\documentstyle[12pt,twoside]{jarticle}
%
\oddsidemargin 0.0cm
\evensidemargin -1.0cm
\topmargin 0.0cm
%
\textwidth 16.8cm
\textheight 22.5cm
\footheight 0.5cm
%
\newcommand{\re}{\vspace{0.15cm}\par\hangindent=0.7cm\noindent}
%
\begin{document}
\setlength{\baselineskip}{3ex}
%

\begin{flushright}
ë����δ ��
\end{flushright}

\noindent
{\it Dokl. Akad. Nayk USSR} {\bf 133} (1960), 303-306

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\Large
{\bf ��������ˤ����뿶ư��ư��¸�� \\
The existence of oscillatory motions \\
in the three-body problem}
}

\vspace{0.3cm}
K. Sitnikov 
\end{center}

\vspace{0.5cm}
������ʸ�Ǥϥ˥塼�ȥ������ߺ��ѤΤ�ȤǱ�ư���뻰�ηϤ�ͤ�����ư����
�򵯤������ηϤ��ۤ��롥��ư��ư�Ȥ�$t \rightarrow \infty$�ΤȤ�ʪ��
(1)��(2)�ε�Υ��ͭ���ǡ�������ʪ��(3)�ε�Υ����ͭ���Ǥ�����̵�¤ˤϤ�
��ʤ���ư�Ǥ��롥��������ϡ��Ƽ�ζ���ˤ�����Ĺ�����������˴ؤ���饰
��󥸥太��ӥݥ��å�������������󵯤��줿[1,2]���Ϥ����ʪ��(3)��̵��
���μ��̤���ĤȤ������»�������Ǥ��Τ褦�ʷϤ�����������ʪ��(3)��ͭ
�¤���Ǥ�դ˾��������̤���ľ���ͤ��롥


���֤˴���ľ���ɸ��OXYZ��ͤ��롥Ǥ�դ�Ʊ�����$M$�����2��(1)��(2)���
�ꡢ�ſ���Ĥͤ˺�ɸ����O�˼�롥2�ΤϽ�����ߺ��ѤΤ�Ȥ�OXYʿ�̤��ʱ�
�˱�äƱ�ư����Ĺ����Υ��Ψ��$R$��$e \neq 0$�Ǥ���Ȥ��롥�Ϥξ��֤�ʪ
��(1)��ư�¥٥��ȥ�${\bf r}$��$X$���Ȥγ���$\varphi$�ˤ�äƷ�ޤ롥
����2�ĤΥѥ�᡼��$\varphi(0)$��$v(0)$�˰�¸���뻰�η�(1)��(2)��(3)��
�Τ褦��������褦��$t=0$�˳���$\varphi(0)$�����ӡ�̵�¾����̤�ʪ��(3)��
��ɸ��$(0,0,0)$�ȼ�ꡢ®�٤�$(0,0,v(0))$�ȼ��
\footnote{$z$���˴ؤ����оΤʤ��μ�ηϤ�A.N. Kolmogorov���ͻ�����.}��
$\varphi(0)$�γ��ͤ����Ǥ�դο���$\{ S_k \}$(�Ȥ���̵����˸�����Ǥ�դ�
��)���Ф��ơ�$v(0)$���ͤ�¸�ߤ��ơ�$t>0$���Ф����$v(0), \varphi(0)$�ˤ�
����ʪ��(3)����O��̵�²��̲ᤷ��$k$���ܤ��̲�θ�O����ε�Υ��$S_k$���
�礭���ʤ뤳�Ȥ򼨤�����

��ñ��Ƚ��褦�ˡ����٤Ƥλ��֤ˤ錄�ä�ʪ��(3)��Z����ˤȤɤޤ롥���ξ塢
Ǥ�դ�$\varphi(0)$���Ф��ƶ˾���$v_{\varphi} (0)$�����äơ�$v(0)$��
$v_{\varphi}(0)$�ʾ�ʤ�ʪ��(3)�κ�ɸ$z(t)$��$t>0$�ΤȤ�ñĴ������̵����
�˸�������

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 1}. Ǥ�դ�$\varphi(0)$�����$t>0$��Ϳ�����Ȥ�������$v(0) <
v_{\varphi} (0)$�����äơ�ʪ��(3)����O�˽��ƻ���$t$����äƤ��롥

\vspace{0.3cm}
�Ϥ���ˡ�$v(0) < v_{\varphi} (0)$����ʬ$v_{\varphi}(0)$�˶ᤱ��С��ǽ�
�β󵢤λ����Ǥ�դ��礭�����Ȥ򼨤������ºݡ�$v(0) < v_{\varphi} (0)$��
��ʬ$v_{\varphi}(0)$�˶ᤱ��С�ʪ��(3)�α�ư�������β�ν���ͤ˴ؤ���
Ϣ³����ꡢʪ��(3)����O�ζ����Υ$\sigma$��Ǥ�դ��礭������ʬ$(0,
\sigma]$�Τ��٤Ƥ����ˤ����ơ��־�����פα�ư�δ֤�ʪ��(3)��®�٤��礭
����$v(0)$��꾮�������������äƺǽ�β󵢻����$\sigma$�ȤȤ��̵�����
��������

������$v_1(0)$�Ȥ��ƺǽ�β󵢻���$t'>t$�ʤ��Τ�������ʪ��(3)�ν��
®�٤�$0$����$v_1(0)$�ޤ��Ѥ���ȡ���O�ؤκǽ�β󵢻��֤�Ϣ³Ū��$0$��
��$t'$�ޤ�Ϣ³Ū���Ѳ����롥������Ϣ³�ؿ���������֤��ͤ򤹤٤Ƽ�뤳��
�������꤬�Ф롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 2}. ���ξ�����������$S$($R$��$e \neq 0$�˰�¸����)�����롥��
$\varphi(0), v(0)$�ˤ����ƻ���$t_1<0$��ʪ��(1)��(2)���˾��ε�Υ�ˤ��ꡢ
����$t_2>0$��ʪ��(1)��(2)������ε�Υ�ˤ��롥�ޤ���������������Ļ����
������$t_1$�ˤ�äȤ�ᤤ��Τ�$t_2$�Ȥ�����ʬ$[z(t_1), z(t_2)]$��$O$��
��ä�2��ʬ���졢���֤�$0$���鸺������Ȥ��˺�ɸ$z(t)$��$S$��ۤ�������
����ʤ顢���֤�$0$�������礹��Ȥ��˺�ɸ$z(t)$��ñĴ�����̵����ޤǸ�
�����롥

\vspace{0.3cm}
�Ϥ���ˡ�����ξ�郎��ʬ�礭��$S$���Ф�������������$z(t_1) =
|z(t_2)| > R \sqrt{3/2}$�Ǥ��뤳�Ȥ򼨤������ºݡ�ʪ��(3)����$z$�ˤ�����
����$t$�˷и������®�٤�$\displaystyle \frac{2Mz}{[z^2 +
r^2(t)]^{3/2}}$�Ǥ��ꡢ�����$z > R \sqrt{3/2} > r(t) \sqrt{3/2}$�ʤ���
���ͤ�
$\displaystyle \frac{2M}{z^2 \sqrt{6}}$����礭�����������ä�$S$����ʬ��
�����Ȥ���ʪ��(3)����$z = R\sqrt{3/2}$�ˤ�����®�٤��ͤ�$\sqrt{4M/3R}$��
���礭������ʬ$(-R\sqrt{3/2}, R\sqrt{3/2})$��Τ��٤Ƥ����ˤ�����ʪ��(3)
��®�٤�ü��$R\sqrt{3/2}$�ˤ��������礭�����顢��ʬ���ڤ���֤�
$\displaystyle R\sqrt{\frac{R}{M}} \frac{3}{\sqrt{2}}$��꾯�ʤ������λ�
�֤�ʪ��(1)��(2)���ʱ߾�θ�ž������Ⱦʬ$T/2 = t_2 - t_1$�����ʤ��
$\displaystyle \frac{\pi R}{\sqrt{2}} \sqrt{\frac{R}{M}}$��꾮��������
�����ä�$z(t_1) = |z(t_2)| > R\sqrt{3/2}$�Ǥ��롥

��ʬ$(0, z(t_1)]$�γ���$z$�ˤ����ơ�ʪ��(3)�β�®�٤���$-z$�ˤ������®
�٤�������ͤ��礭�����ʤ��ʤ顢���Ԥξ��ʪ��(1)��(2)�ε�Υ�϶ᤤ�����
���롥������$|v(t_2)| - |v(t_1)| > \alpha$�Ǥ��롥��$t_1 - t, \ t>0$����
������$z(t_1-t)$�ˤ�����ʪ��(3)�β�®��$a(t)$�򡢻���$t_2 + t$��ʿ��OXY
�˴ؤ����оΤ���$-z(t_1-t)$�ˤ�����ʪ��(1)��(2)�ˤ�äƺ�����®��
$a^*(t)$����Ӥ��褦��ɽ��
$$ \begin{array}{ll}
  W(t) = \displaystyle 
\int_0^t |a(t')| dt' > \displaystyle \int_0^t a^*(t') dt' = W^*(t), & 
\displaystyle 
\int_0^t |W(t')| dt' > \displaystyle \int_0^t W^*(t') dt' 
   \end{array}      \eqno(1)
$$
����$z(t_1-t)$��ñĴ�����礹��¤�$t$�ˤ�������Ω�����ޤ��ǽ��������
�ξ���$n$�������Ȥ���$t=nT$�ˤ����Ƥ���Ω���뤳�Ȥ򼨤�����

��$\varphi(t) = |a(t)| - a^*(t)$��
$$ \displaystyle 
 \frac{2Mz(t_1-t)}{[z^2(t_1-t) + r^2(t_1-t)]^{3/2}} - 
 \frac{2Mz(t_1-t)}{[z^2(t_1-t) + r^2(t_2+t)]^{3/2}} , 
$$
���������������$0 < t < T/4$�ˤ��������Ǥ��롥�ʤ��ʤ餳��$t$���Ф���$r(t_1-t) < r(t_2+t)$������Ǥ��롥Ʊ�ͤˤ��κ���$T/4 < t < T/2$�ˤ�������Ǥ��ꡢ$T/2 < t < 3T/4$�ˤ�������Ǥ��ꡢ$3T/4 < t < T$�ˤ��������Ǥ��롥��$\tau_1, \ 0 < \tau_1 < T/4$�ˤ����ơ��б�����ư�¥٥��ȥ����
$r_1(t_1-\tau_1)$��$r_2(t_2+\tau_1)$�ϻĤ��3�Ĥζ������ȤȰ��٤�����
��$\tau_2 = T/2 - \tau_1, \tau_3 = T/2 + \tau_1, \tau_4 = T-\tau_1$�˽�
�񤦡�������$\tau_2 - \tau_1 = \tau_4 - \tau_3$�Ǥ��롥�����λ����ʪ
��(3)�κ�ɸ��$z_1, z_2, z_3, z_4$�Ǥ��롥

��$|\varphi(\tau_k)| = f(z_k), k=1,2,3,4$��ͤ��褦��������
$f(z) = \displaystyle 
 \frac{2Mz}{[z^2 + r_1^2]^{3/2}} - \frac{2Mz}{[z^2 + r_2^2]^{3/2}}$�Ǥ�
 �롥$R\sqrt{3/2} < z_1 < z_2 < z_3 < z_4, \ z_2 - z_1 > z_4 - z_3$�Ǥ�
 �ꡢ$z > R\sqrt{3/2}$�ΤȤ�$f'(z) < 0, f''(z) > 0$�Ǥ��뤫�顢
$\varphi(\tau_1) > |\varphi(\tau_2)| > |\varphi(\tau_3)| > 
\varphi(\tau_4)$�����$\varphi(\tau_1) - |\varphi(\tau_2)| > 
|\varphi(\tau_3)| - \varphi(\tau_4)$�Ǥ��롥

��λ���ˤ�����Ω��$\varphi(t)$�˴ؤ��뤳������������������(1)���Ф롥
���������������顢$z(t_1-t)$��ñĴ�����礹��¤�$t$�ˤ�����$z(t_1-t) <
|z(t_2+t)|$�������롥�դ��������Ȥ���$\tau$��$z(t_1-\tau) =
|z(t_2+\tau)|$�ʤ�ǽ�λ���$t>0$�Ȥ��롥��$t < \tau$���Ф���$t_2+t$�ˤ�
����ʪ��(3)�β�®�٤�$a^*(t)$��꾮�������ʤ��ʤ顢$z(t_2+t) < -
z(t_1-t)$�Ǥ��ꡢ�ؿ�$\displaystyle \frac{2Mz}{[z^2 +
r^2(t_2+t)]^{3/2}}$��$z > R\sqrt{3/2} > r(t)\sqrt{3/2}$�ˤ����Ƹ�������
����Ǥ��롥�Ȥ�����ʪ��(3)��$a^*(t)$����������®�٤��äƤ����Ȥ��Ƥ�
������(1)�����$|v(t_2)| - |v(t_1)| > \alpha$��ꡢ����$z(t_1-\tau) =
|z(t_2+\tau)|$������Ω���ʤ���

������(1)��ꡢ���֤�����ȤȤ�ˡ���ʬ�󤯤ˤ���ʪ��(3)��$-\alpha$���
������®�٤�������������ä�$S$��$4/\alpha^2$����礭����С�$z(t)$��ñ
Ĵ�����̵����ޤǸ������롥���������2�Ͼ������줿��

\vspace{0.3cm}
\underline{��ư��¸��}. �������ơ�$\varphi(0)$�����$\{ S_k \}$��Ϳ����
�줿�Ȥ�$v(0)$�򸫤Ĥ���ɬ�פ����롥$v_{\varphi} (0) > 0$����Ӷ��$O_1$
���롥���ζ�֤α�¦��ü����$v_{\varphi}$�ˤ��ä�Ĺ���Ͻ�ʬ����������
�Τ���$O_1$��°�����$v(0)$���Ф���ʪ��(3)����$O$����ñĴ�˱󤶤��ä�$S$
����礭�ʵ�Υ�ˤ�����Ȥ���(����2����)��

����$t_n$�����$t_n + \frac{1}{2}T$���롥���λ���ˤ�����ʪ��(1)��(2)
�϶˾��ȶ���ε�Υ�ˤ��ꡢ���郎��ʬ�礭���Τ�����1����������$v_n(0)$
��$v'_n(0)$���ͤ�$O_1$��°���롥��$\varphi(0), v_n(0)$�ˤ����ơ�ʪ��(3)
������$t_n$����$t_n + \frac{1}{2}T$�δ֤˱�ư������ʬ����$O$�β��ˤ��ꡢ
��
$\varphi(0), v'_n(0)$�ξ��Ͼ�ˤ��롥���֤�Ĺ����$v(0)$���Ѳ��ȤȤ��
Ϣ³���Ѳ����뤫�顢$v''(0)$�����ä�$v_n(0)$��$v'_n(0)$�δ֤ˤ��ꡢ��
$\varphi(0), v''(0)$�ξ��ˤϤ�����ʬ����$O$�ˤ�ä�����ʬ����롥����
���ä�����2�ˤ�ꡢ��$\varphi(0), v''(0)$�ˤ�����ʪ��(3)����$O$�ؤκǽ�
�β󵢤θ��ñĴ�����̵����˵�롥
��$\varphi(0), v_n(0)$�ˤ����Ƥϻ���$t_n + t$�����$t_n - t$�Ǥ�ʪ��(3)
�ΰ��֤�ʿ��$OXY$�˴ؤ����оΤǤ��ꡢ�������ä���$O$�ؤκǽ�β󵢤θ�ǡ�
ʪ��(3)�Ϻǽ�Ρ־徺�פ�Ʊ���⤵�ޤǲ��ˡ������פ����Ǥ��롥

$v(0)$��$v_n(0)$����$v''(0)$�ޤ��Ѳ�������ʪ��(3)����$O$�ؤκǽ�β󵢤�
���ñĴ�����̵����ޤǵ��褦�ʤϤ����$v_2(0)$���ͤ�Ȥꡢ�ޤ�ü����
$v_2(0)$�Ȥ��뾮���ʶ��$O_2$�Ȥ��ơ�$O_2$��°�����$v(0)$���Ф���ʪ��
(3)����$O$�ؤκǽ�β󵢤θ�Ǥ�������ͭ�¤ε�Υ�ǤϤ��뤬$S$��$\{ S_k
\}$��°����$S_1$�����礭���󤶤����Τ��롥

Ʊ�ͤˡ�$O_2$��ˡ�$v_3(0)$�����äơ�$v(0)$��$v_3(0)$���������ȡ�ʪ��(3)
����$O$�ؤ�2���ܤβ󵢤θ��ñĴ������̵�±�˵�ꡢ�ޤ�$v_3(0)$��ü����
������$O_3$�����äơ�$O_3$��°����$v(0)$���ͤ��Ф��Ƥϡ�ʪ��(3)����$O$
�ؤ�2���ܤβ󵢤θ�Ǥ�������$S_2$�����$S$�����礭��ͭ�¤ε�Υ�ޤ���
�Ф���롥���κݡ�$\overline{O}_3 \subset O_2$�Ǥ��롣���ʤ��$O_3$��ü
����ޤ��$O_2$�˴ޤޤ�롥

���β����򤵤��³���ơ����������$O_k, \ \overline{O}_{k+1} \subset O_k$�����롥������$O_{k+1}$�ϼ�����������ġ�$O_{k+1}$��°����$v(0)$���ͤ��Ф��ơ�ʪ��(3)����$O$��$k$������󵢤������θ�$S_k$����礭��ͭ�µ�Υ��������Ф���뤬��$O_k$��ü���ΤҤȤĤ�������$v(0)$���ͤ��Ф��Ƥ�ʪ��(3)��$k$���ܤβ󵢤θ��̵�±�˵�롥���λ��¤��顢���٤Ƥ�$O_k$��°����$v(0)$��¸�ߤ��ơ����줬�������ͤǤ��롥���ʤ����$S_k \rightarrow \infty$�ʤ��$v(0), \varphi(0)$�ˤ�����ʪ��(3)�Ͽ�ư��ư��Ԥ���

\vspace{0.3cm}
\underline{ʪ��(3)��ͭ�¼��̤ξ��}. $t=0$��ʪ��(1)��(2)��(3)�ΰ��֤�®
�٤�������ɸ��$OXYZ$�Ƿ�$\varphi(0), v(0)$��Ʊ��Ϳ����줿�Ȥ��롥ʪ��
(1)��(2)�μ��̤�����Ʊ��$M$���������Ȥ���ʪ��(3)�μ��̤�$m$�Ǥ���Ȥ��롥
3�ĤΥѥ�᡼��$\varphi(0), v(0), m$�˰�¸����Ϥ������롥$\alpha$��¸
�ߤ��ơ�Ǥ�դ�$\varphi(0), m < \alpha$�����$\{ S_k \}$���Ф���$v(0)$��
���äơ�$t>0$�ΤȤ���$\varphi(0), v(0), m$�ˤ�����ʪ��(3)��ʪ��(1)��(2)
�νſ�$O'$��̵�²��̲ᤷ��$k$���ܤ��̲��ϵ�Υ$S_k$����礭���󤶤��ꡢ
ʪ��(1)��(2)�ε�Υ�ϤĤͤ�$2R$��꾮�����ޤޤǤ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 3}. Ǥ�դ�$\delta>0$�����$T'>0$���Ф���$\alpha'>0$�����äơ�
$m < \alpha'$�ʤ�Ǥ�դη�$\varphi(0), v(0), m$�ˤ����ơ�Ǥ�դλ���
$\tau_0$���Ф���ʪ��(1)��(2)��$\tau_0 < t < \tau_0 + T'$�δ֤α�ư�ϡ�ʪ
��(3)�αƶ���̵�뤷�Ƹߤ�����ߺ��ѤΤߤ�ư���Ƥ���Ȥ����Ȥ���ʪ��(1)��
(2)��$R, e$(���ܤȤʤ��ʱߤΥѥ�᡼��)�ʤ��ʱ߱�ư����$\delta$̤������
���ʤ���

\vspace{0.3cm}
���٤Ƥλ���$t>0$��Ǥ�դ�Ĺ��$T^*$�ζ�֤�ʬ�䤷�����γƶ�־��
��$\varphi(0), v(0), m$��ʪ��(1)��(2)�α�ư���ʱ߱�ư�Ƕ�����롥���ζ�
����ǡ�ʪ��(1)��(2)�ζ˾�����Ӷ����Υ�λ����$t_n$�Ȥ��롥���κݡ�$m$
����ʬ��������С�Ǥ�դ�$\varphi(0)$�����$v(0)$���Ф�������3���$t_n =
t_0 + \frac{1}{2}nT + \theta \varepsilon$�����롥������$n$���������Τ�ư
����$|\theta| < 1$�����$\varepsilon$�Ϥ�����Ǥ⾮�����Ȥ�롥

��ư��ư����������륹����������������Ʊ���Ǥ��롥
��$\varphi(0), 0, m$�ˤ�����$t_n$��$t'_n = t_n + \frac{1}{2}T +
\varepsilon$��ʬ�礭����롥$v(0)$��$0$�������礹��ȡ�ʪ��(3)����$O'$
�˲󵢤�������̵��������礹�롥�ޤ��˾�����Ӷ���λ���$t_n$��$t'_n$
��ͭ�����ϰϤ���Ϣ³���Ѳ����롥����������ķ�Ӥ�$m$����ʬ��������Ф���
��Ǥ⾮�����Ǥ��롥������$v_n(0)$�����$v'_n(0)$�����äơ��󵢻������
������$t_n$�����$t'_n$��Ǥ�դ˾������ͤ������ʤ�������ˡ�Ϥ����³��
�뤳�Ȥ��Ǥ��ơ���$\varphi(0), v(0), m$���Ф��ơ�$m$����ʬ�������Ȥ�����
��β��ǡ�����2����Ϥ�����Ω�Ĥ褦�ˤǤ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
����ʸ��

\re
J. Chazy, {\it J. Math. pure et appl.} {\bf 8} (1929), 354.

\re
H. Poincar\'{e}, {\it Methodes nouvelles de la m\'{e}chanique celeste} 3
(Paris, 1899), p.141.

\end{document}
