\documentstyle[12pt,twoside]{jarticle}
%
\oddsidemargin 0.0cm
\evensidemargin -1.0cm
\topmargin 0.0cm
%
\textwidth 16.8cm
\textheight 22.5cm
\footheight 0.5cm
%
\newcommand{\re}{\vspace{0.15cm}\par\hangindent=0.7cm\noindent}
%
\begin{document}
\setlength{\baselineskip}{3ex}
%
%R.McGehee����ʸ
%Expo. Math. 4(1986), 335-345.
%
\begin{flushright}
ë����δ ��
\end{flushright}

\noindent
{\it Expositiones Mathematicae}  {\bf 4} (1986), 335-345

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\Large
{\bf ŷ���ϳؤˤ������ð����˴ؤ���von Zeipel������ \\
Von Zeipel's theorem \\
on singularities in celestial mechanics} 
}

\vspace{0.3cm}
Richard McGehee
\end{center}

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf 1. ��}

����ʬ�������Ϥβ򤬻���$t^* < \infty$�ˤ�����\underline{�ð���}��и������
������Τϡ���$t^*$��ۤ��Ʊ�Ĺ�Ǥ��ʤ����Ǥ��롥��ŵ�ϳؤ�$n$�������
������������ð������������򤹤뤳�ȤϺ����ޤǿ��ؼԤ��ܤ��Ȥ�Ƥ�����
�����ð����˴ؤ��붽̣��1895ǯ���ѥ���[6]����Ϥޤ�褦����������
��Ϥ��٤Ƥ��ð�����γ��Ʊ�Τξ��ͤˤ�뤫�ɤ������䤦����

�ѥ��٤�����β�ؤν��פʰ����Hugo von Zeiple��1908ǯ�˵�����[15]����ϡ�
$t$��$t^*$�˶�Ť��Ȥ������٤Ƥ�γ�Ҥΰ��֤�ͭ���ʤ��ð����Ͼ��ͤˤ��Ϥ���
���뤳�Ȥ򼨤���������������ȡ�ͭ�»��֤�γ�ҷϤ���ͭ���ˤʤ�Ȥ��Τ�
������ð������������롥

von Zeipel����ʸ�ϲ�ǯ��δ֡���ˤΰǤ����졢�ޤ��Ƕ�ΰ��Ѥˤ��С�
������ʸ�ξ����ˤϡ֥���åספ�ְִ㤤�פ�����ȤۤΤᤫ����Ƥ���
[14, p.431; 10, p.15; 8, p.312]��von Zeipel��4�ڡ�������ʸ������Ū��Ĺ��
����û�����뤫�⤷��ʤ����������ʾ�����ɬ�פ��ܼ�Ū���Ƥ򤹤٤ƴޤ�Ǥ��롥
�¤ϡ����Ū�˸���С�����Ū��ƶ����ޤ�Ǥ��롥

������ʸ����Ū��von Zeipel�ξ�������Ū�ʵ�ˡ���Ѹ���������뤳�Ȥˤ��롥
����򤹤�ˤ����äơ�von Zeipel�Τ�Ȥ�ȯ�ۤ�����θ���Ԥˤ�ä��ưפ�
������褦�ˤ���ŷ���ϳؤˤ������ð����������ؤ�von Zeipel�ι׸������餫��
����Τ����Ԥ�˾�ߤǤ��롥

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf 2. �ѥ��٤Υ��ȥå��ۥ��ֵ�}

1895ǯ�����ߥå���������ե顼�ξ�������ӥ��������ǥ�ȥΥ륦�����β�
��������II���θ��Τ�Ȥˡ��ݡ��롦�ѥ��٤ϥ��ȥå��ۥ��ǰ�Ϣ�ιֵ���
�Ԥʤä������ιֵ��ϥ��ȥå��ۥ��βʳؼҲ�ˤȤäƤ����ؤ���פʽ������
���ä��Τǡ��ǽ�ιֵ��ˤϲ����Ȥ����ʤ������ð����˴ؤ���von Zeipel�λŻ���
�ѥ��٤λŻ��˻ɷ㤵�줿��ΤǤ���Τǡ����μ���˴ؤ���ѥ��٤�������
���Ҥ��뤳�Ȥ���Ϥ�褦���ѥ��٤ιֵ��Ρ��Ȥ�1897ǯ�˽��Ǥ���[9]��
��������˺�Ͽ���줿[7]��

$m_i>0$��$i$���ܤ�γ�Ҥμ��̤Ȥ���$q_i \in R^3$�򤽤ΰ��֤Ȥ��롥
����$n$γ�ҷϤΥݥƥ󥷥�륨�ͥ륮����
$$
 - U(q_1, \ldots, q_n) \equiv  - \sum_{i<j}
\frac{\displaystyle m_im_j}{\displaystyle |q_i-q_j|} , 
$$
��Ϳ�����롥������$| \cdot |$��$R^3$�Υ桼����åɥΥ���ɽ�魯��
����γ�ҷϤΥ˥塼�ȥ�Ū�꼰����
$$ \begin{array}{ll}
  m_i \ddot{q}_i = \nabla_i U(q_1, \ldots, q_n), & i=1, \ldots, n   
   \end{array} \eqno(1)
$$
�Ƚ񤱤롥�����ǵ���$\nabla_i$��$i$���ܤ��ѿ��˴ؤ������(gradient)�Ǥ��ꡢ
������ϻ���$t$�˴ؤ���2����ʬ��ɽ�魯��

�ݥƥ󥷥�륨�ͥ륮����2�İʾ��γ�Ҥ����פ���Ȥ����Ǥ��������ʤ���
$$
  q \equiv (q_1, \ldots, q_n) \in (R^3)^n ,
$$
�Ƚ񤱤С������ð��������
$$
  \Delta \equiv \cup_{i<j} \Delta_{ij} ,
$$
�Ƚ񤱤롥������
$$
  \Delta_{ij} \equiv \{ q \in (R^3)^n : q_i = q_j \} ,    \eqno(2)
$$
�Ǥ��롥$U: (R^3)^n - \Delta \rightarrow (0,\infty)$�ϼ²���Ū�Ǥ��뤳�Ȥ�
���դ��롥

�������$q(0) \in (R^3)^n - \Delta$�Ƚ��®��$\dot{q}(0) \in (R^3)^n$��
Ϳ������ȡ���ʬ��������ɸ��Ū¸�ߤ���Ӱ���������ˤ��$t \in [0, t^*)$��
�Ф���������줿��դβ�$q(t)$��Ϳ�����롥������$t^* \in (0, \infty]$��
��������Ф�Ƥ��롥�٥��ȥ�$q$��$t$�μ²���Ū�ؿ��Ǥ��ꡢ��$t^*$��ͭ�¤ʤ�
���δؿ����ð����Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���.} $t^*< \infty$�ʤ顢��$q(t)$��$t^*$�ˤ�����\underline{�ð���}��
�и�����ȸ����롥

\vspace{0.3cm}
���ȥå��ۥ��ֵ��ˤ����ơ��ѥ��٤ϵ����������ð�����������Ĵ�٤��������
����������������������������ϡ��ð����ˤ�����γ�ҤΤ��٤Ƥ��ȤκǾ���Υ��
�����˶�Ť��Ϥ��Ǥ���ȽҤ٤������줤�ʾ�����Siegel \& Moser����[9]�ˤ��롥
�����Ǥ�
$$
  \rho(q) \equiv \min_{i<j} |q_i-q_j| ,
$$
����������ؿ�$\rho: (R^3)^n\rightarrow [0, \infty)$��Ƴ�����롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 1.} $q(t)$��$t^*$�ˤ������ð�����и�����ʤ顢
$t \rightarrow t^*$�ΤȤ�$\rho(q(t)) \rightarrow 0$�Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
����������
$$
  \rho(q) = \sqrt{2} d(q, \Delta)
$$
�Ǥ��뤳�Ȥ����դ���С�����ä���᤬��ǽ�Ǥ��롥������$d(q,\Delta)$��
��$q$���齸��$\Delta$�ؤ�$R^{3n}$��ɸ��Ū�桼����åɵ�Υ��ɽ�魯������1��
$t \rightarrow t^*$�ΤȤ�$q(t) \rightarrow \Delta$�Ǥ��뤳�Ȥ�Ҥ٤Ƥ��롥

$q(t)$��$\Delta$��Τ�����������˶�Ť��Τ����䤦���Ȥϼ����Ǥ��롥�踳Ū�ˤ�
$q(t)$��$\Delta$�˶�Ť��ˤĤ�Ʒ㤷����ư�����ꡢ$\Delta$�Ȥε�Υ��������
��Ť��ˤĤ����ͭ���ˤʤ뤫�⤷��ʤ���$q(t)$��$t \rightarrow t^*$�ΤȤ�����
��$q^*$�˶�Ť��ʤ顢��γ�Ҥ�$t^*$�ˤ����ƶ˸°��֤���ġ�
$q^* \in \Delta$�Ǥ��뤫�顢�˸°��֤Τ������ʤ��Ȥ�2�Ĥϰ��פ���Ϥ��Ǥ��롥
�Ĥޤꡢ������γ�Ҥ�$t \rightarrow t^*$�ΤȤ��֤Ĥ���Ϥ��Ǥ��롥
�ѥ��٤Ϥ����־���(collision)�פȸƤ�������ͤˤ��ʤ��ð�����
�ֵ�����(pseudocollision)�פȸƤ����

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���.} $q(t)$��$t^*$�ˤ������ð�������ĤȤ��롥�����ð�����
\underline{����}�ȸƤФ��Τϡ�$q^* \in \Delta$�����äơ�
$t \rightarrow t^*$�ΤȤ�$q(t) \rightarrow q^*$�Ȥʤ�Ȥ��Ǥ��롥
�����Ǥʤ��Ȥ��ð�����\underline{������}�ȸƤФ�롥

\vspace{0.3cm}
�ѥ��٤ϵ����ͤ����������뤫�ɤ�������˻פ�������λ���ʸ���ʤ��ˡ�
���γ�ǰ�򼨺������Ȥ��ƥݥ��󥫥�򿮤���[6, p.588]���ѥ��٤ϻ�������Ǥ�
�����ͤ����������ʤ����Ȥ򼨤��Τ�����������

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 2.} $n=3$�ΤȤ������٤Ƥ��ð����Ͼ��ͤǤ��롥

\vspace{0.3cm}
�ѥ��٤Ϥޤ�$n$������ˤ������ð��������ͤǤ��뤿��ν�ʬ����Ϳ������
�����������ξ���ñ��Ʊ�����ξ��ͤ��ʣ���ʤդ�ޤ����ӽ����������˲᤮����
�������ð����������˴ؤ��Ƥ��ʾ��ƶ����Ϳ�����ΤǤϤʤ��ä���
�ѥ��٤�$m \geq 4$�ΤȤ��˵����ͤ�������Τ��Ȥ���̤���ε������Ф��ơ�
���ȥå��ۥ��ֵ������᤯���ä�����������Ϻ�����̤���Ǥ��롥
���������ͤ�¸�ߤ�ٻ����붯���ڵ�Ϥ���[2,5]��

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf 3. von Zeipel������}

Edvard Hugo von Zeipel��1873ǯ���������ǥ�˥ɥ��İ�̱��¹�Ȥ������ޤ줿��
����ϥ��ȥå��ۥ��ȥ��ץ���Ƕ���������1904ǯ�˥��ץ�����ؤ���Ph.D.��
����������γذ���ʸ�ϻ���������軰��μ�����ƻ�θ���˴ؤ����ΤǤ��ä���
�����1904ǯ6���1906ǯ9��ޤǥѥ�Ǹ��椷���ݥ��󥫥줫��ŷ���ϳء�
�ѥ��٤���rational mechanics�ιֵ��������[4]���ð����ؤ�von Zeipel�ζ�̣��
�ݥ��󥫥줪��ӥѥ��٤Ȥθ�ݤ��������������������롥�Ȥ����Τϡ�
���μ���˴ؤ�����ʸ�ϡ����줬�ѥ��Υ�줿2ǯ�塢1908ǯ5��˸����뤫��
�Ǥ��롥

von Zeipel����ʸ�˸���줿�����������Ҳ𤷤褦�����Ԥ��ե�󥹸줫��Ѹ��
�����Ƥ�������

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ����.} $t$��$t_1$�˶�Ť��ˤĤ��γ�ҤΤɤ줫��ͭ�¤ζ˸°��֤˸�����ʤ��ʤ�С�ɬ��Ū��
$$
  \lim_{t \rightarrow t_1} R = \infty ,
$$
�Ǥ��롥������$R$����ߵ�Υ�κ����ͤǤ��롥

\vspace{0.3cm}
���Ϳ����������餹��ȡ�von Zeipel���������Ҥ٤�Τϡ�
�ð��������ͤˤ��Τ�γ�ҷϤ�ͭ���ˤȤɤޤ�Ȥ��Ǥ��롢�Ȥ������ȤǤ��롥
��äȸ��䤹�����դǸ����С������ͤ�������ͣ���ƻ�ϡ�γ�ҷϤ�ͭ�»��֤�
̵�±����ȯ����Ȥ��Ǥ��롥

1908ǯ�ʸ塢von Zeipel��ŷ���ϳؤο���Ū¦�̤���Υ���ŷʸ�ؤμ���Ū������
�ܤäƤ��ޤä��褦�˸����롥�����侮�����α�ư�˴ؤ���Ż���³��������ɤ�
�����ι�¤��ʲ��ˤ�äȶ�̣����ä��������1915ǯ�˥��������ǥ�β�Ω�ʳ�
�����ǥߡ������Ф��졢1919ǯ�˥��ץ����ŷʸ�ؤζ�����(personal chair)��
��̾���줿��1926ǯ����1935ǯ�ޤǥ��������ǥ�ŷʸ�ز�ε�Ĺ��̳�ᡢ1931ǯ����
1948ǯ�ޤ�ŷʸ�ؤι�Ω�Ѱ���(National Committee)�ε�Ĺ���ؤ᤿��1930ǯ�ˡ�
�����οʲ�����ӹ�¤�˴ؤ���Ż��ǥ˥塼�衼���ʳإ����ǥߡ������꥽��ޤ�
���������򤤤��Ȥˡ��ߥå���������ե顼��1920ǯȯ�ԤΥݥ��󥫥��ý���
Acta Mathematica��38����von Zeipel������Ǵ�Ƥ����Ƥ��롥

Von Zeipel�βڡ���������ˤ⤫����餺���ð����˴ؤ������������Ĺ������ˤ�
�Ǥ�����Ƥ����褦�˸����롥1920ǯ��Jean Chazy��Comptes Rendus���
Ʊ��������ȯɽ���Ƥ���[1]�������von Zeipel�λŻ���ޤä������Ѥ��Ƥ��ʤ��Τǡ�
������Τ�ʤ��ä��˰㤤�ʤ���1941ǯ���ܤ�񤯤������äơ�
Wintner��von Zeipel����ʸ�˵��Ť��Ƥ������������������˵���������Ƥ���
([14, p.431])��Sperling�ˤ��С�1970ǯ�ޤ�
��von Zeipel���ĽҤϼ¼�Ū���Τ��Ƥ��ʤ��ä��褦�˸������[10, p.15]��

�����ʤ��Ȥˡ�ŷ���ϳؤˤ������ð���������ؤζ�̣��Pollard��Saari�λŻ���
��������1970ǯ��ν�������褷����1972ǯ��Saari��von Zeipel�η�̤��ĥ���ơ�
�����⡼���Ȥ��֤�ä�����Ѳ�����ʤ顢�����ͤ����������ʤ����Ȥ򼨤���[8]��
1974ǯ��Mather��McGehee��4������β��ͭ�»��֤���ͭ���ʤ�Τ�������[5]��
�����������β������ȿȯ�ˤ���Ĺ���줿̵�������ξ��ͤ�ޤ�Ǥ���Τ�
�����ͤ���ǤϤʤ���Gerver�ϺǶ�5������ǵ����ͤ������뤳�Ȥ��Ŧ������[2]��
�ܺ٤Ϥޤ��������Ƥ��ʤ���

�����������ͤ�¸�ߤ˴ؤ���ѥ��٤ε���ϡ�����������Ū�Ǥ��뤳�ȤˤۤȤ��
�����Ϥʤ�����ɤ⡢�򤫤�Ƥ��ʤ��������������Ф��줿�Ȥ��Ƥ�von Zeipel��
�����Ϥ���ʬ��δ��������ΤҤȤĤȤ��ƻĤ�Ǥ�������

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf 4. �Ϥ�ʬ��}

von Zeipel�ξ����ν��פ����Ǥ�γ�ҷϤδ����⡼���Ȥ���ʬ�Ϥ��б�������ʬ��
ʬ�򤹤뤳�Ȥˤ��롥����������ʬ�������
$$
  \langle q,p \rangle \equiv \sum_{i=1}^n m_i (q_i, p_i),
$$
����Ķ���$(R^3)^n$�δ����ؤ��Ѥ���Ф�äȤ�褯����Ǥ��롥������
$( \dot , \dot )$��$R^3$���ɸ��Ū�����ѤǤ��롥\underline{�����⡼����}��
�������Ѥˤ��ͶƳ�����Υ��Ȥ����������롥���ʤ����
$$
  I(q) \equiv ||q||^2 = \sum_{i=1}^n m_i |q_i|^2 .
$$
�������Ѥ˴ؤ���$U$�θ��ۤ�$\nabla U$��ɽ�魯�����ʤ����$\nabla U(q)$��
$(R^3)^n$�Υ٥��ȥ�Ǥ��ä�
$$ \begin{array}{lll}
  \langle \nabla U(q), p \rangle = DU(q) p, & {\rm for \ all} & 
p \in (R^3)^n,
   \end{array} 
$$
����������������$DU(q): (R^3)^n \rightarrow R^1$��$U$����ʬ��ɽ�魯�����ΤȤ���ư������(1)��
$$
 \ddot{q} = \nabla U(q) , 
$$
�Ƚ񤱤롥$n$γ�Ҥ�1����$n$�ޤǤ������Υ�٥뤬�Ĥ��Ƥ������Ȥ�פ���������
���Υ�٥�ν����
$$
  N \equiv \{ 1, 2, \ldots, n \} , 
$$
��ɽ�魯��$\mu$��$N$����ʬ����ʤ顢��٥뤬$\mu$��ˤ���γ�Ҥ�
\underline{��ʬ��}�Ȥߤʤ��������ð�������$\Delta$���������Τ�����
��ʬ����Τ��٤Ƥ�γ�Ҥ����פ��Ƥ��ޤ����Ȥ��б����뽸���
$$
  \Delta_{\mu} \equiv \{ q \in (R^3)^n : q_i = q_j \ {\rm for \ all} \ 
i,j \in \mu \} , 
$$
�Ǥ��롥$\Delta_{\mu}$���������ʬ��$\mu$�Ρ��������פ����Ȥߤʤ��롥$\mu$��
���ʤ�$\Delta_{\mu}$���������ʤ���$\mu$��ͣ�������ޤ��
$\Delta_{\mu} = (R^3)^n$�Ǥ��롥$\mu = \{ i,j \}$�ʤ����(2)����������
�Ȥ���$\Delta_{\mu} = \Delta_{ij}$�Ǥ��롥

����$\omega$��$N$��ʬ��(partition)�Ȥ��롥���ʤ����$N$�θߤ����Ǥ�
��ʬ����Ǥ��äơ��������¤�$N$���ΤǤ���Ȥ��롥$N$��ʬ��Ϸ����Τ�
��ʬ�Ϥؤ�ʬ��(decomposition)���б��������줾���ʬ������ǤΤҤȤĤ��б����롥
����ʬ�Ϥˤ�����Ʊ�������������б������������������ʬ����
$$
  \Delta_{\omega} \equiv \cap_{\mu \in \omega} \Delta_{\mu} , 
$$
�Ǥ��롥$\Delta_{\omega}$��$\Delta_{\mu}$�ΰ㤤��ʸ̮�������餫�Ǥ��롥
��������$\omega$��$N$��ʬ��Ǥ��ꡢ$\mu$��$N$����ʬ����Ǥ��롥

$\mu$��$N$����ʬ����ʤ顢�б�������ʬ�Ϥ�\underline{�ſ�}��
$$
  c_{\mu} q \equiv (\sum_{i \in \mu} m_i q_i)/(\sum_{i \in \mu} m_i) , 
$$
���������롥����ʪ���̤�ȤäƼ�������������������롥
$$ \begin{array}{lll}
  \pi_{\omega} : (R^3)^n \rightarrow (R^3)^n : 
(\pi_{\omega} q)_i \equiv c_{\mu} q & {\rm if} & i \in \mu \in \omega .
   \end{array} 
$$
��ñ�˥����å��Ǥ���褦�ˡ�$\pi_{\omega}$���Ͱ��$\Delta_{\omega}$�����
��������(nullspace)
$$
  X_{\omega} \equiv \{ q \in (R^3)^n : \sum_{i \in \mu} m_i q_i = 0 \ 
{\rm for \ all} \ \mu \in \omega \} , 
$$
�Ȥ���ľ��ͱƤǤ��롥�������ʬ��$\omega$���Ф���$(R^3)^n$��ľ����ʬ����
$\Delta_{\omega}$�����$X_{\omega}$��ľ�¤Ȥ��ƽ񤱤롥
$\Pi_{\omega} \equiv {\rm id} - \pi_{\omega}$�Ƚ񤱤С�$\Pi_{\omega}$��
$(R^3)^n$����$X_{\omega}$�ξ�ؤ�ľ��ͱƤ�ɽ�魯��������
$$
||q||^2 = || \pi_{\omega}q ||^2 + || \Pi_{\omega} q ||^2 ,     \eqno(4)
$$
�Ǥ��롥��������ƻ�ˤ���ƺǸ�μ���ʪ��Ū����Ԥʤ������Ĥ��Τ褦��
�׻��Ǥ��롥
$$
I_{\omega} (q) \equiv || \pi_{\omega} q ||^2 = \sum_{\mu \in \omega} 
(\sum_{i \in \mu} m_i) |c_{\mu} q|^2 .
$$
������$I_{\omega}(q)$�ϡ���$\mu \in \omega$���Ф��ơ�$\mu$���б�������ʬ�Ϥ�
�ſ��˰��֤������$\sum_{i \in \mu} m_i$�β���Ūγ�Ҥ�������γ�ҷϤ�
�����⡼���ȤǤ��롥�ޤ����Τ褦�˷׻��Ǥ��롥
$$
  J_{\omega} (q) \equiv || \Pi_{\omega} q ||^2 = \sum_{\mu \in \omega} 
J_{\mu} (q) . 
$$
������
$$
  J_{\mu} (q) \equiv \sum_{i \in \mu} m_i |q_i - c_{\mu} q|^2 .
$$
������$J_{\mu}(q)$��$\mu$���б�������ʬ�Ϥνſ��˴ؤ��봷���⡼���ȤǤ��롥
������(4)�ˤ����������⡼���Ȥϳ���ʬ�Ϥδ����⡼���Ȥȳ���ʬ�Ϥ�
�ſ��˰��֤��벾��Ūγ�Ҥ�������Ϥδ����⡼���Ȥ�ä�����ΤǤ��롥

�ݥƥ󥷥�륨�ͥ륮����Ʊ�ͤ�ʬ��Ǥ��롥���ʤ����
$$
  U_{ij} (q) \equiv \left\{
\begin{array}{lll}
  \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}
  \frac{\displaystyle m_im_j}{\displaystyle |q_i-q_j|} 
& {\rm for} & i \neq j , \\ 
0 & {\rm for} & i = j , 
\end{array}         \right.
$$
���֤������Τ褦�˽񤯡�
$$
  U(q) = \sum_{i \in N} \sum_{j \in N} U_{ij}(q) .
$$
�ϤλĤ����ʬ�����Ω���Ƥ���ȸ��ơ�$\mu$���б�������ʬ�Ϥϥݥƥ󥷥��
���ͥ륮��
$$
  V_{\mu}(q) = \sum_{i \in \mu} \sum_{j \in \mu} U_{ij}(q) , 
$$
����ġ�ʬ��$\omega$���Ф���
$$
  V_{\omega} (q) \equiv \sum_{\mu \in \omega} V_{\mu} (q) ,   \eqno(5)
$$
�Ƚ񤯡�����Ϥ��٤Ƥθ�Ω��ʬ�Ϥ����ݥƥ󥷥�륨�ͥ륮���Ǥ��롥�Ĥ��
�ݥƥ󥷥�륨�ͥ륮��
$$
  U_{\omega} (q) \equiv U(q) - V_{\omega}(q) ,       \eqno(6)
$$
����ʬ�ϴ֤���ߺ��Ѥˤ�롥��äȾܤ��������С�
$$
  U_{\mu \nu} (q) \equiv \left\{
\displaystyle 
\begin{array}{lll}
\sum_{i \in \mu} \sum_{j \in \nu} U_{ij} (q) 
& {\rm for} & \mu \cap \nu = \emptyset , \\ 
0 & {\rm for} & \mu = \nu , 
\end{array}         \right.
$$
���֤����Ȥˤ�ꡢ���Τ褦�˽񤱤롥
$$
  U_{\omega}(q) = \sum_{\mu \in \omega} \sum_{\nu \in \omega} 
U_{\mu \nu} (q) .      \eqno(7)
$$
����(5)�β�ᤫ�鼡�ι������������롥
$$ \begin{array}{lll}
  V_{\omega}(q+z) = V_{\omega}(q) & {\rm for \ all} & z \in \Delta_{\omega} .
   \end{array}
$$
�������äƼ������롥
$$ \begin{array}{lll}
  V_{\omega}(q+\pi_{\omega} p) = V_{\omega}(q) & {\rm for \ all} & 
p \in (R^3)^n .
   \end{array}
$$
$p$�˴ؤ�����ʬ����$p=0$�Ȥ����м������롥
$$
  D V_{\omega} (q) \pi_{\omega} = 0 . 
$$
$\pi_{\omega}$��ľ��Ǥ��뤫�顢���줫��
$$
 \pi_{\omega} \nabla V_{\omega} (q) = 0 ,
$$
�������롥���μ���(3)�����(6)���礷��
$$
  \pi_{\omega} \ddot{q} = \pi_{\omega} \nabla U_{\omega} (q) , \eqno(8)
$$
�����롥�����ȤäƼ������롥
%\frac{\displaystyle }{\displaystyle }
$$
 \frac{\displaystyle d^2}{\displaystyle dt^2} I_{\omega} (q(t)) = 
2 ||\pi_{\omega} \dot{q}(t)||^2 + 
2 \langle \pi_{\omega} q(t), \nabla U_{\omega} (q(t)) \rangle . \eqno(9)
$$


\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf 5. von Zeipel�������ξ���}

von Zeipel�ξ����������Ÿ��������ˡ���������Ƥ��ξ���ʸ�����᤯��������
�����ϼ������꤫��Ϥޤ롥�����$t \rightarrow t^*$�ΤȤ������⡼����
������˸�(̵�¤Τ��Ȥ⤢������)�˶�Ť��Ϥ��Ǥ��뤳�Ȥ�Ҥ٤롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ����.} $q(t)$��$t^*$�ˤ������ð�����и�����ʤ顢$I^* \in
[0,\infty]$�����äơ�$t \rightarrow t^*$�ΤȤ�$I(q(t)) \rightarrow I^*$
�Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
�������������1�ȥ饰��󥸥�ˤ�������Ȥäƾ������롥Siegel and
Moser����[9, p.26]�˾ܺ٤����ޤ�������Ƥ��롥Wintner�Ϥ��������
Painlev\'{e}�Υ��ȥå��ۥ��ֵ�[14, p.434]�˵����Ƥ��뤬���錄���Ϲֵ�
Ͽ�Τɤ��ˤ⤳��򸫤Ĥ����ʤ��ä��������Sundman�ˤ�ä�1906ǯ[11,
p.8]��$n=3$�˴ؤ��ƾ������졢von Zeipel�ˤ�ä�1908ǯ[15]��Ǥ�դ�$n$�˴�
���ƾ������줿�������ϻ���Τ��äȤ�����ʸ���Ǥ��롥

���������Ȥä�von Zeipel��������Ʊ�ͤ��Ǥ�Ҥپ������褦��

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ����.} $q(t)$��$t^*$�ˤ������ð�����и�����$t \rightarrow t^*$�Τ�
��$I(q(t)) \rightarrow I^*< \infty$�ʤ顢$q^* \in \Delta$�����ä�$t
\rightarrow t^*$�ΤȤ�$q(t) \rightarrow q^*$�Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{ ����.} ���Τ褦�ˤ�����
$$
  \Delta^* \equiv \displaystyle \cap_{t<t^*} {\rm cl} (q((t,t^*))) . 
$$
������cl��$(R^3)^n$�ˤ�������������ɽ�魯��$q((t,t^*))$�϶��Ǥʤ�ͭ��
����Ǥ��뤫�顢��������϶��Ǥʤ�����ѥ��ȤǤ��롥$\Delta^*$������Ҥ�
�ʤä����Ǥʤ�����ѥ��Ȥʽ���θ���ǽ񤱤뤫�顢���켫�ȶ��Ǥʤ�����
�ѥ��ȤǤ��롥$\Delta^*$��$\Delta$����ʬ����Ǥ��ꡢ���٤Ƥ�$q \in
\Delta^*$���Ф���$I(q) = I^*$�Ǥ��뤳�Ȥ����դ��褦��

����ʬ��$\omega$���Ф��Ƽ���������롥
$$
  \Delta_{\omega}^* \equiv \Delta^* \cap \Delta_{\omega} . 
$$
$\Delta_{\omega}^* \neq \emptyset$�ʤ뤹�٤Ƥ�ʬ��$\omega$���椫��˾���
ǻ��(cardinality)�Τ�Τ����֡������λĤ�Ǥϡ�����ʬ���$\omega$��ɽ��
������������ˤ�ꡢ$U_{\omega}(q)$�˴ؤ������(7)�Τ��٤Ƥ�ʬ�줬
$\Delta_{\omega}^*$��Τ��٤Ƥ�$q$���Ф����󥼥��Ǥ��뤳�ȡ��������ä�
$U_{\omega}(q)$�Ϥ��ν������������뤳�Ȥ����դ��롥
$\Delta_{\omega}^*$�ϥ���ѥ��ȤǤ��뤫�顢$(R^3)^n$�ˤ�����
$\Delta_{\omega}^*$�ζ�˵$G$�����ͭ�¤�$M$�����ä�
$$ \begin{array}{lllll}
  ||\nabla U_{\omega} (q)|| \leq M & ����� & 
| \langle \pi_{\omega} q, \nabla U_{\omega} (q) \rangle | \leq M & 
{\rm for \ all} & q \in G , 
   \end{array}     \eqno(10)
$$
�Ǥ��롥�ѿ�$z$��$x$�򼡼����������Ƴ�����롥
$$ \begin{array}{lll}
  z \equiv \pi_{\omega} q \in \Delta_{\omega} & ����� & 
x \equiv \Pi_{\omega} q \in X_{\omega} .
   \end{array} 
$$
$X_{\omega}$��$\Delta_{\omega}$��Cartesian product�򤽤�ľ�¤�Ʊ��뤷��
���Τ褦�˽񤯡�
$$
  (x,z) \equiv x + z = q \in (R^3)^n .
$$
����2�ĤΥ������ΤҤȤĤ�����Ω�ĤϤ��Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ������ 1.} $\Delta^*$��$\Delta_{\omega}$����ʬ����ǤϤʤ���

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ������ 2.} $\Delta^*$��$\Delta_{\omega}$����ʬ����Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
�Ϥ���˥�����1���ꤹ�롥$\Delta_{\omega}$�γ���ʬ����$B$�����ӡ�����
$\overline{B}$������ѥ��Ȥǡ�$\Delta_{\omega}^* \subset B \subset
\overline{B} \subset G$�Ǥ���Ȥ��롥$B$�ζ�����$\partial B \equiv
\overline{B} - B$��ɽ�魯����$\sigma>0$���Ф���
$$
  D_{\sigma} \equiv \{ x \in X_{\omega} : ||x|| < \sigma \} ,
$$
��������롥�����Ǥ�$\overline{D}_{\sigma}$�������ɽ�路��
$\partial D_{\sigma}$��$D_{\sigma}$�ζ�����ɽ�魯�Ȥ��롥���Τ褦�˽񤯡�
$$
  K_{\sigma} \equiv \overline{D}_{\sigma} \times \overline{B} \subset 
(R^3)^n .
$$
$\partial B$�ϥ���ѥ��ȤǤ��ꡢ$\Delta^* \cap \partial B = \emptyset$��
���뤫�顢$\sigma_0>0$�����$t_0 < t^*$��¸�ߤ���
$$
  q([t_0,t^*)) \cap (\overline{D}_{\sigma_0} \times \partial B) = 
\emptyset ,                  \eqno(11)
$$
�Ǥ��롥$\sigma_0$��
$$
  K_{\sigma_0} \subset G ,    \eqno(12)
$$
������Ω�Ĥ褦�˽�ʬ�������ȤäƤ���Ȥ��롥$\Delta^*$��
$\Delta_{\omega}$����ʬ����Ǥʤ����顢$\sigma \in (0, \sigma_0)$������
�ơ�$t^*$�˶ᤤ̵�¤�¿����$t$���ͤ��Ф���$q(t) \not\in K_{\sigma}$�Ǥ�
�롥�����ǡ�$\sigma$�򤳤��ͤ˸��ꤹ�롥$t_1$��$t^*$�˶᤯�Ȥä�
$$ \begin{array}{lll}
  |I(q(t)) - I^*| < \sigma^2 / 12 & {\rm for} & t_1 \leq t < t^* , 
   \end{array}         \eqno(13)
$$
������Ω�Ĥ褦�ˤ��롥$t \rightarrow t^*$�ΤȤ�$q(t)$��̵�²�
$\Delta_{\omega}^*$��Ǥ�դζ᤯����뤫�顢$t \rightarrow t^*$�ΤȤ�
$q(t)$��$K_{\sigma}$��̵�²����ä���Ф��ꤹ�롥����(11)�ϡ�$t>t_1$�Ǥ�
��¤�$q(t)$��$\partial D_{\sigma} \times B$���̤äƽ����ꤹ�뤳�Ȥ��̣
���롥�������äưʲ��ξ������������$[\tau_0,\tau_3]$�򸫤Ĥ��뤳�Ȥ�
�Ǥ��롥
$$ \begin{array}{lll}
  q(t) \in K_{\sigma} & {\rm for} & \tau_0 \leq t \leq \tau_3 ,   
   \end{array}     \eqno(14)
$$
$$
  J_{\omega} (q(\tau_0)) = J_{\omega} (q(\tau_3)) = \sigma^2 , \eqno(15)
$$
$$
  \min_{\tau_0 \leq \tau \leq \tau_3} J_{\omega} (q(\tau)) < \sigma^2/2, 
\ �����   \eqno(16)
$$
$$
  \tau_3 - \tau_0 < \sigma / \sqrt{3M} .    \eqno(17)
$$
$t^*$��Ǥ�դ˶ᤤ$t$���ͤ��Ф���$q(t)$��$\Delta_{\omega}^*$��Ǥ�դζ᤯
����뤫����(16)������Ω�ġ��Ϥ����3�Ĥξ�����������֤�$t^*$��Ǥ��
�ζ᤯�������뤳�Ȥ�����(17)������Ω�ġ�

$\overline{\tau}$��$(\tau_0,\tau_3)$�����Ǥ��äơ�$I_{\omega}(q(t))$����
���ͤ�Ȥ����Ȥ��롥������(4)��$I(q) = J_{\omega}(q) + I_{\omega}(q)$��
��̣���롥������(13)�����(16)���鼡���Ф롥
$$
  I_{\omega} (q(\bar{\tau})) > I^* - 7\sigma^2/12 . 
$$
������������(13)�����(15)���鼡���Ф롥
$$
  I_{\omega} (q(\tau_3)) < I^* - 11\sigma^2/12 .
$$
����2�Ĥ����������ӤĤ����
$$
  I_{\omega} (q(\bar{\tau})) - I_{\omega} (q(\tau_3)) > \sigma^2/3 , 
\eqno(18)
$$
�Ǥ��뤳�Ȥ��狼�롥������(9)��(10)��(12)�����(14)����
$$ \begin{array}{lll}
\displaystyle 
  \frac{d^2}{dt^2} I_{\omega} (q(t)) \geq 
-2M & {\rm for} & \tau_0 \leq t \leq \tau_3 ,
   \end{array}
$$
���Ф롥$\overline{\tau}$�϶ɽ����Ǥ��뤫�顢���줫��
$$
  I_{\omega} (q(\tau_3)) - I_{\omega} (q(\bar{\tau})) 
\geq -M(\tau_3 - \bar{\tau})^2 , 
$$
�����롥����Ⱦ��(17)���鼡���Ф롥
$$
  I_{\omega} (q(\bar{\tau})) - I_{\omega} (q(\tau_3)) < \sigma^2/3 . 
$$
�Ȥ����������(18)��̷�⤹�롥�����饱����1���Բ�ǽ�Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
������2������Ω�ĤϤ��Ǥ��뤳�ȡ��Ĥޤ�$\Delta^*$��$\Delta_{\omega}$����
ʬ����ΤϤ��Ǥ��뤳�Ȥ򼨤������������ä�$t \rightarrow t^*$�ΤȤ�$x(t)
\rightarrow 0$���������˽Ф롥����ˡ�$\Delta^* = \Delta_{\omega}^*$�Ǥ�
�뤫�顢$G$��$\Delta^*$�ζ�˵�Ǥ��롥�������ä�$t_2$��¸�ߤ��ơ�
$t_2<t<t^*$�ΤȤ�$q(t) \in G$�Ǥ��롥��(8)����
$$
  \ddot{z}(t) = \pi_{\omega} \nabla U_{\omega} (q(t)) ,
$$
���Ф롥�����(10)�ȷ�ӤĤ���ȼ����Ф롥
$$ \begin{array}{lll}
  ||\ddot{z}(t)|| \leq M & {\rm for} & t_2<t<t^* .
   \end{array}
$$
���Ф롥�������ä�$t \rightarrow t^*$�ΤȤ�$z(t)$�Ϥ���˸�$q^* \in
\Delta_{\omega}$�˶�Ť�����ä�
$$ \begin{array}{lll}
  q(t) = x(t) + z(t) \rightarrow 0 + q^* & {\rm as} & t \rightarrow t^* ,
  \end{array}
$$
�Ǥ��ꡢ���������뤷����

\vspace{0.3cm}
\noindent
{�ռ�}

������ʸ������ʬ�����Ԥ����������ǥ��Djursholm�Υߥå���������ե顼��
�����ں���˹Ԥʤ�줿�����Ԥ�Lennart Carleson�����Peter Jones�Τ��
�ʤ��˴��դ��롥���������ǥ���ʸ����Ǯ�����ܤ��Ƥ��줿Michael
Benedicks�ˤȤ��˴��դ��롥Ake Wallenquist�����Nils Sjolander����������
���Ѱդ��Ƥ��줿���Ȥ˴��դ��롥���λŻ���NSF Grants MCS-82-00765�����
DMS-8506131����ʬŪ������������

\vspace{0.3cm}
\noindent
{ʸ��}

\re
[1] J. Chazy, Sur les singularit\'{e}s impossible du probl$\grave{\rm
e}$me des $n$ corps, {\it Comptes Rendus Hebdomadaires des S\'{e}ances
de l'Academie des Sciences} {\bf 170}, No.10 (1920), 575-577.

\re
[2] J. Gerver, A possible model for a singularity without collisions in
the five body problem, {\it J. Differential Equations} {\bf 52} (1984),
76-90.

\re
[3] G. Malmquist, Edward Hugo von Zeipel, {\it Svensk Uppslagsbok} {\bf
32} (1955), F$\ddot{\rm o}$rlagshuset Norden AB, Malm$\ddot{\rm o}$,
241-242.

\re
[4] G. Malmquist, Hugo von Zeipel, {\it Kungl. Vetenskapssocietetens
Arsbok} {\bf 1959}, Almquist \& Wiksells Boktryckeri AB, Uppsala, 27-31.

\re
[5] J. Mather and R. McGehee, Solutions of the collinear four body
problem which become unbounded in finite time, {\it Lecture notes in
Physics} {\bf 38} (J.Moser, ed.) Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New
York, 1975, 573-597.

\re
[6] P. Painlev\'{e}, Lecon sur la Th\'{e}orie Analytique des
\'{E}quation Diff\'{e}rentielles, A. Hermann, Paris, 1897.

\re
[7] P. Painlev\'{e}, Oevres de Paul Painlev\'{e}, Tome I, Centre
National de la Recherche Scientifique, Paris, 1972.

\re
[8] D. Saari, Singularities and collisions of Newtonian gravitational
systems, {\it Archive for Rational Mechanics and Analysis} {\bf 49},
no.4 (1973), 311-320.

\re
[9] C. L. Siegel and J. Moser, {\it Lectures on Celestial Mechanics},
Springer-Verlag, New York Heidelberg Berlin, 1971.

\re
[10] H. Sperling, On the real singularities of the N body problem, {\it
J. f$\ddot{\rm u}$r die reine und angwandte Mathematik} {\bf 245}
(1970), 15-40.

\re
[11] K. Sundman, Recherches sur le probl$\grave{\rm e}$me des trois
corps, {\it Acta Societatis Scientiarum Fennicae} XXXIV, No.6 (1906),
1-43.

\re
[12] A. Wallenquist, Edward Hugo von Zeipel, {\it Svenska M$\ddot{\rm
a}$n och Kvinnor} VIII (1955), Albert Bonniers F$\ddot{\rm o}$rlag,
Stockholm, p.465.

\re
[13] A. Wallenquist, Hugo von Zeipel, {\it Popul$\ddot{\rm a}$r
Astronmisk Tidskrift} {\bf 40} (1959), 143-145.

\re
[14] A. Wintner, {\it The Analytical Foundations of Celestial
Mechanics}, Princeton University Press, Princeton, 1941.

\re
[15] H. von Zeipel, Sur les singularit\'{e}s du probl$\grave{\rm e}$me
des $n$ corps, {\it Arkive f$\ddot{\rm o}$r Matematik, Astronomi och
Fysik} {\bf 4}, 32 (1908), 1-4.


\end{document}
