\documentstyle[12pt,twoside]{jarticle}
%
\oddsidemargin 0.0cm
\evensidemargin -1.0cm
\topmargin -1.0cm
%
\textwidth 16.8cm
\textheight 24.0cm
\footheight 0.5cm
\footskip 1.2cm
\newcommand{\re}{\vspace{0.15cm}\par\hangindent=0.7cm\noindent}
%
\setlength{\baselineskip}{3ex}
\begin{document}

\begin{flushright}
ë����δ ��
\end{flushright}

\noindent
{\it Topology} {\bf 21} (1982), 457-467

\begin{center}
{\large
{\bf �ߴĤΤͤ���Ʊ������ˤ�����������ƻ��¸�� \\
Existence of quasi-periodic orbits for twist homeomorphisms \\
of the annulus} 
}

\vspace{0.5cm}
John N. Mather
\end{center}

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf ����.} �ߴľ��Ǥ�դ�������¸�֤ͤ����Ʊ�����$f$��, 
���$[\rho(f_0), \rho(f_1)]$��Τ��٤Ƥμ��ȿ�$\omega$�ν������ƻ��
���Ĥ��Ȥ��������. $\omega$�����ζ�֤ˤʤ����˼��ȿ�$\omega$��
�������ƻ���ʤ����Ȥ򼨤����Ȥ��ưפǤ���. ���η�̤�Ҥ٤�ˤ����ä�, 
��ƻ�������Ū�Ǥ���ȤϤɤ�������̣���ˤĤ��Ƥ�liberal�ʲ��򤹤�. 
���ʤ��, ���Τ褦�ʵ�ƻ������ϱߤǤϤʤ��ƥ���ȡ��뽸��Τ��Ȥ�
��������. 


\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 0.  ��.}

\vspace{0.3cm}
������ʸ���Ѥ�����ˡ��, Percival������Ū�˽������ƻ�򸫤Ĥ���Τ�
�Ȥä���ˡ[3,4]��̩�ܤ˴ط����Ƥ���. 
Percival�ϼ�ʬ����ˡ��¸��������������ʤ��ä�. 

������Ҥ٤�ˤ�, �ߴļ��Ȥ��⤽��������ʤ$A$�ǻŻ���������
�Թ礬�褤. $A = \{ (x,y) \in {\bf R}^2 : 0 \leq y \leq 1 \}$�Ȥ���. 
$T: A \rightarrow A$��ʿ�԰�ư$T(x,y) = (x+1,y)$�Ȥ���. 
$f$��$A$��������¸, ������¸, ���Ķ�����ʬ��¸��Ʊ������Ǥ��ä�, 
$fT = Tf$���������Ȥ���. �ä���, $y > z$�ʤ�
$f(x,y)_1 > f(x,z)_1$�Ȳ��ꤹ��. ������$p = (x,y) \in A$�ΤȤ�$p_1 = x$
����«����. ���줬�֤ͤ�����פǤ���. 

$f_i = f_R \times i, i=0,1$���֤�. 
$B = \{ (x,x') \in {\bf R}^2: f_0(x) \leq x' \leq f_1(x) \}$�Ȥ���. 
�ͤ�������, ��$(x,x') \in B$���Ф���ͣ���
$y = g(x,x') \in [0,1]$�����$y' = g'(x,x') \in [0,1]$�����ä�, 
$f(x,y) = (x',y')$��������. 
�ؿ�$g$�����$g'$��$B$���Ϣ³�ؿ��Ǥ���. 

Ǥ�դ�Ʊ�����$h: {\bf R} \rightarrow {\bf R}$��$h(x+1) = h(x) + 1$��
��������Τ��Ф���
$$
  \rho(h) = \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} 
\frac{h^n(x)}{n}
$$
���֤�. �ݥ��󥫥��ͭ̾�������ˤ���, ���ζ˸¤�¸�ߤ�, $x$��̵�ط���
����. 

�ʲ����郎���̤Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ����.} $\rho(f_0) \leq \omega \leq \rho(f_1)$�Ȥ���.���ΤȤ�, 
������¸����$\phi: {\bf R} \rightarrow {\bf R}$�����ä�, 
$\phi(t+1) = \phi(t) + 1$����
$$
  f(\phi(t), \eta(t)) = (\phi(t+\omega), \eta(t+\omega)) , \eqno(1)
$$
��������. ������, $\eta(t) = g(\phi(t), \phi(t+\omega))$�Ǥ���. 
 
\vspace{0.5cm}
����$\phi$��ɬ������Ϣ³�Ǥʤ�. ������������������Ĥ��Ȥ�ʲ��Ǽ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ��­ 1.} $t$��$\phi$��Ϣ³���Ǥ����, $t+\omega$��$t-\omega$��
Ϣ³���Ǥ���. 


\vspace{0.3cm}
���������ΰ�̣��$\omega$��ͭ������̵�������ˤ�äưۤʤ�. 
$\omega$��ͭ����, ���Ȥ���$\omega = p/q$�Ǵ���ʤ�, �����ΰ�̣����Ȥ���
��, $f^q(x,y) = (x+p, y)$�ʤ�����¸�ߤǤ���. 
�Ȥ����Τ�, $\phi$�������������������, ����$t \in {\bf R}$���Ф���
$(x,y) = (\phi(t), \eta(t))$�ʤ�$f^q(x,y) = (x+p, y)$������Ǥ���. 
�����ͭ̾�ʥС����դ�����[1]�ε���Ǥ���. 
$\omega$��̵�����ξ��, ��������. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ��­ 2.} $\omega \not\in {\bf Q}$�ʤ�, $\phi$��Ǥ�դζ�־�ǰ����
�ʤ�. 

\vspace{0.3cm}
$\omega$��̵�����ΤȤ�, $M_{\phi}$��, $\phi$��Ϣ³��$t$�����ä�
����$(\phi(t), \eta(t))$������Ȥ���. $\phi$�ϼ�����¸�Ǥ��뤫��, 
$t$��p��Ϣ³���ν���Ϲ⡹�Ļ��ĤǤ���. ���ΤȤ�, $M_{\phi}$��, 
������ζ˸�$(\phi(t-), \eta(t-))$���¤���Ӿ夫��ζ˸�
$(\phi(t+), \eta(t+))$���¤�Ʊ���Ǥ���. 
$\Sigma_{\phi} = M_{\phi} / T$���֤�. 

$\phi$��Ϣ³�ξ��, $M_{\phi}$��${\bf R}$��Ʊ��Ǥ��뤳��, �����
$\Sigma_{\phi}$���ߤ�Ʊ��Ǥ��뤳�Ȥ����餫�Ǥ���. ���ξ�, 
$\bar{f}$��$f$�ˤ�ä�ͶƳ�����ߴ�$A/T$���Ʊ������Ȥ����, 
$\bar{f}/\Sigma_{\phi}$�ϲ�ž����$\omega$(mod 1)�Ȥ����ž�˶���Ǥ���. 


$\phi$��Ϣ³�Ǥʤ����, ��­1�����2���, $\Sigma_{\phi}$��$\bar{f}$��
�������Ѥʥ���ȡ��뽸��Ǥ���. �������ĽҤ������­1�����2�ˤ�����
$\phi$�˲ݤ�����狼���ñ�˥����å��Ǥ���褦��, $\tilde{f}|\Sigma_{\phi}$
�ϲ�ž��$\equiv \omega$(mod 1)�ʤ�ߤβ�ž�˰��궦��Ǥ���. 
����, $(\phi(t-), \eta(t-))$��$(\phi(t+),\eta(t+))$��Ʊ��뤷, ����
$Tp$��$p$��Ʊ��뤹��ȱߤ������, ���ξ��$f$����ͶƳ�����Ʊ�������
��ž�˶���Ǥ���. ������Ʊ����$\tilde{f}|\Sigma_{\phi}$�ΰ����ϳ�
�ˤ�äƽ��˵��Ҳ�ǽ�Ǥ���. $\Sigma_{\phi}$������$\tilde{f}$��̤���
����Ӳ��ؤη����֤����ѤΤ�ȤǸߤ��˶�Ť���Τ�Ʊ��뤹��(?).
�Τ��Ƥ��뤷, �ޤ��ऺ�������ʤ������ˤ�ä�, $\tilde{f}|\Sigma_{\phi}$
���褯�Τ�줿Denjoy�ζ˾��Ϥ˰��궦��Ǥ��뤳�Ȥ�������. 
���ʤ��, $\tilde{f}|\Sigma_{\phi}$�϶˾���, $\Sigma_{\phi}$�ϱߤ�����
�ळ�Ȥ��Ǥ�, $\tilde{f}|\Sigma_{\phi}$�ϱߤ�������¸Ʊ������ؤ�
��ĥ�����. 

$\phi$��������¸�Ǥ�����¤��, $t \rightarrow \phi(t) - t$��ͭ����ư
�Ǥ��뤳�Ȥ��Ф�. �椨��, $\phi(t) - t$�Υա��ꥨŸ��
$\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n \exp(2\pi {\rm int})$�Ϥ�����Ȥ���
pointwise��«��, $t$��$\phi$��Ϣ³���Ǥ���¤��¤�$\eta(t)$�˼�«����[5]. 

$\eta(t)$��������餹���, ���Υա��ꥨŸ��, 
$\sum_{n=-\infty}^{\infty} b_n \exp(2\pi {\rm int})$
�Ϥ�����Ȥ�����������(Cesaro)summable�Ǥ���, 
 $t$��$\phi$��Ϣ³���Ǥ���¤��¤�$\eta(t)$�˼�«����. 
���ξ�, $f$��$C^1$��$\displaystyle \frac{\partial f(x,y)_1}{\partial y}>0$
�ʤ�, $\eta(t)$��ͭ����ư�Ǥ���, ���Υա��ꥨ�����pointwise��«��, 
$t$��$\phi$��Ϣ³���Ǥ���¤��¤�$\eta(t)$�˼�«����. 

$\phi$��Ϣ³��$t_0$��ͤ�, 
$$ \begin{array}{l}
  x_k = \displaystyle \sum_{n= -\infty}^{\infty} 
a_n \exp (2\pi {\rm in}(t_0+k \omega)) \\
  y_k = \displaystyle \sum_{n= -\infty}^{\infty} 
b_n \exp (2\pi {\rm in}(t_0+k \omega)) \\
   \end{array}
$$
���������. ������, ������¤ϥ�������summability�ΰ�̣�Ǥ�������򤹤�. 
��­1���, $t_0+k\omega$��$\phi$��Ϣ³���Ǥ���. �椨��
$$ \begin{array}{ll}
  x_k = \phi(t_0+k\omega), & y_k = \eta(t_0+k\omega),
   \end{array}
$$
�Ǥ���, �������ä�$f(x_k,y_k) = (x_{k+1}, y_{k+1})$�Ǥ���. 
�������Ƽ��ȿ�$\omega$�ν������ƻ�����Ĥ��ä�. 

\newpage
\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1. �����Υ����ȥ饤��.}

$Y_{\omega}$�ϼ�����¸����$\phi: {\bf R} \rightarrow {\bf R}$�Τ���
����3�Ĥξ��
$$ \begin{array}{l}
\phi(t+1) = \phi(t) + 1, \\ 
f_0(\phi(t)) \leq \phi(t+\omega) \leq f_1(\phi(t)),\\
\phi �Ϻ�Ϣ³, �Ĥޤ� \phi(t-) = \phi(t)
   \end{array}
$$
����������Τ��٤Ƥν���Ȥ���. 
$X_{\omega}$��$\phi \in Y_{\omega}$�Τ���, 
$$ \begin{array}{lcl}
  \phi(t)  \geq 0 & {\rm for} & t>0 \\
  \phi(t)  \leq 0 & {\rm for} & t<0 
   \end{array}
$$
����������Τ��٤Ƥν���Ȥ���. 

$f$��������¸�Ǥ��뤳�Ȥ���, $g(x,x')dx - g'(x,x')dx'$��$B$���
��1-�����Ǥ���. �椨��$C^1$�ؿ�$h(x,x')$��$B$���¸�ߤ���, 
$$
  dh(x,x') = g(x,x')dx - g'(x,x')dx' . \eqno(1.1)
$$
��������. $\phi \in Y_{\omega}$���Ф���
$$
  F_{\omega}(\phi) = \displaystyle 
\int_{t=0}^{1} h(\phi(t), \phi(t+\omega)) dt   \eqno(1.2)
$$
���������. 

2��Ǥ�, $X_{\omega} \neq \emptyset$�Ǥ��뤿���ɬ�׽�ʬ����
$\rho(f_0) \leq \omega \leq \rho(f_1)$�Ǥ��뤳�Ȥ򼨤�. 

4��Ǥ�, $Y_{\omega}$��˷��̤��������. 5��Ǥ�, ���η��̤˴ؤ���
$X_{\omega}$������ѥ��ȤǤ��뤳��, 6��Ǥ�, $F_{\omega}$��Ϣ³��
���뤳�Ȥ򼨤�. 
�椨��$F_{\omega}$�����ˤ���$\phi \in X_{\omega}$������. 

$a \in {\bf R}$���Ф���, $T_a: {\bf R} \rightarrow {\bf R}$��ʿ�԰�ư
$T_a(x)= x+a$�Ȥ���. 3��Ǥ�, Ǥ�դ�$a \in {\bf R}$���Ф���
$F_{\omega}(\phi T_a) = F_{\omega}(\phi)$�Ǥ��뤳�Ȥ򼨤�. 
$\phi \in Y_{\omega}$�ʤ�, $\phi T_a \in X_{\omega}$�Ǥ���. 
������$a = \sup \phi^{-1}(-\infty,0)$�Ǥ���. �椨��, 
$F_{\omega}$��$X_{\omega}$��$\phi$�Ƕ������ʤ�, $Y_{\omega}$��Ǥ�
$\phi$�Ƕ������. 

$\phi \in Y_{\omega}$�����$t \in {\bf R}$���Ф���
$$
  V(\phi,t) = \displaystyle \frac{\partial}{\partial t}
\left[ h(\bar{x},x) + h(x,x') \right] . \eqno(1.3)
$$
���������. ɾ���������
$$ \begin{array}{lll}
  \bar{x} = \phi(t - \omega), & x = \phi(t), 
   x' = \phi(t+\omega)
   \end{array} \eqno(1.4)
$$
�Ǥ���. 

7��-10��Ǥ�, $F_{\omega}$��$Y_{\omega}$��$\phi$�ˤ����ƶ������ʤ�, 
���Τ褦�ʡ֥����顼���饰��󥸥���������
$$ \begin{array}{lcl}
  V(\phi,t) = 0 & {\rm for \ all} & t \in {\bf R} . 
   \end{array}\eqno(1.5) 
$$
�������뤳�Ȥ򼨤�. 

������ܼ�Ū�ˤ�Percival[3]�ˤ��֥����顼���饰��󥸥��������פ��ü��
���Ǥ���. �������ʤ���, Percival�Ͼ�����Ϳ���ʤ��ä�. 
�¤�, $\phi$��$C^1$��Ǥ��ä�, ��ʬ�������ˤʤ餺, ���٤Ƥ�$t \in {\bf R}$
���Ф���$f_0(\phi(t)) < \phi(t+\omega) < f_1(\phi(t))$���������ʤ�,  
�̾�ε��������ƤϤޤ�. ������, �郎¸��������������뤿��ˤ� 
��1�ѿ������ؿ����Ǥ褯�Τ�줿����(Ĺ���餷��)����򴬤�����褦����
��ε������ĥ����ɬ�פ�����. 

��(1)�ϡ֥����顼���饰��󥸥��������פ����ñ�˽Ф�. $h$�����(1.1)��
���$V(\phi,t)$�����(1.3)���, 
$$
  V(\phi,t) = -g'(\bar{x}, x) + g(x,x').  \eqno(1.6)
$$
������. ������$\bar{x}, x, x'$��(1.4)����Ϳ������. ���μ���$t$������
��$t+\omega$��������, �֥����顼���饰��󥸥���������(1.5)��Ȥ���
$$
  g(\phi(t+\omega), \phi(t+2\omega)) = g'(\phi(t), \phi(t+\omega)).
$$
��������. $\eta$��������餹���, ���η�̤���
$$
 \eta(t+\omega) = g'(\phi(t), \phi(t+\omega)). 
$$
���Ф�. �椨��
$$ \begin{array}{rl}
  f(\phi(t), \eta(t)) = & f(\phi(t), g(\phi(t), \phi(t+\omega))) \\
   = & (\phi(t+\omega), g'(\phi(t,\phi(t+\omega))) \\
   = & (\phi(t+\omega), \eta(t+\omega))
   \end{array}
$$
�Ǥ���. ������, �����������$g$��$g'$���������ε���Ǥ���.

��������, $F_{\omega}$��$Y_{\omega}$��Ƕ�����뤳��, �ޤ�.
$F_{\omega}$��$\phi$�ˤ����ƶ������¤�
�֥����顼���饰��󥸥��������פ����������Ȥ򼨤��Ƥ��ޤ���, 
����������������.

��­��11, 12��Ǿ�������. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 2. $X_{\omega}\neq \emptyset$�Τ����ɬ�׽�ʬ����
$\rho(f_0) \leq \omega \leq \rho(f_1)$}

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. 'only if'. $\phi \in Y_{\omega}$�Ȥ���. $n>0$�ʤ�
$f_0^n(\phi(t)) \leq \phi(t+n\omega) \leq f_1^n(\phi(t))$�Ǥ��뤫��, 
$$
\displaystyle
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{f_0^n(\phi(t))}{n} \leq
\displaystyle
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\phi(t+n \omega)}{n} \leq
\displaystyle
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{f_1^n(\phi(t))}{n}
$$
�ޤ���
$$
  \rho)f_0 \leq \omega \leq \rho(f_1)  \eqno(2.1)
$$
�Ǥ���. ������$Y_{\omega} \neq \emptyset$�ʤ�(2.1)������Ω��. 

\vspace{0.3cm}
'If'. $0 \leq s \leq 1$���Ф���, $g_t: {\bf R} \rightarrow {\bf R}$��
$$
  g_s(t) = sf_1(t) + (1-s)f_0(t)
$$
���������. ���餫��, $g_s$��${\bf R}$��Ʊ������Ǥ��ä�
$g_s(t+1) = g_s(t) + 1$������Ω��. ��$\rho(g_s)$��$s$���󸺾��ؿ��Ǥ���. 
������$s$����$s_0$�����ʤ��Ȥ�ҤȤ�¸�ߤ���$\rho(g_s(0)) = \omega$�Ȥ�
��.�ʤ����ʤ�
$$
 \rho(g_0) = \rho(f_0) \leq \omega \leq \rho_1(f_1) = \rho(g_1) . 
$$
������Ǥ���. $g = g_{s(0)}$���֤�, 
$\bar{g}: {\bf R}/{\bf Z} \rightarrow {\bf R}/{\bf Z}$��ͶƳ���줿Ʊ���
���Ȥ���. 

$\phi \in X_{\omega}$��$\omega$��ͭ�����Ǥ��뤫̵�����Ǥ��뤫�˱�����
2�Ĥΰۤʤä�������ǹ�������. �ޤ�, $\omega$��ͭ�����Ǥ���Ȥ���. 
���Ȥ���$\omega = p/q, \ p, q \in {\bf Z}$��$p,q$�ϸߤ����ǤǤ���Ȥ���. 
�ݥ��󥫥�������ˤ���, $\bar{g}$�μ������ν���$P$�϶��Ǥʤ�. 
$\bar{P} = \pi^{-1} P$���֤�. 
������, $\pi: {\bf R} \rightarrow {\bf R}/{\bf Z}$�ϼͱƤǤ���. 
$\phi(0)$��$\bar{P}$�κ������������ǤȤ����������. $t \in {\bf R}$
��Ϳ����줿�Ȥ�, $t$�򼡤Τ褦��ɽ�����뤳�Ȥ��Ǥ���. 
$$
  t = \displaystyle n \left( \frac{p}{q} \right) + m + r
$$
������, $n,m \in {\bf Z}$�Ǥ���, $\displaystyle - \frac{1}{q} < r \leq
0$�Ǥ���. �����������. 
$$
  \phi(t) = g^n(\phi(0)) + m .
$$
$\phi(0) \in \bar{P}$�Ǥ��뤫��, $g^p(\phi(0)) = \phi(0) + p$�Ǥ���. 
�������ä�, $\phi$��well-defined�Ǥ���. 

$\rho(g) = \displaystyle \frac{p}{q}$�Ǥ��뤳�Ȥ�Ȥ���, $\phi$����
�����¸�Ǥ��뤳�Ȥ��狼��. �Ȥ����Τ�, 
$\displaystyle n \left( \frac{p}{q} \right) + m > \displaystyle 
n' \left( \frac{p}{q} \right) + m'$�Ȥ�, 
����$g^n(\phi(0)) + m \leq g^n(\phi(0))v+ m'$�Ǥ���Ȥ���. 
�����, $g^{n-m}(\phi(0)) \leq m'-m$�Ǥ���. $n-n' > 0$�ξ��, 
$$
  \rho(g) \leq \displaystyle \frac{m'-m}{n-n'} < 
\displaystyle \frac{p}{q} 
$$
������. $n-n' < 0$�ξ��, 
$$
  \rho(g) \geq \displaystyle \frac{m'-m}{n-n'} > 
\displaystyle \frac{p}{q} 
$$
������. ������ɤ���ξ���̷��˻�ä�. 

\vspace{0.3cm}
����ˤ��, $\phi(0) \leq 0$�Ǥ��뤫��, ������¸�����, 
$t \leq 0$���Ф���$\phi(t)\leq 0$�Ǥ���. 
$t>0$���Ф��Ƥ�$\phi(t) \in \bar{P}$�����$\phi(t) \neq \phi(0)$�Ǥ���. 
$\phi$�ϼ�����¸�Ǥ���, $\phi(0)$��$\bar{P}$�������κ������ǤǤ��뤫��, 
$\phi(t)>0$������. 

$\phi$�������ꤿ������, 
$g(\phi(t)) = \phi(t + \displaystyle \frac{p}{q})$���Ф�. �椨��, 
$f_0(\phi(t)) \leq \phi(t + \displaystyle \frac{p}{q}) \leq f_1(\phi(t))$
�Ǥ���. $\phi$�Ϻ�Ϣ³�Ǥ�����������. ������$\phi in X_{p,q}$�Ǥ���. 

$\omega$��̵�����ΤȤ�, ��߽����¸Ϣ³����
$h: {\bf R}/{\bf Z} \rightarrow {\bf R}/{\bf Z}$��, $theta \in {\bf
R}/{\bf Z}$���Ф���
$h\bar{q}(\theta) = h(\theta) + \omega $ $({\rm mod} \ 1)$
����������Τ�¸�ߤ���. ������
$\bar{g}= {\bf R}/{\bf bf Z} \rightarrow {\bf R}{\bf Z}$��$g$��
ͶƳ���������Ǥ���. 
$\bar{h}: {\bf R} \rightarrow {\bf R}$��$h$�λ����夲, �Ĥޤ�, 
$\pi \bar{h} = h \pi$��������Ϣ³�����Ȥ���. 
$h$�����$\bar{h}$�ˤ�������ˡ������. ξ��ʻ�����, $\bar{h}$��Ǥ�դ�
�����ä��뤳�Ȥ��Ǥ���. $\bar{h}(0) = 0$�Ȼ��ꤹ�뤳�Ȥˤ��, 
$\bar{h}$���դˤǤ���. $h$�ϼ�߽����¸�Ǥ��뤫��, $\bar{h}$�ϼ�
�����¸�Ǥ���. $\phi(t) = \inf \tilde{h}^{-1}(t)$���֤�.  
$\phi$�ϼ�����¸�Ǥ��뤳�Ȥ�����Ǥ���. $h$��������1�Ǥ��뤳�ȤϤϤä�
�ꤷ�Ƥ���. ������$\bar{h}(t+1) = \bar{h}(t) + 1$�����
$\phi(t+1) = \phi(t) + 1$�Ǥ���. ����ˤ��, $\phi(0) \leq 0$�Ǥ���, 
$0$��$\phi(t) \leq 0$�Ǥ���褦�ʺ���ο�$t$�Ǥ���. ������$t \leq 0$��
�Ȥ�$\phi(t) \leq 0$�Ǥ���, $t>0$�ΤȤ�$\phi(t) \geq 0$�Ǥ���. 
$\bar{h}(g(t)) = \bar{h}(t) + \omega$�Ǥ��뤫��, $\phi$��������
$g(\phi(t)) = \phi(t+\omega)$��������. 
�����$g$���������
$$
  f_0(\phi(t)) \leq g(\phi(t)) = \phi(t+\omega) \leq f_1(\phi(t)) . 
$$
��������. $\phi$��������, ����Ϻ�Ϣ³�Ǥ���. 
�椨��$\phi \in X_{\omega}$�Ǥ���. \hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 3. $F_{\omega}$��ʿ�԰�ư������}

$g$�����$g'$��������, 
$$ \begin{array}{l}
  g(x+1, x'+1) = g(x',x) \\
  g'(x+1, x'+1) = g'(x',x) \\
   \end{array}   \eqno(3.1)
$$
������Ω�Ĥ��ȤϤϤä��ꤷ�Ƥ���. �椨��$h(x+1, x+1) - h(x,x')$��
���$C$�Ǥ���. ��������. 
$$
  C = \displaystyle \int_{\gamma} g(x,x') dx - g(x,x')dx' , 
$$
������$\gamma$��$B$���ƻ�Ǥ��ä�, Ǥ�դ���$(x_0,x'_0)$��
$(x_0+1, x'_0+1)$����. �Ȥ�����$\gamma(t) = (t, f_0(t))$�ʤ����
ƻ�˱�äƤ���ʬ���沼��1-�����Ϲ���Ū�˥����Ǥ���. �椨��$C=0$�Ǥ���. 
�Ĥޤ�
$$
  h(x+1,x'+1) = h(x,x') . \eqno(3.2)
$$

���θ���, $F_{\omega}$�����, �����$\phi(t+1) = \phi(t) + 1$���, 
$F_{\omega}$��ʿ�԰�ư���ѤǤ��뤳��, �Ĥޤ�
$$
  F_{\omega}(\phi T_a) = F_{\omega}(\phi) , 
$$
�Ǥ��뤳�Ȥ��狼��. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 4. $Y_{\omega}$��η���}

Ǥ�դμ�����¸����$\phi: {\bf R} \rightarrow {\bf R}$���Ф���
$$
{\rm graph} \phi = \{ (x,y) \in {\bf R}^2: 
\phi(x-) \leq y \leq \phi(x+) \}
$$
���������. $\psi: {\bf R} \rightarrow {\bf R}$������μ�����¸����
�ΤȤ�, 
$$
d(\phi, \psi) = \max \{ \sup_{\xi} \inf_{\eta} |\xi - \eta|, \  
\sup_{\eta} \inf_{\xi} |\xi - \eta| \}   \eqno(4.1)
$$
���֤�. ������$\xi$��graph $\phi$�ξ��ư��, $\eta$��graph $\psi$�ξ��
ư��. �ޤ�$|\cdot|$��${\bf R}^2$�ξ�Υ桼����åɥΥ���ɽ��. 
�����̵����Ȥ������Ȥ⤢������. 

$\phi \in X_{\omega}$�ΤȤ�, $(0,0), (1,1) \in {\rm graph} \ \phi$�����
$\phi(t+1) = \phi(t) + 1$�Ǥ���. �������ä�, 
$\phi, \psi \in X_{\omega}$���Ф���, $d(\phi,\psi)$��(4.1)��Ϳ������. 
������, $\xi$��ư���ϰϤ�$[0,1]^2 \cap {\rm graph} \ \phi$, 
$\eta$��ư���ϰϤ�$[0,1]^2 \cap {\rm graph} \ \phi$�Ǥ���. 
���ΤȤ�, $\phi, \psi \in X_{\omega}$���Ф���$d(\phi,\psi) \leq 1$��
����. 

���餫��, Ǥ�դ�$a \in {\bf R}$���Ф���$d(\phi T_a, \phi) \leq a$�Ǥ���. 
Ǥ�դ�$\phi \in Y_{\omega}$���Ф���$a \in {\bf R}$��¸�ߤ���
$\phi T_a \in X_{\omega}$������Ω�Ĥ���, $d$���Ф��뻰�����������, 
$\phi, \psi \in Y_{\omega}$���Ф���$d(\phi,\psi) < \infty$������. 
$d$��$Y_{\omega}$��η��̤Ǥ��뤳�Ȥϼ�����. �ѻ������ߤ����Τ�, 
$Y_{\omega}$�Τɤ����Ǥ⺸Ϣ³�Ǥ��뤫��, 
$d(\phi, \psi) = 0 \Leftrightarrow \phi = \psi$�ʤ뤳�ȤǤ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 5. ����$d$�˴ؤ�$X_{\omega}$�ϥ���ѥ���}

\noindent
\underline{����}. $S$��$[0,1]^2$������ʬ����ν���Ǥ���Ȥ�, $d'$��
�ϥ����ɥ�շ��̤Ȥ���. $(S,d')$�ϥ���ѥ��ȤǤ���([2], 3.16, ����3). 
����$\phi \rightarrow {\rm graph} \ \phi \cap [0,1]^2$��
isometrically��$X_{\omega}$��$S$��p����ʬ����Ȥ���������. ������
$X_{\omega}$�ϥ���ѥ��ȤǤ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 6. $F: Y_{\omega} \rightarrow {\bf R}$��Ϣ³}


\noindent
\underline{����}. ���Τ褦���֤�. 
$$
  M = \sup_{(x,x') \in B} \max \{ 1, \ |g(x,x')|, \ g'(x,x') \}
$$
(3.1)���, $M < \infty$�Ǥ���. $F_{\omega}$����������ʿ���ͤ��������, 
$$
  |F_{\omega}(\phi) - F_{\omega}(\psi) \leq \displaystyle 
   M \int_{t=0}^1 \left( 
|\phi(t) - \psi(t)| + |\phi(t+\omega) - \psi(t + \omega)| \right)
dt
$$
������Ω��. $\partial h/\partial x = g$�����
$\partial h/\partial x' = -g'$������Ǥ���. 

$1 \geq \epsilon > 0$���֤�. $\delta = \epsilon^2/1000M^2$�Ȥ���. 
$d(\phi, \psi) < \delta$�Ȳ��ꤹ��. 
$|F_{\omega}(\phi) - F_{\omega}(\psi)| < \epsilon$�򼨤���. 

$d(\phi, \psi) < \delta < 10^{-3}$, ������$\phi(t+1) = \phi(t) + 1$, 
$\psi(t+1) = \psi(t) + 1$, �����$\phi$��$\psi$��������Ǥ��뤳�Ȥ��, 
���٤Ƥ�$t \in {\bf R}$���Ф���, 
$|\phi(t) - \psi(t)| < \displaystyle \frac{1001}{1000} < 2$�Ǥ��뤳�Ȥ�
�ưפ˼�����. 

$a \in {\bf R}$�Ȥ���. $\pi_a$��$t \in [a, a+1)$�Τ���
$|\phi(t) - \psi(t)| \geq \displaystyle \frac{\epsilon}{5M}$�����������
�Ȥ���. ����$d(\phi,\psi) < \delta$���, 
$\psi(t) \geq \phi(t) + \epsilon/5M$�ξ��
$$
  \phi(t+\delta) \geq \displaystyle 
\phi(t) + \frac{199 \varepsilon}{1000M} \eqno(6.2)
$$
������. �ޤ�$\psi(t) \leq \phi(t) �� \epsilon/5M$�ξ��
$$
  \phi(t-\delta) \leq \displaystyle 
\phi(t) - \frac{199 \varepsilon}{1000M}  \eqno(6.3)
$$
������. 

$\pi'_a$(�ޤ���$\pi''_a$)��$t \in [a, a+1)$�Τ���(6.2)(�ޤ���(6.3))��
��������ΤȤ���. �����
$$
  \pi_a \subset \pi'_a \subset \pi''_a
$$

Ǥ�դ���$t \in \pi'_a$�ˤ�����, ���$[t, t+\delta]$�ˤ錄��$\phi$����ư
��$\geq \displaystyle \frac{199 \epsilon}{1000M}$�Ǥ���. 
$(a, a+1)$��Ǥ�$\phi$������ư$\leq 1$�Ǥ��뤫��, 
$\pi'_a$��Ĺ��$\delta = \epsilon^2/100M$�ι⡹
$\displaystyle \left[ \frac{1000M}{199 \epsilon} \right] +
1 \leq \displaystyle 7 \frac{M}{\epsilon}$�Ĥζ�֤���ʤ�����. 
�椨��$\pi'_a$��¬��$\mu(\pi'_a)$�Ϲ⡹
$7 M \delta /\epsilon < \epsilon/100M$�Ǥ���. 
Ʊ�ͤ�, $\mu(\pi''_a) \leq \epsilon/100M$�Ǥ���. �椨��
$$
  \mu(\pi_a) \leq \mu(\pi'_a) + \mu(\pi''_a) \leq \varepsilon/50 M . 
$$

���٤Ƥ�$t \in {\bf R}$���Ф���$|\phi(t) - \psi(t)| \leq 2$�Ǥ���, 
$t \in (0,1) - \pi_0$�����$t \in (\omega, \omega+1) - \pi_{\omega}$��
�Ф���$|\phi(t) - \psi(t)| \leq \epsilon/5M$�Ǥ��뤫��, (6.1)���, 
$$ \begin{array}{rl}
  |F_{\omega}(\phi) - F_{\omega}(\psi) \leq & 
\displaystyle M \left( 
2 \mu(\pi_0) + 2\mu(\pi_{\omega}) + \frac{2\omega}{5M} \right)  \\
 \leq & \displaystyle M \left( 
 \frac{4\varepsilon}{50M} + \frac{2\varepsilon}{5M} \right) < \varepsilon .
   \end{array}
$$
������. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ��.} $F_{\omega}$��$Y_{\omega}$��Ƕ������. ����$X_{\omega}$��
°�������ˤ����ƤǤ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 7. $F_{\omega}$����ʬ(variation)�η׻�}

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ����.} $a \leq 0 \leq b$�����$a < b$�Ȥ���. $Y_{\omega}$������
$\phi_s$��$a \leq s \leq b$���Ф���Ϳ�����, $\phi_s(t)$�ϳƸ��ꤷ��
$t$�ˤĤ���$s$��$C^2$�ؿ��Ǥ���, 
$\displaystyle \frac{\partial \phi_s(t)}{\partial s}, 
\frac{\partial^2 \phi_s(t)}{\partial s^2}$��$a \leq s \leq b, t \in {\bf
R}$���Ф��ư���ͭ�����Ĳ�¬�Ǥ���Ȥ���. ���ΤȤ�
$$
\displaystyle
\frac{d}{dt} F_{\omega}(\phi_s)|_{s=0} = \displaystyle 
\int_{t=0}^{1} V(\phi,t) \dot{\phi}(t)  \eqno(7.1)
$$
�Ǥ���. ������
$$ \begin{array}{lll}
  \dot{\phi}_s(t) = \displaystyle \frac{\partial \phi_s(t)}{\partial s}, 
& \dot{\phi} = \dot{\phi}_0, & \phi = \phi_0
   \end{array}
$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $F_{\omega}$����������$\phi_s(t)$���Ƹ��ꤷ��
$t$�ˤĤ���$s$��$C^2$�ؿ��Ǥ���Ȥ������꤫�� 
$$ \begin{array}{rl}
\displaystyle
\frac{F_{\omega}(\phi_{\Delta s}) - F_{\omega}(\phi)}{\Delta s} = & 
\displaystyle 
\int_{t=0}^{1} \int_{u=0}^1 
\left[ \frac{\partial h}{\partial x} ( \phi_{u \Delta s}(t), 
\phi_{u \Delta s}(t+\omega))\dot{\phi}_{u \Delta s}(t)  \right. \\
 & \hspace{1.8cm} \displaystyle \left. 
+ \frac{\partial h}{\partial x'}
 ( \phi_{u \Delta s}(t), 
\phi_{u \Delta s}(t+\omega))\dot{\phi}_{u \Delta s}(t)
\right] du dt . 
   \end{array}
$$
������. $\displaystyle \frac{\partial h}{\partial x}$�����
$\displaystyle \frac{\partial h}{\partial x'}$��$B$��ǰ���
Ϣ³�Ǥ���, 
$\displaystyle \frac{\partial \phi_s}{\partial s},$ 
$\displaystyle \frac{\partial^2 \phi_s}{\partial s^2}$��
����ͭ���Ǥ��뤫��, ����ʬ�ؿ���$\Delta s \rightarrow 0$�ΤȤ����ͼ�«
����. $\Delta s = 0$�ζ˸¤عԤ���, 
$$ \begin{array}{rl}
\displaystyle
\frac{d}{ds} F_{\omega}(\phi_s)|_{s=0} = & 
\displaystyle 
\int_{t=0}^{1} 
\left[ \frac{\partial h}{\partial x} 
( \phi(t), \phi(t+\omega))\dot{\phi}(t) 
+ \frac{\partial h}{\partial x'}
 ( \phi(t), \phi(t+\omega))\dot{\phi}(t+\omega) \right]dt  \\
 = & \displaystyle 
\int_{t=0}^{1} 
\left[ \frac{\partial h}{\partial x} 
( \phi(t), \phi(t+\omega)) 
+ \frac{\partial h}{\partial x'}
 ( \phi(t-\omega), \phi(t)) \right] \dot{\phi}(t) dt  \\
= & \displaystyle 
\int_{t=0}^{1} V(\phi,t) \dot{\phi}(t) dt .
   \end{array}
$$
������. \hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 8. 1-�ѥ�᡼��²}

������Ǥ�$t_0 \in {\bf R}$, $\phi \in Y_{\omega}$����ꤷ, 3�Ĥ�
1-�ѥ�᡼��²$\phi_s, \psi_s, \xi_s$�������褦. ����ˡ��
${\bf R}/{\bf Z}$���$[0,1]$����ͤ����$C^{\infty}$�ؿ�$\rho$����������
��¸����(?). $\pi(t_0)$�ζ�˵�Ǥ�$\rho$������Ū��1�Ǥ���Ȳ��ꤹ��. 
������$\pi: {\bf R} \rightarrow {\bf R}/ {\bf Z}$�ϼͱƤǤ���. 

$u_s: {\bf R} \rightarrow {\bf R}$����ʬƱ������ΰ�դ�²�Ǥ��ä�, 
$s \in {\bf R}$���Ф����������, ...

$$ \begin{array}{rl}
\displaystyle
\frac{d}{ds} F_{\omega}(\phi_s)|_{s=0} 
= & \displaystyle 
\int_{t=0}^{1} V(\phi,t) \rho \pi \phi(t) dt .
   \end{array}  \eqno(8.1)
$$

$$ \begin{array}{rllll}
 \psi_s(t) = & u_s\phi(t), & {\rm if} & n \in {\bf Z}�����ä�, 
& t_- + n \leq t < t_1 + n \\
   = & \phi(t), & {\rm otherwise}
   \end{array}
$$


$$ \begin{array}{rllll}
 \xi_s(t) = & \phi(t), & {\rm if} & n \in {\bf Z}�����ä�, 
& t_- + n \leq t < t_1 + n \\
   = & u_s\phi(t), & {\rm otherwise}
   \end{array}
$$


$$ \begin{array}{rl}
\displaystyle
\frac{d}{ds} F_{\omega}(\psi_s)|_{s=0} 
= & \displaystyle 
\int_{t_0}^{t_1} V(\phi,t) \rho \pi \phi(t) dt .
   \end{array}  \eqno(8.2)
$$



$$ \begin{array}{rl}
\displaystyle
\frac{d}{ds} F_{\omega}(\xi_s)|_{s=0} 
= & \displaystyle 
\int_{t_1-1}^{t_0} V(\phi,t) \rho \pi \phi(t) dt .
   \end{array}  \eqno(8.3)
$$







\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 9. ����ˤ��������������Ϥ��Τʤ����}

$$ \begin{array}{lcl}
  \phi(t) = f_0 \phi(t-\omega) & ����� & \phi(t+\omega) > f_0\phi(t), 
   \end{array}  \eqno(9.1)
$$
�ޤ���
$$ \begin{array}{lcl}
  \phi(t) < f_1 \phi(t-\omega) & ����� & \phi(t+\omega) = f_1\phi(t), 
   \end{array}  \eqno(9.2)
$$
�ޤ���
$$ \begin{array}{lcl}
  \phi(t) > f_0 \phi(t-\omega) & ����� & \phi(t+\omega) = f_0\phi(t), 
   \end{array} \eqno(9.3)
$$
�ޤ���
$$ \begin{array}{lcl}
  \phi(t) = f_1 \phi(t-\omega) & ����� & \phi(t+\omega) < f_1\phi(t), 
   \end{array} \eqno(9.4)
$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ����.} (9.1)�ޤ���(9.2)�����������ʤ�, $V(\phi,t) > 0$�Ǥ���. 
(9.3)�ޤ���(9.4)�����������ʤ�, $V(\phi,t) < 0$�Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $g$��$g'$��������, 
$$ \begin{array}{l}
  x' = f_0(x) \Leftrightarrow g(x,x') = 0 \Leftrightarrow g'(x,x')=0 \\
  x' = f_1(x) \Leftrightarrow g(x,x') = 1 \Leftrightarrow g'(x,x')=1 
   \end{array}
$$
�Ǥ��뤳�Ȥ��狼��.  (1.6), ����Ʊ���������$0 \leq g(x,x') \leq 1$, 
$0 \leq g'(x,x') \leq 1$���, ����η������������ˤ�������. \hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
$t_0 = \phi^{-1}\phi(t_0)$�Ȥ���. $\rho$��$\pi \phi(t_0)$�Τޤ��ν�ʬ
�����ʶ����������ĤȤ���, ��ʬ������$s \geq 0$���Ф���(�ޤ��Ͻ�ʬ
�����������ͤ�$s \leq 0$���Ф���)$\phi_s \in Y_{\omega}$�Ǥ���, �ޤ�
(8.1)����Ӿ��������, (9.1)�ޤ���(9.2)(�ޤ���(9.3)�ޤ���(9.4))��
����������, $\displaystyle \frac{d}{ds} F_{\omega}(\phi_s)|_{s=0} >0$
(�ޤ��� $<0$)�Ǥ���. �椨��$F$��$\phi$�ˤ����ƶ���ˤʤ�ʤ�. 

$t_0 \neq \phi^{-1}\phi(t_0)$�ʤ�, $\phi^{-1}\phi(t_0)$�϶�֤Ǥ���. 
$\alpha, \beta,$($\alpha< \beta$)��ü���Ȥ���. 
$t=t_0$�ˤ�����(9.1)�ޤ���(9.2)�����������ʤ�, 
���٤Ƥ�$t \in [t_0, \beta)$�ˤ����Ƥ����������. ���ξ�, $V(\phi,t)$��
$(\alpha,\beta)$�ˤ�����$t$�����ôؿ��Ǥ���. �����(1.6)�����$g(x,x')$
��$x'$�����ôؿ��Ǥ��뤳��, $g'(\bar{x},x')$��$\bar{x}$�θ����ؿ��Ǥ��뤳��
�ˤ��. ��ñ�ˤ狼��褦��, $\rho$��$\pi \phi(t_0)$�ν�ʬ�����ʶ�˵���
�����Ƥ�, ��ʬ������$s \geq 0$���Ф���$\psi_s \in Y_{\omega}$�Ǥ���. 
�ޤ�(8.2)����Ӿ��������, 
$\displaystyle \frac{d}{ds} F_{\omega}(\psi_s)|_{s=0} >0$�Ǥ���.
�椨��$F_{\omega}$��$\phi=\psi_0$�ˤ����ƶ���ˤʤ�ʤ�. 

(9.3)�ޤ���(9.4)��$t��t_0$�ˤ��������������ʤ�, Ʊ�ͤ�����ˤ��, 
$\rho$��$\pi \phi(t_0)$�ν�ʬ�����ʶ�˵��������Ƥ�, ��ʬ������������
��$s \leq 0$���Ф���$\xi_s \in Y_{\omega}$�Ǥ���, 
$\displaystyle \frac{d}{ds} F_{\omega}(\xi_s)|_{s=0} <0$�Ǥ���.
�椨��$F_{\omega}$��$\phi=\xi_0$�ˤ����ƶ���ˤʤ�ʤ�. 
\hfill $Box$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 10. �����顼���饰��󥸥��������ξ���}

������Ǥ�, $F_{\omega}$��$\phi$�ˤ����ƶ���ˤʤ�Ȳ��ꤷ��(1.5)�����
����. $t-\omega, t$�����$t+\omega$��$\phi$��Ϣ³���Ǥ������(1.5)��
��������н�ʬ�Ǥ���. �ʤ��ʤ�, �⡹�Ļ��Ĥ�$t \in {\bf R}$������Ƥ���
������Ω��, �ޤ�$V(\phi,t)$�Ϻ�Ϣ³������Ǥ���. 

9����, ���(9.1-9.4)�Τɤ�ҤȤĤȤ�����������ʤ�($t-\omega, t$
�����$t+\omega$��$\phi$��Ϣ³���Ǥ���Ȥ�). �Ĥޤ�, 
$\phi(t) = f_0 \phi(t-\omega) \Leftrightarrow \phi(t+\omega) = f_0\phi(t)$
�����
$\phi(t) = f_1 \phi(t-\omega) \Leftrightarrow \phi(t+\omega) = f_1\phi(t)$
�Ǥ���. �����Τ����ɤ��餫�Ǥ�����Ω�Ƥ�, 9�������ξ����˻Ȥä�����
���, $V(\phi,t) = 0$�Ǥ���. 

�椨��, $f_0\phi(t_0-\omega) < \phi(t_0) < f_1\phi(t_0-\omega)$�����
$f_0\phi(t_0) < \phi(t_0+\omega) < f_1\phi(t_0)$��������, 
$t_0-\omega, t_0$�����$t_0+\omega$��$\phi$��Ϣ³���Ǥ���褦��
��$t_0 \in {\bf R}$��ͤ���н�ʬ�Ǥ���. 

$t_0 = \phi^{-1}\phi(t_0)$�Ȥ���. �����, $\rho$��$\pi \phi(t_0)$�ν�ʬ
�����ʶ�˵�������Ƥ�, ��ʬ������$s$���Ф���$\phi_s \in Y_{\omega}$�Ǥ�
��, (8.1)������Ω��. $F$��$\phi=\phi_0$�ˤ����ƶ���ˤʤ�Ȥ���������, 
$\displaystyle \frac{d}{ds} F_{\omega}(\phi_s)|_{s=0} = 0$�Ǥ���. 
$V(\phi,t)$��$t��t_0$�ˤ�����Ϣ³�Ǥ��뤫��($t-\omega, t$�����
$t+\omega$��$t=t_0$�ˤ�����Ϣ³�Ǥ���Ȥ���������), $\phi(t)$��
$t_0$�ˤ�����Ϣ³�Ǥ���, �ޤ�$t_0 = \phi^{-1} \phi(t_0)$�Ǥ��뤫��, 
�����ιͤ��Ƥ��뷿�Τ��٤Ƥ�$\rho$���Ф���
$$ \begin{array}{rl}
\displaystyle 
\int_{t=0}^{1} V(\phi,t) \rho \pi \phi(t) dt = 0.
   \end{array} 
$$
�Ǥ��뤳�Ȥ��, $V(\phi,t_0)=0$���Ф�. 

$t_0 = \phi^{-1}\phi(t_0)$�ʤ�$\phi^{-1}\phi(t_0)$�϶�֤Ǥ���. 
$\alpha$��$\beta$($\alpha < \beta$)�򤽤�ü���Ȥ���. 
�����, $V(\phi,t)$��$(\alpha,\beta)$���$t$�����ôؿ��Ǥ���. �����
(1.6), $g(x,x')$��$x$�����ôؿ��Ǥ��뤳��, $g'(\bar{x},x')$��$\bar{x}$��
�����ؿ��Ǥ��뤳�Ȥˤ��. ��ñ�ˤ狼��褦��, $\rho$��$\pi \phi(t_0)$��
��ʬ�����ʶ�˵��������Ƥ�, ��ʬ������$s \geq 0$���Ф���
$\psi_s \in Y_{\omega}$�Ǥ���, ��ʬ������$s \leq 0$���Ф���
$\xi_s \in Y_{\omega}$�Ǥ���. �椨��(8.2)��(8.3)������Ω��. 
$F_{\omega}$��$\phi= \psi_0 = \xi_0$�ˤ����ƶ���ˤʤ�Ȥ���������
$$ \begin{array}{l}
\displaystyle 
\frac{d}{ds} F_{\omega}(\psi_s)|_{s=0} \leq 0 \\
\displaystyle 
\frac{d}{ds} F_{\omega}(\xi_s)|_{s=0} \geq 0 
   \end{array} 
$$
����������. $V(\phi,t)$��$(\alpha,\beta)$������ä��뤳�Ȥ���, (8.2)���, 
$V(\phi,t) \leq 0$����, (8.3)���$V(\phi,t) \geq 0$���Ф�. �椨��
$V(\phi,t_0) = 0$�Ǥ���. \hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
�����, ���˽Ҥ٤������ξ��������뤷��. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 11. ��­ 1�ξ���}

(1.6)�����$g(x,x')$��$x'$�����ôؿ��Ǥ��뤳��, �����
$g(\bar{x},x)$��$\bar{x}$�θ����ؿ��Ǥ��뤳�Ȥ���, $\phi$��$t$��Ϣ³�ʤ�, 
$V(\phi, t+) \geq V(\phi, t-)$�Ǥ��뤳�Ȥ�������. �ޤ����椬����Ω�Ĥ���
��ɬ�׽�ʬ����$\phi$��$t-\omega$�����$t+\omega$�ˤ����Ƥ�Ϣ³�ʤ뤳��
�Ǥ���. (1)�ϥ����顼���饰��󥸥�������$V(\phi,t)=0$�������Ǥ��뤫��, 
����������Ω��, $\phi$��$t-\omega$�ˤ����Ƥ�$t+\omega$�ˤ����Ƥ�
Ϣ³�Ǥ���. \hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 12. ��­ 2�ξ���}

���Ǥ˸����褦��, $\phi$�����$(\alpha,\beta)$������ʤ�, $V(\phi,t)$
�Ϥ��ζ��������äǤ���. ���ξ�, ����������������(9��)��Ȥ���, 
$V(\phi,t)$������Ǥ��뤿���ɬ�׽�ʬ��郎$\phi$��
$(\alpha-\omega, \beta-\omega)$�太���$(\alpha+\omega, \beta+\omega)$
�������Ǥ��뤳�Ȥ򼨤����Ȥ��Ǥ���. ���ε����򷫤��֤�, 
$\phi(t+1) = \phi(t) + 1$�Ǥ��뤳�Ȥ�Ȥ���, Ǥ�դ�$n, m \in {\bf Z}$��
�Ф��ƶ��$(\alpha + n\omega + m, \beta + n \omega + m)$���
$\phi$������Ǥ��뤳�Ȥ�������. $\omega \not\in {\bf Q}$�Ǥ��뤫��, 
�����$\phi$��${\bf R}$�������Ǥ��뤳�Ȥ��̣��, 
$\phi(t+1) = \phi(t)+ 1$��̷�⤹��. 

�椨��$\phi$�Ϥɤζ�֤ˤ����Ƥ�����ǤϤʤ�. \hfill $\Box$


\begin{center}
{\bf ����ʸ��}
\end{center}


\re
[1] G.D. Birkhoff, Proof of Poincar\'{e}'s geometric thorem, 
{\it Trans. AMS} {\bf 14}, 14-22(1913). Reprinted in 
{\it Collected Works}, Vol.1,AMS, New York, 1950, pp.673-681. 

\re
[2] J. Dieudonne, {\it Foundations of Modern Analysis}, Academic press, 
New York, 1960. 

\re
[3] J.C. Percival, Variational principles for invariant tori and
cantori, in Symp. on Nonlinear Dynamics and Beam-Beam Interactions, 
(eds. M. Month and J.C. Herrara), No.55, pp.320- , American Institute of
Physics, Conf. Proc.(1980). 

\re
[4] J.C. Percival, {\it J. Phys. A: Math. Nucl. Gen.} {\bf 12}, L57(1979)

\re
[5] E.C. Titchmarsh. {\it The Theory of Functions}, 
Clarendon Press: Oxford(1932).

\end{document}