
\begin{center}
{\large 
{\bf 3. ľ��$\theta= \pm \pi/2$���Ĥ�ޤ�} \\
}
\end{center}

���ξ��ͤ�̵�±���Ĥ�ޤ��뤳�Ȥ�2�Ĥζ�����${\cal V}$��Ž���դ������
�����롥�ҤȤĤ�$r=0$�ˤ����ơ��⤦�ҤȤĤ�$r=\infty$�ˤ����ƤǤ��롥
${\cal V}$�Ȥ���2�Ĥζ�����ɽ�����ޤ�����ɽ�����ܤ���

�����Ĥ���ˡ��Ƴ�����롥$c \in {\bf R}$�Ȥ��Ƽ���������롥
$$ \begin{array}{l}
  {\cal P}_c = \{ (r,v,\theta,w) \in {\cal V} | v=c \} , \\
  \beta_c = \{ (r,v,\theta,w) \in {\cal C} | v=c \} . 
   \end{array}    
$$

$c \in {\bf R}$����ꤹ��С�$\beta_c$��$(\theta,w)$�̤ζ����Ǥ��ä�
$$
  w^2 = 2 \cos \theta \left( 1 - 
\frac{\displaystyle c^2 \cos \theta}{\displaystyle 2 W(\theta)}
\right) ,   \eqno(3.1)
$$
���������롥

$\omega^c = \{ (r,v,\theta,w) \in {\cal P}_c | v'=0 \}$�Ȥ�����

(1.5)�����(1.6)��Ȥ���$\omega^c$��
$$
  w^2 = \cos \theta \left( 1 - 
\frac{\displaystyle c^2 \cos \theta}{\displaystyle 2 W(\theta)}
\right) ,         \eqno(3.2)
$$
��Ϳ�����뤳�Ȥ��狼�롥

${\cal P}_c, \beta_c$�����$\omega^c$�����ϡ�ʶ��路����������ƺ�ɸ
$(\theta,w)$��ɽ����

(3.2)�μ����$c$��ư�������Ȥˤ����̤������뤬�������${\cal V}$��2
     �Ĥ���ʬ��$v'<0$��$v'>0$����ʬ��ʬ���롥

����$\omega^0$��$w^2 = \cos \theta$��Ϳ����졢${\cal P}_0$��˵�ƻ�˱��
��$r$�ζ�����б�����(������ޤ�)�����ΰ��$r$�ζ˾����Ǥ���(${\cal C}$
�˶ᤤ)�����ΰ�${\cal M}$��������롥

$c \in {\bf R}$����ꤹ�롥2�Ĥ����$w_0, \theta_0$��Ȥäơ�$w_0>0$����
��$\pi/2 - \theta_0>0$��ʬ�������Ȥ롥�����������(��3.1����)��
$$
  Q_c = \{ (r,v,\theta,w) \in {\cal P}_c \ | \ 
|w| \leq w_0, \theta_0 \leq \theta \leq \pi/2 \} .
$$

$w, |w| \leq w_0$����ꤷ���Ȥ���$r_w(\theta,c)$��(1.6)��$h=-1$�Ȥ�����
$\theta$�δؿ��Ȥ�������Ǥ��롥���ʤ����
$$
  r_w(\theta,c) = - \frac{\displaystyle c^2}{\displaystyle 2} +
\frac{\displaystyle W(\theta)}{\displaystyle \cos \theta} - 
\frac{\displaystyle w^2 W(\theta)}{\displaystyle 2 \cos^2 \theta} . 
\eqno(3.3)
$$

\vspace{1.0cm}
\hspace*{5cm} ��3.1

\vspace{8.0cm}
$w=0$�ΤȤ�$r_0(\theta,c) = -(c^2/2) - V(\theta)$��$\theta=\pi/2$�ζ᤯
�����ä���$\theta$��$\pi/2$�˸�������̵����ˤʤ�(��3.2����)���������ä�
����������Ϣ³�Ǥ��롥(1.4)��Ϳ�������ѿ���${\cal C}$�γ������ξ��ͤ�
��˵�ǤϤ褯�ʤ���������2�ܤ�ľ��$\theta = \pm \pi/2$���Ĥ�ޤ�����

�ޤ�$w$���ͤ��㤦�Ȥ��δؿ�$r_w(\theta,c)$��Ĵ�٤롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 3.1.} $ w \neq 0$�ΤȤ�$r_w(\theta,0)$��$\theta_m(w) <
\theta^w$�ˤ����ƶ���ˤʤ롥������$(\theta^w,w)$��$\omega^0 \cap Q_0$��
���Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{ ����}. (3.3)����ʬ���Ƽ������롥
$$
  \frac{\displaystyle d r_w}{\displaystyle d \theta} (\theta,0) = 
\frac{\displaystyle W'(\theta)}{\displaystyle \cos \theta} 
\left( 
1 - \frac{\displaystyle w^2}{\displaystyle 2 \cos \theta} 
\right) + 
\frac{\displaystyle W(\theta) \sin \theta}{\displaystyle \cos^2 \theta} 
\left( 
1 - \frac{\displaystyle w^2}{\displaystyle \cos \theta} 
\right) .             \eqno(3.4)
$$

\hspace*{5cm} ��3.2

\vspace{6.0cm}
$w, 0 < w < w_0$����ꤹ��($-w_0 < w < 0$�ξ����о�Ū�Ǥ���)��
$(\theta_w, w) \in \beta_0$�Ȥ���$\theta^w < \theta < \theta_w$�ΤȤ���
$(\theta,w) \in Q_0$��$\beta_0$��$\omega^0$�δ֤ˤ��롥������$\cos
\theta < w^2 < 2 \cos \theta$�Ǥ��롥�����$W(\theta)$��$\pi/2$�ζ᤯��
���ζ���ñĴ�����ؿ��Ǥ��롥���ΤȤ�$\theta^w < \theta < \theta_w$�ʤ�
$dr_w(\theta,0) / d \theta < 0$�Ǥ��롥

$\theta=\theta^w$�����$\theta=\theta_w$���Ф���$d r_w (\theta,0)/d
\theta < 0$�����餫�Ǥ��롥����Ǿ������Ǥ�����\hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
����ɤϥ����Ǥʤ�$c$���ͤ�ͤ�������������롥
$$
  \omega_m = 
\left\{ (\theta,w) \in Q_c 
\left| 
\frac{\displaystyle d r_w}{\displaystyle d \theta} (\theta,c) = 0 
\right. 
\right\} .
$$

$c \neq 0$�ΤȤ�$d r_w (\theta,c)/d \theta = d r_w(\theta,0)/d \theta$��
���롥���ΤȤ�(3.4)����$\omega_m$��ɽ���Ȥ��Ƽ������롥
$$
  w^2 = 2 \cos \theta 
\left( 
\frac{\displaystyle W'(\theta) \cos \theta + W(\theta) \sin \theta}
{\displaystyle W'(\theta) \cos \theta + 2W(\theta) \sin \theta} 
\right) .                    \eqno(3.5)
$$
������
$$
  W'(\theta) = 
\frac{\displaystyle d W(\theta)}{\displaystyle d \theta} = - 
\frac{\displaystyle 4 \varepsilon^{3/2}(2 \varepsilon + 4) \sin \theta}
{\displaystyle (2 \varepsilon + 4 \sin^2 \theta)^{3/2}} . \eqno(3.6)
$$

$W(\theta) = - \cos \theta V(\theta)$�����(3.6)��ȤäƷ׻��򤹤�С�
$\pi/2$�ζ᤯��$\omega_m$��ɽ���Ȥ��Ƽ������롥
$$
  w^2 =  \cos \theta 
\left( 1 - 
\frac{\displaystyle 8 \varepsilon^{3/2} \cos^3 \theta}
{\displaystyle (\varepsilon + 2 \sin^2 \theta)^{3/2}} 
\right) 
\left(
\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 1 + C \cos \theta} 
\right) .                    \eqno(3.7)
$$
������
$$
  C = \frac{\displaystyle 2 \varepsilon^{3/2} 
                ( \varepsilon - 2 + 4 \sin^2 \theta ) }
{\displaystyle (\varepsilon + 2 \sin^2 \theta)^{3/2}} . 
$$
����$\omega_m$��$c$�˰�¸���ʤ���

(3.7)���餿�����˼������꤬�Ф롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 3.2.} (i) $\theta_m (w)$��$w$�������˸������Ȥ�$\pi/2$�˸�������
(ii) $w(\theta)$��(3.7)������������ؿ��ʤ顢$dw(\theta)/d \theta$��
$\theta$��$\pi/2$�˸������Ȥ�$\pm \infty$�˸�������

\vspace{0.3cm}
��3.2��$Q_c$���$r_w(\theta,c)$�οʲ��򼨤���

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 3.3.} $w_0$��$\theta_0$�ϼ�����ǡ�$w_0>0$��$\pi/2 - \theta_0
> 0$�Ͻ�ʬ�������Ȥ��롥���ΤȤ����٤Ƥ�$c \in {\bf R}$���Ф���Int$(Q_c)
\cap \omega_m \neq \emptyset$�Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����.} (3.1)�����(3.5)����׻����ơ�$\pi/2$�ζ᤯��$\theta$
���ͤ��٤Ƥ��Ф��ơ�
$$
  c^2 =  
\frac{\displaystyle 2 W^2 \sin \theta}
{\displaystyle \cos \theta 
  (W'(\theta) \cos \theta + 2W(\theta) \sin \theta)}     \eqno(3.8)
$$
�Ȥ���$\omega_m$��$\beta_c$�����$\beta_{-c}$�ȸ��뤳�Ȥ��狼�롥

���Τ�����$\theta$��$\pi/2$�˸������ȡ�$W(\theta)$��$1/\sqrt{2}$�ˡ�
$W'(\theta)$��$-4 \varepsilon^{3/2}(2 \varepsilon + 4)^{-1/2}$�˸�������
(3.8)���$\theta$��$\pi/2$�˸������ȡ�$c^2$��ñĴ��$+\infty$�˸���������
�ΤȤ����٤Ƥ�$c \in {\bf R}$���Ф���$\omega_m$��$\pi/2$�ʳ�������
$\beta_c$�����$\beta_{-c}$�ȸ��롥��\hfill $\Box$

\vspace{1.0cm}
\hspace*{5cm} ��3.3

\vspace{7.3cm}
���ξ���ľ��$\theta= \pm \pi/2$���Ĥ�ޤ��礿��ȯ�ۤϼ��ΤȤ���Ǥ��롥
$v$�����٥�$c$����ꤹ�롥Ŭ���ʽ���$Q_c$�ˤ������ѿ����Ѵ����ơ�$w=0$
�����$(\pi/2,0)$����ʬ$[A,\pi/2]$���Ĥ�ޤ��롥������ʬ��Ǵ����⡼���
�Ȥ�$0$����$\infty$�˸����������θ塢�ѿ��Ѵ���ľ��$\theta=\pi/2$���餽
�ζ�˵�˳�ĥ���롥�Ĥ�ޤ���$C^{\infty}$�ˤǤ��롥

$(\theta,w)$����ǡ�����$\beta_c$��$|c|$����ʬ�礭���Ȥ��ߤ�Ʊ���2�Ĥ�
��ʬ�������롥$|c|$��̵����˸������Ȥ�����ʬ�ΤҤȤĤ���$(\pi/2,0)$�˸�
�������⤦�ҤȤĤ�$(-\pi/2,0)$�˸��������������ä�$v$��$\pm \infty$�˸�
�����Ȥ���$Q_c$��������ɬ�פ����롥����3.3�ˤ������äơ�$|c|$�˰�¸��
��Ŭ�������$w_0$�����$\theta_0$���Ѥ��Ƥ��ν������Ǥ��롥��ñ�˷׻���
����褦�ˡ�$|c| \rightarrow \infty$�ΤȤ���$w_0$�����$\pi/2-\theta_0$
�Ϥ��줾��$1/|c|$�����$1/c^2$�η��ǥ����˶�Ť��褦�ˤǤ��롥����$Q =
\cup_{c \in {\bf R}} Q_c$��������롥�ʲ��ι����Ǥ�$Q_c$�ϸ��ꤷ�Ƥ�����

$A = \theta_m(w_0)$�Ȥ���(��3.1b����)���ؿ�²$\alpha_w(\theta)$��$|w|
\leq w_0$���Ф��ưʲ��Τ褦���������(��3.3����)��

\newpage
$$ 
\begin{array}{rl} 
%
 \begin{array}{lll} 
  & \alpha_w(\theta) \hspace{0.8cm} & = \theta \hspace{0.6cm}
 \end{array} &
    {\rm if} \ |w| = w_0 \\
%
\left. 
 \begin{array}{lll}
    \alpha_i = & \alpha_w(\theta_0) & = \theta_0  \\
               & \alpha_w(\theta_m(w)) & = A      \\
    \alpha_f = & \alpha_w(\theta_w) & = \theta_w  
 \end{array} 
\right\} &
     {\rm if} \ 0 < |w| < w_0 , \\
%
 \begin{array}{rll}
    \alpha_0(\theta) = & & 
\left\{ 
    \begin{array}{l}
      \lim_{w \rightarrow 0} \alpha_w(\theta) \\
        A    
    \end{array} 
\right.
 \end{array} & 
    \begin{array}{l}
       {\rm if} \ \theta \neq \pi/2, \\
       {\rm if} \ \theta = \pi/2 . 
    \end{array}   
 \end{array}                                \eqno(3.9)
$$

��ʬŪ�����ؿ���Ȥ�н�ʬ�Ǥ��롥

(3.9)���鿷�����ѿ�$\alpha$��$0 < |w| \leq w_0$���Ф���$\alpha_i$����
     $\alpha_f$�ޤ�ư����Τ������롥�ѿ�$\alpha$��$\theta$�������
     �Ȥ���$w=0$�ΤȤ�$\alpha$��$\alpha_i$��$A$�δ֤��ͤ�����Ȥ롥

$a^0 = {\rm arc} \cot r_w (\theta_0,c)$�����
$a = (w_0 {\rm arc} \cot r_w (\theta_m(w),c) - w {\rm arc} \cot r_w
(A,c)) / (w_0 - w)$�Ȥ�����$\lim_{w \rightarrow w_0} a = {\rm arc} \cot
(r_{w_0}(A,c))$�Ǥ��뤳�Ȥ����դ��롥

$0 \leq w < w_0$���Ф���������줿��ʬŪ�����ؿ���²�Ȥ���
$\varphi_w(\alpha)$�򼡼���Ƴ�����롥
$$ \begin{array}{rll} 
  \varphi_w(\alpha) = & 
\left\{
       \begin{array}{ll} 
    a + 
\frac{\displaystyle a^0 - a}{\displaystyle \alpha_i - A} (\alpha - A) & 
\alpha_i \leq \alpha \leq A, \\
    a + 
\frac{\displaystyle \pi/2 - a}{\displaystyle \alpha_f - A} 
(\alpha - A) & A < \alpha \leq \alpha_f .
       \end{array}    
\right.
   \end{array}    
$$

������$0 \leq w \leq w_0$���Ф��ưʲ��Τ褦�ʴؿ�²$\psi_w(\alpha)$���
����($w$������ͤ��Ф��ƤϹ������о�Ū�Ǥ���)��
$$ \begin{array}{rll} 
  \psi_w(\alpha) = & 
\left\{
       \begin{array}{ll} 
    r_w (\theta (\alpha),c) & {\rm if} \ w = w_0, \\
\displaystyle \cot 
\left( \frac{w}{w_0} {\rm arc} \cot r_w (\theta(\alpha),c) + 
\frac{w_0 - w}{w_0} \varphi_w(\alpha) 
\right) & {\rm if} \ 0 < w < w_0, \\ 
\cot \varphi_w (\alpha) & {\rm if} \ w=0. 
       \end{array}    
\right. 
   \end{array}    
$$

���ΤȤ�
%\frac{\displaystyle }{\displaystyle }
$$ \begin{array}{l}
 \varphi_w(\alpha_i) = a^0, \\
 \varphi_w(A) = a, \\
 \varphi_w(\alpha_f) = \pi/2 .
   \end{array}    \eqno(3.10)
$$

\vspace{1cm}
\hspace*{5cm} ��3.4

\newpage
(3.10)��Ȥ��С�²$\psi_w(\alpha), 0 < w < w_0$���Ф��Ƽ�������(��3.4����)��
$$ \begin{array}{l}
 \psi_w(\alpha_i) = r_w(\theta_0,c), \\
 \psi_w(A) = r_w(\theta_m(w),c), \\
 \psi_w(\alpha_f) = 0 .
   \end{array}    
$$

$\theta$�������$\alpha$�ޤ�$r$�������$\psi$��Ȥ��С��Ϥξ��֤�$Q$
��Ǵ����˷�ޤ롥


\begin{center}
{\large 
{\bf 4. ¿����${\cal V}$} 
}
\end{center}

$Q$���ľ����$r$����ͭ���Τ�ΤϷ��2�Ļ��ĵ�$I_+$���Ĥ�ޤ����Ȥ��Ǥ��롥
��ƻ�ϼ�����ƻ${\rm P.O.}_+$�Ǥ��롥��ʪ��ƻ��${\rm P.O.}_+$�����᤹�롥
�����餳�ε�ƻ��${\cal P}_0 \backslash {\rm Int}({\cal M})$����֤��롥
���λ��¤˴ؤ����㴳�Υ����Ȥ�ɬ�פǤ��롥7���̵�±�᤯�ε�ƻ��
${\cal P}_0$������Ū�ʤդ�ޤ��򼨤��Ȥ��ˤ��Υ����Ȥ򤷤褦��

$r>0$��������${\cal C}$�˴ޤޤ��פȹͤ���С�${\cal V}$�Ͽ�4.1�Τ褦��
ɽ���롥�����Ǥä��ΰ�����ξ��ͤ��Ĥ�ޤ������Ȥ�$S^+$��$S^-$�����Ǥ��롥
����������롥
$$
  \gamma_+ = S^+ \cap {\cal P}_0 \ \ ����� \ \ 
 \gamma_- = S^- \cap {\cal P}_0 .                    \eqno(4.1) 
$$

\vspace{1.cm}
\hspace*{5cm} ��4.1

\newpage
��4.1�ˤϻ��ξ��ͤ���̵�����®�٤�̵�±�˹Ԥ�����Ū�ʵ�ƻ$s_1$�����롥
$s_2, s_3$�����$s_4$��$s_1$���оΤʵ�ƻ�Ǥ��롥�����ε�ƻ�˴ؤ��뤳��
�ʾ�ξ�������B��Ϳ������

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 4.1.} 
$p \in (S^+ \cup S^-) \backslash (\gamma_+ \cup \gamma_-)$�ʤ顢
��ƻ$\varphi(t,p)$��$p$��$r$���Ѷ�����ͭ���롥
$p \in \gamma_+ \cup \gamma_-$�ʤ�
$\varphi(t,p)$��$p$��$r$�ζ˾���ͭ���롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. (1.5)����켰����ʬ���Ƽ������롥
$$ \begin{array}{ll} 
 \ddot{r} = & 
\displaystyle 
(( -\sin \theta) W^{-1/2} - \frac{1}{2} \cos \theta 
W' W^{-3/2} ) rvw \\ 
 & 
\displaystyle 
+ rv^2 \frac{1}{2} \cos^2 \theta W^{-1} + 
   r \cos \theta - 2r^2 \cos^2 \theta W^{-1} .
   \end{array}    
$$

$\theta=\pi/2$����$w=0$�ʤ�$\dot{r} = \ddot{r} = 0$�Ǥ��롥�������ʬ��
��ȡ�$\theta=\pi/2$�ΤȤ�$\ddot{r} = rv W^{-1/2}$�Ǥ��뤳�Ȥ��狼�롥��
�ΤȤ�$v \neq 0$�ʤ�$\ddot{r} \neq 0$�Ǥ��롥$v=0$��$\theta=\pi/2, w=0$
�ˤ��Ƥ����ȡ�$\ddot{r} = 3r > 0$�Ǥ��롥 \hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
���ξ��ͤǤ�$r$�϶���ˤʤ�ʤ����������ä�$\theta$��$\pi/2$�ޤ���
$-\pi/2$�˸������ȡ�����$\omega^0$��̵�±�˸�����(��4.1����)��

