\begin{flushright}
ë����δ ��
\end{flushright}

\noindent
{\it Celestial mechanics} {\bf 41} (1988), 179-251

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\Large
{\bf ʿ�������ջ������������Ū���� \\
Qualitative study of the planar \\ 
isosceles three-body problem}
}

\vspace{0.3cm}
Carles Sim\'{o} and Regina Mart\'{i}nez
\end{center}

\vspace{0.5cm}
{\bf ����}��
ʿ�̻�������Ǽ����ΤĤ��뻰�ѷ������ä������ջ��ѷ��Ǥ���Ȥ���������
���̤ξ���ͤ��롥¿��������([1,2,12,8,9,13,10])����������ǻ��ξ��ͤ�
������ƻ��²�˴ؤ����μ��˹׸������������Ǥ���˸��ꤷ�����ͥ륮���̾��
��ή���Ĵ�٤롥�ޤ����ξ��ͤ�̵�±�򶭳�¿���ΤȤ��ƴޤ२�ͥ륮��¿��
�Τΰ���ɽ������롥���ξ��ͤ�̵�±���ֵ�ƻ��¸�ߤ��顢�����Ĥ��ۥ�
����˥å�����ӥإƥ�����˥å���ƻ��¸�ߤ���ޤ롥�����ε�ƻ��ۥ⥯
��˥å���ƻ���Ѥ��ơ����ξ��ͤζ᤯��̵�±�ζ᤯���̲᤹�뵰ƻ����Ȥ�
�����ħ�Ť��롥��ΤҤȤĤϵ�ƻ��ˬ����ΰ�򵭽Ҥ����⤦�ҤȤĤϡ�Ŭ��
������������̤�ƻ����³���Ʋ��ڤ�֤ε�ƻ�Τդ�ޤ��˴ط����롥����Ū
���ʤ���Ĥ��ε����ϳؤ����Ū�ʷ���Ϳ����졢���θ������������Ŭ�Ѥ���
�롥�������Ǥ���¤��ɵ᤹�롥�����Ĥ�������¿���Τ���ƻ��(v=0)�Ȥθ�
��꤬���ޤ����˱��򴬤��Ƥ���Ȥ������¤ˤ��Τ��Ȥ϶�����¸���롥����
���������ϡ������Ĥ��ɽ�Ū�ʾ��˲���Ū�˾�������롥���A�ο��ͷ׻���
�������������Ū������Ω�Ĥ��Ȥ����餫�ˤ��롥

\vspace{0.3cm}
\begin{center}
{\bf 1. ���ξ���¿����} 
\end{center}

ʿ�����3�Ĥμ���$m_1, m_2$�����$m_3$�������ջ��ѷ���ĺ���ˤ���ȹͤ��롥
$x_1$��$m_1$��$m_2$�ε�Υ��$x_2$��$m_1,m_2$�νſ���$m_3$��(����դ�)��Υ
�Ȥ���(��1.1����)��$m_1,m_2,m_3$�νſ������˸��ꤷ��$m_1=m_2$�Ȥ���3��
���������ջ��ѷ��η������ݤĤ褦��Ŭ����®�٤�Ȥ롥������$\varepsilon =
m_3/m_1$��ѥ�᡼���ˤȤꡢŬ���ʼ����Ѵ���Ԥʤä�$m_1=1$�ˤ��롥��ư
��������
$$ \begin{array}{l}
\ddot{x}_1 = \displaystyle - \frac{2}{x_1^2} - 
\frac{8 \varepsilon x_1}{(x_1^2 + 4x_2^2)^{3/2}} , \\
\ddot{x}_2 = \displaystyle 
- \frac{8(2+\varepsilon) x_2}{(x_1^2 + 4x_2^2)^{3/2}} .
   \end{array}          \eqno(1.1)
$$
���ͥ륮����ʬ�ϼ��δؿ���Ϳ�����롥
$$
  H = \displaystyle \frac{\dot{x}_1^2}{4} + 
\frac{\varepsilon}{2+\varepsilon} \dot{x}_2^2 + V(x_1, x_2) .  
         \eqno(1.2)
$$
������
$$
  V(x_1, x_2) = \displaystyle - \frac{1}{x_1} -  
\frac{4 \varepsilon}{(x_1^2 + 4x_2^2)^{1/2}} ,
$$
�ϥݥƥ󥷥��Ǥ��롥

\newpage
\hspace*{5cm} ��1.1

\vspace{7cm}
���ͥ륮������$h$����ꤹ��ȡ���ư��3����¿����${\cal V}$��ǵ����롥��
�ͥ륮�������ޤ��ϥ����ʤ顢���٤Ƥν�������Ф���3�Ĥμ��̤�̵�±��
ƨ���뤳�Ȥ��Τ��Ƥ���([4]����)�������Ǥϥ��ͥ륮����ξ���ͤ��롥
�ѿ��Ȼ��֤�Ŭ���˼����Ѵ������$h=-1$�̤����¤Ǥ��롥�������äƤ���ʸ�
��${\cal V}$�ϥ��ͥ륮��$=-1$��¿���ΤǤ���Ȥ��롥

����®�ٶ���(��1.2����)��
$$
  - V(x_1, x_2) - 1 = 0                 \eqno(1.3)
$$
��Ϳ����졢����ϱ�ư��ǽ�ΰ�ζ����ˤʤäƤ��롥�����ΰ���ɸʿ�̤˼�
�Ƥ�����Τ�Hill�ΰ�ȸƤФ�$-V(x_1,x_2)-1 \geq 0$��Ϳ�����롥

��(1.1)�ˤ��ð�����2�Ĥ��롥$x_1=0$�����ξ��ͤ��б�����$x_1=x_2=0$�ϻ���
���ͤǤ��롥

���ξ��ͤζ᤯���̲᤹�뵰ƻ�Τդ�ޤ���Ĵ�٤뤿���McGehee[6]�ˤ���Ĥ�
�ޤ�����ˡ��Ȥ�������������ξ�硢�Ĥ�ޤ��ѿ��Ѵ���Devaney[2]���Ԥä���
������λĤ�Ǥ�����������λ��ξ��ͤ˴ؤ�����Τη�̤�ޤȤ�롥

��ˡ��Ƴ�����褦��${\bf x}^T = (x_1,x_2), {\bf p} = A\dot{\bf x}, A =
{\rm diag}(1/2, 2\varepsilon/(2+\varepsilon))$�Ȥ�����

�������ѿ�$r,{\bf s}, v, {\bf u}, \theta, u, w$�򼡤Τ褦��������롥
$$ \begin{array}{l}
  r = ({\bf x}^T A {\bf x})^{1/2} , \\
 {\bf s} = r^{-1} {\bf x} = (A^{-1})^{1/2} (\cos \theta, \sin \theta), 
\ \theta \in [-\pi/2, \pi/2] , \\
 v = r^{1/2} ({\bf s}, {\bf p}) , \\
 {\bf u} = r^{1/2}(A^{-1} {\bf p} - ({\bf s}, {\bf p}){\bf s}) 
= u(A^{-1})^{1/2} (- \sin \theta, \cos \theta) , \\
 w = u \cos \theta (W(\theta))^{-1/2} . 
   \end{array}  \eqno(1.4)
$$

������
$$ \begin{array}{ll}
  V(\theta) = \displaystyle -\frac{1}{\sqrt{2} \cos \theta} - 
\frac{4 \varepsilon^{3/2}}{(2 \varepsilon + 4 \sin^2 \theta)^{1/2}} , & 
W(\theta) = - \cos \theta V(\theta) .
   \end{array}
$$

\newpage
\hspace*{5cm} ��1.2

\vspace{9.0cm}
���֤�$dt/d \tau = r^{3/2}$�����
$d \tau/d \overline{\tau} = \cos \theta/ (W(\theta))^{1/2}$��
�����Ѵ�����ȡ�(1.1)��꼡�������롥
$$ \begin{array}{rl}
 r' = & \displaystyle rv \frac{\cos \theta}{\sqrt{W(\theta)}} , \\
 v' = & \displaystyle \sqrt{W(\theta)} 
   \left( 1 - \frac{\cos \theta (v^2 - 4rh)}{2W(\theta)}
   \right) , \\
  \theta' = & w , \\
 w'  = & \displaystyle \sin \theta 
   \left( -1 + \frac{\cos \theta (v^2 - 2rh)}{W(\theta)} 
   \right) - vw \frac{\cos \theta}{2 \sqrt{W(\theta)}}  + \\
& \displaystyle 
(\cos \theta - \frac{w^2}{2}) \frac{W'(\theta)}{W(\theta)} .
   \end{array}  \eqno(1.5)
$$

(1.5)�ˤ�����$ \ ' \ $��$\overline{\tau}$�˴ؤ�����ʬ�Τ��ȤǤ��롥����
     ����$W'(\theta)$������$dW(\theta)/d\theta$���̣���롥
     $t=\overline{\tau}$��̾�����դ������롥�Ѵ�(1.4)�θ�Ǥϡ����ͥ륮��
     ��ʬ�ϼ��Τ褦�˽񤱤롥
$$
  \frac{\displaystyle w^2}{\displaystyle 2 \cos \theta} - 1 = 
\frac{\displaystyle \cos \theta}{\displaystyle W(\theta)} 
\left( rh - \frac{\displaystyle v^2}{\displaystyle 2} \right) . 
                          \eqno(1.6)
$$

�Ѵ�(1.4)��$r>0$�ǲ���Ū�Ǥ��ꡢ����֤�$r>0$�ʤ����ˤ����Ʋ���Ū�ʥ٥�
�ȥ���������롥���Υ٥��ȥ���$r=0$�ʤ��������ʤ�����ξ��ͤز�����
³��ǽ�Ǥ��롥

���ξ���¿����${\cal C}$��$(r,v,\theta,w) \in [0,\infty) \times {\bf R}
\times [-\pi/2, \pi/2] \times {\bf R}$�ʤ뽸���$r=0$������
$$
  \frac{\displaystyle w^2}{\displaystyle 2 \cos \theta} + 
\frac{\displaystyle v^2 \cos \theta}{\displaystyle 2 W(\theta)} 
= 1                           \eqno(1.7)
$$
����������ΤȤ���������롥${\cal C}$��2��������¿���ΤǤ��ꡢ����Ū��4
�ķ�Τ�����������(��1.3����)��(1.5)��$r=0$�Ȥ�������������ή���$v$
�˴ؤ��Ƹ���Ū�Ǥ��ꡢ��ñ�˾����Ǥ���褦�ˡ�6�Ĥ��׳���$(v,\theta,w) =
(\pm \sqrt{-2V(\theta)}, \theta, 0)$�����롥������$\theta$���濴�޷��Τ�
�ȤĤǤ��롥�¤ΤȤ���������������(1.5)���׳����Τ��٤ƤǤ⤢�롥

%\newpage
\vspace{1.cm}
\hspace*{5cm} ��1.3

\vspace{9.5cm}
�����顼�޷���$\theta=0$���б�����$V(\theta)$�ζɽ�˾��Ǥ��롥�饰���
���巿���濴�޷���2�Ĥ��ꡢ$V(\theta)$�ζɽ����ˤʤäƤ��롥����
$\theta= \pm \theta_L(\varepsilon) = \pm \arctan
((3\varepsilon/(2+\varepsilon))^{1/2})$�Ǥ��롥���������ʤ����ˤ�
$\theta_L=\theta_L(\varepsilon)$�Ƚ񤯡�

${\cal C}$��ǥ饰��󥸥���$L^{i,s}, M^{i,s}$�ϥ��ɥ�Ǥ��ꡢ�����顼��
��${\cal C}$�����¤���ή��˴ؤ�������($E^s$)�ޤ��ϸ���($E^i$)�Ǥ��ꡢ
$\varepsilon<55/4$�ʤ�ʣ�Ǹ�ͭ�ͤ������$\varepsilon \geq 55/4$�ʤ�¸�
ͭ�ͤ���ġ�����ʸ�$\varepsilon<55/4$�Ȳ��ꤹ�롥�ޤ�${\cal C}$���ή��
�������򤤤��Ĥ��פ��Ф�����

$P$��饰��󥸥����ΤҤȤĤȤ��롥$a \in \{ s, u \}$�Ȥ���$P$�ΰ���
($a=s$)�ޤ����԰���($a=u$)¿���Τ�$W_p^a$��ɽ����$b \in \{ 1, 2 \}$�Ȥ�
�ơ�$P$��ã����ʬ�ޤΤ���$w>0 (b=1)$�ޤ���$w<0(b=2)$�ʤ��Τ�
$W_P^{a,b}$��ɽ����$W_{E^i}^1(W_{E^i}^2)$��
$W_{M^i}^{s,2}, W_{L^i}^{s,1}, W_{M^i}^{u,1}$�����$W_{L^i}^{u,1}$ 
($W_{L^i}^{s,1}, W_{M^i}^{s,2}, W_{L^i}^{u,2}$�����$W_{M^i}^{u,2}$) 
�Ǹ¤���${\cal C}$��γ������������롥$W_{E^s}^1$�����$W_{E^s}^2$��
Ʊ�ͤ�������롥

$W_{L^i}^{s,1}$�����$W_{L_i}^{s,2}$�Τդ�ޤ��Ͽ�1.3�˼�����Ƥ��롥
$W_{L^s}^u, W_{M_s}^u$�����$W_{M^i}^s$��${\cal C}$���ή����о���
$$ \begin{array}{l}
  L^1 : (r, v, \theta, w, \tau) \rightarrow 
        (r, -v, \theta, -w, -\tau) , \\ 
  L^2 : (r, v, \theta, w, \tau) \rightarrow 
        (r, -v, -\theta, w, -\tau) , 
   \end{array}
$$
��Ȥ��������롥

$W_{L^i}^{u,1(2)} (W_{L^s}^{s,1(2)})$��$v=0$�Ȥθ�����
$l^{i,1(2)}(l^{s,1(2)})$��̾�դ��롥$W_{M^i}^{u,1(2)}$�����
$W_{M^s}^{s,1(2)}$��$v=0$�Ȥθ����⤽�줾��$m^{i,1(2)}$�����
$m^{s,1(2)}$�Ȥ��롥

����̿���sim\'{o}[10]������������

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ̿�� 1.1.} $\varepsilon$��2�Ĥ��׳���
$\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_1 < \varepsilon_2$��
���äƼ�����������

%\frac{\displaystyle }{\displaystyle }
(i) $\varepsilon=\varepsilon_1$ (������II)�ʤ顢$m^{i,1} = (\pi/2,0)$��
���ꡢ�������ä�$W_{M^i}^{u,1} = W_{M^s}^{s,2}$���ޤ�
$\varepsilon=\varepsilon_2$ \\ 
\hspace*{1.2cm} (������IV)�ʤ顢$l^{i,1} = (0,-\sqrt{2})$����
$W_{L^i}^{u,1} = W_{M^s}^{s,1}$�Ǥ��롥

(ii) $0<\varepsilon<\varepsilon_1$ (������I)�ʤ顢
$m^{i,1} = (\theta,w), \theta>0,w>0$�����
$l^{i,1} = (\theta, w), \theta>0, w<0$ \\ 
\hspace*{1.2cm} �Ǥ��ꡢ�������ä�$W_{M^i}^{u,1}$��$E^s$�ǻ�ˡ�
$W_{L^i}^{u,1}$�����ξ���$\theta=-\pi/2$�ξ��Ӥ��Фä�ƨ \\ 
\hspace*{1.2cm} ���롥

(iii) $\varepsilon>\varepsilon_2$ (������V)�ʤ顢
$m^{i,1} = (\theta,w), \theta>0,w<0$�����
$l^{i,1} = (\theta, w), \theta<0, w<0$ \\ 
\hspace*{1.2cm} �Ǥ��롥���ΤȤ�$W_{L^i}^{u,1}$��$E^s$�ǻ�ˡ�
$W_{M^i}^{u,1}$��$\theta=-\pi/2$�ξ��Ӥ��Фä�ƨ���롥

(iv) $\varepsilon_1 < \varepsilon < \varepsilon_2$ (������III)�ʤ顢
$l^{i,1}$�����$m^{i,1}$�κ�ɸ��$\theta>0, w<0$�Ǥ��롥�������� \\ 
\hspace*{1.2cm} ��$W_{L^i}^{u,1}$��$W_{M^i}^{u,1}$��$\theta=-\pi/2$��
���Ӥ˴����դ���

\vspace{0.3cm}
$\varepsilon_1 = 0.378532 \ldots$�����
$\varepsilon_2 = 2.661993 \ldots$������Ū������줿��
�����Ͼ��5�Ĥξ�����ꤹ�롥

����ɤ���������Τ����${\cal C}$��ͤ��褦��${\cal C}$��${\cal V}$��
������ˤ��ꡢ����(1.5)���׳�����ޤ�Ǥ��롥${\cal C}$�太���
${\cal V} \cup {\cal C}$���$W_p^a$�μ�����ɽ1.1�˺ܤ��Ƥ�������

\vspace{1.7cm}
\hspace*{5cm} ɽ1.1

\vspace{1.7cm}
�׻��ˤĤ��Ƥ�[2]�򻲾Ȥ��줿����

����(����)��ƻ��${\cal V} \cup {\cal C}$���
$W_{E^{i(s)}}^{s(u)}, W_{L^{i(s)}}^{s(u)}$�����$W_{M^{i(s)}}^{s(u)}$��
�¤Ǥ��롥

\vspace{9.0cm}
\hspace*{5cm} ��1.4

\newpage
ʿ������޷���(�ۥ⥻�ƥ��å��򡢿�1.4����)��3�Ĥ��äơ�$\theta=0$(ľ��)��
$\theta=\theta_L$�����$\theta=-\theta_L$(�����ѷ�)���б����롥������
$w=0$�̤˴ޤޤ��(��1.3����)��$W_{E^s}^u$�����$W_{E^i}^s$�ϤȤ��
$\theta=0$�Υ����顼ʿ������޷���ƻ�˰��פ��뤳�Ȥ����դ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 1.1.} $W_{L^s}^u (W_{M^s}^u)$��$\theta=\theta_L(-\theta_L)$��
�饰��󥸥�ʿ������޷���ƻ�˱�ä�$W_{L^i}^s (W_{M^i}^s)$�Ȳ���Ū�˸��롥

\vspace{0.3cm}
����1.1�Ϥ�äȰ���Ū�ʷ���[11]�Ǿ�������Ƥ��롥

�ѿ�(1.4)�Ǥϥ���®�ٶ�������ʬ
$$
  \gamma_1 = \{ (r,v,\theta,w) \in {\cal V} \ | \ v=0, w=0, 
-\pi/2 < \theta < \pi/2 \} ,
$$
�˵��夹�뤳�Ȥ����դ��褦��

����������롥
$$ \begin{array}{l}
  S^+ = \{ (r,v,\theta,w) \in {\cal V} \ | \ \theta = \pi/2 \} , \\
  S^- = \{ (r,v,\theta,w) \in {\cal V} \ | \ \theta = - \pi/2 \} , \\
  S_1 = \{ (r,v,\theta,w) \in {\cal V} \ | \ \theta = 0 \} , \\
  \gamma_2 = \{ (r,v,\theta,w) \in {\cal V} \ | \ \theta = 0, v=0 \} . 
   \end{array}
$$

$\theta=\pm \pi/2$�ΤȤ�$w=0$�����顢$S^+ \cup S^-$������$(r,v)$�Ƚ񤱤롥

$S^+$�����$S^-$����������ξ��ͤ�ɽ����$S_1$��ľ���޷��ν���Ǥ��뤳��
�����դ��褦��


\begin{center}
{\large 
{\bf 2. ̵�±�᤯��ή��} \\
}
\end{center}

$p \in {\cal V}$���Ф���$(x_1(t), x_2(t), \dot{x}_1(t), \dot{x}_2(t))$
�ޤ��ϴ�ñ��$\varphi(t,p)$��$t=0$��$p$���̤뵰ƻ�Ǥ���Ȥ��롥

��ƻ��̵�±��ƨ����(�ޤ��Ϥ������)�Ȥϡ�$t \rightarrow + \infty(-
\infty)$�ΤȤ�$x_2(t)$��$\pm \infty$�˸������Ȥ��Ǥ��롥���ͥ륮�������
�Ȥ��ˤϥ���®�ٶ���(1.3)������Τǡ�����ϵ�ƻ��̵�±��ƨ����(�ޤ��Ϥ�
�����)�����ͣ���ƻ�Ǥ��롥

æ��(����)����ʪŪ�Ǥ���Τϡ�$t$��$+ \infty (- \infty)$��$\dot{x}_2(t)$
�������˸������Ȥ��Ǥ��롥$t$��$+ \infty (- \infty)$��$\dot{x}_2(t)$����
���Ǥʤ�����˸������ʤ顢��ƻ���ж�Ū�Ȥ����롥

McGehee[7]��ľ�����������Ƴ�������Ѵ���Ȥ���

���Τ褦�ˤ�����
$$ \begin{array}{l}
  x_2 = \displaystyle \frac{2(2+\varepsilon)^{1/3}}{x^2} , \\
  \dot{x}_2 = (2+\varepsilon)^{1/3} y , \\
  x_1 = \xi^2 , \\
  \dot{x}_1 = \displaystyle \frac{2 \eta}{\xi} , \\
  dt = \xi^2 d \kappa \ \ {\rm and} \ \ ' = 
       \displaystyle \frac{d}{d \kappa} .
   \end{array}     \eqno(2.1)
$$
(2.1)��(1.2)���������ƥ��ͥ륮����ʬ�ο�����ɽ���������롥
$$
   \eta^2 + \xi^2 + 4d \xi^2 (y^2 - x^2) - 4 \varepsilon u f(u) = 1 . 
\eqno(2.2)
$$
������$d = \varepsilon(4(2+\varepsilon)^{1/3})^{-1},
 u = d \xi^2 x^2/ \varepsilon$�����$f(u) = (1+u^2)^{-1/2} - 1$�Ǥ��롥

��������̵�±�$(x=0)$����§�ʼ����������Ϥ������롥
$$ \begin{array}{l}
  x' = \displaystyle - \frac{1}{4} \xi^2 y x^3 , \\
  y' = \displaystyle - \frac{1}{4} \xi^2 x^4 (1+g(u)) , \\
  \xi' = \eta , \\
  \eta' = \xi \left( -1 + 4d x^2 f(u) - 4d(y^2 - x^2) - 
 \frac{\displaystyle G_1(u)}{\displaystyle \xi^2} \right) . \\
   \end{array}     \eqno(2.3)
$$
��������$g(u) = (1+u^2)^{-3/2} - 1 = O(u^2), G_1(u) = 
4 \varepsilon u^3(1+u^2)^{-3/2}$�Ǥ��ꡢ�Ǹ�μ���Ф��Τ�(2.2)��Ȥä���

Levi-Civita����§��$(\xi,\eta)$��Ȥä����ξ��ͤ���§��������
$(\xi,\eta)$�̤�
$\xi = R\cos \bar{\varphi}, \eta = R \sin \bar{\varphi}$��Ϳ������
�˺�ɸ$(R, \bar{\varphi})$��Ƴ������С�(2.2)����
$$
  R^2 = 1 + \bar{R}(x,y,\bar{\varphi}) ,
$$
�������롥������$\bar{R}$��$x,y$�˴ؤ�2��(order)��
$\bar{\varphi}$�˴ؤ�$2 \pi$�����δؿ��Ǥ��롥

\vspace{5.0cm}
\hspace*{5cm}  ��2.1

\vspace{5.0cm}
��$x=0$������¿���Τ�������롥�����̵�±�¿���ΤȸƤ֡�

$$
  X = x \sqrt{\frac{\displaystyle 4d}{\displaystyle 1+4dx^2}}, \ 
  Y = y \sqrt{\frac{\displaystyle 4d}{\displaystyle 1+4dy^2}}, \ 
\bar{\eta} = \eta \sqrt{1 - Y^2} ,
$$
�Ȥ�����$X,Y, \bar{\eta}$��(2.2)����������С�$X=0$���Ф���
$$
  \bar{\eta}^2 + \xi^2 + Y^2 = 1 ,
$$
�����롥

�����2��$(Y, \xi, \bar{\eta}) = (\pm 1, 0, 0)$���������Ǥ��롥�¤Τ�
������̵�±�¿���Τ�2�Ĥε夫�餽�줾��ξ�ˤ��������Τ��¤Ǥ��롥����
��ε��$x_2$�����˱�����$I_+$�����$I_-$�ȵ�������

ľ����������[7]��Ʊ�͡�(2.3)��$(x,y) = (0,0)$���Ф���$2 \pi$�����β���
��($I_+$���${\rm P.O.}_+$��$I_-$���${\rm P.O.}_-$)��$(x,y) = (0,0)$��
����ή��Ͽ�2.1��$y$���Τޤ��˲�ž���������롥��2.2�Ϥ������������
������$(x,y)=(0,0)$�ϥݥ��󥫥�������ж���ư���ȸ��뤳�Ȥ�Ǥ���(���ष
�Ƥ�����Ǥ��뤬)�����ʤ����$(0,0)$�ζ�˵(�����餯$(0,0)$���Ȥ�����ơ�
[7]����)�ǲ���Ū�ʰ��ꤪ����԰���¿���Τ����롥

����¿���Τ�׻�����Τˡ�����ɽ����
$$
  x = F(y, \bar{\varphi}) = \sum_{1 \leq n < \infty} a_n(\bar{\varphi}) y^n ,
$$
�Ƚ񤤤Ƥߤ롥$\bar{\varphi}$����Ω�ѿ��Ȥ���(2.3)��񤭴�����ȡ�
$$ \begin{array}{l} 
\displaystyle \frac{dx}{d \bar{\varphi}} = \displaystyle 
\frac{1}{4} \cos^2 (\bar{\varphi}) y x^3 (1 + O_2), \\ 
\displaystyle  \frac{dy}{d \bar{\varphi}} = \displaystyle 
\frac{1}{4} \cos^2 (\bar{\varphi}) x^4 (1 + O_2) . 
   \end{array}     
$$
������$O_n$��$x,y$�˴ؤ�$n$���ι���̣���롥
$$
\displaystyle 
\frac{dx}{d \bar{\varphi}} = \displaystyle 
\frac{\partial F}{\partial y} \frac{dy}{d \bar{\varphi}} + 
\frac{\partial F}{\partial \bar{\varphi}} , 
$$
�ΤϤ��Ǥ��롥������$dx/d \bar{\varphi}$��$dy/d \bar{\varphi}$�����$x$
��$F(y, \bar{\varphi})$���֤���������$y$�Τ��줾��Τ٤��η�������������
������$n \geq 1$���Ф���$a_n(\bar{\varphi})$�˴ؤ�����ʬ�����������롥ɽ
��$d a_n(\bar{\varphi})/d \bar{\varphi}, n \geq 1$�ˤ�$\cos^2
(\bar{\varphi})$�����ҤȤ��ƴޤޤ�뤳�Ȥ����դ��롥�������Ʒ���
$a_n(\bar{\varphi})$���Ƶ�Ū�˷�ޤ롥$n \leq 10$�Ǥϥ����Ǥʤ���ϡ�
$a_1(\bar{\varphi}) = 1,$ 
$a_5(\bar{\varphi}) = 5/(512(2+\varepsilon)^{2/3}),$ 
$a_8(\bar{\varphi}) = 3 \sin (2 \bar{\varphi}) ((1/3) 
\sin^2 (2 \bar{\varphi})$ $- (3/2)(\cos (2 \bar{\varphi}) + 1)) / 
(2048(2+\varepsilon)^{2/3})$, 
$a_9(\bar{\varphi}) = 43/(2^{18}(2+\varepsilon)^{4/3})$�����Ǥ��롥

�о���$L^1$�Ͽ������ѿ�(2.1)�Ǥϼ��Τ褦�˽񤱤롥
$$
  (x, y, \bar{\varphi}, \kappa) \rightarrow 
  (x, -y, -\bar{\varphi}, -\kappa) .               \eqno(2.4)
$$

(2.4)��Ȥä��԰���¿����$x = F(-y, - \bar{\varphi})$�������롥����ˡ�
     (2.3)��ꡢ$x$�������Ѥ��Ƥ������������Ѥʤ��Ȥ����餫�Ǥ��롥��
     �����ä��԰���¿���Τ�$x = - F(y, \bar{\varphi})$�Ȥ�ɽ���롥���줫
     �顢$a_n(\bar{\varphi})$��$n$�������ΤȤ���$\bar{\varphi}$�δ�ؿ�
     �Ǥ��ꡢ$n$������ΤȤ��϶��ؿ��Ǥ��롥

${\rm P.O.}_+$�����${\rm P.O.}_-$������¿���Τε�ƻ����ʪ���Ǥ��롥
$P_{+(-)}^s$�����$P_{+(-)}^u$�򤽤줾��$t$��$+\infty$�����$-\infty$��
�������Ȥ���$I_{+(-)}$�ˤ�������ʪ��ƻ��¿���ΤȸƤ�(��2.1����)��

$B_+$�����$B_-$�򤽤줾��$I_+$�����$I_-$�ζ᤯�ε��̤Ȥ���(��2.2����)��
��$e_1 = P_+^s \cap B_+$��$B_+$����Ⱦ�����жʵ�ƻ���б������ΰ�$c_1$��
�ʱߵ�ƻ���б������ΰ�${\cal E}_1$����롥����ʸ̮�Ǥϡ��ʱߵ�ƻ�Ȥ�̵
�±�ζ�˵�����ꡢ������֤θ�ˤ�������ФƤ�����ƻ�Τ��ȤǤ��롥Ʊ�ͤˡ�
��$e_2 = P_+^u \cap B_+, e_3 = P_-^s \cap B_-$�����$e_4 = P_-^u \cap
B_-$��$B_+, B_-$�����$B_-$��ˤ��줾��$c_2$��${\cal E}_2$, $c_3$��
${\cal E}_3$�����$c_4$��${\cal E}_4$����롥 

\hspace*{5cm}  ��2.2
\vspace{10.0cm}

̵�±�᤯��ή�����
$$
  S_2 = \{ (x,y,\xi,\eta) \in {\cal V}|y=0 \}
$$
���ڤ롥

�������äơ�ή��˱�äƼ��Τ褦����ʬƱ����������롥
$$
  i_{+(-)}^1 : {\cal E}_{1(3)} \rightarrow S_2; \ 
  i_{+(-)}^2 : S_2 \rightarrow {\cal E}_{2(4)} .
$$
���ΤȤ�$i_+: {\cal E}_1 \rightarrow {\cal E}_2$�����$i_-: {\cal E}_3
\rightarrow {\cal E}_4$�򤽤줾��$i_+ = i_+^2 i_+^1$�����$i_- = i_-^2
i_-^1$��������롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 2.1.} $\gamma$��${\cal E}_{1(2)}$��θ̤�$e_{1(2)}$��ü�����
�Ĥ�ΤȤ��롥���ΤȤ�$i_+(\gamma)(i_+^{-1}(\gamma))$��$e_{2(1)}$�˴���
�դ��̤Ǥ��롥���ʤ��$\gamma' \subset {\cal E}_{2(1)}$��$e_{2(1)}$�ǽ�
���̤ʤ顢$i_+(\gamma)$��$e_{2(1)}$��Ǥ�դζ�˵��$\gamma'$��̵�¸Ĥ���
�ǲ��ڤ롥

\vspace{0.3cm}
${\cal E}_3$�����${\cal E}_4$�Ǥ�Ʊ�ͤʷ�̤�����Ω�ġ�

����2.1�ϼ������꤫�餿�����˽Ф롥��Ԥξ������ܼ�Ū��[5]��p.170���鼨
�����������

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 2.2.} $\gamma$��${\cal E}_1$��θ̤�$e_1$��ü������Ĥ�ΤȤ�
�롥���ΤȤ�ή��˱�ä�ʿ��$y=0$(��2.2����ƻ��)�ޤǿʤ���Ȥ���$\gamma$
������${\rm P.O.}_+$�˴����դ��̤Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. (2.3)��ꡢ�դ�����$t$����Ω�ѿ��ˤȤꡢ$\dot{} =
d/dt$�Ƚ񤤤ơ�
$$ \begin{array}{l}
  \dot{x} = - y x^3 / 4 , \\
  \dot{y} = - x^4 (1+O_4) / 4 , \\
  \dot{\bar{\varphi}} = (-1 + O_2) / \cos^2 (\bar{\varphi}) , 
   \end{array}     \eqno(2.5)
$$
������
$$
  \dot{b} = - \cos^2 (\bar{\varphi}) \dot{\bar{\varphi}} , \eqno(2.6)
$$
���������뿷�����ѿ�$b$��Ƴ�����ơ�$\dot{b} = 1 + O_2$�����
$$
  \bar{\varphi} + \sin (\bar{\varphi}) \cos (\bar{\varphi}) = 
-2b + ��� , \eqno(2.7)
$$
�����롥(2.5)�����(2.6)��ꡢ�ʲ������롥
$$ \begin{array}{l}
\displaystyle 
 \frac{dx}{db} = - y x^3 (1 + O_2)/4 , \\
\displaystyle 
 \frac{dy}{db} = - x^4 (1 + O_2) /4 . 
   \end{array}     \eqno(2.8)
$$

�Ǹ��$dc/db = x^3/4$���������뿷������Ω�ѿ�$c$��Ƴ�����������Ȥä�
(2.8)���鼡�����롥
$$ \begin{array}{l}
\displaystyle  \frac{dx}{dc} = - y (1 + O_2) , \\
\displaystyle  \frac{dy}{dc} = - x (1 + O_2) . 
   \end{array}     \eqno(2.9)
$$

�����ǽ�°�ѿ���$u = x - F(y, \bar{\varphi}) = x - y + O_5, v = x + F(y,
\bar{\varphi}) = x + y + O_5$�ˤ�ä��Ѥ��롥�椨��$u=0$�����$v=0$�Ϥ�
�줾����ꤪ����԰���¿���Τ��б����롥$u,v$�˴ؤ�����ʬ��������
$$ \begin{array}{l}
\displaystyle
 \frac{du}{dc} = 
\displaystyle
 \frac{dx}{dc} - \frac{\partial F}{\partial y}   
 \frac{dy}{dc} - \frac{\partial F}{\partial \bar{\varphi}} 
 \frac{d \bar{\varphi}}{dc}  = u(1+O_2) , \\  
\displaystyle
 \frac{dv}{dc} = 
\displaystyle
 \frac{dx}{dc} +  
 \frac{\partial F}{\partial y} \frac{dy}{dc} +  
 \frac{\partial F}{\partial \bar{\varphi}} 
 \frac{\bar{\varphi}}{dc} = - v(1+O_2) , 
   \end{array}     \eqno(2.10)
$$
�Ȥʤ롥������(2.9)����$d a_n(\bar{\varphi})/d \bar{\varphi}$�˴ؤ�����
�ա������$u=0$�����$v=0$������¿���ΤǤ��뤳�Ȥ����Ѥ�����$v=a$��θ�
$\gamma$��ͤ��Ƥ�(ñ����ʬƱ�������Ȥä�)�����������¤���ʤ���
$\gamma$��ν������$u_0=\alpha z, v_0=a, \bar{\varphi}_0 =
\bar{\varphi}^* + \beta z + O(z^2), 0 \leq z \leq z_0$�ȤȤ�롥������
$\alpha^2 + \beta^2 = 1, \alpha>0$�Ǥ��ꡢ$z$��ü����$z=0$�ˤʤ�褦�ʸ�
�Υѥ�᡼�����Ǥ��롥

Ǥ�դ�$\delta>0$���Ф��ơ�$a$��$z_0$��ʬ�������Ȥäưʲ���������������
Ω�����뤳�Ȥ��Ǥ��롥
$$ \begin{array}{l}
  (1-\delta) u \leq \displaystyle \frac{du}{dc} \leq  (1+\delta) u, \\  
  - (1+\delta) v \leq \displaystyle \frac{dv}{dc} \leq - (1-\delta) v . 
   \end{array}     \eqno(2.11)
$$

(2.11)��ꡢ$u$��$v$��$a$��꾮�����¤꼡�����롥
$$ \begin{array}{l}
\displaystyle u_0 e^{(1-\delta)c} \leq  u \leq 
\displaystyle u_0 e^{(1+\delta)c} , \\
\displaystyle v_0 e^{-(1+\delta)c} \leq  v \leq 
\displaystyle v_0 e^{-(1-\delta)c} . 
   \end{array}     \eqno(2.12)
$$

�������ѿ��θ���$b=0, c=0$��$v_0=a$�ΤȤ��Ǥ���Ȥ��롥

ʿ��$y=0$��$u-v=0$�Ƚ񤱤롥(2.12)��ꡢ$v-u \geq v_0 e^{-(1+\delta)c} -
u_0 e^{(1+\delta)c}$�Ǥ��롥�椨��$v-u$��$c \leq c_1 =
(1/2)(1+\delta)^{-1} \ln (v_0/u_0)$���Ф�������Ǥ��롥$b_1$��$v-u=0$��
�ʤ�$b$�κǾ������ͤȤ��롥�б�����$\bar{\varphi}$��$x$���ͤ�
$\bar{\varphi}_1$�����$x_1$�Ƚ񤯡����ΤȤ��������롥
$$ \begin{array}{rl}
 b_1 &  \geq \displaystyle 32 \int_0^{c_1} (u_0 e^{(1+\delta)c} + 
         v_0 e^{-(1-\delta)c})^{-3} dc \\ 
     & = \displaystyle 32 (u_0v_0)^{-3/2} \int_0^{c_1} e^{-3 \delta c} 
(e^{c-(1+\delta)c_1} + e^{(1+\delta)c_1-c})^{-3} dc .
   \end{array}  
$$

�������ѿ�$w=c_1-c$��Ƴ�����Ƽ������롥
%\displaystyle
$$ 
  b_1 > 32 (u_0v_0)^{-3/2} \left( 
\frac{\displaystyle u_0}{\displaystyle v_0} 
\right)^{3 \delta(2+\delta)/(2+2\delta)} 
\int_0^{c_1} (e^w + e^{-w})^{-3} dw .
$$

$\rho>0$�Ȥ��롥���ΤȤ���ʬ������$a$��$z_0$���Ф��ơ�
$$
  b_1 > C(1-\rho) u_0^{-(3/2)(1-\rho)} ,
$$
�Ǥ��롥��������$C = 32 (v_0)^{-3/2} 
\int_0^{\infty} (e^w + e^{-w})^{-3} dw$�Ǥ��롥�椨��$b_1$(�������ä�
$\bar{\varphi}_1$)��$z$�������˸������Ȥ�̵����ˤʤ롥 
��������꤬�������줿��\hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
\underline{���� 2.1} �����Ǳ������Ȥϡ�$z$�������˸������Ȥ�$y=0$�����
���γ���$\bar{\varphi}$��̵����ˤʤ뤳�ȤǤ��롥ñĴ���ϼ�ĥ���ʤ�����
����¿���ο��ͷ׻�(FigA.1����)�ˤ���ñĴ�Ǥ���褦�˸����롥���ʤ����
$d\bar{\varphi}_1/dz>0$����$dx_1/dz>0$�Ǥ��롥Ŭ������������Ȥ��С�
$b_1<C(1+\rho)u_0^{-(3/2)(1+\rho)}$�Ǥ��롥���¡�����������礭�ʹ����
��Ĥ��Ƥ����С���ñ��$\bar{\varphi}_1 = -2Cu_0^{-(3/2)} (1+o(1))$������
�졢$\gamma$����������$y=0$��ã����Ȥ���$x$����$x_1$��$(u_0v_0)^{1/2}$
�Ǥ��롥���Τ��Ȥ��顢�礭�ʹ������Ȥäơ�$\lim_{z \rightarrow 0}
\bar{\varphi}_1 x_1^3 = ���$�Ȥʤ롥���줬�ޤ��˿��ͷ׻��Ǵѻ�������
�Ǥ���(���A����)��