
�����Ǥ�Easton�Υ֥��å���§���������ñ������ξ��ͤ���§�����롥������ˡ�ǤϾ��͵�ƻ�����е�ƻ�ȤĤʤ��ΤǤ��롥2�ܤε�ƻ��Ĥʤ�����Ǥϡ���̤Ȥ���������ή��Ͼ��ͤ��̤äƤ����Ū�˳�餫�Ǥ��뤳�Ȥ��狼�롥���٤Ƥξ�����$r>0$���Ф����ð���$\beta=\pi/2$�ϥ֥��å��Ȥ�����§���Ǥ���Ȥ����褯�Τ�줿���¤����դ��褦��$r=0$�ξ��$m_4$��$m_5$�α�ư��¾��γ�Ҥ���ɤ����ư������ʤ���������Ǥ��롥�������ä��ð���$\beta=\pi/2$��Ʊ������¿���Τ���������롥

��������Ӱʸ�Ǥ�ή�����§�����줿��ΤȤ��롥

�տ�Ū�ˤ郎Ʊ������¿���Τ򥨥ͥ륮����ʬ���뤤�ϥ��ͥ륮���ط��ˤ�ä�Ϳ���������ѽ�������¤��ʤ����Ȥ�Ҥ٤Ƥ��������������������ѽ�����ˤϤ���������̣������ư�������롥

���ƾ���¿���ξ��ή������ܤ��褦��$r=0$�ΤȤ�����$m_1,m_2$�����$m_3$�˴ؤ����������Ϥ��Ǥ˵���������ΤȤޤä���Ʊ���Ǥ��롥��ñ�ˤ狼��褦��Ʊ������¿���Τ���ư����
$$
  \tilde{P} = \{ P \} \times \left\{ \underline{u} = 0, \underline{v} = 
\pm \sqrt{2}, \beta = \tan^{-1} ((v_P/\sqrt{2})^2), \underline{\theta} \in (0, \pi/2) \right\}
$$
�ʤ뷿�����ޤ���
$$
  \{ P \} \times \{ \beta=0 \},
$$
�ʤ뷿�Ǥ��롥������$P$�ϻ��ξ���¿���������ư���ΤҤȤĤǤ��ꡢ$v_P$��$P$�ˤ�����$v$���͡�$\pm$����$v_P$������Ʊ���Ǥ��롥

�ä˶�̣�����Τ�$P=E_+$�ʤ���ư���Ǥ��롥������$E_+$�ϻ��ξ���¿���ξ����ư���Ǥ��롥��ñ�˷׻��Ǥ���褦�ˡ���ư��$\tilde{E}_+$�ξ�硢���ξ���¿���Τ����2�Ĥ����θ�ͭ�ͤ˲ä��ơ��⤦2�����θ�ͭ�ͤ����롥������$c_{12} + c_{45} =0$�ʤ�������ʬ���֤����¤��Ƥ��뤫�顢���δط���Ȥä��ѿ�$\underline{u}$��õ�Ǥ��롥�������ä�$\tilde{E}_+$�ΰ���¿���Τ�;����3�Ǥ��롥$\tilde{E}_-$�ˤĤ��Ƥ�Ʊ�ͤε���������Ω�ġ������Ȥ��ơ����Τ��������Ʊ�����ͤ˻�뵰ƻ�������礬;����3�γ�餫��¿���Τ�ʤ����Ȥ������롥

���ξ���¿���ξ��$\tilde{E}_+$��2�����԰���¿���ΤϤ��ޤޤǤ����Ĵ�٤�������ɤ�Ʊ�����ͤ����������԰���¿���ΤΤ��餿��ʬ�ޤˤĤ��Ƶ������褦���������԰����ͭ�٥��ȥ��$\delta \beta$�����ˤ��롥�԰���¿���Τ����������ˤɤΤ褦�˸����äƤ��뤫�򸫤뤿��ˡ�$\underline{u}=0, v = v_{E_+}$�����$\underline{v} = - \sqrt{2}$����ꤹ�롥�����$\beta$�˴ؤ��뼰��$\beta$���ȤΤߤ˰�¸���롥���ʤ�������줫��ή������ѽ��礬�����롥$\beta$�ν���ͤ�$\beta^* = \tan^{-1} (v_{E_+}^2/2)$��꾮������С����٤Ƥ�$\tau>0$�ˤ錄�ä�$d \beta/d \tau < 0$�Ǥ��ꡢ�������ä�$\tau \rightarrow \infty $�ΤȤ�$\beta \rightarrow 0$�Ǥ��뤳�Ȥ�Ƚ�롥������$\beta$�ν���ͤ�$\beta^*$����礭����С���ñ�ˤ狼��Ȥ��ꡢ$d \beta / d \tau >0$�Ǥ��ꡢ$\tau$������ͭ�¤��ͤ˶�Ť��Ȥ�$\beta \rightarrow \pi/2$�Ǥ��롥�Ĥޤ군ƻ��$m_4,m_5$�����ξ��ͤ�и����롥��§���μ�ˡ�ˤ�ꡢ�������ξ��͵�ƻ���������е�ƻ�ˤĤʤ��롥��Ԥ�$\underline{v}= \sqrt{2}$��$\underline{\theta}$�Ϥ��礦��$\pi$�������䤷����ƻ�Ǥ��롥���ξ��ͤ������Ф���Ƥ����$d \beta/d \tau < 0$�Ǥ��롥�դ�����$\tau \rightarrow \infty$�ΤȤ�$\beta \rightarrow 0$�Ǥ��롥�Ĥޤꡢ$\tilde{E}_+$���԰���¿���ΤΤ���ʬ�ޤ�$m_1,m_2$�����$m_3$�λ��ξ��ͤ˽���롥

���͵�ƻ�����е�ƻ�ˤĤʤ�����Ͽ͹�Ū�Ǥ��äƳ�餫�Ǥʤ������뤫�⤷��ʤ����������᤯�β��ͤ���С����줬������ή�����§�����뤳�Ȥ��狼�롥[4]�򻲾Ȥ��补

Ʊ������¿���ξ����ư����$\beta=0$����$v<0$�Τ�Τ�$\delta \beta$�����˵۰�Ū�Ǥ��롥��6�ˤϳƼ�ΰ��ꤪ����԰���¿���Τޤ�����������Ū���֤��޼�����Ƥ��롥

\vspace{1.0cm}
\hspace*{6.0cm} ��6

\vspace{4.5cm}
$x^*$��$\tilde{E}_+$�ΰ���¿���Τ����Ȥ��롥���ʤ��$x^*$�����ȯ���뵰ƻ��$m_1,m_2$�����$m_3$�λ��ξ��ͤ�$m_4,m_5$�����ξ��ͤ�Ʊ�����ͤ˽���롥$t^*$���$x^*$�ǽ�������Ȥ��롥������${\bf q}_4(x^*,t^*) ={\bf q}_5(x^*,t^*)$�Ǥ��롥��ǽҤ٤��Ĥ�ޤ��μ�ˡ�ˤ��С�$\tilde{E}_+$���԰���¿����Un$(\tilde{E}_+)$��;����3�γ�餫����ʬ¿���Τ�ʤ���$\Pi$��$x^*$��Un$(\tilde{E}_+)$�Ȳ���Ū�˸���3�������̤Ȥ��롥��ñ�ˤ狼��Ȥ��ꡢ$\Pi$�Ͻ���$\Sigma_1$��$x^*$�ζ᤯�ξ����ʶ����Ǹ���(��6����)��$\iota$�򤳤ζ����Ȥ��롥������$\iota \in \Sigma_1$�Ǥ��롥$x^*$��Ʊ�����ͤʤΤ�$\iota$��$x^*$�ǳ�餫�Ǥʤ����⤷��ʤ���

�ä���$\Pi$������$\{ x_4(x, \tilde{t}_1) = 0, y_4(x, \tilde{t}_1) = 0 \}$��$x^*$�ǲ���Ū�˸���Ȥ����ޤ����ν����$\Pi$�θ���������$x^*$�ˤ����ƶ���$\iota$�ȸ���Ȥ��롥

����ʸ��$\Pi$�����ȯ�����˾����򤢤Ƥ롥$\Pi$�˲ݤ����ͣ��ξ��ϲ��������Ǥ��뤳�Ȥ����դ��Ƥ��������Τ褦��Ķ����$\Pi$��¸�ߤ��뤳�Ȥ����餫�Ǥ��롥

Ʊ������¿���ξ�ǻ��ξ��ͤ˴ط������ѿ��ϻĤ���ѿ�����Ω�Ǥ��뤳�Ȥ�⤦���ٻ�Ŧ���Ƥ������������ä�����4.4�β��Ϥ�$\tilde{E}_+$�ΰ���¿���ξ����$x^*$�ؤ��ĥ�Ǥ��롥

����4.4�����$\Pi$�˴ؤ��벣��������ꡢ$\iota$��ĺ���Ȥ���3����������$W$�����äưʲ��ξ������������Ȥ��狼�äƤ��롥

(1) ���٤Ƥ�$x \in W$���Ф��ơ�$\tilde{t}_1(x), t_1(x), \bar{t}_1(x)$�����$\tilde{t}_2(x)$�Ϥ��ޤ�������줿(well-defined)$x$��Ϣ³�ؿ��Ǥ��ꡢ$x \rightarrow \iota$�ΤȤ�$\dot{z}_3(t_1) \rightarrow \infty, \dot{z}_3(\tilde{t}_1) \rightarrow \infty$�Ǥ��롥

(2) $c^+$�����$c^-$��$W$�ζ�����2�Ĥ����ҤǤ��ä�$\iota$�������ζ��̤ζ����ˤʤäƤ���Ȥ��롥���ΤȤ����٤Ƥ�$x \in c^+$���Ф���
$$
   \frac{1}{4} w^+ \leq w_{12}(x, \tilde{t}_2) \leq 2w^+,
$$
�ޤ����٤Ƥ�$x \in c^-$���Ф���
$$
   \frac{1}{4} w^+ \leq - w_{12}(x, \tilde{t}_2) \leq 2w^+.  \leqno(5.9)
$$

(3) $m_1,m_2$�����$m_3$�μ��̤Τߤ˰�¸����$K>1$�����äơ�Ǥ�դ�$\epsilon>0$���Ф��ơ�$W$��ʬ���������С����٤Ƥ�$x \in \Delta$���Ф��Ƽ�������Ω�ġ�
$$ \begin{array}{c}
\displaystyle 
  z_1 (x, \tilde{t}_2) \geq K z_1 (x, \tilde{t}_1) > 0, \\
\displaystyle 
 |z_4(x, \tilde{t}_2) - z_4(x, \tilde{t}_1)| < \epsilon.
   \end{array}
$$

(4) ����$\iota, c_1$ �����$c_2$�Ͻ���$\{ x_4(x, \tilde{t}_1)=0, y_4(x, \tilde{t}_1)=0 \}$�ȸ���ʤ��� 

����2�Ĥ�����Ϥ������༡�����ȵ����ϳؤλ��Ѥ�����������Τ��ܼ�Ū�Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 5.4.} ����������������$W$���Ф���$W \subset \Pi$�Ǥ��롥$x^*$��ޤ���Ǥʤ��Ľ���$\iota_1 \in W$�����äơ����٤Ƥ�$x \in \iota_1$���Ф���$r_{45}(x,\tilde{t}_2) = 0$�Ǥ��롥���ʤ����$\iota_1$�����ȯ���뵰ƻ�ϻ���$\tilde{t}_2$��$m_3,m_4$�����$m_5$�λ��ξ��ͤ˽���롥����˽���$\iota_1$��Ϣ��Ǥ���2���ʾ��ޤࡥ

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $c$��$x^*$�Τޤ���$W$�ζ�����ξ������Ķ����Ȥ��롥����$\Pi$�˲ݤ��������������$c$�Ͻ���$\{ x_4(x, \tilde{t}_1)=0, y_4(x, \tilde{t}_1)=0 \}$�ȸ���ʤ������ξ塢$c$����$S^1$�ؤΰʲ��μ����Ϥ褯��������(well-defined)���ꡢ����Ū�������Ǥ��롥
$$ \begin{array}{ccc}
  h_1(x) = \displaystyle \left( \frac{x_4(x, \tilde{t}_1)}
{(x_4^2(x, \tilde{t}_1)+y_4^2(x, \tilde{t}_1))^{1/2}},
\frac{y_4(x, \tilde{t}_1)}
{(x_4^2(x, \tilde{t}_1)+y_4^2(x, \tilde{t}_1))^{1/2}} 
\right) & {\rm for \ all} & x \in c.
   \end{array}
$$
����$h_1$�ϼ�����1�μ����Ǥ��롥�����Ǥ�Ϥ�$c$����$S^1$�ؤμ����Ǥ���$h_2$�򼡤Τ褦��������롥
$$ \begin{array}{ccc}
  h_2(x) = \displaystyle \left( \frac{x_4(x, \tilde{t}_2)}
{(x_4^2(x, \tilde{t}_2)+y_4^2(x, \tilde{t}_2))^{1/2}},
\frac{y_4(x, \tilde{t}_2)}
{(x_4^2(x, \tilde{t}_2)+y_4^2(x, \tilde{t}_2))^{1/2}} 
\right) & {\rm for \ all} & x \in c.
   \end{array}
$$
������$W$��������ꡢ$h_2$��褯��������(well-defined)���ư���Ū�������ʼ�����1�μ����Ǥ��뤳�Ȥ�Ƚ�롥

���ޤ������ñ��ʰ���Ū�ʵ������餷��������$S$��$W$��ζ��̤�$c$�򶭳��˻��Ĥ�ΤȤ��롥�����$S$��$x_4(x, \tilde{t}_2)=0$����$y_4(x, \tilde{t}_2)=0$�ʤ����򾯤ʤ��Ȥ�1�Ĵޤࡥ�����Ǥʤ���м���$h_2$�Ͻ���$S$��Ϣ³�˳�ĥ�Ǥ��뤬��������Բ�ǽ�Ǥ��롥$\iota'_1$��$W$���$x_4(x, \tilde{t}_2)=0$����$y_4(x, \tilde{t}_2)=0$�ʤ������٤Ƥν���Ȥ��롥���ΤȤ�$\iota'_1$�϶��Ǥʤ��Ľ���Ǥ��ꡢ$x^* \in \iota'_1$�Ǥ��롥$\iota_1$��$\iota'_1$��Ϣ����ʬ��$x^*$��ޤ��ΤȤ��롥���餫��$\iota_1$��$x^*$�ʳ�������ޤफ�����꤬�������줿��\hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
���η�̤�$\iota_1$�����ȯ�����˴ط����롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 5.5.} $\iota_1 \in \Sigma_4$������5.4�ζ����Ȥ��롥���ΤȤ�̵������$x_1, x_2, x_3, \ldots, x_i \in \iota_1, i \in {\bf N}$��$i \rightarrow \infty$�ΤȤ�$x_i \rightarrow x^*$�ʤ��Τ����ä�$r_{12}(x_i, \tilde{t}_2)=0$�Ǥ��롥���ʤ����$x_i$�����ȯ���뵰ƻ�ξ�硢������εڤӻ���Ʊ�����ͤǽ���롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. ����5.3���$x \rightarrow x^*, x \in \iota_1$�ΤȤ�$n(x) \rightarrow \infty$�Ǥ��롥$n(x)$�ϳ��ʴؿ��Ǥ��ä�$r_{12}(x,t)$��$\tilde{t}_1$�ޤ���$\tilde{t}_2$�Ƕɽ�˾���ã�����Ȥ��Τ��ͤ��Ѥ��뤳�Ȥ�פ���������$W$��ʬ����������Ǥ����С�$x \in \iota_1$�����$t=\tilde{t}_1$�ˤ�����$r_{12}(x,t)$�ζɽ�˾��Ϥʤ����顢�ؿ�$n(x)$����Ϣ³����$r_{12}(x,t)$��$t=\tilde{t}_2(x)$�ˤ����ƶɽ�˾���ã�����Ȥ��Τ������롥$\iota_1$��Ϣ��Ǥ��뤫�顢Ǥ�դ�������$i$��ʬ�礭���Ȥ�С���$x_i \in \iota_1$�����ä�$n(x)$��$x_i$����Ϣ³��$n(x_i)=i$�Ǥ��롥(�����Ǥʤ���н���$\iota_1$����Ϣ��ˤʤäƤ��ޤ������줾��$n(x) \geq i$�����$n(x) < i$�ʤ붦����ʬ�Τʤ�2�Ĥζ��Ǥʤ�Ϣ����ʬ���¤ˤʤäƤ��ޤ���)�����������ֹ���դ�ľ����$x_i$�Ȥ���$x_i, i=1,2,3,\ldots$��$r_{12}(x_i,t)$���ɽ�˾��ˤʤ����Ȥ��롥�����$\dot{r}_{12}(x_i, \tilde{t}_2)=0$�ޤ���$r_{12}(x_i, \tilde{t}_2)=0$�Ǥ��롥�ѱ�ư�̤���¸§$c_{12} + c_{45}=0$���$c_{12}(x_i,\tilde{t}_2)=-c_{45}(x_i,\tilde{t}_2)=0$�Ǥ��롥$c_{45}(x_i,\tilde{t}_2)=0$������Ǥ��롥�������ä�$\ddot{r}_{12}(x_i,\tilde{t}_2)<0$�Ǥ��ꡢ$\dot{r}_{12}(x_i,\tilde{t}_2)=0$����ɽ����Τߤ������롥���Τ��Ȥ���$r_{12}(x_i,\tilde{t}_2)=0$�����������꤬�������줿��\hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
���ޤǤ�����줿��̤�ޤȤ�褦��$x^* \in \Sigma_1$��$x^*$�����ȯ���뵰ƻ��$m_1,m_2$�����$m_3$�λ��ξ��ͤ�$m_4,m_5$�����ξ��ͤ�Ʊ�����ͤ˽�������Ȥ��롥$\Pi$������֤ξ����ʡ�����Ū��3����Ķ���̤Ȥ��롥����$\Pi$��$x^*$�������˴ޤ����$\iota$���$\Sigma_1$�ȸ��롥�����$\iota$��ĺ���Ȥ��뤯����$W$�����äơ�������$W$�����ȯ���뤹�٤Ƥε�ƻ���Ф���$m_3$��$m_1$��$m_2$�����ꤲ�Ф����$m_4$�����$m_5$������û���֤��ɤ��Ĥ���$W$���äȾ����������$m_3$��$m_4$�����$m_5$���ɤ��Ĥ����֤Ϥ�����Ǥ⾮�����Ǥ��롥����ˤ�����$W$�������ˤ�̵������$x_1, x_2, \ldots, x_i \rightarrow x^*$�����äơ�Ǥ�դ�$i \in {\bf N}$���Ф���$x_i$�����ȯ���뵰ƻ��$m_3, m_4, m_5$�λ��ξ��ͤ�$m_1,m_2$�����ξ��ͤ�Ʊ�����ͤ˽���롥

���ޤ�����μ��̤ΤҤȤĤǤ�������1.1���������������Ǥ�����

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����1.1�ξ���}. ������$W$���������Ҥβ����򷫤��֤�����$x_1, x_2, \ldots$�򸫤Ĥ��뤳�Ȥ���Ϥ�褦�������$x^*$�������$x_i, i \in {\bf Z}$��$\iota_1$��Ȥ����ޤ�$m_1,m_2,m_3$�λ��ξ��ͤ������$m_3,m_4,m_5$�λ��ξ��ͤ�Ȥ�����$x_i$���Ф���$x_i$�ξ����ʶ�˵$\Pi_i \subset W \subset \Pi$��ȤꡢĶ����$\Pi_i$�����ȯ������ͤ��롥$\Pi_i$��$\Pi$�˲ݤ��줿�ΤȻ��������������������Ȳ���Ǥ��롥����ϲ�������郎����Ū�ʾ�������Ǥ��롥������$\Pi$��Ǥ�դ˾������Ѳ���Ϳ���Ƥ��٤Ƥβ�������郎���������褦�ˤǤ��롥����4.4������5.4�����5.5��ꡢ�դ����Ӥ�����$W_i$�򸫤Ĥ��뤳�Ȥ��Ǥ���$W_i$��$x_i$�������˻���$\iota_1$����ʬ�ɤ�ĺ������ġ�$W_i$��$W$�˻�����������Ĥ��Ȥ����դ��롥�Ĥޤꡢ$W_i$�����ȯ���뵰ƻ���Ф��ơ�$m_3$��$m_4$�����$m_5$�����®��ƨ����ꡢ����û���֤�$m_1$�����$m_2$���ɤ��Ĥ���$\tilde{t}_3(x), x \in W_i$��$m_3$��$m_1$��$m_2$����������ã�������Ȥ��롥$x$��$W_i$��Τ�äȾ����ʤ����Ӥ����¤��뤳�ȤǺ�$\tilde{t}_3 - \tilde{t}_2$��Ǥ�դ˾������Ǥ��롥

�դ����ӡ���$i$���Ф��ơ�������$W_i$���̵������$x_{ij}, j=1,2,3,\ldots, x_{ij} \rightarrow x_i$�򸫤Ĥ��뤳�Ȥ��Ǥ���$x_{ij}$�ε�ƻ��$m_1,m_2,m_3$�λ��ξ��ͤ�$m_4,m_5$�����ξ��ͤ�Ʊ�����ͤ˽���롥���٤Ƥ�$j \in {\bf Z}$���Ф���$x_{ij}$��$x_i$�Ȼ�����������ġ������³���ơ���������Ǥ�դ�̵����$i_1i_2i_3 \cdots$��Ϳ������С������Ӥ���
$$
  \ldots \subset W_{i_1i_2i_3} \subset W_{i_1i_2} \subset W_{i_1} \subset W
$$
�򸫤Ĥ��ơ��������
$$
  \tilde{t}_1(x) < \tilde{t}_2(x) < \tilde{t}_3(x) < \ldots
$$
��
$$
  W \cap W_{i_1} \cap W_{i_1i_2} \cap W_{i_1i_2i_3} \cap \ldots
$$
�Τ��٤Ƥ������Ф���������뤳�Ȥ��Ǥ��롥�ä���$\tilde{t}_{i+1}(x) - \tilde{t}_i(x)$��Ǥ�դ�$i \in {\bf Z}$���Ф���Ǥ�դ˾������Ǥ��롥�����顢$\tilde{t}_{i+1}(x)$����������¤�
$$
  \tilde{t}_{i+1}(x) - \tilde{t}_i(x) \leq 2^{-i} ,
$$
�Ȳ���Ǥ��롥

�����ϳؤ�Ȥä�����1.1�ξ��������᤯����������������̵����$i_1i_2i_3 \ldots$���Ф��ơ���ι���ˡ�ˤ�ꡢ�б����뤯���Ӥ�̵����
$$
  \ldots \subset W_{i_1i_2i_3} \subset \overline{W}_{i_1i_2i_3} \subset 
W_{i_1i_2} \subset \overline{W}_{i_1i_2} \subset 
W_{i_1} \subset \overline{W}_{i_1} \subset W,
$$
�����롥������$\overline{V}$�Ͻ���$V$������Ǥ��롥����Ҥˤʤä�������϶��Ǥʤ�������ʬ����ġ�${\bf q}^*$�򤳤ζ�����ʬ�����Ȥ��롥���ΤȤ�
$$
  {\bf q}^* \in W_{i_1i_2i_3 \cdots}
$$
�Ǥ��ꡢ$\tilde{t}_i({\bf q}^*)$�����٤Ƥ�$i=1,2,3, \ldots$���Ф�����������
$$
  \tilde{t}_1({\bf q}^*) < \tilde{t}_2({\bf q}^*) < 
  \tilde{t}_3({\bf q}^*) < \ldots .
$$
$\tilde{t}_{i+1}({\bf q}^*) - \tilde{t}_i({\bf q}^*) \leq 2^{-i}$�Ǥ��뤫�顢��϶˸�$t_{\infty}$����ġ����ʤ��
$$
  t_{\infty} = \lim_{i \rightarrow \infty} \tilde{t}_i ({\bf q}^*) 
\leq \tilde{t}_1 + \sum_{i=1}^{\infty} 2^{-i} < \infty.
$$
�������ä�${\bf q}^*$�����ȯ���뵰ƻ�ξ�硢��Ϥ��٤Ƥ�$t, 0 \leq t < t_{\infty} < \infty$���Ф����������Ƥ��롥${\bf q}^*$�����ȯ�����˴ؤ���$t \rightarrow t_{\infty}$�ΤȤ�
$$ \begin{array}{ccc}
  z_1(t) = z_2(t) \rightarrow \infty & ����� & 
  z_4(t) = z_5(t) \rightarrow - \infty    
   \end{array}                            \leqno(5.10)
$$
�Ǥ��뤳�Ȥ��������Τ˽���ǽҤ٤�von Zeipel��������Ȥ����Ȥ�Ǥ��롥����$t_{\infty}< \infty$���ð����Ǥ��ꡢ����ˡ�ˤ�ꡢ$t_{\infty}$�Ͼ����ð����ǤϤʤ����������ä�$t \rightarrow \infty$�ΤȤ�$\lim I \rightarrow \infty$�Ǥ��롥������$I$�Ϸ����Τδ����⡼���ȤǤ��롥(�����������ξ�硢���ξ��ͤ���§������Ƥ��뤫��von Zeipel��������ľ��Ŭ�ѤǤ��ʤ����Ȥ����դ��褦������ɤ�von Zeipel���������ĥ�������ξ��ͤ���§������������ξ��ͤ�и���������§�ʲ�Ȥ��ư����褦�ˤ��뤳�ȤϤऺ�������ʤ�.) ����������������(5.10)���������ݤ�Ƴ���������Ĥ���ɾ����Ȥ����Ȥˤ��褦������4.4���軰��������ꡢ������Ǥ�դ���$\epsilon_1, \epsilon_2, \ldots$���Ф���$W, W_i, W_{i_1i_2}, \ldots$��ʬ�������Ȥäưʲ������������������褦�ˤǤ��롥
$$ \begin{array}{rcl}
 z_1({\bf q}^*, \tilde{t}_2) & \geq  & K z_1({\bf q}^*, \tilde{t}_1), \\
 z_1({\bf q}^*, \tilde{t}_3) & \geq  & z_1({\bf q}^*, \tilde{t}_2) - 
\epsilon_1, \\
 z_1({\bf q}^*, \tilde{t}_4) & \geq  & K z_1({\bf q}^*, \tilde{t}_3), \\
 z_1({\bf q}^*, \tilde{t}_5) & \geq  & z_1({\bf q}^*, \tilde{t}_4) - 
\epsilon_2, \\
 \ldots \ \ & \ldots & \ \ \ldots
   \end{array}
$$
������$K>1$������Ǥ��롥Ǥ�դ�$1<K_0<K$���Ф��ơ���ñ�ˤ狼��褦�ˡ�
$\epsilon_1, \epsilon_2, \ldots$����ʬ��������С����٤Ƥ�$n>0$���Ф���
$$
  z_1({\bf q}^*, \tilde{t}_{2n+2}) \geq 
K_0 z_1({\bf q}^*, \tilde{t}_{2n}) \geq K_0^n 
z_1({\bf q}^*, \tilde{t}_{2})
$$
�Ǥ��롥�������ä�
$$ \begin{array}{ccc}
  z_1({\bf q}^*,t) = z_2({\bf q}^*,t) \rightarrow \infty 
& {\rm as} & t \rightarrow t_{\infty}.
   \end{array} 
$$
Ʊ�ͤ�
$$ \begin{array}{ccc}
  z_4({\bf q}^*,t) = z_5({\bf q}^*,t) \rightarrow -\infty 
& {\rm as} & t \rightarrow t_{\infty}.
   \end{array} 
$$

$\Lambda$�򤳤Τ褦�������٤Ƥν��ޤ�Ȥ��롥���ʤ����Ǥ�դ�${\bf q}^* \in \Lambda$���Ф����б�������������̵����$i_1, i_2, \ldots$�����ä�
$$
\displaystyle 
  {\bf q}^* \in \cap_{n=1}^{\infty} W_{i_1 i_2 \cdots i_n} 
$$
�Ǥ��롥$\Lambda$�����ȯ���뵰ƻ��ͭ�»��������ͭ���ʲ�Ǥ��롥

$\Lambda$����Ļ��Ǥ��뤳�Ȥ����餫�Ǥ��롥���������1.1�ξ��������뤷����\hfill $\Box$ 

\vspace{0.3cm}
��˻Ȥ��Τǡ������ǹ�������ͭ�»��������ͭ����������򤤤��Ĥ��Ҥ٤롥$\Lambda$�ι�����ˤ��ä������Ӥ�ɬ�פʤ��äȾ��������٤뤫�顢���٤Ƥ�$x \in \Lambda$���Ф��ưʲ�������������Ω�ĤȲ���Ǥ��롥

(1) ���٤Ƥ�$n>0$���Ф���$|\bar{t}_{n+1} - \bar{t}_n| \leq 2^{-2n}$;

(2) ���٤Ƥ�$n>0$���Ф���$|\dot{z}(\bar{t}_n)/ \dot{z}_3(\bar{t}_{n+1})| \leq 2^{-n}$;

(3) $z_3>0$�ʤ�ɬ��$h_{123}(t) \gg 0$�ޤ�$z_3<0$�ʤ�ɬ��$h_{345}(t) \gg 0$. 

\noindent
�������äƻ��ξ��ͤ˶ᤤ��ʬ�Ϥ�ͤ���Ȥ��ϸ���Ū������������Ω�ġ�

���������1.2�ξ����򴰷뤹�롥

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf 6. ������ð���}
\end{center}

����Ǥϡ�������Ķ����$\Pi$���ͭ�»��֤���ͭ���ʲ����Ļ��Ĺ���������
���Ǥ˻�Ŧ�����褦�ˡ�$m_1$��$m_2$�����$m_4$��$m_5$�δ֤����ξ��ͤϤ���
����§������Ƥ��롥�������äƤ����β�����ξ��ͤ�ޤ����롥�������
����Ū������ǹ���������Τ����Τϼ¤����ξ��ͤ�ޤޤʤ����Ȥ򼨤�����
�ˤ��롥

����μ�������1.2���Ϣ�������������뤳�Ȥˤ�äƾ������褦������6.1
�νҤ٤�Ȥ����Ǥϡ�����ǹ���������ͭ����ξ�硢ξ����Ϣ��$m_1,m_2$��
���$m_4,m_5$��Υ��Ψ��1�˶�Ť�������������С�${\bf q}^* \in \Lambda$
�Ȥ�$t_{\infty}$��򤬽�������Ȥ��롥�����$t \rightarrow t_{\infty}$
�ΤȤ�$w_{12}({\bf q}^*(t)) \rightarrow 0$�Ǥ��롥�Ĥޤ�Ϣ���β��ľ����
��˶ᤤ������6.2�μ�ĥ�ˤ���Ϣ��$m_1,m_2$��$m_4,m_5$���ʱߤμ���$t
\rightarrow t_{\infty}$�ΤȤ��˸¤���ġ��Ǹ�ˡ�����6.3�Ǥϡ�������2
�Ĥζ˸¼���$0, \pi/2, 3 \pi/2$�ޤ���$\pi$�ʳ��γ��٤�ʤ���$t_{\infty}$
�˽�ʬ�ᤤ���٤Ƥ�$t$���Ф���Ϣ���ΰ��������Ȥ���$m_1$��$m_2$���γѱ�ư
�̤����Ǥ��äƤ⤦������Ϣ��$m_4$��$m_5$�γѱ�ư�̤���Ǥ��롥�Ĥޤꡢ
$t_{\infty}$�˽�ʬ�ᤤ$t$���Ф��Ƥɤ����Ϣ���˳�����Ƥ�줿�ѱ�ư�̤�
�����Ѥ��ʤ�������ˤ�ä�$t_{\infty}$�˽�ʬ�ᤤ$t$���Ф������ξ��ͤ�
�Բ�ǽ�Ǥ��뤳�Ȥ��ݾڤ���롥����6.3�Ϥ�����κǤ���פ�����Ǥ��롥��
�ξ�����ľ��Ū�˼��Τ褦�˽Ҥ٤뤳�Ȥ��Ǥ��롥$t \rightarrow t_{\infty}$
�ΤȤ���$m_1,m_2$�����$m_4,m_5$�򤽤줾��ζ˸¼��ˤɤ�ɤ��Ť��롥��
��Ϥۤɤ�ɤλ��֤˴ؤ�������Ω�ġ�������ѱ�ư�̤��Ѳ��ϸ������뤫����
���뤫�����Ƥ����������Ǥ��롥����椨�����̣�Ǥϡ��ɤ����Ϣ���ξ���
�ѱ�ư�̤Ϥޤ��ޤ�ñĴ�ؿ��Τ褦�ˤդ�ޤ���������$t$��$t_{\infty}$�ν�
ʬ�᤯�Ǥϥ�������Υ�줿�ޤޤǤ��롥���������꤫�顢���տ�������ͤ���
�٤�������ð����������뤳�Ȥ��狼�롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 6.1.} ${\bf q}^*(t)$������ǹ�������ͭ�»��֤���ͭ���ʲ�Ȥ��롥
�����$t \rightarrow t_{\infty}$�ΤȤ�$w_{12}({\bf q}^*(t)) \rightarrow
0$�����$w_{45}({\bf q}^*(t)) \rightarrow 0$�Ǥ��롥������$t_{\infty} <
\infty$�ϲ�${\bf q}^*(t)$����������Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. �Ϥ����$n \rightarrow \infty$�ΤȤ�$w_{12}({\bf q}^*(\bar{t}_n)) \rightarrow 0$�򼨤�������������$\bar{t}_n$�������������줿��ΤǤ��롥����ص��Τ��ᡢ
$$
  | w_{12}({\bf q}^*(\bar{t}_n)) | \leq 2^{-n} M_1 ,
$$
�����������$M_1$����Ӥ��٤Ƥ�$n=1,2, \ldots$���Ф�������Ω�Ĥ��Ȥ⼨������

${\bf q}^*(t)$�ι���ˡ��ꡢ
$$
  | w_{45}({\bf q}^*(\bar{t}_{2n})) | \leq 2 w^+    \leqno(6.1)
$$
�Ǥ��ꡢ�ޤ�
$$
  | w_{45}({\bf q}^*(\bar{t}_{2n})) | = 
|c_{45}^2(\bar{t}_{2n}) h_{45}(\bar{t}_{45})|  \geq 
c_1 c_{45}^2 |\dot{z}_3(\bar{t}_{2n})| 
$$
��������$c_1>0$���Ф�������Ω�ġ��椨��
$$
  c_{45}^2(\bar{t}_{2n}) \leq \displaystyle 
\frac{2w^+}{|c_1 {\dot{z}}^2(\bar{t}_{2n})|}    \leqno(6.2)
$$
�Ǥ��롥������$c_2>0$�����ä�
$$ \begin{array}{ll}
 |w_{12}({\bf q}^*(\bar{t}_{2n}))| 
    & = |c_{12}(\bar{t}_{2n}) h_{12}(\bar{t}_{2n})| \\
    & \leq \displaystyle 
c_2 c_{12}^2(\bar{t}_{2n})|{\dot{z}_3}^2(\bar{t}_{2n-1})| 
\leq \displaystyle 
2w^+ \frac{c_2}{c_1}
\frac{|{\dot{z}_3}^2(\bar{t}_{2n-1})|}
     {|{\dot{z}_3}^2(\bar{t}_{2n})|} \leq 2^{-2n} M_1 
   \end{array}
$$
������Ω�ġ�������$c_{12}=-c_{45}$�����Ѥ��롥�����顢����$M_2>0$���Ф���
$$
  | w_{12}({\bf q}^*(\bar{t}_{2n})) | \leq 2^{-2n} M_2 
$$
�Ǥ��롥

����$M_3>0$���Ф���
$$
  | w_{12}({\bf q}^*(\bar{t}_{2n-1})) | \leq 2^{-2n+1} M_3 
$$
�Ǥ��뤳�Ȥ򼨤�����ˡ�����$c_3>0$����Ӥ��٤Ƥ�$t \in [\bar{t}_{2n-1},\bar{t}_{2n}]$���Ф���$\dot{w}_{12} \leq c_3$�Ǥ��뤳�Ȥ����դ��롥����$c_4>0$���Ф���$|\bar{t}_{2n} - \bar{t}_{2n-1}| < 2^{-2n} c_4$�Ȳ���Ǥ��롥�������äơ�����$M_1>0$����Ӥ��٤Ƥ�$n>0$���Ф���
$$
  | w_{12}({\bf q}^*(\bar{t}_{n})) | < 2^{-n} M_1 .  \leqno(6.3)
$$
Ʊ�ͤη�̤�$m_4$��$m_5$���Ȥˤ�����Ω�ġ����ʤ��������$M_4>0$����Ӥ��٤Ƥ�$n>0$���Ф���
$$
  | w_{45}({\bf q}^*(\bar{t}_{n})) | \leq 2^{-n} M_4 .  \leqno(6.4)
$$

����6.1�ξ�����³���뤫���ˤ�������������ȤäƼ������������������θ������6.1�������������6.1�δ����ʾ����ϸ��Ϳ���롥

���������ͤ��롥�˥塼�ȥ��ˡ§�Τ�Ȥ�$m_1$��$m_2$��${\bf R}^2$��Ǳ�ư���롥${\bf r}_{12}$����ߵ�Υ�Ȥ��롥��ư��������
$$ \begin{array}{cr}
\displaystyle 
  \frac{d^2 {\bf r}_{12}}{dt^2} = \displaystyle 
- \frac{m_1+m_2}{r_{12}^3} {\bf r}_{12}, & {\bf r}_{12} \in {\bf R}^2.
   \end{array}
$$

�̾�Υ��ͥ륮������ӳѱ�ư����ʬ�Τۤ��ˡ��������������̤���ʬ���������ñ�˸��ڤǤ���褦�ˡ�
$$ \begin{array}{rl}
  {\bf p}_{12} = & \displaystyle 
\frac{{\bf r}_{12}}{r_{12}} + \frac{1}{m_1+m_2} 
({\bf c}_{12} \times {\bf r}_{12}) \\ 
               = & \displaystyle 
\frac{{\bf r}_{12}}{r_{12}} + \frac{1}{m_1+m_2} 
\left( {\bf r}_{12} \times \frac{d {\bf r}_{12}}{dt} \right) 
\times {\bf r}_{12}
   \end{array}   \leqno(6.5)
$$
�ϱ�ư������Ǥ��롥${\bf p}$���ͤϤ�����פ�ʪ��Ū��̣����ġ����ʤ����$m_1$��$m_2$�������ʱߵ�ƻ�������С��٥��ȥ�${\bf p}$���ʱߤζ��������������${\bf p}$���礭�����ʱߤ�Υ��Ψ�ˤ��礦�����������ܤ��������˴ؤ���Pollard[13]�򻲾Ȥ��줿����

����ǹ������줿����Ф����ۤȤ�ɤλ��֤δ�$m_1,m_2$�ϻĤ��γ��$m_3,m_4$�����$m_5$�����Υ��Ƥ��뤳�Ȥ˵��Ť������Τ��Ȥ���$m_1$��$m_2$�α�ư����ư����Ȥ��ư������Ȥ���������롥���������${\bf p}$����ʬ�Ǥ��뤳�Ȥ�ͤ��ơ����${\bf p}$�˻����٥��ȥ�${\bf p}_{12}$��������롥
$$ 
  {\bf p}_{12} = \displaystyle 
\frac{(x_1,y_1,0)}{(x_1^2+y_1^2)^{1/2}} + \frac{4}{m_1} 
({\bf c}_{12} \times (\dot{x}_1,\dot{y}_1,0))   \leqno(6.6) 
$$
�Ȥ�����������
$$
    {\bf c}_{12} = (0, 0, x_1 \dot{y}_1 - y_1 \dot{x}_1) 
$$
�Ǥ��롥

����äȸ����Ȥ���${\bf p}_{12}$�������$r$�˰�¸���롥��������${\bf p}_{12}$��McGehee���ѿ��ǽ񤱤С�$r$���ҤϾä��Ƥ��ޤ�($r_{12} \sim O(r), \dot{r}_{12} \sim O(r^{-1/2})$)���������ä�${\bf p}_{12}$�ϻ��ξ���¿���ξ�Ǥ⤦�ޤ���������(well-defined)���롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 6.2.} ${\bf q}^*(t)$������ǹ������줿ͭ�»��֤���ͭ���ʲ�Ǥ��äơ�$t_{\infty}$�ϲ�${\bf q}^*(t)$����������Ȥ��롥���ΤȤ���
${\bf p}_{12}({\bf q}^*(t))$�����${\bf p}_{45}({\bf q}^*(t))$�ζ˸¤�¸�ߤ������ξ�
$$ \begin{array}{cccc}
  \lim ({\bf p}_{12} ({\bf q}^*(t))) = {\bf p}_{12}({\bf q}^*) & �����  & \lim ({\bf p}_{45} ({\bf q}^*(t))) = {\bf p}_{45}({\bf q}^*) & 
{\rm as} \ t \rightarrow \infty 
   \end{array}
$$
�ʤ�$|{\bf p}_{12}({\bf q}^*)| = |{\bf p}_{45}({\bf q}^*)| = 1$�Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. ��ñ�ʷ׻��ˤ��С�
$$
  \dot{\bf p}_{12} = -{\bf c}_{12} \times {\bf r}_{12} 
\left( \frac{\displaystyle m_1m_3}{\displaystyle 4} r_{13}^{-3} 
\right) + O(|z_4|^{-2}).           \leqno(6.7)
$$
���ˤ������Τ�����ǹ���������ͭ������Ф���${\bf p}_{12}$���Ѳ���ɾ�����뤳�ȤǤ��롥$\Delta {\bf p}_{12} = {\bf p}_{12}(t_{\infty}) - {\bf p}_{12}(0)$�Ȥ��������ΤȤ�
$$
  \Delta {\bf p}_{12} = \displaystyle 
- \int _0^{t_{\infty}} {\bf c}_{12} \times {\bf r}_{12} 
\left( \frac{m_1m_3}{4} 
r_{13}^{-3} \right) dt + \int_0^{t_{\infty}} O(|z_4|^{-2}) dt.
$$
���դ������ܤ���ʬ�ϼ�«�����ޤ�$t \rightarrow t_{\infty}$�ΤȤ�$\inf (r_{13}) \rightarrow 0$�Ǥ��뤫��ǽ����ʬ��improper��ʬ�Ǥ��롥���˾�������Τϡ�����improper��ʬ���«���뤳�ȤǤ��롥���ʤ����
$$ \begin{array}{rl}
\displaystyle 
\int _0^{t_{\infty}} {\bf c}_{12} \times {\bf r}_{12} \left( 
\frac{m_1m_3}{4} r_{13}^{-3} \right) dt = & \displaystyle 
     \int_0^{t_1} + \int_{t_1}^{\bar{t}_2} + \int_{\bar{t}_2}^{t_3} \\
  & + \cdots \displaystyle 
\left( {\bf c}_{12} \times {\bf r}_{12} 
\left( \frac{m_1m_3}{4} r_{13}^{-3} 
\right) 
\right) dt \\ 
 = & \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \int_{\bar{t}_{2n}}^{t_{2n+1}} 
\left( {\bf c}_{12} \times {\bf r}_{12} 
\left( \frac{m_1m_3}{4} r_{13}^{-3} 
\right) 
\right) dt \\ 
   & \displaystyle 
+ \sum_{n=0}^{\infty} \int_{t_{2n+1}}^{\bar{t}_{2n+2}} 
\left( {\bf c}_{12} \times {\bf r}_{12} 
\left( \frac{m_1m_3}{4} r_{13}^{-3} 
\right) 
\right) dt .
   \end{array} 
$$
������¤ϼ�«���롥����ʬ�ؿ���ͭ��������Ǥ���($r \geq A$�����դ���)���������ä�$\sum_{n=0}^{\infty} a_n$����«����Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��Ф褤��������
$$
  a_n = \displaystyle \int_{\bar{t}_{2n}}^{t_{2n+1}} 
\left( {\bf c}_{12} \times {\bf r}_{12} 
\left( \frac{m_1m_3}{4} r_{13}^{-3} 
\right) 
\right) dt.           \leqno(6.8)
$$
$dt = r^{3/2}d \tau$�����������ѿ�$\tau = \tau(t)$�ؤ��Ѵ���Ԥ���$\overline{\tau}_n = \tau (\overline{t}_n)$�����$\tau_n = \tau(t_n)$���֤��С�
$$
  a_n = \displaystyle \int_{\bar{\tau}_{2n}}^{\tau_{2n+1}} 
\left( \frac{m_1m_3}{4} 
\frac{(0,0,u) \times (\cos \phi \cos \theta, \sin \phi \sin \theta, 0)} 
     {(1 + 2\alpha \sin^2 \phi)^{3/2}} 
\right) d \tau 
$$
�Ǥ��롥�������ä�
$$
  |a_n| \leq \displaystyle \int_{\bar{\tau}_{2n}}^{\tau_{2n+1}} 
\frac{m_1m_3 |u \cos \phi |}{4} d \tau.       \leqno(6.9)
$$
$\tau_{2n+1}^0 \in (\overline{\tau}_{2n},\tau_{2n+1})$��$v(\tau_{2n+1}^0) = -v_0 < 0$�ʤ����Ȥ��롥������$v_0$��$-v_0 > v(E_+)$�ʤ�Ǥ�դ������Ǥ��롥$E_+$�ϻ��ξ���¿���ξ����ư���Ǥ��ä����Ȥ�פ���������$N_+$�θ���Ū�������$\tau_{2n+1}$�ϰ�դ��������롥������
$$
  |a_n| \leq \displaystyle \int_{\bar{\tau}_{2n}}^{\tau_{2n+1}^0} 
\frac{m_1m_3 |u \cos \phi |}{4} d \tau 
+ \int_{\tau_{2n+1}^0}^{\tau_{2n+1}} 
\frac{m_1m_3 |u \cos \phi |}{4} d \tau.       \leqno(6.10)
$$
���2�Ĥ���ʬ���̡��˹ͤ��褦���ǽ����ʬ�ξ�硢
$$ \begin{array}{rl}
\displaystyle 
  \int_{\bar{\tau}_{2n}}^{\tau_{2n+1}^0} 
\frac{m_1m_3 |u \cos \phi |}{4} d \tau 
\leq & \displaystyle \int_{\bar{\tau}_{2n}}^{\tau_{2n+1}^0} 
\frac{m_1m_3 |u|}{4} d \tau \\
 =  & \displaystyle \int_{\bar{\tau}_{2n}}^{\tau_{2n+1}^0} 
\frac{m_1m_3 |c_{12}|}{4 r^{1/2}} d \tau \\
 =  & \displaystyle \int_{\bar{\tau}_{2n}}^{\tau_{2n+1}^0} 
\frac{m_1m_3 |c_{12}^0 + c_{12} - c_{12}^0|}{4 r^{1/2}} d \tau \\
 \leq & \displaystyle \int_{\bar{\tau}_{2n}}^{\tau_{2n+1}^0} 
\frac{m_1m_3 |c_{12}^0|}{4 r^{1/2}} d \tau \\
   & \displaystyle + \int_{\bar{\tau}_{2n}}^{\tau_{2n+1}^0} 
\frac{m_1m_3 |c_{12} - c_{12}^0|}{4 r^{1/2}} d \tau,
   \end{array}                         \leqno(6.11)
$$
�Ǥ��롥������$c_{12}^0 = c_{12}(t_{2n+1}^0)$��

���٤Ƥ�$t \in [\bar{t}_{2n},t_{2n+1}^0]$���Ф���$\dot{r} = r^{-1/2}v, v \leq -v_0$�Ǥ��뤳�Ȥ�ꡢ
$$
  \dot{r} \leq - r^{-1/2} v_0.
$$
�������äƤ��٤Ƥ�$t \in [\overline{t}_{2n},t_{2n+1}^0]$���Ф���
$$
  r(t) \geq (r_0^{3/2} + v_0 (t_{2n+1}^0 - t))^{2/3} .
$$

����$c_1>0$���Ф���$|\dot{c}_{12}| \leq c_1r_{12}r_{45}r_{14}^{-2}$�Ǥ��뤫�顢����$M_1 \geq 0, t \in [\bar{t}_{2n},t_{2n+1}^0]$���Ф���
$$
  |c_{12} - c_{12}^0| < 2^{-2n} M_1 (t_{2n+1}^0 - t)
$$
�Ǥ���Ȳ���Ǥ��롥�������ä�
$$ \begin{array}{rl}
\displaystyle 
  \frac{|c_{12} - c_{12}^0|}{r^2} & \leq \displaystyle 
\frac{2^{-2n} M_1(t_{2n+1}^0-t)}
     {(r_0^{3/2} + v_0(t_{2n+1}^0 - t))^{4/3}} \\
 & \leq \displaystyle 2^{-2n} M_1(t_{2n+1}^0 - t)^{-1/3}
   \end{array}
$$
�����
$$ \begin{array}{rl}
\displaystyle 
 \int_{\bar{\tau}_{2n}}^{\tau_{2n+1}^0} 
\frac{m_1m_3|c_{12} - c_{12}^0|}{4r^{1/2}}
 d \tau & \leq \displaystyle \int_{\bar{t}_{2n}}^{t_{2n+1}^0} 
\frac{m_1m_3 2^{-2n} M_1(t_{2n+1}^0 - t)^{-1/3}}{4} dt \\
& \leq \displaystyle M_2 2^{-2n}
   \end{array}   \leqno(6.12)
$$
������$M_2>0$����Ӥ��٤Ƥ�$n$���Ф�������Ω�ġ�

(6.11)��������ʬ�ξ�硢���٤Ƥ�$\tau \in [\bar{\tau}_{2n},\tau_{2n+1}^0]$���Ф���$r' \leq -rv_0$�Ǥ��뤳�Ȥ����դ��롥��������Ω�ġ�
$$
  r \geq r_0 \exp (v_0( \tau_{2n+1}^0 - \tau)).
$$
�������äơ�����$M_3>0$���Ф���
$$ \begin{array}{rl}
\displaystyle 
 \int_{\bar{\tau}_{2n}}^{\tau_{2n+1}^0} 
\frac{m_1m_3|c_{12}^0|}{4r^{1/2}} d \tau 
& \leq \displaystyle  \int_{\bar{\tau}_{2n}}^{\tau_{2n+1}^0} 
\frac{m_1m_3 |u_0| r_0^{1/2}}{4r^{1/2}} d \tau \\
 & \leq \displaystyle \int_{\bar{\tau}_{2n}}^{\tau_{2n+1}^0} 
\frac{m_1m_3}{4} |u_0| \exp \left( - \frac{1}{2}
v_0 (\tau_{2n+1}^0 - \tau) \right) d \tau \\
& \leq \displaystyle M_3 |u_0| .
   \end{array}   \leqno(6.13)
$$
��ˡ�����$M_9>0$���Ф���$|u_0| \leq 2^{-n} M_9$�Ǥ��뤳�Ȥ򼨤���

����(6.10)���������ʬ��ͤ��褦������˴ؤ��Ƥ�$u$�˴ؤ���ɾ��
$$
  u' = \displaystyle \frac{1}{2} vu + rf(t),
$$
��ɬ�פǤ��롥������$f(t)$��$t$�δؿ���
$$
   |f(t)| = |\dot{c}_{12}| \leq c_1 r_{12} r_{45} r_{15}^{-2} 
$$
�����������������ä�
$$
  u(\tau) = \displaystyle \exp \left( 
\int_{\tau_{2n+1}^0}^{\tau} - \frac{1}{2} v(\tau) d \tau \right) 
\left( u_0 + \int_{\tau_{2n+1}^0}^{\tau} f(t) r \exp \left( 
\int_{\tau_{2n+1}^0}^{\tau} \frac{1}{2} v(\tau) d \tau \right) 
d \tau \right) .
$$
������$u_0 = u(\tau_{2n+1}^0)$�Ǥ��롥�弰��$f(t)$��ޤ���ʬ����ѿ���$\tau$����$t$���Ѥ���
$$ 
\displaystyle 
  u(\tau) = \displaystyle \exp \left( 
\int_{\tau_{2n+1}^0}^{\tau} - \frac{1}{2} v(\tau) d \tau \right) \\ 
\times \left( u_0 + \int_{t_{2n+1}^0}^t 
f(t) r^{-1/2} \exp \left( \int_{\tau_{2n+1}^0}^{\tau} 
\frac{1}{2} v(\tau) d \tau \right) d t \right) ,
$$
�����롥

$r'=rv$���
$$
  r = r_0 \exp \left( 
\int_{\tau_{2n+1}^0}^{\tau} v(\tau) d \tau \right) . 
$$
�������ä�
$$
\displaystyle 
  \exp \left( \int_{\tau_{2n+1}^0}^{\tau} \pm 
\frac{1}{2} v(\tau) d \tau \right) = \displaystyle 
\left( \frac{r}{r_0} \right)^{\pm \frac{1}{2}} .
$$
��μ���Ȥä�
$$ \begin{array}{rl}
\displaystyle 
  \left| \int_{t_{2n+1}^0}^t 
f(t) r^{-1/2} \exp \left( \int_{\tau_{2n+1}^0}^{\tau} 
\frac{1}{2} v(\tau) d \tau \right) dt \right| & = \displaystyle 
\left| \int_{t_{2n+1}^0}^t f(t) r^{-1/2} 
\frac{r^{1/2}}{r_0^{1/2}} dt \right| \\
& \leq \displaystyle \max |f(t)| r_0^{-1/2} |t - t_0| 
   \end{array} \leqno(6.14)
$$
�����롥����4.2�ξ�����ꡢ���$d_5$�����äơ����٤Ƥ�$n>0$���Ф���
$$
  r_0^{-1/2} |t_{2n+1} - t_{2n+1}^0| \leq d_5
$$
�������������������٤Ƥ�$t \in [t_{2n+1}^0, t_{2n+1}]$���Ф��ơ�
$$
  \max |f(t)| \leq c_2 r_{12} r_{45} r_{15}^{-1} \leq 2^{-2n} M_4
$$
��������$M_4>0$����Ӥ��٤Ƥ�$n$���Ф�������Ω�ĤȲ���Ǥ��롥�������ä�
$$
\displaystyle 
  \int_{t_{2n+1}^0}^{t_{2n+1}} \frac{|f(t)|}{r_0^{1/2}} dt 
\leq \displaystyle 2^{-2n} M_5
$$
��������$M_5>0$����Ӥ��٤Ƥ�$n$���Ф�������Ω�ġ�������(6.10)���������ʬ�˴ؤ��Ƽ��Τ褦��ɾ�������롥
$$ \begin{array}{rl}
\displaystyle 
\int_{\tau_{2n+1}^0}^{\tau_{2n+1}} 
\frac{m_1m_3|u \cos \phi|}{4} d \tau \leq & \displaystyle 
\int_{\tau_{2n+1}^0}^{\tau_{2n+1}} \frac{m_1m_3|u|}{4} d \tau \\
\leq & \displaystyle \int_{\tau_{2n+1}^0}^{\tau_{2n+1}} 
(|u_0| + 2^{-2n} M_5) \exp \left( \int_{\tau_{2n+1}^0}^{\tau} - 
\frac{1}{2} v(\tau) d \tau \right) d \tau \\ 
\leq & \displaystyle 
(|u_0| + 2^{-2n} M_5) \int_{\tau_{2n+1}^0}^{\tau_{2n+1}^*} \exp
\left( \int_{\tau_{2n+1}^0}^{\tau} - 
\frac{1}{2} v(\tau) d \tau \right) d \tau \\
& \displaystyle + 
(|u_0| + 2^{-2n} M_5) \int_{\tau_{2n+1}^*}^{\tau_{2n+1}} \exp
\left( \int_{\tau_{2n+1}^0}^{\tau} - 
\frac{1}{2} v(\tau) d \tau \right) d \tau .
   \end{array}  \leqno(6.15)
$$
������$\tau_{2n+1}^*(x)$��$x$�ε�ƻ��������$T$����ã�����Ȥ���$\tau$����
�Ǥ��롥
