\documentstyle[12pt,twoside]{jarticle}
%
\oddsidemargin 0.0cm
\evensidemargin -1.0cm
\topmargin 0.0cm
%
\textwidth 16.8cm
\textheight 22.5cm
\footheight 0.5cm
\newcommand{\re}{\vspace{0.15cm}\par\hangindent=0.7cm\noindent}
%
\begin{document}
\setlength{\baselineskip}{3ex}

\begin{flushright}
ë����δ ��
\end{flushright}

\noindent
{\it Trans. Amer. Math. Soc.} {\bf 14} (1913), 14-22.

\begin{center}
{\large 
{\bf �ݥ��󥫥�δ����������ξ���} \\
{\bf Proof of Poincar\'{e}'s geometric theorem}
}

\vspace{0.5cm}
George D. Birkhoff
\end{center}

\vspace{0.5cm}
Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo��(Vol.33, 1912, 375-407)�˺Ƕ�ܤä������ؤΤ�������(Sur un th\'{e}or$\grave{\rm e}$me de G\'{e}om\'{e}trie)�ʤ���̾����ʸ�ˤ����ơ��ݥ��󥫥�ϤȤ������»�������ˤȤäƤ����ؤ���פʰ�̣�����������ȯɽ��������������Ĺ���ͻ����������Ĥ���ü�ʾ����갷���Τ��������������ʤΤǡ���Ϥ���������¾�ο��ؼԤ����ιͻ���Ǥ���뤳�Ȥˤ�����

������ǯ���δ֡���Ϥ����������󵯤���Τ˻������ʤ������ͤ��Ƥ��������Τ��ӻ䤬�����ǻȤä���ˡ��Ŭ�ѤǤ��뤳�Ȥ˵��Ť�����������ʸ�Ǥϻ������û�������򼨤������θ夽�줫��Ƴ���줿��̤��դ��ƤϽҤ٤ʤ����Ȥˤ���
\footnote[1]{�Ƕ�Τ錄���η�̤ϡ�{\it Bull. Soc. Math. France}��˶᡹�Ǥ�Ϥ�����ʸ"Quelque th\'{e}or$\grave{\rm e}$mes sur les mouvements des syst$\grave{\rm e}$mes dynamique"�˽񤤤Ƥ��롥}��

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf 1. �������Ľ�}

�ݥ��󥫥�������ϼ��Τ褦�ʴ�ñ�ʷ��ǽҤ٤뤳�Ȥ��Ǥ��롥Ⱦ�¤����줾��$a$��$b$$(a > b > 0)$��2�Ĥ�Ʊ����$C_a$�����$C_b$�ˤϤ��ޤ줿�ߴ��ΰ��$R$�Ȥ��롥$T$��$R$�򤽤켫�Ȥ˼̤�Ϣ³�ʰ��а��Ѵ��Ǥ��äơ�$C_a$��������������$C_b$�������������˿ʤᡢ������������¸�Ǥ����ΤȤ��롥\underline{���ΤȤ���ư�������ʤ��Ȥ�2�Ĥ���}��

�����ˤ����äƽ����˺�ɸ$y = r^2, x = \theta$���Ѥ��롥������$r$�ϱߤ��濴������$(x,y)$�ޤǤε�Υ��$\theta$�ϱߤ��濴���̤뤢����ꤷ��ľ������¬�ä���$(x,y)$�����̳ѤǤ��롥���ΤȤ��Ѵ�$T$�ϼ��Τ褦�˽񤱤롥
$$ \begin{array}{cc}
   x' = \varphi (x,y), & y' = \psi (x,y).
   \end{array}
$$

�ؿ�$\psi(x,y)$��$(x,y)$��Ϣ³�ؿ��Ǥ��äơ�$R$�γ����ǰ�դ˷�ޤ롥�������ä�$\psi$��$x$�˴ؤ�����$2 \pi$�Ǥ��롥����$\varphi(x,y)$�Ϥ��줾�줬$2 \pi$�������ܤ����ۤʤ�̵�¸Ĥ��ͤ�Ȥꤦ�뤬���������ͤ򥰥롼��ʬ������Ϣ³��ʬ�ޤ�ʤ��褦�ˤǤ��롥$(x + 2 \pi, y)$��$(x,y)$��$R$��Ʊ������ɽ�魯���顢��$(x + 2 \pi, y)$����$(x,y)$���Ф���$\varphi$���ͤ򤽤줾�죱�ļ�ä��������Ȥ�ȡ������$2 \pi$�������ܤǤ��롥�����Ƥ��κ��Ϥ��٤Ƥ�$x$��$y$���Ф���$2 \pi$�������ܤȤ���Ʊ���ͤ�Ȥ�٤��Ǥ��롥���κ���Ϣ³�ؿ�������Ǥ��롥�Ȥ�������$(x,y)$����$C_a$���������˰���������$(x',y')$���$C_a$�������롥�����餳��ƻ�˱�ä�$x$��$2 \pi$���ä���Ȥ�$\varphi(x,y)$��$2 \pi$���ä��롥�������ơ����Ϲ���Ū��$2 \pi$������������������С�$x$��$2 \pi$���ä���ȴؿ�$\varphi(x,y)$�Ϥ��켫��$2 \pi$���ä��롥

$\varphi(x,y)$��$\psi(x,y)$�ξ嵭�������������餫��$x'-x$��$y'-y$�ϤȤ��$R$����ǰ������Ϣ³�Ǥ��롥

�����ξܺ٤ʰ�̣�ϼ��ΤȤ���Ǥ��롥
$$ \begin{array}{ccc}
  C_a�˱�ä� \ x' > x & ���� & C_b�˱�ä� \ x' < x,
   \end{array}
$$
�Ȥʤ�褦��$\varphi(x,y)$��Ǥ�դ˷�᤿�Ȥ�($T$�˴ؤ�����Ϥ��Τ褦�����������ǽ�ˤ��Ƥ���)��$R$���
$$ \begin{array}{cc}
    x' = x, & y' = y,
   \end{array}
$$
�ʤ��������ʤ��Ȥ�2�����롥

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf 2. ����ˡ�ˤĤ���}

�ݥ��󥫥줬��Ŧ�����̤�(�嵭��ʸ�� p.377)����ư�������Ĥ���Ф������ˤ⤦���Ĥ���ư����¸�ߤ������롥\underline{�������������������ʤ����}$T$\underline{����ư��������ʤ��Ȳ���Ǥ���}�����ΤȤ�$R$�Τ��٤Ƥ������Ф���
$$
   (x' - x)^2 + (y' - y)^2 > d^2 > 0,            \leqno(1)
$$
�Ǥ��롥�ʤ��ʤ�ߴ�$R$���$x'-x, y'-y$�ϰ��Ϣ³�Ǥ��ꡢ�ޤ�Ʊ���ˤ�$0$�ˤʤ�ʤ�����Ǥ��롥����$(1)$��̷���Ƴ�����Ȥ򼨤���������������褦��

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf 3. ����Ѵ�}

$0 < \varepsilon < b^2$�ΤȤ���
$$ \begin{array}{cc}
    x' = x, & y' = y - \varepsilon,
   \end{array}
$$
�ʤ���а�Ϣ³�Ѵ�$T_{\varepsilon}$�ϱ�$C_a$��$C_b$�򤽤줾��Ʊ����$C'_a: y = a^2 - \varepsilon$��$C'_b: y = b^2 - \varepsilon$�˼̤���������$C'_a$��$C_a$����¦�ˤ��ä�$C_a$����$a - \sqrt{a^2 - \varepsilon}$�ε�Υ�ˤ��ꡢ$C'_b$��Ʊ�ͤ�$C_b$����¦�ˤ��ä�$C_b$����$b - \sqrt{b^2 - \varepsilon}$�ε�Υ�ˤ��롥�����Ѵ���ʿ�̤����˸����Ƽ��̤����롥���κݡ����٤Ƥ�����Ʊ��ư�¾�����˼̤��졢������������¸�Ǥ��롥�ʤ��ʤ顢$dx$��$dy$���Ѵ��ˤ�ä����Ѥǡ�������ʬ�ϼ�����Ϳ�����뤫��Ǥ��롥
$$
   \int \int rdr d \theta = \frac{1}{2} \int \int dxdy.
$$

���ơ�$T T_{\varepsilon}$��$T$����Ѥ������$T_{\varepsilon}$����Ѥ������Ѵ����̣����Ȥ��ơ�$\varepsilon < d$�Ǥ���¤ꡢ����Ѵ�$T T_{\varepsilon}$����ư��������ʤ����Ȥ����Τϡ�$x,y$��ߴ�$R$���б�������$S:$
$$ \begin{array}{cc}
   - \infty < x < + \infty, & b^2 \leq y \leq a^2,
   \end{array}
$$
������ľ�Ѻ�ɸ�Ȥ���ȡ���$(x,y)$�Ͼ��ʤ��Ȥ�$d$����$S$���$T$�ˤ�äư�ư����$T_{\varepsilon}$�ˤ�äƤ����$\varepsilon$����$y$������������˰�ư���뤫��$\varepsilon < d$�ʤ�ɤ����������֤����ʤ�����Ǥ��롥���ι����Ѵ�$T T_{\varepsilon}$�򼡤η��˽񤳤���
$$ \begin{array}{cc}
  \overline{x}' = \varphi(x,y), & \overline{y}' = \psi(x,y) - 
\varepsilon.
   \end{array}
$$
����$\varepsilon$�򼡤Τ褦�˾���������Ǹ��ꤷ�褦��
$$ \begin{array}{ccc}
    \varepsilon < b^2, & \varepsilon < d, & \varepsilon < a^2 - b^2. 
   \end{array} \leqno(2)
$$

����¿���ؿ�
$$
   \omega(x,y) = \arctan \frac{y' - y}{x' - x},  \leqno(3)
$$
��ͤ��褦�����뤤�Ϥ�ä����Τˡ����δؿ���ʬ�ޤΤ����������ͤ���$S$�����$(x,y)$������$(x',y')$�˰������٥��ȥ뤬$x$�����������Ȥʤ����٤Ȥʤ�褦��ʬ�ޤ�ͤ���(�⤦��Ĥ�ʬ�ޤϤ��Υ٥��ȥ����٥��ȥ���б�����)��(1)���Τ������ǡ����δؿ���$S$�Τ��٤Ƥ�����Ϣ³�Ǥ��ꡢ����椨�����ʬ�ޤˤ����ޤꡢ$S$���Τ�Ϣ³�Ǥ��롥

���Τ��������μ��ʬ�ޤΤɤ��Ĥ�ȤäƤ⡢$C_a$�����$C_b$�˱�äƤ��줾��$\pi$�Τ����ޤä������ܤȴ���ܤǤ��롥�ʤ��ʤ顢$C_a$�˱�ä�$x'>x, y'=y$���ޤ�$C_b$�˱�ä�$x'<x, y' = y$������Ǥ��롥

���Ǥ˸����Ȥ��ꡢ�ؿ�$y'-y$��$x'-x$��$x$�˴ؤ��Ƽ���$2 \pi$�Ǥ��뤫�顢$\omega(x,y)$�γ�ʬ�ޤ���$(x + 2 \pi, y)$����$(x,y)$��($0$��ޤ��)$2 \pi$�������ܰۤʤ롥ʬ�ޤ�Ϣ³�Ǥ��뤫�顢���������ͤ�$S$���Τ�Ʊ��Ǥ��롥�Ȥ�������$C_a$�˱�äơ��ޤ�$C_b$�˱�äƤ�����ʬ�ޤϤ��Ǥ˻�Ŧ�����Ȥ�������ͤ�ͭ���롥�����餳�������ͤϼº�$0$�Ǥ��롥�����顢$\omega(x,y)$�Τ�����ʬ�ޤ�$x$�˴ؤ��Ƽ���$2 \pi$�Ǥ��롥�Ĥޤ�$R$��ǰ���Ǥ��롥

Ʊ�ͤ�¿���ؿ�
$$
  \overline{\omega} (x,y) = 
\arctan \frac{\overline{y}' - y}{\overline{x}' - x},  \leqno(4)
$$
��$(x,y)$����$(\overline{x}',\overline{y}')$�ؤΥ٥��ȥ뤬$x$�������������Ȥʤ����٤�Ϳ���롥���δؿ���Ʊ�ͤ˰����Ϣ³��ʬ�ޤˤϤ��롥����˴ؿ�
$\overline{y}' - y = y' - y - \varepsilon$��$\overline{x}' - x = x' - x$��$x$�˴ؤ�����$2 \pi$�Ǥ��롥�ޤ�$\overline{\omega}(x,y)$�γ�ʬ�ޤ�$\omega(x,y)$��Ʊ��$x$�˴ؤ�����$2 \pi$�Ǥ��롥�Ĥޤ�$R$��ǰ���Ǥ��롥

$\omega(x,y)$��$\overline{\omega}(x,y)$��ʬ�ޤ��ȤϤ��٤Ƥ���$(x,y)$�ˤ������ͤ����θ����Ƿ�ޤ�褦��Ĵ���Ǥ��롥
$$
   | \omega(x,y) - \overline{\omega}(x,y) | < \frac{\pi}{2}.  \eqno(5)
$$
������Ū�ˤϤ�������餫�Ǥ��롥�Ȥ����Τϡ�$S$�����$(x',y')$����$(x,y)$���龯�ʤ��Ȥ��Υ$d$Υ��Ƥ��ꡢ��($\overline{x}', \overline{y}')$����$(x',y')$����$\varepsilon < d$����Υ��Ƥ��롥�����飳�����Ĥ��뻰�ѷ�����$(x,y)$�ˤ����ƺ����٤Ϸ褷��$\pi/2$���������ʤ�ʤ���������$S$�Τ��������(5)���ˤ������äƣ��Ĥ�ʬ�ޤ�ط������Ƥ����С�$S$�������Ϣ³Ū���Ѳ��������Ȥ�Ʊ����������$S$��Τ�����Ȥ�������Ω����Ϥ��Ǥ��롥

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf 4. ����Ѵ��Τ�Ȥ����Ѥʶ����ι���}

$R$���Ѵ�$T T_{\varepsilon}$�ˤ�ä�$C_a$��$C'_a$�˼̤롥$C'_a$��Ⱦ��$\sqrt{a^2 - \varepsilon}$�Ǥ��ꡢ$\varepsilon < a^2 - b^2$������Ǥ���Τǡ�$C_a$��$C_b$�δ֤ˤ��롥�⤦����$T T_{\varepsilon}$����Ѥ�����ȡ�$C'_a$��ñ���Ķ���$C''_a$�˼̤롥$C'_a$��$C'_b$�ˤϤ��ޤ줿�ߴ��ΰ��$R'$�Ȥ��ơ�$T T_{\varepsilon}$��$R$��$R'$�˼̤����а�Ϣ³�Ѵ��Ǥ��ꡢ$R$��$T_{\varepsilon}$�ˤ�äƽ̤ࡥ$C'_a$��$R$�˴ޤޤ�$C_b$��Ϥफ�顢������$C''_a$��$R'$�˴ޤޤ�(�������ä�$C'_a$����¦�ˤ���)��$C'_b$����Ϥࡥ������Ѵ�$T T_{\varepsilon}$�ˤ�ä�$R$��αߴ�$C_aC'_a$��$R'$�������αߴ�$C'_aC''_a$�˼̤롥������ξ�Ԥ����αߴĤ���¦�ζ���$C'_a$�Ǹߤ����ܤ��롥$C''_a$���Τ�$R$�˴ޤޤ��ʤ顢�����$C_b$��$C'_b$����Ϥߡ�$T T_{\varepsilon}$�ˤ��$C''_a$����$C'''_a$��ñ���Ķ����Ǥ��ä�$C''_a$����¦�ˤ��ä�$C'_b$����Ϥࡥ��������$C''_aC'''_a$���軰�αߴĤζ���������������αߴ�$C'_aC''_a$����¦�ζ���$C''_a$���ܤ��롥���β�����³���Ƥ����С�����Ҥˤʤä�ñ���Ķ�������$C'_a, C''_a, \ldots$�������롥�ޤ����б�����ߴĤ���$C_aC'_a, C'_aC''_a, \ldots$�������롥���β������Ķ������Τ�$R$�˴ޤޤ��¤�³���뤳�Ȥ��Ǥ��롥

�ߴ�$C_aC'_a$�����Ѥ�$\pi \varepsilon$�Ǥ��ꡢ�Ѵ�$T$�����$T_{\varepsilon}$�Ϥ��줾��������¸�Ǥ��뤫�顢��$C'_aC''_a, C''_a$ $C'''_a, \ldots$��ߤ�Ʊ������$\pi \varepsilon$��ͭ���롥�ߴĤ������ڤ��ΤϤ������$C^{(n)}_a (n \geq 2)$�ξ��ʤ��Ȥ��������$C_b$����¦�����������Ȥ��Ǥ��롥�Ȥ����������٤Ƥ�$l$���Ф���$C_a$��$C_a^{(l)}$�δ֤����Ѥ�$\pi l \varepsilon$�Ǥ��뤫��$l$����ʬ�礭�����$\pi l \varepsilon$��$R$�����Ѥ�Ķ���롥�����餳�Τ褦��$C^{(n)}_a$��¸�ߤ��롥�椨�ˡ�$C_a$��ˤ����������$P$�����äƤ�������$n$���ܤ����ϱ�$C_b$�����¦�ˤ��롥

����ɤϡ���$S$���ܤ�ž�����Ӥξ�ü$C_a$�����$P$��ɽ���Σ��Ĥ�Ȥ����������Ǥ�$C'_a$��$C_a$���$\varepsilon$�������˰��֤���ľ���Ǥ��ꡢ$C''_a, C'''_a, \ldots$�Ϥ��줾��ƶ��$2k \pi \leq x \leq 2(k+1) \pi$�ǹ�Ʊ�ʷ��򤷤Ʊ��ˤ⺸�ˤ�̵�¤˱�Ӥ�ñ��̵�³������Ǥ��롥�ߴ�$C_aC'_a, C'_aC''_a, \ldots$��$S$���ñ���������ˤϤ��ޤ줿�ؤ���Ȥ���ɽ�蘆��롥$P'$��$P$���������Ȥ���$P$��$P'$����ʬ$PP'$�Ƿ�ܤ���������ʬ����$C_aC'_a$�˴����˴ޤޤ�롥��$P'P''$��$T T_{\varepsilon}$�ˤ��$PP'$������$P''P'''$��Ʊ����$P'P''$������$\cdots$�Ȥ��롥���Τ褦�ˤ��ơ��༡$PP', P'P'', \ldots, P^{(n-1)}P^{(n)}$���ۤ���С�������$S$��Ǥ��줾��$C_aC'_a, C'_aC''_a, \ldots, C^{(n-1)}_aC^{(n)}_a$�˴ޤޤ졢������Ǹ�θɤ�ü��$P^{(n)}$��$S$�β�¦�ζ���$C_b$�β�¦�ˤ��롥

\vspace{2cm}
\hspace*{6cm} ��

\vspace{4cm}
���θ��󤬤Ϥ�����Ӥβ�ü$C_b$�ȸ�������$Q$�Ȥ���(�޻���)�����餫�ˤ��θɤ��󤫤鹽����������$PQ$��ñ��Ǥ��롥$PP', P'P'', \ldots$��ñ��ɤ���Ǥ��ꡢ���줾��$S$���$C_aC'_a, C'_aC''_a, \ldots$�˴ޤޤ�Ƥ��뤫��Ǥ��롥���Τ���$PQ$�����Τ�$C_a$��$C_b$�δ֤˴ޤޤ�롥

�Ѵ�$T T_{\varepsilon}$�ˤ��$PQ$����$P'Q'$��$P'Q$�Ȥ��α�Ĺ��ˤ���ñ���$QQ'$�������롥��������$Q^{-1}$��$T T_{\varepsilon}$�ˤ��$Q$�ε����Ȥ���$QQ'$��$Q^{-1}Q$�����Ǥ��롥��$QQ'$��$R$�������$T T_{\varepsilon}$�ˤ�����Ǥ��äơ�������ľ��$C'_a$�β��ˤ��롥�Ȥ��ˤ��θɤ�ü��$Q'$�Ϥ������$C'_b$��ˤ��롥����ˡ�$QQ'$��$PQ$�Ȥζ�������$Q$�ΤߤǤ��롥�ʤ��ʤ鶦����������С������$P'Q$��ˤ��뤬$T T_{\varepsilon}$�εռ�������Ѥ�����С�$Q^{-1}Q$��$Q^{-1}$�ʳ���$PQ^{-1}$�ȶ�������ͭ���뤳�Ȥˤʤ뤬�������$PQ$��¿����������ʤ����Ȥ���ͭ�����ʤ���������$PQ'$��ñ������Ǥ��롥

�Ѵ�$T T_{\varepsilon}$�ˤ�ä�$PQ'$�θ�$PQ$��$PQ'$�θ�$P'Q'$�˼̤롥���κݡ�$PQ$��γ�����$PQ'$������ʤ��롥���ΰ�̣�Ƕ���$PQ$���Ѵ��Τ�Ȥ����ѤǤ��롥

$T$�����$T_{\varepsilon}$���������顢�ޤ˼������褦�ˡ�$P'$��$x$��ɸ��$P$��$x$��ɸ����礭����$Q'$��$x$��ɸ��$Q$��$x$��ɸ��꾮������

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf 5. ���Ѷ�����Ǥ����Ū��-���٥��ȥ�β�ž}

��$B$��$PQ'$�˱�ä�$P$����$Q$�ޤ�ư���С����ΤȤ����餫��$T T_{\varepsilon}$�ˤ�뤽����$\overline{B}'$��$P'$����$Q'$�ޤ�Ʊ�������˱�ä�ư����������$\overline{B}'$�Ϸ褷��$B$�Ȱ��פ��ʤ�������ɤ�(ľ��Ū�ˤϤ��Ǥ����餫����)���б����ƥ٥��ȥ�$B \overline{B}'$�β�ž�Ѥ�$- \pi$��ľ��$P P'$�����$Q Q'$��$x$���Ȥʤ��ԳѤ�ä�����Τˤʤ뤳�Ȥ򼨤�����

�Ϥ���ˡ���ž�Ѥ����γ��٤�$2 \pi$�������ܤ������ʤ����Ȥ�����Ǥ��롥��ž�Ѥ����礦�ɾ�˽Ҥ٤����٤Ǥ��뤳�Ȥϡ�ñ��ʰ��ֲ��Ϥιͻ��˰�¸���롥�����򼨤�����������¤ϡ���$P, P', Q, Q'$��ޤ�ñ�����������̤äƶ���$PP'QQ'$��Ϣ³Ū���ѷ����ơ����ζ������ޤ���$PP'QQ'$��ľ�����ȤǤ���(�޻���)��

$t$��ñĴ���ä���ѥ�᡼�����Ȥ�������$PQ$�塢$P, P', Q, Q'$�Ǥ��줾��$t_0, t'_0, t_1, t'_1$���ͤ�Ȥ��ΤȤ��롥��$B$�ˤ�����$t$�ΤȤ���$\overline{B}'$�ˤ�����$t$���Ȥ��ͤ�$\tau(t)$�Ȥ��롥���餫��$\tau(t)$��$t(t_0 \leq t \leq t_1)$��Ϣ³�����ôؿ��Ǥ��äơ�$\tau(t) > t$�ʤ���������ġ������Ƕ������ѷ����褦
\footnote[1]{�ѷ�����ˤ�Ʊ�������ΰۤʤ�ѥ�᡼���Ť���ޤ�Ȥ��롥}��
�����������ζ����ϤĤͤ�$P,P',Q,Q'$���̤ꡢ�������ˤ�����$t$���ͤ�����Ʊ��$t_0, t'_0, t_1, t'_1$�Ǥ���Ȥ��롥�ѷ����줿�����Ȥ�Ȥζ������Ʊ��$t$���б��������ε�Υ�����ͤ˾�������С��ѷ����줿�����˱�äƤΥ٥��ȥ�$B \overline{B}'$������ž�ѤϤ�Ȥζ����˱�äƤβ�ž�Ѥ����Τ����������ʤ��ʤ顢������֤Ⱥǽ����֤ϤȤ���������ơ��٥��ȥ�Ʊ�Τγ��٤κ��Ϥ��٤���֤ΰ��֤ˤ����ư��ͤ˾���������Ǥ��롥

�������ˤ�ꡢ����$PP'QQ'$��Ϣ³�ѷ�����������Ĥͤ�$P,P',Q,Q'$��ޤ�褦��ñ������Ǥ���褦�ˤ����ѷ�������Ǥ��ޤ��ѥ�᡼���������֤��Ȥˤ�ä�$B \overline{B}'$������ž�Ѥ����ѤˤǤ��롥

����$PQ$�ϴ�����$S$�˴ޤޤ�뤫��$S$�γ��ˤ�����ʬ$QQ'$�϶���$PQ$�ȸ���ʤ����������$QQ'$����$C'_aC'_b$����Ϥ߽Ф�����ľ��$QQ'$�ؤ�Ϣ³Ū���ѷ��Ǥ��롥�ʤ��ʤ顢$C'_a$��$C'_b$�ˤϤ��ޤ��Ϣ³�Τ˶���$P'Q$�ˤ�ä��ڤ��ܤ�����Ƥ�ñϢ��Ǥ��뤫�顢��$Q$��$Q'$����Ǥ�դ�(����Ϣ³�Τ˴ޤޤ��)ñ�������ñ�����������̤ä��ѷ�����������$Q$��$Q'$�ʳ����ڤ��ܤ˿��줺�ˤ�äƤ����뤫��Ǥ��롥

���ˡ���$P'Q$��$P'$��$Q$����$C'_aC_b$���ñ�������̤���Ϣ³Ū����ʬ$P'Q$���ѷ��Ǥ��롥��ʬ$QQ'$��$PP'$��$C'_aC_b$������ͭ���ʤ�����Ǥ��롥

�������Ȥζ����˱�äƤ�$B \overline{B}'$�β�ž�ϣ��Ĥ�ľ��ʬ$PP', P'Q, QQ'$���������ޤ����˱�äƤβ�ž�ѤȤޤä���Ʊ���Ǥ��롥������֤���ǽ����֤ޤǤ��ޤ����˱�äƤβ�ž�����餫��$- \pi$��ľ��$PP'$��$QQ'$��$x$���Ȥʤ��ԳѤ�ä�����Τ����������������Ƥ����μ�ĥ�Ͼ������줿��

��Ȥζ�����ǡ�$\overline{B}'$��$B$���Ѵ�$T T_{\varepsilon}$����Ѥ�������줿��$B$�κ�ɸ��$(x,y)$�Ȥ���ȡ�$\overline{B}'$�κ�ɸ��$(\overline{x}', \overline{y}')$�Ǥ��ꡢ$B \bar{B}'$\underline{�β�ž����}$(x,y)$\underline{�����Ѷ���}$PQ$\underline{���}$P$\underline{����}$Q$\underline{�ޤ�ư���Ȥ��δؿ�}$\overline{\omega} (x,$ $y)$\underline{���Ѳ���¬���}��

������$\overline{\omega}(x,y)$��Ϣ³��ʬ��$\overline{\omega}_1 (x,y)$�Ȥ���$P$�ˤ�����$PP'$��$x$���Ȥʤ��ԳѤ����ͤ�Ȥ��������Τ褦�˷���ȡ���$Q$�ˤ����Ƥϡ�$\overline{\omega}_1 (x,y)$��$- \pi$�˥٥��ȥ�$QQ'$��$x$���Ȥʤ��ԳѤ�ä����ͤ�Ȥ롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 6. $T$�ˤ����-���٥��ȥ�β�ž}

����ɤϴؿ�$\omega (x,y)$��Ϣ³��ʬ��$\omega_1 (x,y)$�Ȥ��ơ�$S$�ξ�ü$C_a$�ˤ�����$0$��Ȥ��Τ���ꤷ�褦��

2�Ĥδؿ�$\overline{\omega}_1 (x,y)$��$\omega_1 (x,y)$��$P$�ˤ�����$\pi/2$̤���������ʤ���������������(5)�Ƿ�ӤĤ���$\overline{\omega} (x,y)$��$\omega (x,y)$��ʬ�ޤ⤽���Ǥ��ꡢ�����$S$���Τ�����Ω�ġ����ξ塢$\overline{\omega}_1 (x,y)$�κǽ��ͤ�$Q$�ˤ�����$- \pi$��$\pi/2$̤���������ʤ���������$Q$�ˤ�����$\omega_1(x,y)$��$- \pi$��$\pi$̤���������ʤ����Ȥ�����$\omega (x,y)$��Ǥ�դ�ʬ�ޤ�$C_b$���$\pi$�δ���ܤ����������Ȥ��狼�äƤ��롥������ؿ�$\omega_1(x,y)$��$Q$�ˤ����ơ��ޤ�$C_b$��Τ��٤Ƥ����ˤ�����$- \pi$�Ǥʤ���Фʤ�ʤ���

�������ä���$(x,y)$��$C_a$���������$C_b$������ؤɤ�ʻ�����ư���Ƥ⡢$\omega_1 (x,y)$���Ѳ���$- \pi$�Ǥ��롥��������С�\underline{��}$B$\underline{��}$S$\underline{��Ǥɤ�ʻ�����}$C_a$\underline{����}$C_b$\underline{��ư�����Ƥ�}��$T$\underline{�ˤ��}$B$\underline{����}$B'$\underline{�Ȥ�} \underline{�Ĥ���٥��ȥ�}$BB'$\underline{������ž�Ѥ����Τ�}$-\pi$\underline{�Ǥ���}��

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 7. �����δ���}

���˵��Ѵ�$T^{-1}$��ͤ��褦�������Ѵ���$C_a$��$C_b$��������������ư�����Ȥ������������$T$�ˤ褯���Ƥ��롥�о����ˤ�ꡢ$B'$��$T^{-1}$�ˤ����$B$���֥٥��ȥ�$B'B$��$B$��$B'$��$C_a$����$C_b$��ư���֤�$+ \pi$������ž���롥

�����ǥ٥��ȥ�$B'B$��$BB'$�ȵ�����������Ƥ��롥���������ĤΥ٥��ȥ�$BB'$��$B'B$�μºݤβ�ž�Ϥ������Ʊ���Ǥ��롥������̷�⤬Ƴ���줿���������������ϴ����˾������줿��

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 8. �����ΰ��̲�}

�ݥ��󥫥���������꼰������ˤ����äơ�ɬ������������¸�Ǥʤ�������ʬ������
$$
   \int \int P(x,y) dxdy \ \ \ (P(x,y)>0),
$$
��¸�ߤ�������줿��������$(x,y)$����$(\xi, \eta)$�ؤ�Ŭ���ʺ�ɸ�Ѵ��ˤ�ä���ʬ�����̤�ñ���������¸�̤˵��夹�뤳�Ȥ��Ǥ��롥

ľ��$\eta= {\rm const.}$��$C_a$�����$C_b$��Ʊ���αߤȤ����Ʊߤ��Ф��ƿ�$\eta(y)$������ǡ�����$C_b$����$C_a$��ư���ˤĤ��$C_b$��ư�����̤�ߤδ֤˶��ޤ��ߴľ�������ʬ��$\eta$���������ʤ�褦�ˤ��롥���ʤ����
$$
   \eta (y) = \int_{b^2}^{2\pi} 
\left\{ \int_0^{2\pi} P(x,y) dx \right\} dy .
$$
���δؿ�$\eta(y)$�����餫��Ϣ³�������äǡ�����Ϣ³��ʬ����ġ����ʤ����$$
   \frac{\displaystyle d \eta (y)}{\displaystyle dy} = 
\int_0^{2\pi} P(x,y) .
$$

��������Τ˸����С�$\eta$�����ϡ�$\eta$�����ä�Ʊ������$\int \int P(x,y) dxdy$�����ä���褦�����֤���Ƥ��롥������(Ʊ���������Τʰ�̣�Ǥ���)��$\xi$����������ǡ�2�Ĥ���³��$\eta$������ľ��$x=0$�δ֤�Ʊ�������ʬ�����ä�$\xi$�����ä��������ʤ�褦�ˤ��롥

����$\xi = {\rm const.}$�򤳤Τ褦�����٤뤳�Ȥϼ��Τ褦�ˤ���ʬ���롥$x=f(y)$��$R$���$C_a$��$C_b$�˷��Ǥ�դζ����Ǥ��äơ����ľ��$x=0$�����ζ���$x=f(y)$����$C_b$������ӱ�$y=$����˰Ϥޤ�����Ѥ����Ĥ�$\eta(y)$�����㤹��褦�ˤ��롥�Ĥޤꡢ
$$
   \int_{b^2}^{2\pi} \left\{ \int_0^{f(y)} P(x,y) dx \right\} dy  = 
\frac{\displaystyle k}{\displaystyle 2\pi} \eta(y) . 
$$
��ǽҤ٤�$\eta(y)$���������顢�����������ϼ���Ʊ�ͤǤ��롥
$$
   \int_0^{f(y)} P(x,y) dx = 
\frac{\displaystyle k}{\displaystyle 2\pi} 
\frac{\displaystyle d \eta(y)}{\displaystyle dy}. 
$$
$k$��Ϳ����줿�Ȥ�����$f(y)$�����餫��$y$�ΰ��Ϣ³�ؿ��Ǥ��롥$P(x,y)$��$d \eta(y)/dy$������Ϣ³������Ǥ��롥���ξ塢$k$�����ä����$f(y)$��Ϣ³Ū�����ä��롥������ߤ��˸���ʤ�����$x=f(y)$�ν��礬����졢������$\eta = {\rm const.}$��Ʊ���褦�˱ߴ�$R$�����Ĥ�����$x=0$��$k=0$���б����뤳�ȡ��ޤ�$\eta(y)$��������$x=2\pi$��$k=2\pi$���б����뤳�Ȥ����դ���ɬ�פ����롥�����ˡ�Ƿ�᤿$k$�����$x=f(y)$���Ǥ�դ����κ�ɸ$\xi$�ȹͤ��롥

��������ʬ�����̤�������$\int \int d\xi d\eta$�Ȥʤ�褦�ʺ�ɸ$(\xi,\eta)$���������Ȥˤʤ롥$(\xi,\eta)$�򿷤���ʿ�̤����ν����˺�ɸ�Ȥ��Ƽ��С����κ�ɸ��ɽ�路��$T$�������ǻ��ꤵ�줿�����򤹤٤ƻ��Ĥ��Ȥ��狼�롥����������Ʊ����ư�������ʤ��Ȥ�2�Ĥ��뤳�Ȥ������Ǥ��롥

��äȰ��̲�����ʤ顢����$C_a$��$C_b$�ϰ������⤦��������¦�ˤ��äƱߴ�$R$�ζ����ȤʤäƤ���Ǥ�դ�ñ���Ķ����Ǥ��äƤ褤�����ξ���Ʊ�ͤ�������Ҥ٤뤳�Ȥ��Ǥ��롥���Ȥ������Ѽ�����ͽ���Ѵ��Ȥ��ƻȤäơ������ζ�����Ʊ���ߤ�ľ������������ʬ�����̤�ñ�˷����Ѥ�������ˤǤ��뤫��Ǥ��롥��������ɸ�Ѵ��θ�ζ����ζ᤯�Ǥ���ʬ�����̤������ˤ����դ���ɬ�פ����뤫�⤷��ʤ���

�Ǹ�ˡ��ؿ�$P(x,y)$������$C_a$�����$C_b$�Τ����Ĥ������ޤ��Ϥ��٤Ƥ����ǥ����ˤʤäƤ�褤�����������¤Τ�ȤǤϡ����ζ˸�Ū�ʾ��ˤ�Ϥ���ư�������뤳�Ȥ��μ¤Ǥ��롥

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf 9. �ݥ��󥫥����ˡ}

�ݥ��󥫥줬����ʬ�����̤�¸�ߤ���Ф뤿���ҤȤĤ����������ʤ����$R$���Ϣ³�ΤϷ褷�Ƽ���$T$�Τ�ȤǤ��켫�Ȥΰ����˼̤��ʤ����ȡ��Τߤ�Ȥä����Ȥ�����(�嵭��ʸ��p.377)�����ξ�郎������ʬ��¸�ߤ���Ȥ�������Ʊ�ͤʤ��ȤϤ������ʤ��褦�˻פ��롥���Τ褦��������ʬ��¸�ߤϡ�������ʸ�Ǥ錄���ιԤʤä������ˡ���ä��ܼ�Ū������٤����¤Ǥ��롥��ʬ�����̤����äƤ�äȼ夤��郎����Ω�ĤȤ��˥ݥ��󥫥�������������Ǥ��뤫�ɤ����Τ�ʤ���

\end{document}

