\documentstyle[12pt,twoside]{jarticle}
%
\oddsidemargin 0.0cm
\evensidemargin -1.0cm
\topmargin 0.0cm
%
\textwidth 16.8cm
\textheight 22.5cm
\footheight 0.5cm
%
\newcommand{\re}{\vspace{0.15cm}\par\hangindent=0.7cm\noindent}
%
\begin{document}
\setlength{\baselineskip}{3ex}
%\setlength{\baselineskip}{5ex}

%J.N.Mather and R.McGehee����ʸ
%in Lecture Notes in Physics 38 (1975), 573-597.
%

\begin{flushright}
ë����δ ��
\end{flushright}

\noindent
{\it Lecture Notes in Physics}  {\bf 38} (1975), 573-597

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\Large
{\bf ͭ�»��֤���ͭ���ˤʤ�ľ��4������β� \\
Solutions of the collinear four body problem \\
which become unbounded in finite time} 
}

\vspace{0.3cm}
J. N. Mather and R. McGehee
\end{center}

\vspace{0.5cm}
������ʸ�Ǥ�(�˥塼�ȥ�)ľ��4������β��ͭ�»��֤���ͭ���ˤʤ��Τ�¸�ߤ�������롥4����$m_1,m_2,m_3,m_4$��ľ�����ռ���ˡ§
%\frac{\displaystyle }{\displaystyle }
$$
  \ddot{q}_i = \sum_{j \neq i} m_j 
\frac{\displaystyle q_j - q_i}{\displaystyle |q_j - q_i|^3} ,
$$
�ˤ������ä�ư���Ƥ���ȹͤ��롥������$q_i$��$i$���ܤ�γ�Ҥΰ��֤�ɽ�魯�����ξ��ͤ���§������Ƥ���Ȥ���Τǡ��Ϥ����ξ��ͤ�ۤ���������줫��Ϣ³�Ǥ��롥���������ξ��ͤ��ð����Ȥߤʤ����Ĥޤ�$t_0$�˻��ξ��ͤ�������С�$q_i(t)$��$t < t_0$�ǤΤ��������롥�ܤ������������[1]�˵��Ҥ���Ƥ��롥���٤Ƥλ��֤ˤ錄�ä�$q_1 \leq q_2 \leq q_3 \leq q_4$�Ǥ��뤳�Ȥ����դ��롥

��§���Ϥλ��֥ѥ�᡼���ϸ��ηϤλ��֥ѥ�᡼���Ȱۤʤ롥������ʸ�Ǥ�$t$�Ϥ��Ĥ⸵�ηϤλ��֥ѥ�᡼���Τ��ȤǤ��롥

ͭ�»��֤���ͭ���ʲ��¸�ߤ��ü�ʼ��̤��ͤ��Ф��Ƽ����������β�ϼ��Τ褦�ʥ����פǤ��롥���ξ��ͤ򵯤������礹��ͭ��������$t_1, t_2, t_3, \ldots$��¸�ߤ��롥$t \rightarrow t_{\infty} = \lim t_i$�ˤ�����$q_1 \rightarrow -\infty, \ q_3, q_4 \rightarrow +\infty$�Ǥ��äơ�$q_2$��$q_1$��$q_3$�δ֤�̵�²�Ԥä����褿�ꤹ�롥�ޤ�$q_4 - q_3 \rightarrow 0$�Ǥ��롥$q_4 - q_3 \rightarrow 0$�˵�������ݥƥ󥷥�륨�ͥ륮����»���ˤ�ꡢͭ�����֤���ͭ���ˤʤ��θ����Ȥʤ뱿ư���ͥ륮���������롥

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf 1. ��̤��Ľ�}

����֤Ȥ�ľ��4�����������֤Ǿ��$q_1 \leq q_1 \leq q_3 \leq q_4$����������Τ��̣���뤳�Ȥˤ��롥���������ξ��ͤ���§������Ƥ����ΤȤ��롥����֤�8����¿���ΤǤ��롥�ſ������˸��ꤹ�뤳�Ȥˤ�ꡢ6������ʬ¿���Τ������롥$\Omega$�򤳤�¿���ΤΥ��ͥ륮��Ķ���̤Ȥ��롥�����$\Omega$��5����¿���ΤǤ��롥

$\Sigma$��$\Omega$����ʬ�����2���ܡ�3���ܤ����4���ܤ�γ�Ҥλ��ξ��͡��Ĥޤ�$q_2=q_3=q_4$�ǽ���뵰�פν����狼�������ΤȤ��롥�ʲ�������2��$\Sigma$��;����1��(�Ϥ����)¿���ΤǤ��뤳�Ȥ��ĥ���롥

���η�̤�������ʸ�μ������Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 1.} ���μ�����$m_1, m_2, m_3, m_4$�����äƼ�������Ω�ġ�$\Gamma$��$\Sigma$���ڤ�$\Omega$���Ǥ�դζ����Ȥ��롥���ΤȤ�$\Gamma$���������Ļ�����$A$�����äƼ�����������ġ�$x \in A$�Ȥ��롥$t_0>0$�����äơ�$x$�������Ȥ��뵰�פ�$t<t_0$��������졢������������
$$
  q_1(t) \rightarrow -\infty, \ 
  q_3(t), q_4(t) \rightarrow \infty, \ {\rm as} \ t \rightarrow t_0 .
$$                              

\vspace{0.3cm}
��ʸ�λĤ�Ϥ��������ξ����������롥

$a \in \Sigma$�ΤȤ�$\tau(x)$��$x$�����ȯ���뵰�פ����ξ��ͤǽ��������ɽ�魯�Ȥ��롥����1�ξ����ϼ��������˴�Ť��Ƥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 2.} $\Sigma$��$\Omega$��;����1�ΤϤ������ʬ¿���ΤǤ��롥����ˡ����μ��̤��ͤ����äơ�
%\frac{\displaystyle }{\displaystyle }
$$
\frac{\displaystyle m_1-m_2}{\displaystyle m_1+m_2} > 
\frac{\displaystyle m_2}{\displaystyle m_3+m_4}  
$$
������������������Ω�ġ�

$\Gamma$��$\Omega$��Ǥ�դθɤ�$\Sigma$���ڤ��ΤȤ��롥���ΤȤ�$\Gamma$����ʬ��$\Gamma_0$�����äơ�ü���ΤҤȤĤ�$x_0 \in \Gamma$�ˤ��롥�ޤ�$\Gamma_0$�����������Ϣ³�����ؿ�$\tau_-$�Ǽ�����������Τ����롥

(a) $\tau_-(x_0) = \tau(x_0)$. 

(b) $x \in \Gamma_0 - \{ x_0 \}$�ʤ������$x$�ε��פ�$0 \leq t \leq \tau_-(x)$��������졢$q_2(\tau_-(x)) = 0$�Ǥ��롥

(c) $x \rightarrow x_0$�ΤȤ�$\dot{q}_2 (\tau(x)) \rightarrow -\infty$�Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
����2��5��Ǿ������롥

\vspace{0.3cm}
����2���ꤷ������1�ξ����γ�ά��Ҥ٤褦�����̤�(1)��������������2�η���������Ω�ĤȲ��ꤹ�롥$x \in \Gamma_0, \ x \neq x_0$�Ȥ�������ǡ���$x$�ε��פ�ͤ��롥$t = \tau_-(x)$�ˤ����ơ�γ��2�ϸ������̲ᤷ�������������ʹ�®��ư��������ϻ���$\hat{\tau}(x) > \tau_-(x)$��γ��1�˾��ͤ��롥���ˡ�����ϻ���$\tau_+(x) > \hat{\tau}(x)$�˸��������������̲᤹�롥���μ��ˡ�$\tau'(x) > \tau_+(x)$��γ��3�˾��ͤ��뤫��γ��3��4��Ʊ���˾��ͤ��롥��Ԥξ�硢���ξ��ͤǤ��ꡢ$x \in \Sigma$�Ǥ��롥

$\tau^*(x)$��$\tau_-(x)$������γ��2��3�δ֤κǸ�ξ��ͻ���Ȥ��롥$N(x)$�ϻ��ֶ��$(\tau^*(x),$ $\tau'(x))$�ˤ�����γ��3��4�δ֤ξ��Ͳ���Ȥ��롥���ΤȤ�$x \in \Gamma - x_0$��$x_0$�˶�Ť��ˤĤ��$N(x) \rightarrow \infty$�Ǥ��롥$N$���ͤ��Ѥ�뤿�Ӥ�$\Gamma_0$��$\Sigma$���ڤ롥������$\Gamma_0$��$\Sigma$��̵�²��ڤ�ȸ����롥

���ΤȤ�����2�򤳤�ɤ�$\Gamma$�������$\Gamma_0$��Ŭ�ѤǤ��롥�Ĥޤ�$\Gamma_0$��������ü����$x_1 \in \Sigma$�Ȥ�����ʬ��$\Gamma_1$�򸫤Ĥ��ơ�����2�η���������Ω�Ĥ褦�ˤǤ��롥���ξ塢$x \in \Gamma_0 - x_0$��$x_0$�˶�Ť��Ȥ�$\tau(x_1) \rightarrow \tau'(x_1), \tau'(x) \rightarrow \tau(x_0)$�Ǥ��뤫�顢Ǥ�դ˾�����$\varepsilon>0$���Ф���$\tau(x_1) \leq \tau(x_0) + \varepsilon$�Ȥʤ�褦��$x_1$�����֤��Ȥ��Ǥ��롥

�����³���ơ�$\Gamma_1$��������$x_2 \in \Sigma$��ü���Ȥ����$\Gamma_2$�����������2�η���������Ω�Ĥ褦�ˤ���$\Gamma_2$��������$x_3 \in \Sigma$��ü���Ȥ����$\Gamma_3$�����֡�������$x_n$����«����$\tau(x_n)$����«����褦�����֤��Ȥ��Ǥ��롥$x = \lim x_n$�����$t_0 = \lim \tau(x_n)$���֤�������Ƚ����$x$�ε��פ�$t < t_0$���Ф���������졢$t \rightarrow \infty$�ΤȤ����$q_1(t) \rightarrow -\infty, \ q_3(t), q_4(t) \rightarrow +\infty$����������

����1����Ļ�����$A$������ˤϡ���ξ����򾯤�������������Ǥ褤��$\Gamma_0$��$\Sigma$��̵�²��ڤ뤫�顢$\Gamma_0$�������˸ߤ����Ǥ�2�Ĥθ�$\Gamma_1^0$��$\Gamma_1^1$������ǡ�����$\Gamma_1$���������������������褦�ˤǤ��롥Ʊ�ͤˡ�$\Gamma_1^i$��˸ߤ����Ǥ�2�Ĥθ�$\Gamma_2^{i0}$�����$\Gamma_2^{i1}$������ǡ����$\Gamma_2$���������������������褦�ˤǤ��롥�����³���ơ�����ȡ��뽸��˼�«��������Ҥθ�������롥���Υ���ȡ��뽸���Ǥ�դν�����ϵ��뷿�ε��פ�Ϳ���롥

����1�η���Ū�ʾ���(����2���ꤷ��)��ʲ������Ϳ���롥

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf 2. ���ξ��ͤؤβ�}

������Ǥ�����ν����˥����å���������2�ξ����κǽ����ʬ��ܤ����Ҥ٤褦������Ū�ϡ�2��3��4���ܤ�γ�Ҥλ��ξ��ͤζ᤯��Ϥ��̲ᤷ����ǡ����ηϤ�Ʊ��γ�Ҥδ֤λ��ξ��ͤ���ä������뤳�Ȥ򼨤����ȤǤ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{���}. $\alpha$\underline{��}�Ȥϡ�����2�η�������������$\Gamma_0$�Τ��ȤǤ��롥$\Gamma_0$��\underline{��ü��}��$x_0$�ȸƤӡ�$\tau_-$��$\Gamma_0$���$\tau_-$\underline{�ؿ�}�ȸƤ֡�$\mu(\Gamma_0) = \tau(x_0)$���֤���

��������̤��ơ�$\alpha$��$\Gamma_0$����ü��$x_0$�������$\tau_-$�ϸ��ꤹ�롥$x \in \Gamma_0 - x_0$�Ȥ��롥������$x$�ε��פ�ͤ��롥���Τ褦���֤���
$$ \begin{array}{llll}
 \tau^*(x) 
& = \sup \{ t : q_2(t) = q_3(t) & ����� & t < \tau_-(x) \}  \\
 \hat{\tau}(x) 
& = \inf \{ t : q_1(t) = q_2(t) & ����� & t > \tau_-(x) \} \\
 \tau_+(x) 
& = \inf \{ t : q_2(t) = 0 & ����� & t > \hat{\tau}(x) \}  \\
 \tau'(x) 
& = \inf \{ t : q_2(t) = q_3(t) & ����� & t > \tau_+(x) \} \\
 V_-(x) 
& = - \dot{q}_2 (\tau_-(x)) &  & \\
 V_+(x) 
& =   \dot{q}_2 (\tau_+(x)) . &  & 
   \end{array}
$$

���餫�ˡ�¸�ߤ���¤ꡢ$\tau^*(x) < \tau_-(x) < \hat{\tau}(x) < \tau_+ (x) < \tau'(x)$�Ǥ��롥

$\{ 1, 2, 3, 4 \}$��Ǥ�դ���ʬ����$S$���Ф��ơ��ſ��򼡤Τ褦��������롥
$$
  q_S = \sum_{i \in S} m_i q_i / \sum_{i \in S} m_i . 
$$
���Τ褦���֤���
$$ \begin{array}{l}
  W_-(x) = \dot{q}_{34} (\tau_-(x)) \\ 
  W_+(x) = \dot{q}_{34} (\tau_+(x)) . 
   \end{array}
$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 1.} $x_0$�˽�ʬ�ᤤ$x$���Ф��ơ�$\tau^*(x), \hat{\tau}(x), \tau_+(x), \tau'(x)$��¸�ߤ��롥���ξ塢$x \rightarrow x_0$�ΤȤ���������Ω�ġ�

$$
  V_+ = \displaystyle \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2} V_- + o(V_-) \leqno(1)
$$
$$
  W_- = \displaystyle \frac{m_2}{m_3+m_4} V_- + o(V_-) \leqno(2)
$$
$$
  W_+ = W_- + O(V_-)   \leqno(3)
$$
$$
  \tau^*, \tau_-, \hat{\tau}, \tau_+, \tau' \rightarrow \tau(x_0) . 
\leqno(4) 
$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $\tau^*(x)$��¸�ߤ����$\tau^* \rightarrow \tau(x_0)$�����餫�Ǥ��롥$\tau_-$��¸�ߤ����$\tau_- \rightarrow \tau(x_0)$������2�ΰ����Ǥ��롥�Ĥ�μ�ĥ�ξ����Τ����$x \rightarrow x_0$�ΤȤ�$V_- \rightarrow \infty$�ʤ뤳�Ȥ�Ȥ���

�Ĥ��γ�Ҥ���󤤤Ȥ����ˤ�����ʬ�Ϥα�ư�̤䥨�ͥ륮�����Ѳ������Ū�������Ȥ���������ɬ�פǤ��롥��ư�̤˴ؤ��ƤϤ���ϴ�ñ�Ǥ��롥$S \subset \{ 1, 2, 3, 4 \}$���Ф��ơ���ʬ��$S$�α�ư�̤򼡤Τ褦��������롥
$$
  p_S = m_S \dot{q}_S= \sum_{i \in S} m_i \dot{q}_i . 
$$
������$m_S$����ʬ��$S$�μ��̤Ǥ��롥���ʤ����
$$
    m_S = \sum_{i \in S} m_i . 
$$
�ռ���ˡ§���餿�����˼����Ф롥
$$
  \dot{p}_S = \displaystyle \sum_{i \in S} \sum_{j \not\in S} m_i m_j 
\frac{q_i-q_j}{|q_i-q_j|^3} . 
$$

��ñ��Ƚ��褦�ˡ�$x \rightarrow x_0$�ΤȤ�$\tau_-(x) \rightarrow \tau(x_0)$�Ǥ��뤫�顢$x \rightarrow x_0$�ΤȤ���$q_1(\tau_-(x)),$ $p_1(\tau_-(x)), q_{234}(\tau_-(x)), p_{234}(\tau_-(x))$�ϼ�«���롥����ˡ�$q_2(\tau_-(x)) = 0$�Ǥ��뤫��$x \rightarrow x_0$�ΤȤ�$q_{34}(\tau_-(x))$�ϼ�«���롥$x \rightarrow x_0$�ΤȤ�$\dot{q}_2(\tau_-(x)) \rightarrow -\infty$�Ǥ��뤫�顢γ��2��$x \rightarrow x_0$�ΤȤ�γ��3��4���������æ��®�٤��Ǥ�դ��礭��®�٤���ĤȲ���Ǥ��롥γ��1�ΰ��֤�®�٤�$x \in \Gamma_0$�ΤȤ�ͭ���Ǥ��뤫�顢$x_0$�˽�ʬ�ᤤ$x$���Ф���$\hat{\tau}(x)$��¸�ߤ������롥

�������˿ʤि��ˡ���ʬ�Ϥ��������ͥ륮�����Ѳ���ɾ������ɬ�פ����롥$S \subset \{ 1, 2, 3, 4 \}$�ΤȤ�$S$���������ͥ륮���򼡤Τ褦��������롥$$
  h_S = \sum_{i \in S} \frac{m_i}{2} (\dot{q}_i - \dot{q}_S)^2 - 
\sum_{i,j \in S} \frac{m_im_j}{|q_i-q_j|} .
$$
$r_{ij} = |q_i-q_j|, S' = \{ 1, 2, 3, 4 \} - S$�����
$r_{SS'} = \inf \{ r_{ij} : i \in S, j \in S' \}$���֤���

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 2.} $\rho, r^0 > 0$�Ȥ��롥$C>0$��¸�ߤ��ơ�Ǥ�դε��פ��Ф��ưʲ�������Ω�ġ�$h_{12}(t_0) > 0, r_{12}(t_0) \leq r^0$�����$r_{SS'}(t_0) \geq \rho$�ʤ鼡������Ω�ġ�
$$
 \displaystyle \frac{d}{dt} \log h_{12} (t_0) \leq C(h_{12}(t_0))^{-1/2} .
$$

\vspace{0.3cm}
�����3��Ǿ������롥

\vspace{0.3cm}
$x$��$x_0$�˽�ʬ�᤯��뤳�Ȥˤ�ꡢ$V_-$��Ǥ�դ��礭����뤳�Ȥ��Ǥ����������ä�$h_{12}(\tau_-)$��Ǥ�դ��礭����뤳�Ȥ��Ǥ��롥$\varepsilon>0$�Ȥ���$\tau_+(x)$��¸�ߤ���ʤ�$t_1(x) = \min (\tau_-(x) + \varepsilon, \tau_+(x))$�Ȥ��������Ǥʤ��Ȥ��ˤ�$t_1(x) = \tau_-(x) + \varepsilon$���֤���$-p_{12}(\tau_-)$��Ǥ�դ��礭�����顢���꤬Ŭ�ѤǤ���$x$��$x_0$�˽�ʬ�᤯��뤳�Ȥˤ�ä�$\log h_{12}(t)$���Ѳ������$\tau_- \leq t \leq t_1$��Ǥ�դ˾������ʤ�褦�ˤǤ��뤳�Ȥ��狼�롥�������ä�γ��2��Ǥ�դ˾����ʻ��֤Ǹ�������ä����Ϥ��Ǥ��롥���ʤ����$\tau_+(x)$��¸�ߤ���$x \rightarrow x_0$�ΤȤ�$\tau_+(x) - \tau_-(x) \rightarrow 0$�Ǥ��롥(������$m_1 > m_2$��Ȥä�.) 

�����$x \rightarrow x_0$�ΤȤ��Ȥ�$|\log h_{12}(\tau_+) - \log h_{12}(\tau_-)| \rightarrow 0$�Ǥ��ꡢ�ޤ�$|p_{12}(\tau_+) - p_{12}(\tau_-)| \rightarrow 0$�Ǥ��뤫��(1)�����롥$x \rightarrow 0$�ΤȤ�$p_{234}(\tau_-)$�϶˸¤˶�Ť�����(2)�����롥$x \rightarrow x_0$�ΤȤ��Ȥ�$|p_{34}(\tau_-) - p_{34}(\tau_+)| \rightarrow 0$�Ǥ��뤫��(3)�����롥
(4)�˴ؤ��Ƥϡ�$\tau^*, \tau_-, \hat{\tau}, \tau_+ \rightarrow \tau(x_0)$�򤹤Ǥ˼����Ƥ��롥

�ĤäƤ���Τϡ�$\tau'$��¸�ߤ��뤳�ȡ������$\tau' \rightarrow \tau(x_0)$�Ȥʤ뤳�ȤǤ��롥������1���������(1)��ꡢ$x$����ʬ$x_0$�˶ᤱ���$V_+ > W_+$�Ǥ��ꡢγ��2�Ϻǽ�Ū��γ��3�����4��Ǥ�դ˾����ʻ��֤��ɤ��Ĥ��Ϥ��Ǥ��롥

�ʲ��ǹԤʤ����ȤΤ���˼���ɬ�פǤ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 3.} 
$$ \begin{array}{lll}
 \sup_{\tau_- \leq t \leq \tau_+} |h_{34}(t) - h_{34}(\tau_-)| 
\rightarrow 0, & {\rm as} & x \rightarrow x_0 .
   \end{array}
$$

\vspace{0.3cm}
�����3��Ǿ������롥

\vspace{0.3cm}
$x \rightarrow x_0$�ΤȤ�$V_- \rightarrow -\infty$�Ǥ��롥������$C < m_2/2$�ʤ顢$x$��$x_0$�˽�ʬ�ᤤ�Ȥ���ư���ͥ륮����$CV_-^2$����礭�������ͥ륮������¸���뤳�Ȥ����$q_1(\tau_-), q_2(\tau_-), q_{34}(\tau_-)$��$x \rightarrow x_0$�ΤȤ��ۤʤ�˸¤˼�«���뤳�Ȥ�ꡢ$C_1>0$��¸�ߤ��ơ�������������$x_0$�˽�ʬ�ᤤ���٤Ƥ�$x$���Ф�������Ω�ġ�
$$
  h_{34}(\tau_-) < - C_1 V_-^2 . 
$$
����3��ꡢ$C_2<C_1$�ʤ顢������������$x_0$�˽�ʬ�ᤤ���٤Ƥ�$x$���Ф�������Ω�ġ�
$$ \displaystyle 
  \sup_{\tau_- \leq t \leq \tau_+} h_{34}(t) < - C_2 V_-^2 . 
$$
�������äơ�Ŭ����$C_3>0$�����$x_0$�˽�ʬ�ᤤ���٤Ƥ�$x$���Ф��Ƽ�������Ω�ġ�
$$ \displaystyle 
  \sup_{\tau_- \leq t \leq \tau_+} r_{34}(t) <  C_3 V_-^{-2} . 
\leqno(5) 
$$
�ռ���§��ͤ��Ƥ��뤫�顢$C_4>0$�����äơ�$x_0$�˽�ʬ�ᤤ���٤Ƥ�$x$���Ф��Ƽ�������Ω�ġ�
$$ \displaystyle 
  \inf_{\tau_- \leq t \leq \tau_+} \ddot{r}_{34}(t) \leq -C_4 V_-^4 . 
\leqno(6) 
$$
(������$q_3(t) = q_4(t)$�ʤ�$\ddot{r}_{34} (t) \rightarrow -\infty$����«����.) (5)��(6)���ӤĤ��Ƽ������롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 4.} $C_5>0$��¸�ߤ��ơ�$\tau_- \leq t \leq \tau_+$�δ֤�γ��3��4�δ֤κ�����ͻ��ֳִ֤�$C_5 V_-^{-3}$�ʲ��Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
��������ñ��Ƚ��褦�ˡ�$x$��$x_0$�˽�ʬ�ᤱ���$C_6>0$��¸�ߤ��ơ�$\tau_+ - \tau_- > C_6 V_-^{-1}$�Ǥ��롥�������դ�����4�ȹ�碌��С����ֶ��$[\tau_-,\tau_+]$�δ֤�γ��3��4�֤ξ��Ͳ����$x \rightarrow x_0$�ΤȤ�$\infty$�˸��������������äƻ��ֶ��$[\tau^*,\tau']$�δ֤�γ��3��4�֤ξ��Ͳ����$N(x)$�Ȥ���С��������롥
$$ \begin{array}{lll}
  N(x) \rightarrow \infty, & {\rm as} & x \rightarrow x_0 .
   \end{array}        \leqno(7) 
$$

�����ʹؿ�$N(x)$���ͤ�$x \in \Gamma_0$��$\Sigma$���ڤ�Ȥ��Τ��Ѳ����뤫�顢�������롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 5.} $\Gamma_0$��$\Sigma$��̵�²��ڤ롥���ξ塢Ǥ�դ�$\varepsilon>0$���Ф��ơ�$\Gamma_0$��˸ߤ����Ǥ�$\alpha$�ɤ�̵����$\Gamma_1^0, \Gamma_1^1, \Gamma_1^2, \ldots$������ǡ����٤Ƥ�$i$���Ф���$\mu(\Gamma_1^i) < \tau(x_0) + \varepsilon$�Ȥʤ�褦�ˤǤ��롥

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf 3. ��ʬ�ϤΥ��ͥ륮���Ѳ�}

������Ǥϡ�2�������2��3��������롥��γ����ʬ�ϤΥ��ͥ륮���Ѳ��˶�̣�����롥$S = \{ 1, 2\ \}$�Ȥ��롥���ΤȤ���������Ω�ġ�
$$
  h_S = h_{12} = \displaystyle 
\frac{m_1m_2}{2(m_1+m_2)} (\dot{q}_1-\dot{q}_2)^2 - 
\frac{m_1m_2}{r_{12}} . 
$$
������$r_{ij} = |q_i-q_j|$�Ǥ��롥���ξ塢
$$
  \dot{h}_{12} = \displaystyle 
\frac{m_1m_2}{m_1+m_2} (\dot{q}_1-\dot{q}_2) (\ddot{q}_1-\ddot{q}_2) + 
\frac{m_1m_2}{r_{12}^3} (q_1-q_2) (\dot{q}_1-\dot{q}_2) . 
$$
�ռ���§���
$$
 \ddot{q}_1-\ddot{q}_2 = \displaystyle - (m_1+m_2) 
\frac{q_1-q_2}{r_{12}^3} + R . 
$$
������
$$
  R = \displaystyle \sum_{i \not\in S} m_i 
\left( \frac{q_i-q_1}{r_{i1}^3} - \frac{q_i-q_2}{r_{i2}^3} \right) . 
$$
���ΤȤ�
$$
  \dot{h}_{12} = \displaystyle 
\frac{m_1m_2}{m_1+m_2} (\dot{q}_1-\dot{q}_2) R . 
$$
���餫��
$$
  R = \displaystyle \sum_{i \not\in S} m_i 
\left( \frac{q_2-q_1}{r_{i2}^3} + (q_1-q_i) 
\left( \frac{1}{r_{i2}^3} - \frac{1}{r_{i1}^3} \right) \right) . 
$$
$r_{i1} \leq r_{i2}$�ʤ�
$$ \displaystyle
\left| \frac{q_2-q_1}{r_{i2}^3} + (q_1-q_i) 
\left( \frac{1}{r_{i2}^3} - \frac{1}{r_{i1}^3} \right) \right| 
\leq \displaystyle 4 \frac{r_{12}}{r_{SS'}^3} , 
$$
�Ǥ��롥������$r_{SS'} = \inf \{ r_{ij} : i \in S, j \in S' \}$�Ǥ��ꡢ$S'$��$S$���佸���ɽ�魯�������$r_{i2} \leq r_{i1}$�ΤȤ�������Ω�ġ��Ȥ����Τϡ����դ��̤ϼ��Τ褦�˽񤭴����뤳�Ȥ��Ǥ��롥
$$ \displaystyle 
  \left| \frac{q_i-q_1}{r_{i1}^3} - \frac{q_i-q_2}{r_{i2}^3} 
\right|
$$
�����$\{ 1, 2 \}$���֤�����(transposition)���Ѥ��ʤ����������ä�
$$
  |R| \leq \displaystyle 4 \left( \sum_{i \not\in S} m_i \right) 
\frac{r_{12}}{r_{SS'}^3} , 
$$
�����
$$
  |\dot{h}_{12}| \leq \displaystyle 
4 \left( \sum_{i \not\in S} m_i \right) |\dot{q}_1-\dot{q}_2| 
\frac{r_{12}}{r_{SS'}^3} .               \leqno(1)
$$

$v = |\dot{q}_1 - \dot{q}_2|$���֤���$h_{12} < 0$�ʤ顢���
$$
  h_{12} = \displaystyle \frac{1}{2} 
\frac{m_1m_2}{m_1+m_2} v^2 - \frac{m_1m_2}{r_{12}} ,  \leqno(2)
$$
�β���$v r_{12}$�����ˤ��������򤯤��Ȥ��Ǥ������礬
$$
  r_{12} = \displaystyle - \frac{m_1m_2}{2h_{12}}
$$
�������뤳�ȡ�����Ӥ��ΤȤ����ͤ�
$$
  v r_{12} = \displaystyle 
\sqrt{ - \frac{m_1m_2(m_1+m_2)}{2h_{12}} }
$$
�Ǥ��뤳�Ȥ�Ƚ�롥�������ä�
$$
  |\dot{h}_{12}| \leq \displaystyle C(-h_{12})^{-1/2} r_{SS'}^{-3} 
$$
�Ǥ��롥������
$$
  C = \displaystyle 4 \left( \sum_{i \not\in S} m_i \right) 
\sqrt{m_1m_2(m_1+m_2)/2} .
$$

���餫�ˡ���ε�������ʬ��$\{ 3, 4 \}$�ˤ�Ŭ�ѤǤ��뤫�顢����3���������ˤ���������

\vspace{0.3cm}
����ɤ�$h_{12} > 0$�ξ���ͤ��褦��$v = |\dot{q}_1 - \dot{q}_2|$���֤�����ñ��Ƚ��褦�ˡ�$v r_{12}$��$r_{12} > 0$��$h_{12}$����ꤷ���Ȥ�$r_{12}$�����ôؿ��Ǥ��롥�������ä�(1)��꼡�������롥
$$
  |\dot{h}_{12}| \leq \displaystyle 
\sqrt{C_2h_{12} + C_3} . 
$$
������
$$ \begin{array}{l}
  C_2 = \displaystyle \left( 4 \left( \sum_{i \not\in S} m_i \right) 
r^0 \rho^{-3} \right)^2 \frac{2(m_1+m_2)}{m_1m_2} , \\ 
  C_3 = \displaystyle \left( 4 \left( \sum_{i \not\in S} m_i \right) 
r^0 \rho^{-3} \right)^2 \frac{2(m_1+m_2)}{r^0} .
   \end{array}
$$
����2�Ϥ������˸����롥


\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf 4. ����1�ξ���}

����2��ꡢ$\Gamma$���$\alpha$��$\Gamma^0$�����٤롥$x_0$��$\Gamma^0$�ν�ü���Ȥ��롥�ʲ��μ�ĥ������5�����$k$�˴ؤ��뵢Ǽˡ�ε���Ǥ��롥��$i, 0 \leq i \leq k$�����$0$��$1$�����������$(j_1, \ldots, j_i)$���Ф��ơ�$\alpha$��$\Gamma_{j_1 \ldots j_i}^i$�����äƼ�����������

\noindent
(a) $\Gamma_{j_1 \ldots j_i}^i \subset \Gamma_{j_1 \ldots j_{i-1}}^{i-1} , \ \Gamma_j^1 \subset \Gamma^0$.   

\noindent
(b) $i$����ꤹ��ȡ�����������$\Gamma_{j_1 \ldots j_i}^i$���ǤǤ��롥�ޤ�

\noindent
(c) $\mu(\Gamma_{j_1 \ldots j_i}^i) \leq \tau(x_0) + 2^{-1} + 2^{-2} + \ldots + 2^{-i}$ .

\vspace{0.3cm}
$\Gamma^i = \cup \Gamma_{j_1 \ldots j_i}^i$�Ȥ��롥���������¤�$0$��$1$��������Ĺ��$i$����$(j_1 \ldots j_i)$���٤Ƥξ�Ǽ�롥���Τ褦���֤���
$$
  A \cap_i \Gamma^i .
$$
���餫��$A$����Ļ��Ǥ��롥$x \in A$���Ф��ơ������$x$�ε��פ�$t \rightarrow t_0 < \tau(x) + 1$�ΤȤ�������̵�²��ڤ�Ϥ��Ǥ��롥���Τ褦��$x$���Ф��ơ����פ�����1�ǵ��Ҥ����դ�ޤ��򤹤롥

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf 5. ����2�ξ���}

������ʬ��$\{ 2,3,4 \}$��ͤ��褦��[1]�ε��Ѥ�Ȥäơ����ξ��ͤζ᤯���̲᤹������ˡ�γ��2��Ǥ�դι�®�����ӽФ���Τ����뤳�Ȥ򼨤��������Τդ�ޤ���$m_2=m_4$�μ��̤Τ������ͤ��Ф��������뤳�Ȥ��Τ��Ƥ��롥$m_2 / (m_3+m_4) < 1$�Ǥ��뤫�顢$m_1$���礭�������(1)������Ω�Ĥ褦�ˤǤ��롥

$i$���ܤ�γ�Ҥα�ư�̤�$p_i = m_i \dot{q}_i$��ɽ�路��${\bf q} = (q_1, q_2, q_3, q_4)$�����${\bf p} = (p_1, p_2, p_3, p_4)$�Ƚ񤯡��ϤΥϥߥ�ȥ�ؿ��ϼ��Τ褦�˽񤱤롥
$$
  H({\bf q}, {\bf p}) = T({\bf p}) - U({\bf q}) . 
$$
������
$$ \begin{array}{ll}
 T({\bf p}) = 
\displaystyle \frac{1}{2} \sum_{i=1}^4 \frac{p_i^2}{m_i} , \\ 
 U({\bf q}) = \displaystyle \sum_{i<j} \frac{m_im_j}{|q_i-q_j|} . 
  \end{array}
$$
�Ϥ�2�Ĥ���ʬ����Ĥȸ��ʤ������ʤ����(1) ��γ�ҷ�$\{ 2, 3, 4 \}$��(2) γ��1����ʬ��$\{ 2, 3, 4 \}$�νſ��Ȥǹ��������2γ�ҷϤǤ��롥���νſ��򼡤Τ褦�˽񤯡�
$$
  \overline{x} = \displaystyle 
\frac{m_2q_2 + m_3 q_3 + m_4q_4}{m_2 + m_3 + m_4} . 
$$
�ޤ����Τ褦���֤���
$$
  \overline{y} = \displaystyle 
\frac{p_2 + p_3 + p_4}{m_2 + m_3 + m_4} . 
$$
��ʬ��$\{ 2, 3, 4 \}$�˼��ο������ѿ���������롥
$$ \begin{array}{ll}
  x_1 = q_2 - \overline{x}, & y_1 = p_2 - m_2 \overline{y} \\ 
  x_2 = q_3 - \overline{x}, & y_2 = p_3 - m_3 \overline{y} \\ 
  x_3 = q_4 - \overline{x}, & y_3 = p_4 - m_4 \overline{y} . 
   \end{array}
$$
��������Ω�Ĥ��Ȥ����դ��롥
$$ \begin{array}{l} 
  {\bf x} = (x_1, x_2, x_3) \in X = 
\{ {\bf x} \in R^3 : m_1x_1 + m_2x_2 + m_3x_3 = 0 \} , \\
  {\bf y} = (y_1, y_2, y_3) \in Y = 
\{ {\bf y} \in R^3 : y_1 + y_2 + y_3 = 0 \} . 
   \end{array}
$$
2γ�ҷϤ˼��ο������ѿ���������롥
$$ \begin{array}{ll} 
  z_1 = q_1 , & w_1 = p_1 , \\ 
  z_2 = \overline{x} , & w_2 = (m_2+m_3+m_4) \overline{y} . 
   \end{array}
$$
���Ϥνſ��ϸ����˸��ꤵ��Ƥ��뤫�鼡������Ω�ġ�
$$ \begin{array}{l} 
 {\bf z} = (z_1, z_2) \in Z = 
\{ {\bf z} \in R^2 : m_1 z_1 + (m_2 + m_3 + m_4) z_2 = 0 \} , \\ 
 {\bf w} = (w_1, w_2) \in W = 
\{ {\bf w} \in R^2 : w_1 + w_2 = 0 \} . 
   \end{array}
$$
${\bf x}, {\bf y}, {\bf z}, {\bf w}$����٥��ȥ�ȹͤ���2�Ĥ��гѹ���򼡤Τ褦��������롥
$$ \begin{array}{l} 
  M_1 = {\rm diag} (m_2, m_3, m_4) , \\ 
  M_2 = {\rm diag} (m_1, m_2+m_3+m_4) . 
   \end{array}
$$
����ȥϥߥ�ȥ�ؿ��ϼ��Τ褦�˽񤱤롥
$$
  H({\bf x}, {\bf z}, {\bf y}, {\bf w}) = \displaystyle 
\frac{1}{2} {\bf y}^T M_1^{-1} {\bf y} + 
\frac{1}{2} {\bf w}^T M_2^{-1} {\bf w} - U_1({\bf x}) - 
U_2({\bf x}, {\bf z}) . 
$$
������
$$ \begin{array}{l} 
  U_1({\bf x}) = \displaystyle 
\frac{m_2m_3}{|x_2-x_3|} + \frac{m_2m_4}{|x_2-x_4|} + 
\frac{m_3m_4}{|x_3-x_4|} , \\ 
  U_2({\bf x}, {\bf z}) = \displaystyle 
\frac{m_1m_2}{|z_1-z_2-x_1|} + \frac{m_1m_3}{|z_1-z_2-x_2|} + 
\frac{m_1m_4}{|z_1-z_2-x_3|} . 
   \end{array}
$$
�����ѿ��Ǳ�ư�������ϼ��Τ褦�ˤʤ롥
$$ \begin{array}{l} 
  \dot{\bf x} = M_1^{-1} {\bf y} , \\ 
  \dot{\bf y} = \nabla U_1({\bf x}) + 
\nabla_1 U_2({\bf x}, {\bf z}) , \\ 
  \dot{\bf z} = M_2^{-1} {\bf w} , \\ 
  \dot{\bf w} = \nabla_2 U_2({\bf x}, {\bf z}) . \\ 
   \end{array}
$$
������$\nabla_1(\nabla_2)$�����(����)�ѿ��˴ؤ�����ۤǤ��롥

����[1]���Ѥ����ѿ���Ƴ�����롥���Τ褦���֤���
$$ \begin{array}{l} 
  r = ({\bf x}^T M_1 {\bf x})^{1/2} , \\ 
  {\bf s} = {\bf x} / r , \\ 
  {\bf u} = r^{1/2} {\bf y} . 
   \end{array}
$$
$r^2$����γ�ҷ�$\{ 2, 3, 4 \}$�Τ��νſ��˴ؤ��봷���⡼���ȤǤ��뤳�Ȥ����դ��褦���ޤ�
$$
  {\bf s} \in S = \{ {\bf x} \in X : {\bf x}^T M_1 {\bf x} = 1 \} . 
$$
$X$��2�����������֤Ǥ��뤫�顢$S$�ϱߤ�Ʊ��Ǥ��롥�����ѿ��Ǳ�ư�������ϼ��Τ褦�ˤʤ롥
$$ \begin{array}{l} 
  \dot{r} = r^{-1/2} {\bf u}^T {\bf s} , \\ 
  \dot{\bf s} = 
r^{-3/2} [ - ({\bf u}^T {\bf s}){\bf s} + M_1^{-1} {\bf u} ] , \\ 
  \dot{\bf u} = \displaystyle 
r^{-3/2} \left[ \frac{1}{2}({\bf u}^T {\bf s}){\bf u} + 
\nabla_1 U({\bf s}) + r^2 \nabla_1 U_2(r{\bf s}, {\bf z}) \right] , \\ 
  \dot{\bf z} = \displaystyle M_2^{-1} {\bf w} , \\ 
  \dot{\bf w} = \nabla_2 U_2(r{\bf s}, {\bf z}) . 
   \end{array}
$$

$S$������Ϸ�$\{ 2, 3, 4 \}$�����֤��б����롥$q_2 \leq q_3 \leq q_4$�ʤ����֤θɤ����롥$\sigma : [-1,1] \rightarrow S^1$�Ϥ��θɤξ�ؤ���ʬƱ������Ǥ��äơ�$\lambda$������Ȥ��Ƽ����������������Ȥ��롥
$$
  \sigma'(s)^T M_1 \sigma'(s) = \lambda^{-2} . 
$$
$s=-1$��$q_2 = q_3$���б�����$s=1$��$q_3=q_4$���б�����Ȥ���С�$\sigma$�ϰ�դǤ��ꡢ�����餵�ޤ˽񤭲�����[1]��${\bf z}_0 \in Z$��$q_1 < 0$���б�����${\bf z}_0^T M_2 {\bf z}_0 = 1$���������Ȥ��롥

�������ѿ�$s, v, u, z$�����$w$�򼡤Τ褦��Ƴ�����롥
$$ \begin{array}{l} 
 {\bf s} = \sigma(s) , \\ 
 {\bf u} = v M_1 \sigma(s) + u \lambda M_1 \sigma'(s) , \\ 
 {\bf z} = z {\bf z}_0 , \\ 
 {\bf w} = w M_2 {\bf z}_0 . 
   \end{array}
$$
�ޤ�����������롥
$$ \begin{array}{l} 
  V_1 (s) = U_1(\sigma(s)) , \\ 
  V_2 (r,s,z) = U_2(r \sigma(s), z {\bf z}_0) . 
   \end{array}
$$
��ư�������ϼ��Τ褦�˽񤭴������롥
$$ \begin{array}{l} 
  \dot{r} = r^{-1/2} v , \\ 
  \dot{\bf s} = r^{-3/2} \lambda u , \\ 
  \dot{v} = \displaystyle 
r^{-3/2} \left[ \frac{1}{2} v^2 + u^2 - V_1(s) + 
r^2 \frac{\partial V_2}{\partial r} (r,s,z) \right] , \\ 
  \dot{u} = \displaystyle 
r^{-3/2} \left[ - \frac{1}{2} vu + \lambda V'_1(s) + 
\lambda r \frac{\partial V_2}{\partial s} (r,s,z) \right] , \\ 
  \dot{z} = \displaystyle w , \\ 
  \dot{w} = \displaystyle \frac{\partial V_2}{\partial z} (r,s,z) . 
   \end{array}          \leqno(1) 
$$
�դ�����[1]�ˤ�����褦�˻��֤��Ѵ�
$$
  dt = r^{3/2} dt' 
$$
��Ԥʤäơ����ξ��ͤ˽���뵰ƻ��®�����롥���ΤȤ��������롥
$$ \begin{array}{l} 
\displaystyle 
  \frac{dr}{dt'} = r v , \\ 
\displaystyle 
  \frac{ds}{dt'} = \lambda u , \\ 
\displaystyle 
  \frac{dv}{dt'} = \displaystyle 
\frac{1}{2} v^2 + u^2 - V_1(s) + 
r^2 \frac{\partial V_2}{\partial r} (r,s,z) , \\ 
\displaystyle 
  \frac{du}{dt'} = \displaystyle 
- \frac{1}{2} vu + \lambda V'_1(s) + 
\lambda r \frac{\partial V_2}{\partial s} (r,s,z) , \\ 
\displaystyle 
  \frac{dz}{dt'} = \displaystyle r^{3/2} w , \\ 
\displaystyle 
  \frac{dw}{dt'} = \displaystyle r^{3/2} 
  \frac{\partial V_2}{\partial z} (r,s,z) . 
   \end{array}                  \leqno(2) 
$$

�����ͥ륮��$H({\bf q}, {\bf p}) = h_0$����ꤹ�롥�����ͥ륮����γ�ҷϤΥ��ͥ륮��$h_1$����γ�ҷϤΥ��ͥ륮��$h_2$���¤˽񤯡�
$$ \begin{array}{l} 
 h_1 = \displaystyle \frac{1}{2} {\bf y}^T M_1^{-1} {\bf y} - 
U_1({\bf x}) = \displaystyle \frac{1}{r} 
\left[ \frac{1}{2} (u^2 + v^2) - V_1(s) \right] , \\ 
 h_2 = \displaystyle \frac{1}{2} {\bf w}^T M_2^{-1} {\bf w} - 
U_2({\bf x}, {\bf z}) = \displaystyle \frac{1}{2} w^2 - 
V_2(r,s,z) , \\ 
 h_1 + h_2 = h_0 . 
   \end{array}
$$
$h_0$�ϱ�ư������Ǥ��뤬$h_1$��$h_2$�Ϥ����Ǥʤ����Ȥ����դ��褦��

$z \neq 0$(���ʤ�����ξ��ͤϵ����äƤ��ʤ�)�ʤ顢$V_2(r,s,z)$��$r=0$�ǳ�餫�Ǥ��롥�������äƱ�ư��������$\{ r=0 \}$�˳�ĥ����롥�����Ǥ�¿����$\Omega_C \times (0, \infty) \times R^1$���ή�줬������Ϳ�����롥
$$ \begin{array}{l} 
\displaystyle 
  \frac{ds}{dt'} = \lambda u , \\ 
\displaystyle 
  \frac{dv}{dt'} = \displaystyle 
\frac{1}{2} v^2 + u^2 - V_1(s) , \\ 
\displaystyle 
  \frac{du}{dt'} = \displaystyle 
- \frac{1}{2} vu + \lambda V'_1(s) , \\ 
\displaystyle 
  \frac{dz}{dt'} = 0 , \\ 
\displaystyle 
  \frac{dw}{dt'} = 0 . 
   \end{array}                   \leqno(3) 
$$
������
$$ \begin{array}{c} 
 (s,v,u) \in \Omega_C = \displaystyle 
\left\{ \frac{1}{2} (u^2+v^2) - V_1(s) = 0 \right\} , \\ 
z \in (0, \infty), \ w \in R^1 .
   \end{array}
$$

���ή���$(0, \infty) \times R^1$��ι���ή���$\Omega_C$���ή����ѤǤ��롥$\Omega_C$���ή���[1]��Ĵ�٤�ή�줽�Τ�ΤǤ��롥���ʤ�������ξ��ͤ˶�Ť��˸¤ǡ�γ��1�θ��̤Ͼä��롥

�٥��ȥ��(2)��(3)��$s = \pm 1$�ˤޤ��ð�������äƤ��롥�����ð�����γ��2��3�����γ��3��4�����ξ��ͤ��б����롥��ƻ��[1]�ǻȤä��ΤȤޤä���Ʊ���Ѵ��ˤ�ä����ξ��ͤ�ۤ��Ʊ�Ĺ�Ǥ��롥�����ǤϤ����Ѵ���¹Ԥ��ʤ�����ɤ⡢ή��Ϥ����������ξ��ͤ�ۤ��Ʊ�Ĺ����Ƥ����Τȹͤ��롥

$\Sigma$��¿���ι�¤��[1]�Ǥη׻���[2]������1����Ф롥��դ���$\omega \in \Omega_C$�����äơ����ξ��ͤ˽���뵰ƻ��$\Omega$�����᤹��Ϥ��Ǥ��롥������$\Sigma$�����ѽ���$\{ \omega \} \times (0, \infty) \times R^1$�ΰ���¿���ΤǤ��롥[1]�Ǽ����줿�褦�ˡ�$\omega$��2�Ĥε۰���������ġ�$(0, \infty) \times R^1$��2�Ĥ�����������ä��ơ�$\Sigma$��4����(;����1)�Ǥ��롥

$\Omega_C$���$\omega$���԰���¿���Τ�2�ܤε�ƻ�������롥[1]�Ǽ������褦�ˡ�$m_2=m_4$�ʤ�$m_2, m_3, m_4$�Τ������ͤ��Ф��ơ�$v$�Ϥ����ε�ƻ�����ͭ���ˤʤ롥����ˡ������ε�ƻ���$s \rightarrow -1$�Ǥ��ꡢ�⤦�����ε�ƻ���$s \rightarrow +1$�Ǥ��롥��ǽҤ٤��褦�ˡ�������Ǥϡ�$m_2, m_3, m_4$��$\Omega_C$���ή�줬�������������������褦�˸��ꤷ�Ƥ�����

$x_0$��$\Sigma$���ڤ��$\Gamma$�����롥$x_0$���̤뵰ƻ��$\{ \omega \} \times (0, \infty) \times R^1$�����᤹�롥�椨����$(\omega, z^*, w^*)$�����᤹��[3]��$x_0$���̤뵰ƻ�ϻ��ֺ�ɸ$t'$�ǡ�̵�»��֤����äƻ��ξ��ͤ�ã���롥����������Ȥλ��ֺ�ɸ$t$�Ǥϵ�ƻ�ϻ��ξ��ͤ˻���$\tau(x_0) < \infty$����ã���롥

����ɤ�$\rho(s,z)$�ϰ��ֺ�ɸ$(r=\rho(s,z), s, z)$�����ֺ�ɸ$(q_1, q_2=0, q_3, q_4)$���б������ΤȤ��롥���ΤȤ�$\rho$�Ϥ��ޤ�������줿Ϣ³�ؿ��Ǥ��롥���Τ褦���֤���
$$
  \Lambda = \{ (r,s,u,v,z,w) : r = \rho(s,z) \} .
$$

���������Ϳ������ɾ�����ꤷ������2��������褦������ɾ���Ϥ�����ν����˾������롥


\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 6.} $(r,s,v,u,z,w)(t')$��(2)�β�Ȥ��롥$\overline{\mu}>0$��¸�ߤ��Ƽ�������Ω�ġ�Ǥ�դ�$\overline{v} > 0$��Ϳ����줿�Ȥ���$\tilde{\varepsilon} >0$��$\tilde{v} > 0$�����äơ�
$$ \begin{array}{lllll}
  |z(0) - z^*| < \tilde{\varepsilon}, & |w(0) - w^*| < 
\tilde{\varepsilon} , & r(0) < \tilde{\varepsilon}, 
&  ����� & v(0) > \tilde{v} ,
   \end{array}
$$
�ʤ顢��$\Lambda$���ڤ�ޤ�
$$ \begin{array}{lllll}
  v(t') > \overline{v}, & |h_1(t')| < \overline{\mu}, & 
r(t') < \overline{\mu}, & ����� & |w(t') - w^*| < \overline{\mu}
   \end{array}
$$
�Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{���� 2�ξ���}. $\Sigma$��;����1�ΤϤ������ʬ¿���ΤǤ��뤳�ȡ�����Ӽ��̤�(1)���������褦�����٤뤳�ȤϤ��Ǥ˾���������
�Ĥ��(a),(b),(c)��������$\Gamma_0$��$\tau_-$��¸�ߤ�����Ф褤��

$x \in \Gamma$���Ф���$\tau_-(x)$��$x$���̤뵰ƻ��$\Lambda$�˹Ԥ�������ޤǤˤ�����Ǿ����֤Ȥ��롥$\tau_-$����������¤ꡢ�����(b)����������

$\Sigma$��;����1�Ǥ��뤫�顢�ɽ�Ū��ξ¦�����(two-sided)��$\Sigma$����¦���ȯ���뵰ƻ��$\omega$���԰���¿���ΤΤҤȤĤ�ʬ�ޤˤ���������$\Sigma$�Τ⤦������¦�����ȯ���뵰ƻ�Ϥ⤦�ҤȤĤ�ʬ�ޤˤ���������$\Sigma_0$��¿���ΰ���˴ؤ���$\Sigma$���$x_0$�ξ����ʳ���˵�Ȥ��롥$\Gamma$����ʬ��$\tilde{\Gamma}$���ꡢ$\tilde{\Gamma} \cap \Sigma_0 = \{ x_0 \}$�Ȥ����ޤ�$\tilde{\Gamma}$��$s \rightarrow +1$�ʤ��԰���¿���Τ�ʬ�ޤ��б�����$\Sigma_0$��¦�ˤ���Ȥ��롥

���ΰ���¿���Τζ᤯�����ȯ���뵰ƻ�ϡ�Ǥ�դ˱󤯤ޤǤ��������԰���¿���Τˤ����������������롥�������ä�Ǥ�դ�$a>0$��Ǥ�դ�$\tilde{v}>0$�������$x_0$���̤����ε�ƻ�������Ǥ�դγ���˵${\cal U}$��Ϳ����줿�Ȥ���$x_0$���ܤ���$\tilde{\Gamma}$����ʬ��$\hat{\Gamma}$�����äƼ�����������ġ����ʤ����(1) ��$x \in \hat{\Gamma}$���Ф���$x$���̤뵰ƻ��$v$��$\tilde{v}$��ۤ���ޤ�${\cal U} \cup \{ r < a \}$�ˤȤɤޤꡢ(2) $x \rightarrow x_0$�ΤȤ���ƻ��$(\omega, z^*, w^*)$���԰���¿���ξ������Ǥ�դζ᤯��$v = \tilde{v}$���̲᤹�롥��������$ z= z^*$�����$w = w^*$�Ǥ��뤳�Ȥ����դ��롥$dt = r^{3/2} dt'$�Ǥ��ä����Ȥ�פ����������������äƻ��ֺ�ɸ$t$�Ǥϡ���ƻ��$\hat{\Gamma}$����$v = \tilde{v}$�عԤ��ޤǤλ��֤�$a$��${\cal U}$�򾮤������֤��Ȥˤ�ä�$\tau(x_0)$��Ǥ�դ˶᤯�Ǥ��롥

����$\overline{\mu}$������6��Ϳ�������ΤȤ��롥������(1)��ꡢ$v > \overline{v}$�Ǥ���¤꼡�����롥
$$ \displaystyle 
  \frac{dr}{dt} = r^{-1/2} v \geq \overline{\mu}^{-1/2} \overline{v}
$$
�������ä�����6�˵��Ҥ��줿��ƻ��$\overline{\mu}^{3/2} / \overline{v}$̤���λ��֤�$\Lambda$���ڤ롥Ǥ�դ�$\overline{v}$���Ф��ơ�$\tilde{\varepsilon}, \tilde{v}$������6��Ϳ�������ΤȤ��롥$\hat{\Gamma}$�򾮤�������ǡ�$\hat{\Gamma}$����ȯ���뵰ƻ��$v$���Ϥ����$\tilde{v}$�ˤʤä��Ȥ��ˤ�������β�����������褦�ˤ��롥���ΤȤ�$\tau_-$��$\hat{\Gamma}$���������졢$x \rightarrow x_0$�ΤȤ�$\tau_-(x) \rightarrow \tau(x_0)$�Ǥ��롥$\Gamma_0 = \hat{\Gamma} \cup \{ x_0 \}$�ȼ��С�(a)��(b)�������Ǥ�����

(c)���������Τˡ��ޤ�$x \in \hat{\Gamma}$���Ф��ơ�$x$���̤뵰ƻ��$\Lambda$���ڤ�Ȥ���$v$���ͤ�$x \rightarrow x_0$�ʤ�̵����˸��������Ȥ����դ��褦��$h_1$��������鼡�������롥
$$ \displaystyle 
  \frac{1}{2} (u^2+v^2) - V_1 (s) = rh_1 . 
$$
������
$$ \displaystyle 
  \frac{1}{2} v^2 - \overline{\mu}^2 \leq V_1(s) . 
$$
�������ä�$v \rightarrow \infty$�ΤȤ�$s \rightarrow +1$�Ǥ��롥[1]��Ϳ������$\sigma$��ɽ�����鼡�Τ褦�˽񤱤롥
$$
  y_1 = \lambda_1 r^{-1/2} 
[ v \cos \lambda (1-s) + u \sin \lambda(1-s) ] . 
$$
������$\lambda_1 < 0$�ϼ��̤Τߤ˰�¸��������Ǥ��롥�դ�����$h_1$�������꼡�����롥
$$
  u^2 \leq 2V_1(s) + 2 \overline{\mu}^2 . 
$$
$s \rightarrow +1$�ΤȤ�$(1-s) V_1(s)$��ͭ���Ǥ��뤫�顢$|u \sin \lambda(1-s)|$��ͭ���Ǥ��롥�������ä�$v \rightarrow \infty$�ΤȤ�$y_1 \rightarrow -\infty$�Ǥ��롥�Ȥ�������������Ω�ġ�
$$
  \dot{q}_2 = \dot{x}_1 + \dot{z}_2 = 
y_1 /m_1 + w_2 / (m_1+m_2+m_3) . 
$$
$w_2$��$|w^*| + \overline{\mu}$������ܤ��ޤ����뤫�顢$v \rightarrow \infty$�ΤȤ�$\dot{q}_2 \rightarrow -\infty$�Ǥ��ꡢ�����(c)����Ω���줿��$\dot{q}_2 < 0$�ʤ�$\Lambda$�ϲ����̤Ǥ��뤫�顢$\tau_-$��$x_0$�ζ᤯��Ϣ³�Ǥ��롥ɬ�פʤ�$\Gamma_0$���äȾ�������äơ�$\tau_-$��$\Gamma_0$���Ϣ³�Ǥ���褦�ˤ��롥����2�ξ��������뤷����

\vspace{0.3cm}
�ʲ�������7����10�ޤǤΰ�Ϣ��ɾ����Ȥä�����6��������褦��
${\cal R} = \{ (r, s, z) : r \leq \rho(s,z) \}$���֤���

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 7.} ����$\varepsilon_0$��$\mu_0$�����äơ�$(r,s,z) \in R$�����$|z-z^*| < \varepsilon_0$�ΤȤ��Ϥ��Ĥ⼡������Ω�ġ�
$$ \begin{array}{llll}
 |V_2(r,s,z)| < \mu_0, & \displaystyle 
\left| \frac{\partial V_2}{\partial r}(r,s,z) \right| < \mu_0, & 
����� & \displaystyle 
\left| \frac{\partial V_2}{\partial z}(r,s,z) \right| < \mu_0 . 
   \end{array}
$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $V_2$�ϥ���ѥ��Ƚ���
$\{ (r, s, z^*) : 0 \leq r \leq \rho(s,z^*), s \in [-1,1] \}$�ζ�˵�Ǽ²���Ū�Ǥ��롥ɾ����Ϣ³������Ф롥

\vspace{0.3cm}
����8��9��10���Ф��Ƥ�$(r, s, v, u, z, w)(t')$��(2)�β�ǡ�$t' \in [0, \overline{t}']$�ΤȤ�$(r, s, z)(t') \in {\cal R}$����������ΤȤ��롥
$\rho^* = \max \{ \rho(s, z^*) : s \in [-1,1] \}$���֤���$\varepsilon^* > 0$����ꤹ�롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 8.} $\varepsilon_1>0$��$\mu_1>0$�����äơ�$t' \in [0, \overline{t}')$���Ф���
$$ \begin{array}{llll}
  |w(t') - w^*| < \varepsilon_1, & r(t') < \rho^* + \varepsilon^*, & ����� & v(t') > \hat{v} > 0
   \end{array}
$$
�ΤȤ��Ϥ��Ĥ⼡������Ω�ġ�
$$
  |z(\overline{t}') - z(0)| < \mu_1 / \hat{v} . 
$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. Ǥ�դ�$\varepsilon_1 > 0$���ꡢ
$\mu_1 > \displaystyle \frac{2}{3} (\rho^* + \varepsilon^*)^{3/2} (|w^*| + \varepsilon_1)$���֤���$\displaystyle \frac{dr}{dt'} = rv > 0$�Ǥ��뤫�顢�������롥
$$
  z(\overline{t}') - z(0) = \displaystyle \int_0^{\overline{t}'} 
\frac{dz}{dt'} dt' = \displaystyle \int_{r(0)}^{r(\overline{t}')} 
\frac{dz}{dr} dr . 
$$
�������ä�
$$ \begin{array}{rl}
  |z(\overline{t}') - z(0)| & \leq \displaystyle 
\displaystyle \int_{r(0)}^{r(\overline{t}')} r^{1/2} \frac{|w|}{v} dr \\
    & \leq \displaystyle 
\frac{2}{3} (\rho^*+\varepsilon^*)^{3/2} (|w^*|+\varepsilon_1) / \hat{v} < \mu_1/\hat{v} .
   \end{array}
$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 9.} ����$\varepsilon_2, v_2$�����$\mu_2$�����äơ�
$$ \begin{array}{l}
  |w(\overline{t}') - w(0)| < \mu_2 / \hat{v} , \\ 
  |h(\overline{t}')| < \mu_2 , \\ 
  v(\overline{t}') > v(0) - \rho^* - \varepsilon^* , 
   \end{array}
$$
����$|z(0) - z^*| < \varepsilon_2$�ΤȤ��ϤĤͤˡ��ޤ�$t' \in [0, \overline{t}')$���Ф���
$$ \begin{array}{llll}
  |w(t') - w^*| < \varepsilon_2, & r(t') < \rho^* + \varepsilon^*, 
& ����� & v(t') > \hat{v} \geq v_2 
   \end{array}
$$
������Ω�ĤȤ��ˤϤĤͤ�����Ω�ġ�

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. �Ϥ����$\varepsilon_2 < \displaystyle \min (\varepsilon_1, \frac{\varepsilon_0}{2})$�����֡�����$\mu_2$�򼡤Τ褦�����֡�
$$
  \mu_2 > \displaystyle \max \left( \frac{2}{3} 
(\rho^* + \varepsilon^*)^{3/2} \mu_0, 
|h_0| + \frac{1}{2} (|w^*| + \varepsilon_2)^2 + \mu_0 \right) .
$$
�Ǹ��$v_2$�򼡤Τ褦�����֡�
$$
  v_2 > \max \left( 2\mu_1/\varepsilon_0, 
\mu_2 + (\rho^* + \varepsilon^*) \mu_0\right) 
$$

����8��꼡�����롥
$$
  |z(t') - z^*| < \mu_1/v_2 < \varepsilon_0/2 .
$$
�������ä�$|z(t') - z^*| < \varepsilon_0$�Ǥ��ꡢ����7��ɾ��������Ω�ġ��椨��
$$ \begin{array}{rl}
  |w(\overline{t}') - w(0)| & \leq \displaystyle 
\int_{r(0)}^{r(\overline{t}')} r^{1/2} \left| 
\frac{\partial V_2}{\partial z} (r,s,z) \right| \left/ v dr \right. \\ 
& \leq \displaystyle \frac{2}{3} (\rho^* + \varepsilon^*)^{3/2} 
\mu_0 / \hat{v} < \mu_2 / \hat{v} ,
   \end{array}
$$
�Ǥ��ꡢ����ɾ��������Ω���줿��

�����ɾ�����ϼ��Τ褦�������롥
$$
  h_1 = h_0 - h_2 = \displaystyle h_0 - \frac{1}{2} w^2 + V_2(r,s,z) . 
$$
������
$$
|h_1(\overline{t}')| \leq \displaystyle 
|h_0| + \frac{1}{2} (|w^*| + \varepsilon_2)^2 + \mu_0 < \mu_2 .
$$

�軰��ɾ�����˴ؤ��Ƥϡ�(2)��꼡��������Ω�Ĥ��Ȥ�Ƚ�롥
$$ \displaystyle 
\frac{d (r+v)}{dt'} = \displaystyle \frac{1}{2} u^2 + r 
\left[ v + h_1 + r \frac{\partial V_2}{\partial r} (r,s,z) \right] .
$$
�������ä�
$$ \displaystyle 
\frac{d (r+v)}{dt'} > \displaystyle r 
\left[ v_2 - \mu_2 - (\rho^* + \varepsilon^*) \mu_0 \right] > 0 .
$$
�椨��
$$
  r(\overline{t}') + v(\overline{t}') > r(0) + v(0) > v(0) ,
$$
�����
$$
  v(\overline{t}') > v(0) - \rho^* - \varepsilon^* . 
$$
���������9�ξ��������뤷����

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 10.} Ǥ�դ�����$\delta$��$\nu$��Ϳ����줿�Ȥ�������$\varepsilon_3$��$v_3$�����äơ�����ɾ��������Ω�ġ����ʤ����
$$ \begin{array}{lll}
  |w(\overline{t}') - w^*| < \delta & ����� & v(\overline{t}') > \nu 
   \end{array}
$$
����$t' \in [0, \overline{t}')$���Ф���$r(t') < \rho^* + \varepsilon^*$�ʤ뤹�٤Ƥ�$\hat{t}'$���Ф�����Ω����
$$ \begin{array}{llll}
  |z(0) - z^*| < \varepsilon_3, & 
|w(0) - w^*| < \varepsilon_3, & ����� & v(0) > v_3 .
   \end{array}
$$
�ΤȤ��ϤĤͤ�����Ω�ġ�

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. �������򼺤����Ȥʤ���$\delta < \varepsilon_2$�����$\nu > v_2$�ȼ��롥$\varepsilon_3 < \varepsilon_2$�����$v_3 > \nu + \rho^* + \varepsilon^*$�����֡��ޤ�$v_3$��ʬ�礭����ä�
$$
  \mu_2 / (v_3 - \rho^* - \varepsilon^*) < \delta 
$$
�Ȥʤ�褦�ˤ��롥

����ˡ��Ȥ���$\hat{t}'$�����ä�$|w(\hat{t}') - w^*| \geq \delta$�ޤ���$v(\hat{t}') \leq \nu$�Ǥ���Ȳ��ꤹ�롥���Τ褦��$\hat{t}'$�κǾ��Τ�Τ����֡����ΤȤ���$t' \in [0, \hat{t}')$���Ф���$|w(t') - w^*| < \delta < \varepsilon_2$�����$v(t') > \nu > v_2$�Ǥ��롥����9���鼡�����롥
$$
  v(\hat{t}') > v_3 - \rho^* - \varepsilon^* > \nu .
$$
�������ä�$|w(\hat{t}') - w^*| \geq \delta$�ΤϤ��Ǥ��롥�Ȥ������դ���������9��꼡�����롥
$$
  |w(\hat{t}') - w(0)| < \mu_2 / (v_3 - \rho^* - \varepsilon^*) < 
\delta . 
$$
����ϲ����̷�⤹�뤫������10���������줿��

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����6�ξ���}. ���$r = \rho(s,z)$�ΤȤ�$\Lambda$���ڤ롥$\rho^*$�������ꡢ$\varepsilon_4$��¸�ߤ��ơ����٤Ƥ�$t \in [0, \hat{t}']$���Ф���$r(0) < \varepsilon_4, r(\hat{t}') \geq \rho^* + \varepsilon^*$�����$|z(t') - z^*| < \varepsilon_4$�ʤ顢��ϻ��ֶ��$(0, \hat{t}')$�Τɤ�����$\Lambda$���ڤ롥

$\overline{\mu} > \max (\mu_2, \rho^* + \varepsilon^*)$�Ȥ��롥Ǥ�դ�$\overline{v}$��Ϳ����줿�Ȥ���
$\nu > \max (\overline{v}, v_2, 2 \mu_1/\varepsilon_4), \delta < \min(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \overline{\mu})$���ꡢ$\varepsilon_3$��$v_3$������10��Ϳ�������ΤȤ��롥������$\tilde{\varepsilon} < \min (\varepsilon_2, \varepsilon_3, \varepsilon_4/2)$�����$\tilde{v} > v_3$���롥

Ǥ�դ�$\overline{t}'$���äơ����٤Ƥ�$t' \in [0, \overline{t}')$���Ф���$r(t') < \rho^* + \varepsilon^*$�Ȥʤ�褦�ˤ��롥���������10��ꡢ
$$ \begin{array}{llll}
|w(t') - w^*| < \delta < \varepsilon_1 & ����� & v(t') > \nu & 
\forall t' \in [0, \overline{t}'] .
   \end{array}
$$
�������ä�����8��ꡢ
$$
  |z(t') - z(0)| < \mu_1 / \nu < \varepsilon_4 / 2 .
$$
�Ȥ�����$|z(0) - z^*| < \tilde{\varepsilon} < \varepsilon_4 / 2$�Ǥ��뤫�顢
$$ \begin{array}{ll}
|z(t') - z^*| < \varepsilon_4 & \forall t' \in [0, \overline{t}'] .
   \end{array}
$$
�������äơ����$[0, \tilde{t}']$��Ǥϲ�$\Lambda$���ڤ�ʤ��褦��Ǥ�դ�$\tilde{t}'$���Ф��ơ�$(r, s, z)(t') \in {\cal R}$�����
$$ \begin{array}{ll}
r(t') < \rho^* + \varepsilon^* & \forall t' \in [0, \tilde{t}'] ,
   \end{array}
$$
������Ω�ĤϤ��Ǥ��롥

����10��ꡢ
$$ \begin{array}{llll}
|w(t') - w^*| < \delta & ����� & v(t') > \nu & 
\forall t' \in [0, \tilde{t}'] .
   \end{array}
$$
$\nu > \overline{v}$�����$\delta < \overline{\mu}$�Ǥ��뤫�顢����6��2�Ĥ�ɾ�����������롥
$\nu > v_2, \delta < \varepsilon_2$�����$\tilde{\varepsilon} < \varepsilon_2$�Ǥ��뤫�顢����9��Ŭ�ѤǤ��ơ��������롥
$$ \begin{array}{ll}
|h(t')| < \mu_2 < \overline{\mu},  & \forall t' \in [0, \tilde{t}'] .
   \end{array}
$$
�Ǹ��$r(t') < \rho^* + \varepsilon^* < \overline{\mu}$����������6�ξ��������뤷����

\vspace{0.5cm}
����ʸ��

\re
[1] McGehee, R., Triple collision in the collinear three-body problem, {\it Inventiones Math.}, to appear.

\re
[2] Fenichel, N., Persistence and smoothness of invariant manifolds for flows, {\it Indiana Univ. Math. J.} {\bf 21} (1971), 193-226. 

\re
[3] Fenichel, N., Asymptotic stability with rate conditions, 
{\it Indiana Univ. Math. J.} {\bf 23} (1974), 1109-1137. 


\end{document}

