\begin{flushright}
ë����δ ��
\end{flushright}

\noindent
{\it Annals of Mathematics} {\bf 135} (1992), 411-468

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\Large
{\bf �˥塼�ȥ�Ϥˤ�����������ð�����¸�� \\
The existence of noncollision singularities \\
in newtonian systems} 
}

\vspace{0.3cm}
Zhihong Xia

\vspace{0.3cm}
Georgia Institute of Technology, Atlanta, Georgia
\end{center}

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf ��} 
\end{center}

������ʸ�Ǥϥѥ���(Painlev\'{e})�ȥݥ��󥫥�(Poincar\'{e})������������Ф���Ĺ����̤���Ǥ��ä�ŷ���ϳؤ������򤯡������$n$��������ð������ܼ��˴ؤ����ΤǤ��롥�˥塼�ȥ��$n$�������������ð����Ϥ��뤫�������ǹ���Ū��������Ф���5�������������ð��������뤳�Ȥ��������ΤǤ��롥

�桼����åɶ���${\bf R}^3$��Ǳ�ư����$n$������ͤ��롥$i$���ܤ�γ�Ҥμ��̤�$m_i>0$�Ȥ������ΰ��֤�${\bf q}_i \in {\bf R}^3$�Ȥ���$\dot{\bf q}_i \in {\bf R}^3$��®�٤Ȥ��롥�˥塼�ȥ��ˡ§�ˤ��С�
$$
  m_i \ddot{\bf q}_i = \sum_{j \neq i} 
\frac{m_im_j}{|{\bf q}_i - {\bf q}_j|^3} ({\bf q}_i - {\bf q}_j) 
= \frac{\partial U}{\partial {\bf q}_i}. 
\leqno(0.1)
$$
�����������$ \ \ddot{ \ } \ $�ϻ��֤˴ؤ��룲����ʬ��ɽ�路��$U$����Υ˥塼�ȥ�ݥƥ󥷥�뤢�뤤�ϼ��ʥݥƥ󥷥���ɽ�魯:
$$
  U  = \sum_{j<i} \frac{m_im_j}{|{\bf q}_i - {\bf q}_j|}. 
$$
ŷ���ϳؤδ�������Ϸ�(0.1)�β�򵭽Ҥ��뤳�ȤǤ��롥

��ʬ�������Ϥβ򤬻���$\sigma<\infty$�ˤ������ð�����и�����Ȥϡ���$\sigma$��ۤ��Ʋ�����³�Ǥ��ʤ��Ȥ��Ǥ��롥��ư������(0.1)��2�İʾ��γ�Ҥ�ʪ�����֤�Ʊ����������������Ƥ�����Ȥ����²���Ū�Ǥ��롥��äȾܤ��������ʤ顢
$$ \begin{array}{l}
  \Delta_{ij} = \{ {\bf q} = ({\bf q}_1,{\bf q}_2, \cdots, {\bf q}_n) \in ({\bf R}^3)^n) | {\bf q}_i = {\bf q}_j \}, \\
\displaystyle 
  \Delta = \displaystyle \cup_{i<j} \Delta_{ij} ,
   \end{array}
$$
�Ȥ��������ʥݥƥ󥷥��$U$��$({\bf R}^3)^n \backslash \Delta$��μ²��ϴؿ��Ǥ��롥����ʬ��������ɸ��Ū¸�ߤ���Ӱ�����������鼡�η�̤������롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 0.1.} ${\bf q}(0) \in ({\bf R}^3)^n \backslash \Delta$�����$\dot{\bf q}(0) \in ({\bf R}^3)^n$��Ϳ����줿�Ȥ������٤Ƥ�$0 \leq t < \sigma$���Ф���������줿��դβ�${\bf q}(t)$��¸�ߤ��롥������$\sigma$�϶���Τ�Τ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{���} 0.1. $\sigma < \infty$�ʤ顢��${\bf q}(t)$��$\sigma$�ˤ������ð�����и�����ȸ����롥

\vspace{0.3cm}
��������С���$\sigma$�ˤ������ð�����и�����Τϡ�����ʬ��������ɸ��Ū¸�ߤ���Ӱ���������ˤ�äƲ�򤳤�ʾ���³�Ǥ��ʤ��ʤä��Ȥ��Ǥ��롥����ð����ϥݥƥ󥷥��ؿ�$U$���ð����˴ط�����Ϥ��Ǥ��뤳�Ȥ��狼�롥���¡���ŵŪ�����ˤ��С�γ�Ҥ���ߵ�Υ�κǾ��ͤ��ð����ˤ����ƥ����˶�Ť��Ϥ��Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 0.2}(�ѥ��١�1895). ${\bf q}(t)$��$\sigma$�ˤ������ð�����и�����ʤ顢��������Ω�ġ�
$$ \begin{array}{ccc}
  {\bf q}(t) \rightarrow \Delta & {\rm as} & t \rightarrow \sigma . 
   \end{array}
$$

\vspace{0.3cm}
���������ξ�����Siegel \& Moser����[20]�ˤ��롥

$t \rightarrow \sigma$�ΤȤ�${\bf q}(t)$��$\Delta$��η�ޤä����˶�Ť��ͤФʤ�ʤ��Τ���������${\bf q}(t)$��$\Delta$�˶�Ť��ˤĤ�Ʒ㤷����ư���뤫�⤷��ʤ�����$\Delta$�˶�Ť��ˤĤ����ͭ���ˤʤ뤫�⤷��ʤ���
$t \rightarrow \sigma$�ΤȤ�${\bf q}(t)$��${\bf q}^*$�˶�Ť��ʤ顢��γ�Ҥϻ���$\sigma$�ˤ���˸°��֤�����Ĥ���${\bf q}^* \in \Delta$�Ǥ��뤫�顢�˸°��֤Τ������ʤ��Ȥ⣲�Ĥϰ��פ���Ϥ��Ǥ��롥�Ĥޤꡢ$t \rightarrow \sigma$�ΤȤ���������γ�ҤϾ��ͤ��롥�������äƼ�����������롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{���} 0.2. ${\bf q}(t)$��$\sigma$�ˤ������ð�����и�����Ȥ��롥�����ð�����\underline{�����ð���}�ȸ�����Τϡ�${\bf q}^*$�����ä�$t \rightarrow \sigma$��${\bf q}(t) \rightarrow {\bf q}^*$�ΤȤ��Ǥ��롥����ʳ��ΤȤ����ð�����\underline{������ð���}�Ȥ����롥

\vspace{0.3cm}
�����ޤǸ�ŵŷ���ϳؤ�$n$��������ð������ܼ��δ����ʲ����ˤϤ����äƤ��ʤ��������ð�����¸�ߤ�¿���Ȥ⼫���Ǥ��뤬��������ð�����¸�ߤ��뤫�ɤ����ϣ��������Υѥ��٤λ��夫��̤���Ǥ��롥��������˴ؤ��뼡�������ϥѥ��٤ˤ�롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 0.3.} $n=3$�ʤ餹�٤Ƥ��ð����Ͼ����ð����Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
�������äơ�$n \geq 4$�ΤȤ���������ð��������뤫�ɤ���������Ǥ��롥

������ʸ�Ǥ�������ð��������뤳�Ȥ򼨤��ƥѥ��٤������򤯡�5�������¸�ߤ�������롥�����ǤΤ�������������$n>5$��$n$������Ǥ�Ʊ�ͤΤ��Ȥ������롥

���������ޤ������������ˤ��ñ�˿����֤�����

�ѥ��٤�����β�ؤν��פʰ����von Zeipel[25]��1908ǯ�˵�������$t \rightarrow \sigma$�ΤȤ����٤Ƥ�γ�Ҥΰ��֤�ͭ���ˤȤɤޤ�ʤ顢�ð����Ͼ��ͤˤ�뤳�Ȥ���ϼ�����������������ȡ�������ð���������������Τϡ�ͭ�»��֤�γ�ҷϤ���ͭ���ˤʤ�Ȥ������Ǥ��롥

���Τ���������
$$
   I = \sum_{i=1}^n \frac{1}{2} m_i |{\bf q}_i|^2,
$$
�Ȥ�����������$I$�ϷϤδ����⡼���ȤǤ��ꡢ�Ϥ��礭����¬�롥$I$��2����ʬ��Ȥ�Х饰��󥸥�-�䥳�Ӥ�������
$$
   \ddot{I} = U + 2h ,
$$
�����롥${\bf q} \rightarrow \Delta$�ΤȤ�$U \rightarrow \infty$���������ä�$\ddot{I} \rightarrow \infty$�Ȥʤ뤳�Ȥ��ǧ�����ߤ���������̿��Ϥ��λ��¤ȥѥ��٤�����0.2�����ưפ˾����Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ̿�� 0.1.} $\sigma$��(���ͤ��뤤�������)�ð����Ȥ��롥���ΤȤ�$t \rightarrow \sigma$�ΤȤ�$\lim I \leq \infty$��¸�ߤ��롥

\vspace{0.3cm}
�����von Zeipel[25]�������򼡤Τ褦�˽Ҥ٤뤳�Ȥ��Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 0.4}(von Zeipel). $\sigma$���ð����Ǥ��äơ�$t \rightarrow \sigma$�ΤȤ�$\lim I < \infty$�ʤ�$\sigma$�Ͼ����ð����Ǥ��롥������$\sigma$��������ð����ʤ�$t \rightarrow \sigma$�ΤȤ�$\lim I = \infty$�Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
���������κǽ�ξ�����[25]�ˤ��롥���������˴ؤ�����˳��Ѥ���Ӹ���Ū�����˴ؤ��Ƥ�McGehee[9]�򻲾Ȥ��줿�����¤ΤȤ���������������¾�ο��ͤˤ�äƤ��������Ƥ��롥���Ȥ��С�1920ǯ��Chazy[2]��1970ǯ��Sperling[24]��1973ǯ��Saari[16]������Ǥ��롥Saari��von Zeipel�η�̤��ܼ�Ū�˳�ĥ���������⡼���Ȥ��֤�ä����Ѥ��פʤ�������ð����ϵ��������ʤ����Ȥ򼨤�����ŷ���ϳؤˤ������ð����ؤκǶ�ζ�̣��1970ǯ���Ƭ��Saari�����Pollard�λŻ��˰ͤ�Ȥ�����¿��([13]-[17]����)��

von Zeipel�����������ܤ��٤���̤Ǥ��롥������ð����ε�����ͣ���ƻ�ϡ�ͭ�»��֤˷Ϥ�̵�±�ˤޤ���ȯ���뤳�ȤǤ���ȸ��äƤ��롥���Τ���������ð����ϰ츫�Բ�ǽ�˻פ��롥�Ȥ����Τϡ�ͭ�»��֤�γ�Ҥ�̵�±�˹Ԥ�����ˤ�̵����α�ư���ͥ륮�����������ɬ�פ����뤫��Ǥ��롥���������ݥƥ󥷥�륨�ͥ륮��$U$�ˤ��줬�ʤ��Τǡ�γ�Ҥα�ư���ͥ륮���˾�¤Ϥʤ��ΤǤ��롥�ºݡ�McGehee \& Mather([6]-[8])�κǶ�η�̤ˤ��С�����ͤ����Ƥ������ϡ��ѥ��٤�����ؤι���Ū�ʲ�ϵ��路���������Ƥ��롥���¡������ð������Ĥ�ޤ���McGehee�Υƥ��˥å�����������ð����������뤿��κ�������ʤΤǤ��롥

����0.2��ꡢ$\sigma$�ˤ�����${\bf q}(t)$��������ð�����и�����ʤ顢$t \rightarrow \sigma$�ΤȤ�${\bf q}(t) \rightarrow \Delta$�Ǥ��롥���Τ��Ȥ��顢ʪ�����֤�������ð�����Ǥ�դζ�˵�˾����ð���������Ϥ��Ǥ��뤳�Ȥ���������롥���ξ��ͤ��ܼ�Ū�����Ūʬ�����Ǥ��äƲ���Ū�ˤ��뤤�ϴ�����Ū����§���Ǥ��ơ�����ȿȯ�Ȥ��Ƽ�갷���롥������ð�����Ǥ�դζ�˵��3�ΰʾ��γ�Ҥˤ������ð���������Ϥ��Ǥ��뤳�Ȥ������ľ��Ū�ˤ��ΤäƤ��롥�������äơ�3�ΰʾ��γ�Ҥξ��ͤˤ������ð������������򤹤뤳�Ȥ�������ð�����Ĵ�٤�Τ��ܼ�Ū�Ǥ��롥

�����ð�����Wintner[26]��Siegel \& Moser[20]��Saari \& Pollard[13]-[17]������Ӥ���¾�οͤˤ�ä�Ĵ�٤��Ƥ��������Ͼ���γ�Ҥζ˸�Ū�դ�ޤ��˴ؤ��Ƥ����Ĥ����פʷ�̤����Ƥ��롥1974ǯ��McGehee[7]�ϻ��ξ��ͤ�Ĵ�٤�Τ��Թ�Τ褤���ܤ��٤���ɸ���Ȥ�Ƴ�����������Ǥ˻�Ŧ�����褦�ˡ�$U$�Ϥ��٤Ƥξ����������ƤϤ��餺������֤ˤϥ٥��ȥ����������ʤ��ַ�פ�����ΤǤ��롥ͭ�»��֤ˤ����ð�����ã���뵰ƻ�����ꡢ�ޤ������ð��������ȯ���뵰ƻ�⤢�롥���ξ塢�����Ρַ�פζ᤯�ǤηϤζɽ�Ū�դ�ޤ�������ʣ���Ǥ������롥�������ʤ��顢McGehee�κ�ɸ�ˤ�äƤ����β�Τդ�ޤ������Ū�ưפ��ɤߤȤ뤳�Ȥ��Ǥ��롥

McGehee�ϡֶ˺�ɸ�פ��Ѥ����ð���������Ĥ�ޤ�����������¿���ΤȸƤФ�����Ѷ������֤������롥�ϳطϤϤ��ζ����ˡʻ��֤μ����Ѵ��θ�ǡ˳�餫�˳�ĥ����롥�������Ƴ�ĥ���줿����־�Ǥο�����ή�줬�����롥���ο�����ή��򶭳������¤���ȡ��������ưפ�����Ǥ��롥����ϡָ���Ū��Morse-Smaleή�Ǥ��롥��������ʣ�����ϳطϤζ����˴�ñ�ʷϤ򸫤Ĥ����ΤǤ��롥�����Ƥ��λ��¤��顢�ð����᤯�β�Τդ�ޤ����ưפ�����Ǥ���ΤǤ��롥

McGehee�κ�ɸ��Ȥä�ľ��3������([7]��[6]��[19]����)�������ջ�������([3]��[4]��[10]��[11]����)�λ��ξ��͡���������������ץ顼����([4]����)������Ĵ�٤��Ƥ���������¿���ο�������̤������λŻ���������졢�ޤ������Ĥ��θ�ŵŪ��̤����Ū�ưפ˺ƾ������줿��McGehee�κ�ɸ�Τ�äȤ���פ���ħ�ϡ������ð���������¿���ξ�Τ����ж���ư�����б����뤳�ȡ������ͭ�»��֤Ǿ��ͤ�ã���뵰ƻ�������Ѵ����줿���֤Ǥ�̵�»��֤����äƤ�������ã���뤳�ȤǤ��롥�������äư����ϳطϤ�ɸ��Ū��ˡ���Ȥ�����������ư���ΰ��ꤪ����԰���¿���Τ�Ĵ�٤뤳�Ȥˤ��˭�٤��ϳع�¤�򸫤Ĥ��뤳�Ȥ��Ǥ���ΤǤ��롥�������򤬼����������롥

�����ο�����ȯ������Ǥ�Mather \& McGehee[6]��������ܤ��٤��Ǥ��롥�����������ð�����¸�ߤ˴ؤ���ѥ��٤�����ؤ������򸫤Ĥ���Τ˸�����Ϳ������Mather \& McGehee��ľ��4������ˤ����ƽ���ͤΥ���ȡ��뽸����Ф���ͭ�»��֤���ͭ���ʲ�������������ʤ��������$\sigma$���Ф���$t \rightarrow \sigma < \infty$�ΤȤ�$I \rightarrow \infty$�ʤ����������ΤǤ��롥������ľ��4������Ǥ����ξ��ͤ��Բ���Ǥ��뤫�顢������������������ͤȤ��Ʊ�Ĺ���줿���ξ��ͤ�̵�¸Ĵޤࡥ������ȯ�ۤ˴�Ť���Anosov[1]��Mather \& McGehee������������ζ�˵��ʿ��4�������������ð��������뤳�Ȥ򼨺����������������Τ�����Ϥޤ��������Ƥ��ʤ���

������ʸ�Τ�Ȥ�Ȥ���(�ذ���ʸ�η���)���в�ä����Ȥ��̤ʤ������Gerver[5]��ʿ��3N�������$N$�������礭���Ȥ�������ð�����¸�ߤ��ĥ���Ƥ��롥

������Ǥϼ��̤�Ҥ١���������ˤ�����������ð۲�򵭽Ҥ��롥�����Ƥʤ����Τ褦�ʱ�ư��¸�ߤ��뤫�˴ؤ���ľ��Ū�ʹͤ���Ϳ���롥��ʸ�λĤ�Ϥ��ξ����˽��Ƥ��롥

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf 1. ����������Ӥ��ξ����γ�ά}
\end{center}

�桼����åɶ���${\bf R}^3$���ư����5�Ĥμ���$m_1, m_2, \cdots, m_5$��ͤ��롥$m_1=m_2$�����$m_4=m_5$�Ȥ��롥$m_3$�ϤĤͤ�$z$���ˤ��ꡢ$m_1$��$m_2$�ϤĤͤ�$z$���˴ؤ����оΤʰ��֤ˤ��ꡢ$m_4$��$m_5$��$z$���˴ؤ����оΤʰ��֤ˤ���褦�ʽ���������֡��ſ������ˤȤ�ȡ���ͳ�٣����ϳطϤ��������롥

���ηϤϥ��ͥ륮����ʬ����ӳѱ�ư����ʬ����ġ���������Ū�Τ��ᡢ�ѱ�ư�̥�����Ķ���̡�11���������Ūvariety���ä����¤��롥$\Omega$�򤳤�¿���Τ�Ǥ�դΥ��ͥ륮��Ķ���̤Ȥ��롥$\Omega$��10�����Ǥ��롥

�褯�Τ��Ƥ���褦�����ξ��ͤϲ���Ū��ˡ�ޤ���Easton�Υ֥��å���§���ˤ�ä���§���Ǥ��롥������ʸ���̤��ơ���ƻ�����ξ��ͤ�ۤ��Ʊ�Ĺ����Ƥ���Ȥ���ή���ͤ��롥ͭ�»��֤���ͭ���ˤʤ��Ȥ��ƹ�������ǽ�Τ�Τ����ξ��ͤ�ޤ��ǽ�������롥��ˡ�������ͭ�»��֤���ͭ���ʲ����ˡ����ξ��ͤ���٤�и����ʤ���ƻ�����뤳�Ȥ�������롥���Τ褦�ˤ���������ð�����¸�ߤ��Ω���롥

$m_1,m_2,m_3$�����$m_3,m_4,m_5$�δ֤λ��ξ��ͤ��ä˽��פǤ��롥$m_1,m_2,m_3$�����ξ��ͤ���˻��ˤϤ����Ĥ���ƻ�����롥��ŵŪ�ʷ�̤ˤ��С�γ�Ҥ����ͤ˶�Ť��ˤĤ�ơ��濴�޷��ȸƤФ���۰̤˶�Ť����������̤ʣ�����������ꤹ��ˤ����ä�$m_1,m_2,m_3$���Ф��ƣ��Ĥ��濴�۰̤򸫤Ĥ������ҤȤĤ�$m_3$��ޤ�ʤ��Ȥ���ľ���۰̤Ǥ��ꡢ�Ĥ��2�Ĥ�$m_1,m_2,m_3$�������ѷ���ʤ��۰̤Ǥ��롥���Τ����ҤȤĤ�$m_3$�����ˤʤ��Ρ������$E_+$��ɽ�魯���⤦�ҤȤĤ�$m_3$����ˤʤ��Ρ������$E_-$��ɽ�魯��$\Sigma_1$��$\Omega$����ʬ����Ǥ��äơ�$m_1,m_2,m_3$���˸��۰�$E_+$�ʤ뻰�ξ��ͤǽ����褦�ʤ��٤Ƥν����狼������Ȥ��롥$\Sigma_1$��;����$2$�ΤϤ����¿���ΤǤ��뤳�Ȥ򼨤���Ʊ�ͤ�$\Sigma_4$��$\Omega$����ʬ����Ǥ��äơ�$m_3,m_4,m_5$���˸��۰�$E_-$������ʻ��ξ��ͤǽ����褦�ʤ��٤Ƥν����狼������Ȥ��롥$\Sigma_4$��;����$2$�ΤϤ������ʬ¿���ΤǤ��롥

������ʸ����ɸ�ϼ��Σ��Ĥ�������������뤳�ȤǤ��롥���ξ��ͤ���§������Ƥ��뤳�Ȥ�פ������Ƥۤ�����

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 1.1.} ���μ���$m_1=m_2,m_3,m_4=m_5$��¸�ߤ��Ƽ�������Ω�ġ�$x^* \in \Sigma_1$���Ф���$t^*$��$x^*$���ȯ���뵰�פ���������Ȥ��롥$x^*$�������${\bf q}_4(x^*,t^*) = {\bf q}_5(x^*,t^*)$�ˤǤ��롥���ʤ����$x^*$�����ȯ���뵰�פ�$m_1,m_2,m_3$��$t^*$�Ǿ��ͤ���Ȥ���Ʊ����$t^*$��$m_4$��$m_5$�����ξ��ͤ��Ƥ��롥$x^*$�ˤ�����$\Sigma_1$���ڤ�$\Omega$��Τ���3����Ķ����$\Pi$���Ф��ơ��ʲ������������������Ļ�����$\Lambda$��$\Pi$���¸�ߤ��롥$x \in \Lambda$�Ȥ��롥$t_{\infty}>0, t_{\infty}<\infty$�����äơ������$x$�����ȯ���뵰�פϤ��٤Ƥλ���$0 \leq t < t_{\infty} < \infty$�ˤ錄�ä��������(���ξ��ͤϷи�������)��������������
$$ \begin{array}{cccc}
  z_1(t) = z_2(t) \rightarrow \infty, & 
z_4(t)=z_5(t) \rightarrow -\infty & {\rm as} & t \rightarrow t_{\infty}.
   \end{array}
$$

\vspace{0.3cm}
���������ͭ�»��֤���ͭ���ˤʤ���¸�ߤ���äƤ��뤬������������������ð�����¸�ߤ��ĥ���롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 1.2.} $x^*, \Pi, \Lambda$������1.1�Τ�ΤȤ��롥$x^* \in \Sigma_1, \Pi \subset \Omega$��¸�ߤ��Ƽ�������Ω�ġ�$\Lambda$����Ļ���ʬ����$\Lambda_0$�����äơ����٤Ƥ�$x \in \Lambda_0$���Ф���${\bf q}_1(t) \neq {\bf q}_2(t),{\bf q}_4(t) \neq {\bf q}_5(t)$�����٤Ƥ�$0 \leq t < t_{\infty}$������Ω�ġ����ʤ����$\Lambda_0$�����ȯ������������ð�����и����롥

\vspace{0.3cm}
��������ξ�����Ĺ���ޤ�ʣ���Ǥ��롥����椨2�Ĥ������η���Ū�ʾ����򤹤����ˡ�����Ūȯ�ۤΤ����Ĥ���������ʷ��ǳ��Ѥ��褦��

���Ǥ˽Ҥ٤��褦�ˡ�������ʸ����Ū��5������ˤ�����ʪ�����֤�ͭ�»��֤���ͭ���Ȥʤ�褦�ʥ˥塼�ȥ�ư��¸�ߤ�������뤳�ȤǤ��롥���Τ���̵�¤�¿�������ξ��ͤν�����ڤꤺ�ˤ��α�ư��¸�ߤ򼨤��ͤФʤ�ʤ��������ϳ�Ū�դ�ޤ����ظ�ˤ���ȯ�ۤ�ñ��Ǥ��롥��������ˤ����ƣ��Τ����Ĥ��ȤˤʤäƤ���Ȥ��롥���줾����Ȥ�γ�Ҥ�Ʊ�����̤���ĤȤ��롥���Ĥ�γ�Ҥϣ��Ĥ�Ϣ����������롥��Ϣ�����礭��Υ��Ψ�������$x-y$�̤�ʿ�Ԥ�����Ǳ�ư���롥���Ĥ�Ϣ���ΰ㤤���������⤦�����ΤϤ뤫��ˤ��ꡢ��ž�������դǤ��뤳�ȤǤ��롥��ž�����ΰ㤤�Τ������ǷϤ����ѱ�ư�̤򥼥��ˤ��뤳�Ȥ��Ǥ����ޤ����Ĥ�Ϣ���γѱ�ư�̤�Ǥ�դ˾��������뤳�Ȥ��Ǥ��롥

���������ܤ�γ�Ҥ�$z$�������¤���Ƥ��롥���Σ����ܤ�γ�Ҥο�ư���Ϥ��ư������ͭ���ʱ�ư���������롥���ηϤΤդ�ޤ��򸫤뤿��˼��Υ��ʥꥪ��פ��⤫�٤褦����ư����γ�Ҥ�Ϣ���ε�ƻ�̤��̲᤹��Ȥ��롥���κ�Ϣ���Ϥ��礦�ɺ��ܶ�˶�Ť��ĤĤ���Ȥ��롥Ϣ����������γ�ҤϤۤȤ�ɺ��ܶ����ˤ��뤫�顢�����ϣ����ܤ�γ�Ҥˤ�ᤤ��Sim\'{o}[21]�Ϥ��Τ褦�ʶ���͵�ƻ��McGehee�ξ���¿���Τ�ȤäƲ��Ϥ���([3]�����[10]�⻲��)�����򤤤Τϡ������μ�����(���Ȥ��У����ܤ�γ�Ҥμ��̤�¾����٤Ƥ��ʤ��礭��)�Ǥϡ���Τ褦���ܶ�ˤ�äƣ����ܤ�γ�Ҥ�Ϣ���ε�ƻ�̤˰����᤽���Ȥ��붯���Ϥ�Ư�����ȤǤ��롥���Τ���ˣ����ܤ�γ�Ҥϵ���ꤷ��Ϣ�������礦��Υ��褦�Ȥ���Ȥ���Ϣ���ε�ƻ�̤��̲᤹�롥���Υ����ߥ󥰤������ܤ�γ�Ҥ����α����Ϥ���롥�դˡ�����ˤ�äƣ����ܤ�γ�Ҥ���®�Ǥ⤦�ҤȤĤ�Ϣ���˸����ä�ư�����䤬�Ƥ��Σ��ηϤκ���-ȿ���Ѥθ��̤ˤ�ꡢ��Ȥ�Ϣ����$x-y$�̤���ɤ�ɤ�󤶤��롥

��ư�Ϥ��ȤϤ��Υ��ʥꥪ���༡�����֤��������롥�����ܤ�γ�Ҥ�Ϣ���ΤҤȤĤ˶�Ť����Ӥ˥����ߥ󥰤����ޤ���äơ����Τ��ܶ�ˤ�ꡢ�����ܤ�γ�Ҥ������ᤵ���®����Ƥ⤦�ҤȤĤ�Ϣ���˸��������񤷤��ΤϤ��Υ��ʥꥪ���ºݤ˵����뤳�Ȥ򼨤����ȤǤ��롥���򤤤��Ȥˡ����Τդ�ޤ��ϣ����ܤ�γ�Ҥμ��̤��빽�礭���Ȥ��˵����롥

���Υ����ߥ���ϵ����ϳؤε�����Ȥä�ã������롥���������ε�����Ȥ�
���ˡ���ߺ��Ѥ��ϳؤˤĤ��Ƥ����Ĥ��̤����Ǥ��Ω����ɬ�פ����롥�Ȥ��ˡ�
��ư��ͭ�»��֤���ͭ���ˤʤ�ʤ顢��ư����γ�Ҥؤβ�®���̤�̵�¤��礭��
�ʤ�ɬ�פ����롥�������äƳ�Ϣ�����ܶ��Υ��̵�¾��ˤʤ�ͤФʤ�ʤ�����
����������ϻ�����ߺ��Ѥ�����ʪ�Ȥ��ƤΤߵ�����ΤǤ��롥�����餳����ʸ
������ʬ�Ϥ��μ�λ�����ߺ��Ѥ��ϳؤ���������������Ÿ�����뤿�����䤵
��롥�����ϣ��ᤪ��ӣ����Ϳ���롥�ºݤλ��ξ��ͤȻ��ξ���¿���Τϣ���
�ǹͤ�������Ǥ϶��ܾ��͵�ƻ�˽����򤪤���

Ϣ����̵�¾����ܶᤫ���̤ο��ۤ������롥������Ϣ���Ͼ��ͤ��뤫?Ϣ����
�ѱ�ư�̤����٤Ƥλ��֤ˤ錄�äƥ����Ǥʤ���о��ͤϤ��ʤ���������갷
������ˡ����ͤ��򤱤��������ʬ�򵭹��ϳؤε�������˼����ࡥ�����鵭
���ϳؤ˴ޤ��٤���Τϡ�Ϣ������ñ���������ӽФ�����®�٤˴ؤ�������
Ϣ����(��ž������ʱ�)���֤ξ���Ǥ��롥����ˡ����Ĥλ��������Ĥʤ��ơ�
ñ���������Ĥ�Ϣ���δ֤�ư�����뤳�Ȥ򼨤�ɬ�פ����롥�桹��ȯ��������
�����ˤ��ȡ����������֤��ΰ�ˤ�ä���ħ�Ť����롥�֤����ӡפȸƤ�
��뤳�����ΰ��(���ξ��ͤ��б�����)��������ΰ���¿���Τؤΰۤʤ뵰ƻ
�ζᤵ�ˤ�äơ��ޤ��԰���¿���ΤȤ����Ȥδط��ˤ�äƷ����롥Ϣ��
�γ��ܶ���Ф��ơ֤����ӡפ�פ��⤫�٤뤳�Ȥ��Ǥ��롥�Ȥ����Τϡ�������
�������Ϣ���ȿ�ưγ�Ҥδ֤�Ŭ�����ܶ᤬���ĵ�����Τ��Ȥ������Ȥ��б���
��ɬ�פ����뤫��Ǥ��롥�����Τ����Ӥϣ����Ƴ�����롥����Ǥϵ����ϳ�
�ε�����Ԥ���ͭ�»��֤���ͭ���ˤʤ뱿ư���Ω���롥�Ǹ�ˣ�����������
������¸�ߤ��Ω���롥

�ʲ�����Ǥ������ջ��ѷ���������Ȥ��˻��ξ��ͤζ᤯���̲᤹����Ĵ�٤롥

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf 2. �����ջ��ѷ���������---���ξ���¿����}
\end{center}

������ǤϤ����������ջ��ѷ���������ȸƤФ���ü�ʥ����פλ���������ä�¤��������������${\bf R}^3$���3γ�ҤΤ������о�������ı�ư�򰷤���$m_1=m_2=m$�����$m_3=m_3$�Ȥ�����$m_3$���Ĥͤ�$z$����ˤ��ꡢ$m_1,m_2$���Ȥ�$z$���˴ؤ��Ƹߤ��ˤ��Ĥ��оΤˤʤ�褦�ʽ���ͤ����֡��ſ������˸��ꤹ��Ȥ���ϼ�ͳ��3���ϳؤηϤǤ��롥

${\bf q}_1,{\bf q}_2,{\bf q}_3$�����$\dot{\bf q}_1,\dot{\bf q}_2,\dot{\bf q}_3$�򤽤줾��$m_1,m_2,m_3$�ΰ��֤����®�٥٥��ȥ�Ȥ��롥
${\bf q}_1 = (x,y,z) \in {\bf R}^3, \dot{\bf q}_1 = (\dot{x},\dot{y},\dot{z}) \in {\bf R}^3$�Ȥ���ȡ��о�����ꡢ${\bf q}_2 = (-x,-y,z) \in {\bf R}^3, \dot{\bf q}_2 = (-\dot{x},-\dot{y},\dot{z}) \in {\bf R}^3$�Ǥ��롥
�ſ��������ˤ��뤫�顢$2mz+m_3z_3=0$�����$2m\dot{z}+m_3\dot{z}_3=0$�Ǥ��롥������${\bf q}_3 = (0,0,z_3)$�����$\dot{\bf q}_3 = (0,0,\dot{z}_3)$�Ǥ��롥$T$��$U$��Ϥα�ư���ͥ륮������Ӽ��ʥݥƥ󥷥��Ȥ���ȼ��Τ褦�˽񤱤롥
$$ \begin{array}{l}
 T = m(\dot{x}^2+ \dot{y}^2) + m(1+2 \alpha) \dot{z}^2, \\
 U = \displaystyle \frac{1}{2} mm_3 \left[ \alpha(x^2+y^2)^{-1/2} + 
4(x^2+y^2+(1+2\alpha)^2z^2)^{-1/2} \right] . 
   \end{array}           \leqno(2.1)
$$
������$\alpha =m/m_3$��$m_1$(�ޤ���$m_2$)��$m_3$�μ�����Ǥ��롥

$M$��$3 \times 3$�гѹ���diag$[2m,2m,2m(1+2\alpha)]$�Ȥ�������������롥
$$ \begin{array}{ll}
  \xi = M^{1/2} \left( \begin{array}{ccc}
    x \\
    y \\
    z 
                    \end{array} \right), \ &
  \eta = M^{1/2} \left( \begin{array}{ccc}
    \dot{x} \\
    \dot{y} \\
    \dot{z}
                     \end{array} \right). 
   \end{array}
$$
���ο������ѿ��ϥϥߥ�ȥ�ؿ���
$$
  H = \frac{1}{2} | \eta |^2 - U(\xi),
$$
�Ȥ���ϥߥ�ȥ�����������������������
$$
  U(\xi) = \frac{1}{\sqrt{2}} m^{3/2} m_3 \left[ \alpha(\xi_1^2+\xi_2^2)^{-1/2} + 4(\xi_1^2+\xi_2^2+(1+2\alpha)^2\xi_3^2)^{-1/2} \right] , 
$$
�Ǥ��롥��ư�������ϼ��Τ褦�˽񤱤롥
$$ \begin{array}{cc}
  \dot{\xi} = \frac{\displaystyle \partial H}{\displaystyle \partial \eta}, \ &
  \dot{\eta} = - \frac{\displaystyle \partial H}{\displaystyle \partial 
\xi}. 
   \end{array}
$$

���������Ū�ϻ��ξ��Ͷ᤯�α�ư�����򤹤뤿���ɬ�פ�ƻ���ȯŸ�����뤳�ȤǤ��롥���Τ���ˤ�McGehee���ѿ�[8]��Ƴ������Τ����������$r=|\xi|, {\bf s} = r^{-1} \xi, {\bf z} = r^{1/2} \eta$�Ȥ����������ѿ�$t$��$dt = r^{3/2} d \tau$�ˤ�ä�$\tau$���Ѥ��롥����ȱ�ư�������ϼ��Τ褦�ˤʤ롥
$$ \begin{array}{l}
   r' = ({\bf s} \cdot {\bf z}) r, \\
   {\bf s}' = {\bf z} - ({\bf s} \cdot {\bf z}) {\bf s}, \\
   {\bf z}' = \nabla U({\bf s}) + 
\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}({\bf s} \cdot {\bf z}) {\bf z}. 
   \end{array}   \leqno(2.2)
$$
������$ \ ' \ $�Ͽ����������ѿ�$\tau$�ˤ����ʬ��ɽ�魯��������$|{\bf s}|=1$�Ǥ��롥���줫����ɸ��Ȥ����Ȥ���������롥���Τ褦�ˤ�����
$$
  {\bf s} = (s_1, s_2, s_3) = 
(\cos \theta \cos \phi, \sin \theta \cos \phi, \sin \phi).
$$
����ȥ٥��ȥ�
$$ \begin{array}{l}
 {\bf u}_1 = {\bf s}, \\
{\bf u}_2 = \displaystyle \frac{\partial {\bf s}}{\partial \theta} = 
(- \sin \theta \cos \phi, \cos \theta \cos \phi, 0), \\
{\bf u}_3 = \displaystyle \frac{\partial {\bf s}}{\partial \phi} = 
(- \cos \theta \sin \phi, - \sin \theta \sin \phi, \cos \phi) ,
   \end{array}   \leqno(2.3)
$$
�ϡ�$\phi \neq \pm \pi/2$�ΤȤ�${\bf R}^3$��ľ���(����ľ���ǤϤʤ�)��ʤ����������ä�${\bf z}$�򤳤δ���Ȥ�ʬ��Ǥ��롥${\bf z} = v{\bf u}_1 + w_2{\bf u}_2 + w_3{\bf u}_3$�Ȥ�(
������$v={\bf z} \cdot {\bf u}_1 = {\bf z} \cdot {\bf s},
w_2=({\bf z} \cdot {\bf u}_2) / ({\bf u}_2 \cdot {\bf u}_2),
w_3={\bf z} \cdot {\bf u}_3$�Ǥ���)��
�ޤ�(2.2)����Ȥ��ȡ��ѿ�$(r,\theta,\phi,v,w_2,w_3)$�˴ؤ����������������롥���Τ褦�ˤ��Ƽ��������롥
$$ \begin{array}{l}
   r' = v r, \\
   \theta' = w_2, \\
   \phi' = w_3, \\
   v' = \displaystyle \frac{1}{2} v^2 + w_2^2 \cos^2 \phi 
        + w_3^2 - U(\phi), \\
   w_2' = - \displaystyle \frac{1}{2} vw_2 + 2w_2w_3 \tan \phi, \\
   w_3' = \displaystyle U'(\phi) - \frac{1}{2} vw_3 
          - w_2^2 \cos^2 \phi \tan \phi . 
   \end{array}   \leqno(2.4)
$$
������$U(\phi) = \frac{1}{\sqrt{2}}m^{3/2} m_3[\alpha \sec \phi + 4(1+2 \alpha \sin^2 \phi)^{-1/2}]$�Ǥ��롥

�ݥƥ󥷥�륨�ͥ륮��$U(\phi)$��$\theta$�˰ͤ�ʤ����Ȥ����(2.4)���α��դ�$\theta$��ޤޤʤ����Ȥ����դ��褦����������֤β�ž�˴ؤ���$U$������������Ӥ��η�̤Ȥ��Ƥγѱ�ư�̤���¸��ȿ�Ǥ��Ƥ��롥$w_2$�˴ؤ��뼰��$U$��ޤޤʤ���������$c=r^{1/2}w_2 \cos^2 \phi$����ư������Ǥ��뤳�Ȥ���ñ�ˤ狼�롥$c$�ϼ¤ϷϤ����ѱ�ư�̤Ǥ��롥����椨�����γѱ�ư����ʬ��Ȥä�����������$w_2$��õ�Ǥ��롥�ޤ��٥��ȥ�줬$\theta$��ޤޤʤ�����$\theta$�μ���̵��Ǥ��롥(���������֤�$r, u, v, w_2, w_3$���֤˼ͱƤ��뤳�Ȥ������Ǥ���.) �Ǹ�ˡ��Ƴѱ�ư�̶��־�μ�ͳ��2�ηϤˤ��ɤ�Ĥ���������������򤹤�������äơ�$c$�ˤϤ�ä����ʰ���$r^{1/2}$���դ��Ƥ��뤫�顢�ѱ�ư�̥����ζ��̤�$r=0$��$w_2=0$�Ȥ������Ĥ���ʬ��������variety�Ǥ��뤳�Ȥ��狼��($c \neq 0$�ΤȤ����ζ��̤�¿���ΤǤ���)������variety��$c$���������Ȥ��α�ư�β��Ϥ����ݤˤ��롥������$w_2$�μ���ä����ˤ�����$\theta$��̵�뤹�롥�Ĥä��Τϡ�$(r, \phi, v, w_2, w_3)$�˴ؤ���5������ʬ�������ϤǤ��롥�����Ǥ⥨�ͥ륮����ʬ
$$
\displaystyle 
  \frac{1}{2}( v^2 + w_3^2 + w_2^2 \cos^2 \phi) - U(\phi) = rh ,
$$
�����롥

�������ϤǤϡ�$m_1$��$m_2$�����ξ��ͤˤ���ð�����$\phi= \pm \pi/2$�ˤ��롥�����ð������ѿ��Ѵ��Ǽ������롥$w=w_3 \cos \phi, u=w_2 \cos^2 \phi$�Ȥ�����������٥��ȥ���$\cos \phi$�򤫤��롥��������Ω�ѿ��˴ؤ�����ʬ���Ϥ�$ \ ' \ $��ɽ�碌�С����������롥
$$ \begin{array}{l}
   r' = v r \cos \phi, \\
   \phi' = w, \\
   v' = \displaystyle U(\phi) \cos \phi - \frac{1}{2} v^2 \cos \phi 
        + 2rh \cos \phi, \\
   w' = \displaystyle U'(\phi) \cos^2 \phi - \frac{1}{2} vw \cos \phi - 
(2U(\phi) + 2rh - v^2) \sin \phi \cos \phi, \\
   u' = \displaystyle - \frac{1}{2} vu \cos \phi .
   \end{array}   \leqno(2.5)
$$
�����ǥ��ͥ륮���ط�����
$$
\displaystyle 
  \frac{1}{2}( v^2 \cos^2 \phi + w^2 + u^2 ) - 
U(\phi) \cos^2 \phi= rh \cos^2 \phi.
$$
���ƥ٥��ȥ��(2.5)�Ϥ�����Ȥ�������Ū�Ǥ��롥�ؿ�$U(\phi) \cos \phi$��$U'(\phi) \cos^2 \phi$�����٤Ƥ�$\phi \in [-\pi/2, \pi/2]$���Ф��Ʋ���Ū������Ǥ��롥

$r$�˴ؤ���������$r'=rv \cos \phi$��ꡢ$r=0$��ή�������¿���ΤǤ��뤳�Ȥ��狼�롥ή�줬$r=0$�ˤޤǲ���Ū�˳�ĥ���졢���ξ����ð���������Ū¿���Τ��֤�������줿���Ȥ����դ��褦�����ξ��ͤ˽���뵰ƻ��$\tau \rightarrow \infty$�ΤȤ�����¿���Τ˸����������ξ��ͤ������ӽФ���ƻ��$\tau \rightarrow -\infty$�ΤȤ�����¿���Τ˸�����������¿���ξ�α�ư�Ϥ��������Ū�ʤ�ΤǤ��뤬������¿���Τζ᤯���̲᤹�뵰ƻ�Ϥ���¿���ξ�β���Ū��ƻ��ʤ���Ϥ��Ǥ��롥�椨�ˡ�����¿���ξ�α�ư�����򤹤�С�����͵�ƻ�˴ؤ��Ƥ��ʤ�ξ��������롥���޹ͤ��Ƥ�������ξ�硢ͭ�»��֤���ͭ���ʵ�ƻ�Ϸ����֤����ξ��ͤζ᤯���̲᤹��Ϥ��Ǥ��뤫�顢������ð����������뤿��ˤϻ��ξ��;��ή���Ĵ�٤뤳�Ȥ����˽��פǤ��롥

$M$��$r=0$�Τ���¿���ΤȤ��롥��������ʿ�������ջ��ѷ���������λ��ξ���¿���ΡפȸƤܤ���������λĤ�Ǥ�$M$���ή�졢�Ȥ�����ư������Ӥ��ΰ��ꡦ�԰���¿���Τ����դ��椷�褦��

$r=0$�Ȥ����(2.5)���ϼ��Τ褦�ˤʤ롥
$$ \begin{array}{l}
   \phi' = w, \\
   v' = \displaystyle U(\phi) \cos \phi - \frac{1}{2} v^2 \cos \phi, \\
   w' = \displaystyle U'(\phi) \cos^2 \phi - \frac{1}{2} vw \cos \phi - 
(2U(\phi) - v^2) \sin \phi \cos \phi, \\
   u' = \displaystyle - \frac{1}{2} vu \cos \phi .
   \end{array}   \leqno(2.6)
$$
�ޤ����ͥ륮���ط����⼡�Τ褦�ˤʤ롥
$$
  \frac{1}{2}( v^2 \cos^2 \phi + w^2 + u^2) - U(\phi) \cos^2 \phi= 0.
$$

��ä�Ǥ�դΥ��ͥ륮��$h$���Ф���$M$��Ʊ���������Ƿ�ޤꡢ���ξ��ή���(2.6)���Ƿ�ޤ롥

����Ū��$M$��3�����夫��4�����������ΤǤ��롥

(2.6)����ꡢ$u=0$�ΤȤ�$u'=0$�����롥������$u=0$��$M$��������ʬ¿���ΤǤ��롥����¿���Τ�$M_0$��ɽ�魯��($u$��$x-y$�̤Ǥβ�ž��¬���ѿ��Ǥ��ä����Ȥ�פ���������.) �����$M_0$�ϼ�����Ϳ�����롥
$$
  \frac{1}{2}( v^2 \cos^2 \phi + w^2 ) - U(\phi) \cos^2 \phi= 0 . 
$$
��Ϳ�����롥$M_0$���ή��ϼ������������롥
$$ \begin{array}{l}
   \phi' = w, \\
   v' = \displaystyle U(\phi) \cos \phi - \frac{1}{2} v^2 \cos \phi, \\
   w' = \displaystyle U'(\phi) \cos^2 \phi - \frac{1}{2} vw \cos \phi - 
(2U(\phi) - v^2) \sin \phi \cos \phi . 
   \end{array}   \leqno(2.7)
$$
�¤ΤȤ�����$M_0$��$z$����ޤ�ʿ�������ջ��ѷ���������λ��ξ���¿���ΤǤ��롥�դĤ��ϡ��Ϥ���˳ѱ�ư�̤򥼥��ˤ��Ƽ��˻��ξ��ͤ��Ĥ�ޤ��Ƥ���¿���Τ�����ΤǤ��롥����¿���ξ��ή���Devaney[3]��[4]��Moeckel[10]��[11]�䤽��¾�ο͡������ϰϤˤ錄�ä�Ĵ�٤Ƥ�����

\vspace{1cm}
\hspace*{6cm} ��1

\vspace{5.5cm}
����Ū��$M_0$��2�����夫��4�������������ΤǤ��롥�ޣ��Ϥ��Υ���դ򼨤���$M_0$���ή��ˤ�6�Ĥ���ư�������롥ή���$v$�˴ؤ�����Ū(gradient-like)�Ǥ��롥���ʤ������6�Ĥ���ư��������ơ�$M_0$�ε�ƻ�˱�ä�$v$�ϸ�̩�����ä��롥(��(2.7)����ӥ��ͥ륮���μ����$v' \geq 0$�Ǥ��뤳�Ȥ�פ���������.)

���Ĥ��濴�޷��������ջ��ѷ�����������б����롥���Ĥ������ѷ��濴�޷�(���Ĥ�$z_3$�����Ǥ⤦���Ĥ���)��$m_3$��$m_1,m_2$�δ֤ˤ�����ľ���濴�޷���1�ĤǤ��롥������$E_+^*, E_+, E_-^*, E_-$��2�Ĥ������ѷ��濴�޷����б���$C,C^*$��ľ���濴�޷����б����롥$E_+, E_-$�����$C$�ΰ���¿���Τϣ��ξ��ͤ˽���뵰ƻ�Ǥ��ꡢ$E_+^*, E_-^*$�����$C^*$���԰���¿���Τϣ��ξ��ͤ˻Ϥޤ뵰ƻ�Ǥ��롥

$M_0$���$E_+,E_-,E_+^*,E_-^*$�ϥ��ɥ�(����)�Ǥ��롥$C$�ϸ����Ǥ��ꡢ$C^*$�������Ǥ��롥����������Ǥϡ���Ǥ����ν���������$E_+$��$E_-$�ΰ��ꤪ����԰���¿���Τ˳��̶�̣�����롥

$E_+$��$E_-$���԰���¿���Τˤϣ��Ĥ��礭�ʲ�ǽ�������뤳�Ȥ����դ��롥$v$�Ϥ����ε�ƻ�˱�ä����ä���Ϥ������顢�԰���¿���Τ�ŵ��Ū��ʬ�ޤϻ��ξ���¿����$M_0$�κ��ޤ��ϱ��Ρ��ӡפ��ФäƹԤ������ޤ���������������ࡥ�԰���¿���Τ��ɤ��餫�Υ��ɥ�ΰ���¿���ΤȤԤä���Ĥʤ��äƤ��ޤ��褦�ʽ��ष��������ͭ�����롥

$\gamma^+$��$M_0$���$E_+$���԰���¿���Τ�ʬ�ޤǤ��ä�$E_+$�ζ᤯��$w$��ɸ�����Τ�ΤȤ���$\gamma^-$��$E_+$���԰���¿���ΤΤ⤦�ҤȤĤ�ʬ�ޤȤ��롥��2�ˤ�$\gamma^+$��$\gamma^-$��ŵ��Ū�ʤդ�ޤ��򼨤��Ƥ�������$\gamma^+$��$\gamma^-$�����줾�����¿���Τ�$\theta=\pi/2$�����$\theta=-\pi/2$���Ӥ��Ф�褦�ʼ��̤��Ȥϵ���(allowable)�Ǥ���ȸ������Ȥˤ��롥���Ƽ��̤��Ȥ��礭�ʳ����礬����(Devaney[3]��Sim\'{o}[21]����)��

$M_0$�˴ؤ���Ǹ�δѻ��ϡ��о����ˤ�ꡢ$E_-$���԰���¿���Τ�$E_+^*,E_-^*$�ΰ���¿���Τ�$\gamma^+$��$\gamma^-$�ˤ�äƴ����˷���Ǥ��뤳�ȤǤ��롥

����ʸ�ϡ��ͤ��������Ϥ��٤Ƶ��ƤǤ���Ȳ��ꤹ�롥

����$M$�����դ�����褦������ϣ���������${\bf R}^4$�������ޤ줿������¿���ΤǤ��äơ�$M_0$�Ϥ���������ʬ¿���ΤǤ��롥$M$��${\bf R}^3$��ˡ�ʬ����䤹�������Τ��񤷤����������ʤ��顢����줬��̣���äƤ���Τ�$M_0$�˶ᤤ$M$����ʬ�����Ǥ��뤫�顢$M$�򣲤Ĥ��оΤ���ʬ$u \geq 0$����ʬ��$u \leq 0$����ʬ��ʬ���뤳�Ȥ��Ǥ��롥ξ���Ȥ�ή��Τ�Ȥ����ѤǤ��ꡢ$M_0$�����̤ζ����Ǥ��롥����ʬ��${\bf R}^3$�ˤ�����$M_0$�˰Ϥޤ��Ω�Τȸ��ʤ�������Ω�ξ��$u$�ϥ��ͥ륮���ط���
$$
  u = \pm \sqrt{2U(\phi) \cos^2 \phi - (v^2 \cos^2 \phi + w^2)},
$$
�����ޤ롥

\vspace{4.0cm}
\hspace*{5cm} ��2

\vspace{8.0cm}
����$M$���ή���ͤ��롥��ñ�ˤ狼��褦�ˡ���ư����$u$�ϥ����ΤϤ��Ǥ��롥��ä�$M_0$��Τ�Ȥ�Ȥ�6�Ĥ���ư����$M$����ư�������Ǥ⤢�롥����ɤ�$M$���ή���$v$�˴ؤ��Ƹ���Ū�Ǥ��롥�������ư����$M$��ζɽ깽¤�����򤹤뤿��ˡ����������ˤ����ƥ٥��ȥ������������롥$(\phi, v, u, w)= (\phi^*, v^*, 0, 0)$�ϳ���ư���ˤ������ͤǤ���Ȥ��롥���ΤȤ�(2.6)����ꡢ
$$ 
 \left(              \begin{array}{c}
   \delta \phi' \\
   \delta v' \\
   \delta u' \\
   \delta w'        \end{array} \right) = 
 \left(              \begin{array}{cccc} 
   0    &   0   &   0   &  1 \\
   0    &   0   &   0   &  0 \\
   0    &   0   &  -\frac{1}{2}v^* \cos \phi^*   &  0 \\
  U''(\phi) \cos^2 \phi^*  &  0  &  0  & -\frac{1}{2}v^* \cos \phi^* 
                     \end{array} \right) 
 \left(              \begin{array}{c} 
   \delta \phi \\
   \delta v \\
   \delta u \\
   \delta w        \end{array} \right), 
$$
�����롥������$(\delta \phi, \delta v, \delta u, \delta w) \in TM | _{(\phi^*, v^*, 0, 0)}$�Ǥ��ꡢ��ư���ˤ������ܶ��֤�$\delta \phi, \delta u$�����$\delta w$�ˤ�ä�ĥ���롥$TM | _{(\phi^*, v^*, 0, 0)}$���$\delta v =0$�Ǥ��뤳�Ȥ����դ��褦��

����ư���ˤ����뤳���������������θ�ͭ�ͤϴ�ñ�˸��Ĥ����롥$C$�����$C^*$�ˤ����Ƥ�$U''(\phi)<0$�Ǥ��ꡢ�դ�����$C$��������$C^*$�������Ǥ��뤳�Ȥ��狼�롥$E_+, E_-, E_+^*$�����$E_-^*$�˴ؤ��Ƥ����С������Ϥ�Ϥꥵ�ɥ�Ǥ��롥$E_+$�ξ�硢$M_0$��˰����������԰�������������¾�ˡ�$M$��ˤ⤦�ҤȤĤ�ȿȯ���������롥���ο������԰���������$\delta u$������������Ƥ��롥���󤫤�Ƚ��Ȥ��ꡢ���ο����ʸ�ͭ�ͤ�$M_0$��Τ�Ȥ�ȤΤ�Τ��夤������¿���������ˤ��С�$E_+$��$M$���1��������¿���Τ�2�����԰���¿���Τ���ġ�

�о����ˤ�ꡢ$E_-, E_+^*, E_-^*$�ζɽ깽¤��$E_+$�ι�¤����Ф롥���Ȥ��С�$E_-$��$E_+^*$�ζɽ깽¤�Ϥ��줾��$v$�������$v=0$ʿ�̤��̤���$E_+$�ζɽ깽¤�����Τ�ȿ�Ǥ��Ƥ��롥

Un$(E_+)$��$E_+$�Σ������԰���¿���ΤȤ��롥���ΤȤ�$\gamma^+$�����$\gamma^-$�Ϥ���¿���ξ�ˤ��롥$\gamma^+$��$\gamma^-$�Ϥ��줾��$M_0$��$\theta=-\pi/2$�����$\theta=\pi/2$�ΤȤ������Ӥ��Фäƽ���뤫�顢$\gamma^+$��$\gamma^-$�Τ��뾮���ʶ�˵�⤳��2�ܤ��Ӥ��Фäƽ���롥

$\tau \rightarrow \infty$�ΤȤ���2�ܤ��ӤΤҤȤĤǻ��Ǥ�դε�ƻ���Ф��ơ�$v \rightarrow \infty, u \rightarrow 0,w \rightarrow 0, \phi \rightarrow \pi/2$�����롥ʪ��Ū�ˤϤ����$m_3$��Ϣ��$m_1,m_2$����Υ��Ƥ������Ȥ��б����롥���줫�飲�Ĥβ���Ū�������꤬Ƴ����롥�ҤȤĤ�$m_1$��$m_2$��Ϣ���Ǥ��ꡢ�⤦�ҤȤĤ�$m_3$��$m_1,m_2$�νſ��Ȥ�Ϣ���Ǥ��롥�ѿ�$v,u,w$�����$\phi$�϶˸°��֤ˤ��������������������������ΤߤǤ��롥�����鿷�����ѿ���Ƴ����������Ϣ��$m_1,m_2$�ζ˸°��֤��������ɬ�פ����롥���餫�������������롥�˸°��֤��ʱߵ�ƻ�Ǥ��뤫�顢�ʱߤ�Ĺ����Υ��Ψ���Ȥ��롥̵�뤷���ѿ�$\theta$�ϷϤ�$z$���ޤ��β�ž�о�����ȿ�Ǥ��Ƥ��롥�������ʱߵ�ƻ��Υ��Ψ��Ϳ����褦���ѿ��������������Ǥ褤�����Τ���ˡ�$w_{12}=|h_{12}c_{12}|c_{12}$�Ȥ�����������$h_{12}$��$c_{12}$�Ϥ��줾��
Ϣ��$m_1,m_2$�Υ��ͥ륮���ȳѱ�ư�̤Ǥ��롥�����$M$��ǤϤ��ޤ�����Ǥ��ʤ��̤˸����뤫�⤷��ʤ���$M$��Ǥ�$r=0$�Ǥ��ä�$h_{12}$��$r=0$�ǤϤ��ޤ�����Ǥ��ʤ�����Ǥ��롥������$w_{12}$��$r=0$�ޤǳ�ĥ�Ǥ��롥���ʤ����$w_{12}$��$M$��Ǥ��ޤ�����Ǥ���ؿ��ʤΤǤ��롥�ʤ��ʤ顢$h_{12}$��$c_{12}$�ϤȤ��$r$��ޤऱ��ɤ�$w_{12}$��$r$��ޤޤʤ�����Ǥ��롥���¡�
$$
  w_{12} = \left| \frac{1}{2}(v \cos \phi + w \tan \phi)^2 + 
\frac{1}{2} u \sec^2 \phi - m^{3/2} \sec \phi \right| |u| u.
$$
�ޤ����ξ��ͤˤ���ð�����$\phi = \pm \pi/2$�˻ĤäƤ��롥�������������ð�����ɸ��Ū�ʤ�����ǥ��ͥ륮����ʬ��ȤäƼ������롥

$u=0$��$M$���������ʬ¿���ΤǤ��뤫�顢$u$�����ʤ餺�ä����ˤȤɤޤ뤳�Ȥ��狼�롥������$\tau \rightarrow \infty$�ΤȤ�$u$�ϥ����˶�Ť���$w_{12}$�ξ��Ϥ��줬������ʤ����Ȥ򼡤�����ϼ����Ƥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 2.1.} $M$���Ǥ�դε�ƻ$\gamma$��$M$�Σ��ܤ��ӤΤɤ��餫�򤫤��Ф��Τ�ͤ��롥����$\tau_0$���Ф���$w_{12}(\gamma(\tau_0)) \neq 0$�ʤ顢���٤Ƥ�$\tau$���Ф���$w_{12}(\gamma(\tau)) \neq 0$�Ǥ��롥����ˡ�$\tau \rightarrow \infty$�ΤȤ��ζ˸�$\lim w_{12} (\gamma(\tau))$��¸�ߤ��Ƽ�������Ω�ġ�
$$
    w_{12}^{\infty}(\gamma) = \lim_{r \rightarrow \infty} 
w_{12} (\gamma(\tau)) \neq 0.
$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. ���������ľ�ܾ���������ˡ�ϡ�����������Ϥ�ơ�$\tau$���礭���ͤ��Ф��Ƶ�ƻ�˱�ä�$w_{12}(\tau)$���Ѳ���ɾ�����뤳�ȤǤ��롥��������������McGehee���Ѵ�����ħ�ΤҤȤĤ˴�Ť��ơ����ʤ��$r$�ѿ���¾�κ�ɸ����ʬΥ�Ǥ���Ȥ�����ħ��Ȥä��̤λ����ǿʤࡥ(����Ǥ��δط��򤵤��õ�᤹��.)

$M$��Υ٥��ȥ���(2.5)����$r=0$���֤��ǽ����������̵�뤹��������롥�Ȥ�����$h=0$�Ȥ���$r$����������̵�뤹��ȡ��ޤä���Ʊ���������Ϥ������뤳�Ȥ˵��Ť������Τ˸�������ˡ�$u_0 \neq 0$�Ȥ���$\phi_0,w_0,v_0$�����$u_0$��
$$
  \frac{1}{2}( v^2 \cos^2 \phi + w^2 + u^2) - U(\phi) \cos^2 \phi= 0 ,
$$
������������ͤǤ���Ȥ��롥�٥��ȥ��(2.6)��$M$��ε�ƻ���դ˷��롥�Ȥ�����Ǥ�դν����$r=r_0$��ä���������(2.5)��򤯤��Ȥˤ�ꡢ$\phi, w, v$�����$u$���Ф��Ƥޤä���Ʊ��������롥������(2.6)��Ϳ�������������ջ��ѷ������$h = 0$�����$c \neq 0$($u \neq 0$�����$c=r^{1/2}u = r_0^{1/2} u_0$)�ε�ƻ�Ǥ��롥�Ĥޤꡢ$r_0 \neq 0$����ꤹ���$h=0$�ε�ƻ��$M$��ε�ƻ�˰��а���б������롥$h=0$��Ǥ�դε�ƻ��$M$���Ӥΰ�Ĥ��Фäƽ�����Τϡ��жʡ��ʱ߷��ε�ƻ��ɽ�魯��������Ϣ��$m_1$��$m_2$�ζ˸��ʱߵ�ƻ��Υ��Ψ�ϸ�̩��1��꾮����(�Ĥޤ�$w_{12}^{\infty} \neq 0$)��$c \neq 0$�ΤϤ��Ǥ��롥�ʤ��ʤ顢$c_{12} = c \neq 0$��ư������[2]���Τ��Ƥ���褦�ˡ�$h_{12}$���������˶�Ť�����Ǥ��롥�椨��$w_{12} = |h_{12}c_{12}|c_{12}$�ϥ����Ǥʤ��˸��ͤ���ġ��������ä�$M$����б����뵰ƻ��Ʊ����������ġ���������꤬�������줿��\hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
���$h_{12}$�ζ˸��ͤϽ���ͤ�Ϣ³Ū�˰ͤ뤳�Ȥ��Ŧ���Ƥ�����������
$w_{12}^{\infty}(x)$��Ϣ³�ؿ��Ǥ��롥

�ޤ���$M$���ή���ʪ��Ū��������ʤ�����$M$���ή���$h=0$�Υ��ͥ륮��
Ķ���̤δ֤ΰ��а���б��ˤ��$M$���ή����в��Ǥ��뤳�Ȥ�Ĵ��������
�դ˾���¿���Τ������������ϥ������ͥ륮����Ķ���̾�α�ư�������٤�
���롥

����$E_+$���԰���¿����Un$(E_+)$�����դ�����褦���ޤ���$\gamma^+$(�ޤ�
��$\gamma^-$)�ζ᤯��Un$(E_+)$�˶ɽ��ɸ��Ƴ������ɬ�פ����롥Un$(E_+)$
��$v=0$�̤θ���ϳ�餫���Ķ����Ǥ��ꡢ�Ƶ�ƻ��$v=0$�̤����Τ˰��٤���
���롥($v'>0$������Ǥ���.) $\psi \in [0, 2\pi)$�򤳤��Ķ�����Υѥ�᡼
�����Ȥ���$\psi(\gamma^-)=0$�����$\psi(\gamma^+)=\pi$�Ǥ���Ȥ��롥
$\psi$��Ȥä�Un$(E_+)$��γƵ�ƻ��ʬ���롥

$\tau \rightarrow \infty$�ΤȤ�$\gamma^+$(�ޤ���$\gamma^-$)�ζ᤯�ε�ƻ
�Ϥ�������ӤΤҤȤĤ��ФäƤ������Ȥ򸫤��ߤ���������2.1�ˤ�ꡢ
$\gamma^+$(�ޤ���$\gamma^-$)�ζ᤯��Un$(E_+)$�������$w_{12}$�ζ˸¤ϥ�
���Ǥʤ��ͤ���������������2.1�ξ����θ�����դ�ꡢ$w_{12}^{\infty}$��
Ϣ³�ؿ��Ǥ��롥$0$�ޤ���$\pi$�ʳ���$\psi$���Ф��ƴؿ�$w_{12}^{\infty}$
���ͤ����餫�Ǥʤ����������б����뵰ƻ������$C^*$�ǻ�̤褦��$\psi$�γ�
���礬���äơ�������Ф��Ƥ�$w_{12}^{\infty}$�ϥ�������������

���Τ��Ȥ��Ŧ���Ƥ�����򽪤������Ǥ�դε��Ƥʼ��̤��Ȥ��Ф���
$w_{12}^*>0$�����$\psi$��2�Ĥζ��$[-\psi_1^*,\psi_1^*]$�����
$[\pi-\psi_2^*,\pi+\psi_2^*]$($\psi_1^*>0, \psi_2^*>0$)��¸�ߤ���
$|w_{12}^{\infty}|$��2�Ĥζ�֤�ξü���ˤ�������$w_{12}^*$��Ȥꡢ���٤�
��$\psi \in [-\psi_1^*,\psi_1^*] \cap [\pi-\psi_2^*,\pi+\psi_2^*]$���Ф�
��$|w_{12}^{\infty}(\psi)| \leq w_{12}^*$�Ȥʤ롥
