\begin{flushright}
ë����δ ��
\end{flushright}

\noindent
{\it Rendiconti del Circolo Mat. di Palermo} {\bf 33} (1912), 375-407.

{\large 
\begin{center}
{\bf �����ؤΤ��������ˤĤ���} \\
{\bf Sur un th\'{e}or$\grave{\rm e}$me de g\'{e}om\'{e}trie}
\end{center}
}

\vspace{0.3cm}
\begin{center}
H. Poincar\'{e}

\vspace{0.5cm}
�ܼ�
\end{center}

1. ��

2. �������Ľ�

3. �����α���

4. ����ȵ�ˡ

5. 2�ܤ��Ķ����θ�

6. ʬ�ޤ��ֹ�Ť�

7. �ػ��ΰ�

8. ��ǽ���

9. ����θ�

10. ����ȥ�$C$

11. ����

12. ���̤ʾ��

13. �ޤ�����

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf 1. ��.}

�錄���Ϥ��Ĥ�̤��������ʸ���ɽ�������ȤϤʤ����������äơ�������ʸ���ɽ����˻�ä���ͳ�����������ޤ��ʤˤ��⤳����Ƥ�迴�򤷤���ͳ����������ɬ�פ����롥���äȰ����˻�������μ������¸�ߤ򼨤��������������η�̤Ϥޤ�ʪ­��ʤ���ΤǤ��ä������̤��������Ȥ��˳Ƽ�(sorte)�β��¸�ߤ���Ω����Ƥ⡢��ä��礭�ʼ��̤ΤȤ��ˤ⤳���β�¸�ߤ���Τ����ޤ��ɤ���������Ǥ���餬�ä��Ƥ����Τ�ʬ����ʤ�����Ǥ��롥���������ͤ���ˤ����äơ����ʤ��Ȥ����»�������伫ͳ��2���ϳؤ�����˴ؤ��Ƥϡ����˴�ñ�˽Ҥ٤뤳�ȤΤǤ��뤢�������Ū�����������������ְ�äƤ��뤫����������¸���뤳�Ȥ�Ǽ������˻�ä���

����椨���錄���Ϥ������������������ְ�äƤ��뤫��Ĵ�٤뤳�Ȥˤ�������ͽ�����̺���ˤ֤Ĥ��äƤ��ޤä��������Ǥ錄����¿�����ü�ʾ���ġ���Ĵ�٤�������ʤ��ä��������������٤Ƥ�Ĵ�پ夲��ˤϾ��ο���¿�����롥Ĵ�٤��ϰϤΤ��٤Ƥξ������������������Ȥ�ʬ���ä���2ǯ�δ����Ϥ�����������Ū�ʾ���ˡ�򸫤Ĥ��뤳�Ȥˤ⡢����������Ω���ʤ����Ȥ򼨤���򸫤Ĥ��뤳�Ȥˤ��������ʤ��ä���

�������������Ȥ����ο����������˶����ʤä��������ä��ꤷ�����äξ�ˤ�����֤����Ȥ��Ǥ��ʤ��Ǥ��롥

���Τ褦�ʾ��Τ�ȤǤϡ�������褹��ޤǽ��Ǥ򹵤���٤����⤷��ʤ���������ˤ�錄�����Ӥ����Ϥθ�Ǥ��äƤ⡢��ǯ������򲣤��֤������꤬�Ϥ��Τ��Ԥ����������褦�ˤ⸫���������Ĥ����������ƤӼ�ꤢ���뤳�Ȥ��Ǥ���ʤ餿���ؤ�褤���ȤǤ��롥����ɤ⺣�Τ錄����ǯ��ǤϤ���ϤǤ��ʤ�����������������˽��פ�(�ʲ��Ǥ�������򤷤Ƥ�餦�Ĥ��Ǥ���)������줿��̤⤹�Ǥˤ��ʤ�Τ�ΤǤ��ꡢ�����ΤƤƤ��ޤ��Τ��ˤ�������������˶�̣����Ĵ����ؼԤǤ錄����깥���ʿͤ��ʤ�餫��������ͤ������������Ȥäƿʤ�ƻ�򸫤Ĥ��Ƥ����Τ���Ԥ��롥

�ʾ�ιͻ��Ϥ錄���������������­��Ȼפ��롥

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf 2. �������Ľ�.} 

$x$�����$y$�����ζ˺�ɸ��ɽ�路����¦�α�$x=a$�������¦�α�$x=b$�˶��ޤ��ߴĤ�ͤ��롥���αߴĤ��餽�켫�Ȥؤΰ��а�����Ѵ�$T$��ͤ��롥$x$�����$y$����$M$�κ�ɸ��ɽ�路��$X$�����$Y$���Ѵ���Τ��κ�ɸ��ɽ�魯���ޤ��ʲ���2�Ĥβ���򤪤���

\vspace{0.3cm}
��� 1.--- $T$�ϱߴĤ򤽤켫�Ȥ��Ѵ����뤫�顢���Ĥζ�����$x=a$��$x=b$�Ϥ��켫�Ȥ��Ѵ�����롥�����顢$x=a$�ޤ���$x=b$�ʤ�$X=x$�Ǥ��롥��������$x=a$��Ǥ�$Y<y$����$x=b$��Ǥ�$Y>y$�ޤ��Ϥ��εդǤ��롥���ʤ�������Ѵ��ϳƶ����ߤ򤽤켫�Ȥξ�ǲ�ž�����롥���̤ˤϤ��β�ž�̤ϳ������������ʤ�����ɤ⡢���줾��αߤΤ��٤Ƥ�����Ʊ�������˿ʤߡ����ĤαߤǤ��������դǤ��롣$y$��$Y$�ˤ�$2 \pi$�������������뤫�顢����ĽҤϤʤ�ΰ�̣������ʤ��ȹͤ���ͤ����뤫�⤷��ʤ�������ɤ⡢�ߴĤΤɤ줫������$Y - y$���ͤ�Ǥ�դλ��������Τ˷��Ƥ�����Ϣ³���ˤ�ꡢ�ߴĤΤ��٤Ƥ�����$Y-y$���ͤ����˷��뤳�Ȥ��Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
��� 2.--- �Ѵ���������¸�Ǥ��롥���뤤�Ϥ�äȰ��̤ˡ�������ʬ�����̤���������ʤ�������δؿ�$f(x,y)$��¸�ߤ���
$$
  \int \int f(x,y)dxdy = \int \int f(X,Y) dXdY,
$$
����������������2�Ĥ���ʬ�Ϥʤ�餫�����Ѥ���Ӥ����Ѵ�������Ѥξ�ǹԤ��롥

\vspace{0.3cm}
\underline{�����2�Ĥξ�郎���������С��ߴĤ������ˡ��Ѵ��ǰ��֤��Ѥ��ʤ�����2�Ĥ���} \\
\underline{���Ȥ�������}��

\vspace{0.3cm}
��ñ�Τ��ᡢ���̤��Ѵ��ϲ���Ū�Ǥ���Ȳ��ꤹ�롥�����������β�����ܼ�Ū�ǤϤʤ���

�ʲ��Τ�����Ǿ�������Τ��ɤ������˸����롥$f(x,y) = 1$�ξ�����������н�ʬ�Ǥ����������ΤȤ�$X$��$Y$��$x$��$y$�δؿ��Ȥ��ơ�����ʬ������
$$
  \frac{\partial X}{\partial x} \frac{\partial Y}{\partial y} - 
  \frac{\partial X}{\partial y} \frac{\partial Y}{\partial x} = 1, 
$$
���������Ϥ��Ǥ��롥���ʤ����
$$
  dZ = (X-x)dy - dX(Y-y),
$$
�ϴ�����ʬ(diff\'{e}rential exacte)�Ǥ��롥

�ưפ�ʬ����褦�ˡ�$Z$��$x$��$y$�ΰ���ؿ��Ǥ��ꡢ$y$�˴ؤ��Ƽ���Ū�Ǥ��롥����Ϻ���ȺǾ�����Ϥ��Ǥ��ꡢ�����ξü�α߼��ξ�Ǥϼ¸��������ʤ����������äƤ⤷$x$��$y$��$X$��$y$�ΰ���ؿ��ʤ顢�����
$$ \begin{array}{cc}
  X = x, & Y = y
   \end{array}
$$
�ˤ����Ƥ���ã������������$X=x,Y=y$�ʤ�2���������ʤ����ư����2�ġ��ߴĤ�������¸�ߤ���ȷ����Ǥ��롥�����������Ĥ⤽���Ȥϸ¤餺�������
$$
  \frac{\partial X}{\partial x} = 
[ (X-x) - (Y-y) \frac{\partial X}{\partial y} ] = 0, 
$$
�����������Ǥ������롥�Ȥ����櫓�ǡ����줬������̵�¾��Ѵ��ˤ���Ŭ�ѤǤ��ʤ���ͳ�Ǥ��롥

�������̤η��ǽҤ٤뤳�Ȥ��Ǥ��롥�����Ʊ�ͤǤϤ��뤬����νҤ����εդǤ��롥�Ѵ�$T$����ξ��1�������������2������������˼��ξ����������Ȥ��롥

\vspace{0.3cm}
��� 3.--- �ߴľ����ư���Ϥʤ���

\vspace{0.3cm}
\underline{�⤷�����ʤ顢�Ѵ�$T$�Ͼ��2���������ʤ������ʤ��������ʬ�����̤�����ʤ�}��

\vspace{0.3cm}
���餫��2�Ĥ��ĽҤ�Ʊ�ͤǤ��롥���1��3���������Ѵ����ɤ����2���������ʤ��ʤ顢���1��2���������Ѵ��Ϥɤ����3�����������Ȥ�ͭ�����ʤ����������ä��Ѵ�����ư���򾯤ʤ��Ȥ�1�Ļ���������椨���ʤ��Ȥ���ư����2�Ļ��ġ��ʤ��ʤ���ֲ���(analysis situs)(����ӤȤ��˥����ͥå���������)�ˤ�ꤿ�����˶����Ĥʤ���Фʤ�ʤ�����Ǥ��롥

���˾��1��3�����������Ȥ����2����������ʤ����Ȥ򸫤뤿��ˡ��ʲ����������������Ķ���$C$�����Ǥ��뤳�Ȥ򼨤����Ȼפ���$1^{\circ}$ ���ζ���$C$����¦�ζ�����$x=b$����Ϥߡ��������ꤷ���Ȥ���$y$��$0$����$2\pi$�ޤ��Ѥ�롥$2^{\circ}$ ���ζ����ϼ�ʬ����$C'$�ȸ��餺�����Τ�������¦�ˤ��뤫��¦�ˤ��롥���ξ�硢$C$��$x=b$�˶��ޤ��ߴĤ����Ѥ��Ѵ��ˤ�ä�$C'$��$x=b$�˶��ޤ�����Ѥ˼̤롥

����2�Ĥ����ѤΤ���1�ĤϤ⤦�����ΰ����Ǥ��롥���Ȥ��С�$C'$�����ΤȤ���$C$�γ��ˤ���С�$C'$��$x=b$�˶��ޤ�����Ѥ�$C'$��$C$�δ֤����Ѥ�$C$��$x=b$�δ֤����Ѥ��¤Ǥ��롥�������ä��Ѵ������Ѥ���¸�Ǥ��ʤ����ޤ�������ʬ�����̤�������ʤ���

�ʲ��Ǿ������ߤ�ˤ����äơ�����������η��Τ�Τȹͤ��롥�������ä��Ѵ������1��3����������Τȹͤ��롥�錄�����Ѵ���ʬ��򤹤�Ĥ��Ǥ��롣����ʬ��γ�����Ф��ơ������������Ķ���$C$�������������դ˱��Ѿ��������ǽ�η��ǹͤ��������Ȥ��䤹����

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf 3. �����α���.} 

��������Ω���줿�ʤ顢�������ˤ����Ĥ�ΰ��̲���;�Ϥ����롥

�ºݡ��ޤ���¦�ζ�����$x=b$�������˽̤ޤꡢ�Ϥ���αߴĤ����פˤʤä��Ȥ��롥���ΤȤ���¦�α�$x=a$�ˤ����ƤϾ��$Y>y$�����濴�ζ�˵�Ǥ�$Y<y$�Ǥ��뤫���ޤ��Ϥ��εդǤ��롥���ξ塢�Ѵ�����ʬ�����̤���ƤС����פ��������Ѵ�����ư�������ʤ��Ȥ�2�Ĥ��롥������Ʊ��������$T$�Τ٤�$T^n$��Ŭ�ѤǤ��롥

���ˡ����줬��ͳ��2���ϳؤ�����ˤɤΤ褦�˱��ѤǤ��뤫�򸫤褦���������ñ�ˤ��뤿��ˡ��Ȥ��ˤ����Τ����Ǥ��ñ�����ꡢ���̤�¬���������ꡢ��ͤ��롥���μ���˴ؤ��Ƥ錄������ʸ��񤤤Ƥ��롥
\footnote[1]{Sur les ligne g\'{e}odesiques des surfaces convexes, {\it Trans. Amer. Math. Soc.} {\bf 6} (1905), 237-274.}
�ޤ���������Ū���Թ�Τ褤������Ūɽ�����ܤ�ɬ�פ����롥\underline{����}�ʤ��Τ�������褦��
�����Ƴ����Ǥ˶��֤������б������褦�����ǤȤ�1�ܤ�¬�����Ȥ���¬������Τ��������ȤǤ��롥
Ʊ���¬�϶����Ϥ��������ˤ��ξ��ư�������Ȥ⤦������������ư��������2�ܤΰۤʤ�¬�����Ȥߤʤ���롥
�����Ǥˤϰʲ��Τ褦���������뻰�ѿ�(tri$\grave{\rm e}$dre)���б����롥�ޤ��ͤ��Ƥ������ˤ������̤ؤ�ˡ�����̤γ�¦�˸����Ƥ����Τ����롥
����ˡ�����¬�����οʤ������ؤ�������
�Ǹ�ˤ���2�Ĥ�ľ����ľ�򤷡���Ϥꤢ���ޤä������˰����줿ľ�������롥���ˤ��λ��ѿ���ĺ�������������褦��ʿ�԰�ư�����롥
��������ĺ���������֤�����ľ�Ѥλ��ѿ���1�ĤΤ����⤿��1�Ĥ����Ǥ��б����롥�̤��̤Ǥ��뤫�顢��ʿ�̤����ѿ��κǽ��������ľ�򤹤뤹��褦�����ϣ��Ĥ����ʤ����ޤ�������飲���Τ�����������ˡ���������Ǥ�Ʊ��������ʿ�ԤǤ���褦�����ϣ��Ĥ����ʤ���

����ˡ����������ѿ��������������ʿ�Ԥ�¬�����Ϥ�������1�ܤ����⤿��1�ܤ����̤�ʤ�������¬�����˱�äƿʤ�������Ʊ�ͤ���������(���ꤹ��?)��

���Τ褦���֤��С��ƻ��ѿ��ϻ͸���$\lambda, \mu, \nu, \rho (\lambda^2 + \mu^2 + \nu^2 + \rho^2 = 1)$���������롥�������̤ϻ��ѿ��������֤��鸽�ߤΰ��֤˸����뤿���ɬ�פʲ�ž��������롥���ΤȤ������β�ž�Ѥ��ͤ�Ⱦʬ��;����Ȥ��$\lambda$�Ǥ��ꡢ������Ȥ��$\sqrt{\mu^2+\nu^2+\rho^2}$�Ǥ��롥�ޤ���ž��������;����$\mu,\nu,\rho$�����㤹�롥

��������2����λ͸���$\lambda, \mu, \nu, \rho$�����$-\lambda, -\mu, -\nu, -\rho$��Ʊ����ž��ɽ�魯����Ʊ�����ѿ������Ʊ�����Ǥ�ɽ�魯���Ȥ��Ŧ���Ƥ�����

���Τ褦�ˤ�������
$$
\lambda = \frac{\displaystyle 1-\xi^2-\eta^2-\zeta^2}
               {\displaystyle 1+\xi^2+\eta^2+\zeta^2}, 
\mu = \frac{\displaystyle 2\xi}
           {\displaystyle 1+\xi^2+\eta^2+\zeta^2}, 
\nu = \frac{\displaystyle 2\eta}
           {\displaystyle 1+\xi^2+\eta^2+\zeta^2}, 
\rho = \frac{\displaystyle 2\zeta}
            {\displaystyle 1+\xi^2+\eta^2+\zeta^2}. 
$$
�����Ƥ��������Ǥ�ľ���ɸ��$\xi,\eta,\zeta$�ʤ���֤�����ɽ�綠�������ζ��֤Τ��٤Ƥ�����1�Ĥ����⤿��1�Ĥ����Ǥ��б����롥���٤Ƥ����Ǥˤ϶��֤�2�����б����롥������������⤦������Ƴ���Τϸ�����ˤȤ����٤���$-1$�Ȥ���ȿž�ǤǤ��롥

Ʊ���褦������̵�¸Ĥ�����褿¬�����ϡ����ζ�����Ƕ�����ɽ�蘆��롥���ζ��֤γ����򡢤����Τ���1�Ĥ�����1�Ĥ����������̤ꡢ���ζ����˱�ä�ư��������Ʊ�ͤ˷�ޤ롥��������$C$�ȸƤܤ���

��ξ�硢¬��������ߤǤ��ꡢ����$C$�ϱߤ�²�����������αߤ��̤ϸ������̤ꡢ�����˴ؤ���٤���$-1$�Ǥ��롥���Τ褦�ʱ�$C$��2�ܤϽв񤦤��Ȥ��Ǥ������Ĥͤ����߹�äƤ��롥���̤ξ�硢��������μ�����Τ��٤Ƥˡ����ʤ���Ĥ���¬�����Τ��٤Ƥ��Ĥ�������$C$���б����롥

�������Ȥ���\underline{���»�������}�Ȥ����Τ��뻰����������̤ξ�����夲�롥���ηϤ��̾�ɤ����ž�Ϥ˵��夵����Jacobi��ʬ(�ޤ������б�ư�Υ��ͥ륮����ʬ)�򼡤η��˽񤱤롥
$$
  J = c.
$$
������$c$������Ǥ��ꡢ$J$�ϰʲ���4�Ĥ��ѿ��δؿ��Ǥ���: ����ưŷ�Τκ�ɸ$x$�����$y$�ȡ�����®��$x'$��$y'$�Ǥ��롥$c$��Ϳ����줿����ʤ顢�������ѿ��Τ���3�Ĥ�������Ω�Ǥ��롥

���Τ褦�˽񤱤롥
$$
 J = \frac{\displaystyle {x'}^2 + {y'}^2} {\displaystyle 2} + H .
$$
������$H$��$x$��$y$�Τߤ˰�¸���롥���ξ��Τ�ȤǼ������롥
$$
  H < c.
$$

������������ʿ�̤Τ����ΰ����������ʲ��Ǥ����ιͤ��뤢����ˤϡ������ΰ�$\beta$���Ķ���$\alpha$�Ǹ¤��롥�ΰ�$\beta$�γ����ˤ�����®�٤��礭����Jacobi�μ������ޤ롥����������Ǥ�դǤ��롥����$\alpha$�γ�����®�٤ϥ����ˤʤꡢ®�٤������Ϥɤ��Ǥ�褤���������ä�$\beta$�γ�����̵�¸Ĥ����Ǥ��б�����$\alpha$�γ����ˤϤ���1�Ĥ����Ǥ��б����롥�ʲ��Τ褦�ʴ�����Ūɽ����Ԥʤ���

���б��ǡ��ΰ�$\beta$�ˤ���ߤ���¦$\beta'$���б��������ޤ�����$\alpha$�ˤ��α߼�$\alpha'$���б������뤳�Ȥ��Ǥ��롥����������ǡ���$\beta'$���̤˿�ľ�ʱ�$\gamma$�ǡ�$\beta'$���濴�˴ؤ�������٤���(puissance)��$\beta'$��Ⱦ�¤�2��ˤʤäƤ����Τ�ͤ��롥�����$\beta'$���̤�2���ǲ��ڤ롥1���ϱ߼�$\alpha'$����¦���⤦1���ϳ�¦�ˤ��롥$M$����¦�����Ȥ���$x,y$������$\beta$���б��������Ȥ��롥���ΤȤ��������������Ǥ���֤����ˤ�äƼ��Τ褦�ʻ�����ɽ�魯���Ȥ��Ǥ��롥��ɽ������$\gamma$�������Ȥ���$x$��$y$����$M$���б����������ͤ���¸���롥®�٤�����������������$\arctan \frac{\displaystyle y'}{\displaystyle x'}$��$0$����$2\pi$�ޤ��Ѥ�롥�������ä�$\beta$�γ����ˡ���$\gamma$�Τ�������������ɽ�蘆���̵�¸Ĥ����Ǥ��б����롥$M$��$\alpha'$�ξ�ˤ���Ȥ����������ä��б���������$\alpha$��ˤ���Ȥ��ϡ���$\gamma$��1���˵��夷���Թ礬�褤���Ȥ����Τ�$\alpha$�����ˤ�ͣ������Ǥ��б����뤫��Ǥ��롥

�������äƤ��٤Ƥ����Ǥ˶��֤�1��������1���������б��������εդ�����Ω�ġ�

���פ϶��ֶ���$C$�ˤ�ä�ɽ�蘆�졢���֤γ����򤳤��ζ�����1�Ĥ����⤿��1�Ĥ��̤롥���ζ�������������Ʊ�ͤ˷�ޤ롥�Ĥ�������$C$�ϼ������ɽ�魯��

���ˡ����2�Ĥ���ˤ����Ƽ������ɽ�魯����$C_0$����Ӥ��ζ����ˤ�äƸ¤�������$A$��ͤ��롥

��������$A$��ñϢ��Ǥ��äƼ�ʬ���Ȥȸ��餺�������\underline{���ܿ�}�Ǥ��뤳�ȡ����ʤ�����������ѤΤɤ����ˤ����Ƥ�ʤ�餫�ζ���$C$���������Ѥ�ޤ���̤��ܿ����ʤ��Ȥ��롥

���ΤȤ�$P$��$A$�����Ȥ��롥�������򤿤�1�ܤζ���$C$���̤롥���ζ����˱�äơ�$P'$�ˤ����Ƥ��餿��$A$�Ƚв񤦤ޤǿʤࡥ��$P'$��$P$��\underline{�����}�ȸƤФ�롥���������餽�θ�����˰ܤ��Ѵ�$T$������$A$���餽�켫�Ȥؤ����Ѵ��Ǥ��롥$P$��Ϣ³Ū���Ѥ���$P'$��Ϣ³Ū���Ѥ�뤳�Ȥ����դ��뤳�Ȥ����ڤǤ��롥�ºݤϡ��Ѳ��ϰʲ��ξ����Τɤ줫����Ϣ³�Ȥ�ͤ����롥$1^{\circ}$ $C$��$A$�Ȥθ�������$P,P', P'', P''', \ldots$��ͤ���ȡ�����ִ֤�$P'$��$P''$�����פ������θ���ˤʤäƤ��ޤäơ����νִ֤���$C$��$A$�����θ�����$P'$�Ǥʤ�$P'''$�ˤʤäƤ��ޤ���$2^{\circ}$ �դˡ�����ִֿ���������$P_1$��$P_2$�������ơ�$C$��$A$�Ȥ����θ��������θ�$P'$�Ǥʤ�$P_1$�ˤʤäƤ��ޤ���$3^{\circ}$ ����Ϳ����줿�ִ֤�$P'$������$A$����Ϥ���Ƥ��ޤäơ����θ�����$P'$�Ǥʤ�$P''$�ˤʤ롥�ޤ��ϵդ˿���������$P_1$������$A$�����ä�$P$��$P'$�δ֤˲ä�롥

�Ȥ������������ξ����Τɤ�1�Ĥ��������ʤ����ǽ��2�Ĥ������ʤ��Τϡ�����$C$��$A$���ܿ����ʤ��Τ�$A$�������ˤʤ�ʤ�����Ǥ��ꡢ�Ǹ夬�����ʤ��Τϡ�$C_0$�ʳ��Τ����ʤ����$C$��$A$��¤�����Ǥ���$C_0$�������̤뤳�ȤϤ��ꤨ�ʤ�����Ǥ��롥

��$P$���������θ����$P'$�Ȱ��פ��뤫�������ܤ��θ�����Ȱ��פ���ʤ顢����$C$���Ĥ�����ϼ���Ū�Ǥ��롥����ˡ�¾�ε���˼���������
\footnote[2]{Les M\'{e}thodes nouvelles de la M\'{e}canique c\'{e}leste. = Tome I (1892): Solutions p\'{e}riodique. Non-existence des int\'{e}grales uniformes. solutions asymptotiques. - Tome II (1893): M\'{e}thodes de Newcomb, Gyld\'{e}n, Lindstedt et Bohlin. - Tome III et dernier (1899): Invariants int\'{e}graux. Solutions p\'{e}riodiques du deuxi\'{e}me genre. Solutions doublement asymptotiques. [Paris, Gauthier-Villars].}
�ˤ�ꡢ�Ѵ�$T$��������ʬ�����̤�������Ȥ��ǧ���Ƥۤ�����

���������ؿ�����Ӽ�����ΰ������γ�ǰ���ʤ��뤳�Ȥˤ��褦��������Ϥ��٤����ΰۤʤ�2�Ĥ������ؿ�����Ĥ��Ȥ��狼�äƤ���(�嵭ʸ��2����I��IV��; �嵭ʸ��1��255�ڡ���)�������򤬰���ʤ顢2�Ĥ������ؿ��϶����ʣ�ǿ��Ǥ��롥

���ξ�硢�Ը�����(argument r\'{e}duit)(�嵭ʸ��1��256�ڡ���; �嵭ʸ��2����III��$n^{\circ}$ $347$)����ӱ�ư��Ū����(foyer cin\'{e}tique)�γ�ǰ��Ƴ�����뤳�Ȥ��Ǥ��롥����ˤ�äơ���$P$���˸¶���$C_0$�����˶᤯�ˤ���Ȥ�����$P'$���ɤΤ褦���Ѥ�뤫���Τ������Ϥ����ơ���ư��Ū�����Ȥϲ���? $C_0$�Ⱦ����������ʤ�����$C_1$��ͤ��롥�����$C_0$��ɽ�魯���פޤ���¬�����Ⱦ����������ʤ����פޤ���¬������ɽ�魯��$G_0$��$G_1$��2�ܤ�¬�����Ĥޤ�2�ܤε�ƻ�Ǥ��äơ����줾��$C_0$�����$C_1$��ɽ�蘆���Ȥ��롥

����$C_1$����������񤯤���ˡ����Τ褦�ʻ��������̤ʺ�ɸ��$u,v,w$��Ȥ�����$1^{\circ}$ ���ͤ��Ƥ��뵰�פޤ���¬���������κ�ɸ��$u$��$v$�Τߤ˰�¸��������������������$u,v,w$���٤Ƥ˰�¸���롥$2^{\circ}$ ����$C_0$��ɽ����$v=w=0$�Ǥ��äơ��Ķ���$C_0$���������$u$��$0$����$2\pi$�ޤ��Ѥ�롥���ξ��Τ�Ȥǡ�����$C_0$��\underline{�����}���פ��б�����С�$C_0$�Ȥۤ�ξ����������ʤ�����$C_1$��ɽ���ϼ��Τ褦�˽񤱤뤳�Ȥ��狼��(�嵭ʸ��1�����2)��
$$ \begin{array}{cc}
 \frac{\displaystyle v}{\displaystyle a} = \rho \sin (\theta+h), & 
 \frac{\displaystyle w}{\displaystyle a} = \rho_1 \sin (\theta+h) +  
\rho_2 \cos (\theta+h). 
   \end{array}
$$
������$a$��$h$����ʬ����Ǥ��äơ����Ԥ����˾�������$\rho, \rho_1, \rho_2$��$u$�μ����ؿ���$\theta$��$u$��\underline{ñĴ���ôؿ�}�Ǥ��äƤ�����ʬ�ϼ���Ū�Ǥ��롥���Τ褦�˽񤱤롥
$$
  \theta = \alpha u + \varphi (u).
$$
������$\varphi(u)$�ϼ���Ū�Ǥ��롥�ޤ����ΤȤ�$i \alpha$�������ؿ��Ȥ���줬�Ƥ��̤�ɽ�魯��

$G_1$��$G_0$�θ�����$v$���ä���Ȥ���������ơ����Τ褦�ˤʤ롥
$$
  \theta + h = K \pi . 
$$
$K$�������Ǥ��롥$M$��$G_0$��$G_1$�θ����ǡ�$M'$�������³�������ʤ顢$M'$��$M$�κǽ�α�ư��Ū����(foyer cin\'{e}tique)�ȸƤФ졢���ΤȤ�$\theta$��$\theta'$���б�����$\theta$���ͤʤ鼡�����롥
$$
  \theta' - \theta = \pi .
$$

��������$A$�μ��򼡤η��˽񤳤���
$$
  F(u,v,w) = 0.
$$
����ѿ���$v$��$w$�Τ٤���Ÿ������С�������(degree)�ι�Ͼä��롥�ʤ��ʤ�����$A$������$C_0$���̤뤫��Ǥ��롥$v$�����$w$�����˾������ͤ�Ϳ����٤��Ǥ��뤫�顢1��(order����?)����礭�����̵��Ǥ��롥���η�̡������Ĥ롥
$$
  gv + g_1w = 0.
$$
������$g$��$g_1$��$u$�μ����ؿ��Ǥ��롥$v$��$w$�򤽤����ͤ��֤�������С����Τ褦�ˤʤ롥
$$
  p \sin (\theta+h) + p_1 \cos (\theta+h) = 0.
$$
������$p$��$p_1$��$u$�ο����������ؿ��Ǥ��롥���Τ褦���֤���
$$
\frac{\displaystyle p_1}{\displaystyle p} = \tan \lambda.
$$
�����$\lambda$��$u$�δؿ��Ǥ��äƤ�����ʬ�ϼ���Ū�Ǥ��ꡢ�ޤ�$\lambda$��$u$�μ����ؿ���$u$���ܿ�ʬ�������ʤ��ΤǤ����$mu$�Ƚ񤯡����ΤȤ�����������ϼ��Τ褦�ˤʤ롥
$$
  \sin (\theta+\lambda+h) = 0.
$$

�������äơ�$C_1$��$A$����³�������Ϥ��������ؿ��������ˤʤ�Ȥ��������롥�����ؿ��ΰ�����$\pi$���ܿ��Ǥʤ���Фʤ�ʤ�������������$A$��$C_0$�ˤ�äƸ¤��Ƥ��ꡢ���ζ����γ�¦�ˤޤ�ã���Ƥ��ʤ�������������ܤ��������ƤϤޤäƼ��Τ褦�˽񤱤�Ϥ��Ǥ��롥
$$
  \theta + \lambda + h = 2k \pi.
$$















