\documentstyle[12pt,twoside]{jarticle}
%
\oddsidemargin 0.0cm
\evensidemargin -1.0cm
\topmargin 0.0cm
%
%\headsep 0.8cm
\textwidth 16.8cm
\textheight 22.5cm
%
\newcommand{\re}{\vspace{0.15cm}\par\hangindent=0.7cm\noindent}
%
\begin{document}
\setlength{\baselineskip}{3ex}
%
%Z. Xia����ʸ
%J. Diff. Eq. 96(1992), 170-184.
%

\begin{flushright}
ë����δ ��
\end{flushright}

\noindent
{\it Journal of Differential Equations} {\bf 96} (1992), 170-184

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\Large
{\bf ���»�������ˤ����� \\ 
���˥��դ���ˡ�Ȳ���Ū�ۥ⥯��˥å��� \\
Melnikov method and transversal homoclinic points \\
in the restricted three-body problem} 
}

\vspace{0.3cm}
Zhihong Xia

\vspace{0.3cm}
Department of Mathematics, Harvard University \\
Cambridge, Massachusetts 02138
\end{center}

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf Abstract} 

������ʸ�Ǥϥ��˥��դ���ˡ�ˤ�ꡢ�����»�������ˤ����ơ�2�Ĥμ����Τ����Ĥ���ͭ�¸Ĥμ����������Ƥ��٤Ƥμ�������Ф��ơ�����Ū�ۥ⥯��˥å���ƻ��¸�ߤ򼨤�������Ͽ�ư�������ͱ�ư��²��¸�ߤ��̣���롥����Ϥޤ���2�Ĥμ����Τ����Ĥ���ͭ�¸Ĥμ����������Ƥ��٤Ƥμ�������Ф��ơ��褯�Τ�줿�䥳����ʬ�ʳ��ˡ������»�������˼²���Ū��ʬ��¸�ߤ��ʤ����Ȥ⼨���Ƥ��롥����ϸ�ŵŪ�ʥݥ��󥫥������[10]�γ�ĥ�ˤʤäƤ��롥��������������˸������ð����Ͻ��ष�Ƥ��뤫�顢McGehee[7]�ΰ���¿�������������Ѥ��롥

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf 1. ��} 

Sitnikov[13]�����̤����»�������ξ��˿�ư�������͵�ƻ��²��¸�ߤ��뤳�Ȥ����������Alekseev[1]��Sitnikov��ȯ�ۤ��ĥ������Ū�ۥ⥯��˥å���ƻ�Ȥδط���Ĵ��������ϥ����Ǥʤ����٤Ƥμ��̤��Ф���Ʊ����̤����������������˴ؤ���ܺ٤ʵ����ˤĤ��Ƥ�Moser[9]�򻲾Ȥ��줿������ͤ���ӿ�ư��ƻ�˴ؤ���¾����ˤĤ��Ƥ�[3,8,12]�򻲾Ȥ��줿����

������ʸ�Ǥϡ����»�������ˤ�����̵�±�μ�����ƻ�ؤβ���Ū�ۥ⥯��˥å���ƻ��¸�ߤ�2�Ĥμ����Τ����Ĥ���ͭ�¸Ĥμ����������Ƥ��٤Ƥμ�������Ф��Ƽ����������ϳؤˤ�ꡢ���Τ褦�ʲ���Ū�ۥ⥯��˥å���ƻ�ϡ����»��������Smale�����������������������⤿�餹�����Τ��������ε�ƻ���顢Sitnikov�����Ʊ����Ļ��Ĥο�ư�������͵�ƻ�������롥����Ū�ۥ⥯��˥å���ƻ��¸�ߤ���Τ⤦��Ĥε���ϡ����»�������������ʬ���Ǥ��롥����ϸ�ŵŪ�ʥݥ��󥫥������[10]�γ�ĥ�ˤʤäƤ��롥�ݥ��󥫥�������ˤ��С��Τ��Ƥ���䥳����ʬ�ʳ��˼²�����ʬ�ǡ�2�Ĥμ����μ��̤˴ؤ��Ƥ����Ū�ʤ�Τ�¸�ߤ��ʤ���

��������Ǥ�̵�±�μ�����ƻ�Ͻ��ष�Ƥ���Τǡ�ɸ��Ū����¿����������Ŭ�ѤǤ��ʤ����������ꡢMcGehee[7]�ˤ��������Easton[2]�����Robinson[11]�ˤ�äƳ�ĥ���줿��Τ�Ȥ������˥��դ���ư���Ѥ�ȤäƲ���Ū�ۥ⥯��˥å���ƻ��¸�ߤ򼨤��������λȤ�������ư�ѥ�᡼����2�Ĥμ����μ�����Ǥ��롥������1�Ĥ����̥����ʤ�Ϥ���������˵��夷����ʬ��ǽ�Ȥʤ롥������1�Ĥμ��̤��⤦1�Ĥ���٤ƾ�������Х��˥��դ���ˡ�ǡ�̵�±�μ�����ƻ�ؤβ���Ū�ۥ⥯��˥å���ƻ��¸�ߤ������롥���ΤȤ�����¿���Τβ��������顢��̤��������Ĥ���ͭ�¸Ĥμ����������Ƥ��٤Ƥμ�����˳�ĥ�Ǥ��롥

���Ԥϡ�Ʊ�ͤη�̤�Llibre and Sim\'{o}[5,6]�Ǥʤ���Ƥ��뤳�Ȥ��Ŧ���Ƥ��줿��ե��꡼�����J.Llibre�˴��դ��롥[5]��Llibre and Sim\'{o}�ϡ��䥳�����$C$����ʬ�礭���������μ����椬��ʬ��������С�̵�±�μ�����ƻ�ؤβ���Ū�ۥ⥯��˥å���ƻ��¸�ߤ��뤳�Ȥ򼨤�������������ʸ�Ǥϡ������椬��ʬ�������ơ��䥳�������$\pm \sqrt{2}$�˶ᤤ���ˤ⤳�줬����Ω�Ĥ��ȼ������Ȥ��Ǥ��롥[5,6]�Ǥ�������ˡ����٤ơ���������ˡ��������ñ��Ǥ��롥����ˡ�¿���Τβ��������������Υ���ץ쥯�ƥ��å��������Ѥ��ơ����η�̤�ʬ�礭�ʥ䥳������ξ��ˡ��ۤȤ�ɤ��٤Ƥμ�������Ф��Ƴ�ĥ���뤳�Ȥ��Ǥ��롥

���ԤϤ�Ȥθ��Ƥη���Ū�ʴְ㤤���Ŧ���Ƥ��줿K.Meyer�����ˤⴶ�դ��롥

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf 2. ���»�������}

�桼����å�ʿ��${\bf R}^2$���˥塼�ȥ�ν��ϤΤ�Ȥ�ư���Ƥ���3����$P_1, P_2, P_3$��ͤ��롥�ſ��ϸ����˸��ꤵ��Ƥ���Ȥ���$P_1$��$P_2$�μ��̤�$\mu$�����$1-\mu$�Ȥ��롥������$0 \leq \mu \leq 1$�Ǥ��롥�����$P_3$�μ��̤ϥ����Ǥ���Ȥ���Τǡ�������ϤϤ��������»�������Ǥ��롥$P_3$��$P_1$��$P_2$�α�ư�˲��αƶ���Ϳ���ʤ����顢��Ԥ����Τ�����������������$P_1$��$P_2$�ε�ƻ�ϴ���������Ǥ��롥�����ϱߡ��ʱߡ���ʪ���ޤ����ж�����ƻ���ư����$P_1$��$P_2$���ߵ�ƻ��ޤ�äƤ��Ȳ��ꤹ��С��Ϥϱ����»������ꡢ���뤤��ñ�����»�������ȸƤФ�롥

${\bf q}=(q_1,q_2)$��$P_3$�ΰ��֤Ȥ���${\bf p} = (p_1,p_2) = (q'_1,q'_2)$��$P_3$��®�٤Ȥ���С�$P_3$�α�ư�ϼ����������Ƿ��ꤵ��롥
$$ \begin{array}{l}
  {\bf q}' = {\bf p}, \\
  {\bf p}' = U_{\bf q}. 
   \end{array}      \eqno(1)
$$
������$U$�ϥݥƥ󥷥��ؿ��ǡ�$U_{\bf q}$��${\bf q}$�˴ؤ���$U$�θ��ۤǤ��롥
$$
 U = \displaystyle \frac{1 - \mu}
{\sqrt{(q_1- \mu x_{12})^2 + (q_2- \mu y_{12})^2}} + 
  \frac{\mu}{\sqrt{(q_1+ (1-\mu) x_{12})^2 + (q_2+ (1-\mu) y_{12})^2}}.
$$
������$x_{12},y_{12}$��$P_1$����$P_2$�ؤε�Υ�٥��ȥ��$x$�������$y$�������ʬ�Ǥ��롥�����»�������ξ�硢�������롥
$$ \begin{array}{ll}
 x_{12} = \cos t, & y_{12} = \sin t.
   \end{array}
$$

$\mu=0$�ʤ顢�������������˵��夷�ơ�����1��γ�Ҥ������ˤ��äƤ⤦��Ĥμ��̥�����γ�Ҥ����Τޤ���ޤ�äƤ��롥��������ϴ�������ʬ�Ǥ��롥���»��������$\mu$���������Ȥ����������꤫�����ư����Ȥ��ư�����$\mu$�ΰ켡�ޤǤζ����$U$�ϼ��Τ褦��ɽ�蘆��롥
$$ \begin{array}{rl}
 U = & \displaystyle \frac{1}{\sqrt{q_1^2+q_2^2}} + 
\mu \left( - \frac{1}{(q_1^2+q_2^2)^{1/2}} + 
  \frac{q_1 \cos t + q_2 \sin t}{(q_1^2+q_2^2)^{3/2}} \right. \\
 & + \displaystyle \left. 
\frac{1}{( (q_1+\cos t)^2+(q_2+\sin t)^2 )^{1/2}} \right) + O(\mu^2). 
   \end{array}   \eqno(2)
$$

����줬�ä˶�̣����Ĥ���$\mu=0$������������ò����ʪ��Ǥ��롥����ϼ��̥�����γ�Ҥ��˸�®�٥�����̵�±�˶�Ť���Ǥ��롥���ޤ���ɸ�Ѵ����Ѥ��ơ�̵�±�˼����򤬤��뤳�Ȥ򼨤������μ�����Ͻ��ष�����ɥ�Ǥ��ꡢ��ʪ��ƻ�Ϥޤ���$t \rightarrow \infty$�����$t \rightarrow -\infty$�ΤȤ��ˤ��μ�����ƻ�˶�Ť���ƻ�Ǥ��뤳�Ȥ��狼�롥$\mu$���������Ȥ�����μ�����ƻ�������Ĥꡢ��ʪ��ƻ�Τ����Ĥ��Ϥ��μ�����ƻ�ؤβ���Ū�ۥ⥯��˥å���ƻ�ˤʤ뤳�Ȥ򼨤���

��������˾�ޤ������ˤ���̵�±���ð�����ͭ�¤ξ��˻��ä���뤿��ˤϡ������Ĥ��κ�ɸ�Ѵ���ɬ�פǤ��롥�Ǥ�褤�����Ѵ���$|{\bf q}| = x^{-2}$�Ǥ���褦����$S^1$�γ��ѿ�${\bf s}$��${\bf q} = x^{-2} {\bf s}$��������롥��ư�̤�ư����ʬ�ȳ���������ʬ�˼��Τ褦��ʬ���롥
$$
  {\bf p} = y{\bf s} + x^2 \rho i {\bf s}.
$$
������$i {\bf s}$�ϡ�ñ�̥٥��ȥ�${\bf s}$��ľ�Ѥ�ñ�̥٥��ȥ��ɽ�魯ʣ��ɽ���Ǥ��ꡢ$\rho$��$P_3$�γѱ�ư�̤Ǥ��롥�����ο������ѿ���Ȥ���
$$
  U = \displaystyle x^2 + \mu x^2 \left( -1 + x^2 \cos (t-\theta) + 
\frac{1}{(1+2x^2 \cos (t-\theta) + x^4)^{3/2}} \right) + O(\mu^2),  
\eqno(3)
$$
�Ȥʤꡢ�������ϰʲ��Τ褦�ˤʤ롥
$$ \begin{array}{l}
x' = - \frac{1}{2} x^3y, \\
y' = - x^4 + x^6 \rho^2 + \mu g_1(x,t-\theta) + O(\mu^2), \\
\theta' = x^4 \rho, \\
 \rho' = \mu g_2(x,t-\theta) + O(\mu^2).
   \end{array}                            \eqno(4)
$$
������$\theta \in S^1$�ϳ��ѿ��Ǥ��äơ�${\bf s} = (\cos \theta, \sin \theta)$�Ǥ��ꡢ$g_1(x,t-\theta), g_2(x,t-\theta)$�ϰ켡����ư��Ǥ��äƼ�����Ϳ�����롥
$$ \begin{array}{l}
g_1(x,t-\theta) = \displaystyle x^4 \left( 1 - 2x^2 \cos (t-\theta) - 
\frac{1+x^2 \cos(t-\theta)}
     {(1+2x^2 \cos (t-\theta) + x^4)^{3/2}} \right), \\
g_2(x,t-\theta) = \displaystyle x^4 \sin (t-\theta) \left( 1 - 
\frac{1}{(1+2x^2 \cos (t-\theta) + x^4)^{3/2}} \right). 
   \end{array}                            \eqno(5)
$$

��ηϤ�5����������ˤ��롥�������Ϥ�\underline{�䥳����ʬ}�ȸƤФ�������ʬ
$$
  \frac{1}{2} y^2 + \frac{1}{2} x^4 \rho^2 - U - \rho = C,
$$
����ġ�������$C$��\underline{�䥳�����}�ȸƤФ�롥�����ʬ��$\rho$�ˤĤ��Ʋ򤱤뤫�顢$\rho$�˴ؤ��뼰������Ȥ��Ǥ��롥
$$ \begin{array}{l}
\rho = \displaystyle \rho_0 - 
\frac{\mu x^2}{(1-x^4 \rho_0)} \left( 
- 1 + x^2 \cos (t-\theta) + 
\frac{1}{(1+2x^2 \cos (t-\theta) + x^4)^{3/2}} \right) + O(\mu^2), \\
\rho_0 = \displaystyle 
\frac{1 \pm \sqrt{1-x^4(y^2-2x^2-2C)}}{x^4} . 
   \end{array}                            \eqno(6)
$$
������$\pm$����$P_3$������Ū��®�٤˰�¸���롥

����������ˤ����ƻ����ѿ�$t$�ϤĤͤ�$t-\theta$�η��Ǹ����뤳�Ȥ����դ��褦�����λ��¤�Ȥ��зϤμ����򤵤�˲����뤳�Ȥ��Ǥ��롥���������ѿ�$s$�򼡼���������롥
$$ \begin{array}{ll}
  s = t - \theta, & s \in S^1.
   \end{array}
$$
�������ϤϤ��ޤ伡�Τ褦�ˤʤ롥
$$ \begin{array}{l}
x' = \displaystyle - \frac{1}{2} x^3y, \\
y' = - x^4 + x^6 \rho^2 + \mu g_1(x,s) + O(\mu^2), \\
s' = 1 - x^4 \rho. 
   \end{array}                            \eqno(7)
$$
������$\rho$��$x,y,s$�����$C$�δؿ��Ǥ��ꡢ���(6)����Ϳ�����롥

�Ϥ����$\mu=0$�ξ�硢���ʤ����ư̵�������������ͤ��褦����ư�������ϼ����˵��夹�롥
$$ \begin{array}{l}
x' = \displaystyle - \frac{1}{2} x^3y, \\
y' = - x^4 + x^6 \rho^2, \\
s' = 1 - x^4 \rho. 
   \end{array}                            \eqno(8)
$$
������$\rho$�Ϥ���ɤϰ���Ǥ���($\rho$��$P_3$�γѱ�ư�̤Ǥ��ä����Ȥ�פ�������)��$x,y$�˴ؤ�����������$s$��̵�ط��Ǥ��ꡢ����Ū�˲򤱤롥$H$��$x$��$y$�δؿ��Ǥ��äơ���������������Ȥ��롥
$$
  H(x,y,\rho) = \frac{1}{2}y^2 + \frac{1}{2} x^4 \rho^2 - x^2.  \eqno(9)
$$

\vspace{3cm}
\hspace*{6cm} Figure

\vspace{3.5cm}
\noindent
$H(x,y,\rho)$����ư������Ǥ��뤳�Ȥϴ�ñ�ˤ狼��(�¤ϡ�$H$��$P_3$�Υ��ͥ륮���Ǥ���)��Figure 1�ˤ�$x,y$��ɸ��ή�줬������Ƥ���($x>0$��ʪ�����֤��б����뤳�Ȥ����դ��褦)��ή����$H$�Υ�٥�������б����롥����$(0,0)$��ή����ð����Ǥ��롥�����ð����Ͻ��ष�Ƥ��ꡢ���֤�$x^{-3}$�ܤ��������Ѵ�������Ǥϡ�������жʥ��ɥ�Ǥ��äơ����Υ��ɥ�ؤΥۥ⥯��˥å��롼�פ����뤳�Ȥ��狼�롥��β��ϤϤ��Υۥ⥯��˥å��롼�פ���äˤ��Ƥ��롥�ۥ⥯��˥å��롼�פε�ƻ�ϡ����Τ褦�ˤ����餵�ޤ˽񤱤롥
$$ \begin{array}{l}
x(t) = \xi(t,C) = \displaystyle 
\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{(3t + \sqrt{9t^2+C^6})^{2/3} + 
(3t - \sqrt{9t^2+C^6})^{2/3} - C^2}}, \\
y(t) = \eta(t,C) = \displaystyle \left\{ 
     \begin{array}{lcl}
   \pm \sqrt{2\xi^2(t) - \xi^4(t)C^2} & {\rm for} & x \geq 0, \\
   \mp \sqrt{2\xi^2(t) - \xi^4(t)C^2} & {\rm for} & x \leq 0. 
     \end{array}   \right.
   \end{array}                            \eqno(10)
$$
������$\pm$��$C$�����˰�¸���롥$\xi(t,C)$��$t$�ζ��ؿ���$\eta(t,C)$��$t$�δ�ؿ��Ǥ��뤳�Ȥ����դ��褦��

�����������֤˰�¸���ʤ�����Ǥ�դ�$t_0 \in {\bf R}$���Ф��ơ�$(\xi(t-t_0,C),\eta(t-t_0,C))$�⸶���ν��ॵ�ɥ�ؤΥۥ⥯��˥å��롼�פǤ��롥$\xi(t,C)$��$\eta(t,C)$��$s$�δؿ��Ȥ��Ƥ����餵�ޤ˽񤱤�ж�礤���������Ǹ�ˤ�$s$����Ω�ѿ��Ȥ��ƻȤ��Ĥ�������Ǥ��롥������������ʣ���˸���������Ĥ������ǵ���줽����ʤ���$x_0(s)$�����$y_0(s)$��$s$��ɽ�路���ۥ⥯��˥å��롼�פμ��Ȥ��롥���ʤ����$x_0(s) = \xi[t(s),C]$�����$y_0(s) = \eta[t(s),C]$�Ȥ��롥$\theta$�ν���ͤ�$0$�����֡���������������ä�(?)��$x_0(s)$��$s$�δ�ؿ���$y_0(s)$�϶��ؿ��Ǥ��롥

����ɤ�$0< \mu \ll 1$�ξ���ͤ��褦���Ϥ����$x$��$y$�˴ؤ���������������Ѵ�����$s$�˴ؤ��뼰��õ�褦�����������������������ϼ���Ū�˻��֤˰�¸���롥

$$ \begin{array}{l}
\displaystyle 
\frac{dx}{ds} = 
\displaystyle \frac{- \frac{1}{2} x^3y}{1-x^4 \rho}, \\
\displaystyle \frac{dy}{ds} = \displaystyle 
\frac{- x^4 + x^6 \rho^2}{1-x^4 \rho} + 
\frac{\mu g_1(x,s)}{1-x^4 \rho} + O(\mu^2).
   \end{array}                            \eqno(11)
$$
�����ǡ��դ�����$\rho$��$x,y,s$�δؿ��Ǥ��ꡢ�䥳�����$C$�ϥ䥳����ʬ(6)�Ƿ�ޤ롥

$s$����Ω�ѿ��Ȥ��ƻȤ�����ˤ�$1-x^4 \rho \neq 0$�Ǥ��뤳�Ȥ��׵ᤵ��롥$x$����������$\rho <0$�ʤ餳��Ϥ��Ĥ�����Ω�ġ�

$\mu \neq 0$�ʤ顢�����Τ�Ȥ�Ȥ���ư����$s$�˴ؤ��Ƽ���$2\pi$�μ������ˤʤ롥$t \rightarrow \infty$�Ǥ��μ�����������Ū�˶�Ť���ƻ��$\omega$\underline{��ʪŪ}�ȸƤФ졢Ʊ�ͤˡ�$t \rightarrow -\infty$�Ǥ��μ�����������Ū�˶�Ť���ƻ��$\alpha$\underline{��ʪŪ}�ȸƤФ�롥���μ�����ƻ����ष�Ƥ��롥�����������ְ�¸�Ǥ��뤫�顢����$x^{-3}$�ˤ�äƻ����ѿ�������Ѵ������ð�������������ȤϤǤ��ʤ����椨�ˡ�ɸ��Ū�ʰ���¿���������򤳤μ�����ƻ��Ŭ�Ѥ��뤳�Ȥ��Ǥ����������$\omega$��ʪ��ƻ��$\alpha$��ʪ��ƻ����餫��¿���Τ�������뤫�ɤ��������餫�Ǥʤ�����������������ư���˴ؤ���McGehee[7]�ΰ���¿���������ˤ�äơ������$\omega$��ʪ��ƻ��$\alpha$��ʪ��ƻ�γ�餫��¿���ι�¤���ݾڤ���Ƥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 1.} ������(11)��$\{ x \geq 0 \}$�ˤ����������ƻ$\gamma: x=0, y=0, s \in S^1$�ΰ��ꤪ����԰���¿���Τ�$x>0$�ΤȤ��²���¿���ΤǤ��롥���ʤ����$W^s(\gamma) \cap \{ x>0 \}$�����$W^u(\gamma) \cap \{ x>0 \}$�ϼ²���Ū�Ǥ��롥��������С��䥳�����$C$����ꤷ���Ȥ���$\omega$��ʪ��ƻ��$\alpha$��ʪ��ƻ������֤ˤ����Ƽ²���Ū��ʬ¿���Τ�ʤ���

\vspace{0.3cm}
McGehee[7]�Ͻ��ष����ư���Τ�����˴ؤ��ư���¿�������������������������������ΰ���¿���������α��ѤȤ��ƾ������줿���ǶᡢRobinson[11]��McGehee���������ĥ��������˰��̤ν������ѽ����Ŭ�ѤǤ������¿���������������������äȾܤ��������ˤĤ��Ƥ�Robinson[11]�򻲾Ȥ��줿����

�軰�Τ�2�Ĥμ��������ξ��ͤ򤹤뤳�Ȥˤ���ð�����������(11)�ˤ����Ĥ����뤳�Ȥ��Ŧ���Ƥ��������������褯�Τ��Ƥ���褦�ˡ����������ξ��ͤ���§���Ǥ��롥���ʤ�����������ð�����Ŭ���ʺ�ɸ����ӻ����Ѵ��Ǽ������롥����1�ΰ��ꤪ����԰���¿���Τβ������ϡ����ξ��ͤ��ð�������§�����Ƥ��뤳�Ȥ�����ˤ��Ƥ��롥

����1�ξ������顢����¿���Τ��԰���¿���Τϥ䥳�����$C$����Ӽ�����$\mu, \mu \neq 0$�˴ؤ��Ƥ�²���Ū�Ǥ��뤳�Ȥ��Ŧ���Ƥ���($\mu=0$�ʤ����ξ��ͤ���§�����ðۤǤ���)��

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf 3. ���˥��մؿ�}

����ɤϥ��˥��դ���ư���Ѥ�ȤäƲ���Ū�ۥ⥯��˥å���ƻ��¸�ߤ򼨤�����$\mu=0$�ʤ�$W^s(\gamma)$��$W^u(\gamma)$������Ʊ���¿���ΤǤ��뤳�Ȥ����դ��褦��$\mu \neq 0$�ʤ顢������¿���Τ�ʬΥ���롥ľ��Ū�ˤϡ�������¿���Τϰʲ��ε�������狼��褦�ˡ����Ĥ���äƤ��롥

$P_3$�����$t=0$��$x$���ˤ���������γ�Ҥ�®�٤ȸ�������ε�Υ��Ĵ�ᤷ�ơ�˾��䥳��������ͤ���Ĥ褦�ˤ����˸�®�٥�����̵�±��ƨ����褦�ˤǤ��롥������$\omega$��ʪŪ�Ǥ��롥�о����ˤ�ꡢ�����$\alpha$��ʪŪ�Ǥ⤢�뤫�顢���줬$\gamma$�Υۥ⥯��˥å���ƻ�Ǥ���ȸ����롥

���Τ褦�ˤ�������������֤���˥ۥ⥯��˥å���ƻ��Ϳ�����뤳�ȡ����ξ夳�줬����䥳��������Ф��Ƥϲ���Ū�Ǥ��뤳�Ȥ򼨤�����

$\Sigma^{s_0}$���������β�����$s=s_0$�Ȥ���$(x_{\mu}^u(s,s_0), y_{\mu}^u(s,s_0))$��$W^u(\gamma)$��ε�ƻ�Ǥ��äơ�$(x_{\mu}^u(0,s_0), y_{\mu}^u(0,s_0)) \in \Sigma^{s_0}$�Ǥ���Ȥ��롥Ʊ�ͤˡ�$(x_{\mu}^s(s,s_0), y_{\mu}^s(s,s_0))$��$W^s(\gamma)$��ε�ƻ�Ǥ��äơ�$(x_{\mu}^s(0,s_0), y_{\mu}^s(0,s_0)) \in \Sigma^{s_0}$�Ǥ���Ȥ��롥���ΤȤ�������������롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 1.} $|C|>\sqrt{2}$�ʤ�Ǥ�դθ��ꤷ��$C$���Ф��ơ����ꤷ�����ֶ�֤Τ������ʲ��ζ�������ͤ�����Ω�ġ�
$$ \begin{array}{ll}
 x_{\mu}^s(s,s_0) = x_0(s-s_0) + \mu x_1^s(s,s_0) + O(\mu^2), & 
                                        s \in [s_0, \infty), \\
 y_{\mu}^s(s,s_0) = y_0(s-s_0) + \mu y_1^s(s,s_0) + O(\mu^2), & 
                                        s \in [s_0, \infty), \\
 x_{\mu}^u(s,s_0) = x_0(s-s_0) + \mu x_1^u(s,s_0) + O(\mu^2), & 
                                        s \in (-\infty, s_0], \\
 y_{\mu}^u(s,s_0) = y_0(s-s_0) + \mu y_1^u(s,s_0) + O(\mu^2), & 
                                        s \in (-\infty, s_0]. 
   \end{array}                 \eqno(12)
$$
�����Ǵؿ�$x_1^s(s,s_0), y_1^s(s,s_0)$�����$x_1^u(s,s_0), y_1^u(s,s_0)$�ϡ�����ư��ƻ$(x_0,y_0)$�˱�äƤ�������(11)�������ʬ�������ˤ�äƷ��ꤵ��롥

\vspace{0.3cm}
��������ξ����ϼ���2�Ĥδѻ������ưפ˽Ф롥(1) ɸ��Ū��Gronwallɾ���ˤ��С�$(x_0(0),y_0(0))$��$O(\mu)$�����ȯ������ư��ƻ�ϡ�Ǥ�դΤ�����ͭ�¤λ��֤Τ�������$(x_0(s),y_0(s))$��$O(\mu)$��ˤȤɤޤ롥(2) ����1��ꡢ$W^u(\gamma), W^s(\gamma)$��$C^{\infty}$¿���ΤǤ��ꡢ��ư�������¿���Τ�����ư¿���Τ�$C^{\infty}$���ܤǤ��롥

$\mu>0$�ΤȤ�����ư�����ξ��ͤˤ������ð�������Ĥ��ȡ������$|C| \leq \sqrt{2}$�ΤȤ�����¿���Τ�����԰���¿������ε�ƻ�����ξ��ͤ򤹤��ǽ�������뤳�Ȥ��顢$|C|>\sqrt{2}$�Ȥ�������ɬ�פǤ��뤳�Ȥ����դ��Ƥ�����

$H(x,y) = \frac{1}{2}y^2 + \frac{1}{2} x^4 \rho^2 - x^2$��(9)����������줿���ͥ륮���ؿ��Ǥ���Ȥ��롥������$\rho$��(6)����Ϳ�����롥$\mu \neq 0$�ʤ�$H$�Ϥ�Ϥ䱿ư������ǤϤʤ�����������Ω�ġ�
$$
\frac{\displaystyle dH}{\displaystyle ds} = 
\frac{\displaystyle \mu(yg_1(x,s) + x^4\rho g_2(x,s))}
{\displaystyle 1-x^4\rho} + O(\mu^2).      \eqno(13)
$$

${\bf d}(s_0)$��ʲ��Υ٥��ȥ�Ȥ��롥
$$
  {\bf d}(s_0) = (x_{\mu}^s(s_0,s_0), y_{\mu}^s(s_0,s_0)) - 
 (x_{\mu}^u(s_0,s_0), y_{\mu}^u(s_0,s_0)). 
$$
���Υ٥��ȥ�ϡ�$W^s(\gamma)$��$W^u(\gamma)$��$\Sigma^{s_0}$���$s=s_0$�ˤ����ƤɤΤ��餤Υ��뤫��¬�롥�����ʬ����������ʬ����${\bf d}(s_0)$�򸫤Ĥ���Τ��񤷤��������Ǥϥ��˥��դε��Ѥ�Ȥä�$W^s(\gamma)$��$W^u(\gamma)$���ߤ��ˤɤΤ褦�˸��뤫��Ĵ�٤롥$H^N(x_0(0),y_0(0))$����$(x_0(0),y_0(0))$�ˤ�����$H(x,y)$�ؤ�ˡ���Ȥ��롥���ʤ����
$$
  H^N(x_0(0), y_0(0)) = 
(H_x(x_0(0), y_0(0)), H_y(x_0(0), y_0(0))). 
$$
�����$d(s_0)$����$(x_0(0),y_0(0))$�ˤ����ƴؿ�$H(x,y)$��ˡ�������ؤΥ٥��ȥ�${\bf d}(s_0)$�μͱƤȤ��롥���ΤȤ��켡����ޤǤǼ������롥
$$ \begin{array}{rl}
 d(s_0) & = \displaystyle 
\frac{H^N(x_0(0),y_0(0))}{|H^N(x_0(0),y_0(0))|} 
  {\bf \cdot} \ ( x_{\mu}^s(s_0,s_0) - x_{\mu}^u(s_0,s_0),
y_{\mu}^s(s_0,s_0) - y_{\mu}^u(s_0,s_0) ) \\ 
 & = \displaystyle \mu 
\frac{H^N(x_0(0),y_0(0))}{|H^N(x_0(0),y_0(0))|} 
  {\bf \cdot} \ ( x_1^s(s_0,s_0) - x_1^u(s_0,s_0),
y_1^s(s_0,s_0) - y_1^u(s_0,s_0) ) + O(\mu^2). 
   \end{array}
$$
������$x_1^s(s,s_0), y_1^s(s,s_0), x_1^u(s,s_0), y_1^u(s,s_0)$������1��Ϳ�������ΤǤ��롥

$d(s_0)$�ϲ�����$\Sigma^{s_0}$�����$(x_0(0),y_0(0))$�ˤ�����¿����$W^u(\gamma), W^s(\gamma)$�ε�Υ�������Ƥ��롥�����ͤ򸫤Ĥ��뤿��ˡ�����1��ꡢ����ѻ����褦��
$$ \begin{array}{rl}
H(x_{\mu}^s(s_0,s_0), & y_{\mu}^s(s_0,s_0)) \\
  & = H(x_0(0),y_0(0)) + \mu H^N(x_0(0),y_0(0)) \cdot
( x_1^s(s_0,s_0), y_1^s(s_0,s_0)) + O(\mu^2), \\
H(x_{\mu}^u(s_0,s_0), & y_{\mu}^u(s_0,s_0)) \\
  & = H(x_0(0),y_0(0)) + \mu H^N(x_0(0),y_0(0)) \cdot
( x_1^u(s_0,s_0), y_1^u(s_0,s_0)) + O(\mu^2). 
   \end{array}
$$
�������äơ�
$$ \begin{array}{rl}
 d(s_0) & |H^N(x_0(0),y_0(0))| \\
 & = H(x_{\mu}^s(s_0,s_0),y_{\mu}^s(s_0,s_0)) - 
H(x_{\mu}^u(s_0,s_0),y_{\mu}^u(s_0,s_0)) + O(\mu^2) \\
 & = \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} 
\frac{\displaystyle dH(x,y)}{\displaystyle ds} ds + O(\mu^2) \\
 & =  \mu M(s_0) + O(\mu^2), 
   \end{array}               \eqno(14)
$$
�Ǥ��롥������$M(s_0)$��\underline{���˥��մؿ�}�Ǥ��ꡢ������Ϳ�����롥
$$ \begin{array}{rl}
 M(s_0) & = \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \mu^{-1}
\frac{dH}{ds} (x_0(s-s_0), y_0(s-s_0)) ds \\
        & = \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} 
\frac{yg_1(x_0(s-s_0),s) + x_0^4(s-s_0) \rho g_2(x_0(s-s_0),s)}
     {1-x_0^4(s-s_0) \rho} ds.
   \end{array}               \eqno(15)
$$
����ư�ۥ⥯��˥å���ƻ�˱�äƤ�$\rho=-C$�Ǥ��뤳�Ȥ����դ��褦�����˥��մؿ���Ȥ��м������롥
$$ \begin{array}{rl}
 d(s_0) = & \displaystyle \mu 
\frac{M(s_0)}{|H^N(x_0(0),y_0(0))|} + O(\mu^2) \\
  = & \displaystyle \mu 
\frac{M(s_0)}{|2x_0^3(0) C^2 - 2x_0(0)|} + O(\mu^2) \\
  = & \displaystyle \mu 
\frac{C}{2\sqrt{2}} M(s_0) + O(\mu^2).
   \end{array}           \eqno(16)
$$

���˥��մؿ�����뼰�ϤȤƤ�ʣ���ʤΤǡ������ͤ����ΤϺ���Ǥ��롥�����δ�ñ����ɬ�פǤ��롥���μ��ϴ�ñ�˳Τ�����롥
$$ \begin{array}{rl}
\displaystyle 
\frac{g_1(x,s)+x^4\rho g_2(x,s)}{1-x^4\rho } = & \displaystyle 
\frac{g_2(x,s)}{1-x^4\rho} + \frac{d}{ds} 
\left( x^2 \left( - 1 + x^2 \cos (t-\theta) \right. \right. \\
 & \displaystyle + \left. \left.
\frac{1}{(1+2x^2 \cos (t-\theta) + x^4)^{3/2}} \right) \right) + 
O(\mu^2). 
   \end{array}
$$
������$\rho$��$\rho_0$��$x(s),y(s)$�����$s$�ˤ�ä�ɽ�蘆��Ƥ��롥��μ���Ȥ��С����˥�����ʬ�ϼ��δ�ñ�ʷ��ˤʤ롥
$$ \begin{array}{rl}
 M(s_0) = & \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} 
\frac{g_2(x(s-s_0),s)}{1-x_0^4(s-s_0) \rho_0} ds \\
     = & \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} 
\frac{g_2(x(s),s+s_0)}{1-x_0^4(s) \rho_0} ds \\
     = & \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} g_2(x_0(s),s+s_0) dt \\
  = & \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} x_0^4(s) \sin (s+s_0) 
\left( 1 - \frac{1}{(1+2x_0^2(s) \cos(s+s_0) + x_0^4)^{3/2}} \right) dt.
   \end{array}               \eqno(17)
$$

��ñ�ˤ狼��褦�ˡ��о����ˤ�ꡢ$s_0=\pi$�ʤ�$M(s_0)=0$�Ǥ��롥$s_0=\pi$�����˥��մؿ�$M(s_0)$��ñ�㥼�����Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ˤϡ�$M'(s_0)|_{s_0=\pi} \neq 0$�򼨤�ɬ�פ����롥ľ�ܷ׻����鼡�����롥
$$ \begin{array}{rl}
 M'(\pi) = & 
    \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} x_0^4(s) \cos (s+\pi) dt \\
          & \displaystyle - \int_{-\infty}^{\infty} 
\frac{x_0^4(s) \cos (s+\pi)}
     {(1+2x_0^2(s) \cos(s+\pi) + x_0^4(s))^{3/2}} dt \\
          & \displaystyle - \int_{-\infty}^{\infty} 
\frac{3x_0^6 \sin^2 (s+\pi)}
{(1+2x_0^2(s) \cos(s+\pi) + x_0^4(s))^{5/2}} dt . \\
   \end{array}               \eqno(18)
$$

�����ʬ�ǡ�$x_0(s) = \xi(t,C)$��(10)����Ϳ�����롥�ޤ�$s$�ϼ�����ʬ���������롥
$$
  s = t - \theta = \displaystyle t - \int_0^t x^4 \rho dt = 
\displaystyle t + \int_0^t \xi^4 (t,C) C dt.
$$

$C=\pm \sqrt{2}$�ʤ���˥�����ʬ$M(s_0)$�����$M'(\pi)$��$t=0$���ð�������Ĥ��Ȥ��ǧ���Ƥۤ����������$t=0$�����$C=\pm \sqrt{2}$�ΤȤ�$1+2\xi^2 \cos (s+\pi) + \xi^4 = 0$������Ǥ��롥�ޤ�$1+2\xi^2 \cos (s+\pi) + \xi^4$��$t=0$�ˤ����Ƽ²���Ū�����顢$|C| > \sqrt{2}$��$C \rightarrow \pm \sqrt{2}$�ΤȤ�$M'(0) \rightarrow -\infty$�Ǥ��뤳�Ȥ��狼�롥�������äơ�$|C| > \sqrt{2}$��$|C| - \sqrt{2}$����ʬ�������¤�$M'(\pi) \neq 0$�������롥$C$���������ͤǤ��ä�$\mu$����ʬ���������$\gamma$�ΰ���¿���Τ��԰���¿���Ρ�$W^s(\gamma)$��$W^u(\gamma)$���ϲ���Ū�˸��뤳�Ȥ򤳤�ϰ�̣���롥�����$\mu$���������Ȥ������»�������ǲ���Ū�ۥ⥯��˥å���ƻ�����뤳�Ȥ���������

����$W^s(\gamma)$��$W^u(\gamma)$�β�������Ȥäƾ�η�̤��ĥ����ͭ�¸Ĥ��ͤ�����Ƥ��٤Ƥ�$\mu$���Ф��Ʋ���Ū�ۥ⥯��˥å���ƻ�����뤳�Ȥ򼨤�����

$s_0=\pi$�Ȥ��Ʋ�����$\Sigma^{s_0}$����ꤷ�褦���о�����ꡢ$W^s(\gamma)$��$x$���˱�ä����Τ�$W^u(\gamma)$�ζ����Ǥ��롥��ñ�ˤ狼��褦�ˡ�$|C|$��ʬ���礭���Ȥ���Ǥ�դ˸��ꤷ��$\mu$���Ф���$W^u(\gamma)$��$W^s(\gamma)$�ϸ���($|C|$���礭���Ȥ����Ϥ���������˶ᤤ���Ȥ����դ���)�����»����������¸�ϤǤ��뤫�顢�ݥ��󥫥������������¸�Ǥ��롥�饰��󥸥������([14]����)�ˤ�ꡢ$W^u(\gamma)$��$W^s(\gamma)$�ϡ����٤Ƥ�$\mu$��$C$���ͤ��Ф���$x$���Ǹߤ��˸���Ϥ��Ǥ��롥$p(\mu,C)$������Ȥ���$k(\mu,C)$��$p(\mu,C)$�ˤ�����$W^s(\gamma)$�������η����Ȥ��롥���ΤȤ��о����ˤ�ꡢ$p(\mu,C)$�ˤ�����$W^u(\gamma)$�������η�����$-k(\mu,C)$�Ǥ��롥
$k(\mu,C)$��$\infty$�ޤ���$0$�Ǥʤ����$p(\mu,C)$�ˤ�����$W^u(\gamma)$��$W^s(\gamma)$�θ򺹤ϲ���Ū�Ǥ��롥

����1��ꡢ$W^u(\gamma)$��$W^s(\gamma)$�ϼ²���Ū��ʬ¿���ΤǤ��뤫�顢�ѥ�᡼��$C$��$\mu$�˴ؤ��Ƥ�²���Ū�Ǥ��롥�������äơ�$k(\mu,C)$��$k(\mu,C) \neq 0$�Ǥ���¤�(���ʤ��$W^u(\gamma)$��$x$������Ū�˲��ڤ�¤�)�²��ϴؿ��Ǥ��롥$|C|$����ʬ�礭����$\mu$����ʬ�˾�������С����餫��$k(\mu,C) \neq 0$�Ǥ��ꡢ�������äơ�$|C|$����ʬ�礭����$\mu$����ʬ�˾�������С�$k(\mu,C)$��$C$��$\mu$�μ²��ϴؿ��Ǥ��롥

���˥��մؿ��ˤ�ä�$\mu$����ʬ��������$|C|>\sqrt{2}$���������ʤ顢$W^u(\gamma)$��$W^s(\gamma)$������Ū�˸��뤳�ȡ����ʤ��$k(\mu,C) \neq 0$����$k(\mu,C) \neq \infty$�Ǥ��뤳�Ȥ��Ǽ��������������äơ�$|C|$����ʬ���礭����$\mu$����ʬ�˾������ΰ�ˤ����ơ��ۤȤ�ɤ��٤Ƥ�$\mu$��$C$���Ф���$k(\mu,C) \neq 0$����$k(\mu,C) \neq \infty$�Ǥ��롥�������äƤ����ΰ�ˤ����ơ��ۤȤ�ɤ��٤Ƥ�$C$��$\mu$���Ф���$W^u(\gamma)$��$W^s(\gamma)$�ϲ���Ū�˸��롥

����ɤ�$C=C^*$���礭���ȤäƸ��ꤷ�褦����Τ��Ȥ��顢���뽽ʬ�礭��$C^*$�����äơ�����$\mu$���Ф���$k(\mu,C^*) \neq \infty$����$k(\mu,C^*) \neq 0$�Ǥ��롥$k(\mu,C)$�β������ˤ�ꡢ�⡹����ͭ�¸Ĥ��ͤ�����Ƥ��٤Ƥ�$\mu \in [0,1]$���Ф���$k(\mu,C^*) \neq \infty$����$k(\mu,C^*) \neq 0$�Ǥ��뤳�Ȥ��狼�롥

����������Ҥ٤Ƥ�����򽪤������

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 2.} ����ͭ�¸Ĥ��ͤ�����Ƥ��٤Ƥμ�����$\mu$���ͤ��Ф��ơ�����䥳��������ͤ����äƼ�����ƻ$\gamma$�ΰ��ꤪ����԰���¿���Ρ�$W^s(\gamma)$��$W^u(\gamma)$���ϲ���Ū�˸��롥


\vspace{0.3cm}
�ʲ��Ǥϡ����»�������˲���Ū�ۥ⥯��˥å���ƻ��¸�ߤ��뤳�Ȥε���Τ����Ĥ��򵭽Ҥ��褦��


\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf 4. ��͵�ƻ�ȿ�ư��ƻ} 

Smale-Birkhoff�Υۥ⥯��˥å������ˤ�ꡢ������ƻ�β���Ū�ۥ⥯��˥å���ƻ��¸�ߤ�����������������äƥ������ˤʤ롥�ʤ��󤺤������줫������Ĺ�������μ�����ƻ��̵�¤ˤ��뤳�Ȥ��Ф�(����줬�����Ǹ��Ĥ���������ƻ�Ϥ�Ȥ�Ȥ����»�������μ�����ˤ��б����ʤ����⤷��ʤ����Ȥ��Ŧ���Ƥ������ʤ��ʤ�����ϳ��ѿ�$s$�򿷤��������ѿ��Ȥ��ƻȤäƷϤμ����򲼤�������Ǥ��롥���Τ褦�ˤ��Ƹ��Ĥ������������̾��Ȥ����»�������ν��������б�����)�������Ǥβ���Ū�ۥ⥯��˥å���ƻ��̵�¤�¿������͵�ƻ�ȿ�ư��ƻ��¸�ߤ��̣���뤳�Ȥ򼨤��������»�������ˤ����ơ���ƻ��\underline{��ưŪ}�Ȥ�����Τϡ�$t \rightarrow \pm \infty$�ΤȤ�$\limsup r = \infty$����$\liminf r < \infty$�ΤȤ��Ǥ��롥������$r$�ϸ��������$P_3$�ε�Υ$r = \sqrt{q_1^2+q_2^2} = x^{-2}$�Ǥ��롥�ޤ���ƻ��\underline{���}��ƻ�ȸƤФ��Τϡ�$t \rightarrow \pm \infty$�ΤȤ�$r \rightarrow \infty$�Ǥ��ä�$t \rightarrow \mp \infty$�ΤȤ�$\limsup r < \infty$�ξ��Ǥ��롥

Moser[9]�ˤ������äơ��ۥ⥯��˥å����ζ᤯��ɬ�פʵ����ϳؤ��Ω���ƿ�ư���¸�ߤ򼨤�����

$s_0$����ꤷ�Ʋ�����$\Gamma = \Sigma^{s_0}$��Ȥ롥$C$���ͤ��礭���Ȥ���$\Gamma$������󵢼����Ϥ�������������Ƥ��롥$p$���������β���Ū�ۥ⥯��˥å����Ȥ���$R$��2�Ĥ��դ�$W^s(p)$��$W^u(p)$�ΰ����Ǥ��뾮����Ĺ�����Ȥ���(Fig.2����)��$\phi$����������¤�ˤ��������󵢼����Ȥ��롥

��$q \in R$���Ф��ơ�$k=k(q)$��$\phi^k(q) \in R$�Ȥʤ�(�⤷�����)�Ǿ����������Ȥ��롥���Τ褦��$k>0$����Ĥ��٤Ƥ�$q \in R$�ν����$D$��ɽ�魯�����Τ褦���֤���
$$ \begin{array}{lcl}
 \tilde{\phi}(q) = \phi^k(q) & {\rm for \ all} & q \in D.
   \end{array} 
$$
Moser�Ϥ��μ���$\tilde{\phi}$��$R$���Ф���$\phi$��\underline{����}�����ȸƤ������ñ�ˤ狼��褦�ˡ�$D$�϶�����ǤϤʤ������ξ塢̵�¤�¿���ε��椫��ʤ���(shift)Ʊ�������$D$�������ळ�Ȥ��Ǥ��롥

\vspace{3.0cm}
\hspace{5cm} Fig.2

\vspace{4.0cm}
\noindent
{\bf ���� 3.} ���Ǽ���$\tilde{\phi}$�˴ؤ���������ʬ����$I \subset D$�ǡ�����$S =  N^Z$(̵�¸Ĥε�����ξ̵����ζ���)��Ʊ��ʤ�Τ����ꡢ$I$��β��Ǽ���$\tilde{\phi}$��$S$��ο�ܼ����˰��궦��Ǥ��롥��������С�$\tau$��Ʊ�����$\tau:S \rightarrow I$�Ȥ���$\sigma$��$S$�ο�ܼ����Ȥ���С��������롥
$$
  \tilde{\phi} \tau = \tau \sigma.
$$

\vspace{0.3cm}
���������ξ�����[9]�򻲾Ȥ��줿����

���������ϡ�ɸ��ŪSmale-Birkhoff�ۥ⥯��˥å������Ȱ�äơ���ܶ��֤�̵�¸Ĥε������äƤ��롥������̵�¸Ĥε��椬ɬ�פʤΤϿ�ư���¸�ߤ򼨤�����Ǥ��롥Ǥ�դ�$q \in I$���Ф��ơ�$k(q)$���礭����е�ƻ�ϸ��������˶᤯���̲᤹��Ϥ��Ǥ��롥���������Ϥ������˽Ф롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 4.} $I$������3��Ϳ�����뽸��Ȥ���$q \in I$���б�����$S$�ε�������ͭ���Ǥ���褦�����Ȥ���ȡ��б����뵰ƻ�Ͽ�ưŪ�Ǥ��롥�椨�˿�ư����б�����$I$��������Ļ���¸�ߤ��롥

\vspace{0.3cm}
��$s = \{ \ldots, s_3, s_2, s_1, s_0, s_1, s_2, s_3, \ldots)$��$\sup \{ s_i, i \in Z \} = \infty$�ΤȤ���ͭ���Ǥ���Ȥ����뤳�Ȥ����դ��褦��

��͵�ƻ��������Τϴ�ñ�Ǥ��롥Fig.2�˼������褦�ˡ�������Ĺ����$R'$��$R''$��ͤ�������Ǥ褤��

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf 5. ���»�������������ʬ��}

��ʬ��ǽ���γ�ǰ�����Ū���������򤤡�¾�οͤ����»��������¾����ʬ���ܤ��Ƥ���Ȥ��ˡ��ݥ��󥫥�(1989)[10]�ϡ��ä��٤����Ȥˡ��褯�Τ�줿�䥳����ʬ�ʳ��˼²�����ʬ��2�Ĥμ����μ��̤˴ؤ��Ƥ����Ū����ʬ���ʤ��Ȥ�����̣�����꤬�������ʬ�פǤ��뤳�Ȥ򼨤�����������$\mu$��Ǥ�դ����̤��ͤ˴ؤ��Ƥ���ʬ��ǽ�Ǥ��뤫�ɤ������Τ��Ƥ��ʤ��ä�������Ū�ۥ⥯��˥å�����¸�ߤ���м²�����ʬ��¸�ߤ��ʤ����顢�����ϼ������������롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 5.} �����Ĥ���ͭ�¸Ĥ��ͤ�����Ƽ����μ�����$\mu \in [0,1]$��Ǥ�դ��ͤ��Ф��ơ��褯�Τ�줿�䥳����ʬ�ʳ��˼²�����ʬ����ʬ�ϱ����»�������ˤϤʤ���

\vspace{0.3cm}
���������ϥݥ��󥫥�θ�ŵŪ�������ĥ���ơ�$P_1$��$P_2$�μ������ͭ�¸Ĥ��Ͱʳ��Τ��٤Ƥ��ͤ��Ф������»������꤬�������ʬ�פǤ��뤳�Ȥ��ĥ���롥���Ԥϡ��������������٤Ƥ�$\mu$�˴ؤ������������Ȥ򿮤��Ƥ��롥���¡�Ǥ�դ�$\mu$����ꤹ��ȡ��ۤȤ�ɤ��٤ƤΥ䥳��������Ф��Ʋ���Ū�ۥ⥯��˥å�������������ԤϹͤ��Ƥ��롥

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf References} 

\re
1. V.M. Alekseev, Quasirandom dynamical systems, I, II, III, {\it Math. USSR-Sb.} {\bf 5} (1968), 73-128; {\bf 6} (1968), 505-560; {\bf 7} (1969), 1-43.

\re
2. R. Easton, Parabolic orbits for the planar three-body problem, {\it J. Differential Equations} {\bf 52} (1984), 116-134.

\re
3. R. Easton and R. McGehee, Homoclinic phenomena for orbits doubly asymptotic to an invariant three-sphere, {\it Indiana Univ. Math. J.} {\bf 28} (1979), 211-240.

\re
4. J. Guckenheimer and P. Holmes, {\it Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields}, Springer-Verlag, New York, 1983.

\re
5. J. Llibre and C. Sim\'{o}, Some homoclinic phenomena in the three-body problem, {\it J. Differential Equations} {\bf 37} (1980), 444-465. 

\re
6. J. Llibre and C. Sim\'{o}, Oscillatory solutions in the planar restricted three-body problem, {\it Math. Ann.} {\bf 248} (1980), 153-184. 

\re
7. R. McGehee, A stable manifold theorem for degenerate fixed points with applications to celestial mechanics, {\it J. Differential Equations} {\bf 14} (1973), 70-88.

\re
8. R. Moeckel, Heteroclinic phenomena in the isosceles three-body problem, {\it SIAM J. Math. Anal.} {\bf 15} (1984), 857-876.

\re
9. J. Moser, {\it Stable and Random Motions in Dynamical Systems}, Annals of mathematics Studies, No.77, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1973.

\re
10. H. Poincar\'{e}, {\it Les m\'{e}thodes nouvelles de la m\'{e}canique c\'{e}leste} III, Gauthier-Villars, Paris, 1899.

\re
11. C. Robinson, Homoclinic orbits and oscillation for the planar three-body problem, {\it J. Differential Equations} {\bf 52} (1984), 356-377.

\re
12. D. Saari and Z. Xia, The existence of oscillatory and superhyperbolic motion in Newtonian systems, {\it J. Differential Equations} {\bf 82} (1989), 342-355.

\re
13. K. Sitnikov, The existence of oscillatory motion in the three-body problem, {\it Dokl. Akad. Nauk USSR} {\bf 133} (1960), 303-306.

\re
14. A. Weinstein, Lagrangian submanifolds and Hamiltonian systems, {\it Ann. of Math.} {\bf 98} (1973), 377-410.


\end{document}