
\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 4.1.} $T$�Ͼ�������������Ȥ��롥���ΤȤ�$B_1>0$��¸�ߤ��Ƽ�
������Ω�ġ����٤Ƥ�$0 \leq t \leq t_1(x)$���Ф���$|z_4| \geq B_1$�Ǥ���
�ơ�������$t_1(x) \leq 1$�ʤ顢���٤Ƥ�$x \in S^+ \cup S^-$���Ф��Ƽ���
���롥
$$
  \frac{1}{2} w^+ \leq |w_{12}(x,t_1)| \leq \frac{3}{2} w^+.
$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $S^+$��$S^-$�������ꡢǤ�դ�$x \in S^+ \cup S^-$���Ф���
$$
  \frac{2}{3} w^+ \leq |w_{12}(x)| \leq \frac{4}{3} w_{12} ,
$$
�����롥�����$B_1= \infty$�ʤ�
$$ \begin{array}{ccc}
  \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3} w^+ \leq |w_{12}(x,t)| \leq 
\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 3} w^+ & {\rm for \ all} & t>0,
   \end{array}
$$
�Ǥ��롥���Ǥ˻�Ŧ�����褦�ˡ�$S^+$��$S^-$�������Ф��ơ�$m_3$��$m_1$����
��$m_2$����$m_1$��$m_2$�ε�Υ����٤Ʊ󤯳֤��äƤ��롥���η�$m_1,m_2$��
���$m_3$�Ϥդ��Ȥ����ηϤΤ褦�Ǥ��롥���ΤҤȤĤ�$m_1$��$m_2$�Ǥ��ꡢ
�⤦�ҤȤĤ�$m_3$��$m_1,m_2$�νſ��Ǥ��롥γ��$m_3$��$v^+r^{-1/2}$������
����®�٤�$m_1$�����$m_2$����󤶤��롥����$w_{12}(x,t)$���Ѳ���$m_3$��
�����ư�ˤ�$m_4$�����$m_5$�������ư�ˤ��롥$m_3$�������ư�����¤�
�줿��($w^+/3$)�Ǥ��ꡢ$m_4$�����$m_5$����αƶ���$\Delta t/(B_1)^2
\leq 1/(B_1)^2$���٤��礭���Ǥ��롥�������ä�$B_1$��ʬ�礭�����֤��Ȥ�
��äơ�$\frac{1}{2} w^+ \leq |w_{12}(x)| \leq \frac{3}{2} w^+$�����롥
��������꤬�������줿��\hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
����4.1�ˤ�����$r$�˴ؤ���ͣ������¤�$|z_3 - \bar{z}| \leq A$�Ǥ��뤳��
���ǧ�����ߤ������¤ΤȤ�����$r$��Ǥ�դ˾������Ƥ褤��

����ʸ�ϡ�$T$������ˤ�����$B \geq B_1$�Ǥ���Ȳ��ꤹ�롥���Τ褦���֤���
$$
  \tilde{t}(x) = \sup \{ t<0 \ | \ z_1(x,t) = z_3(x,t), x \in T \} . 
$$
$\tilde{t}(x)$��$\gamma^+ \cap T$�ε�ƻ�˴ؤ����������Ƥ��뤳�ȡ��ޤ�
$w^+$�򾮤������֤��Ȥˤ�ꡢ���٤Ƥ�$x \in {\rm Un}(E_+) \cap T$���Ф�
�Ƥ��������Ƥ��뤳�Ȥ򸫤��ߤ�����������$\tilde{t}(x)$��$T$����ʬ����
���Ȥ��ơ����٤Ƥ�$x \in T$���Ф����������Ƥ��롥�����ʤäƤ���Ȳ���
���褦��

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 4.2.} $T$�����ȯ���뵰ƻ��ͤ��롥$r_0$��$r$�ν���ͤȤ��롥
$B_2>0$��¸�ߤ��Ƽ�������Ω�ġ����٤Ƥ�$\tilde{t} \leq t \leq t_1$���Ф�
��$|z_4| \geq B_2$�Ǥ���С��������$d_1>0$�����$d_2>0$���Ф���
$|\tilde{t}| \leq d_1r_0^{3/2}$����$|t_1| \leq d_2 r_0^{1/2}$�Ǥ��롥��
���ˡ�$r \rightarrow 0$�ΤȤ���$\tilde{t} \rightarrow 0$����$t_1
\rightarrow 0$�Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����.} �ޤ�Ǥ�դ�$x \in T$���Ф���$|\bar{z}_3| \leq A$�Ǥ���
���Ȥ��ǧ�����ߤ�����������$A$�ȼ��̤Τߤ˰�¸�������$c_1$�����äơ�
$r_0 \leq c_1$�Ǥ��롥$\tilde{\tau}<0$��$\tilde{t}$���б��������$\tau$
�Ȥ��롥$dt = r^{3/2}d \tau$�����$r' = rv$��ꡢ$\tilde{\tau} =
\int_0^{\tilde{\tau}} r^{3/2} d \tau$�����
$$
  r(\tau) = r_0 \exp \left( \int_0^{\tilde{\tau}} v(\tau) d \tau  \right), 
\leqno(4.8)
$$
�������������ä�
$$
  \tilde{t} = r_0^{3/2} \int_0^{\tilde{\tau}}  
\exp \frac{3}{2} \left( \int_0^{\tilde{\tau}} v(\tau) d \tau \right) 
d \tau.
$$

Ǥ�դ�$x \in T$�����$r_0 \leq c_1$���Ф���$B(x,r_0)>0$�����äƼ�������Ω�ġ����ʤ�������٤Ƥ�$\tilde{t} \leq t \leq 0$���Ф���$B \geq B(x,r_0)$�ʤ顢����$d_1(x,r_0)$���Ф���
$$
  \int_0^{\tilde{\tau}} \exp \frac{3}{2} \left( \int_0^{\tilde{\tau}} 
v(\tau) d \tau \right) d \tau \leq d_1(x,r_0),        \leqno(4.9)
$$
�Ǥ��롥$T_0$�Υ���ѥ����������$0 \leq r_0 \leq c_1$��ꡢ����$B_2>0$�����$d_1>0$�򸫤Ĥ��뤳�Ȥ��Ǥ��ơ�$B_2 \geq B(x,r_0)$�����$d_1 \geq d_1(x,r_0)$�����٤Ƥ�$x \in R$�����$0 \leq r_0 \leq c_1$���Ф�������Ω�Ĥ褦�ˤǤ��롥������$|\tilde{t}| \leq d_1 r_0^{3/2}$�Ǥ��ꡢ$r_0 \rightarrow 0$�ΤȤ�$\tilde{t} \rightarrow 0$�Ǥ��롥

������������ʬ�˴ؤ��Ƥϡ�$T$�ˤ����Ƥ���$c_4>0$���Ф���$v=v^+$����$\dot{\bar{z}}_3 > c_4 r_0^{-1/2} v^+$�Ǥ��뤳�Ȥ����դ��롥$m_3$�α�ư��$m_3$��$m_1,m_2$�νſ�����������α�ư�˶ᤤ��$m_3$��$m_1,m_2$�νſ��ε�Υ��$r_0$���٤Ǥ��롥������$m_3$��æ��®�٤�$r_0^{-1/2}$���٤Ǥ��롥�������ä�$B_2$��ʬ�礭�����٤�$t_1$�Ϥ��٤Ƥ�$x \in T$���Ф���¸�ߤ�������$c_5>0, d_2>0$���Ф���
$$
  t_1 \leq \displaystyle \frac{A}{c_5r_0^{-1/2}} 
= r_0^{1/2} A/c_5 = d_2 r_0^{1/2} ,
$$
�Ǥ��롥�Ȥ���$r_0 \rightarrow 0$�ΤȤ�$t \rightarrow 0$�Ǥ��롥��������꤬�������줿��\hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
��ε�����ȤäƼ������꤬��ñ�˾����Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 4.3.} $B_3 \geq B_2>0$�����äơ�$T$�����ȯ���뤹�٤Ƥε�ƻ���Ф��Ƽ�������Ω�ġ����٤Ƥ�$t \leq t_1$���Ф���$z_4 \geq B$�Ǥ���С�$0<d_3<d_4$�ʤ�$d_3$��$d_4$�����ä�
$$ \begin{array}{ccc}
  d_3 r_0^{-1/2} \leq |\dot{\bar{z}}_3(x,t_1)| \leq r_0^{-1/2} d_4 
& {\rm for \ all} & x \in T.
   \end{array}
$$

\vspace{0.3cm}
����ʸ�$B>B_3$�Ȳ��ꤹ�롥

���ޤ�ǽ�μ��������������������Ǥ���������������������ð����������뤿��η���Ū��ƻ��Ȥʤ�Ϥ��Ǥ��롥

��$x^* \in \Sigma_1$����ꤹ�롥��$p \in S^1 \times {\bf R}^5 \times {\bf R}^-$��¸�ߤ���$x^* \in {\rm St}(\{ p \} \times \{ E_+ \})$�Ǥ��롥������
${\rm St}(\{ p \} \times \{ E_+ \})$����ư��$\{ p \} \times \{ E_+ \}$�ΰ���¿���ΤǤ��롥$\Gamma$��$x^*$�ˤ�����$\Sigma_1$�Ȳ���Ū�˸����餫�ʣ��������̤Ǥ���Ȥ��롥$t^*>0$��$x^*$�����ȯ���뵰ƻ��$m_1,m_2,m_3$�λ��ξ��ͤǽ�������Ȥ��롥�������򼺤����Ȥʤ���$|z_4(x^*,t^*)| \geq 2B$�Ȳ���Ǥ��롥���٤Ƥ�$x \in \Gamma$���Ф��Ƽ���������롥
$$ \begin{array}{l}
  \tilde{t}_1(x) = \inf \{ t>0 \ | \ z_3(x,t) = z_1(x,t) \}, \\
  t_1(x) = \inf \{ t>\tilde{t}_1(x) \ | \ \bar{z}_3(x,t) = -A \}, \\
  \bar{t}_1(x) = \inf \{ t>t_1(x) \ | \ z_3(x,t) = 0 \}, \\
  \tilde{t}_2(x) = \inf \{ t>\bar{t}_1(x) \ | \ z_3(x,t) = 
z_4(x,t) \}, \\
  \hspace*{2cm}   \cdots
   \end{array}                \leqno(4.10)
$$
�������͵�ƻ$x^*$���Ф��Ƥϡ����Τ褦���֤���
$$
  \tilde{t}_1(x^*) = t_1(x^*) = \bar{t}_1(x^*) = 
  \tilde{t}_2(x^*) = \cdots = t^*. 
$$
���ΤȤ��������������롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 4.4.} $\Gamma$���ǽҤ٤����������̤Ȥ��롥$\Gamma$�����ȯ������ͤ��롥$x^*$��ĺ���Ȥ���$c^+,c^-$�����$c$�򶭳��Ȥ���\underline{������}$\Delta$�����äƼ�������Ω�ġ�

(1) ��������Τ��٤Ƥ�$x$���Ф��ơ�$\tilde{t}_1(x),t_1(x), \bar{t}_1(x)$�����$\tilde{t}_2(x)$�Ϥ��ޤ�������줿(well-defined)Ϣ³�ؿ��Ǥ��롥�Ȥ��ˡ�$\tilde{t}_1(x),t_1(x), \bar{t}_1(x)$�����$\tilde{t}_2(x)$�ϡ����������$x$��$x^*$�˶�Ť��Ȥ�$t^*$�˶�Ť������η�̡�$x \rightarrow x^*$�ΤȤ���$\dot{z}_3(t_1) \rightarrow \infty$�����$\dot{z}_3(\bar{t}_1) \rightarrow \infty$�Ǥ��롥

(2) ���٤Ƥ�$x \in c^+$���Ф���$\frac{1}{4}w^+ \leq w_{12}(x,\tilde{t}_2) \leq 2w^+$�Ǥ��ꡢ���٤Ƥ�$x \in c^-$���Ф���$\frac{1}{4}w^+ \leq -w_{12}(x,\tilde{t}_2) \leq 2w^+$�Ǥ��롥

(3) ���̤Τߤ˰�¸����$K>1$�����äơ�Ǥ�դ�$\delta >0$����Ӥ��٤Ƥ�$x \in \Delta$���Ф��Ƽ�������Ω�ġ�
$$ \begin{array}{l}
\displaystyle 
 z_1(x,\tilde{t}_2) \geq K z_1(x,\tilde{t}_1) > 0, \\
\displaystyle 
 |z_4(x,\tilde{t}_2) - z_4(x,\tilde{t}_1)| < \delta.
   \end{array}
$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. �ޤ�$x^*$�ξ����ʶ�˵���Ф���$\tilde{t}_1(x)$��¸�ߤ��ƽ���ͤ˴ؤ���Ϣ³�ؿ��Ǥ��뤳�Ȥ��ǧ�����ߤ������������򼺤鷺���٤Ƥ�$x \in \Gamma$���Ф��Ƥ��줬����Ω�ĤȲ���Ǥ��롥
$$
  \Delta_0 = \{ x \in \Gamma \ | \ ���� t>0 ���Ф��� x(t) \in T, \ \}
$$
�Ȥ�����Ǥ�դ�$x \in \Delta_0$���Ф���$t_0(x)$��$x(t_0) \in T$�ʤ����Ȥ��롥���Ǥ˼������褦�ˡ�$\Delta_0$���������Ǥ��롥$r(x,t_0)$���ͤ�ͤ��褦��$E_+$���԰���¿���Τϻ��ξ���¿������ˤ��äơ������Ǥ�$r=0$�Ǥ��ꡢ$x^*$�ζ᤯�����ȯ���뵰ƻ��$E_+$���԰���¿���Τ˱�ä�ư�����顢$x \in \Delta_0$���Ф��Ƥϡ�$x \rightarrow x^*$�ΤȤ�$r(x,t_0) \rightarrow 0$�Ǥ��롥����4.2�ˤ��������С���äȾ����ʤ�����$\Delta \subset \Delta_0$(?)�����äơ����٤Ƥ�$x \in \Delta$���Ф���$t_1$��¸�ߤ���$x \rightarrow x^*, x \in \Delta$�ΤȤ�$t_1 \rightarrow x^*$�Ǥ��롥�Ĥ�������4.3���$x \rightarrow x^*$�ΤȤ�$\dot{z}_3(x,t_1) \rightarrow - \infty$�Ǥ��롥�������ä�$x^*$�˽�ʬ�ᤤ$x$���Ф��Ƥ�$m_3$�Ϥ������$z=0$ʿ�̤�ã����$m_4$�����$m_5$���ɤ��Ĥ���������$\bar{t}_1$�����$\tilde{t}_2$��$x^*$�˽�ʬ�ᤤ���٤Ƥ�$x \in \Delta$���Ф���������졢$x \rightarrow x^*$�ΤȤ�$\bar{t}_1, \tilde{t}_2 \rightarrow t^*$�Ǥ��롥$\Delta$�򾮤������뤳�Ȥˤ�ꡢ��Τ��Ȥ����٤Ƥ�$x \in \Delta$���Ф�������Ω�ĤȲ���Ǥ��롥

�������������ʬ�˴ؤ��Ƥϡ�����4.1��ꡢ$\Delta$�ζ����ΰ����Ǥ���$c^+$��$c^-$��
$$ \begin{array}{l}
  c^+ = \{ x \in \Delta \ | \ x(t_0) \in S^+ \}, \\
  c^- = \{ x \in \Delta \ | \ x(t_0) \in S^- \}, 
   \end{array}
$$
�Ȥ��ơ�$x \in c^+$�����$c^-$�ʤ顢�ʲ��Τ��Ȥ�����Ω��(ɬ�פʤ�$\Delta$���äȾ���������)��
$$
 \frac{1}{2}w^+ \leq |w_{12}(x,t_1)| \leq \frac{3}{2}w^+.
$$

$w_{12}$���Ѳ��γ���$m_1$�����$m_2$�λĤ��γ�Ҥ���ε�Υ�˰�¸�����ޤ����٤Ƥ�$t_1 \leq t \leq \tilde{t}_2$���Ф��ơ�$c_3>0$�򤢤�����Ȥ���$|d(w_{12}(x,t))/dt| \leq c_3/A^2$�˰�¸���롥$\tilde{t}_2 - t_1$��Ǥ�դ˾������Ǥ��뤫�顢������$\Delta$�Ͻ�ʬ�������Ǥ��ơ����٤Ƥ�$x \in \Delta$�����$t_1 \leq t \leq \tilde{t}_2$���Ф���$|w_{12}(x,t) - w_{12}(x,t_1)| \leq \frac{1}{4} w^+$�����롥

�����λ����ܤ���ʬ�ϱ�ư����¸����Ф롥�ʲ��λ��¤����դ�������Ǥ褤��

(1) $P_{123}$����ʬ��$m_1,m_2$�����$m_3$�α�ư�̤Ȥ��롥���ʤ��
$$
   P_{123} = 2m_1 z_1 + m_3 z_3.
$$
����$M_1$�����$M_2$�����äơ����٤Ƥ�$t \in [\tilde{t}_1,\bar{t}_1]$�����$x \in \Delta$���Ф���
$$
  |\dot{P}_{123}(x,\tilde{t}_1)| \leq M_1, \ 
  |\ddot{P}_{123}| \leq M_2 .
$$

(2) ������������ʬ��ꡢ$x \rightarrow x^*, x \in \Delta$�ΤȤ�$\bar{t}_1 - \tilde{t}_1 \rightarrow 0$�Ǥ��롥�������ä�Ǥ�դ�$\epsilon >0$���Ф��ơ�$\Delta$��ʬ�������Ȥ뤳�Ȥˤ�ꡢ
$$
  |P_{123}(x,t) - P_{123}(x,t')| \leq \epsilon,
$$
�����٤Ƥ�$t,t' \in [\tilde{t}_1,\bar{t}_1]$�����$x \in \Delta$���Ф�������Ω�ġ�

��λ��¤�ꡢ���٤Ƥ�$x \in \Delta$���Ф���
$$ \begin{array}{rl}
 2m_1z_1(x,\tilde{t}_2) > 2m_1z_1(x,\bar{t}_1) = & 
      P_{123}(x,\bar{t}_1) - m_3z_3(x,\bar{t}_1) \\
 = &  P_{123}(x,\bar{t}_1) > P_{123}(x,\bar{t}_1) - \epsilon \\ 
 = &  (2m_1 + m_3) z_1(x, \tilde{t}_1) - \epsilon.
   \end{array}
$$
�������ä�
$$
  z_1(x,\tilde{t}_2) \geq \left( 1 + \frac{m_3}{2m_1} \right) 
z_1(x,\tilde{t}_1) - \frac{\epsilon}{2m_1}.
$$
$K$��$1 < K < 1 + m_3/(2m_1)$�ʤ�Ǥ�դο��Ȥ��롥���ΤȤ�$\epsilon$��ʬ�������Ȥ�С����٤Ƥ�$x \in \Delta$���Ф���
$$
  z_1(x, \tilde{t}_2) \geq Kz_1(x,\tilde{t}_1) > 0
$$
�ȤǤ��롥������$|z_4(x,\tilde{t}_2) - z_4(x,\tilde{t}_1)| < \delta$��������������ʬ���餿�����˸����롥���������4.4���������줿��\hfill 
$\Box$

\vspace{0.3cm}
���������˴ؤ��Ƥ����Ĥ��긫��Ҥ٤�����

(1) ���$A$�Ϥ��餫������ꤷ�Ƥ����������ͤ��Ѥ��ʤ���������$A$���������Ϥޤä���Ǥ�դǤ��롥���¡�$A$��Ǥ�դ˾��������֤��Ȥ��Ǥ����������ä�$A$�˰�¸����$B$���ͤ�Ǥ�դ˾������Ǥ��롥

(2) ���ޤޤǹͤ��Ƥ������ξ��ͤ��濴�޷�$E_+$�˴ؤ����ΤǤ��ä����¤ΤȤ����濴�޷�$E_-$���Ф��뻰�ξ��ͤ�Ʊ���褦�˼�갷���롥

(3) ��ε����Ϥ��٤�$m_3,m_4$�����$m_5$�α�ư�ˤ�Ŭ�ѤǤ��롥Ŭ����������Ѥ�����������������η�$m_3,m_4,$�����$m_5$�ˤ�Ŭ�ѤǤ���Ȳ��ꤹ�뤳�Ȥ��Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
����ǤϺǸ��������Ȥä�ͭ�»��֤���ͭ���ʲ�������뤿��ε����ϳؤ�
�Ȥ�Ω�Ƥ롥

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf 5. ͭ�»��֤���ͭ���ʲ�}
\end{center}

�Ϥ�������������4.4��2����������$\Delta$��ν���ͤ�ͤ��롥�Τ���2��ǵ��Ҥ���3���������Ӥ�ͤ��롥

���٤Ƥ�$x \in \Delta$���Ф���$N(x)$�����$n(x)$����ֶ��$[\tilde{t}_1,\tilde{t}_2]$��$r_{12}$��ã�������礪��Ӷ˾��ο��Ȥ��롥������$N(x)$��$n(x)$��$[\tilde{t}_1,\tilde{t}_2]$��$m_1$��$m_2$���Ԥʤä���ž���γ�ǰ���ĥ������ΤǤ��롥$w^+$���ͤ�Ǥ�դ˾������Ǥ��뤫��$w^+ \leq 1/10$�Ȳ���Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 5.1.} $r_{12}(x,t)$��$\tilde{t}_1(x)$�ޤ���$\tilde{t}_2(x)$�ˤ����ƶ���ޤ��϶˾���Ȥ���$x$�ʳ��Ǥ�$N(x),n(x)$�Ϥ��٤Ƥ�$x \in \Delta$������Ϣ³�Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $r_{12}(x,t)$��$t'$�ˤ����ƶ˾��ޤ��϶���ˤʤ�Ȥ��롥���ΤȤ�$\dot{r}_{12}(x,t')=0$�Ǥ��뤫�ޤ���$\dot{r}_{12}(x,t')$������Ǥ��ʤ�����Ԥξ�硢���Τޤ��ϻ��ξ��ͤ�������Ϥ��Ǥ��롥������$r_{12}(x,t')=0$�Ǥ��롥����줬���������Τϡ����٤Ƥ�$x \in \Delta$����Ӥ��٤Ƥ�$\tilde{t}_1 \leq t \leq \tilde{t}_2$���Ф���$\dot{r}_{12}(x,t)$�Υ��������٤������Ǥ��뤳�ȡ��Ĥޤꤹ�٤Ƥ�$t' \in [\tilde{t}_1,\tilde{t}_2]$���Ф��ơ�$\dot{r}_{12}(x,t')=0$�ΤȤ��ˤ�ɬ��$\ddot{r}_{12}(x,t') \neq 0$�Ǥ��뤳�ȤǤ��롥���Τޤ��ϻ��ξ���$r_{12}(x,t')=0$�ξ�硢$t'$��$r_{12}(x,t)$�������ɽ�˾��Ǥ��뤳�Ȥ����դ��褦���Ĥޤ�$\dot{r}_{12}(x,t)$�Υ����Ϥ��٤�$r_{12}(x,t)$����������ޤ��������˾��Ǥ��롥���Τ��Ȥ��顢$r_{12}(x,t)$��Ϣ³����ꡢ$\tilde{t}_1(x)$�����$\tilde{t}_2(x)$�ˤ�����$r_{12}$������ޤ��϶˾���Ȥ�$\Delta$����$x$������ơ�$N(x)$��$n(x)$�Ϥ��٤Ƥ�$x \in \Delta$�˴ؤ���Ϣ³�ؿ��Ǥ��뤳�Ȥ������롥

������������Τˡ���ư��������Ȥ�����äȰ���Ū����������ˤ��褦��
$$
  \ddot{\bf r} = \displaystyle - \frac{{\bf r}}{r^3} + {\bf f},           \leqno(5.1)
$$
�Ȥ��롥������${\bf f}$��������ư��Ǥ��롥${\bf f}$��Τ������ǷϤΥ��ͥ륮��$h$�ȳѱ�ư��$c$�ϰ���Ǥʤ���������
$$ 
  h = \frac{1}{2} \dot{r} + \frac{1}{2r^2} c^2 - \frac{1}{r},
$$
�ϻ��֤δؿ��Ǥ��롥$h<0$�ξ�������ͤ��褦�����ξ�硢
$$
  c^2 |h| = c^2 \left| \frac{1}{2} \dot{r} + \frac{1}{2r^2} c^2 
- \frac{1}{r} \right|, 
$$
�Ǥ��롥����$t$���Ф���$\dot{r}=0$�ʤ顢
$$
  c^2 |h| = c^2 \left| \frac{1}{2r^2} c^2 - \frac{1}{r} \right|, 
$$
�Ǥ��롥$w_{12} = c^2|h|$�Ȥ�����$\dot{r}=0$�ʤ顢
$$
  w_{12} = c^2 \left| \frac{1}{2r^2} c^2 - \frac{1}{r} \right|, 
$$
�Ǥ��롥���μ���$c$�ˤĤ��Ʋ򤱤�
$$
  c^2 = r + (r^2 - 2r^2w_{12})^{1/2},
$$
���뤤��
$$
  c^2 = r - (r^2 - 2r^2w_{12})^{1/2},
$$
�����롥

����$r^2 = {\bf r} \cdot {\bf r}$�Ǥ��롥������$r \dot{r} = {\bf r} \cdot \dot{\bf r}$�ޤ�$r \ddot{r} + {\dot{r}}^2 = {\bf r} \cdot \ddot{\bf r} + \dot{\bf r} \cdot \dot{\bf r}$�Ǥ��롥������
$$
  \dot{\bf r} \cdot \dot{\bf r} = {\dot{r}}^2 + r^2 {\dot{\theta}}^2 
= {\dot{r}}^2 + \frac{c^2}{r} ,
$$
�Ǥ��롥�������������ȱ�ư����������
$$
  \ddot{r} = \frac{c^2 - r}{r^3} + \frac{{\bf r}}{r} \cdot {\bf f} ,
\leqno(5.2)
$$
�����롥������������$c$�˴ؤ��룲�Ĥβ���б����ơ�
$$
  \ddot{r} = \frac{(1 - 2w_{12})^{1/2}}{r^2} +
 \frac{{\bf r}}{r} \cdot {\bf f} 
$$
�ޤ���
$$
  \ddot{r} = - \frac{(1 - 2w_{12})^{1/2}}{r^2} +
 \frac{{\bf r}}{r} \cdot {\bf f} 
$$
�����롥������
$$
  |{\bf f} r^2| < (1 - 2w_{12})^{1/2},    \leqno(5.3)
$$
�Ȥ����$\ddot{r} \neq 0$�Ǥ��롥�����Ǹ��ηϤ���������ޤ���ư��${\bf f}$��ͤ��롥5������Ǥ�Ϣ��$m_1$�����$m_2$�ؤ���ư��$m_3,m_4$�����$m_5$�ˤ�롥��ñ�˼�����褦�ˡ��������ο�$M_1$��$M_2$�����äƼ�����������롥
$$ \begin{array}{cc}
  |{\bf f} | \leq \displaystyle 
\frac{M_1}{r_{13}^2} + \frac{M_2}{r_{14}^2}, \\
  |{\bf f}r_{12}^2 | \leq \displaystyle 
\frac{M_1 r_{12}^2}{r_{13}^2} + \frac{M_2 r_{12}^2}{r_{14}^2}.
   \end{array}
$$
�����Ƕ��$[\tilde{t}_1,\tilde{t}_2]$��2�Ĥ��̡�����ʬ���$[\tilde{t}_1,t_1^*)$�����$[t_1^*,\tilde{t}_2]$��ʬ�����������̡��˹ͤ��롥$t_1^*$������α���$T$��ƻ���̲᤹�����Ǥ��ä����Ȥ�פ���������

�ޤ����$[t_1^*,\tilde{t}_2]$��ͤ��롥����$T$�򤦤ޤ������(�Ĥޤ�ɬ�פʤ�$v^+$����礷��)�����٤Ƥ�$t \in [t_1^*, \tilde{t}_2]$���Ф���$r_{12}^2/r_{13}^2$�����$r_{12}^2/r_{14}^2$��Ǥ�դ˾������Ǥ��롥�������Τ�����ˤ�ä�
$$
  |{\bf f}r_{12}^2 | \leq \displaystyle 
\frac{M_1 r_{12}^2}{r_{13}^2} + \frac{M_2 r_{12}^2}{r_{14}^2} \leq 
\displaystyle \frac{1}{10} ,
$$
�Ȳ���Ǥ��롥���������٤Ƥ�$[t_1^*,\tilde{t}_2]$���Ф���$|w_{12}| \leq 2w^+ \leq 2/10$�Ǥ��롥�������ä�
$$
  |{\bf f}r_{12}^2 | \leq 1/10 \leq (6/10)^{1/2} \leq (1-2w_{12})^{1/2}.
$$
������������(5.3)������Ω�ġ��������äƤ��٤Ƥ�$t \in [t_1^*,\tilde{t}_2]$���Ф���$\dot{r}_{12}(x,t)$�Υ����Ϥ��٤�$r_{12}(x,t)$��������׳����Ǥ��롥

���$[\tilde{t}_1,t_1^*]$���Ф��Ƥϡ�$m_3$��Ϣ��$m_1$�����$m_2$�ȶ����ط����뤫��������(5.3)������ΤϤ�����񤷤�����������뤿��˻��ξ���¿���Τ����������Ѥ��롥�ѱ�ư�̥����ε�ƻ���Ф��Ƥ�$r_{12}(x,t)$���׳����Ϥ��٤������Ǥ��뤳�ȡ��������ä�$N_0$��Ǥ⤳������������Ω�Ĥ��Ȥ����դ��롥Ϣ³�����$N_0$�˽�ʬ�ᤤ$N$�ε�ƻ���Ф��Ƥ⤳������������Ω�ġ�$T$��$N_0$�ξ����ʶ�˵��������졢$T_0$�ϥ���ѥ��ȤǤ��뤫�顢$T$�򤤤Ĥ⽽ʬ�������Ȥ�ơ�$x(t_1^*) \in T$�ʤ뤹�٤Ƥ�$x$���Ф���$\dot{r}_{12}(x,t)$�Υ������Ϥ��٤Ƥ�$t \in [\tilde{t}_1, t_1^*)$���Ф��������Ǥ��롥����������$M_3>0$�����äơ����٤Ƥ�$x$���Ф���$|\tau_1^* - \tilde{\tau}_1| < M_3$�Ǥ��뤳�ȡ��������ä�$x(t_1^*) \in T$�Ǥ��뤳�Ȥ�Ȥä���������$\tau_1^* = \tau(t_1^*)$�����$\tilde{\tau}_1 = \tau(\tilde{t}_1)$�Ǥ��롥

��Ǽ������褦�ˡ�$r_{12}(x,t)$�Τ��٤Ƥ��׳����ϡ����٤Ƥ�$x \in \Delta$�����$t \in [\tilde{t}_1,\tilde{t}_2]$���Ф��������Ǥ��롥�������ä�$N(x)$��$n(x)$��ͣ�����Ϣ³����$\tilde{t}_1$�ޤ���$\tilde{t}_2$��$r_{12}(x,t)$�ζɽ�˾��ޤ��϶ɽ����ΤȤ��ΤߤǤ��롥���������5.1���������줿��\hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
��������ǤϤ褯�Τ��Ƥ���褦�˥��ͥ륮��$h<0$���ʱߵ�ƻ�Ǥϱ�ư�μ�����$\sqrt{2}/(2|h|^{3/2})$�Ǥ��롥�ʸ�ɬ�פʤΤǡ���³��2�Ĥζ���ȶ˾��δ֤λ��֤ζ����Ʊ�ͤ�ɾ�����롥

�դ�������ư����������������ͤ��롥
$$
  \ddot{{\bf r}} = - \frac{{\bf r}}{r^3} + {\bf f},   \leqno(5.4)
$$
������${\bf f} = {\bf f}(t)$��������ư��Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 5.2.} $\epsilon>0$��Ϳ������ȼ���������$\delta>0$�����롥$h_0<0$�����$|w_{12}(x)| \leq 1/4$���Ф���$|h_0^{-2}{\bf f}|<\delta$�ʤ�
$$
\displaystyle 
  \left| \frac{\tau_{12}}{\sqrt{2}/(2|h_0|^{3/2})} - 1 \right| \leq 
\epsilon,    \leqno(5.5)
$$
�Ǥ��롥������$\tau_{12}$��$t>0$���Ф��ƺǽ�Σ��Ĥ���³������ȶ˾��δ֤λ��ֳִ֤Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
�Ϥ�������դ��Ƥ���������ν��פ���ħ��������(5.5)�����٤Ƥ�$h_0 \leq 0$���Ф�������Ω�Ĥ褦��\underline{���ͤ�}$\delta$�����뤳�ȤǤ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $|w_{12}(x)| \leq 1/4$��$h_0=-1$�ʤ륨�ͥ륮��Ķ���̾�ν������ͤ��褦��̵��ư����������μ�����$\sqrt{2}/2$�Ǥ��롥���ν���γ���$x$���Ф��ơ�����5.1�ξ�����ꡢ$|{\bf f}r^2| < (1-2w_{12})^{1/2}$���ꤷ��$r(x(t))$�Υ�������$x$��Ϣ³�ؿ��Ǥ��뤳�Ȥ������롥$r \leq 1/|h|, h_0(x) = -1$�����$|w_{12}(x)| \leq 1/4$�Ǥ��ꡢ$h(x,t)$��$w_{12}(x,t)$��${\bf f}$��Ϣ³Ū�˰�¸���뤳�Ȥ����դ��롥�������ä�$x$�˰�¸����$\delta(x)$��¸�ߤ��ơ�$|{\bf f}| \leq \delta(x)$�ʤ�
$$
    | \tau_{12}(x)\sqrt{2} - 1 | < \epsilon,    \leqno(5.6)
$$
�Ǥ��롥����$\{ x \ | \ h_0=-1, |w_{12}(x)| \leq 1/4 \}$(��§��������������Ǥ�)����ѥ��������$x$�˰�¸���ʤ����ͤ�$\delta$�����ä�$|{\bf f}| \leq \delta$�ʤ�������(5.6)����������롥

��Ǽ������Ȥ��ꡢ����5.1�ϥ��ͥ륮��Ķ����$h_0=-1$�������Ω�ġ�����Ǥ�դ�$h<0$���ͤ���ɽ����$h_0$�����ͤȤ������꤬����Ω�Ĥ��Ȥ򼨤���������������Ǥ�McGehee�κ�ɸ���Ѥ��Ʊ�ư����������$r$���ά���Ϥμ�����1����Ȥ����Ȥ��Ǥ��롥�������Ȥ��������δ����ʲ�ϴԸ����줿�Ϥβ��$r$�˴ؤ�����������������ʬ���������롥����������ȡ�McGehee���ѿ���2�Ĥν���ʹ֤ΰ㤤��$r$�����ʤ顢���$r$������ܰ㤦�����Ǥ��롥����ξ����λĤ�ϡ���λ��¤���ȯ�ۤ�����McGehee���ѿ��Ѵ��������¹Ԥ�������ˡ����δ�ñ�Ǥ����Ѥ��롥

��ʬ��������
$$ \begin{array}{ccr}
 \dot{\bf x} = {\bf v}, & 
\dot{\bf v} = \nabla U({\bf x}) + {\bf f}, & 
{\bf x} \in {\bf R}^n, {\bf v} \in {\bf R}^n,
   \end{array}   \leqno(5.7)
$$
��ͤ��褦��������$U(x)$��$-1$����Ʊ���ݥƥ󥷥��ؿ��Ǥ��ꡢ${\bf f}$����ư��Ǥ��롥
$$ \begin{array}{ccc}
 \underline{x} = |h_0|{\bf x}, & 
\underline{v} = |h_0|^{-1/2}{\bf v}, & 
\underline{t} = |h_0|^{3/2} t,
   \end{array} 
$$
�Ȥ�����������$h_0$��Ǥ�դ�����Ǥ��롥���ΤȤ�
$$ \begin{array}{cc}
 d \underline{x} / d \underline{t} = \underline{v}, & 
d \underline{v} / d \underline{t} = \nabla U(\underline{x}) + 
|h_0|^{-2} {\bf f}.
   \end{array} 
$$
���ηϤ��Ȥ�(5.7)����Ӥ����ߤ�������ư�ब$|h_0|^{-2}$�Ȥ������Ҥ���Ĥ��Ȥ�����Ƥޤä���Ʊ�����������Ȥ������äƤ��롥��������������Ŭ�Ѥ���$h_0$��Ϥν�����ͥ륮���Ȥ��롥����ȿ������Ϥν�����ͥ륮���Ϥ��٤Ƥ�$h_0<0$���Ф��ƤԤä���$h_0/|h_0| = -1$�Ǥ��롥���֤�$|h_0|^{3/2}$�Ǽ����Ѵ�����Ƥ��뤳�Ȥ����դ��褦������������ϥ��ͥ륮����$h_0=-1$�Ǥ��Ǥ˾����������Ȥ��餷��������\hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
���η�̤�$x$��$x^*$�˶�Ť����Ȥ���$N(x)$��$n(x)$�ζ˸�Ū�դ�ޤ��򼨤���

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 5.3.} $x \in \Delta$�Ȥ���$x \rightarrow x^*$�ΤȤ�
$N(x) \rightarrow \infty$����$n(x) \rightarrow \infty$�Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $x \rightarrow x^*$�ΤȤ�������4.4���$\dot{z}_3(x,\bar{t}_1) \rightarrow - \infty$�Ǥ��롥����������$c_1>0$�����ä���ʬ��$m_1,m_2$�����$m_3$�α�ư���ͥ륮����$x$����ʬ$x^*$�˶ᤤ�Ȥ�$t \in [\bar{t}_1,\tilde{t}_2]$���Ф���$c_1 \dot{z}_3^2(x,\bar{t}_1)$����礭�������ͥ륮����¸§���$c_2>0$�����äơ�
$$
  |h_{12}| \geq c_2 \dot{z}_3^2(x,\bar{t}_1)
$$
��$x^*$�˽�ʬ�ᤤ$x$�����$t \in [\bar{t}_1,\tilde{t}_2)$���Ф�������Ω�ġ�

����5.2��ꡢ$c_3>0$�����ä�
$$
  \tau_{12}(x) \leq c_3 \sqrt{2} |h_0|^{-3/2}/2 \leq 
c_4 \dot{z}_3^{-3} (x,\bar{t}_1) ,
$$
��������$c_4>0$��$x^*$�˽�ʬ�ᤤ$x$�����$t \in (\bar{t}_1,\tilde{t}_2)$���Ф�������Ω�ġ�

����$c_5>0$�����ä�
$$
  (\tilde{t}_2 - \bar{t}_1) \geq c_5B/|\dot{z}_3(x,\bar{t}_1)| ,
$$
�Ǥ��롥������$N(x) > c_6 \dot{z}_3^{-2}(x,\bar{t}_1)$�����$n(x) > c_6 \dot{z}_3^{-2}(x, \bar{t}_1)$�Ǥ��롥�������ä�$x \in x^*$�ΤȤ�
$$ \begin{array}{ccc}
  N(x) \rightarrow \infty & ����� & n(x) \rightarrow \infty .
   \end{array}
$$
���������Ͼ������줿��\hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
����5.2���$N(x)$��$n(x)$��$r_{12}(x,t)$��$\tilde{t}_1$�ޤ���$\tilde{t}_2$�ˤ����ƶɽ�Ū�˾��ޤ��϶����ã�����Ȥ��Τ��ͤ��Ѥ��뤳�Ȥ򸫤��ߤ�����$t = \tilde{t}_1$�ˤ�����$r_{12}(x,t)$�ˤ϶˾��ȶ����ͭ�¸Ĥ����ʤ����顢$x^*$�˽����$\Delta$���Ǥ�դζ������Ф��ơ����ζ������̵�¸Ĥ��������ä�$r_{12}(x, \tilde{t}_1)$(?)���ɽ�Ū�˾��ˤʤ롥�ޤ�Ʊ�ͤˡ����ζ������̵�¸Ĥ��������äơ�$r_{12}(x, \tilde{t}_2)$���ɽ�Ū����ˤʤ롥

���ޤޤǤΤȤ�������4.4��Ϳ����줿2���������ӤΤޤ��ε������濴�ˤ��Ƥ�������äȽ���ˤޤ����Ƥ����Ū�����������뤿���3���������Ӥ�Ƴ�����롥3�������̤�ͤ��Ƥ�����Ǥθ��̤�����礹������ͳ�ϡ������ǹ�������������ð��������Τ���ӻ���Ʊ�����ͤˤ����뵰ƻ�ν���ζ�˵��ˤ��ꡢ�����;����3��¿���Τ�����Ǥ��롥

���ξ��ͤξ���Ʊ�͡�McGehee���ѿ����Ѥ������Τ���ӻ���Ʊ�����ͤ��Ĥ�ޤ����Ȥ��Ǥ��롥����������$R^2 = r_{123}^2 + \alpha^2/4 r_{45}^2 = 0$��Ϳ�����뽸����Ĥ�ޤ���������$\alpha = (4/m_4)^{1/3}$�Ǥ��롥��ɸ$r_{123} = R \sin \beta$�����$r_{45} = 2 \alpha R \cos \beta$��Ȥ������Τ褦�ˤ��ơ��դ����Ӿ���¿���Τ������롥���ξ���¿���ξ��ή��ϡ�¿���쾯�ʤ������ξ���¿���ξ��ή��Ȼ��ξ��;��ή����ѤǤ���(�����ѿ��򤦤ޤ������Ѵ�����)���������Ĥ��Υ��ƥåפ����Τ���ӻ���Ʊ�����ͤ���ʬŪ�Ĥ�ޤ��Ǥ��äơ����ξ���¿���ΤΤȤ��˻Ȥä����ּ��٤򤽤Τޤ޻Ȥ������Τ褦�ˡ����ξ��ͤȻ��ξ��ͤ��̤˰������Ȥ��Ǥ��롥

Ϣ��$m_4,m_5$�˴ؤ��ưʲ���McGehee�����ѿ��Ѵ���Ƴ�����褦��
$$ \begin{array}{rl}
 (\alpha x_4, \alpha y_4) = & ( \underline{r} \cos \underline{\theta}, 
\underline{r} \sin \underline{\theta} ), \\
\beta = & \displaystyle \tan^{-1} 
\left( \frac{r}{\underline{r}} \right) \\ 
\underline{y} = & \displaystyle \left( \begin{array}{c}
                      \cos \underline{\theta} \\
                      \sin \underline{\theta} 
                    \end{array} \right) \cdot
                  \left( \begin{array}{c}
                      \alpha \dot{x}_4 \\
                      \alpha \dot{y}_4 
                    \end{array} \right), \\ 
\underline{x} = & \displaystyle \left( \begin{array}{c}
                      \alpha \dot{x}_4 \\
                      \alpha \dot{y}_4 
                    \end{array} \right) - \underline{y} 
                     \left( \begin{array}{c}
                      \cos \underline{\theta} \\
                      \sin \underline{\theta} 
                    \end{array} \right) , \\
\underline{u} = & \displaystyle \underline{r}^{1/2} \underline{x} 
                  \left( \begin{array}{c}
                    - \sin \underline{\theta} \\
                      \cos \underline{\theta} 
                    \end{array} \right) , \\
\underline{v} = & \underline{r}^{1/2} \underline{y}.
   \end{array}
$$
��κ�ɸ�ϤǱ�ư������(4.5)�ϼ��Τ褦�ˤʤ롥
$$ \begin{array}{rl}
 r' = & \displaystyle ({\bf s} \cdot {\bf z}) r, \\
 {\bf s}' = & 
\displaystyle {\bf z} - ({\bf s} \cdot {\bf z}) {\bf s}, \\
 {\bf z}' = & \displaystyle \nabla U_1({\bf s}) + 
\frac{1}{2} ({\bf s} \cdot {\bf z}) {\bf z} + 
r^2 \frac{\partial U_2 (r{\bf s},{\bf q}_4)}{\partial (r{\bf s})}, \\
z'_4 = & \displaystyle 
r^{3/2} H_{p_{z_4}} (r,{\bf s},{\bf z},{\bf p}_4,{\bf q}_4), \\
p'_{z_4} = & \displaystyle 
-r^{3/2} H_{z_4} (r,{\bf s},{\bf z},{\bf p}_4,{\bf q}_4), \\
\beta' = & \displaystyle 
v \sin \beta \cos \beta - \underline{v} \sin^{5/2} \beta / 
\cos^{1/2} \beta, \\
\underline{v}' = & \displaystyle \tan^{3/2} \beta 
\left( \frac{1}{2} \underline{v}^2 + \underline{u}^2 - 1 
\right) + O(r^{3/2}), \\ 
\underline{\theta}' = & \displaystyle 
\tan^{3/2} \beta \underline{u} + O(r^{3/2}), \\
\underline{u}' = & \displaystyle \tan^{3/2} \beta \left( - \frac{1}{2} 
\underline{u} \underline{v}         \right) + O(r^{3/2}), 
   \end{array}                   \leqno(5.8)
$$
������$U_1$������������줿�Ȥ��ꡢ${\bf q}_1$��${\bf q}_2$�Τߤ�ޤ�$U$
�ι��ޤࡥ���ʤ����
$$
  U_1({\bf s}) = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} m_1^{3/2} m_3 
\left( m_1 (s_1^2 + s_2^2)^{1/2}/m_3 + 
4(s_1^2 + s_2^2 + (1+2m_1/m_3)s_3^2)^{-1/2}
\right) .
$$
�����Ǥ�$ \ ' \ $��$\tau$�˴ؤ�����ʬ��ɽ�路��$d\tau/dt = r^{-3/2}$�Ǥ�
�롥$m_1,m_2$�����$m_3$�˴ؤ����������ϡ�������(4.5)���ˤ�����Ȥޤä�
��Ʊ���Ǥ��롥

������(5.8)�ˤ����ơ�$r=0$������¿���ΤǤ��롥�����$m_1,m_2$�����$m_3$
�λ��ξ��ͤ�$m_4,m_5$�����ξ��ͤ�Ʊ���˵��������¿���ΤǤ��롥�����Ʊ
������¿���ΤȸƤ֡�ñ�Ȥλ��ξ��ͤ����ξ��ͤϤ��줾��$\beta=0$��
$\beta=\pi/2$���б����뤳�Ȥ����դ��롥(5.8)���ˤ�$m_4,m_5$��ñ�Ȥ�����
���ͤ��б������ð�����$\beta=\pi/2$�ΤȤ����ˤޤ����롥�����ð��������
�Τ�ɸ��Ū��ˡ���Ȥ��롥�����餯$m_4,m_5$��Levi-Civita��ɸ��Ȥ������֤�
�����Ѵ������ð�����������롥���������̾�λ��ּ��ٰ���$r_{45}$�ϻȤ�
�ʤ����Ȥ����ΤϤ����Ǥϻ����ѿ�$\tau$�Ϥ��Ǥ�$r^{3/2}$�ˤ�äƼ����Ѵ�
����Ƥ��뤫��Ǥ��롥����$\cos \beta$��Ȥ��٤��Ǥ�������$\cos \beta$��
��μ����Ѵ������ξ��ͤ򿷤����ѿ��Ǥ���ư���ˤ��Ƥ��ޤ���
