\documentstyle[12pt,twoside]{jarticle}
%
\oddsidemargin -1.0cm
\evensidemargin 2.0cm
\topmargin -2.0cm
%
\textwidth 14.0cm
\textheight 20.1cm
\footheight 0.5cm
\footskip 1.2cm
\newcommand{\re}{\vspace{0.15cm}\par\hangindent=0.7cm\noindent}
%\setcounter{page}{27}
%\pageno=27
%
\begin{document}
\setlength{\baselineskip}{3ex}
%\setlength{\baselineskip}{5ex}
%
%Antonov����ʸ�β���
%
\begin{flushright}
���⡧ë����δ
\end{flushright}

\begin{center}
{\Large \bf ��������ϤΤ�äȤ�Τ��餷������ʬ�ۤ����\\
����¸�ߤξ��
}

\vspace{0.3cm}
{\large V.A. Antonov, {\it Vest. Lenigr. gos. Univ.} {\bf 7}, 135, 1962}

\end{center}

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\large \bf ����}
\end{center}

������ɤ˰Ϥޤ줿�ѱ�ư�̥����ι����Ϥ�ͤ��롣

�����ϤΥ���ȥ��ԡ�$S$��
$$
 S = - \int f \ln f d {\bf r} d {\bf v}
$$
����������Ȥ��롣

���ΤȤ�����ʿ�յ�������ϡ�$ N = \infty $�Υݥ�ȥ����פηϡˤ�
����ȥ��ԡ�����������Τ�Ȥ�����Ū����ˤʤäƤ��뤳�Ȥ򼨤���
���ξ��Ȥ�$ \nu_{c} / \nu_{e} < 1/709 $��$\nu_{c} / \nu_{e} $��
���줾���濴�Ȥؤ�ο�̩�١ˤǤ��롣���ξ����������ʤ��Ȥ���
����ȥ��ԡ��϶���ˤʤäƤ��ʤ���

���Τ��Ȥ򼨤��Τ˰ʲ��Τ褦�ˤ��롣

�Ϥ������ͥ륮�������̡�Ⱦ�¤��᤿�Ȥ��Ƥ⡤����飳�Ĥ��̤��̤�
����ʬ�۴ؿ�$f$��̵���ˤ��롣����餹�٤Ƥ�����ʿ�յ�������Ϥ�
ʬ�۴ؿ���$f_{0}$�Ȥ��褦�ˤ���Ӥ���Τ����ѤǤ��뤫�顤\S 1��\S 2��
������$f$�ο��򤷤ܤ롣

\S 1�Ǥ�$f$�Ȥ���®��ʬ�ۤ��ޥ���������ʬ�ۤΤ�Τ�ͤ���Ф褤
���Ȥ��狼�롣

\S 2�Ǥ�̩��ʬ�۵��оΤ�$f$��ͤ���Ф褤���Ȥ��狼�롣
�������� 
$$ \delta S = S_{0} - S = - \int f_{0} \ln f_{0} d {\bf r} 
d {\bf v} + \int f \ln f d {\bf r} d {\bf v} = \delta S_{1} + \delta
S_{2} 
$$
��׻������\S 4�ˡ�������$ \delta S_{1} $�ϣ�����ʬ��$ \delta S_{2}$
�ϣ�����ʬ�Ǥ��롣\S 6�Ǥ狼��褦�ˡ�$ \delta S_{2} $������������
��ͭ������˵��夹�롣\S 9��\S 10�Ǥϡ��԰��������ʿ�յ�������Ϥοʲ���
���������Ū�������롣

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\large \bf \S 1 ���ͥ륮�������̡�̩��ʬ�ۤζ��̤�Ǥ�դι����ϤΤ����ǡ�
������®��ʬ������������¨�������Ρ˥ޥ���������ʬ�ۤηϤ�
����ȥ��ԡ�������Ǥ���}

\vspace{0.2cm}

ʬ�۴ؿ���$f({\bf r}, {\bf v})$��ɽ�魯��������
$f({\bf r}, {\bf v})d{\bf r}d{\bf v}$
�Ͽ���ɽ�魯�Ȥ��롣����ȥ��ԡ���$S$��ɽ�碌�С�
$$
  S= - \int f \ln f d{\bf r}d{\bf v} \eqno(1.1)
$$
���ơ����췲�� $f_{\alpha}({\bf r}, {\bf v})$ ��ͤ��롣������
$f_{\alpha}({\bf r}, {\bf v})$��
$$
   \nu({\bf r}) = \int f_{\alpha}({\bf r}, {\bf v}) d{\bf v} \eqno(1.2)
$$
$$
  K = m \int \int f_{\alpha}({\bf r}, {\bf v}) \cdot \frac{v^2}{2} 
d{\bf r}d{\bf v}     \eqno(1.3)
$$
��Ʊ���ͤ�Ϳ�����ΤȤ��롣������$\nu({\bf r})$��$K$�Ϥ��줾������
γ�ҿ�̩��ʬ�ۤ�����ư���ͥ륮���Ǥ��롣���餫�ˤ�����
$f_{\alpha}({\bf r}, {\bf v})$�ˤ�äƵ��Ҥ����ϤϤߤ������ͥ륮����
���̡��Ϥη������̤Ǥ��롣�ۤʤ�Τ�®��ʬ�ۤη������Ǥ��롣

������$f_{\alpha}({\bf r}, {\bf v})$�Τ���(1.1)�����ˤ����Τ�
���褦����ʬˡ�������ˤ�äơ�����$f_{\alpha}({\bf r}, {\bf v})$��
(1.2)��(1.3)����������(1.1)������ͤˤ���ʤ顤$\lambda({\bf r})$��
$\mu$��¸�ߤ���
$$\begin{array}{rl}
��& \displaystyle \delta_{1��} \left( S + \int \lambda({\bf r})\nu({\bf r}) 
d{\bf r} + \mu K \right) = 0   \\
\end{array} \eqno(1.4) 
$$
����
$$\begin{array}{rl}
��& \displaystyle \delta_{2��} \left( S + \int \lambda({\bf r})\nu({\bf r}) 
d{\bf r} + \mu K \right) < 0 
\end{array}\eqno(1.5)
$$
����������������$\delta_{1��}()$��$\delta_{2��}()$�Ϥ��줾�쥫�å�����̤�1����ʬ��2����ʬ�Ǥ��롣

(1.1)��(1.2)��(1.3)�ˤ�ä�(1.4)�����Ū�˽񤱤�
$$
  0 = \int \int \left( - \ln f_{\alpha} - 1 + \lambda({\bf r}) 
+ \frac{mv^2}{2}\mu \right) \delta f_{\alpha} d{\bf r}d{\bf v}
$$
���줫��
$$
  - \ln f_{\alpha} -1 + \lambda({\bf r}) + \frac{mv^2}{2}\mu = 0
$$
���ʤ��
$$
��f_{\alpha} = e^{\lambda({\bf r}) - 1 + \frac{mv^2}{2}\mu}
$$
�������롣�Ȥ�����$\nu({\bf r}) = \int f_{\alpha} d{\bf v} = 
e^{\lambda({\bf r}) - 1}(2\pi / (-m\mu ))^{\frac{2}{3}} $
�Ǥ��뤫��$D = - 1/m\mu$�Ȥ����С�
$$
��f_{\alpha}({\bf r}, {\bf v}) = (2\pi D)^{-\frac{2}{3}} \nu({\bf r}) 
e^{\frac{-v^2}{2D}}��\eqno(1.6)
$$
�������롣®��ʬ�ۤϥޥ���������ʬ�ۤˤʤäƤ��롣$\mu$������Ǥ��뤫��$D$������Ǥ��롣���äƷ����®��ʬ���ϰ���ʤ��ʤ���Ϥ������ˤǤ��롣

����
$$
��\delta_{2��} \left( S + \int \lambda({\bf r})\nu({\bf r}) d{\bf r} + \mu K
 \right) = - \int \int \frac{1}{2f}(\delta f)^2 d{\bf r} d{\bf v} 
$$
�Ǥ��뤫��(1.5)�Ϥ��Ĥ���������Ƥ��롣


�Τ��Τ��Τ����ʬ�۴ؿ���(1.6)��Ϳ������Ȥ��ηϤε��Ū��ʪ���̤�ɽ�路�Ƥ�������
$$
  S = \int \nu \left( \frac{3}{2} \ln 2\pi D + \frac{3}{2} - 
\ln \nu \right) d{\bf r} \eqno(1.7)
$$
$$
  M = m \int \nu d{\bf r} \eqno(1.8)
$$
$$
  K = m \int \frac{3D}{2} \nu d{\bf r} \eqno(1.9)
$$
$$
  U = m \int \frac{\Phi}{2} \nu d{\bf r} \eqno(1.10)
$$
$$
  E = m \int \left( \frac{3D}{2} + \frac{\Phi}{2} \right) \nu d{\bf r} \eqno(1.11)
$$
������$K$��$U$��$E$�ϷϤα�ư���ͥ륮�����ݥƥ󥷥�륨�ͥ륮���������ͥ륮���Ǥ��롣
$\Phi$��ñ�̼��̤�����Υݥƥ󥷥�륨�ͥ륮���Ǥ��롣

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\large \bf \S 2 ���ͥ륮���ȼ��̤ζ��̤ʤ��ޤ��ޤʷ����ι����ϤΤ����ǡ�
̩�٤��濴���椷�����оΤηϡ�$\nu = \nu(r)$�ˤΥ���ȥ��ԡ�������Ǥ���
�ʤ������ѱ�ư��$0$�Ȥ����}

\vspace{0.2cm}

\S 1�Ǥ����ӽФ��Ǥ狼�ä��褦�ˡ�����Ԥ�ʬ�۴ؿ������ӽФ��ˤ����Ƥϡ�
®��ʬ�ۤ�������ʬ�����������ޥ���������ʬ�ۤˤʤäƤ���ʬ�۴ؿ����椫��
����ȥ��ԡ������ˤ���ʬ�۴ؿ������ӽФ��褦�ˤ���Ф褤��

���ޤΤȤ���̩��ʬ�ۤˤĤ��Ƥϲ������ӽФ���ԤäƤ��ʤ���
������Ǥ�̩��ʬ�ۤΤ����ޤ������ӽФ���Ԥ�����
���ʤ��ʪ�����Ǥ�̩�٤��Ѥ��뤳�Ȥʤ�ñ�˰�ư������
�ʤ����Ʒ����ΤΥ��ͥ륮������¸��������ѷ��ˤ�ä�������̵����ʬ�۴ؿ��Τ�����
����ȥ��ԡ������ˤ����Τ����ӽФ�����

������ʬ�۴ؿ��Ϥߤ�(1.6)�η��򤷤Ƥ��롣�������äơ��Ϥε��Ū���̤�(1.7)��(1.11)��ɽ�蘆��롣

����ʪ���������̩�٤�®��ʬ�ۤ��Ѥ�����ʪ�����Ǥ��ư������
ʪ��ʬ�ۤ����оΤǤ����濴�ۤ�̩�٤�ǻ��ʬ�ۤˤʤ�褦�ˤ��롣
���Τ褦�ʰ�ư��Ԥ��ȡ�(1.7)��(1.8)��(1.9)�ˤ�ä�$S$, $M$, $K$���Ѳ����ʤ���
�Ȥ�����(1.10)�ˤ�ä�$U$�ϸ������롣(1.11)��$E$�������ݤĤ���ˤ�$D$�����䤵�ͤФʤ�̡�
���������(1.7)�ˤ�ä�$S$�����礹�롣

���ä�Ǥ�դη�������̩�٤��濴���椷������˷Ϥ��󰵽��ѷ�����
�������ͥ륮���������ݤäơˤȥ���ȥ��ԡ������礹�롣

�����饨�ͥ륮���ȼ��̤ζ��̤ʷϤΤ����Ƕ���Υ���ȥ��ԡ���ͭ����Ϥ�
���ӽФ��ˤϡ�
�ߤ����󰵽��ѷ��Ǥϰܤ����ʤ�̵����$\nu = \nu(r)$��$d\nu /dr < 0$�ηϤ��椫��
���ӽФ��н�ʬ�Ǥ��롣���̤����ѱ�ư�̤�0�Ǥʤ��Ϥξ��ˤϡ�
���ξ��Υݥƥ󥷥��˾��η����ηϤ��椫�����ӽФ��Ф褤��

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\large \bf \S 3 �������������ʿ�շ��� -- �������������}

\vspace{0.2cm}
\S 1�Ǹ����褦�ˡ��ɤ��̩��ʬ�ۤǤ��졤®��ʬ�ۤ������Υޥ���������ʬ�ۤ�
�ʤäƤ���ʤ�С�����ȥ��ԡ��϶���ˤʤäƤ��뤷��
�դ�®��ʬ�ۤ������Υޥ���������ʬ�ۤˤʤäƤ��ʤ���С�
�ɤ��̩��ʬ�ۤǤ������Ȥ⥨��ȥ��ԡ��϶��ͤˤʤ�ʤ���

�ޤ�\S 2�Ǹ����褦�ˡ��Ϥ����ѱ�ư�̤�$0$�ʤ�С����ͥ륮���ȼ��̤ζ��̤�
Ǥ�դη����ηϤ����̩�ٽ��椷������ηϤΥ���ȥ��ԡ�������Ǥ��롣

������ʿ�վ��֤Υ���ȥ��ԡ�����ʬ��Ȥꡤ����ʿ�վ��֤Υ���ȥ��ԡ��������
�ʤäƤ��뤫�ɤ�����Ĵ�٤�ΤǤ��뤬��������ǤϤ���ʿ�վ��֤�ʬ�۴ؿ�����褦��

\S 1��\S 2������줿��̤��顤����ʿ�վ��֤Ȥ��ơ�
�桹�ϵ���������ޥ���������ʬ�ۤ�
���ʽ��ϷϤ�ͤ���н�ʬ�Ǥ��롣
�ʤ��ʤ顤����ʳ��ηϤ�����ȥ��ԡ������ˤ��ʤ����Ȥ�
���餫�Ǥ��뤫�顣

���ơ��Ϥϵ��оΤ������ޥ���������ʬ�ۤ򤷤Ƥ��뤫�顤ʬ�۴ؿ���(1.6)��ꡤ
$$
  f(r, v^2) = (2\pi D)^{- \frac{3}{2}} \nu(r)e^{- \frac{v^2}{2D}}  \eqno(3.1)
$$
��Ϳ�����롣

���ͤ��Ƥ���Ϥ�ʿ�վ��֤ˤ��뤫�顤ʬ�۴ؿ�(3.1)�ϥܥ�ĥޥ�������
$$
  {\bf V} \cdot \frac{\partial f}{\partial {\bf r}} + 
\frac{\partial \Phi}{\partial {\bf r}} \cdot 
\frac{\partial f}{\partial {\bf V}} = 0 \eqno(3.2)
$$
����������(3.1)��$f(r, v^2)$��
$$
  f(r, v^2) = (2\pi D)^{- \frac{3}{2}} \nu e^{\frac{\Phi}{D}} 
e^{-(\frac{v^2}{2} + \Phi)/D}
$$
�Ƚ񤤤�(3.2)���������褦�����ΤȤ�$e^{-(\frac{v^2}{2} + \Phi)/D}$�ϸġ������α�ư�η�ʬ
$ \frac{m}{2} v^2 + m\Phi $�δؿ��Ǥ��뤫����ʬ�γ��˽Фơ�
$$
  (2\pi D)^{-\frac{3}{2}} e^{-(\frac{v^2}{2} \cdot \Phi)/D} 
\left( v_{r} \frac{\partial \nu}{\partial r} e^{\frac{\Phi}{D}} + 
\nu v_{r} \frac{\partial \Phi}{\partial r} \frac{1}{D} e^{\frac{\Phi}{D}} \right) = 0
$$
���ʤ��
$$
  \frac{d\nu}{dr} = \frac{\nu}{D} \cdot \frac{d\Phi}{dr}
$$
�Ȥʤ롣�������ʬ����
$$
  \nu = c e^{-\frac{\Phi}{D}} \eqno(3.3)
$$
�������롣$c$����ʬ����Ǥ��롣

(3.3)�������ޥ���������ʬ�ۤ����Ϥˤ�����̩�٤�ñ�̼��̤������
�ݥƥ󥷥�륨�ͥ륮���ʤ������äƥݥƥ󥷥��ˤȤδ֤δط��򼨤����Ǥ��롣

�ޤ��ͤ��Ƥ���ʿ�վ��֤ηϤϼ��ʽ��ϷϤǤ��뤫�顤�ݥ��å���������
$$
  \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr} \left( r^2 \frac{d\Phi}{dr} \right) 
= 4\pi Gm\nu \eqno(3.4)
$$
����������

(3.3)��(3.4)����̩�٤Τդ�ޤ��򵭽Ҥ�����ʬ������������졤
�������ʬ�����̩��ʬ�ۤ��狼�ꡤ
����̩��ʬ�ۤ�(3.3)�����������$\Phi$�Τդ�ޤ����狼�롣
����$\nu$��$\Phi$��(3.1)�����������ʬ�۴ؿ�$f(r, v^2)$���狼�롣
����ɤäƵ��Ƥ��������ޤ�(3.3)��(3.4)��ϢΩ������ȡ�
$$
  \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr} \left( r^2 \frac{d\ln \nu}{dr} \right) = 
-4\pi Gm\nu / D  \eqno(3.5)
$$
�������롣2������ʬ�������ʤΤǶ������򣲤�Ϳ���ʤ��Ȳ�Ϸ�ޤ�ʤ���
�濴�ˤ��������Ϳ���褦��1�Ĥ�$r=0$��$\nu = \nu_{0}$��

�⤦1�ġ���ʪ��Ū�˰�̣�Τ����ΤǤ��뤿��ˤ�$r=0$��$d\nu / dr = 0$�Ǥʤ���Фʤ�̡�
��ɡ��������ϡ�
$$
  \nu = \nu_{0}, \hspace*{0.5cm} \frac{d\nu}{dr} = 0 \hspace*{1cm} at \hspace*{0.5cm} r=0  \eqno(3.6)
$$
�Τ��ε����������ʤ褦�ˡ�������̵�����ѿ�����Ӵؿ���Ƴ������(3.5)��(3.6)��񤭴����褦��
���Τ褦���Ѵ����롧
$$ \begin{array}{l}
  r = R_{\xi} \\
  \nu = \eta \nu_{0} \\
  R^2 = D/4\pi Gm\nu_{0} 
\end{array} \eqno(3.7)
$$
������Ѥ���ȡ�(3.5)��
$$
  \frac{1}{\xi^2} \frac{d}{d\xi} \left( \xi^2 \frac{d\ln \eta}{d\xi} \right) 
= - \eta  \eqno(3.8)
$$
(3.6)�ζ�������
$$
  \xi = 0 \quad �ΤȤ� \qquad \eta = 1, \quad d\ln \eta / d\xi = 0  \eqno(3.9)
$$
�Ȥʤ롣

(3.5)�ϡ����Ȥ��Х����ɥ饻������ζ��ʽ��Stellar Structure�פ˺ܤäƤ����̤ꡤ
�ܤ���Ĵ�٤��Ƥ����������Ǥ��롣�����ǤϤ��μ�����������ǥ��������ȸƤ֤��Ȥˤ��롣
�¤ϡ����μ��ϲ���Ū����ʬ�Ǥ��ʤ��Τǡ�$\eta$���ʤ��$\nu$���ѿ����ۤʴؿ��Ȥ��ƽ񤱤���
�������ä�$f(r, v^2)$��$r$�˴ؤ����ۤʷ��˽�ɽ�碌�ʤ���
���Τ���ˡ��Τ�����ǹԤ���ʬ�ζ��礫�ݤ��ζ�̣�����ʤ���ɤ��ʤ�Τˤʤ롣

���������Ȥ⤫��$\eta$�Τդ�ޤ��Ͽ�����ʬ�ˤ�äƤ��Ǥ˽�ʬ�狼�äƤ��롣
�������ä�$\Phi(r)$�Τդ�ޤ���$f(r, v^2)$�Τդ�ޤ��⽽ʬ�ˤ狼�äƤ���ȻפäƤ褤��


\vspace{0.3cm}
\noindent
{\large \bf \S 4 ���ͥ륮�������̰���ξ��Τ�Ȥǡ�
����������ʽ��ϷϤΥ���ȥ��ԡ��Σ�����ʬ�����}

\vspace{0.2cm}

���餿�������������ʽ��ϷϤηϤΥ���ȥ��ԡ������̡����ͥ륮����ɽ����񤤤Ƥ�������
$$
  \displaystyle S = \int \nu \left( \frac{3}{2} \ln 2\pi D + \frac{3}{2} 
- \ln \nu \right) d{\bf r}  \eqno(4.1)
$$
$$
  \displaystyle M = m \int \nu d{\bf r}  \eqno(4.2) 
$$
$$
  \displaystyle E = m \int \left( \frac{3}{2} D + \frac{\Phi}{2} \right) 
\nu d{\bf r}  \eqno(4.3)
$$
��������
$$
  \nu = ce^{-\frac{\Phi}{D}}   \eqno(4.4)
$$
$$
  \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr} \left( r^2 \frac{d\Phi}{dr} \right) 
= 4\pi Gm \nu  \eqno(4.5)
$$
���������դ��٤����Ȥϡ���������������ʼ��ʽ��ϷϤ�(4.4)���������ʤ������ǡ�
�Ĥ�Σ��Ĥμ��򤹤٤��������Ƥ��뤳�ȤǤ��롣
�����Ƥ��Τ褦�������ʷϤ�̵�¤�¿�����ꡤ(4.4)�����������ʷϤ�
�������Ĥ����������ޤäƤ���ȹͤ����롣�桹�����줫���뤳�Ȥϡ�
�������Ϥ����ζ�˵�������Ϥ���٤��礭�ʥ���ȥ��ԡ�����Ĥ��ݤ��Ǥ��롣

��ʬ��Ȥ������ƴؿ�$S$����Ω�ѿ���ʬ�۴ؿ�$f(r, v^2)$�ʤΤǤ��뤬��
���Ǥ�$f$��®�ٰ�¸���������ޥ���������ȷ�ޤäƤ���Τǡ�
�Ѥ�����Τ�̩�ٰ�¸���Ĥޤ�̩��ʬ�ۤ����Ǥ��롣�ƴؿ�$S$����Ω�ѿ��ϡ�
������$\nu(r)$�Ǥ���ȻפäƤ褤��(4.1)�Ϥ��Ǥˤ����������򤷤Ƥ��롣
���뤤�ϡ�$\nu(r)$��$\Phi(r)$�ϥݥ��å����������ˤ�äư��Ū�˷�ӤĤ��Ƥ��뤫�顤
�ƴؿ�$S$����Ω�ѿ���$\Phi(r)$�ȻפäƤ�褤��
$\delta S$, $\delta M$, $\delta E$������ʬ�ؿ��ˤ�
$\delta \nu$, $\delta \Phi$, $\delta D$, �����äƤ��뤬��
��Ω�ʤΤϤ��Τ���1�Ĥ����Ǥ��롣2�������٤ޤ�$S$, $M$, $E$����ʬ��Ȥ�ȡ�
$$
  \displaystyle \delta S = \int \left\{ \nu \left[ \frac{3}{2} 
\frac{\delta D}{D} - 
\frac{3}{4} \left( \frac{\delta D}{D} \right)^2 \right] + \frac{3}{2} \delta 
\nu \frac{\delta D}{D} + \frac{3}{2} \delta \nu \ln D 
- (\ln \nu +1)\delta \nu - 
\frac{(\delta \nu)^2}{2\nu} \right\} d{\bf r}     \eqno(4.6) 
$$
$$
  \displaystyle \delta M = m \int \delta \nu d{\bf r} = 0  \eqno(4.7)
$$
$$
  \displaystyle \delta E = \frac{3}{2} m (\nu \delta D + D\delta \nu 
+ \delta D \delta \nu)
d{\bf r} + \frac{m}{2} \int (2\Phi \delta \nu + \delta \Phi \delta \nu)
d{\bf r} = 0  \eqno(4.8)
$$
��������(4.8)��Ƴ���ˤ����ä�
$$
  \int \Phi \delta \nu d{\bf r} = \int \nu \delta \Phi d{\bf r}
$$
�Ǥ��뤳�Ȥ����Ѥ���������ϥݥ��å������������Ѥ����ưפ˾����Ǥ��롣
����\S 1�ˤ������Ʊ�ͤˡ�$M$, $E$�����ˤ����Ȥ���$S$�ζ��硦�˾���Ĵ�٤�ˤϡ�
$\alpha$, $\beta$������Ȥ���$S + \alpha M + \beta E$����ʬ���̣����Ф褤��
��������ʬ��$(\delta S + \alpha \delta M + \beta \delta E)_{����}$�Ƚ񤭡�
��������ʬ��$(\delta S + \alpha \delta M + \beta \delta E)_{����}$�Ƚ񤱤С�
$$ \begin{array}{l}
  (\delta S + \alpha \delta M + \beta \delta E)_{����} \\
= \displaystyle \int \left( \frac{3}{2} \frac{\nu}{D} + 
\frac{3}{2} \beta m\nu \right) 
\delta D d{\bf r} \\
\hspace*{2cm} \displaystyle + \int \left( \frac{3}{2} \ln D - \ln \nu - 1 + \alpha m + 
\frac{3}{2} \beta mD + \beta m \Phi \right) \delta \nu d{\bf r} 
   \end{array}   \eqno(4.9)
$$
$$ \begin{array}{l}
  (\delta S + \alpha \delta M + \beta \delta E)_{����} \\
=  \displaystyle \int 
\left[ -\frac{(\delta \nu)^2}{2\nu} + \frac{3\nu}{4D^2}(\delta D)^2 + 
\frac{3}{2D} \delta \nu \delta D + 
\frac{3}{2} \beta m \delta D \delta \nu + 
\frac{1}{2} \beta m \delta \Phi \delta \nu  \right] d{\bf r} 
   \end{array} \eqno(4.10)
$$
����ȥ��ԡ������ͤˤʤ뤿���ɬ�׾���(4.9)��$0$�ˤʤ뤳�ȤǤ��뤬��
���Τ���ˤ�
$$ \begin{array}{l}
   \displaystyle \beta = \displaystyle - \frac{1}{mD} \\ 
   \displaystyle \alpha = \displaystyle \frac{1}{m} 
\left( \ln C + \frac{5}{2} - \frac{3}{2} \ln D \right)  
   \end{array} \eqno(4.11)
$$
�Ǥ���Ф褤���Ȥ��ưפ˳Τ�����롣
���ʤ����(4.1)��(4.5)������������������ʽ��ϷϤΥ���ȥ��ԡ��ϡ�
�Ϥμ��̤ȥ��ͥ륮������ꤹ��С������ʤ��Ȥ���α�ͤˤʤäƤ��롣
\S 1�ξ��Ȱ�äƺ����̩��ʬ�ۤΰۤʤ�Ϥ���Ӥ��Ƥ��뤳�Ȥ����դ��褦��
���$\alpha$, $\beta$���ͤ�(4.10)����������С�
$$ 
 (\delta S + \alpha \delta M + \beta \delta E)_{����} 
=  \displaystyle \int \left[ -\frac{(\delta \nu)^2}{2\nu} +  
\frac{3\nu}{4D^2} (\delta D)^2 + \frac{\delta \nu \delta \Phi}{2D} \right] 
d{\bf r} \eqno(4.12)
$$
���˽Ҥ٤��褦��$\delta D$��$\delta \Phi$��$\delta \nu$����Ω�ǤϤʤ���
$\delta D$��$\delta \nu$�ι��$\delta \Phi$�ˤ�äƽ�ľ������
�ޤ�$\delta D$���顣���ͥ륮������ξ��(4.8)���顤
$$
 \delta D = - \frac{2}{3} \cdot 
\frac{\int \Phi \delta \nu d{\bf r}}{\int \nu d{\bf r}} + \cdots  \eqno(4.13)
$$
�����ˤ����Ȥ����ϣ����ʾ�ι�Ǥ��ꡤ�����ǤϽ��פǤϤʤ���
�����ι��(4.12)����������ȣ����ʾ�ι�ˤʤäƤ��ޤ���
�ޤ�(4.13)��Ƴ���ˤ����äƤϡ�$\delta D$����ɸ�˰�¸���ʤ����Ȥ����Ѥ��������������ʬ�ΤȤ����������餫�Ǥ��롣
�������ʬ�Ǥ�®��ʬ�ۤ������ޥ���������˸��ꤷ�Ƥ��뤫��Ǥ��롣

(4.13)��(4.12)���������褦���ޤ�����ʸ�
$(\delta S + \alpha \delta M + \beta \delta E)_{����} = \delta S_{2}$�ȴ��ؤ˽񤳤���
$$
  \delta S_{2} = - \int \left[ \frac{(\delta \nu)^2}{2\nu} + 
\frac{\delta \nu \delta \Phi}{2D} \right] d{\bf r} - 
\frac{3(\int \Phi \delta \nu d{\bf r})^2}{4D^2 \int \nu d{\bf r}}
$$
$\nu$��$\Phi$�ϵ��оΤǤ��ꡤ$\delta \nu$��$\delta \Phi$����оΤˤȤ뤫�顤
�����ʬ���濴����ε�Υ$r$��������ʬ�ˤʤ롣�Ϥ�Ⱦ�¤�$r_{e}$�Ȥ���ȡ�
$$
  \delta S_{2} = - 2\pi \int^{r_{e}}_{0} \left[ \frac{(\delta \nu)^2}{\nu} + 
\frac{\delta \nu \delta \Phi}{D} \right] r^2 dr - 
\frac{4\pi (\int^{r_{e}}_{0} r^2 \Phi \delta \nu dr)^2}
{3D^2 \int^{r_{e}}_{0} r^2 \nu dr} \eqno(4.14)
$$
����$\delta \nu$��$\delta \Phi$��ɽ�魯���Ȥ��ĤäƤ��롣

�����ѿ�$T$�Ȥ��Ƽ��Τ褦���̤�Ƴ�����褦��
$$
  T = \frac{r^2}{4\pi mG} \cdot \frac{d \delta \Phi}{dr}  \eqno(4.15)
$$
�ݥ��å���������(3.4)���顤$\delta \nu$��$\delta \Phi$��
$$
  4\pi mG \delta \nu = \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr} 
\left( r^2 \frac{d \delta \Phi}{dr} \right) 
\eqno(4.16)
$$
�Ƿ�ӤĤ��Ƥ��롣���äơ�
$$
  \delta \nu = \frac{1}{r^2} \frac{dT}{dr}  \eqno(4.17)
$$
�Ǥ��롣�����(4.14)����������С����$\delta D$��$\delta \nu$��
$\delta \Phi$��ɽ�碌�����Ȥˤʤ롣

�Ȥ����ǡ�$\delta \Phi$�����ä�$T$�Ϥޤä���Ǥ�դǤϤʤ���
����������˽Ҥ٤��褦�˵��оΤȤ������¤ϤĤ��Ƥ��뤬��
����ʳ��˼��̰���Ȥ�����郎���롣(4.7)����
$$
  \int^{r_{e}}_{0} r^2 \delta \nu dr = 0 \eqno(4.18)
$$
�Ǥ��ꡤ���ä�
$$ \begin{array}{rl}
  & T(r_{e}) = T(0) = 0 \\
���� & \\
  & r \rightarrow 0 \quad �ΤȤ� \qquad T(r) \propto r^3
   \end{array}  \eqno(4.19)
$$
�Ǥ���ʤ��ξ�����Appendix I���ȡˡ�

(4.19)�κǽ�δط��������Ѥ��ơ�(4.14)��$\delta S_2$��񤭴����롣
�ޤ��裱��Σ����ܤ�
$$ 
  \displaystyle \int^{r_{e}}_{0} r^2 \delta \nu \delta \Phi dr = 
\int^{r_{e}}_{0} \frac{dT}{dr} \delta \Phi dr 
= - \int^{r_{e}}_{0} T \frac{d \delta \Phi}{dr}dr 
= -4\pi mG \int^{r_{e}}_{0} \frac{T^2}{r^2}dr 
$$
�裲���ʬ�Ҥ�
$$
  \int^{r_{e}}_{0} r^2 \Phi \delta \nu dr 
= \int^{r_{e}}_{0} \Phi \frac{dT}{dr}dr 
= - \int^{r_{e}}_{0} T \frac{d\Phi}{dr} dr
$$
���(4.14)��$\delta S_2$�ϼ��η��ˤʤ롧
$$ 
  \displaystyle \delta S_2 = - 2\pi \int^{r_{e}}_{0} 
\left[ \frac{1}{r^2 \nu} \left( \frac{dT}{dr} \right)^2 
- \frac{4\pi mG}{D} \frac{T^2}{r^2} \right] dr
- \frac{4\pi (\int^{r_{e}}_{0} T \frac{d\Phi}{dr}dr)^2}
{3D^2 \int^{r_{e}}_{0} r^2 \nu dr}  \eqno(4.20)
$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\large \bf \S 5 ����ʿ�յ�������ϤΥ�˥��������꡼��
 -- �ɤˤ����ޤ줿����ʿ�յ�������Ϥϥ��ͥ륮���ȼ��̤���ꤷ�Ƥ�ͣ��ǤϤʤ�}

\vspace{0.2cm}

�Ϥ򵭽Ҥ��뼰�򤢤餿��ƽ񤤤Ƥ�������(3.8)��(3.9)��ꡤ
$$
  \frac{1}{\xi^2} \frac{d}{d\xi} \left( \xi^2 \frac{d \ln \eta}{d\xi} \right)
 = - \eta  \eqno(5.1)
$$
$$ 
  \xi = 0 \quad �ΤȤ� \qquad 
\eta = 1, \quad d \ln \eta / d\xi = 0   \eqno(5.2)
$$
̩��$\nu$���濴����ε�Υ$r$��$\eta$��$\xi$�Ȥδط���(3.7)��ꡤ
$$ \begin{array}{lll}
  r &=& R\xi \\
  \nu &=& \nu_0 \eta \\
  R^2 &=& D/4\pi Gm \nu_0 
   \end{array} \eqno(5.3)
$$
������$\nu_0$���濴̩�٤Ǥ��롣

�Ϥ�Ⱦ�¤�$r_{e}$�Ȥ��������Ǥ�$\xi$��$\nu$��$\eta$�򤽤줾��
$\xi_{e}$��$\nu_{e}$��$\eta_{e}$�Ȥ��롣(5.3)��ꡤ
$$ \begin{array}{lcl}
  r_{e} &=& R\xi_{e} \\
  \nu_{e} &=& \nu_0 \eta_{e} 
\end{array} \eqno(5.4)
$$
�����������̤�$M$��$E$��$\xi_{e}$��ɽ�路�Ƥߤ褦��
���Τ���ˡ��ޤ�����̤δط�����Ƴ���Ƥ�����

����$M$��
$$
  M = 4\pi m \int_{0}^{r_{e}} r^2 \nu dr 
= 4\pi m \nu_0 R^3 \int_{0}^{\xi_{e}} \eta \xi^2 d\xi
$$
(5.3)�κǽ�ȺǸ�δط�����Ȥ��ȡ�
$$
  GM = D r_{e} \int_{0}^{\xi_{e}} \eta \xi^2 d\xi / \xi_{e}  \eqno(5.5)
$$
��ư���ͥ륮��$K$��
$$
  K = \frac{3}{2} MD  \qquad ((1.9)������餫) \eqno(5.6)
$$
�ݥƥ󥷥�륨�ͥ륮��$U$��
$$
  U = \frac{1}{2} MD \left[
- \frac{\int_{0}^{\xi_{e}} \eta \xi^2 \ln \eta d\xi}
{\int_{0}^{\xi_{e}} \eta \xi^2 d\xi} 
+ \ln \eta_{e} 
- \frac{\int_{0}^{\xi_{e}} \eta \xi^2 d\xi}{\xi_{e}} \right] 
\qquad��Appendix II���ȡ�
\eqno(5.7)
$$
���뤤��
$$
  U = MD \left[ \frac{\eta_{e} {\xi_{e}}^3}{\int_{0}^{\xi_{e}} \eta \xi^2 d\xi} 
- 3 \right] \qquad��Appendix III���ȡ�
\eqno(5.7)'
$$
���äƥ��ͥ륮��$E=K+U$��
$$
  E = MD \left[
\frac{\eta_{e} {\xi_{e}}^3}{\int_{0}^{\xi_{e}} \eta \xi^2 d\xi} 
- \frac{3}{2} \right]   \eqno(5.8)
$$
��δط������餤���������̤�$M$��$E$��$\xi_{e}$��ɽ�蘆��롣
$$
  D = \frac{E}{M} \left[ \frac{\eta_{e} {\xi_{e}}^3}
{\int_{0}^{\xi_{e}} \eta \xi^2 d\xi} - \frac{3}{2} \right]^{-1}  \eqno(5.9)
$$
$$
  K = \frac{3}{2} E \left[ \frac{\eta_{e} {\xi_{e}}^3}
{\int_{0}^{\xi_{e}} \eta \xi^2 d\xi} - \frac{3}{2} \right]^{-1} 
\eqno(5.10)
$$
$$
  U = E \left[ \frac{\eta_{e} {\xi_{e}}^3}
{\int_{0}^{\xi_{e}} \eta \xi^2 d\xi} - \frac{3}{2} \right]^{-1} 
\left[ \frac{\eta_{e} {\xi_{e}}^3}
{\int_{0}^{\xi_{e}} \eta \xi^2 d\xi} - 3 \right] 
\eqno(5.11)
$$
(5.5)����
$$
  r_{e} = \frac{GM^2}{E} \left[ \frac{\eta_{e} {\xi_{e}}^3}
{\int_{0}^{\xi_{e}} \eta \xi^2 d\xi} - \frac{3}{2} \right] 
\frac{\xi_{e}}
{\int_{0}^{\xi_{e}} \eta \xi^2 d\xi} 
\eqno(5.12)
$$
����¾��$R$��$\nu_{0}$��$\nu_{e}$�ʤɤ�$M$��$E$��$\xi_{e}$��ɽ�蘆��롣
�Ȥ���(5.12)�δط��򥰥�դ������Ƥߤ�ȼ��Τ褦�ˤʤ롣



\vspace*{4.5cm}
\hspace*{5cm} ��1 - fig1.pdf

\newpage
%\vspace*{4.5cm}
����ɽ��$-\ln \eta_{e}$��$\eta_{e}$���濴�Ȥؤ�Ȥ�̩����ˤˤȤäƤ��뤬��
$\eta_{e}$��$\xi_{e}$�Ȥ���������ǥ��������ˤ�äư��Ū�˷�ӤĤ��Ƥ���Τ�
����ʤ���������$\xi_{e}$���$\eta_{e}$������ʪ��Ū��̣�����餫�Ǥ��롣

���ƿޤ������餫�ʤ褦�ˡ�����ʿ�յ�������Ϥϥ��ͥ륮���ȼ��̤���ꤷ�Ƥ�
��դ˷�ޤ�ʤ����Ϥ�̩����$\eta_{e}$��ѥ�᡼�����ˤ���
ʿ�շϤΥ�˥��������꡼����ʤ��Ƥ��롣

$E$��$M$��$r_{e}$����ꤷ�Ƥ�Ϥ���դ˷�ޤ�ʤ���礬���롣
������$E$��$M$��$\xi_{e}$ (or $\eta_{e}$)����ꤹ��ȷϤϰ�դ˷�ޤ롣

$E$��$M$����ꤹ��ȡ�����Ⱦ�¡�$r_{e} = -0.335 GM^2/E $�ˤ���礭��
����ʿ�յ�������Ϥ�¸�ߤ��ʤ���

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\large \bf \S 6 $\delta S_2$��������̣���롣���Σ�} 

\vspace{0.2cm}

���줫��桹��Ĵ�٤�Τϡ�����οޤζ�����ΰ������б�����
����ʿ�յ�������ϤΥ���ȥ��ԡ��������ζ�˵������������������Ϥ�
����ȥ��ԡ�����Ƕ����ͤˤʤäƤ��뤫�ݤ��Ǥ��롣

�������Ʊ�ΤηϤδ֤���Ӥ���ΤǤϤʤ���
�������äƲ桹��$E$��$M$��$\xi_{e}$����ꤷ����ʬ��Ȥꡤ
�裲��ʬ$\delta S_2$��������̣���롣
�����Ƽ���$E$��$M$�Ϥ��Τޤޤˤ���$\xi_{e}$���̤��ͤˤ���
$E$��$M$�Ȥ��ο�����$\xi_{e}$�Τ�Ȥ��裲��ʬ$\delta S_2$��������̣���롣

�����ǡ�(4.20)��$\delta S_2$��ɽ����(3.7)���Ѥ��ƽ񤭴����롣
$$
  R^3 \nu_0 \delta S_2 
= -2\pi \int_{0}^{\xi_{e}} \left[ 
\frac{1}{\eta \xi^2} \left( \frac{dT}{d\xi} \right)^2 
- \frac{T^2}{\xi^2} \right] 
- \frac{4\pi (\int_{0}^{\xi_{e}} T \frac{d\Phi}{d\xi} d\xi)^2}
{3D^2 \int_{0}^{\xi_{e}} \eta \xi^2 d\xi}  \eqno(6.1)
$$
������$T=T(r)=T(R\xi)$��$\Phi = \Phi(r) = \Phi(R\xi)$�Ǥ��ꡤ
$E$��$M$��$\xi_{e}$����ꤹ���\S 5�Ǹ����褦��$R$��$\nu_0$��$D$����ޤ�Τǡ�
$T$��$\Phi$��$\xi$�δؿ��Ȥߤ뤳�Ȥ��Ǥ��롣
������(4.19)���$T$��$\xi$�δؿ��Ȥ��Ƽ����������ġ�
$$ \begin{array}{rl}
  & T(R\xi_{e}) = T(0) = 0 \\
���� \\
 & \xi \rightarrow 0 \quad �ΤȤ� \qquad  T \propto \xi^3  
\end{array}  \eqno(6.2)
$$
(6.1)�򸫤�Ф狼���̤ꡤ��2��Ͼ����ޤ���$0$�Ǥ��롣
������(6.2)�Σ����ܤξ����Ѥ���(6.1)����1���񤭴����Ƥߤ롧
$$
  -2\pi \int_{0}^{\xi_{e}} \left[ \frac{1}{\eta \xi^2}
\left( \frac{dT}{d\xi} \right)^2 - \frac{T^2}{\xi^2} \right] d\xi 
= 2\pi \int_{0}^{\xi_{e}} T \left[ \frac{d}{d\xi} 
\left( \frac{1}{\eta \xi^2} \frac{dT}{d\xi} \right) + 
\frac{T}{\xi^2} \right] d\xi
 \eqno(6.3)
$$
���줫��狼�뤳�Ȥ�$T$���⤷
$$
  \frac{d}{d\xi} \left( \frac{1}{\eta \xi^2} \frac{dT}{d\xi} \right) 
+ \frac{T}{\xi^2} = 0
$$
���������Ƥ���С�$\delta S_2$���裱���$0$�ˤʤ뤳�ȤǤ��롣
���������̤�$T$�Ϥ�����������Ȥϸ¤�ʤ���

�Ȥ����Ǿ����ʬ�������ϥ��ĥ�ࡦ��塼�ӥ뷿����ʬ�������Ǥ��롣

���̤�
$$
  \frac{d}{d\xi} \left( \frac{1}{\eta \xi^2} \frac{d\psi}{d\xi} \right) 
+ \lambda \frac{\psi}{\xi^2} = 0 
\eqno(6.4)
$$
�ʤ륹�ĥ�ࡦ��塼�ӥ뷿��ʬ��������$\psi(0) = \psi(\xi_{e}) = 0$�ʤ�
������郎Ϳ����줿��硤���Τ��Ȥ��狼�äƤ��롣
�����������$\lambda$������ˤ�Ϳ����줿�Ȥ���
����$\psi$��(6.4)���������ʤ�С�$\lambda$��(6.3)�θ�ͭ�ͤȸƤӡ�
$\psi$��$\lambda$���б������ͭ�ؿ��ȸƤ֡�

������ͭ�ͤ򾮤�������¤٤�Ȳ�������
$\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \cdots$�ˤʤꡤ������б�����
��ͭ�ؿ�����$\psi_{n}$�ϴ���ľ��Ϥ�ʤ����ޤ���(6.2)��Ʊ����������
������Ϣ³�ؿ�$T(\xi)$�ǡ���ʬŪ��Ϣ³�ʣ����ޤǤ�Ƴ�ؿ����Ĥ�ΤϤ��٤�
$$
  T(\xi) = \sum_{n} C_{n} \psi_{n} \eqno(6.5)
$$
��ɽ�蘆�졤�����¤����м�«���롣

������$n$��ͭ�ؿ��϶��($0, \xi_{e}$)��$n-1$��$0$�ˤʤ롣
�Ȥ����裱��ͭ�ؿ��϶�����$0$�ˤʤ�ʤ���

������֤�($0, \xi_{e}$)�ξ��θ�ͭ�͡�
��ͭ�ؿ���$\lambda_{n}��\psi_{n}$��
��֤�$(0, \xi_{e}')$�ξ��θ�ͭ�͡���ͭ�ؿ���
$\lambda_{n}', \psi_{n}'$�Ȥ���Ȥ���$\xi_{e}' > \xi_{e}$�ʤ��
$$
 \lambda_{n} \ge \lambda_{n}'
$$
���ơ�$\delta S_2$��ɽ��(6.1)�˴ޤޤ��$T$
�Ͼ��(6.2)������������ʴؿ��Ǥ��뤬��
���ˤ�ä�(6.5)�Τ褦�˸�ͭ�ؿ�Ÿ���Ǥ��롣
�ʾ���Ǥ���Ȥ��äƤ�$T$����ʬŪ��Ϣ³�ʣ����ޤǤ�Ƴ�ؿ�����äƤ���Ȳ��ꤹ���

$T$���º�(6.5)��Ÿ�����줿�Ȥ��ơ������(6.3)���������褦��
$$ \begin{array}{l}
��\displaystyle 2\pi \int_{0}^{\xi_{e}} T \left[ \frac{d}{d\xi}
\left( \frac{1}{\eta \xi^2} \frac{dT}{d\xi} \right) 
+ \frac{T}{\xi^2} \right] d\xi \\
= \displaystyle 2\pi \int_{0}^{\xi_{e}} (\sum_{n} C_{n} \psi_{n})
\left[ \frac{d}{d\xi} 
\left\{ \frac{1}{\eta \xi^2} \frac{d}{d\xi} (\sum_{m} C_{m} \psi_{m}) \right\} 
+\frac{1}{\xi^2} (\sum C_{m} \psi_{m}) \right] d\xi \\
= \displaystyle 2\pi \sum_{n,m} C_{n} C_{m} \int_{0}^{\xi_{e}} \psi_{n}
\left[ \frac{d}{d\xi} \left( \frac{1}{\eta \xi^2} \frac{d}{d\xi} \psi_{m} 
\right) + \frac{\psi_{m}}{\xi^2} \right] d\xi \\
= \displaystyle 2\pi \sum_{n,m} C_{n} C_{m} \int_{0}^{\xi_{e}} \psi_{n} 
     (1-\lambda_{m}) \frac{\psi_{m}}{\xi^2} d\xi \\
= \displaystyle 2\pi \sum_{n} C_{n}^2 (1-\lambda_{n}) \int_{0}^{\xi_{e}} 
\frac{\psi_{n}^2}{\xi^2} d\xi
   \end{array} \eqno(6.6)
$$
�������弰��Ƴ�Ф���ˤ����ä�
$$
  \frac{d}{d\xi} \left( \frac{1}{\eta \xi^2} \frac{d}{d\xi} \psi_{n} \right) 
+ \lambda_{n} \frac{\psi_{n}}{\xi^2} = 0  \eqno(6.7)
$$
$$
  \int_{0}^{\xi_{e}} \frac{\psi_{n} \psi_{m}}{\xi^2} d\xi = 0 
\qquad ( n \neq m )  \eqno(6.8)
$$
���Ѥ�����

(6.6)��$\lambda_{n} > 1 \quad (n=1, 2, \cdots)$�ʤ�Ĥͤ���Ǥ��롣
�Ĥޤ�$\lambda_{1} > 1$�ʤ���Ǥ��롣
���ΤȤ��ˤ�$\delta S_{2}$��Ǥ�դ�$T(\xi)$���Ф�����Ǥ��롣
������狼��褦�ˡ�
$\xi_{e} \rightarrow ��$�ΤȤ�$\lambda_{1} \rightarrow ��$�Ǥ��롣
������$ \xi_{e}$���ͤˤ�ä�(6.6)�����ˤʤä��ꡤ��ˤʤä��ꤹ���ͽ�ۤ���롣

�����Ƽºݡ��������ˤ��С�$\xi_{e} \rightarrow 0$�ΤȤ�
$\lambda_{1} \rightarrow \infty$�Ǥ��뤳�Ȥ��狼�롣
�Ȥ����Τϡ�����$ \xi_{e}$��Ȥä��Ȥ��θ�ͭ�ͤ�
$\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_{n}, \cdots$, 
�б������ͭ�ؿ���$\varphi_1, \varphi_2, \cdots, \varphi_{n}, \cdots$,
�Ȥ����Ȥ���
$\varphi_{n}$�κǽ��������$ \xi_{e}' $�Ȥ���С�
���($0, \xi_{e}'$)�ˤ�����ǽ�θ�ͭ�ͤȸ�ͭ�ؿ���
$ \lambda_{n}$��$\varphi_{n}$�Ǥ��롣
$n$���礭���Ȥ��$ \lambda_{n}$�Ϥ�����Ǥ��礭���ʤ롣

���ä�$\delta S_2$����ˤʤ�褦��$\xi_{e}$��ɬ��¸�ߤ���
$ \xi_{e}$�������꾮������С���Ϥ�$\delta S_2$����ˤʤ롣
�Ĥޤ�����Ū�˸����С�$\rho_{c} / \rho_{e}$���濴�Ȥؤ��̩�����
�ξ���������ʿ�յ�������ϤΥ���ȥ��ԡ��϶���Ǥ��ꡤ����Ǥ��롣

�����������$\lambda_1 = 1$�Ȥʤ�褦��$\xi_{e}$����뤳�Ȥˤʤ롣

���ޡ�
$$
  \varphi(\xi) = - RD \xi^2 \frac{d}{d\xi}
\left( \xi \frac{d \ln \eta}{d\xi} \right) 
= RD \left( \eta \xi^3 + \xi^2 \frac{d \ln \eta}{d\xi} \right) 
\eqno(6.9)
$$
��ͤ���ȡ�
$$
  \frac{d}{d\xi} \left( \frac{1}{\eta \xi^2} \frac{d\varphi}{d\xi} \right) 
+ \frac{\varphi}{\xi^2} = 0  \eqno(6.10)
$$
�Ǥ��롣���ʤ��$\varphi$����ʬ������(6.4)�θ�ͭ�ͣ����б������ͭ�ؿ��Ǥ��롣
������$\varphi$�κǽ��������$\xi_{e}$�����٤С�
���$(0,\xi_{e})$�ˤ�����ǽ�θ�ͭ�ͤ����ˤʤ롣

$\varphi(\xi)$�Τդ�ޤ��������ʬ�ˤ�ä�Ĵ�٤�ȡ�
$$ \begin{array}{lcl}
  \xi &=& \xi_0 = 0 \\
  \xi &=& \xi_1 \simeq 8.9 \\
  \xi &=& \xi_2 \simeq 98 \\
  \xi &=& \xi_3 \qquad( \quad > 800)\\
       && \cdots \\
  \xi &=& \xi_{n} \\
       && \cdots 
\end{array}
$$
�ΤȤ�$\varphi(\xi)=0$�Ǥ��롣$\varphi(\xi)$������Ū�ʤդ�ޤ���
�ޤ������м��Τ褦�ˤʤ롧

\vspace*{2.5cm}
\hspace*{5cm} ��2 - fig2.pdf

\vspace*{2.5cm}
�ʾ�Τ��Ȥ���$\xi_{e} < \xi_1$�ΤȤ��ˤ�
����ʿ�յ�������ϤΥ���ȥ��ԡ��϶���Ǥ��ꡤ�Ϥϰ���Ǥ��뤳�Ȥ��狼�롣


����$\xi_{e} = \xi_1$�ΤȤ��ˤ�$T=C \varphi(\xi)$�ΤȤ���
$\delta S_2$��ɽ��(6.1)���裱���$0$�ˤʤ롣
Ʊ�����裲���$0$�ˤʤ�С�$\delta S_2 =0$�Ȥʤä�
����ȥ��ԡ������礫�ɤ����狼��ʤ���
������$T=C \varphi(\xi)$�ΤȤ����裲�����Ƥߤ褦��
$$
  \int_{0}^{\xi_1} T \frac{d\Phi}{d\xi} d\xi 
= C \int_{0}^{\xi_1} \varphi(\xi) \frac{d\Phi}{d\xi} d\xi
$$
$\varphi(\xi)$�϶��($0$, $\xi_1$)�����Ǥ��ꡤ
(4.4)����$d\Phi / d\xi = -D d \ln \eta / d\xi > 0$�Ǥ��뤫��
�����ʬ��$0$�ˤʤ�ʤ������ä�$\delta S_2$���裲�����Ǥ��롣

���$\xi_{e} \le \xi_1$�ΤȤ�������ʿ�յ�������ϤΥ���ȥ��ԡ���
����Ǥ��ꡤ�Ϥϰ���Ǥ��롣

$E$, $M$����ꤷ���Ȥ��ΰ��������ʿ�յ�������Ϥ�Ⱦ�¤�
(5.12)�ˤ�ä�Ϳ�����롣


\vspace{0.3cm}
\noindent
{\large \bf \S 7 $\delta S_2$��������̣���롣���Σ�}

\vspace{0.2cm}
$\xi_{e} > \xi_1$�ξ���ͤ��褦�����ΤȤ�(6.4)�κǽ�θ�ͭ��
$\lambda_1 <1$�Ǥ��ꡤ���ä�(6.6)�����ˤ���褦��$T$��¸�ߤ����롣
���Τ褦��$T$��Ȥ�ȡ�$\delta S_2$��ɽ��(6.1)���裱�������
�裲���$0$�ʤ�������Ȥʤꡤ�裱����裲��������ͤ��羮������ˤʤ�Τ�
������ܤ������Ϥ�ɬ�פǤ��롣

���餿���(6.1)��(6.4)��񤤤Ƥ�������
$$  \begin{array}{lcl}
��R^3 \nu_{0} \delta S_2 
&=& \displaystyle 2\pi \int_{0}^{\xi_{e}} T \left[ \frac{d}{d\xi}
\left( \frac{1}{\eta \xi^2} \frac{dT}{d\xi} \right) 
+ \frac{T}{\xi^2} \right] d\xi 
- \frac{4\pi ( \int_{0}^{\xi_{e}} T \frac{d \ln \eta}{d\xi} d\xi)^2}
{3 \int_{0}^{\xi_{e}} \eta \xi^2 d\xi} \\
&=& \displaystyle 2\pi \sum_{n} C_{n}^2 (1-\lambda_{n}) 
\int_{0}^{\xi_{e}} \frac{\psi_{n}^2}{\xi^2} d\xi 
- \frac{4\pi ( \int_{0}^{\xi_{e}} T \frac{d \ln \eta}{d\xi} d\xi)^2}
{3 \int_{0}^{\xi_{e}} \eta \xi^2 d\xi} 
 \end{array} \eqno(7.1)
$$
$$
  \frac{d}{d\xi} \left( \frac{1}{\eta \xi^2} \frac{d\psi_{n}}{d\xi} \right) 
+ \lambda_{n} \frac{\psi_{n}}{\xi^2} = 0 \qquad (n=1,2,\cdots) 
\eqno(7.2)
$$
������
$$
  T(\xi) = \sum_{n} C_{n} \psi_{n}  \eqno(7.3)
$$
�ޤ�
$$
  \frac{d}{d\xi} \left( \frac{1}{\eta \xi^2} \frac{d\varphi}{d\xi} \right) 
+ \frac{\varphi}{\xi^2} = 0  \eqno(7.4)
$$
�Ϥ����$\xi_{e}$���礭���Ȥ�����$\xi_{e}=\xi_{2}$�Ȥ��Ƥߤ롣
$\xi_{2}$��$\varphi(\xi)$�����Σ����ܤ������Ǥ��롣
�����$\varphi = \psi_2$������ܰ㤤���뤬���Ͻ��פǤʤ��Τ�̵��ˤǤ��ꡤ
$\lambda_2 = 1$�Ǥ��롣����$\lambda_1 < 1$�Ǥ��롣

$T(\xi) = C_1 \psi_1 + C_2 \psi_2$�Ȥ��Ƥߤ褦��
�����(7.1)���裱���$C_1 \neq 0$�Ǥ���¤����Ǥ��롣
����(7.1)���裲���ɾ�����褦��
$$
  \int_{0}^{\xi_{e}} T \frac{d\ln \eta}{d\xi} d\xi 
= C_1 \int_{0}^{\xi_{e}} \psi_1 \frac{d\ln \eta}{d\xi} d\xi
+ C_2 \int_{0}^{\xi_{e}} \psi_2 \frac{d\ln \eta}{d\xi} d\xi \eqno(7.5)
$$
���$(0, \xi_2)$��$\psi_1 >0$, $d\ln \eta / d\xi < 0$�Ǥ��뤫��
�裱�����Ǥ��롣�������裲�����ʬ��$0$�Ǥʤ��¤ꡤ
$$
  C_1 / C_2 = - \int_{0}^{\xi_{e}} \psi_2 \frac{d\ln \eta}{d\xi} d\xi 
\left/ \int_{0}^{\xi_{e}} \psi_1 \frac{d\ln \eta}{d\xi} d\xi \right.
$$
�ʤ�$C_1$, $C_2$�ʤȤ��$\neq 0$�ˤ�Ȥä�(7.5)��$0$�ˤ��뤳�Ȥ��Ǥ��롣
�º�$\psi_2 = \varphi(\xi) = \xi^2 \frac{d}{d\xi} 
\left( \xi \frac{d\ln \eta}{d\xi} \right)$����������
(7.5)���裲�����ʬ�����$0$�Ǥʤ����Ȥ��狼�뤫�顤(7.5)��$0$�ˤǤ��롣

���$\xi_{e} = \xi_1$�ΤȤ��ˤ�
$T = C_1 \psi_1 + C_2 \psi_2$��$C_1 \neq 0, \quad C_2 \neq 0$�ˤ����äơ�
����$T$���Ф��Ƥ�$\delta S_2 > 0$�Ȥʤ롣������$\xi_{e} = \xi_2$�ΤȤ��ˤ�
����ʿ�յ�������ϤΥ���ȥ��ԡ��϶���Ǥʤ����Ϥϰ���Ǥʤ���


����$\xi_1 < \xi_{e} < \xi_2$�ξ���ͤ��褦��

���δؿ���Ƴ�����롣
$$
  T_0 \equiv \varphi(\xi) + \frac{\varphi(\xi_{e})}
{\int_{0}^{\xi_{e}} \eta \xi^2 d\xi} \xi^2 \frac{d\ln \eta}{d\xi} 
\eqno(7.6)
$$
���餫��$T_0(0) = T_0 (\xi_{e}) = 0$�Ǥ��롣
�ޤ�$\xi \to 0$�ΤȤ�$T_0 \propto \xi^3$�Ǥ��롣
�����$\xi \to 0$�ΤȤ�$d\ln \eta / d\xi = - \xi / 3 + \xi^3 / 30$���Ѥ����
�������ˤ狼�롣�������ä�$T_0$��(4.19)���������Ƥ���Τǡ�$T$�Ȥ��ƻȤ��롣

$T=T_{0}$�ξ���$\delta S_2$��ɾ�����褦���ޤ�$\delta S_2$���裱��
$$ 
\displaystyle 
  2\pi \int_{0}^{\xi_{e}} T_0 \left[ \frac{d}{d\xi}
\left( \frac{1}{\eta \xi^2} \frac{d T_0}{d\xi} \right) 
+ \frac{T_0}{\xi^2} \right] d\xi 
= 2\pi \frac{\varphi(\xi_{e})}{\int_{0}^{\xi_{e}} 
\eta \xi^2 d\xi}
\int_{0}^{\xi_{e}} T_0 \frac{d\ln \eta}{d\xi} d\xi  \eqno(7.7)
$$
�Τ�
$$
  R^3 \nu_0 \delta S_2 = \displaystyle \left( \varphi(\xi_{e}) -
\frac{2}{3} \int_{0}^{\xi_{e}} T_0 \frac{d\ln \eta}{d\xi} d\xi \right)
\frac{2\pi \int_{0}^{\xi_{e}} T_0 \frac{d\ln \eta}{d\xi} d \xi }
{\int_{0}^{\xi_{e}} \eta \xi^2 d\xi}  
\eqno(7.8)
$$
�Ȥ����ǡ�����Ǽ������褦�ˡ�$\xi_{e} < \xi_1$�ΤȤ��ˤ�
Ǥ�դ�$T$���Ф��ơ�$\delta S_2$���裱�����Ǥ��롣���ʤ��(7.7)����Ǥ��롣
�������ä�$\xi_{e} < \xi_1$�ΤȤ�
$\int_{0}^{\xi_{e}} T_0 \frac{d\ln \eta}{d\xi} d\xi < 0$�Ǥ��롣
�ޤ�$\xi_{e} = \xi_1$�ΤȤ��ˤ�$T_0 = \varphi(\xi)$�Ǥ��뤫��
$\int_{0}^{\xi_{e}} T_0 \frac{d\ln \eta}{d\xi} d\xi 
= \int_{0}^{\xi_{e}} \varphi \frac{d\ln \eta}{d\xi} d\xi < 0$�Ǥ��롣
�ޤȤ��ȡ�$\xi_{e} \le \xi_1$�ΤȤ�
$$
  \int_{0}^{\xi_{e}} T_0 \frac{d\ln \eta}{d\xi} d\xi < 0  \eqno (7.9)
$$
�������ä�$\xi_{e} \le \xi_1$�ΤȤ�(7.8)�Υ��å���μ������Ǥ��롣
�Ȥ�������˾ܤ����׻��Ǽ����������($\xi_1$, $\xi_2$)���
����$\xi_{k}$�򶭤�(7.8)�Υ��å���μ�����������ˤʤ롣
���($\xi_1$, $\xi_{k}$)��Ǥ�$\varphi (\xi_{e}) < 0$�Ǥ��뤫�顤
���ζ�����(7.9)��������������Ω�ġ�

��˽Ҥ٤����Ȥ���狼��褦��$\xi_{e} > \xi_{k}$�ΤȤ��ˤϡ�
$\xi_{e}$��(7.9)���������¤�$\delta S_2$��ɽ�������ˤʤ롣
�Ȥ�����Appendix�Ǽ����褦��$\xi_{e} = \xi_{e}^{*}$��$\delta S_2$��
���ˤʤꤦ��ʤ��$\xi_{e} > \xi_{e}^{*}$�Ǥ����ˤʤꤦ�롣
�������äƤ��٤Ƥ�$\xi_{e} > \xi_{k}$��$\delta S_2$�����ˤʤꤦ�롣
������$\xi_{e} > \xi_{k}$�ΤȤ�����ʿ�յ�������ϤΥ���ȥ��ԡ���
����Ǥʤ����Ϥϰ���Ǥʤ���


����$\xi_{e} = \xi_{k}$�ΤȤ�$\delta S_2$���褷�����ˤʤ�ʤ����Ȥ�
�������褦��Appendix�Ǽ����褦��$\xi_{e} = \xi_{e}^{*}$��$\delta S_2$��
�褷�����ˤʤ�ʤ��ʤ�С�$\xi_{e} < \xi_{e}^{*}$�Ǥ�$\delta S_2$��
ɬ����Ǥ��롣�������ä�$\xi_{e} = \xi_{k}$�ΤȤ���$\delta S_2$��
�褷�����ˤʤ�ʤ����Ȥ����������С�$\xi_{e} < \xi_{k}$��
$\delta S_2$��ɬ����Ǥ��ꡤ����ʿ�յ�������ϤΥ���ȥ��ԡ��϶���Ǥ��ꡤ
�Ϥϰ���Ǥ��뤳�Ȥ��狼�롣

$\xi_{e} = \xi_{k}$�ȤȤ롣�ޤ�Ǥ�դ�$T$�����η���ɽ�蘆��뤳�Ȥ򼨤�����
$$
  T = \tau T_0 + T_1  \eqno(7.10)
$$
��������$T_1$�ϼ��ξ��˽�����ΤȤ��롧
$$
  \int_{0}^{\xi_{k}} \frac{T_1 \psi_1}{\xi^2} d\xi = 0  \eqno(7.11)
$$
$\psi_1$��$\psi_1(0) = \psi_1(\xi_{k}) = 0$��������(7.2)���裱�θ�ͭ�ؿ��Ǥ��롣
$$
  \tau = \int_{0}^{\xi_{k}} \frac{T \psi_1}{\xi^2} d\xi \left/ 
\int_{0}^{\xi_{k}} \frac{T_0 \psi_1}{\xi^2} d\xi \right.  \eqno(7.12)
$$
�ʤ����$\tau$��ͤ���ȡ����餫��
$\int_{0}^{\xi_{k}} (T- \tau T_0) \psi_1 / \xi^2 d\xi = 0$�Ǥ��롣
���ä�$T_1 = T - \tau T_0$�Ȥ����С�$T_1$��(7.11)����������
�Ĥޤ�$T_0$��(7.11)��������$T_1$�ˤ�ä�$T$��(7.10)�Τ褦��ʬ������
���Ȥˤʤ롣������(7.12)��ʬ�줬$0$�ˤʤäƤϤ����ʤ���

�Ȥ�����$\xi_{e} = \xi_{k}$�ΤȤ�$\delta S_2$���裱��(7.7)�����Ǥ��ä����顤
(7.1)�򸫤�Ф狼��褦�ˡ�$T_0 = \sum C_{n} \psi_{n}$�Ȥ����Ȥ�
$C_1 \neq 0$�Ǥ��롣��ä�(7.12)��ʬ���$0$�ˤϤʤ�ʤ���

����(7.10)��$\delta S_2$��ɽ��(7.1)���������褦��
$$ \begin{array}{l}
  R^3 \nu_0 \delta S_2 \\
= \displaystyle 2\pi \int_{0}^{\xi_{k}} (\tau T_0 + T_1) 
  \left[ \frac{d}{d\xi} 
\left( \frac{1}{\eta \xi^2} \frac{d(\tau T_0 + T_1)}{d\xi} \right) 
+ \frac{1}{\xi^2} (\tau T_0 + T_1) \right] d\xi \\
\hspace*{4cm} \displaystyle - \frac{4\pi}{3} 
\frac{ \left( \int_{0}^{\xi_{k}} (\tau T_0 + T_1) 
\frac{d\ln \eta}{d\xi} d\xi \right)^2}
{\int_{0}^{\xi_{k}} \eta \xi^2 d\xi}
  \end{array} \eqno(7.13)
$$
���Τ���$\tau$�˴ؤ���2���ι��
$$
  \tau^2 \left\{ 2\pi \int_{0}^{\xi_{k}} T_0 
\left[ \frac{d}{d\xi} \left( \frac{1}{\eta \xi^2} \frac{dT_0}{d\xi} \right) 
+ \frac{T_0}{\xi^2} \right] d\xi 
- \frac{4\pi}{3} \frac{ \left( \int_{0}^{\xi_{k}} T_0 
  \frac{d\ln \eta}{d\xi} d\xi \right)^2}
 {\int_{0}^{\xi_{k}} \eta \xi^2 d\xi} \right\}
$$
�����$\xi_{k}$������ˤ�ä�$0$�Ǥ��롣

$\tau$�˴ؤ��ƣ����ι��
$$ \begin{array}{l}
  \displaystyle \tau \left\{ 2\pi \int_{0}^{\xi_{k}} 
\left[ T_0 \frac{d}{d\xi} \left( \frac{1}{\eta \xi^2} \frac{dT_1}{d\xi} \right) 
+ T_1 \frac{d}{d\xi} \left( \frac{1}{\eta \xi^2} \frac{dT_0}{d\xi} \right) 
+ \frac{2 T_0 T_1}{\xi^2} \right] d\xi \right. \\
\hspace*{5cm} \displaystyle \left. - \frac{8\pi}{3} 
\frac{\int_{0}^{\xi_{k}} T_0 \frac{d\ln \eta}{d\xi} d\xi 
\int_{0}^{\xi_{k}} T_1 \frac{d\ln \eta}{d\xi} d\xi }
{\int_{0}^{\xi_{k}} \eta \xi^2 d\xi} \right\} 
\end{array}
$$
�Ȥ�������ʬ��ʬ����Ф狼��褦��
$\int_{0}^{\xi_{k}} T_0 \frac{d}{d\xi} 
\left( \frac{1}{\eta \xi^2} \frac{dT_1}{d\xi} \right) d\xi =
\int_{0}^{\xi_{k}} T_1 \frac{d}{d\xi} 
\left( \frac{1}{\eta \xi^2} \frac{dT_0}{d\xi} \right) d\xi$�Ǥ��뤫�顤
�弰�ϼ��Τ褦�ˤʤ롧
$$
  2\tau \left\{ 2\pi \int_{0}^{\xi_{k}} T_1 
\left[ \frac{d}{d\xi} \left( \frac{1}{\eta \xi^2} \frac{dT_0}{d\xi} \right) 
+ \frac{T_0}{\xi^2} \right] d\xi - \frac{4\pi}{3}
\frac{\int_{0}^{\xi_{k}} T_0 \frac{d\ln \eta}{d\xi} d\xi 
\int_{0}^{\xi_{k}} T_1 \frac{d\ln \eta}{d\xi} d\xi}
{\int_{0}^{\xi_{k}} \eta \xi^2 d\xi} \right\}
$$
(7.6)���Ѥ����
$\frac{d}{d\xi} \left( \frac{1}{\eta \xi^2} \frac{dT_0}{\xi^2} \right) 
+ \frac{T_0}{\xi^2} = \frac{d\ln \eta}{d\xi} \varphi(\xi_{e}) 
/ \int_{0}^{\xi_{k}} \eta \xi^2 d\xi$
�Ǥ��뤫�顤�弰�Ϥ���˼��Τ褦�ˤʤ롣
$$
  2\tau \left\{ \left[ \varphi(\xi_{e}) - \frac{2}{3}
\int_{0}^{\xi_{k}} T_0 \frac{d\ln \eta}{d\xi} d\xi \right] 
\frac{2\pi \int_{0}^{\xi_{k}} T_1 \frac{d\ln \eta}{d\xi} d\xi}
{\int_{0}^{\xi_{k}} \eta \xi^2 d\xi} \right\}
$$
�����$\xi_{k}$������ˤ�ä�$0$�Ǥ��롣

$\tau$�˴ؤ���0���ι��
$$
  2\pi \int_{0}^{\xi_{k}} T_1 \left[
\frac{d}{d\xi} \left( \frac{1}{\eta \xi^2} \frac{dT_1}{d\xi} \right) 
+ \frac{T_1}{\xi^2} \right] d\xi - \frac{4\pi}{3}
\frac{(\int_{0}^{\xi_{k}} T_1 \frac{d\ln \eta}{d\xi} d\xi)^2}
{\int_{0}^{\xi_{k}} \eta \xi^2 d\xi}
$$
�Ȥʤ롣(7.11)���θ�������$T_1$���ͭ�ؿ�Ÿ�������
$T_1 = \sum_{n=2}^{\infty} C_{n} \psi_{n}$�Ȥʤ뤫��
�����弰����1������������
$$
  2\pi \sum_{n=2}^{\infty} C_{n}^2 (1-\lambda_{n})
\int_{0}^{\xi_{k}} \frac{\psi_{n}}{\xi^2} d\xi
$$
�Ȥʤ뤬��$\lambda_{n} > 1$��$n=2, 3, \cdots$�ˤǤ��뤫�餳�����Ǥ��롣
�������ä�$\tau$�˴ؤ���0���ι��$T_1 \neq 0$�Ǥ���¤���Ǥ��롣

�����$\xi_{e} = \xi_{k}$�ΤȤ�$\delta S_2$���褷�����ˤʤ�ʤ����Ȥ�
�������줿��

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\large \bf \S 8 $\xi_{k}$�����}

\vspace{0.2cm}
$\xi_{k}$������μ��ϼ����Ǥ��롧
$$
  \varphi(\xi_{k}) 
- \frac{2}{3} \int_{0}^{\xi_{k}} T_0 \frac{d\ln \eta}{d\xi} d\xi = 0 
\eqno(8.1)
$$
(6.9), (7.6)���Ѥ���$\varphi$��$T_{0}$��$\eta$��$\xi$��ɽ�路��
(8.1)���������褦��������
$\mu \equiv \varphi (\xi_{k}) / \int_{0}^{\xi_{k}} \eta \xi^2 d\xi$�Ȥ��롣
$$ \begin{array}{r}
 \displaystyle RD \left\{ \eta \xi^3 + \xi^2 \frac{d\ln \eta}{d\xi} 
\right\}_{\xi=\xi_{k}} - \frac{2}{3} \int_{0}^{\xi_{k}} RD 
\left\{ \eta \xi^3 + \xi^2 \frac{d\ln \eta}{d\xi} \right\} 
\frac{d\ln \eta}{d\xi} d\xi 
- \frac{2\mu}{3} \int_{0}^{\xi_{k}} \xi^2 
\left( \frac{d\ln \eta}{d\xi} \right)^2 d\xi \\
= 0 \\ 
 \end{array}   
$$
or
$$ \begin{array}{r}
\displaystyle \left\{ \eta \xi^3 + 
\xi^2 \frac{d\ln \eta}{d\xi} \right\}_{\xi=\xi_{k}} 
- \frac{2}{3} \int_{0}^{\xi_{k}} \eta \xi^3 
\frac{d\ln \eta}{d\xi} d\xi
- \frac{2}{3} \left( 1+\frac{\mu}{RD} \right) 
\int_{0}^{\xi_{k}} \xi^2 \left( \frac{d\ln \eta}{d\xi} \right)^2 d\xi \\
= 0 
 \end{array} \eqno(8.2)
$$
�弰�����ʬ��$\eta_{k}$��$\xi_{k}$��ɽ�綠����
$$ \begin{array}{lcl}
\displaystyle 
\int_{0}^{\xi_{k}} \eta \xi^3 \frac{d\ln \eta}{d\xi} d\xi 
= \displaystyle \int_{0}^{\xi_{k}} \xi^3 \frac{d\eta}{d\xi} d\xi 
&=& \displaystyle \left[ \xi^3 \eta \right]_{0}^{\xi_{e}} 
- 3 \int_{0}^{\xi_{k}} \xi^2 \eta d\xi \\
&=& \displaystyle \eta_{k} \xi_{k}^3 
+ 3 \left\{ \xi^2 \frac{d\ln \eta}{d\xi} \right\}_{\xi= \xi_{k}} 
   \end{array} 
$$
$$ \begin{array}{lcl}
\displaystyle 
\int_{0}^{\xi_{k}} \xi^3 \left( \frac{d\ln \eta}{d\xi} \right)^2 d\xi 
&=&\displaystyle  \left[ \frac{\xi^3}{3} 
\left( \frac{d\ln \eta}{d\xi} \right)^2 \right]_{0}^{\xi_{k}} 
- \frac{2}{3} \int_{0}^{\xi_{k}} \xi^3 \frac{d\ln \eta}{d\xi} 
\frac{d^2 \ln \eta}{d\xi^2} d\xi \\
&=& \displaystyle \left\{ \frac{\xi^3}{3} 
\left( \frac{d\ln \eta}{d\xi} \right)^2 \right\}_{\xi=\xi_{k}} 
- \frac{2}{3} \int_{0}^{\xi_{k}} \xi^3 \frac{d\ln \eta}{d\xi} 
\left( -\eta - \frac{2}{\xi} \frac{d\ln \eta}{d\xi} \right) d\xi
   \end{array} 
$$
�Τ�
$$ \begin{array}{lcl}
\displaystyle 
\int_{0}^{\xi_{k}} \xi^2 \left( \frac{d\ln \eta}{d\xi} \right)^2 d\xi 
&=& \displaystyle - \left\{ \xi^3 \left( \frac{d\ln \eta}{d\xi} \right)^2 
\right\}_{\xi=\xi_{k}} 
- 2 \int_{0}^{\xi_{k}} \eta \xi^3 \frac{d\ln \eta}{d\xi} d\xi \\
\displaystyle 
&=& \displaystyle  - \left\{ \xi^3 \left( \frac{d\ln \eta}{d\xi} \right)^2 
\right\}_{\xi=\xi_{k}} 
- 2 \eta_{k} \xi_{k}^3 
- 6 \left\{ \xi^2 \frac{d\ln \eta}{d\xi} \right\}_{\xi=\xi_{k}} 
   \end{array}
$$
������(8.2)���������褦��$1 + \frac{\mu}{RD} = - \eta_{k} \xi_{k} 
/ ( \frac{d\ln \eta}{d\xi} )_{\xi=\xi_{k}}$�����դ��褦��
$$ 
\displaystyle 
  11 \eta_{k} \xi_{k}^3 
+ 3\left( \xi^2 \frac{d\ln \eta}{d\xi} \right)_{\xi_{k}} 
+ 2 \eta_{k} \xi_{k}^4 \left( \frac{d\ln \eta}{d\xi} \right)_{\xi_{k}} 
+ 4 \eta_{k}^2 \xi_{k}^4 \left/ 
\left( \frac{d\ln \eta}{d\xi} \right)_{\xi_{k}} \right.
= 0  \eqno(8.3)
$$
�����ǡ���������������$x$, $y$���������褦��
$$ \begin{array}{lcl}
  x & \equiv & \displaystyle - \xi \frac{d\ln \eta}{d\xi} \\
  y & \equiv & \displaystyle \xi \frac{dx}{d\xi} = - \xi \frac{d}{d\xi}
\left( \xi \frac{d\ln \eta}{d\xi} \right) 
\end{array}  \eqno(8.4)
$$
�������������ǥ�������(3.8)�ϼ����Ȥʤ롣
$$
  x + y = \eta \xi^2  \eqno(8.5)
$$
$x_{k} = x(\xi_{k})$, $y_{k} = y(\xi_{k})$�Ȥ����ơ�(8.3)���ľ������
$$
  11 (x_{k} + y_{k}) \xi_{k} - 3x_{k} \xi_{k} 
- 2(x_{k} + y_{k}) x_{k} \xi_{k} -4(x_{k} + y_{k})^2 \frac{\xi_{k}}{x_{k}} = 0
$$
$\xi_{k} \neq 0$�Ǥ��뤫��弰��$\xi_{k}$�ǳ�ꡤ
$x_{k}$��褸��$y_{k}$�ι߶ҽ����������ȡ�
$$
  4y_{k}^2 + (2x_{k}^2 - 3x_{k}) y_{k} + 2x_{k}^3 - 4x_{k}^2 = 0
$$
�Ȥʤꡤ�����򤱤С�
$$
  y_{k} = \frac{-2x_{k}^2 +3x_{k} \pm x_{k} \sqrt{4x_{k}^2 -44x_{k} +73}}{8} 
\eqno(8.6)
$$
�Ȥʤ롣

����դ��Ѥ���$x_{k}$, $y_{k}$����褦��($x$, $y$)ʿ�̤�ͤ��롣
��($x_{k}$, $y_{k}$)�϶���(8.6)��ˤ��롣
�ޤ�($x_{k}$, $y_{k}$)��(8.4)������ˤ�ä���������ǥ����(8.5)��ˤ��롣
������($x_{k}$, $y_{k}$)�Ϥ��������(8.5)�ȶ���(8.6)�θ����Ǥ��롣
�ܤ������ȤϿ��ͷ׻��˾���Ȥ��ơ�����(8.5)������Ū�ʤդ�ޤ���Ĵ�٤褦��

(8.5)��ξ�դ��п���Ȥꡤξ�դ�$\xi$����ʬ����ȡ�
$$
  \frac{\frac{dx}{d\xi} + \frac{dy}{d\xi}}{x+y} 
= \frac{2}{\xi} + \frac{d\ln \eta}{d\xi} 
= \frac{2}{\xi} -\frac{x}{\xi}
$$
����򤵤���ѷ�����м����������롣
$$
  \frac{dy}{dx} = \frac{\xi \frac{dy}{d\xi}}{\xi \frac{dx}{d\xi}} 
= \frac{2x + y - x^2 -xy}{y}  \eqno(8.7)
$$
���ζ�����$\xi$��ѥ�᡼���ˤ���$\xi = 0$���餿�ɤäƤ����ȡ�
����Ū�������ϼ��Τ褦�ˤʤ롧

����$\xi = 0$��$x = 0$, $y = 0$

����$y= -\xi \frac{d}{d\xi} \left( \frac{d\ln \eta}{d\xi} \right)$��������
$\varphi(\xi) = -RD \xi^2 \frac{d}{d\xi} 
\left( \xi \frac{d\ln \eta}{d\xi} \right)$������
$\xi = 0, \quad \xi_1, \quad \xi_2, \quad \cdots$��Ʊ���Ǥ���

����$\displaystyle \lim_{\xi \to \infty} x = \lim_{\xi \to \infty} 
\left( -\xi \frac{d\ln \eta}{d\xi} \right) = 2$��������$x$�Ͽ�ư
���ʤ��飲�˶�Ť����������ä�
$\displaystyle  \lim_{\xi \to \infty} y = 0$��$y$������˿�ư���롣

����������$y=0$���ڤ�Ȥ��Ϥ��Ĥ�ľ�Ѥ˲��ڤ롣

���줫�饰��դ�񤱤�

\vspace*{2.5cm}
\hspace*{5cm} ��3 - fig3.pdf

\vspace*{2.5cm}
����\S 7����«�����褦��(7.8)�Υ��å���μ�
$$
  \varphi(\xi_{e}) - \frac{2}{3} \int_{0}^{\xi_{e}} T_0 
\frac{d\ln \eta}{d\xi} d\xi   \eqno(8.8)
$$
��$0 < \xi_{e} < \xi_{k}$������$\xi_{k} < \xi_{e} < \xi_{2}$����Ǥ���
���Ȥ򼨤�����

�弰��$x_{k}$, $y_{k}$���Ѥ���ɽ�碌��
$$
  \varphi(\xi_{e}) - \frac{2}{3} \int_{0}^{\xi_{e}} T_0 
\frac{d\ln \eta}{d\xi} d\xi 
= \frac{\xi_{e}}{x_{e}} \left\{ 4y_{e}^2 + (2x_{e}^2 - 3x_{e})y_{e}
 + 2x_{e}^3 - 4x_{e}^2 \right\}
$$
�Ȥʤ롣������$x_{e} = x(\xi_{e})$, $y_{e} = y(\xi_{e})$�Ǥ��롣
�Ȥ��������ڡ����Υ���դ���狼��褦��$x-y$ʿ�̤��ΰ�Τ�����
$4y^2 -(2x^2 -3x)y + 2x^3 -4x^2 = 0$�ǰϤޤ���ΰ����($0$, $1$)��ޤ�����
�Ǥ�$4y^2 -(2x^2 -3x)y + 2x^3 -4x^2 < 0$�Ǥ��ꡤ���γ�¦�Ǥ�
$4y^2 -(2x^2 -3x)y + 2x^3 -4x^2 > 0$�Ǥ��롣���ڡ����Σ��Ĥζ�����
���֤򸫤�Ф狼��褦��$0 < \xi_{e} < \xi_{k}$��(8.8)������
$\xi_{k} < \xi_{e} < \xi_{2}$��(8.8)����Ǥ��롣

\newpage
\vspace*{5cm}
\hspace*{5cm} �礭�ʿ�4 - fig4.pdf


\newpage
���ͷ׻��ˤ���
$$
  x_{k} = + 2.031, \quad y_{k} = -0.364  \eqno(8.9)
$$
�Ǥ��롣(8.4)����$d\ln \eta = - \frac{x}{\xi} d\xi = \frac{xdx}{y}$��
�������ä�
$$
  \ln \eta_{k} = \int_{0}^{x_{k}} \frac{xdx}{y}
$$
��������ʬ�϶���(8.7)�˱�äƹԤ�������ˤ�ä�$\eta_{k}$����ޤ롣
���뤤��(8.4)��$x$��ɽ���ǡ������ܤ�
$$
  - \left( \xi \frac{d\ln \eta}{d\xi} \right)_{\xi_{k}} = 2.031
$$
��������$\xi_{k}$, $\eta_{k}$�����Ф褤����ɡ�
$$ \begin{array}{l}
  \xi_{k} \simeq 34 \\
  \eta_{k} \simeq 1/709 
 \end{array} \eqno(8.10)
$$
����ޤ롣


��ɡ��濴��̩�٤��ؤ��̩�٤�709�ܤ�Ķ��������ʿ�յ�������Ϥϰ���Ǥʤ����Ȥ��狼�ä���

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\large \bf \S 9 ����ȥ��ԡ�������³��ͤ�ã�����ʤ�С��Ϥ�ɬ��Ū��
�����ˤʤ�} 

\vspace{0.2cm}
�𡡵�$x^2 + y^2 + z^2 \le r_{e}^2$��������Ѥ򼡤Τ褦�ˣ��Ĥ�ʬ�䤹�롣
$$ \begin{array}{lll}
��& \mathrm{I}���ΰ衡 & \displaystyle f \ge e^{-\frac{v^2}{2h} - 1} \\
��& \mathrm{II}���ΰ衡& \displaystyle 
f < e^{-\frac{v^2}{2h} - 1} \le \frac{1}{e}
   \end{array}
$$
������$h$��Ǥ�դ�����Ǥ��롣����ȥ��ԡ���ɾ�����롧
$$ \begin{array}{rl}
 S = & \displaystyle - \int \int_{I} f \ln f d{\bf r} d{\bf v}
- \int \int_{II} f \ln f d{\bf r} d{\bf v}  \\
\le & \displaystyle \int \int_{I} f \left( 1+\frac{v^2}{2h} \right) 
d{\bf r} d{\bf v} + \int \int_{II} \left( 1+\frac{v^2}{2h} \right) 
e^{-\frac{v^2}{2h} -1} d{\bf r} d{\bf v}  \\
 & (x\ln x \quad �� \quad x<1/e \quad �ΤȤ������ؿ��Ǥ��뤳�Ȥ����Ѥ���
         �裲����ѷ���\\
\le & \displaystyle \int \int_{I + II} f \left( 1+\frac{v^2}{2h} \right) 
d{\bf r} d{\bf v}+ \int \int_{I + II} \left( 1+\frac{v^2}{2h} \right)
e^{-\frac{v^2}{2h} -1} d{\bf r} d{\bf v}  \\
= & \displaystyle \frac{M}{m} + \frac{K}{hm} + \frac{5}{2e} (2\pi h)^{3/2}
 \frac{4}{3} \pi r_{e}^3
   \end{array}
$$
���ʤ��
$$
  K \ge hmS - hM - \frac{5hm}{2e} (2\pi h)^{3/2}
\frac{4}{3} \pi r_{e}^3
$$
$S \to$��ΤȤ�$K \to$��

���Τ���$K > -E$�Ĥޤ�$2K + U > 0$�Ȥʤꡤ�ӥꥢ�������ˤ�äƷϤ������ˤʤ롣

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\large \bf \S 10 ����ȥ��ԡ��ζ�������ж���Ǥ����ʤ�}

\vspace{0.2cm}
���ü����ʬ�ۤȤ��Ƽ��Τ褦�ʤ�Τ�ͤ��롧

����$\alpha M$��Ⱦ��$\rho_1$�ε�$N_1$�������˰��ͤ�ʬ�ۤ��Ƥ��ꡤ
®�٤�ʬ�ۤϰ��ͤǡ�®�٤ξ�¤�$c_1$�Ǥ��롣
����$\beta M$��Ⱦ��$\rho_2$�ε�$N_2$��˰��ͤ�ʬ�ۤ��Ƥ��ơ�
®��ʬ�ۤ���ͤǾ�¤�$c_2$�Ǥ��롣$\alpha + \beta = 1$��

���Ĥε�$N_1$��$N_2$���濴�֤ε�Υ��$\rho_{12}$�Ȥ���
ξ���ϽŤʤ���ʤ��Ȥ��롣$N_1$��$N_2$�γ��Ǥ���ʬ�ۤ�$0$�Ǥ��롣

��̩�٤Ϥ��줾��
$$ \begin{array}{ll}
  f_1 = \frac{\alpha M}
{\displaystyle m \frac{4}{3} \pi \rho_1^3 \frac{4}{3} \pi c_1^3} , 
  & 
f_2 = \frac{\beta M}
{\displaystyle m \frac{4}{3} \pi \rho_2^3 \frac{4}{3} \pi c_2^3} 
   \end{array} \eqno(10.1)
$$
����ȥ��ԡ�$S$��
$$ \begin{array}{lcl}
  S &=& \displaystyle 
      - \frac{\alpha M}{m} \ln f_1 - \frac{\beta M}{m} \ln f_2 \\
 &=& \displaystyle - \frac{M}{m} (\alpha \ln \alpha + \beta \ln \beta)
 + \frac{3M}{m} (\beta \ln c_2 \rho_2 + \alpha \ln c_1 \rho_1)  
 \end{array} \eqno(10.2)
$$
�����ͥ륮��$E$��
$$
  E=  - \frac{3G\alpha^2 M^2}{5\rho_1} 
- \frac{3G\beta^2 M^2}{5\rho_2} 
- \frac{\alpha \beta GM^2}{\rho_{12}} 
+ \frac{3}{10} (\alpha M c_1^2 + \beta M c_2^2)  \eqno(10.3)
$$
����$c_2$, $\rho_1$������
$\varphi = - \beta \ln c_2 \rho_2$������Ǥ���Ȥ��롣
������$\rho_2$��̵�¾��Ǥ���Ȥ��롣$c_1$��(10.3)�����������褦�����֡�
����ȡ�
$$
  c_1 = \left\{ \frac{1}{\alpha} \left[ \frac{10}{3M} \left( 
E + \frac{\alpha \beta M^2}{\rho_{12}} \right) + \frac{2G\alpha^2 M}{\rho_1} 
- \beta c_2^2 + \frac{2G\varphi^2 M}{\rho_2 (\ln c_2 \rho_2)^2} \right]
 \right\}^{1/2}
$$
������$\rho_2 \to 0$, $\beta \to 0$, $\alpha \to 1$�ˤ����
$c_1 \to + \infty$�ˤʤ롣�����(10.2)��$S$�ϸ¤�ʤ����礹�롣

\newpage
\vspace{0.3cm}
�ռ�. ���ݿ�����˥����פ��Ƥ���������.

\vspace{0.3cm}
�ʲ���, ����ʸ��λ���ʸ���Ǥ���.

\begin{thebibliography}{}

\item
Akegyan, T.A., 1962, Vest. LGU, No.1. 

\item
Karleman, T., 1960, Mathematical Problems of Kinetic Theory of Gases

\item
Ogorodnikov, K.F., 1958, Stellar Dynamics, Fismatgiz. 

\item
Ambartsumyan, V.A., 1938, Uch. zap. LGU, No.22, p.19. 

\item
Lavrentiev and Lyusternik, L.A., 1950, The cource of variational 
Calculation. 

\item
Chandraskhar, C., 1950, Introduction to the Strucures of stars. 

\item
Courant, R, and Hilbert, D, 1951, Method of Mathematical Physics.

\end{thebibliography}

\newpage
\vspace{0.3cm}
\begin{center}
{\large \bf Appendix I.}
\end{center}

Ǥ�դΣ��Ĥ�̩��ʬ��$\nu '(r)$��$\nu ''(r)$���ᤤ�Ȥ������Ȥ�
$r$�γ����ˤ�����$\left| \nu '(r) - \nu ''(r) \right|$�����������Ȥȹͤ��롣

\vspace*{2.5cm}
\hspace*{5cm} ��5 - fig5.pdf

\vspace*{2.5cm}
�������äơ����Ȥ�$\nu '(r)$��$\nu ''(r)$��$\nu '''(r)$��Ʊ�������̤�
Ϳ����ˤ��Ƥ⡤$\nu '(r)$��$\nu ''(r)$��$\nu '''(r)$�϶᤯�ʤ��ȹͤ��롣

���Τ褦�˹ͤ���ȡ�
$$
  r \to 0 \quad �ΤȤ� \qquad \delta \nu = a_0 + a_1 r + a_2 r^2 + \cdots 
$$
�Ƚ񤱤롣
�����
$$ \begin{array}{lcl}
r \to 0 \quad �ΤȤ� \quad T &=& \displaystyle 
\int_{0}^{r_{e}} r^2 \delta \nu dr \\
&=& \displaystyle a_0 \int_{0}^{r_{e}} r^2 dr 
+ a_1 \int_{0}^{r_{e}} r^3 dr + \cdots \\
&=& \displaystyle \frac{a_0}{3} r^3 + \frac{a_1}{4} r^4 + \cdots
\end{array}
$$
�������ä�
$$
  r \to 0 \quad �ΤȤ� \qquad T(r) \propto r^3 \qquad 
(a_0 = 0 \quad �ʤ� \quad \propto r^4)
$$
���������餫��
$$
  T(0) = T(r_{e}) = 0
$$

\vspace{0.3cm}
\begin{center}
{\large \bf Appendix II.}
\end{center}

����ʿ�յ�������ϤΥݥƥ󥷥���̵�¤�$0$�ˤ�$V$�Ȥ����
$$
  \frac{dV}{dr} = \frac{GM(r)}{r^2}
$$
$r \ge r_{e}$�ΤȤ��ˤ�$M(r)=M$�Ǥ��뤫��弰��ľ������ʬ�Ǥ��롣
̵�±��$0$�Ǥ��뤳�Ȥ����դ����
$$
  V = - \frac{GM}{r} \qquad for \quad r \ge r_{e}  \eqno(\mathrm{i})
$$
$r \le r_{e}$�ΤȤ��ˤ�
$$
  M(r) = 4\pi m \int_{0}^{r} \nu r^2 dr = 4\pi m \nu_{0} R^3 
\int_{0}^{\xi} \eta \xi^2 d\xi 
= -4\pi m \nu_{0} R^3 \xi^2 \frac{d\ln \eta}{d\xi}
$$
�Ǥ��뤫��
$$
  dV = \frac{GM(r)}{r^2} dr = -4\pi Gm\nu_0 R^2 \frac{d\ln \eta}{d\xi}d\xi 
= -Dd\ln \eta
$$
�Ȥʤꡤ��ʬ�����
$$
  V = -D\ln \eta + C_1 \qquad for \quad r \le r_{e}  \eqno(\mathrm{ii})
$$
(i)��(ii)��$r=r_{e}$��Ʊ���ͤˤʤ�Ϥ�������
$$
  C_1 = D\ln \eta_{e} - GM/r_{e}
$$
�Ȥʤꡤ���
$$
  V=-D\ln \eta + D\ln \eta_{e} - \frac{GM}{r_{e}} 
\qquad for \quad r \le r_{e} \eqno(\mathrm{iii})
$$
�Ȥʤ롣

�ݥƥ󥷥�륨�ͥ륮��$U$��$V$���Ѥ���
$$
  U = \frac{1}{2} \int_{0}^{r_{e}} VdM(r)
$$
�Ƚ񤱤롣�Ȥ�����
$$
  dM(r) = 4\pi m\nu r^2 dr = 4\pi m \nu_{0} R^3 \eta \xi^2 d\xi
$$
�Ǥ��뤫�顤�����(iii)����$U$��ɽ�������������
$$
  U = 2\pi m\nu_{0} R^3 \int_{0}^{\xi_{e}} 
\left( -D\ln \eta + D\ln \eta_{e} - \frac{GM}{r_{e}} \right) 
\eta \xi^2 d\xi
$$
�Ȥ�����$4\pi m\nu_{0} R^3 = M / \int_{0}^{\xi_{e}} \eta \xi^2 d\xi$�Ǥ��뤫��
$$
  U = \frac{DM}{2} 
\left[ - \frac{\int_0^{\xi_e} \eta \xi^2 \ln \eta d\xi}
              {\int_{0}^{\xi_{e}} \eta \xi^2 d\xi} 
+ \ln \eta_{e} - \frac{GM}{Dr_{e}} 
\right]
$$
(5.5)���Ѥ���з��
$$
  U = \frac{DM}{2} 
\left[ - 
\frac{\int_{0}^{\xi_{e}} \eta \xi^2 \ln \eta d\xi}
     {\int_{0}^{\xi_{e}} \eta \xi^2 d\xi} 
+ \ln \eta_{e} - 
     \frac{\int_{0}^{\xi_{e}} \eta \xi^2 d\xi}
          {\xi_{e}} 
\right]
$$

\vspace{0.3cm}
\begin{center}
{\large \bf Appendix III.}
\end{center}

�ӥꥢ����������$U=3p_{e}v - 2K$

������$p_{e}$���ɤˤ����밵�ϡ�$v$�����ѤǤ��롣$K=\frac{3}{2} DM$

®�٤�$x$, $y$, $z$��ʬ��$u$, $v$, $w$�Ȥ���С�ʬ�۴ؿ�(3.1)���Ѥ���
$$
  p_{e} = 2m \int_{0}^{\infty} du \int_{-\infty}^{\infty} dv 
\int_{-\infty}^{\infty} dw f(r_{e}, {\bf v^2}) u^2 = Dp_{e}
$$
�Τˡ�
$$ \begin{array}{lcl}
  3p_{e}v \displaystyle &=& \displaystyle 3Dp_{e}v 
= \displaystyle 3Dm\nu_{0} \eta_{e} \frac{4}{3} \pi r_{e}^3 \\
&=& \displaystyle 4\pi m\nu_{0} D \eta_{e} \xi_{e}^3 R^3 
= 4\pi m\nu_{0} D\eta_{e} \xi_{e}^3 \frac{M}{4\pi m\nu_{0}} 
\frac{1}{\int_{0}^{\xi_{e}} \eta \xi^2 d\xi} 
\end{array}
$$
�������ä�
$$
  U=MD \left[ \frac{\eta_{e} \xi_{e}^3}{\int_{0}^{\xi_{e}} \eta \xi^2 d\xi} 
- 3 \right]
$$
����$U$��Appendix II��$U$��Ʊ���Ǥ��뤳�Ȥ��ưפ˼������Ȥ��Ǥ��롣

\end{document}
