
\begin{center}
{\large 
{\bf 5. ����-��ʪ��ƻ} 
}
\end{center}

���е�ƻ�Τ����Τ�${\cal C}$�ζ�˵��Ǥ�դ��礭��®�٤�Υ��롥���λ���
��Ȥäƻ��ξ��ͤ���Ϥޤ��жʤ������ʪ��ƻ��¸�ߤ򼨤�����

��ʬ��$m_1,m_2$�ϥ��ͥ륮��$h_{12} = (\dot{x}_1^2/4) - (1/x_1)$����ġ�
$h_{123} = h - h_{12}$��������롥$h$����˸��ꤷ�������ͥ륮���Ǥ���(��
���Ѵ��򤷤�$h=-1$�ˤ��Ƥ���)��

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 5.1.} ���ξ��ͤ����ȯ�������е�ƻ�ǥ��ͥ륮��$h_{123}$��Ǥ��
���礭�ʤ�Τ����롥

\vspace{0.3cm}
�����McGehee[6]��ȯ�ۤ�ȤäƼ����롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. (1.4)��꼡�����롥
$$ \begin{array}{l} 
  x_1 = \sqrt{2} r \cos \theta, \\
  \dot{x}_1 = \displaystyle \sqrt{2} r^{-1/2} 
\left( v \cos \theta - w \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \sqrt{W} 
\right) . 
   \end{array}    
$$

���ΤȤ�(1.6)��ȤäƼ������롥
$$ \begin{array}{rl} 
  h_{12} = & \displaystyle \frac{W}{r} 
\left[ 
   \frac{v^2(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta)}{2W} - 
   \frac{vw \sin \theta}{\sqrt{W}} 
\right. \\ 
 & + \displaystyle 
   \frac{rh \sin^2 \theta}{W} - \cos \theta + \frac{1}{\cos \theta} 
\left. \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2} W} \right) 
\right] .
   \end{array}    
$$

$p (r,v) \in S^+$�Ȥ�����$W(\pi/2) = 2^{-1/2}$�Ǥ��뤳�ȡ������$\theta$
��$\pi/2$�˸������Ȥ�$(1/\cos \theta) \times [1 - (1/\sqrt{2}W)]$��$4
\varepsilon^{3/2}/\sqrt{2 + \varepsilon}$�˸��������Ȥ�ꡢ$p$�ˤ�����
$$
  h_{12} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r} 
\left[ 
 - \frac{\displaystyle v^2}{\displaystyle 2} + 
   \frac{\displaystyle 4 \varepsilon^{3/2}}
        {\displaystyle \sqrt{2(2 + \varepsilon)}} 
\right] + h .
$$

$N$��$N > |h|$�ʤ�����Ȥ��롥$(r,v)$��
$$
  v^2 > \frac{\displaystyle 8 \varepsilon^{3/2}}
     {\displaystyle \sqrt{2(2 + \varepsilon)}},  
$$
�����
$$
  r < 
\left( 
\frac{\displaystyle v^2}{\displaystyle 2} - 
\frac{\displaystyle 4 \varepsilon^{3/2}}
     {\displaystyle \sqrt{2(2 + \varepsilon)}} 
\right) (N+h)^{-1} ,
$$
����������$h_{12} < -N$�Ǥ��롥

${\cal C}$�˴ޤޤ��$W_{L^s}^{u,1}$�ε�ƻ��$v$��Ǥ�դ��礭���褦������̵
�¸�$S^+$���ͭ���롥(5.1)���������褦��$v=v_0$����ꤹ�롥
$W_{L^s}^{u,1}$��2�����Ǥ��ꡢή���$S^+$�˲���Ū�Ǥ��뤫�顢
$W_{L^s}^{u,1}$�ε�ƻ�����ä�Ǥ�դ˾�����$r$��$S^+$�ȸ��롥��������
$h_{12} < -N$�Ǥ��롥\hfill $\Box$��

\vspace{0.3cm}
$(x_1(t), x_2(t), \dot{x}_1(t), \dot{x}_2(t))$������5.1��Ϳ��������е�
ƻ�Ȥ��롥$t_0$�����ä�$x_1(t_0)=0$����Ӥ����礭��$M$���Ф���$h_{123} >
M$�Ǥ��롥������������
$$
\frac{\displaystyle (\dot{x}_2(t_0))^2}{\displaystyle 2} - 
\frac{\displaystyle (2+\varepsilon)}{\displaystyle x_2(t_0)} > B 
\eqno(5.2)
$$
�Ƚ񤱤롥������$B=(2+\varepsilon)M/2 \varepsilon$�Ǥ��롥(5.2)�κ��դ�
����$1$��$2+\varepsilon$����������Υ��ͥ륮���Ǥ��롥��Υ$x_2$���б���
����������ξ�����٤��礭����β�®�����롥�ʤ��ʤ�
%\frac{\displaystyle }{\displaystyle }
$$
\ddot{x}_2 = - 
\frac{\displaystyle 8(2+\varepsilon)x_2}
     {\displaystyle (x_1^2+ 4x_2^2)^{3/2}} > - 
\frac{\displaystyle (2+\varepsilon)}{\displaystyle x_2^2} 
$$
������Ǥ��롥

���ͥ륮��$h$�Τ��٤Ƥ��ͤ��Ф��ơ�̵�±���ж�Ū��ƨ�������е�ƻ��¸��
����Ȥ����롥Ϣ³����꼡����������롥

\vspace{1.0cm}
\hspace*{5cm} ��5.1

\vspace{7.0cm}

\newpage
\noindent
{\bf ���� 5.2.} ��ƻ$\Omega_1 \subset P_+^s \cap W_{L^s}^{u,1}$�����äơ�
�޷�$\theta_L$�λ��ξ��ͤ����ȯ����$x_2=0$�����ڤ餺��̵�±����ʪŪ
��æ�Ф��롥(��5.1����)

\vspace{0.3cm}
���餫��$\Omega_1$���оΤʵ�ƻ�����ʤ��
$\Omega_2 \subset P_+^u \cap W_{L^i}^{s,2}, 
\Omega_3 \subset P_-^s \cap W_{M^s}^{u,2}$����� 
$\Omega_4 \subset P_-^u \cap W_{M^i}^{s,1}$��¸�ߤ��롥
�����ε�ƻ��${\cal P}_0$�ȸ���ʤ�����ɸʿ�̤�$m_3$��$x_2=0$������
��ʤ���

\begin{center}
{\large 
{\bf 6. ����-���͵�ƻ} 
}
\end{center}

����¿���Τ�ʿ�����θ���˶�̣�����롥�����θ�����$t$��$-\infty$��
$+\infty$�˸������Ȥ��˻��ξ��ͤ˸�������ƻ��Ϳ���롥��������뤿��ˡ�
����¿���Τ򤦤ޤ�ʿ�̤��ڤ롥

�ޤ�${\cal P}_0$��ͤ��褦��ή���$\omega^0$�����������${\cal P}_0$�˲�
��Ū�Ǥ��롥�׻��ˤ��С�$\omega^0$���$v'' = wW^{-1/2} \cos \theta
(-V'(\theta))$�Ǥ��뤫�顢sgn$(v'')={\rm sgn}(-wV'(\theta))$��$\theta=0,
\theta=\pm \theta_L$�����$\theta=\pm \pi/2$���Ѳ����롥�ܤ��������ȡ�
$$ \begin{array}{l} 
  X_1 = \{ (\theta,w) \in \omega^0 | w<0, \theta \in (-\theta_L,0) 
\cup  (\theta_L, \pi/2) \}, \\
  X_2 = \{ (\theta,w) \in \omega^0 | w>0, \theta \in (-\pi/2,-\theta_L) 
\cup (0,\theta_L) \}, \\
  X_3 = \{ (\theta,w) \in \omega^0 | w<0, \theta \in (-\pi/2,-\theta_L) 
\cup (0,\theta_L) \}, \\
  X_4 = \{ (\theta,w) \in \omega^0 | w>0, \theta \in (-\theta_L,0) 
\cup  (\theta_L, \pi/2) \}, 
   \end{array}    
$$
���������ȡ�$v(t)$��$X_1 \cup X_2$�����Ƕɽ����Ȥʤꡢ$X_3 \cup X_4$
�����Ƕɽ�˾��Ȥʤ롥$\omega^0$���3����ʬ�Ȥ��Ƽ������롥
$$
  v''' = \frac{1}{2} W^{-1/2} (-W^{-1}(	W')^2 \cos \theta + 
2 W'' \cos \theta - W' \sin \theta + 2 W \cos \theta) .
$$

���ΤȤ�$\theta=0$�ʤ�$v''' = -7(1+4 \varepsilon)^{-1/2} 2^{1/4} <0$�Ǥ�
�ꡢ$\theta=\pm \theta_L$�ʤ�$v''' =
9(2^{7/4}(2+\varepsilon)^{1/2})^{-1} >0$�Ǥ��롥$\omega^0 \backslash X_1
\cup X_2 \cup X_3 \cup X_4$������$v(t)$���Ѷ����Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 6.1.} $p \in {\cal P}_0 \backslash {\rm cl}({\cal M})$�Ȥ��롥
���٤Ƥ�$t>0$���Ф���$v(t) \neq 0$�ޤ���$\theta(t) \neq \pm \pi/2$�ʤ�
$\varphi(t,p)$�Ͼ��͵�ƻ�Ǥ��롥���ʤ����$t$��$\infty$�˸������Ȥ�
$r(t)$�ϥ����˸�������

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $r(t)$��$p=\varphi(0,p)$�Ƕ���Ǥ��롥���������ξ�����
���֤δ�$r(t)$�ϸ������롥���ΤȤ����٤Ƥ�$t>0$���Ф���$v(t)<0$�Ȳ����
���롥$t$��$+\infty$�˸������Ȥ���$r(t)$����������$r_0$�˸�����������
���ΤϤ��Ǥ��롥$r_0 \neq 0$�ʤ�$t$��$+\infty$�˸������Ȥ���$v(t)$�ϥ���
�˸��������Ȥ�����������Բ�ǽ�Ǥ��롥$\varphi(t,p)$������¿���Τγ���ʿ
�����˸��������ȤˤʤäƤ��ޤ�����Ǥ��롥

(1.4)���$x_1 = \sqrt{2}r \cos \theta$�Ǥ��롥��ƻ�˱�ä�$x_1(t)$������
     ͭ���ʴؿ��Ǥ��ꡢ���٤Ƥ�$t$���Ф���$\ddot{x}_1(t)<k, k = -2(1+4
     \varepsilon)^{-2}$�Ǥ��롥���ΤȤ�$t^*$�����ä�$x_1(t^*)=0$�Ǥ��롥
     �������ä�$t^*$ͭ�¤Ǥ��뤫$t^* = \infty$�Ǥ��롥$t^*$��ͭ�¤ʤ���
     �ξ��ͤǤ��뤬������Ϥ���������\hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
����������롥
$$ \begin{array}{l}
  \sigma_+^u = \{ p \in {\cal P}_0 \cap W_{M^s}^{u,1} | 
Ǥ�դ�t<0���Ф���\varphi(t,p)��{\cal P}_0���ڤ�ʤ� \}  \\
  \sigma_-^u = \{ p \in {\cal P}_0 \cap W_{L^s}^{u,2} | 
Ǥ�դ�t<0���Ф���\varphi(t,p)��{\cal P}_0���ڤ�ʤ� \} .
   \end{array}
$$

${\cal U} \subset {\cal P}_0$��$(0,0)$�ζ�˵�Ȥ��롥[8]�Ǿ������줿�褦
�ˡ�$\sigma_+^u \cap {\cal U}$�ϡ�${\cal U}$����ʬ���������$(0,0)$�˴�
���դ������Ǥ��롥�������$\varepsilon< 55/4$�Ȳ��ꤷ�Ƥ��롥���ξ�硢
$\sigma_+^u$������6.2�˼������褦��Ϣ³�����Ǥ��롥�¤ϡ����ͷ׻��ˤ�
���$\sigma_+^u$�����Ū�ˤ��줤��(nice)�������ȤʤäƤ���(���A����)��

%\frac{\displaystyle }{\displaystyle }
\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 6.2.} $\sigma_+^u$��$l \in [0, \infty)$�ǥѥ�᡼�����Ť���$\sigma_+^u(0)=(-\theta_L,0)$�Ȥ���$l$��$\infty$�˸������Ȥ�$\sigma_+^u(l)$��$(0,0)$�˸������褦�ˤ��롥���ΤȤ�$\sigma_+^u$��Ϣ³�����Ǥ��ꡢ$l_1=0$�ʤ�������$\{ l_i \}_{i \in {\bf N}}$�����äơ�$q_i=\sigma_+^u(l_i) = (\theta_i,0)$�ʤ�$\sigma_+^u \cap \{ w=0 \} \supseteq \cup_{i \in {\bf N}} \{ q_i \}$�Ǥ��ꡢ$i$�������ʤ�$\theta_i>0$��$i$������ʤ�$\theta_i<0$�Ǥ��롥$\sigma_-^u$�˴ؤ��Ƥ�Ʊ�ͤʼ�ĥ������Ω�ġ�

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $-\theta_L$��ȼ��ʿ������޷���ƻ����$\sigma_+^u(0)$��
${\cal P}_0$���ڤ롥�������äƽ�ʬ������$l>0$���Ф���$\sigma_+^u(l)$��
Ⱦʿ��$w>0$�˴ޤޤ��Ϣ³�����Ǥ��롥���λ��¤�ʿ������޷��饰��󥸥�
��ζ᤯����ʬ��������ȤäƵ��뤳�Ȥ��Ǥ���(�ܤ�����[11]����)��
$\sigma_+^u \subset {\cal P}_0 \backslash {\rm cl} ({\cal M})$�ʤ顢����
���$\sigma_+^u$��$\omega^0$�ȸ���ʤ��ʤ顢$\sigma_+^u$��Ϣ³�̤Ǥ��롥

$l_2 = \min \{ l>0| \sigma_+^u(l) = (\theta_i,0) \  {\rm with} \
\theta_i>0 \}$�Ȥ�����$\sigma_+^u$�ϸ����ζ᤯�Ǳ��򴬤��Ƥ��뤫�餳�ο�
��¸�ߤ���([8]�ˤ�����褦��ʿ������޷������顼��ζ᤯����ʬ���������
����)��(1.5)��ꡢ$w=0$�����$\theta \in (-\theta_L,0)$�ʤ�$\dot{w}>0$��
���롥�������äƸ�$B = \{ \sigma_+^u(l) | 0 < l < l_2 \}$��Ⱦʿ��$w>0$��
�ޤޤ�롥$\sigma_+^u \cap \omega^0 = \emptyset$���������ˤ�$B \cap
\omega^0$�򼨤��н�ʬ�Ǥ��롥�Ȥ����Τ�$\sigma_-^u$��$\sigma_+^u$�ϸ��
�餺$\sigma_-^u = L^2 \circ L^1 (\sigma_+^u)$������Ǥ��롥
$W_{M^s}^{u,1}$�ε�ƻ�Ϻǽ��$X_1 \cup X_2$�����ˤϤ��ɤ�Ĥ��ʤ�������
��$B$��$w>0$����$-\theta_L < \theta<0$�ʤ���$(\theta,w)$��$\omega^0$��
�ڤ�ʤ���н�ʬ�Ǥ��롥

���ξ��ͤ���§������Ƥ��ʤ���С�(1.4)��ꡢ����$\omega^0$��$u^2 =
-V(\theta)$�Ǥ��ꡢ$-\theta_L < \theta < 0$���Ф���$u^2 = -V(\theta) >
-V(-\theta_L)$�Ǥ��롥(1.4)��(1.5)���$du/d \tau = \frac{1}{2} vu -
V'(\theta)$�Ǥ��롥���ΤȤ�$du/d \theta = - \frac{1}{2} v -
V'(\theta)/u$�Ǥ��ꡢ$v>0$�ʤ�$du/d \theta < - V'(\theta)/u$�Ǥ��롥��ʬ
����
$$
  u_1^2 < 2 \int_{-\theta_L}^0 -V'(\theta) d\theta = 2(-V(0) + V(-\theta_L)) .
$$

$V(0) = -(1+4\varepsilon)/\sqrt{2}$�����$V(-\theta_L) = -(1+2
\varepsilon)^{3/2}(2+\varepsilon)^{-1/2}$����$u_1^2 < -V(-\theta_L)$����
������롥�椨��$B \cap \omega^0 = \emptyset$�Ǥ��롥

����ξ��������$\{ l_i \}$��¸�ߤ�$w=0$��Ǥ�sign$(\dot{w})$���Ѳ���
��Ф롥(1.5)�κǸ�μ����顢$w=0$��ǡ�$\theta \in (-\theta_L,0) \cup
(\theta_L, \pi/2)$�ʤ�$\dot{w}>0$�Ǥ��ꡢ$\theta \in (-\pi/2,-\theta_L)
\cup (0,\theta_L)$�ʤ�$\dot{w}<0$�Ǥ��롥\hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
$\sigma_+^s = L^1(\sigma_+^u)$�����$\sigma_-^s = L^1(\sigma_-^u)$�����
����(��6.1����)��������$\sigma_+^s \subset W_{M^i}^{s,2}$�����
$\sigma_-^s \subset W_{L^i}^{s,1}$�Ǥ��롥��6.1�ǤϿ��ͷ׻��ˤ������ä�
���줤�����Ū�˱��򴬤��Ƥ��뤳�Ȥ��ꤷ�Ƥ���(���A����)������������
�ؤ��Ƥ�����2.1����Ѥ��Ƥ����������������ξ�硢��������Ⱦ�¤�ɬ������
ñĴ�����ؿ��ǤϤʤ��������ͷ׻��ˤ��ж���$\sigma_+^s,\sigma_-^s,
\sigma_+^u$�����$\sigma_-^u$��$w=0$��ޤ���$\theta=0$�ΤߤǸ��롥����
��̤��θ���ʤ���С�����������$(0,0)$�ζ�˵�Ǥ����ݾڤ���롥$D
\subset {\cal P}_0 \backslash {\rm cl} ({\cal M})$�򡢿�6.1�Τ褦��
$\sigma_+^s,\sigma_-^u, \sigma_+^u$�����$\sigma_-^s$�θ̤ǰϤޤ�뽸��
�Ȥ��롥$(-\theta_L,0)$�ζ᤯��$D$���̤뵰ƻ�ϡ��������λ��֤θ塢$M^i$
�ζ�˵����$W_{E^i}^1$�ˤ������ä�ƨ���ƹԤ���$D^1$��$D \backslash
(\sigma_+^s \cup \sigma_-^s \cup \{ (0,0) \} )$����ʬ�Ǥ����ε�ƻ���
���ΤȤ��롥$D^2$��$D \backslash (\sigma_+^s \cup \sigma_-^s \cup \{
(0,0) \} )$�Τ⤦�ҤȤ���ʬ�Ȥ��롥$D^3 = L^2(D^1)$�����$D^4 =
L^1(D^1)$��������롥$D^1$�ϡ���6.1�˼������褦�ˡ�2�Ĥ���ʬ²$\{
c_j^1 \}$�����$\{ d_j^1 \}$�򤽤줾��$\gamma_1$�����$\gamma_2$��˷��
�롥$D^2$����б�����²��$\{ c_j^2 \}$�����$\{ d_j^2 \}$�Ƚ񤯡�

\vspace{4.0cm}
\hspace*{5cm} ��6.1

\vspace{4.5cm}
\vspace{5.0cm}
\hspace*{5cm} ��6.2

\vspace{5.0cm}
��������$j \geq 2$���Ф��ơ�$Q_j^1$��$D^1$���$d_{j-1}^1$�����$d_j^1$
�˸¤����Ľ���Ȥ��������(��6.1�򸫤�)��$Q_1^1 = D^1 \backslash
\cup_{j \geq 2} Q_j^1$�Ȥ����������3�Ĥν���²$\{ Q_j^2 \}, \{Q_j^3 \}$
�����$\{ Q_j^4 \}$�򤽤줾��
${\rm cl} (D^2), {\rm cl} (D^3)$�����${\rm cl} (D^4)$��ˡ����٤Ƥ�$j
\in {\bf N}$���Ф���$Q_j^2 = L^2 L^1 (Q_j^1), Q_j^3 = L^2 (Q_j^1)$�����
$Q_j^4 = L^1 (Q_j^1)$��������롥

$p \in D$��Ϳ����줿�Ȥ���
$t_b(p) = \min \{ t>0| \varphi(t,p) \in S^+ \cup S^- \},$ 
$t_{-b}(p) = \min \{ t<0| \varphi(t,p) \in S^+ \cup S^- \}$��������롥
(���𤬤ʤ����$t_b$�����$t_{-b}$�Ƚ�)������6.1��ꡢ�ɤ�$p \in D
\backslash (\sigma_+^s \cup \sigma_-^s \cup \{ (0,0) \} )$���Ф��Ƥ�
$t_b$��¸�ߤ����ɤ�$p \in D \backslash (\sigma_+^u \cup \sigma_-^u \cup
\{ (0,0) \} )$���Ф��Ƥ�$t_{-b}$��¸�ߤ���

$p \in {\rm Int}(Q_j^1 \cap Q_j^2)(p \in {\rm Int}(Q_j^3 \cap Q_j^4))$, 
$j \in {\bf N}$�ʤ顢
$\{ \varphi(t,p)|t \in {\rm Int} \langle 0,t_{b(-b)}(p) \rangle \}$��$S_1$���$j$�Ĥ�������Ĥ��Ȥ����դ��롥������$\langle \ , \ \rangle$��������Ǥ��롥$D^1 \cap \sigma_-^u$�����$D^1 \cap \sigma_+^u$�θɤ�$D^1$����Ľ���ν��ޤ����롥����˿�6.2�Ǽ������褦��$P_2^1, P_3^1, P_4^1, \ldots$�Ƚ��֤�Ĥ��롥�оΤʽ���$P_j^2 = L^2 L^1 (P_j^1)$��$D^2$�˴ޤޤ�롥�¤ΤȤ���²$\{ P_j^1 \}$��²
$\{ Q_j^1 \}, \{ Q_j^2 \}, \{ Q_j^3 \}$�����$\{ Q_j^4 \}$�θ���Ǥ���
�Ƽ��Τ褦�ˤʤäƤ��롥$j \geq 1$���Ф���$P_{2j}^1 = Q_j^1 \cap Q_j^4$
�����$P_{2j+1}^1 = (Q_j^1 \cap Q_{j+1}^3) \cup (Q_{j+1}^1 \cap Q_j^3)$��
$P_2^1$��$c_1^1$�����$\sigma_+^u, \sigma_-^u$���б�����̤Ǹ¤��뽸��
�����¤��롥$P_2^2$��Ʊ�ͤˤ��롥

\newpage
\hspace*{5cm} ��6.3

\vspace{7.0cm}
�������äơ�$j \geq 2$�ΤȤ�$p \in {\rm Int}(P_j^1)$�ޤ���$p \in {\rm
Int} (P_j^2)$�ʤ顢$\{ \varphi(t,p)| t_{-b} < t < t_b \}$��$S_1$���$j$
�Ĥ�������ġ�����$\{ d_j^1 \}$�����$\{ d_j^2 \}$������²$Q$�ζ����ˤ�
�뤱��ɤ⡢�����Ͻ���²$P$��������Ʊ�����ˤ��뤳�Ȥ����դ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ̿�� 6.1.} �ɤ�������$n$���Ф��Ƥ�饰��󥸥�޷�����2�Ĥ��оΤ�
����-���͵�ƻ($E-C$)�����äơ�$m_3$��$x_2=0$����$n$���ڤꡢ����������
���ͤ򤷤ʤ���$n$�������ʤ�������Ӻǽ��޷�����������$n$������ʤ�ۤ�
�롥(��6.3����.)


\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $\sigma_+^u \cap \sigma_+^s$�����$\sigma_-^u \cap
\sigma_-^s$�����϶�����$n$��E-C��ƻ���б����롥�����ε�ƻ������®�ٶ�
�����������Ĥ��ȤϤ����餫�Ǥ���(��6.3����)��$n$������ʤ鵰ƻ��
$\sigma_+^u \cap \sigma_-^s$�����$\sigma_-^u \cap \sigma_+^s$���������
�롥\hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
̿��6.1�ε�ƻ��[10]��Sim\'{o}�ˤ������줿��

���˥饰��󥸥������դ��Ƥ�������ʬ�ޤΤ������ξ��ͤΤ���ʬ�ޤ˴����դ�
��Τ�Ĵ�٤褦��̵�±�᤯����$S_2$��ͤ��롥�ѿ�$(x,y,\bar{\varphi},R)$
�ǡ�������ƻ${\rm P.O.}_+$��$\gamma_1$������$\bar{\varphi}=0$�����
$\bar{\varphi}=\pi$���Ф��ƻ��ġ�Levi-Civita����§����ȤäƤ��뤫�顢
����2�Ĥ����ϸ��¤���1�Ĥ��б����롥ɬ�פ�Ʊ��뤬�Ԥ�줿�Ȥ��롥
���ΤȤ�$S_2$��̵�±�ζ᤯�ǡ�$\bar{\varphi}=0$�ϥ���®�ٶ����Ǥ��ꡢ
Ʊ����ͳ�ˤ��$\bar{\varphi}= \pi/2$�����ξ��ͤǤ��롥

5���$W_{L^s}^{u,1}$��°�����ж����е�ƻ��¸�ߤ�������������������2.1
�β�����θ�$\gamma \in W_{L^s}^{u,1} \cap {\cal E}_1$�����롥��
$\sigma_{L^s}^{\infty} = i_+^1 (\gamma \cap {\cal E}_1)$��${\rm P.O.}_+$
�μ���˴����Ĥ���$\sigma_{L^s}^{\infty}$�δ����Ĥ����˴ؤ��Ƥ�����2.1��
���Ȥ����ߤ����������Ǽ������꤬�����롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 6.3.} $\sigma_{L^s}^{\infty}$��$l \in [0, \infty)$��
�ѥ�᡼�����Ť���$l$��$\infty$�˸������Ȥ�$\sigma_{L^s}^{\infty}(l)$��
${\rm P.O.}_+$�˸������褦�ˤ��롥���ΤȤ�������
$\{ l_i \}_{i \in {\bf N} \cup \{ 0 \}}$�����äơ�
$\sigma_{L^s}^{\infty} \cap \gamma_1 \supseteq \cup_{i \in {\bf N} 
\cup \{ 0 \}} \{ p_{2i} \}$�Ǥ��ꡢ
$\sigma_{L^s}^{\infty} \cap 
S^+ \supseteq \cup_{i \in {\bf N}} \{ p_{2i-1} \}$�Ǥ��롥
������$p_i = \sigma_{L^s}^{\infty}(l_i)$�Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
Ʊ�ͤˤ��ơ���$\gamma \subset W_{M^s}^{u,2} \cap {\cal E}_3$�����äơ�
$i_+^3$����Ѥ������${\rm P.O.}_-$�˴����դ���$\sigma_{M^s}^{\infty}$��
�ʤ롥$\sigma_{L^i}^{\infty}$�����$\sigma_{M^i}^{\infty}$���о���$L^1$
�ˤ�ꡢ���줾��$\sigma_{L^s}^{\infty}$�����$\sigma_{M^s}^{\infty}$����
�Τʸ̤Ǥ��롥$j \geq 0$���Ф��ơ�����6.3��Ϳ��������$p_{2j}$�����
$p_{2j+2}$�Ǹ¤��볫��ʬ$\gamma_1$�Ȥ���$x_j$���������(��6.4����)��$j
\geq 0$���Ф���$x'_j$��$p_{2j-1}$�����$p_{2j+1}$�Ǹ¤��볫��ʬ�Ǥ���
�Ȥ��롥$D_+$��$S_2$���ΰ�Ǥ��äơ���$\{ \sigma_{L^s}^{\infty} (l)| l_0
\leq l \leq l_2 \}, x_0$�����${\rm P.O.}_+$�˰Ϥޤ���Τ�������롥
$L^2$�ˤ�äƤ��줾��$\{ x_j \}$�����$\{ x'_j \}$���оΤʳ���ʬ²��$\{
y_j \}$�����$\{ y'_j \}$�ȸƤ֡�$D'_+ = L^1 (D_+)$�ʤ�$D_- = L^2
(D'_+)$�����$D'_- = L^2 (D_+)$������Ǥ��롥

\vspace{3.5cm}
\hspace*{5cm} ��6.4

\vspace{3.5cm}
���Ǥ�$(0,0) \in {\cal P}_0$�ζ᤯�ǹԤʤä��褦�ˡ�$D_+ \cup D'_+$���
�Ľ����²$\{ Q_j^+ \}$���6.4�˼������褦������Ǥ��롥$j \geq 1$�Τ�
���оΤʽ���$\{ Q_j^- \}$���оη���$D_- \cup D'_-$��������롥��6.4(��
��Ӵ�Ϣ�����11.1�����11.4)�ǤϤ��줤��(nice)��������������Ω�Ĥ��Ȥ�
���ꤷ�Ƥ��롥����Ϥ��Ǥ˽Ҥ٤��Ȥ��ꡢ����Ū�ʾڵ��΢�դ�����Ƥ���
(���A����)��

\vspace{3.5cm}
\hspace*{5cm} ��6.5

\vspace{4.0cm}
$p \in {\cal V}$�Ȥ�����$t_{-x} (p) = \max \{ t<0 | \varphi(t,p) \in S_1
\}$�����$t_x (p) = \min \{ t>0 | \varphi(t,p) \in S_1 \}$��������롥��
�𤬤ʤ����$t_{-x}$�����$t_x$�ȴ�ñ�˽񤯡����ΤȤ��ɤ���
$p \in (D_+ \cup D'_+) \backslash \sigma_{L^i}^{\infty}$�ޤ���
$p \in (D_- \cup D'_-) \backslash \sigma_{M^i}^{\infty}$���Ф��Ƥ�$t_x$
��¸�ߤ����ɤ���$p \in (D_+ \cup D'_+) \backslash \sigma_{L^s}^{\infty}$
�ޤ���$p \in (D_- \cup D'_-) \backslash \sigma_{M^s}^{\infty}$���Ф��Ƥ�
$t_{-x}$��¸�ߤ��롥

����$j \geq 1$���Ф���$p \in {\rm Int} (Q_j^+) \ (p \in {\rm Int}
(Q_j^-))$�ʤ顢��$a = \{ \varphi(t,p) | t_{-x} < t < t_x \}$��$S^+(S^-)$
��$j + m^1$���ڤ뤳�Ȥ����դ��롥$m^1$��̵�±�ζ᤯�ǻȤ����˵����
�������ܼ�Ū�˰�¸���롥��������ξ��ͤΤ����ޤä�����˴ط����Ƥ��롥
��ñ�����뤿�ᡢ����$\{ Q_j^+ \}$�����$\{ Q_j^- \}$���ֹ�����$m^1$��
��Ϥޤ�褦���դ��ؤ��롥���ΤȤ��������ź��$j$�ϸ�$a$�����ξ��ͤβ��
�����Τ�ɽ����

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ̿�� 6.2.} ��ʬ�礭�ʳ�������$n$���Ф��ƽ������Ӻǽ��޷����饰��
�󥸥巿�Ǥ���2�Ĥ�����-���͵�ƻ�����äơ�$m_3$��$x_2=0$�����ڤ餺��
$m_1$��$m_2$��$n$�����ξ��ͤ�Ԥ�(��6.5����)��

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. ��ƻ�Ϥ��줾�����$\sigma_{L^s}^{\infty} \cap
\sigma_{L^i}^{\infty}$�����$\sigma_{M^s}^{\infty} \cap
\sigma_{M^i}^{\infty}$����������(��6.4����)��\hfill $\Box$

