
\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf 3. �����ջ��ѷ���������---���ܾ��͵�ƻ}
\end{center}

���ξ���¿���Τ�Ĵ�٤���Ū�ϻ��ξ��ͤζ᤯���̤����ϳ�Ū�դ�ޤ������򤹤뤳�Ȥˤ��롥����򤹤�Τˡ�����Ǥ�$M$��α�ư��$h=0$��¿���ξ�α�ư�ΰ��а��б������Ѥ����������ǤϤ����б���ȤäƤ�äȱԤ���̤��ᡢ�ޤ������Ĥ�����Ū�ʲ��Ĵ�٤褦��

McGehee���Ѵ��Τ��Ф餷���ΤҤȤĤϷϤ��礭����ɽ�魯�ѿ�$r$��Ĥ���ѿ�����ʬΥ�Ǥ��뤳�ȤǤ��롥���Τ��Ȥ����Ѥ���ȥ��ͥ륮����ʬ���̤��ƷϤμ�����ҤȤĸ��餻�롥���ͥ륮���ط�����Ȥä�$r,h$��õ��С�(2.5)�κǸ�Σ��Ĥμ��ϼ��Τ褦�ˤʤ롥
$$ \begin{array}{l}
   \phi' = w, \\
   v' = U(\phi) \cos \phi - \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} 
v^2 \cos \phi + 
\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \cos \phi}
     (v^2 \cos^2 \phi + w^2 + u^2 - 2U(\phi) \cos^2 \phi), \\
   w' = U'(\phi) \cos^2 \phi - 
\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}vw \cos \phi  - 
(2U(\phi) - v^2) \sin \phi \cos \phi, \\
   u' = - \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} vu \cos \phi . 
   \end{array}   \leqno(3.1)
$$
�����������Ϥ�${\bf R}^3 \times (-\pi/2, \pi/2)$����������Ƥ��ꡢ$r$��$h$��ޤޤʤ������Υ٥��ȥ��ε�ƻ�Ϥ�ȤηϤε�ƻ�μͱƤǤ��ꡢ���εդ�����Ω�ġ�����������ȡ���ȤηϤ�Ǥ�դε�ƻ�ϡ�$h \neq 0$�ʤ�ñ�˥��ͥ륮����ʬ��ȤäƵ�ޤ뤷��$h=0$�ʤ�(2.5)�κǽ�μ�$$
   r' = vr \cos \phi,
$$
����ʬ���Ƶ�ޤ롥

����ɤ�٥��ȥ��(3.1)�ˤϡ�$m_1,m_2$�����ξ��ͤˤ���ð�����$\phi = \pm \pi/2$�ˤ��뤳�Ȥ��狼�롥�����(2.5)���ð����ǤϤʤ����Ȥ����Τϡ�����ϥ��ͥ륮���μ���Ȥä���§������Ƥ�������Ǥ��롥�ͱƤ���ȺƤӸ�����ΤǤ��롥������������Ͽ����ð����ǤϤʤ����顢Easton�Υ֥��å���§��ˡ�Ǽ������롥�桹�Ϥ����Ԥʤ����������ð�������ζ᤯�ǡ��������٥��ȥ��ε�ƻ�Ϥ�Ϥ�(2.5)����������٥��ȥ��ε�ƻ�μͱƤˤʤäƤ��롥���٤����Ԥäơ����ο�������§���Ϥ�$N$��ɽ�魯�������Ǵ�ñ�Τ���˲��˲������¿���Τ�$N$��ɽ�魯��$\phi= \pm \pi/2$�ˤ����ƥ٥��ȥ�����§���Ϥΰ�̣�ǻȤ���Ȥ�������Τ�Ȥǡ�������(3.1)�Ͼ�Υ٥��ȥ���������롥��§���μ�����Τ�������(3.1)�Τߤ˰�¸���뤳�Ȥ��Ŧ���Ƥ�����$h$��$r$��������ͤˤϰͤ�ʤ��ΤǤ��롥

\vspace{4.0cm}
\hspace{5cm} ��3

\vspace{4.0cm}
��Ȥ�ȤΥ��ͥ륮���ط������鼡�����롥
$$
  \frac{1}{2}( v^2 \cos^2 \phi + w^2 + u^2) - U(\phi) \cos^2 \phi= 0 
\leqno(3.2)
$$
�����$N$���������ʬ¿���ΤǤ��롥����ϻ��ξ���¿���Τ��������Ǥ��뤫�顢����¿���Τ�$M$�ȵ�������������Ĵ���Ƥ��������Τϡ����ޤ���������Ǥ�$M$�ϻ��ξ���¿���ΤǤ���Ф���Ǥʤ�$h=0$������¿���ΤǤ⤢�뤳�ȤǤ��롥�ޤ�����¿���ξ��ή��Ϥ�ȤηϤμͱƤ��б����Ƥ��롥�����餳������Ū��Ʊ���ˤ�äơ����ο�����$M$��������$r=0$�λ��ξ���¿���ΤФ���Ǥʤ���$h=0$����$r>0$�ε�ƻ��ޤ�ΤǤ��롥$r=0$������¿���Τ�$h=0$������¿���Τ�Ʊ��뤹��Τϡ����ͥ륮���ط�����$r$��$h$���Ѥη��Ǥ������äƤ��ʤ����Ȥˤ�롥

$M$���ή��ˤĤ��Ƥ�����ǵ���������$N$���ή��򸫤뤿��ˡ�$N$���$u$�򥼥��Ȥ�������ʬ¿����$N_0$��������褦������������ʬ¿���Τ�$z$���μ���˲�ž���ʤ���($u=0$)��Ʊ���Ǥ��롥������$N_0$�ϣ�����¿���ΤǤ��ꡢ$N_0$��${\bf R}^2 \times (-\pi/2, \pi/2)$�ˣ��ܤ�ľ����ä�����Τȸ��뤳�Ȥ��Ǥ��롥�����ǣ��ܤ�ľ�������ξ��ͤ��б����롥$N_0$���ή����3�˼�����

$M_0=N_0 \cap M$�Ȥ��������ΤȤ�$M_0$��$N_0$��������ʬ¿���ΤǤ��äơ����ξ��ή��ϡ��Ȥ���������λ��ξ���¿����$M_0$���ή��Ȥ��̤˲�ᤵ��롥������$M_0$�϶��֤��ٹ礦���Ĥ���ʬ��ʬ���롥$M_0$�Ρ������פ��ʤ��
$$
  \frac{1}{2}( c^2 \cos^2 \phi + w^2 ) - U(\phi) \cos^2 \phi < 0 , 
\leqno(3.3)
$$
��Ϳ�����뽸��Ϥ�ȤηϤ�$h<0$�μͱƤ��б����롥Ʊ�ͤ�$M_0$�Ρֳ�¦�פϤ�ȤηϤ�$h>0$�μͱƵ�ƻ�ν����Ʊ��뤵��롥$M_0$�太��ӳ�¦��ή���$v$�˴ؤ�����Ū�Ǥ��롥������$M_0$��������ή��Ϥ��Τ��ޤ�(nice)����������ʤ�������ϻ������꤬$h<0$�ΤȤ�ʣ���Ǥ���Ȥ����褯�Τ�줿���¤��б����Ƥ��롥

$N_0$�ˤϤ����Ĥ�ľ����ƻ�����롥������$E_+^*E_+, E_-^*E_-$�����$C^*C$����ľ���Ǥ��ꡢʿ������޷�(homothetic)����б����롥[26]���Ѹ�ˤ��С�ʿ������޷���ϴ������ͤ˻Ϥޤ꤫�Ľ�����Ǥ��äơ������۰̤��濴�޷����ݤġ�

$N$�β��Ϥ������������ȥ��ͥ륮����ʬ�ȳѱ�ư����ʬ�����ޤ��������ʤ��Ȥ�������˽в񤦡��Ȥ����Τϡ���ʬ���Ȥ��$r$��ޤफ��Ǥ��롥���κ�����ä��뤿��ˡ������2�Ĥα�ư������礷��$N$���Ф�����ʬ�����褦��$e = |hc|c$�Ȥ��������ʤ����
$$
  e = u \left| u 
\frac{\displaystyle \frac{1}{2} (v^2 \cos^2 \phi + w^2 + u^2) - U(\phi) \cos^2 \phi} {\displaystyle \cos^2 \phi} \right| . \leqno(3.4)
$$
$e$���ͤ�$r$�˰ͤ�ʤ���$N_0$��Ǥ��ޤ��������Ƥ��ꡢ���Ĥ���ʬ���ѤǤ��뤫�顢�����������(3.1)�α�ư�ι��̤Ǥ��롥

���򤤤��Ȥˡ�$M_0$��6�Ĥ���ư���˲ä��ƤҤ��Ȥο�������ư����$N$�ˤ��롥�����2�Ĥο�������ư���ϡ�$m_3$�������ˤ��ä�$m_1$��$m_2$���ۤʤ������˱߱�ư�򤷤Ƥ��뤳�Ȥ��б����롥

����ɤ�$N$�����ư��$E_+$(Ʊ�ͤ�$E_-,E_+^*,E_-^*$)��ͤ��褦��$E_+$������������¿���Τȣ������԰���¿���Τ���ĥ��ɥ�Ǥ��뤳�Ȥϴ�ñ�ˤ狼�롥����Ǽ������̤��԰���¿���Τ�2�Ĥ�������$M$��ˤ��롥2�����ΰ���������$N_0$��ˤ��ꡢ��3�˼����Ƥ��롥$E_+$�ΰ��ꤪ����԰���¿���Τ�$e=0$��������������variety��ˤ��롥

���ƶ��ܾ��͵�ƻ���������������Ǥ�����$x^* \in {\rm St}(E_+)$�Ȥ��롥���ʤ��������ϻ��ξ��ͤ˽���뵰ƻ�Ǥ��롥�ޤ�$E_+$�ΰ���¿����St$(E_+)$��;����2��¿���ΤǤ��롥$x^*$�ˤ�����St$(E_+)$�˲���Ū��2����������$\Gamma$��ͤ��褦��

Ķʿ��$u=0$��$x^*$�˶ᤤľ����$\Gamma$�ȸ��뤳�Ȥ����դ��롥����ľ����ʿ��������б����뤫��$x^*$�Ϥ���ľ����ˤ���Ϥ��Ǥ��롥

$\Gamma$�������ν���ȹͤ���$\Gamma$�����ȯ���뵰ƻ��ͤ��롥�����ε�ƻ��Ĵ�٤�ˤ����äơ���ư���ΰ���¿���Τν�ʬ�᤯�����ȯ���뵰ƻ��Ǥ�դ˱󤯤ޤǤ�����ư�����԰���¿���Τ˱�ä�ư�����Ȥ������¤����Ѥ��롥�������ä�$\Gamma$���$x^*$�ζ᤯�����ȯ���뵰ƻ��$E_+$���԰���¿����Un$(E_+)$��ε�ƻ�ΤҤȤĤ˱褦����������԰���¿���ξ�Τɤε�ƻ��shadow����뤫��$x$������Ū�ʽ�ȯ���ΰ��֤˰�¸���롥�Ȥ���$x^*$����¦��ľ��$u=0$�����ȯ���뵰ƻ��$\gamma^+$�ζ᤯���ä�ư����$x^*$�Τ⤦������¦�����ȯ����С�$\gamma^-$�ζ᤯���ä�ư����

$E$�ζɽ�Ū��¤��$x^*$��ƻ�˱�ä��̤ä�$\Gamma$�ޤǤ��ɤ�����Un$(E_+)$��γƵ�ƻ���б�����$x^*$�ǽ����$\Gamma$��ζ��������äơ����ζ�����$x$�˶ᤤ��������Ф��Ƥϵ�ƻ��Un$(E_+)$����б����뵰ƻ�˶�Ť���

\vspace{1.0cm}
\hspace{6.0cm} ��4

\vspace{4.5cm}
�����ε�ƻ�����򤹤�ˤϻ��ξ���¿����$M$���������줿�ѿ�$w_{12}$(2�Ỳ��)��ɬ�פȤ��롥$w_{12}$�������$N$�˳�ĥ���졢$w_{12}$��$w_{12}^{\infty}$��Ϣ³���ϴ�ñ�˼����롥

�Ȥ��˶�̣��������Τϡ�$\Gamma$��ζ����Τ���$\psi = \pm \psi_1^*$�ʤ�Un$(E_+)$�ε�ƻ���б������ΤǤ��롥$\psi_1^*$������κǸ���������Ƥ��롥�����ζ����˱�ä�$x$��$x^*$�˶�Ť��ȡ�$x$��ƻ(���ʤ��$x$�����ȯ���뵰ƻ)��Un$(E_+)$��$\psi = \pm \psi_1^*$�ʤ��б����뵰ƻ�˶�Ť����������äƤ����ζ����˱�ä�$x$��$x^*$�˶�Ť��ˤĤ��$w_{12}^{\infty}(x)$��$\pm w_{12}^*$�˶�Ť���

��ʬ¿����$u=0$��ε�ƻ�ξ��$w_{12}^{\infty}(x)=0$�Ǥ��ä����Ȥ�פ��������������$u=0$�ΤȤ��ϷϤ�ʿ������Ǥ��ä�$w_{12} \equiv 0$������Ǥ��롥

$w_{12}^+$��$w_{12}^+ < w_{12}^*$�ʤ������Ȥ��롥��ε�����Ȥ��аʲ��ξ���������$\Gamma$���2�ܤζ���$c^+,c^-$�����뤳�Ȥ��狼�롥

(1) �ƶ�����$x^*$����Ϥޤꡢ$c^+$���$u>0$��$c^��$���$u��0$�Ǥ��ꡢ�ޤ�

(2) ���٤Ƥ�$x \in c^+$���Ф���$w_{12}^{\infty}(x) = w_{12}^+$�Ǥ��ꡢ���٤Ƥ�$x \in c^-$���Ф���$w_{12}^{\infty}(x) = -w_{12}^+$�Ǥ��롥(��ο�4����.)

�����ξ�Ҥι���ˡ��ꡢ$c^+, c^-$�����$c$�ˤ�äƷ���������ΰ��$x$���Ф��ơ�$x$�ε�ƻ��$M$���ӤΤ���$\phi=\pi/2$�����˶�Ť���������$c$��$x^*$�˶ᤤ�����Ǥ��äơ�$c^+$��$c^-$���֡�

��ǹ������������ӤϤ����ؤ󾮤������Ȥ⤢�����롥�����Ӥ����ȯ���뵰ƻ���äȾܤ���Ĵ�٤뤿��ˡ�¿����$N$�ؤβ����̤�Ƴ�����褦��

$v^+$���礭������$v^+ \gg 0$�Ȥ��롥$N$���$v=v^+$�ʤ����̤�ͤ��褦���������̤�3�����Ǥ��롥$v^+ \gg v(C^*)$�Ǥ��뤳�Ȥ��������롥������$C^*$��$N$��ľ���濴�޷�����ư���Ǥ��ꡢ$v(C^*)>0$�Ǥ��롥$N_0$���ή��ϸ���Ū�Ǥ���$N_0$�Τɤε�ƻ�⡢$C^*$��¾����ư���ǽ���뵰ƻ������Ƥ�������$v=v^+$����٤������ڤ뤳�Ȥ�פ����������������ä�$\gamma^+$�Ϥ�������$v=v^+$�Ȱ��٤������ꡢ����ϲ���Ū�Ǥ��롥$\gamma^+$��$E_+$���԰���¿���Τε�ƻ�Ǥ��ꡢ�����$N_0$��ˤ��ä�$N_0$��$\phi=\pi/2$�ʤ��Ӥ��Фäƽ���뤳�Ȥ�פ���������Un$(E_+)$��$N$���2����¿���ΤǤ��뤫�顢$\gamma^+$�ζ᤯��Un$(E_+)$�ε�ƻ������$v=v^+$�ȸ���Ϥ��Ǥ��롥������$v=v^+$��Un$(E_+)$�θ����$\gamma^+$�ζ᤯�Ƕɽ�Ū�˳�餫�ʶ����Ǥ��ꡢ����ϲ���Ū�Ǥ��롥

���ͥ륮����ʬ��꼡�����롥
$$
  rh = \frac{1}{2} \left( v^2 + \frac{w^2}{\cos^2 \phi} + u^2 \right) 
- U(\phi).
$$
�弰�κ��դ�$r$����ҤȤ��Ƥ��뤫�顢����Ϥ�Ϥ�$N$���������(valid)��ʬ�ǤϤʤ������������դ�$N$��Ǥ��ޤ�������줿�ؿ��Ǥ���(��§�������$N$��¿���ΤǤ���)�����δؿ���$g$��ɽ�魯�����ʤ����
$$
  g = \frac{1}{2} \left( v^2 + \frac{w^2}{\cos^2 \phi} + u^2  \right) 
- U(\phi) ,
$$
�Ȥ�������Ĵ�������Τϡ�$g$��$N$���������줿Ϣ³�ؿ��Ǥ��ä�������$g=0$�����ѽ��������������줬���Τ�$N_0$�Ǥ��뤳�ȤǤ��롥������$N_0$��¿����$N$��2�Ĥ���ʬ��ʬ���롥$g>0$�ʤ���ʬ�ϥ��ͥ륮�����ηϤ��б�����$g<0$����ʬ�ϥ��ͥ륮����ηϤ��б����롥�ϤΥ��ͥ륮��$h$��Ϳ�����Ƥ��ƥ����Ǥʤ����$g$���ͤ�$r$�����Τ˻Ȥ��롥���λ��¤Ϥ��Ȥ�$r$���ͤ�ɾ������Τ˻Ȥ���

$T_0 \subset \{ v=v^+ \}$��$\gamma^+$������$v=v^+$�Ȥθ���ξ����ʥ���ѥ��Ȥʶ�˵�Ȥ��롥Un$(E_+)$��$T_0$�θ�����$T_0$����������о����ʳ�餫�ʶ����Ǥ��롥����κǸ�˽ФƤ�����$w^+>0$�򾮤��������$T_0$������Ȳ���Ǥ��롥������$T_0$�ξ���$S^+$�ˤ�����$w_{12}^{\infty}=w^+$�Ǥ��ꡢ$T_0$�β���$S^-$�ˤ�����$w_{12}^{\infty} = -w^+$�Ǥ��ꡢ$T_0$�Τ��٤Ƥ����ˤ�����$|w_{12}^{\infty}| \leq w^+$�Ǥ���褦�ˤ��롥�ޤ����ꤷ��������$g_0>0$���Ф���$T_0$�Τ��٤Ƥ����ˤ�����$|g| < g_0$�Ȳ���Ǥ��롥����������ưפ˾����Ǥ���ΤǾ����Ͼ�ά���롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 3.1.} $T_0$����������������ΤȤ��롥$M>0$��¸�ߤ��Ƽ�����������$v(\tau) \geq M$�ΤȤ��ϤĤͤˡ����٤Ƥ�$x \in T_0$���Ф���$|w_{12}(x,\tau)| \leq \frac{4}{3}w^+$�Ǥ��ꡢ���٤Ƥ�$x \in S^+ \cup S^-$���Ф���$\frac{2}{3}w^+ \leq |w_{12}(x,\tau)| \leq \frac{4}{3}w^+$�Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
�ʲ��Ǥϡ�$T_0$����������$v^+>M$��������Ȳ��ꤹ�롥�椨�˼��Τ��Ȥ��Ĥͤ�����Ω�ġ�
$$ \begin{array}{rl}
\displaystyle |w_{12}(x,\tau)| \leq \displaystyle 
\frac{4}{3}w^+, & {\rm for \ all} \ x \in T_0 \ 
{\rm and} \ \tau \geq 0; \\ 
\displaystyle 
  \frac{2}{3}w^+ \leq |w_{12}(x,\tau)| \leq \displaystyle 
\frac{4}{3}w^+, & {\rm for \ all} \ x \in S^+ \cup S^- \ 
{\rm and} \ \tau \geq 0. \\ 
   \end{array}
$$

$g(x)$�������ꡢ���ꤷ��Ǥ�դ�$\epsilon>0$����Ӹ��ꤷ��$g_0$���Ф���$v^+$��ʬ�礭���Ǥ������٤Ƥ�$x \in T_0$�����$\tau \geq 0$���Ф���$\tau \rightarrow \infty$�ΤȤ�$0 \leq \pi/2 - \phi(\tau) \leq \epsilon$����$\phi(\tau) \rightarrow \pi/2$�ȤǤ��뤳�Ȥ��ǧ���Ƥۤ���������ϲ�ǽ�Ǥ��롥�ʤ��ʤ�$T_0$�����ȯ���뵰�פ��Ф����б��������ʱ�-�жʷ�������Ǥ��롥������$T_0$�����ȯ���뵰ƻ���Ф���$\tau \geq 0$�ʤ뤹�٤Ƥλ��֤��Ф���$m_3$��$m_1$�����$m_2$�����Υ��Ƥ��뤳�Ȥ��狼�롥�������äƤ��٤Ƥ�$x \in T_0$���Ф��ƻ��ηϤϤդ��Ȥ���������Ȥ��Ƥ褯����Ǥ��롥���Τդ��ȤȤ�$m_1,m_2$���Ȥ�$m_3$��$m_1,m_2$�νſ����ȤǤ��롥

��$\Sigma$���������������$T_0$���Ѥ���С���4�Τ����Ӥ��äȤ褯����Ǥ��롥$x^* \in {\rm St}(E^+) \cap \Gamma$�Ȥ��������ΤȤ�$x^*$�ζ᤯�����ȯ���뵰ƻ��$E_+$���԰���¿���ξ�ε�ƻ�˱褦���Ȥ��ˤ����Ĥ��ε�ƻ��$\gamma^+$����Ӥ��ζ᤯��$E_+$���԰���¿���Τ˱褦���������ä�$\Gamma$����$\{ \Gamma(\tau)| \tau>0 \}$��ή��Τ�Ȥ�$T_0$�ȸ��롥������$S^+ \cap {\rm Un}(E_+)$��$S^- \cap {\rm Un}(E_+)$�������Ǥʤ����顢����$\Gamma(\tau) \cap S^+$��$\Gamma(\tau) \cap S^-$����Ǥʤ�����4�ζ���$c^+$�����$c^-$�Ϥ����θ����$\Gamma$��������Ǥ��롥

����Ǥϣ��������ͤ���ͭ�»��֤���ͭ���ʲ�Ǳ�����$T_0$��̵�²��̲᤹���Τ������롥


\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf 4. 5������}
\end{center}

������Ǥ����̤ʣ��������ͤ��롥����������Ф���������ð������뤤������ʳ��Ȥ���ͭ�»��֤Ǥ���ͭ����������롥������μ��̤�����4.4�Ǥ��롥

$m_1,m_2, \cdots,m_5$�ϥ桼����åɶ���${\bf R}^3$���ư���룵�����Ȥ���${\bf q}_i, \dot{\bf q}_i \in {\bf R}^3$��$m_i, i=1,2,\cdots,5$�ΰ��֤����®�٥٥��ȥ�Ȥ��롥�����$m_1=m_2$�����$m_4=m_5$�Ȥ��롥���ΤȤ����֤����äƤ�ʲ��Τ褦���о������ݤ�������������֡�
$$ \begin{array}{l}
  {\bf q}_1 = (x_1,y_1,z_1), \\ 
  {\bf q}_2 = (-x_1,-y_1,z_1), \\ 
  {\bf q}_3 = (0,0,z_3), \\ 
  {\bf q}_4 = (x_4,y_4,z_4), \\ 
  {\bf q}_2 = (-x_4,-y_4,z_4). 
   \end{array}   \leqno(4.1)
$$
����������ȡ�$m_5$�ϤĤͤ�$z$����ˤ��롥$m_1$�����$m_4$�Ϥɤ����$z$���˴ؤ��Ƥ��줾��$m_2$�����$m_5$���оΤǤ���(��5����)���ſ������˸��ꤹ��м��μ�������Ω�ġ�
$$
  2m_1z_1 + 2m_4z_4 + m_3z_3 = 0.    \leqno(4.2)
$$
������Ϥϼ�ͳ��6�Ǥ��ꡢ${\bf q}_1 = (x_1,y_1,z_1), {\bf q}_4 = (x_4,y_4,z_4)$����Ӥ�����ʬ�ˤ�äư�դ���ޤ롥

$T$��$U$��ư���ͥ륮���ȥݥƥ󥷥�륨�ͥ륮���Ȥ��롥����ѿ���Ȥ��Ȥ����ϼ��Τ褦��ɽ�蘆��롥

\newpage
$$ \begin{array}{ll}
 T = & \displaystyle m_1(\dot{x}_1^2 + \dot{y}_1^2 + \dot{z}_1^2) + 
m_4(\dot{x}_4^2 + \dot{y}_4^2 + \dot{z}_4^2) + 
\frac{1}{2}m_3 \left( \frac{2m_1 \dot{z}_1}{m_3} + 
\frac{2m_4 \dot{z}_4}{m_3} \right)^2, \\
  U = & \displaystyle 
\frac{m_1^2}{2(x_1^2 + y_1^2)^{1/2}} + 
\frac{m_4^2}{2(x_4^2 + y_4^2)^{1/2}} + 
\frac{2m_1m_4}{[(x_1-x_4)^2+(y_1-y_4)^2+(z_1-z_4)^2]^{1/2}} \\
    & \displaystyle 
+ \frac{2m_1m_4}{[(x_1+x_4)^2+(y_1+y_4)^2+(z_1-z_4)^2]^{1/2}} + 
    \frac{2m_1m_3}{[x_1^2+y_1^2+(z_1-z_3)^2]^{1/2}} \\  
    & \displaystyle 
+ \frac{2m_4m_3}{[x_4^2+y_4^2+(z_4-z_3)^2]^{1/2}}. 
   \end{array}   \leqno(4.3)
$$

\vspace{1.0cm}
\hspace{6.0cm} ��5

\vspace{4.5cm}
$z_3$��$U$�μ��˸����뤳�Ȥ����դ��褦����������$z_3$��(4.2)�����$z_1$��$z_4$�δؿ��Ǥ��롥���ηϤΥϥߥ�ȥ�ؿ��ϼ����ѿ���Ȥ���
$$ \begin{array}{l}
 p_{x_1} = 2m_1\dot{x}_1, \ p_{x_4} = 2m_4 \dot{x}_4, \ 
 p_{y_1} = 2m_1\dot{y}_1, \ p_{y_4} = 2m_4 \dot{y}_4, \\ 
 p_{z_1} = \displaystyle 2m_1\dot{z}_1 + 2m_1 \left( 
\frac{2m_1 \dot{z}_1}{m_3} + \frac{2m_4 \dot{z}_4}{m_3} \right), \\
 p_{z_4} = \displaystyle 2m_4\dot{z}_4 + 2m_4 \left( 
\frac{2m_1 \dot{z}_1}{m_3} + \frac{2m_4 \dot{z}_4}{m_3} \right) . 
   \end{array}
$$

��ư���ͥ륮��$T$��$p_{x_i},p_{y_i},p_{z_i} (i=1,3)$�δؿ��Ȥ���ɽ�路�Ƥ����С�$x_i,y_i,z_i,p_{x_i},p_{y_i},p_{z_i}$ $(i=1,3)$�ϥϥߥ�ȥ����������������������ǥϥߥ�ȥ�ؿ��ϼ�����Ϳ�����롥
$$
 H({\bf p},{\bf q}) = T({\bf p}) - U({\bf q}).
$$

���ͥ륮����ʬ$H({\bf p},{\bf q})=h$�ʳ��ˤ��ηϤϳѱ�ư����ʬ$c_{12} + c_{45} = c$�������������$c_{12}$�����$c_{45}$�Ϥ��줾��$m_1,m_2$�����$m_4,m_5$�����ĳѱ�ư�̤Ǥ��롥���ʤ��
$$ \begin{array}{l}
\displaystyle 
 c_{12} = 2m_1 (x_1 \dot{y}_1 - y_1 \dot{x}_1) = 
x_1p_{y_1} - y_1p_{x_1}, \\
\displaystyle 
 c_{45} = 2m_4 (x_4 \dot{y}_4 - y_4 \dot{x}_4) = 
x_4p_{y_4} - y_4p_{x_4}. 
   \end{array}   \leqno(4.4)
$$
$c_{12}$��$c_{45}$�Ɀư������Ǥʤ����Ȥ����դ��褦������ɤ⡢�������¤����ѱ�ư�̤Ǥ��äơ���ư�ι��̤Ǥ��롥�����ϳѱ�ư�̥�������ʬ�ϤˤΤ߶�̣�����롥�ʲ��Ǥ�$c=0$�����ʤ����
$$ 
     c_{12} + c_{45} = 0,
$$
�Ȳ��ꤹ�롥

�ʲ��β��ϤǤϡ�γ��$m_1,m_2$�����$m_3$���ߤ��˶᤯��$m_4$��$m_5$��������Ū��Υ��Ƥ�����Ϥ��Ĥ�Ϥ�3��ʬ����ʤ�ȹͤ��롧

(A) �����ջ��η�$m_1,m_2,m_3$��

(B) ���η�$m_4,m_5$�������

(C) $m_1,m_2,m_3$�νſ���$m_4,m_5$�νſ�����ʤ����ηϡ�

$m_3,m_4,m_5$���ߤ��˶ᤤ�Ȥ���Ʊ���褦��ʬ�򤬤Ǥ��롥

�ǽ����ɸ�ϡ�$m_4,m_5$��¸�ߤ��Ƥ⣲��λ��ξ���¿���Τ������ĤäƤ���Τ򼨤����ȤǤ��롥����򤹤뤿��ˡ������Ĥ����ѿ����Ѥ���ɬ�פ����롥$\bar{z} = (2m_1z_1+m_3z_3)/(2m_1+m_3)$�Ȥ��롥���ΤȤ�$(0,0,\bar{z})$��$m_1,m_2$�����$m_3$�νſ��Ǥ��롥$x_1=x, y_1=y, z=z_1-\bar{z}$�����$\bar{z}_3=z_3-\bar{z}$�Ȥ�����2����Ѵ��ˤ������ä�������(2.2)�˻����������Ϥ����롥�Ȥ��˼������롥
$$ \begin{array}{l}
  r' = ({\bf s} \cdot {\bf z}) r, \\
  {\bf s}' = {\bf z} - ({\bf s} \cdot {\bf z}) {\bf s}, \\
  {\bf z}' = \displaystyle \nabla U_1({\bf s}) + 
\frac{1}{2}({\bf s} \cdot {\bf z}) {\bf z} + 
r^2 \frac{\partial U_2(r{\bf s},{\bf q}_4)}{\partial (r{\bf s})}, \\
  {\bf q}'_4 = r^{3/2} H_{{\bf p}_4} (r,{\bf s},{\bf z},{\bf p}_4,{\bf q}_4), \\
  {\bf p}'_4 = - r^{3/2} H_{{\bf q}_4} (r,{\bf s},{\bf z},{\bf p}_4,{\bf q}_4), 
   \end{array}                       \leqno(4.5)
$$
������$U_1$��$U$�ι�Τ���${\bf q}_1$��${\bf q}_3$�Τߤ�ޤ��ΤǤ��ꡢ$U_2=U-U_1$�Ǥ��롥���ʤ����
$$ 
 U_1(s) = \displaystyle  \frac{1}{\sqrt{2}} m_1^{3/2} m_3 
          \left( m_1(s_1^2 + s_2^2)^{1/2}/m_3 + 
            4(s_1^2+s_2^2+(1+2m_1/m_3)s_3^2)^{-1/2} \right).
$$
�����Ǥ�$ \ ' \ $��$\tau$�˴ؤ�����ʬ�򤢤�魯���ޤ�$d\tau/dt = r^{-3/2}$�Ǥ��롥

$z_4 \neq 0$�ʤ顢$H_{{\bf p}_4}$�������ä�$H_{{\bf q}_4}$��$U_2$��$r=0$�ˤ����Ƥ��餫�ʴؿ��Ǥ��롥��������$m_4$��$m_5$�����ξ��ͤ򤹤������������ξ��ͤ����ξ��ͤ�Ʊ���˵�����о����Ϥ�ä�ʣ���Ǥ���(���ξ��Ϥ��Ȥǵ�������)�����������ξ��͵�ƻ�Ϥ��٤ƾ��ͤ��̤ä�Ϣ³�˱�Ĺ�Ǥ��뤳�Ȥ����$\{ r = 0 \}$���$r, {\bf s}, {\bf z}$�˴ؤ�����������Ϣ��$m_4,m_5$���տ魯���ѿ��Ȥ�̵�ط��Ǥ��뤳�Ȥ����դ��Ƥ�����

����$m_4$��$m_5$��$r=0$�ΤȤ������ξ��ͤ򤷤Ƥ��ʤ��Ȳ��ꤹ�롥�����ή���$\{ r=0 \}$�˳�ĥ���졢�����Ǥ�¿���ξ��ή������롥��ˡ���ص��Τ��ᡢ�����
$$
   M \times S^1 \times {\bf R}^5 \times \{ {\bf R} \backslash \{ 0 \} \}
$$
�Ƚ񤯡�����ϼ�����Ϳ�����롥
$$ \begin{array}{l}
  {\bf s}' = {\bf z} - ({\bf s} \cdot {\bf z}) {\bf s}, \\
  {\bf z}' = \displaystyle \nabla U_1({\bf s}) + 
\frac{1}{2}({\bf s} \cdot {\bf z}) {\bf z}, \\
  {\bf q}'_4 = 0, \\
  {\bf p}'_4 = 0. 
   \end{array}                    \leqno(4.6)
$$
���ή���${\bf R}^5 \times \{ {\bf R} \backslash \{ 0 \} \}$��ι���ή���$M \times S^1$���ή���ľ�ѤǤ��롥������$S^1$��$\theta$��ɸ��Ϳ���롥�����2��ǻ��ξ���¿���Τ�Ƴ���Ȥ��˾õ�줿��$M$���ή��Ϥ������Ĵ�٤�ή�줽�Τ�ΤǤ��롥�Ĥޤꡢ$m_4$��$m_5$�θ��̤�$m_1, m_2, m_3$�λ��ξ��ͤ˶�Ť����˸¤Ǿä��Ƥ��ޤ���

�٥��ȥ��(4.6)��$m_1,m_2$�����$m_4,m_5$�����ξ��ͤˤ���ð�����ޤ����äƤ��롥���餫���Ѵ����뤤�Ϥ������ð����ζ�˵�ˤ�����٥��ȥ��ν����ˤ�äƵ�ƻ�����������ξ��ͤ��̤äƱ�Ĺ����뤳�ȤϤ褯�Τ�줿���¤Ǥ��롥�����Easton����§���ȸƤФ�Ƥ��롥������§������Ƨ�ޤʤ�����ɤ⡢��ƻ�����ξ��ͤ��̤äƱ�Ĺ���줿��ΤȤ���ή���ͤ��롥��������ˤϤ⤦�ҤȤĤ��ð��������롥���ʤ��$m_1,m_2$�����$m_4,m_5$��Ʊ�����ξ��ͤǤ��롥�����ξ��ͤ˴ؤ��Ƥ�Saari[18]�������Ȥ����ˤ��ȡ��������ð��������Ūʬ�����Ǥ��äƿ����ð����Ǥʤ����Ƕ�Sim\'{o} \& Lacomba[22]�Ϥ���餬Easton�ΰ�̣��$C^0$�֥��å���§����ǽ�Ǥ��뤳�Ȥ򼨤������¤ΤȤ������ȤǸ���褦�ˡ������ǹ���������Ʊ�����ξ��ͤ���󤯳֤���褦�ˤǤ��롥�������ä�Ʊ�����ξ��ͤγ�餫�������§����ǽ���פ�����ˤϿ���ʤ��Ƥ褤��

$\Sigma_1$�������ѷ��濴�޷�$E_+$�λ��ξ��ͤǽ���뵰ƻ���٤Ƥν��ޤ�Ȥ��롥$\Sigma_1$��¿���ι�¤��2��η׻�����Ф롥���¡�$\Sigma_1$�����ѽ���
$$
  \{ E_+ \} \times S^1 \times {\bf R}^5 \times \{ {\bf R} 
\backslash \{ 0 \} \} ,
$$
�ΰ���¿���Τ��Τ�ΤǤ��롥

2�ᤪ���3��Ǥϡ�$E_+$��2�Ĥε۰�������2�Ĥ�ȿȯ��������Ĥ��Ȥ򼨤������������ä�$\Sigma_1$��;����2(9����)�Ǥ��롥

����5������ˤ�$c_{12} \equiv 0 \equiv c_{45}$�ʤ뤤���Ĥ�����ʬ¿���Τ����뤳�Ȥ����դ�����ͤ��롥���ʤ����2�Ĥ�Ϣ��$m_1,m_2$�����$m_4,m_5$��$z$����ޤ���������ư���褦�����¤���Ƥ��롥$m_1,m_2$�����$m_4,m_5$��ư�������2�Ĥ��̤ϸߤ���ʿ�Ԥ���ľ�ΤϤ��Ǥ��롥�ʤ��ʤ顢�׻��ˤ��
$$
  \dot{c}_{12} \equiv - \dot{c}_{45} \equiv 
2m_1m_4(x_1y_4 - x_4y_1) ( r_{14}^{-3} - r_{15}^{-3}) ,
$$
�����뤫��Ǥ��롥$c_{12} \equiv 0$(�ޤ���$c_{45} \equiv 0$)�ΤȤ���$x_1y_4 - y_4x_1 \equiv 0$�ޤ���$r_{14} \equiv r_{15}$�Ǥ��롥

����ʸ����$m_1=m_2,m_3$��2��ΰ�̣�ǵ��ƤǤ��뤳�Ȥ��������롥�ޤ�����$m_4=m_5,m_3$������������ƤǤ�����������롥�����ϼ��̤˴ؤ���ͣ��������Ǥ��롥

���Υ��ƥåפǤϡ���2��ǵ��Ҥ�����������������Τ����Ĥ���5������Ǥ�����Ω�Ĥ��Ȥ򼨤�������ľ�̤��Ƥ���Τ���ư����Ǥ��롥���������Τϡ������ξ��Τ�Ȥ�$T_0$�˽��������Ĳ򤬤�Ϥ�����˵��Ҥ����Τ�Ʊ�ͤ���������Ĥ��ȤǤ��롥�ޤ����ѽ���$\{ E_+ \} \times S^1 \times {\bf R}^5 \times \{ {\bf R} \backslash \{ 0 \} \}$�ζɽ깽¤����Ϥ�������

$p \in S^1 \times {\bf R}^5 \times {\bf R}^-$�Ȥ�����ư��$\{ E_+ \} \times \{ p \}$��ͤ��롥��$p$��$m_4$��$m_5$�ζ˸°���(${\bf R}^5 \times {\bf R}^-$)����ӻ��ξ��ͤ��Ƥ���γ��$m_1,m_2$�����$m_3$�ζ˸¸���($S^1$)�򵭽Ҥ��롥������${\bf R}^-$��$z_4<0$���̣���롥$z_4>0$�ξ���Ʊ���褦�˵����Ǥ��롥$\{ E_+ \} \times \{ p \}$�ζ᤯��ή��ζɽ�Ū������(4.5)�����������롥ľ�ܷ׻��ˤ��۰�������2�Ĥ�ȿȯ������2�������롥�Ĥ�������Ϥ��٤����ѽ���$\{ E_+ \} \times S^1 \times {\bf R}^5 \times \{ {\bf R} \backslash \{ 0 \} \}$��ˤ��ꡢ�����ǤϤɤ�������ư���Ǥ��뤫�������������Ǥ��롥�������äơ�Ǥ�դ�$p \in S^1 \times {\bf R}^5 \times {\bf R}^-$���Ф���$\{ E_+ \} \times \{ p \}$�ˤ�����2�����ΰ���¿���Τȳ���$\{ E_+ \} \times \{ p \}$�ˤ�����2�������԰���¿���Τ����롥����ϻ�������ΤȤ��Ȥޤä���Ʊ���Ǥ��롥

���ˡ������ΰ��ꤪ����԰���¿���ΤȤ��ζ᤯�ε�ƻ��Ĵ�٤褦��

$\{ E_+ \} \times \{ p \}$���԰���¿���Τ�$r=0$��������������¿������ˤ��롥��������¿���ξ��ή���������(4.6)��Ϳ�����롥���Ǥ˻�Ŧ�����̤ꡢ$r=0$���ή��Ϲ���ή���$M \times S^1$���ή����ѤǤ��롥������$M$����2��λ��ξ���¿���Τ��Τ�ΤǤ��롥�������ä�$\{ E_+ \} \times \{ p \}$���԰���¿���Τ�$M$���$\{ E_+ \}$���԰���¿���Τ��Τ�ΤǤ���ȸ����롥�椨������2.1����Ω����2��ν����β��Ϥ�������Ŭ�ѤǤ��롥

����κǸ�������������$T_0$����������ޤ���������Ǥ�դ�����$\phi, u, v, w$��ɸ��ĥ������ʬ���֤˼ͱƤ���ؿ�$\pi$��������롥����$T$�򼡼���������롥
$$
  T = \{ x \in \pi^{-1} (T_0) \ | \ |\overline{z}_3| \leq A; \ 
z_4 \leq -B; \ \dot{z}_4 \leq -B \} . \leqno(4.7)
$$
������$A>0$�������Ǥ��ꡢ�ʸ夺�äȸ��ꤹ�롥�ޤ�$B>0$�Ͻ�ʬ�礭�������$|\bar{z}_3| \leq A$�ΤȤ��Ϥ��Ĥ�$z_3>0$�Ȥʤ�褦�ˤ��롥����ϤĤͤ˲�ǽ�Ǥ��롥�Ȥ����ΤϽſ��������˸��ꤵ��Ƥ��뤫��Ǥ��롥$\bar{z}_3 = z_3 - \bar{z}$�Ǥ��뤳�Ȥ�פ���������

Ʊ�ͤˡ�$T_0$�ζ���$S^+$��$S^-$���б�����$T$�ζ�����������롥ʶ�줬�ʤ����餳���ο����������Ʊ�������ɽ�魯��

$T$�����ȯ������ͤ��褦�����Τ���ˤ�(4.5)�κǽ��3�Ĥμ�����ɬ�פʤ���
$$ \begin{array}{l}
  r' = ({\bf s} \cdot {\bf z}) r, \\
  {\bf s}' = {\bf z} - ({\bf s} \cdot {\bf z}) {\bf s}, \\
  {\bf z}' = \displaystyle \nabla U_1({\bf s}) + 
\frac{1}{2}({\bf s} \cdot {\bf z}) {\bf z} + 
r^2 \frac{\partial U_2}{\partial (r{\bf s})}. 
   \end{array} 
$$
��$r^2 \partial U_2 / \partial (r {\bf s})$���ʤ���С����ηϤϤ��Ǥ˵��������������ꤽ�Τ�ΤǤ��롥���η�$m_1,m_2$�����$m_3$�ؤ�$m_4$��$m_5$����ư��ϻ���$m_1,m_2$�����$m_3$��$m_4$�ε�Υ�˰�¸���롥��ñ�˷׻��Ǥ���褦�ˡ�$|z_4| > B$�����$B$�˰�¸�������$c_1$���Ф���
$$
  \left| \frac{\displaystyle \partial U_2}{\displaystyle \partial (r{\bf s})} \right| \leq \frac{c_1}{|z_4|^2} ,
$$
�Ǥ��롥

��˿ʤ����ˡ������$N$����ʬ������������줿$w_{12}^{\infty}(x)$�˴ؤ��뤢�������դ򤷤Ƥ�������$w_{12}^{\infty}(x)$��5������Ǥ�Ϣ³�ؿ��ǤϤʤ������ξ�����$m_4$��$m_5$����ư�ˤ�롥$r$���礭���ʤ��$m_3$��$m_1$��$m_2$����äƤ��뤫��Ϣ��$m_1$��$m_2$��$m_4$��$m_5$�ζ᤯�ˤ��뤫�����줫�Ǥ��롥ξ���ξ��Ȥ�ؿ�$w_{12}$���𻨤�(erratic)�Ѳ��������줬̵�¤˷����֤������롥������$r$����������$m_4$��$m_5$���󤤸¤ꡢ$m_4$��$m_5$�ˤ����ư�����˾����������κ����$t = \infty$������ˤ���$t$�˴ؤ���$w_{12}(x(t))$��Ȥ��й����Ǥ��롥���Τ����$t_1$��$\bar{z}_3$���Ϥ����$-A$�˶�Ť�����Ȥ��롥���ʤ����
$$
  t_1(x) = \inf \{ t>0 \ | \ \overline{z}_3 = -A, x \in T \} ,
$$
�Ȥ�����$\bar{z}_3$��$-A$�����夹�����ˤϤ����$A$�����夹��Ȥ�$t_1(x)
= \infty$�Ǥ������«���롥
