\documentstyle[12pt,twoside]{jarticle}
%
\oddsidemargin 0.0cm
\evensidemargin -1.0cm
\topmargin 0.0cm
%
\textwidth 16.8cm
\textheight 22.5cm
\footheight 0.5cm
%
\newcommand{\re}{\vspace{0.15cm}\par\hangindent=0.7cm\noindent}
%
\begin{document}
\setlength{\baselineskip}{3ex}
%

\begin{flushright}
ë����δ ��
\end{flushright}

\noindent
{\it Arkiv f$\ddot{\rm o}$r Matematik, Astronomi och Fysik} {\bf 4} (1908), 1-4

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\Large
{\bf $n$��������ð����ˤĤ��� \\
Sur les singularit\'{e}s du probl$\grave{\rm e}$me des $n$ corps} 
}

\vspace{0.3cm}
H. von Zeipel
\end{center}

\vspace{0.5cm}
$n$������Τ���¿��򤬡�����$t$�����ΰ�$0 \leq t < t_1$��°����Ȥ���§(holomorphe)�Ǥ���Ȥ��롥$t_1$�����β���׳����Ǥ���С��褯�Τ��Ƥ���褦�ˡ�
$$
  \lim_{t=t_1} \rho = 0, \eqno(1)
$$
�Ǥ��롥������$\rho$����ߵ�Υ�Τ����Ǿ��Τ�ΤǤ��롥

$U$���ϴؿ���ɽ�路��$V$�ǷϤνſ��˴ؤ��봷���⡼���Ȥ�ɽ�魯�ȡ���ư�������ȥ��ͥ륮����ʬ���餿�����˼��δط���Ƴ���롥
$$
  \frac{\displaystyle d^2 V}{\displaystyle d t^2} = 2U + 4h .  \eqno(2) 
$$
������$h$�ϥ��ͥ륮����ʬ���ͤǤ��롥$t$��$t_1$�˸������ȡ�(1)�ˤ��$\lim U = \infty$�Ǥ��롥������(2)�ˤ��С�
$$
  \lim_{t=t_1} V = c,   \eqno(3)
$$
�Ǥ��롥������$c$�����ޤ��ϥ�����ͭ�¤ޤ���̵�¤η�ޤä��̤Ǥ��롥

�ѥ���(M. Painlev\'{e})����ʬ�������β��������ֵ�(Lecon sur la th\'{e}orie analytique des \'{e}quations diff\'{e}rentielles, p.583)�ˤ����ơ��ط���(1)�����ɬ������$t=t_1$��2�Ĥޤ��Ϥ���ʾ�μ��������֤Τ�����������Ǿ��ͤ���Ȥϸ����ʤ������դ��Ƥ��롥$t$��$t_1$�˶�Ť��Ȥ������Τɤ줫���˸°��֤˶�Ť��ʤ����Ȥ⤢�����롥

������ʸ����Ū������Τ��������ð���(?)(singularit\'{e}s ind\'{e}termin\'{e}e)�θ���˹׸����뤳�ȤǤ��롥ɮ�ԤϤ���¸�ߤ򰷤��ΤǤϤʤ��������ʲ��������򼨤��Ĥ��Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ����.} $t$��$t_1$�˶�Ť��Ȥ��˼����Τɤ줫��ͭ�µ�Υ�ζ˸°��֤˶�Ť��ʤ���С�ɬ��Ū��
$$
  \lim_{t=t_1} R = \infty,  \eqno(4)
$$
�����롥������$R$����ߵ�Υ�κ���Τ�ΤǤ��롥

\vspace{0.3cm}
�ºݡ���(3)�ˤ�����$c$��ͭ�¤Ȥ��ơ����٤Ƥμ�����$t \rightarrow t_1$�ΤȤ�ͭ�µ�Υ�η�ޤä����֤˸��������Ȥ򼨤�����

���餫�ˡ�����$p \geq 0$�����2�Ĥ���$\varepsilon>0$��$t_0$��¸�ߤ��ơ��ΰ�$t_0 < t < t_1$��γ�$t$���Ф���$s = \displaystyle \frac{n(n-1)}{2}$�Ĥ���ߵ�Υ�Τ�����$\varepsilon$����礭�ʤ�Τ��Ĥͤ�$p$�Ĥ��롥
$p$����ǽ�ʺ����ͤ���褦��$p$��$\varepsilon$�����$t_0$������Ǥ����ΤȤ��롥���ΤȤ�$\delta$���ɤ�ʤ˾������Ƥ⡢$t_1$������ζ��$(\tau_1, \tau_2)$�����äơ�$\tau_1 < t < \tau_2$�Ǥ���¤�$s-p$�Ĥε�Υ��$\delta$��꾮�������ºݡ������Ǥʤ���С���������$\varepsilon'$��$t_1$�ζ᤯����$t'_0$�����äơ�$t'_0 < t < t_1$�γ�$t$�ˤ�����$p+1$�Ĥε�Υ��$\varepsilon'$����礭���ʤäƤ��ޤ����Ȥ���������Ϥ����������Ȥ����Τ�����$p$�ϲ�ǽ�ʺǤ��礭�����������Ф�Ƥ�������Ǥ��롥

��������$\sigma < \displaystyle \frac{\varepsilon}{2}$�򹥤��ʤ������������ꤷ�褦�����˾�ǽҤ٤�$\delta$��$\kappa < 1$�Ȥ���$\delta = \kappa \sigma$�η������ܤ���$\kappa$�ϸ�Ƿ��롥�Ǹ�ˡ����$(\tau_1, \tau_2)$��$t$��̵�¤˶ᤤ�Ȥ������ζ�֤Ǥ�$s-p$�Ĥε�Υ��$\delta$��꾮�����Ȥ��롥���ΤȤ�2�Ĥξ�礬�ͤ����롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���ξ��.} ���$(\tau_1, \tau_2)$�γơ��Ϥ�ä��礭�ʶ��$(\tau_0, \tau_3)$��°����$\tau_0 < t < \tau_3$�Ǥ���¤�$s-p$�Ĥε�Υ��$\sigma$��꾮������$t = \tau_0$�����$t = \tau_3$�ˤ����Ƥϡ����ʤ��Ȥ��Υ�ΤҤȤĤ�$\sigma$����������

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ����ξ��.} ������$t_{\sigma}$��¸�ߤ��ơ�$t_{\sigma} < t < t_1$�δ֡�$s-p$�Ĥ���ߵ�Υ��$\sigma$̤���ˤȤɤޤ롥

\vspace{0.3cm}
���ξ�礬�¸������Ȳ��ꤷ�褦��$\tau_0 \leq t \leq \tau_3$���Ф��ơ�$n$�ηϤϤ����Ĥ�����ʬ��$S_i$��ʬ�䤵��ơ���$P_{\alpha}$��$P_{\beta}$��Ʊ����ʬ�Ϥ�°����ʤ�С�����2���ε�Υ$\Delta_{\alpha, \beta}$��$\sigma$��꾮����������$P_{\alpha}$��$P_{\beta}$�Ȱۤʤ���ʬ�Ϥ�°����С�$\Delta_{\alpha, \beta} > \varepsilon$�Ȥʤ롥����$\mu_i$����ʬ��$S_i$�������̤Ȥ���$\alpha_i, \beta_i, \gamma_i$�򤽤νſ��κ�ɸ�Ȥ��롥$x_{i,j}, y_{i,j}, z_{i,j} \ (j=1, 2, \ldots)$��$S_i$��°��������κ�ɸ�Ȥ��롥
$x_{i,j} = \alpha_i + \xi_{i,j}, y_{i,j} = \beta_i + \eta_{i,j}, 
z_{i,j} = \gamma_i + \zeta_{i,j}$���֤���

���ΤȤ���ư���������餿������
$$ \displaystyle
  \mu_i \frac{d^2 \alpha_i}{d t^2} = 
\displaystyle
\frac{\partial U}{\partial \alpha_i}, \ 
  \mu_i \frac{d^2 \beta_i}{d t^2} = 
\displaystyle
\frac{\partial U}{\partial \beta_i}, \ 
  \mu_i \frac{d^2 \gamma_i}{d t^2} = 
\displaystyle
\frac{\partial U}{\partial \gamma_i} , \ 
(i=1, 2, \ldots) \eqno(5)
$$
�������롥�����Ǵ����⡼����$V'$����ӱ�ư���ͥ륮��$T'$�򼡼���Ƴ�����롥
$$ \begin{array}{ll}
  V' = \sum_i \mu_i \left[ \alpha_i^2 + \beta_i^2 + \gamma_i^2 \right], 
& T' = \displaystyle
\sum_i \mu_i \left[ 
\left( \frac{d \alpha_i}{d t} \right)^2 + 
\left( \frac{d \beta_i}{d t} \right)^2 + 
\left( \frac{d \gamma_i}{d t} \right)^2 
\right] .
   \end{array}
$$
�ޤ����Τ褦��ά�����롥
$$
  \Phi' = \displaystyle - \sum_i \left[ 
\alpha_i \frac{\partial U}{\partial \alpha_i} + 
\beta_i \frac{\partial U}{\partial \beta_i} + 
\gamma_i \frac{\partial U}{\partial \gamma_i} 
\right] .   \eqno(6)
$$
���ΤȤ���������
$$
  \frac{\displaystyle d^2 V'}{\displaystyle d t^2} = 2T' - 2\Phi' ,  \eqno(7) 
$$
�Ǥ��뤳�Ȥ��狼�롥�Ȥ����������⡼���Ȥν���Ū�����ˤ���$V = V' + \sum_i V_i$�Ǥ��롥������$V_i$����ʬ��$S_i$�Τ��νſ��˴ؤ��봷���⡼���ȤǤ��롥$a$��$b$����̤Τߤ˰�¸�����̤Ȥ���С����餫��$t = \tau_0$�����$t = \tau_3$�ˤ�����$\sum V_i > a \sigma^2$�Ǥ��ꡢ����$\tau_1 < t < \tau_2$�Ǥ���¤�$\sum V_i < b \delta^2$�Ǥ��롥���$\delta = \kappa \sigma$���֤����Ȥ�����«�����褦�ˡ�$\kappa$��Ŭ�����ͤ���褦������$\kappa = \displaystyle \sqrt{\frac{a}{2b}}$���֤��������$b \delta^2 = \frac{1}{2} a \sigma^2$������Ω�ġ��������äƴؿ�$W(t) = V' - V$�϶��$(\tau_0, \tau_3)$��$t = \tau'$�ˤ����ƶ����ͤ��ꡢ$W(\tau') - W(\tau_3) > \frac{1}{2} a \sigma^2$�Ǥ��롥�Ȥ�����$\lim_{t=t_1} V$��ͭ�¤Ǥ���Ȳ��ꤷ�Ƥ��������$(\tau_0, \tau_3)$��$t_1$�ν�ʬ�᤯�����Ф�Ƥ���С��ؿ�$V'(t)$�Ϥ��ζ�֤�$t = \overline{\tau}$�ˤ����Ƶޤʶ����ͤ��ꡢ��������Ω�ġ�
$$
  V' (\bar{\tau}) - V'(\tau_3) > \frac{1}{3} a \sigma^2 .     \eqno(8)
$$

���������$(\tau_0,\tau_3)$�ˤ�����$\Phi'$�Ϥ��޹ͤ��Ƥ�����$(\tau_0,\tau_3)$��̵�ط���ͭ���ͤ��ޤ����롥�������äơ�$V'$��$t = \overline{\tau}$�ˤ����ƶ����ͤ��ꡢ������(7)��$t = \overline{\tau}$�ΤȤ�$T' < \Phi'$�Ǥ��뤳�Ȥ򼨤���®�٤���ʬ$ \displaystyle \frac{d \alpha_i}{dt}, \ldots$�Ϥ������ä�$t = \overline{\tau}$�ˤ�����ͭ�¤Ǥ��롥������(5)�ϡ�$t$�����$(\tau_0, \tau_3)$��°����¤ꡢ®�٤��礭����$T'$�ȤȤ�ˤ�����ꤷ��ͭ�¤��ͤ�꾮�������Ȥ�������Ƥ��롥�Ȥ�����$V'$��$t = \overline{\tau}$�˶����ͤ��롥������(8)������Ϥ������ä�$\overline{\tau} < t < \tau_3$�Ǥ���¤�$(t - \overline{\tau})^2$�η���̵�¾��Ǥ��뤬������ϤФ����Ƥ��롥

�������äƴ����⡼����$V$��$t=t_1$�ΤȤ���ͭ�¤ˤȤɤޤ�ʤ顢���������ξ��Ǥ��뤬�������$\sigma$�Ȥ��롥�Ϥ���ʬ��$S_1, S_2, \ldots$��ʬ����롥�����⤽���νſ���$\varepsilon$����礭�ʵ�Υ�Ϥʤ�Ƥ��ꡢ�����ޤä�����$\Gamma_1, \Gamma_2, \ldots$�˸��������Ǹ�ˡ��Ʒ�$S_i$��ǡ����٤Ƥ�ʪ�Τ��̤졢$t$��$t_1$�˸������Ȥ�$\Gamma_i$���б�������֤˸�����������������Ͼ������줿��

\end{document}
