\documentstyle[12pt,twoside]{jarticle}
%
\oddsidemargin 0.0cm
\evensidemargin -1.0cm
\topmargin 0.0cm
%
\textwidth 16.8cm
\textheight 22.5cm
\footheight 0.5cm
%
\newcommand{\re}{\vspace{0.15cm}\par\hangindent=0.7cm\noindent}
%
\begin{document}
\setlength{\baselineskip}{3ex}
%

\begin{flushright}
ë����δ ��
\end{flushright}

\noindent
{\it Arch. Rational Mech. and Anal.} {\bf 49} (1973), 311-320

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\Large
{\bf �˥塼�ȥ���ϷϤ��ð����Ⱦ��� \\
Singularities and Collisions of Newtonian Gravitational Systems} 
}

\vspace{0.3cm}
Donald G. Saari
\end{center}

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf 1. ��}
\end{center}

ŷ���ϳؤ�$n$�Τν��פ�̤�������ΰ�Ĥϲ����������ȥ��դ������Ƥ��뤫���������Ǥ��롥��ä����Τ˸����ȡ���ʬ�������������餹���$n$������β����Ω�ѿ�$t$�β��ϴؿ��Ǥ��롥�������ȥ��դ����ð����Ȳ�᤹��С��ɤ��ʪ��Ū���郎����$t=0$���ð������������������Τ������������������뤳�Ȥ��Ǥ��롥���Ԥο�����Ȥ����ˤ��С��ð����Ϥ��٤ƾ��ͤˤ�롥���ʤ����$t \rightarrow 0+$�ΤȤ������֥٥��ȥ�${\bf r}_i$�ϴ�����ɸ�ϤǷ�ޤä��˸°��֤˶�Ť���(����ͽ�ۤ���������С�[5,6]��ꡢ�ۤȤ�ɤ��٤Ƥν�������Ф��ư�դβ򤬤��٤Ƥλ��֤ˤ錄�ä�¸�ߤ���.)

���ͤǤʤ��ð�����¸�ߤ�$t \rightarrow 0$�ΤȤ�����ͭ���ʱ�ư��¸�ߤ������Ǥ��뤳�Ȥ��Τ��Ƥ��롥ľ�Ѥ�ͭ�»�����ǤΤ�����ͭ����ư�γ�ǰ��������ʤ�(���ä����ɤ��ǡ��ޤ��ɤΤ褦�˷Ϥ�ɬ�פ�®�٤�����Τ�?)���ޤ�ľ�Ѥˤ��С����Τ褦�ʱ�ư����ǽ�ʤ顢��γ���Ψ�ϡ��٤��פϤ��Ǥ���ȿ�¬����롥(����Ψ�μ����ʴ��ϴ����⡼���ȤǤ���(1.2�Ỳ��)�������Ǥ⤽�����Ѥ���.)

���εդ�����Ω�Ĥ��Ȥ򼨤��Τ�������ʸ����Ū�ΤҤȤĤǤ��롥��äȾܤ��������С������⡼���Ȥ���ä����Ѥ��ؿ��ʤ顢�ð����Ͼ��ͤˤ�롥���ʤ�������ͤǤʤ��ð�����¸�ߤϡֹ�®�ǡ���ͭ���ˤʤ뱿ư��¸�ߤ������Ǥ��롥

������ʸ���������ʬ�Ǥϡ�ľ��$n$������Ǥ��ð����Ⱦ��ͤ�����������ʤ����ȡ��Ĥޤ�ľ��$n$������Ǥ��ð����Ϥ��٤ƾ��ͤǤ��뤳�Ȥ�������롥

�����Ǻ��Ѥ��뵭ˡ��ɸ��Ū�Ǥ��롥$n$�����νſ��������Ϥθ����˸��ꤵ��Ƥ���Ȥ���$i$���ܤμ����μ��̡����֥٥��ȥ롢�����®�٥٥��ȥ�򤽤줾��$m_i, {\bf r}_i$�����${\bf v}_i$��ɽ�魯��Ʊ��ʸ����٥��ȥ���礭����ɽ�魯�Τ��Ѥ��롥���Ȥ��С�$r_i = |{\bf r}_i|, r_{kj} = |{\bf r}_k - {\bf r}_k|$�ʤɤǤ��롥

���������ñ�̤ˤȤ�С���ư��������$U = \sum^* m_i m_j /r_{ij}$�Ȥ���
$m_i \ddot{\bf r}_i = \sum_{j \neq i} 
\frac{\displaystyle m_im_j ({\bf r}_j - {\bf r}_i)}{\displaystyle r_{ij}^3}$ 
$= \frac{\displaystyle \partial U}{\displaystyle \partial {\bf r}_i}$�Ǥ��롥
��$(^*)$��ź����$1 \leq i < j \leq n$��ư�������ͥ륮����ʬ����¸��
$T = U + h$�Ȥʤ롥��������$2T = \sum m_i {\bf v}_i^2$�Ǥ��ꡢ
$h$����ʬ����Ǥ��롥$2I = \sum m_i {\bf r}_i^2$���������С�
�饰��󥸥�-�䥳�Ӵط���
$$
  \ddot{I} = 2T - U = T + h = U + 2h, \leqno(1.1)
$$
�Ȥʤ롥

�ſ��������ˤ��뤫�顢
$$
  2M I = \sum^* m_im_j ({\bf r}_i - {\bf r}_j)^2 , 
$$
������Ω�ġ�������$M$�ϷϤ������̤Ǥ��롥���줫��$I^{1/2}$��γ�Ҵ֤κ���ֳ֤μ��٤ȸ��뤳�Ȥ��Ǥ��롥����򸫤뤿���
$$
  R(t) = \max_{i \neq j} r_{ij}(t)
$$
�Ȥ���$m_0$��Ǿ����̤Ȥ��롥����Ȥ��٤Ƥ�$i,j$�����������Ф���$2MI \geq m_im_j ({\bf r}_i - {\bf r}_j)^2 \geq m_0^2 ({\bf r}_i - {\bf r}_j)^2$�Ǥ��롥�Ȥ�������$t$���Ф��ơ�����$i,j$�����ä�$r_{ij}(t) = R(t)$�Ǥ��롥�椨��$I^{1/2} \geq m_0 R/(2M)^{1/2}$�Ǥ��롥���������������Ϥ�äȴ�ñ�Ǥ��롥���ʤ�������餫��$2MI = \sum^* m_im_j r_{ij}^2 \leq \sum^* m_im_j R^2 = M^2 R^2/2$�����롥Ʊ�ͤ�$r(t) = \min r_{ij}(t)$���������С�$U^{-1}$��γ�Ҵ֤κǾ���Υ�μ��٤ȸ��뤳�Ȥ��Ǥ��롥�����Τ褯�Τ�줿���¤�������
$$ \begin{array}{ll} 
\displaystyle 
  m_0^2 R^2 / (2M) \leq I \leq M R^2 / 4 , \\ 
\displaystyle 
  m_0^2 r^{-1} \leq U \leq M^2 (2r)^{-1} ,
   \end{array}   \leqno(1.2)
$$
�Ȥ��Ƶ�Ͽ���Ƥ�����

�ð����Ⱦ��ͤδط��˴ؤ���ǽ���礭�ʷ�̤ϥѥ��٤ˤ��[2; 8, pp. 19-27]��1895ǯ�ˡ����$t=0$���ð�����������ɬ�׽�ʬ����$t \rightarrow 0$�ΤȤ�$r \rightarrow 0$�Ǥ��뤳��(���ʤ����(1.2)��ꡢ$t \rightarrow 0$�ΤȤ�$U \rightarrow \infty$)�򼨤��������$r \rightarrow 0$��ɬ�������ð��������ͤǤ��뤳�Ȥ��̣���ʤ�������������Τϡ������Ĥ�����ߵ�Υ��$r(t)$�������Ѥ�뤬����������$r \rightarrow 0$�ΤȤ�$\limsup r_{ij} >0$�Ǥ��ä�$\liminf r_{ij} =0$�Ȥʤ�褦�ˤդ�ޤ����ȤǤ��롥�������ѥ��٤�$n \leq 3$�ʤ餳���������Ȥϵ����餺���ð����Ͼ��ͤǤ��뤳�Ȥ򼨤����������$n>3$�ΤȤ�̤���Ǥ��롥

1910ǯ��H. von Zeipel[10]�ϡ�$r \rightarrow 0$�ΤȤ�$I=O(1)$�ʤ�$t=0$���ð����Ͼ��ͤˤ��Ȥ����ĽҤ�ȯɽ�������Թ��ˤ⡢��ξ����ˤ������ȸ��꤬���ä���

1968ǯ��Pollard \& Saari[3]��$t=0$���ð��������ͤǤ��뤿���ɬ�׽�ʬ����$t \rightarrow 0$�ΤȤ�$U \sim A/t^{2/3}$�Ǥ��뤳�Ȥ򼨤�����������$A$�Ϥ�����������Ǥ��롥(����Ͼ���γ�ҤΤդ�ޤ��˴ؤ��ǽ��ɾ����Ϳ����.) ������ʸ[4]�ǡ�����$I$������Ψ���Ѥ��������Ĥ��̤ξ���������

1970ǯ��H. Sperling[9]��von Zeipel�ξ����������������������椨��von Zeipel-Sperling�η�̤�������ð�����¸�ߤ�ͭ�»��֤���ͭ���α�ư��¸�ߤ������Ǥ��뤳�Ȥ򼨤����������ʸ�η�̤�von Zeipel��Sperling�η�̤���̲����롥ȯ�ۤΤ����Ĥ������λŻ�����������

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf 2. ����}
\end{center}

�ؿ�$f$��$t \rightarrow 0$�ΤȤ���ä����Ѳ�����Ȥϡ�Ǥ�դ������$\beta$���Ф���$f(\beta t) / f(t) \rightarrow 1$�ΤȤ��Ǥ��뤳�Ȥ�פ�������[1, pp. 272-276]�����Ȥ���$(\ln t^{-1})^3$�Ϥ�ä����Ѳ�����ؿ��Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 1.} $t=0$���ð��������ꡢ�ޤ�$t \rightarrow 0$�ΤȤ�$I$����ä����Ѳ�����ʤ顢�ð����Ͼ��ͤˤ�롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ��1}(von Zeipel, Sperling)��$t \rightarrow 0$�ΤȤ�$I = O(1)$�ʤ顢�ð����Ͼ��ͤˤ�롥 

\vspace{0.3cm}
�Ϥξ����Ϥ������ˤǤ��롥$t=0$���ð���������С��ѥ��٤η�̤ˤ������ä�$t \rightarrow 0$�ΤȤ�$U \rightarrow \infty$�ΤϤ��Ǥ��롥(1.1)��ꡢ$t \rightarrow 0$�ΤȤ�$\ddot{I} \rightarrow \infty$�Ǥ��롥�椨��$I$��(���)���Ǥ��ꡢ$t \rightarrow 0$�ΤȤ�����ζ˸�($I \geq 0$)���뤤��̵����˸�����������$I=O(1)$�ˤ��̵������ӽ�����롥$I \rightarrow 0$�ʤ�$I$��������${\bf r}_i \rightarrow {\bf 0}$���������ͤȤʤ롥$I$�����ζ˸¤˸������ʤ顢����Ϥ�ä����Ѥ��ؿ��Ǥ��ä�������Ŭ�ѤǤ��롥

�����ξ����δ���Ūȯ�ۤϰʲ����̤�Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
1. ���ͤǤʤ��ð���������ʤ��Υ$r_{ij}$�����äơ�
$\liminf r_{ij} / (I)^{1/2} = 0$����$\limsup r_{ij} / (I)^{1/2}$ $> 0$
�Ǥ���(����1)��

2. ���ο�ư���̤ˤ�ꡢ�����Ĥ���γ�Ҥ��ָߤ��˶᤯�ס��Ĥ����ߵ�Υ��$I^{1/2}$������ܤǲ������ޤ����Ƥ���Ȥ��˻�����$\{ t_i \} , t_i \rightarrow 0$�򸫤Ĥ��뤳�Ȥ��Ǥ���(����2)��

3. (2��������줿)��$t_i$�ˤ����ơ������ʻ��������ġ����ʤ�����ֶ᤯�Ρ�γ�Ҥ��٤Ƥ����������ġ�������Ǥ��롥���������Ĥνſ��β�®�٤Ϥ��ΤȤ����˾�����(�º�$O(I^{-1})$���٤��礭���Ǥ���)��

4. (1)��ꡢ�������Ĥˤ����Ƥϡ����ʤ��Ȥ�γ��1�Ĥ��Ĥ��γ�Ҥ��餤�����Υ��ƹԤ��Ϥ��Ǥ��롥���Τ���ˤ������Ĥνſ��ΰ��֤ϵ޷���Ѥ�롥3���餹��ȡ����Τ��ȤϹ�®�����Ĥˤ�äƤΤ�������ǽ�Ǥ��롥

5. $I$����ä����Ѳ�����ʤ����Ĥ�®�٤�ɬ�פ��礭����ã���Ǥ��ʤ���

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf 3. ������ĽҤȾ���}
\end{center}

�Ϥξ����Ǽ����줿�褦�ˡ�$t=0$���ð����������$t=0$�ζ᤯�Ǵؿ�$I$��(���)���Ǥ��ꡢ$t \rightarrow 0$�ΤȤ�����ζ˸¤ޤ���̵����˸�������������λĤ�Ǥϡ������ð��������ͤǤʤ��Ȳ��ꤹ�롥���Ǥ˻�Ŧ�����褦�ˡ����Τ��Ȥ���$I$�������˸�����ʤ����Ȥ������롥�Ȥ����Τϡ������˸�������${\bf r}_i \rightarrow {\bf 0}$�Ȥʤꡢ���ͤˤʤäƤ��ޤ�����Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 1.} ź����$i,j$��¸�ߤ��Ƽ�������Ω�ġ�
$$ \begin{array}{lllll}
  \liminf r_{ij}/(I)^{1/2} = 0 & ����� & \limsup r_{ij}/(I)^{1/2} 
& {\rm as} & t \rightarrow 0+ .
   \end{array}
$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. ���꤬�ְ㤤�Ǥ���Ȳ��ꤷ�褦��$n$��ͭ�¤Ǥ��뤫�����$A>0$�����äơ����٤Ƥ�$r_{ij}$���Ф���$r_{ij}/I^{1/2}$�Ǥ��뤫���ޤ��Ϥ�����֤θ�$r_{ij}/I^{1/2}>A$�Ǥ��롥�����ź������$t \rightarrow 0+$�ΤȤ�$r_{ij}/I^{1/2} \rightarrow 0$�Ǥ���Ȥ��ޤ����ΤȤ��Τ�$i,j \in G_k$�Ǥ��롢�Ȥ������ˤ�äơ��ߤ��˽Ťʤ�ʤ���$G_k, k=1,2, \ldots, p < n$��ʬ�䤵��롥

$s$���ܤ���νſ�${\bf C}_s$��$M_s {\bf C}_s = \sum_{i \in G_s} m_i {\bf r}_i$��Ϳ�����롥������$M_s = \sum_{i \in G_s} m_i$�Ǥ��ꡢ���β�®�٤ϼ�����Ϳ�����롥
$$
  M_s \ddot{\bf C}_s = \sum m_i \ddot{\bf r}_i = 
\sum_{i,j \in G_s} 
\frac{ \displaystyle m_i m_j ({\bf r}_j - {\bf r}_i) }
     { \displaystyle r_{ij}^3 } + 
\sum_{ \begin{array}{c} 
          k=1 \\ 
        k \neq s 
       \end{array} }^p 
\sum_{ \begin{array}{c} 
          j \in G_k \\ 
          i \in G_s 
       \end{array} } 
\frac{\displaystyle m_i m_j ({\bf r}_j - {\bf r}_i) }
     {\displaystyle r_{ij}^3} .     \leqno(3.1)
$$
�ǽ������¤Ϸ������о��������ź�����˴ؤ���٥��ȥ��ȿ�о������饼������������������¤γƹ���礭����$r_{ij}^{-2} \leq A^{-2}I^{-1}$�Ǥ��롥������$M_s \ddot{\bf C}_s = O(I^{-1}) = O(1)$�Ǥ��롥

���κǸ�δط���$t_1$����$t_2$($0<t_1<t_2$)�ޤ���ʬ���Ƽ������롥
$$
  |\dot{\bf C}_s(t_2) - \dot{\bf C}_s(t_1) | = O(t_2-t_1) .
$$
$t_1,t_2 \rightarrow 0$�ΤȤ������դϥ����˸��������麸�դ�Ʊ�ͤǤ��롥�椨�˶˸¤�¸�ߤ˴ؤ��륳��������Ƚ����ˤ��$\dot{\bf C}_s$�϶˸¤˸����������Τ��Ȥ�ꡢ$\dot{\bf C}_s = O(1)$�Ǥ��롥���ε�����դ������Ѥ���С�$t \rightarrow 0$�ΤȤ�$s = 1,2, \ldots, p$���Ф���${\bf C}_s \rightarrow {\bf L}_s$�����롥$I=O(1)$�ʤ顢��$G_s$����������$i,j \in G_s$����$r_{ij} \rightarrow 0$���Ф롥�Ĥޤꡢ${\bf r}_i, {\bf r}_j \rightarrow {\bf L}_s$�Ǥ��롥ź�����Ϥ��٤Ƥɤ줫�����°���뤫�顢�ð��������ͤǤ��뤳�Ȥ�������̷��Ȥʤ롥

$I \neq O(1)$�ʤ�$I \rightarrow \infty$�Ǥ��롥����������ͤ��롥
$$
\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \sum_{s=1}^p 
\sum_{i \in G_s} m_i ({\bf r}_i - {\bf C}_s)^2 = 
I - \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} 
\sum_{s=1}^p M_s {\bf C}_s^2 .            \leqno(3.2)
$$
���դ�����ब����˸¤˶�Ť����Ȥ򤹤Ǥ˼�����������$G_s$�ι���ˡ��ꡢ���դ�����¤�$o(I)$�Ǥ��롥�椨��$I=o(I)$�Ȥ���̷��������Τǡ�����Ͼ������줿��\hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 2.} �����$A$�����äơ�Ǥ�դ�$\varepsilon>0$���Ф�����$\{ t_i \}, t_i \rightarrow 0$�ǡ����٤Ƥ�$k,j$���Ф���
$$
  r_{kj}(t_i) < \varepsilon (I(t_i))^{1/2}
$$
���뤤��$A(I(t_i))^{1/2} < r_{kj} (t_i)$�ʤ���������Ĥ�Τ�ߤĤ��뤳�Ȥ��Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $\eta(\tau,d)$��$t=\tau$�ˤ�����$r_{ij}/I^{1/2} \geq d$�ʤ���ߵ�Υ$r_{kj}$�ο���������롥(1.2)���$d^2<4/M$����$1 \leq \eta(\tau,d) \leq n(n-1)/2$���Ф뤳�Ȥ����դ��롥����$t$�����$d<2/(M)^{1/2}$����ꤷ��$D(t,d) = \{ \eta(\tau,d): \tau \in (0,t) \}$�Ȥ�����$E(t,d) = {\rm g.l.b.} D(t,d)$��������롥����$D(t,d)$�γ����Ǥ��������Ǥ��뤫��$E(t,d)$���������Ǥ��롥$t_1 \leq t$�ʤ�$D(t_1,d)$��$D(t,d)$�˴ޤޤ�뤫��$E(t_1,d) \geq E(t,d)$�Ǥ��뤳�Ȥ����դ��롥Ʊ�ͤˡ�$d_1 \leq d$�ʤ顢$\eta(\tau,d_1) \geq \eta(\tau,d)$�Ĥޤ�$E(t,d_1) \geq E(t,d)$�Ǥ��롥����2�Ĥ��ĽҤ��ӤĤ��Ƽ������롥
$$
  t_1 \leq t, \ d_1 \leq d, \ �ʤ� \ E(t_1,d_1) \geq E(t,d) .                \leqno(3.3)
$$
$F = {\rm l.u.b.} E(t,d)$�Ȥ��롥��������$0<t \leq 1, 0<d \leq 2/M^{1/2}$�Ǥ��롥$F$��ͭ���������ν���ξ�¤Ǥ��뤫��$F$�������Ǥ��롥�Ĥޤꡢ����$t=t_0$�����$d=d_0$�����ä�$E(t_0,d_0) = F$�Ǥ��롥(3.3)��ꡢ���٤Ƥ�$0<t \leq t_0$�����$0<d \leq d_0$���Ф���$E(t,d)=F$�Ǥ��롥���ʤ�������$(0,t_0]$�γƽִ֤ˤ����ƾ��ʤ��Ȥ�$F$�Ĥ���ߵ�Υ$r_{ij}$�����äơ�$0<d \leq d_0$���Ф���$r_{ij} > d(I)^{1/2}$�Ǥ��롥

$2A = \min ( d_0, \{ \limsup r_{ij}/I^{1/2} | \limsup r_{ij}/I^{1/2}>0 \}$��������롥����$\varepsilon < A$��Ϳ����줿�Ȥ��롥�����$t<t_0$���Ф��ơ�����$t_i<t$�򸫤Ĥ���$t=t_i$�ˤ����Ƥ��礦��$(1/2)(n)(n-1)-F$�Ĥ���ߵ�Υ$r_{ij}$��$\varepsilon I^{1/2}$�Ǿ夫���ޤ�����褦�ˤǤ��롥�����ĽҤ��ְ㤤�ʤ�$0<\tau \leq t$���Ф���$n(\tau,\varepsilon)>F$�ΤϤ��Ǥ��롥�Ȥ��������줫��$E(t,\varepsilon)>F$�������������$F$�������(3.3)��̷�⤹�롥�����餳���ĽҤ���������

����ĽҤ�ꡢ����$t_i$�ˤ�����$\varepsilon I^{1/2}$�Ǿ夫���ޤ����ʤ���ߵ�Υ��$F$�Ĥ����ʤ������Ǥ˼������Ȥ��ꡢ���٤Ƥ�$t<t_0$���Ф���$2AI^{1/2}$����礭����ߵ�Υ�����ʤ��Ȥ�$F$�Ĥ��뤫�顢��������ߵ�Υ�Ϥޤ�$A(I)^{1/2}$�ǲ������ޤ����Ƥ��ꡢ���꤬�������줿��\hfill $\Box$

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf 4. �����ξ���}
\end{center}

$\delta$��$\min (m_0A^2/8, A/2)$��꾮���������Ȥ��롥����2��ꡢ��$\{ t_i \}$�򸫤Ĥ��ơ�(i) $t_i \rightarrow 0$��(ii) $t=t_i$�ˤ����ơ����٤Ƥ�$k \neq j, k,j = 1, 2, \ldots, n$���Ф���$r_{kj} < \delta_1 (I)^{1/2}$�ޤ���$r_{kj} > AI^{1/2}$�ˤǤ��롥������$\delta_1 = (2 \delta/M)^{1/2}$�Ǥ��롥������$t_i^1 = \sup \{ t|t<t_i �����ź���� i,j �����ä� r_{ij}(t_i) < \delta_1 I^{1/2} (t_i) �Ǥ��뤬 r_{ij} (t) \geq AI^{1/2} (t) \}$��������롥

���Τ褦����$t_i^1$��¸�ߤ��ʤ���С����٤Ƥ���ߵ�Υ�ϻ��ֶ��$(0,t_i)$�δ֡�$\delta_1 I^{1/2}$��꾮��������$2AI^{12}$����礭���������$r_{ij}$��Ϣ³��������2�ξ����Ƿ�ޤä�$F$����������Ф롥$r_{ij}$��Ϣ³�Ǥ��뤫�顢����$t_i$��$2AI^{1/2}$����礭��Ǥ�դ���ߵ�Υ�ϡ����ʤ��Ȥ�$t_i^1$�ޤǤ�$2AI^{1/2}$����礭���ޤޤǤ��롥�����Ǥʤ��Ȥ���ȡ����$(t_i^1, t_i)$��Τ���$t$�ˤ�����$2AI^{1/2}$����礭����ߵ�Υ���⡹$F-1$�Ĥ����ʤ����Ȥˤʤ롥�Ȥ����������$F$�������̷�⤹�롥$t_i^1$���ͤ�¸�ߤ��ʤ����Ȥ��ꤷ�Ƥ��뤫�顢���$(0,t_i)$�δ֡�����������������������������1�����$A$�����($2A \leq \limsup r_{ij} / I^{1/2}$��������$\limsup r_{kj} / I^{1/2} > 0$)��̷�⤹�롥�椨�˼�ĥ�Ͼ������줿��

�������򼺤����Ȥʤ�$t_{i+1}<t_i^1$�Ȳ��ꤹ�롥$i>1$���Ф��ơ�����ɤϻ���$t_i^2$�򼡤Τ褦��������롥���ʤ����
$t_i^2 = \inf \left\{ t \ | \ t_i < t < t_{i-1}; ����ź����i,j��¸�ߤ��� \right. $
$$
  r_{ij} (t_i) < \delta_1 I^{1/2} (t_1) ,
$$
�Ǥ��뤬��$ \left. r_{ij}(t) \geq AI^{1/2}(t) \right\}$��$t_i^2$���ͤ�¸�ߤ��ʤ���С�����ɤ���$[t_i,t_{i-1}$��ˤϤ��礦��
$\frac{1}{2} n(n-1) - F$�Ĥ���ߵ�Υ��$AI^{1/2}$��꾮�������Ĥ��$2AI^{1/2}$����礭���Ϥ��Ǥ��롥�����$t_{i-1}^1$��������̷�⤹�뤫��$t_i^2$��¸�ߤ���������롥�ޤȤ��ȡ����ι���ˡ�ˤ�äƶ��$[t_i^1, t_i^2]$�����졢���ζ�����$r_{kj}$��$AI^{1/2}$�ˤ��夫���ޤ����뤫��$2AI^{1/2}$�ˤ�겼�����ޤ����롥

����1�ξ����ˤ������Ʊ�͡�ź��������$G_k$��ʬ�����롥
$$
  G_k = \{ i,j | r_{ij} < AI^{1/2} \ {\rm for} \ t 
\in [t_i^1,t_i^2] \} .
$$
���������$t_i$���������˰�¸����������2�Ĥ��ĸߤ����ǤǤ��ꡢ��ź�����Ϥɤ줫�����°����(�����Ĥ���������Ǥ�ҤȤĤ����ޤޤʤ����⤷��ʤ�)��$s$���ܤ���${\bf C}_s$�νſ���$M_s {\bf C}_s$��Ϳ����졢��������Ω�ġ�$$
  M_s \ddot{\bf C}_s = \sum_{k,i \in G_s} 
\frac{\displaystyle m_k m_i ({\bf r}_k - {\bf r}_i)}
     {\displaystyle r_{ki}^3} + 
\sum_{ \begin{array}{c}
          j=1 \\ 
         j \neq s 
       \end{array} }^p 
\sum_{ \begin{array}{c} 
          k \in G_j \\ 
          i \in G_s 
       \end{array} } 
\frac{\displaystyle m_k m_i ({\bf r}_k - {\bf r}_i)}
     {\displaystyle r_{ki}^3} .     
$$
���դκǽ������¤�ź�����˴ؤ��뷸�����о����ȥ٥��ȥ��ȿ�о����ˤ�ꥼ���Ǥ��롥������¤γƹ��$m_k m_i/r_{ki}^2$���٤��礭���Ǥ��롥$k$��$i$��Ʊ��$G$���°���ʤ�����$r_{ki} \geq 2AI^{1/2}$�Ǥ��롥��������$[t_i^1, t_i^2]$��Ǽ������롥
$$
|\ddot{\bf C}_s| \leq M/4A^2I = B/I .    \leqno(4.1)
$$

����$|{\bf C}_s|$�Ϥ��λ��ֶ�֤δ֤��礭���ͤ��Ѥ��뤳�Ȥ򼨤������ط������������ꡢ�������˼����Ф롥
$$ 
\displaystyle \frac{1}{2} \sum_{s=1}^p \sum_{i \in G_s} 
m_i ({\bf r}_i - {\bf C}_s)^2 = \displaystyle I - \frac{1}{2} 
\sum M_s {\bf C}_s^2 = I - J .      \leqno(4.2) 
$$

${\bf C}_s$����$G_s$�νſ��Ǥ��뤳�Ȥ��顢��$i \in G_s$���Ф���$j \in G_s$�����ä�$|{\bf r}_i-{\bf C}_s| \leq |{\bf r}_i-{\bf r}_j|$�Ǥ��롥�椨��$\delta$�����$\delta_1$��������顢����$t_i$��(4.2)�κ��դ�$\delta I$��꾮���������ʤ��������$t_i$��
$$
  J \geq (1-\delta) I .   \leqno(4.3)
$$
�Ǥ��롥

����$t_i^j, j=1,2$�ˤ�����γ�Ҵ֤Τ����Υ��$AI^{1/2}$�Ǥ��롥
����γ�Ҥ�${\bf r}_1$�����${\bf r}_2$�Ǥ���Ȥ��롥
�ط�$a^2 + b^2 \geq \frac{1}{2} (a-b)^2$��Ȥ��С�(4.2)�κ��դϲ�����
$$
\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} m_0 
( ({\bf r}_1 - {\bf C}_s)^2 + ({\bf C}_s - {\bf r}_2)^2 ) \geq 
\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4} m_0 
({\bf r}_1 - {\bf r}_2)^2 \geq CI
$$
�ˤ�ä��ޤ����롥������
$$
  C = m_0 A^2 / 4 .   \leqno(4.4)
$$
($2 \delta \leq C < 1$�����դ��褦���Ǹ����������$J>0$����Ф�.) ���ʤ��������$t_i^j, j=1,2$��$J \leq (1-C)I$�����롥�椨��
$$
  J(t_i) - J(t_i^j) \geq (1-\delta) I(t_i) - (1-C) I(t_i^j) .  
\leqno(4.5)
$$

$t \rightarrow 0$�ΤȤ���$I \rightarrow L>0$�ξ���$I \rightarrow \infty$�ξ�礬���롥5��ε��Ѥ�Ȥ��Фɤ���ξ�������򴰷뤵���뤳�Ȥ��Ǥ��뤬������ƻ���ư���Ť���(motivate)����ͭ���ʾ���ǽ�˲�褹�롥����$\varepsilon$��
$$
  (C-\delta)L/2 (2-(\delta+C)) ,
$$
��꾮�����Ȥ��롥��ʬ������$t_{i-1}$������ǡ�$0<t \leq t_{i-1}$�ʤ�$|I-L|<\varepsilon$�Ȥʤ�褦�ˤ��롥������(4.5)��
$$
  J(t_i) - J(t_i^j) \geq (1-\delta) (L-\varepsilon) - 
(1-C) (L+\varepsilon) > (C-\delta)L/2  \leqno(4.6)
$$
�Ȥʤ롥������$j=1,2$�Ǥ��롥

(4.2)��$J$�������ꡢ���줫�餢��$s$���Ф���
$$
  {\bf C}_s^2(t_i) - {\bf C}_s^2(t_i^2) \geq (C-\delta)L/2 p M_s > 
(C-\delta)L/2 n M = D(8L/m_0)^{1/2}
$$
�Ǥ��롥������$D>0$�Ȳ��ꤷ����$m_0 |{\bf C}_s(t_i)|^2<2L$�Ǥ��뤫�鼡�����롥
$$
  |{\bf C}_s(t_i) - {\bf C}_s(t_i^2)| > D .   \leqno(4.7) 
$$

����$I \rightarrow L>0$�ʤ�������(4.7)������Ω���ʤ����Ȥ򼨤�����$I>L-\varepsilon$�ʤ뤳�Ȥ�Ȥ���(4.1)����ʬ����С�$\xi, \xi_1 \in [t_i^1,t_i^2]$���Ф��Ƽ������롥
$$
  |\dot{\bf C}_s(\xi) - \dot{\bf C}_s(\xi_1)| \leq
B(t_i^2-t)/(L-\varepsilon) \leq Bt_{i-1}/(L-\varepsilon) .   \leqno(4.8)$$

(4.6)��ꡢ$J$�϶��$[t_i^1,t_i^2]$�Ƕ���ˤʤ롥��������$\ddot{J} \leq 0$�Ǥ��롥$J$�������(4.1)�����$M_s{\bf C}_s^2 \leq I$�ʤ뤳��(�����(4.2)����Ф�)��ꡢ���ζ�������
$$
  \sum M_k \dot{\bf C}_k^2 \leq \sum M_k {\bf C}_k \cdot \ddot{\bf C}_k 
\leq \sum (M_kI)^{1/2}B/I \leq BnM^{1/2}/I^{1/2} \equiv B_1/I^{1/2}
$$
�Ǥ��롥�椨��$J$�ζ�������
$$
  |\dot{\bf C}_s| \leq (B_1/M_sI^{1/2})^{1/2} \leq 
(BnM^{1/2}/m_0 (L-\varepsilon)^{1/2})^{1/2} .
$$

����ɾ����(4.8)�ȷ�ӤĤ��ơ����$[t_i^1,t_i^2]$�Τ��٤Ƥ�$t$���Ф��Ƽ������롥
$$
  |\dot{\bf C}_s| \leq (B nM^{1/2}/m_0 (L-\varepsilon)^{1/2})^{1/2} + 
Bt_{i-1}/(L-\varepsilon) .   \leqno(4.9)
$$

ʿ���ͤ����������(4.7)��ꡢ����$\xi \in [t_i,t_i^2]$���Ф��Ƽ������롥
$$ \begin{array}{rl}
 0 < D < |{\bf C}_s(t_i) - {\bf C}_s(t_i^2)| 
& = |t_i-t_i^2||\dot{\bf C}_s(\xi)| \\
& \leq t_{i-1} \{ (BnM^{1/2} / m_0(L-\varepsilon)^{1/2})^{1/2} + 
Bt_{i-1} / (L - \varepsilon) \} . 
   \end{array}
$$
�����������ϳ�$t_i$�ˤ���������Ω�ĤϤ��Ǥ��롥(���$D,B$�����$L$��$A,n$�����$M$�ˤ�ä��������뤳�Ȥ����դ��롥�椨�ˤ�����$t_i$�����$G_s$�˰ͤ�ʤ�.) ̷������뤿��ˤϡ�ñ��$t_{i-1}$��ʬ����������Ǳ��դκǸ�ιब$D$��꾮�����ʤ�褦�ˤ���Ф褤��$t_i \rightarrow 0$�Ǥ��뤫�餳��ϲ�ǽ�Ǥ��롥

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf 5. ����1�ξ����δ���}
\end{center}

�����ξ����λĤ�ξ����˴ؤ��Ƥϡ�$t \rightarrow 0$�ΤȤ�$I \rightarrow \infty$�Ȳ���Ǥ���Τǡ��������ꤹ�롥������������������ˡ�������ɬ�פǤ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 3.} $t \rightarrow 0$�ΤȤ�$I$����ä����Ѥ��ʤ顢$t \rightarrow 0$�ΤȤ�$t \dot{I} / I \rightarrow 0$�Ǥ��롥$\varepsilon>0, 0<\beta<1$�ʤ顢������ַФä��Τ���$(\beta t, t)$�η���Ǥ�դζ�֤ˤ�����
$$
  \ddot{I}(\xi) \leq \varepsilon I(t) / (t)^2 .
$$
�ʤ�$\xi$�����롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. �ѥ���(1��)��(1.1)�����$I \rightarrow \infty$�Ǥ��뤳�Ȥ�ꡢ$t \rightarrow \infty$�ΤȤ�ñĴ��$\ddot{I} \rightarrow \infty$�����$\dot{I} \rightarrow -\infty$�Ǥ��롥$I$�Ϥ�ä����Ѥ�뤫�顢Ǥ�դ������$\beta<1$���Ф���$I(\beta t)/I(t) \rightarrow 1$�Ǥ��롥$I$�Υƥ��顼���Ÿ����ꡢ$I(\beta t)/I(t) = 1 + (\beta - 1) t \dot{I}(\xi)/I(t)$�Ǥ��롥�椨��$t \rightarrow 0$�ΤȤ�$(\beta-1) t \dot{I}(\xi) / I(t) \rightarrow 0$�Ǥ��롥$\beta<1$�Ǥ��ꡢ$|\dot{I}|$��ñĴ�����Ǥ��뤫�顢$|\dot{I}(\xi)| > |\dot{I}(t)|$�Ǥ��ꡢ�椨��$t \dot{I}(t) / I(t) \rightarrow 0$�Ǥ��롥

����μ�ĥ��������뤿��ˡ�$I(t)$��դ����ӥƥ��顼���Ÿ�����롥
$$
  I(\beta t) / I(t) - 1 = ((\beta - 1) t \dot{I}(t) / I(t)) + 
(\beta - 1)^2 t^2 \ddot{I}(\xi) / I(t) .
$$
����ˤ�ꡢ���դϥ����˶�Ť�����Ǽ����줿�Ȥ��ꡢ���դ�����⥼���˶�Ť����椨��$t$����ʬ��������С����դ�������$(\beta-1)^2 \varepsilon$��꾮�����Ǥ��롥���줬�������٤����ȤǤ��ä���

\vspace{0.3cm}
�����ξ������������$I$��̵����˸�������˸����äƱ��Ǥ��뤫�顢$I$��$t$����ʬ���������ñĴ���äǤ��롥�椨��(4.6)��$J(t_i) - J(t_i^2) \geq (C - \delta) I(t_i)$��ɽ�碌�롥(4.7)��Ƴ�����Ȥ���Ʊ�ͤˡ���$t_i$���Ф��Ƥ�����$G_s$��¸�ߤ���
$$
 |{\bf C}_s(t_i) - {\bf C}_s(t_i^2)| \geq ((C-\delta)(m_0 I(t_i))^{1/2} / 8nM ,   \leqno(5.1)
$$
�ʤ뤳�Ȥ������롥

(4.5)��Ƴ�����Ȥ��ε�����Ȥ��С�$\xi, \xi_1 \in [t_i^1, t_i^2]$���Ф��Ƽ������롥
$$
  |\dot{\bf C}_s(\xi) - \dot{\bf C}_s(\xi_1)| \leq
B t_{i-1}/I(t_i^2) .                  \leqno(5.2)
$$

���$[t_i^1,t_i^2]$��Ǥ�դ�����$\ddot{J}$�������ʤ顢(4.9)��Ƴ�����Ȥ��ε����򷫤��֤��Ƽ���������Ϥ��Ǥ��롥
$$
  \dot{\bf C}_s = O(t_i/I(t_i^2)) + O((I/t_i^2))^{-1/4} .
$$

$I \rightarrow \infty$�Ǥ��뤫�顢$i$��ʬ�礭������ǡ�$\dot{\bf C}_s$����$[t_i^1,t_i^2]$���Ǥ�դ˾������Ǥ��롥ʿ���ͤ�������ꡢ�����(5.1)��̷�⤹�롥�椨��$\ddot{J}$�����$[t_i^1,t_i^2]$������Ǥ���Ȳ���Ǥ��롥

��ߵ�Υ$r_{ki}$��Ϣ³�����顢$t_i$��ޤ�$[t_i^1,t_i^2]$�˴ޤޤ���Ļ��ֶ�֤����äơ����ζ�֤γ����ˤ�����(4.2)�κ��դ�$\delta I$�ʲ��Ȥʤ롥���դ����ζ�֤������Ƕ˾��ˤʤ�С���������$t_i^3$�Ȥ��롥�˾����ʤ���С����ζ����ˤ����������äơ������Ǥ�(4.2)�κ��դ���ʬ����Ǥ���($I$��$t \rightarrow 0$�ΤȤ����ä���)����������$t_i^3$�Ȥ��롥(�������ϰ�դ˷�ޤ�ʤ����Ȥ����դ��褦.) (4.2)�κ��դ�$t_i^3$�ˤ�����$\delta I$�ʲ��Ǥ��뤫�顢(4.3)��(4.4)��(4.5)�����(5.1)��$t_i$��$t_i^3$���֤�����������Ω�ġ���$t_i^3$�Ϥ⤦�ҤȤĤ���������Ĥ��Ȥ�(4.2)����Ф롥���ʤ����
$$
  |\dot{J} (t_i^3)| \leq |\dot{I}(t_i^3)| .    \leqno(5.3)
$$

����Ǥ�դ������$\beta<1$����ӽ�ʬ�����ʤ��٤Ƥ�$t_i$���Ф��ơ�$t_i^3 < \beta t_i^2$�򼨤��������줬�ְ㤤�Ǥ���Ȳ��ꤹ�롥����ȳ�$\beta, 0<\beta<1$���Ф��ơ�Ǥ�դ˾�����$t_i$�򸫤Ĥ���$\beta t_i^2 \leq t_i^3 < t_i^2$�ȤǤ��롥(4.5)��ľ���δط��������$J$�Υƥ��顼���Ÿ�����
$$
  (1-C) I(t_i^2) \geq J(t_i^2) = J(t_i^3) + (t_i^2 - t_i^3) \dot{J}(\xi)
$$
�����롥������$\xi \in (t_i^3, t_i^2)$�Ǥ��롥$\ddot{J}$�����Ǥ��뤫�顢$\dot{J}(\xi) > \dot{J}(t_i^3)$�Ǥ��롥�����(4.3)��(5.3)��$\dot{I}$����Ǥ��뤳�ȡ�����Ӳ���$\beta t_i^2 \leq t_i^3$��ʻ���Ƽ������롥
$$ \begin{array}{rl}
  (1-C) I(t_i^2) 
& \geq (1-\delta)I(t_i^3) + (t_i^2 - t_i^3) \dot{I}(t_i^3) \\
& \geq (1-\delta)I(t_i^3) + (\beta^{-1} - 1)t_i^3 \dot{I}(t_i^3) . 
   \end{array}
$$
�Ĥޤ�
$$
  (1-C) \frac{\displaystyle I(t_i^2)}{\displaystyle I(t_i^3)} 
\geq (1-\delta) + (\beta^{-1}-1) t_i^3 
\frac{\displaystyle \dot{I}(t_i^3)}{\displaystyle I(t_i^3)} . 
\leqno(5.4)
$$

$t \rightarrow 0$�ΤȤ�ñĴ��$I \rightarrow \infty$�Ǥ��뤫��
$$
  1 \geq I(t_i^2)/I(t_i^3) \geq I(t_i^2)/I(\beta t_i^2) , 
$$
�Ǥ��뤳�Ȥ��狼�롥$I$�Ϥ�ä����Ѥ�뤫�鱦�դ�1�˶�Ť����椨��(5.4)�α��դϡ����������꾮���ʤ��٤Ƥ�$t_i$���Ф���$(1-C)$��Ǥ�դ˶�Ť��뤳�Ȥ��Ǥ��롥����3��ꡢ(5.4)�α��դ������ϥ����˶�Ť����Ȥ�����$0< 2 \delta \leq C < 1$�Ǥ��뤫��̷�⤬Ƴ����롥�椨��$0 < \beta < 1$�ʤ顢���������꾮���ʤ��٤Ƥ�$t_i$���Ф���$t_i^3 < \beta t_i^2$�Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
����3������ĽҤϼ����̣���롥���ʤ��������
$$
  \varepsilon < m_0^{1/2} (C-\delta)/16nM
$$
����ӽ�ʬ�����ʤ��٤Ƥ�$t_i$���Ф��ơ����$[t_i,t_i^2]$��ˤ���$\xi$�����ä�$\ddot{I}(\xi) \leq M \varepsilon^2 I(t_i^2) / 4 (t_i^2)^2$�Ǥ��롥�ޤޤ��������ˤ�ꡢ
$$
  0 \leq \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4}
\sum_{k=1}^p M_k^{-1} \sum_{i,j \in G_k} m_i m_j 
(\dot{\bf r}_i - \dot{\bf r}_j)^2 = T - 
\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \sum M_k \dot{\bf C}_k^2 .
$$
(1.1)�����$\ddot{I} \rightarrow \infty$��ꡢ(���������꾮����$t_i$���Ф���)����$t=\xi$�ˤ�����
$$
\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \sum M_k \dot{\bf C}_s^2 
\leq T(\xi) = \ddot{I}(\xi) - h < 2 \ddot{I}(\xi) \leq 
M \varepsilon^2 I(t_i^2) / 2(t_i^2)^2 ,
$$
�Ǥ��롥$(t_i^2)^2$��$t_i^2$�μ���Ǥ��뤳�Ȥ����դ��褦���椨��
$|\dot{\bf C}_s(\xi)| \leq \varepsilon I(t_i^2)^{1/2} / t_i^2$�Ǥ��롥
(5.2)�ˤ�ꡢ$t \in [t_i^1, t_i^2]$���Ф���
$|\dot{\bf C}_s(t)| \leq (\varepsilon I(t_i^2)^{1/2} / t_i^2) + B t_{i-1} / I(t_i^2)$�Ǥ��롥

(5.1)��ʿ���ͤ����������$|\dot{\bf C}_s|$�˴ؤ�����ɾ����ꡢ
$$ \begin{array}{rl}
  (C-\delta) (m_0 I(t_i))^{1/2}/8nM 
& \leq |{\bf C}_s(t_i) - {\bf C}_s(t_i^2)| 
   = (t_i^2-t_i) |\dot{\bf C}_s(\xi)| \\
& \leq t_i((\varepsilon I(t_i^2)^{1/2} / t_i^2) + Bt_{i-1}/I(t_i^2)) .
   \end{array}
$$
�Ǥ��뤳�Ȥ��狼�롥$\varepsilon < m_0^{1/2} (C-\delta) / 16nM$�����
$I(t_i) > I(t_i^2)$�Ǥ��뤫�顢$t_{i-1}$��ʬ����������Ǿ����������̷�⤹���̤�Ƴ���롥$t_i \rightarrow 0$�Ǥ��뤫�顢����ϤǤ��롥��ä��������������줿��

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf 6. ľ��$n$������}
\end{center}

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 2.} ľ��$n$������Ǥϡ����٤Ƥ��ð����Ͼ��ͤˤ�롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����.} $n$γ�Ҥ�$x$����ˤ���Ȳ���Ǥ��롥�ޤ�����餬���٤�����¤�Ǥ��롢�Ĥޤꡢ������Ϥ��${\bf r}_1$���ǽ��γ�ҡ�${\bf r}_n$���Ǹ��γ�ҤȤʤäƤ��롢�Ȳ���Ǥ��롥$\sum m_i {\bf r}_i = {\bf 0}$�Ǥ��뤫��${\bf r}_1 = x_1 \leq 0$�����${\bf r}_n = x_n \geq 0$�Ǥ��롥

�������ְ㤤�Ǥ���Ȳ��ꤹ�롥����1�ޤ��Ϥ��ηϤ�ꡢ$t=0$�ˤ�����������ð�����¸�ߤ�$t \rightarrow 0$�ΤȤ�$I \rightarrow \infty$���̣���롥(1.2)��ꡢ�����γ�Ҵ֤κ����Υ��̵����ˤʤ뤳�Ȥ��̣���롥γ�Ҥ�$x$�����Ĥ������졢���ν�����Ѥ��뤳�Ȥ��Ǥ��ʤ�����$|x_n-x_1|$�������Υ�Ǥ���$|x_n-x_1| \rightarrow \infty$�Ǥ��롥$\sum m_i x_i = 0$��Ȥ��ȡ�$t \rightarrow 0$�ΤȤ�$x_n$����ͭ���Ǥ���Ȥ�����(�¤�$t \rightarrow 0$�ΤȤ�$x_n \rightarrow \infty$�Ǥ���)������򸫤뤿��ˡ�$x_n$���夫���ޤ����Ƥ���Ȳ��ꤹ�롥$|x_n-x_1| \rightarrow \infty$�Ǥ��뤫��$m_1x_1 \rightarrow -\infty$�Ǥ��롥�ſ��ϸ��ꤵ��Ƥ��뤫�顢���줫��$\sum_2^n m_i x_i= -m_1x_1 \rightarrow \infty$���Ф롥�Ĥޤꤢ��γ��$x_i$�����ä�$\limsup x_i = \infty$�Ǥ��롥γ�Ҥν�����餷��$x_n$�ϻĤ��γ�Ҥ�걦�ˤ��롥������$\limsup x_n = \infty$�Ǥ��롥����̷����ĽҤ���������������롥

${\bf r}_n = x_n$�α�ư��������
$$
 m_n \ddot{x}_n = \sum_{j \neq n} 
\frac{\displaystyle m_n m_j (x_i - x_n)}
     {\displaystyle |x_j - x_n|^3} .
$$
γ�Ҥν����ꡢ��$x_i, i=1, 2, \ldots, n-1$��$x_n$�κ��ˤ��롥�椨�˱�ư����������¤ꡢ���٤Ƥλ��֤ˤ錄�ä�$\ddot{x}_n<0$�Ǥ��롥�Ĥޤꡢ�����ˤ�����$x_n$�ϲ��˱��Ǥ��롥�����$t \rightarrow 0$�ΤȤ�$x_n$��ͭ���Ǥ��뤳�Ȥ��̣���롥�Ȥ����������$x_n$����ͭ���Ǥ���Ȥ����ĽҤ�̷�⤹�뤫�������Ͼ������줿��

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf 7. ������}
\end{center}

$t \rightarrow 0$�ΤȤ�$I$����ä����Ѥ��Ȥ�����������3�����Τ˻Ȥä�������������1�ξ����ˤ����Ƥ����Ľ�������ɬ�פʤ��ä���̷�������Τ�2�Ĥλ��¤�ɬ�פǤ��롥�ҤȤĤϡ�$0< \beta<1$�����$t$����ʬ�������Ȥ��ơ�$(\beta t, t)$�η��ζ�֤ˤ����ơ�$t|\dot{I}(t)|/I(t)$���夫�餢������������ޤ����뤳�ȤǤ��롥�⤦�ҤȤĤϡ������ζ�֤Τ������ˤ�����$t^2 \ddot{I}(t) / I(t)$�������Ϳ����줿�����꾮�������ȤǤ��롥�����������ͤ�$A$�˰�¸���롥

���η����ĽҤϡ�$I$����§��(regularly)�Ѳ������������[1, p.269]���Ĥޤꡢ$L(t)$���ä����Ѥ��ؿ��Ȥ���$I(t) = t^{\alpha} L(t)$�ΤȤ��Ǥ��롥$A$���ͤ�$\alpha$�β��¤����Ϥ��Ǥ��롥

�����$A$��������ȤȤ���Ѥ��Τ������뤤�ϼ��̤�$n$�Τ褦�ʷϤ�Ϳ����줿����ˤ�äƷ�ޤ�Τ��Ǥ��롥�����$A$�����(����2)��������餫�Ǥʤ���������4������Ǥ�[7]��������ð�����¸�ߤ���ʤ顢$\varepsilon>0$���Ф��ƥ����˶�Ť������󤬤��äơ������λ���ˤ����ƻ��Τϸߤ���$\varepsilon$����ˤ��äƻĤ��γ�ҤϤ���餫���Υ$R$����Υ��Ƥ���((1.2)����)�������2�Ĥ��۰̤Τɤ��餫���Ѥ��Ϥ��Ǥ��롥�����۰̤Ǥϡ�2�Ĥ�Ϣ�������ä���ʬ�ϤȤ��$\varepsilon$����ˤ��ꡢϢ��Ʊ�Τ�$R$Υ��Ƥ��롥������۰̤Ǥϡ���ǽҤ٤��褦��$3-1$�ξ����Ǥ��뤬��3�Ĥ�γ�Ҥ��̤��ȹ礻�Ǥ��롥�椨��$A$�ϼ��̤ˤ�äƷ��뤳�Ȥ��Ǥ��롥(�Ƥäݤ�ɾ����(1.2)����������.)

�椨�ˡ�\underline{4�������������ð�����¸�ߤ���ʤ�}��\underline{������}$\gamma = \gamma (m_1, m_2, m_3, m_4)$\underline{������} \underline{��} $I$\underline{��}$\gamma \leq \alpha \leq 0$\underline{�ʤ�}$\alpha$\underline{��ؿ��Ȥ�����§�Ѳ��ؿ��Ǥ�ͭ�����ʤ�}��

Ʊ�ͤ��ĽҤ�Ǥ�դ�$n$�˴ؤ�������Ω�ĤǤ������������ޤΤȤ�������򸫤Ĥ������ϤϤ��Ƥ��ʤ���

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf ����ʸ��}
\end{center}

\re
1. Feller, W., An Introduction to Probability Theory and its Applications. Vol.2. New York: J. Wiley, 1966.

\re
2. Painlev\'{e}, P., Lecons sur la th\'{e}orie analytique des \'{e}quations diff\'{e}rentielles. Paris: A. Hermann 1897.

\re
3. Pollard, H., \& D. G. Saari, Singularities of the $n$-body problem, I. {\it Arch. Rational Mech. and Math.} {\bf 30}, 263-269 (1968). 

\re
4. Pollard, H., \& D. G. Saari, Singularities of the $n$-body problem, II. in: {\it Inequalities-II}, pp. 255-259. New York: Academic Press, 1970. 

\re
5. Saari, D. G., Improbability of collisions in Newtonian gravitational systems. {\it Trans. Amer. Math. Soc.} {\bf 162}, 267-271 (1971). 

\re
6. Saari, D. G., Improbability of collisions in Newtonian gravitational systems, II. To appear.

\re
7. Saari, D. G., Singularities of Newtonian gravitational systems. To appear in Proceedings of Symposium on Global Analysis, Dynamical Systems and Celestial Mechanics, Brazil, August, 1971. 

\re
8. Siegel, C. L., \& J. K. Moser, Lectures on Celestial Mechanics. Berlin-G$\ddot{\rm o}$ttingen-Heidelberg: Springer, 1971.

\re
9. Sperling, H., On the real singularities of the $n$-body problem. {\it J. Reine Angew. Math.} {\bf 245}, 15-40 (1970). 

\re
10. Zeipel, H. von, Sur les singularit\'{e}s du probl$\grave{\rm e}$me des $n$ corps. {\it Ark. Mat. Astr. Fys.} {\bf 4}, No.32 (1908).
%
\end{document}

