \overline{B}'$�β�ž�ϣ��Ĥ�ľ��ʬ
$PP', P'Q, QQ'$���������ޤ����˱�äƤβ�ž�ѤȤޤä���Ʊ���Ǥ��롥\\
������֤���ǽ����֤ޤǤ��ޤ����˱�äƤβ�ž�����餫��$- \pi$��
ľ��$PP'$��$QQ'$��$u$���Ȥʤ��ԳѤ�ä�����Τ���������\\

�������Ƽ�ĥ�Ͼ������줿��

\newpage
\re
$\bullet$ �٥��ȥ�$B \bar{B}'$�β�ž��$\overline{\omega} (u,$ $v)$��
�Ѳ���¬��. \\
$B$�κ�ɸ��$(u,v)$�Ȥ���ȡ�$\overline{B}'$�κ�ɸ��
$(\overline{u}', \overline{v}')$�Ǥ��ꡢ\\
$B \bar{B}'$�������ϴؿ�$\overline{\omega} (u,$ $v)$��$2\pi$��������
�㤦����. �Ѳ��ʤ�Ʊ��. 

\re
{\bf ���.} $\overline{\omega}(u,v)$��Ϣ³��ʬ��
$\overline{\omega}_1 (u,v)$�Ȥ���$P$�ˤ�����$PP'$��$u$���Ȥʤ�
�ԳѤ����ͤ�Ȥ�����

\re
$\bullet$ ���ΤȤ�����$Q$�ˤ����Ƥϡ�\\
$\overline{\omega}_1 (u,v)$��$- \pi$��
�٥��ȥ�$QQ'$��$u$���Ȥʤ��ԳѤ�ä����ͤ�Ȥ롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf (9) $T$�ˤ����-���٥��ȥ�β�ž}

\re
{\bf ���.} �ؿ�$\omega (u,v)$��Ϣ³��ʬ��$\omega_1 (u,v)$�Ȥ��ơ�
$S$�ξ�ü$C_a$�ˤ�����$0$��Ȥ��Τ���ꤷ�褦��

\re
{\bf ��ĥ.} �ؿ�$\omega_1(u,v)$��$Q$�ˤ����ơ��ޤ�$C_b$��Τ��٤Ƥ�����
������$- \pi$�Ǥ���. 

$\bullet$ 2�Ĥδؿ�$\overline{\omega}_1 (u,v)$��$\omega_1 (u,v)$��$P$
�ˤ�����$\pi/2$̤���������ʤ���

$\bullet$ ������������(5)�Ƿ�ӤĤ���$\overline{\omega} (u,v)$��
$\omega (u,v)$��ʬ�ޤ⤽���Ǥ��ꡢ

$\bullet$�����$S$���Τ�����Ω�ġ�

$\bullet$ $\overline{\omega}_1 (u,v)$�κǽ��ͤ�$Q$�ˤ�����$- \pi$��
$\pi/2$̤���������ʤ���

$\bullet$ ������$Q$�ˤ�����$\omega_1(u,v)$��$- \pi$��$\pi$̤����������
����

$\bullet$ �Ȥ�����$\omega (u,v)$��Ǥ�դ�ʬ�ޤ�$C_b$���$\pi$�δ���ܤ�
���������Ȥ��狼�äƤ��롥

$\bullet$ ������ؿ�$\omega_1(u,v)$��$Q$�ˤ����ơ��ޤ�$C_b$��Τ��٤Ƥ�����
������$- \pi$�Ǥ���Ϥ���

\re
$\bullet$ �������ä���$(u,v)$��$C_a$���������$C_b$������ؤɤ�ʻ�����
ư���Ƥ⡢$\omega_1 (u,v)$���Ѳ���$- \pi$�Ǥ��롥

\re
$\bullet$ ��������С���$B$��$S$��Ǥɤ�ʻ�����$C_a$����$C_b$��ư�����Ƥ⡢\\
$T$�ˤ��$B$����$B'$�ȤǤĤ���٥��ȥ�$BB'$������ž�Ѥ����Τ�$-\pi$�Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf (10) �����δ���}

\re
$\bullet$ ���˵��Ѵ�$T^{-1}$��ͤ��롥\\
�����Ѵ���$C_a$��$C_b$��������������ư�����Ȥ������������$T$��
�褯���Ƥ��롥\\
�о����ˤ�ꡢ$B'$��$T^{-1}$�ˤ����$B$���֥٥��ȥ�$B'B$��\\
$B$��$B'$��$C_a$����$C_b$��ư���֤�$+ \pi$������ž���롥

\re
$\bullet$ �����ǥ٥��ȥ�$B'B$��$BB'$�ȵ�����������Ƥ��롥\\
���������ĤΥ٥��ȥ�$BB'$��$B'B$�μºݤβ�ž�Ϥ������Ʊ���Ǥ��롥\\
������̷�⤬Ƴ���줿��

\vspace{0.3cm}
�����ϴ����˾������줿��


\end{document}
