
\begin{center}
{\large 
{\bf 7. ������$S_0$} 
}
\end{center}

2�Ĥβ�����${\cal P}_0$��$S_2$��ȤäƤ�������$S_2(y=0)$�����Ū�ʲ�����
�Ȥ��ƤϤ褯�ʤ�����ɤ�$\theta_L \leq \theta \leq \pi/2$�ΤȤ��Ϥ褤��
�жʵ�ƻ����ʪ��ƻ����ӥ����顼ʿ������޷���ƻ������ơ�Ǥ�դε�ƻ��
$S_2$���ڤ롥

��${\cal P}_0$��̵�±�ζ᤯�ǤϤ褯�ʤ����Ĥޤ�̵�±��Ǥ�դζ�˵��
${\cal P}_0$���ܤ��뵰ƻ������ΤǤ��롥����򼨤������$v=0$��
$(x,y,\xi,\eta)$��ɸ�ǽ񤯡�(1.4)��ꡢ
$$
  v = r^{-1/2} \left( \frac{1}{2} x_1 \dot{x}_1 + 
(2 \varepsilon/(2+\varepsilon)) x_2 \dot{x}_2 \right) ,
$$
�Ǥ��ꡢ(2.1)��Ȥä�
$$
  v = (\xi^4 x^4/2 + 8\varepsilon/(2+\varepsilon)^{1/3})^{-1/4} 
(\xi \eta x + 4 \varepsilon (2+\varepsilon)^{-1/3} y/x ) .  \eqno(7.1)
$$

���ΤȤ�$v=0$�����$x \neq 0$���Ф���
$$
  y = - 
\frac{\displaystyle (2+\varepsilon)^{1/3}}{\displaystyle 4\varepsilon} 
\xi \eta x^2 .                 \eqno(7.2)
$$

������ƻ$(x,y)=[0,0]$��${\cal P}_0$�˴ޤޤ�롥���Τ���${\cal P}_0$�ϥ�
��®�ٶ���$(\eta=0)$�ˤ����ơ��ޤ�$\xi=0$���б��������ξ��ͤˤ�����$S_2$
���ڤ롥$(\xi ,\eta)$�̤ˤ����ƶ˺�ɸ��Ȥ��С�$\xi \eta = R^2 \sin (2
\bar{\varphi})/2$�Ƚ񤱤롥$x,y$����ʬ���������$R$��$1$�˶ᤤ�����ΤȤ�
$\bar{\varphi}$����ꤹ��ȡ�(7.2)��$(x,y)$�����2��(degree)����ʪ���˶�
����$\xi \eta <0$�ʤ��������Ǥ��ꡢ$\xi \eta >0$�ʤ��鷸���Ǥ��롥��7.1
�ˤ�Levi-Civita��Ʊ���򤷤����${\rm P.O.}_+$�ζ᤯��${\cal P}_0$��
$S_2$�Ȥδط���������Ƥ��롥

\vspace{4.0cm}  
\hspace*{5cm} ��7.1

\vspace{4.0cm}  
$v$��̵�±�ζ᤯�Ǥ褤�ѿ��Ǥʤ����Ȥ�Ϥä��ꤵ����⤦��Ĥ���ˡ�ϡ�
������ƻ${\rm P.O.}_+$��$v=0$�˴ޤޤ�Ƥ���Τˡ��ط���������¿���ΤǤ�
$v$���ͤ�$\pm 4 \varepsilon (8 \varepsilon (2+\varepsilon))^{-1/4}$
($+$�ϰ���¿���Ρ�$-$���԰���¿����)�˸��������ȤǤ��롥

��ʪ��ƻ�˽�ʬ�ᤤ�ʱߵ�ƻ��$B^+$������Ȥ���${\cal P}_0$�Ȥκǽ�θ���
���ΰ�$\xi \eta <0$�ˤ��뤳�ȡ����ʤ����$w>0$�Ǥ��뤳�Ȥ��������������
��ĥ��������뤿��ˤϡ�$\overline{\varphi} = 3 \pi/4 \ ({\rm mod} \
\pi)$���̤�̵�±�᤯�Υݥ��󥫥����$\overline{F}$��ͤ���н�ʬ�Ǥ��롥
$\overline{F}$��$\overline{F}(x,y) = (x - \frac{1}{4} \pi x^2 (y+r_1), y
- \frac{1}{4} \pi x^3 (x+r_2))$��Ϳ�����롥������$r_1$�����$r_2$��
$x,y$�˴ؤ���3���μ²��ϴؿ��Ǥ���([6]����)���ʱߵ�ƻ��${\cal P}_0$�Ȥ�
�ǽ�θ򺹤�$y<0$���ΰ�ǵ������(���ʤ��$\xi \eta>0$)�����ε�ƻ��$y<0$
�ʤ�ݥ��󥫥����̤����夹��Ϥ��Ǥ��롥���޹ͤ��Ƥ����������ľ��$y=0$
��������$v$������ͤ���Ĥ��Ȥ��������н�ʬ�Ǥ��롥�Ȥ�����$x$����ʬ��
������С�������$y = \frac{1}{4} \pi x^3 (x+r_2) < (2+\varepsilon)^{1/3}
R^2 x^2 / (8\varepsilon)$�Ǥ��롥

��
$$
  w = u \cos \theta / \sqrt{W} = r^{-1/2} (\varepsilon / 
(2 + \varepsilon))^{1/2} (-x_2 \dot{x}_1 + x_1 \dot{x}_2) \cos \theta / 
\sqrt{W} ,
$$
��Ȥ��С��ǽ�θ򺹤�Ⱦʿ��$w>0$�ǵ����뤳�Ȥ��狼�롥

$f_1(x)$��$C^{\infty}$�ؿ��Ǥ��äơ�$x \leq \alpha_1$�ʤ�
$f_1(x) \equiv 1$��$x \geq \alpha_2$�ʤ�$f_1(x) \equiv 0$�Ǥ���Ȥ��롥
������$0 < \alpha_1 < \alpha_2$��2�ĤȤ⾮���ʼ�����Ǥ��롥�����
$x \in (\alpha_1, \alpha_2)$�ʤ�$f'_1(x)<0$��
$0 < z < (\alpha_2-\alpha_1)/2$�ʤ�$f''_1(\alpha_1+z) < 0$��
�ޤ�$0 \leq z \leq (\alpha_2 - \alpha_1)/2$�ʤ�
$f_1(\alpha_1+z) = 1 - f_1(\alpha_2-z)$�Ȥ��롥����������롥
$$
  \overline{\psi} (x,y,\xi,\eta) = y f_1(x) + (1-f_1(x)) v . 
$$
������$v$��(7.1)��Ϳ������$x,y,\xi,\eta$�δؿ��Ǥ��롥
�ؿ�$\overline{\psi}$�϶���
$$
  S_0 = \{ (x,y,\xi,\eta) \in {\cal V} | \overline{\psi} 
(x,y,\xi,\eta) = 0 \} ,
$$
��������롥

$\alpha_1$����ʬ��������С�$x \leq \alpha_1$���Ф���ή���$S_0$�˲���Ū
�Ǥ��뤳�Ȥ����դ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 7.1.} $\alpha_2$����ʬ��������$\alpha_2 \leq 2 \alpha_1$������
���С�$0 < \alpha_1 < x < \alpha_2$�ʤ�ɤ�$x$���ͤ��Ф��Ƥ⡢
$\bar{\psi}$��ʪ������$t$�˴ؤ�����ʬ�Ϥ��礦��2��$p_1,p_2 \in S_0$�ǥ�
���ˤʤ롥$x$��$\alpha_1$�ޤǸ��������2�Ĥ�����Ʊ���˸¤���ġ�

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $\alpha_1 < x < \alpha_2$�ʤ�$S_0$���
$$
  v = -f_1(1-f_1)^{-1} y                      \eqno(7.3)
$$
�Ǥ��롥���ΤȤ��������ΰ��$dt = \xi^2 d \kappa$(2�Ỳ��)�Ǥ��뤳�Ȥ��
���Ф���
$$
 \frac{\displaystyle d \bar{\psi}}{\displaystyle d \kappa} = 
 f_1 \frac{\displaystyle d y}{\displaystyle d \kappa} + 
 (1-f_1) \frac{\displaystyle d v}{\displaystyle d \kappa} + 
 y  \frac{\displaystyle f'_1}{\displaystyle 1-f_1}
\frac{\displaystyle d x}{\displaystyle d \kappa} .  \eqno(7.4)
$$

(7.1)�����(7.3)���
$$
  \eta = - 
\frac{\displaystyle y}{\displaystyle \xi x^2} 
\left( 
 \frac{\displaystyle f'_1}{\displaystyle 1-f_1} \tilde{r}^{1/2} x + 
\frac{\displaystyle 4 \varepsilon}
      {\displaystyle (2+\varepsilon)^{1/3}} 
\right) .       \eqno(7.5)
$$
������
$\tilde{r} = (\xi^4 x^4/2 + 8\varepsilon/(2+\varepsilon)^{1/3})^{1/2}$�Ǥ��롥
���ͥ륮����ʬ(2.2)��(7.5)��Ȥ��С�
%\frac{\displaystyle }{\displaystyle }
$$
 y^2 = \frac{\displaystyle (1-f_1)^2}{\displaystyle A_1} 
\xi^2 x^4 (1 - \xi^2 + A_2 \xi^2 x^2) ,           \eqno(7.6)
$$
�Ǥ��롥������
$A_1 = \varepsilon(2+\varepsilon)^{-1/3} (1-f_1)^2 \xi^4 x^4 + 
(\tilde{r}^{1/2} f_1x + 4\varepsilon(2+\varepsilon)^{-1/3} (1-f_1))^2,$ 
$A_2 = \varepsilon(2+\varepsilon)^{-1/3} (1+u^2)^{-1/2}$�����
$u = (4(2+\varepsilon)^{1/3})^{-1} \xi^2 x^2$�Ǥ��롥 

�ޤ�(7.5)�����(7.6)���$\alpha_1 < x < \alpha_2$�ΤȤ���$S_0$���
$dv/d\kappa$��$\xi,\eta$�δؿ��Ȥ��Ƽ��Τ褦�˷׻��Ǥ��롥
$$ \begin{array}{rl}
  \frac{\displaystyle dv}{\displaystyle d\kappa} = 
& \frac{\displaystyle x}{\displaystyle \tilde{r}^{1/2}} - 
  \frac{\displaystyle 2x\xi^2}{\displaystyle \tilde{r}^{1/2}} + 
  \frac{\displaystyle 4\varepsilon \xi^2 x^3}
       {\displaystyle \tilde{r}^{1/2} 
(\xi^4x^4 + 16(2+\varepsilon)^{2/3})^{1/2}} - \\
& - \frac{\displaystyle f_1^2 \xi^4 x^7}
       {\displaystyle 2 \tilde{r}^{3/2} A_1} 
  (1 - \xi^2 + A_2 \xi^2 x^2) . 
   \end{array}                       \eqno(7.7)
$$

(7.7)��(7.4)����������(2.3)��Ȥ��С��������٤η׻��θ塢�������롥
$$
 \frac{\displaystyle d \overline{\psi}}{\displaystyle d \kappa} = 
\displaystyle (1-f_1) \tilde{r}_0^{-1/2} x ( 1 + o(1)) - 
\left( 2(1-f_1) \tilde{r}_0^{-1/2}x + f_1x^4/4 \right) \xi^2 (1+o(1)) . $$
������$\tilde{r}_0 = (8\varepsilon(2+\varepsilon)^{-1/3})^{1/2}$�Ǥ��롥

$d \overline{\psi} /d \kappa =0$�β����롥���ʤ����
$$
  1 = \xi^2 
\left(
2 + \frac{\displaystyle f_1}{\displaystyle 4(1-f_1)} \tilde{r}_0^{1/2} 
x^3 \right) (1+o(1)) .     \eqno(7.8)
$$

$x$��$\alpha_1$����$\alpha_2$�˸������Ȥ���ɽ��
$2 + f_1 \tilde{r}_0^{1/2} x^3 / 4(1-f_1)$��ñĴ��$\infty$����
��������˸����äƸ������뤳�Ȥ�Τ����Ф褤��

$f_1(1-f_1)^{-1} x^3$����ʬ��
$$
  \overline{g}(x) = 3 \overline{f}_1(1-\overline{f}_1) - 
x \overline{f}'_1 < 0 ,
$$
�ʤ���Ǥ��롥������$\overline{f}_1 = 1-f_1$�Ȥ�������$\overline{f}'_1$
����$x = (\alpha_1 + \alpha_2)/2$�˴ؤ����оΤǤ��뤳�Ȥ�Ȥ��С�
$\alpha_1 < x \leq (\alpha_1+\alpha_2)/2$���Ф���$\overline{g} (x) <0$��
��������н�ʬ�Ǥ��롥$x$�Τ����ͤ��Ф��ơ�ʿ���ͤ����������$f''_1$�˴�
���벾����
$$
  3 \overline{f}_1(1-\overline{f}_1) < 
  3 \overline{f}'_1(x)(x-\alpha_1)   
$$
�����롥���ΤȤ�$x \leq 3 \alpha_1/2$�ʤ�$\overline{g} (x) < 0$�Ǥ��롥
$\alpha_2 \leq 2 \alpha_1$�ʤ�(7.8)�β�$\xi^2$��$x$��$\alpha_1$����
$\alpha_2$�˸������Ȥ����礹�뤳�Ȥ������롥�Ȥ�����$x$��$\alpha_2$�˸�
������$f_1(x)$��$0$�˸�������(7.8)��������$\xi^2$���ͤϤ����ҤȤĤǤ���
���Ȥ����դ��褦��$x$��$\alpha_1$�˸������ȡ�$\xi^2$�Τ����ͤ�$0$�˸���
�����������ä�$x = x^*, \alpha_1 < x^* < \alpha_2$����ꤹ��ȡ�$d
\overline{\psi}/dt = 0$��2�Ĥβ�$\pm \xi^*$����ġ����ΤȤ�(7.6)�����
(7.5)����$y$�����$\eta$�����ȡ�4��
%\frac{\displaystyle }{\displaystyle }
$$ \begin{array}{ll}
  q_1 = (x^* , \xi^*, y^*, -\eta^*), & 
  q_2 = (x^*, \xi^*, -y^*, \eta^*), \\ 
  q_3 = (x^*, -\xi^*, y^*, \eta^*), & 
  q_4 = (x^*, -\xi^*, -y^*, -\eta^*), \\ 
   \end{array}                            \eqno(7.9)
$$
�������롥

(2.1)��ꡢ$\xi, \eta$��Levi-Civita���ѿ��Ǥ��뤳�Ȥ�פ��Ф��С�$q_1$��
     $q_3$�ȡ��ޤ�$q_2$��$q_4$��Ʊ��뤹��٤��Ǥ��롥(7.9)�ˤϼ¤�����2
     �Ĥ��롥�ҤȤĤ�$\dot{x}_1>0$�����$\dot{x}_2<0$��Ⱦʿ��$w<0$�ˤ��ꡢ
     �⤦�ҤȤĤ�$\dot{x}_1<0$�����$\dot{x}_2>0$��Ⱦʿ��$w>0$�ˤ��롥

$\alpha_1< x < \alpha_2$�ΤȤ�$d \overline{\psi}/dt=0$��$d
\overline{\psi} / d \kappa =0$��Ʊ�������Ĥ��Ȥ����դ��롥 \hfill
$\Box$

\vspace{4.0cm}  
\hspace*{5cm} ��7.2

\vspace{4.8cm}  
����7.1��ꡢ$S_0$��˶���$\omega^*$�����äơ��ΰ��$d \overline{\psi} /
dt >0$(�ΰ�${\cal M}^*$)�����$d \overline{\psi} / dt <0$��ʬ����(��7.2
����)��

$p \in {\cal V}$�Ȥ��롥$t_1(p), t_2(p)$��¸�ߤ���ʤ�� 
$$ \begin{array}{l}
  t_1(p) = \min \{ t>0 | \varphi(t,p) \in S_0 \} , \\
  t_2(p) = \max \{ t<0 | \varphi(t,p) \in S_0 \} ,
   \end{array}                            \eqno(7.10)
$$
�ˤ�ä�������롥���𤬤ʤ���Ф�����$t_1,t_2$��ά�����롥

$p \in {\cal M}^*$�Ȥ���$t_1,t_2$��¸�ߤ���С�2�Ĥμ���$\psi, \Phi$��
$\psi(p) = \varphi(t_1, p)$�����$\Phi^{-1} (p) = \varphi(t_2,p)$�����
���롥���ξ�硢${\cal M}^*$��Υݥ��󥫥������$f = \Phi \circ \psi$��
Ϳ�����롥

�����μ�������ʬƱ������Ǥ��롥

$S_0$�����̤Ȥ��ƻȤ�����$S_0$������������$\alpha_1$�����$\alpha_2$
������7.1�β�����������Ȥ���������ߴ�$\alpha_1 \leq x \leq \alpha_2$��
Ǥ�դ����ˤ�����$S_0$��$P_+^s \cup P_+^u$���ڤ�ʤ���ΤȤ��롥
$\alpha_1$�����$\alpha_2$����������Ф��������Ω�ġ�������2��������
��$x<\alpha_1$�˴ޤޤ���$B_+$�����$B_-$����ꤹ�롥

������ʪ¿���Τβ����̤��ˤ�����$S_0$�Ȥθ����˶�̣�����롥
$\varepsilon$�Τ������ͤ��Ф��ƤϤ����θ�����Ϣ³�����Ǥ��ä�ü��2��
��${\cal C}$��ˤ��뤳�Ȥ��ĥ���롥���μ�ĥ�˴ؤ������Ū����ӿ���Ū��
�ڵ����ǵ󤲤롥$\omega^0$���̲᤹�뵰ƻ�θ���ϡ�������ɸ�ˤȤä�ͭ
�פǤ��롥$P_{+,-}^{u,s}$��$S_0$�Ȥθ�����������С�$t \rightarrow \pm
\infty$�ΤȤ�����ʪŪ��æ�Ф��뵰ƻ��¸�ߤ򼨤��Τϴ�ñ�Ǥ��롥���μ��
��ƻ�ϵ����ϳؤ��������Ω����Τ��ܼ�Ū�Ǥ��롥

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\large 
{\bf 8. ��ʪ��ƻ¿����} 
}
\end{center}

$S_0$����ʪ��ƻ��¿���ΤȤκǽ��(̤�褪��Ӳ��ظ����Ƥ�)��������褦��

${\cal E}_1, {\cal E}_2, {\cal E}_3$�����${\cal E}_4$(2�Ỳ��)���
����$i_1^{-1}, i_2, i_3^{-1}$�����$i_4$�򤽤줾��ʲ��Τ褦��������롥
$$ \begin{array}{lll}
  i_k^{-1} (p) = \varphi(t_2,p) & {\rm if} & k=1,3, \\
  i_k (p) = \varphi(t_1,p) & {\rm if} & k=2,4 . 
   \end{array}
$$
������$t_1,t_2$��(7.10)��Ϳ�����Ƥ��롥

$\Omega_1$(����5.2����)�ζ᤯��$P_+^s$�ε�ƻ��ή��˵դ�ä�����$L^s$
�ζ�˵���ڤ롥������$\Omega_1$�˴ؤ���$P_+^s$��Ǥɤ���¦�ˤ��뤫��
�����Ƥ��ζ�˵��$W_{L^s}^{s,1}$�ޤ���$W_{L^s}^{s,2}$�ˤ������ä�ƨ���Ƥ�
�������ΤȤ���$i_1^{-1}(e_1)$��$l^{s,1}$�����$l^{s,2}$��ξü�Ȥ����
$\xi_1$��ޤࡥ$\Omega_1$�Ȥ��Ƥ�$W_{L^s}^{u,1} \cap P_+^s$���ʣ���ε�
ƻ��¸�ߤ����롥$W_{L^s}^{u,1}$��$P_+^s$�ȸ���ʤ���С����η��ε�ƻ��
����ˤ��ʤ���������$l^{s,1}$�˻Ϥޤ�$l^{s,2}$�ǽ����롼�פ������
�Ǥ��롥������$W_{L^s}^{u,1}$��$P_+^s$�ȸ������$W_{L^s}^{u,1} \cap
P_+^s$��ε�ƻ�ο���ͭ�¤ΤϤ��Ǥ���(�������ȥ���ѥ��������)����������
�ƴ���ΤϤ��Ǥ��롥���ΤȤ�$i_1^{-1}(e_1)$��$l^{s,1}$��$l^{s,2}$�δ֤�
����Ĥθ̤�ޤࡥ���ξ��$\omega^0$�����äȤ�󤤸�$\xi_1$�Τ߹ͤ��롥
$\alpha_1$�����$\alpha_2$��$\xi_1$��${\cal M}^*$�˴ޤޤ��褦�����Ф�
�Ƥ������Ȥ�פ��Ф�����

$\xi_1$����Ϣ³�Ǥ�������Τ����餫�Ǥ��롥���¡�$\varepsilon$���ͤ�����
���Ȥ��Ϥ����Ǥ���(����8.2����)�������$\xi_1 \cap \omega^0 \neq
\emptyset$���̣���롥$X_1 \cup X_2$(6�Ỳ��)�����ϵ�ƻ��$v(t)$�ζɽ��
����б����롥�������äơ�$\xi_1$��Ϣ³�����������ˤ�$\xi_1$��$X_3
\cup X_4$�θ������ܤ��Ф褤���Ȥ������о����ˤ�ꡢ�ʲ��μ�ĥ������Ω��
��$\xi_1$��Ϣ³�Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{��ĥ 1}. $p = (\theta,w) \in \omega^0, w>0, 
0 < \theta \leq \theta_L$�ʤ�$v(t_0)=0$�ʤ�$t_0<0$�����롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{��ĥ 2}. $p = (\theta,w) \in \omega^0, w>0, 
\theta_L < \theta \leq \pi/2$�ʤ�$v(t_0)=0$�ʤ�$t_0>0$�����롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 8.1.} �׳���$\varepsilon^* < 0.502$�����äơ�
$\varepsilon \in (\varepsilon^*, 55/4)$�ʤ�ɤ���
$p = (\theta,w) \in \omega^0, w>0, \theta_L \leq \theta < \pi/2$��
�Ф��Ƥ�$\theta(t_0)=0$�ʤ�$t_0>0$�����롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. ���ͥ륮����ʬ(1.6)��ꡢ$\omega^0$���$r =
-V(\theta)/2$�Ǥ��롥���ΤȤ���ɸʿ�̤ؤ�$\omega^0$�μͱƤϥ���®�ٶ���
��ʿ������Ǥ��ꡢ$V(x_1,x_2) = -2$��Ϳ�����롥

$p$�κ�ɸ$(x_1,x_2,\dot{x}_1,\dot{x}_2)$��$\theta$�δؿ��Ȥ��ưʲ��Τ褦
�˷׻��Ǥ��롥
$$ \begin{array}{l}
 x_{1,p} = \frac{\displaystyle W}{\displaystyle \sqrt{2}} , \\
 x_{2,p} = \sqrt{ \frac{\displaystyle 2+\varepsilon}
                       {\displaystyle 2\varepsilon} 
                }
    \frac{\displaystyle W \sin \theta}{\displaystyle 2 \cos \theta}, \\ 
 \dot{x}_{1,p} = - 2 \sin \theta , \\
 \dot{x}_{2,p} = \sqrt{ \frac{\displaystyle 2+\varepsilon}
                             {\displaystyle \varepsilon} 
                      }  \cos \theta . 
   \end{array}                                    \eqno(8.1)
$$

���٤Ƥ�$t>0$���Ф���$x_2(t)>0$�Ȳ��ꤹ�롥(1.1)��ꡢ$b$��$x_1(t)$�ξ�
�¤Ȥ��ơ��Ĥޤꡢ���٤Ƥ�$t>0$���Ф���$x_1(t)<b$�Ȥ���
$$ 
  \ddot{x}_2 < - 
\frac{\displaystyle 8(2+\varepsilon)x_2}
     {\displaystyle (b^2 + 4x_2^2)^{3/2}} ,                 \eqno(8.2)
$$
�����롥(8.2)��꼡�����롥
$$
 \frac{\displaystyle \dot{x}_2^2}{\displaystyle 2} < 
\frac{\displaystyle 2(2+\varepsilon)}
     {\displaystyle (b^2 + 4x_2^2)^{1/2}} + F .  
$$
������
$$
 F = \frac{\displaystyle \dot{x}_{2,p}^2}{\displaystyle 2} - 
\frac{\displaystyle 2(2+\varepsilon)}
     {\displaystyle (b^2 + 4x_{2,p}^2)^{1/2}} .  
$$
$F \leq 0$�ʤ�$x_2(t)$��Ǥ�դ��礭���ʤ줺������$t_0>0$�ˤ����ƥ����ˤ�
��Ϥ��Ǥ��롥$F<0$�ˤʤ�褦��$\varepsilon$���ͤ���ꤷ�褦����ñ�ˤ狼
��褦�ˡ�������(8.1)���Ф��ơ�$F<0$�Τ����ɬ�׽�ʬ���ϴؿ�
$$
  \tilde{F} (\theta, \varepsilon) = 2 \varepsilon b^2 \cos^4 \theta 
+ (2+\varepsilon) W^2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta - 32 \varepsilon^3
$$
����ˤʤ뤳�ȤǤ��롥

$b=z_1$�ȤȤ롥������$(z_1, x_{2,p})$�ϥ���®�ٶ���������Ǥ��롥���ʤ����
$$
 \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle z_1} + 
\frac{\displaystyle 4 \varepsilon}
{\displaystyle 
\left( z_1^2 + 
\frac{\displaystyle (2+\varepsilon)}{\displaystyle 2\varepsilon} 
W^2 \tan^2 \theta 
\right)^{1/2}
} = 1 .                             \eqno(8.3)
$$

(8.3)��Ȥ��С�$\tilde{F} (\theta,\varepsilon)<0$�Ȥʤ�Τ�
$z_1 > 1/\sin^2 \theta$�ΤȤ������⤽�ΤȤ��ΤߤǤ��롥

$\alpha \geq 0$������Ȥ���ȡ�����®�ٶ�����Ϳ������ؿ�
$$
  g(z_1) =  \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle z_1} + 
\frac{\displaystyle 4\varepsilon}{\displaystyle (z_1^2 + \alpha)^{1/2}} 
$$
��$z_1$�θ����ؿ��Ǥ��롥���ΤȤ�$z_1 > 1/\sin^2 \theta$��
$g(z_1) < g(1/\sin^2 \theta)$��Ʊ�ͤǤ��롥���ʤ����
$$
  G_1(\theta,\varepsilon) = 
\frac{\displaystyle \cos^4 \theta}{\displaystyle \sin^4 \theta} + 
\frac{\displaystyle 2+\varepsilon}{\displaystyle 2\varepsilon} 
W^2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta - 16 \varepsilon^2 < 0 . 
\eqno(8.4)
$$

$W(\theta)$��$\cos^4 \theta/ \sin^4 \theta$�϶��$[\theta_L, \pi/2)$�ˤ�
���Ƹ����ؿ��Ǥ��뤳�Ȥ����դ��롥�����$W(\theta_L) =
(1+2\varepsilon)2^{-1/2}$��$\cos^4 \theta_L / \sin^4 \theta_L$�򤳤���
��¤Ȥ��ƻȤ��롥�������äơ�$\theta \in [\theta_L, \pi/2)$�ʤ�
$$
  G_1(\theta,\varepsilon) \leq 
\left[ 
\frac{\displaystyle 2+\varepsilon}{\displaystyle 3\varepsilon} 
\right]^2 + 
\frac{\displaystyle (2+\varepsilon)(1+2\varepsilon)^2}
     {\displaystyle 16\varepsilon} - 
16 \varepsilon^2 = G_1(\varepsilon)  
$$
�Ǥ��롥

����Ǿ����Ͻ���ä����Ȥ����Τ�$\varepsilon > 0.502$�ΤȤ�
$G_1(\varepsilon) < 0$������Ǥ��롥 \hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
�Ȥ�������8.1���顢��ĥ2�β������$p$��$x_2=0$�����ڤ餺�ˤ�
$I_+$��æ�ФǤ��ʤ����Ȥ��狼�롥

��ĥ1�����2�˴ؤ��Ƥ���˾�������뤿��ˡ�$0<\varepsilon<55/4$���ϰϤ�
�ۤʤ�$\varepsilon$���ͤ��Ф��ƿ��ͷ׻���Ԥʤä������η�̤򼨤����ˡ�
�����Ĥ������Ȥ򤷤Ƥ�����

(8.4)���$0<\varepsilon<55/4$���Ф���
$$  \begin{array}{rl}
  G_1(\theta,\varepsilon) \leq & \varepsilon^2 
\left[ 
\frac{\displaystyle \cos^4 \theta}
     {\displaystyle \varepsilon^2 \sin^4 \theta} + 
\left[
\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \varepsilon} + 
\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} 
\right] \right. \\ 
& \ 
\left. \left[ 
\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \varepsilon \sqrt{2}} + 
\frac{\displaystyle 4 \cos \theta}
     {\displaystyle \sqrt{2 + 16 \sin^2 \theta/55}} 
\right]^2 \cos^2 \theta \sin^2 \theta - 16 
\right] \\
= & \varepsilon^2 G_2 (\theta, \varepsilon)   
 \end{array}
$$
�Ǥ��뤳�Ȥ����դ��Ƥ�����

$\varepsilon$����ꤷ��$\theta \in [\theta_L(\varepsilon), \pi/2)$�Ȥ���
$p = (\theta,w) \in \omega^0$��$G_2(\theta,\varepsilon)<0$�ʤ����Ȥ��롥
���ΤȤ�����8.1��Ʊ�͡�$\theta(t_0)=0$�ʤ�$t_0>0$��¸�ߤ��롥

$0<\varepsilon<55/4$����ꤹ��С�$G_2(\theta,\varepsilon)$��$\theta \in
[\pi/4, \pi/2)$�ʤ�$\theta$�θ����ؿ��Ǥ��롥���Τ��������ζ�֤�
$\theta$����ꤷ������$\varepsilon_0>0$���Ф���$G_2(\theta,
\varepsilon_0)<0$�ʤ顢���٤Ƥ�$\varepsilon_0 \leq \varepsilon<55/4$����
����$G_2(\theta,\varepsilon)<0$�Ǥ��롥

������򤪤�ӷ׻�$G_2(0.87,0.35)<0$��Ȥ��С����٤Ƥ�$\varepsilon \geq
0.35$���Ф���$p=(\theta,w) \in \omega^0$��$\theta \in [0.87, \pi/2)$�ʤ�
��ƻ$\varphi(t,p)$�ϡ��������λ����$x_1$�����ڤ뤳�Ȥ��狼�롥
$\varepsilon$�������ϰϤˤ���Ȥ�������I��III�����V�Υѥ�᡼�������ͤ�
���뤳�Ȥ����դ��褦������3�Ĥξ������Ū��Ĵ�٤���

�¤ϡ�
$$
    r_p < r_z ,              \eqno(8.5)
$$
����������$p \in \omega^0$�Τդ�ޤ���Ĵ�٤�н�ʬ�Ǥ��롥������$r_z
=(1+4\varepsilon) / \sqrt{2}$��$\theta=0$�Υ���®�ٶ��������ˤ����뱿ư
��$r$���ͤǤ��ꡢ$r_p$��$p$�ˤ����뱿ư�̤Ǥ��롥$r_p>r_z$�Ǥ��äƵ�ƻ
$\varphi(t,p)$���������λ����$x_2=0$�����ڤ�ʤ顢$\varphi(t,p)$�ϲ�
�Ǥ������ΰ�$r<r_z$������Ϥ��Ǥ��롥�������ä�$\varphi(t,p)$��ʿ��
${\cal P}_0$���̲ᤷ�Ƥ��ޤ���

\newpage
��ñ�ˤ狼��褦�ˡ�
$$
  \theta_z (\varepsilon) = \arccos 
\left(
\frac{\displaystyle \sqrt{2 + \varepsilon}}
     {\displaystyle (2+8\varepsilon) \sqrt{2+\varepsilon} - 
              4 \varepsilon \sqrt{\varepsilon}}
\right) ,
$$
�Ȥ��ơ�$\theta>\theta_z(\varepsilon)$�ʤ顢��$p = (\theta,w) \in
\omega^0$��(8.5)����������$\theta_z(\varepsilon)$��$\varepsilon$�����ô�
���Ǥ��ꡢ$\theta_z(0.35) \geq 1.33$�Ǥ��롥�Ĥޤꡢ���٤Ƥ�$0.35 \leq
\varepsilon < 55/4$����Ӥ��٤Ƥ�$\theta_z(\varepsilon) \leq \theta <
\pi/2$���Ф��ơ��б�������$p = (\theta,w) \in \omega^0$�ε�ƻ
$\varphi(t,p)$��$x_1$�����ڤ롥������$\varphi(t,p)$��${\cal P}_0$��
�ڤ롥

���ͷ�̤ΰ�����ɽ8.I��8.II��8.III��8.IV��8.V�����8.VI��Ϳ������ɽ�桢
$\theta_0$��$p \in \omega^0$��$\theta$��ɸ�Ǥ��ꡢ$(\theta_i,w_i)$��ή��
�˱�ä�$\varphi(t,p)$��${\cal P}_0$���ڤ���$i$�Ǥ��äơ�$i>0$�ʤ���
�λ��$i<0$�ʤ���λ���ξ��Ǥ��롥

\vspace{1cm}
\hspace*{5cm} ɽ8.Ia ����� 8.Ib

%\vspace{15.8cm}
\newpage
ɽ8.Ia�ǡ�$w_1$�ˤ�$0.7$��$0.72$�δ֤���Ϣ³�����롥�����$0.7 < \theta'
< 0.72$�˰���$p(\theta', w')$�����äơ�$\varphi(t,p)$��${\cal P}_0$�κ�
��θ�����$\omega^0$�����Ǥ��뤳�Ȥˤ�롥����򸫤뤿��ˡ�ɽ8I.b���ɲ�
������ɽ8.IV��8.V�����8.VI�ˤ�Ʊ��������Ϣ³�������롥


���������η�̤����롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 8.2.} $0 < \varepsilon < \varepsilon_e = 2
\sqrt{3}/(16-\sqrt{3}) \approx 0.242789 \ldots$�ʤ�$\omega^0$����������
�ơ����ε�ƻ��${\cal P}_0$���ڤ餺��̵�±��æ�Ф��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $p=(\theta,w)$���ĥ2�β���Τ�ΤȤ��롥

(1.1)��ꡢ$\ddot{x}_2 \geq -(2+\varepsilon)/x_2^2$�Ǥ��ꡢ��ʬ�����
     $\dot{x}_2 \geq 0$�ʤ�$\dot{x}_2^2/2 - (2+\varepsilon)/x_2 \geq F$
     �Ǥ��롥������$F = \dot{x}_{2,p}^2/2 - (2+\varepsilon)/x_{2,p}$����
     ������Υ��ͥ륮���Ǥ��롥(8.1)��Ȥä�$\theta=\theta_L$�ΤȤ���$F$
     ��׻��Ǥ��롥���ʤ����
%\frac{\displaystyle }{\displaystyle }
$$
  F= 
\frac{\displaystyle 2+\varepsilon}{\displaystyle 1+2\varepsilon} 
\left[ 
\frac{\displaystyle 2+\varepsilon}{\displaystyle 4\varepsilon} - 
\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle \sqrt{3}} 
\right] .
$$
���ΤȤ�$\varepsilon < 2\sqrt{3}/(16-\sqrt{3})$�ʤ�$\theta=\theta_L$�ˤ�
  ����$F>0$�Ǥ��롥 \hfill $\Box$

\vspace{6.5cm}
\hspace*{5cm} ɽ8.II ����� 8.III

%\vspace{7.0cm}
\newpage
����8.2�ˤ�ꡢ$\varepsilon$���������Ȥ�$\xi_1$�����ڤ�뤳�Ȥ��������줿��

���ͷ׻��ˤ��С�$\varepsilon^{(1)} \in (0.2847, 0.2948)$�����
$\varepsilon^{(2)} \in (0.2733, 0.2734)$�����äơ���ĥ1�����2�Ϥ��줾��
$\varepsilon^{(1)} < \varepsilon < 55/4$�����$\varepsilon^{(2)} <
\varepsilon < 55/4$�ΤȤ�������Ω�ġ����ο��ͷ�̤��顢���Τ褦��ͽ�ۤ�
�꼰���Ǥ��롥

\vspace{1.0cm}
\hspace*{5cm} ɽ8.IV, 8.V ����� 8.VI

%\vspace{19.5cm}

\newpage
\noindent
\underline{ͽ��.} �׳���$\varepsilon_c \in (0.2847,0.2848)$�����äơ���
ĥ1�����2�����٤Ƥ�$\varepsilon_c < \varepsilon < 55/4$���Ф�������Ω�ġ�

\vspace{0.3cm}
$\varepsilon \in (\varepsilon_c, 55/4)$���Ф���ͽ�ۤ�Ȥ��С�$\xi_1$��
$\omega^0$�θ���Ϥʤ����ʲ��ǡ�̿��1.1���������륱����I��
$\varepsilon$����$\varepsilon_c < \varepsilon < \varepsilon_1$�˵��夵��
�롥

\vspace{1.0cm}
\hspace*{5cm} ��8.1

\vspace{7.5cm}
Ʊ�ͤˤ��ơ�$i_2(e_2)$��$i_3^{-1}(e_3)$�����$i_4(e_4)$�Ϥ��줾��$\xi_1
= L^1(\xi_2)$��$\xi_3 = L^2(\xi_2)$�����$\xi_4 = L^1(\xi_3)$�ʤ��
$\xi_2$��$\xi_3$�����$\xi_4$��ޤࡥ��8.1�Ϥ����θɤ�$\varepsilon$��
�ؿ��Ȥ��Ƥοʲ��򼨤��Ƥ��롥������I�Ǥϡ�$\xi_2$�Ͼ��ʤ��Ȥ�1����
$\xi_3$���ڤ롥������$PP_{+-}$�η�������ʪŪ��ƻ������(��8.2����)����
�ޤ군ƻ�ϰ�����̵�±�(���ޤξ��$I_+$)������ʪŪ�ˤ�ä���ơ�
�⤦������̵�±�$I_-$����ʪŪ�˵�롥$\xi_1 \cap \xi_4$��$PP_{-+}$�η���
�оε�ƻ��Ϳ���롥������III�Ǥϡ�Ʊ���̵�±󤫤���Ƥ����˵�뿷������
������ʪ��ƻ�������롥

������$PP_{++}$(��8.3����)�����$PP_{--}$�Ƚ񤯡�������V�Ǥϸ�Ԥ�����
ʪ��ƻ�Τ߸����롥

\vspace{3.0cm}
\hspace*{5cm} ��8.2 ����� ��8.3

%\vspace{3.0cm}
