
\newpage
\begin{center}
{\large 
{\bf 9. �ݥ��󥫥�����Τ����Ĥ�������} 
}
\end{center}

$R_1 = \psi^{-1} (D_+), R_2 = \Phi(D'_+), R_3 = \psi^{-1}(D_-)$�����
$R_4 = \Phi(D'_-)$��������롥$i=1,2,3,$ $4$���Ф���$\xi_i \subset {\cal
M}$�ʤΤǡ�$R_i \subset {\cal M}$�Ȳ���Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 9.1.} $\gamma$��${\cal M}$��θ̤Ȥ��롥

(i) $\gamma \subset R_1(R_3)$��$\xi_1(\xi_3)$��ü������ƤС�$\psi
(\gamma)$��$D_+(D_-)$��α������Ǥ��äơ�${\rm P.O.}_+ ({\rm P.}$ \\
\hspace*{1.2cm} ${\rm O.}_-)$�˸�������

(ii) $\gamma \subset R_2(R_4)$��$\xi_2(\xi_4)$��ü������ƤС�
$\Phi^{-1}(\gamma)$��$D'_+(D'_-)$��α������Ǥ��äơ�
${\rm P.O.}_+ ({\rm P.}$ \\
\hspace*{1.2cm} ${\rm O.}_-)$�˸�������

\vspace{0.3cm}
����9.1������2.1�ε���Ǥ��롥

\vspace{6.0cm}
\hspace*{5cm} ��9.1

\vspace{6.8cm}
$D^1$(6�Ỳ��)�������������ʬ²$\{ c_j^1 \}$��ͤ��롥
$m^2 = \min \{ j \in {\bf N} | \Phi(d_j^1)��S_0���Ϣ³�� \} + 1$�Ȥ��롥
���ΤȤ�$\Phi(P_k^1), k=2m^2$��${\cal M}$�˴ޤޤ졢��������$\omega^0$��
����ޤޤʤ���$l^{i,1}$��$m^{i,1}$�δ֤�$\beta_0$�θ̡������
$\Phi(P_k^1), k=2m^2$�ζ�����$\Phi(D^1)$��ˡ����٤Ƥ�$j \geq 2m^2$����
����$\Phi(P_j^1)$��ޤ�褦���ΰ����롥�����ΰ��${\cal U}_1$�ȵ�����
��ñ�Τ��ᡢ$D^1$�Ȥ��������${\cal U}_1 = \Phi(D^1)$�ʤ��ΰ�Τ���ˤȤ�
�Ƥ�����Ʊ�ͤˡ�����$D^3, D^2$�����$D^4$��Ը�(reduce)���롥${\cal M}$
��˼��ν��������Ǥ��롥
$$ \begin{array}{ll}
 {\cal U}^3 = \psi^{-1} (D^3), &  {\cal U}^4 = \psi^{-1} (D^4), \\ 
 {\cal U}^1 = \Phi (D^1), &  {\cal U}^2 = \Phi (D^2) . 
   \end{array}
$$

���餫�ˡ�$\varepsilon$�˱����ƽ���${\cal U}^{1,2,3,4}$���Ф�������Ū��
�ۤʤ����������뤳�Ȥ��Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 9.2.} $\gamma = \{ (\theta,w) \in {\cal M} | \theta=
\theta(\tau), w = w(\tau), 0 < \tau \leq 1 \}$��$\tau$�������˸������Ȥ�
$\gamma(\tau)$����$p \in \beta_0$�˸�������ΤȤ��롥$0 < \tau \leq 1$��
�Ф���$\gamma(1) \in \psi^{-1}(c_m^2) (\Phi(c_m^2))$�����$\gamma(\tau)
\subset {\cal U}^3({\cal U}^1)$�ʤ顢�����˸�������$\tau_1, \tau_2,
\ldots, \tau_n, \ldots$�����äơ�$f(\gamma) \supset \cup_{j \in {\bf N}}
\gamma'_j (f^{-1}(\gamma) \supset \cup_{j \in {\bf N}} \gamma')$�Ǥ��롥
��������
$$
  \gamma'_j = \{ (\theta,w) \in f(\gamma)(f^{-1}(\gamma)) \ | \ \theta=
  \theta(\tau), w = w(\tau), \tau_j < \tau < \tau_{j+1} \}
$$
�ϡ�$j$������ʤ�$\gamma'_j \subset {\cal U}^1({\cal U}^3)$�ǡ�$\tau$��
$\tau_j$�˸�������$\gamma'_j(\tau)$��$m^{i,1}(l^{s,1})$�˸�������$\tau$
��$\tau_{j+1}$�˸�������$\gamma'_j(\tau)$��$l^{i,1}(m^{s,1})$�˸�������
������$j$�������ʤ�$\gamma'_j \subset {\cal U}^2({\cal U}^4)$�ǡ�$\tau$
��$\tau_j$�˸�������$\gamma'_j(\tau)$��$l^{i,2}(l^{s,2})$�˸�������
$\tau$��$\tau_{j+1}$�˸�������$\gamma'_j(\tau)$��$m^{i,2}(m^{s,2})$�˸�
������

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $\gamma(1) \in \psi^{-1}(c_m^2)$�����$\gamma(\tau)
\subset {\cal U}^3$��ͤ���(����¾�ξ����о�Ū�Ǥ���)�����ΤȤ�
$\psi(\gamma(\tau))$��$D^3$��α������Ǥ��äơ�$\tau$��$0$�˸������Ȥ�
$(0,0)$�˸�������$\tau_1, \tau_2, \ldots, \tau_n, \ldots$��
$\sigma_+^s, \sigma_-^s$��$\psi(\gamma(\tau))$�Ȥθ����ˤ�����
�ѥ�᡼�����ͤ�������ȤȤ�С�����9.1���Ф롥 \hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
����${\cal U}^1, {\cal U}^3, {\cal U}^2, {\cal U}^4, R_1, R_2, R_3$����
��$R_4$�θ������饪���顼ʿ������޷��򤪤��̵�±�ζ᤯���̲�δ֤ΰ�
�ʤ�Ĥʤ��꤬�����롥

������I, III�����V�ξ�硢���ν�����������(��9.1����)��

\vspace{0.3cm}
\noindent
������I
$$ \begin{array}{ll}
 A1 = {\cal U}^3 \cap {\cal U}^2, & A5 = {\cal U}^1 \cap {\cal U}^4, \\
 A2 = {\cal U}^3 \cap R_2, & A6 = {\cal U}^4 \cap R_4, \\
 A3 = R_2 \cap R_3, & A7 = R_4 \cap R_1, \\
 A4 = R_3 \cap {\cal U}^1, & A8 = R_1 \cap {\cal U}^2 .
   \end{array}                      \eqno(9.1)
$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
������III
$$ \begin{array}{ll}
 A1 = R_1 \cap R_2, & A3 = R_2 \cap R_3, \\
 A2 = R_3 \cap R_4, & A4 = R_4 \cap R_1. 
  \end{array}                       \eqno(9.2)
$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
������V
$$ \begin{array}{ll}
 A1 = R_1 \cap R_2, & A5 = R_3 \cap R_4, \\
 A2 = R_2 \cap {\cal U}^3, & A6 = R_4 \cap {\cal U}^4, \\
 A3 = {\cal U}^3 \cap {\cal U}^1, & A7 = {\cal U}^4 \cap {\cal U}^2, \\
 A4 = {\cal U}^1 \cap R_3, & A8 = {\cal U}^2 \cap R_1 .
   \end{array}                      \eqno(9.3)
$$

\vspace{0.3cm}
��������ɸ�Ͼ�ǵ������������줿����$Ai$���ڤ뵰ƻ����ħ�Ť��뤳
�Ȥˤ��롥������ޤ������ϳؤ����Ū������Ҥ٤롥���ˤ�����������������
��Υ�����I��III�����V��Ŭ�Ѥ��롥

\begin{center}
{\large 
{\bf 10. �����ϳؤΤ�������} 
}
\end{center}

$(x,y)$�̤�$n$�Ĥ�ͭ����Ϣ�뤫�Ĥɤ�2�Ĥ�ߤ����Ǥʽ���$A1, A2, \ldots,
An$��ͤ��롥$I = \{ 1,2, \ldots, n \}$�Ȥ���$A = \cup_{i \in I} Ai$�Ȥ���
$f$��$A$����$f(A) \subset {\bf R}^2$�ؤ�Ʊ������Ȥ��롥$f$�˼��������
���$n \times n$�����ܹ���${\cal A}_0 = (\overline{\alpha}_{ij})$���Ȥ�
��碌��(associate)��
$$ 
  \overline{\alpha}_{i,j} = 
\left\{ \begin{array}{lll}
  1 & {\rm if} & f(Ai) \cap Aj \neq \emptyset, \\
  0 & {\rm if} & f(Ai) \cap Aj = \emptyset . 
       \end{array}
\right.                                    \eqno(10.1)
$$

���̤ʵ���ν���$S = \{ \dot{N}, L, M, \dot{n}, l, m \}$��ͤ���(ͭ�½�
��$S$��Ǥ�դǤ��äơ������ʹ�����Ʊ���褦�˹Ԥ���)��$f$��$0$��$1$������
�뿷��������${\cal A}$
$$
  {\cal A} = ( \alpha_{i,j} ) = 
\left[ \begin{array}{ll}
  {\cal A}_0 & {\cal A}_1 \\
  {\cal A}_2 &  O_6 
       \end{array} 
\right]                                   \eqno(10.2)
$$
���Ȥ߹�碌�뤳�Ȥ��Ǥ���Ȳ��ꤹ�롥

�����$J=I \cup S$�˴ؤ������ܹ���ȸƤ֡�(10.2)�ˤ����ơ�$O_6$��$6
\times 6$�Υ�������Ǥ��롥${\cal A}_0$��(10.1)��Ϳ�����롥${\cal
A}_1$��${\cal A}_2$�Ϥ��줾��$n \times 6$�����$6 \times n$���Ǥ��ꡢ��
������������������
%\frac{\displaystyle }{\displaystyle }
$$ \begin{array}{lll}
  \sum_{i=1}^n \alpha_{j,i} \neq 0 & {\rm if} & j \in \{ \dot{n}, l, m \},
   \end{array}                       \leqno(  1)
$$
\vspace{-0.4cm}
$$ \begin{array}{lll}
  \sum_{i=1}^n \alpha_{i,j} \neq 0 & {\rm if} & j \in \{ \dot{N}, L, M \},
   \end{array}                       \leqno(  2)
$$
\vspace{-0.5cm}
$$
               \eqno(10.3)
$$
\vspace{-0.9cm}
$$ \begin{array}{lll}
  \sum_{i=1}^n \alpha_{j,i} = 0 & {\rm if} & j \in \{ \dot{N}, L, M \}, 
   \end{array}                       \leqno(  3)
$$
\vspace{-0.4cm}
$$ \begin{array}{lll}
  \sum_{i=1}^n \alpha_{i,j} = 0 & {\rm if} & j \in \{ \dot{n}, l, m \} .
   \end{array}                       \leqno(  4)
$$

$\Sigma'$��ʲ��η�����$(a',a)$���Ȥν���Ȥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
(a) \ $(a',a) = (( \ldots a'_{-1}; a'_0, a'_1, \ldots), 
(\ldots a_{-1}; a_0, a_1, \ldots))$�Ǥ��äơ�
���٤Ƥ�$i \in {\bf Z}$���Ф���$a'_i \in I$ \\
\hspace*{0.9cm} �����$a_i \in {\bf N}$��

\vspace{-0.1cm}
\noindent
(b1) $(a',a) = (( a'_k, a'_{k+1}, \ldots), 
( a_k,; a_{k+1}, \ldots)), k<0$�Ǥ��ä�, 
���٤Ƥ�$i \in {\bf Z}, k<i$���Ф��� \\
\hspace*{0.9cm} $a'_i \in I, a_i \in {\bf N}$���ޤ�
$a'_k = \dot{n}, a_k=\infty$��

\vspace{-0.1cm}
\noindent
(b2) $(a',a) = (( a'_k, a'_{k+1}, \ldots)$, 
$( a_k,; a_{k+1}, \ldots)), k<0$�Ǥ��äơ�$k<i$�ʤ�$a'_i \in I$��
�ޤ����٤� \\
\hspace*{0.9cm} ��$i \in {\bf Z}, k \leq i$���Ф���
$a'_k \in \{ l, m \}, a_i \in {\bf N}$��

\vspace{-0.1cm}
\noindent
(c1) $(a',a) = (( \ldots a'_{h-1}, a'_h), ( a_{h-2},; a_{h-1})), h>0$��
���äơ����٤Ƥ�$i \in {\bf Z}, i<h-1$���Ф��� \\
\hspace*{0.9cm} $a'_{i+1} \in I, a_i \in {\bf N}$�����
$a'_h = \dot{N}, a_{h-1}= \infty$��

\vspace{-0.1cm}
\noindent
(c2) $(a',a) = (( a'_{h-1}, a'_h), ( a_{h-2},; a_{h-1})), h>0$�Ǥ��äơ�
$i<h$�ʤ�$a'_i \in I$���ޤ����٤Ƥ� \\
\hspace*{0.9cm} $i \in {\bf Z}, i \leq h-1$���Ф��ơ�$a'_h \in 
\{ L, M \}, a_i \in {\bf N}$��

\vspace{0.3cm}
\noindent
�ޤ��ϥ�����(b)�����(c)��Ĥʤ��������롢������ӱ���ͭ�¤�4�ĤΥ���
�פ���Τɤ줫�Ǥ��롥������(d11)��(d12)��(d21)�����(d22)�ȸƤ֡�����
�Ǻ��ο����Ϻ��������Ȥ��Υ����פ�ɽ�������ο����ϱ��������Ȥ��Υ���
�פ�ɽ����

$\Sigma'$����ʬ����$\Sigma$�򼡤Τ褦��������롥���ʤ������$(a',a) \in
\Sigma$����$a'$�Ϲ���${\cal A}$�˴ؤ��Ƶ���(admissible)�Ǥ��롥���ƤȤϡ�
$a'_{i-1}$�����$a'_i$����������¤ꤹ�٤Ƥ�$i \in {\bf Z}$���Ф��ơ�
$u = a'_{i-1}$�����$v=a'_i$�Ȥ���$\alpha_{u,v} = 1$�ʤ�Ȥ��Ǥ��롥

���٤Ƥ�$i \in I$���Ф��Ƽ���������롥
$$ \begin{array}{ll}
  I_i = \{ j \in I | \alpha_{i,j} = 1 \}, & 
                       c(i) = {\rm card} (I_i), \\ 
  I'_i = \{ j \in I | \alpha_{j,i} = 1 \}, & 
                       g(i) = {\rm card} (I'_i), \\ 
  {\bf S}_i = \{ j \in S | \alpha_{i,j} = 1 \} \backslash 
\{ \dot{N}, \dot{n} \}, &         r(i) = {\rm card} ({\bf S}_i), \\ 
  {\bf S}'_i = \{ j \in S | \alpha_{j,i} = 1 \} \backslash 
\{ \dot{N}, \dot{n} \}, &         z(i) = {\rm card} ({\bf S}'_i) . 
   \end{array}
$$

����$Ai$����Ӥ��ν�����$f$�Τդ�ޤ��ˤĤ��Ƥ����Ĥ����⤬ɬ�פǤ��롥
�����β���ϡ�Moser([5]����)�Ǥϵ�Υ����Ū�����ʤǤ��ä����������Ǥϰ�
��Ū�����ʤ���ġ�

���뽸��$Ai$����ꤷ��
$$
  \gamma  = \{ (x,y) \in {\bf R}^2 | x = x(\tau), y = y(\tau), 
0 \leq \tau \leq 1 \}               \eqno(10.4)
$$
�Υ����פζ���²������������٤Ƥ�$0 < \tau < 1$���Ф���$\gamma(\tau) =
(x(\tau), y(\tau)) \in {\rm Int} (Ai)$����$\gamma(0) \in \partial Ai$��
����$\gamma(1) \in \partial Ai$�Ǥ���Ȥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{���� 1}. $\partial Ai$���4�Ĥΰۤʤ��$\Gamma_1, \Gamma_2,
\Gamma_3$�����$\Gamma_4$�����äơ����٤Ƥζ���$\gamma$��(10.4)�Τ褦��
$\gamma(0) \in \Gamma_1$�����$\gamma(1) \in \Gamma_2$�Ǥ��äơ�������
$\gamma(\tau), 0<\tau<1$�ˤ�����$\gamma'(0) \in \Gamma_3$�����
$\gamma'(1) \in \Gamma_4$�ʤ�Ǥ�դζ���$\gamma'$�ȸ��롥���ΤȤ���
$\Gamma_j, j=1,2,3,4$��$Ai$��˿�ʿ��(h.c.)����ӱ�ľ��(v.c.)�ȸƤФ��2
�Ĥη��ζ�����������롥

2�ܤο�ʿ��$\gamma$��$\gamma'$����$\gamma(\tau), 0< \tau < 1$�Ǹ����
���Ȥ���ʿ��H(h.s.)��������롥$H$��ľ��(d(H))�Ȥ�$\gamma$��$\gamma'$��
�ϥ����ɥ�յ�Υ�Ǥ���Ȥ��롥��ľ��(v.s.)��Ʊ�ͤ�������롥

2�Ĥο�ʿ��(��ľ��)���ߤ����ǤǤ���Ȥϡ�����Ȥ��Ƥ⤿������$\partial
Ai$�ˤ����ƤΤߤΤȤ��Ǥ��롥

��$\Gamma_j$�Τ����Τ����ˤʤäƤ��ޤ����Ȥ����뤳�Ȥ����դ��롥�����
�夹�٤Ƥ�$Ai$�ˤ����Ƹ�$\Gamma_j,j=1,2,3,4$�����ꤵ�줿��ΤȤ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{���� 2}. ���٤Ƥ�$i \in I$���Ф��ơ�$Ai$��ˤɤ�2�Ĥ�ߤ�����
��$g(i)$�Ĥο�ʿ�ҤβĻ�²$\{ \{ Hji \} \}_{j \in I'_i}$�����ꡢ�ɤ�2��
��ߤ����Ǥ�$c(i)$�Ĥα�ľ�ҤβĻ�²$\{ \{ Vmi \} \}_{m \in I_i}$������
�ưʲ�����������������

(a) �����Ͻ���Ť����Ƥ��ꡢintercalated����Ƥ��ơ����Ū�˿�ʿ�Ҥ�
���ֹ�$\{ Hi(k)$ $\}_{k \in {\bf N}}$���Ĥ��Ƥ��ơ����٤Ƥ�$g(i)$�Ĥο�
ʿ�ҤϿ�10.1�Τ褦���¤�Ǥ��롥��ľ�Ҥ�²��Ʊ�ͤ�$\{ Vi(k) \}_{k \in
{\bf N}}$���ֹ�Ť����Ƥ��롥���ξ塢�˸��Ҥ򼡤Τ褦������Ǥ���Ȥ�
�롥
$$ \begin{array}{rl}
  Hi(\infty) = & 
\{ (x,y) \in \partial Ai \ | \ ���٤Ƥ� k \in {\bf N} ���Ф���
���� (x,y)_k \in Hi(k) �����ä� \\
 & k �� \infty �˸������Ȥ� (x,y)_k ��(x,y) �˸����� \} , \\
  Vi(\infty) = & 
\{ (x,y) \in \partial Ai \ | \ ���٤Ƥ� k \in {\bf N} ���Ф���
���� (x,y)_k \in Vi(k) �����ä� \\
 & k �� \infty �˸������Ȥ� (x,y)_k ��(x,y) �˸����� \} . 
   \end{array}
$$

\vspace{0.3cm}
(b) $f$�ϱ�ľ�Ҥ��ʿ�Ҥ�Ʊ��Ū�˼������롥���ʤ��
$$
  f(Vmi(k)) = Him(k) .      \eqno(10.5)
$$

\vspace{0.3cm}
$f$���������Ƥ���¤ꡢ��ʿ(��ľ)�����Ͽ�ʿ(��ľ)�����˼̤���롥

\vspace{3.5cm}
\hspace*{5cm} ��10.1

\vspace{3.5cm}
\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{���� 3}. ���٤Ƥ�$i \in I$���Ф���$z(i)$�Ĥο�ʿ����²
$\{ \{ Eji \} \}_{j \in {\bf S}'_i}$��$r(i)$�Ĥα�ľ����²
$\{ \{ Cji \} \}_{j \in {\bf S}'_i}$�����äƼ�����������

(a) $f^{-1}$�Ͽ�ʿ���ξ��������줺��$f$�ϱ�ľ���ξ���������ʤ���

(b) $C$��$Ai$��α�ľ���Ǥ��äơ�����$m \in {\bf N}$���Ф���
$C \subset Vi(m)$�Ǥ��뤫�����²�Τɤ줫��°����$Ai$��α�ľ���Ǥ��롥

���ΤȤ�$f^{-1} (C) \cap Vij(k)$�Ϥ��٤Ƥ�$j \in I'_i$����Ӥ��٤Ƥ�$k
\in {\bf N}$���Ф���$Aj$��α�ľ���Ǥ��롥Ʊ�ͤˡ�$E$��$Ai$��ο�ʿ����
���äơ�����$m \in {\bf N}$���Ф���$E \subset Hi(m)$�Ǥ��뤫��$E$�Ͼ��
²�Τɤ줫�ο�ʿ���Ǥ���С�$f(E) \cap Hij(k)$�Ϥ��٤Ƥ�$j \in I_i$����
�Ӥ��٤Ƥ�$k \in {\bf N}$���Ф���$Aj$��ο�ʿ���Ǥ��롥
²$\{ Eji \}_{j \in {\bf S}'_j}$�����$\{ Cji \}_{j \in {\bf S}'_j}$�ϲ�
��2�ο�ʿ������ӱ�ľ����²�˴ޤޤ���ǽ�������롥���ξ�硢���٤Ƥ�$j
\in {\bf S}'_i$���Ф���$m \in I_i$�����äơ����٤Ƥ�$k \in {\bf N}$����
����$Eji(k) \subset Hmi(k)$�Ǥ��ꡢ�ޤ����٤Ƥ�$j \in {\bf S}_i$���Ф���
$m \in I'_i$�����äơ����٤Ƥ�$k \in {\bf N}$���Ф���$Cji(k) \subset
Vmi(k)$�Ǥ��롥

���٤Ƥ�$k \in {\bf N}$���Ф��ơ�����3��ꡢ$f^{-1}(V) \cap Vij(k)$�Ϥ�
�٤Ƥ�$j \in I'_i$���Ф��Ʊ�ľ���Ǥ��ꡢ$f(H) \cap Hij(k)$�Ϥ��٤Ƥ�$j
\in I_i$���Ф��ƿ�ʿ���Ǥ��뤳�Ȥ����դ��롥

$(a',a) \in \Sigma$�Ȥ��롥$(a',a)$�ˤ��η��˱����Ʊ�ľ����²����ӿ�ʿ
����²��ʲ��Τ褦���Ȥ߹�碌�롥

(a) ����������롥
$$ \begin{array}{l}
 \bar{V}_i = V a'_{i+1} a'_i (a_i) \ \ \ {\rm for \ all} \ i \in {\bf Z}, \\
 \bar{H}_i = H a'_{i-1} a'_i (a_{i-1}) \ \ {\rm for \ all} \ 
i \in {\bf Z}, i \leq 0. 
   \end{array}      \eqno(10.6)
$$

\vspace{0.3cm}
(b) $i > k+1$�ʤ�(10.6)��Ʊ��$\bar{V}_i$�����$\bar{H}_i$���������
$(a',a)$��������(b1)�ʤ�
$$ \begin{array}{l}
 \bar{V}_{k+1} = V a'_{k+2} a'_{k+1} (a_{k+1}) \cap H a'_{k+1} 
(\infty) , \\
 \bar{H}_{k+1} = H a'_{k+1} (a_{\infty}) ,  
   \end{array}      \eqno(10.7)
$$
���������$(a',a)$��������(b2)�ʤ�
$$ \begin{array}{l}
 \bar{V}_{k+1} = V a'_{k+2} a'_{k+1} (a_{k+1}) \cap E a'_k a'_{k+1} 
(a_k) , \\
 \bar{H}_{k+1} = E a'_k a'_{k+1} (a_k) ,  
   \end{array}      \eqno(10.8)
$$
��������롥

\vspace{0.3cm}
(c) $i < h-1$�ʤ�$\bar{V}_i$�����$\bar{H}_i$��(10.6)�Τ�ΤȤ���
������(c1)����ʤ�
$$
  \bar{V}_{h-1} = V a'_{h-1} (\infty) ,    \eqno(10.8a)
$$
�Ȥ���������(c2)�ʤ�
$$
  \bar{V}_{h-1} = C a'_h a'_{h-1} (a_{h-1}) ,    \eqno(10.8b)
$$
�Ȥ��롥

$(a',a)$��������(d)�ʤ�$\bar{V}_i$�����$\bar{H}_i$��$k+1 < i < h-1$�Τ�
��(10.6)�Τ�ΤȤ���$(a',a)$�Υ����פ˱�����$\bar{V}_{k+1}$��
$\bar{H}_{k+1}$�����$\bar{V}_{h-1}$�ϥ�����(b)�ޤ���(c)�Τ�ΤȤ��롥

��$p \in A$����$(a',a) \in \Sigma$���������Ȥϡ�$\bar{V}_m$����������
�¤ꤹ�٤Ƥ�$m \in {\bf Z}$���Ф��ơ�$f^m(p) \in \bar{V}_m$�ΤȤ��������

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 10.1.} $A = \cup_{i \in I} A_i, I= \{ 1,2, \ldots, n \}$�Ȥ��롥
����������$i \in I$���Ф���$Ai$��ʿ�̤�ͭ��Ϣ�뽸��Ǥ��롥$f$��$A$����
$f(A)$�ؤ�Ʊ������Ȥ���(10.2)�η������ܹ���${\cal A}$�ϲ���1��2��3����
�����Ȥ��롥���ΤȤ��������$(a',a) \in \Sigma$���Ф��Ƥ������������$p$
��¸�ߤ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $(a',a) \in \Sigma$��(a)�����פ��ȤǤ���Ȥ��롥
$$ \begin{array}{ll}
  B_1 = \{ p \in A \ | \ f^m(p) \in \bar{V}_m, m = 0, 1, 2, \ldots \} , 
& ����� \\
  B_2 = \{ p \in A \ | \ f^{-m}(p) \in \bar{V}_{-m}, m = 1, 2, 
 \ldots \} . 
   \end{array}  
$$
�Ȥ�����

�Ƶ�Ū��
$$ \begin{array}{rl}
 \bar{V}_{0,1,2, \ldots,n} 
& = \{ p \in A \ | \ f^m(p) \in \bar{V}_m, m=0, 1, 2, \ldots, n \} \\
& = \bar{V}_0 \cap f^{-1}(\bar{V}_1 \cap f^{-1} ( \ldots \bar{V}_{n-1}
 \cap f^{-1}(\bar{V}_n)) \ldots ) ,
   \end{array}
$$
��������롥

����3��ꡢ$\bar{V}_{n-1} \cap f^{-1}(\bar{V}_n)$��$Aa'_{n-1}$��α�ľ��
�Ǥ��롥�Ƶ����ˤ�ꡢ$\bar{V}_{0,1,2, \ldots,n}$��$Aa'_0$��α�ľ���Ǥ�
�롥

�����ꡢ$\bar{V}_{0,1,2, \ldots,n+1} \subset \bar{V}_{0,1,2,
\ldots,n}$�Ϥ��٤Ƥ�$n \in {\bf N}$���Ф��ƥ���ѥ��Ƚ���Ǥ��롥���Τ�
��$B_1 = \cap _{n \geq 0} \bar{V}_{0,1,2, \ldots,n} \neq \emptyset$�ϱ�
ľ�ҤǤ���(��ľ���β�ǽ���⤢��)��

(10.5)���$\bar{H}_{-m+1} = f(\bar{V}_{-m})$�Ǥ��롥�������ä�
$$
  B_2 = \{ p \in A \ | \ f^{-m}(p) \in \bar{H}_{-m}, m = 0, 1, 2, 
 \ldots \} . 
$$

����������롥
$$ \begin{array}{rl}
 \bar{H}_{0,-1,-2, \ldots,-n} 
& = \{ p \in A \ | \ f^{-m}(p) \in 
       \bar{H}_{-m}, m=0, 1, 2, \ldots, n \} \\
& = \bar{H}_0 \cap f(\bar{H}_{-1} \cap \ldots \bar{H}_{-n+1} \cap 
f(\bar{H}_{-n})) \ldots ) .
   \end{array}
$$

���Ʊ��������ꡢ$B_2 = \cap_{n \geq 0} \bar{H}_{0,-1, \ldots, -n}$��
$Aa'_0$��ο�ʿ�ҤǤ���(��ʿ���β�ǽ���⤢��)��

����1���$B_1 \cap B_2 \neq \emptyset$�Ǥ��롥

$(a',a) \in \Sigma$��(b1)�ޤ���(b2)�����פ��ȤǤ���Ȥ��롥
��ľ��$B_1$�򥱡���(a)�Τ褦��������롥���Τ褦�ˤ�����
$$
  B_2 = \{ p \in A \ | \ f^{-m}(p) \in \bar{V}_{-m}, m = 1, 2, 
 \ldots, -(k+1) \} . 
$$

(10.5)��ꡢ$m < -(k+1)$�ʤ�$\bar{H}_{-m+1} = f(\bar{V}_{-m})$�Ǥ��롥��
      ��ˡ�(10.7)��(10.5)��Ȥ��С�$f^{k+1}(p) \in \bar{V}_{k+1}$�ΤȤ�
      $f^{k+1}(p) \in \bar{H}_{k+1}$�����$f^{k+2}(p) \in \bar{H}_{k+2}$
      �Ǥ��롥��ä�
$$ \begin{array}{rl}
 B_2 
& = \{ p \in A \ | \ f^{-m}(p) \in \bar{H}_{-m}, m=0, 1, 2, 
\ldots, -(k+1) \} \\
& = \bar{H}_0 \cap f(\bar{H}_{-1} \cap \ldots \cap f(\bar{H}_{k+2} 
\cap f(\bar{H}_{k+1})) \ldots ) .
   \end{array}
$$

���Ʊ�͡�$\bar{H}_{k+2} \cap f(\bar{H}_{k+1})$��$\bar{H}_{k+2}$��ο�ʿ
���Ǥ��롥�Ƶ����ˤ�ꡢ$B_2$��$\bar{H}_0$��ο�ʿ���Ǥ��롥���ΤȤ�$B_1
\cap B_2 \neq \emptyset$�Ǥ��롥

Ʊ�ͤˤ��ơ�$(a',a)$��(c)�ޤ���(d)�����פ��ȤΤȤ��������������Ǥ��롥
\hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
����2�����3����������Ҥ�������������ĤȤ��롥

(a) $Ai$��Τɤο�ʿ����$Ai$��γƱ�ľ����1���ǤΤ߲��ڤ롥

(b) ����$m \in {\bf N}$���Ф���$V$����ľ��$V \subset Vi_m$�ʤ顢$\nu, 0
< \nu < 1$�����äơ����٤Ƥ�$j \in I'_i$����Ӥ��٤Ƥ�$k \in {\bf N}$��
�Ф��Ƽ�����������
$$
  d(f^{-1}(V) \cap Vij(k) ) \leq \nu d(V) .
$$
Ʊ�ͤˡ�����$m \in {\bf N}$���Ф���$H$����ʿ��$H \subset Hi_m$�ʤ顢����
�Ƥ�$j \in I_i$����Ӥ��٤Ƥ�$k \in {\bf N}$���Ф��Ƽ�����������
$$
  d(f(H) \cap Hij(k) ) \leq \nu d(H) .
$$

���ΤȤ����餫������10.1����$p$�ϰ�դǤ��롥

