\documentstyle[12pt,epsf]{jarticle}
%
\oddsidemargin 0.0cm
\evensidemargin -1.0cm
\topmargin 0.0cm
%
\textwidth 15.5cm
\textheight 23.0cm
\footheight 0.5cm
\footskip 1.2cm
%\pagestyle{empty}
\newcommand{\re}{\vspace{0.15cm}\par\hangindent=0.7cm\noindent}
%\newcommand{\re}{\vspace{0.3cm}\par\hangindent=0.7cm\noindent}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}
%
\begin{document}
\setlength{\baselineskip}{3ex}

\begin{flushright}
ë����δ ��
\end{flushright}

\noindent
Chaos {\bf 8}, 475-494(1998)

\begin{center} 
{\LARGE \bf ʿ�������ջ�������ˤ���������ȥ����� \\
Order and chaos in the planar isosceles \\
three-body problem
}

\vspace{0.5cm}
{\Large K. Zare and S. Chesley}

\end{center}

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf ����.}

ʿ�������ջ��������2����������¸�ݥ��󥫥����$f$�˵��夵����. 
��Ȥ���ʬ���������о�����Ȥ�, �ޤ����ͷ׻���Ԥʤä�, ���̤�������
����$f$�����Ū���ͻҤ򵭽Ҥ���. ���ε��Ҥ��̤μ����˴�Ť��Ƥ���, 
�����������-����������, ��³Ū���, ����-����, ����¾�ε�ƻ��ޤ�
���ޤ��ޤʥ����פα�ư��¸��, ����Ӥ�����¬�٤�Ƴ��. 
���ξ�, ���ε��Ѥˤ��, ���ᤤ�׻���ȡ֥�����Ū�ʡ׻���δ֤ΰ㤤��
���̤��뤳�Ȥ��Ǥ���. ���-���������פϺ���¬�٤ν���Ǥ��뤬, $f$��
��Ȥ���ͤ��줿�ΤǤ�ʤ����������פ⤷�ʤ�2�Ĥΰۤʤ뽸�礬
¸�ߤ���. �ǽ�ν���ϥ���ȡ��뽸��Ǥ���, ¬�٥����Ǥ���, �����
$f$���ΰ�ΰ����ǥ��᡼�����������˻��Ƥ��뤳�Ȥ���ε���Ǥ���. 
����ν�����ʱ���ư����Ϥ���¬�٤������ΰ�Ǥ���. �����ΰ��, 
$f$���ܼ�Ū����ư�ͤ�������Ȥ��Ƥդ�ޤ�. ���ʤ��, $f$�η����֤���
��Ȥ�, ¿�������ϵ�§���������Ѷ������ư��. ���Ǥ�, �褯Ĵ��
���Ƥ��������ջ��ξ���¿���Τ����Ȥ˺���η�̤��ꤲ�����. 


\vspace{0.5cm}
{\bf �������֥��ȥ饯��}

�ݥ��󥫥����̿ޤ�Ȥ����Ȥϼ�ͳ��2���ϳطϤθ���ǤϹ����Ԥ���
����. �Ȥ�����, ���Τ褦�ʲ��Ϥϡ֥������γ��פι�¤�˴ؤ��ƤϤۤȤ��
ƶ����Ϳ���ʤ�. ����θ���Ǥ�, �ݥ��󥫥������Ȥ�, 1��μ����κ���
����������֤����Ѥοʲ�����ꤹ��. �̾�Ͽ����ʤ�����ͤ�¿����
��������Ѥ����Ƥ���٤�. �����ϱ�ư��ǽ���ΰ�򵭹��ϳ�(̵�¸Ĥ�
����ե��٥åȤ�)�˱����ƺ�ʬ����. 
���ο�����ʸ̮�����, �����������ȼ�����������ɤΤ褦�˸��뤫��
����. ���������, �������ΰ�򥹥ޡ��Ȥ˴�����Ū�˵��Ҥ��뤳�Ȥ�
�Ǥ�, �ޤ��Ϥ�ܴۤ��������Ū�˵��Ҥ��뤳�Ȥ���ǽ�ˤʤ�. 
�ä���, ���ε��Ѥ��ϳ�Ū�դ�ޤ��Τ�������γ�Ψ�˴ؤ�������
Ϳ��, �ޤ������ε������ϳطϤˤ�äƵ�����ʤ����Ȥ��������. 

\section{��}

Whittaker[1]�ˤ���, ��������ϡ��ϳؤ��������, ��äȤ�˫�Ỿ�����
�٤�����פǤ���. 19�������Υ֥��[2]�ȥݥ��󥫥�[3]�������ʬ��������, 
����Ū��ˡ���Ѥ��뤳�Ȥ��ܼ�Ū�ˤʤä�. 
�ݥ��󥫥�[4]�ȥС�����[5]�λŻ������������볫��. 
1912ǯ��Sundman[6]�ϥݥ��󥫥�Υ����ǥ��ˤ������ä�, ���٤Ƥ�
���֤��Ф���������̵�µ�����᤿(���ξ��ͤϽ���). ̵�µ����
�������Ū�դ�ޤ��򶵤��Ƥ���ʤ�����, ����ˡ�ν�������Sundman�λŻ�
�ˤ������ʤ����Ϥ����Ȥ��ƻĤäƤ���. 

����Ū��̤����뤿��ΤҤȤĤμ�ˡ�ϷϤ���ʬ¿����(���Ȥ��и�ŵ��ʬ)��
�ȥݥ�������Ĵ�٤뤳�ȤǤ���. �Ȥ���, ����֤���ʬ¿���ΤΥȥݥ�����
Ūʬ���ʬ������[7,8]��, �۰̶��֤ؤΤ��μͱ�[9,10]�ϺǶ�Ĵ�٤���
����. ���줫��, ŷ�δ֤˸򴹤��ʤ�����ν�ʬ��郎Ƴ���줿. 
���ν�ʬ����Sundman��������[11-13]��ȤäƤ����뤳�Ȥ��Ǥ���. 
������, ���μ�ˡ�������ʬŪ�ʾ��󤷤������ʤ�. ��ŵ��ʬ��������Ǥ�
�Ϥ����Ū�ʵ��Ҥϼ��Ф��ʤ�. 

�ݥ��󥫥��С����դ�, ��ñ�Ǥ���Ȥ�����ͳ����, �����»�������[14]
�Ȥ����Τ������ͤ���. 
��������Ǥ�, �軰�Τϼ��̥�����, ���, �����Τϱ߱�ư
����. ���ξ�, ���Ĥξ��������, �����η�̤϶����ʬ�ξ��ˤ�
������. ���ʤ��, �����Τμ��̤򾮤�������, ��ư��������ǰ���. 

�ݥ��󥫥줬�ͤ��Ф������ѤΤҤȤĤ�, ����γ�����߲������뤿���
����, �ݥ��󥫥�����, ��Ȥ���ˡ������. ����ϥݥ��󥫥�����ȸƤФ��
����. �ݥ��󥫥�ȥС����դ�2����¿���Τξ�μ����˴ؤ�����ư��������
�꼰�����ƾ�����, ���������̵���μ�����ƻ�����뤳�Ȥ򼨤���. 
����Ū�ۥ⥯��˥å���(�ж���ư���ΰ��ꤪ����԰���¿���Τβ���Ū����)
�ζ᤯��ʣ���ʵ�ƻ��¤�Τ��뤳�Ȥ��Ŧ�����Τ�ݥ��󥫥�Ǥ���. 
����Ū�ۥ⥯��˥å����Τɤζ�˵�ˤ�����������뤳�Ȥ򤽤θ弨�����Τ�
�С����դǤ���. ���᡼��[15]���������褦��, ��������������ǵ����äƤ���
���Ȥ�Ʊ�����ݤǤ��ä�, �����������㤦�����Ǥ���. �¤�, ����Ū
�ۥ⥯��˥å���ƻ�ι�¤�����򤹤��������ˡ��, ������������������뤤��
�����Ʊ����¤����ļ����������ळ�ȤǤ���. 

���»�����������̤ξ��Ȥ��ƥ��ȥ˥������꤬���2,30ǯĴ�٤��Ƥ���
[16-18]. �����Ǥ�, �����̤�2���������ץ顼��ƻ��ư��, 
���̥������軰�Τ����Τνſ����̤äƵ�ƻ�̤˿�ľ��ư��. 
�軰�Τα�ư�򵭽Ҥ���. ���줬����Ǥ���. �軰�ΤϻĤ�����Τ���
����Ū���嵯��������. �褯�Τ��Ƥ���褦��, �������߱�ư�򤷤Ƥ����
������ϲ���ʬ�Ǥ���[19], ���٤Ƥο�ư���ͭ���Ǥ���. �������ʱߵ�ƻ��
���˲���ʬ�Ǥʤ����Ȥ�Sitnikov[18,20]�ˤ��. ���̵�¤˿�ư���Ƥ���ͭ
���Ǥʤ����¸�ߤ��Ω����. Sitnikov����ؤε����ϳؤα��Ѥ�Alekseev[16]
���Ԥ�, ���Υ�ǥ�˴ؤ�Sinikov�λŻ�����������. ��Ϸ�̤�, �軰�Τ�
�����ʼ��̤���ľ��ؤȳ�ĥ����. �����شԸ����뤳�Ȥˤ��, �ޤ����᡼��
��������¤��¸�ߤ򼨤����Ȥˤ��, ����������Ū�ʷ��˻��äƤ���, 
Moser[17]��Alekseev�η�̤��������ޤȤ�ľ����. 
Moser�ξ�����McGehee��Ƴ�������Ѵ��˴�Ť��Ƥ���, ̵�±�ˤ������жʼ���
��ƻ�����餫�ˤ���. ���ε�ƻ��2�Ĥ�����¿���Τ����, ������
�ۥ⥯��˥å��򺹤�Ԥ��Τ�, ���ζ�˵��������¤��¸�ߤ���. ����Ū��
�ܺ٤˴ؤ��Ƥ�Moser[17]��III�Ϥ����VI�Ϥ򸫤�.  

�Ƕ����ܤ���Ƥ��뻰������Τۤ������̷��Ȥ���, ľ������[21-23]��
ʿ������������[24-30]������. �ɤ���ξ���ѱ�ư�̥����Ǥ���. 
�����ѱ�ư��¿���Τϻ��ξ��Ͳ�򤹤٤ƴޤफ��[6], �����ξ���
���ξ��ͤ����̶�̣������Τ϶ä��٤����ȤǤϤʤ�. ���ξ���¿���Τ�
��ǰ��ľ������ξ���McGehee��Ƴ������[22]. ����Ūȯ�ۤ�, ���ξ���
¿���ξ��ή����ξ��Ͷ�˵�ε�ƻ�Τդ�ޤ��Υ����ɤ˻Ȥ����Ȥ���
��ΤǤ���. ����������ˤ����Ƥ�, McGehee��ȯ��[21,22]��
���ξ���¿���Τ���뤳�Ȥ����Ѥ���[25-28], ̵�±�μ�����ƻ�����
����ˤȤ�ʤ��إƥ�����˥å����ݤ����餫�ˤ��뤿��˻Ȥ�줿. 

Henon \& Heiles�����Ū�ʻŻ�[31]����, �ݥ��󥫥�����ο���Ū�����
�����ʬ�Ϥ��������Ϥμ¼�Ūƻ��Ω�ƤȤʤäƤ���. ���Ȥ���, �ݥ��󥫥�
������, �������󤲤�����Ƥ�, ��������[32,33], Sitnikov����[34], 
ľ������[23]�ǿ���Ū�˸��椵�줿. �����μ����ϰ��̤�, Ϳ����줿
�������Ȥä�, �����̾嵰ƻ�Τ�������θ������ɽ���줿. 
����줿�����̿ޤ�, �������������ˤ�����§�ΰ�ȸ������
���Ѥ�Ǥ���������褦��ʬ�ۤ��륫�����ΰ����̤��뤿���
�Ȥ�줿. ������ˡ�ˤ�2�Ĥε����������������.  
�ޤ�, ����Ū�ʿ������Ǥ���. �Ȥ����Τ�, ������¿���󷫤��֤����Ȥ�
ɬ�פȤ����. ����, �������ΰ�ι�¤�˲��餫�θ������Ƥ뤳�Ȥ��Ǥ��ʤ�
���ȤǤ���. ���ξ�, ����θ���Ǥ�, ��������礭����ʬ����Ϥ�����
�жʥ��������פ˻��Τ�, �����Ͽ���η����֤��ˤ��������ʤ�. 

������ʸ�Ǥ�, ���᡼��ˤ������ä�, ��������μ����ȹͤ�����, ���Ѥ�
�����ȹͤ���. ���δ����ˤ��, ������Ū�����Ū�˼�����ɽ���Ǥ�, 
�������ΰ��������¤�����餫�ˤǤ���. �����, ����ɽ���ϼ�����
1��η����֤���������������Τ�, ����Ū�ʿ�����������פǤ���. 

II��Ǥ�ʿ�������ջ�������������2���������ؤδԸ��ξܤ�����������
�Ϥ��. III��Ǥ�, ���������Ŭ�Ѥ���׻�ˡ���ñ�˵�������. 
IV��ǤϤ��ޤ��ޤʽ��׷�̤򵭽Ҥ���. �������ΰ�, ��§�ΰ�β���, 
���������Ŭ�Ѥ��������ϳؤε��ҤʤɤǤ���. ���ˤϺ�����꼰����
���ξ���¿���Τ˴ؤ���ʸ���μ¼�Ū���ƤȤξܤ����ط���Ҥ٤�. 

\section{ʿ�������ջ�������}

����ʿ�̻�������ϰʲ�����ʬ�������ˤ�äƵ��Ҥ����. 
$$ \begin{array}{lcll}
\displaystyle \frac{dx_i}{dt} &=& u_i \\
\displaystyle \frac{dy_i}{dt} &=& v_i \\
\displaystyle 
m_i\frac{du_i}{dt} &=& \displaystyle \frac{\partial U}{\partial x_i} \\
\displaystyle 
m_i\frac{dv_i}{dt} &=& \displaystyle \frac{\partial U}{\partial y_i}, 
 & i=1,2,3
   \end{array}  \eqno(1)
$$
������$m_i, (x_i,y_i), (u_i,v_i)$�Ϥ��줾��$i$���ܤ�γ�Ҥμ���, ����, 
�����®�٤Ǥ���, 
$$
  U = \displaystyle \sum_{1 \leq i < j \leq 3} 
Gm_im_j \left[ (x_i-x_j)^2 + (y_i-y_j)^2 \right]^{-1/2}
$$
���ϴؿ��ޤ�����ݥƥ󥷥��Ǥ���. (1)�ؤν���ѥ�᡼����$t=0$�ˤ�����
$$
 T = \{ m_i, (x_i,y_i), (u_i,v_i), i=1,2,3 \}
$$
��Ϳ������. ����������о��������դ��뤳�Ȥˤ��, \\
�ʲ��Τ褦�����̤ξ������뤳�Ȥ��Ǥ���. 
$I \subset T$��
$$
  I = \{ T | m_1 = m_2, g_i = 0, i=1,2, \ldots, 6 \} ,
\hspace*{5cm}
$$
���������. ������,
$$ \begin{array}{l}
 g_1 = x_1 + x_2, \\
 g_2 = y_1 - y_2, \\
 g_3 = x_3, \\
 g_4 = u_1 + u_2, \\
 g_5 = v_1 - v_2, \\
 g_6 = u_3
   \end{array} \hspace*{5cm}  ��1��Ž��
$$
�����, ����I��$t=0$�ˤ����ƻ��Τ������ջ��ѷ����֤�ݤ�. 
(1)���β���, I��������ʬ����Ǥ��뤳�Ȥϴ�ñ�˼�����, ���ʤ��, 
$I$���$dg_i/dt = 0$�Ǥ���. �Ĥޤ�, ���٤Ƥλ��֤ˤ錄�ä����������֤�
�ݤ����. ������򤳤Τ褦��$I$�����¤��������ʿ�������������
ʸ���ǰ��Ѥ���Ƥ���. ������ʸ�Ǥ�, $m_1$��$m_2$��Ϣ���Ȥ��, $m_3$��
�軰�ΤȤ��. 

$I$�ˤ�äƲݤ��줿���¤�, $y$�����ؤ�2�Ĥγѱ�ư����ʬ�ȹ�碌��
������ʬ����
$$
  \tilde{I} = \displaystyle \left\{ 
I \left| \sum_{i=1}^3 m_iy_i = 0, \sum_{i=1}^3 m_iv_i = 0 
\right. \right\} ,
$$
����Ť���. ($x$������������ư����ʬ���о������$g_i$����˴ޤޤ�Ƥ���.)
$\tilde{I}$���, (1)��
$$ \begin{array}{lcll}
\displaystyle \frac{dx}{dt} &=& u \\
\displaystyle \frac{dy}{dt} &=& v \\
\displaystyle 
\frac{du}{dt} &=& \displaystyle - \frac{Gm_1}{4x^2} + Gm_3 
\frac{\partial F}{\partial x}, \\
\displaystyle 
\frac{dv}{dt} &=& \displaystyle G(2m_1 + m_3)
\frac{\partial F}{\partial y}, \\ 
F &=& (x^2 + y^2)^{-1/2}
   \end{array}  \eqno(2)
$$

\noindent
�˴Ը������. ������$x,y$��$m_1$��$m_2$�νſ��˴ؤ���$m_2$��$m_3$��
ľ���ɸ�Ǥ���(��1�򸫤�). �ѿ�$u$��$v$���б�����®�٤Ǥ���. 
��������$(x,u)$��Ϣ���ξ��֥٥��ȥ�, $(y,v)$���軰�Τξ��֥٥��ȥ��
ɽ���ȹͤ�����. ���ηϤϥ��ͥ륮����ʬ
$$
  h = \displaystyle \frac{1}{2}(u^2 + \alpha v^2) - \frac{Gm_1}{4x^2} 
- Gm_3 F
$$
�����. ������, $\alpha = m_3/M, M = m_1 + m_2 + m_3, 0 \leq \alpha 
\leq 1$�Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ����.} 

1. $T, I$�����$\tilde{I}$�μ�����15, 8�����6�Ǥ���. ��Ȥ���
����(1)��$T$�μ������б�����12��������֥٥��ȥ��ץ饹3�Ĥμ���
�ѥ�᡼���ε��Ҥ���. �Ը����줿������(2)��2�Ĥμ��̥ѥ�᡼���դ���
4��������֤Υ٥��ȥ��򵭽Ҥ���. �����$\tilde{I}$�˱�����. 

\vspace{0.3cm}
2. �饨�ͥ륮��($h<0$)�ξ��, $m_1$��$m_2$�α�ư��
$$
  x < \displaystyle \frac{G(m_1+4m_3)}{4|h|}
$$
�ˤ�äƸ¤��Ƥ���. ���ξ���($x=0$)�η����֤���������. 
�����ϥ��ͥ륮����ʬ, ����$x(t)$�α���($d^2x/dt^2 = du/dt < 0$),
��������ξ��ͤ��ð����Ͻ����ǽ�Ǥ��뤳��, ����Ф�. 
(��§���ˤĤ��Ƥϰʲ�����.)

\vspace{0.3cm}
3. $y$�����$m_3$�α�ư��ͭ�²�ޤ���̵�²��syzygy��($y��0$)��������.
���Ԥ�ͭ�²�ο�ư�θ�Υ���������(�ޤ��ϻ��ξ���)���̣��, ��Ԥ�
�ʱ�ο�ư��ư���̣����. ����϶���$y(t)$��$y>0$�ޤ���$y<0$�˱�����
���ޤ����̤Ǥ��뤳��($d^2y/dt^2 = dv/dt < 0$�ޤ���
$d^2y/dt^2 = dv/dt > 0$)����Ф�. ���פʵ���Ȥ���, �����IIB������Ѥ�
�뤬, (���ξ��Ͳ�������)���٤Ƥβ򤬾��ʤ��Ȥ�1��syzygy�򺹤򵯤���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf A. �ϥߥ�ȥ��꼰��}

������(2)��, $q_1 = x, q_2 = y, p_1 = u, p_2 = \alpha v$��Ƴ�������
�ϥߥ�ȥ�����ˤʤ�. ����������������������. 
$$ \begin{array}{lll}
\displaystyle \frac{dq_i}{dt} = \displaystyle 
\frac{\partial H}{\partial p_i}, & 
\displaystyle \frac{dp_i}{dt} = \displaystyle 
- \frac{\partial H}{\partial q_i}, & 
i=1,2
   \end{array}  \eqno(3)
$$
������
$$
  H = \displaystyle \frac{1}{2} 
\left( p_1^2 + \frac{p_2^2}{\alpha} \right) - 
\frac{Gm_1}{4q_1} - \frac{GM_3}{\sqrt{q_1^2 + q_2^2}} . 
$$
�ϥߥ�ȥ�ؿ��ϥ��ͥ륮����ʬ��������. ���ʤ��, $H=h$. 

��ư������(3)�����ξ���($q_1��0, q_2 \neq 0$)�ˤ������ðۤǤ���. 
������, ���ξ��ͤ��ð����Ͽ����Ǥʤ�, ���ޤ��ޤ���§�����Ѥˤ�������
����. �ϥߥ�ȥ�����ݻ����뤿���, ��ĥ���줿����֤ˤ����ưʲ��Τ褦��
��§������Ѥ���. �ޤ������Ѵ�
$$ \begin{array}{lll}
q_i = \displaystyle \frac{\partial W}{\partial p_i}, & 
P_i = \displaystyle \frac{\partial W}{\partial Q_i}, & 
i=1,2
   \end{array} 
$$
��Ƴ������. $W = p_1 Q_1^2 + p_2 Q_2$����ؿ��Ǥ���. 
���줫��ϥߥ�ȥ��
$$ \begin{array}{lll}
\displaystyle \frac{dQ_i}{dt} = \displaystyle 
\frac{\partial H}{\partial P_i}, & 
\displaystyle \frac{dP_i}{dt} = \displaystyle 
- \frac{\partial H}{\partial Q_i}, & 
i=1,2
   \end{array}  \eqno(4)
$$
��������. ������
$$
  H = \displaystyle \frac{1}{2} 
\left( \frac{P_1^2}{4Q_1^2} + \frac{P_2^2}{\alpha} \right) - 
\frac{Gm_1}{4Q_1^2} - \frac{GM_3}{\sqrt{Q_1^2 + Q_2^2}} . \eqno(5)
$$
���ο��ѿ��Τ�Ȥ�, $(Q_1,P_1)$��Ϣ���ξ��֥٥��ȥ�, $(Q_2,P_2)$��
�軰�Τξ��֥٥��ȥ�Ȳ�᤹�뤳�Ȥ��Ǥ���. 

�������ѿ�$Q_0=t,p_0=-h$�����$d\tau = dt/Q_1^2$��Ƴ�������, 
$$ \begin{array}{lll}
\displaystyle \frac{dQ_i}{dt} = \displaystyle 
\frac{\partial \Gamma}{\partial P_i}, & 
\displaystyle \frac{dP_i}{dt} = \displaystyle 
- \frac{\partial \Gamma}{\partial Q_i}, & 
i=0,1,2
   \end{array} \eqno(6)
$$
��������. ������
$$ \begin{array}{rl}
  \Gamma = & Q_1^2(P_0 + H) \\
         = & \displaystyle \frac{1}{2} 
\left( \frac{P_1^2}{4} + \frac{P_2^2Q_1^2}{\alpha} \right) - 
\frac{Gm_1}{4} - \frac{GM_3Q_1^2}{\sqrt{Q_1^4 + Q_2^2}} + 
P_0Q_1^2 
   \end{array} 
$$
����ĥ���줿����֤ˤ����뿷�����ϥߥ�ȥ�ؿ��Ǥ���. ���פ˱�ä�
$\Gamma \equiv 0$�Ǥ��뤳��, �ޤ� $dQ_0/d \tau = Q_1^2, dP_0 /d \tau = 0$
�Ǥ��뤳��, �������ä�$Q_0 = t, P_0 = -h$�Ǥ��뤳�Ȥ����դ���. 
������(6)�����ξ���($Q_1=0, Q_2 \neq 0$)�ˤ�������§�Ǥ���. 
���ξ��ͤΤ�����§����Levi-Civita[35]����§����1�����ǤǤ���. 

����꼰�����줿��ĥ���줿����֤ˤ�����, ����$t$�ȥ��ͥ륮��$h$��
����֤��ĥ���뤿��˻Ȥ�줿. ����ɤϻ��֤ȥ��ͥ륮����Ȥä�
����֤�Ը����뤳�Ȥ���ǽ�Ǥ��뤳�Ȥ򼨤���. 

�ϥߥ�ȥ�ؿ�(5)�ϥ��ͥ륮����Ʊ�ͤǤ��뤫��, 
$$
  H(Q_1, P_1, Q_2, P_2) = h    \eqno(7)
$$
������Ω��. ���ؿ��������, $\partial H / \partial P_2 \neq 0$�ʤ�
(7)������
$$
  P_2 = - K(Q_1, P_1, Q_2, h)   \eqno(8)
$$
��¸�ߤ�������. (7),(8)�����, 
$$
\displaystyle \frac{\partial H}{\partial \beta} - 
\frac{\partial H}{\partial P_2} \frac{\partial K}{\partial \beta} 
= 0  \eqno(9)
$$
����ƻ�˱�ä�����Ω��. ������, $\beta = P_1, Q_1$�ޤ���$Q_2$�Ǥ���. 
(9)����$\beta=P_1$�����$Q_1$�Ȥ��ƴԸ����줿�ϥߥ�ȥ��
$$ \begin{array}{ll}
\displaystyle \frac{dQ_1}{dQ_2} = \displaystyle 
\frac{\partial K}{\partial P_1}, & 
\displaystyle \frac{dP_1}{dQ_2} = \displaystyle 
- \frac{\partial K}{\partial Q_1}
   \end{array} \eqno(10)
$$
�˻��. ������, $H$������ʬ��(4)��������������. �Ը����줿�ϥߥ�ȥ�
�ؿ��Ͽ�������Ω�ѿ�$Q_2$������Ū�˰�¸���뤳��, �ޤ��褯�Τ�줿
��
$$ 
\displaystyle \frac{dK}{dQ_2} = \displaystyle 
\frac{\partial K}{\partial Q_2}, 
$$
��(9)����$\beta = Q_2$�Ȥ��������뤳�Ȥ��Ŧ���Ƥ���. ���δԸ�ˡ
��Ȥä�, �ʲ������Ƴ����������Τ����Ĥ����������Ω����. 


\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf B. 2���������ؤδԸ�}

��(4)��4�����������Υ٥��ȥ��򵭽Ҥ���. �����郎������ꤷ��
���ͥ륮�������¤����ʤ�, (7)����򤤤�(8)��
$$
 P_2 = \displaystyle \pm \frac{\sqrt{\alpha}}{2Q_1} \left( 
8h Q_1^2 + 2Gm_1 + \frac{8Gm_3Q_1^2}{\sqrt{Q_1^4 + Q_2^2}} - 
P_1^2 \right)^{1/2}  \eqno(11) 
$$
�Ȥ����餵�ޤ˽񤱤�. ���ͥ륮������ꤷ����ư���֤���ʬ¿���Τ�4����
�桼����åɶ��֤������ޤ줿3������¿���ΤǤ���. 
����¿���Τ�
$$
8h Q_1^2 + 2Gm_1 + \frac{8Gm_3Q_1^2}{\sqrt{Q_1^4 + Q_2^2}} - 
P_1^2 \geq 0
$$
����������3�����ΰ�ǤΤ�¸�ߤ���(�Ĥޤ�$P_2$�ϼ¿��Ȥʤ�).
���ʲ���ñ�̤�
$$ \begin{array}{lll}
  G = 1, & 2(m_1 + 4m_3) = 1, & -8h = 1,
   \end{array}
$$
�����֤�, ��ǽ�ʱ�ư���ݥ��󥫥�����($Q_2=0$����������ʿ��)�ȸ���
���Ȥ���$Q_1^2 + P_1^2 \leq 1$��������. 
$Q_1\geq 0$�Ȥ����, �����Ⱦ��1����Ⱦ���ΰ�Ǥ���. �����ΰ��
�ɤ���$(Q_1,P_1)$��, $Q_2=0$�����(11)������׻������$P_2\geq 0$�����
��դν������ɽ��. $Q_1 \geq 0$�����$P_2 \geq 0$���ꤹ�뤳�Ȥ�
������˲������¤�ݤ���ΤǤϤʤ�. �ʤ��ʤ�, ��ʬ������(4)��
ȿž$(Q_1,P_1,Q_2,P_2) \rightarrow (-Q_1,-P_1,Q_2,P_2)$�����
$(Q_1,P_1,Q_2,P_2) \rightarrow (Q_1,P_1,-Q_2,-P_2)$�˴ؤ������Ѥ������
����. 

���ƶ�����õ�Ʋ�ǽ�ʱ�ư�ΰ����ʬ�����������褦. ����
$$
 B_c = \{ (Q_1,P_1) | Q_1 = 0, -1 \leq P_1 \leq 1 \}
$$
�������. �����Ǥϲ򤬻��ξ��ͤ����ȯ����. (���ν���ξܤ���������
���򸫤�.) �����Ϥޤ�����
$$
 B_h = \{ (Q_1,P_1) | Q_1 \geq 0, Q_1^2 + P_1^2 = 1 \}
$$
�������. ������$P_2=0$��, $m_3$��$m_1$��$m_2$�νſ��ˤ��ä�α�ޤ�
���Ȥ��̣����. �����ľ���ۥ⥻�ƥ��å���Ǥ���. ���ʤ��, 
$B_h$��β��, $Q_2(t) = P_2(t)=0$���ݤä�$P_1$������������
{\bf ή���}. 

�Ĥ�γ�����
$$
 A = \{ (Q_1,P_1) | Q_1 > 0, Q_1^2 + P_1^2 < 1 \}
$$
�ϤۤȤ�ɤ��٤Ƥβ��ޤ�. �ʤ��ʤ�, ������դˤ���������, �ۤȤ��
���٤Ƥε��פϾ��ʤ��Ȥ�1��syzygy���ڤ�($Q_2=0$)����Ǥ���. 
$A$�����ȯ������, $m_3$�����������פ����껰�ξ��ͤ򵯤����ʤ��¤�, 
����syzygy�򺹤ΤȤ���$A$��¾��������äƤ���. 
���Τ��Ȥ�2��������$f: \bar{A} \rightarrow A$�ȸ��뤳�Ȥ��Ǥ���. 
������$\bar{A}$�ϥ��������פ⻰�ξ��ͤ⤷�ʤ����ν���Ǥ���. 
$A_e \subset A$��$m_3$�����������פ�����ʬ����Ȥ�, $A^* \subset A$��
���ξ��ͤˤ�������ʬ����Ȥ���. �����, $\bar{A} \subset A$��
$A_e \cup A^*$���佸�����������. 

Ϳ����줿��$p_0 = (Q_1,P_1)_0 \in \bar{A}$���Ф�, $f(p_0)$��
����syzygy�򺹤ˤ�������$p_1 = (Q_1,P_1)_1$�ˤ�ä��������. 
������$f$�Ϥ��������syzygy�򺹤ˤ�����Ϣ���ξ��֤�(�⤷�����)����
syzygy�򺹤ˤ�����Ϣ���ξ��֤ؤȼ�������. 
���ξ��ͤο����ð����Τ���, ������˴ؤ�����ʬ�������β��Ϣ³����
$p \in A^*$���Ф��Ƥ�����Ω���ʤ�. �椨�˼�����Ϣ³�Ǥʤ�, $A^*$�ξ�
�Ǥ��������Ƥ��ʤ�. ������, �˸�Ū�ʰ�̣�Ǥ��Τ褦�����϶���
$B_c$�˼̤����. �Ĥޤ�, $f: A^* \rightarrow B_c$�Ǥ���. 
����$B_c$�Ϥ��餬�ݥ��󥫥����̤������ջ��ξ���¿���ΤȤθ�����
����(���򸫤�).

$f$�η����֤�(�Ĥޤ�, $f^n(p), n=1,2,3,\ldots$)�Τ�Ȥ�, Ǥ�դ���
$p \in A$����������$A$���ͭ�¤ޤ���̵������Ǥ���. 
ͭ����ξ��, �Ǹ����$p$�ϥ���������$(p \in A_e)$��Ƴ���Τ��ޤ���
���ξ���($p \in A^*$)��Ƴ��. Ʊ�ͤ�, $f^{-1}$�η����֤��Τ�Ȥ�, 
���൰ƻ����������. 

�Ը����줿�������Υϥߥ�ȥ����(10)���, ��ʿ��$(Q_1,P_1)$��Ǥ�դ�
�ɽ��ΰ�����Ѥ�, $Q_2$���Ѥ�äƤ����ѤǤ���. �Ȥ���, Ǥ�դ�$Q_2=0$
���Ф������ѤǤ���. �����Υ䥳�ӹ����$Df$��ɽ����, ��Τ��Ȥ�, $f$��
�ɽ�Ū��������¸�Ǥ��뤳��(${\rm det} \ Df = 1$)���̣��, $Df$�θ�ͭ��
���տ��ڥ�($\lambda_1 \lambda_2 = 1$)�Ǥ��뤳�Ȥ��狼��. 

�Թ��ʤ��Ȥ�, ���̤�, ���ξ��⤽������, �ݥ��󥫥�����ϲ���Ū��
������줺, ��ư������(6)�������ʬ���뤳�Ȥ����ʤ���Фʤ�ʤ�. 
(�׻��ξܺ٤ˤĤ��Ƥ�III��ȸ���.) 
$f$��¿���󷫤��֤�, �ޤ�����ͤ�¿����뤳�Ȥˤ�����Ū������줿
�ݥ��󥫥������ʸ����¿��������. ��Ǹ���褦��, ���󤬵�§Ū��
�¤֤褦�ʾ��ˤϤ��μ�ˡ�ϼ��ͭ�ѤǤ���. �Ȥ�����, �����Ǥ�, 
���Ȥ��������ΰ�μ����Ȥ��������ª����. ����ˤ��, ������Ū��
���Ǽ��������Ū��ɽ���Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ����.}

1. ���������֤���ˤ�syzygy���֤���ʤ�2�Ĥη��β򤬤���, ������
��μ����Ǥ�ɽ�����뤳�Ȥ��Ǥ��ʤ�. �ޤ�, �軰�Τ�̵�±󤫤����, 
���ξ��ͤ�ľ�ܸ��������Ǥ���. �����{\bf ���--���ξ���}(���뤤�ϻ���
���ž����, ��������--����������)�Ǥ���. �⤦�ҤȤĤϻ�������--���͵�ƻ
�Ǥ���. �����syzygy�����ڤ�ʤ�. ��Ȥ��Ƥ�, �����ѷ��ۥ⥻�ƥ��å���
������. �ɤ���ξ���, ��������������¬�٥����ν��礫��ʤ뤷, ��ƻ��
�����פϴ�ñ����ħ�Ť��뤳�Ȥ��Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
2. ���������Ѵ��ˤ��, Ǥ�դ��饨�ͥ륮���ͤ�
$h = \displaystyle - \frac{1}{8}$�˵��ʲ��Ǥ���. ������, $h$����ꤷ��
�׻����Ƥ�, $h$��ǡ���ˤ�餺, �饨�ͥ륮���ξ���ɽ������. 

\vspace{0.3cm}
3. ����Υϥߥ�ȥ��꼰���������������($\alpha=0$)�򰷤��ʤ�. 
����ϥϥߥ�ȥ���꼰���Τ����Ǥ���, (5),(11)�������餫�Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
4. �嵭�����ϰʲ��Υѥ�᡼�������: �������($G$), ���ͥ륮��($h$),
2�Ĥμ��̥ѥ�᡼��$(m_1,m_3)$. ����, Ĺ��, ���֤�ñ�̤����֤�, 
$G, h$����Ӽ��̥ѥ�᡼��$(m_1 + 4m_3)$����ޤ�. ���̥ѥ�᡼����
�ҤȤĻĤ�. �����$\alpha$�Ƚ񤤤Ƽ�ͳ�ѥ�᡼���Ȥ���. 
��������, $\alpha$��ѥ�᡼���Ȥ���1-�ѥ�᡼������²������줿. 
����ʸ�ǵ��Ҥ���Τ�$m_1 = m_2 = m_3$, 
�Ĥޤ�$\alpha = \displaystyle \frac{1}{3}$�ξ��Ǥ���. 
�̤ξ��[36]�Ǥ�, $0 < \alpha \leq 1$��ѥ�᡼���Ȥ���$f$�ΰ���ʬ���
{\bf ʬ������}������������������. 

\section{�׻�ˡ}

���Ū�����Ȥ��Ƥ�$f$��������Ĵ�٤뤿���, ���Ѥ��ɤΤ褦���Ѵ�����뤫��
�ͤ���ɬ�פ�����. ����, �׻����, ñ������Τդ�ޤ�����̩��
����Ǥ�������Ǥ���. ���Ū�������򵭽Ҥ��뤿���, A��� 
$(Q_1,P_1) =(m \delta, n\delta)$�η��γʻ�����Ĵ�٤�. �����
$\delta = 0.005$���֤���. �ʻ����ο���62,605�ĤǤ��ä�. �Ƴʻ�����
�Ф���,  ����syzygy�򺹤ޤǤ��뤤��$m_3$�Υ��������פθ��Фޤ�, 
���뤤��ͽ���᤿��߿��ޤǤ�ñ��ο�����ʬ��Ԥʤä�. 
�����Ƥ������ξ��, 
syzygy�򺹤ޤǤλ��֤�����û��(��������ξ��ͤδ�)��, ���뤤�ϥ���������
��Ƚ�꤬�ᤫ�ä�. ���Τ褦�ʾ��, ��ʬ������û��, �������٤������
�����ʤ��ä�. 

������, ����Ū�ˤ�, ���ͷ׻���ĩ��Ū���������������������פε�ƻ�⤢��. 
�ޤ�, ���ξ��ͤζ᤯���̲᤹�뵰�פϹ�®�٤��Ĺ��®�٤�и�����. 
���Τ���, ���͸���(�ݤ����)�򾮤������뤿��˹�������Ѥ�����ʬ�Ҥ�
ɬ�פȤʤ�. �ܸ�����Ԥ���ˤ����ä�, ����Ȥʤ������ο���
���ʤ��Τ�, ������Τ����������𤹤ۤɤǤϤʤ��ä�. 
(�ʲ������פ򸫤�.) ���, ���ζ��ܾ��ͤ�³�����������׸��ݤϤ����ؤ�
���Ǥ��ä�, ���͸����Ϻǽ����֤˱ƶ���Ϳ���ʤ��Ǥ�����. 
�����, �軰�Τε��פ���ʪ���˶ᤤ��ƻ���ܼ�Ū�˷׻���ǽ�Ǥ���. �ʤ��ʤ�, 
���Τ褦�ʵ�ƻ��׻�����ˤ�, ���������פ򸡽Ф���������뤤��$m_3$��
sizygy����äƤ������ˤ����������ʬ��ߤ�ɬ�פ�����Ǥ���. 
�����, �軰�Τ��󤯤ˤ��ä����˾����ʳ�����®��(����ʪ����)��
���ĤȤ�, ��ƻ�������Ҵ��Ǥ���. �º�, �����Ǥ���͸����������, syzygy
�ؤβ󵢤��������ξ��ͤο����Ѥ�äƤ��ޤä���, ��ƻ����ʪ�����餺���
���ޤäƷ׻����Τ�̵��̣�ˤʤäƤ��ޤ�.  
���Τ��Ȥϼ���Ǥ�äȤϤä��ꤹ��. ����Ǥ���ʪ���������פζ᤯������
���Ҥ���(��2). 

���������פ˴ؤ��Ƥ�2�ĤΥƥ��Ȥ�Ԥʤ�. �ҤȤĤ�Standish��Ƚ����
[37]�Ǥ���, �⤦�ҤȤĤϤ��ν�����[38]�Ǥ���, ��Ԥˤ��, ���ʤ��᤯
���������פ�Ƚ��Ǥ���. ���ν�����Sundman�ؿ�[6]�˴�Ť���ΤǤ���, 
Birkhoff�Υ���������Ƚ����[5]��Ȥä�Zare[11]���ǽ�˼�����.

�׻��ץ�����ब�׻��³�(����������, syzygy��, ��߿��³�)�ޤ��褿��, 
��ʬ�Ҥϻ��֤��ž������, ��ȯ���������. ����ͤȵ��ä��褿����ͤȤ�
��Υ����ʬ�ο������٤��ܰ¤ȹͤ�����. 

�����Υƥ��Ȥ��Ф���, Runge-Kutta-Fehlberg 7(8)��ʬ�Ҥ�Ȥä�. 
�����٤�$10^{-14}$�Ȥ�, $10^4$��ߤθ����ʬ���᤿. 62,605�Ĥ�
�ʻ����Τ���, 3�Ĥ������, �۰̶��֤�$10^{-8}$�������äƤ���.
ʿ�ѵ�Υ��$10^{-14}$��꾮�����ä�. 266��(0.4\%)��(��ʪ����ƻ�˶᤯��)
�׻���ǽ, ���Τ���3ʬ��1�ʾ���󥨥������׵�ƻ(��ʬ�ν����$P_2<0$)��
���ä�. �ܸ������������餹���, �׻���ǽ����Ū�ˤȤäƽ�ʬ�դ��路��. 

\vspace*{10cm}

\hspace*{6cm} ��2
\vspace{5cm}


\section{�ϳؤ����Ū����}

$\bar{A}$�γ���������������������Ƥ�. ����ϼ���syzygy�򺹤ޤǤ�
���ξ��ͤο��Ǥ���. ����ˤ��, $A$����ʬ����$A_k$��ʬ�䤵���. 
����ʬ�����°��������Ʊ��$k$�����(��2�򸫤�). 
�ä���, $A_e$�������٤Ƥ�$k=\infty$�������Ƥ�. ���ν����$m_3$��
���������פˤ����뵰ƻ�ν���ͽ���Ǥ���. 
��ˡ$A_k$��$k<\infty$�Τ�������˻Ȥ����Ȥˤ���.
$A_k$��$A_{k+1}$��ʬ����Τ�, $k$������ξ��ͤθ�˻��ξ��ͤˤ���������
����$B_k$�Ǥ���. �����������, ���ζ����ζ᤯�Ǥ�, 
����syzygy�򺹤ޤǤ�$(k+1)$�Ĥ����ξ��ͤ�и���������$A_{k+1}$��°����. 
����syzygy�򺹤�ľ���$(n+1)$�Ĥ����ξ��ͤ�и���������$A_k$��
°����. ������$B_k$�ϼ���syzygy�򺹤ΤȤ���$(k+1)$���ܤ����ξ��ͤ�
����. �Ĥޤ껰�ξ��ͤǤ���. 

$k \geq 2$�ξ��, �����ζ�����$A_{\infty}$�ζ����˽��Ѥ���. �����
$k \rightarrow \infty$�ΤȤ�$A_k$�����Ѥ������˸��������Ȥ򼨤�. 
$A_{\infty}$�ζ�����$B_{\infty}$�Ƚ񤯤��Ȥˤ���. �����$m_3$��
��ʪŪ�˥��������פ������ν���Ǥ���. ���ε�ˡ�Τ�Ȥ�, 
�ʲ�������Ω��
$$ \begin{array}{l}
  A_e = A_{\infty} \cup B_{\infty} , \\
  A^* = \displaystyle \cup_{k=0}^{\infty} B_k , \\
  \bar{A} = \displaystyle \cup_{k=0}^{\infty} A_k , \\
  A = \bar{A} \cup A_e \cup A^* . 
   \end{array}
$$
�弰��, ̵���¤�����������Τ錄���¤��̣����Τ�, �˸½���
$A_{\infty}$, $B_{\infty}$��ޤޤʤ�. 

$A_k$��������, Ǥ�դ�$p^* \in A_k$���Ф���, $f(p^*)$��$B_c$��ˤʤ�. 
$f$��$\bar{A}$���Ϣ³�Ǥ��뤫��, Ǥ�դ�$\varepsilon>0$���Ф���, 
$\delta>0$��¸�ߤ���, 
$p \in {\bf B}_{\delta}(p^*) = \{ p \in \bar{A}, |p - p^*| <\delta \}$
�ʤ�$f(p) \in {\bf B}_{\varepsilon}(f(p^*))$������Ω��. 
$\varepsilon$��ʬ�����������${\bf B}_{\varepsilon}(f(p^*))$��$B_c$��
����ʤ��褦�ˤ����, ���٤Ƥ�$p \in {\bf B}_{\delta}(p^*)$���Ф���, 
���ξ��ͤο�$k$���Ѥ��ʤ�, �Ĥޤ�, ${\bf B}_{\delta}(p^*) \in A_k$
�Ǥ���. 
�����, ���٤Ƥ�$A_k$����¬�٤γ�����Ǥ��뤳�Ȥ��������줿. 

����$f(A^*) \subset B_c$�Ǥ���, $A^*$�Ϥ����佸�礬���Ǥ��뤫���Ľ���
�Ǥ���. $A^*$������$B_c$��ˤ���, $B_c$��¬�٥����Ǥ��뤫��, $f$������
��¸�Ǥ��뤳�Ȥ��, $A^*$��¬�٥����Ǥ���. 
Ʊ�ͤʵ�������ʬ������(10)�˻Ȥ���, $A_{\infty}$����¬�٤����
������Ǥ��뤳��, $B_{\infty}$������¬�٤��Ľ���Ǥ��뤳�Ȥ�������. 


$A_k$�����Ѥ�$k$�Ĥ����ξ��ͤγ�Ψ¬�٤Ȥ��ƻȤ������Ǥ���. 
Ǥ�դν���$\tilde{A} \subset A$��¬��$\mu$�򼡤Τ褦���������: 
$$
  \mu(\tilde{A}) \dot{=} \displaystyle 
\frac{{\rm area \ of} \ \tilde{A}}{{\rm area \ of} \ A}
$$
ɽI���礭��������8���ܤޤǤ�¬�٤�ɽ�ˤ�����ΤǤ���. 
$1 \leq k \leq 50$���Ф���¬�٤�log--log�ޤˤ���, 
$\mu(A_k) \sim Ck^{-\beta}$������¬�٤򤦤ޤ�ɽ������(��3�򸫤�). 
�����$C \simeq 0.1017, \beta \simeq 1.650$�Ǥ���. 
���ζ���Ϥ��٤Ƥ�$k$�ؤȳ��ޤǤ���Ȼפ���. ����ˤ���, $A_k$��
���Ѥ�$k$���������ñĴ�˸�������. 

\vspace{0.5cm}
%\begin{center}
ɽ I. �礭��������7���ܤޤǤ�\\
$A_k$�γ�Ψ¬��

\vspace{0.3cm}
\def\arraystretch{0.6}
\begin{tabular}{ll}
\hline \hline
$k$ & $\mu(A_k)$ \\
\hline
$\infty$ & 0.199 \\
0 & 0.l51 \\
1 & 0.527 \\
2 & 0.0368 \\
3 & 0.0168 \\
4 & 0.0102 \\
5 & 0.00703 \\
6 & 0.00516 \\
\hline \hline 
\end{tabular} \hspace*{5cm} ��3��Ž��
%\end{center}



$f$�β��Ǥ�$A_k$��������ꤹ�뤿���, ��ʬ������(10)��ȿž
$(Q_1,P_1,Q_2) \rightarrow (Q_1,$ $-P_1,-Q_2)$�˴ؤ������ѤǤ��뤳��
�����դ���. $p \in A$�������Ȥ���(10)�β��
$$
\left[ 
  \begin{array}{l}
     Q_1\\
     P_1
  \end{array}
\right] = g(p,Q_2)
$$
��ɽ����, �嵭��������
$$
  g(\rho(p), -Q_2) = \rho(g(p,Q_2)),   \eqno(12)
$$
���̣����. ������$Q_1$���˴ؤ���ȿž$\rho$��
$$
  \rho(p) = \displaystyle \left[ 
    \begin{array}{cc}
       1 & 0 \\
       0 & -1
    \end{array}
\right] p 
$$
����������. �������ä�, $p$��ȿž�θ��൰ƻ��$p$�����ʵ�ƻ��ȿž��
Ʊ���Ǥ���, $p$�����ʵ�ƻ�Ȥ������ξ��ͤο���Ʊ���Ǥ���. 
�Ȥ���, $p$�ε�ƻ��$m_3$�Υ���������($p \in A_e$)���б�����ʤ�, 
$\rho(p)$�ε�ƻ��$m_3$����ͤ��б�����. $p$�ε�ƻ�����ξ��ͤǽ���
($p \in A^*$)�ʤ�, $\rho(p)$�ε�ƻ�ϻ��ξ��ͤ�������е�ƻ�Ǥ���. 

Ǥ�դ�$p \in \bar{A}$���Ф���, �Ǿ��θ����$t^+$��¸�ߤ���
$Q_2(t^+)=0$�Ǥ���, $f$�β��Ǥ�$p$����������$f(p) = g(p,Q_2(t^+))$��
��������. Ʊ�ͤ�, $\rho(p) \in \bar{A}$�ʤ�����������$t^-$��
¸�ߤ���, $Q_2(t^-)=0$�Ǥ���, $f$�β��Ǥ�$p$�θ�������
$f^{-1}(p) = g(p,Q_2(t^-))$����������.
������������餹���, (12)��
$$
  f^{-1}\rho = \rho f ,  \eqno(13)
$$
���̣��, ���줫�鵢Ǽˡ�ˤ��
$$
  f^{-n} \rho = \rho f^n ,  \eqno(14)
$$
������.

�������ä�, Ǥ�դ�$p \in A_k$���Ф���$\rho f(p) \in A_k$�ޤ���
$f(p) \in \rho(A_k)$������Ω��. ������, $\rho(A_k)$��$Q_1$���˴ؤ���
$A_k$��ȿž���̣����. �Ĥޤ�, {\bf Ǥ�դ�����$A_k$��$f$�β��Ǥ�����
$Q_1$���˴ؤ��뤽��ȿž�Ǥ���}: 
$$
  f(A_k) = \rho(A_k) . \eqno(15)
$$
$A_k$��$Q_1$���˴ؤ����оΤʤ�$\rho(A_k) = A_k$�Ǥ���, $f(A_k) = A_k$��
����Ω��. �Ĥޤ�$A_k$��$f$�Τ�Ȥ����ѤǤ���: ���٤Ƥ�$n$���Ф���
$f^n (p \in A_k) \in A_k$. 
��2����狼��褦��, �ɤ�$A_k$��$Q_1$���˴ؤ������оΤǤ���, $Q_1$����
���ڤ�. ���Τ��Ȥ���, �ʲ����������Ф�. 

\vspace{0.3cm}
---- ���о������, ����$j$���Ф���$f(A_k) \cap A_j \neq \emptyset$.
������, $A_k$�����ѤǤʤ�. 

---- $Q_1$����{\bf ��}���뤳�Ȥ���, $f(A_k) \cap A_k \neq \emptyset$. 
�����$A_k$��������ʬ���礬¸�ߤ�\\
\hspace*{1.1cm}�뤿���ɬ�׾��Ǥ���($A_k$�����Ǥ��뤳�Ȥ�פ��Ф���). 
��ʬ���ǤϤʤ�. 

\vspace{0.3cm}
$A_k$�Τ��δ�����Ū�����ϥ�����Ū�դ�ޤ�(IV.A��򸫤�)�Ȱ���ʤդ�ޤ�
(IV.D��򸫤�)����¸���뤿���ɬ�פʺ����Ǥ���. 

\newpage
\vspace*{5.5cm}
\hspace*{6cm} ��4

\vspace{5cm}

(15)���ϼ��������Ū�˵��Ҥ��뤿��˻Ȥ���. ��4�򸫤�. ���δ�����Ū
ɽ���ϰʲ������������餫�ˤ���. 

\vspace{0.3cm}
---- $f(A_k) \cap A_j \neq \emptyset$��, $(k=0,j=0,1)$, 
$(k=1, j\geq 0)$, �����$(k\geq 2, j\geq 1)$���Ф�\\
\hspace*{1.1cm}������Ω��. 
$A_0$������$A_0$��$A_1$�ˤΤ߼̤뤬, $A_1$������Ǥ�դ�$A_k$�˼̤�. 

---- $f(A_k) \cap A_{\infty} \neq \emptyset$��, $k\geq 1$���Ф�������Ω
��. ����syzygy�򺹤θ��$m_3$������\\
\hspace*{1.1cm}�����פ��뽸�礬¸�ߤ���ΤϤ��������ˤ��. 

---- $\rho(B_k) \cap B_j \neq \emptyset$��, $(k=0,j=0)$�����
$(k\geq 1,j\geq 1)$���Ф�������Ω��. (12)\\
\hspace*{1.1cm}�����, $B_k$��ȿž���Ǥ�դ����θ��൰ƻ�ϻ��ξ��ͤˤ�����. 
�������ä�, 1\\
\hspace*{1.1cm}�����syzygy���̲ᤷ��, ���ξ��ͤ˻Ϥޤ꤫�Ľ��뵰ƻ��
̵���ˤ���. 

\vspace{0.3cm}
$\mu(f(A_k) \cap A_j)$��, $k$�Ĥ����ξ��ͤμ���$j$�Ĥ����ξ��ͤ�
³����ƻ�γ�Ψ¬�٤Ȥ��ƻȤ����Ȥ��Ǥ���. ��äȰ��̤�,
����
$$
  A_s = \displaystyle \cap_{i=m}^n f^{-i} (A_{k_i})  \eqno(16)
$$
��ͤ���. ������, ź��$s$��$k$���������
$$
  s = k_m,k_{m+1},\ldots,k_{-1}.k_0,k_1,\ldots,k_{n-1},k_n
$$
�Ǥ���. ���ʤ��, $A_s$��$f$�Τ�ȤǤ�$A_k$���������򤿤ɤ�������
�Ǥ���. �椨��, $\mu(A_s)$����$s$�ˤȤ�ʤ���Ψ¬�٤Ȥ��ƻȤ���. 

���ε�ˡ�β���, ��������ľ���ź��(��������$k_0$)�Ͻ���
($p \in A_{k_0}$)������θ��߰��֤򼨤�. �����걦��ź����, 
$f$�����ʼ����Τ�Ȥ��̲᤹��$A_k$����򵭽Ҥ�, ����ź����, 
$f$�θ�������Τ�Ȥ��̲᤹��$A_k$����򵭽Ҥ���. 
������, ���դ���ɬ�פ�����Τ�, ź��$m$��$n$��$m<n$�ʤ��������������٤�
�Ȥ������¤����Ǥ��뤳�ȤǤ���. $m$��$n$��Ʊ�����Ǥ��äƤ⤤��. 
���ξ��, ����������˴ޤޤ�ʤ�. ��ˡ��, ���������פ仰�ξ��ͤ�
�Ϥޤä��꽪�ä��ꤹ�뵰�פ�ޤ�褦�˳�ĥ���뤳�Ȥϲ�ǽ�Ǥ���
(IV.E��򸫤�). 

���ε�ˡ��, $f$��$\rho$�򽸹�˺��Ѥ�����Ȥ��ˤ��Ȥ������Ǥ���. 
��Ȥ������̤ν���
$$
  A_{5,4,3,2,1}= f^2(A_5) \cap f(A_4) \cap A_3 \cap f^{-1}(A_2) 
\cap f^{-2}(A_1)
$$
��ͤ��褦. ������$f(A_{5,4,3,2,1}) = A_{5,4,3,2,1}$������Ω��. 
�Ĥޤ�, $f$�Ͼ�������ҤȤı��ؤ��餹���̤����. Ʊ�ͤ�, $f^{-1}$��
�������򺸤�ư����. (14)��(15)��Ȥ���, $\rho$����򾯿����ΤȤ�����
�����Ҥä����֤����̤���Ĥ��Ȥ򼨤����Ȥ��Ǥ���. �º�, 
$$ \begin{array}{rl}
  \rho(A_{5,4,3,2,1}) & 
=\rho f^2(A_5) \cap \rho f(A_4) \cap \rho(A_3) \cap \rho f^{-1}(A_2) 
\cap \rho f^{-2}(A_1) \\
& = f^{-2} \rho(A_5) \cap f^{-1} \rho(A_4) \cap \rho(A_3) \cap 
f \rho(A_2) \cap f^2 \rho(A_1) \\
& = f^3(A_1) \cap f^2(A_2) \cap f(A_3) \cap A_4 \cap f^{-1}(A_5) \\
& =  A_{1,2,3,4,5} .
   \end{array}
$$
����Ͻ��פǤ���. �Ȥ����Τ�, ��������������Ľ����¬�٤��դ����
���Ľ����Ʊ��¬�٤�����Ǥ���. 

  ���٤Ƥ��󤬸��¤��ϳؤ�ȿ�Ǥ����櫓�ǤϤʤ�. ���Ȥ���, ���ȤǼ���
�褦��$A_{0,1,1}$�϶��Ǥ���. �����, ``0,1,1''����ʬ��Ȥ��ƴޤ�Ǥ�դ�
��$s$���Ф���, ����$A_s$�����Ǥ��뤳�Ȥ��̣����. ���Τ褦�����
�ػ�(forbidden)�֥��å��ȸƤФ��. ȿž�����, ``1,1,0''��ػߥ֥��å�
�Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
{\bf ����.} ��������Ǥ�, Ǥ�դ���$p \in A$�ε�ƻ�ϼ�����̤�褪��Ӳ��
�ط����֤����Ѥ����뤳�Ȥˤ��, ������Ȥ���ɽ�����뤳�Ȥ�Ǥ���. 
���ε����ϳ�ɽ����IV.E���������. 

\vspace{0.3cm}
(15)�����Ū�˰�̣����Ĥ���, ������$A_k$����ʬ������Ф��Ƥϰ��̤�����
Ω���ʤ����Ȥ�Ĵ���Ƥ���. ������, $f$�����˵��Ҥ���ˤ�, $A_k$��
ʬ�䤷, $f$�β��ǤΤ�����������ɬ�פ�����. �ʲ���³������ˤ�����
�ۤʤ�$A_k$���Ф��Ƥ�����������. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf A. $k \geq 2$�ξ������Ū����}

$k \geq 2$�ξ��, $A_k$�ϻ�������򤷤Ƥ���, ξü�϶���$B_c$��2����
��Ť�(��2�򸫤�). $A_k$����ʬ����$A_{kj} = A_k \cap f^{-1}(A_j)$��
ʬ�䤹��Τϼ����Ǥ���. ���������$A_j, \forall j$�ˤ���.
����ʬ�䤪���$f$�β��Ǥ��б���������, $f_2$�˴ؤ��ƿ�5�Ǽ�����. 
$k>2$�ξ�������Ʊ�ͤǤ���. ����ʬ��Ǥ�, $f(A_k) \cap A_j, \ j \geq 1$
��������$j$�ν���¤���߼��̤Ǥ���. ������, ����$B_k$�˶ᤤ�̤�$j=1$��
�б���, ����$B_{k-1}$�˶ᤤ�̤�$j=\infty$���б�����. ���Τ��Ȥ���, 
���������פ�$B_k$����¦($A_{k+1}$��)�ǵ�����, �⤦����($A_k$��)�Ǥ�
������ʤ�. �����������, ���ξ��Ͳ�ζ᤯�ǥ��������פ�������Τ�
syzygy�򺹤����ξ��͸�˵����ä����Ǥ���, �դξ��ǤϤʤ�. �����
Zare and Szebehely[30]������Ū��������̤Ȱ��פ���. 

$A_k, j \geq 2$�ؤ�$f$�κ��Ѥϴ�����Ū��2�ʳ��ǵ��ҤǤ���. 
�ǽ���ʳ��Ǥ�, $A_k$�Ȥޤä���Ʊ�������, �߼������ؤ�����������
�Ȥ����³��Ⱦ�������ؤ�����������ˤ�ä�������. ������˸�����, 
���λ������ĺ������������������դȤʤ�, ���λ�������դ��̤��
�������������ĺ���Ȥʤ�. �����ʳ��Ǥ�, ���ο������������$Q_1$����
�ؤ���$A_k$��ȿž�Ȥʤ�褦���֤�. �����κ��Ѥˤ��, $A_k$��
�߼��̤�$A_k$��ȿž��ư�¸̤ˤʤ�, ư�¸̤ϱ߼��̤ˤʤ�. 
$f$��������¸�Ǥ��뤫��, �߼��̤Ϥ��Ĥ��б�����ư�¸̤��Ĺ����������. 

\vspace{5cm}
\hspace*{6cm} ��5,6

\vspace{5cm}

$A_k, k \geq 2$���٤Ƥؤ�$f$�κ��Ѥ򼨤������, 
����$S_M = \displaystyle \sum_{k=2}^{M+1} A_k$��ͤ���. 
������$M \geq 1$��(Ǥ�դ��礭��)�����Ǥ���. ���λ�����
��ˡ$S_{\infty} = \lim_{M \rightarrow \infty} S_M$��Ƴ�����Ƥ���. 
����ϸ�ǻȤ�. ����, $f(S_M) \not\subset S_M$�Ǥ��뤬
($f(S_M)$��$A_{\infty}$�Ȥ�$a_1$�Ȥ���뤫��), 
$f(S_M)$��$M$�Ĥ�ư�����ˤ�����$S_M$�ȸ���: 
$$ \begin{array}{ll}
  R_i = f(S_M) \cap A_i , & i=2,3, \ldots, M+1 .
   \end{array}
$$
�����Ϥ��줾��$A_j \subset S_M$�˴ޤޤ��. ��$R_i$������Ʊ�ͤ�
$M$�ܤ�ư�¸̤�$S_M$�ȸ���. ������, 
$f(f(S_M) \cap S_M) \cap S_M$��$M^2$�Ĥ�ư��������ʤ�. ���ʤ��, 
$$ \begin{array}{ll}
  R_{ij} = f(R_i) \cap A_j , & i,j=2,3, \ldots, M+1 .
   \end{array}
$$
�⤦�ҤȤ��ʳ���ʤ���, $M^3$�Ĥ�ư����
$$ \begin{array}{ll}
  R_{ijk} = f(R_{ij}) \cap A_k , & i,j,k=2,3, \ldots, M+1 , 
   \end{array}
$$
�Ȥʤ�, �ʲ�Ʊ�ͤǤ���. ��6���ϼ��ޤǤ���. �˸¤Ǥ�, ���Υץ������ˤ��, 
����ȡ��뽸���ư�������ζ�֤��Ѥ�������. 
���ξ�, ���ν���ϸ��൰ƻ��$S_M$��ˤȤɤޤ�������
$$
  \Lambda_M^- = \{ p | f^{-n}(p) \in S_M, \forall n \geq 0 \} ,
$$
��Ʊ���Ǥ���. Ʊ�ͤε����ˤ��, ���ʵ�ƻ��$S_M$�ˤȤɤޤ�������
$$
  \Lambda_M^+ = \{ p | f^n(p) \in S_M, \forall n \geq 0 \} ,
$$
������ȡ��뽸��ȱ߼������ζ�֤��ѤǤ��뤳�Ȥ򼨤����Ȥ��Ǥ���. 
���ʤ���Ӹ��൰ƻ���Ȥ��$S_M$�˴ޤޤ�����ν����, 
����$\Lambda_M = \Lambda_M^- \cap \Lambda_M^+$�Ǥ���. 

�����ΰ㤤�������, ��ʬ����$S_M$���$f$�δ�����Ū���Ҥ�Smale[15]��
����ŵŪ�����˻��Ƥ���. Smale�����������ξ���Ʊ��, 
����$\Lambda_M$��$M$�Ĥε�������̵����ν����Ʊ��Ǥ���. �����
$\Sigma_M$��ɽ��. ($h: \Lambda_M \rightarrow \Sigma_M$��Ʊ�����.)
���ξ�, $\Lambda_M$�����¤���
$f$($f_{\Lambda_M}: \Lambda_M \rightarrow \Lambda_M$)
��$\Sigma_M$��ο�ܼ���($\sigma: \Sigma_M \rightarrow \Sigma_M$)
��
$$
  h(f(p)) = \sigma(h(p)), \ \forall p \in \Lambda_M , 
$$
�ˤ�äƶ���Ǥ���. ����֤���ӿ�ܼ���$\sigma$�ξܤ������Ҥ˴ؤ��Ƥ�
IV.E��򻲾Ȥ����ߤ���. �����Ǥϵ����ϳؤ��������. �ޤ��������ϳطϤ�
���ʽ�[40,41]�⻲�Ȥ����ߤ���. 

��ñ�˼�����褦��, ��ܼ�����̵���μ����������, ������$\Sigma_M$��
����̩����Ǥ���, �ޤ���ܼ����ϰ�����Ū(�Ĥޤ�, $\Sigma_M$���
$\sigma$����̩��ƻ��¸�ߤ���)�Ǥ���. $h$�β��ǰ��궦��Ǥ��뤳�Ȥ�
Ʊ�ͤ��ϳؤ��̣���뤫��, $f$�μ�������$\Lambda_M$�ˤ�������̩�Ǥ���
���Ȥ��狼��. �ޤ�$f$��$\Lambda_M$��ǰ�����Ū�Ǥ��뤳��, �Ĥޤ�, 
$\Lambda_M$��$f$�β���ʬ���Բ�ǽ�Ǥ��뤳�Ȥ�������. 

\vspace{4.5cm}
\hspace*{6cm} ��7,8

\vspace{4.5cm}

$\Lambda_M$��ǤϤ������򤤥������ϳؤ�����Ω�Ĥ�, $\Lambda_M$��
����ȡ��뽸��Ǥ��뤳��, �Ĥޤ�, ������Ϣ��(�������ޤޤʤ�)�Ǥ��ä�, 
¬�٥����Ǥ��뤳�Ȥ����դ��褦. 
�����������, $f$�η����֤���t����, $S_M$��ΤۤȤ�ɤɤ�����
�������$S_M$����ФƤ���. ����, �ɤ���$p \in S_M \backslash \Lambda_M$
���Ф��Ƥ�, $p$�����ʵ�ƻ, ���൰ƻ, ���뤤��ξ������ƻ�ϼ����ΰ��
�ɤ줫�ҤȤĤ�����: 
$D_1 = A_1, D_2 = A_{\infty}, D_3 = \cup_{k=M+2}^{\infty}A_k, D_4=A^*$, 
�����$D_5 = B_{\infty}$. 

���������γƹԤ���$D_j$���б�������ʬ����$E_f \subset S_M$��
$$ \begin{array}{l}
  \phi_j^{(0)} = D_j, \ j=1,2,3,4,5 , \\
  \phi_j^{(m)} = S_M \cap f^{-1}(\phi_j^{(m-1)}) , \\
  E_j = \cup_{m=1}^{\infty} \phi_j^{(m)} ,
   \end{array}
$$
�ˤ�ä���������. �ưפ˼�����褦��, ��$E_j$��$j=1,2,3$���Ф����Ǥ�
�߼��̤��¤Ǥ��뤫, $j=4,5$���Ф���������¤Ǥ���.
�椨��, $E_j$($j=1,2,3$)����¬�٤γ�����Ǥ���. ������, $E_3$��¬�٤�
$M$��դ䤹���Ȥˤ��, ������Ǥ⾮�����Ǥ���. 

Ʊ�ͤ�, ���������γƹԤ�����б�������ʬ����$C_j \subset S_M$��
$$ \begin{array}{l}
  \psi_j^{(0)} = \rho(D_j), \ j=1,2,3,4,5 , \\
  \psi_j^{(m)} = f(\psi_j^{(m-1)}) \cap S_M, \\
  C_j = \displaystyle \cup_{m=1}^{\infty} \psi_j^{(m)} ,
   \end{array}
$$
����������. ���ξ��, ��$C_j$��ư�¸�($j=1,2,3$)�ޤ��϶���($j=4,5$)��
�¤Ǥ���. 

$\cup_{j=1}^5 E_j \cup \Lambda_M^+$�ϱ߼��̤ȶ����ˤ��$S_M$����ʤ��
���뤳�Ȥ����դ��褦. �߼��̤�ư�¸̤ϸ��뤫��, $S_M$�����Ϥ�������
����������Ӹ��������ιԤ���˴�Ť���36�Ĥ���ʬ�����ʬ�व���. 

��������ʬ�����¸�ߤϤ��ޤ��ޤʷ��α�ư��¸�ߤ��̣����. ���Ȥ���, 

\vspace{0.3cm}
---- $C_2 \cap E_2$��$m_3$��{\bf ���--����������}���б�����. �����
���������¬�٤����.  

---- $C_2 \cap \Lambda_M$��$m_3$��{\bf �ʹ����}��ɽ��. ����ϥ���ȡ���
����ȱ߼���������ʬ���\\
\hspace*{1.1cm}���ѤǤ���. ¬�٤ϥ����Ǥ���. ���η��α�ư
��¸�ߤ��뤳�Ȥޤ�¬�٤�������\\
\hspace*{1.1cm}���뤳�Ȥ�Alekseev[42]�����Moser[17]��
��ñ��Sitnikov����ˤ����Ƥ��Ǥ�\\
\hspace*{1.1cm}�������Ƥ���. 

---- $ C_4 \cap E_4$��{\bf ����--����}��ƻ���б�����. ���Υ���¬�ٽ���
��, ̵���θ�Ω�������\\
\hspace*{1.1cm}��. ������syzygy�򺹤�2�ٰʾ�и���������--����
��ƻ�Ǥ���. ��������\\
\hspace*{1.1cm}syzygy�򺹤�������--���͵�ƻ�Ͼ�Ǽ�����. ���η���
��ƻ��Broucke[24]��ȯ\\
\hspace*{1.1cm}������. ���ξ���¿���ξ�ε�ƻ��Ȥä�, �̤λ�����
����¸�ߤ򼨤����Τ�\\
\hspace*{1.1cm}Devaney[25]�Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
¾�η��ε�ƻ, ���Ȥ������--���ξ���, ��ʪ���--��ʪ���������פʤ�, ��
�б����뽸����ñ�˸��Ĥ��뤳�Ȥ��Ǥ���. Ǥ�դ��礭��$M$���ꤹ���, 
�����Τ���4�Ĥ���, $C_1\cap E_1$, $C_1 \cap E_2$, $C_2 \cap E_1$, 
$C_2 \cap E_2$, ��ͭ�դ�¬�٤����. 
��������Ǹ�ν���Ǥ�, ������̤��˰��٤Ǥ�$S_M$�γ��˽Ф��
�⤦��ä���ʤ�. �º�, ���Τ褦�ʵ�ƻ��, $\rho(A_{\infty})$�κǽ������
$A_{\infty}$�κǸ�����������$S_M$���ͭ������Ȥ���ɽ�����.  
��������ʬ����κǽ��3�ĤǤ�, ��ƻ�Ϥ�����ϻ��֤��������뤤��ξ����
������, $S_M$����$A_1$�˼̤����. �������ä�, $A_1$(�����$A_0$)���
$f$�δ�����Ūɽ���ϤҤȤĤε�ƻ���Τ򵭽Ҥ��뤿���ɬ�פǤ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf B. $k \geq 0,1$�ξ������Ū����}

����$A_0$��$A_1$��$A_k, k>1$�Ȱ�äƻ�����򤷤Ƥ��ʤ�(��2�򸫤�). 
�椨��, ��ä��դ�ޤ������Ԥ����. �����Ʊ�ͤ����Ū�ʵ��Ҥ򤹤뤿���, 
$A_0$��$A_1$�򤽤����ΰ��֤˱�������ʬ����, ���ʤ��,
$A_{.0k}$��$A_{.1k}$�η��Τ�Τؤ�ʬ�䤹��. ����齸�礪��Ӥ�����
$A_{0.k}$�����$A_{1.k}$�Ͽ�7�˼�����. ��ñ�Τ���, ������Ǥ�, �ޤ�
$S_{\infty}$��ҤȤĤ�ʬ��Ȥ��Ƽ�����. Ʊ�ͤ�, $A_0$��$A_1$�򤽤�
�����ΰ��֤˱�����$A_{k.0}$�����$A_{k.1}$�η��ν����ʬ�䤹�뤳�Ȥ�
�Ǥ���. �����ν��礪��Ӥ�����$A_{k,0.}$�����$A_{k,1.}$�Ͽ�8�˼�����. 
��8��, ��7��$Q_1$���˴ؤ����ޤ��֤�, �������������Ѥ���((13)���ˤ�������
��)���Ȥˤ�äƴ�ñ�����뤳�Ȥ��Ǥ���. 

\vspace{6.5cm}
\hspace*{6cm} ��9,10

\vspace{6cm}

����2�Ĥΰۤʤ�ʬ���Ťͤ��, ������������ΰ��֤���ħ�Ť�����
��ʬ����ؤκ٤���ʬ�䤬������. 
����ʬ��($A_{j.0,k}$��$A_{j.1,k}$)��$f$�β��Ǥ�
������($A_{j,0.k}$��$A_{j,1.k}$)���9�˼�����. �����οޤ��餤���Ĥ���
�������Ф�. 

\vspace{0.3cm}
---- $A_1$��ʬ��ˤ϶��θ��꤬�����Ĥ�����. �����϶ػߥ֥��å���
¸�ߤ�ؤ�\\
\hspace*{1.1cm}����. $A_{i.1,j} = \emptyset$($i=0, \ j=0,1$)������Ω��. 
�����, �֥��å�''0,1,0''��''0,1,1''\\
\hspace*{1.1cm}���ػߤǤ��뤳�Ȥ��̣����(�ޤ��֤��ˤ��, ``1,1,0''��ػ�). 
��������տ���\\
\hspace*{1.1cm}���Ϥ����, 
``0,1,i''��''i,1,0''��$i<8$�ΤȤ��ػߤǤ��뤳�Ȥ��狼��. 

---- Ʊ�ͤˤ���, $A_0$��ʬ����, ``0''������˴ޤ����3�֥��å���
``0,0,0'', ``0,0,1'', \\
\hspace*{1.1cm}``1,0,0''�����''1,0,1''�Ǥ��뤳�Ȥ���뤳�Ȥ�
�Ǥ���. �����������, $A_0$����\\
\hspace*{1.1cm}��$A_0$�ޤ���$A_1$�ȹԤä����褿�ꤹ���
���Ǥ���(��Ψ������$B_0$�Ȥ���Ȥ�\\
\hspace*{1.1cm}����). 

---- ��9�ˤ�����Ū�˾�������ʬ������礭����ʬ�����ǧ��뤳�Ȥ��Ǥ���. 
����\\
\hspace*{1.1cm}����ʬ���礬��������$(Q_1,P_1) = (0,-0.75)$�ζ᤯�˰��֤���. 
�����``i,1,j''($i \geq$\\
\hspace*{1.1cm}$2, j \geq 2$)�η��Υ֥��å��������ʳ�Ψ��
¸�ߤ��뤳�Ȥ򼨤�. ����$A_{1,1,1}, A_{0,1,\infty}$\\
\hspace*{1.1cm}�����$A_{\infty,1,0}$��¬�٤��礭�����Ȥ���, ������
�֥��å�����ȯ���뤳�Ȥ��狼\\
\hspace*{1.1cm}��. ������Ū��ɽ����Ȥ���, 
�ػߥ֥��å����狼��Ф���Ǥʤ�, ���ƥ֥��å�\\
\hspace*{1.1cm}��¬�٤�狼��. 

\vspace{0.3cm}
����ʤ�Ťʤ�򸫤��, 3����Ĺ���֥��å��ξ���������. ���Ȥ���, 
��7(a)�ȿ�9(b)��Ťͤ��, 4��Υ֥��å��ξ��󤬽Ф�. ����ʬ�䤫��狼��
���פʷ�̤Ȥ���, 2�İʾ�Υ������¤Ӥθ�(���뤤����)�ˤ�''0''��''1''��
³��, ���θ�``$\infty$''��³�����Ȥ��󤲤���. �����, �����Ȥ���, 
2�İʾ�Υ��������Ǥ�դ����''$\infty,1,0,\ldots,0,1,\infty$''��
���򤷤Ƥ���, ���--���������׵�ƻ�Ǥ���. ��³�������ο���̵�¤˶�Ť�
�ˤĤ��, ���פ϶˸¤ˤ�����ľ���ۥ⥻�ƥ��å���Ȥʤ�. 
��ǽҤ٤�������ʻ�����, $A_0$�Τɤ�����, �������$A_0 \cup A_1$��
�ФƹԤ�. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf C. ��§������ӥ������ؤ�ʬ��}

$A$����ΰ�Τ���, $f$�����ʤ���Ӹ������ˤ�������ͤ����/�ޤ���
���������פ����Τ�ʬ���뤳�ȤϽ��פǤ���. 
����Ͽ�10����������. ���֤ο�Ÿ�ȤȤ��, ���, ����������, 
���--�����������ΰ褬�����äƹԤ����Ȥ򼨤��󤬥ץ��åȤ���Ƥ���. 
����ΰ�(��)�Ͻ������ΰ�($f^n \rho(A_{\infty}), \ n=0,1, \ldots, 5$)
����³������iterate�η׻�������. �����������ΰ�(��)������ΰ��
�ޤ��֤��Ǥ���
($f^{-n}(A_\infty) = \rho f^n \rho(A_{\infty}), \ n=0,1,\ldots,5$). 
�����(14)����Ф�. ���--�����������ΰ�(��)��ñ���, ����ΰ��
�����������ΰ�θ���Ǥ���. 

``$S_{\infty}$''�ȹԤä����褿�ꤹ���ΰ�, �Ĥޤ�, ̤�褢�뤤�ϲ���
$S_{\infty}$���������ν���, ��Ʊ�ꤹ�뤳�Ȥ���פǤ���. 
��10��, ����$S_{\infty}$������(̤��ˤ�$S_{\infty}$��ФƹԤ�)����
�Ŀ��Ǥ���, ̤���$S_{\infty}$���������ϲ��Ф��ɤä�
����. 
���ˤ�̤��ˤ�$S_{\infty}$���������������Ǥ���. 

��10������餫��, �ۤ�ξ����μ�����������ä���ޤ��и���, �����β����
���䤷�Ƥ����Ū�������Ѥ��ʤ�. ��11�Ͽ�10����μ���iterate����礷��
��ΤǤ���. ��11�ˤ�3�Ĥΰۤʤ��ΰ褬����. ���ΰ�, �ޤ����ΰ�, ���ΰ�
�Ǥ���. 

���ΰ�Ǥ�, �ɤ�����, ��³��syzygy�򺹤δ֤�1��ʲ������ξ��ͤ�и�����
���--���������׵�ƻ�Ǥ���. �����ε�ƻ�ˤȤ�ʤ���η���, 
``$\infty,\infty$'',''$\infty,1,\infty$'',''$\infty,1,1,$ $\infty$'',
''$\infty,1,0,1,\infty$'',''$\infty,1,0,0,1,\infty$'', ¾�Ǥ���. 
�֤ˤɤ�ɤ�0������. ���Τ褦�ʵ�ƻ�Ϸ褷��$S_{\infty}$�����餺, 
$A_1$������Τϥ��������פ��뤿��ˤ����Ǥ���. �º�, 
̤��ޤ��ϲ���ƨ����ľ���˺ǽ�����ξ��ͤ�Ԥ�. ������, �����
�ֹ�®�פ��뤤�ϡ����ġ׻����ΰ�ȸƤ֤��Ȥˤ���. 
Hietarinta and Mikkola[23]���Ȥä������̸򺹲���η׻�ˡ�ϸ���򾷤��䤹
�����Ȥ��Ŧ���Ƥ���. �ʤ����Ȥ�����, �����β���Ф���, 
���������פޤǤλ��֤ϵ�ƻ�����Ĺ���˱����ʤ�����Ǥ���. 
���������פ�����Ǥ�դ��礭�ʿ�������syzygy�򺹤����������
�������뤱��ɤ�, ���������פϺǽ�����ξ��ͤ�ľ��˵�����. 
�����, �ޤ������ͤ��ΰ�ˤ�������ε��פ�����. 
���Ȥ�syzygy�򺹤ο������ʤ��Ȥ��Ƥ�, 
�����ϥ��������𤹤��ʬ�व���٤��Ǥ���. 

IV.A��ǵ�����������ȡ��빽¤�κǽ�Υ��ơ����Ϥޤ����ΰ����Τ���
�ưפ˸��ƤȤ��. ��������������äƤϤ��뤬, ����򥫥����ΰ�Ȥ��. 
�������ΰ���礭��, $A_1$�ȹԤä����褿��(communicate)���뵰ƻ��
�����Ǥʤ���ƻ��ʬ���뤳�Ȥ��Ǥ���. �ɤ������ʬʬ����ˤ�, 
¬�٤ξ�����(�������ʤ�����ξ��ˤ�¬�٥���)��ƻ�ν��礬���ä�, 
���ޤ���̤���������뤤��ξ�����˥�����Ū��ͭ���ˤȤɤޤ�. 
�ޤ��ɤ���ˤ�, ¬�٤��礭��(�������ʤ�����ξ�����¬��)��
���--���������׵�ƻ����ʬ���礬����. 
�����ε�ƻ�ϥ��������𤹤��Ʊ�ꤵ���. �����������������ʼ�����ƻ
����Ӥ�����տ魯������ΰ���������. ���Τ��Ȥ�����, 
���ä�$S_{\infty}$�ˤȤɤޤ뵰ƻ����, ���ʤ��, IV.A��ǵ�������
����ȡ��뽸����ж��������������뤫��Ǥ���. ���ж�����$S_{\infty}$
��������Τ�$A_1$�Ȥα������̤��ƤΤߤǤ���. ��򼨤������, 
��''$\ldots,5,1,1,\ldots$''���б��������3������ƻ�򸫤Ĥ�, ���Υݥ���
�����������12�˼�����. ��13�Ͽ�12�μ���3��ΤҤȤĤ���礷����ΤǤ���. 
����Ϥۤ�ΤҤȤĤ���Ǥ��ä�, ���տ������Ϥ����¾�ˤ⤢��Ϥ��Ǥ���. 

\vspace{10.cm}
\hspace*{6cm} ��11

\vspace{5cm}

���ΰ�ˤĤ��Ƥϼ�����Ǥ��ܤ���������. �����ΰ��ͭ���ʲ򤫤�ʤ�
���ѽ���ؤȼ�«����. ͭ���ʲ���б��������Ϥ��٤�
``$\ldots,1,1,1,\ldots$''�η�����˴ط�����. �����ΰ�Ǥ�, ���פ��礭��
���礬�ʱ���ư����Ϥ�����KAM��������Ť��äƤ���. 
�����{\bf �������ΰ�}�Ȥ��. ����ϼ�Ȥ��ƽ������ư����Ǥ��Ƥ��뤬, 
������Ū�ʤդ�ޤ��򤹤��Τ⾯������. ��11�˲��Ф����ø���ΰ�(area)��
���뤬, �����ϥ������ΰ���ˤ��뤬, �������ΰ�Ȥζ����ˤ���. 
����ϼ������ΰ�ζ����ն�ˤ������ɤ�(stickiness)���򼨤�[43]. 
ø���ΰ�������ΰ�ζ�����Ǵ��Ĥ����Ȥˤ�äƵ�§���򸫤��륫����
��ƻ�Ǥ���. �����ΰ��, �����᤯�Τ����β�Ϥ�����Ĺ���Ȥɤޤä�
���뤬, ������ϥ�����Ū�ˤʤ뤳�Ȥ򼨤�. 
�����ϳؤ�ɽ���Ǥ�, ������''$\ldots,1,1,1,1,5,6,3,4,\ldots$''�Τ褦��, 
�ҤȤĤλ���������1�򤿤����󷫤��֤�, �⤦�����λ���������Ǥ�դ�������
����. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf D. �������ΰ�}

��ǵ���������̤�$A_1$���ñϢ���ΰ��¸�ߤ򼨺�����. 
�����ǤϤ����ΰ�����Τ�ª���褦. �����ª����줿�������ΰ��Ĵ�٤뤿��
�˲��ͤΤ��������򤤤��Ĥ��Ҥ٤뤳�Ȥ���Ϥ��. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 1.} $S$���оν���(�Ĥޤ�$\rho(S) = S$)�Ȥ�, $f$��$S$�ξ��
$f^{-1} \rho = \rho f$�ʤ�Ʊ������Ǥ���Ȥ���. ���ΤȤ�

(i) $f(S) \cap S$���оΤǤ��뤿���ɬ�׽�ʬ���Ϥ��줬���ѤǤ��뤳�Ȥ�
����.

(ii) $f(S) \cup S$���оΤǤ��뤿���ɬ�׽�ʬ���Ϥ��줬���ѤǤ��뤳�Ȥ�
����.

(iii) $f(S)$���оΤǤ��뤿���ɬ�׽�ʬ����, $f(S) \cap S$��
$f(S) \cup S$�Ȥ����ѤǤ��뤳�ȤǤ���.

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $f(S) \cap S$���оΤʤ�, 
$$ \begin{array}{rl}
 f(S) \cap S = & f(f^{-1}(S) \cap S) \\
 = & f(f^{-1}\rho(S) \cap \rho(S)) \\
 = & f(\rho f(S) \cap \rho(S)) \\
 = & f(\rho(f(S) \cap S)) \\
 = & f(f(S) \cap S)
   \end{array}
$$
$f(S) \cap S$�����Ѥʤ�, 
$$ \begin{array}{rl}
 \rho(f(S) \cap S) = & \rho f(f^{-1}(S) \cap S) \\
 = & f^{-1}(\rho(f^{-1}(S) \cap S) \\
 = & f^{-1}(f \rho (S) \cap \rho(S)) \\
 = & f(f(S) \cap S) \\
 = & f(S) \cap S
   \end{array}
$$
�����(i)���������줿. (ii)�ξ�����Ʊ�ͤǤ���. $f(S) \cap S$��
$f(S) \cup S$���оΤǤ��뤿���ɬ�׽�ʬ����$f(S)$���оΤǤ��뤳�ȤǤ�
��. ���줫��(iii)���Ф�. \hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ��.} $Q_1$�����, $f$����ư����̵���ˤ���. ���줾��ϤҤȤĤ���
$A_k, \ k \geq 1$��ˤ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $S$��$Q_1$���Ȥ���. �����, ����1���, $Q_1$����
$f$�β��ǤΤ������θ�������ѤǤ���. ��$A_k \ (k \geq 1)$���
����Ʊ�Τ���ư����ʬ��$f(A_k)$��α߼���ʬ�˼̤뤫��, $A_k$���
$Q_1$������ʬ��֤Ȥ������θ���ϤҤȤĤǤ���. �椨�˳�$A_k$���
��ư�����ҤȤĤ���. \hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
�������ư����$Q_1$����ξ���$p_k=(q_k,0)$�ȵ���. ����������ʬ��
���뤿���, $Df(p_k)$��׻�����ɬ�פ�����. (13)����ʬ��, 
$\rho(p_k) = p_k$�Ǥ��뤳�Ȥ����դ����, 
$$
  Df^{-1}(p_k) = \displaystyle \left[ 
    \begin{array}{cc}
       1 & 0 \\
       0 & -1
    \end{array}
\right]  Df(p_k) \displaystyle \left[ 
    \begin{array}{cc}
       1 & 0 \\
       0 & -1
    \end{array}
\right]
$$
������. ���δط���, $Df=1$�����Ѥ����, $Df(p_k)$��
$$
  Df(p_k) = \displaystyle \left[ 
    \begin{array}{cc}
       a_k & b_k \\
       \displaystyle \frac{a_k^2 - 1}{b_k} & a_k
    \end{array}
\right]
$$
�ʤ�����뤳�Ȥ��狼��. $1 \leq k \leq 6$�ξ���$q_k,a_k,b_k$��
�ͤ�ɽII�˵��ܤ���. 

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
ɽ II. $Q_1$�����$f$����ư���ξ�����ħ

\vspace{0.3cm}
\def\arraystretch{0.6}
\begin{tabular}{llll}
\hline \hline
$k$ & $q_k$ & $a_k$ & $b_k$ \\
1 & 0.76297 & $-0.9882$ &  $-0.0095$ \\
2 & 0.53571 & $-8.65$   &   6.28 \\
3 & 0.47891 & $-21.6$   &   15.7 \\
4 & 0.45226 & $-37.2$   &   26.5 \\
5 & 0.43611 & $-55.0$   &   38.4 \\
6 & 0.42502 & $-74.9$   &   51.4
\end{tabular}
\end{center}

\vspace{0.5cm}
%\newpage
���餫��, $p_k$�ˤ�����ư����$|a_k|<1$�ΤȤ��ʱ�, $|a_k|>1$�ΤȤ��ж�
Ū�Ǥ���. ɽ����狼��褦��, $p_1$��ͣ����ʱ����Ǥ���. $p_1���濴��
����$Ʊ���ʱ�
$$
\displaystyle 
P_1^2 + \frac{(Q_1-q_1)^2}{1-e^2} = a^2
$$
����������$Df(p_1)[p-p_1]$�β������ѤǤ���. ������, 
$a$�ϵ�ƻȾĹ��($P_1$����), $e$��Υ��Ψ
$$
  e = \displaystyle \sqrt{1 - \frac{b_1^2}{1-a_1^2}} = 0.998 \ldots
$$
�Ǥ���. $p_1$���ʱ����Ǥ��뤫��, $Df(p_1)$�θ�ͭ�ͤ�
$\lambda = \displaystyle e^{\pm i2\pi \alpha}$�Ǥ���. ������
$\alpha=0.477\ldots$��$p_1$�ˤ���������β�ž���Ǥ���. ������, $p_1$��
��˵��, $f$����ư�ͤ�������Ǥ���. $\alpha$�ϥ����Ǥʤ�, $\frac{1}{4}$
��$\frac{1}{3}$�������ܤǤ�ʤ�����, Moser������[17]��Ŭ�ѤǤ���. 
���η�����Ѷ�����¸�ߤ���. 

$p_1$�ζ�˵��$p_1$��ޤ೫����$R$�Ǥ���. $R$�ζ�����$\partial R$��
��. $R$��$Q_1$���˴ؤ����оΤʤ�, �����$p_1$���оζ�˵�Ȥ�ܤ�
(���Ȥ���$R = f(A_1) \cap A_1$). $p_1$����ư���Ǥ��뤫��, 
����$f(R) \cap R \neq \emptyset$�Ǥ���. 
$f$��������¸������$f(\partial R) \cap \partial R \neq \emptyset$��
����. ����1�ˤ���, �оζ�˵$R$���Ф���, $f(R) \cap R$���оΤʤ�, 
��������ѤǤ���. Ʊ�ͤ�, �оζ���$\partial R$���Ф���, 
$f(\partial R) \cap \partial R$���оΤʤ�, �����$\partial R$��������ʬ
����Ǥ���. �ޤ�$f(R) \cap R$���оΤʤ�, $f(\partial R) \cap \partial R$
���оΤǤ���. �դ�ɬ����������Ω���ʤ�. 

\newpage
\vspace*{7cm}
\hspace*{6cm} ��12,13

\vspace{6cm}

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ����.} $\tilde{R}$��$p_1$���оζ�˵��κ�������Ѷ�˵�Ǥ���ʤ�,
$\tilde{R}$���оΤǤ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $\tilde{R}$���оΤǤʤ��Ȥ���. $\tilde{R}$�����Ѥ�
���뤫��, (13)���, $f \rho(\tilde{R}) = \rho(\tilde{R})$����, �椨��
$\rho(\tilde{R})$�����ѤǤ���. $\tilde{R} \subset R$�Ǥ��뤫��, 
$\rho(\tilde{R}) \subset \rho(R) = R$, �Ĥޤ�$\rho{\tilde{R}}$��$R$��
�ޤޤ�Ƥ���. �������ä�, $\tilde{R} \cup \rho(\tilde{R})$��$p_1$��
���Ѷ�˵�Ǥ���, $\tilde{R}$����礭��$R$�˴ޤޤ�Ƥ���. 
�����̷��Ǥ���. ������$\tilde{R}$���оΤΤϤ��Ǥ���. \hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 2.} $R_1$��$p_1$���оζ�˵�Ȥ�, $\tilde{R} \subset R_1$��
$R_1$�˴ޤޤ���������Ѷ�˵�Ȥ���. ���ΤȤ�, ��
$$ \begin{array}{ll}
  R_{n+1} = (R_n \cap f(R_n)) \cap \rho(R_n \cap f(R_n)), 
 & n = 1,2,3,\ldots
   \end{array}
$$
��$\tilde{R}$�˼�«����. (��μ�«��$n \rightarrow \infty$�ΤȤ����뤤��
ͭ�¤�$N < \infty$���Ф��Ƥ��⤷��ʤ�.)

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $\tilde{R} \subset R_1 \cap f(R_1)$�Ǥ���. 
$R_1 \cap f(R_1)$���оΤʤ�, ����1�ˤ��, $R_2 = R_1 \cap f(R_1)$ 
��$R_1$��������ʬ����Ǥ���. ���ξ��, $R_2$��$R_1$�κ����������ʬ
����Ǥ���, $R_2 = \tilde{R}$�Ǥ���. ���Ȥ�$R_1 \cap f(R_1)$��
�оΤǤʤ��Ƥ�, $R_2 = R_1 \cap f(R_1 \cap \rho(R_1 \cap f(R_1)))$
���оΤǤ���, ������$\tilde{R} \subset R_2 \subset R_1$�Ǥ���. 
Ʊ�������򷫤��֤���, ��Ǽˡ�ˤ��, ������������$N$���Ф���
$R_N = \tilde{R}$������Ω�Ĥ�, ���뤤��̵�¤�����Ҥˤʤä��оζ�˵��
���ä�$\tilde{R}$��ޤ�. ���ʤ��
$$
  \tilde{R} \subset \ldots \subset R_3 \subset R_2 \subset R_1 . 
$$
���ξ����$R_1, R_2, \ldots$���оζ�˵$R \supset \tilde{R}$�˼�«����. 
�����, $R$��$p_1$�����Ѷ�˵�Ǥ���. $\tilde{R}$�Ϻ�������Ѷ�˵�Ǥ��뤫
��, $R= \tilde{R}$�ޤ���$\lim_{n \rightarrow \infty} R_n = \tilde{R}$ 
������. \hfill $\Box$


\vspace*{5.5cm}
\hspace*{6cm} ��14,15

\vspace*{5.cm}

\vspace{0.3cm}
����2��$R_1$�˴ޤޤ���������Ѷ�˵��¸�ߤ��ꤷ�Ƥ���, �ޤ����������
����η���Ū�ʼ�ˡ����Ƥ��Ƥ���. �������ä�, ��ˡ����«����ʤ�, 
�����ΰ��¸�ߤϳ�Ω�����. $R_1 = A_1 \cap f(A_1)$�����ȯ����, 
����2�ǳ��⤵�줿��ˡ�˱�äƿʤ��, ��14�˼�����������ΰ�$\tilde{R}$
����ã����. $\tilde{R}$�˼�«��������Ҥˤʤä���˵$R_n$��¬�٤�
ɽIII��Ϳ����. ����ˤ���11���鸫�Ƽ��������ΰ��¸�ߤ���ǧ�Ǥ���. 

���ƶ������ѽ���ζ���$\partial \tilde{R}$�ϼ¤�$p_1$��Ϥ���������
�����Ǥ���. ������Ȥ��äƥե饯���빽¤��Ȥ�ʤ�������线��
$\tilde{R}$�γ��ˤ��ä�, �������ΰ褫���, �ߤ������ʬΥ�����, 
�᤯�ˤ���Ȥ�����ǽ�������ꤹ���ΤǤϤʤ�. 
���Τ褦�ʹ�¤��������Τ�, ��Υإƥ�/�ۥ⥯��˥å��򺹤���Ǥ���,
����ʼ�����ƻ����������ʬ�ϥߥ�ȥ�Ϥ�����Ū�������Ǥ���. 
�����Ǥ⤳����������Ԥ����. ����, �إƥ�����˥å��򺹤����2�Ĥ�
��ư��$p_u$��$p_l$��, $\tilde{R}$�ξ岼����ü�᤯��¸�ߤ���. 
($f(p_u) = p_l$����$f(p_l) = p_u$�Ǥ���.)
���ͷ׻��ˤ���, $Q_1$�����������˿��Ӥ�$p_u$��$p_l$�ΰ��ꤪ���
�԰���¿���Τϲ���Ū�˸���. ����, �򺹳ѤϤ��ä���$10^{-2}$���٤�
����. ���˶������ѥ�ȥ�å����ΰ�Ͽ�15�Ǥϼ����Ȥ���ɽ������Ƥ���. 

\newpage
ɽ III. �������ΰ�ؼ�«����\\
\hspace*{1.5cm}����Ҷ�˵��¬��

\vspace{0.3cm}
\def\arraystretch{0.5}
\begin{tabular}{rl}
\hline \hline
$n$ & $\mu(R_n)$\\
\hline
1 & 0.2293 \\
2 & 0.1128\\
3 & 0.0825\\
4 & 0.0683\\
5 & 0.0613\\
6 & 0.0574\\
7 & 0.0549\\
8 & 0.0537\\
9 & 0.0531\\
10 & 0.0528\\
11 & 0.0527\\
12 & 0.0526\\
13 & 0.0526\\
14 & 0.0526\\
\hline
\end{tabular} \hspace*{4cm} ��18


\vspace{0.3cm}
�����ΰ�������μ����Τդ�ޤ��򸫤뤿���, ���Ĥ�����¿����iterate��,
���٤Ƥμ�������޼�����. ���Υݥ��󥫥����̤Ͽ�15�ˤ���. �ʱ���ư��$p_1$
�Τޤ������Ѷ�����¸�ߤ��뤳�Ȥ��Ϥä���狼��. ����餬�ʱߤ���
�ѷ����Ƥ��뤳�Ȥ�$f$�����������θ����Ǥ���, �ѷ������Ѷ����Υ�������
�Ȥ�����礹��. 
����2��ȤäƤ���������������ΰ�����뤳�Ȥ��Ǥ���. ��ȯ��Ǥ�դ�
�оν���$R_1 \subset \tilde{R}$�Ȥ���Τ�. ���Ѷ����δ֤�, ������
����ȡ��饹�ޤ����线�Ȥ�Ф�붦���ΰ��ʬ���뤳�Ȥ��Ǥ���. ��������
�������˶���. ��Ȥ���, (��ž��11/21��)������γ���ޤ򼨤���. 
�����$(Q_1,P_1) = (0.71693\ldots,0)$�ˤ��륻�ѥ�ȥ�å����ΰ��
�����ˤ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf E. �����ϳؤˤ��ɽ��}

�����ջ�����������Ū�դ�ޤ��ϵ����ϳؤ�Ȥ��Ȥ�ä��⤭Ω�����뤳�Ȥ�
�Ǥ���. ������, �Ļ�̵�¸ĤΥ���ե��٥åȾ�ο�ܶ��֤�Ƴ������. 
����ˤ�ä�, ����Ū�ˤ�, ��ǽ�ʱ�ư��������ħ�Ť��뤳�Ȥ��Ǥ���. 

�ޤ�, ����ե��٥å�$N = \{ 0,1,2, \ldots\}$�������ν���򼨤�
�ü쥢��ե��٥å���
$$
  N_T = \{ \infty, *_{\infty}, *_0, *_1, *_2, \ldots \}
$$
���������. ����, �����$\Sigma$��, �ʲ��η��Τɤ줫�ҤȤĤ����ǽ��
��$s$�ν���Ȥ����������: 
$$ \begin{array}{rcl}
\ldots k_{-2}k_{-1} &.& k_0 k_1 k_2 \ldots , \\
\ldots k_{-2}k_{-1} &.& k_0 k_1 k_2 \ldots k_{n-2}k_{n-1}K_n , \\
K_mk_{m+1}k_{m+2} \ldots k_{-2}k_{-1} &.& k_0 k_1 k_2 \ldots \\
K_mk_{m+1}k_{m+2} \ldots k_{-2}k_{-1} &.& 
k_0 k_1 k_2 \ldots k_{n-2}k_{n-1}K_n , \\
   \end{array}
$$
������, $n \geq 0, m<0, k_i \in N$�����$K_i \in N_T$����������. 
��ñ�˸�����, $\Sigma$���������������ʤ��ǽ�ʤ��٤Ƥ�ͭ��, ̵��, 
ξ̵����Ǥ��ä�, ͭ�¤ǽ���Ȥ��ˤ�, $N_T$��°�������̤ε���ǽ���
�Ȥ�����«����. 

����, ����$\phi: A \rightarrow \Sigma$��ʲ��Τ褦���������. 
$p \in A$�Ȥ���. $f^n(p)$�����٤Ƥ�$n$���Ф����������Ƥ���ʤ�, 
���ε��׾�, ����������/��ͤ⻰�ξ���/���Ф�ʤ�.
���ξ��, $\phi(p)$��ξ̵����Ǥ��ä�, $k_i$��
$$
  f^{i}(p) \in A_{k_i}
$$
�Ȥʤ�褦�˷���. ��λ������̤˰���ͤФʤ�ʤ�. �Ȥ����Τ�, 
�����ν���, ���Ȥ���$f(A_{\infty})$��$f^{-1} \rho(A_{\infty})$��
�������ʤ�����Ǥ���. $f^n(p) \in A_e \cup A^*, \ n \geq 0$�ʤ�, 
$f^{n+1}(p)$�ϥ��������פ��뤤�ϻ��ξ��ͤΤ���������줺, $\phi(p)$
�ϱ���ͭ�¤ǽ���. 
$\phi(p)$����, ��, �ޤ���ξ����ͭ�¤ǽ���ˤ��Ƥ�, �����$k_i$��ξ
̵����ξ���Ʊ���褦�˷��ꤵ���. ����, ��λ����Ͻ�λ����ͳ���Ȥ�
�ۤʤ�. ����ϵ��פν�λiterate�ΤȤ���$A$�Τɤ��˵�뤫�˴�Ť�. ��¦
��λ($n \geq 0$)�ΤȤ�
$$ \begin{array}{l}
  f^n(p) \in A_{\infty} \Rightarrow K_n=\infty \\
  f^n(p) \in B_i \Rightarrow K_n=*_i
   \end{array}
$$
�Ǥ���, ��¦��λ($n<0$)�ΤȤ�
$$ \begin{array}{l}
  f^{n+1}(p) \in \rho(A_{\infty}) \Rightarrow K_n=\infty \\
  f^{n+1}(p) \in \rho(B_i) \Rightarrow K_n=*_i
   \end{array}
$$
�Ǥ���.

�����������, �жʥ���������(���)��̤��˽�λ����(���˽�λ����)���פ�
����''$\infty$''�Ǳ���(����)��λ����������������. 
Ʊ�ͤ�, ��ʪ����������(���)���פ�, 
����''$*_{\infty}$''�Ǳ���(����)��λ����������������. 
���ξ���(����)���פ�, ����''$*_i$''�Ǳ���(����)��λ����������������. 
������, $i$�ϺǸ��syzygy�򺹤��黰�ξ��ͤޤǤ����ξ��ͤο��Ǥ���. 

��³��$f$��iterate�β���$p$������$A$�Τɤ��˰��֤��뤫��ɽ������
�Τ�$\phi(p)$�Ȥ�����Ǥ���. ��ξ������Ϻ���syzygy�򺹻����Υޡ����Ǥ�
��. ���줫�����˿ʤ��, $k_0$�ϼ���syzygy�򺹤ޤǤ����ξ��ͤο��Ǥ���. 
�����̤��, $k_{-1}$�ϤҤȤ�����syzygy�򺹤Ȥδ֤����ξ��ͤ�
���Ǥ���. 

����, ��ܼ���$\sigma: \Sigma^+ \rightarrow \Sigma$��������褦. 
������$\Sigma^+ \subset \Sigma$�Ͼ������α�¦��2�İʾ�ε���������ʬ
����Ǥ���. ��ܼ���������ξ�������ҤȤĤ������˰�ư����. $\Sigma$
�����Ǥ��٤Ƥ��Ф����������Ƥ���櫓�ǤϤʤ�. ��λ�����ۤ��ƾ�������
��ư���뤳�Ȥϵ����ʤ�. �ޤ�$\sigma^{-1}: \Sigma^{-1} \rightarrow \Sigma$
�Ͼ������򺸤ˤҤȤİ�ư������������. $\Sigma^- \subset \Sigma$��
�������κ���2�İʾ�ε���������ν���Ǥ���. 

$\Sigma$������Ȥä�ʿ�������ջ��������Ĵ�٤�������Ǥ���. 
$f$��iterate�β���, ��$p \in A$�ϤǤ�����, �ޤ�ͽ¬�Բ�ǽ�ʻ�����
$A$���ư���Ǥ�����. ������, ����$\phi$��, $f^n(p)$���������뤹�٤Ƥ�
$n$���Ф���
$$
  \sigma^n \phi(p) = \phi f^n(p)
$$
������Ū������Ω�Ĥ褦�˹�������. ����ˤ��, ���פ򿷤�������$\Sigma$��
�����Ƥ�, ��ξ�������ư���Ȥ��ƹͤ�ľ�����Ȥ��Ǥ���. �º�, 
�������ΰ��֤��Τ�ΤǤϤʤ�, �󤽤켫�Ȥ������˶�̣������. 
Ϳ����줿��ƻ�ˤȤ�ʤ����$A$��Τ��ε������Τ���ħ�Ť���. �����鵰ƻ
�Υݡ��ȥ졼�ȤȤ��ƽ��פǤ���. 

\newpage
\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ����.}

---- $\phi$��1��1�Ǥʤ�. �Ȥ���, $\phi(p)$��''$\infty$''�ǽ����, 
$A$���̵�¤�¿������������\\
\hspace*{1.1cm}��, $\Sigma$���Ʊ���ɽ�������. 
�ޤ�IV.D��ǵ��Ҥ����������ΰ������$p$�Ϥ���\\
\hspace*{1.1cm}�Ƶ�����Ȥ��Ƥ�``$\ldots,1,1,1,1,\ldots$''�Ǥ���. 

---- $\phi$��$\Sigma$�Ρ־�ؤΡ׼����ǤϤʤ�. �ػߥ֥��å��Ȥ�����ʬ��
�����뤳�Ȥ򤹤�\\
\hspace*{1.1cm}�˽Ҥ٤�. ���Υ֥��å���$p \in A$������$\phi(p)$�ˤϵ���
�����ʤ�. ������, ���Ǥ�\\
\hspace*{1.1cm}�������褦��, �ػߥ֥��å���ɬ��``0'', ``1'', �ޤ���
''$*_0$''��ޤ�. 

---- ���˵��Ҥ������ѽ���$\Lambda_M$��̤��Ȳ��˱ʱ��$S_M$�ˤȤɤޤ�
���ν���Ǥ���\\
\hspace*{1.1cm}��. ���٤ο�����ɽ��ˡ�Ǥ�, Ʊ�����
$h: \Lambda \rightarrow \Lambda$��$\Lambda_M$�����¤��줿$\phi$�Ǥ���. 
\hspace*{1.1cm}�ޤ�$\Sigma_M \subset \Sigma$�ϥ���ե��٥å�
$\{ 2,3,\ldots,M+1\}$�ξ��ξ̵����ν���Ǥ���. 
\hspace*{1.1cm}$h$��Ʊ������Ǥ��뤫��, �ɤ�$p \in \Lambda_M$
��$\Sigma_M$�����˰�դ��б����뤳��, �ޤ�\\
\hspace*{1.1cm}���εդ�����Ω�Ĥ��Ȥ����դ��Ƥ���. 

---- ��$p \in \rho(A_{|infty}) \cap A_{\infty}$�ˤȤ�ʤ���®
�֥ե饤�Х��׵��פ�¸�ߤ��Ŧ���Ƥ�\\
\hspace*{1.1cm}��. ����������$f$�β���, �ɤ��������Ǥ�ʤ���, 
�ɤ����������Ǥ�ʤ�. ����\\
\hspace*{1.1cm}ɽ����''$\infty.\infty$''�Ǥ��ä�, $\sigma$�����Ǥ�
�����Ǥ�ʤ�. 

---- IV.A��ǵ�����������--���͵�ƻ��¸�ߤ��Ŧ���Ƥ���. ���Τ褦�ʵ�ƻ
��2��\\
\hspace*{1.1cm}���ð����δ֤�Ǥ�դο���syzygy�򺹤��������. 
����ñ��ʵ�ƻ�ϸ�
���\\
\hspace*{1.1cm}�ȤĤ�������. �����ε�ƻ����$p \in \rho(B_i) \cap B_j$
���б���, ��$\phi(p)= ``*_i . *_j''$��\\
\hspace*{1.1cm}����. 

\section{����}

����ʸ�˼����줿��̤���ʲ��η������Ф���. 

\vspace{0.3cm}
---- $A_0$���Ǥ�դ����ε�ƻ�Ϥ�����ϲ��ˤ�̤��ˤ�$A_0$��ФƹԤ�. 
1����¿\\
\hspace*{1.1cm}����iterate����α�ޤäƤ���Τ����--���������׷���
����, 1���iterate����\\
\hspace*{1.1cm}α�ޤäƤ���Τ�$S_{\infty}$�ȹԤä����褿�ꤹ��
��ǽ��������. 

---- $A_1$������ε�ƻ��$A_1$��α�ޤ���(��ͤǤ�, ���������פǤ�
$S_{\infty}$�Ȥ�Ϣ����ƻ\\
\hspace*{1.1cm}�Ǥ�ʤ�)��, �ʱ���ư���Τޤ��μ������ΰ���������. 
�����ΰ�Ǥ�, ���\\
\hspace*{1.1cm}��Ū�ˤդ�ޤ���ƻ���礭��¬�٤�����. 

---- $s_{\infty}$������ε�ƻ�Τ���$A_1$��Ϣ�����ʤ���Τ�, ����������
����ˤȤ�ʤ�����\\
\hspace*{1.1cm}�ϳؤ��ưפ����򤹤뤳�Ȥ��Ǥ���. $S_{\infty}$�����
����ƻ(��ͤǤ�, ����������\\
\hspace*{1.1cm}�Ǥ�Ϣ����ƻ�Ǥ�ʤ�)�ϥ���ȡ��뽸��������, 
�������ϳؤ򼨤�. 

---- $S_{\infty}$����󥨥����������ε�ƻ��$A_1$��Ϣ�������Τ�, 
������Ū���뤤�Ͻ����\\
\hspace*{1.1cm}Ū�Ǥ���. �դ�ޤ���ʣ���ʤΤ�, Ϣ����$S_{\infty}$��
���Ū���ж������˲���, �ʱ߼�\\
\hspace*{1.1cm}������¸�ߤ����뤳�Ȥ⤢�����뤫��Ǥ���. 

---- ���--���������פ�Ƴ�����ε�ƻ��, $S_{\infty}$��Ϣ�����뤷�ʤ���
������, �֥�����Ū��\\
\hspace*{1.1cm}���뤤�ϡֹ�®�׻���Ȥ���2�Ĥΰۤʤ��ΰ��°��. 

\vspace{0.3cm}
�������ΰ���μ������ƻ��ľ�����������Schubart��ƻ[44]����������Ŧ��
�Ƥ���. ����μ������ƻ��Ʊ��, Schubart��ƻ�ϼ���1�Ǥ���, ��ǽ�ʺǾ�
�λ�����ư�˴ط���, �����̤ΤȤ��ˤϰ���Ǥ���. ľ�����������ʿ��
������������ϳؤ�˭�٤���ɤ�������1�ΰ����ΰ����Ĥ��Ȥ���, �ۤ��ˤ�
����2�Ĥ�����ˤϥȥݥ�����Ū�������������ΤǤϤʤ����ȵ��䤬ͯ��. 

���Ȥ���, Henon��Schubart��ƻ�����̤ι����ѥ�᡼���ϰϤǰ���Ǥ��뤳�Ȥ�
������[45]. ������Ū����ư���Ф��Ƥ����Ǥ���[46]. ���ͽ�ۤˤ���, 
ľ�����Τ˶ᤤ3Ϣ���Ϥ�¸�ߤ���. ���ο����������פ������ռ�����ƻ��
3����Ū�˰���Ǥ��뤫�ɤ���������ϸ���Ĵ����Ǥ���. 

�̤ν��פ�����Ȥ���, $0 < \alpha \leq 1$��ʬ���ѥ�᡼���Ȥ���, 
$f$�Υȥݥ�����Ūʬ���{\bf ʬ������}�����뤳�Ȥ�����. ����ʬ������
�η�̤Ϥ������Ǥ���������[36]. ����������ϰ��̲�Sitnikov�����
�˸�Ū�ʾ��Ǥ���. Ϣ���γѱ�ư�̤�����μ�ͳ�ѥ�᡼���Ȥ��ƹͤ����, 
2������ʬ�����礬������Ϥ��Ǥ���. 


\section{���: ���ξ���¿����}

  ��ά


\begin{thebibliography}{}

   \item
E.T. Whittaker, A Treatise on the Analytical Dynamics of particles and 
Rigid Body, 4th ed.(Cambridge University Press, Cambridge, 1947). 

   \item
H. Bruns, Uber die Integrale des VielKorper-Problems, {\it Acta Math.} 
{\bf 11}, 25-96(1887). 

   \item
H. Poincare, Sur le Probleme des Trois Corps et les Equation de la 
Dynamique, {\it Acta Math.} {\bf 13}, 1-270(1890). 

   \item
H. Poincare, {\it Methodes Nouvelles de la Mecanique Celeste} 3 Vols
(Gauthier-Villars, Paris, 1892-1899).

   \item
G.D. Birkhoff, {\it Dynamical Systems}(Amer. Math. Soc., New York,
1927). 

   \item
K.F. Sundman, Memoirs sur le probleme des trois corps, 
{\it Acta Math.} {\bf 36}, 105-179(1912). 

  \item
S. Smale, Topology and mechanics, {\it Invent. Math.} {\bf 10}, 
305-331(1970); {\bf 11}, 45-64(1970).

  \item
R. Easton, Some topology of the 3-body problem, {\it J. Diff. Eqns.} 
{\bf 10}, 371-377(1991).

  \item
K. Zare, the effects of integrals on the totality of solutions of 
dynamical systems, {\it Celest. Mech.} {\bf 14}, 73-83(1976).

  \item
K. Zare, Bifurcation points in the planar problem of three-bodies, 
{\it Celest. Mech.} {\bf 16}, 35-38(1977).

  \item
K. Zare, Properties of the moment of inertia in the problem of three 
bodies, {\it Celest. Mech.} {\bf 24}, 345-354(1981). 

  \item
V.G. Golubev, Hill stability in the unrestricted three-body problem, 
{\it Sov. Phys. Dokl.} {\bf 10}, 373-375(1968).

  \item
C. Marchal and D. Saari, Hill regions for the general three-body 
problem, {\it Celest. Mech.} {\bf 12}, 115-129(1975). 

  \item
V. Sebehely, {\it Theory of Orbits}(Academic Press, New York, 1967).

  \item
S. Smale, Differentialble dynamical systems, {\it Bull. Amer. Math. 
Soc.} {\bf 73}, 747-817(1967). 

  \item
V.M. Alekseev, Quasirandom dynamical systems I, II, III, 
{\it Math. USSR Sbornik} {\bf 5} 73-128(1968); {\bf 6},505-560(1968); 
{\bf 7}, 1-43(1969).

  \item
J. Moser, {\it Stable and Random Motions in Dynamical Systems}
(Princeton University press, Princeton, 1973). 

  \item
K. Sitnikov, The existence of oscillatory motions in the three-body 
problem, {\it Sov. Phys. Dokl.} {\bf 5}, 647-650(1961).

  \item
W.D. MacMillan, An integrable case of the restricted problem of three 
bodies, {\it Astron. J.} {\bf 27}, 11-13(1913). 

  \item
K. Wodner, The original Sitnikov article -- New insights, 
in {\it Sitzungsber. der math-nat Kl. d. Osterr. Akad. d. Wiss. Abt II}
(Springer-Verlag, Vienna, 1994), Vol.202, 1-10.

  \item
R. McGehee, A stable manifold for degenerate fixed points with 
applications to celestial mechanics, {\it J. Diff Eqns.} {\bf 14}, 
70-88(1973). 

  \item
R. McGehee, Triple collision manifold in the collinear three body 
problem, {\it Invent. Math.} {\bf 27}, 191-227(1974).

  \item
J. Hietarinta and S. Mikkola, Chaos in the one-dimensional 
gravitational three-body problem, {\it Chaos} {\bf 3}, 183-203(1993). 

  \item
R. Broucke, On the isosceles triangle configurations in the planar 
general three-body problem, {\it Astron. Astrophys.} {\bf 73}, 
303-313(1979).

  \item
R.L. Devaney, Triple collision in the planar isosceles three body 
problem, {\it Invent. Math.} {\bf 60}, 249-267(1980).

  \item
R. Moeckel, Orbits of the three-body problem which pass infinitely 
close to triple collision, {\it Am. J. Math.} {\bf 103}, 
1323-1341(1981).

  \item
C. Simo, Analysis of triple collision in the isosceles problem, in 
{\it Classical Mechanics and Dynamical Systems}(Marcel Dekker, New York,
1980). 

  \item
C. Simo and R. Martinez, Qualitative study of the planar isosceles 
problem, {\it Celest. Mech.} {\bf 41}, 179-251(1988). 

  \item
R. Moeckel, Heteroclinic phenomena in the isosceles three-body problem, 
{\it SIAM{\rm (Soc. Ind. Appl. Math.)} J. Math. Anal.} {\bf 15}, 
857-876(1984). 

  \item
K. Zare and V. Szebehely, Order out of chaos in the three-body problem: 
regions of escape, in {\it From Newton to Chaos}(eds. A.E. Roy and B.A. 
Steves), Plenum Press, New York, 1995. 

  \item
M. Henon and C. Heiles, The applicability of the third integral of 
motion: some numerical experiments, {\it Astron. J.} {\bf 69}, 
73-79(1964).

  \item
W.H. Jefferys, An atlas of surface of section for the restricted problem
of three bodies, {\it Publ. Dep. Astron. Univ. Texas at Austin}, Ser.II
{\bf 3}(1971).

  \item
R.H. Smith and V. Szebehely, The onset of chaotic motion in the
restricted problem of three-bodies, {\it Celest. Mech. Dyn. Astron.} 
{\bf 56}, 409-425(1993).

  \item
R. Dvorak, Numerical results to the Sitnikov problem, 
{\it Celest. Mech. Dyn. Astron.} {\bf 56}, 72-80(1993).

  \item
T. Levi-Civita, Triettorie singulari er urti mel problema ristretto die 
tre corpi, {\it Ann. Math. Pura Appl.} {\bf 9}, 1-32(1903).

  \item
S. Chesley and K. Zare, Bifurcation in the mass ratio of the planar 
isosceles three-body problem, in {|it Dynamics of Small Bodies in the 
Solar System}, ed. A.E. Roy and B.A. Steve, to appear.

  \item
E.M. Standish, Sufficient conditions for escape in the three-body
problem, {\it Celest. Mech.} {\bf 4}, 44-48(1971).

  \item
S. Chesley, Early detection of energetic escape in the three-body 
simulations, in preparation. 

  \item
E. Fehlberg, New high-order Runge-Kutta formulas with an arbitrarily 
small truncation error, {\it Z. Angew. Math. Mech.} {\bf 46}, 
1-16(1966).

  \item
M. Barnsley, {\it Fractals Everywhere}, 2nd ed.(Academic Press, Boston, 
1993).

  \item
R.L. Devaney, {\it An Introduction to Chaotic Dynamical Systems}, 2nd
ed.(Addison Wesley, Reading, MA, 1989).

  \item
V.M. Alekseev, On the capture orbits for three-body problem for negative
energy constant, {\it Usp. Math. Nauk} {\bf 24}, 185-186(1969).

  \item
G. Contopoulos and C. Polymilis, Geometrical and dynamical properties 
of homoclinic tangles in a simple Hamiltonian system, {\it Phys. Rev.} 
E{\bf 67}, 1546-1557(1993).

  \item
J. Schubart, Numerische Aufsuchung periodischer Losungen im 
Dreikorperproblem, {\it Astron. Nachr.} {\bf 283}, 17(1956). 

  \item
M. Henon, Stability of interplay motions, 
{\it Celest. Mech.} {\bf 15}, 243-261(1977).
 
  \item
M. Henon, A family of periodic solutions of the planar three-body 
problem and thier stability, 
{\it Celest. Mech.} {\bf 13}, 267-285(1976).
 


\end{thebibliography} 

\end{document}



