\documentstyle[12pt,twoside]{jarticle}
%
\oddsidemargin 0.0cm
\evensidemargin -1.0cm
\topmargin 0.0cm
%
\textwidth 16.8cm
\textheight 22.5cm
\footheight 0.5cm
%
\newcommand{\re}{\vspace{0.15cm}\par\hangindent=0.7cm\noindent}
%
\begin{document}
\setlength{\baselineskip}{3ex}
%\setlength{\baselineskip}{5ex}

%D.Saari and Z. Xia����ʸ
%J. Differential Equations 82(1989), 342-355.

\begin{flushright}
ë����δ ��
\end{flushright}

\noindent
{\it Journal of Differential Equations} {\bf 82} (1989), 342-355

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\Large
{\bf �˥塼�ȥ�Ϥˤ����뿶ư��ư�����Ķ�жʱ�ư��¸�� \\
The existence of oscillatory and superhyperbolic \\
motions in newtonian systems} 
}

\vspace{0.3cm}
Donald G. Saari and Zhihong Xia

\vspace{0.3cm}
Department of Mathematics, Northwestern University, Evanston, Illinois
\end{center}

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf ����} 
\end{center}

ľ���˥塼�ȥ���������$t \rightarrow \infty$�ΤȤ�γ�Ҵ֤κ����Υ��Ǥ�դ�Ϳ����줿���֤δؿ�����礭�����¸�ߤ��Ω���롥��Ȥ��ơ������Υ�����֤�Ǥ�դ�����ܤ��®�����礹���¸�ߤ��롥�ޤ�����������Ȼ������꤬��ư���������Ȥ⼨����

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf 1. ��} 
\end{center}

�˥塼�ȥ�$n$�������$t \rightarrow \infty$�ΤȤ���γ�Ҵ֤ε�Υ�����֤�
Ǥ�վ���ܤ��®����Ĺ�����������? �����$n \leq 3$�ΤȤ����Բ�ǽ�Ǥ��뤬��
�����Ǿ�������褦�ˡ���������Ǥ���������������ȿ����򤬤��롥
��äȰ��̤ˡ��˥塼�ȥ�Ϥ�\underline{Ǥ�դ�}�礭����®�٤�����Ȥ������¤�
�Ȥäơ����ޤ������ϳؤ��뤤�ϡ֥��������ϳؤ��ۤ��ơ��˥塼�ȥ�$n$�������
�ؤ�Ĺǯ���ƤǤ��ä�3�Ĥ�����������롥�ǽ������Ͼ�˵󤲤���ΤǤ��롥
���ʤ����$r_{jk}(t)$��γ��$j$��$k$�ε�Υ�Ȥ���$R(t) = \max \{ r_{jk}(t) \}$��
���ơ�$t \rightarrow \infty$�ΤȤ�$R(t)/t \rightarrow \infty$�ʤ�򤬤���
���Ȥ򼨤���$t$�Υ����顼�ܤ�$R(t)$���ޤ��ʤ���С����Τʤˤ��ޤ���Τ�? 
�����������ʤ��鼡�μ���ϡ������餯Harry Pollard[8]���ǽ����Ф�������ǡ�
$R(t)$�Ϥʤ�餫�δؿ�Ū��¤�������ɤ����Ǥ��롥���Ȥ��С�
$\exp{(\exp{(\exp (t))})}$���뤤��$2^{\exp{(\exp{(\exp (t))})}}$��
�����顼�ܤ�$t \rightarrow \infty$�ΤȤ���$R(t)$�򤤤���Ͼ夫���ޤ���
��������? �������ݤǤ��롥��������Ǥ�$R(t)$�Ϥɤ������Ū�ؿ���¤�����ʤ���
�ޤ����̤ʱ�ư����ư�򡢤���������Ȼ��������¸�ߤ��뤳�Ȥ�������롥
����ˡ������η����Ϥ��٤Ƶ����ϳؤε����˴�Ť��Ƥ���Τǡ�����¾��
�����Ĥ��α�ư��¸�ߤ�����ξ������������롥�Ǹ�ˡ������ι���ˡ��
$n \geq 4$�Τ��٤Ƥ��ͤ˳�ĥ����ˤϤۤ�ξ����ν����Ǥ褤�Τǡ�������
����Ū�ʷ����Ϥ��٤Ƥ�$n \geq 4$�Ǥ�����Ω�ġ�

��ˡ��ɸ��Ū�Ǥ��롥$m_i, {\bf r}_i, {\bf v}_i$�򤽤줾��$i$���ܤ�γ�Ҥμ��̡����֥٥��ȥ롢®�٥٥��ȥ�Ȥ��롥�������ſ��ϸ����˸��ꤷ�Ƥ����ΤȤ��롥��ư��������
$$
  m_i {\bf r}''_i = \nabla_i U,   \eqno(1.1)
$$
�Ǥ��롥������$U = \sum_{j<k} m_j m_k / r_{jk}$�Ǥ��ꡢ$\nabla_i$��${\bf r}_i$�˴ؤ�����ۤǤ��롥���ͥ륮����ʬ��
$$
  T = \displaystyle \frac{1}{2} \sum m_j {\bf v}_j^2 = U + h,  
\eqno(1.2)
$$
�Ǥ��롥������$h$����ʬ����Ǥ��롥

����η�̤���褦�Ȥ�����Ȥ�Ȥ�ư���ϡ����η�̤�$t \rightarrow \infty$��
�Ȥ���$n$�ηϤοʲ��ˤĤ��ƤλĤ��줿�����Ĥ��ε����򤯤��Ȥˤ��롥���줬
���Ǥ��뤫�򸫤뤿��ˡ�Saari[10]�����Marshal and Saari[3]�ˤ��$n$�ηϤ�
����ʬ�फ��2�Ĥΰ���Ū����Τ��뤳�Ȥ�פ��������������ܤ�
\underline{Ķ�жʱ�ư}�Ǥ��롥�����$t \rightarrow \infty$�ΤȤ�
$R(t) / t \rightarrow \infty$����
$r(t) = \min_{j \neq k} r_{jk} (t) \rightarrow 0$�ʤ뱿ư�Ǥ��롥
($r(t)$��Ǥ�դ˾������ʤ뤫�顢���Τ褦�ʱ�ư��\underline{����}����������.) 
Ķ�жʱ�ư��$n \geq 4$�ξ�������Ū��ǽ�����������롥��������˵󤲤�
��ʸ�ǤϤ���¸�ߤϳ�Ω����ʤ��ä���(�¤ΤȤ�����$\lim \sup R(t)/t = \infty$
�ʤ뱿ư�β�ǽ���Ͼ��ʤ��Ȥ�1890ǯ��Υѥ��٤ιֵ�[7]�����Ŧ����Ƥ���.) 
�桹�κǽ�μ�ĥ�Ǥ�Ķ�жʱ�ư��¸�ߤ�������롥���¡��桹������μ�ĥ��
Ķ�жʱ�ư���ؿ�Ū�ʾ�¤�����ʤ����Ȥ�������롥���Τ��Ȥ�Pollard[8]������
��������Ȥ��С�$t \rightarrow \infty$�ΤȤ�$r$�Υ����ؤζ�Ť����˲���
���¤�ʤ����Ȥ�Ƚ�롥

�˥塼�ȥ�ƻ������Ūʬ������С���Ķ�ж�Ū�Ǥʤ��¤��γ�Ҥ�
${\bf r}_i (t) = {\bf A}_i t + O(t^{2/3})$��ɽ�碌�롥������
${\bf A}_i, \ i=1, \ldots, n$������٥��ȥ�Ǥ��롥���Τ���γ�Ҥ���
${\bf A}_i$�˱����Ʒ���뤳�Ȥˤʤ롥${\bf A}_i \neq {\bf A}_j$�ʤ顢2�Ĥ�
γ��$m_i$��$m_j$��\underline{�ж�Ū��}Υ��Ƥ�������ư�������ˤ��ж�Ū�Ǥʤ�
�Ȥ�(���ʤ��������ź�����˴ؤ���${\bf A}_i = {\bf A}_j$�ΤȤ�)����ư��
�����\underline{��ʪ��ư}��\underline{��ư��ư}��ʬ�����롥��ʪ��ư�Ȥ�
γ�Ҥ��ߤ���$t^{2/3}$��Υ��Ƥ������Ǥ��롥(�ܤ�����Saari[11]����.) 
��ư��ư�Ȥϡ�����ź�������Ф��ơ�$\lim \sup r_{ij} (t) = \infty$����
$\lim \inf r_{ij} < \infty$�ʤ뱿ư�Ǥ��롥�ɤ���ξ���γ�Ҥε�Υ��
$t^{2/3}$�Υ����顼�ܤǾ夫���ޤ����롥ξ���Ȥ⻰������������롥�ºݡ�
��ư��Ϻǽ�ϡ�Chazy[1]���������������Ū�դ�ޤ���Ÿ�������������Ū
��ǽ���Ȥ��Ƹ���줿��

��������������������жʱ�ư����ʪ��ư��¸�ߤ��ưפ˾����Ǥ��뤬����ư��ư��¸�ߤϻ�������������ˤ����Ƴ�Ω���줿�ΤߤǤ���(Sitnikov[12])��Sitnikov�Υ�ǥ�϶����о�Ū�Ǥ��äơ�γ�ҤΤҤȤĤ�$z$�������¤��졢�Ĥ��2γ�Ҥϡ����Τ��Ĥͤ������ջ��ѷ���٤��褦�˱�ư���롥�ޤ������ջ���������о�����Ȥä�R.Moeckel[6]���̤���������ǡ����α�ư��¸�ߤ��Ω����������ʳ�����������ǤϿ�ư��ư��¸�ߤ��뤳�Ȥϳ�Ω����Ƥ��ʤ�����������Easton[2]��Robinson[9]��ʿ������ˤ����Ƥ������������˹׸��������桹�ϡ�������ľ�����Τ���ӻ�������ǿ�ư���¸�ߤ򼨤���������ĥ����$n \geq 3$�ʤ뤹�٤Ƥ�$n$������ˤ�¸�ߤ��뤳�Ȥ򼨤���

�桹�η�̤Ϥ��٤�ľ������˴ؤ��ƤǤ��뤫�顢
${\bf r}_i = (x_i,0,0)$�����${\bf v}_i = (v_i,0,0)$�Ȥ��롥������$x_1 \leq x_2 \leq x_3 \ldots$�Ȥ��롥��ñ��Ƚ��褦�ˡ�γ�Ҥϲ��ޤ���̤���ɬ�����ͤ��롥�ºݡ��桹�ξ����Ͼ��ͤ���Ӷ��ܾ��ͤ��ϳ�Ū�դ�ޤ��˰�¸���롥�褯�Τ��Ƥ���Ȥ��ꡢ���ξ��ͤ��������ͤΤ褦�˿��񤤡�γ�Ҥ��ܼ�Ū�ˤϸߤ���ȿķ���礦��Ŭ���ʺ�ɸ�Ѵ��ˤ�ꡢ�����ð����ϤĤͤ˱�ư������������������Ȥ��Ǥ���Τǡ����ξ��ͤ���§���Ȥ��Ƽ�갷���롥�����ѿ��Ѵ��ϡ���§���פȸƤФ�롥
������ʸ�Ǥ�\underline{���ξ��ͤ���§} \underline{������Ƥ����ΤȤ���}�����ξ��ͤζ᤯�Τդ�ޤ��Ϥ�ä�ʣ���Ǥ��롥McGehee[5]��ľ����������ξ��ˡ����ζ��ܾ��ͤθ��2�Ĥ�γ�Ҥ�Ϣ������������軰�Τ�Ǥ�դι�®�٤����Ф���뤳�Ȥ򼨤��������Τ�ľ��������¤���Ƥ���Τǡ�$m_1$�ޤ���$m_3$������ƨ�����롥Ŭ�����ѿ��Ѵ���Ԥʤäơ�McGehee�ϻ��ξ��ͤ˻�뵰ƻ��;����1����ʬ¿���ξ�ˤ��뤳�Ȥ򼨤�����������ϼ��̤��ȹ礻�γ�������Ф��ơ����ζ��ܾ��͵�ƻ������¿���ΤΤ���¦�ˤ����$m_1$����®��ƨ������ƻ���⤦������¦�ˤ����$m_3$��ƨ���뤳�Ȥ�������������ξ塢���פ�����¿���Τ˽�ʬ�ᤱ�������®�٤�Ǥ�դ��礭���Ǥ��롥

�ϳ�Ū�ˤϡ����ξ���¿���Τ�ξ¦�ϼ��Τ褦�˲��Ǥ��롥���ξ��͡��ޤ��Ϥ���¿�����Τε��פϡ�γ��$m_2$��$m_1$�Ⱦ��ͤ���ִ֤�$m_3$��$m_2$�����ͤ��뤳�Ȥȸ��ʤ��롥����¿���Τ���¦��$m_3$��$m_2$�ξ��ͤ�$m_2$��$m_1$�ξ��ͤ�ľ\underline{��}�˵�����Ȥ����Ǥ��ꡢ�⤦������¦��$m_3$��$m_2$�ξ��ͤ�$m_2$��$m_1$�ξ��ͤ�ľ\underline{��}�˵�����Ȥ����Ǥ��롥���ξ��Ͷ᤯�μºݤ��ϳ�Ū�դ�ޤ���$N$�Ĥ����ξ��ͤη����֤��Ǥ��ꡢ$m_2$��$m_3$�����$m_1$�Ȥ���뤬�����ͤ��롥($N$���ͤϼ��̤˰�¸����.) ���Ȥ��С�$m_1,m_2$�ξ��ͤθ�ǡ�γ�Ҥϸߤ����̡���������ȿķ���뤬��$m_2$�Ϲ�®��$m_3$�˶�Ť�����ξ��ͤ������롥����$m_3$�Ȥο����ʾ��ͤˤ�ä�$m_2$��;ʬ��®�٤����ơ�$m_1$���ɤ��Ĥ����ͤ��롥���Τդ�ޤ���$N$��η����֤��θ�ǡ�γ�ҤΤҤȤĤ����Ф���롥�ɤ�γ�Ҥ����Ф���뤫��$N$���ͤ˰�¸���롥

æ��γ�Ҥ�Ǥ�դι�®�٤�ã�����뤳�Ȥ�Ȥäơ�Mather and McGehee[4]��ľ�����������ͭ�»��֤�$R(t) \rightarrow \infty$�Ȥʤ뱿ư��¸�ߤ���������������ι���ˡ�Ǥϡ�γ�ҤΤҤȤ�$m_3$����Ϣ��$m_1,m_2$��æ��γ��$m_4$�δ֤�Ԥ��褹�롥γ��$m_3$�Ͼ���¿���Τ�������¦�ǻ��ξ��ͤ˶�Ť��Τǡ����ʹ�®�٤����Ф���롥γ�Ҥ�$x$���˹�«����Ƥ���Τǡ�$m_3$������®�٤���ʬ�礭����С�$m_3$��$m_4$����館���ͤ��롥�������ξ��ͤθ��$m_3$�ϸ���ꤹ�롥Ϣ��$(m_3,m_4)$�νſ���ޤ��ñ�ʷ׻��ˤ��С�$m_3$��$m_4$����٤ƽ�ʬ�������ơ�$m_3$�����ξ��ͤ�����Ȥ���®�٤���ʬ�礭����С�$m_4$�Ȥ����ξ��ͤˤ��ȿķ�ǽ�ʬ�礭��®�٤����ơ��դ�����Ϣ��$(m_1,m_2)$�Ȥξ��ͤ˸�������$m_3$������$m_2$�Ⱦ��ͤ������ˡ����礦�ɷϤ���Ϥ����¿���Τ�������¦�ǻ��ζ��ܾ��ͤ򵯤����褦�ˤǤ��롥�����鷫���֤��ε����ˤ�äƱ�ư���Ω�Ǥ��롥�����������ݤˡ���ƻ�����ξ���¿���Τ�������¦�ǻ��ξ��ͤ˶�Ť��褦�ˤ���ɬ�פ����롥���Τ褦�ˤ�������˾�൰ƻ�ˤ��������ͤΥ���ȡ��뽸�����������

�桹�����Ʊ�ͤι���ˡ���Ѥ��롥������$m_3$������®�٤˴ؤ��Ƥ�äȸ��������椬ɬ�פǤ��롥�桹�μ����Ȥ����ˤ��С�$m_3$�����ζ��ܾ��ͤ����Ȥ���
���פ����ξ���¿���Τ�������¦�ˤ���Ф���Ǥʤ���¿���Τ���Τ��ε�Υ�������������������⽽ʬ�ᤤ�褦�ʸ���������Ǽ�ޤ�Ȥ����˵�ƻ��¸�ߤ��롥����®�٤����椹�뤿���¿���Τ���ε�Υ�����椹��ɬ�פ����롥���Ȥ��С�$n=3$�ξ��˿�ư��ư��¸�ߤ��뤳�Ȥ򼨤��Τˡ�$m_3$����ʬ��®�����Ф������$r_{13}(t)$���������Ǥ�դ������ۤ���褦���ݾڤ���ɬ�פ����롥
��������ư��ư�Τ���ˤ�$m_3$�����ζ��ܾ��ͤ򤹤�褦�����ɬ�פ����롥
�Ĥޤꡢ$m_3$��æ�Ф��ʤ��褦������®�٤����椹��ɬ�פ����롥(����դ�ޤ��Ϥ��ι���ˡ�򷫤��֤���������.) $R(t)$��Ǥ�դ˻��ꤷ���ؿ�$g(t)$��ۤ���Ķ�жʱ�ư��¸�ߤ�������뤿��ˤϡ�$m_3$������®�٤򾮤������Ƥ��٤Ƥκ��Ѥ�ͭ�»��֤˽����ʤ��褦�ˤ���ɬ�פ����롥�Ĥޤꡢ��ư��̵�¤�Ĺ��³���褦�ˤ���ɬ�פ����롥��������������®�٤�$R(t)$�����ꤷ��$g(t)$����᤯��Ĺ����ۤɽ�ʬ�礭��ɬ�פ����롥

����®�٤򤳤Τ褦�ˤ��ޤ����椹�뤿��ˡ����ξ���¿���Τ�\underline{ξ¦}��Ȥ���
�ɤΤ褦�ˤ����Ԥʤ��Τ��򼨺�Ū�˽Ҥ٤褦��$n=3$�Ȥ�$x_3$��$m_3$�ΰ��֤Ȥ��롥$x'_3=0$�ΤȤ��Ϥ��Ĥ�γ��3��Ϣ������롥$m_3$����äƤ���֤�Ϣ��$(m_1,m_2)$�Ͼ��ͤ�ȿķ�򷫤��֤��Ƥ��롥$m_3$��$m_2$�˾��ͤ���ޤǤ˹Ԥʤ����ͤο���$x_3$���ͤ˰�¸���롥$x_3$���ͤ��礭���ۤ�$m_1$��$m_2$��Ϳ����줿���֤�Ĺ�����դ�$(m_1,m_2)$�֤ξ��ͤο���$x_3$�ν���ͤ��Ƥäݤ����٤Ȥ��ƻȤ��롥���Τ褦�ˤ��ơ�$x_3$���ͤ���$[\alpha_n, \alpha_{n+1}]$��ʬ��Ǥ��롥$x_3 \in [\alpha_n, \alpha_{n+1})$�ʤ顢$(m_1,m_2)$��$m_3$��$m_2$�ˤ֤Ĥ���ޤǤˤ��礦��$n$����ͤ��롥
$[\alpha_n, \alpha_{n+1}]$��ü���ϻ��ξ��ͤ�������褦��$x_3$�ν�����Ǥ��롥������ü����$(m_1,m_2)$�����礦��$n$���ܤ����ξ��ͤ򵯤����Ȥ��˻��ξ��ͤ������ꡢ�⤦������ü���Ǥ�Ϣ����$(n+1)$���ܤ����ξ��ͤ�����Ȥ��˻��ξ��ͤ������롥�Ĥޤꡢ$x_3$��$[\alpha_n, \alpha_{n+1}]$�κ���ü���˽�ʬ�ᤱ��С�γ��3�����ξ��ͤ�ľ\underline{��}�����夷��$x_3$������ü���˽�ʬ�ᤱ��С�γ��3�����ξ��ͤ�ľ\underline{��}�����夹�롥�������äƶ��$(\alpha_n, \alpha_{n+1})$��2�Ĥ�ü���ϻ��ξ���¿���Τΰۤʤ�¦�ε�ƻ�������$x_3 \in (\alpha_n, \alpha_{n+1})$�ʤ鵰ƻ�ϻ��ξ��ͤ򤷤ʤ�(���ʤ��Ȥ⤳�λ�����)���Ĥޤ������$(\alpha_n, \alpha_{n+1})$�ν���οʲ���$m_1$��Ǥ�դι�®�����Ф����Ȥ�������$m_3$�����Ф����Ȥ����ޤǤ��٤Ƥβ�ǽ�ʥ��ڥ��ȥ�ˤ錄���ΰ��ʤ��������ǻ��ζ��ܾ��ͤ���Ϥޤ롥Ϣ³���ιͻ���Ȥ��С���Ȥ�Ȥν���������Ͻ�����ο�����������������롥���ζ����ΰ�����$x'_3=0$�ΤȤ�����Ϣ³�Τ���ġ����ο������������Ф��ơ�$[\alpha'_k, \alpha'_{k+1}]$��$x'_3=0$�λ�������$m_2$��$m_3$�����ξ��ͤ�Ԥʤ��ޤǤ�$(m_1,m_2)$��$k$��ξ��ͤ�Ԥ��褦��$x_3$�ε�Υ�Ȥ�������Ǥ��롥
������������$k \geq 1$���Ф��Ƥ��٤Ƥζ��$[\alpha'_k, \alpha'_{k+1}]$��ޤࡥ������Ǥ�դ�$n$��$k$���ͤ��Ф���$x_3$���ޤ�$[\alpha_n, \alpha_{n+1}]$�˴ޤޤ졢����$[\alpha'_k, \alpha'_{k+1}]$�˴ޤޤ��褦�ʵ�ƻ��¸�ߤ��롥
$k$��ʬ�礭�����٤�$R(t)$���礭���ʤ롥$k$�򾮤������٤б�ư�Ϥ�ä���ˤʤ롥���Τ褦�ˤ��ơ������֤��ε����ϳؤ��Ω���ơ��ۤ�Ǥ�դΤդ�ޤ���Ĥ���������桹�μ�ĥ��������뤳�Ȥ��Ǥ��롥

��ε��Ҥϻ��ξ��͸��$x_3$���ͤˤĤ��ƶ�Ĵ��������$m_1$��Ϣ��$(m_2,m_3)$�˶�Ť�$x$�Τ⤦������¦��Ĵ���뤳�Ȥ�Ǥ��롥���Τ褦�ˤ��ơ����������α�ư����Ω�Ǥ��롥���Ȥ��С�$m_3$��Ϣ���Ⱦ��ͤ���$m_1$�����Ф����褦�ʱ�ư���Ω�Ǥ��롥���ΤȤ�$m_1$��Ϣ��$(m_2,m_3)$�Ȥξ��ͤ���ꡢ$m_3$�����Ф���롥����ϼ�����ư�ˤ�Ǥ��뤷����ư��ư����¾�ˤ�Ǥ��롥
�����ּ���Ȥ����Ȥˤ�ꡢ$t \rightarrow -\infty$�ΤȤ��α�ư��¸�ߤ�����뤷��$t \rightarrow \infty$�ΤȤ��α�ư��¸�ߤ�����롥�ºݡ��оݤȤʤ뱿ư�μ���Ϥۤ�Ǥ�դǤ��롥���Ȥ��С���ư��$t \rightarrow \infty$�ΤȤ���ʪŪ(�ޤ���Ķ�ж�Ū)�Ǥ⤤������$t \rightarrow \infty$�ΤȤ�������ƻ�˶�Ť��Ƥ⤤�������Τ褦�ˤ��ơ������ϳؤ�ľ����������α�ư���٤Ƥ���ħ�Ť��롥


\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf 2. ���ܹ���ˡ�ο�ư��ư�ؤ�Ŭ��} 
\end{center}

������Ǥϡ����ޤ��ޤʷ�����Ƴ����ư������������Ƴ���Ф��������Ȥäƿ�ư��ư��¸�ߤ��Ω���롥�Ȥ��˼���������������롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 1.} ľ����������ˤϡ�$t \rightarrow \infty$�ΤȤ�$\limsup R(t) = \infty$����$\liminf R(t) < \infty$�ʤ����μ��̤Ƚ����郎¸�ߤ��롥

\vspace{0.3cm}
Chazy[1]���衢����1�α�ư��������Τ�$h<0$�ΤȤ��ΤߤǤ��뤳�Ȥ��Τ��Ƥ��롥����ϥ��ͥ륮�����˴ؤ���桹�β���Ǥ��롥$h<0$����ꤷ�ơ�$\Omega$������֤Υ��ͥ륮��¿���ΤȤ��롥$T \geq 0$�Ǥ��뤫�顢��(1.2)��ꡢ$\Omega$��Ǽ�������Ω�ġ�
$$
  r(t) \leq \displaystyle 
\left( \sum m_i m_j \right) / |h| = c_1 |h|^{-1} .     \eqno(2.1)
$$

���Ǥ˻�Ŧ�����褦�ˡ��桹�δ���Ū��ˡ�ϼ�ĥ���Ω���뤿��ˤդ��路�������ϳؤ�ȯ���뤳�ȤǤ��롥����ϻ��ꤷ��γ�Ҥ����Ķ����Υ��ã���뤫�˴�Ť�������򤹤뤿��ˡ�$\Omega$���Ǥ�դ�Ϣ³����$\Gamma_0$���ä�$\alpha \in(-\infty, \infty)$�ǥѥ�᡼���Ť�������������������롥$D \leq c_1/|h|$�Τ����ͤ��Ф��ơ�$\alpha \geq D$�ʤ�$x_3 = \alpha, x_3 - x_2 \geq x_2 - x_1$�����$x'_3 = 0$�Ȥ���$\alpha \leq - D$�ʤ�$x_1=\alpha, x_2 - x_1 \geq x_3 - x_2$�����$x'_1=0$�Ȥ���$|\alpha| < D$�ʤ������Ϣ³�������¤��������褦�����Ф�롥(��������֤�$\alpha$��Ϳ������γ�Ҥ��׳����ˤ��ꡢ�Ĥ��2�Ĥ�γ�Ҥε�Υ��γ�Ҵ֤ζ˾���Υ���������.) ���Τ褦�ʶ�����¸�ߤϥ��ͥ륮����ʬ��$\Omega$�ν���Ū��������Ф롥���Ȥ��С�$\alpha>D$�ʤ顢$\Gamma_0$������������Ϣ³�ؿ�$f_j, g_j, j=1,2$�����ξ����������褦�˷�ޤ롥$x_3 = \alpha, x'_3 = 0, x_j = f_j(\alpha), x'_j = g_j(\alpha), j=1,2, \alpha > f_2(\alpha) > f_1(\alpha)$, 
$m_1f_1(\alpha) + m_2f_2(\alpha) + m_3 \alpha = 0$, 
$m_1g_1(\alpha) + m_2g_2(\alpha) = 0$�����
$$
  \frac{1}{2} (m_1 g_1^2 + m_2 g_2^2) = 
U(f_1(\alpha), f_2(\alpha), \alpha) + h .
$$
$\Gamma_0$������ϥѥ�᡼����$\alpha$��ɽ�魯��

������$\alpha > D$��$x''_3<0$����������������ʸ�α�ư��$m_3$��ͭ�»��֤�$m_2$�Ⱦ��ͤ��롥Ʊ�ͤˡ�$\alpha< -D$�ʤ�$m_1$��$m_2$�ξ��ͤ������롥γ��$\alpha$��\underline{Ϣ��γ��}(commuting particle)�ȸƤӡ��Ĥ��2γ�Ҥ�\underline{Ϣ��}�ȸƤܤ���$N_0(\alpha)$��Ϣ��γ�Ҥ�$m_2$�Ⱦ��ͤ���ޤǤ�Ϣ�����Ԥʤ����ξ��ͤο��Ȥ��롥���ʤ����$\alpha > D$�ʤ顢$N_0(\alpha)$�ϡ�$m_2$������$m_3$�Ⱦ��ͤ���ޤǤˡ��ޤ����ͤ��Ƥ������ޤ��$m_1$��$m_2$�����ͤ������Ȥ��롥
$\alpha < -D$�ʤ顢$-N_0(\alpha)$�ϡ�$m_2$������$m_1$�Ⱦ��ͤ���ޤǤˡ��ޤ����ͤ��Ƥ������ޤ��$m_2$��$m_3$�����ͤ������Ȥ��롥������$N_0(\alpha)$�����Ϥɤ�γ�Ҥ�Ϣ���������뤫�򼨤���$N_0$������ˤ����ơ�Ϣ���κǸ�ξ��ͤ�Ϣ��γ�Ҥ�ޤ໰�ξ��ͤΤ��Ȥ�ͭ�����롥�����ν������
${\cal C}_0 = \{ \alpha \in \Gamma_0 | N_0(\alpha) ������Ǿ��ͤ����ξ��� \}$��ɽ�碌�롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 1.} (i) $|\alpha| \rightarrow \infty$�ΤȤ�$|N_0(\alpha)| \rightarrow \infty$.

(ii) $N_0(\alpha)$��$\alpha \in {\cal C}_0$�ΤȤ��Τ��ͤ��Ѥ��롥

(iii) ${\cal C}_0$�Ͼ夫��Ⲽ������ޤ����ʤ���

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����.} ��ĥ(ii)�ϲ�ν�����˴ؤ���Ϣ³������Ф롥(�Ϥ���§������Ƥ���Τǲ�����ξ��ͤˤ�������§�Ǥ���.) ��ĥ(iii)��(i)��(ii)����Ф롥������(i)�������������Ǥ褯���������о�������$\alpha \geq D$�ξ���ͤ�������Ǥ褤��

�����ϴ�ñ�Ǥ��롥$\alpha$����ʬ�礭����С�$m_3$��$m_2$�˽�ʬ�᤯�ʤ�ޤ�γ�Ҵ֤κǾ���Υ$r(t)$��Ϣ��$(m_1,m_2)$�Ƿ�ޤ롥������$m_3$�˴ؤ��뱿ư����������ư�濴��������������Ǥ��롥(��ư���$r(t)/x_3^3$���٤��礭���Ǥ���.) $x'_3(0)=0$�Ǥ��뤫��$x_3=\alpha/2$�ˤʤ�ޤǤλ��֤��ܼ�Ū���濴�������Ϳ�����롥�Ȥ��ˡ�Ǥ�դ�$T$���ͤ��Ф��ơ�$x_3 = \alpha/2$�ˤʤ�ޤǤλ��֤�ñ�̻��֤�$T$�ܤ��Ĺ���ʤ�褦��$\alpha$�Ͻ�ʬ�礭�����롥������Ϣ����$m_3$���齽ʬ�󤤸¤ꡢϢ���α�ư��������ޤ��濴���������ư�η��򤷤Ƥ��롥$0 \leq x_2(t) - x_1(t) < c_1/|h|$�Ǥ��뤫�顢������γ�ҤϾ��ͤ���Ф���Ǥʤ���$x_3 > 2c_1|h|$�Ǥ���¤ꡢ���ʹ֤ζ������$\sigma$�����롥$\alpha$��ʬ�礭������$N_0(\alpha) \geq T/\sigma$�Ǥ��롥$T$��Ǥ�դ�����(i)���������˸����롥

����$\Gamma_0$�ˤĤ��ƤϤۤ�ξ�����������Ǥ��ʤ���������$N_0(\alpha)=0$�ʤ�$\alpha$�Ϥʤ������Τ�ʤ������Ȥ��С����Τ褦�ʾ�����������Τϡ�$|\alpha|$�ξ������ͤ��Ф��ƶ�����$m_2$��Ĥ��2γ�Ҥ������˻�����$m_1,m_2$��®�٤������礭���Ƹߤ�������������Ƥ���Ȥ��Ǥ��롥����������ѥ������ε������顢������������$q$�����äƤ��٤Ƥζ���$\Gamma_0$���Ф���$|N_0(\alpha)| \leq q$�ʤ�$\alpha$��������ͤ����롥�¤ΤȤ���$q$��1�����٤뤳�Ȥ򼨤��Τ��񤷤��ʤ��������������ʾ����Ϲ������äƤ��ꡢ���Τ褦�ʶ�����ĥ�ϰʲ��Ǥ�ɬ�פʤ���������$\alpha \geq D$���Ф��ƴ���Ūȯ�ۤγ�ά��Ҥ٤�����ˤ��롥$m_2$��$m_1$��$m_3$�����������褦��$\alpha$�����֡������ϥ��ͥ륮�����̾�ˤ���Ϥ������顢$a = c_2$�ζ����ͤ�$x'_1= x'_2=0$�ΤȤ��������롥$x'_2>0$�ʤ�γ�Ҥ�$c_2$���ᤤ��Υ�����ȯ����$m_2$��$m_1$�Ȥξ��ͤ�������ˤޤ�$m_3$�˶�Ť����¤Ϥ��ζ����Ȥ���$\alpha$���Ф���$N_0(\alpha)=0$�Τ��Ȥ�ͭ�����롥$x'_2<0$�ʤ�γ�Ҥ�$c_2$���᤯�����ȯ����$m_1$��$m_2$���ߤ��˶�Ť�(?)��$m_1$��$m_2$�ξ��ͤ��������ͤǤ��äơ�γ�ҤϹ�®��ȿķ����$m_2$��$m_3$�˸�������$N_0(\alpha)=2$�ˤ��뤿��ˡ�$m_3$�˸�����ȿķ®�٤��ޤ���ɬ�פ����ꡢ�ޤ������δ֤ν�ȯ��Υ���礭������ɬ�פ����롥���줫��$x'_2(0) = x'_1(0) = 0$����������롥���ξ����Ǥϡ�$m_1=m_3$�ʤ�ɸ��Ū�ʵ�������ǽ�ξ��ͤ����ξ��ͤǤ��뤳�Ȥ��Ф롥(���$x_2(t)=0$�����$x_1(t) = -x_3(t)$�Ǥ���.) $m_3>m_1$�ʤ�$N_0(\alpha)=0$�Ǥ��롥������ǰ��ʤΤ�$m_3 \ll m_1$����$x'_2= x'_1=0$�ξ��Ǥ��롥���ξ�硢��������������ؤζ˸¤˹Ԥäƴ���Ǥ��롥(�ʲ��Ǥ�$q=1$�Ȳ��ꤹ�뤬�������ɬ�פǤϤʤ�.)

$N_0(\alpha)$����ͭ���γ��ʴؿ��Ǥ��뤬��ñĴ�Ǥ���ɬ�פϤʤ���(��ʬŪ�ˤϡ������$\Gamma_0$�˾��򾯤������ݤ��Ƥ��ʤ�����Ǥ���.) �ˤ⤫����餺��$N_0$��ñĴ������Ķ�֤⤢�롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 2.} (a) $1$��$-1$��$N_0$���Ͱ�˴ޤޤ��褦��$D$���ͤ����٤롥

(b) Ǥ�դ�����$n, \ |n| \geq 2$���Ф��ơ�$\alpha'_n, \alpha''_n \in {\cal C}_0, \ \alpha'_n < \alpha''_n$�����äơ�$N_0(\alpha'_n) = n, N_0(\alpha''_n) = n+1$����������$\alpha \in (\alpha'_n, \alpha''_n)$�ʤ�$\alpha \not\in {\cal C}_0$����$N_0(\alpha) = n$�Ǥ��롥�����$E>0$���Ф���$\alpha'_n > E$����$\alpha'_{-n} < -E$�ʤ�$n$�����롥

\vspace{0.3cm}
���������(a)�ǻ��ꤵ���$D$���ͤ�����$\Gamma_0$�Τ�������Ф���ͤǤ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����.} (a) ����ˤĤ��ƤϾ�ǵ����������¤ΤȤ������Ȥ��Τ�ͭ����$q$�����ä�$q$��$-q$�������Ͱ�����뤳�Ȥ����Ǥ��롥

(b) ����Τ�����ʬ��$n>0$���Ф��ƾ������롥$n$����ξ��������Ʊ�ͤǤ��롥$\alpha'' = \inf \{ \alpha \in {\cal C}_0 | N_0(\alpha) = n+1 \}$�����$\alpha''_n = \sup \{ \alpha \in {\cal C}_0 | \alpha< \alpha'_n, N_0(\alpha) = n \}$���֤����ޤ�$N_0(\alpha)$���ͤ��Ѥ���Ȥ���ɬ��$\alpha \in {\cal C}_0$�ˤ�����$\pm 1$�����Ѥ�뤳�Ȥ����դ��롥����ˡ�(a)�ˤ�ꡢ$\alpha$����ʬ���������$N_0(\alpha) \leq 1$�Ǥ��롥$\alpha'_n$��$\alpha''_n$��¸�ߤ��뤳�Ȥ���Ӥ���餬����2�μ�ĥ�����������Ȥϡ�����2�Ĥ��ĽҤ�$N_0(\alpha) \rightarrow \infty$����Ф롥

\vspace{0.3cm}
��Ω�ѿ������椹�뤿�ᡢ$T_0(\alpha)$��Ϣ��γ�Ҥ�$m_2$�Ⱦ��ͤ������Ȥ��롥��������Ϥ������˽Ф롥�¤ΤȤ��������٤Ƥ�$\alpha$���Ф��ơ����Ȥ����줬���ξ��ͤˤ������ͤǤ��äƤ⡢$T_0(\alpha)$��Ϣ³�Ǥ��뤳�Ȥ������롥�������桹����Ū�ˤ�����3�ǽ�ʬ�Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 3.} $T_0(\alpha)$��$\alpha \not\in {\cal C}_0$�ʤ�Ϣ³�Ǥ��ꡢ$|\alpha| \rightarrow \infty$�ΤȤ�$T_0(\alpha) \rightarrow \infty$�Ǥ��롥$K$���¼����ͭ������ʤ顢$\{ T_0(\alpha) | \alpha \in K \}$��ͭ���Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
���˽�����ν���$(\alpha'_n, \alpha''_n)$�οʲ����ɤ��������ζ�֤γ�$\alpha$���Ф��ơ�����$T_0(\alpha)$�θ�ε��פ�������������֡���������$\Gamma_0$�Ȼ�����������Ŀ���������$\Gamma_1$��������뤿��θ���Ǥ��롥�Ĥޤꡢ���ζ��ܾ��ͤθ�Τ������ˡ����Ф��줿γ�Ҥ�®��$x'_j(t)=0$�Ǥ���褦���������Ӥ������������������������������������Τ��Խ�ʬ�Ǥ��롥�ʤ��ʤ黰�ζ��ܾ��ͤ��ϳؤ�$N$��ȿ���������ξ��ͤ�ޤफ��Ǥ��롥���κ��񤵤򸫤뤿��ˡ�$m_3$���ǽ�Ū�����Ф��줿�Ȥ��Ƥߤ褦���ǽ�ξ��ͤθ��$x'_3>0$�Ǥ��롥������$m_2$��$m_1$�ξ��ͤ���ȴ���Ǥ����$m_3$�Ȥդ����Ӿ��ͤ���Ȥ�$m_3$�˲ä���®�٤�̵�¤��礭���ʤꡢ$x'_3 \rightarrow -\infty$�Ǥ��롥������$T_0(\alpha)$�θ�Τ������Ǥ�����$m_3$�����व������ˡ�$x'_3(t)=0$�Ǥ��롥ü���ν�ʬ�᤯�ν�����$\alpha$���Ф��ơ�����γ�Ҥ����व���ޤǤˤ��礦��$N$������ξ��ͤ����뤳�Ȥ��ΤäƤ���(�����Ǥ�$N$��γ�Ҥμ��̤Ƿ�ޤ�)�����������ξ���¿���Τˤ���ۤɶ᤯�ʤ���ƻ��$\alpha$���ͤ��Ф��Ƥϡ������ɬ����������Ω���ʤ����ʲ��Τ����Ĥ�����(terms)�Ϥ���2�Ĥβ�ǽ�����갷�������Ƴ�����롥


$E(\alpha) = \inf \{ t \geq T_0(\alpha) | t \geq T_0(\alpha) �ˤ����ƷϤ����礦��N������ξ��ͤ����\}$��������롥
$D(\alpha) = \{ t > T_0(\alpha) | 2�Ĥ�γ�Ҥ����ͤ����������ξ��ͤϤ���Ʊ��γ�ҤǹԤʤ���\}$���֤���$\alpha \in (\alpha_n,\alpha_{n+1})$���Ф��ơ�
$C_1(\alpha) = \inf \{ t > \min (D(\alpha), E(\alpha)) | x'_1(t) = 0 \}$
�����
$C_3(\alpha) = \inf \{ t > \min (D(\alpha), E(\alpha)) | x'_3(t) = 0 \}$
���֤���$\tau(\alpha) = \min (C_1(\alpha), C_3(\alpha))$���֤�����$C_j(\alpha), j=1,3$��γ��$m_j$�˴ط����롥�����$T_0(\alpha)$��κǽ�λ���Ǥ��äơ�$x'_j=0$�ΤȤ���Ǥ�դλ��ζ��ܾ����ϳؤθ�Ǥ⤢��(������$m_j$��$m_2$�ؤβ󵢤�Ϥ���Ƥ���)��������$\tau(\alpha)$�϶���$\Gamma_0$������ˤ�äƵ��Ҥ��������Ȼ���������������������롥

���ǵ��Ҥ������ξ��Ͷ᤯���ϳؤˤ��С�$\tau(\alpha) = \infty$���ǽ�Ǥ��롥���ξ����ϡ����פ����ξ���¿���Τ�Ǥ�դ˶᤯�ơ���Ĥ�γ�Ҥ�Ǥ�դι�®�����Ф��줿�Ȥ��˵����롥��������γ�Ҥ�æ�Ф��뤫�顢$C_1(\alpha) = C_3(\alpha) = \infty$�Ǥ��롥�¤ϡ�$\tau(\alpha) = \infty$�ˤʤ뤿��ˤ�$t > T_0$�ΤȤ���$R(t) \rightarrow \infty$�Ǥ��뤳�Ȥ�ɬ�׽�ʬ�Ǥ��뤳�Ȥ���ñ�˼����롥������Ǥ�$\tau(\alpha) < \infty$�ʤ���������ͤ��롥�����ǡ�$j=1,3$���Ф���
$G_j = \{ ������ \alpha ���������뵰�׾�� t=\tau(\alpha)�ΤȤ����� | |n| \geq 1, \alpha \in (\alpha_n, \alpha_{n+1}), \tau(\alpha) = C_j(\alpha) < \infty \}$���֤���

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 4.} ����$m_1,m_2,m_3$���͡������$D_1$��$D_3$�������Ϣ³����$\Gamma_1$�����äơ�$\Gamma_1$�϶��$(\alpha_n, \alpha_{n+1})$�ε�ƻ��ˤ��롥$\Gamma_1$�ϰʲ��Τ褦��$\beta \in (-\infty, \infty)$�ǥѥ�᡼���Ť��Ǥ��롥$\beta \leq -D_1$�ʤ�$x_1=\beta$�Ǥ��ꡢ����$G_1$��ˤ��롥
$\beta \geq D_3$�ʤ�$x_3=\beta$�Ǥ��ꡢ����$G_3$��ˤ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����.} ���ξ��ͤ���§������Ƥ��뤫�顢$\alpha \in (\alpha_n, \alpha_{n+1})$���Ф��ơ����ʤ��Ȥ�$T_0(\alpha)$�Τ�������˵��פ����ξ��ͤ򵯤����ޤǳ�餫�ʲ�¸�ߤ��롥������Ǥ�դΥ���ѥ��Ȥʻ��ֶ�־�ǲ��$\alpha$�˴ؤ���Ϣ³�Ǥ��롥

McGehee�η��(���ǵ��Ҥ���)��Ȥ��С��ʲ��Τ��Ȥ�������褦�ʼ��̤������������롥���$(\alpha_n, \alpha_{n+1})$��������ü����Ǥ�դζ᤯�ν�������Ф��ơ�$m_1$��Ǥ�դι�®�����व�졢�����⤦�ҤȤĤ�ü����Ǥ�դζ᤯�ν�������Ф��Ƥϡ�$m_3$��Ǥ�դι�®�����व��롥�ʲ����̤ϡ����$\alpha$�˴ؤ���Ϣ³�����ʤ��뤿��˥���ѥ��Ȥʻ��ֶ�־��æ��γ�Ҥ�ͤ���Τ�Ƴ�����롥Ǥ�դ�����$M > c_1/|h|$���Ф���
$T_M(\alpha) = \min (\tau(\alpha), \inf \{ t > T_0(\alpha) | x_2(t) - x_1(t) = M �ޤ��� x_3(t) - x_2(t) = M \}$���֤�����$\alpha \in (\alpha_n, \alpha_{n+1})$���Ф���$T_M(\alpha) < \infty$�Ǥ��롥$x_2-x_1=M$�ʤ뵰ƻ�����ꡢ$x_3-x_2=M$�ʤ뵰ƻ�����롥������˴ؤ�����Ϣ³��������ͤ�������ꡢ$(\alpha_n, \alpha_{n+1})$�ε�ƻ��˳�餫�ʶ��������ä�$\Gamma_1$�Ȥ��������������������ġ��������������줿�ѥ�᡼���ͤ�$-M \leq \beta \leq M$�夷��ư���ʤ���������$M$���ͤ�̵����˶�Ť���������롥

\vspace{0.3cm}
��������1�ξ����򴰷뤵���褦������$\Gamma_0$��γƶ��$(\alpha_n, \alpha_{n+1})$�Ͽ���������$\Gamma_1$��Ϳ���롥Ʊ������ˡ�򷫤��֤������$[\alpha_n, \alpha_{n+1}]$��ź������$i$��ä��ơ����줬����$\Gamma_i$��ˤ��뤳�Ȥ���ꤹ�롥���������ζ�֤�$(\alpha_{k(0)}, \alpha_{k(0)+1}) = (\alpha_{k(0),0}, \alpha_{k(0)+1,0})$�Ǥ��롥������Ǥ�դ�������$\{ k(0), k(1), \ldots \}$��Ϳ����줿�Ȥ�����$i \geq 0$���Ф��ơ�$\Gamma_0$��Ʊ����������Ķ���$\Gamma_{i+1}$�����ä�$(\alpha_{k(i),i}, \alpha_{k(i)+1,i})$�����˴ޤޤ�롥�դˡ�$(\alpha_{k(i-1),i-1}, \alpha_{k(i-1)+1,i-1})$����������$[\alpha_{k(i),i}, \alpha_{k(i)+1,i}]$�˼̤�����Τ���ͭ����ʬ����Ǥ��롥�������뤳�Ȥ�³����С�����ˤ�ä�$(\alpha_{k(0)}, \alpha_{k(0)+1})$����ͭ����ʬ���礬�������롥������$j$���ܤ��ʳ��Ǥ�������$j=1, \ldots, i$���Ф���$[\alpha_{k(j),j}, \alpha_{k(j)+1,j}]$�˴ޤޤ�롥��������$\{ k(0), k(1), \ldots \}, i=1, \ldots$�ΤϤ����$i$�Ĥι��Ȥäơ�$(\alpha_{k(0)}, \alpha_{k(0)+1})$������Ҥˤʤä���ͭ����ʬ����������롥����Ҥˤʤä�����ѥ��Ƚ���θ�����˴ؤ���ɸ��Ū�������顢������$\alpha$�����äơ���ǵ��Ҥ����դ�ޤ����¸�����롥$i \rightarrow \infty$�ΤȤ�$\limsup |k(i)| = \infty$�Ȥʤ�Ǥ�դ���$\{ k(0), k(1), \ldots \}$�����٤С�����1������1���餷��������

���Τۤ��Τ����Ĥ��η�̤������ϳؤ��餿�����˸����롥æ�Ф���γ�Ҥ�ޤ�뤿��ˡ�����$-\infty$��$\infty$��Ƴ�����ơ����줾��$m_1$�����$m_3$��̵�±��æ�Ф��뤳�Ȥ�ɽ�魯�������餿�Ȥ��С���$\{ -5, 6, -7, 8, -2, \infty \}$�ϡ�$m_3$��̵�±�����व���ޤǡ�$m_1$��$m_3$��Ϣ��γ�Ҥ��������뤬���Ԥʤ���������б����롥������Ϣ��γ�Ҥ��׳���Υ�ˤ���Ȥ�����$m_2$�Ⱦ��ͤ���ޤǤδ֤�Ϣ�����Ԥʤä����ξ��ͤο����б����롥

$n$������ϲĵդǤ��뤫�顢$t \rightarrow -\infty$�ξ���Ʊ�ͤʹ���ˡ������Ω�ġ���������$\{ \ldots, k(-2),$ $k(-1), k(0), k(1), \ldots \}$�Ϥ��٤Ƥλ��֤ˤ錄�äƤε��פοʲ��򵭽Ҥ��롥���Ȥ��С���$\{ -\infty,$ $-3, 5, 1, 8, \ldots \}$��$m_1$����ͤ����(Ʊ�����Ȥ���$m_1$��$t \rightarrow -\infty$�ΤȤ�æ�Ф���)���ʸ����ο������б�����դ�ޤ��򤹤롥���η�̤Ͼ�ι���ˡ���餿�����������롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 2.} ľ����������Ǥϡ����ޤ����̤����֤��󥼥���������$\pm \infty$��������Ǥ�դ����¸���������郎���롥

\vspace{0.3cm}
¾�η�̡����Ȥ��л��ξ��ͤˤ����������ν���ι�¤�Ȥ�����2($\pm \infty$��������ʤ��Ȥ�)�ν����郎����ȡ��뽸��Ǥ��뤳�Ȥʤɤϵ����ϳؤ�ɸ��Ū���Ѥ�Ŭ�Ѥ���Ф������������롥


\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf 3. ���֤���®�α�ư-Ķ�жʵ�ƻ} 
\end{center}

2��ǵ��Ҥ����ϳ�Ū�դ�ޤ��ϡ������Υ��ã���Ƥ���$m_2$�Ȥξ��ͤ����Ϣ��γ�Ҥˤ�äƹԤʤ��뿶ưŪ�ʤդ�ޤ��ˤ�äƲ�ǽ�Ǥ��ä���$n=3$�ξ�硢�����γ�Ҥ���ä���뤿���ͣ���ƻ�Ǥ��롥������γ�Ҥ�æ�Ф��Ƥ��ޤ��С����Ϥ�ˡ§�ˤ�ä����Ф��줿γ�Ҥ�®�٤ϸ���Ф���Ǥ��롥������æ��®�٤�${\bf v}$�ξ�¤Ǥ��äơ��ǽ�Ū��$R(t) < Ct$�ȤʤäƤ��ޤ���

��������ˤϤ�äȲ�ǽ�������롥��ǽ�ʱ�ư�ε����ϳ�Ū���Ҥ��Ω���뤿���ɬ�פʲ󵢤��̤ε���-����-�ˤ�äƤĤ��뤳�Ȥ��Ǥ��롥���Ȥ��С�Ϣ��γ��$m_3$��$m_4$�Ⱦ��ͤ�������ȿķ�ˤ�ä�$m_3$�Ϥդ�����$m_2$�Ⱦ��ͤ��٤����äƤ��롥���μ�ο�ư��ư�ˤ�äơ����ζ��ܾ��ͤη�̤Ȥ��ƽФ��®�٤�Ƥʤ����ơ���������ο���������α�ư����뤳�Ȥ��Ǥ��롥����򤹤�ˤ����ä�2��ε���$\infty$��ۤʤ�����®�٤򵭽Ҥ��뵭����Ȥ˺�ʬ�����롥�������뤳�Ȥˤ�äơ��Ĥ�μ�ĥ���Ω�Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 3.} ľ����������Ǥϡ�$t \rightarrow \infty$�ΤȤ���$R(t)/t \rightarrow \infty$�Ȥʤ�褦�ʼ��̤Ƚ�����������������롥

\vspace{0.3cm}
���̤˴ؤ������¤���������Τˡ�$m_3$��$m_4$�δ֤����ξ��ͤ����ꡢ�ޤ�$x_2$����ʬ�󤯤ˤ����(������Ϣ��$(m_3,m_4)$�νſ�$C_{3,4}$��$(x_3-x_2)^{-2}$���٤β�®��$C''_{3,4}$�����)�����ξ��ͤ�ľ����ľ���$C'_{3,4}$���ܼ�Ū��Ʊ���Ǥ��뤳�Ȥ����դ��褦�����ͤ��ܼ�Ū���������ͤǤ��롥�Ĥޤꡢ$C'_{3,4}$������Ū�ˡ���γ�Ҥ�®�٤��ܼ�Ū�ˡ����ͤ�����$C'_{3,4}$������Ū��®�٤�Ʊ���Ǥ��롥��ñ�ʷ׻��ˤ��С����Τ褦�ʱ�ư�������뤿��ˤϡ�$m_3$��$m_4$���ڤ��ʤ���Фʤ�ʤ���Ʊ�ͤʵ������顢$m_1$��$m_2$�μ��̤�����Ū��$m_3$�����¤��Ĥ����Ȥ��狼�롥Ʊ��������Mather-McGehee����ʸ�ˤ⤢�롥�����顢�����νſ��˴ؤ���ͻ��˴�Ť��׻����顢���̤˴ؤ��뽽ʬ���ϼ����̤�Ǥ��롥
$$
  (m_4-m_3) / (m_4+m_3) > m_3/(m_1+m_2) .  \eqno(3.1) 
$$

���̤�(3.1)�����������С�����3������Ω�Ĥ��Ȥϴ�ñ�˼����롥��ñ����ˡ�ϡ�$m_3$��Ǥ�դι�®��æ�Ф�����$m_4$�˾��ͤ����뤳�ȤǤ��롥�����2��Τ�Τ˻��������ˤ�äƼ���Ū�˹Ԥ��롥���٤Ƥα�ư��ͭ�»��֤ǽ����ʤ����Ȥ��ݾڤ��뤿�ᡢ�����ι�®æ�Ф�2��ǵ��Ҥ���$m_3$�ο�ư��ư�δ֤ˤФ�ޤ��ơ�˾��������֤����Ȥ�����Ф褤���������̤μ�ˡ���äơ���äȰ��̤�����4��������롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 4.} $g(t)$��$(0,\infty)$���ñĴ���ôؿ��Ȥ��롥���̤�(3.1)���������С�����������������ν��礬���롥
$$ \begin{array}{lll}
  \lim (R(t)/g(t)) \rightarrow \infty & {\rm as} & 
t \rightarrow \infty .
   \end{array}
$$

\vspace{0.3cm}
����������������뤿��ˡ�2��ζ���$\Gamma_0$��2�ܤζ���$\Gamma_{0,1}$��$\Gamma_{0,2}$���֤������롥���ζ����ϡ�$\alpha$���ͤ˾�¤��ݤ���뤳�Ȥ�����ơ�2���$\Gamma_0$�˻��Ƥ��롥����Ū�ˤ�$\Gamma_{0,1}$��4�ΤΥ��ͥ륮��������ζ����Ǥ��äơ�$\alpha$�ǥѥ�᡼���Ť����졢�Ϥ����3γ�Ҥ�������$\Gamma_0$��Ʊ���Ǥ��뤬�����ν���������Ƥ��롥������Τ��٤Ƥ�����$x'_4>0$�Ǥ��롥$\alpha$��$m_1$�ޤ���$m_3$�ΰ��֤���ꤹ��Ȥ�������Ϻǽ��3γ�Ҥνſ�������Ū�Ǥ��롥$\alpha$�ξ�¤�$x''_3=0$�ξ��Ǥ��롥$\Gamma_{0,2}$�ϥ��ͥ륮��������ζ����Ǥ��ä�$\beta \in [1, \infty)$�Ǽ��Τ褦�˥ѥ�᡼���Ť�����롥$C'_{1,2} < 0, C'_{3,4} > 0, x_2-x_1 \ll x_4 - x_3 = 1 \ll x_3 - x_2, x'_3 = -\beta$����������С�$\Gamma_{0,2}$�ϼ��ξ�������館�Ƥ��롥���ʤ����2�Ĥ�Ϣ�����Ϥ뤫Υ�졢�����νſ���Υ��ĤĤ��ꡢ$x_2 - x_1$��γ�Ҥδ֤κǾ��ֳ֤Ǥ��ꡢ$m_3$��$m_4$������ꤵ�줿��Υ�Ϥʤ�Ƥ��ƺ��˸����äƤ��롥$\alpha$�ξ�¤�$m_3$��$x'_3=0$�ˤ��äƺ���ư���Ϥ����Ƿ�ޤ롥

$\Gamma_{0,j}$��ˡ�$N_0$����������Τ�Ʊ���������$N_j, j=1,2$��������롥���Ȥ��С�$N_2(\beta)$�Ͻ�����$\beta$���б����롥�����$m_3$��$m_2$�˾��ͤ���ޤǤ�$m_1$��$m_2$�ξ��Ͳ���Ǥ��롥Ʊ�ͤˡ�$\Gamma_{0,j}$��ˡ�������$n$���Ф��ƶ��$(\alpha'_n, \alpha''_{n+1})$��$(\beta'_{n+1}, \beta'_n)$������2�Τ褦��������롥����$\Gamma_{0,1}$����������$\alpha$�ξ�¤���뤫�顢$(\alpha'_n, \alpha''_{n+1})$��¸�ߤ���褦��$n>0$�ξ�¤���롥$x_2$��$x_4$�ε�Υ���礭���ۤɵ������$\alpha$���ͤ��礭���ʤꡢ��������$n$���ͤ��礭���ʤ롥$\beta$���ͤ�$m_3$�β�®�٤�ɽ�魯���顢$\beta'_n > \beta''_{n+1}$�Ǥ��롥�ޤ����β�®�٤�Ǥ�դ��礭���ʤ�뤫��($\beta \in (0, \infty)$)��(3.1)����������ǡ�$\beta$�򤦤ޤ������$m_3$�������ʤ���û�����ֳִ֤δ֤˾��ͤ���褦�ˤǤ��롥�Ĥޤꡢ���$(\beta'_{n+1}, \beta''_n)$��$n \geq 1$�Τ��٤Ƥ����������Ф���¸�ߤ��롥(�¤Ϥ��٤Ƥ�$n \geq 0$���Ф���¸�ߤ���.)

2��ǻȤä��Τ�Ʊ�ͤε����ˤ�äơ��ƶ��$(\alpha'_n, \alpha''_{n+1})$�����$(\beta'_{n+1}, \beta'_n)$��ǽ�λ��ζ��ܾ��ͤ�ۤ��ƿʲ������褦���ƶ�֤����϶���$\Gamma_{0,j}, j=1,2$����������Ķ�������$\Gamma_{1,1}$��$\Gamma_{1,2}$��ޤࡥ($\Gamma_{1,2}$��¸�ߤ��뤳�Ȥ�(3.1)���μ�����������Ȥä�ɸ��Ū�ʽſ��ε������餿�����˾����Ǥ��롥���ε������ܼ�Ū�ˤ�Mather-McGehee��$m_3$��Ǥ�դι�®��ȿķ���뤳�Ȥ򼨤����Τ�Ʊ�������ʤΤǡ������ǤϷ����֤��ʤ�.) �����鵭���ϳؤ��Ω�Ǥ��롥$\Gamma_{i,1}$�ޤ���$\Gamma_{i,2}$�ζ�֤��б�����$n$����̤��뤿���ź������Ȥ������Ȥ��С���$(5^1, 65^2, \ldots)$��$m_3$���Żߤ����ȯ����$5$��ξ��ͤθ��$m_2$�Ⱦ��ͤ������व��ơ�$m_4$�Ȥξ��ͤ�ȿķ���뤳�Ȥ��б����롥���θ�$m_4$����ñ�̵�Υ�ˤ��äơ�Ϣ��$(m_1,m_2)$��$m_3$��$m_2$�Ⱦ��ͤ�������$65$����ͤ��롢������

�����ϳؤ���¸�ߤ��ơ��򤬼�ĥ�ɤ���Ǥ��뤳�Ȥ򼨤����Ȥ��ĤäƤ��롥����ʳ��Ǥϡ�Ǥ�դ���$(n_1^2, n_2^2, \ldots)$���Ф��ơ�$m_3$�ؤ��Ϥˤ�ä�®��$x''_3$��$(x_4-x_3)^{-2}$���٤��礭���ˤʤ뤳�Ȥ����դ��롥�ĤޤꡢǤ�դξ����ֶ�֤ˤ�����®�٤��Ѳ��϶˾��ǡ�$x'_3$��$\beta$���٤��礭���Ǥ��롥���ʤ����$x'_3$����³�����ξ��ͤδ֤�$\beta$������ܤǲ������ޤ����롥����ˡ���Υ$x_4-x_2$��Ȥ���$\beta$���ͤ��Ѳ������ơ���³�����ξ��ͤδ֤λ��ֳִ֤����椹�롥

�ĤäƤ���Τϡ�$\beta$�Ȼ��ξ��ʹ֤λ��֤�Ĺ���򤦤ޤ������$R(t)/g(t) \rightarrow \infty$�ˤ��뤳�ȤǤ��롥�����Ԥʤ��Τˡ�(3.2)������������˴����⡼���Ȥ�����ܤ�Ȥ����ſ���${\bf 0}$�˸��ꤵ��Ƥ��뤫�顢$M = \sum_j m_j$�Ȥ���м�������Ω�ġ�
$$
  I = \frac{1}{2} \sum_j m_j r_j^2 = \frac{1}{2} M 
\sum_{k<j} m_k m_j ({\bf r}_k - {\bf r}_j)^2 . \eqno(3.2)
$$
�褯�Τ��Ƥ���褦��(���Ȥ���Pollard[8]����)�����̤˰�¸���������$A$��$B$��¸�ߤ���$AR^2 \leq I \leq BR^2$�Ǥ��롥�������ä�����4�μ�ĥ�ϼ��򼨤����Ȥ������Ǥ��롥
$$ \begin{array}{lll}
  I/g^2 \rightarrow \infty & {\rm as} & t \rightarrow \infty . 
   \end{array} \eqno(3.3)
$$
$I$����Ĺ(���Ȥ���[8,10]����)�ϼ�����Ϳ�����롥

$$
  I'' = T + h .  \eqno(3.4)
$$
������$T$��������$2I'' \geq m_3 \{ x'_3(t) \}^2 + 2h$�Ǥ��롥

$h(t)$��$(0, \infty)$���������줿�ؿ��Ǥ��äơ�$h(t) > t \{ g(t) \}^2$�����$h''>0$�Ȥ��롥$\beta_j$���ͤ��������³�����ζ��ܾ��ͤδ֤λ��֤����椹��С����ʴؿ���¸�ߤ���$j$���ܤλ��ֶ�֤ˤ�����$m_3 \{ \beta_j \}^2 > h''(t)$�Ǥ��롥�����򴰷뤹�뤿�ᡢŬ���ʻ��ֶ�־��$x'_3$��$\beta_j$�ˤ�äƲ������ޤ�����褦�ʵ�ƻ��¸�ߤ��뤳�Ȥ�������롥����򤹤�Τˡ���$\{ \beta_j \}$����$\{ n_1^2, n_2^2, \ldots \}$��������뤳�Ȥ����դ��롥������$\beta_j$�����$(\beta''_{n+1}, \beta'_n)$��ˤ���ʤ餳���$n_j^2$���ͤǤ��롥$\beta_j$�����Τ褦�ʶ�֤ˤʤ���С�$\beta''_{n+1} > \beta_j$�ʤ�ǽ�Τ�Τ����֡���ε����ϳؤε����ˤ��������С�˾�ߤ���������Ľ����郎���롥

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf ����ʸ��} 
\end{center}

\re
1. J. Chazy, Sur l'allure du mouvement dans le probl$\grave{\rm e}$me des trois corps quand le temps coroit indefinement, {\it Ann. Sci. Ecole Norm. Sup.} {\bf 39} (1922), 29-130. 

\re
2. R. Easton, Parabolic orbits for the planar three body problem, {\it J. Differential Equations} {\bf 52} (1984), 116-134. 

\re
3. C. Marchal and D. G. Saari, On the final evolution of the $n$-body problem, {\it J. Differential Equations} {\bf 20} (1976), 150-186. 

\re
4. J. Mather and R. McGehee, Solutions of the collinear four-body problem which become unbounded in finite time, in "Dynamical Systems Theory and Applications", p.573-587 (J. Moser, Ed.), Lecture Notes in Physics, Springer-Verlag, New York, 1974. 

\re
5. R. McGehee, Triple collisions in the collinear three-body problem, {\it Invent. Math.} {\bf 27} (1974), 191-227. 

\re
6. R. Moeckel, Heteroclinic phenomena in the isosceles three body problem, {\it SIAM J. Math. Anal.} {\bf 15} (1984), 857-876. 

\re
7. P. Painlev\'{e}, Lecon sur la th\'{e}orie analytique des \'{e}quations diff\'{e}rentielles, Herman, Paris, 1987. 

\re
8. H. Pollard, Gravitational systems, {\it J. Math. Mech.} {\bf 17} (1967), 601-617. 

\re
9. C. Robinson, Homoclinic orbits and oscillation for the planar three body problem, {\it J. Differential Equations} {\bf 52} (1984), 356-377. 

\re
10. D. G. Saari, Expanding gravitational systems, {\it Trans. Amer. Math. Soc.} {\bf 156} (1971), 219-242. 

\re
11. D. G. Saari, The manifold structure for collision and for hyperbolic-parabolic orbits in the $n$-body problem, 
{\it J. Differential Equations} {\bf 55} (1984), 300-329. 

\re
12. K. Sitnikov, The existence of oscillatory motion in the three-body problem, {\it Soviet Phys. Dokl.} {\bf 5} (1964), 647-656. 


\end{document}