\documentstyle[12pt,twoside]{jarticle}
%
\oddsidemargin -0.0cm
\evensidemargin +1.5cm
\topmargin -2.0cm
\textwidth 14.cm
\textheight 20.0cm
\footheight 0.5cm
\footskip 1.2cm
\newcommand{\re}{\vspace{0.15cm}\par\hangindent=0.7cm\noindent}
%
\begin{document}
\setlength{\baselineskip}{3ex}
%\setlength{\baselineskip}{5ex}
%

%Mather����ʸ
%variational construction of orbits of twist homeomorphisms
%Journal of the American Mathematical Society, Vol. 4, 207-263(1991).
%

\begin{flushright}
���� ë����δ
\end{flushright}

\noindent
Journal of the American Mathematical Society {\bf 4}, 207-263(1991) 

\begin{center}
{\large
{\bf �ͤ�����ʬƱ������ε�ƻ����ʬŪ���� \\
Variational construction of orbits of twist homeomorphisms} 
}

\vspace{0.5cm}
John N. Mather
\end{center}

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf ��}
\end{center}

����ʸ�Ǥ�, �����Τ����δ���������¸��ʬƱ������ˤ����Ƥ�����\\
\hspace*{3cm}�𻨵�ƻ���뤤�ϥ�����Ū��ƻ\\
��������. �ͤ��������ñĴ�ͤ��������
{\bf ͭ�¸�}�ι����Ǥ���, �Ƥͤ��������Ʊ�����(�Ĥޤ�, 
���٤���ñĴ�Ǥ��뤫���٤���ñĴ�Ǥ��뤫)����ĤȤ���. 
��ñ�Τ���, ��ñĴ�ͤ�����ʬƱ�������ͭ�¸Ĥι����Τ߹ͤ���. 
�Ȥ����Τ�, ��ñĴ�ͤ�����ʬƱ�������ͭ�¸Ĥι����ξ��ϵռ�����
�Ȥ뤳�Ȥˤ��, �嵭�ξ��˵��夹�뤫��Ǥ���. �����δ���������¸
��ñĴ�ͤ�����ʬƱ�������ͭ�¸Ĥι�����\\
\hspace*{3cm}
��${\cal P}^1$\\
��1����������. 

\vspace{0.3cm}
$\overline{f} \in {\cal P}^1$�Ȥ���. ��������դ����ؿ��ϱ�����
������졤�������ʤ���Τ�������ʤ��������줿��ΤǤ���. \\
\hspace*{3cm}̵�±�����$\overline{f}$��������ʬ����$M_{\overline{f}}$\\
������. ����ˤĤ��Ƥ�ʸ��, 
���Ȥ���[3, Bangert1988]�Ǿܤ���
��������Ƥ���. ���ν������ʬ�����ˤ�ä���������. ���ʤ��, �������
��ƻ��, 2������������̣��, ���Ѥ˴ؤ��ƶ˾��Ǥ���. 
$M_{\overline{f}}$��ε�ƻ�Ϻ��Ѥ�˾��ˤ����ΤǤ��뤫��, ����
$M_{\overline{f}}$����Ū(intrinsically)����������. ����, ��Ū�������
Ϳ����ΤϤ�����ݤǤ��뤬. 2���Ϳ�������Ūñ����������Ū�Ǥʤ�. 
��Ū�������3���Ϳ����. 

\vspace{0.3cm}
$\overline{f}$����ñ���Ķ����Ǥ��äƥ����ۥ�ȡ��פǤʤ����, �Ĥޤ����
�򴬤����Ѷ����Ϥ��٤�$M_{\overline{f}}$��ˤ���(̿��2.8). 
�ä���, 
Aubry-Mather�����, �ܼ�Ū��������,  $M_{\overline{f}}$��ˤ���.  

\vspace{0.3cm}
����ʸ�μ��̤�4��ǽҤ٤�. 4��Ǥ�$\overline{f}$��\\
\hspace*{3cm}�С������԰����ΰ�$R$\\
�γ�ǰ���������. ���̤�����4.1��4.2�Ǥ���. 
�����η�̤ϼ�������Ū�Ǥ���. �ҤȤĤ���������
ɬ�פǤ���. $M_{\overline{f}, \omega}$��(��)��ž��$\omega$��
$M_{\overline{f}}$�ε�ƻ����Ǥ���. ��û���˸�����, ����4.1�ˤ���, 

\begin{center}
\begin{minipage}{12cm}
���餫������ꤷ��$\alpha$�˸½��礪���$\omega$�˸½������ĵ�ƻ����
���뤳�Ȥ���ǽ�Ǥ���. 
\end{minipage}
\end{center}

\noindent
������, $\alpha$�˸½����$\omega$�˸½���
��Ʊ���С������԰����ΰ����Aubry-Mather����Ǥ���Ȥ��ƤǤ���. 
����4.2�ˤ���, 

\begin{center}
\begin{minipage}{12cm}
���餫������ꤷ��Aubry-Mather������˼����ȶ�Ť��Ȥ�����̣��
�֥�����פʵ�ƻ���ۤ��뤳�Ȥ���ǽ�Ǥ���.
\end{minipage}
\end{center}

\noindent
���ξ��⤹�٤Ƥ�Ʊ��ΥС������԰����ΰ�ˤ���Ȥ��Ƥ���. 

\vspace{0.3cm}
����4.1�ξ��� (�����11��˴��뤹��)������4.1�ǽҤ٤�줿���Ȥ��¿����
���Ȥ򼨤�. ���ʤ��, ${\cal O}_-$��${\cal O}_+$�϶˾� (�Ĥޤ���Ѷ˾�)
��ƻ�Ǥ��äƥС����դ��԰����ΰ�$R$��ˤ���Ȥ��褦. $\Gamma_+$��
$\Gamma_-$��$R$�ξ岼�ζ����Ǥ���Ȥ� $\rho(\Gamma_+)$��$\rho(\Gamma_-)$ 
�Ϥ�����(��)��ž���Ǥ���Ȥ���. 
����4.1���ĽҤ��餹��ȼ��ε��䤬�⤫��. ${\cal O}_-$��$\alpha$�����
����${\cal O}_+$��$\omega$����ʵ�ƻ${\cal O}$�Ϥ��뤫? 11��Ǽ����Ȥ���, 
���Τ褦�ʵ�ƻ��¸�ߤ���Τ�, ������������
$\rho(\Gamma_-) < \rho ({\cal O}_{\pm}) < \rho(\Gamma_+)$��(�ɤ���ε�ƻ��
�Ф��Ƥ�)��������, ������$\rho({\cal O}_-)$��$\rho({\cal O}_+)$��̵����
�ΤȤ��Ǥ���. $\rho({\cal O}_-)$�ޤ���$\rho({\cal O}_+)$��ͭ����$p/q$
(������$\rho(\Gamma_-) < \rho ({\cal O}_{\pm}) < \rho(\Gamma_+)$�Ǥ�
����)�Ǥ���ʤ�, ���η������ղ�Ū�ʲ���Τ�Ȥ�����Ω��. ����ˤĤ��Ƥ�11
�����������. �������ղ�Ū�ʲ��⤬����Ω�Ĥ���ˤ�, $f$������Ū�Ǥ���
�Ф���. ���ʤ��, �Ѳ�ž��$p/q$�ζ˾�������ƻ���ҤȤĤ�������Ф���. 
�������, $\rho({\cal O}_-)$��$\rho({\cal O}_+)$��ͭ�����ʤ�, Ʊ�ͤ�
�����Ȥ�����Ω��. �����ʳ��Ǥ�, $\rho({\cal O}_-) \neq \rho({\cal O}_+)$
���ɤ������Ԥϲ��⤤��ʤ�. 

\vspace{0.3cm}
����4.1���ĽҤ���, $\omega_-$��ͭ�����ΤȤ���$\omega_-= \rho (\Gamma_-)$
�ޤ���$\rho(\Gamma_+)$�ξ�������ʤ���Фʤ�ʤ�����, ������
$\omega_+$��ͭ�����ΤȤ���$\omega_+= \rho (\Gamma_-)$�ޤ���
$\rho(\Gamma_+)$�ξ�������ʤ���Фʤ�ʤ����Ȥ�, �鷺��路��. 
������, �����ξ��, �����˶�Ť���ƻ���ۤ��뤳�Ȥ����Ѥ�餺��ǽ�Ǥ���. 
����ˤĤ��Ƥ�11��ǵ�������. 

\vspace{0.3cm}
11��ε����Ǥ����Ĥ�̤������꤬�Ĥ�. ���Τ���¿�����꼰������ΤϺ����
���뤬, ����ʸ�μ�ˡ��ȤäƷ��ꤹ��Τ��ưפǤ���. ������ͳ��, ������
������꼰�����뤳�ȤˤϤ��������ʤ�. ������, 2�����꤬���ä�, ����, 
���פǤ������񤷤�. ��������ˤ�����, $\rho_-$��̵�����Ǥ���Ȳ��ꤹ��. 
${\cal O}_-$�򲼶�����ε�ƻ�Ȥ���. 

\vspace{0.3cm} 
\noindent
{\bf ���� 1.} $R$��˵�ƻ${\cal O}$��ɬ��¸�ߤ���${\cal O}_-$��
$\alpha$����Ǥ��뤫? 

\vspace{0.3cm} 
\noindent
{\bf ���� 2.} $R$��˵�ƻ${\cal O}$��¸�ߤ���${\cal O}_-$��
$\alpha$����Ǥ���褦�ʤ��ȤϤ��뤫? 

\vspace{0.3cm} 
�������Ϳ����줿��ƻ��$\omega$����ʵ�ƻ��õ������⤢������. ���ʤ��, 
�ֲ��ζ����פȡ�$\rho_-$�פ򤽤줾��־�ζ����פȡ�$\rho_+$�פ��Ѥ���. 
�����Ʊ�ͤ�����Ȥʤ�Τ����餫�Ǥ���. ������, $\rho_-$��̵�����Ǥ���
�Ȥ���������Ȥ���, �������ˤϴ�ñ�ʲ򤬤���. 

\vspace{0.3cm} 
����������ѷ�����, $\overline{f}$��$C^r$�Ȥ�, $r\geq 1$, $r=\infty$ 
�ޤ���$r =\omega$�Ȥ��뤳�Ȥ��ǽ�Ǥ���. 

\vspace{0.3cm} 
����4.1��4.2�Ϥ�������������ĵ�ƻ${\cal O}$��¸�ߤ��ĥ����. 
�����ε�ƻ��¸�ߤ���ʬ��ˡ�Ǿ�������. �����δ��ܥ��������5�������
����. \\
\hspace*{3cm}${\cal J}(\ldots, J_i, \ldots)$\\
��${\bf R}$����Ϣ�������ʬ����
(ë��: �Ķ�֤ǤϤ���ʤΤ�? $J_i$��ͭ���Ǥʤ����ȤϤ�������)��
ξ̵����Ǥ���Ȥ���. ̿��5.1�ˤ��, Ǥ�դ˾����ʤޤ�Ǥ�դ��礭��$i$��
¸�ߤ���$J_i$��ͭ���ʤ� (ë��: ��̣�狼�餺��$i \rightarrow \infty$�Τ�
������֤Ϥɤ�ɤ�̵�±�˱󤶤���Ϥ����ɤ�ʤ�$i$���礭�������ȡ�����
����С��Ȥ������Ȥ�?), \\
\hspace*{3cm}
${\cal J}$�˾�����\\
������. �Ĥޤ�, �¿���ξ̵��
��$x = (\ldots, x_i, \ldots)$�����ä�, \\
\hspace*{3cm}
$f$�ˤȤ�ʤ���ʬ����$h$�˴ؤ��ƶ˾�\\
�Ǥ���. �������ξ̵�����, �ɤ�$i$���Ф��Ƥ�$x_i \in J_i$�ʤ�
��ΤǤ���. $x$��\\
\hspace*{3cm}
${\cal J}��ͳ$\\
�Ȥ�, �ɤ�$i$���Ф��Ƥ�
$x_i \in {\rm Int} J_i$�ΤȤ��Ǥ���. ̿��5.2���, �ɤ�${\cal J}$��ͳ
�����${\cal J}$�˾����� $x = (\ldots, x_i, \ldots)$��, ����$f$��ƻ
$(\ldots, (x_i,y_i), \ldots)$���б�����. ����̿��Τɤ�����������Τ�
�ưפǤ���. �����μ礿����ʬ��${\cal J}$�˴ؤ�����, ���ʤ��, �ɤ�
${\cal J}$�˾����֤�${\cal J}$��ͳ�Ǥ��뤳�Ȥ򸫤Ĥ��뤳�Ȥˤ���. 
(�̾�, ͣ���${\cal J}$�˾����֤�����.) ����, ${\cal J}$�˴ؤ���
���ʤ���, ���ʤ��, ${\cal J}$�˾������${\cal J}$��ͳ���֤��б�����
��ƻ������4.1�ޤ�������4.2���׵ᤵ�����������Ĥ��Ȥ��̣�������
���Ĥ���. 

\vspace{0.3cm} 
${\cal J}$�˾����֤�${\cal J}$��ͳ�Ǥ��뤳�Ȥ��̣�������, �ʲ��η���
�����Ĥ��ξ���ʬ�����. $J_i$��$j_0 - K_0 \leq i \leq j_1 + K_1$��
�Ф��Ƥ����η�����Ĥ��Ȳ��ꤹ���, $\xi = (\ldots, \xi_i, \ldots)$
��${\cal J}$�˾��Ǥ���ʤ�, $j_0 \leq i \leq j_1$���Ф���
$\xi_i \in {\rm int} J_i$�������Ǥ���. ���Τ褦��$\xi$��
����ʬ${\cal J}$��ͳ�פȤ�֤��Ȥ��Ǥ���. �����η�̤Τ����ǽ�Τ�Τ�
̿��6.1�Ǥ���. ������, $J_i$��$j_0 - K_0 \leq i \leq j_1 + K_1$���Ф���
�˾�����$x = (\ldots, x_i, \ldots)$��Ȥä���������. 
$\omega$��$x$��(��)��ž���Ȥ�, $a \in {\bf R}$��¸�ߤ���\\
\hspace*{3cm}
�ѥ����륹�ξ���(Peierls's barrier) $P_{\omega}(a)$\\
�����Ǥ���Ȥ���. ($P_{\omega}(a)$��
�����6��ΤϤ���˺ƽҤ���. �����$a \in {\bf R}$������ؿ��Ǥ��ä�, 
$a \in {\bf R}$�δؿ��Ȥ��ƥ�ץ��åľ���������, ����1�Ǽ���Ū�Ǥ���, 
$\omega$��̵�����ΤȤ�, ${\bf R}$��ǹ���Ū�˥����Ǥ���Τ�
$\overline{f}$�����ѱߤ����äƱ����򴬤�, �Ѳ�ž��$\omega$����ĤȤ�, 
�ޤ����ΤȤ��Τߤξ��Ǥ���.) ̿��6.1�ξ��, $K_0 = K_1 = K(\omega,a)$
�ȼ��. �������Ǹ�ο���6����������. (������ˤ�, $K(\omega,a)$��
�������ʤ�. ̿��6.1��Ŭ�ѤǤ���Τ�$K(\omega,a)$���������Ƥ���Ȥ�
�Ǥ���.) �º�, $K(\omega,a)$��$f$�ˤ�, $\omega$��$a$�ˤ��¸���뤬, 
$f$�ؤΰ�¸���ϽФ��ʤ��Ǥ���. �Ȥ����Τ�, $f$������4.1��4.2�ξ�����
�֤ϸ��ꤹ�뤫��Ǥ���. ��äȾܤ���������, $K(\omega,a)$��$\omega$��
$\theta/P_{\omega}(a)$�ˤΤ߰�¸����. ������, $\theta = \cot \beta$��
����, ��$\beta$����ʬƱ�����$\overline{f}_i$�Τͤ����̤β��¤Ǥ���. 
$\overline{f}$��$\overline{f}_i$�ι����Ǥ��뤳�Ȥ���äƤ���. 
$K(\omega,a)$��$\omega$��̵������, $P_{\omega}(a)>0$�ΤȤ�����������. 
$\omega=p/q$(����)�ʤ�, $K(\omega,a)$����������Τ�
$q-1 > 2\theta/P_{\omega}(a)$�ΤȤ����Ĥ��ΤȤ��ΤߤǤ���. 

\vspace{0.3cm} 
̿��6.1�ˤ�����, $j_0 - K(\omega,a) \leq i \leq j_1 + K(\omega,a)$���Ф���, 
$J_i$��Ĺ��1���Ķ�֤Ȥ���. 
�Ȥ���, $J_i = [a_i, a_i+1]$�Ǥ���. ������, $a_i$��, ���
$a_i - a \in {\bf Z}$�����$x_i \in (a_i, a_i+1)$����������. 
�ѥ����륹�ξ��ɤ�����Ū�Ǥ��뤫��, $P_{\omega}(a_i) = P_{\omega}(a) > 0$
����Ω��, ���줬���Ǥ��뤳�Ȥ���, $j_0 \leq i \leq j_1$���Ф���
$\xi_i \in (a_i, a_i+1)$������Ǥ���. 

\vspace{0.3cm} 
̿��6.1�ι���ˡ��[15]�δ��ܹ���ˡ�����ˤ褯���Ƥ���. ������, ��Ū�ϰ�
�ʤ�. 

\vspace{0.3cm}
��$K(\omega,a)$��7��Ǥ�ä�����Ū�˲��Ϥ���. �����Ǥ϶����ط�����
��$K(\omega,\varepsilon)$��Ƴ������. �����$\omega \in {\bf R}$��
$\varepsilon>0$�δؿ��Ǥ���. $\omega$��ͭ�����Ǥ��ä�, 
$p/q$�����󤫤�$q \varepsilon \leq 1$�ΤȤ��ˤϤ�����������ʤ�. 
����¾�Τ��٤Ƥξ��, $K(\omega,\varepsilon)$���������Ǥ���. 
$K(\omega,\varepsilon)$��$\omega$��$\varepsilon$�Τߤ˰�¸���뤳�Ȥ�
���դ��Ƥ���. ����Ͻ��˿���Ū�ʴؿ��Ǥ���, �ϳؤȤϲ��δط���ʤ�. 
$K(\omega,a)$�Ȥϼ��Τ褦�ʻ����Ǵط�����. $k$��
$k > 2\theta/P_{\omega}(a)$�ʤ�Ǿ��������Ȥ���. ���ΤȤ�, ������, 
$K(\omega,a) = K(\omega, k^{-1})$�Ǥ���. 
$K(\omega,\varepsilon)$�κǤ���פ�������, $K(\omega,a)$�Ȥδط���
�̤Ȥ���, (7��Ǿ��������) $K(\omega,\varepsilon)$��$\omega \in \Omega$
���Ф���ͭ���Ǥ���Τ�, $\Omega$���Ķ�֤Ǥ��ä�, ʬ�줬
$\leq \varepsilon^{-1}$�ʤ�ͭ������ޤޤ�, ʬ�줬$\leq \varepsilon^{-1}$
�ʤ�ͭ������$\omega$����Ť��ˤĤ��
$K(\omega,\varepsilon) \rightarrow +\infty$�Ȥʤ�Ȥ��Ǥ���. �����
���Ѥ�$1/2\Delta_{\varepsilon}(\omega) \leq K(\omega,\varepsilon) \leq 
2/\Delta_{\varepsilon}(\omega)$���餷������. �����7��ǽҤ٤�. 
�����̿��6.1��Ȥä�, ̿��7.4��7.5��7��Ǿ������뤳�Ȥ��Ǥ���. ̿���
�ɤ����ȤϤ狼��. ������̿�꤫�餹���, ̿��6.1��Ȥ���, ����4.1��
4.2�ξ����ޤǤ��Ȥɤ줯�餤���뤫���Τ뤳�Ȥ��Ǥ���. 

\vspace{0.3cm} 
̿��6.1��Ȥ��ݤ�2�Ĥ����¤�����. �ǽ�Τ�Τ�, ̿��6.1��Ȥ��ˤ�, $a$��
���ٸ��ꤷ����ư�����ƤϤ����ʤ����Ȥ������. ������, �С����դ�
�԰����ΰ�$R$����Ǽ�ͳ��ư��������, $R$�˲ݤ�ͣ��ξ���
$\Gamma$��$R$��������Ķ�����$R$���1���˲Ľ̤Ǥʤ��ʤ�, $\Gamma$��
��������$\Gamma_-$�ޤ���$\Gamma_+$�Ǥ���, �Ȥ�����ΤǤ���. 
���Τ��Ȥ���, $\rho(\Gamma_-) < \omega < \rho(\Gamma_+)$�ʤ�, 
$a$��¸�ߤ���$P_{\omega}(a) > 0$�Ǥ��뤳�Ȥ��Ф�. ������, Ʊ��$a$��
���٤Ƥ�$\omega$���Ф���ͭ���Ǥ���Ȥϸ¤�ʤ�. ���κ����̿��6.2�ˤ��
�ưפ˹����Ǥ���. ������$P_{\omega}$��Ϣ³Ψ(moduli of continuity)
[17, ����2.2]��Ȥ�. $\omega > p/q$�ΤȤ���������
$|P_{p/q+}(a) - P_{\omega}(a)| \leq C \theta |\omega q - p|$������, 
$\omega < p/q$�ΤȤ���������
$|P_{p/q-}(a) - P_{\omega}(a)| \leq C \theta |\omega q - p|$������. 
���������������餹���, $P_{\omega}(a)$��$\omega$�δؿ��Ȥ���, 
̵�����ˤ�����Ϣ³�Ǥ���, �������ä�, $P_{\omega}(a)>0$������̵����
$\omega = \omega_0$������Ω�Ĥʤ�, Ʊ����������$\omega_0$�ν�ʬ�᤯��
���٤Ƥ�$\omega$������Ω��. 

\vspace{0.3cm} 
̿��6.1��Ȥ��ݤΤ�äȿ�������¤�, $\omega = p/q$��$q$�������᤮��
�Ȥ���̿�꤬Ŭ�ѤǤ��ʤ����Ȥ��餯��. �ä�, $K(\omega, a)$���������ʤ�
�Ȥ�, ���ʤ��, $q-1 \leq 2 \theta/P_{\omega}(a)$�ΤȤ���Ŭ�ѤǤ��ʤ�. 
��ʬ������ͭ����ž������ᤴ������ˤ��̤μ�ˡ��ɬ�פǤ���. ̿��8.1
��������Ѱդ���. $f$�β�ž����ͭ����$p/q$�ξ���, 
$F (x,y) = f^q(x,y) - (p,0)$����������$F$�Υ�����ž���ξ��˴Ը�
�Ǥ���. ��Ԥ���ʬ����$H$�����, ���켫�Ȥ�$f$����ʬ����$h$����, [16]
��Ƴ�����줿��� (conjunction)�ˤ�ä���������. 
̿��8.1��, ͭ����ž������ᤴ����ˡ����������. �����$F$�����$H$, 
�����ƴ�ñ�Τ��᥼����ž����Ȥä��ĽҤ����. 8��ξ���������ʸ��
��¡���Ǥ���, ��ǰŪ�˿�����vis-a-vis[15]�ʤ���ʬ�Ǥ���(?). 
��������9.3�ˤ�����, ̿��8.1��$F$��$H$���Ф�������줿��̤�, $f$��$h$��
Ŭ�Ѥ���. ̿��8.1��$J_i$�ˤ�ä�, ��Ϣ��, �����ʬ����$J_{\alpha}^*$��
${\bf R}$����������, ����9.3�Υȥ�å���Ԥʤ碌�뤳�Ȥ��Ǥ���. 
����9.3�ξ�����Ĺ������ɤ�, �����ʾ�郎��������뤫�ɤ���������å�
��������Τ��ȤǤ���. 

\vspace{0.3cm} 
10��ˤ�����, ${\cal J} = (\ldots, J_i, \ldots)$�˴ؤ������Ϳ����, 
${\cal J}$�˾������${\cal J}$��ͳ����$\xi = (\ldots, \xi_i, \ldots)$
���ʲ�����������Ĥ褦�ˤ���. ���ʤ��, ������б�����$f$��ƻ��
����4.1���������4.2�����������ۤɤ�$M_{f, \omega}$�ˤǤ���¤��Ť�
�褦�ˤ���. 

\vspace{0.3cm} 
11��Ǥ�, ����4.1��4.2�ξ����򴰷뤷, �����ξ�����������뤤���Ĥ���
������Ҥ٤�. 

\newpage
\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf 1. ̵�±����δ���������¸��ñĴ�ͤ��������ͭ�¸Ĥι���
����Ӥ�����ʬ����}
\end{center}

����Ǥ�, �˾���ƻ�˴ؤ����̤򳵴Ѥ���. �����η�̤�, ��������
ʣ���ʤ������̤���μ�������Τ������Ƥ���. ����Ǥ�, 
�������̤���μ������������Ӥ�����μ����ˤȤ�ʤ���ʬ�����γ�ǰ��
�פ��Ф�. 

\vspace{0.3cm} 
$\beta>0$�Ȥ���. ̵�±�����$C^1$���� (exact) ������¸, ������¸, ��ñĴ
�ͤ�������Ǳ�����ξü����¸��, ������̵�¤ˤͤ���, �ͤ����̤ΰ��ͤ�
���¤Ȥ���$\beta$����Ĥ�Τν����\\
\hspace*{3cm}
${\cal C}_{\beta}^1$\\
�ȵ���. 
${\cal C}_{\beta}^1$�ξܤ��������[16,2��]��Ϳ����. �����Ǥ�$J_{\beta}$
�Ȥ���. 

\vspace{0.3cm} 
�ɼԤ��ص��Τ����, ${\cal C}_{\beta}^1$������򷫤��֤���. 
̵�±����Ȥ�$({\bf R}/{\bf Z}) \times {\bf R}$�Τ��ȤǤ���. 
$\theta ({\rm mod} \ 1)$��$({\bf R}/{\bf Z})$��ɸ���ɸ�Ǥ���Ȥ�, 
$y$��${\bf R}$��ɸ���ɸ�Ǥ���Ȥ���. ̵�±����򤽤켫�Ȥ���˼̤�
$C^1$��ʬƱ�����$\overline{f}$��ͤ���. 
$\overline{f}(\theta,y) = (\theta', y')$�Ƚ�. ������, 1����
$y' d \theta'$��$\overline{f}$�ˤ������ᤷ(pull-back)��$y d\theta$
�Ǥ���. $\overline{f}$��������¸����������¸�Ǥ��뤿��ξ���
$d y' \wedge d \theta' = dy \wedge d \theta$�Ǥ��뤳�Ȥ��Ŧ���Ƥ���. 
�����������, $y' d\theta' - y d\theta$���ĤǤ���. ��äȶ������
�Ȥ���$y' d\theta' - y d\theta$������ (exact)�Ǥ��뤳�Ȥ���������. 
$\overline{f}$�����ξ����������Ȥ�, ����������¸����������¸�Ǥ���, 
�Ȥ���. 

\vspace{0.3cm} 
����ñĴ�ͤ�����Ȥ�$\partial \theta'/\partial y > 0$�Τ��ȤǤ���  
(������, $\theta$��$y$����Ω�ѿ��Ȥ��Ƥ���). ������Ū�ˤ�, �����, 
$\overline{f}$��̵�±����γƱ�ľ����, ̵�±����Τޤ������������ˤͤ���
�����ؤȼ̤����Ȥ��̣����. ����ñĴ�ͤ�����Ͼ��
$\partial \theta/\partial y' < 0$��Ʊ�ͤǤ��� (������$\theta'$��$y'$��
��Ω�ѿ��Ǥ���). $\beta$���ͤ����̤ΰ��Ͳ��¤Ǥ���Ȥ�������, 
$\partial \theta'/\partial y > \tan \beta$����
$\partial \theta/\partial y' < - \tan \beta$���̣����. 
������Ū�ˤ�, ��ľ����$\overline{f}$�ˤ������, �ɤα�ľ���Ȥ�$\beta$��
���礭�ʳ��٤�ʤ�����, Ʊ�ͤ�, ��ľ����$\overline{f}^{-1}$�ˤ������
Ʊ�ͤǤ��뤳�Ȥ��̣����. 

\vspace{0.3cm} 
$\overline{f}$��̵�±�����ξü����¸�������, ���餫��
$y \rightarrow \pm \infty$�ΤȤ�$y' \rightarrow \pm \infty$�ʤ뤳�Ȥ�
����. 

\vspace{0.3cm} 
̵�±�����������ʤ��${\bf R}^2$�κ�ɸ��$x$��$y$��ɽ�魯. �����, 
$\theta \equiv x ({\rm mod} \ 1)$�Ǥ���. ������ʤ�ؤ�$\overline{f}$��
�����夲��$f$�ȵ���, $f(x,y) = (x',y')$�Ƚ�. 
$f$��ξü��̵�¤ˤͤ������, 
$y \rightarrow \pm \infty$�ΤȤ�$x' \rightarrow \pm \infty$�ʤ뤳�Ȥ�
���� (������$x$�ϸ��ꤷ�Ƥ���). Ʊ�ͤ�, 
$y' \rightarrow \mp \infty$�ΤȤ�$x \rightarrow \mp \infty$�Ǥ��� 
(�����Ǥ�$x'$����ꤷ�Ƥ���). 

\vspace{0.3cm} 
�ʾ��, $\overline{f}$��${\cal C}_{\beta}^1$�Υ��С��Ǥ��뤿��ξ�郎
�Ф����ä�. \\
\hspace{3cm}
${\cal C}^1 = \cup_{\beta>0} {\cal C}_{\beta}^1$\\
�Ȥ���. 

\vspace{0.3cm} 
$\overline{f} \in {\cal C}^1$�Ȥ�, $f$��������ʤ${\bf R}^2$�ؤ�
$\overline{f}$�λ����夲�Ǥ���Ȥ���. ���Ʊ��
$f(x,y) = (x',y')$�Ȥ���. ����줬�ݤ�����狼�餹���, 
$f \subset {\bf R} \times {\bf R}$�Υ���դ�$(x,x')$�̤ξ�˲���ʬƱ��
Ū�˼ͱƤ����. ������, $x$��$x'$����Ω�ѿ��˼�ä�, 
$(y' dx' - y dx)|{\rm graph} f = dh$�Ƚ񤯤��Ȥ��Ǥ���. ������, 
$h = h(x,x')$��${\bf R}^2$���$C^2$�ؿ��Ǥ���. ��ŵ�ϳؤǤ�, 
$h$��$f$�Ρ���ؿ��פȤ�Ф�Ƥ���. �����
$$ \begin{array}{lclcl}
  f(x,y) = (x',y') & \Leftrightarrow & y = -\partial_1 h(x,x') & 
{\rm and} & y' = \partial_2 h(x, x')
   \end{array}
$$
�ʤ���ħ�����, �����ä���������������ư�դ���������. 

\vspace{0.3cm} 
���Τ褦����ؿ�$h$�Ϥ����Ĥ�ͭ�Ѥʾ���������: 
$$ \begin{array}{lclcl}
 h(x+1, x'+1) = h(x,x'), & {\rm for \ all} & x,x' \in {\bf R} \\
   \end{array} \leqno({\rm H}_1)
$$
$$ \begin{array}{lclcl}
x & �˴ؤ��ư��ͤ� & \lim_{|\xi| \rightarrow \infty} h(x, x+\xi) = \infty ,  
   \end{array} \leqno({\rm H}_2)
$$
\noindent
(H$_5$) ${\bf R}^2$�������Ϣ³�ؿ�$\rho$�����ä�, 
$$
  h(\xi, x') + h(x, \xi') - h(x,x') - h(\xi, \xi') \geq 
\int_x^{\xi} \int_{x'}^{\xi'} \rho , 
$$
\hspace*{1cm}��, $x < \xi$�����$x < \xi'$�ΤȤ�����Ω��. \\

���ξ�, $\overline{f} \in {\cal C}^1$��$\theta = \cot \beta$�ΤȤ�, 
$h$�ϼ��ξ���������.\\
(H$_{6\theta}$) $x \mapsto \theta x^2/2 - h(x,x')$��Ǥ�դ�$x'$���Ф���
�̤Ǥ���, $x' \mapsto \theta x'^2/2 - h(x,x')$\\
\hspace*{1cm}��Ǥ�դ�$x$���Ф����̤Ǥ���.\\

\noindent
1�ѿ��ؿ����̤Ǥ���Ȥ�, ���δؿ��Υ���վ��2��������ʬ������վ�ޤ�
�Ϥ������ˤ��뤳�ȤǤ��뤳�Ȥ�פ��Ф���.

\vspace{0.3cm} 
$h$�������ξ������������Ȥ�[16]�Ǿ�������. [16, 3��]�����[16, 4��]
�ε����򸫤�. (�����Ǥ�[16]�ε�ˡ����. �����Ǥ�, ����¾�ξ��H$_3$��
H$_4$�ˤĤ��Ƥ��������. �����Bangert[3]��Ƴ��������ΤǤ���. ����ʸ��
�Ͼ��H$_3$��H$_4$�ϻȤ�ʤ�.)

\vspace{0.3cm} 
$h$��Ȥ���ͳ�ΤҤȤĤ�, ̵�±�����$\overline{f}$��������ʬ����
$M_{\overline{f}}$��������뤳�Ȥ��Ǥ��뤫��Ǥ���. ���ν����
$\overline{f}$���ϳؤ�Ĵ�٤�Τˤ����ؤ���פ���������Ĥ褦�˻פ���. 
���ν���� Bangert [3]���Ѹ�ˤ���, �˾���ƻ���٤Ƥ��¤Ǥ���. 
Mather [16-18]�Ǥ⤽�����Ѥ���. ��������ˤϤ�����, Aubry and
LeDaeron [2] �����Mather [13]�ˤ����ơֶ˾����ͥ륮����ƻ�פȤ�Ф�Ƥ���. 
�¤�, $M_{\overline{f}}$���������Τ�$\overline{f} \in {\cal C}^1$��
�������Ǥʤ�, $\overline{f}$��${\cal C}^1$�����Ǥ�ͭ�¸Ĥι����ξ��
�Ǥ�褤. 

\vspace{0.3cm} 
$M_{\overline{f}}$������ϼ���˲�, ��äȰ��̤�����, �Ĥޤ�
$\overline{f} = \overline{f}_k \circ \cdots \circ \overline{f}_1$����
$\overline{f}_i \in {\cal C}^1$�ξ���$h$��������褦. �����Ԥʤ��ˤ�, 
[16, 5��]��Ƴ���������ܹ��(conjunction)�γ�ǰ���ˤ���. 
$h_1, h_2$��${\bf R}^2$��μ¿���Ϣ³�ؿ��Ȥ�, (H$_2$)����������Τ�
����. ���ΤȤ� 
$$
  h_1 * h_2(x,x') = \min_{\xi} (h_1(x, \xi) + h_2(\xi.x')) 
$$
�Ȥ���. ��ñ�˳�ǧ�Ǥ���褦��, $h_1 * h_2$���������, Ϣ³��, (H$_2$)
��������. [16, 5��]�ˤ�����, ���κ��Ѥ���ܹ��(conjunction)�Ȥ���. 
������, ${\bf R}^2$���Ϣ³�¿��ʹؿ����(H$_2$)����������Τ�, 
�ܹ���Ѥβ����Ĥ��Ƥ���. �ܹ��associative�Ǥ���. 

����: ����$S$���2����Ѥ� associative �Ǥ���ȤϤ��٤Ƥ�$x,y,z \in S$
���Ф���$(x*y)*z=x*(y*z)$�ΤȤ��Ǥ��롣 

\vspace{0.3cm} 
̵�±�����$C^1$��ʬƱ������ν���Τ���, ${\cal C}_{\beta}^1$�����Ǥ�
ͭ�¸Ĥι�����ɽ���Ǥ����Τ�${\cal P}_{\beta}^1$�Ƚ�. 
${\cal P}^1 = \cup_{\beta>0} {\cal P}_{\beta}^1$�Ȥ���. 

\vspace{0.3cm} 
$\overline{f} \in {\cal P}_1$���Ф���, $\overline{f}_i \in {\cal C}^1$
�Ȥ���ʬ��
$\overline{f} = \overline{f}_k \circ \cdots \circ\overline{f}_1$
��ͤ���. $f_i$��������ʤ�̤ؤ�$\overline{f}_i$�λ����夲�Ȥ�, ����
$h = h_1 * \cdots * h_k$�Ȥ���. ������, $h_i$��$f_i$
\footnote{����ʸ�Ǥ�$f$�ȤʤäƤ���(ë��).}����ؿ��Ǥ���. 
$h$��, $f = f_k \circ \cdots \circ f_1$�ˤȤ�ʤ�
����ʬ�����פȤ�֤��Ȥˤ���. �¤�, �ղ�����������, $h$��$f$ 
(�����̵�±����κ�ɸ�Ť�) �ˤΤ߰�¸���뤬, ���λ��¤�ɬ�פȤ��ʤ�. 
(������Ĺ�ä��餷��.) $\overline{f} \not\in {\cal C}^1$ (��������)��
�Ȥ���, $h$�Ϥ�Ϥ���ؿ��ǤϤʤ���, 
$M_{\overline{f}}$�����������ۤɤ������ϻ���³���Ƥ���. 

\vspace{0.3cm} 
[16]�ˤ�����, ��ʬ����$h$��$\overline{f} \in {\cal P}_{\beta}^1$��
�����夲�ˤȤ�ʤ��ʤ�, (H$_1$), (H$_2$), (H$_5$), �����
$\theta = \cot \beta$�Ȥ���(H$_{6\theta}$)�����������Ȥ��������. 
�����μ��ʳ���, [16, ���� 5.3]�Ǥ��ä�. ����ˤ���, $h_1$��$h_2$��
${\bf R}^2$���Ϣ³�ʼ¿��ʹؿ��Ǥ��ä�, �����ξ����������ʤ�, 
$h_1 * h_2$��Ʊ�ͤǤ���. ([16, ����5.3]��Ŭ�ѤǤ��뤳�Ȥ򸫤�ˤ�, 
���$(H_3)$��$(H_4)$��������狼��Ф뤳�Ȥ����դ���. (H$_3$)��
(H$_5$)�μ夤���Ǥ���, [16,4��]�ν����˾��������褦��, (H$_4$)��
(H$_5$)��(H$_6$)����Ф�.)  [16]������5.3����ʬ�Ǥ���Τ�, 
$\overline{f} \in {\cal C}_{\beta}^1$�λ����夲$f$����ؿ���
(H$_1$), (H$_2$), (H$_5$), �����(H$_{6\theta}$)������������ 
(�������[16]������Ѥ���)�ˤ��ΤǤ���. 
([16]���Ѹ�ˤ���������, $h$��(H$_6$)���������Τ�, ����$\theta>0$��
�Ф���$({\rm H}_{6\theta})$���������Ȥ��Ǥ���.)

\vspace{0.3cm} 
��ˡ���ñ�ˤ��뤿���, ���Τ褦�������Ƴ������. $\theta>0$�Ȥ���. 

\begin{center}
\begin{minipage}{12cm}
�ؿ�$h: {\bf R}^2 \rightarrow {\bf R}$��(H$_{\theta}$)���������Ȥ�, 
���δؿ���Ϣ³��, (H$_1$), (H$_2$), (H$_5$), �����(H$_{6\theta}$)��
�������Ȥ��Ǥ���. 
\end{minipage}
\end{center}

����Ʊ��, ���ξ��Ϥ��餫��������Ǥ�������$\theta>0$
�˰�¸����. 

\begin{center}
\begin{minipage}{12cm}
$h$��(H)���������Ȥ�, ���δؿ���, ����$\theta>0$��
�Ф���(H$_{\theta}$)���������Ȥ��Ǥ���. 
\end{minipage}
\end{center}

�����ޤȤ���, 
̵�±����δ���������¸��ñĴ�ͤ��������ͭ�²�ι����Ȥ��Ƥ�
��${\cal P}^1$���������������. Ǥ�դ�$\overline{f} \in {\cal P}^1$
����ʬ����$h$��Ȥ�ʤ碌��. ����ʸ��[16]���, ���Τ褦��$h$��(H)��������
���Ȥ�פ��Ф���. 

%\newpage
\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\large \bf 2. �˾���ƻ}
\end{center}

����Ǥ�, ��ʬƱ�����$\overline{f} \in {\cal P}^1$�ζ˾���ƻ��
�����פ��Ф���. �����, $\overline{f}$�ˤȤ�ʤ���ʬ����
$h: {\bf R}^2 \rightarrow {\bf R}$�ˤ�ä���������. 
$h$��, �¿���$(x_j, \ldots, x_k)$, $j<k$�ˤޤǳ�ĥ����
$$
  h(x_j, \ldots, x_k) = \sum_{i=j}^{k-1} h(x_j,x_{j+1})
$$
�Ȥ���. 
$(x_j, \ldots, x_k)$��$h$�˴ؤ���{\bf �˾�}�Ǥ���Ȥ�, 
$$
  h(x_j, \ldots, x_k) < h(x_j^*, \ldots, x_k^*)
$$
��, $x_j = x_j^*$�����$x_k=x_k^*$�ʤ뤹�٤Ƥμ¿���
$(x_j^*, \ldots, x_k^*)$���Ф�������Ω�ĤȤ��Ǥ���. 
(�������ʲ��������������«������դ��˾��Ȱ㤦���Ǥ���. 
$x_j^*$��$x_k^*$�˶��ޤ��$x_i$���ϰϤ����¤ϤĤ��Ƥ��ʤ�.)
ξ̵����$(\ldots, x_j, \ldots)$��$h$�˴ؤ���{\bf �˾�}�Ǥ���Τ�, 
�ɤ�$j<k$���Ф��Ƥ�, �����б���������$(x_j, \ldots, x_k)$��
($h$�˴ؤ���)�˾��ΤȤ��Ǥ���. 

���γ�ǰ��Aubry and LeDaeron[1]�ˤ��. ����줬����˶�̣����ĤΤ�, 
����줬[12]������������¸��ʬƱ��������ϳؤ˴ؤ����̤��̾ڤ�Ϳ����
�����Ǥʤ�, ¾�η�̤��Ϳ���뤫��Ǥ���. �����η�̤�, ����ʸ��
��ȯ���Ǥ���, ����򤳤��ǾҲ𤹤�.

����ʸ��[16,4��]�κǴ����������ܤ�����ˤ����Ƥ���줬�������Ȥ�����
����, $h$��(H)��������, $(x_j, \ldots, x_k)$��$h$�˴ؤ���
�˾��Ǥ���ʤ�, $(x_j, \ldots, x_k)$��$h$�˴ؤ��ƤĤ��Τ褦�ʰ�̣��
��α�Ǥ���. ���ʤ��, $j < i < k$���Ф���, 
�������ʬ$\partial_2 h(x_{i-1},x_i)$�����$\partial_1 h(x_{i},x_{i+1})$
��¸�ߤ���
$$
  \partial_2 h(x_{i-1},x_i) + \partial_1 h(x_i,x_{i+1}) = 0
$$
��������. �������$h$����ʬ��ǽ�ʤ�, ���μ�ĥ�ϼ����Ǥ���. 
������, ���(H)��ɬ������$h$����ʬ��ǽ�����̣���ʤ�. ���ξ�, ���̤�, 
$\overline{f} \in {\cal P}^1$�ˤȤ�ʤ���ʬ����$h$����ʬ��ǽ�Ǥ���ɬ��
�Ϥʤ�. �ȤϤ���, �˾�������α�����̣����Τ�$h$��(H)���������Ȥ�
�Ǥ��뤳�Ȥ�������뤳�Ȥ��ưפǤ���. ���ʤ��, $({\rm H}_6)$���餹���, 
$h$����¦����ʬ��¸�ߤ���
$$ \begin{array}{ll}
  \partial_1 h(x-,x') \geq \partial_1 h(x+,x'), & 
  \partial_2 h(x, x'-) \geq \partial_2 h(x,x'+) 
   \end{array}
$$
��������. �˾���������α�����Ф뤳�Ȥ�, $h$����ʬ��ǽ�Ǥ���Ȥ���Ʊ��
�����Ǿ����Ǥ���. �ܤ�����[16,4��]�򻲾Ȥ��줿��. 

$\overline{f} \in {\cal P}^1$�Ȥ�, $h$��������ʤ${\bf R}^2$�ؤ�
$\overline{f}$�λ����夲$f$�ˤȤ�ʤ���ʬ�����Ǥ���Ȥ���. $h$��
�˾�����$(\ldots, x_i, \ldots)$��ͻ�����. 
$$
  y_i = - \partial_1 h(x_i, x_{i+1}) = \partial_2 h(x_{i-1},x_i)
$$
�Ȥ���. [16,5��]����ˤ�����, $f(x_i, y_i) = (x_{i+1}, y_{i+1})$��
���뤳��, ���ʤ��, $(\ldots, (x_i,y_i), \ldots)$��$f$�ε�ƻ�Ǥ��뤳�Ȥ�
��������. 

�ޤȤ��ʤ�, �����ϼ���������� ([16,5��]). 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ̿�� 2.1}. $\overline{f} \in {\cal P}_{\beta}^1$�Ȥ���. 
$f: {\bf R}^2 \rightarrow {\bf R}^2$��$\overline{f}$�λ����夲�Ȥ���. 
$h$��$f$�ˤȤ�ʤ���ʬ�����Ȥ���. �����$\theta= \cot \beta$�Ȥ���
$h$��(H$_{\theta}$)��������. 
�¿���ξ̵����$x = (\ldots, x_i, \ldots) \in {\bf R}^{\bf Z}$��ͤ�, 
$x$��($h$�˴ؤ���)�˾��Ǥ���Ȥ���. �����, $i \in {\bf Z}$���Ф���
\footnote{����ʸ�Ǥ�, ���դ�$\partial_2 h(x_{i+1},x_i)$}
$$
  y_i = - \partial_1 h(x_i, x_{i+1}) = \partial_2 h(x_{i-1},x_i)
$$
��¸�ߤ���, $(\ldots, (x_i,y_i), \ldots)$��$f$�ε�ƻ�Ǥ���. �Ĥޤ�, 
$f(x_i,y_i) = (x_{i+1},y_{i+1})$.

\vspace{0.3cm}
��������, ��($h$�˴ؤ���)�˾� $x \in {\bf R}^{\bf Z}$��$f$�ε�ƻ��
ȼ�碌��. ���ο�ȼ�����餫��1��1�Ǥ���. ���Τ褦�ˤ���
����줿$f$�ε�ƻ��ֶ˾���ƻ�פȤ��. $f$�ε�ƻ��${\bf R}^2$��ˤ���. 
�����$({\bf R}/{\bf Z}) \times {\bf R}$�ξ�˼ͱƤ���$\overline{f}$
�ε�ƻ������. $f$�ε�ƻ���˾��ΤȤ�, �б�����$\overline{f}$�ε�ƻ��
�ֶ˾��פȤ������Ȥˤ���. $M_f \subset {\bf R}^2$��$f$�ζ˾���ƻ��������
��ɽ���Ȥ�, $M_{\overline{f}} \subset ({\bf R}/{\bf Z}) \times {\bf R}$
��$\overline{f}$�ζ˾���ƻ���٤ƤȤ���. 

����, �ʲ���̿��2.2 -- 2.4�ˤ�����, �˾����֤Τ����Ĥ�����������󤷤褦. 
������Aubry and LeDaeron[1]�����, Bangert[3]�����̲�������ΤǤ���. 
������[3]�򻲾Ȥ��Ƥۤ���. Bangert�ϡ���ʬ������$h$��4�Ĥ�����
(H$_1$) -- (H$_4$)���������Ȥ���. Bangert�η�̤�Ŭ�Ѥ���ˤ�, 
�����ξ��(H)����Bangert�ξ��(H$_1$) -- (H$_4$)���Ф뤳�Ȥ������
�褤. �º�, [16,4��]�κǸ�������, (H$_5$)��(H$_6$)����
(H$_3$)��(H$_4$)���Ф뤳�Ȥ򼨤���.

������, ���(H)��������Ǥ�դ�$h$��Bangert[3]�η�̤�Ŭ�Ѥ��뤳�Ȥ�
�Ǥ���. ���ʤ��, ̿��2.1���, ���Τ褦�ʷ�̤�$M_{\overline{f}}$���
����$\overline{f}$�ε�ƻ�˴ؤ������򤯤��. �����η�̤�
$\overline{f}|M_{\overline{f}}$���ϳؤ򤫤ʤ괰���˼����Ƥ����. 

${\bf R}^{\bf Z}$�����Ǥ����֤Ȥ�֤��Ȥˤ���. $x$��$x^*$��Ǥ�դ�
2�Ĥ����֤Ǥ���Ȥ�, ���٤Ƥ�$i$���Ф���$x_i < x^*_i$�ΤȤ�
$x < x^*$�Ǥ���Ȥ���. 

\begin{center}
\begin{minipage}{12cm}
$x$��$x^*$����Ӳ�ǽ�Ǥ���Ȥ�, $x < x^*$, �ޤ���$x=x^*$�ޤ���
$x > x^*$�ΤȤ��Ǥ���. 
\end{minipage}
\end{center}

���줫�餹���, ��ž���ΰۤʤ����֤���Ӳ�ǽ�Ǥʤ�. ��ž���ΰۤʤ�
2�Ĥ����֤�ɬ�����뤫��. ��Ӳ�ǽ�Ǥ��뤿��ˤϲ�ž����Ʊ���Ǥʤ����
�ʤ�ʤ�. ��ž����Ʊ������֤Ǥ�ʣ������. ������, ��������ˤϰ�̣��
����. �ɤΤ褦�ʰ�̣�����뤫, ����ϰʲ��Ǽ���. �����֤�ʿ�԰�ư�����
ʿ�԰�ư������֤ϸ������֤Ȥϰۤʤ�. ������, ����ʿ�԰�ư������֤�
�������֤Ȥδط��Τ������ˤ�ä�, �������֤������������餫�ˤʤ�. 

$x$�����֤Ǥ��ä�$p,q \in {\bf Z}$�ΤȤ�, $T_{p,q} x$��
$$
   (T_{p,q} x)_i = x_{i+q} - p
$$
�������������֤Ǥ���Ȥ���. �������ľ���ɤ߼���, $T_{p,q}x$��
$i$���ܤ�����, $x$��$i+q$���ܤ�����äƤ���, $x$��ɸ��$p$�������餷��
��ΤǤ���. ���̤�, ����$x$���$x_i$�Ϻ������鱦��˸����ä��¤�Ǥ���. 
������, �ֹ椬�������, $x_i$�κ�ɸ��������. $q$����¿���ֹ�ΤȤ�������
��������ᤷ��, $p$������ɸ�򸺤餹. ����ϳΤ���ʿ�԰�ư�ˤʤäƤ���. 
$p$��$q$��ɤ�������Ǥ⤤������, ʿ�԰�ư�ˤ��̵�������֤�������. 
���Ȥ���, $q$���礭����ä�$|p|$�򾮤������. �����2�Ĥ����֤ϱ�. 
ʿ�԰�ư������֤ϤϤ뤫��ˤ���. �դ�, $q$�򾮤�����ä�$|p|$��
�礭�����. �����, ʿ�԰�ư������֤ϤϤ뤫���ˤ���. �Ȥ����, 
$p,q$�򤦤ޤ����֤�, �������֤�ʿ�԰�ư���֤Ȥ�, �ߤ��˶᤯�ʤ�. 
�ᤵ�β��¤Ȥ����褦�ʳ�ǰ����ǽ�Ǥ���. 

���ޤ��ޤ�$T_{p,q}x$��$x$��ʿ�԰�ư 
(translate)�ȸƤ�. $x$��$h$�˴ؤ���˾����֤ʤ� ($h$��(H)��������), 
����ʿ�԰�ư�⤹�٤�($h$�˴ؤ���)�˾����֤Ǥ���. �����(H$_1$)����
ľ�ܤθ����뤳�ȤǤ���. $x$��ͭ������ž���ε�ƻ�ʤ�, ���ޤ�$p,q$��
����, ʿ�԰�ư���������֤Ȱ��פ���. ����, $x$��̵������ž���ε�ƻ
�ʤ�, �ɤ��$p,q$����äƤ���ʿ�԰�ư���Ƥ�, �������֤Ȥϰ��פ��ʤ�. 
������Ǥ�᤯������Τ������������. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ̿�� 2.2}. $h$��(H)��������, $x$��$h$�˴ؤ���Ǥ�դζ˾����֤Ǥ���
��, $x$��Ǥ�դ�2�Ĥ�ʿ�԰�ư����Ӳ�ǽ�Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. Bangert���� ([3, ����3.13]). (ë��: Bangert�Ȥε�ˡ��
�㤤�������뤳�ȡ��Ȥ���$T_{p,q}$�ΰ㤤). 
$q=0$�ʤ��ĽҤϼ���������Ω��. �º�, �ֹ���Ѥ�����, �岼�˰�ư�������
������, ����ʤ�. $x$��$x^*=T_{(p,q)}x$��
����Ȳ��ꤹ��. ������$0$�ǵ����뤫, �ޤ���$0$��$1$�δ֤ǵ������
���Ƥ�������ϼ���ʤ�. �˾�����Ʊ�Τ����٤ȸ���ʤ�. 
ɬ�פʤ�$x$��$x^*$�����ؤ���, ��������Ω�ĤȲ���Ǥ���. 
$$ \begin{array}{lllllll}
 x_j^* > x_j & {\rm for} & j<0 & ���� & x_j^* < x_j & {\rm for} & 
j>0 .
   \end{array}
$$
�Ĥޤ�, 
$j=0$�򶭳��ˤ���, ���Ǥ�$x^*$��$x$����, ���Ǥ�$x$��겼. 

$p>0$�ξ����������. $p<0$�ξ���Ʊ�ͤ˰�����. 

����$j \geq 0$�Ȥ���$x_j > x^*_j = x_{j+q} - p$
�Ǥ���. �ޤ� $x_{j+q}> x^*_{j+q} = x_{j+2q} - p$. ��ä�
$x_{j+q} - p > x_{j+2q} -2p$. Ʊ�ͤˤ�������$v>0$���Ф���
$x_{j+vq} - vp > x_{j+(v+1)q} -(v+1)p$. 
������, �ɤ�$j \geq 0$���Ф��Ƥ�, ��
$$
  v \in {\bf N} \rightarrow x_{j+vq} - vp
$$
�ϸ�����Ǥ���.

����$j < 0$�Ȥ���$x_j < x^*_j = x_{j-q} + p$
�Ǥ���. �ޤ� $x_{j-q}< x^*_{j-q} = x_{j-2q} + p$. ��ä�
$x_{j-q} + p < x_{j-2q} + 2p$. Ʊ�ͤˤ�������$v>0$���Ф���
$x_{j-vq} + vp < x_{j-(v+1)q} + (v+1)p$. 
�ɤ�$j < 0$���Ф��Ƥ�, ��
$$
  v \in {\bf N} \rightarrow x_{j-vq} + vp
$$
��������Ǥ���. 

$x$��, ����$(q,p)$���� $\overline{x}_0 < x_0$�ʤ�
$\overline{x} \in {\cal M}_f$����Ӥ���.
���Τ褦��$\overline{x}$������ˤϼ������� (Bangert������(3.3))��Ȥ�. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ����.} ���٤Ƥ�$(q,p) \in ({\bf Z}\backslash \{ 0 \}) \times {\bf Z}$
���Ф���, ����$(q,p)$��$x \in {\cal M}_f$������. 

\vspace{0.3cm}
ɬ�פʤ�ʿ�԰�ư$T_{(j,0)}$��Ԥʤ�. 
($p<0$�ξ��, ������ˤʤ뤫��, ����$(q,p)$��$\overline{x}_0 > x_0$��
������$\overline{x} \in {\cal M}_f$����Ӥ���.) �˾�����Ʊ�Τ�1�٤���
����ʤ�����, $j \leq 0$���Ф���$\overline{x}_j < x_j$�Ǥ��뤫, 
$j \geq 0$���Ф���$\overline{x}_j < x_j$�Ǥ���. 

$j \leq 0$���Ф���$\overline{x}_j < x_j$�ξ��򰷤���.  
$j \geq 0$���Ф���$\overline{x}_j < x_j$�ξ���ޤä���Ʊ�ͤǤ���. 
$j \leq 0$�ΤȤ�, ��$v \rightarrow x_{j-vp} + vq$�ϸ�����Ǥ��ä�, 
������$\overline{x}_{j-vp} + vq = \overline{x}_j$�ˤ�ä��ޤ����Ƥ���. 
�椨��
$$
 \tilde{x}_j: \lim_{v \rightarrow \infty} 
(x_{j-vp} + vq) = \lim_{v \rightarrow \infty} (T_{(vp,vq)}x)_j
$$
��$j \leq 0$���Ф���¸�ߤ�, $\tilde{x}_{j-p} + q = \tilde{x}_j$�Ǥ���. 
$(\tilde{x}_j)_{j \leq 0}$�μ��������, $x$��$x^*$��
$(\tilde{x}_j)_{j \leq 0}$��$\alpha$����Ǥ��뤳��, �ޤ�
$|x_{i+1} - x_i|$��$j \rightarrow -\infty$�ΤȤ�ͭ���Ǥ��뤳�Ȥ���ñ��
�����Ǥ���. ���ޤ�, �ߤ�������Ū�ʶ˾�����Ʊ�Τϸ���ʤ��Ȥ���������
$x$��$x^*$������Ȥ��������̷�⤹��. 
\hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
$T_{p,q} x > x$�ʤ�$T_{lp,lq}x > x$���ɤ�����$l$���Ф��Ƥ�����Ω��.
�ʤ��ʤ�, $T_{lp,lq} = T_{p,q}^l$ ($T_{p,q}$��$l$��ȿ��)������Ǥ���.
�������ä�, $q>0$�Τߤ�ͤ����, $T_{p,q} x > x$��$T_{p,q} x < x$��
��$p/q$�Τߤ˰�¸����. 

\begin{center}
\begin{minipage}{12cm}
$\rho_-(x)$��$T_{p,q}x < x$�ʤ�$p/q$ ($q>0$) �ν���Ȥ�,\\
$\rho_+(x)$��$T_{p,q}x > x$�ʤ�$p/q$�ν���Ȥ���. 
\end{minipage}
\end{center}


\vspace{0.3cm}
����, ����$x$�β�ž����̤�ΤǤ���. ����ʲ�ž��$p/q$����ä����, 
$x$���ž��$p/q$�����Ĳ��ˤ��餹. ����$x$��, ����$n$, �ļ�$x$��ɸ����ʤ�
���֤ˤ�����. �������ޤ����Ǥ���. ���η������¤ϲ�ž���Ǥ���. 
���Τ��餷�Ρ������פ�, ����$x$�򷹤����Ѥ����ˤ��餹���ȤǤ���. 
���ʤ��, ����$x$�γ����򲣤�$q$���餷, �Ĥ�$p$�������餹. ���Ƥ�Ʊ����
���������岼�ˤ��餹���鷹�����Ѥ��ʤ�. �嵭̿��2.2�϶˾����֤ζɽ�Ū
�դ�ޤ��˶������¤�ݤ�. �ɤ��ʿ�԰�ư��ԤäƤ�, ��Ȥ����֤�
����ʤ�. �Ȥ������Ȥ�, �˾����֤Ϥ��ʤ��餫�˺������鱦��˿ʤ��
�Ԥ�. ����������̱������ʤ��ΤǤ���. ñĴ�Ǥ��뤳�Ȥ����Ǥ���. ����
����$x$��ɸ��������������, ʿ�԰�ư�����Ȥ��˸��äƤ��ޤ�. �����
��ñ�˼�����. 


\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ̿�� 2.3}. $h$��(H)��������, $x$��$h$�˴ؤ���Ǥ�դζ˾����֤Ǥ���
��, $(\rho_-(x),$ $\rho_+(x))$��ͭ�����ν���Υǥǥ�������ǤǤ���. 
�Ĥޤ�, $\rho_-(x)$�Τɤ����Ǥ�$\rho_+(x)$�Τɤ����Ǥ�꾮����, 
$\rho_-(x)$��$\rho_+(x)$����Ǥʤ�,  
$\rho_-(x) \cup \rho_+(x)$�Ϲ⡹1�Ĥ�����Ƥ��٤Ƥ�ͭ������ޤ�. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. ��ñ�ˤ狼��褦��, ̿��2.2����, $\rho_-(x)$��
$\rho_+(x)$����Ǥʤ��Ȥ����ĽҰʳ����Ф�. �����ĽҼ��Ȥ�, 
[3, ��3.16]���������. 


\vspace{0.3cm}
\noindent
Bangert��{\bf ����}(3.15). �ɤ�$x \in {\cal M}$���Ф��Ƥ�, �߼���
$f \in \tilde{G}_+$�����ä�, ���٤Ƥ�$i \in {\bf Z}$���Ф���
$x_{i+1} = f(x_i)$�Ǥ���. ($\tilde{G}_+$�ϱ߼����λ����夲��.)

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{(3.15)�ξ���}. �Ϥ�����Ľ���$A:= p_0(\overline{B}_x)$���$f$��
$f:= p_1 \circ (p_0|\overline{B}_x)^{-1}$���������. ������,
$B_x = \{ T_{a,b}x~ |~ (a,b) \in {\bf Z}^2 \}$. ���뤤��Ʊ������
�Ǥ��뤬, $x^* \in \overline{B}_x$�ΤȤ�$f(x_0^*):= x_1^*$�Ȥ���. 
(3.14)���, $f$��$A$���餽�켫�Ȥξ�ؤζ�������Ʊ������Ǥ���. 
���餫��, $f$�Ϥ��٤Ƥ�$t \in A$���Ф���$f(t+1) = f(t)+1$��������. 
$f$��$A$����${\bf R}$��affineŪ�˳�ĥ����. ���ʤ��, 
${\bf R} \backslash A = \cup (a_n,b_n)$�ʤ�, $t \in [0,1]$���Ф��� 
$f( (1-t)a_n + t b_n):= (1-t)f(a_n) + tf(b_n)$. ��ñ�ˤ狼��褦��, 
$f \in \tilde{G}_x$�����$f(x_i) = f( (T_{(-i,0)} x)_0) = x_{i+1}$��
����. \hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
(3.15)��߼����η��(2.1)�����(2.2)�ȹ�碌�Ƽ�������. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
(3.16) {\bf ��.} �������������Ϣ³����
$\tilde{\alpha}: {\cal M} \rightarrow {\bf R}$��¸�ߤ���. 

\vspace{0.2cm}
(a) ���٤Ƥ�$x \in {\cal M}, i \in {\bf Z}$���Ф���, 
$|x_i-x_0- i\tilde{\alpha}(x)|<1$�Ǥ���. �Ȥ���
$\tilde{\alpha}(x) = \lim_{|i| \rightarrow \infty} x_i/i$�Ǥ���. 

\vspace{0.2cm}
(b) $x \in {\cal M}$��$(q,p)$����Ū�ʤ�, $\tilde{\alpha}(x) = p/q$
�Ǥ���. 

\vspace{0.2cm}
(c) $\tilde{\alpha}$��$T$�β������ѤǤ���. ���ʤ��, 
���٤Ƥ�$(a,b) \in {\bf Z}^2$���Ф���
$\tilde{\alpha}(T_{(a,b)} x) = \tilde{\alpha}x$�Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $\tilde{\alpha}(x)$��$x \in {\cal M}$�β�ž���ȸƤ�. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $x \in {\cal M}$���Ф���, (3.15)�˱�����
$f \in \tilde{G}_+$������, $\tilde{\alpha}:= \tilde{\alpha}(f)$��
�������. �����, (a)��(2.1)�����(2.2)����Ф�. �Ȥ���
$\tilde{\alpha}(x)$�Ϥ褯�������Ƥ���.  
$\tilde{\alpha}$��Ϣ³����(b),(c)��(a)���餿�����˽Ф�. 

\hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
$\widetilde{\rho}(x) = (\rho_-(x), \rho_+(x))$�Ȥ���, 
$\widetilde{\rho}(x)$��$x$�β�ž����Ȥ��.
$\rho(x)$��$\widetilde{\rho}(x)$����������ɽ���Ȥ���. ���ʤ��,
��դμ¿��Ǥ��ä�, $\rho_-(x)$�Τɤ����Ǥ�$\leq \rho(x)$��
����, $\rho_+(x)$�Τɤ����Ǥ� $\geq \rho(x)$�Ǥ���. 
$\rho(x)$��$x$�β�ž���ȸƤ�. 

�������${\cal S}$��ͭ�����Υǥǥ�������Ǥν����ɽ��. 
${\cal S}$��ɸ��Ū�����Ϳ����. �Ĥޤ�, $(A,B)$��$(A',B')$���ǥǥ����
���ǤǤ���Ȥ�, $(A,B) \leq (A',B')$��$A \subset A'$����$B' \subset B$
���̣����. �ǥǥ�������ǤˤȤ�ʤ�ɸ��Ū���� 
(canonical mapping) ${\cal S} \rightarrow {\bf R}$�Ͻ����¸�Ǥ���. 

$\omega$��̵�����Ȥ���Ȥ�, ��������ǤȤ���ͭ�����Υǥǥ�������Ǥ�
��դǤ���. ���Υǥǥ�������Ǥ�$\omega$�Ƚ�. 
ͭ����$p/q$�ˤ�3�ĤΥǥǥ��������$(A,B)$������. ���ʤ��, $p/q$��$A$��
�ޤޤ��, $B$�˴ޤޤ��, �ɤ���ˤ�ޤޤ�ʤ����Ǥ���. 
�����򤽤줾��$p/q+$, $p/q-$, $p/q$�Ƚ�. ������
$p/q- < p/q < p/q+$�Ǥ���. ���Τ褦�ˤ���,  
�¿��ν���${\bf R}$�ϵ������${\cal S}$����ʬ���֤Ȥʤ�. 
�����������, $\omega \in {\bf R}$�Ǥ���Ȥ�, �����ǥǥ��������
$(A,B)$��Ʊ��뤹��. ������, $A$��$\omega$��꾮���ʤ��٤Ƥο�����ʤ�, 
$B$��$\omega$����礭�����٤Ƥο�����ʤ�. 

$\widetilde{\rho}(x) \in {\cal S}$�Ǥ��뤫��, ���ε���ΰ�̣����Ȥ�����, 
$\widetilde{\rho}(x)$��̵�����Ǥ��뤫, $p/q+, p/q-$�ޤ���$p/q$�Ǥ����
�ͤ�
��. ������, $p/q$��ͭ�����Ǥ���.  


\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ̿�� 2.4}. $h$��(H)���������Ȥ�, $\omega \in {\bf R}$�Ǥ���Ȥ���. 
���ΤȤ�, ($h$�˴ؤ���)�˾�����$x$�����ä�, $\rho(x) = \omega$��������.

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. Bangert[3, ����3.17]�򸫤�. \hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
���η�̤�, ���򤤤Τ�, $\overline{f} \in {\cal P}^1$�Ȥ���, 
$M_{\overline{f}}$�ι�¤�ر��Ѥ����뤫��Ǥ���. ��������ưפ�����Ǥ���
�褦��, $M_{\overline{f}}$��̵�±�������$\overline{f}$���ѽ���Ǥ���. 

${\cal O}(\ldots, (x_i,y_i), \ldots)$��$\overline{f}$��������ʤ�ؤ�
�����夲$f$�ε�ƻ�Ǥ���Ȥ����, ${\cal O}$��{\bf ��ž��}��
$$
  \rho({\cal O}) = \lim_{i \rightarrow \pm \infty} x_i/i ,
$$ 
�ˤ�ä�, �˸¤�¸�ߤ��������������. Ʊ���Ѹ��$\overline{f}$�ε�ƻ
���Ф��Ƥ�Ȥ����Ȥˤ���. ���ʤ��, $\overline{\cal O}$��${\cal O}$��
̵�±����ؤμͱƤȤ����, ���β�ž����
$\rho(\overline{\cal O}) = \rho({\cal O})$���������. ۣ�����������. 
�Ĥޤ�, $\rho({\overline{\cal O}})$�ϻ����夲$f$���������˰�¸����. 
�����夲���Ѥ����, ��ž���������ͤ����Ѳ�����. ������, �Ѳ��Ϥɤε�ƻ
���Ф��Ƥ�Ʊ��ʤΤ�, ����ۣ������̵�뤷, �����δ���, $\overline{f}$��
�����夲$f$����ꤷ�Ƥ���. 

$\overline{f} \in {\cal P}^1$�Ȥ�, $f$�Ϥ��λ����夲�Ȥ�, $h$��$f$��
�Ȥ�ʤ���ʬ�����Ȥ���. $x = (\ldots, x_i, \ldots)$��$h$�˴ؤ���˾�
���֤Ȥ���. ̿��2.1���, ��ƻ${\cal O} = (\ldots, (x_i,y_i), \ldots)$
��$M_f$��ˤ��ä�,  $(\ldots, x_i, \ldots)$�ˤȤ�ʤ�. ľ٣��
$$
  \rho({\cal O}) = \rho(x)
$$ 
������Ω��. 

��������, ̿��2.3��2.4���鼡���Ф�. 


\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ̿�� 2.5}. $M_{\overline{f}}$��Τɤ�$\overline{f}$��ƻ���ž����
����. �ɤμ¿�$\omega$���Ф��Ƥ�, $M_{\overline{f}}$���
$\overline{f}$��ƻ�����ä�, ��ž���Ȥ���$\omega$�����. 


\vspace{0.3cm}
$M_{\overline{f}}$���$\overline{f}$��ƻ$\overline{\cal O}$ (�ޤ���$M_f$
���$f$��ƻ${\cal O}$)�β�ž����$\widetilde{\rho}(\overline{\cal O})$ 
(�ޤ���$\widetilde{\rho}({\cal O})$)�Ȥ�, �б�����˾����֤β�ž�����
����. ����Ʊ��, ��ž����ϼ¿��Ǥ��뤫, $p/q$��ͭ�����Ȥ���
$p/q-$�ޤ���$p/q+$�η��򤷤Ƥ���. 

$\omega$���¿��ʤ�, $M_{\overline{f},\omega}$��$M_{\overline{f}}$���
$\overline{f}$��ƻ�Τ�����ž{\bf ����} (���Ǥʤ�) $\omega$����Ĥ�Τ���
�Ƥ��¤�ɽ��. $\omega$��ͭ�����ξ��, ���ʤ��, $q>0$�Ȥ���$p/q$������
�ξ��, $M_{\overline{f},\omega}$��ε�ƻ�Ϥ��٤Ƽ���
$q$�Ǽ���Ū�Ǥ���. �¤�, $(\ldots, (x_i,y_i), \ldots)$��${\bf R}^2$�ؤ�
���Τ褦�ʵ�ƻ�λ����夲�Ǥ����, $x_{i+q} = x_i + p$ (�������ä�
$y_{i+q} = y_i$)�Ǥ���. ���Τ��Ȥϲ�ž�����������餿�����ˤ�������. 
�ʤ��ʤ�, �ǥǥ�������Ǥǵ���$p/q$���б������Τ�$p/q$��ޤޤʤ�����
�Ǥ���. 

$\omega$��$p/q-$�ޤ���$p/q+$�η��β�ž����ʤ�, $M_{\overline{f},\omega}$
��, ��ž����Ȥ���$\omega$�ޤ���$p/q$����Ĥ��٤Ƥε�ƻ���¤�ɽ����Τ�
���� (��̣����). 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ̿�� 2.6}. $\overline{f} \in {\cal P}_{\beta}^1$����
$\omega \in {\cal S}$�ΤȤ�, $M_{\overline{f}, \omega}$��̵�±���
$({\bf R}/{\bf Z}) \times {\bf R}$�Υ���ѥ�����ʬ����Ǥ���. 
$\pi$��̵�±����ˤ�����, ���������ʬ${\bf R}/{\bf Z}$�ؤμͱƤȤ���. 
���ΤȤ�, $\pi|M_{\overline{f}, \omega}$��1��1(injective)�Ǥ���. 
�������ä�, $M_{\overline{f}, \omega} = {\rm graph} \ u$��Ŭ���ʴؿ�
$u = u_{\overline{f}, \omega}:  \pi(M_{\overline{f}, \omega})
\rightarrow {\bf R}$���Ф�������Ω��. ���δؿ��ϥ�ץ��åĤǤ���, ��ץ���
�������$\leq \cot \beta$�Ǥ���. ���ʤ��, 
$\theta, \theta' \in {\bf R}/{\bf Z}$���Ф���
$$
  |u(\theta') - u(\theta)| \leq (\cot \beta) |\theta' - \theta|
$$
������Ω��. 
������, $|\theta' - \theta|$��, $\theta \equiv x ({\rm mod} \ 1)$
�����$\theta' \equiv x' ({\rm mod} \ 1)$�Ȥ���$\min |x' - x|$����������.


\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. ���������餫��, $M_{\overline{f},\omega}$��̵�±���
������ʬ����Ǥ���. Bangert[3]�Τ��ޤ��ޤʷ�� (��Ȥ�[1]�ˤ����Ƥ�ä�
�������¤β��Ǿ������줿)���餹���, $x$��$x'$���˾����֤Ǥ��ä�, 
$M_{\overline{f},\omega}$���2�Ĥε�ƻ���б������, ��������Ӳ�ǽ��
����. $\omega$��̵�����ξ��, �����[3, ����4.1]�Ǥ���. 
$\omega= p/q-, p/q,$�ޤ���$p/q+$�ΤȤ�, �����[3, ����5.1]�ε���Ǥ���.
[16]��5��Ǹ�ε����򸫤�. ���Τ褦��Ǥ�դ�2�Ĥ����֤���Ӳ�ǽ�Ǥ��뤫��, 
$\pi|M_{\overline{f},\omega}$��1:1 (injective)�Ǥ���.


$u_{\overline{f},\omega}$���Ф����ץ��åĸ³���������뤿���, 
$M_{f,\omega} \subset {\bf R}^2$���$(x,y)$��$(\xi,\eta)$��ͤ���. 
(�������, $M_{f,\omega}$��, �ͱ�
${\bf R}^2 \rightarrow ({\bf R}/{\bf Z}) \times {\bf R}$�β��Ǥ�
$M_{\overline{f},\omega}$�ε����Ǥ���. ) 
$(\overline{x},\overline{y}) = f^{-1}(x,y)$, 
$(\overline{\xi},\overline{\eta}) = f^{-1}(\xi,\eta)$, 
$(x',y') = f(x,y)$, �����$(\xi',\eta') = f(\xi,\eta)$�Ȥ���. 
���Ȥ���, $x < \xi$�Ȥ��Ƥߤ�. ��ǰ��Ѥ�����Ӳ�ǽ���η�̤���,  
$\overline{x} < \overline{\xi}$�����$x' < \xi'$���Ф�. 
$y = \partial_2 h(\overline{x},x)$, 
$\eta = \partial_2 h(\overline{\xi}, \xi)$��̿��2.1�������Ω��. ������
$h$��$f$�ˤȤ�ʤ���ʬ�����Ǥ���. $h$��(H$_5$)������������, 
$\partial_2 h(\overline{\xi}, x+) \leq \partial_2 h(\overline{x},x)$��
����. $h$��(H$_{6\theta}$)��$\theta = \cot \beta$�Ȥ�������������, 
$\partial_2 h(\overline{\xi}, \xi) \leq 
\partial_2 h(\overline{\xi},x+) + \theta(\xi-x)$������Ω��. 
��������������Ĥʤ���碌��$\eta \leq y + \theta (\xi - x)$������. 
$y = - \partial_1 h(x,x')$, $\eta = -\partial_1 h(\xi,\xi')$��Ȥä�
$y \leq \eta + \theta (\xi - x)$��Ʊ�ͤʵ�����������. $\Box$

\vspace{0.3cm}
$M_{\overline{f},\omega}$��ε�ƻ���б�����˾����֤���Ӳ�ǽ�Ǥ���
���¤�, �⤦�ҤȤĽ��פʷ�̤�⤿�餹. ${\bf R}/{\bf Z}$��ν���Ĥ���
�ۤʤ�3��$(\theta,\theta',\theta'')$������ (���)��������ĤȤ�, 
${\bf R}/{\bf Z}\backslash \theta''$���$\theta$��$\theta'$�˷��
�����դ���ʬ�� ���� (���)�����Ť����Ƥ���Ȥ��Ǥ���, �Ȥ������
��פ��Ф���. ${\bf R}/{\bf Z}$�ν���դ��ΰۤʤ�3����2�Ĥ����ʬ�䤹��
(partition)���������� ${\bf R}/{\bf Z}$��{\bf �߽��}�Ȥ�Ф��. 
���餫��, �����${\bf R}/{\bf Z}$��Ǥ�դ���ʬ����˱߽����ͶƳ����. 
$\pi|M_{\overline{f},\omega}$��1:1 (injective)�Ǥ��뤫��, 
$M_{\overline{f},\omega}$�ˤ�߽��������Ω��. Ʊ�ͤ�, ${\bf R}$���
�����$M_{f,\omega}$�˽����ͶƳ����. �ʤ��ʤ�$M_{f,\omega}$����
${\bf R}$�ؤμͱƤ�1:1������Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ̿�� 2.7}. Ǥ�դ�$\omega \in {\cal S}$���Ф���, $f$��
$M_{f, \omega}$��ν������¸��, $\overline{f}$��
$M_{\overline{f}, \omega}$��α߽������¸����. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. �ǽ���ĽҤ�$M_{f,\omega}$���2�Ĥε�ƻ���б�����
���֤���Ӳ�ǽ�Ǥ���Ȥ����ĽҤ�����������ΤǤ���. ������ĽҤϺǽ��
��Τ��餷������. $\Box$


\vspace{0.3cm}
�˾���ƻ������ؤ�ɮ�Ԥζ�̣��Percival [19,20]�ο��ͷ�̤˿�ȯ���줿���
�Ǥ���. ���(���ͷ׻�����), �ͤ�������Υۥ�ȥԡ����������ѱߤ�����
���˾���ƻ����ʤ뤳�Ȥ�ͽ�ۤ���. ����ͽ�ۤ�, �ۤ�Aubry and Le Daeron[1]
�η�̤���Ф��ΤǤ���, R. MacKay�ؤμ��[11]�ˤ�����, (�ͤ�������ξ�
���)�����ʾ�����ɮ�Ԥ�Ϳ����. �ͤ��������ͭ�¹����ؤΤ��η�̤ΰ��̲�
��������. ��������������, ���ΰ��̲���Ҥ�, ��������. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ̿�� 2.8}. $\overline{f} \in {\cal P}^1$�Ȥ���. $\Gamma$��
̵�±���$({\bf R}/{\bf Z}) \times {\bf R}$����ʬ����Ȥ���. 
$\Gamma$���ߤ�Ʊ��Ǥ��ä�, ̵�±���������˲Ľ̤Ǥʤ��Ȥ���. 
$\overline{f} \Gamma = \Gamma$�Ǥ���Ȥ���. ���ΤȤ�, 
$\Gamma \subset M_{\overline{f}}$�Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. Birkhoff������ (��� 1)���, $\Gamma$�ϥ�ץ��å�
�ؿ�$u: ({\bf R}/{\bf Z}) \rightarrow {\bf R}$�Υ���դǤ���. 
$h$��$\overline{f}$����ʬ�����Ǥ���Ȥ�, 
$$
  H(x,x') = h(x,x') - \int_x^{x'} u(t) dt 
$$
�Ȥ���. ���֤�$H$�˴ؤ��ƶ˾��Ǥ���Τ�, $h$�˴ؤ��ƶ˾��Ǥ���Ȥ�, ����
�Ƥ��ΤȤ��ΤߤǤ���. �ʤ��ʤ�, 
$$
  H(x_i^*, \ldots, x_j^*) - H(x_i, \ldots, x_j) = 
  h(x_i^*, \ldots, x_j^*) - h(x_i, \ldots, x_j) 
$$
������Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 1}. $H$��$(x,x')$ʿ�̤�$\Gamma$�����ξ�ǰ���Ǥ���. 


\vspace{0.3cm}
$(x,x')$�̤�$\Gamma$�����Ȥ�, ���Τ褦�ʤ�ΤǤ���. $\overline{f}$��
�����夲$f: {\bf R}^2 \rightarrow {\bf R}^2$�ϵ����δ�����ꤷ�Ƥ���. 
$\widetilde{\Gamma}$��ʿ�̤�������ؤμͱƤβ��Ǥ�$\Gamma$�ε�����
����Ȥ���. $(x,y) \in {\bf R}^2$����$f(x,y) = (x',y')$�ΤȤ�, 
$\pi_f (x,y) = (x,x')$�Ȥ���. $(x,x')$�̤�$\widetilde{\Gamma}$��
{\bf ��}�Ȥ�$\pi_f (\widetilde{\Gamma})$�Τ��ȤǤ���. �����$\Gamma^*$
��ɽ��. $\pi_f$��$\widetilde{\Gamma}$���1:1�Ǥ��뤳��, �ޤ�$\Gamma^*$
��${\bf R}^2$������ʬ����Ǥ��뤳�Ȥ����դ��Ƥ���. ���Ԥ�$\Gamma$��
����դǤ���Ȥ���Birkhoff�������ε���Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����1�ξ���}. $\overline{f} \in {\cal P}^1$�Ǥ��뤫��, 
$\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_k \in {\cal C}^1$�����ä�, 
$\overline{f} = \overline{f}_k \circ \ldots \circ \overline{f}_1$
��������. $\overline{f}_i$ ($i=1, \ldots, k$)�λ����夲
$f_i: {\bf R}^2 \rightarrow {\bf R}^2$�������, 
$f = f_k \circ \cdots \circ f_1$�Ȥ���. 
$\Gamma_0 = \Gamma, \Gamma_i = \overline{f}_i \Gamma_{i-1}$ ��
���� ($i = 1, \ldots, k$). Birkhoff���������, ��$\Gamma_i$��
��ץ��åĴؿ�$u_i: {\bf R}/{\bf Z} \rightarrow {\bf R}$�Υ���դ�
����. �ʤ��ʤ�, $\Gamma_i$��
$\overline{f}_i \circ \overline{f}_{i-1} \circ \cdots \circ 
\overline{f}_i \circ \overline{f}_k \circ \cdots \circ
\overline{f}_{i+1} \in {\cal P}^1$������Ǥ���. 

$(x,x') \in \Gamma^*$��ͤ���. ���ΤȤ�, $y, y' \in {\bf R}$�����ä�, 
$(x,y) \in \Gamma$��$f(x,y) \in (x',y')$������Ω��. ����, $h$��$(x,x')$
�ˤ�������ʬ��ǽ�Ǥ��뤳��, �ޤ�
$$ \begin{array}{ll}
 y = - \partial_1 h(x,x'), &  y' =  \partial_2 h(x,x')
   \end{array}
$$
�Ǥ��뤳�Ȥ򼨤�. �����������뤿���, $h$�ϰ��̤���ʬ��ǽ�Ǥʤ���, 
��¦�����ʬ$\partial_1 h(x-,x')$�ۤ��Ͼ��¸�ߤ��뤳�Ȥ��Ŧ���Ƥ���.
�ޤ� [16, 5��]�ν�������ˤ�����, ���Τ褦��ɽ���򤽤���Ϳ����. 
���ʤ��, $h_i$��$f_i$����ؿ��Ȥ���. ���$x_0 = x$ �����$x_k = x'$��
��������$x_0, \ldots, x_k$��
$$
  h_1(x_0,x_1) + h_2(x_1, x_2) + \ldots + h_k(x_{k-1}, x_k)
$$
��˾��ˤ����Τ��٤Ƥ����, 
�Ǿ��Τ��$x_0^{\min}, \ldots, x_k^{\min}$�Ⱥ���Τ��
$x_0^{\max}$, $\ldots$, $x_k^{\max}$������. 
$$ \begin{array}{ll}
 y_i^{\mu} = - \partial_1 h(x_i^{\mu},x_{i+1}^{\mu}), &  
                    i = 0, \ldots, k-1, \\
 y_i^{\mu} = \partial_2 h(x_i^{\mu},x_{i+1}^{\mu}), &  
                    i = 0, \ldots, k, 
   \end{array}
$$
�Ȥ���. ������$\mu = \min$�ޤ���$\max$�Ǥ���. ���ΤȤ�, 
$f_i(x_i^{\mu}, y_i^{\mu}) = (x_{i+1}^{\mu}, y_{i+1}^{\mu})$�����
$$ \begin{array}{ll}
 \partial_1 h(x-,x') = -y_0^{\min}, &   \partial_1 h(x+,x') = -y_0^{\max}, \\
 \partial_2 h(x,x'-) = y_k^{\min}, &   \partial_2 h(x,x'+) = y_k^{\max}, \\
   \end{array}
$$
�Ǥ���. 

$(x,x') \in \Gamma^*$, $(x,y) \in \Gamma$, ����$f(x,y) = (x',y')$��
���������. Birkhoff��������Ȥä�, $y_0^{\min} = y_0^{\max} = y$����
��$y_k^{\min} = y_k^{\max} = y'$��������뤳�Ȥ��Ǥ���. �º�, 
��, �Ĥޤ�, $y_0^{\mu} \neq y$ ($\mu$��$\min$�ޤ���$\max$), ���Ȥ���
$y_0^{\mu} < y$�Ȥ��Ƥߤ�. $(x_0,y_0) = (x,y)$,
$(x_i,y_i) = f(x_{i-1},y_{i-1})$, $i = 1, \ldots, k$�Ȥ���. 
$f_1$�Τͤ�������, $x_1^{\mu} < x_1$�Ǥ���. �ʤ��ʤ�, 
$x_0^{\mu} = x_0$����$y_0^{\mu} < y_0$������Ǥ���. 
���餫��$y_1^{\mu} < u_1(x_1^{\mu})$�Ǥ���. �Ĥޤ�, 
$(x_1^{\mu}, y_1^{\mu})$��$\Gamma_1 = {\rm graph} \ u_1$��겼�ˤ���. 
$f_2$�Τͤ������, $\Gamma_1$��$\Gamma_2$���ؿ��Υ���դǤ��뤳�Ȥ�
��碌���, $x_2^{\mu} < x_2$���Ф�. ���Τ褦�ˤ���³�����, 
$k$���ƥå׸��$x_k^{\mu} < x_k$������. ����ɤ�, ����ˤ��, 
$x_k^{\mu} = x' = x_k$�Ǥ���. ����̷�⤫�餹���, $y_0^{\mu} < y$��
�Բ�ǽ�Ǥ���. Ʊ�ͤ�, $y_0^{\mu}> y$����$x_k^{\mu} > x_k$���Ф�, �����
̷��Ǥ���. 

��������, $y_0^{\min} = y_0^{\max} = y$�����
$y_k^{\min} = y_k^{\max} = y'$��������. ��¦�����ʬ�˴ؤ��������
�������餹���, ���Τ��Ȥ���, $h$��$(x,x')$�ˤ�������ʬ��ǽ�Ǥ���, 
$u(x) = y = -\partial_1 h(x,x')$, $u(x') = y' = \partial_2 h(x,x')$
�Ǥ��뤳�Ȥ��狼��. 

��$x \in {\bf R}$���Ф���, ��դ�$x' = x'(x)$�����ä�, 
$(x,x') = \Gamma^*$��������. Birkhoff��������$f$��$C^1$�Ǥ���Ȥ�������
���, $x'$��$x$�Υ�ץ��åĴؿ��Ǥ���, �������ä�, �ۤܤ�����Ȥ�����ʬ
��ǽ�Ǥ���. (���Ȥ���, [22, 11.7��]�򸫤�.) ���ΤȤ�
$$
\frac{d}{dx} H(x,x'(x)) = \partial_1 H(x,x') + \partial_2 H(x,x') 
\frac{dx'}{dx}
$$
�Ǥ���. �Ȥ�����
$$ \begin{array}{ll}
 \partial_1 H(x,x') = \partial_1 h(x,x') + u(x) = 0,  \\
 \partial_2 H(x,x') = \partial_2 h(x,x') - u(x') = 0,  \\
   \end{array}
$$
�Ǥ���. ������, $dH (x,x'(x))/dx$�Ϥۤܤ�����Ȥ����ǥ����Ǥ���. 
$H(x,x'(x))$��$x$�Υ�ץ��åĴؿ��Ǥ��뤫��, ���ΤȤ���$H$��$\Gamma^*$
��ǰ���Ǥ��뤳�Ȥ��̣����. (���Ȥ���, [22, 11.7��]�򸫤�.)
$\Box$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 2}. $C$��$H$�ζ˾��ͤǤ���, �����ͤ�$\Gamma^*$��ǤΤ߼¸�
�����. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. ���餫��, 
$H(\xi,x') + H(x,\xi') - H(x,x') - H(\xi,\xi') = 
h(\xi,x') + h(x,\xi') - h(x,x') - h(\xi,\xi')$��$x < \xi$����
$x' < \xi'$�ΤȤ�������Ω��. �������ä�, $H$��(H$_5$)��������. 
�������ä�, 
$$
 \liminf_{\xi \downarrow x} 
\frac{H(\xi,x') + H(x,\xi') - H(x,x') - H(\xi,\xi')}{\xi - x} 
\geq \int_{x'}^{\xi'} \rho (x,t) dt , 
$$
��$x' < \xi'$�ΤȤ�����Ω��. ���� 1�ξ����ˤ�����, 
$\partial_1 H(x,x') = 0$��$(x,x') \in \Gamma^*$�ΤȤ�����Ω�Ĥ��Ȥ�
������. �������ä�, 
$$
 \liminf_{\xi \downarrow x} 
\frac{H(\xi,\xi') - H(x,\xi')}{\xi - x} \leq 
- \int_{x'}^{\xi'} \rho (x,t) dt , 
$$
��, $(x,x') \in \Gamma^*$����$x' < \xi'$�ΤȤ�����Ω��. $\xi$��$x$��
�����äƲ������Ť��Ƥ����Ȥ���$\limsup$�򰷤����Ȥ��Ǥ�, Ʊ����¤�
����. ����2�Ĥξ������, $(x,x') \in \Gamma^*$����$x' < \xi'$��
�Ȥ�
$$
 \liminf_{\xi \rightarrow x} 
\frac{H(\xi,\xi') - H(x,\xi')}{\xi - x} \leq 
- \int_{x'}^{\xi'} \rho (x,t) dt , 
$$
������. �����������, ����ѿ��˴ؤ���$H(x,\xi')$�ξ�Dini��ʬ��, 
$(x,\xi')$��$\Gamma^*$����ˤ���Ȥ�����Ǥ���. Ʊ�ͤʵ����ˤ��, 
����ѿ��˴ؤ���$H(x,\xi')$�β�Dini��ʬ��, 
$(x,\xi')$��$\Gamma^*$��겼�ˤ���Ȥ������Ǥ���.

$(x,\xi') \in {\bf R}^2$�Ȥ�, �ޤ�$\xi$��$(\xi,\xi') \in \Gamma^*$
�ʤ��դμ¿��Ȥ���. $(x,\xi')$��$\Gamma^*$���� (�ޤ��ϲ�)�ˤ���ʤ�, 
$x < \xi$ (�ޤ���$x > \xi$)�Ǥ���. ����2������1��, ����ѿ���
�ؤ���$H$��Dini��ʬ�ˤĤ��ƾ�ǽҤ٤���ĥ����Ǥ���. �Ȥ����Τ�, 
����餫��$H(x,\xi') > H(\xi,\xi')$��$x \neq \xi$�ΤȤ�����Ω�Ĥ����
����. $\Box$

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{̿��2.8�ξ���} (����). $(\ldots, (x_i,y_i), \ldots)$��
$\widetilde{\Gamma}$���$f$��ƻ�Ǥ���Ȥ���. �б��������֤�
�ɤ�$i$���Ф��Ƥ�$(x_i, x_{i+1})$��������. ����2���餿�����ˤ��������Ȥ�
��, �������֤�$H$�˴ؤ��ƶ˾��Ǥ���, �������ä�, $h$�˴ؤ��Ƥ�˾���
����. $\Box$

\vspace{0.3cm}
J. Moser����Ŧ���Ƥ��줿�Ȥ����ˤ���, ̿��2.8��ͭ̾�ʥ磻���륷��ȥ�
���������˶����ط�����. ���������ˤ���, �����ͥ饰��󥸥�Ϥζ��ͤ�
�� (field)�����ǤϺ��Ѥ�˾��ˤ���. 
Moser�λ�Ŧ�Ǥ�, ���Ϳ���������ϥ磻���륷��
�ȥ饹�ξ����˶����ط�����. ���η�̤Ⱦ����˴ؤ��Ƥ�, Carath\'eodory
[5]�򻲾ȤΤ���. 

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf 3. $M_{\overline{f}}$����Ū����}
\end{center}

�����Ϳ����$M_{\overline{f}}$���������Ϥޤä������餫�ǤϤʤ���, 
$M_{\overline{f}}$��, �ʲ��η�̤�����̣����Ū (intrinsic)�Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ̿�� 3.1}. $\overline{f}, \overline{g} \in {\cal P}^1$�Ȥ�, 
̵�±���$({\bf R}/{\bf Z}) \times {\bf R}$��$C^1$������¸��ʬƱ�����
$\overline{\phi}$�����ä�, 
$\overline{g} = \overline{\phi} \overline{f} \overline{\phi}^{-1}$
�Ǥ���Ȥ���. ���ΤȤ�
$\overline{\phi}(M_{\overline{g}}) = M_{\overline{f}}$������Ω��. 


\vspace{0.3cm}
\noindent
����λĤ��̿��3.1�ξ����Ǥ���. 

$\overline{\phi}$��������¸�Ǥ��뤳�Ȥ򼨤����Ȥ���Ϥ��. 
$C>0$�Ȥ���. ̵�±����ξ�ü (��ü)�Τɤζ�˵�ˤ�, ��ž���� $> C$ 
($< -C$) �ʤ�$\overline{f}$�ε�ƻ������. ���Τ��Ȥ��������������
�Ф�. ���ʤ��, $M_{\overline{f}}$�Ϥ��Τ褦�ʵ�ƻ��ޤ�. ����, 
$N$����ü (��ü)�ν�ʬ�����ʶ�˵�Ǥ���Ȥ�, $N$�˴����˴ޤޤ��
��ƻ�ǲ�ž������Ĥ�ΤϤɤ���ž���� $> C$ (�ޤ��� $< -C$)�Ǥ���. 
�ʤ����Ȥ�����, $\overline{f}$��ξü��̵�¤ˤͤ��뤫��Ǥ���.  

��ž��������ϻ����夲���������˰ͤ뤳�Ȥ�פ��Ф���. 
$\overline{f}$�λ����夲$f$��$\overline{g}$�λ����夲$g$�������
$g = \phi f \phi^{-1}$�Ȥʤ�褦�ˤ���. ������, $\phi$��
$\overline{\phi}$�λ����夲�Ǥ���. ������«�β���, $\overline{\phi}$
��$\pi_1(({\bf R}/{\bf Z}) \times {\bf R})$��˹���������ͶƳ����ʤ�, 
$\overline{\phi}$��Ʊ����ž�������$\overline{g}$�ε�ƻ��
$\overline{f}$�ε�ƻ�ؤȱ���. $\overline{\phi}$��
$\pi_1(({\bf R}/{\bf Z}) \times {\bf R})$����������Ʊ��������ͶƳ����
�ʤ�, $\overline{\phi}$��$\overline{f}$�ε�ƻ��$\overline{g}$�ε�ƻ
�ر���. ���κ�, ��ԤϤ�Ȥε�ƻ�β�ž������β�ž�������. 

������$\overline{\phi}$��$\pi_1$��ι���������ͶƳ��ξü����ꤹ��. 
���뤤��, �������������ͶƳ��, ξü��ȿž����. �ɤ���ξ��Ǥ�, 
$\overline{\phi}$��������¸�Ǥ���. 

������λĤ�Ǥ�, $\overline{f}$��${\cal P}^1$�����ǤǤ���Ȥ���. 
����줬�����Τ�, $M_{\overline{f}}$��$\overline{f}$��̵�±������
���ѷ���$\Omega = dy \wedge d\theta$�Τߤ�Ȥä�����Ǥ��뤳�ȤǤ���. 
����ǽ�ʬ�Ǥ���. �ʤ��ʤ�, $\overline{\phi}$��������¸����������¸��
����, �������ä����ѷ�������¸���뤫��Ǥ���. 

$\overline{f}$���ѳ�Ψ¬��$\mu$���Ф���, [18]��ʿ�Ѻ��� (�ޤ���
ʿ�ѥݥ��󥫥졦���륿��������) $A(F,\mu) = A_{H,\eta} (f, \mu)$��
�������. �����$d\eta = \Omega$�ʤ�1-����$\eta$���������˰�¸��, 
(����1��)����Ū�ϥߥ�ȥ�ؿ�$H$�˰�¸����. ������$\overline{f}$��
$H$�ˤȤ�ʤ�����1�����Ǥ���. �Ȥ�����, �����
�ݥ��󥫥졦���륿�������̤����̤���������ͭ����. ����ξ����Ǥ�, 
�����������ϰʲ��Τ��Ȥ��б�����. ���ʤ��, $H'$�������(����1��)
����Ū�ϥߥ�ȥ�ؿ��Ǥ��ä�, ���λ���1������$\overline{f}$�Ǥ���, 
$\eta'$�������1-�����Ǥ��ä�$d \eta' = \Omega$���������ʤ�, 
$B, C \in {\bf R}$�����ä�, 
$$
 A_{H',\eta'} (\overline{f}, \mu) = A_{H,\eta} (\overline{f},\mu) + 
B \rho(f,\mu) + C
$$
��, �ɤ�$\overline{f}$���ѳ�Ψ¬�٤��Ф��Ƥ�����Ω��. ������, 
$\rho(f,\mu)$��$\mu$��ʿ�Ѳ�ž���Ǥ��ä�, [18]�Ǥ�������줿. 
ʿ�Ѻ��Ѥξ嵭����������[18]�Ǿ������줿. 

[18]�ˤ�����, {\bf �˾�}¬�٤γ�ǰ���������. ���ʤ��, $\overline{f}$
���ѳ�Ψ¬��$\mu$���˾��Ǥ���Τ�, �¿�$\lambda$�����ä�, $\mu$��
$\overline{f}$���ѳ�Ψ¬��$\mu$�ξ��
$A(\overline{f},\mu) - \lambda \rho(f,\mu)$��˾��ˤ���Ȥ�, ������
���ΤȤ��ΤߤǤ���. ���γ�ǰ�����ѷ���$\Omega$��$\overline{f}$�Τߤ�
��¸����. ����Ͼ嵭��ʿ�Ѻ��Ѥ��������������. 

���르����Ū$\overline{f}$���ѳ�Ψ¬��$\mu$���˾��Ǥ���Τ�, 
�����椬$M_{\overline{f}}$��ˤ���Ȥ�, �����Ƥ��ΤȤ��ΤߤǤ���. 
���줬[18]�Ǥμ��̤Ǥ��ä�. $M_{\overline{f}}^{\circ}$��, 
$\overline{f}$�˾�¬�٤��٤Ƥ��椹�٤Ƥ��¤������ɽ���Ȥ���. �˾�
¬�٤γ�ǰ��$\Omega$��$\overline{f}$�Τߤ˰�¸���뤫��, 
$M_{\overline{f}}^{\circ}$��Ʊ�ͤǤ���. �����������, 
$M_{\overline{f}}^{\circ}$��̿��3.1�ΰ�̣����Ū (intrinsic)�Ǥ���. 
�Ĥޤ�, $\overline{\phi} (M_{\overline{g}}^{\circ}) = 
M_{\overline{f}}^{\circ}$�Ǥ���. 

$M_{\overline{f}}$����Ū (intrinsic)�Ǥ��뤳�Ȥξ����γ�ά�ϰʲ��ΤȤ���
�Ǥ���. $M_f^{\circ}$��${\bf R}^2$���$M_{\overline{f}}^{\circ}$��
�����Ǥ���Ȥ��� (${\bf R}^2$���$M_{\overline{f}}$�ε���$M_f$�Ȥ������
����). ${\cal O} = (\ldots, (x_i,y_i), \ldots)$��$M_f$��ε�ƻ�ʤ�, 
$M_f^{\circ}$��˵�ƻ${\cal O}' = (\ldots, (x'_i,y'_i), \ldots)$��
���ä�, $\sum_{i = -\infty}^{\infty} |x'_i - x_i| + y'_i - y_i| < 
+\infty$�Ȥ�����̣��${\cal O}$��$L^1${\bf ����}�Ǥ��뤳�Ȥ�ʲ���
����. ${\cal O}$��${\cal O}'$��$f$��$L^1$���ᵰƻ�Ǥ��ä�, ������
̵�±����˼ͱƤ����Ȥ������Х���ѥ��ȤǤ���ʤ�, {\bf ���Ѻ�} 
(difference action) (�ޤ���{\bf �ݥ��󥫥졦���륿�������̺�} 
difference Poincar\'e--Cartan invariant) 
$\Delta A ({\cal O}, {\cal O}')$�ʤ���Ū��ǰ���������. 
���줫�鼨���Τ�, $M_f$�ε�ƻ${\cal O}$�����Τ褦����ħ�Ť�����
���ȤǤ���. ���ʤ��, $M_f^{\circ}$��˵�ƻ${\cal O}'$��
${\cal O}$��$L^1$����Τ�Τ����ä�, $\Delta A ({\cal O}, {\cal O}') = 0$
�ʤ뤳�ȤǤ���. $M_{\overline{f}}^{\circ}$����Ū�Ǥ��뤫��, ���Τ��Ȥ���
$M_f^{\circ}$����Ū�Ǥ��뤳�Ȥ�������. 

${\cal O} = (\ldots, (x_i,y_i), \ldots)$��$M_f$��ε�ƻ�Ǥ���Ȥ���. 
$\omega$��${\cal O}$�β�ž����Ǥ���Ȥ�, 
$M_{f,\omega}^{\circ} = M_f^{\circ} \cap M_{f,\omega}$�Ȥ���. 
$x = (\ldots, x_i, \ldots)$��${\cal O}$���б��������֤Ǥ���Ȥ�,
$X_{f, \omega}^{\circ}$��$M_{f,\omega}^{\circ}$��ε�ƻ���б�����
���ֽ���Ǥ���Ȥ���. ���Ǥ˸����褦�� (̿��2.7), Aubry��������
�����, $X_{f,\omega}^{\circ}$��Ǥ�դ�2�Ĥ����Ǥ���Ӳ�ǽ�Ǥ���. 
$M_{f,\omega}^{\circ}$��${\bf R}^2$����Ĥ��Ƥ��뤫��, 
$X_{f,\omega}^{\circ}$�κ�������$x_- = (\ldots, x_{i-}, \ldots)$
��$\leq x$�ʤ��Τ�����, �ޤ�
$X_{f,\omega}^{\circ}$�κǾ�����$x_+ = (\ldots, x_{i+}, \ldots)$
��$\geq x$�ʤ��Τ�����. ${\cal O}_-$��${\cal O}_+$��
($M_{f,\omega}^{\circ}$���)�б����뵰ƻ�Ǥ���Ȥ���. 

���ΤȤ�$\sum_{i=-\infty}^{\infty} x_{i+} - x_{i-} \leq 1$�Ǥ���. 
�ʤ��ʤ�, ���$[x_{i-}, x_{i+}]$��${\bf R}/{\bf Z}$�˼ͱƤ����, 
��ž����$\omega$��ͭ����$p/q$�Ǥʤ��Ȥ��ϸߤ����ǤǤ���, 
$\omega$��ͭ����$p/q$�ʤ�$x_- = x = x_+$�Ǥ���. �¤�, 
$\omega = p/q$�ʤ�, $x_{i+q} = x_i+p$�Ǥ��뤫��, ${\cal O}$��
$({\bf R}/{\bf Z}) \times {\bf R}$�ؼͱƤ���ȼ���$q$�Ǽ���Ū�Ǥ���, 
���르����Ū��Ψ¬�٤���Ĥ���, ���ξ��${\cal O}$��
$M_{f,p/q}^{\circ}$��ˤ���, �������äƼ�ĥ�ɤ���$x_- = x = x_+$�Ǥ���. 
$\omega$��̵�����ΤȤ�, ���$[x_{i-}, x_{i+}]$��${\bf R}/{\bf Z}$��
�ͱƤ���ȸߤ����ǤǤ���, ���Τ��Ȥ�$\overline{f}|M_{\overline{f},\omega}$
�α߽����¸������μ����ʵ���Ǥ��� (̿��2.7). 
($M_{\overline{f},\omega}$�Ϥ����ҤȤĤ����ѳ�Ψ¬��
$\mu_{\overline{f},\omega}$��٤�, �ޤ� 
$�� \mu_{\overline{f},\omega} \subset M_{\overline{f},\omega}^{\circ}$
�Ǥ���.)

�Ĥ�ξ��, ���ʤ��$\omega = p/q-$�ޤ���$p/q+$�ΤȤ�, ���λ��¤�
�⤦��������̯�Ǥ���. ��ñ�Τ���, $\omega = p/q+$�ξ��Τߤ�ͻ�����. 
�Ĥ�ξ���Ʊ�ͤǤ���. Aubry�ε��� (Bangert[3, ����5.8]�򸫤�)�ˤ���,
$M_{f,p/q+}^{\circ}$��$M_{f,p/q}^{\circ} = M_{f,p/q}$�Τɤ����֤Ȥ�
����. �ʤ��ʤ�, $M_{\overline{f},p/q+} \supset 
\limsup_{i \rightarrow \infty} {\rm supp} \mu_{\overline{f}, \lambda(i)}$ 
��, Ǥ�դ�̵������$\lambda_i$��$p/q$�˲������˸�������Τ��Ф�������Ω��
����Ǥ���. $M_{f,p/q+}^{\circ}$��$M_{f,p/q}^{\circ}$�Τɤ����֤Ȥ�
���뤫��, $x_-$��$x_+$�β�ž�����$p/q+$�Ǥ��� ($p/q$�ǤϤʤ�).
�����, $\overline{f}|M_{\overline{f},p/q+}$�α߽����¸�� (̿��2.7)��
��ž����$p/q+$����������Ȥ������������ñ�˸�����褦��, 
${\bf R}/{\bf Z}$�ؤȶ��$[x_{i-}, x_{i+}]$��ͱƤ���ȸߤ����ǤǤ���. 

${\cal O}' = {\cal O}_-$, $x' = x_-$, �ۤ��Ȥ���. $x_- \leq x \leq x_+$
�Ǥ��뤫��, ���ä����޼��������Ȥ���
$\sum_{i=-\infty}^{\infty} |x_i - x'_i| \leq 1$������Ω��. ${\cal O}$��
${\cal O}'$�϶˾���ƻ�Ǥ��뤫��, 
$y_i = -\partial_1 h(x_i,x_{i+1}) = \partial_2 h(x_{i-1},x_i)$�����
$y'_i = -\partial_1 h(x'_i,x'_{i+1}) = \partial_2 h(x'_{i-1},x'_i)$
������Ω��. (H$_5$)��(H$_{6\theta}$)��$x' < x$���, 
$|y_i - y'_i| \leq \theta |x_i-x'_i|$��������. ������, 
${\cal O}$��${\cal O}'$��$L^1$����Ǥ���. �������쥹�ƥåפξ�����
�����. �ʾ��, $M_f$���Ǥ�դε�ƻ${\cal O}$��$M_f^{\circ}$���Ǥ�դ�
��ƻ${\cal O}'$��$L^1$����Ǥ��뤳�Ȥ������줿. 

${\cal O}$��${\cal O}'$��$f$��$L^1$����ʵ�ƻ�Ǥ��ä�, ̵�±����ؤΤ���
�ͱƤ����Х���ѥ��ȤǤ���ʤ�, {\bf ���Ѻ�} (�ޤ��� {\bf �ݥ��󥫥졦��
�륿�������̺�})
$$
 A({\cal O}', {\cal O}) = 
\lim_{ \begin{array}{c}
\vspace{-0.2cm} 
       i \rightarrow -\infty \\
       j \rightarrow \infty
      \end{array}
      }
L_{\eta} ({\cal O}')(i,j) - L_{\eta}({\cal O})(i,j)
$$
��������뤳�Ȥ��Ǥ���. ���դ��̤ϼ��Τ褦����������. �Τ��Ƥ���褦
��, $\overline{f}$��̵�±�����Ǽ���1�μ����ϥߥ�ȥ�ؿ�$H$��������
��������1�����Ǥ��� (���Ȥ���[18,3��]�򸫤�). $\Gamma$��(̵�±�����)
$H$�ε��פ�${\cal O}$���ĥ������Τʤ�(?),  
$$
  L_{\eta}({\cal O})(i,j) = \displaystyle \int_{\Gamma|[i,j]} 
\eta - H dt
$$
�Ȥ���. ������$\eta$��̵�±������1-�����Ǥ��ä�
$d\eta = dy \wedge d\theta$����������ΤǤ���. �����[18,2��]�ε�ˡ��Ʊ
���Ǥ��ä�, ��äȴ����ʵ��Ҥ˴ؤ��ƤϤ�����򻲾Ȥ��줿��. 
�Ȥ���, $\eta = y d\theta$�ȼ�뤳�Ȥ��Ǥ���. ������, $\Gamma'$��
${\cal O}'$�ˤȤ�ʤ����פȤ�, $\Gamma(t) = (\theta(t),y(t))$, 
$\Gamma'(t) = (\theta'(t),y'(t))$�Ȥ�����, 
$$
 \Delta A ({\cal O}', {\cal O}) = \displaystyle 
\int_{-\infty}^{\infty} dt \left[ 
y' \frac{d \theta'}{dt} - y \frac{d \theta}{dt} - H(\theta,y,t) - 
H(\theta',y',t) \right]
$$
������Ω��. ${\cal O}$��${\cal O}'$��$L^1$����Ǥ��뤫��, ����ʬ�̤�
$L^1({\bf R})$��°��, ���դ���ʬ��¸�ߤ���. 

[18,2��]�ˤ�����, $L_{\eta} ({\cal O})(i,j)$��$H$��$\eta$�ˤɤΤ褦��
��¸���뤫���Ϥ���. $H$���Ѥ���Ƥ�, �������ʬ����������ʤ�. 
$\eta$��$\eta'$���֤��������, $\int_{\Gamma|[i,j]} \eta' - \eta$����
�Ѥ�. $\eta' - \eta$���ĤǤ��뤫��, $\Delta A ({\cal O}',{\cal O})$
��$\eta$�˰�¸���ʤ� ($d \eta$�����ѷ����Ǥ���¤�)��, $H$�˰�¸
���ʤ�. �����������, �������Ū�Ǥ���. 

$\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_k \in {\cal J}^1$�������
$\overline{f} = \overline{f}_k \circ \ldots, \circ \overline{f}_1$
�Ȥ���. $f_i$��������ʤ�ؤ�$\overline{f}_i$�λ����夲�Ȥ�, 
$f = f_k \circ \ldots \circ f_1$�Ȥ���. $h_i$��$f_i$�ˤȤ�ʤ���ؿ���
����Ȥ���. �����Τ��ޤ��ޤ����򤬤ʤ����
$h = h_1 * \ldots * h_k$�ˤʤäƤ���Ȥ���. 
$$
\displaystyle
\left( x^{(ki+j)}, y^{(ki+j)} \right) = f_j \circ \cdots \circ 
f_1 (x_i, y_i)
$$
�Ȥ���. ${\cal O}'$���Ф��Ƥ�, ${\cal O}$��Ʊ�ͤε�ˡ ($'$�Ĥ���)��Ȥ�. 
$$
 \Delta A ({\cal O}', {\cal O}) = \displaystyle 
 \sum_{i = -\infty}^{\infty} h_i (x'^{(i)}, x'^{(i+1)}) - 
      h_i (x^{(i)}, x^{(i+1)})
$$
������Ω��. ������$h_{i+k} = h_i$�Ȥ��뤳�Ȥˤ��$h_i$�������
$i \in {\bf Z}$�˹�����. [18,2��]�ε����ˤ�ꤳ�θ�����������. 

���θ������, ${\cal O}$���˾���ƻ�Ǥ��ä�${\cal O}'$��${\cal O}$��
$L^1$����ʤ�, $\Delta A ({\cal O}',{\cal O}) \geq 0$�Ǥ���. ����
��${\cal O}'$���˾��ΤȤ�, �����Ƥ��ΤȤ��Τ�����Ω��. 

�������ä�, $M_f$��ε�ƻ�ϼ��Τ褦����Ū��ħ�����. �����ϵ�ƻ
${\cal O}$�Ǥ��ä�, ������Ф���$M_f^{\circ}$��˵�ƻ${\cal O}'$��
���ä�, ${\cal O}$��$L^1$����Ǥ���, 
$\Delta A ({\cal O}',{\cal O}) = 0$��������. 

�����̿��3.1���������줿. $\Box$


\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf 4. ����}
\end{center}

������Ǥ�, ������ʸ�μ��̤�Ҥ٤�. ������ʸ�λĤ�ΤۤȤ�ɤ�
���ξ�������ʤ�. 

$\overline{f} \in {\cal P}^1$����ꤹ��. ����ʸ�Ǥϰʸ�, �������ꤹ��. 
$\overline{f}$�ΥС������԰����ΰ�$R$�Ȥ�, ̵�±����Υ���ѥ���������ʬ
����Ǥ��ä�, �ʲ��ξ�����������ΤǤ���. ���ʤ��, �ޤ�, $R$��
����������(frontier)��2�Ĥ���ʬ$\Gamma_-$�����$\Gamma_+$����ʤ�, 
���줾��ϱߤ�Ʊ���, ̵�±���������˲Ľ̤Ǥʤ�. ����, 
$\Gamma$��$R$��Ǥ�դ�$\overline{f}$���ѽ���Ǥ��äƱߤ�Ʊ���
̵�±���������˲Ľ̤Ǥʤ��ʤ�$\Gamma$��$\Gamma_-$�ޤ���$\Gamma_+$�Ǥ���. 

$\overline{f}$��̵�±�����ξü����ư�ˤ��뤫��, $\Gamma_-$��
$\Gamma_+$��$\overline{f}$���ѤǤ��뤳�Ȥ����դ��褦. 
̿��2.8���, $\Gamma_{\pm} \subset M_{\overline{f}}$�Ǥ���. 
��ʸ�λĤ�Ǥ�, $R$��$\overline{f}$�Τ�����ꤷ���С������԰���
�ΰ�Ȥ���. $\Gamma_-$��$R$�β��ζ�����ʬ�Ȥ�, $\Gamma_+$�Ͼ��
������ʬ�Ȥ���. 

\re
�������̤Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 4.1.} $\rho(\Gamma_-) \leq \omega_-$, 
$\omega_+ \leq \rho(\Gamma_+)$�ʤ�, $R$���$\overline{f}$��ƻ
${\cal O}$�����ä�, ${\cal O}$��$M_{\overline{f}, \omega_-}$��
$\alpha$���ᤫ��$M_{\overline{f}, \omega_+}$��$\omega$����Ǥ���. 
������, $\omega_- = \rho(\Gamma_-)$
(�ޤ���$\omega_+ = \rho(\Gamma_+)$)�ΤȤ���$\omega_-$($\omega_+$)
��̵�����Ȥ���. 

\vspace{0.3cm}
�����ΰ�̣�ϼ��ΤȤ���Ǥ���.  
${\cal O} = (\ldots, (\theta_i,y_i), \ldots)$�Ȥ���. 
��${\cal O}$��$M_{\overline{f}, \omega_-}$��$\alpha$���᤹��פȤ�, 
$i \rightarrow -\infty$�ΤȤ�
${\rm dist}( (\theta_i,y_i), M_{\overline{f},\omega_-}) \rightarrow 0$
���̣����. 
��${\cal O}$��$M_{\overline{f}, \omega_+}$��$\omega$���᤹��פȤ�, 
$i \rightarrow +\infty$�ΤȤ�
${\rm dist}( (\theta_i,y_i), M_{\overline{f},\omega_+}) \rightarrow 0$
���̣����. ���դ��٤���, ��ƻ${\cal O}$�����Ѷ˾��Ǥ���Ȥ���Ѷ���Ǥ�
��Ȥ�, ���ѥߥ˥ޥå����Ȥ���äƤ��ʤ����ȤǤ���. �������ɤ�ˤ����ä�,
���Τ��Ȥ�˺�줺�ˤ���٤��Ǥ���. $\omega_- \neq \omega_+$�Ȥ���äƤ���
��. ������, Ʊ����ž���ζ˾���ƻ��Ĥʤ���ƻ��������Τ�? ���Τ��Ȥˤ�
���դ��ʤ���������ɤ⤦. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 4.2.} ��$i \in {\bf Z}$���Ф��Ƽ¿�
$\rho(\Gamma_-) \leq \omega_i \leq \rho(\Gamma_+)$�����
����$\varepsilon_i$��ͤ���. $R$���
$\overline{f}$��ƻ${\cal O} = (\ldots, (\theta_i,y_i), \ldots)$
���������������ξ̵����$ \ldots, j(i), \ldots$�����ä�, 
${\rm dist}( (\theta_{j(i)},y_{j(i)}), M_{\overline{f},\omega_i}) 
< \varepsilon_i$�Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
�����������, ${\cal O}$��, ������$j_i$����Ѥ������Ȥ���, 
$M_{\overline{f}, \omega(i)}$����$\varepsilon_i$����˶�Ť�. 

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf 5. ${\cal J}$�˾�����}
\end{center}

«�����${\cal J}$�Ȥ�, ξ̵����$(\ldots, J_i, \ldots)$�Ǥ��ä�, 
��$J_i$��${\bf R}$����Ϣ��, �����ʬ����ʤ��ΤǤ���. 
$J_i$���Ķ�֤ȻפäƤ����Τ�������? 1���ξ���ޤޤ��. 
�����ޤ���ξ����ü����̵�±�ˤ��äƤ⤤��. ����ѥ��ȤǤ���Ȥϸ¤�ʤ�. 

${\cal J}$���֤Ȥ�, $x_i \in J_i$�ʤ�ξ̵����$(\ldots, x_i, \ldots)$
�Ǥ���. ��������${\cal J}$��«�����ˤʤäƤ���. ���֤γ���$x_i$��
$J_i$�����äƤ��ʤ���Фʤ�ʤ�. ���ޤΤȤ���, $J_i$�ˤɤ�ʰ�̣�������
���狼��ʤ�. ��Ȥ�Ȥζ˾����֤ξ��ˤ�, $J_i = {\bf R}$�Ǥ��ä�. 
�ȤϤ�����Τ�, ��ʬ�ε������ܼ�Ū�˵�ƻ�˱�äƤ�, ���뤤�����֤˱�ä�
�ζɽ�Ū�ʵ����Ǥ���Τ�, �Ǿ�����ޤ�櫓�ǤϤʤ�. �Ǿ����⤷��ʤ���, 
�˾��Ǥ����ʤ�. ���ͤ���ƻ���Ѱդ���, ����˺٤�����Ĥ�, �����������
���Τ��ͤ���ƻ�����Ѥ�˾��ˤ��뤳�Ȥ��äƹͤ�����. 

${\cal J}$���֤�{\bf ����}�Ȥ�, ��$j \leq i \leq k$���Ф���
$x_i \in J_i$�ʤ�ͭ����$(x_j, \ldots, x_k)$�Τ��ȤǤ���. 

����ʸ�λĤ�Ǥ�, ������ʤ�ؤ�$\overline{f}$�λ����夲$f$��ͤ���. 
$f$�ˤȤ�ʤ���ʬ������$h$�Ȥ���. 

 ${\cal J}$���֤�����$(x_j, \ldots, x_k)$��($h$�˴ؤ���)${\cal J}$�˾���
������Τ�, 
$$
  h(x_j, \ldots, x_k) \leq  h(x_j^*, \ldots, x_k^*)
$$
��$x_j^* = x_j$����$x_k^* = x_k$�ʤ�ɤ�
${\cal J}$��������$(x_j^*, \ldots, x_k^*)$�ˤĤ��Ƥ�����Ω�ĤȤ��Ǥ���. 
${\cal J}$����$(\ldots, x_i, \ldots)$��${\cal J}$�˾��Ȥ�����Τ�, 
�ɤ�$j < k$���Ф��Ƥ��б���������$(x_j, \ldots, x_k)$��${\cal J}$�˾���
�Ȥ��Ǥ���. ${\cal J}$���֤���Ǥ����˾������ͤ���. 
���ĤǤ���$J_i$��ü�����̤����֤��Ǿ���Ϳ����Ȥ����, �ͤ������֤�
�ϰϤ򾯤������������Ƕ˾����򼺤���ǽ��������. 


����2�Ĥ�̿���, �ܼۤ����Ǥ��뤬, ���̤ξ����ι�¤�ˤ����ƴ���Ū��
����.

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ̿�� 5.1.} ${\cal J} = (\ldots, J_i, \ldots)$��«�����Ǥ��ä�, 
$J_i$��ͭ���Ǥ���褦��, Ǥ�դ˾�����, �ޤ�Ǥ�դ��礭��$i$��¸�ߤ���Ȥ�
��. ���ΤȤ�, ${\cal J}$�˾����֤�¸�ߤ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
��$J_i$��ͭ���Ǥʤ��Ȥ����, $x_i \rightarrow \pm \infty$�ΤȤ����Ѥ�
�ɤ�ɤ󾮤����ʤ�ж˾���¸�ߤ��ʤ���ǽ��������. ����ѥ��Ȥʶ��$J_i$��
���ĤǤ�¸�ߤ����, ���꤬������. ��֤�ü���Ƕ˾��Ȥʤ�����, �˾��Ϥ���. 
�ޤ�����ѥ��ȤǤʤ��Ȥؤ�ʻ���������Τ�, �ĤȤ��Ƥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $(H_2)$���, �ؿ�$h(x_{-N}, x_{-N+1}, \ldots, x_N)$
��, $J_{-N} \times J_{-N+1} \times \cdots \times J_N$���
proper (Mather�ΰ�������ʸ���������), Ϣ³���Ĳ�����¤��Ƥ���. 
�������ä�, ��
$(x_{-N}^{(N)}, x_{-N+1}^{(N)}, \ldots, x_N^{(N)})$�����ä�, 
���δؿ���$J_{-N} \times J_{-N+1} \times \cdots \times J_N$��Ƕ˾���
����. $(H_2)$��Ȥ���, ������$j$���Ф���, ����ѥ��Ƚ���$K_j$�򸫤Ĥ���, 
���٤Ƥ�$N$���Ф���$x_j^{(N)} \in K_j$�Ȥ��뤳�Ȥ��Ǥ���. $J_j$��ͭ����
��, $K_j = J_i$�ȼ��Ф褤. �����Ǥʤ��Ȥ�, $j' < j < j''$�����ä�
$J_{j'}$��$J_{j''}$��ͭ���Ǥ���Ȥ������¤�, $h$������$(H_2)$��Ȥ���
�褤. �������ä�, ����ȡ�����г�����ˡ�ˤ��, ��$N_1 < N_2 < \cdots$
�������, $i \rightarrow +\infty$�ΤȤ���, 
$x_j^{(N)} \rightarrow x_j \in K_j$�Ȥʤ��Τ����֤��Ȥ��Ǥ���. 
��ñ�˼������Ȥ��Ǥ���褦��, ��̤Ȥ���������ξ̵����� ${\cal J}$��
���Ǥ���. \hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
${\cal J}$����$x = (\ldots, x_i, \ldots)$��${\cal J}$��ͳ�Ǥ���Ȥ�, 
��$i$���Ф���$x_i \in {\rm Int} J_i$�ΤȤ��Ǥ���. 


\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ̿�� 5.2.} $x = (\ldots, x_i, \ldots)$��${\cal J}$�˾����֤Ǥ����
����. $x$��${\cal J}$��ͳ�Ǥ���ʤ�, 
$-\partial_1 h(x_i, x_{i+1}) = \partial_2 h(x_{i-1}, x_i)$�Ǥ���. 
(�Ȥ���, ����������ʬ��¸�ߤ���.) ���ξ�, 
$f(x_i, y_i) = (x_{i+1}, y_{i+1})$�Ǥ���. ������, 
$ y_i = -\partial_1 h(x_i, x_{i+1})$�Ǥ���. �Ĥޤ�, 
$(\ldots, (x_i,y_i), \ldots)$��$f$��ƻ�Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. �����2��ζ˾���ƻ�ε����Ȥޤä���Ʊ���Ǥ���. 
\hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
̿��5.1�ˤ���, ${\cal J}$�˾����֤�¸�ߤ���. ̿��5.2�ˤ���, ����餬
${\cal J}$��ͳ�ʤ鵰ƻ��⤿�餹. ����4.1��4.2�Ǥ���줬¸�ߤ��ĥ����
��ƻ��, ${\cal J}$�˾����֤����${\cal J}$��ͳ���֤ˤȤ�ʤ���ƻ���鹽��
����. �����Ϥɤ����뤫�Ȥ�����, 
${\cal J} = (\ldots, J_i, \ldots)$��properly���Ф줿«�����Ǥ���ʤ�, 
Ǥ�դ�${\cal J}$�˾����֤�${\cal J}$��ͳ�Ǥ��뤳��, �ޤ��б����뵰ƻ��
����4.1������4.2�������������������Ĥ��Ȥ򼨤�. �ʾ�η�̤����뤿���
${\cal J}$�˴ؤ���������ʣ���ʤΤ�, ���Ȥ������������. 
���줫�餹���, ���뵰ƻ${\cal O}$��«�����Ĥ����Ѷ˾���ƻ�Ǥ���. 


\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf 6. Ⱦ${\cal J}$��ͳ����}
\end{center}

������Ǥ�, «�����${\cal J}$�˴ؤ�����Ȥ���, 
${\cal J}$�˾����֤����ʤ��Ȥ�Ⱦ${\cal J}$��ͳ (partially free)�Ǥ���
���Ȥ��ݾڤ����Τ�Ϳ����. 
������μ��̤�̿��6.1�Ǥ���. ̿��6.1�γ�ĥ�Ȥ���̿��6.2��
Ϳ����. ���������ʸ�μ��̤��������Τ�ɬ�פǤ���. 

�����ξ���Ҥ٤뤿���, �˾����֤˴ط�����2�Ĥδ��ܳ�ǰ��פ��Ф�
ɬ�פ�����. ���ʤ��, Peierls�ξ��ɤ�Percival�饰��󥸥�ؿ���˾���
����ؿ��Ǥ���. 

$\omega$���ž����Ȥ�, $a \in {\bf R}$�Ȥ���. $\overline{\omega}$��
$\omega$�β��߿�(underlying number)�Ȥ���. $\omega$���¿��ʤ�, 
$\overline{\omega} = \omega$
�Ǥ���, $\omega = p/q\pm$�ʤ�, $\overline{\omega} = p/q$�Ǥ���. 

��ž����$\omega$�ޤ���$\overline{\omega}$����ĺ���ζ˾�����
$\xi_- = (\ldots, \xi_{i-}, \ldots)$�����ä�, $\xi_{0-} \leq a$��������, 
�ޤ�, ��ž����$\omega$�ޤ���$\overline{\omega}$����ĺǾ��ζ˾�����
$\xi_+ = (\ldots, \xi_{i+}, \ldots)$�����ä�, $a \leq \xi_{0+}$��������.  
(�����ǺǾ��Ȥ������, 2���Ƴ��������ž����$\omega$�ޤ���
$\overline{\omega}$�ζ˾����־�ν���˴ؤ��ƤǤ���. ���ʤ��, 
$\xi < \xi'$�Ǥ��뤿���ɬ�׽�ʬ����, ���٤Ƥ�����$i$���Ф���
$\xi_i < \xi'_i$�ʤ뤳�ȤǤ���.)
$$
  \sum_{i \in I} \xi_{i+} - \xi_{i-} \leq 1 ,
$$
������Ω��. ������, ź������$I$�������ν���${\bf Z}$�Ǥ���Τ�$\omega$��
ͭ�����Ǥʤ��Ȥ��Ǥ���, $\{ 0, \ldots, q-1 \}$�Ǥ���Τ�, $\omega = p/q$
�ΤȤ��Ǥ���. �ʤ����Ȥ�����, $\xi_{i-} = a = \xi_{i+}$�Ǥ��뤫, �ޤ���
���$(\xi_{i-}, \xi_{i+})$��${\bf R}/ {\bf Z}$�ؤμͱƤ��ߤ����ǤǤ��뤫
��Ǥ���. ľ��Ū�ˤ�, Ĺ��1�ζ�֤˲��������Ȥ�, ���ζ�֤���˽�ʣ����
��Ǽ�ޤ뤫��Ǥ���. ���Τ褦�ˤ���. 
$$
 P_{\omega}^h (a) = P_{\omega} (a) = \min 
\sum_{i \in I} h(\xi_{i},\xi_{i+1}) - h(\xi_{i-},\xi_{i+1-}) .
$$
������, �˾�����Τ�, $\xi_{i-} \leq \xi_i \leq \xi_{i+}$����
$\xi_0 = a$�ʤ�$\xi = (\ldots, \xi_{i}, \ldots)$���Τξ�ˤ����ƤǤ���. 
��� $\xi_{i-} \leq \xi_i \leq \xi_{i+}$�Ͼ嵭���¤����м�«���뤳�Ȥ�
�ݾڤ���. 

[2]�ˤ�����, $P_{\omega}(a)$��Peierls���ɤȤ���. �ʤ��ʤ�, 
$P_{\omega}(a)$������ʪ���Ǥ褯�Τ�줿��ǰ�ȴط������뤫��Ǥ���. 

$P_{\omega}(a) \geq 0$�����٤Ƥ�$a \in {\bf R}$���Ф�������Ω��, 
$P_{\omega}(a)=0$�ˤʤ�Τ�, $a \in \pi(M_{\omega})$�ΤȤ�, �����Ƥ��Τ�
���ΤߤǤ��뤳�Ȥ����դ���. ������, $\pi$��${\bf R}^2$��${\bf R}$�ؤ�
�ͱƤǤ���. ��ž��$\omega$�Υ�ץ��åĶ���������ΤФ��Ƽ¿�����Ʊ���
����. ���μ¿������, Aubry--Mather����ϥ���ȡ��뽸�������ؤ�̵�¸�
�Υ��ԡ� �Ǥ���. KAM�����ʤ�¿������Τ�ΤǤ���. ������ƻ�ʤ�Υ��Ū��
��������. ������, Ǥ�դ�$a \in {\bf R}$�����, ����$a$��KAM������
�����, ɬ��KAM����������Ǥ���. ���ξ��, $P_{\omega}^h (a)=0$�Ǥ���. 
KAM�������ʤ����, $a$��Aubry--Mather�����˼���
$P_{\omega}^h (a)=0$�Ǥ���. �����Ǥʤ����, $P_{\omega}^h (a)>0$. 
$a$���̤����� (��ƻ)�϶˾��Ǥʤ�. ������ƻ�ξ���, ���ᵰƻ��
�����Ƥ���. �������Ϥ�, $P_{\omega}^h (a)>0$�ʤΤ�? 


ɬ�פ�����γ�ǰ��Percival�Υ饰��󥸥�ؿ�
$$
  P_{\omega}(\phi) = \displaystyle \int_0^1 
h(\phi(t),\phi(t+\omega)) dt
$$
��Ȥäư��ִ�ñ������Ǥ���. 
�����̤�$\phi(t+1) = \phi(t) + 1$��������Ǥ�դ�ͭ����¬�ؿ�$\phi$�����
Ǥ�դο�$\omega$���Ф�����������. 
$\phi_{\omega}$��$P_{\omega}$��˾��ˤ���, ���Τ褦��Ǥ�դδؿ��Ǥ����
����. ���Τ褦�ʴؿ���¸�ߤϤͤ�������ξ���, [12,15]�Ǿ������줿. 

������, Aubry[1]�ˤ��⤦�ҤȤĤ����������ʸ�ˤ����Ƥ��Թ礬�褤. 
$M_{f,\omega}$�ν���� (̿��2.7)�����ñ�˽����褦��, �ɤμ¿�$\omega$��
�Ф��Ƥ�, �ؿ�$\phi_{\omega}: {\bf R} \rightarrow {\bf R}$�����ä�, 
�ʲ���������. 

(1) $s \leq t$�ʤ�$\phi_{\omega}(s) \leq \phi_{\omega}(t)$; 

(2) $\phi_{\omega}(t+1) = \phi_{\omega}(t) + 1$;

(3) $t \in {\bf R}$�ʤ�
$$ \begin{array}{ll}
 x_-^{\omega,t} = (\ldots, \phi_{\omega}(t+\omega i-), \ldots), & 
 x_+^{\omega,t} = (\ldots, \phi_{\omega}(t+\omega i+), \ldots)
   \end{array}
$$
�ϲ�ž����$\omega$�ζ˾����֤Ǥ���. ������
$$ \begin{array}{ll}
 \phi(s-) = \displaystyle \lim_{u \uparrow s} \phi(u), & 
 \phi(s+) = \displaystyle \lim_{u \downarrow s} \phi(u)
   \end{array}
$$

���(3)��, ��Aubry--Mather���������, ���ޤ��ϱ������Ť����Ȥ��Ǥ����
�Ȥ������Ȥ�ɽ��������Τ�? 

�ؿ�$\phi_{\omega}$��(1) - (3)����������Τ�Percival�Υ饰��󥸥�ؿ���
�˾��ˤ��� ([12,15]�򸫤�)���Ȥ򼨤����Ȥ��Ǥ���. ����, ���Τ��Ȥ�
�Ȥ�ʤ�. 

$\omega$��̵�����Ǥ���Ȥ���. $M_{f,\omega}$�ν����¸�� (̿��2.7)����
�ưפˤ狼��褦��, $\phi_{\omega}$��Ϣ³���ˤ�����, ����ʿ�԰�ư�����
����������������ư�դǤ���. ��äȾܤ���������, $\phi'$��(Ʊ��̵����
$\omega$�˴ؤ���) Ʊ�����(1) - (3) ������������δؿ��Ǥ���Ȥ����, 
$a \in {\bf R}$�����ä�
$$
   \phi'(t\pm) = \phi_{\omega}(t + a\pm)
$$
������Ω��. $\omega$��ͭ����$p/q$�ξ��, $(p,q)$���μ���Ū�˾����֤�����
��ñ������֤�ʿ�԰�ư�Ǥ�����ˤ�, ���������Ω�Ĥ�, ���̤ˤ�����
Ω���ʤ�. 

̿��6.1��Ҥ٤뤿���, �¿�$\omega$������, $\phi_{\omega}$�Ͼ�ξ��
(1) - (3)���������ؿ��Ǥ���Ȥ���. $x$�Ϥ���$t$���Ф���$x_+^{\omega,t}$
�ޤ���$x_-^{\omega,t}$�Τɤ��餫�Ǥ���Ȥ���. ���ʤ��, 
$x_i = \phi_{\omega}(t + \omega i\pm)$�Ȥ���. 

�ޤ��¿�$a$�������, $P_{\omega} (a) > 0$�Ȥ��� (���Τ褦�ʿ���¸�ߤ���
�Ȥ���: KAM����������Ƥ���Ȥ������Ȥ�����). 
������$i$���Ф���, $a_i$��$a_i - a$�������Ǥ��ä�, 
$x_i \in (a_i, a_i+1)$�Ȥʤ�褦�ʰ�դμ¿��Ȥ���. 
$x_i - a$�������Ǥʤ����Ȥ��Ŧ���Ƥ���. �ʤ��ʤ�$P_{\omega}(a)>0$
������Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ̿�� 6.1.} ${\cal J} = (\ldots, J_i, \ldots)$��«���Ǥ���Ȥ���. 
$j_0 \leq j_1$�������Ǥ���Ȥ�, $\omega, a$�ϼ¿��Ǥ���Ȥ���. 
$K(\omega, a)$���������Ƥ���Ȥ�, $J_i = [a_i, a_i+1]$��
$j_0 - K(\omega,a) \leq i \leq j_1 + K(\omega, a)$���Ф�������Ω��, $a_i$
�Ͼ�����������ΤȤ���. $\xi = (\ldots, \xi_i, \ldots)$��${\cal J}$
�˾����֤Ǥ���Ȥ���. ���ΤȤ�,
$$ \begin{array}{lcl}
   a_i < \xi_i < a_i+1, & {\rm for} & j_0 \leq i \leq j_1 
   \end{array}
$$
������Ω��.

\vspace{0.3cm}
̿��6.1�ΰ�̣��ͤ���. $x$�϶˾����֤Ǥ���. 
$j_0 - K(\omega,a) \leq i \leq j_1 + K(\omega, a)$
�ʤ�$2K + |j_1 - j_0|$��Ĺ����ź��$i$���Ф���ñ��Ĺ���ζ��$J_i$�Ϥ��٤�
$x_i$��ޤ�. ���Τ褦�����ꤷ���Ȥ�, $J$�˾�������$\xi$��, 
$j_0 \leq i \leq j_1$�ʤ�$|j_1 - j_0|$��Ĺ����ź��$i$���Ф���Ʊ�����
$J_i$�������Ȥ��ƴޤޤ��. ��ñ�˸�����, $j_0 \leq i \leq j_1$�δ�,
�˾�����$x$��${\cal J}$�˾�����$\xi$�϶ᤤ. 


\vspace{0.3cm}
�ʲ��Ǥ�Ʊ�����̷��Τۤ���̿��򤤤��Ĥ���������. �˾����� (���ޤξ��$x$)
��Ȥä�, ź���Τ����ϰϤˤ錄�ä�����Ū��«�����${\cal J}$���������. 
���줫��, ${\cal J}$�˾����֤���꾮����ź���ϰϤˤ錄�äƼ�ͳ�Ǥ��뤳�Ȥ�
��������. 

̿��6.1���ĽҤ��������뤿���, ����$K(\omega,a)$��������褦. 
$P_{\omega}(a) =0$�ʤ�$K(\omega,a)$���������ʤ�. 

$p_n/q_n, \ n=0,1,2, \ldots$��$\omega$��Ϣʬ��Ÿ���ζ��ʬ����Ȥ���. 
���̤δ�, �����˴ؤ���ɬ�פʤ��Ȥ�, �ޤ�, 
$1 = q_0 \leq q_1 < q_2 < q_3 < \cdots$�Ǥ��뤳��, ����������$q$��$q_n$
�Τɤ줫�Ǥ���Τ�, $||q' \omega|| > ||q \omega||$��$q' = 1, \ldots, q-1$
���Ф�������Ω�ĤȤ�, �����Ƥ��ΤȤ��ΤߤǤ���. 
������, $||\lambda||$��$\min \{ |\lambda - n|: n \in {\bf Z} \}$�ˤ�ä�
��������. �����, $p_n$��$n \geq 1$���Ф���, $q_n \omega$�˺Ǥ�ᤤ
�����Ǥ���. $\omega$��̵�����ʤ�, ������̵�¤Ǥ���, $\omega=p/q$�ʤ�, 
Ϣʬ��Ÿ����ͭ�¥��ƥåפǽ�λ��, �Ǹ�ζ��ʬ����$p/q$���Τ�ΤǤ���. 

$K(\omega,a)$�������, $\overline{f} \in {\cal P}_{\beta}^1$�ʤ�$\beta$
���������˰�¸����. ���Τ褦��$\beta$�������, ����ʸ�Ǥϰʸ�ư�����ʤ�. 
$\theta = \cot \beta$�Ȥ���. ���ε�ˡ������ʸ�Ǥϰʸ���ꤹ��. 

$P_{\omega}(a)>0$�ʤ�, $k$��$k > 2\theta/P_{\omega}(a)$�ʤ�Ǿ�������
�Ǥ���Ȥ���. $m$���礭�����Ƥ�����, ������� 
$P_{\omega}(a) > 2\theta/m$�����������. �ǽ��$m$��$k$���֤���.
$n$��$k < q_n$�ʤ�Ǿ��������Ȥ���. ������¸�ߤ���Ȥ���
�Ǥ��� ($\omega$��̵�����Ǥ��뤫 $\omega = p/q, ~k��q$��$p,q$���ߤ�����
�ΤȤ��Ǥ���). $n$��¸�ߤ���Ȥ�$K(\omega,a) = q_{n-1}+q_n$�Ȥ���, 
�����Ǥʤ��Ȥ�, $K(\omega,a)$���������ʤ��Ȥ���. 

�����$K(\omega,a)$���������������. $K(\omega,a)$�ϼ¤�$\beta$��
��¸��, �ޤ�Peierls�ξ��ɤˤ��¸���뤬, ��ˡ�ξ�ǤϤ��ΰ�¸����ɽ��
�ʤ��ä�. �Ȥ����Τ�, $\beta$��$f$�Τߤ˰�¸��, $P_{\omega}(a)$��
$f, \omega$�����$a$�Τߤ˰�¸���뤫��Ǥ���. 
�����$f$������ʸ��Ȥ����Ƹ��ꤷ�Ƥ���. 

��ñ�Τ���, �ʲ��ξ����Ǥ�$K = K(\omega, a)$�Ȥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{\bf ̿�� 6.1�ξ���}. 
��ñ�Τ���, $j_0 = j_1$�Ǥ���Ȥ�, ���ζ����ͤ�$j$�Ƚ�. ���餫��, 
���ξ�礫��̿��6.1�ΰ��̷����Ф�. $\xi_j < a_j + 1$���������. 
$\xi_j > a_j$�ξ�����Ʊ�ͤǤ���. 

$s$�ϰ�դμ¿��Ǥ��ä�, 
$\phi_{\omega}(s + \omega j-) < a_j + 1 < \phi_{\omega}(s + \omega j+)$
���������Ȥ���. $y_i = \phi_{\omega}(s + \omega j-)$�Ȥ���. 
������, $y$ ($x$��) �϶˾����֤Ǥ��ä�, ���β�ž����$\omega$�Ǥ���. 
������, $x_j < a_j + 1$�Ǥ��뤫��

���餫��$t \leq s$�Ǥ���, �������ä�$x \leq y$�Ǥ���. 

�ޤ�, ������Ϳ����Τ�, $i_0$��¸�ߤ���$j-K \leq i_0 < j$��������, 
$i_1$��¸�ߤ���$j < i_1 \leq j+K$��������, $a_i+1 < y_i$��$i=i_0,i_1$
���Ф�������Ω�ľ��Ǥ���. ���ξ��, ��ñ�ˤ狼��褦��, $\xi_i < y_i$
��$i_0 \leq i \leq i_1$���Ф�������Ω�� (�����ƤȤ���$i=j$���Ф�������Ω
��. ���줬�������٤����ȤǤ��ä�). ����ξ����ϼ¼�Ū�ˤ�Aubry��
crossing����ξ�����Ʊ��Ǥ���. ���������, 2�Ĥζ˾����֤�Aubry�����
���⡹�����ɤ�������ʤ����Ȥ�Ҥ٤�. 
(Bangert[3, ����3.1]�򸫤�. ����$z = (\ldots, z_i, \ldots)$��Aubry�����
�Ȥ�, ʿ�̤��ޤ����Ǥ��ä�, $(i,z_i)$��$(i+1,z_{i+1})$������ʬ���¤Ǥ�
��.)

�����ʸ̮�Ǥ��ξ�����פ��Ф���. $(H_5)$���
$$ \begin{array}{l}
  h((\xi \wedge y)_{i(0)}, \ldots, (\xi \wedge y)_{i(1)}) + 
         h((\xi \vee y)_{i(0)}, \ldots, (\xi \vee y)_{i(1)})  \\
 \hspace*{1cm}  
\leq h(\xi_{i(0)}, \ldots, \xi_{i(1)}) + h(y_{i(0)} , \ldots, y_{i(1)})
   \end{array}
$$
������Ω��. ������$(\xi \wedge y)_i = \min (\xi_i, y_i)$,
$(\xi \vee y)_i = \max (\xi_i, y_i)$�Ǥ���. ����������Ω�Ĥ����ɬ��
��ʬ����, ���٤Ƥθ򺹤������������뤳�ȤǤ���. ����������Ω���ʤ��Ȥ�, 
$\xi$��${\cal J}$�˾� �Ǥ��� (�ʤ��ʤ�$\xi \wedge y$��
${\cal J}$���֤Ǥ��ä�$i=i_0,i_1$�ˤ�����$\xi$�Ȱ��פ��뤫��) �Ȥ�������
��̷�⤹�뤫, ���뤤��, $y$���˾��Ǥ��� ($\xi \wedge y$��$i=i_0,i_1$�ˤ�
����$y$�Ȱ��פ���)�Ȥ��������̷�⤹��, �Ȥ�����̤�����. 
����������Ω�Ƥ�, Ʊ������ˤ�ä�
$$ \begin{array}{l}
  h((\xi \wedge y)_{i(0)}, \ldots, (\xi \wedge y)_{i(1)}) = 
                h(\xi_{i(0)}, \ldots, \xi_{i(1)}) \\
  h((\xi \vee y)_{i(0)}, \ldots, (\xi \vee y)_{i(1)})  =  
                h(y_{i(0)} , \ldots, y_{i(1)})
   \end{array}
$$
������Ω�Ĥ��Ȥ��Ф�. �Ȥ�����, ����դ�$i$�Ǹ򺹤����, 
$(\xi \wedge y)$�ޤ���$(\xi \vee y)$��, $(H_5)$��$(H_6)$�ˤ����α��
�ʤ��ʤ�, �����ΤҤȤĤ˾���������ư��ä��뤳�Ȥˤ�ä�, �˾�����
�����̷�⤹���̤����뤳�Ȥ��Ǥ���. 

�����$\xi_j < y_j$�����̤ξ��˾����Ǥ���. ���̤ξ�������ä�, 
$$
  z_i =\phi_{\omega} (s + ||q_{n-1} \omega || + \omega i+)
$$
�Ȥ���. ������$z = (\ldots, z_i, \ldots)$�϶˾����֤Ǥ���. 
$j \leq i \leq j+K$���Ф���$y_i < a_i+1$�Ȥ���. $q_n$��
$||q \omega|| < || q_{n-1} \omega||$�ʤ�Ǿ���$q$�Ǥ��뤳�Ȥ����դ��褦. 
�������ä�, ${\bf R}/{\bf Z}$�ؤζ��
$[(i-j) \omega, (i-j) \omega + ||q_{n-1} \omega||]$, 
$i=j, \ldots, j+q_n-1$�ؤμͱƤϽŤʤ���ʤ�.
$\phi_{\omega}$��ñ�� (injective)�Ǥ���, 
$\phi_{\omega}(t+1) = \phi_{\omega}(t)+1$�Ǥ��뤫��, ��Τ��Ȥ��, 
${\bf R}/{\bf Z}$�ؤζ��$[y_i,z_i]$, $i=j, \ldots, j+q_n-1$�ؤμͱƤ�
�Ťʤ���ʤ�. $k \leq q_n-1$�Ǥ��뤫��, $j < i_1 \leq j+k$�ʤ�$i_1$��
���ä�, $z_{i(1)} - y_{i(1)} \leq k^{-1}$��������. 
���ξ�, $y_j$��$z_j$��������$y_j < a_j+1 < z_j$������Ω��.
${\bf R}/{\bf Z}$�ؤζ��$[y_i,z_i]$�ؤμͱƤ϶��$[y_j,z_j]$, 
$j < i \leq i_1$�μͱƤȽŤʤ���ʤ�����, $a_i+1$��$[y_i,z_i]$���
�ʤ�. $y_i < a_i+1$�Ǥ��뤫��, $z_i < a_i+1$��$j < i \leq i_1$���Ф���
����Ω��.

$i_2$��$i>j$�ʤ�$i$�Τ���, 
$[(i-j)\omega, (i-j)\omega + ||q_{n-1}\omega||]$��������ޤ�褦�ʺǾ���
��ΤȤ���. $i_1 < i_2 \leq j+K$������Ω��. ����, $i_2 = j+q_n$�ޤ���
$i_2 = j+q_n+q_{n-1}$�Ǥ���. �����$q_n$��, 
$||q \omega|| < || q_{n-1} \omega||$���������Ǿ��������Ǥ���Ȥ������¤�
���ñ�˽Ф�.

����, $z$�϶˾����֤Ǥ��ä�, $a_j + 1 < z_j$, 
$a_{i(2)} + 1 < z_{i(2)}$, �ޤ�$j < i < i_2$���Ф���
$a_i < z_i < a_i + 1$��������.
$\xi$��${\cal J}$�˾��Ǥ��뤫��, (����Ʊ���褦��Aubry�θ򺹵�����Ȥä�)
$j \leq i \leq i_2$���Ф���$\xi_i < z_i$������. �Ȥ���
$\xi_{i(1)} < z_{i(1)} < y_{i(1)} + k^{-1}$�Ǥ���. 

��������, ����줬�������Τ�, $j < i_1 \leq j + K$��¸�ߤ���
$\xi_{i(1)} < y_{i(1)} + k^{-1}$�����$y_i < a_i + 1$��
$j \leq i < i_1$���Ф������������ȤǤ���. Ʊ�ͤ�, 
$j - K \leq i_0 < j$��¸�ߤ���, $\xi_{i(0)} < y_{i(0)} + k^{-1}$
�����$y_i < a_i + 1$��$i_0 < i \leq j$���Ф���������. 
($j - K \leq i_0 < j$�����ä�$a_{i(0)} + 1 < y_{i(0)}$���������ʤ�
$\xi_{i(0)} < y_{i(0)}$�Ǥ���. �����Ǥʤ����, ������ǽҤ٤�������
Ŭ�ѤǤ���.)

$\xi_j < a_j + 1$������ˡ�Ǿ������褦. $w_i = \xi_i, i=i_0, i_1;$
�����$w_i = \min (y_i, \xi_i)$, $i_0 < i < i_1$�Ȥ���. 
$\xi_j = a_j+1$�ʤ�
$h(w_{i_0},\ldots, w_{i_1}) < h(\xi_{i_0}, \ldots, \xi_{i_1})$
�Ǥ��뤳�Ȥ򼨤���. $\xi$��${\cal J}$�˾��Ǥ��뤫��, ����ϵ���
����̷��Ǥ���. 

$i=i_0, i_1$���Ф���$v_i = y_i$�Ȥ���, $i_0 < i < i_1$���Ф���
$v_i = \max (\xi_i, y_i)$�Ȥ���, $\widetilde{w}_i = \min (y_i,\xi_i)$, 
$\widetilde{v}_i = \max (y_i,\xi_i)$�Ȥ���. ü��$i=i_0$��$i=i_1$�ʳ��Ǥ�
$v_i$��$\widetilde{v}_i$��Ʊ���Ǥ��뤳�Ȥ����դ��褦. ü���Ǥ�
�㤤�Ϲ⡹$k^{-1}$�Ǥ���. Ʊ�����Ȥ�$w_i$��$\widetilde{w}_i$��
�Ĥ��Ƥ�����Ω��. 

��ˡ���ñ�ˤ��뤿��, �ʲ��ξ����Ǥ�, 
$h(w_{i_0},\ldots, w_{i_1})$��$h(w)$�Ƚ�, ���Τۤ��⤽��˽ऺ��Ȥ���.
$$
  h(w) - h(\widetilde{w}) + h(v) - h(\widetilde{v}) \leq 2 \theta k^{-1}
$$
������Ω��. ���$[i_0,i_1]$��ü���������$\widetilde{v}$��$v$��, ������
$\widetilde{w}$��$w$�˰��פ��뤫��, ���դ�2�Ĥι���¤Ǥ���, ���Τ�����
�ҤȤĤ϶��$[i_0,i_1]$�γ�ü��������뤳�Ȥ����餫�Ǥ���. 
$\xi_{i_0} \leq y_{i_0}$�ʤ�, $i_0$ü����������Ͼä�, �����Ǥʤ��Ȥ�
�ˤ�
$$ \begin{array}{l}
  h(\xi_{i_0}, w_{i_0+1}) - h(y_{i_0},w_{i_0+1}) + 
 h(y_{i_0},v_{i_0+1}) + h(\xi_{i_0}, v_{i_0+1}) \\
\hspace*{1cm}  = \displaystyle \int_{y_{i_0}}^{\xi_{i_0}} 
\left( \partial_1 h(\alpha+, w_{i_0+1}) - 
\partial_1 h(\alpha+, v_{i_0+1}) 
\right) d \alpha \leq  \theta k^{-1}
   \end{array}
$$
�Ǥ���. �ʤ��ʤ�, ��ʬ�϶��$[\xi_{i_0}, y_{i_0}]$�ǹԤʤ��, ����
��֤�Ĺ����$k^{-1}$�ʲ�������Ǥ���, ����ʬ�ؿ���$\theta$�ʲ�������
�Ǥ���. �Ȥ����Τ�, $\beta \leq \gamma \leq \beta + 1$�ΤȤ�, 
$\partial_1 h(\alpha+,\beta) \leq \partial_1 h(\alpha-1+,\beta) 
+ \theta = \partial_1 h(\alpha+,\beta+1) + \theta \leq 
 \partial_1 h(\alpha+,\gamma) + \theta$  
��(H$_{6\theta}$), (H$_{6}$), (H$_{5}$)�ˤ������Ω�Ĥ���Ǥ���. 
$a_{i_0+1} \leq v_{i_0+1} \leq w_{i_0+1} \leq a_{i_0+1} + 1$��
���뤳�Ȥ����դ�, �����$\beta = v_{i_0+1}$, $\gamma = w_{i_0+1}$��
������Ŭ�Ѥ��뤳�Ȥ��Ǥ���. ����(?)�Ϥ��ε���Ǥ���, �б�������������
$i_1$ü���������.

��������, $h(w) \leq h(\widetilde{w}) + h(\widetilde{v}) - h(v) + 
2\theta k^{-1} \leq h(y) + h(\xi) - h(v) + 2\theta k^{-1} \leq 
h(\xi) - P_{\omega}(a) + 2 \theta k^{-1} < h(\xi)$������Ω��. 
����Ǻǽ����������Ƴ����. ����������������
$\widetilde{w} = y \wedge \xi$, $\widetilde{v} = y \vee \xi$�Ⱦ��
(H$_{5}$)�ε���Ǥ���. �軰���������ξ��, $\xi_j = a_j+1$�Ȥ���
�����Ȥ�. ���ΤȤ�$v_j=a_j+1$�Ǥ���. $i=i_0,i_1$�ΤȤ�$v_i=y_i$
�Ǥ���, $y$�ϲ�ž����$\omega$�ζ˾����֤Ǥ��ä�
$y_i = \phi_{\omega}(s + \omega i-)$����������. ������, 
$\phi_{\omega} (s + \omega j-) < a_j+1 < \phi_{\omega} (s + \omega j+)$
�Ǥ���. ���줫��, $h(v) - h(y) \geq P_{\omega}(a_j+1) = P_{\omega}(a)$
���Ф�. ���줬�軰���������Ǥ���. $k$�������
$k > 2\theta / P_{\omega}(a)$�Ȥ���. ���줬��ͤ��������Ǥ���. 

�ޤȤ���, $\xi_j = a_j+1$���ꤷ��, ������$h(w) < h(\xi)$���������. 
������������$\xi$��${\cal J}$�˾��Ǥ��뤳�Ȥ�̷�⤹��. ����̷�⤫��, 
$\xi_j < a_j + 1$�Ǥ��뤳�Ȥ������Ǥ���. \hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
̿��6.1�ˤ�����, ����$a_i$�Ϥ��٤�$a$�����������㤦. ������, 
${\cal J}$��ͳ�Ǥ��뤳�Ȥξ�����ñ��ξ���$a$��ȤäƹԤʤä��ΤǤ���
�ȸ�����. �Ȥ��ˤ�, �⤦��������ʷ�̤�ɬ�פǤ���. ���ξ��, 2�Ĥ�
���ɤ����. 

���η�̤ϼ��Τ褦���꼰���Ǥ���. �¿�$\omega, a, b$��, 
$P_{\omega}(a)>0$�����$P_{\omega}(b)>0$����������Τ�ͤ���. 
����Ʊ��, $p_n/q_n$��$\omega$�ؤζ��ʬ����Ǥ���Ȥ���. 
$k$��$k^{-1} < \min (P_{\omega}(a)/2\theta,P_{\omega}(b)/2\theta)$
�ʤ�Ǿ��������Ȥ���. $n$��$k < q_n$����������Τ�����Ф��Τ�����
�Ǿ��������Ȥ���. $n$��¸�ߤ������$K = k + q_{n-1} + q_n$�Ȥ���, 
¸�ߤ��ʤ�����$K$��������ʤ��Ǥ���. �¿�$l$������, �ޤ� 
$$
  x = x_{\pm}^{\omega,t} 
= ( \ldots, \phi_{\omega}(t + \omega i \pm), \ldots)
$$
�Ȥ���. ����$j^*$��ͤ���. $i < j^*$�ξ��, $a_i$��$a_i - a$��
�����Ǥ��ä�$x_i \in (a_i, a_i+1)$�Ȥʤ�褦��ͣ��μ¿��Ǥ����
����. $i \geq j^*$�ξ��, $a_i$��$a_i - b$��
�����Ǥ��ä�$x_i \in (a_i, a_i+1)$�Ȥʤ�褦��ͣ��μ¿��Ǥ����
����. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ̿�� 6.2.} ${\cal J} = (\ldots, J_i, \ldots)$��«���Ǥ���Ȥ���. 
$j_0 \leq j_1$�������Ǥ���Ȥ�, $\omega, a$�ϼ¿��Ǥ���Ȥ���. 
$K$���������Ƥ���Ȥ�, ��������$j_0 < j^* \leq j_1$���Ф���
$J_i = [a_i, a_i+1]$��$j_0 - K \leq i \leq j_1 + K$�ζ�֤� 
����Ω�ĤȤ���. ���ΤȤ�, ����Ʊ�ͤη���������Ω��. 

\vspace{0.3cm}
�����ĽҤϤ��������ʤ���? 
̿��6.2��6.1�μ�ʰ㤤��$a_i$��������ۤʤ뤳�Ȥˤ���. $j^*$�ˤ���
���ɤ��Ѥ���. $a$��$b$��ξ���δ��Ω�ƤƤ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. �����ξ����ؤν�����ʬ�Τߤ��Ŧ����. 
${\cal J}$�˾�����$\xi$��$j_0 \leq j \leq j_1$�ʤ�����$j$��ͤ���. 
$\xi_j < a_j + 1$���������. $a_j < \xi_j$�ξ�����Ʊ�ͤǤ���.

�˾�����$y$��$z$�����Ȥޤä���Ʊ�ͤ��������. ����$j_0,j_1$��, 
$j_0 - K \leq i_0 < j < i_1 \leq j_1 + k$�Ǥ��ä�, ����
$$ \begin{array}{lcl}
  \xi_i \leq y_i + k^{-1}, & {\rm for} & i=i_0,i_1
   \end{array}
$$
��������, $y_i < a_i+1$��$i_0< i < i_1$�ʤ��Τ򸫤Ĥ���. 
���Τ褦�����������Ĥ����, ���������Ȥޤä���Ʊ���褦�˿ʤ�. 

$i_1$�򸫤Ĥ���Τ˼��Τ褦�˿ʤ�. $i$�����ä�$j < i \leq j_1 + K$
�����$a_i + 1 < y_i$����������, $i_1$�Ȥ���, ���Τ褦��$i$�κǾ���
��ΤȤ���. ���ΤȤ�, $\xi_{i_1} < a_{i_1} + 1 < y_{i_1}$��������. 
������׵�ʾ�������Ǥ���. �����Ǥʤ��Ȥ�, $j < i_1 \leq j+K$��
¸�ߤ���$z_{i_1} - y_{i_1} < k^{-1} < \varepsilon$ (���������Ʊ��
��ͳ��)��������, $i_1 < i_2 \leq j_1+K$��¸�ߤ���
$a_{i_2} + 1 < z_{i_2}$��������. ������, ��ͳ�������ܼ�Ū��Ʊ���Ǥ��뤬, 
������ͭ���ǤǤ��뤿��ˤ�$K$������Ȥ��ƿ�������Τ�Ȥ�ͤФʤ�ʤ�. 
���ξ��ξ����϶��$[(i-j)\omega, (i-j)\omega + ||q_{n-1}\omega||]$, 
$i=j_1 + k + 1, \ldots, j_1 + K$��${\bf R}/{\bf Z}$�ؼͱƤ�����Τ�
${\bf R}/{\bf Z}$����ʤ����Ȥ����ѻ��δ�Ť�. 
(2�Ĥξ��ɤ����뤫��, 2�Ĥζ�֤Τɤ��餫��, $j < j^*$�ξ���
������ޤ�����ǤϽ�ʬ�Ǥʤ�.) �����Ǥʤ��Ȥ�, ���������Ȥޤä���
Ʊ�ͤ�ͭ���Ǥ���. \hfill $\Box$



\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf 7. �����Ĥ���${\cal J}$��ͳ����}
\end{center}

����Ǥ�, ${\cal J} = (\ldots, J_i, \ldots)$��«���ʤ�, $J_i$��
ź���Τ����ϰ�$j_0 - K \leq i \leq j_1 + K$�ˤ������ü�ʷ������, 
$\xi = (\ldots, \xi_i, \ldots)$��${\cal J}$�˾����֤Ǥ���ʤ�, 
$\xi_i \in {\rm int} J_i$��$j_0 \leq i \leq j_1 $�ʤ붹���ϰϤ�$i$
���Ф�������Ω�Ĥ��Ȥ򼨤���. ̿��6.1�ˤ�����, 
$j_0 - K \leq i \leq j_1 + K$��
�Ф���$J_i = [a_i, a_i+1]$�Ǥ��ä�
\footnote{��ʸ�Ǥ�$J_i = [a_i, a_1+1]$�ȤʤäƤ��뤬, �ְ㤤�Ǥ�����.}. 
������, �����ϰϤ�$a_i \equiv a \ ({\rm mod}~1)$�����
$x_i \in (a_i, a_i+1)$�Ǥ��ä�. $x = (\ldots, x_i, \ldots)$�ϴ������� 
(�󵢵�ƻ���б�����˾�����) �Ǥ���.

������, ��������$x$�ȿ�$a$���Τ뤳�Ȥˤ��, ��դ�$J_i$���ϰ�
$j_0 - K \leq i \leq j_1 +K$�ǻ��ꤵ���. $J_i$�Ϥ����ϰϤǴ�������$x$
�ˡ֤��������פȤ�����. ���餫��, �ۤ��ˤ��������$y$�����ä�, ������
$J_i$�⤷������. �¤�, �����$\Omega$�����ä�, �ɤ�$\omega \in \Omega$��
�Ф��Ƥ�, ��ž��$\omega$�δ�������$y$�����ä�, $J_i$���ϰ�
$j_0 - K \leq i \leq j_i + K$�ˤ�����$y$�ˤ�������. 

����, ����Ĺ��$J_i$�����ɤΤ褦�˹��ۤ��뤫��ͤ���. ������, ������
�����Ūû����ʬ��ˤ�̿��6.1��Ŭ�ѤǤ���褦�ˤ�����. 
�����Ūû���פ���Ȥ��ä�, ��û���פ櫓�ǤϤʤ�. �Ȥ����Τ�, ̿��6.1��
Ŭ�ѤǤ��뤿��ˤ�, �����Ūû����ʬ��פ�$2K$���Ĺ���ʤ���Фʤ�ʤ�
����Ǥ���.  

$n = ( \ldots, n_i, \ldots)$����������̵����Ǥ���Ȥ�, $\varepsilon>0$
�Ȥ���. $n$����$\varepsilon$��«����Ƥ���פȤ�, ��$j \in {\bf Z}$��
�Ф���, �¿�$\omega_j$��$s_j$�����ä�, �ʲ�������Ω�ĤȤ��Ǥ���. ���ʤ��, 
$p_{j1}/q_{j1}$, $p_{j2}/q_{j2}, \ldots$��$\omega_j$��Ϣʬ��Ÿ����
�����Ǥ���Ȥ���. $\omega_j$��̵�����Ǥ��뤫, $\varepsilon^{-1}$���
�礭��ʬ������ (����)ͭ�����Ǥ���Ȥ���. $l_j$��
$q_{jl(j)} > \varepsilon^{-1}$�ʤ�Ǿ��������Ǥ���Ȥ���. 
$K_j = q_{j,l(j)-1} + q_{j,l(j)}$�Ȥ���. 
$j - K_j \leq i \leq j + K_j$���Ф���
$n_i < \omega_j i + s_j < n_i + 1$�Ǥ��뤳�Ȥ���������. 

$\Omega$��${\bf R}$�γ���֤Ǥ���Ȥ���. ����ϲ�ž�������ζ�֤Ǥ���. 
$n$��$\varepsilon$��«��
���ä�, ��$j \in {\bf Z}$���Ф���$\omega_j \in \Omega$�Ǥ���Ȥ�, 
$n$��$(\varepsilon, \Omega)$��«�Ǥ���ȸ������Ȥˤ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ̿�� 7.1.} $n = (\ldots, n_i, \ldots) \in {\bf Z}^{\bf Z}$�Ȥ���. 
$\varepsilon = k^{-1}$, $k$���������Ȥ���. $\Omega$�ϳ���֤Ǥ���Ȥ���. 
$a \in {\bf R}$�Ȥ���. ���٤Ƥ�$\omega \in \Omega$���Ф���
$$
   P_{\omega}(a) > 2\theta/k
$$
�Ǥ���Ȥ���. $n$��$(k^{-1}, \Omega)$��«�Ǥ���Ȥ���. 
$a_i = a + n_i$, $J_i = [a_i, a_{i+1}]$�����
${\cal J} = (\ldots, J_i, \ldots)$�Ȥ���. ���ΤȤ�, �ɤ�${\cal J}$�˾�
���֤�${\cal J}$��ͳ�Ǥ���, �������ä�$\overline{f}$�ε�ƻ���б�����. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. �����ñ��, ̿��6.1������, �ɤ�$j \in {\bf Z}$��
�Ф��Ƥ���������Ƥ��뤳�Ȥ�����å���������Ǥ���. 
$s$�ϰ�դμ¿��Ǥ��ä�, $\phi_{\omega}(s-) < a < \phi_{\omega}(s+)$��
�������Ȥ���. ������, $\omega = \omega_j$�Ǥ���. 
$x_i^{(j)} = \phi_{\omega}(s + s_j + \omega_j i-)$�����
$x^{(j)} = (\ldots, x_i^{(j)}, \ldots)$�Ȥ���. ���ΤȤ�, 
$j_0 - K_j \leq i \leq j_1 + K_j$���Ф���$a_i < x_i^{(j)} < a_{i+1}$��
����. �ʤ��ʤ�, Ʊ���ϰϤ�$n_i < \omega_j i + s_j < n_i+1$������Ǥ���. 
$K_j$��$\omega_j$��$k$�ˤ�ä��������Ƥ��뤬, �����$K = K(\omega,a)$
��$\omega$��$k$�ˤ�ä�̿��6.1���������Ƥ��������Ʊ���Ǥ���. 
̿��6.1�ˤ�����$k$�˴ؤ���ͣ������¤�$k > 2\theta/P_{\omega}(a)$��
���ä�. �����������, $\varepsilon$�ˤ�ä����������. $\Box$

\vspace{0.3cm}
̿��7.1��ͭ��������, ${\cal J}$�˾��ʤ��${\cal J}$��ͳ�Ǥ���Ȥ���
���¾��${\cal J} = (\ldots, J_i, \ldots)$�򸫤Ĥ��������, 
$\varepsilon$��«����̵��������򸫤Ĥ�����˿���Ū������˵���Ǥ���
���Ȥˤ���. ̿��7.1�θ³���, ���줬�����������¾��${\cal J}$���ब
��������Ū�˽�ʬ�᤯�ʤ����ȤǤ���. ���θ³���̿��8.1������Ф�
ư���Ȥʤä�.

����$n \in {\bf Z}^{\bf Z}$��$\varepsilon$��«�Ǥ��뤿��ν�ʬ����
�Ĥ��Ƶ�������. $j < k \in {\bf Z}$���Ф���, $A_n[j,k] = A[j,k]$
��${\bf R}$��γ���֤Ǥ��ä�, ü����
$(n_k-n_j-1)/(k-j)$��$(n_k-n_j+1)/(k-j)$�Ǥ���Ȥ���. 
$B_n[j,k] = B[j,k]$��$j \leq j' < k' \leq k$���Ф���, 
���٤Ƥ�$A[j',k']$��ɽ�魯�Ȥ���. ������$B[j,k]$�ϳ���֤ޤ��϶�����
�Ǥ���.


\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 7.2.} $\omega \in B[j,k]$�ʤ�, $s \in {\bf R}$�����ä�, 
$$ \begin{array}{lcl}
  n_i < \omega i + s < n_j + 1 & {\rm for} & j \leq i \leq k
   \end{array}
$$
��������. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. ���餫��, $\omega \in A[j',k']$�Ǥ��뤿���ɬ�׽�ʬ���
��, 2�Ĥγ����$(n_{j'} - j'\omega, n_{j'} - j'\omega + 1)$��
$(n_{k'} - k'\omega, n_{k'} - k'\omega + 1)$�����Ǥʤ��������Ĥ��Ȥ�
����. �ʤ��ʤ�, $A[j',k']$��ü����, $[n_{j'},n_{j'}+1]$��
$[n_{k'},n_{k'}+1]$������ʬ�η����κǾ��Ⱥ��������Ǥ���. �������ä�, 
$\omega \in B[j,k]$�Ȥ��������, ���
$(n_i - i \omega, n_i - i \omega +1)$, $j \leq i \leq k$�ʤ���ζ�֤�
Ǥ�դ�2�Ĥ����Ǥʤ��������Ĥ��Ȥ��̣����. �������äƴ�ñ�ˤ狼��
�褦��, �����ζ������ $(j \leq i \leq k)$��²�϶��Ǥʤ���������.
����������$s$������η�����������.   $\Box$

\vspace{0.3cm}
�Ĥ��˹Ԥʤ����ȤΤ����, $\omega$�����$\varepsilon$�ؤ�$K$�ΰ�¸��
������Ū�˻�Ŧ���Ƥ�����. �����פ��Ф�. $p_1/q_1, p_2/q_2, \ldots$
��$\omega$��Ϣʬ���ζ����Ǥ���Ȥ���. $l$��
$q_l > \varepsilon^{-1}$ (��ʸ�Ǥ�$q_l$�ǤϤʤ���${\rm g}_l$�ȤʤäƤ���
���ְ㤤�Ǥ�����)�ʤ�Ǿ��������Ǥ���Ȥ���. ���Τ褦��
����$l$���ʤ����$K$��������ʤ�. ���Τ褦��$l$������ʤ�, 
$K = K(\omega) = K'(\omega, \varepsilon) = q_{l-1} + q_l$�Ȥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 7.3.} $n \in {\bf Z}^{\bf Z}$�Ȥ���. ���ΤȤ�, $n$��
$\varepsilon$��«�Ǥ���Τ�, ��$j \in {\bf Z}$���Ф���, 
$\omega = \omega_j$�����ä�, $K(\omega, a)$���������, 
$$
  \omega \in B_n [j - K(\omega, \varepsilon), j + K(\omega, \varepsilon)]
$$
������Ω�ĤȤ��Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. ����7.2�����$n$��$\varepsilon$��«
�Ǥ��뤳�Ȥ������ꤿ�����˽Ф�. $\Box$

\vspace{0.3cm}
$K(\omega, \varepsilon)$���������ʤ��Τ�, $\omega$��ͭ����
$p/q$��$q \leq \varepsilon^{-1}$�ΤȤ��Ǥ���. ����ʳ��ξ��ˤ�
���٤�$K(\omega, \varepsilon)$����������.

$K(\omega, \varepsilon)$�Υ������ϰʲ��Τ褦�ˤ��Ƹ��Ѥ��. 
$F(\varepsilon^{-1})$��, ͭ����$p/q$�Τ���, 
$q \leq \varepsilon^{-1}$�ʤ��Τν���Ǥ���Ȥ���. 
$\Delta_{\varepsilon}(\omega) = \min 
\{ |q \omega - p|: p/q \in F(\varepsilon^{-1})\}$�Ȥ���. �����, 
$$ 
  1/2\Delta_{\varepsilon} (\omega) \leq K(\omega, \varepsilon) \leq 
2/\Delta_\varepsilon (\omega)
$$
������Ω��. �ޤ�$K(\omega,\varepsilon)$���������ʤ������ɬ�׽�ʬ
���� $\Delta_{\varepsilon}(\omega)=0$�Ǥ���. 
���θ��Ѥ���, $\omega$��Ϣʬ��Ÿ���μ�«��$p_1/q_1, \ldots$��
�ؤ������Ū���¤���Ф�. $l$��$K$����������Ȥ��Τ�ΤȤ����,
$$
  1/2q_l \leq |q_{l-1} \omega - p_{l-1}| \leq 1/q_l
$$
������Ω��. �����Ǥ�դμ¿�$\omega$��Ϣʬ��Ÿ������³�����ʬ���δ֤�
����Ω��. $K(\omega,\varepsilon)$�˴ؤ���嵭���Ѥ���, 
$K(\omega,\varepsilon) = q_l + q_{l-1}$�����
$\Delta_{\varepsilon}(\omega)=|q_{l-1}\omega - p_{l-1}|$�Ǥ��뤳�Ȥ���
�������˽Ф�. 

$M$���¿��ΤȤ�, $F(M)$��ͭ�����Τ���, ����ʬ�� (����Ȥ����Ȥ�)
��$M$�ʲ��Ǥ���褦�ʤ�Τ��٤Ƥν����ɽ�魯�Ȥ���.
$$ \begin{array}{rl}
F(M) = & \{ 0, 1/1, 2/1, 3/1, \ldots; 1/2, 2/2, 3/2, \ldots; 1/3, 2/3,
3/3, \ldots; \\
  & \ldots; 1/M, 2/M, 3/M, \ldots \}
   \end{array}
$$
$F(M)$���佸�����ʬ�ΤҤȤĤ�{\bf �⤵$M$�γ��ե����쥤���}��
��֤��Ȥˤ���. ����Ͻ��������Ρ֥ե����쥤����פγ�ǰ�Ȥ������
����. ���Τ褦�ʶ�֤������{\bf �⤵$M$���ĥե����쥤���}�Ȥ��. 
$n = (\ldots, n_i, \ldots)$��$\varepsilon$��«����̵��������Ǥ���Ȥ�, 
�⤵$\varepsilon^{-1}$�γ��ե����쥤���$(p/q,p'/q')$��$n$�ˤȤ�ʤ�
{\bf �ե����쥤���}�ȸ�����Τ�, $A_n[j,k]$�����٤Ƥ�$j < k$���Ф���
$(p/q,p'/q')$�ȸ���Ȥ��Ǥ���. ��ñ�ˤ狼��褦��,
�ɤ�$\varepsilon$��«��̵��������⤽��ˤȤ�ʤ� 
(�⤵$\varepsilon^{-1}$��) ��դΥե����쥤��֤����. 
������, ���η�̤�ɬ�פʤ��ΤǾ������ʤ�. 

ɬ�פʤΤϤ��εդǤ���. ���ʤ��, 
�⤵$\varepsilon^{-1}$�Υե����쥤�����ˤ���¤�,
$\varepsilon$��«��������Ʋ�ž����Ǥ�դ����ã���Ǥ��뤳�ȤǤ���.  
������Ū�Τ����, �⤵$\varepsilon^{-1}$
�Υե����쥤���$(p/q,p'/q')$�����$(p/q,p'/q')$������ʬ���$\Omega$��
�ͤ���. $K(\omega, \varepsilon)$�˴ؤ���嵭�θ��Ѥ�꤫�餹���, 
$\omega \in \Omega$���Ф���, $K(\omega, \varepsilon) \leq K$�ʤ�$K$��
¸�ߤ���. $\varepsilon$��«��$n = (\ldots, n_i, \ldots)$��ñ�����
�Ȥ���, $n_i = [\lambda_i]$�η��Τ�Τ������� ($[ \cdot ]$�ϥ���������). 
������, 
$$ \begin{array}{ll}
  \lambda_{i+1} - \lambda_i = r_j, & 
jK \leq i < (j+1)  K
   \end{array}
$$
�Ǥ��� ($r$��ź�����������Τ�������?), $r_j$��$\Omega$���, 
ʬ�줬$2K$�ʲ���ͭ�����Ǥ���, 
$[r_j, r_{j+1}]$��, ��$j$���Ф��ƹ⤵$2K$�Υե����쥤��֤Ǥ���. 
���ξ��, $jK \leq i < (j+1)K$���Ф���$\omega_i = r_j$��
��������7.3��Ŭ�ѤǤ���. �������ä�$n$��$\varepsilon$��«�Ǥ���. 

����, ����4.1��4.2�μ夤�Ǥ�Ҥ٤뤳�Ȥ��Ǥ���. ���Τ��Ȥ��餹���, 
̿��6.1��Ȥä�����������4.1��4.2�ξ����ˤɤ�ۤɶ�Ť��������狼��, 
̿��8.1�ؤ�ư���Ȥ�ʤ�.

̿��7.4��7.5�ˤ�����, $a \in {\bf R}$, $P>0$����ӳ����
$\Omega \in {\bf R}$��ͤ���. $k$��$2\theta/P$����礭�ʺǾ��������Ȥ�, 
$\Omega$��Τɤ�ͭ����$p/q$���Ф��Ƥ�$q > k$������Ω�ĤȤ���. 
�ɤ�$\omega \in \Omega$���Ф��Ƥ�$P_{\omega}(a) > P$�Ǥ���Ȥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ̿�� 7.4.} $\omega_-, \omega_+ \in \Omega$��ͤ���. $\overline{f}$
��ƻ${\cal O}$�����ä�, $M_{\overline{f}, \omega_-}$��$\alpha$����, 
����$M_{\overline{f}, \omega}$��$\omega$����Ǥ���. 


\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ̿�� 7.5.} $\omega_i \in \Omega$��$\varepsilon_i > 0$��ɤ�������
�Ф��Ƥ�ͤ���. $\overline{f}$��ƻ
${\cal O} = (\ldots, (\theta_i,y_i), \ldots)$��������������
$(\ldots,j_i, \ldots)$�����ä�, �ɤ�$i \in {\bf Z}$���Ф��Ƥ�, 
$$
  {\rm dist}( (\theta_{j(i)}, y_j(i)), M_{\overline{f},\omega(i)}) 
< \varepsilon
$$
������Ω��. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}.  $\omega^* \in \Omega$�����$\varepsilon^*>0$�Ȥ���. 
$x^* = (\ldots, x_i^*, \ldots)$�ϲ�ž����$\omega^*$�ζ˾����֤Ǥ����
����. $a_i^*$��, $a_i^* - a_i$�������Ǥ��ä�, 
$x_i \in (a_i^*, a_i^*+1)$�ʤ��դο��Ǥ���Ȥ���. ���¾��
${\cal J} = (\ldots, J_i, \ldots)$��ͤ���. ������, 
�����Τ����ϰ�$i_-^* \leq i \leq i_+^*$�ξ��$J_i = [a_i^*, a_i^*+1]$
�Ǥ���Ȥ���. �ɤ�${\cal J}$�˾����֤⼫ͳ�Ǥ���Ȥ���. 
${\cal O} = (\ldots, (\theta_i, y_i), \ldots)$��${\cal J}$�˾����֤�
�б�����$\overline{f}$��ƻ�Ǥ���Ȥ���. 10��ˤ�����, �����ϰʲ���
���Ȥ򼨤�. ���ʤ��, ��$K^*$�����ä�, 
$i_-^* - K^* \leq i \leq i_+^* + K^*$���Ф���
${\rm dist}( (\theta_i, y_i): M_{\overline{f}, \omega^*}) < 
\varepsilon^*$��������. 
���ο���$\overline{f}, \omega^*$�����$\varepsilon^*$�ˤϰ�¸���뤬, 
$i_-^*, i_+^*$�ˤϰͤ�ʤ�. 

������̿��7.4��7.5��, ������������������¾��������뤳�Ȥ�
���夹��. ̿��7.1���, ���Τ��Ȥ�, ������$(k^{-1}, \Omega)$��«��
��̵��������������뤳�Ȥ˵��夹��. ���η��Τ��ޤ������ˤ�, 
̿��7.4��7.5���ĽҤ���Ԥ��������Ԥʤ��Ф褤. $\Box$


\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf 8. Ⱦ${\cal J}$��ͳ���֤դ�����}
\end{center}

̿��7.4�����7.5�ˤ�����, ��ž�������$\Omega$��ˤ��뵰ƻ�˶�Ť�
��ƻ��ɤΤ褦�˹������뤫�򼨤���. �����η�̤ˤ����¤�����. 
�����, ���$\Omega$��Ǥ�դ�ͭ����$p/q$��$q \leq 2\theta/P$�ʤ��Τ�
�ޤळ�Ȥ��Ǥ��ʤ����ȤǤ���. ������, 
$P = \sup_{a \in {\bf R}} \inf_{\omega \in \Omega} \{ P_{\omega} (a) \}$.
$\Omega$�����Τ褦�˾�����ʬ���ͭ������ޤ�ʤ�, ̿��7.4��7.5��Ŭ��
�Ǥ��ʤ�. �����2�Ĥ�̿���̿��6.1����Ƴ���줿��ΤǤ���, ��Ԥ⤳�Τ褦
�ʾ����Ǥ�Ŭ�ѤǤ��ʤ�. 

����Ǥ�, ̿��6.1�˻�����Τ�Ҥ٤ƾ�������. ����ˤ�ä�, ���κ����
��������. 

$p/q$��ͭ�����Ȥ�, ����Ǥ��ä�$q \geq 0$�Ǥ���Ȥ���. 
����Ǥ�, ����äݤ����ä�, �ʲ��Τ褦�ʤ��Ȥ򼨤�. ���ʤ��, 
��ƻ���Ҥ��ۤ���. �������Ҥ�, �Ϥ���ϲ�ž��$p/q$��꾯��������
(�ޤ���, �����礭��)�˾���ƻ�ˡֽ�����, ���˲�ž����$p/q-$ (�ޤ���
$p/q+$)�ζ˾���ƻ�˽���, �Ǹ��, ��ž��$p/q$��꾯���礭��
(�ޤ���, ����������)�˾���ƻ�˽���. �ֽ����פΰ�̣��̿��8.1���ĽҤ�
�ޤޤ��. ����̿���̿��6.1�Ȼ�����ΤǤ���. ������, �ֽ����פ�
ȯ��Ū�ʰ�̣�ǤΤ߻Ȥ�. �Ȥ����Τ�, ��̩������ˤ�Ϳ����Ȥ��ˤϻȤ��ʤ�
����Ǥ���. Ʊ�ͤ�, ̿��6.1���Ѱդ���Τ�, ̵������ž���ޤ����礭��ʬ��
��ͭ������ž���ζ˾���ƻ�˽�����ƻ�Ǥ���, �ȸ�����. 

����ǹͤ��Ƥ��������, $p/q = 0$�ξ��ؼ��Τ褦�ˤ��Ƶ���Ǥ���. 
���ʤ��, $F(x,y) = f^q(x,y) - (p,0)$�Ȥ���. 
$(\ldots, (x_i,y_i), \ldots)$��$f$�ε�ƻ�ʤ�, Ǥ�դ�$j \in {\bf Z}$
���Ф���, $(\ldots, (x_{qi+j}-pi,y_{qi+j}), \ldots)$��$F$�ε�ƻ��
����, ��$j \in {\bf Z}$���Ф���, �����$f$�ε�ƻ��$F$�ε�ƻ�δ֤�
1:1�б����ۤ�. ���Τ褦���б��Τɤ�ҤȤĤβ��Ǥ�, ��ž��$p/q$��
$f$ �ε�ƻ�ϲ�ž��$0$��$F$�ε�ƻ���б�����. 

$F$�ε�ƻ������ʸ�����Ȥǹͻ���ǽ�Ǥ���. �ʤ��ʤ�, $F$���Ф�����ʬ
����$H$�����ä�, ���(H)������������Ǥ���. ���ʤ��, $*$��1���
�����������ܹ�����ǡפ�ɽ�魯�Ȥ���. $h^{*2} = h * h$�����
$h^{*(n+1)} = h^{*n} * h$�Ȥ���. 
$$
  H(x,x') = H^{*q} (x,x'-p) - C
$$
�Ȥ���. ������, ���$C$��
$$
   C = \min_{x \in {\bf R}} h^{*q}(x,x-p)
$$
��Ϳ������. 1��Ǥ�[16]�η�̤򳵴Ѥ���. ����ˤ���, $H$��$F$��
��ʬ�����Ǥ���. ����, $F$����ʬ������Ǥ�������ä����������������
��դ���������. (������, ���ΰ�����Ͼ������Ƥ��ʤ�. �����Ȥ�ʤ�)
������, Ǥ������򤭤���������, 
$$
  \min_{x \in {\bf R}} H(x,x) = 0   \leqno(8.1)
$$
������Ω�Ĥ褦�ˤ���. Ǥ������������$H$���������������������褦��
�����, ̿��8.1���������Τ�, ¿���˵�ˡ�����ؤˤʤ�. 

̿��8.1��Ҥ٤�����, �ʲ��Τ褦�ʻ��¤ȵ�ˡ��פ��Ф���. 
$M_{f,p/q} = M_{F,0} \subset {\bf R}^2$��$f$�ζ˾���ƻ�Τ���, 
$(p,q)$���μ�����ƻ���٤Ƥ��¤Ǥ���. �����$F$����ư���ν���Ǥ⤢��.
$\pi: {\bf R}^2 \rightarrow {\bf R}$�������ʬ�ؤμͱƤǤ���Ȥ����Ȥ�, 
$\pi|M_{F,0}: M_{F,0} \rightarrow {\bf R}$��proper����injective�Ǥ���. 
�Ȥ���, $\pi (M_{F,0})$��${\bf R}$���Ľ���Ǥ���. ��ź����Ȥä�
$h$�ؤ�Peierls�ξ��ɤΰ�¸����Ϥä��꼨����, 
$P_{p/q(\pm)}^h = P_{0(\pm)}^H$������Ω��. $(\ldots, x_i, \ldots)$
��$h$�ζ˾����֤ʤ�, $(\ldots, x_{qi+j} - pi, \ldots)$��$H$��
�˾����֤Ǥ���. ��$j \in {\bf Z}$���Ф���, $h$�ζ˾����֤� 
$H$�ζ˾����֤δ֤�1:1�б������ꤹ��.  

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ̿�� 8.1.} $(c,c')$��$\pi(M_{F,0})$�����֤Ǥ���Ȥ���. 
$a,b \in (c,c')$�Ȥ�, $P_{0-}^H(a) > 0$����$P_{0+}^H(a) > 0$
�Ȥ���. ���ΤȤ�, ��������$K_-, K_+, K, L_-^0, L_+^0$�����ä�, 
�ʲ�������Ω��. ���ʤ��, $L_-, L_+, l_-, l_+, i_-, i_0, i_+$
�������Ǥ��ä�, $L_- \geq L_i^0$, $L_+ \geq L_+^0$, 
$l_- \geq 1$, $l_+ \geq 1$, $i_- < i_0 < i_+$, $i_0 - i_- > K_-$, 
$i_+ - i_0 > K_+$, �����$i_+ - i_- > K + K_- + K_+$���������Ȥ���. 

${\cal J} = (\ldots, J_i, \ldots)$��«�� (constraint)�Ǥ��ä�, 
$J_i$��$i_- - L_-l_- - 1 \leq i \leq i_+ + L_+l_+$���Ф��ưʲ���
2�Ĥλ����Τɤ��餫���������Ƥ���Ȥ���. 
$$ \begin{array}{rl}
  J_i = & [\alpha+\beta - 1, \alpha+\beta] \ \
          ({\rm resp.} \ [b-\beta, b - \beta + 1]), \\
    & {\rm if} \ i_- - L_- \beta \leq i < i_- - L_-\beta + L_- \ \ 
{\rm and} \ \ 1 \leq \beta \leq l_- \\
    & {\rm or} \ \beta = l_- + 1 \ \ {\rm and} \ \ i = i_- - L_-l_- - 1, \\
 J_i = & [c,a] \ \ ({\rm resp.} \ [b,c']), \ \ {\rm if} \ \ i_- \leq i 
< i_0 , \\
 J_i = & [c,b] \ \ ({\rm resp.} \ [a,c']), \ \ {\rm if} \ \ i_0 \leq i 
< i_+ , \\
  J_i = & [b + \beta - 1, b +\beta] \ \
          ({\rm resp.} \ [a-\beta, a - \beta + 1]), \\
    & {\rm if} \ i_+ - L_+ \beta - L_+ \leq i < i_+ - L_+\beta \ \ 
{\rm and} \ \ 1 \leq \beta \leq l_+ \\
    & {\rm or} \ \beta = l_+ + 1 \ \ {\rm and} \ \ i = i_+ + L_+\beta \\
   \end{array}
$$
�ɤ���ξ��Ǥ�, $H$��${\cal J}$�˾�����$\xi = (\ldots, \xi_i, \ldots)$
��$i_- - L_-l_- + 1 \leq i < i_+ + L_+ l_+ - 1$���Ф���, 
$\xi_i \in {\rm int} J_i$�ʤ����������. 

\vspace{0.3cm}
������$K_-, K_+, K, L_-^0$�����$L_+^0$��$\theta$, $P_{0+}^+(b)$, 
$P_{0-}^H(a)$����Ӵؿ�$H$�Τߤ˰�¸����. �����ο��η���� (ʣ����
����) �Ͼ�������ǹԤʤ�. 

�����ˤ�����, ����
$$
  \sum_{i=j}^{k-1} H(x_i, x_{i+1}) = \displaystyle 
\sum_{i=j}^{k-1} H(x_i, x_i) + 
\int_{x_j}^{x_k} \partial_2 H(y,y+)dy + 
\sum_{i=j}^{k-1} \mu_H(\Delta_i),   \leqno(8.2)
$$
�򷫤��֤����Ѥ���. ������, $\Delta_i$�ϻ��ѷ�
$$ \begin{array}{lcl}
  \{ (y,z): x_i \leq y \leq z \leq x_{i+1} \} & {\rm or} & 
  \{ (y,z): x_{i+1} \leq z \leq y \leq x_i \}
   \end{array}
$$
�Ǥ���. $x_i$������$x_{i+1}$����礭�����Ⱦ��������ǻȤ�ʬ����. 
$\mu_H$��${\bf R}^2$��ΰ�դΥܥ��¬�٤Ǥ��ä�, Ǥ�դ�
$x < \xi$�����$x' < \xi'$���Ф���
$$
 \mu_H ([x,\xi] \times [x',\xi']) = H(\xi,x') + H(x,\xi') - 
H(x,x') - H(\xi,\xi')  
$$
��������. $\mu_H$��¸�ߤȰ������[17, \S 3]����������ƤǤ���. 
�ޤ�, $\partial_2 H(y,y+)$�������ѿ��˴ؤ���$H$����¦�������ʬ�Ǥ���. 
$\partial_2 H(y,y-)$�����(8.1)�ˤ�����Ʊ�ͤ˻Ȥ����Ȥ��Ǥ���. 
�Ȥ����Τ�, $\partial_2 H(y,y+)$�Ϲ⡹�Ļ��Ĥ�����$\partial_2 H(y,y-)$
�Ȱ㤦����������Ǥ���. ��(8.2)�Ͻ���Ū��Ƴ����. �����[17, 3.4]�Ǥ�ä�
����. ��(8.2)�ϼ¿���Ǥ����$(x_j,\ldots, x_k)$���Ф�������Ω��.  

̿��8.1�ξ�����$J_i = [c,a]$�ξ��Τ߹Ԥʤ�. $i_- \leq i < i_0$����¾
�Ȥ���. ¾�ξ�礬Ʊ�ͤ˾����Ǥ���Τ����餫�Ǥ���. 

�����ϰ�Ϣ������˴�Ť�. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� a.} $\widehat{i}$��$i_- \leq i < i_+$��������, $\xi_i$��
�˾��ˤʤ�褦��$i$���ͤǤ���Ȥ���. ���ΤȤ�, �� $(\xi_i)$��
$i_- - L_- l_- + L_- - 1 \leq i \leq \widehat{i}$���Ф��Ƽ夯ñĴ
�����Ǥ���, $\widehat{i} \leq i \leq i_+ + L_+ l_+ - L_+$���Ф���
�夯ñĴ����Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. ��������Τ����ҤȤĤ��夯ñĴ�Ǥʤ��ʤ�, ź����
�¤��ؤ���ñĴ�ˤǤ���. �����ü�ι�򤤤��뤳�Ȥʤ��Ǥ���. ���������
${\cal J}$���֤����ҤΤϤ��Ǥ���. ������, ��(8.2)�ˤ���, 
$\sum H(\xi_i, \xi_{i+1})$��Ŭ�����ϰϤ��¤����, ��Ȥ������٤�
��������Ǥ��¤��������Ϥ��Ǥ���. ����ϸ�����${\cal J}$�˾����֤�
���ä��Ȥ��������̷�⤹��. $\Box$

\vspace{0.3cm}
$L_-^0 = 2[\varepsilon_-^{-1}] + 1$�Ȥ���. ������,
$\varepsilon_-$��������$2\varepsilon_- + \varepsilon_-^2 = 
P_0^H(a)/8\theta$�ΰ�դ����β�Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� b.} $L_- \geq L_-^0$�ʤ�, $i = i_- - L_-\beta - 1$�ޤ���
$i = i_- - L_-\beta$�Ǥ��ä�$\beta$��$1 \leq \beta \leq l_- - 1$��
�Ȥ�, $\xi_i \neq a + \beta$�Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. �����Ǥʤ����Ȥ��ꤷ, �ʲ��Τ��Ȥ򼨤���. 
���ʤ��, ��$\eta_i$������, $i$��$i_- - L_- \beta - L_- -1$����
$i_- - L_- \beta + L_-$�ޤ�����, $\eta_i = \xi_i$��ü����ź��
(�Ĥޤ�, $i = i_- - L_- \beta - L_- -1$�ޤ���
$i = i_- - L_- \beta + L_-$)�ΤҤȤĤ�����Ω��, $\eta_i \in J_i$��
����,
$$
  \sum H(\eta_i, \eta_{i+1}) < \sum H(\xi_i, \xi_{i+1})
$$
������Ω��. ������, �¤�ź�����ϰ�
��$i_- - L_- \beta - L_- -1 \leq i \leq  i_- - L_- \beta + L_- - 1$
�Ǽ��. ���Τ褦����$\eta_i$��¸�ߤ���$xi_i$�ζ˾�����̷�⤹��. 
����̷��ˤ��, $i  = i_- - L_- \beta -1$�ޤ���$i = i_- - L_- \beta $
�ΤȤ�$\xi_i \neq a + \beta$�Ǥ��뤳�Ȥ��狼��. 

���������������뤿�����쥹�ƥåפ�$\sum H(\xi_i, \xi_{i+1})$��
���������뤳�ȤǤ���. ���β����򵭽Ҥ��뤿���, ��������ε�ˡ��
ɬ�פǤ���. �����ʲ���Ƴ�����褦.

$i = i_- - L_- \beta + L_-$���Ф���$v_- = \xi_i$�Ȥ���, 
$i = i_- - L_- \beta - L_- - 1$���Ф���$v_+ = \xi_i$�Ȥ���
(������$v_- < a + \beta - 1 < a + \beta + 1 < v_+$�Ǥ���). 
$W$��$x \in [a + \beta - 1, a + \beta]$�ν���Ǥ��ä�, 
$H(x,x)=0$���������Ȥ���. 
($H$������ˤ��, $\min_{x \in {\bf R}}H(x,x) = 0$������Ω��.)
${\bf R} \backslash W$�γ�ͭ����ʬ���Ф���, 
$x^J = (\ldots, x_i^J, \ldots)$�ϲ�ž����$0-$��($H$��)�˾����֤�
���ä�, ���Τ����$J$�˴ޤޤ���ΤȤ���. Aubry���� (2��ǵ�������)
�ˤ��, ���Τ褦�����֤�¸�ߤ�, $i \rightarrow -\infty$�ΤȤ�
$x_i^J \rightarrow J_+$��������, $i \rightarrow +\infty$�ΤȤ�
$x_i^J \rightarrow J_-$��������. ������, $J = (J_-, J_+)$�Ǥ���. 
$J$��Ϳ����줿�Ȥ�, ���Τ褦�����֤�2�İʾ夢�뤫�⤷��ʤ�. 
����ɤ�, ��$J$���Ф��ƤҤȤĤ������Τ褦������
$(\ldots, x_i^J, \ldots)$������. $w_-$��$w_+$��$W$�κǾ�����Ӻ���
���ǤȤ���. $v_- < a + \beta - 1 < w_- < a + \beta < w_+ < a + \beta + 
1 < v_+$�Ǥ��뤳�Ȥ����դ���. 
$(x_i^-)_{i \leq 0}$�ϼ��ξ������������֤Ǥ���Ȥ���. ���ʤ��, 
(a) $x_0^- = v_-$; (b) $i \leq -1$���Ф���
$x_i^- \in [a + \beta - 1, a + \beta]$; (c) $i \rightarrow -\infty$��
�Ȥ�$x_i^- \rightarrow w_-$. �����, $( \ldots, x_i^-, \ldots, x_0^-)$
�Ͼ嵭3������������($H$��)�˾����֤Ǥ���Ȳ��ꤹ��. Ʊ�ͤ�, 
$(x_i^+)_{i \geq 0}$�ϼ��ξ������������֤Ǥ���Ȥ���. ���ʤ��, 
(a) $x_0^+ = v_+$; (b) $i \geq -1$���Ф���
$x_i^- \in [a + \beta, a + \beta + 1]$; (c) $i \rightarrow +\infty$��
�Ȥ�$x_i^+ \rightarrow w_+$. �����, $( \ldots, x_0^+, \ldots, x_i^+)$
�Ͼ嵭3������������($H$��)�˾����֤Ǥ���Ȳ��ꤹ��. 

${\bf R} \backslash W$�γ�ͭ����ʬ$J$���Ф���, 
$D_J = \sum_{i = -\infty}^{\infty} H(x_i^J, x_{i+1}^J)$�Ȥ���.
$D_+ = \sum_{i = 0}^{\infty} H(x_i^+, x_{i+1}^+)$�����
$D_- = \sum_{-\infty}^{-1} H(x_i^-, x_{i+1}^-)$�Ȥ���.
��(8.1)��(8.2)����Ӥ��������֤�(H���Ф���, �ޤ�$x^-$�����$x^+$��
����Ŭ���ʶ��������Ф���)�˾��Ǥ��뤳�Ȥ��, �������¤�
���м�«�Ǥ��ä�
$$ \begin{array}{l}
  D_J \geq \displaystyle \int_J \partial_2 H(y,y+) dy, \\
  D_+ \geq \displaystyle \int_{w_+}^{v_+} \partial_2 H(y,y+) dy, \\
  D_- \geq \displaystyle \int_{v_-}^{w_-} \partial_2 H(y,y+) dy, \\
   \end{array}
$$
�����������. ������, ��(8.2)�������軰���¤�����̤�����Ǥ��뤳�Ȥ�
���Ѥ���. 

$D = D_- + \sum_J D_J + D_+$�Ȥ���. ������, ${\bf R}$���$W$���佸��
��ͭ����ʬ$J$�Τ��٤Ƥˤ錄�ä��¤���. �����¤ϼ�(8.2)���, ��Ϥ�
���м�«�Ǥ���. ���ξ�, ����$x_-, x_+$, �����$x_J$�ζ˾�������Ӽ�
(8.1), (8.2)���, 
$$
  D < \sum_{i=m}^{n-1} H(\zeta_i, \zeta_{i+1})
$$
��Ǥ�դ���$\zeta_m, \ldots, \zeta_n$���Ф�������Ω��. ������, ü�ι��
$\zeta_m = v_+$, $\zeta_n = v_-$��������, $m < i < n$���Ф��Ƥ�
$\zeta_i \in [a + \beta - 1, a + \beta + 1]$��������. ���ξ�, 
$\zeta_i = a + \beta$��$m$��$n$�δ֤�$i$�����������ʤ�
$$
  D + P_{0-}^H (a) < \sum_{i=m}^{n-1}  H(\zeta_i, \zeta_{i+1})
$$
������Ω��. �����, ����$x_-, x_+$, �����$x_J$�ζ˾�������Ӽ�
(8.1), (8.2), �����$v_+ > a + \beta + 1$����$v_- < a + \beta - 1$
�Ǥ��뤳�Ȥ���Ф�. �Ȥ���, 
$$
  D + P_{0-}^H (a) < \sum_{i=m}^{n-1}  H(\xi_i, \xi_{i+1})
$$
������Ω��. �������¤�
$i_- - L_- \beta - L_- - 1 \leq i \leq i_- - L_- \beta + L_- - 1$��
�錄�äƼ��. ���������ʳ�����λ����. 

��$\eta_i$�ι��ۤ�Ϥ�褦. ü��ź�� 
(���ʤ��, $i = i_- - L_- \beta - L_- - 1$��$i = i_- - L_- \beta + L_-$)
�Ȥ���$\eta_i = \xi_i$�Ȥ���. $\eta_i$��ñĴ��������Ǥ��ä�, 
$$
  V = W \cup \bigcup_J \{ x_i^J \}_{i \in {\bf Z}} \cup 
\{ x_i^- \}_{i \leq 0} \cup \{ x_i^+ \}_{i \geq 0}, 
$$
����ʬ����Ȥ�������. ������$J$��${\bf R} \backslash W$����ͭ����ʬ
�ξ������. ���ΤȤ�, ��(8.2)���, 
$$
  D < \sum  H(\eta_i, \eta_{i+1}) < D + \Delta D, 
$$
������Ω��. ������,
$$
  \Delta D = \sum_E \mu_H (\Delta_i) , 
$$
�Ǥ���. $\Delta_i$�ϻ��ѷ�
$\{ (y,z): \eta_{i+1} \leq z \leq y \leq \eta_i\}$�Ǥ���, �¤�
$i_- - L_- \beta - L_- - 1 \leq i \leq i_- - L_- \beta + L_-$��
����, �����Ⳬ���$\eta_{i+1}, \eta_i$��$V$�����Ǥ�ޤ�褦��$i$��
����$E$��Ǽ��. 

������, �������$\eta_i$�������$\Delta D < P_{0-}^H (a)$�Ȥʤ�褦��
���뤳�ȤǤ���. ���Τ����, [17]��������(3.2)��Ȥ�. ���ʤ��, 
�¿�$x < \xi$���Ф���
$$
 \mu_H ([x,\xi]^2) \leq (\xi - x) \nu_H^2 (x,\xi)   \leqno(8.3)
$$
�Ǥ���. ������, $\nu_H^2$��${\bf R}$��ΰ�դΥܥ��¬�٤Ǥ��ä�
$$
  \nu_H^2(y,z] = \theta (z-y) + \partial_2 h(y,y+) - 
\partial_2 h(z,z+)
$$
��������. ($\nu_H^1$�˴ط������б�������������Ȥ����Ȥ��ǽ�Ǥ���.)
Ǥ�դ�$x \in {\bf R}$���Ф���$\nu_H^2(x, x+1] = \theta$�ʤ���¤�Ȥ�.

$V \cap [a + \beta - 1, a + \beta]$��
$V \cap [a + \beta, a + \beta + 1]$�⤳���ζ�֤�����ʬ����Ǥ��ä�, 
�ɤ����$a+\beta$��ޤޤʤ�. �Ȥ����Τ�, 
$P_{0+}^H (a + \beta) = P_{0+}^H (a) > 0$������Ǥ���.
�����ν������ʬ����$V_-$��$V_+$��ʲ��Τ褦�˺��. 
$v_1$��$V \cap [a + \beta - 1, a + \beta]$�κǾ����Ȥ���. $i>1$�Ȥ���
$v_i$��ʲ��Τ褦���������. $V \cap [a + \beta - 1, a + \beta]$���
$x > v_{i-1}$��¸�ߤ���
$\mu_H ([v_{i-1},x]^2) \leq \varepsilon_-^2 \theta$�ʤ�, 
���Τ褦��$x$�κ���Τ�Τ�$v_i$�Ȥ���. 
(��$\varepsilon_-$������b���ĽҤ�ľ����������Ƥ�����.)
���Τ褦��$x$��¸�ߤ��ʤ��ʤ�, 2�Ĳ�ǽ��������. 
$x > v_{i-1}$�ʤ�$x \in V \cap [a + \beta - 1, a + \beta]$�����ä�, 
���Τ褦��$x$�κǾ��ͤ�$\mu_H([v_{i-1},x]^2) > \varepsilon_-^2 \theta$
����������, ���뤤��, $v_{i-1}$��$x \in V \cap [a + \beta - 1, a + \beta]$
�κ������ǤǤ���. ���Ԥξ��, $v_i$��$x > v_{i-1}$�ʤ�Ǿ���
$x \in V \cap [a + \beta - 1, a + \beta]$�Ȥ���. ��Ԥξ��, 
�ץ�������λ����, $V_-$�򽸹�$\{ v_1, \ldots, v_{i-1} \}$���������.
$[a + \beta, a + \beta + 1]$����ʬ����$V_+$��Ʊ�ͤ��������. 

$e$��$V_-$������Ǥο��Ǥ���Ȥ���. ������$V_- = \{ v_1, \ldots, v_e \}$
�Ǥ���. ��(8.3)����$ v_1, \ldots, v_e$�ι���ˡ���, 
$$
 (v_{2i+1} - v_{2i-1})  (\nu_H^2 (v_{2i-1}, v_{2i+1}]/\theta) 
\geq \mu_H ([v_{2i-1},v_{2i+1}]^2)/\theta > \varepsilon_-^2 
$$
�Ǥ���. �������ä�, 
$$
  (v_{2i+1} - v_{2i-1} + \nu_H^2 (v_{2i-1}, v_{2i+1}]/\theta )^2 \geq 
4(v_{2i+1} - v_{2i}) (\nu_H^2 (v_{2i-1},v_{2i+1}]/\theta) > 4
 \varepsilon_-^2 . 
$$
������, 
$$
 (v_{2i+1} - v_{2i-1}) +  \nu_H^2 (v_{2i-1}, v_{2i+1}]/\theta) 
> 2 \varepsilon_- .
$$
������Ω��. �ɤ�$x \in {\bf R}$���Ф��Ƥ�$\nu_H^2 (x, x+1] = \theta$
�Ǥ���, $v_1< \cdots < v_e < v_1 + 1$�Ǥ��뤫��, �Ǹ�����������, 
$V_-$������Ǥο�$e$��$\leq 2[\varepsilon_-^{-1}] + 1 = L_-^0 < L_-$
�Ǥ���. Ʊ�ͤ�, $V_+$�Ϲ⡹$L_-$�Ĥ����Ǥ����.

$x_-$��$[a + \beta - 1, a + \beta]$�����ǤǤ��ä�, $H(x_-, x_-) = 0$��
�������Ȥ���. $x_+$��$[a + \beta, a + \beta + 1]$�����ǤǤ��ä�, 
$H(x_+, x_+) = 0$���������Ȥ���. $x_-$ (�ޤ���$x_+$) ��$V_-$ (�ޤ���
$V_+$)�κǾ��Ⱥ������Ǥδ֤ˤ���. �Ȥ����Τ�, 
$V \cap [a + \beta - 1, a + \beta]$ (�ޤ���
$V \cap [a + \beta, a + \beta + 1]$) �ˤϺǾ����ǤȺ������Ǥ�����, 
 $x_-$ (�ޤ���$x_+$) �Ϥ��ν�������Ǥ�����Ǥ���. 

����, ��$\eta_i$�ι��ۤ��������褦. $i_- - L_-\beta - L_- \leq i < i_-
- L_- \beta$���Ф���$\eta_i$��$V_+$�Υ��С��Ȥ���. ���줾����٤���
������ (?) �ä���, $x_+$�Ϥ��������˹����ʲ������������. �����
��������Ǥο���$L_-$��°���뤳�Ȥ��������� (???)
Ʊ�ͤ�, $i_- - L_-\beta \leq i < i_-- L_- \beta + L_+$���Ф���, 
$\eta_i$��$V_-$�Υ��С��Ȥ�, ���줾����٤���������Ȥ���. 
�ä���, $x_-$�Ϥ�������˹����ʲ������������. �����
��������Ǥο���$L_-$��°���뤳�Ȥ��������� (???)
���������Ǥ�ñĴ�����ý���˸����� (?).

$\Delta D = \sum_E \mu_H (\Delta_i) < 2 (2[\varepsilon_-^{-1}]+1)
\varepsilon_-^2 \theta \leq P_{0-}^H (a)/4$������Ω��. �Ǹ����������
$\varepsilon_-$���������Ф�. �ǽ���������ϰʲ��λ��¤���ε���Ǥ���.
���ʤ��, $E$���⡹$V_- \cup V_+$��Ʊ����, 
$2 (2[\varepsilon_-^{-1}]+1)$�����Ǥ���Ĥ���, �����$i \in E$��
$\mu_H([\eta_{i+1}, \eta_i]) \leq \varepsilon_-^2 \theta$���Ф뤳�ȤǤ�
��. �Ȥ����Τ�, 
$\mu_H([\eta_{i+1}, \eta_i]) \leq \varepsilon_-^2 \theta$�ʤ�, 
�����$(\eta_{i+1}, \eta_i)$��$V$�����Ǥ�ҤȤĤ�ޤޤʤ�����Ǥ���. 
�����$V_-$��$V_+$���������Ф�. 

������$\sum H(\eta_i, \eta_{i+1}) < \sum H(\xi_i, \xi_{i+1})$�Ȥʤ�,
˾���̤�̷��˻�ä�. $\Box$

\vspace{0.3cm}
$L_+^0 = 2[\varepsilon_+^{-1}] + 1$�Ȥ���. ������, $\varepsilon_+$��
������$2\varepsilon_+ + \varepsilon_+^2 = P_{0+}^H (b) / 8\theta$
�ΰ�դ����β�Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� c.} $L_+ \geq L_+^0$�ʤ�, $\xi_i \neq b + \beta$��, 
$i = i_+ + L_+ \beta - 1$ �ޤ���
$i = i_+ + L_+ \beta$�����$1 \leq \beta \leq l_+ - 1$�ΤȤ���
����Ω��. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. ���� b�ξ�����Ʊ���Ǥ���. $\Box$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� d.} �ؿ�$H(x,x)$�϶˾��ͤ���
$[\xi_{\widehat{i}}, \min (a.b)]$�ˤ�����$x = \xi_{\widehat{i}}$
�ΤȤ��˼��. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. ����$\xi_{\hat{i}} < x \leq \min (a,b)$���Ф���
$H(x,x) \leq H(\xi_{\hat{i}}, \xi_{\hat{i}})$�Ǥ���Ȥ���. ����a
�ȼ�(8.2)���
$$
   \sum H(\eta_i, \eta_{i+1}) < \sum H(\xi_i, \xi_{i+1})
$$
���Ф�. ������, �¤�ź�����ϰ�$i_- \leq i \leq i_+ - 2$�Ǽ��. 
�Ȥ����������$\xi$���˾��Ǥ���Ȥ��������̷�⤹��. $\Box$

\vspace{0.3cm}
���Τ褦�ˤ���. 
$$
  \delta = 
( \min \{ H(x,x): x \in I_{ab} \} / 2|b-a| \nu_H^2 (I_{ab}))^{1/2}
$$
������, $I_{ab}$��ü����$a$, $b$�Ȥ����Ķ�֤Ǥ���. $a<b$�ξ��, 
$K_-=1$�����$K_+ = [2\delta^{-1} + 1]$�Ȥ���. 
$b<a$�ξ��, $K_+=1$�����$K_- = [2\delta^{-1} + 1]$�Ȥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� e.} 
$H(\xi_{\widehat{i}},\xi_{\widehat{i}}) \leq \min \{ H(x,x): x \in
I_{ab} \} / 2$�Ǥ��ä�, $i_- < j < i_+$, $j-i_- \geq K_-$, ����
$i_+ - j > K_+$�Ǥ���ʤ�, $\xi_j < \min (a.b)$�Ǥ���. �Ȥ���, 
$\max (\xi_{i(0)-1}, \xi_{i(0)}) < \min (a,b)$�Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. �Ǹ���ĽҤϺǽ�Τ�Τ��������. ���������8.1������
$i_0 - i_- > K_-$�����$i_+ - i_0 > K_+$���θ����Ф褤. 

�ޤ�, �ǽ���ĽҤ��������. ����ˤ��, $i_- \leq i < i_0$���Ф���
$\xi_i \leq a$�Ǥ���,  $i_0 \leq i < i_+$���Ф���
$\xi_i \leq b$�Ǥ���. ����a���, $\xi_i$��, $i$��$i_-$����$\hat{i}$�ޤ�
����Ȥ���ñĴ�����Ǥ���,  $i$��$\hat{i}$����$i_+$�ޤ�
����Ȥ���ñĴ����Ǥ���. ���ξ�, 
$H(\xi_{\hat{i}}, \xi_{\hat{i}}) \leq \min \{ H(x,x): x \in I_{ab} \}/2$
�Ȥ�������ˤ��, $\xi_{\hat{i}} < \min (a,b)$�Ǥ���.
$ \min \{ H(x,x): x \in I_{ab} \} > 0$�Ǥ���. �Ȥ����Τ�, $a,b$��
�ɤ����$\pi(M_{F,0})$��Ʊ������$(c,c')$��°���뤫��Ǥ���, 
$\pi(M_{F,0}) = \{ x: H(x,x) = 0 \}$����(8.1)�������Ω�Ĥ���Ǥ���.

$i_- < \hat{i}$�ʤ�$\xi_{i_- + 1} < \xi_{i_-}$�Ǥ���.
�Ȥ����Τ�, �����Ǥʤ��Ȥ����, ����a���, $\xi_{i_- + 1} = \xi_{i_-}$
�Ȥʤ�, ��(8.2)������d���餹���, ��$\xi_{i_-}, \ldots, \xi_{\hat{i}}$
����$\xi_{I_- + 1}$������, ������κǸ��$\xi_{\hat{i}}$��Ĥʤ��뤳��
�ˤ��, $\sum_{i=i_-}^{\hat{i}-1}$�򸺾������뤳�Ȥ��Ǥ��Ƥ��ޤ�. 
Ʊ�ͤ�, $\hat{i} < i_+ - 1$�ʤ�$\xi_{i_+ - 2} < \xi_{i_+ - 1}$�Ǥ���.

$a<b$�ξ���ͤ���. $j - i_- \geq K_- = 1$�Ǥ��뤫��, $j > i_-$��
����Ω��. ������, $\hat{i} \geq j$�ʤ�, 
$\xi_j \leq \xi_{i_- + 1} < \xi_{i_-} \leq a$������Ω��. ������, 
���ξ���������������ˤ�, ��ʬ������$j > \hat{i}$��ͤ��������
��ʬ�Ǥ���, $\xi_j < a$���������Ф褤.

�ؿ�$i$��$j \leq i < i_+ - 2$��������, $a \leq \xi_i$�ξ���ͤ���.
��(8.2)���, 
$$
  H(\xi_i, \xi_{i+1}) +  H(\xi_{i+1}, \xi_{i+2}) - H(\xi_i, \xi_{i+2})
\geq  H(\xi_{i+1}, \xi_{i+1}) - \mu_H (\Delta)
$$
������Ω��. ������, 
$\Delta = \{ (y,z): \xi_i \leq y \leq z \leq \xi_{i+2}\}$�Ǥ���. ������
(8.3) ���, 
$$
  \mu_H (\Delta) \leq (\xi_{i+2} - \xi_i) \nu_H^2 (\xi_i, \xi_{i+2}) 
$$
������Ω��. ������, $\xi_{i+1}$����
$\xi_{\hat{i}}, \ldots, \xi_{i_+ - 1}$��������,  
�����Ƭ��$\xi_{\hat{i}}$��second instance��Ҥ��뤳�Ȥθ��̤�
�ͻ�����. ��(8.2), �����������
$H(\xi_{\hat{i}}, \xi_{\hat{i}}) \leq \min \{ H(x,x): x \in I_{ab} \}/2$
�Ⱦ嵭�κǸ��2�Ĥ����������餹���, �������ˤ��, 
��$\sum_{i=\hat{i}}^{i_+ - 2} H(\xi_i, \xi_{i+1})$�ϸ�������. ������, 
$(\xi_{i+2} - \xi_i) \nu_H^2(\xi_i, \xi_{i+2}) < \min 
\{ H(x,x): x \in I_{ab} \}/2$�Ȥ���. ��ä�, $\xi$�ζ˾������, 
$$
  (\xi_{i+2} - \xi_i) \nu_H^2 (\xi_i, \xi_{i+2}) \geq 
\min \{ H(x,x): x \in I_{ab} \} / 2, 
$$
�������Ǥ���. ������, $i_0 \leq i < i_+ - 2$�����$a \leq \xi_i$
�Ǥ���. �������ä�, 
$$
\displaystyle 
\left( \frac{\xi_{i+2} - \xi_i}{b-a} + 
 \frac{\nu_H^2 (\xi_I, \xi_{i+2})}{\nu_H^2(a,b)} \right)^2 
\geq \displaystyle 
\frac{2\min \{ H(x,x): x \in I_{ab} \}}{(b-a) \nu_H^2(a,b)}
$$
�Ǥ���. �������ä�, 
$$
\displaystyle 
 \sum \left( \frac{\xi_{i+2} - \xi_i}{b-a} + 
 \frac{\nu_H^2 (\xi_I, \xi_{i+2})}{\nu_H^2(a,b)} \right) 
\geq \displaystyle 2 e \delta 
$$
������Ω��. ������, $e$���¤���ι���Ǥ���. �������ä�, 
$e > \delta^{-1}$�ʤ�
$$ \begin{array}{lcl}
  \sum \xi_{i+2} - \xi_i > b - a & {\rm or} & 
\sum \nu_H^2 (\xi_i, \xi_{i+2}) > \nu_H^2 (a,b)
   \end{array}
$$
������Ω��. $\xi_j \leq \ldots \leq \xi_{i_+ - 1} \leq b$�Ǥ��뤳�Ȥ�
��θ�����, $i_+ - 1 - j > 2 delta^{-1}$�ʤ�$\xi_j < a$�Ǥ��뤳�Ȥ�
�狼��. 

���줬$a < b$�ξ����������줿��̤Ǥ���. $b < a$�ξ���Ʊ���褦��
�������Ȥ��Ǥ���. $\Box$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� f.} $(i_+ - i_-) H(\xi_{\widehat{i}}, \xi_{\widehat{i}}) 
\leq 2\theta.$

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $i = i_- - 1$�����$i = i_+$�ΤȤ���$\eta_i = \xi_i$
�Ǥ���Ȥ�, $i_- \leq i \leq i_+ - 1$�ΤȤ�$\eta_i = c$�Ȥ���.
���ΤȤ�
$$
 0 \leq \sum_{i_-}^{i_+} (H(\eta_{i-1}, \eta_i) - H(\xi_{i-1}, \xi_i)) 
\leq 2\theta - (i_+ - i_-) H(\xi_{\widehat{i}},\xi_{\widehat{i}})
$$
�Ǥ���. �ǽ������������$\xi_i$��${\cal J}$�˾��Ǥ���Ȥ�������ε����
����. ������������ϼ�(8.2), ����d�����������(8.3)��, Ǥ�դ�
$x \in {\bf R}$���Ф���$\nu_H^2(x, x+1] = \theta$�Ȥ������¤���Ǥ�.

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� g.} �ɤ�$\varepsilon>0$���Ф��Ƥ�, ������$K$�����ä�, 
$i_+ - i_- > K + K_+ + K_-$�ʤ�
$\mu_H ( (c,\xi_{\widehat{i}})^2) < \varepsilon$�Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $y \downarrow c$�ΤȤ�$\mu_H(c,y)^2 \rightarrow 0$
�Ǥ��뤫��, �ɤ�$\delta >0$���Ф��Ƥ�������$K$��¸�ߤ���, 
$i_+ - i_- > K + K_+ + K_-$�Ф��$\xi_{\hat{i}} - c < \delta$������Ω��
���Ȥ��������н�ʬ�Ǥ���. ���ξ�, $H(c,c) = 0$, �ޤ�$c < y c'$�ΤȤ�
$H(y,y) > 0$�Ǥ��ä�$H$��Ϣ³�Ǥ��뤫��, �ɤ�$\eta>0$���Ф��Ƥ�
������$K$��¸�ߤ���, $i_+ - i_- > K + K_+ + K_-$�Ф��
$H(\xi_{\hat{i}},\xi_{\hat{i}}) < \eta$������Ω�Ĥ��Ȥ���������
��ʬ�Ǥ���. ���������f����Ф�. $\Box$


\vspace{0.3cm}
$K$��$H, c, a$, �����$b$�˰�¸���뤳�Ȥ����դ���. ����ϼ��Τդ��Ĥ�
����Ǥ�Ʊ���Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� h.} ������$K$�����ä�, $i_+ - i_- > K + K_+ + K_-$�ʤ�, 
$\xi_j \neq a$��$j = i_-$�ޤ���$j = i_- - 1$�ΤȤ�������Ω��. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. �ޤ�$j = i_- - 1$�ξ���ͤ���. Aubry�����ˤ��, 
��ž����$0-$�ζ˾�����$(\ldots, \eta_i, \ldots)$�����ä�, 
$i \rightarrow -\infty$�ΤȤ�$\eta_i \rightarrow c'$����
$i \rightarrow \infty$�ΤȤ�$\eta_ib \rightarrow c$��������.
$\eta_{i_-} < a < \eta_{i_- - 1}$�Ȥʤ�褦��ź�������֤��Ȥ��Ǥ���.

���ΤȤ�$j = i_- - L_- - 1$�ޤ���$j = i_+$�ΤȤ�$\eta_j < \xi_i$�Ǥ���. 
�����, $\xi$��${\cal J}$���֤Ǥ��뤳�Ȥˤ��.
�������ä�, $j = i_- - L_- - 1  \leq j \leq i_+$�ΤȤ�$\eta_j < \xi_j$
�Ǥ���. �����Aubry�ιव��������̤��ѷ�����, ���֤ΤҤȤĤ��˾��Ǥ���, 
�⤦�ҤȤĤ�${\cal J}$�˾��Ǥ������Ŭ�Ѥ���Ф褤.
�Ȥ���$a < \eta_{i_- - 1} < \xi_{i_-} - 1$�Ǥ���. 

���ˤ�äȺ���ʾ��$j = i_-$��ͤ���. $\xi_{i_-} = a$�Ȳ��ꤷ, ̷���
Ƴ��. ���ʤ��, ��$\eta_i$��, ź��$i$��$i_- - L_- - 1$����
$i_+ + L_+$�ޤ������Τ����ä�, $i$��ü���ΤҤȤĤΤȤ�
(�Ĥޤ�, $i = i_- - L_- - 1$�ޤ���$i = i_+ + L_+$) $\eta_i = \xi_i$��
����, $\eta_i \in J_i$�Ǥ���, �ޤ�
$$
  \sum H(\eta_i, \eta_{i+1}) < \sum H(\xi_i, \xi_{i+1})
$$
��������. �������¤�ξ����ź�����ϰ�
$i_- - L_- - 1  \leq i \leq i_+ + L_+$��ư��. 

������������������뤿��κǽ�Υ��ƥåפ�, $\sum H(\xi_i, \xi_{i+1})$
�β��������뤳�ȤǤ���. ���Τ���˼��Τ褦�ʵ�ˡ��ɬ�פǤ���. 

$i  = i_- - L_- - 1$�ΤȤ�$v_- = \xi_i$�Ȥ���, $i = i_+ + L_+$�ΤȤ�
$v_+ = \xi_i$�Ȥ���. $A$�ϼ�$H(x,x) = 0$��������
$x \in {\bf R} \backslash A$�ν���Ȥ���. ${\bf R} \backslash A$��
��ͭ����ʬ���Ф�, $x_-^J = (\ldots, x_{i_-}^J, \ldots)$��
$x_+^J = (\ldots, x_{i_+}^J, \ldots)$�Ϥ��줾���ž����$0-$��$0+$��
($H$��)�˾����֤Ǥ��ä�, ���$J$�˴����˴ޤޤ���ΤȤ���. 
$w_-$ (�ޤ���$w_+$) ��$[c,a+1] \cap A$ (�ޤ���$[c,b+1] \cap A$)
�κ������ǤȤ���. $w_- < a+1 \leq v_-$�����$w_+ < b+1 \leq v_+$
�����դ���. $x^- = (x_i^-)_{i \geq 0}$�����֤Ǥ��ä�, ���ξ���������
�Ȥ���. (a) $x_0^- = v_-$, (b) $i \geq 1$�ΤȤ�$x_i^- \in [c, a+1]$, 
(c) $i \rightarrow +\infty$�ΤȤ�$x_i^- \rightarrow w_-$. �ä���, 
������3�Ĥξ������������֤ν�������, $x^-$�϶˾��Ǥ���Ȥ���.
$x^+ = (x_i^+)_{i \leq 0}$�����֤Ǥ��ä�, ���ξ���������
�Ȥ���. (a) $x_0^+ = v_+$, (b) $i \geq 1$�ΤȤ�$x_i^+ \in [c, b+1]$, 
(c) $i \rightarrow -\infty$�ΤȤ�$x_i^+ \rightarrow w_+$. �ä���, 
������3�Ĥξ������������֤ν�������, $x^+$�϶˾��Ǥ���Ȥ���.

${\bf R} \backslash A$�γ�$J$���Ф���, 
$D_{J\pm} = \sum_{i=-\infty}^{\infty} H(x_{i\pm}^J,x_{i+1\pm})^J $
�Ȥ���. ���Τ褦�ˤ���. 
$$
  D_- = \sum_{i=0}^{\infty} H(x_i^-, x_{i+1}^-) + \sum_J D_{J-} , 
$$
������$J$��$[c,a+1]$�˴ޤޤ��${\bf R} \backslash A$����ʬ���٤Ƥξ��
ư��. �ޤ����Τ褦�ˤ���. 
$$
  D_+ = \sum_{i=-\infty}^{-1} H(x_i^+, x_{i+1}^+) + \sum_J D_{J+} , 
$$
������$J$��$[c,b+1]$�˴ޤޤ��${\bf R} \backslash A$����ʬ���٤Ƥξ��
ư��. ����b�ξ�����Ʊ�������, ��(8.1), (8.2)�����$x_{\pm}^J$oto
$x^{\pm}$�ζ˾������, �������¤����٤����м�«�Ǥ��뤳�Ȥ��Ф�. 

$D = D_+ + D_-$�Ȥ���. (8.2)���, 
$$
 \sum_{i_- - L_-}^{i_+ + L_+} H(\xi_{i-1}, \xi_i) > D - 
\mu_H( (c, \xi_{\widehat{i}})^2)
$$
���Ф�. ���ξ�, $\xi_{i_-} = a$�Ȥ�������ˤ��, ��ä�¿���Τ��Ȥ�
������. ���ʤ��, 
$$
 \sum_{i_- - L_-}^{i_+ + L_+} H(\xi_{i-1}, \xi_i) > D + 
P_{0-}^H (a) - \mu_H( (c, \xi_{\widehat{i}})^2)
$$
������Ω��. �������쥹�ƥåפ���λ����. ���줬�������줿
$\sum H(\xi_i, xi_{i+1})$�β����Ǥ���. 

������$\eta_i$�ι��ۤ�Ϥ�褦. 
$i = i_- - L_- - 1, \ldots, i_- + L_- - 1$���Ф���$\eta_i$�������
ñĴ��������Ǥ��ä�
$$
 V_- = (A \cap [c, a+1]) \cup \{ x_i^- \}_{i \geq 0} \cup 
\bigcup_J \{ x_{i-}^J \}_{i \in {\bf Z}}
$$
����ʬ����Ȥʤ�褦������. ������, $J$��$[c, a+1]$���
${\bf R} \backslash A$����ʬ�ξ�򤹤٤�ư��. ������κǽ��
���С���$v_-$�Ȥ�, �Ǹ�Υ��С���$c$�Ȥ���. 
$i = i_+ - L_-, \ldots, i_+ + L_+ $���Ф���$\eta_i$�������
ñĴ�󸺾���Ǥ��ä�
$$
 V_+ = (A \cap [c, b+1]) \cup \{ x_i^+ \}_{i \leq 0} \cup 
\bigcup_J \{ x_{i+}^J \}_{i \in {\bf Z}}
$$
����ʬ����Ȥʤ�褦������. ������, $J$��$[c, b+1]$���
${\bf R} \backslash A$����ʬ�ξ�򤹤٤�ư��.  ������κǽ��
���С���$c$�Ȥ�, �Ǹ�Υ��С���$v_+$�Ȥ���. 
$K$��ʬ�礭�������, ̿��8.1�β���$i_+ - i_- > K_- + K_+ + K$
����$i_- + L_- - 1 \leq i_+ - L_-$���Ф�褦�ˤ���. 
$i_- + L_- - 1 \leq i \leq i_+ - L_-$���Ф���$\eta_i = c$�Ȥ���. 

��������Ω��. 
$$
  D \leq \sum H(\eta_i, \eta_{i+1}) < D + \Delta D . 
$$
������,
$$
   \Delta D = \sum_E \mu_H (\Delta_i)
$$
�Ǥ���, $\Delta_i$��$\eta_{i+1} < \eta_i$�ΤȤ����ѷ�
$\{ (y,z): \eta_{i+1} \leq z \leq y \leq \eta_i \}$�Ǥ���,
$\eta_{i} < \eta_{i+1}$�ΤȤ����ѷ�
$\{ (y,z): \eta_{i} \leq y \leq z \leq \eta_{i+1} \}$�Ǥ���.
�¤�, $E = E_- \cup E_+$�ξ�Ǽ��. ������, $E_-$��
$i_- - L_- - 1 \leq i < i_- + L_- - 1$��������$i$�ν���Ǥ��ä�, 
�����$(\eta_{i+1}, \eta_i)$��$V_-$�����Ǥ�ޤ�褦�ʤ�ΤǤ���, 
$E_-$��$i_+ - L_-  \leq i < i_+ + L_+ $��������$i$�ν���Ǥ��ä�, 
�����$(\eta_{i}, \eta_{i+1})$��$V_+$�����Ǥ�ޤ�褦�ʤ�ΤǤ���


��������, �������������$\eta_i$�������
$\Delta D \leq P_{0-}^H(a) - \mu_H((c,\xi_{\hat{i}})^2)$���������褦��
���뤳�ȤǤ���. �������, ����Ϥ��줢������$\eta_i \in J_i$���������٤�
�Ǥ���.

�������, ����b���б��������������Ȥ���Ʊ���褦�ˤ���. 
(����$V, \eta_i$, ����¾������b�ξ����Τ�ΤȤϰ�̣���㤦���Ȥ����դ���.)
������, $V_- \cap [a,a+1]$����ʬ����$V_1$, 
$V_- \cap [c,a]$����ʬ����$V_2$, $V_+ \cap [c,b]$����ʬ����$V_3$, 
�����$V_+ \cap [b,b+1]$����ʬ����$V_4$�����֤Τ�, 
����b�ξ����ˤ�����$V \cap [a + \beta - 1,a + \beta]$��
$V \cap [a + \beta,a + \beta + 1]$����ʬ����$V_-$��$V_+$��������Ȥ���
Ʊ���褦�ˤ���. ����b�ξ����ǻȤä������ˤ���, �������ʬ�����
���줾���$L_-$̤�������Ǥ����. $x_-$ (�ޤ���$x_+$)��$[a,a+1]$
(�ޤ���$[b.b+1]$)�����ǤǤ��ä�$H(x_-,x_-) = 0$ (�ޤ���
$H(x_+,x_+) = 0$)�ʤ��ΤȤ���. ����b�ξ����ξ���Ʊ����ͳ�ˤ��, 
$x_-$ (�ޤ���$x_+$) ��$V_1$ (�ޤ���$V_4$)�κǾ��Ⱥ�������Ǥδ֤ˤ���. 

����, ��$\eta_i$�ι�������������. $i_- - L_- \leq i_-$���Ф���, 
$\eta_i$��$V_1$�����ǤǤ��ä�, ���줾��1�����������Ȥ���. 
�ä���, $x_-$�Ϥ���������, ��$L_-$�ˤʤ뤿��˹����ʤ����β��
������Ȥ��� (?). 
$i_- \leq i_- + L_-$���Ф���, 
$\eta_i$��$V_2$�����ǤǤ��ä�, ���줾��1�����������Ȥ���. 
�ä���, $c$�Ϥ�����ν����, ��$L_-$�ˤʤ뤿��˹����ʤ����β��
������Ȥ��� (?). 
$i_+ - L_- \leq i_+$���Ф���, 
$\eta_i$��$V_3$�����ǤǤ��ä�, ���줾��1�����������Ȥ���. 
�ä���, $c$�Ϥ�����λϤ��, ��$L_-$�ˤʤ뤿��˹����ʤ����β��
������Ȥ��� (?). 
$i_+ \leq i_+ + L_+$���Ф���, 
$\eta_i$��$V_4$�����ǤǤ��ä�, ���줾��1�����������Ȥ���. 
�ä���, $x_+$�Ϥ���������, ��$L_-$�ˤʤ뤿��˹����ʤ����β��
������Ȥ��� (?). 

����b�ξ����Ȥޤä���Ʊ���褦��, 
$$
  \Delta D \leq \sum_E \mu_H(\Delta_i) < 4 (2[\varepsilon_-^{-1}] + 1)
\varepsilon_-^2 \theta < P_{0-}^H(a) / 2
$$
������Ω��. ����������g���, 
$\sum H(\eta_i, \eta_{i+1}) < \sum H(\xi_i, \xi_{i+1})$��$K$����ʬ
�礭�����Ф�Ƥ���Ȥ�������Ω��. ������
$\mu_H ( (c, \xi)^2) < P_{0-}^H(a)/2$�Ǥ���. \hfill $\Box$


\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� i.} ������$K$�����ä�, $i_+ - i_- > K + K_+ + K_-$�ʤ�
$\xi_j \neq b$��$j = i_+$�ޤ���$i_+-1$�ΤȤ�������Ω��. 


\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. ����h��Ʊ���Ǥ���. \hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� j.} $\xi_i < a + l_-$��$i = i_- - L_- l_- + 1$�ΤȤ�������Ω��, 
$\xi_i < b + l_+$��$i = i_+ + L_+ l_+ - 2$�ΤȤ�������Ω��. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $i = i_- - L_- l_- + 1$�ξ���ͤ���. ���ΤȤ�
$\xi_{i-1} \in J_{i-1} = [a+l_- - 1, a + l_-]$�Ǥ��뤫��,
$\xi_i < \xi_{i-1} \leq a+l_-$�Ǥ���. $x \in (a+l_- - 1, a + l_-)$
��$H(x,x) = 0$���������Ȥ���. $\xi_{i-1} \leq x$�ʤ�
�������줿������������Ω��. 
$\xi_i = \xi_{i-1} > x$�ʤ�, ��$(\ldots, \xi_j, \ldots)$����$\xi_i$
��������$x$��ä��뤳�Ȥˤ��$\sum H(\xi_j, \xi_{j+1})$�򾮤���
���뤳�Ȥ��Ǥ���. ���κ�, ��������������ñĴ��������Ω�Ĥ褦��ź��
��Ĵ������. �������ˤ��$H(\xi_j, \xi_{j+1})$���������뤳�Ȥ�, 
��(8.2)���餿�����˸�����. �Ȥ����������$\xi$��${\cal J}$�˾���
���뤳�Ȥ�̷�⤹��. 

�⤦�ҤȤĤξ���Ʊ���褦�˰�����.  \hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{̿��8.1�ξ���}. ̿��a, b, c, h, i, �����j���餿�����˽Ф�. 
$\Box$


\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf 9. ��ä������}
\end{center}

�¿����Ȥδ֤ΰʲ��Τ褦�ʴط���ͤ���. 
$(\omega,a) \rightarrow (\omega',a')$�Ǥ���Ȥ�, ������$K_{-1},K,K_1$
�����ä�, �ʲ�������Ω�ĤȤ��Ǥ���. ���ʤ��, 
$x^- = (\ldots, x_i^-, \ldots)$��$x^+ = (\ldots, x_i^+, \ldots)$
���˾����֤Ǥ��ä�, ��ž��$\rho(x^-) = \omega$�����
$\rho(x^+) = \omega'$�����. �ޤ�, 
${\cal J}^{\pm} = (\ldots, J_i^{\pm}, \ldots)$��
$J_i^{\pm} = [a_i^{\pm}, a_i^{\pm}+1]$�ˤ�ä���������. ������, 
$a_i^- - a \in {\bf Z}$, $a_i^+ - a' \in {\bf Z}$�����
$x_i^{\pm} \in [a_i^{\pm}, a_i^{\pm}+1]$�Ǥ���. 
�����, $i_{-2}, i_{-1}, i_1, i_2 \in \{ -\infty \} \cup {\bf Z} \cup 
\{ + \infty \}$��
$$ 
 i_{-2} + K_{-1} < i_{-1} < i_{-1} + K < i_1 < i_1 + K_1 < i_2 
$$
���������Ȥ�, ����$l$���Ķ�֤���$J_{i(-2)}^*, \ldots, J_{i(2)}^*$
�����ä�
$$ \begin{array}{lcllcl}
 J_i^* = J_i^-, & {\rm for} & i_{-2} \leq i \leq i_{-1}, & 
 J_i^* = J_i^+ + l, & {\rm for} & i_{1} \leq i \leq i_{2},  
   \end{array}
$$
��������, �ޤ�, $x = (x_{i(-2)}, \ldots, x_{i(2)})$��
$i_{-2} \leq i \leq i_2$���Ф���$x_i \in J_i^*$�����������֤�Ǥ�դ�
��ʬ�Ǥ��ä�, �ޤ�$x$��${\cal J}^*$�˾��Ǥ���Ȥ�, 
$i_{-2} + K_{-1} \leq i \leq i_2 - K_1$���Ф���
$x_i \in {\rm int} J_i^*$�Ǥ���. 

����äݤ�������, ��ž��$\omega$�����ž��$\omega'$�ؤȡֶ��Ū�ˡ�
(���Ҥ�)���ܤ�${\cal J}$�˾���ƻ������. ���κ�, $a$��$a'$��, ���줾��
��«����������֤�ü����������Ǥ���. ��֤˰ܤ뤿��ν�������
$i_{-1} \leq i \leq i_1$������. 


���餫��, ���δط��Ͽ��Ū�Ǥ���. ���ʤ��, 
$(\omega, a) \rightarrow (\omega',a')$����
$(\omega', a') \rightarrow (\omega'',a'')$�ʤ�
$(\omega, a) \rightarrow (\omega'',a'')$�Ǥ���.

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 9.1.} �¿�$\omega, \omega', a$��ͤ���. $\Omega$��ü����
$\omega$�����$\omega'$�Ȥ����Ķ�֤Ǥ���Ȥ���. $P>0$�����ä�, 
$P_{\lambda}(a) > P$�����٤Ƥ�$\lambda \in \Omega$���Ф�������Ω�ĤȤ���. 
$p/q \in \Omega$��ͭ�����Ǥ��äƴ���Ǥ���Ȥ���$q > 2\theta/P$�Ǥ����
����. ���ΤȤ�, $(\omega, a) \rightarrow (\omega',a)$�Ǥ���. 


\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ����.} �����$\omega$��$\omega'$�˴ؤ����оΤǤ���. �����餳������
����, $(\omega', a) \rightarrow (\omega,a)$�Ǥ���.

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $x^-$��$x^+$�Ϥ��줾���ž��$\omega$��$\omega'$��
�˾����֤Ǥ���Ȥ���. 
${\cal J}^{\pm} = (\ldots, J_i^{\pm}, \ldots)$�Ͼ��Ʊ��, $x^{\pm}$��
$a$��Ȥä���������Ȥ���. ������, 
$J_i^{\pm} = [a^{\pm}, a^{\pm}+1]$�Ǥ���. ������, 
$n_i^{\pm} = a_i^{\pm} - a_i$������, �ޤ�
$x_i^{\pm} \in (a^{\pm}, a^{\pm}+1)$�Ǥ���. 

$\varepsilon = P/2\theta$�Ȥ���. ����������ʳ��Ǥ�, ������$K$��
$x^-$��$x^+$�˰ͤ�ʤ���Τ�����$l$��¸�ߤ��뤳��, �ޤ�
$i_{-1} + K < i_1$���Ф���, $\varepsilon$��«���줿��
$(\ldots, n_i, \ldots)$�����ä�, $i \leq i_{-1}$�ΤȤ�$n_i = n_i^-$  
�Ǥ���, $i \geq i_{1}$�ΤȤ�$n_i = n_i^+ + l$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤�. 

̿��7.4����Ԥ�������ˤ�ä�, �ɤ�����Ф������狼��. �º�, 
$p/q$��$\Omega$���ͭ�����ΤȤ�$q > 2\theta/P$�Ȥ��������, 
$\Omega$���⤵$\varepsilon^{-1}$�Υե����쥤��֤˴ޤޤ�뤳�Ȥ�
��̣����. �����, 7��Ǿ������줿���Ѥ�
$K(\lambda, \varepsilon) \leq 2/\Delta_{\varepsilon}(\lambda)$
����, $L \geq 0$�����ä�, ���٤Ƥ�$\lambda \in \Omega$���Ф���
$K(\lambda, \varepsilon) \leq L$�Ǥ��뤳�Ȥ��Ф�. ����7.3���, 
$n = (\ldots, n_i, \ldots)$��$\varepsilon$��«�Ǥ���Τ�
$n_i = [\lambda_i]$, $\lambda_{i+1} - \lambda_i = r_i$�Ǥ��ä�, 
��$(\ldots, r_i, \ldots)$�����Τ褦����������ĤȤ��Ǥ���. ���ʤ��, 
��$i \in {\bf Z}$���Ф���, $r_{i-L}, \ldots, r_{i+L}$�����٤�
�⤵$2L$��Ʊ���ե����쥤��֤����äƤ���Ȥ��������Ǥ���. 
̿��7.4����Ԥ��Ƥ��Τ褦����򼨤��� (?). ���Τ褦��
$\varepsilon$�����������ˡ���餹���, $i_{-1} + K < i_i$��
�Ф���, $\varepsilon$��«��$(\ldots, n_i, \ldots)$��, 
$i \leq i_{-1}$�ΤȤ�$n_i = n_i^-$, $i \geq i_1$�ΤȤ�
$n_i = n_i^+ + l$�ʤ��Τ��Ѱդ���Τϴ�ñ�Ǥ���. 

 $i_{-2} \leq i \leq i_2$���Ф���$J_i^* = [a_i^*, a_i^* + 1]$�Ȥ���. 
������, $a_i^* = n_i + a$�Ǥ���. �ޤ�$i_{-2}, i_2$�������Ǥ��ä�, 
$i_{-2} \leq i_{-1}$�����$i_1 \leq i_2$��������. ̿��6.1���, 
������$K_{-1}, K_1$�����ä�, $i_{-2} + K_{-1} \leq i_{-1}$����
$i_1 + K_1 \leq i_2$�ʤ�, Ǥ�դι�«${\cal J} = (\ldots, J_i, \ldots)$
��$i_{-2} \leq i \leq i_2$���Ф���$J_i = J_i^*$�����������, �ޤ�
Ǥ�դ�${\cal J}$�˾�����$x$���Ф���, 
$x_i \in {\rm int}~J_i$, $i_{-2} + K_{-1} \leq i \leq i_2 - K_1$
������Ω��. �¤�, ̿��6.1�ξ����ˤ���, ���η��������뤿��ˤ�, 
$x = (x_{i(-2)}, \ldots, x_{i(2)})$��${\cal J}^*$�˾��Ǥ��뤳�Ȥ��ꤹ��
�����ǽ�ʬ�Ǥ��ä�. ������, ${\cal J}^*$������
$(J_{i(-2)}^*, \ldots, J_{i(2)}^*)$�Τ��ȤǤ���. 
���줬��᤿��̤Ǥ���. \hfill $\Box$


\vspace{0.3cm}
����9.3�ξ����ˤ�����, ����9.1�򾯤����᤿���η�̤�ɬ�פǤ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf Addendum.} �͡�������򼡤Τ褦�˹Ԥʤ�. ���ʤ��, (�嵭�������Ѹ�
��Ȥä�) $\omega < \omega'$�ʤ�, $(\ldots, n_i - n_i^-, \ldots)$��
$(\ldots, n_i^+ - n_i, \ldots)$���󸺾���Ǥ���. $\omega' < \omega$
�ʤ�, �������󤬤���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. ��ñ�ˤ狼��褦��, $\varepsilon$��
$(\ldots, n_i, \ldots)$��������嵭�Τ������, ��������������Ω�Ĥ褦
�ˤ��뤳�Ȥ���ǽ�Ǥ���. \hfill $\Box$ 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 9.2.} $\omega$��̵�����Ǥ��ä�, $a,b \in {\bf R}$, �ޤ�
$P_{\omega}(a)$��$P_{\omega}(b)$�����ΤȤ�, 
$(\omega, a) \rightarrow (\omega,b)$�Ǥ���.

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. ̿��6.2�ξ������餷������. $\Box$


\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 9.3.} $p/q$��ͭ�����Ǥ���, $a$��$b$��$\pi(M_{f,p/q})$��
Ʊ�����֤����äƤ���Ȥ�, $P_{p/q-}(a) > 0$��
$P_{p/q+}(b) > 0$�����������Ȥ���. ���ΤȤ�, $\varepsilon>0$�����ä�, 
$p/q-\varepsilon < \omega_- < p/q < \omega_+ < p/q + \varepsilon$��
�������ʤ�, $(\omega_-, a) \rightarrow (\omega_+,b)$����
$(\omega_+, b) \rightarrow (\omega_-,a)$�Ǥ���.

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $(\omega_-, a) \rightarrow (\omega_+,b)$���������. 
�ۤ��Υ�������Ʊ�ͤǤ���.

[17, ����2.2]�ˤ�����, ���Τ褦�ʸ��Ѥ��Ԥʤä�. ���ʤ��, 
$|P_{p/q+}(\xi) - P_{\omega}(\xi)| \leq C \theta |\omega q - p|$
��
$|P_{p/q-}(\xi) - P_{\omega}(\xi)| \leq C \theta |\omega q - p|$
. ������, $C$�Ϥ��٤Ƥ�����Ω�Ǥ���. ���θ��Ѥ꤫��, 
$\varepsilon$, $P>0$��¸�ߤ���, 
$(p/q) - \varepsilon < \omega'_- < p/q < \omega'_+ < (p/q) + 
\varepsilon$�ʤ�, $P_{\omega'_-}(a) > P$����
$P_{\omega'_+}(b) > P$�Ǥ���. 
$\varepsilon > 0$�Ͻ�ʬ����������Ǥ���Τ�, 
$(p/q) - \varepsilon < p'/q' < p/q < (p/q) + \varepsilon$����
$p'/q' \neq p/q$�ʤ�$q'> 2\theta/P$������Ω�ĤȤ���. ���ΤȤ�, 
����9.1���, 
$(\omega'_-, a) \rightarrow (\omega''_-,a)$����
$(\omega'_+, b) \rightarrow (\omega''_+,a)$��
$(p/q) - \varepsilon < \omega'_-$, 
$\omega''_- < p/q < \omega'_+$, $\omega''_+ < p/q + \varepsilon$
�ΤȤ�����Ω��.

̿��8.1��������������뤳�Ȥ����դ��褦. �Ȥ����Τ�, 
$M_{f,p/q} = M_{F,0}$,
$P_{p/q-} (a) = P_{p/q-}^h(a) = P_{0-}^H(a)$, �����
$P_{p/q+} (b) = P_{p/q+}^h(b) = P_{0+}^H(b)$������Ǥ���. 
���ξ�����Ǥ�, ̿��8.1�ε�ˡ��Ȥ�. �ޤ�, $\omega_-$, 
$\omega_+$������9.3����������������ꤷ�����Ǥ���Ȥ���. 
$L_{\pm}$�������Ǥ��ä�, ̿��8.1�ξ��
$L_{\pm} \geq L_{\pm}^0$�ʳ���$\omega_- < p/q - 1/qL_-$�����
$\omega_+ > p/q + 1/qL_+$���������Ȥ���.
�ܾ����Ǥ�, ̿��8.1������$l_-$��$l_+$�Ͻ�ʬ�礭����äƤ���. 
�����礭����ɤ�ۤɤˤ��٤�����, �����β�������������. 
���Τ褦�ˤ���.
$$ \begin{array}{lclcl}
 \widehat{J}_i^- = [a + \beta - 1, a + \beta] , & {\rm if} & 
i_- - L_- \beta \leq i < i_- - L_- \beta + L_- & {\rm and} & 
\beta \in {\bf Z} \\
 \widehat{J}_i^+ = [b + \beta - 1, b + \beta] , & {\rm if} & 
i_+ + L_+ \beta - L_+ \leq i < i_+ + L_+ \beta  & {\rm and} & 
\beta \in {\bf Z}
   \end{array}
$$
$\widehat{\cal J}^{\pm} = (\ldots, \widehat{J}^{\pm}, \ldots)$
�Ȥ���. $\xi^{\pm} = (\ldots, \xi_i^{\pm}, \ldots)$��($H$�˴ؤ���)
�����$\widehat{\cal J}^{\pm}$�˾����֤Ǥ���Ȥ���. ����, 
$xi^{\pm}$�ϲ�ž����$\pm 1/L_{\pm}$��($H$�˴ؤ���)�˾����֤Ǥ���.
$\xi^{*\pm}$�ϲ�ž����$p/q \pm 1/qL_{\pm}$�Τ�($H$�˴ؤ���)�˾����֤�
���ä�$\xi_{qi}^{*\pm} = \xi_i^{\pm} + \pi$���������Ȥ���.
$J_{\alpha}^{*-}$���Ķ��$[a_{\alpha}^{*-},a_{\alpha}^{*-} + 1]$��
���ä�, ���$a_{\alpha}^{*-} - a {\bf Z}$�����
$\xi_{\alpha}^{*-} \in (a_{\alpha}^{*-}, a_{\alpha}^{*-} + 1)$��
��������Ȥ���. Ʊ�ͤ�, 
$J_{\alpha}^{*+}$���Ķ��$[a_{\alpha}^{*+},a_{\alpha}^{*+} + 1]$��
���ä�, ���$a_{\alpha}^{*+} - b {\bf Z}$�����
$\xi_{\alpha}^{*+} \in (a_{\alpha}^{*+}, a_{\alpha}^{*+} + 1)$��
��������Ȥ���. $J_i$��̿��8.1�Τ�ΤȤ�, ���Τ褦�ˤ���.
$$ \begin{array}{lcl}
 J_{\alpha}^* = J_{\alpha}^{*-} , & {\rm for} & 
            q (i_- - L_- l_- - L_-) \leq \alpha < q i_- , \\
 J_{\alpha}^* = J_{\alpha}^{*+} , & {\rm for} & 
            q (i_+ - 1) < \alpha \leq q(i_+ + L_+ l_+ + L_+ - 1) , \\
 J_{\alpha}^* = J_i + \pi , & {\rm for} & a = qi \ \ {\rm and} \ \
            i_- \leq i < i_+, \\
 J_{\alpha}^* = {\bf R}, & {\rm for} &  {\rm all \ other} \ \alpha \ 
{\rm between} \ q i_- \ \ {\rm and} \ \ q(i_+ - 1)
   \end{array}
$$
������, $q/(i_- - L_- l_- - L_-) \leq \alpha \leq 
q/(i_+ + L_+ l_+ + L_+ - 1)$�ʤ��$\alpha$���Ф���, ��Ϣ���������
$J_{\alpha}^*$������������Ȥˤʤ�. 

$\varepsilon>0$�������, $(p/q) - \varepsilon< \omega'_-$, 
$\omega'' < p/q < \omega'_+$, $\omega''_+ < (p/q) + \varepsilon$
�ΤȤ�������9.1�����󤬥ڥ�$(\omega'_-, a)$, $(\omega''_-, a)$
�����$(\omega'_+, b)$, $(\omega''_+, b)$��Ŭ�ѤǤ���褦�ˤ���.

�������ä�, $(\omega'_-, a) \rightarrow (\omega''_-, a)$
�����$(\omega'_+, b) \rightarrow (\omega''_+, b)$�Ǥ���ȸ�����.
�����$\omega'_- = \omega_-$, $\omega''_- = p/q - 1/qL_-$,
$\omega''_- = p/q + 1/qL_+$, �����$\omega''_+ = \omega_+$�Ȥ���
Ŭ�Ѥ���.����������9.1���, ��ž��$\omega^-$��$\omega^+$��
�˾�����$x^-$��$x^+$��Ϳ����줿�Ȥ�, $J^*_{\alpha}$�������
�ϰ�$i_{-2} \leq \alpha \leq i_2$�ؤȳ�ĥ�Ǥ���. ������
$i_{-2} < q(i_- - L_- l_- - L_-)$�����
$i_{2} > q(i_+ - L_+ l_+ + L_+ - 1)$�Ȥ���. $J_{\alpha}^{-}$��
$J_{\alpha}^+$�ϼ��Τ褦���������. ���ʤ��, 
$J_{\alpha}^- = [a_{\alpha}^-, a_{\alpha}^- + 1]$��, 
$a_{\alpha}^- - a \in {\bf Z}$����
$x_{\alpha}^- \in (a_{\alpha}^-, a_{\alpha}^- + 1)$. 
$J_{\alpha}^+ = [a_{\alpha}^+, a_{\alpha}^+ + 1]$��, 
$a_{\alpha}^+ - b \in {\bf Z}$����
$x_{\alpha}^+ \in (a_{\alpha}^+, a_{\alpha}^+ + 1)$. 
$i_{-2} \leq \alpha \leq i_{-1}$���Ф���
$J_{\alpha}^* = J_{\alpha}^- + \lambda^-$�Ǥ��뤳��, �����
$i_{1} \leq \alpha \leq i_{2}$���Ф���
$J_{\alpha}^* = J_{\alpha}^+ + \lambda^+$�Ǥ��뤳�Ȥ���������.  
������, $\lambda^-$��$\lambda^+$��Ŭ���������Ǥ���. 
������, $i_{-2} + K_{-1} < i_{-1} < q(i_- - L_- l_- - L_-)$, 
$q(i_+ l_+ l_+ + L_+ - 1) < i_1 < i_2-K_1$, �����$i_{-2}, K_{-2}$, 
$i_{-1}$��, ����9.1��($\omega_-$�β�ž��) $x^-$��
($p/q - 1/qL_-$�β�ž��)$\xi^{*-}$��Ŭ�ѤǤ���褦������, 
$i_1, K_2, i_2$������9.1��$\xi^{*+}$��$x^+$��Ŭ�ѤǤ���褦������. 
����9.1��Ŭ�Ѥ���ˤ�, $l_-$��$l_+$��ʬ�礭�����ͤФʤ�ʤ�.
��ĥ${\cal J}^* = (J_{i(-2)}^*, \ldots, J_{i(2)}^*)$������9.1��
�������ä����֤��Ȥˤ��, $x = (x_{i(-2)}, \ldots, x_{i(2)})$��
���֤�${\cal J}^*$�˾����ҤǤ����, 
$i_{-2} + K_{-1} \leq \alpha < q i_- - K_{-1}^*$���Ф���, �ޤ�
$q(i_+ - 1) + K_1^* < \alpha \leq i_2 - K_1$���Ф���
$x_{\alpha} \in J_{\alpha}^*$�Ǥ��뤳�Ȥ��狼��. 
������, $K_{-1}^*$��$K_1^*$�������Ǥ��ä�, ����9.1��Ŭ�ѤǤ���褦
Ŭ�����礭������Ǥ���. �ޤ�����9.1�ؤ�Addendum��${\cal J}^*$��������
�Ȥ���.

�����ʳ���, $qi_- - K_{-1}^* \leq \alpha \leq q(i_+ - 1) + K_1^*$��
���������٤Ƥ�$\alpha$���Ф���$x_{\alpha} \in {\rm int}~J_{\alpha}^*$
�Ǥ��뤳�Ȥ򼨤����ȤǤ���. ���Τ����, ̿��8.1�Τ���äȤ����Ѽ��
�Ȥ�. ���ʤ��, ̿��8.1�η����򼡤Τ褦�ʷ������֤�������. 
$(\xi_{i_- - L_-l_- - 1}, \ldots, \xi_{i_+ + L_+ l_+})$��
${\cal J}$���֤����ҤǤ��ä�, (ξü����ꤷ��?)���Τ褦�����Ҥ����
�˾��Ǥ���ʤ�, 
$i_- - L_- l_- + 1 \leq i < i_+ + L_+ l_+ - 1$���Ф���
$\xi_i \in {\rm int}~J_i$�Ǥ���, ��.
̿��8.1�ξ������餹���, ���η���������Ω��.

̿��8.1�Τ����Ѽ������
$(\xi_{i_- - L_-l_- - 1}, \ldots, \xi_{i_+ + L_+ l_+})$��Ŭ�Ѥ���.
������, $\xi_i = x_{qi} - pi$�Ǥ���. �����${\cal J}$���֤����ҤǤ���. 
���Τ��Ȥ�$x$��${\cal J}^*$���֤Ǥ��뤳��, �����
$$ \begin{array}{lcl}
 J_{qi}^* = J_{i} + pi , & {\rm for} & 
            i_- - L_- l_- - 1) \leq i \leq i_+ + L_+ l_+ - 1 
   \end{array}
$$
�Ȥ�����ñ�˳Τ���뤳�ȤΤǤ�����¤������餫�Ǥ���. 
̿��8.1�Τ����Ѽ��Ŭ�Ѥ��뤿��ˤ�, ����
$(\xi_{i_- - L_-l_- - 1}, \ldots, \xi_{i_+ + L_+ l_+})$��
(ξü����ꤷ��) ${\cal J}$���֤����Ҥδ֤Ƕ˾��Ǥ��뤳�Ȥ򼨤�ɬ�פ�
����. 

�����������뤿���, ${\cal J}$���֤�����
$(\widehat{\xi}_{i_- - L_-l_- - L_-}, \ldots, 
\widehat{\xi}_{i_+ + L_+ l_+ + L_+ - 1})$��ͤ���. ������, 
$i = i_- - L_- l_- - L_-$�����$i = i_+ - L_+ l_+ + L_+ - 1$�ΤȤ�
$\widehat{\xi}_i = \xi_i$�Ǥ���, ξü����ꤷ��, ($H$���Ф���)�˾�
�Ǥ���Ȥ���. ̿��5.1�ˤ���, ���Τ褦�����֤�¸�ߤ���. 
$i_- - L_- l_- - L_- \leq i \leq i_+ + L_+ l_+ - 1$���Ф���
$\widehat{x}_{qi} = \widehat{\xi}_i + pi$�Ȥ���. 
$i_- - L_- l_- - L_- \leq i \leq i_+ + L_+ l_+$���Ф���
$(\widehat{x}_{qi}, \ldots, \widehat{x}_{\alpha}, \ldots, 
\widehat{x}_{q(i+1)})$��($h$���Ф���)�˾������ҤǤ���Ȥ���. 
$\widehat{x}$������
$(\widehat{x}_{q(i_- - L_-l_- - L_-)}, \ldots, 
\widehat{x}_{q(i_+ + L_+ l_+ - 1)})$��ɽ�魯�Ȥ���. 
�ʲ��Ǿ�������Τ�, $\widetilde{x}$��${\cal J}^*$���֤����Ҥʤ뤳�Ȥ�
����. �Ĥޤ�, $(\xi_{i_- - L_-l_- - L_-}, \ldots, 
\xi_{qi_+ + L_+ l_+ + L_+ - 1})$��(ξü����ꤷ��, $H$�˴ؤ���)
�˾��Ǥ���, �������ä�, ��������
$(\xi_{i_- - L_-l_- - 1}, \ldots, \xi_{i_+ + L_+ l_+})$
��Ʊ���˾��������. �Ȥ����Τ�,  $(\xi_{i_- - L_-l_- - L_-}, \ldots, 
\xi_{i_+ + L_+ l_+ + L_+ - 1})$�� ($h$�˴ؤ���)${\cal J}^*$�˾�����
$x$�����¤Ȥ����������뤫��Ǥ���. �����, $\widetilde{x}$��
${\cal J}^*$�˾����֤Ǥ���Ȥ������¤���
$$
  \sum H(\xi_i, \xi_{i+1}) \leq \sum h(x_{\alpha}, x_{\alpha+1}) 
\leq \sum h(\widehat{x}_{\alpha}, \widehat{x}_{\alpha+1}) = 
\sum H(\widehat{\xi}_i, \widehat{\xi}_{i+1})
$$
������, �������ä�, $\widehat{\xi}$�ζ˾������, ������������. 

$\widehat{x}$��${\cal J}^*$���֤����ҤǤ��뤳�Ȥ�������뤿���, 
����$\eta^{\pm}$, $\eta^{*\pm}$�򼡤Τ褦���������. $\eta^{\pm}$
(�ޤ���$\eta^{*\pm}$) �ϲ�ž����$\pm 1/L_{\pm}$ (�ޤ���
$p/q \pm 1/q L_{\pm}$)��($H$���Ф���, �ޤ���$h$���Ф���)�Ǿ��ζ˾�����
�Ǥ��ä�, $\xi^{\pm}$ (�ޤ���$\eta^{*\pm}$)����礭���Ȥ���. ���餫��,
$\eta_{qi}^{*\pm} = \eta_i^{\pm} + pi$�Ǥ���. 
$$ \begin{array}{llcl}
 a + \beta - 1 < \xi_i^- < \alpha + \beta < \eta_i^-, 
& {\rm if} \ i = i_- - L_- \beta & {\rm and} & \beta \in {\bf Z}, \\
 a + \beta - 1 < \xi_i^- < \eta_i^- < \alpha + \beta, 
& {\rm all \ other} \ i \in {\bf Z}, \\
 b + \beta - 1 < \xi_i^+ < b + \beta < \eta_i^+, 
& {\rm if} \ i = i_+ + L_+ \beta - 1 & {\rm and} & \beta \in {\bf Z}, \\
 b + \beta - 1 < \xi_i^+ < \eta_i^+ < b + \beta, 
& {\rm all \ other} \ i \in {\bf Z} ,
   \end{array}
$$
�����$\eta_{\alpha}^{*\pm} \in {\rm int} J_{\alpha}^{*\pm}$��
���٤Ƥ�$\alpha$���Ф�������Ω��. ���������κ�, $\alpha$��
$q(i_- - L_- \beta)$�ʤ���򤷤Ƥ��ʤ���ΤȤ��� (�ޤ���$\alpha$��
$q(i_+ + L_+ \beta - 1)$�ʤ���򤷤Ƥ��ʤ���ΤȤ���). 
$\beta \in {\bf Z}$�Ǥ���. ������, $\xi^{\pm}$��($H$�˴ؤ���)
�����$\widehat{\cal J}^{\pm}$���֤Ǥ���, $\eta^{\pm}$��
��ž����$\pm 1/L_{\pm}$�� ($H$�˴ؤ���)�Ǿ��ζ˾����֤Ǥ��ä�
$\xi^{\pm}$����礭�ʤ�ΤǤ���, ����. 

���٤Ƥ�$\alpha$���Ф���$xi_{\alpha}^{*\pm} \leq x_{\alpha}$��
����Ω��. �ʤ��ʤ�, $\xi^{*-}$��${|cal J}^{*-}$���֤Ǥ��뤫��, 
$x$��${\cal J}^*$�˾����֤Ǥ���, �ɤ�$\alpha$���Ф��Ƥ�
(�б�����ü�����������������������Ȥ�����̣��)
$J_{\alpha}^{*-} \leq J_{\alpha}^*$�Ǥ���, $J_{\alpha}^{*-}$��
�礭������ʬ������$\alpha$���Ф��Ƹ�̩��$J_{\alpha}^*$�κ��ˤ���
(?) 
������, ������$\xi_{\alpha}^{*-} \leq x_{\alpha}$��, 
�˾�����$\xi^{*-}$��${\cal J}^*$�˾�����$x$������Aubry�������
Ŭ�Ѥ���������.

���٤Ƥ�$\alpha$���Ф���$\xi_{\alpha}^{*+} \leq x_{\alpha}$�����̤�
���Ȥ���, ���٤Ƥ�$i$���Ф���$\xi_i^{\pm} \leq \xi_i$������Ω��. 
$\widehat{\xi}_i = \xi_i$��$i=i_- - L_-l_- - L_-$�����
$i=i_+ + L_+l_+ - 1$���Ф�������Ω�Ĥ���, �����2�Ĥ�$i$���Ф���
$\xi_i^{\pm} \leq \widehat{\xi}_i$������Ω��. �դ���������Aubry��
������Ѥ���, 
$i_- - L_-l_- - L_- \leq i \leq i=i_+ + L_+l_+ - 1$���Ф���
$\xi_i^{\pm} \leq \widehat{\xi}_i$������Ω��. 
�����Aubry�����꤫��
$$ \begin{array}{lcl}
 \xi_{\alpha}^{*-} \leq \widehat{x}_{\alpha}, & {\rm for} & 
q(i_- - L_- l_- - L_-) \leq \alpha \leq q(i_+ + L_+ l_+ + L_+ - 1)
   \end{array}
$$
���Ф�. �ޤ�, $\widehat{\xi}_i \leq a + \beta < \eta_i^-$��
$i = i_- - L_-\beta$, $\beta \in {\bf Z}$����$1 \leq \beta \leq l_- + 1$
�ʤ�����Ω��. $\eta^-$�˴ؤ���������������, $\widehat{\xi}$��
${\cal J}$���֤����ҤǤ���Ȥ������꤫�� (ʸ�ϤˤʤäƤ��ʤ���). 
������, $\widehat{\xi}$��${\cal J}$���֤����ҤǤ���Ȥ������������
Aubry��������, 
$i_- - L_-l_- - L_- \leq i \leq i=i_- - L_-$���Ф���
$\widehat{\xi}_i \leq \eta_i^-$������Ω��.
$\widehat{x}$�������Aubry�����꤫��
$$ \begin{array}{lcl}
 \widehat{x}_{\alpha} \leq \eta_{\alpha}^{*-}, & {\rm for} & 
q(i_- - L_- l_- - L_-) \leq \alpha \leq q(i_- - L_-)
   \end{array}
$$
���Ф�. Ʊ�ͤʵ����ˤ��
$$ \begin{array}{lcl}
 \xi_{\alpha}^{*+} \leq \widehat{x}_{\alpha} \leq 
\eta_{\alpha}^{*+}, & {\rm for} & 
q(i_+ + L_+ - 1) \leq \alpha \leq q(i_+ + L_+ l_+ + L_+ - 1)
   \end{array}
$$
���Ф�. ������, $\widehat{x}$��${\cal J}^*$���֤����ҤǤ���. 
$\widehat{x}_{\alpha} \in J_{\alpha}^*$�򼨤��Τ�, �ʲ��λ��¤�Ȥ�.
���ʤ��, $\widehat{\xi}$��${\cal J}$���֤����ҤǤ��뤳�� (�����
$\alpha = qi$�ΤȤ�$\widehat{x} \in J_{\alpha}^*$���̣����), �����ƾ嵭��
�������Ǥ���. ������������$\widehat{x}_{\alpha} \in J_{\alpha}^*$��,
$\alpha$��$qi$�η��Ǥʤ��Ȥ�, �����ƾ���ϰϤΤҤȤĤ����äƤ��ʤ��Ȥ���
����Ω�Ĥ��Ȥ򼨤�. �Ĥ�ξ��, $J_{\alpha}^* = {\bf R}$�Ǥ��뤫�����
���٤����Ȥϲ���ʤ�. 

�ޤȤ���, $\widehat{x}$��${\cal J}\*$���֤Ǥ��뤳�Ȥ��������줿. 
��ǵ��������褦��, ���ΤȤ�, 
$(\xi_{i_- - L_-l_- - L_-}, \ldots, \xi_{i_+ + L_+ l_+ + L_+ + 1})$
��, ${\cal J}$���֤����Ҥ���� (ü������ꤷ��) �˾��Ǥ���. 

������, ̿��8.1���ѷ��Ǥ�
$\xi_{i_- - L_-l_- - L_-}, \ldots, \xi_{i_+ + L_+ l_+})$��Ŭ�ѤǤ���. 
�����ѷ��Ǥ���, $i_- - L_-l_- +1 \leq i \leq i_+ + L_+ l_+ - 2$�ʤ�
$\alpha = qi$�ΤȤ�, $x_{\alpha} \in {\rm int} J_{\alpha}^*$��������.
�ޤ�
$$ \begin{array}{lcl}
 \xi_{\alpha}^{*-} \leq x_{\alpha} \leq 
\eta_{\alpha}^{*-}, & {\rm for} & 
q(i_- - L_- l_- - L_-) \leq \alpha \leq q(i_+ + L_+ l_+ + L_+ - 1) \\
 \xi_{\alpha}^{*+} \leq x_{\alpha} \leq 
\eta_{\alpha}^{*+}, & {\rm for} & 
q(i_+ + L_+ - 1) \leq \alpha \leq q(i_+ + L_+ l_+ + L_+ - 1)
   \end{array}
$$
������Ω��. ��������������$\widehat{x}$�˴ؤ����б����������������
�����Τ�Ʊ��������Ǿ����Ǥ���. (����줬�Ȥä��Τ�, $\widehat{\xi}$��
�˾��Ȥ������������Ǥ��ä�. ���޾��������Ф���Τ���������, 
$(\xi_{i_- - L_-l_- - L_-}, \ldots, \xi_{i_+ + L_+ l_+ + L_+ + 1})$
�Ǥ�����Ω��)

$qi$�Ȥ������Ǥʤ�$\alpha$�ξ��, �嵭�������ΤҤȤĤ��, 
$J_{\alpha}^* = {\bf R}$�ޤ���$x_{\alpha} {\rm int} J_{\alpha}^*$������
Ω��. �ޤȤ���, 
$$ \begin{array}{lcl}
  x_{\alpha} \in {\rm int}~J_{\alpha}^*, & {\rm for} & 
  i_{-2} + K_{-1} \leq \alpha \leq q i_- - K_{-1}^* \\
           & {\rm and \ for} & 
     q(i_+ - 1) + K_1^* \leq \alpha \leq i_2 - K_1 . 
   \end{array}
$$
�������Ǥ���. ������, ��ʬ�礭��$l_-, l_+$��Ȥ��, 
$$ \begin{array}{lcl}
  x_{\alpha} \in {\rm int}~J_{\alpha}^*, & {\rm for} & 
  i_{-2} + K_{-1} \leq \alpha \leq i_2 - K_1 \\
   \end{array}
$$
������Ω��. ����餬�ɤ�ۤ��礭���ʤ���Ф����ʤ�����, $K_{-1}^*$��
$K_1^*$�˰�¸����. �����, $K$��ʬ�礭���Ȥä�
$i_{-1} + K < i_1$�Ȥʤ�褦�ˤ����, $i_-$��$i_+$�򸫤Ĥ���, 
̿��8.1�� ($i_+ - i_-$�Υ������˴ؤ���)������������Ǥ��뤷, 
���$i_{-1} < q(i_- - L_- l_- - L_-)$�����
$q(i_+ + L_+ l_+ + L_+ - 1) < i_1$�����������Ȥ��Ǥ���. ���ξ���,
�����κǽ���ʳ���ɬ�פʤ�ΤǤ��ä�. ���Τ褦���������򤷤�, ����
��̤�������. \hfill  $\Box$

\vspace{0.3cm}
���餬���̤ϥС����դ��԰��꥾����$R$��ε�ƻ�˴ؤ����ΤǤ���. 
4���, $R$�β��Ⱦ�ζ�����$\Gamma_-$��$\Gamma_+$��ɽ�路��. ����
9.1 - 9.3 ��ʻ����, ����������. 


\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 9.4.} $\rho(\Gamma_-) < \omega_-$, 
$\omega_+ < \rho(\Gamma_+)$, $\omega_-, \omega_+$��̵�����Ǥ���, 
$a,b$���¿��Ǥ��ä�$P_{\omega_-}(a) > 0$, $P_{\omega_+}(b) > 0$
���������ʤ�, $(\omega_-, a) \rightarrow (\omega_+, b)$�Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. ͭ����$p/q$��$\pi(M_{p/q})$������$(c,c')$��
�ͤ���. $(c,\gamma), (c', \gamma') \in M_{p/q}$�Ȥ���. 
$P_{p/q+}$ (�ޤ���$P_{p/q-}$)��$(c,c')$��ǹ���Ū�˥����ˤʤ�ʤ�, 
$M_{p/q+}$ (�ޤ���$P_{p/q-}$)��˥�ץ��åĶ���$\Gamma_{c,c'}$��
���ä�, $(c,\gamma)$��$(c',\gamma')$����. ���ξ�, 
$\widetilde{\Gamma}_{c,c'} = \Gamma_{c,c'} \cup f(\Gamma_{c,c'})
\cup \cdots \cup f^{q-1}(\Gamma_{c,c'})$��$f$�β������ѤǤ���.  

$\pi(M_{p/q})$�γ�����$(c,c')$���Ф���, $P_{p/q-}$�ޤ���$P_{p/q+}$
�Τ����ξ��ʤ��Ȥ�ҤȤĤ�$(c,c')$��ǹ���Ū�˥����ˤʤ�ʤ�, 
��ž��$p/q$�����Ѷ���������. ����϶���$\widetilde{\Gamma}_{c,c'}$��
�¤Ȥ��ƹ��������. 

�������ä�, $\rho(\Gamma_-) < p/q < \rho(\Gamma_+)$�ʤ�, 
$\pi(M_{p/q})$������$(c,c')$�����ʤ��Ȥ�ҤȤ�¸�ߤ�, ���ξ��
$P_{p/q-}$��$P_{p/q+}$�Τɤ���⹱��Ū�˥����ˤʤ뤳�ȤϤʤ�. ����9.3
���, $\varepsilon>0$��¸�ߤ���, 
$p/q - \varepsilon < \omega_- < p/q < \omega_+ < p/q + \varepsilon$
�ΤȤ���$(\omega_-, a) \rightarrow (\omega_+,b)$����
$(\omega_+, b) \rightarrow (\omega_-,a)$������Ω��. 

$P_{\omega}$������Ū�˥����ˤʤ�ʤ��ž��$\omega$�����ѱߤ�¸�ߤ���. 
�������ä�, $\rho(\Gamma_-) < p/q < \rho(\Gamma_+)$�ʤ�, $a \in {\bf R}$
�����ä�, $P_{\omega}(a)>0$��������. ����9.2���, $\varepsilon>0$
��¸�ߤ���, $\omega -\varepsilon < \omega_-$, 
$\omega_+ < \omega + \varepsilon$�ΤȤ�
��$(\omega_-, a) \rightarrow (\omega_+,a)$������Ω��. 

����9.4��, ���Ҥ٤����դ��������9.2����ӿ�ܴط�����Ф�. 
\hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
����9.4�η�����$\omega_-$��$\omega_+$��ͭ�����Ǥ�����Ǥ�, ¿����
��������Ω��. ����餬����Ω�Ĥ���ξ���Ҥ٤뤿���, �ʲ��γ�ǰ��
Ƴ�����褦. �¿�����$(\omega,a)$��{\bf �ɤ�}�Ȥ�, 
(a) $\omega$��̵�����Ǥ��ä�$P_{\omega}>0$�Ǥ���; (b) $\omega = p/q$��
����ͭ�����ʤ�, $P_{\omega}>0$����$q > 2\theta P_{\omega}(a)$��������; 
(c) $\omega = p/q$�Ǥ��ä�, $P_{p/q+}(a)>0$�ޤ���$P_{p/q-}(a)>0$�Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 9.5.} $(\omega_-, a), (\omega_+, b)$���ɤ��ȤǤ��ä�, 
$\rho(\Gamma_-) < \omega_-$, $\omega_+ < \rho(\Gamma_+)$�ʤ�, 
$(\omega_-, a) \rightarrow (\omega_+, b)$�Ǥ���. 


\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. ��$(\omega_-,a)$, $(\omega_+,b)$�Τ��줾�줬
���(a)�ޤ���(b)�����������, ����9.4�ξ��������ʤ���Ŭ�ѤǤ���. 
������, $(\omega_-,a)$�ޤ���$(\omega_+,b)$, ���뤤��ξ�������(c)
������������ͤ���Ф褤. 

���Ȥ���, $(\omega_-,a)$�����(c)��������,  $(\omega_+,b)$�����(a)
�ޤ���(b)������������ͤ����. �Ϥä��ꤵ���뤿���, $\omega_- = p/q$
��$P_{p/q+}(a) >0$�Ȥ���. $\omega$��$p/q+$��꾯���礭��̵�����Ǥ����
����. �����, [17, ����2.2]��Ϳ�����븫�Ѥ�
$|P_{p/q+}(a) - P_{\omega}(a)| \leq C \theta |\omega q - p|$���,
$P_{\omega}(a)>0$������. �������ä�, $(\omega,a)$��(a)������������
$(\omega, a) \rightarrow (\omega_+, b)$������Ω��. 
������, $\rightarrow$�ο�������, 
$(\omega_-, a) \rightarrow (\omega, b)$���������н�ʬ�Ǥ���. 
�����, ̿��8.1������9.3����������Τ�Ʊ��������ǹԤʤ���. �ܺ٤�
�ɼԤ�Ǥ����. 

�Ĥ�ξ���Ʊ�ͤ˰������Ȥ��Ǥ���. \hfill $\Box$

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf 10. ��������}
\end{center}

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 10.} $\omega$��̵�����Ǥ���Ȥ���. $a \in {\bf R}$��
$P_{\omega}(a)>0$�ʤ��ΤȤ���. $y < x < z$�ϲ�ž��$\omega$��
�˾����֤Ǥ���Ȥ���. ��$i \in {\bf Z}$���Ф���, $a_i$��
$a_i - a \in {\bf Z}$�����$x_i \in (a_i, a_i+1)$��������ͣ���
�¿��Ǥ���Ȥ���. $K>0$��¸�ߤ���, 
${\cal J} = (\ldots, J_i, \ldots)$��$j_0 - K \leq i \leq j_1 + K$
���Ф���$J_i = [a_i, a_i+1]$�ʤ�«�����ʤ��, 
Ǥ�դ�${\cal J}$�˾�����$\xi = (\ldots, \xi_i, \ldots)$��
$j_0 \leq i \leq j_1$���Ф���$y_i < \xi_i < z_i$��������. 


\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $K$����ʬ�礭�����, 
$j_0 - K \leq i_0 \leq j_0$�����$j_1 \leq i_1 \leq j_1 + K$��������
$i_0, i_1$�����ä�, $i = i_0, i_1$���Ф���$a_i + 1 < z_i$������Ω��. 
(�º�, $\phi_{\omega}$��Percival�Υ饯��󥸥�ؿ���˾��ˤ� 
(6�Ỳ��), $x_i = \phi_{\omega} (t + \omega i\pm)$, 
$z_i = \phi_{\omega} (s + \omega i\pm)$�ʤ�, $K$�򤦤ޤ������
${\bf R}/{\bf Z}$��ζ��$(t,s)$, $(t+\omega), s+\omega), \ldots$, 
$(t+(K-1)\omega), s+(K-1)\omega)$��${\bf R}/{\bf Z}$����ʤ����褦��
�Ǥ���.)
$\xi$��${\cal J}$���֤Ǥ��뤫��, $i = i_0, i_1$���Ф���$\xi_i < z_i$
������Ω��. �������ä�, $\xi$��${\cal J}$�˾���$z$���˾��Ǥ��뤫��,
Aubry�θ�������, $i_0 \leq i \leq i_1$���Ф���
$\xi_i < z_i$������Ω��. $y_i < \xi_i$�ξ�����Ʊ�ͤǤ���. 
\hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ��.} $\omega, a, a_i$�Ͼ�ΤȤ���Ȥ���. $\varepsilon>0$�Ȥ���. 
Ǥ�դ�$i_0 \in {\bf Z}$���Ф���, $K, K_1 > 0$��¸�ߤ���, 
${\cal J} = (\ldots, J_i, \ldots)$��$i_0 \leq i \leq i_1$
(�ޤ���$i_{-1} \leq i \leq i_0$)���Ф���$J_i = [a_i, a_i+1]$�ʤ�
«�����Ǥ���, $\xi$��${\cal J}$�˾�����${\cal J}$��ͳ�����֤Ǥ��ä�, 
$(\ldots, (x_i,y_i), \ldots)$��$(\ldots, (\xi_i,\eta_i), \ldots)$
��$(\ldots, x_i, \ldots)$��$(\ldots, \xi_i, \ldots)$���б�����ʤ�, 
$$
  |\xi_i - x_i| + |\eta_i - y_i| < \varepsilon
$$
��, $i_0 + K \leq i \leq i_1 - K_1$
($i_{-1} + K_1 \leq i \leq i_0 - K$)���Ф���������. 

\vspace{0.3cm}
��������ˤ��, $\omega$��̵�����ξ���, 
$\rho(\Gamma_-) < \omega < \rho(\Gamma_+)$����������ž�������, 
���餫������ꤷ���˾���ƻ�ؤζ����������ѰդǤ���. 
$\omega$��̵�����Ǥ���Ȥ������󤬤Ϥ�������, ���ηϤ�����Ω���ʤ�. 
����ɤ�, $\omega$��ͭ�����ξ��ˤ�����褦�ʷ�̤�����. �����
8�������f����Ф�. ����f���, �ɤ�$\varepsilon>0$���Ф��Ƥ�, 
$i_+ - i_- \geq I$�ʤ�$I$��¸�ߤ���$\xi_i - c < \varepsilon$������Ω��. 
������, $I$��ʬ�礭����뤳�Ȥˤ��, ����$(\ldots, \xi_i, \ldots)$��
�б����뵰ƻ��, ����$(\ldots, c, \ldots)$���б����뵰ƻ�Τ�����Ǥ�᤯
���̤�褦�˱��ߤ��뤳�Ȥ��Ǥ���. 

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf 11. ���̤ξ����Ȥ���ʤ���}
\end{center}

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����4.1�ξ���}. �ޤ�, $\rho(\Gamma_-) < \omega_-$, 
$\omega_+ < \rho(\Gamma_+)$�Ȥ�, $\omega_-$��$\omega_+$��̵�����Ǥ����
����. $a,b > 0$�����ä�, $P_{\omega_-}(a)$, $P_{\omega_+}(b)>0$��
������. ����, ����$P_{\omega_-}(a)$, $P_{\omega_+}(b)>0$�ΰ�̣��
�狼��ʤ�. 6��ޤ����ɬ�פ���. 
����9.4�ˤ���, $(\omega_-,a) \rightarrow (\omega_+,b)$��
����Ω��. ���δط���«�����${\cal J}^* = (\ldots. J_i^*, \ldots)$
��¸�ߤ��ĥ����Τ�, $i_{-2} = -\infty$����$i_2 = \infty$�ȴط�
$\rightarrow$����� (9��ΤϤ���) �ˤ����ƺ��Ѥ����Ȥ��Ǥ���. 
�ط�$\rightarrow$������ˤ���, $x$��${\cal J}^*$��ͳ�Ǥ���, 
�������ä� (̿��5.2���), $f$��ƻ���б�����. ����10�ηϤˤ��, 
���ε�ƻ��$M_{\overline{f},\omega_-}$��$\alpha$����Ǥ���, 
$M_{\overline{f},\omega_+}$��$\omega$����Ǥ���. 

$\rho(\Gamma_-) < \omega_-$, $\omega_+ < \rho(\Gamma_+)$��, 
$\omega_-$�ޤ���$\omega_+$ (���뤤��ξ��)��ͭ�����ξ��, ̿��8.1
�ι���ˡ�˻�������ˡ��Ȥä�, $M_{\bar{f},\omega_-}$��$\alpha$����
���� $M_{\bar{f},\omega_+}$��$\omega$����ʵ�ƻ����. 
���Ȥ���, $\omega_-$��ͭ�����Ǥ���Ȥ��褦. $\omega_- = p/q$�ϴ���
�Ȥ���. ������$\omega_+$��̵�����Ǥ���Ȥ���. 8���Ʊ��reduction
��Ԥʤ�. �Ȥ�����ʬ����$h$��Ȥä�. ���Ȥ���, 
$P_{p/q+}^h (b) = P_{0+}^H (b) > 0$�ʤ��$b$����Ϥ��, «�����
${\cal J}^*$���ۤ���. ���ʤ��, ${\cal J}^*$�˾����֤�
${\cal J}^*$��ͳ�Ǥ���, �б����뵰ƻ��, 
$M_{\omega_-, \bar{f}}$��$\alpha$����
���� $M_{\omega_+,\bar{f}}$��$\omega$����ʵ�ƻ����. 
����ˡ�ϰʲ��ΤȤ���Ǥ���. �ޤ�, ̿��8.1�ι���ˡ��������. 
$$ \begin{array}{rll} 
  J_i = & [c,b], & {\rm if} \ i < i_+ \\
      = & [b+\beta-1, b + \beta] , 
           & {\rm if} \ j_+ + L_+\beta - L_+ \leq i < i_+ + L_+\beta 
\ {\rm and} \\
    &  & 1 \leq \beta \leq l_+, \ {\rm or} \ \beta = l_+ + 1 \ 
{\rm and} \ i = i_+ + L_+l_+
   \end{array}
$$
�Ȥ���. ������, $(c,c')$��$\pi(M_{F,0}) = \pi(M_{f,p/q})$�����֤�
���ä�, $b, i_+ \in {\bf Z}$, $L_+ \geq L_+^0$��ޤ�. ������, $L_+^0$
�Ͻ�ʬ�礭�� (̿��8.1�ˤ�����褦���礭��), $l_+\geq 1$�Ǥ���.

���ΤȤ�, ����9.3�ι���ˡ�򼡤Τ褦�˽�������.
$$ \begin{array}{lclcl} 
   i_+ + L_+ \beta - L_+ \leq i \leq i_+ + L_+ \beta & {\rm ����}
& \beta \in {\bf Z} & {\rm �ΤȤ�} & 
\widehat{J}_i^+ = [b + \beta - 1, b + \beta],
   \end{array}
$$
���֤�, $\widehat{\cal J}_i^+ = (\ldots, \widehat{J}_i^+, \ldots)$��
�֤�. $\xi^+ = (\ldots, \xi_i^+, \ldots)$��($H$�˴ؤ���)�����
$\widehat{\cal J}^+$�˾����֤Ǥ���Ȥ���. 
(������, $\xi^+$�ϲ�ž����$1/L_+$�ζ˾����֤Ǥ���.)
$\xi^{*+}$��($h$�˴ؤ���)��ž����$p/q + 1/qL_+$�ζ˾����֤Ǥ��ä�, 
$\xi_{qi}^{*+} = \xi_I^+ + pi$�ʤ��ΤȤ���. $J_{\alpha}^+$��
���$a_{\alpha}^{*+} - b {\bf Z}$�����
$\xi_{\alpha}^{*+} \in (a_{\alpha}^{*-}, a_{\alpha}^{*-} + 1)$��
���������Ķ��$[a_{\alpha}^{*+}, a_{\alpha}^{*+}+1]$�Ǥ���Ȥ���. 
$$ \begin{array}{ll}
  J_{\alpha}^* = J_{\alpha}^{*+}, & {\rm for} \ 
          q(i_+ - 1) < \alpha \leq q(i_+ + L_+l_+ + L_+ - 1), \\
  J_{\alpha}^* = J_i + pi, & {\rm for} \ \alpha = qi \ {\rm and} \
          i_- \leq i < i_+, \\
  J_{\alpha}^* = {\bf R}, & {\rm for \ all \ other \ } 
          \alpha \leq q(i_+ - 1)
   \end{array}
$$
���֤�. ̵����$\widehat{\omega}$��$p/q + 1/qL_+$��꾯���礭���Ȥ�. 
����9.1��Ȥä�, $\alpha \leq i_2$���Ф�����������褦��$J_{\alpha}^*$
���ĥ����. ������, $i_2 > q(i_+ + L_+l_+ + L_+ - 1)$�Ǥ���. 
$J_{\alpha}^*$�ϼ�����������Ĥ褦�ˤ���.
$J_{\alpha}^+ = [a_{\alpha}^+, a_{\alpha}^+ + 1]$�Ȥ���. ������, 
$a_{\alpha}^+ - b \in {\bf Z}$�Ǥ���, ��ž��$\widehat{\omega}_+$��
��������$\widehat{x}^+$���Ф���
$\widehat{x}_{\alpha}^+ \in (a_{\alpha}^+, a_{\alpha}^+ + 1)$�Ǥ���. 
$i_1 \leq \alpha \leq i_2$���Ф���
$J_{\alpha}^* = J_{\alpha}^+ + \lambda^+$�Ǥ��뤳�Ȥ���������. 
������, $\lambda^+$��Ŭ�ڤ������Ǥ���. ������, 
$q(i_+ + L_+l_+ + L_+ - 1) < i_1 < i_2 - K_1$�����$i_1, K_1, i_2$��
����9.1��$\xi^{*+}$�����$\widehat{x}^+$��Ŭ�ѤǤ���褦������.
��ĥ${\cal J}^* = (\ldots, J_i^*, \ldots, J_{i(2)}^*)$������9.1��
�������ä����֤��Ȥˤ��, $x = (\ldots, x_i, \ldots, x_{i(2)})$��
�������֤�${\cal J}^*$�˾����Ҥʤ�, $\alpha \leq i_2 - K_1$���Ф���
$x_{\alpha} \in {\rm int} J_{\alpha}^*$������Ω��. 
���ξ�����, ���ʤ�ιͻ���ɬ�פȤ���. ������, ���������9.3�ξ�����
���Ǥ���������. �⤦���٤���򷫤��֤�ɬ�פϤʤ�������.

$a$��$P_{\omega_+}(a)>0$���������Ȥ���. ����9.4�ˤ���, 
$(\widehat{\omega}_+, b) \rightarrow (\omega_+, a)$������Ω��.
�������ä�, $(\ldots, J_I^*, \ldots, J_{i(2)}^*)$��,
�ɤ�${\cal J}^*$�˾����֤�${\cal J}^*$��ͳ�Ǥ��ä�, 
�б����뵰ƻ��$M_{\bar{f},\omega_+}$��$\omega$���� (����10�ηϤ��)��
����褦��, «�����${\cal J}^* = (\ldots, J_I^*, \ldots)$�ؤȳ�ĥ
�Ǥ���.

$\omega_+$��ͭ������, $\omega_-$��̵����, ���뤤�ϤȤ��ͭ�����ξ���
Ʊ�ͤ˰������Ȥ��Ǥ���.

���ޤޤǤΤȤ���, ����4.1����������Τ�, 
$\rho(\Gamma_-) < \omega_-$, $\omega_+ < \rho(\Gamma_+)$�ξ����Ф���
�Ǥ��ä�. ����ɤ�, $\omega_- = \rho(\Gamma_{\pm})$�ޤ���
$\omega_+ = \rho(\Gamma_{\pm})$�ޤ���ξ���ξ���ͤ���.
���Ȥ���, $\omega_- = \rho(\Gamma_-)$�Ȥ���. ̵������
$(\omega_j)_{j \leq 0}$�������, $j \geq -\infty$�ΤȤ�
$\omega_j \downarrow \omega_-$�Ȥ�, ����$a_j$�������
$P_{\omega(j)} (a_j) > 0$�Ȥ���. ����9.4�ˤ���, $j+1 \leq 0$���Ф���
$(\omega_j, a_j) \geq (\omega_{j+1},a_{j+1})$�Ǥ���.
�Ĥޤ�, $j \leq 0$���Ф�������$K_j, \widetilde{K}_j$�����ä�, 
�ʲ�������Ω������. ���ʤ��, $x^j = (\ldots, x_i^j, \ldots)$��
$j \leq 0$���Ф���, ��ž��$\rho(x^j)= \omega_j$�ζ˾����֤Ǥ���Ȥ���.  
������, «�����${\cal J}^j = (\ldots, J_i^j, \ldots)$��
$J_i^j = [a_i^j, a_i^j+1]$�ˤ�ä���������. ������
$a_i^j - a_i \in {\bf Z}$�Ǥ���, $x_i^j \in (a_i^j, a_i^j+1)$
�Ǥ���. �ޤ�$i_j,\tilde{i}_j$��
$$
  i_j + K_j < \widetilde{i}_j < \widetilde{i}_j + \widetilde{K}_j < i_{j+1}
$$
�������������Ǥ��ä�, $\tilde{i}_0 = 0$�Ǥ���. ���ΤȤ�, ����
$l_j$ ($j \leq 0$)��¸�ߤ�, �ޤ��Ķ�֤���
$(\ldots, J_j^*, \ldots, J_0^*)$��¸�ߤ���
$$ \begin{array}{lcl}
  J^*_i = J_i^j + l_j, & {\rm for} & i_j \leq i \leq \widetilde{i}_j
   \end{array}
$$
��������, �����, $x = (\ldots, x_i, \ldots, x_0)$��$i \leq 0$��
�Ф���$x_i \in J_i^*$�����������֤�Ǥ�դ����ҤǤ��ä�$x$��
${\cal J}^*$�˾��ʤ�, $i \leq -K_0$���Ф���$x_i \in {\rm int} J_i^*$
�Ǥ���. (ë��: ������������)

���ξ�, ����9.4�ξ����ˤ���, ���$J_i^* = [a_i^*,a_i^*+1]$�򤦤ޤ�
�����
$$
  \displaystyle \lim_{i \rightarrow -\infty} a_i^*/i = \omega_- . 
$$
�Ȥ��뤳�Ȥ��Ǥ���. 

$\rho(\Gamma_-) < \omega_+ < \rho(\Gamma_+)$�ξ���, �����Ҥ٤�����
�ˤ���, ${\cal J}^*$�򼡤Τ褦�ʻ�����«�����
$\widetilde{J}^* = (\ldots, \widetilde{J}_i^*, \ldots)$�ؤȳ�ĥ�Ǥ���. 
���ʤ��, $\widetilde{J}^*$�˾����֤�$\widetilde{J}^*$��ͳ�Ǥ���, 
�б�����$\overline{f}$��ƻ��$M_{\bar{f},\omega_+}$��$\omega$�����
����. 

����$\overline{f}$��ƻ��, $\rho(\Gamma_-) = \omega_-$������Ω�ĤȤ���, 
$M_{\bar{f},\omega_-}$��$\alpha$����Ǥ���. �ʤ��ʤ�, 
$\lim_{i \rightarrow -\infty} a_i^*/i = \omega_-$������Ǥ���.
������, ����9.1�򼡤�2�Ĥξ��˾����������Ȥˤʤ�.
���ʤ��, $\rho(\Gamma_-) < \omega_-$, $\omega_+ < \rho(\Gamma_+)$
�ΤȤ���, $\rho(\Gamma_-) = \omega_- < \omega_+ = \rho(\Gamma_+)$
����$\omega_-$��̵�����ΤȤ��Ǥ���. �Ĥ�ξ���Ʊ�ͤʻ����Ǿ����Ǥ���. 
\hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
����, ����4.1�Ȥ��ξ����˴ؤ��륳���Ȥ򤤤��Ĥ��Ҥ٤�. 
$\omega_- = \rho (\Gamma_-)$ (�ޤ���$\omega_+ = \rho(\Gamma_+)$) 
�ʤ�$\omega_-$ (�ޤ���$\omega_+$)��̵�����Ǥ���, �Ȥ���������Ի׵Ĥ�. 
�º�, ���ξ�郎����Ω���ʤ��Ȥ��Ǥ�Ʊ�ͤ��ĽҤ�����Ω��. ����, ����
ʣ���ˤʤ�. ���Ȥ���, $\omega_- = \rho (\Gamma_-)$�Ǥ��ä�,  
���ο���ͭ�����Ǥ������ͤ���. $\Gamma_-$�����Ѷ����Ǥ��뤫��, 
�˾���ƻ��������Ω�äƤ���. �ҤȤĤβ�ǽ����, �����ε�ƻ�����٤�
��ž����$\omega_-$�ޤ���$\omega_-+$����Ĥ��ȤǤ���. ���ξ��, 
��ǽҤ٤�����ˡ����, $\Gamma_-$��$\alpha$����ʵ�ƻ�������뤬, 
$M_{\bar{f},\omega_-}$��$\alpha$����ʵ�ƻ�������ʤ�. 
���̤˸�Ԥ�,���Ԥ���ʬ����˲᤮�ʤ�. ����, ���ξ��, 
$M_{\bar{f},\omega_-} \neq \Gamma_-$�ʤ�
$M_{\bar{f},\omega_-}$��$\alpha$����ʵ�ƻ���ۤ��뤳�Ȥ�
�Բ�ǽ�Ǥ���. 

�⤦��Ĥβ�ǽ����, $\Gamma_-$��Τ����Ĥ��ε�ƻ����ž����$\omega_-{-}$��
���Ĥ��ȤǤ���. ���ξ��, $P_{\omega_- +} (a) >0$
��, ����$a \in {\bf R}$���Ф�������Ω��, ���, 
 $\rho(\Gamma_-) = \omega_- < \rho(\Gamma_+)$����$\omega_-$��̵������
���˾����˻Ȥ�줿����ˡ�������Ǥ�ͭ���Ǥ���. �������ä�, ����4.1
�η�����, $\omega_+$��������������¤�, ���ξ�������Ω��. 


$\omega_- = \rho(\Gamma_+)$�Ǥ��ä�$\omega_+$��ͭ�����ξ��, ���뤤��, 
�����ξ�郎2�ĤȤ�����������礬Ʊ�ͤ˼�갷����Τ����餫�Ǥ���. 

����4.1����Ӥ��ξ�������, �������꤬������. ���ʤ��, �С������԰���
�ΰ���˶˾�$\overline{f}$��ƻ${\cal O}_-$��${\cal O}_+$��Ϳ����줿
�Ȥ�, ${\cal O}_-$��$\alpha$�����${\cal O}_+$��$\omega$�����
$\overline{f}$��ƻ${\cal O}$��¸�ߤ��뤫? 
$\rho(\Gamma_-) <\rho({\cal O}_-)$, $\rho({\cal O}_+) < \rho(\Gamma_+)$
�Ǥ��ä�, $\rho({\cal O}_-)$��$\rho({\cal O}_+)$���Ȥ��̵�����ʤ�, 
���Τ褦��$\overline{f}$��ƻ��¸�ߤ���. �Ȥ����Τ�, ����9.4�ˤ���, 
$(\omega_-, a) \rightarrow (\omega_+, b)$�Ǥ���. �ط�����(9�����Ƭ��)
������ط�$\rightarrow$�Ǥ��뤿�������ˤ�����$x_-$��$x_+$��
${\cal O}_-$��${\cal O}_+$�������ʬ�ȼ���(??), ����10�ηϤ����������줿
�������Ф�. 

����, $\rho({\cal O}_-)$��$\rho({\cal O}_+)$�ΤҤȤĤ�, 
$\rho(\Gamma_-)$��$\rho(\Gamma_+)$�ΤҤȤĤǤ��ä�, ���ο���̵�����ʤ�, 
���η��������뤿��ˤ郎��ˡ���Խ�ʬ�Ǥ���, ���Ϥ狼��ʤ�. 

���Ĥ�ɤ���, $\rho({\cal O}_-)$�ޤ���$\rho({\cal O}_+)$��ξ��
�ޤ��ϤҤȤĤ�, ͭ�����ξ��Ϥ�äȹ������äƤ���. ���Ȥ���, 
$\rho({\cal O}_-)$������ͭ����$p/q$��, $\rho({\cal O}_+)$��̵����, 
������, 
$\rho(\Gamma_-) <\rho({\cal O}_-)$, $\rho({\cal O}_+) < \rho(\Gamma_+)$
�Ȥ���. ${\cal O}_-$������Ū�Ǥʤ����, ����ϼ�����ƻ��$\alpha$����Ǥ���, 
${\cal O}_-$��$\alpha$����ʵ�ƻ��¸�ߤ��뤫�ݤ���, ���������ƻ��
$\alpha$����ʵ�ƻ��¸�ߤ��뤫�ݤ���Ʊ�ͤǤ���. 

������, ${\cal O}_-$������Ū�Ǥ���Ȳ���Ǥ���. 
$\pi(M_{\bar{f},p/q})$��ͭ�¤�, $\pi(M_{\bar{f},p/q-})$��
$\pi(M_{\bar{f},p/q+})$��������ޤޤʤ����, ��ƻ${\cal O}$��¸�ߤ���, 
${\cal O}_-$��$\alpha$���ᤫ��${\cal O}_+$��$\omega$����Ǥ���. 
���Τ��Ȥ�, ����4.1�ξ����ˤ�����, $\omega_-$��ͭ������, $\omega_+$��
̵������, $\rho(\Gamma_-) < \omega_-$����$\omega_+ < \rho(\Gamma_+)$
�ξ��ε����򾯤������������ƾ����Ǥ���. $\pi(M_{\bar{f},p/q})$��
Ŭ��������$(c,c')$����������Ʊ�ͤʵ����򤹤�Ф褤. 
${\cal O}_- = (\ldots, (x_i,t_i), \ldots)$�ʤ�, $c=x_0$�ȼ��н�ʬ��
����. $\pi(M_{\bar{f},p/q})$������������ʤ��Ȥ��������, 
$P_{p/q+} (b) > 0$�ʤ�$b \in (c,c')$��¸�ߤ��뤳�Ȥ��̣����. 
$(c,c')$��$b$�򤳤Τ褦�����٤�, ����4.1�ξ�����˹��ۤ���«�����
${\cal J}^*$ ( $\omega_-$��ͭ������, $\omega_+$��
̵������, $\rho(\Gamma_-) < \omega_-$����$\omega_+ < \rho(\Gamma_+)$
�ξ��)�� (����Ʊ��) ${\cal J}^*$�˾����֤�${\cal J}^*$��ͳ�Ǥ���
�Ȥ������������, �����, �б����뵰ƻ��${\cal O}_-$��$\alpha$����
�Ǥ���Ȥ������������. ($\omega_-$��$\omega_+$��̵�����ξ���) 
���Ǥ����������褦��, ${\cal J}^*$�˾����֤�, �б����뵰ƻ��
${\cal O}_+$��$\omega$����Ǥ���褦�ʤ�Τ��ۤǤ���. 

�Ĥ�ξ�� ($\rho({\cal O}_+)$�ޤ���ξ����ͭ�����ξ��) ��Ʊ�ͤ�
�������Ȥ��Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����4.2�ξ���}. �ޤ�, $\omega_i$�Ϥ��٤�̵�����Ǥ��ä�, 
$\rho(\Gamma_-) < \omega_i < \rho(\Gamma_+)$���������Ȥ���.
��$i$���Ф���, $P_{\omega(i)}(a_i) > 0$�ʤ�$a_i$������. 
����9.4�ˤ���, ���٤Ƥ�$j \in {\bf Z}$���Ф���
$(\omega_j, a_j) \rightarrow (\omega_{j+1}, a_{j+1})$�Ǥ���. 
�Ĥޤ�, ����$K_j, \widetilde{K}_j$�����ä�, �ʲ�������Ω��. ���ʤ��, 
$x^j = (\ldots, x_i^j, \ldots)$��$\rho(x^j) = \omega_j$�ʤ�˾����֤�
���ä�, «�����${\cal J}^j = (\ldots, J_i^j, \ldots)$��
$J_i^j = [a_i^j, a_i^j+1]$�ˤ����������Ȥ���. ������, 
$a_i^j - a_i \in {\bf Z}$, $x_i^j \in (a_i^j, a_i^j+1)$�Ǥ���, 
$i_j, \tilde{i}_j$�������Ǥ��ä�
$$
  i_j + K_j < \widetilde{i}_j < \widetilde{i}_j + \widetilde{K}_j < i_{j+1}
$$
��������. ���ΤȤ�, ����$l_j$ ($j \leq 0$)��¸�ߤ�, �ޤ�
���Ķ�֤���$(\ldots, J_j^*, \ldots)$��
$$ \begin{array}{lcl}
  J^*_i = J_i^j + l_j, & {\rm for} & i_j \leq i \leq \widetilde{i}_j
   \end{array}
$$
����������Τ�¸�ߤ���. ����Ϥޤ�
$x = (\ldots, x_i, \ldots)$��$x_i \in J_i^*$�����������֤�Ǥ�դ����Ҥ�
���ä�, $x$��${\cal J}^*$�˾��ʤ��, $x_i \in {\rm int}~J_i^*$��
���٤Ƥ�$i \in {\bf Z}$���Ф�������Ω��. 

���Τ褦��${\cal J}^*$�˾�����$(\ldots, x_i, \ldots)$��ҤȤĹͤ�, 
${\cal O} = (\ldots, (x_i,y_i), \ldots)$���б����뵰ƻ�Ǥ���Ȥ���.
����10���, $K_j$����ʬ�礭�����Ф�Ƥ���Ȥ���, 
${\cal O}$��$M_{\bar{f},\omega(i)}$��$\varepsilon$����˶�Ť�.
������, ����4.2�Ϥ��ξ��������줿. 

����, $\mu_{\bar{f},\omega(i)}$���ž��$\omega_j$��ͣ��ζ˾�¬��
�Ȥ����, ���ι���ˡ����
$\mu_{\bar{f},\omega(i)}$��$\varepsilon$����˶�Ť���ƻ${\cal O}$
��������. ����򸫤뤿��ˤ�, $x^j$�������, �б����뵰ƻ����Ū
�Ǥ��� (�������ä�$\mu_{\bar{f},\omega(i)}$��ˤ���) �褦�ˤ���Ф褤. 

�Ĥ�ξ��Ϥ��ξ��˵���Ǥ���. ���Ȥ���, $\omega_j$�Τɤ줫�ҤȤĤ�
ͭ�����ʤ�, �����$\omega_j$�ˤ�����Ǥ�ᤤ̵����$\omega'_j$���֤�����
�뤳�Ȥ��Ǥ���. $\mu_{\bar{f},\omega(i)'}$���, $M_{\bar{f},\omega(i)}$
�˶ᤤ��������. $\omega'_j$��$\omega_j$�˽�ʬ�᤯���֤��Ȥˤ��, ����
��Υ�򤤤���Ǥ⾮�������뤳�Ȥ��Ǥ���. 
�����, $\mu_{\bar{f},\omega(i)'}$���Ǥ�դε�ƻ��
$M_{\bar{f},\omega(i)}$�ζ᤯���̤�. �ʤ��ʤ�, ���Ԥε�ƻ���������
��̩������Ǥ���. �������ä�, $\mu_{\bar{f},\omega(i)'}$�ν�ʬ�᤯��
�̤뵰ƻ��$M_{\bar{f},\omega(i)}$�ν�ʬ�᤯���̤�. ������, 
$M_{\bar{f},\omega(i)}$�ζ᤯���̤뵰ƻ���ۤ��������, 
 $\mu_{\bar{f},\omega(i)'}$�ζ᤯���̤뵰ƻ�ι��ۤ˵��夵���. 
����Ϥ��Ǥ�, �����ι���ˡ�ǹԤʤä����ȤǤ���. 

$\omega_j = \rho(\Gamma_-)$�ޤ���$\omega_j = \rho(\Gamma_+)$
�ξ���, $\rho(\Gamma_-) < \omega'_j < \rho(\Gamma_+)$��������
̵����$\omega'_j$��Ȥäư������Ȥ��Ǥ���. ������$\omega'_j$��
$\omega_j$����������Ǥ���, ���ξ��Ϥ��Ǥ˼�갷�ä�����
����Ǥ���. \hfill $\Box$

\newpage
\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf ���. �С����դ�����}
\end{center}

�����ǤΥС����դ������ϼ��Τ�ΤǤ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ����.} $U$��$({\bf R}/{\bf Z}) \times {\bf R}$�γ���ʬ����Ǥ���
�Ȥ�, $A < B \in {\bf R}$�����ä�, 
$({\bf R}/{\bf Z}) \times (-\infty, A) \subset U$����
$({\bf R}/{\bf Z}) \times (B, \infty) \cap U = \emptyset$�Ǥ���Ȥ���. 
$U$�ϱߴĤ�Ʊ��Ǥ���Ȥ�, $\overline{f}$�β������ѤǤ���Ȥ���. 
���ΤȤ�, $U$�Υե���ƥ����ϥ�ץ��åĴؿ�
$u: {\bf R}/{\bf Z} \rightarrow {\bf R}$�Υ���դǤ���. 

\vspace{0.3cm}
����˻�����Τ�, �С����դϾ��ʤ��Ȥ�3��ϽҤ٤Ƥ���
[4, pp. 195 - 196, 422 - 426, 447]. �ǽ��2�ĤˤϾ������Ĥ��Ƥ��뤬, 
�Դ����Ǥ���褦�˻פ���. ��äȺǶ�, �����ʾ������ͤ�����ʬƱ��
����, ���ʤ��, $\overline{f} \in {\cal T}^1$���Ф��ƾ������줿[6,7].
��ͳ�٤ι⤤�Ϥؤζ�̣�������̲���[8]��Ϳ�����Ƥ���. 

[6]�ޤ���[7]�μ�ˡ��$f \in {\cal P}^1$���Ф���ͭ���Ǥ��뤳�Ȥ����餫��
�ʤ�. �����Ǥ�, �С����դ������ξ�����$f \in {\cal P}^1$���Ф���
�Ԥʤ�. ���ξ����ϥС����դΤ�����˱�ä���ΤǤ���. 

$C^1$����
$\gamma: (-\infty,0] \rightarrow {\bf R}/{\bf Z} \times {\bf R}$
��ͤ���. ����$\gamma$��$C^1$������ (�Ĥޤ�1��1�Ǥ��ä�$\gamma'$��
�����ˤʤ�ʤ�)�Ǥ��ä�, $\gamma_2(t)$ ($\gamma(t)$�������ɸ)��, 
$t \rightarrow -\infty$�ΤȤ�$-\infty$�˸������Ȥ���. $\gamma$��
���� (tilt) $\tau_{\gamma}$��ʲ��Τ褦���������. 
$\tau_{\gamma}(t) \equiv {\rm arc~cot}~(\gamma'_1(t)/\gamma'_2(t))$
(${\rm mod}~2\pi$)�Ǥ��ä�, $s \leq t_0$�ΤȤ�
$\gamma_2(s) \leq \gamma_2(t_0)$�ʤ�, $|\tau_{\gamma}(t_0)| \leq \pi/2$
�Ǥ���. ��ñ�ˤ狼��褦��, �����ҤȤĤμ¿��ʹؿ�$\tau_{\gamma}$��
$(-\infty,0]$��ˤ��ä�, �����2�Ĥξ���������. 

����򼨤�����κǽ��1�ʤȤ���, $t$����ʬ�������Ȥ�, $\gamma'(t)=0$
�ξ���ͤ���. ���ξ��, $t$����ʬ�������Ȥ���$\tau_{\gamma}(t)=0$��
�������. $\gamma_2(s) \leq \gamma_2(t_0)$ ($s \leq t_0$)�ΤȤ���
$|\tau_{\gamma}(t_0)| \leq \pi/2$�Ǥ��뤳�Ȥ�������뤿���, 
$t_1 < t_0$����, $s \leq t_1$�ʤ�$\gamma'_1(s) = 0$, 
$t_1 \leq s \leq t_0$�ʤ�$\gamma_2(t_1) < \gamma_2(s) < \gamma_2(t_0)$
�Ȥʤ�褦�ˤ���. $A$��ߴ�${\bf R}/ {\bf Z} \cap [t_1,t_0]$�Ȥ�, 
$\Gamma = \gamma[t_1,t_0] \subset A$�Ȥ���. ��ʬ��������ؤ�ɸ��Ū��
��̤ˤ���, $\Gamma$����ľ���ؤ�$C^1$�����ȥԡ�������. �������줿
���, ���ʤ��, $|\tau_{\gamma}(t_0)| \leq \pi/2$, �Ϥ������˽���. 

���̤ξ����򤳤Υ������˵���Ǥ��뤳�Ȥ�ʲ��Ǽ�����. ���餫��, 
$(-\infty,0]$���Ϣ³�ؿ�$\tau_{\gamma}$��
$$
  \tau_{\gamma}(t) \equiv{\rm arc~cot}~\gamma'_1(t)/\gamma'_2(t) \ \ 
({\rm mod}~2 \pi)
$$
�ʤ��Τ�¸�ߤ���. ���Τ褦�ʴؿ���$2\pi n$ ($n \in {\bf Z}$)��������
���������������. �������줿���������$\tau_{\gamma}$�����֤��Ȥ�
�Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ˤ�, $t_0 < t_1$�����$s < t_0$��������, 
$\gamma_2(s) < \gamma_2(t_0)$ ($s < t$) ���̣�� (?), 
$\gamma_2(s) < \gamma_2(t_1)$ �����$\gamma'_2(t_0)$, $\gamma'_2(t_1)>0$, 
���̣����ʤ�, $|\tau_{\gamma}(t_0) - \tau_{\gamma}(t_1)| < \pi$��
���뤳�Ȥ򼨤����ȤǤ��� (??). 
���Τ����, (��ʬ��������ؤ�ɸ��Ū��̤�Ȥä�) $t$����ʬ�������Ȥ���, 
$\gamma$��$\gamma'(t) = 0$�ʤ�����˥����ȡ��פ�, ������, ���κ�
$\gamma|[t_0,t_1]|$���Ѥ����ˤ�����. ������$\gamma$���Ф���, �������줿
���������$\tau_{\gamma}$�򤹤Ǥ��������. ������$\gamma$���Ф���
$tau_{\gamma}$��������륤���ȥԡ���Ȥ����Ȥ�����. �����ȥԡ���
$\gamma|[t_0,t_1]|$���Ѥ��ʤ�����, $\tau_{\gamma}|[t_0,t_1]|$���Ѥ��ʤ�. 
�����鸵��$\tau_{\gamma}$���������줿���������. 

$\gamma$��{\bf �������˷����Ƥ���}�Ȥ�, $\tau_{\gamma}$��������Ȥ���
���ΤȤ��Ǥ���, $\gamma$��{\bf �������˷����Ƥ���}�Ȥ�, 
$\tau_{\gamma}$��������Ȥ�����ΤȤ��Ǥ���. 

$\overline{f} \in {\cal P}^1$�Ȥ������¤���ñ�˾����Ǥ���褦��,  
$\gamma$���������˷����Ƥ����, $\overline{f} \circ \gamma$����������
�����Ƥ���, $\gamma$���������˷����Ƥ����, $\overline{f}^{-1} \circ \gamma$
���������˷����Ƥ���. 

��$x \in U$���� (���뤤�����)����ã��ǽ�Ȥ�, ���� (�ޤ���, ���)������
$C^1$����$\gamma: (-\infty,0] \rightarrow U$�����ä�$\gamma(0) = x$�Τ�
���Ǥ���. $U_+$ (�ޤ���, $U_-$) ��$U$���, ���� (�ޤ���, ���) ��ã��ǽ
�����ν���Ǥ���Ȥ���. ������η�̤�, $U$��$\overline{f}$���ѤǤ����
�������꤫��, $\overline{f}U_+ \subset U_+$ �����
$\overline{f}^{-1}U_- \subset U_+$������Ω��. 

��$(x_1,x_2) \in U$��{\bf ��ľ����ã��ǽ}�Ǥ���Ȥ�, $y \leq x_2$�ʤ�
��$(x_1,y)$��$U$��°����Ȥ��Ǥ���. ��ľ����ã��ǽ�����ν����$U_0$��
��. ���������, $U_0 = U_- \cap U_+$�Ǥ��뤳�Ȥξ����γ�ά���. 
�ܼ�Ū��Ʊ����̤�[9, ̿��1.2]�ǽҤ٤��Ƥ���. �����Ǥ�, ʸ��[10]
��[4,pp. 422 - 425]�����Ѥ���Ƥ���. ������, �����Ԥ�, �����ΰ���
ʸ���Τɤ��ˤ�����򸫤Ĥ��뤳�ȤϤǤ��ʤ��ä�. ������, �����褦�ʤ��Ȥ�
��������ƤϤ���. �ܾ�����, �����ξ����򸫤��ɼԤʤ�Ǥ���Ϥ��Τ��Ȥ�
����. 

 $U_0 = U_- \cap U_+$����, $U_0 \neq U$�ʤ�$U_+ \neq U$�ޤ���
$U_- \neq U$������Ω��. $U_+ \neq U$�ʤ��ñ�ˤ狼��褦��, 
$\overline{f}U_+$��$U_+$�ο���ʬ����Ǥ���. �Ȥ�����, �����
$\overline{f}$������������¸�Ǥ��뤳�Ȥ�̷�⤹��. Ʊ�ͤ�, 
$U_- \neq U$�ʤ��ñ�ˤ狼��褦��, 
$\overline{f}^{-1}U_-$��$U_-$�ο���ʬ����Ǥ���. ����ɤ�, �����
$\overline{f}$������������¸�Ǥ��뤳�Ȥ�̷�⤹��.

����̷��ˤ��$U_0 = U$���Ф�. 

$(x,y) \in {\bf R}^2$���Ф���, 
$h_{\varepsilon} (x,y)= (x, y+\varepsilon x)$�Ȥ�, 
$\overline{h}_{\varepsilon}$��$({\bf R}/{\bf Z} \times {\bf R}$��
ͶƳ��ʬƱ������Ǥ���Ȥ���. $\varepsilon>0$����ʬ��������, 
$\overline{h}_{\varepsilon} \circ  \overline{f} \circ 
 \overline{h}_{\varepsilon}^{-1}$, 
$\overline{h}_{\varepsilon}^{-1} \circ  \overline{f} \circ 
 \overline{h}_{\varepsilon} \in {\cal P}$�Ǥ���.  
������, ��������줿��̤򤳤�����ʬƱ�������Ŭ�ѤǤ���. 
������, ���ξ���$U$��$\overline{h}_{\varepsilon}(U)$���֤�����, 
��ˤξ���$\overline{h}_{\varepsilon}^{-1}(U)$���֤�������.  

ľ�������줿��̤��, 
$\overline{h}_{\varepsilon}(U)_0 = \overline{h}_{\varepsilon}(U)$
�����
$\overline{h}_{\varepsilon}^{-1}(U)_0 = \overline{h}_{\varepsilon}^{-1}(U)$
�Ǥ��뤳�Ȥ��狼��. ������, ź��$0$��, �ɤ���ξ���
��ľ����ã��ǽ�����ν����ɽ�魯. 

���Τ��ȤϽ�ʬ������$\varepsilon>0$���٤Ƥ��Ф�������Ω�Ĥ���, $U$��
�ե���ƥ����ϥ�ץ��åĴؿ��Υ���դǤ���. \hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
��ε����ϥС����դˤ��. ������, �С����դ�$U_0 \neq U$�ʤ�
$U_- \neq U$�ޤ���$U_+ \neq U$�Ǥ��뤳�Ȥ����餫�Ǥ���Ȥ���. 
�������˴ؤ��ƺ��񤬤��ä��Τ�, �ʲ��Ǥ�����������. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf $U_0 = U_- \cap U_+$�ξ���.}
 
���餫��, $U_0 \subset U_- \cup U_+$�Ǥ���.  ����������޴ط���
���������, $U \backslash U_0$�����$P$��ͤ�, ���줬$U_- \cap U_+$
��ˤʤ����Ȥ򼨤�. $W$��$U \backslash U_0$��Ϣ����ʬ�Τ���
$P$��ޤ��ΤȤ���. $L$��$V$���$W$�Υե���ƥ����Ǥ���Ȥ���. 
$U_0$��������, $L$�ϱ�ľ��ʬ���¤Ǥ���. 

�¤�, $L$��ñ��α�ľ��ʬ�Ǥ���. ���ʤ��, Ϣ����ʬ�ҤȤĤ���ʤ�. 
�Ȥ����Τ�, $L_0$��$L_1$��$L$���2�Ĥ�Ϣ����ʬ�Ǥ���Ȥ����, 
�ʲ��Τ褦��̷�⤬�Ф�. $L_0$����$P_0$��$L_1$����$P_1$����ñ���
$\Lambda_0$��, (ü���������)$W$�˴ޤޤ���Τ����֤��Ȥ��Ǥ��Ƥ��ޤ�. 
Ʊ�ͤ�, (ü���������)$V_0$��°����$P_0$��$P_1$����ñ���
$\Lambda_0$�����֤��Ȥ��Ǥ��Ƥ��ޤ�.
���ΤȤ�, $\Lambda_0 \cup \Lambda_1$��$({\bf R}/{\bf Z}) \times {\bf R}$
���ñ���Ķ����Ȥʤ�, $({\bf R}/{\bf Z}) \times {\bf R}$��2�Ĥ��ΰ��
ʬ���Ƥ��ޤ�. ���Τ����ΤҤȤ�$R$��$U$��°����Ϥ��Ǥ���. 
������$L_0$��ü���� ($L$������ˤ��)$U$���佸����ˤ���, �ҤȤĤ�
$R$��ˤ���Ϥ��Ǥ��� (�ʤ��ʤ�, $\Lambda_0 \cup \Lambda_1$��$L_0$��
1��������뤫��Ǥ���). �����̷��Ǥ���. ����̷�⤫�餹���, 
$L$��ñ��α�ľ��ʬ�Ǥ���. 

���餫��, $L$����¦�ζ᤯������$U_0$��ˤ���, ȿ��¦�����Ϥ����Ǥ�
�ʤ�. ���Ȥ���, $L$�α�¦�˶ᤤ����$U_0$�˴ޤޤ�����ͤ��褦.

���ξ��, $P \not\in U_+$�Ǥ��뤳�Ȥ��������. �����Ǥʤ��Ȥ���. 
�����, ���˷�������
$\gamma: (-\infty,0] \rightarrow ({\bf R}/{\bf Z}) \times {\bf R}$
��, $\gamma(0) = P$�ʤ��Τ�¸�ߤ���. 

����, ������ʤ��ǿޤ�ͤ���. $\widetilde{P}$��������ʤ�ؤ�$P$�λ����夲
��ɽ�魯�Ȥ���. $\widetilde{\gamma}$��������ʤ�ؤ�$\gamma$�λ����夲��
���ä�, $\widetilde{\gamma}(0) = \widetilde{P}$����������ΤȤ���. 
$\widetilde{W}$��������ʤ���$W$�ε�������ʬ�Τ���, 
$\widetilde{P} \in \widetilde{W}$�ʤ��ΤȤ���. 
$\widetilde{L}$��$U$�ε������$\widetilde{W}$�Υե���ƥ�����ɽ�魯��
����. ������, $\widetilde{L}$��������ʤ�ؤ�$L$�λ����夲�Ǥ���, 
ñ��α�ľ��ʬ�Ǥ���. $\widetilde{L}^*$��$\widetilde{L}$��Τ��٤Ƥ���
�ޤ���$\widetilde{L}$��ľ�������ν����ɽ�魯�Ȥ��� 
(������$\widetilde{L}^*$��${\bf R}^2$�α�ľray�Ǥ���). 
$\widetilde{L}^{**}$��$\widetilde{L}^*$��ޤ��ľ���Ǥ���Ȥ���. 

$\widetilde{Q}_0 = \widetilde{\gamma}(t_0)$��$\widetilde{L}^{**}$��
�ǹ����Ǥ��ä�, ������$\widetilde{\gamma}(-\infty,0]$��
$\widetilde{L}^{**}$�ȸ���Ȥ��� (?). [9, 4.3]�Ǥε����ˤ���, 
 $\widetilde{\gamma}(-\infty,t_0)$�����Τ�$\widetilde{L}^{**}$��
���ˤ���. �Ȥ����Τ�, �����Ǥʤ��Ȥ����, $\widetilde{\gamma}$��
���η���������ʤ����ȤˤʤäƤ��ޤ�. 
($\widetilde{\gamma}(-\infty,0]$��$\widetilde{L}$�ȸ���. 
�Ȥ����Τ�, $\widetilde{P} = \widetilde{\gamma}(0) \in \widetilde{W}$
�Ǥ���, $\widetilde{L}$��$U$�ε��������$\widetilde{W}$�Υե���ƥ�����
����, ��ʬ������$t$���Ф���$\gamma(t) \in U$������Ǥ���.)
������Ǿ���$t_1$�����ä�$\widetilde{\gamma}(t_1) \in \widetilde{L}^*$
�����$t_1 \geq t_0$��������. 

����, ������$\delta > 0$���Ф���, $\widetilde{\gamma}(t_1 - \delta)$��
$\widetilde{L}^*$�κ��ˤ��뤫,���ˤ��뤫�ˤ�ä�2�ĤΤ�����ͤ��褦. 
$\widetilde{\gamma}(t_1 - \delta)$�����ˤ�����, [9, 4.3]�ε�����
����, $\widetilde{Q}_1 = \widetilde{\gamma}(t_1)$��
$\widetilde{L}^{**}$�κǹ����Ǥ��ä�, ������
$\widetilde{\gamma}(-\infty,0]$��$\widetilde{L}^{**}$�ȸ���. 
�Ȥ����Τ�, �����Ǥʤ��Ȥ����, $\widetilde{\gamma}$�����η�����
�����ʤ����Ȥˤʤ뤫��Ǥ���. 
$\widetilde{\gamma}(-\infty,0]$��$\widetilde{L}$�ȸ��뤳��, �����
$\widetilde{L}^{*}$����������٤�$\widetilde{L}$��ޤ��Ϥ����겼�ˤ���
���Ȥ���, $\widetilde{Q} \in \widetilde{L}$���Ф�. �Ȥ�����, 
���ΤȤ�$\widetilde{\gamma}(t_1 - \delta) \in \widetilde{W}$�Ǥ���. 
�ʤ��ʤ�, $U$�ε���������Τ���, $\widetilde{L}$�κ��ˤ����Τ�
$\widetilde{W}$��ˤ���. ������, ���ΤȤ�$\widetilde{\gamma}(t)$��, 
����$t < t_1 - \delta$�ˤ�����$\widetilde{L}$�ȸ���. �����$t_1$��
�����̷�⤹�� ($t$��$\widetilde{\gamma}(t) \in \widetilde{L}^*$��
�������Ǿ��Τ�ΤǤ��ä�). ����̷��ˤ���, 
$\widetilde{\gamma}(t_1-\delta)$��$\widetilde{L}^*$�κ��ˤʤ�. 

$\widetilde{\gamma}(t_1-\delta)$��$\widetilde{L}^*$�α��ˤ�����, 
$\widetilde{L}'$��, $\widetilde{\gamma}(t_1-\delta)$���鲼����ľ
ray�Ȥ���. $\widetilde{\gamma}(t_1-\delta) \in U_0$�Ǥ��뤫��, 
$({\bf R}/{\bf Z}) \times {\bf R}$�ؤ�$\widetilde{L}'$�μͱ�$L'$��
$U$��ˤ���. ������, 
$\Lambda = \widetilde{\gamma} (-\infty, t_1 - \delta) \cup \widetilde{L}'$
��$U$�ε�����ˤ���. �����ñ���Ķ����Ǥ���, ${\bf R}^2$��2�Ĥ���ʬ��
ʬ����. ���Τ����ΤҤȤĤ�, ��ʬ�礭��$B$���Ф���
${\bf R} \times [B,\infty)$��ޤ�, �⤦�ҤȤĤ�$\widetilde{L}$��ޤ�, 
$U$�ε����˴ޤޤ��. ������, $\widetilde{L}$��ü����$U$�ε����˴ޤޤ��
������, �����̷��Ǥ���. 

����̷��ˤ��, $L$�α�¦�᤯������$U_0$�˴ޤޤ��Ȥ�
$P \not\in U_+$���Ф�. ������, ������ξ���, $P \not\in U_- \cap U_+$
�Ǥ���. ����ϼ�ĥ�̤�Ǥ���. $\Box$



\begin{thebibliography}{}

\item
S. Aubry and P.Y. Le Daeron, the discrete Frenkel-Kontorova model and
the devil's staircase, {\it Physica} {\bf D7}, 240 - 258, 1983.

\item
S. Aubry, P.Y. Le Daeron, and G. Andr\'e, Classical ground states of a 
one-dimensional model for incmmensurate structures, preprint, 1982. 

\item
V. Bangert, Mather sets for twist maps and geodesics on tori, 
{\it Dynamics Reported} {\bf 1}, 1 - 54, 1988.

\item
G.D. Birkhoff, {\it Collected mathematical papers}, vol. II, 
Amer. Math. Soc., Province, RI, 1950.

\item
C. Carath\'eodory, {\it Variationsr4echnung und partielle 
Differentialgleichung erster Ordnung}, Teubner, Leipzig, Berlin, 1935.

\item
A. Fathi, Appendix to Chapter I of [7].

\item
M.R. Herman, {\it Sur les courbes invariantes par les 
diffeomorhpismes de l'anneau}, vol. 1, As'erisque, nos. 103 - 104, 
soc. Math. France, Paris, 1983.

\item
M.R. Herman, {\it Inequalit\'es a priori pour des tores lagrangiens 
invariants par des diffeomorphismes symplectiques}, preprint, 
September 1989.

\item
P. Le Calvez, Proprietes generales des applications deviant la
verticale, {\it Bull. Soc. Math. France} {\bf 117}, 69 - 102 (1989). 

\item
P. Le Calvez, Proprietes des attracteurs de Birkhoff, 
{\it Ergod. Th. \& Dynam. Sys.} {\bf 8}, 241 - 310 (1988).

\item
R.S. MacKay, J.D. Meiss, and I.C. Percival: Transport in Hamiltonian 
systems, {\it Physica} {\bf D13}, 55 - 81 (1984).

\item
J.N. Mather, Existence of quasi-periodic orbits for twist 
homeomorphisms of the annulus, {\it Topology} {\bf 21}, 457 - 467
(1982). 

\item
J.N. Mather, A criterion for the non-existence of invariant circle, 
{\it Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math.} {\bf 63}, 153 - 204 (1986).

\item
J.N. Mather, Letter to MacKay, Feb. 21, 1984.

\item
J.N. Mather, More Denjoy minimal sets for area preserving 
homeomorphisms, {\it Comment. Math. Helv.} {\bf 60}, 508 - 557 (1985)

\item
J.N. Mather, Modulus of continuity for Peierls's barrier, in 
{\it Periodic Solutions of Hamiltonian Systems and Related Topics}
(Rabinowits et al., eds.), NATO ASI Series C, vol. 209, 
Reidel, Dordrecht, 1987, pp.177 - 202.

\item
J.N. Mather, Destruction of invariant circles, 
{\it Ergod. Th. \& Dynam. Sys.} {\bf 8}, 199 - 214 (1988).

\item
J.N. Mather, Minimal measures, {\it Comment. Math. Helv.} {\bf 64}, 
375 - 394 (1989).

\item
I.C. Percival, Variational principles for invariant tori and cantori, 
{\it Sympos. on Nonlinear Dynamics and Beam-Beam Interactions}
(M. Month and J.C. Herrara, eds.), American Inst. of Phys. Conf. Proc., 
no. 57, 1980, pp.302 - 310. 

\item
I.C. Percival, A variational principle for invariant tori of 
fixed frequency, {\it J. Phys. A} {\bf 12}, L57 - L60 (1979).

\item
I.C. Percival, Definite paths and upper bounds on regular regions of
velocity phase space, {\it Physica D} {\bf 6}, 249 - 259 (1982/83).

\item
E.C. Titchmarsh, {\it The theory of functions}, Clarendon Press, Oxford, 
1932

\end{thebibliography}


%
\end{document}

