
\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\large 
{\bf 11. ����������ε����ϳ�} 
}
\end{center}

����10.1�ˤ�ä�����������ΰۤʤ륿���פΤդ�ޤ���Ϳ�����롥������V
�ξ��˲���1��2�����3��������褦��������I�����III�ξ��Ϸ�̤�����
Ϳ���롥

������V�Ǥ�$A = \cup_{i \in I} Ai, I= \{ 1,2,3,4,5,6,7,8 \}$�ȤȤ롥����
��$Ai$�����(9.3)���������롥ɽII.I�������Τϡ�����1���������褦�˳�
$Ai$����Ǹ�$\Gamma_j, j=1,2,3,4$���ɤΤ褦�����Ф�뤫���Ǥ��롥�����
��ˤϡ�$\Gamma_j$��$\beta_0$���1���ˤʤäƤ��ޤ����Ȥ������롥$(*)$��
������줿�ɤθ�$\Gamma_j$�ˤ�$\partial Ai$�������ޤޤ�ʤ����Ȥ��̣��
�롥

\vspace{1.5cm}
\hspace*{5cm} ɽ11.I

\vspace{2.3cm}
�ɤ�$Ai$���Ф��Ƥ⡢��$\gamma$��(10.4)�ˤ�����褦�ˡ�$\gamma(0) \in
\Gamma_1$�����$\gamma(1) \in \Gamma_2$�ʤ��ʿ���Ǥ��롥$\gamma(0) \in
\Gamma_3$�����$\gamma(1) \in \Gamma_4$�ʤ��ľ���Ǥ��롥

\vspace{4.5cm}
\hspace*{5cm} ��11.1

\vspace{3.5cm}
����9.1�����9.2��Ȥäơ���ʿ����ӱ�ľ�������Ҥ�²�Τ����Ĥ����������
����$\psi(A1)$�����$\psi(A8)$�Ͽ�11.1�˼����褦��2�ܤα����ҤǤ��롥
$D_-$��ˤϡ�$\psi(A4)$�����$\psi(A5)$�ˤĤ��Ƥ�����оΤʿޤ������롥
����ˡ�$\psi(A2)$��$\psi(A3)$��$\psi(A6)$�����$\psi(A7)$�Ͽ�11.2�˼���
�褦��$D^3 \cup D^4$��α����ҤǤ��롥���ΤȤ��ʲ��Τ褦�ʿ�ʿ�Ҥ������
��²������Ǥ��롥

���ʤ����$i=1,4,5$�ޤ���$8$�ΤȤ���$k>m^1$���Ф��ơ��ޤ�$i=2,3,6$�ޤ���
$7$�ΤȤ���$k>m^2$���Ф���
$$ \begin{array}{ll} 
  Hij(k) = \Phi({\rm cl} (\psi(Ai)) \cap Q_k^+) \cap Aj,  & 
        i=1,8, \ j=1,2, \\
  Hij(k) = \Phi({\rm cl} (\psi(Ai)) \cap Q_k^-) \cap Aj,  & 
        i=4,5, \ j=5,6, \\
  Hij(k) = \Phi({\rm cl} (\psi(Ai)) \cap P_{2k+1}^1) \cap Aj,  & 
        i=2,3, \ j=3,4, \\
  Hij(k) = \Phi({\rm cl} (\psi(Ai)) \cap P_{2k}^1) \cap Aj,  & 
        i=6,7, \ j=3,4, \\
  Hij(k) = \Phi({\rm cl} (\psi(Ai)) \cap P_{2k}^2) \cap Aj,  & 
        i=2,3, \ j=7,8, \\
  Hij(k) = \Phi({\rm cl} (\psi(Ai)) \cap P_{2k+1}^2) \cap Aj,  & 
        i=6,7, \ j=7,8 . 
   \end{array}    \eqno(11.1a)
$$

\noindent
�ޤ���$i=1,2,5$�ޤ���$6$�ΤȤ���$k>m^1$���Ф��ơ��ޤ�$i=3,4,7$�ޤ���$8$
�ΤȤ���$k>m^2$���Ф���
$$ \begin{array}{ll} 
  Eli(k) = H8i(k) \cap \Phi(\sigma_{L^s}^{\infty}), & i=1,2, \\
  Emi(k) = H4i(k) \cap \Phi(\sigma_{M^s}^{\infty}), & i=5,6, \\
  Eli(k) = H7i(k) \cap \Phi(\sigma_-^u), & i=3,4,7,8, \\
  Emi(k) = H3i(k) \cap \Phi(\sigma_+^u), & i=3,4,7,8 . 
   \end{array}    \eqno(11.1b)
$$

����$k$�����$i$���Ф���$p \in Eli(k)(Emi(k))$�ʤ�$f^{-1}(p)$���������
����$\varphi(t,p)$�����е�ƻ�Ǥ��äơ�$t$��$-\infty$�˸������Ȥ�
$\varphi(t,p)$��$L^s(M^s)$�˸�������

\vspace{1.0cm}
\hspace*{5cm} ��11.2

\vspace{7.5cm}
Ʊ�ͤ����򤫤顢�ʲ��Τ褦�ʱ�ľ�Ҥ��������²������Ǥ��롥���ʤ����
$i=1,2,5$�ޤ���$6$�ΤȤ���$k>m^1$���Ф��ơ��ޤ�$i=3,4,7$�ޤ���$8$�ΤȤ�
��$k>m^2$���Ф���
$$ \begin{array}{ll} 
  Vij(k) = \psi^{-1}({\rm cl} (\Phi^{-1}(Ai)) \cap Q_k^+) \cap Aj, & 
        i=1,2, \ j=1,8, \\
  Vij(k) = \psi^{-1}({\rm cl} (\Phi^{-1}(Ai)) \cap Q_k^-) \cap Aj, & 
        i=5,6, \ j=4,5, \\
  Vij(k) = \psi^{-1}({\rm cl} (\Phi^{-1}(Ai)) \cap P_{2k+1}^1) \cap Aj, 
&         i=3,4, \ j=2,3, \\
  Vij(k) = \psi^{-1}({\rm cl} (\Phi^{-1}(Ai)) \cap P_{2k}^2) \cap Aj, & 
        i=7,8, \ j=2,3, \\
  Vij(k) = \psi^{-1}({\rm cl} (\Phi^{-1}(Ai)) \cap P_{2k}^1) \cap Aj, & 
        i=3,4, \ j=6,7, \\
  Vij(k) = \psi^{-1}({\rm cl} (\Phi^{-1}(Ai)) \cap P_{2k+1}^2) \cap Aj, & 
        i=7,8, \ j=6,7 . 
   \end{array}    \eqno(11.2a)
$$
�ޤ���$i=1,4,5$�ޤ���$8$�ΤȤ���$k>m^1$���Ф��ơ��ޤ�$i=2,3,6$�ޤ���$7$
�ΤȤ���$k>m^2$���Ф���
$$ \begin{array}{ll} 
  CLi(k) = V2i(k) \cap \psi^{-1}(\sigma_{L^i}^{\infty}), & i=1,8, \\
  CMi(k) = V6i(k) \cap \psi^{-1}(\sigma_{M^i}^{\infty}), & i=4,5, \\
  CLi(k) = V3i(k) \cap \psi^{-1}(\sigma_-^s), & i=2,3,6,7, \\
  CMi(k) = V7i(k) \cap \psi^{-1}(\sigma_+^s), & i=2,3,6,7 . 
   \end{array}    \eqno(11.2b)
$$

�ݥ��󥫥����$f$�ϱ�ľ����Ǥ��������ʤ�������$k,i$���Ф���$p \in
CLi(k)(CMi(k))$�ʤ뵰ƻ$\varphi(t,p)$�Ͼ��͵�ƻ�Ǥ��롥�Ĥޤ�$t$��
$+\infty$�˸������Ȥ�$\varphi(t,p)$��$L^i(M^i)$�˸�������

�˸��Ҥϼ��ΤȤ���Ǥ��롥
$$ \begin{array}{ll} 
  H1(\infty) = \xi_2 \cap \partial A1, & 
        V1(\infty) = \xi_1 \cap \partial A1, \\
  H2(\infty) = \xi_2 \cap \partial A2, & 
        V2(\infty) = \{ l^{i,1} \} , \\
  H4(\infty) = \{ m^{s,1} \} , & 
        V4(\infty) = \xi_3 \cap \partial A4, \\
  H5(\infty) = \xi_4 \cap \partial A5, & 
        V5(\infty) = \xi_3 \cap \partial A5, \\
  H6(\infty) = \xi_4 \cap \partial A6, & 
        V6(\infty) = \{ m^{i,2} \} , \\
  H8(\infty) = \{ l^{s,2} \} , & 
        V8(\infty) = \xi_1 \cap \partial A8 . 
   \end{array}    \eqno(11.3)
$$
$H3(\infty) = V3(\infty)$��$l^{i,1}$��$m^{i,1}$�δ֤�$\beta_0$�θɤǤ��ꡢ
$H7(\infty) = V7(\infty)$��$l^{s,2}$��$m^{s,2}$�δ֤�$\beta_0$�θɤǤ��롥

$f$��ȼ�����ܹ���${\cal A}_0$��(10.1)���
%\frac{\displaystyle }{\displaystyle }
$$ 
  {\cal A}_0 = 
\left[
  \begin{array}{cccccccc}
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 
  \end{array} 
\right] .          \eqno(11.4)
$$
�Ǥ��롥

${\cal A}_0$���ĥ����(10.2)�ˤ�����褦��$I \cup S$�˴ؤ������${\cal
A}$�ˤ��롥$S$��10�����������ü쵭��ν���Ȥ��롥$i \in I$�Ȥ��Ƽ���
������롥

(i) $p \in {\rm cl}(Ai)$�����ä�$f(p)(f^{-1}(p))$��������줺��$t$��
$+\infty(-\infty)$�ΤȤ�$\varphi(t,p)$��̵�±� \\
\hspace*{1.2cm} ��ƨ����ʤ顢
$\alpha_{i,\dot{N}}(\alpha_{\dot{n},i}) = 1$��

(ii) $p \in Ai$�����ä�$f(p)(f^{-1}(p))$��������줺��$t$��
$+\infty(-\infty)$�ΤȤ�$\varphi(t,p)$��$L^i(L^s)$�� \\ 
\hspace*{1.2cm} �������ʤ顢$\alpha_{i,L}(\alpha_{l,i}) = 1$��

(iii) $p \in Ai$�����ä�$f(p)(f^{-1}(p))$��������줺��$t$��
$+\infty(-\infty)$�ΤȤ�$\varphi(t,p)$��$M^i(M^s)$ \\ 
\hspace*{1.2cm} �˸������ʤ顢$\alpha_{i,M}(\alpha_{m,i}) = 1$��

(iv) ����¾�ξ���$\alpha_{i,j}=0$. 

\vspace{0.3cm}
�������äƼ��Τ褦�˽񤱤롥
$$ 
  {\cal A}_1 = 
\left[
  \begin{array}{ccc}
1 & 1 & 0  \\
0 & 1 & 1  \\
0 & 1 & 1  \\
1 & 0 & 1  \\
1 & 0 & 1  \\
0 & 1 & 1  \\
0 & 1 & 1  \\
1 & 1 & 0  
  \end{array} 
\vline
O_{8 \times 3}
\right] ,          \eqno(11.5)
$$

$$ 
  {\cal A}_2 = 
\left[
  \begin{array}{c}
O_{3 \times 8} \\
\hline
  \begin{array}{cccccccc}
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
  \end{array} 
  \end{array} 
\right] .         \eqno(11.6)
$$
������$O_{8 \times 3}(O_{3 \times 8})$��$8 \times 3(3 \times 8)$�Υ�����
��Ǥ��롥10���Ϳ����줿${\cal A}$��ȼ������$\Sigma$�����äơ���������
������ȤǤ��롥

(11.1)��(11.2)�����(11.3)���������������Ҥ�²�ϲ���2��(a)����������
      (b)�˴ؤ��Ƥϡ����Ȥ��Ф���$k>m^1$���Ф��Ʊ�ľ��$V18(k)$��ͤ��褦��
      ���(11.2a)�Ȥ���
$$ \begin{array}{ll} 
  f(V18(k)) & = \Phi [ \Phi^{-1} (A1) \cap Q_k^+ \cap 
{\rm cl} (\psi(A8)) ] \\
 & = A1 \cap \Phi [ Q_k^+ \cap {\rm cl} (\psi(A8))] = H81(k) 
   \end{array} 
$$
�Ǥ��ꡢ$m=1$�����$i=8$���Ф���(10.5)���Ф롥��11.3�Τ褦�ˡ�$V18(k)$��
��ľ(��ʿ)������$v_1$�����$v_2$($h_1$�����$h_2$)��ɽ�魯�����ξ�硢
$h_2$��$l^{s,2}$�ˤʤäƤ��ޤ����顢$f$�Ϥ��ξ���������ʤ�����11.4��
���ñ��Ƚ��褦�ˡ�$f$�϶���$v_1,v_2$�����$h_1$����¸���롥�ҤλĤ��
�ؤ��Ʋ���2��(b)���������Τ�Ʊ�ͤˤ��ƤǤ��롥

\vspace{2.6cm}
\hspace*{5cm} ��11.3

\vspace{2.9cm}
\noindent
{\bf ���� 11.1.} $E(V)$��$Ai$�ˤ������ʿ��(��ľ��)�Ȥ�������$m \in {\bf
N}$���Ф���$E \subset Hi(m)(V \subset Vi(m))$�Ȥ��롥���ΤȤ�$f(E) \cap
Hij(k)(f^{-1}(V) \cap Vij(k))$�ϡ�$Hij(k)(Vij(k)$����������褦��
���٤Ƥ�$j \in I_i(j \in I'_i)$����Ӥ���$k$���Ф���$A_j$��ο�ʿ��(��ľ
��)�Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $\psi(E)$��$\psi(Ai)$��α����������Ǥ��äơ�$i=1,8$��
��$D_+$�˴ޤޤ졢$i=4,5$�ʤ�$D_-$�˴ޤޤ졢$i=2,3$�ʤ�$D^3$�˴ޤޤ졢
$i=6,7$�ʤ�$D^4$�˴ޤޤ�롥������$\psi(E)$��$i=1,8$�����$i=4,5$�ʤ餽
�줾��$\sigma_{L^i}^{\infty}, \sigma_{M^i}^{\infty}$��̵�¸Ĥ����ǲ��ڤ롥
���Τۤ��ξ�硢$\psi(E)$��$\sigma_+^s$�����$\sigma_-^s$���ڤ롥����
�Ȥ�$Hij(k)$���������뤹�٤Ƥ�$j \in I_i$����Ӥ��٤Ƥ�$k \in {\bf N}$
���Ф���$\psi(E) \cap \Phi^{-1}(Hij(k)) \neq \emptyset$�Ǥ��롥
�����ϱ�ľ���˴ؤ��Ƥ�Ʊ�ͤǤ��롥 \hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
����1��2�����3�򤳤�Ǿ��������������Ǽ��������ǤޤȤ�褦��

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 11.1.} $\varepsilon_2 < \varepsilon < 55/4$�Ȥ���$\Sigma$��$I
\cup S = \{ 1,2,3,4,5,6,7,8 \} \cup \{ \dot{N}, L, M, \dot{n}, l, m \}$
��°������������ȤǷ�������뽸��Ȥ��롥��������
(11.4)��(11.5)�����(11.6)��Ϳ���������ܹ���
$$
  {\cal A} = 
\left(
  \begin{array}{cc}
     {\cal A}_0  & {\cal A}_1 \\
     {\cal A}_2  & O_6 
  \end{array}
\right)
$$
�˴ؤ��ơ������ϥ�����$(a),(bi),(ci),(dij), i=1,2,j=1,2$�Τɤ줫�Ǥ��롥

���ΤȤ�$a_j > m^*(\varepsilon) = \max (m^1,m^2)$�ʤ뤹�٤Ƥ���$(a',a)
\in \Sigma$���Ф��ơ��������������$p \in Aa'_0$�����롥

\vspace{1.0cm}
\hspace*{5cm} ��11.4

\vspace{6.7cm}
����11.1��Ϳ�����뵰ƻ�δ�����Ū���ˤϼ㴳�Υ����Ȥ�ɬ�פǤ��롥

$p \in A$��$(a',a) \in \Sigma$�����������Ȥ��롥

$(a',a)$��������(a)�ʤ�$\varphi(t,p)$�����������λ����$S_0$��̵�²�
�ڤ롥��$a'$��$\varphi(t,p)$��$S_0$���̲᤹�뤿�Ӥ˽���$Ai$��Ϳ���롥

$(a',a)$��������(b1)�Ǥ���Ȥ��褦����������(10.7a)��ꡢ����$k<0$���Ф���
$$
  f^{k+1} (p) \in \overline{V}_{k+1} = V a'_{k+2} a'_{k+1} (a_{k+1}) 
\cap Ha'_{k+1} (\infty) , 
$$
�Ǥ��롥${\cal A}_2$��ꡢ$a'_{k+1}$��$1,2,3$�ޤ���$6$�ΤϤ��Ǥ��롥����
�Ȥ�$Ha'_{k+1}(\infty) \subset \xi_2 \cup \xi_4$�Ǥ��ꡢ$\varphi(t,p)$��
��ʪŪ��̵�±󤫤���롥������(b2)����$(a',a) \in \Sigma$�ξ�硢����
$k<0$���Ф���$f^{k+1}(p) \in Ea'_ka'_{k+1}(a_k)$�Ǥ��롥���ΤȤ�
$\varphi(t,p)$��$a'_k=1$�ʤ�$L^s$��������е�ƻ�Ǥ��ꡢ$a'_k=m$�ʤ�$M^s$
��������е�ƻ�Ǥ��롥Ʊ�ͤ����򤫤顢(c1)���Ȥ�̵�±����ʪŪ��ƨ���뵰
ƻ���б����롥(c2)���Ȥϡ�$a'_h=L$�ʤ�$L^i$�Ǥξ��͵�ƻ��$a'_h=M$�ʤ�
$M^i$�Ǥξ��͵�ƻ��Ϳ���롥������(d)���Ȥ���ʪ�����Ф���Ӿ��͵�ƻ���ȹ�
���Ǥ��롥ɽ11.II�ϰۤʤ륿���פ��Ȥ��б����뵰ƻ�Τդ�ޤ���ޤȤ�Ƥ�
�롥����ɽ�ǡ�$P$����ʪ��ƻ��$E$��$C$�����Ф���Ӿ��͵�ƻ��ɽ�魯��

\vspace{1.5cm}
\hspace*{5cm} ɽ11.II

\vspace{1.5cm}
$A$��Ȥ��뵰ƻ���ɸʿ�̤�ɽ�魯����ˤ����Ĥ��λ��¤�Ҥ٤Ƥ�����

$p \in A2 \cup A3$�Ȥ���$f(p)$��¸�ߤ���Ȥ��롥$p$��$f(p)$�δ֤�
$\varphi(t,p)$�θɤ�$\bar{\gamma}$��ɽ�魯��$t_1,t_2$�����$t_3$��¸�ߤ�
�ơ�$\varphi(t_1,p) \in S^-, \varphi(t_2,p) \in D^3, \varphi(t_3,p) \in
S^- \cup S^+$�Ǥ��ꡢ$\varphi(t,p) \in S^- \cup S^+$�ʤ�$ t \in (0,t_1)
\cup (t_1,t_2) \cup (t_2,t_3)$�Ϥʤ�������ˡ�$f(p) \in A3 \cup A4$�ʤ�
$\varphi(t_3,p) \in S^+$�Ǥ��ꡢ

\vspace{1.0cm}
\hspace*{5cm} ɽ11.III

\vspace{6.3cm}
$f(p) \in A7 \cup A8$�ʤ�$\varphi(t_3,p) \in S^-$�Ǥ��롥$p \in A6 \cup
A7 \subset {\cal U}^4$�ΤȤ���$\varphi(t_1,p) \in S^+$�Ǥ��뤳�Ȥ������
��̤�Ʊ���Ǥ��롥

$p \in A8$�ξ���ͤ��롥$\varphi(t,p)$��$\xi_1$�ζ᤯��$S^+$�˹Ԥ���
$f(p) \in A2$�ʤ�$\bar{\gamma}$��$\theta=\pi/2$�ˤ����ƤΤ����ξ��ͤ�
�롥�������ξ��ͤ�$\bar{\gamma}$��$D_+$���̲᤹��Ȥ��˿����롥$f(p) \in
A1$�ʤ�$f(p)$�ζ᤯��$S^-$������̲᤹�뤬�������̲�ϵ�ƻ��$A1$��Ф���
���˹ͤ��롥

ɽ11.III��$A$���̲᤹�뵰ƻ�Τդ�ޤ���ޤȤ�Ƥ�������$t_1$��ϸ�
$\bar{\gamma}$��$S^+ \cup S^-$��ǽ�˲��ڤ뤫�ɤ����򼨤���$t_3$���
$f(p)$��ľ����$S^+ \cup S^-$��Ǹ�˲��ڤ뤫�ɤ����򼨤�����������
$\bar{\gamma}$�������顼ʿ������޷���ζ᤯���ޤ�$I_+$��$I_-$�ζ᤯����
�᤹�뤫�ɤ����򼨤�����$a$������$a_n$��$\theta= \pi/2(S^+)$�ޤ���
$\theta=-\pi/2(S^-)$�ˤ��������ξ��ͤο����ޤ���$a'_n$�����$a'_{n+1}$��
��¸���ƥ����顼ʿ������޷���Τޤ��θ�ž����ɽ�魯�������θ�ž�Τ�
����ɸʿ�̤Ǥ�$m_3$��$x_2=0$���Τޤ���1��ư�Ǥ��뤳�Ȥ�פ���������

����3�Ĥ����󤲤褦��
$$ \begin{array}{lrl}
(1) \hspace{2.5cm} & (a',a) = & ((\ldots 4,6;3,7,8,1,1, \ldots), \\
    &          & ( \ldots a_{-2}, a_{-1}; a_0, a_1, a_2, \ldots )), \\
(2) \hspace{2.5cm} & (a',a) = & ((l,1; 2,4, \dot{N}), 
(a_{-2}, a_{-1}; a_0, \infty)) , \\
(3) \hspace{2.5cm} & (a',a) = & ((m,3; 4,6,7,L), 
(a_{-2}, a_{-1}; a_0, a_1, a_2)) . 
   \end{array}
$$

��11.5��11.6�����11.7�ˤϺ�ɸʿ�̤Ǥ��б����뵰ƻ�οʲ���������Ƥ��롥
�ɤξ��⡢$(a',a)$������11.1�β�����������Ȥ����������������䤹������
���������$a_n$�ξ����ʵ�ƻ����������

������I�����ʤ��$\varepsilon_c < \varepsilon < \varepsilon_1$�ΤȤ��ϡ�
$A = \cup_{i \in I} Ai, I= \{ 1,2,3,4,5,6,7,8 \}$�ȤȤä��������ǽ���
$Ai$��(9.1)���������롥$I \cup S$�˴ؤ���$f$��ȼ�����ܹ����(10.2)�η�
��Ϳ�����롥��������
$$ 
  {\cal A}_0 = 
\left[
  \begin{array}{cccccccc}
1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 
  \end{array} 
\right] ,         \eqno(11.7)
$$

$$ 
  {\cal A}_0 = 
\left[
  \begin{array}{cccccc}
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0  \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0  \\
1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0  \\
1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0  \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0  \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0  \\
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0  \\
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0  
  \end{array} 
\right] ,  \ \ \
  {\cal A}_2 = 
\left[
  \begin{array}{cccccccc}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
  \end{array} 
\right] .  
$$

����ɤ�$\Sigma$��(11.7)��Ϳ���������ܹ���˴ؤ�������Ȥν���Ȥ��롥

������V�˴ؤ���Ʊ�ͤ�Ĵ����$\varepsilon_c < \varepsilon < \varepsilon_1$
���Ф��ƹԤ��롥$a_j > m^*(\varepsilon)$�ʤ���$(a',a)$���٤Ƥ��Ф��ơ���
�����������$p \in Aa'_0$�����롥

���ξ�硢�����������פ����ܤ������뤳�Ȥ����դ��롥���Ȥ��С����٤Ƥ�
$n \in {\bf Z}$���Ф���$a'_n=5$�ʤ륿����(a)��$(a',a)$��ͤ��롥�б�����
��ƻ�ϥ����顼ʿ������޷���ζ�˵��̵�²��̲᤹�롥�����$\theta=\pi/2$
�ǤΤ����ξ��ͤ��롥���μ�Τդ�ޤ���$\varepsilon_2 < \varepsilon <
55/4$�Ǥ��Բ�ǽ�Ǥ��롥

\vspace{3.5cm}
\hspace*{5cm} ��11.5

\vspace{3.5cm}
������III�ξ�硢����$A$��(9.2)����������4�Ĥν�����¤Ǥ��롥���ξ��
�����ܹ���ϼ��ΤȤ���Ǥ��롥
$$
  {\cal A} = 
\left[ 
  \begin{array}{c|c}
%(1,1)
    \begin{array}{cccc}
      1 & 0 & 1 & 0 \\
      0 & 1 & 0 & 1 \\
      0 & 1 & 0 & 1 \\
      1 & 0 & 1 & 0 
    \end{array} 
           &
%(1,2)
    \begin{array}{cccccc}
      1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0   \\
      1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0   \\
      1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0   \\
      1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0  
    \end{array} \\
 \hline
%(2,1)
    \begin{array}{cccc}
      0 & 0 & 0 & 0 \\
      0 & 0 & 0 & 0 \\
      0 & 0 & 0 & 0 \\
      1 & 1 & 1 & 1 \\
      1 & 0 & 1 & 0 \\
      0 & 1 & 0 & 1 
    \end{array}
          &
%(2,2)
      0
  \end{array}
\right] .
$$

���ξ�硢̵�±��ƨ������$x_1$���Τޤ���¿����ư���뵰ƻ��¸�ߤ���
�ڤǤ��ʤ����ºݡ����ο�����ʬ�礭���ȡ���ƻ��ƨ���Ƥ��ޤ���

\vspace{1.0cm}
\hspace*{5cm} ��11.6
\vspace{5.0cm}

\newpage
\hspace*{5cm} ��11.7
\vspace{6.5cm}

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\large 
{\bf 12. �оμ�����ƻ�Τ����Ĥ���²} 
}
\end{center}

������Ǥ��оμ�����ƻ��²�򤤤��Ĥ�ʬ�ह�롥������²�Ϥ��٤���������
�������10.1��Ϳ�����뵰ƻ�ν���˴ޤޤ�롥�����ε�ƻ������Τˡ���
(1.5)���о���$L^1$�����$L^2$�˴ؤ��ƲĵդǤ��뤳�Ȥ����Ѥ��롥
$L^1(L^2)$�Τ�Ȥ����Ѥ����ν����${\rm Fix}(L^1)({\rm Fix}(L^2))$��ɽ��
�������Ǥ��Τ��Ƥ���褦��([3]����)�����Ȥ���$p \in {\rm Fix}(L^1)$��
$\tau = \min \{ t>0 | \varphi(t,p) \in {\rm Fix}(L^1) \cup {\rm
Fix}(L^2) \}$�������Ǥʤ���С�$\varphi(t,p)$���оμ�����ƻ�Ǥ��롥�ºݡ�
$\varphi(t,p) \in {\rm Fix}(L^1)$�ʤ�$\varphi(t,p)$��$L^1$�˴ؤ����оΤ�
$2 \tau$�����Ǥ��ꡢ$\varphi(t,p) \in {\rm Fix}(L^2)$�ʤ�$\varphi(t,p)$
��$L^1$�����$L^2$�˴ؤ����оΤ�$4 \tau$�����Ǥ��롥

����������Ǥ�${\rm Fix}(L^1) = \gamma_1 \cup \gamma_+ \cup \gamma_-$��
���${\rm Fix}(L^2) = \gamma_2$�Ǥ��롥(4.1)������������ʬ$\gamma_+$��
$\gamma_-$�ϱ�ư�̤��ɽ�˾��Ǥ���褦�����ξ��ͤ������б����롥�оμ���
��ƻ�����뤿��ˡ�ή��˱�ä�$\gamma_1, \gamma_2, \gamma_+$�����
$\gamma_-$����̤����ɤ�����������줿�����θ������ܤ���

\vspace{1.0cm}
\hspace*{5cm} ��12.1

\vspace{7.0cm}

\newpage
$D_+ \cup D'_+$�������������ʬ²$\{ x_j \} , \{ x'_j \}$�����
$D_- \cup D'_-$�������������ʬ²$\{ y_j \} , \{ y'_j \}$��ͤ��롥
���ΤȤ�
$\{ \Phi(x_j) \} , (\{ \Phi(x'_j) \})$, 
$\{ \psi^{-1}(x_j) \} , (\{ \psi^{-1}(x'_j) \})$, 
$\{ \Phi(y_j) \} , (\{ \Phi(y'_j) \})$, 
$\{ \psi^{-1}(y_j) \} ,$ $(\{ \psi^{-1}(y'_j) \})$, 
�Ϥ��줾��
$l^{i,1}$��$l^{i,2}$��
$l^{s,1}$��$l^{s,2}$��
$m^{i,1}$��$m^{i,2}$�����
$m^{s,1}$��$m^{s,2}$�����δ֤�${\cal M}$��θɤ�²�Ǥ��롥
Ʊ�ͤˤ��ơ�$j \geq m^2$�ΤȤ�
$\{ c_j^1 \}$, $\{ c_j^2 \}$, $\{ d_j^1 \}$�����$\{ d_j^2 \}$��${\cal
M}$��˰ʲ��θ�²��Ϳ���롥���ʤ����
$\{ \Phi(c_j^1) \} , \{ \Phi(c_j^2) \}$, 
$\{ \Phi(d_j^1) \} , \{ \Phi(d_j^2) \}$, 
$\{ \psi^{-1}(c_j^1) \} , \{ \psi^{-1}(c_j^2) \}$, 
$\{ \psi^{-1}(d_j^1) \}$�����$\{ \psi^{-1}(d_j^2) \}$�Ǥ��롥
������²�����Ǥ�$\beta_0$��2����ü������ĸɤǤ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ̿�� 12.1.} $\varepsilon_c < \varepsilon < \varepsilon_2$�Ȥ��롥��
ʬ�礭��������$n,m$���Ȥ��٤Ƥ��Ф��ơ�$L^1$�˴ؤ����оΤʼ�����ƻ������
��(��12.1����)��1�����Τ�������$x_2>0$��$n$������ξ��͡�$x_2<0$��$m$��
�����ξ��ͤ�Ԥ���$x_2=0$����2���̲᤹�롥��12.1��ɽ������뵰ƻ��1����
�Τ�������2�٤ʤ����롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. ����$\Phi(x_j) \cap \psi^{-1}(y_k), j,k \geq 0$��$n$��
$m$�������ΤȤ�������ƻ��Ϳ���롥$n$��$m$������ʤ顢��ƻ��
$\Phi(x'_j) \cap \psi^{-1}(y'_k), j,k > 0$���������롥
����$\Phi(x_j) \cap \psi^{-1}(y'_k)$�����
$\Phi(x'_k) \cap \psi^{-1}(y_j), j,k \geq 0$������̤ε�ƻ�������롥

�����$n=m$�ʤ鵰ƻ��$L^2$�˴ؤ����оΤǤ��롥���ΤȤ���ɸʿ�̤ؤμͱƤ�
$x_1$���˴ؤ����оΤǤ���(��12.1c����)�� \hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
�ʲ��γƿޤǤϡ����䤹���褦�˿�12.1�Τ褦�ˡ�$n$��$m$�򾮤����ȤäƵ�ƻ
����������

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ̿�� 12.2.} $\varepsilon_1 < \varepsilon < 55/4$�Ȥ���$n,m$��ʬ��
�����������Ȥ��롥$n \neq m$�ʤ顢$L^1$�˴ؤ����оΤʼ�����ƻ��2�Ĥ��äơ�
��12.2a�����12.2b�˼������褦�ˡ�sgn$(x_2)$�������$n+m$������ξ���
��$x_2$����椬ȿ�Ф����ξ��ͤ�1������Ԥ���$n=m$�ʤ�$n$������ξ��ͤΤ�
�Ȥ�1�����򽪤���(��12.2����)��

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. ����$\Phi(x_j) \cap \psi^{-1}(x_k)$���顢$n$��$m$����
���ΤȤ�$x_2>0$��$n+m$�����ξ��ͤ��������ƻ�������롥$n$��$m$�������
�顢��ƻ��$\Phi(x'_j) \cap \psi^{-1}(x'_k)$��������졢�Ĥ�ξ���
$\Phi(x_j) \cap \psi^{-1}(x'_k)$���������롥Ⱦʿ��$x_2<0$�����ξ��ͤ�
�뵰ƻ�Ϥ������о�Ū�Ǥ��롥 \hfill $\Box$

\vspace{3.5cm}
\hspace*{5cm} ��12.2

%\vspace{4.5cm}

\newpage
\hspace*{5cm} ��12.3

\vspace{7.8cm}

\noindent
{\bf ̿�� 12.3.} $\varepsilon< \varepsilon_1$�ޤ���$\varepsilon_2 <
\varepsilon < 55/4$�Ȥ���$n,m$��ʬ�礭���������Ȥ��롥

(i) $L^1$�˴ؤ����оΤʼ�����ƻ��2�Ĥ��äơ�
$\varepsilon<\varepsilon_1$�ΤȤ��Ͽ�12.3a�ˡ��ޤ�$\varepsilon_2 <
\varepsilon < 55/4$ \\
\hspace*{1.2cm} �ΤȤ��Ͽ�12.3b�˼������褦�ˡ�1�����Τ�������$m_3$��
$x_2=0$����$n+m$���� \\ 
\hspace*{1.2cm} �롥$n=m$��$\varepsilon<\varepsilon_1$�ʤ顢��ƻ��$n$��
$x_2=0$�����ڤä����Ȥ�1�����򽪤���(�� \\ 
\hspace*{1.2cm} 12.3c����)��

(ii) $L^1$�˴ؤ����оΤʼ�����ƻ��2�Ĥ��äơ�1�����Τ�������$m_3$��
$x_2=0$����$m$�� \\
\hspace*{1.2cm} �ڤꡢsgn$(x_2)$�������$n$������ξ��ͤ�Ԥ�(��12.4����)��

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. (i)�ε�ƻ��$\varepsilon<\varepsilon_1$�ʤ�
$\Phi(c_j^1) \cap \psi^{-1}(c_k^1)$�����$\Phi(c_j^2) \cap \psi^{-1}(c_k^2)$��������졢$\varepsilon_2<\varepsilon <55/4$�ʤ�
$\Phi(c_j^1) \cap \psi^{-1}(c_k^2)$�����$\Phi(c_j^2) \cap \psi^{-1}(c_k^1)$���������롥(ii)����ʬ�ϲ���Τ��٤Ƥ�$\varepsilon$���Ф���
$\Phi(x_j) \cap \psi^{-1}(c_k^2)$�����$\Phi(y_j) \cap \psi^{-1}(c_k^1)$
���������롥 \hfill $\Box$

\vspace{3.5cm}
\hspace*{5cm} ��12.4

%\vspace{3.8cm}

\newpage
\hspace*{5cm} ��12.5

\vspace{7.2cm}
\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ̿�� 12.4.} $\varepsilon< \varepsilon_1$�ޤ���$\varepsilon_2 <
\varepsilon < 55/4$�Ȥ���$n,m$��ʬ�礭�ʴ��������Ȥ��롥

(i) $L^2$�˴ؤ����оΤʼ�����ƻ�����äơ�1�����Τ������ˡ�
$\varepsilon<\varepsilon_1$�ΤȤ��Ͽ�12.5a�˼� \\
\hspace*{1.2cm} �����褦�ˡ�$m_3$��$x_2=0$����$n+m$���ڤꡢ�ޤ�
$\varepsilon_2 < \varepsilon < 55/4$�ΤȤ��Ͽ�12.5b \\ 
\hspace*{1.2cm} �˼������褦�ˡ�$n+m+1$���ڤ롥��Ԥξ�硢$n=m$�ʤ顢
1�����Τ������� \\ 
\hspace*{1.2cm} $n+1$��������ڤ�(��12.5d����)��

(ii) $L^2$�˴ؤ����оΤʼ�����ƻ�����äơ�1�����Τ�������$m_3$��$x_2=0$
����$2m$���� \\
\hspace*{1.2cm} �ꡢ$x_2>0$�����ξ��ͤ�$n$��$x_2<0$�����ξ��ͤ�$n$���
��(��12.6����)��

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. (i)�ξ��ϡ�$\varepsilon<\varepsilon_1$�ʤ�
$\Phi(d_j^1) \cap \psi^{-1}(d_k^2)$��Ȥ���
$\varepsilon_2<\varepsilon < 55/4$�ʤ�
$\Phi(d_j^1) \cap \psi^{-1}(d_k^1)$��Ȥ���
(ii)�ε�ƻ�ξ���$\Phi(x'_j) \cap \psi^{-1}(d_k^1)$��ͤ��롥
 \hfill $\Box$

\vspace{3.5cm}
\hspace*{5cm} ��12.6

\vspace{3.5cm}
\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ̿�� 12.5.} $\varepsilon< \varepsilon_1$�ޤ���$\varepsilon_2 <
\varepsilon < 55/4$�Ȥ���$n,m$�����ΰۤʤ��������Ȥ��롥

(i) $L^1$�����$L^2$�˴ؤ����оΤʼ�����ƻ�����äơ�1�����Τ������ˡ�
$\varepsilon<\varepsilon_1$�ΤȤ��Ͽ� \\
\hspace*{1.2cm} 12.7a�ˡ��ޤ��Ĥ�ξ��Ͽ�12.7b�˼������褦�ˡ�$m_3$
��$x_2=0$����$2(n+m)$�� \\ 
\hspace*{1.2cm} ���ڤ롥

(ii) $L^1$�����$L^2$�˴ؤ����оΤʼ�����ƻ�����äơ�1�����Τ������ˡ�
$m_3$��$x_2=0$���� \\ 
\hspace*{1.2cm} $m$���ڤꡢsgn$(x_2)$�������$n$������ξ��ͤ�Ԥ�(��
12.8����)��

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. (i)�ε�ƻ��$\varepsilon<\varepsilon_1$�ʤ�
$\Phi(c_j^1) \cap \psi^{-1}(d_k^2)$��������졢
$\varepsilon_2<\varepsilon < 55/4$�ʤ�
$\Phi(d_j^1) \cap \psi^{-1}(c_k^2)$���������롥
(ii)�ε�ƻ������ˤ�
$\Phi(c_j^2) \cap \psi^{-1}(x'_k)$��
$\Phi(c_j^1) \cap \psi^{-1}(y'_k)$��ͤ���ɬ�פ����롥\hfill $\Box$

\hspace*{5cm} ��12.7

\vspace{8.0cm}
\vspace{0.3cm}
�����μ�����ƻ�Τ����Ĥ��Ϥ��λŻ������˵���줿��̿��12.3�����12.4
��(i)�ε�ƻ��¸�ߤ�[10]�Ǿ�������Ƥ��롥

\vspace{3.5cm}
\hspace*{5cm} ��12.8 and 9

\vspace{3.5cm}
�Ǹ��$\varepsilon_1< \varepsilon < \varepsilon_2$�ξ��ˤĤ��ư���Ҥ�
�Ƥ����������顼ʿ������޷���ζ᤯���̲᤹�뵰ƻ��̵�±��ƨ���롥�Ĥ�
�ꡢ$k$����ʬ���礭���ȡ����Ȥ���$\psi^{-1}(c_k^1)$��$\xi_1$�Ƿ�ޤ��ж�
�Ӥ˴ޤޤ��(��9.1b����)��$k$���������Ȥ�$\psi^{-1}(c_k^1)$��$\xi_1$��
�ڤ��ǽ�������롥$k=1$�ΤȤ������Ǥ���Ȥ��롥���ξ�硢
$\psi^{-1}(c_1^1)$��²$\{ \Phi(x_j) \}$�θɤ��ڤ롥���θ��������12.9
���оμ�����ƻ��²�������롥Ʊ�ͤˡ�$\psi^{-1}(d_k^2)$��$\{ \Phi(x_j)
\}$�θɤ��ڤ�С��������оμ�����ƻ��²�������롥Broucke([1])�Ϥ���
�Ǹ��²�ε�ƻ�򤤤��Ĥ����ξ��ͤο������ʤ����˷׻�����������ϡ�����
���ͤβ�����羮�ˤ�����餺$\psi^{-1}(c_1^1) \cap \Phi(x_j)$���б�����
²�����뤳�Ȥ��̣���롥

\vspace{0.5cm}
{\bf �ռ�} 

Jaume Llibre��Τ�������ʸ�ν����ʳ��ǺǸ��3�Ϥ˴ؤ��ƽ�����Ϳ���Ƥ���
�����Ȥ˴��դ��롥���λŻ���CAICYT�����ֹ�3534/83C3(���ڥ���)���������
ʬŪ�˼�������
