\documentstyle[12pt,twoside]{jarticle}
%
\oddsidemargin 0.0cm
\evensidemargin -1.0cm
\topmargin 0.0cm
%
\textwidth 16.8cm
\textheight 22.5cm
\footheight 0.5cm
\newcommand{\re}{\vspace{0.15cm}\par\hangindent=0.7cm\noindent}
\newcommand{\rmk}{\vspace{0.20cm}\par\hangindent=1.2cm}
%
\begin{document}
\begin{flushright}
ë����δ ��
\end{flushright}

\noindent
{\it Ergod. Th. \& Dynam. Sys.} {\bf 8}(1988), 11-26

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\LARGE 
{\bf The gradient structure of a flow: I}
}

\vspace{0.3cm}
{\Large C. Conley}
\end{center}

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ����.} ��ή��ϰ�դθ���ή(������ʬ)��dominate��, ��ԤϤޤ�����
ή���dominate�����Ǥ�դΤۤ��θ���ή��dominate����. ������ʬ
(���󵢽���)����ư���˱��Ф�����ν���ϲ󵢴ط��ˤ�ä���ħ�Ť��뤳�Ȥ�
�Ǥ���. Ϳ����줿ή��Υե��륿���դ��ϸ�����ʬ�Υե��륿���դ���
�б�����. 

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\Large 
{\bf 0. ��}
}

\vspace{0.3cm}
���θ�����оݤϥ���ѥ��ȵ�Υ���֤�ή��ν��ޤ�Ǥ��롥�������ֶ���
(state space)�ȸƤ֡�����ή��ν��ޤ��, ����ѥ���-�����꤬Ϳ�������
���켫�ȴ����ʵ�Υ���֤Ǥ��롥����Ū�ʴ������餹�����Ū��, ���ֶ���
�����ή��ζ��֤ˤ�äƹ�����������Ū���Τ�Ĵ�٤뤳��, �Ȥ��˰����
�ط������Τ�Ĵ�٤뤳�Ȥˤ��롥

�طʤ˴ؤ��Ƥ�����, ή���Ĵ�٤�٤��̤��о�(���Ȥ����ŵ���ϩ��)���Դ���
�ʥ�ǥ�ˤʤäƤ��뤳�Ȥ����ꤵ��Ƥ���, �������줿���ΤϤ����оݤ�
�����˴ط����뤳�Ȥ����ꤵ��Ƥ��롥������, ���Τ褦�ʸ����������Ǥ�
Ÿ������⤹�٤��ǤϤʤ���

���Τ褦�ʼ��Τ���Ȥ���, ��ή��ˤ��������ѽ���ν��ޤ����ꤹ��
�ؿ������롥���줬ή��ζ��־�Ǿ�ȾϢ³�ʴؿ��Ǥ���[5]�Ȥ������ˤ�����
��������ܤ��Ƥ��뤳�Ȥˤʤ롥�ޤ��̤���Ȥ���, ���ֶ��֤�ή��ζ��֤�
�Ѥξ��������줿�ؿ��ϳ��Ȥ�ή��˴ؤ�����֤�$\omega-$�˸½����
���ꤹ�롥���δؿ��ϴ�ñ�ˤ狼����Ǥϰ���˴ط����Ƥ���褦�ˤ�
�����ʤ���������, �ʲ��Ǥ�ξ�����ѿ��˴ؤ��ƾ�ȾϢ³���֤�������Ԥʤ�(3.4��)��

����ӿ����Ѥ�ä���Ȥ���ή��Υե��륿���դ�������Ф����ե��륿���դ�
�ȤϾ��ֶ��֤�����ʬ�����ͭ�¤ʸ�����Ǥ��ä�, �ƽ����ή��ˤ�äƤ���
�����˰ܤ���롥�����ʤ������, ή��ζ��֤ξ��«(sheaf)�������Ǥ�, 
���μ�(stalks)�ϥե��륿���դ����Ѥ����������������¤(�����, 
���ۥ���������, ����ӽ�Ʊ��)�������롥�����¸����«��¤�˸�����
([3], [4], [6]�����[7])��

���μ���, ���ʤ��ή��ζ��־�θ��۹�¤��«�������Ǥμ礿�붽̣��
�оݤǤ��롥�ǽ�Υ��ƥåפǤϥե��륿���դ���¸�ߤ�ƻ�β�����
�ط��Ť��롥����򤳤���ʸ�ǹԤʤ���������ʸ��«���������Ū¦�̤�
����̤�������ˤĤ��Ƶ������롥

����������ϰ��̤�ή���1-�ʤ���2-�ѥ�᡼����²�˴�Ϣ���롥
������²�˴ؤ��Ƥ�, «�μ����ʤ�餫�λ������Ѳ�����Ȥ���
�ѥ�᡼�������ͤ���̤��뤳�Ȥ˶�̣�����롥��������ξ��, 
���Τ褦���Ѳ��ϥۥ⥯��˥å��ޤ��ϥإƥ�����˥å���ƻ�Τ褦��
���̶�̣�֤�����ƻ��¸�ߤ��б����Ƥ��롥���ε�ƻ�Ϻ��٤�����ʬ��������
�ʹ��Ȳ��¸�ߤ��б����Ƥ��롥

������ʸ�ϣ��Ĥ��ᤫ�����롥����Ǥϵ�ˡ����󤹤롥����Ǥ�, �ʸ��
��Ȥ˹礦�褦�˹��פ��ƥ��ȥ饯�������갷��������Ǥϲ����γ�ǰ��
Ƴ�����롥���פ�����$(\varepsilon, t, f)-$�����Ѥ��ư��̲����줿
$\omega-$�˸½���Ȳ󵢽�����������Ȥ����ˤ���, �̾��$\omega-$
�˸½����ޤ�Ǿ��νॢ�ȥ饯�����Ȥ������Ԥ���ħ�Ť���Ȥ����ˤ��롥
����Ǥ�ή��Ρָ�����ʬ�פ򵭽Ҥ��롥ή��Ϥ��θ�����ʬ�ˤ�ä�
ʬ��Ǥ������Ǥ��롥���Τ褦��ʬ��ν������Τ����Ĥ���, ���Τ褦��
�ĽҤ���狼�롥���٤Ƥβ�ή���Ʊ��(������)���°����, �ޤ�
domination�ط��Τ�Ȥǡ�$\omega$�����(4.3A��)���٤Ƥ�ή��������
������ʬ����ġ����줫��, �Ȥ��˥ե��륿���դ���Ʊȼ���������¤��
Ʊ��Ǥ��뤳��(�������ä�������������)���Ф롥����ϼ�����ʸ�Ǽ�����
�Ǹ�����Morseʬ��������, �ե��륿���դ���¸�ߤ˴ط��Ť��롥

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\Large 
{\bf 1. ��ˡ}
}

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\large 1.1.} $X$�ϵ�Υ�ؿ�$\rho$���ĥ���ѥ��Ȥʵ�Υ���֤Ȥ��롥
$X \times X$��ε�Υ��$\rho$��ɽ�魯��

$Y \subset X$���Ф���, Cl$ \ Y$, $\partial Y$, Comp$ \ Y$, Int$ \ Y$, 
�����Ext$\, Y$�Ϥ��줾��$Y$������, ����, �佸��, ����, ������佸���
������ɽ�魯��

$A,B \subset X$�ʤ�$A \backslash B \equiv A \cap {\rm Comp} \ B$�Ǥ��롥

\vspace*{0.3cm}
\noindent
{\large 1.2.} $X$���ή���$f=f:X \times R \rightarrow X$��ɽ�魯��
$Y \subset X$�����$J \subset R$���Ф���, $f$��ʸ̮����狼����ˤ�
$Y \cdot J \equiv f(Y \times J)$��ɽ�魯��

��ή��$f$��$f^*(x,t)=f(x,-t)$����������������ή��$f^*$���б����롥
$f^{**}=f$�����դ��褦��

\vspace*{0.3cm}
\noindent
{\large 1.3.} $Y \cdot R = Y$�ʤ�$Y$��$f$�Τ�Ȥ����ѤǤ��롥$Y$��
���Ѥʤ�Cl$ \ Y$, $\partial Y$, Comp$ \ Y$, Int$ \ Y$, �����
Ext$ \ Y$�����ѤǤ���, ������$f^*$�Τ�ȤǤ����ѤǤ��롥�ޤ�, $f|Y$������
$f|Y \times R \rightarrow Y$��ɽ�魯��

$f$����ư�������ѽ���Ǥ���褦�����Ǥ��롥$C(f)$����ư���ν���Ȥ���
($C$�ϡ�critical�פ�C�Ǥ��롥�̾�θ��ۤξ��, �׳���(critical point)��
��ư�����б�����)��

\vspace*{0.3cm}
\noindent
{\large 1.4.} $Y \subset X$���Ф���, 
$\omega(Y,f) \equiv \cap_{t \in R} {\rm Cl} \ \{ Y 
\cdot (t, \infty) \}$�Ȥ��������ΤȤ�$\omega(Y,f)$�������ѽ���Ǥ���, 
$Y$��Ϣ��ʤ�Ϣ��Ǥ��롥$Y \equiv \{ x \}$���Ф���$\omega(x,f)$��$x$��
�դĤ��ΰ�̣��$\omega$�˸½���Ǥ��롥�б�����$\alpha$�˸½����
���Ĥ�$\omega(x,f^*)$�Ƚ񤯤��Ȥˤ��롥

\vspace*{0.3cm}
\noindent
{\large 1.5.} ����$\{ y | \omega(y,f) \cap Y \neq \emptyset \}$�Ϥ��ΤȤ�
$\alpha (Y,f)$�Ƚ񤱤롥������, ������򤱤뤿���, 
$\tilde{\alpha} (Y,f)$�Ƚ񤯤��Ȥˤ��롥���ν�������餫�����Ѥ�
���뤱��ɤ�, $Y$���Ĥ��Ƥ��뤫��Ȥ��ä�ɬ�������Ĥ��Ƥ��ʤ���

���̤�, 
$\tilde{\alpha} (Y_1 \cap Y_2,f) \subset \tilde{\alpha}(Y_1,f)  
\cap \tilde{\alpha}(Y_2,f)$�����
$\tilde{\alpha} (Y_1 \cup Y_2,f)= \tilde{\alpha}(Y_1,f)  
\cup \tilde{\alpha}(Y_2,f)$�Ǥ��롥

\vspace*{0.3cm}
\noindent
{\large 1.6.} ${\cal P} \subset X \times X$���Ф���
${\cal P}^* \equiv \{ (x,y) | (y,x) \in {\cal P} \}$. 
${\cal P}^{**} = {\cal P}$�����դ��褦��

\vspace*{0.5cm}
\noindent
{\Large 
{\bf 2. ���ȥ饯��������ӽॢ�ȥ饯����}
}

\vspace*{0.2cm}
\noindent
{\bf ���2.1A.}������$A$��$f$�Υ��ȥ饯�����ȸƤФ��Τ�$A$��(��)��˵
$N$�����ä�$A=\omega(N,f)$���������Ȥ��Ǥ��롥

$A$�����ȥ饯�����ʤ�, $\tilde{\alpha}(A,f)$��$A$�αƶ��ΰ�
(domain of influence)�ȸƤФ�롥

$A$��$f^*$�Υ��ȥ饯�����ʤ�, $A$��$f$�Υ�ڥ顼�ȸƤФ�, 
$\tilde{\alpha}(A,f^*)$�Ϥ�Ϥ�ƶ��ΰ�(domain of influence)�ȸƤФ�롥

\vspace*{0.3cm}
\noindent
{\bf ���2.1B.}�����ȥ饯������˵�Ȥ�, $X$������ʬ����$N$��
$\omega(N, f) \subset {\rm Int} \ N$����������ΤǤ��롥 

\vspace*{0.3cm}
\noindent
{\bf ����2.2A.}��$N$�����ȥ饯������˵�ʤ�, ����
$A \equiv \{x | x \cdot R \subset N \}$�ϥ��ȥ饯�����Ǥ��ä�, 
$N \subset \tilde{\alpha}(A,f)$�Ǥ��롥

\vspace*{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. �Ľ���$N$����ζ�������ѽ���Ǥ��뤫��$A$���Ĥ��Ƥ��롥
$A' = \omega (N,f)$�Ȥ��������ΤȤ�, $A'$��$A$��ޤ������ѽ���Ǥ��롥
$y \in A'$�����Ǥ�դ�$t$���Ф���, $t' \leq t$�����ä�
$y \cdot t' \in N$�Ǥ��롥������$\omega(y,f^*) \cap N \neq \emptyset$�Ǥ��롥
�������ä�, $y \cdot R \cap \partial N =  \emptyset$�Ǥ��롥
$y \cdot R \cap \partial N = \emptyset$����ʸ�ˤ�
$y \cdot R \cap N = \emptyset$�Ȥ��뤬�ְ㤤�Ǥ������ˤǤ��뤫��, 
$y \cdot R \subset N$�Ǥ��롥������$A = A'$�Ǥ��롥
$A \cap  \partial N = \emptyset$�Ǥ��뤫��$N$��$A$�ζ�˵�Ǥ��롥
������$A$�ϥ��ȥ饯�����Ǥ��롥
$x \in N$���Ф���$\omega(x,f) \subset  \omega (N,f) = A$�Ǥ��롥
������, $N \subset \tilde{\alpha} (A,f)$�Ǥ��롥\hfill $\Box$

\vspace*{0.3cm}            	
\noindent
{\it Remark.} $N$��$X$��Ǥ�դ�����ʬ�����, $x \in  \partial N$���Ф���
$\omega (x,f) \cap {\rm Ext} \ N \neq \emptyset$������Ω�Ĥʤ�, 
$A \equiv \{ y | y \cdot R \subset N \}$�ϥ��ȥ饯�����Ǥ��롥
������, $N \subset \tilde{\alpha} (A,f)$��ɬ����������Ω���ʤ���

\vspace*{0.5cm}
\noindent
{\bf ����2.2B.} $A$�����ȥ饯�����ʤ�$A$�������ѽ���Ǥ���, 
$\tilde{\alpha} (A,f)$�ϳ����ѽ���Ǥ���, 
$A^* \equiv {\rm Comp} \ \tilde{\alpha} (A,f)$�ϥ�ڥ顼�Ǥ��롥

�ޤ�, $\tilde{\alpha} (A,f) = X \backslash A^*, \tilde{\alpha} 
(A^*,f^*) =X \backslash A$�Ǥ��롥�ޤ�, $A^{**}=A$�Ǥ��롥

\vspace*{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $A$�������ѤǤ��뤳��, $\tilde{\alpha} (A,f)$��
$A^*$�����ѤǤ��뤳�Ȥ����餫�Ǥ��롥 

$N$��$A$�ζ�˵�Ȥ���$A=\omega (N,f)$�Ƚ񤯡�
���ΤȤ�$N \subset \tilde{\alpha} \equiv \tilde{\alpha} (A,f)$�Ǥ��롥
�������ä�, $\tilde{\alpha}$��$A$�ζ�˵�Ǥ��롥
$\partial \tilde{\alpha}$�������ѽ���Ǥ��뤫��, ���γ�����$\omega$
�˸½����ޤࡥ�����, $\partial \tilde{\alpha} \cap A = \emptyset$�Ǥ��롥
������$\partial \tilde{\alpha} \cap \tilde{\alpha} = \emptyset$�Ǥ���, 
$\tilde{\alpha}$�ϳ��Ǥ��롥
$x \in \tilde{\alpha}$�ʤ�$x \cdot R$��$N$�ȸ���, ��ä�
$\omega (x,f) \subset \omega (N,f) = A$�Ǥ��뤳�Ȥ����դ��롥

����$A^* = {\rm Comp} \ \tilde{\alpha}$�������ѽ���Ǥ��롥
$U$��Cl$ \ U \subset N$�ʤ�$A$��Ǥ�դγ���˵�Ȥ�, 
$N^* = {\rm Comp} \ U$�Ȥ��롥���ΤȤ�, 
$x \in \partial N^* = \partial U \subset \tilde{\alpha} (A,f)$��
�Ф���$\omega (x,f) \subset A \subset {\rm Ext} \ N^*$ ������Ω�ġ�
������$N^*$��$f^*$�Υ��ȥ饯������˵�Ǥ��롥
����$\{ x|x \cdot R \subset N^* \}$��$\tilde{\alpha} (A,f)$�ȸߤ���
�ǤǤ��뤬, $A^* = {\rm Comp} \ \tilde{\alpha} (A,f)$�����򤹤٤�
�ޤ�Ǥ���Ϥ��Ǥ��롥������$A^*$��$f^*$�Υ��ȥ饯�����Ǥ��롥

$x \in \tilde{\alpha} (A,f) \backslash A$���Ф���
$\omega (x,f^*) \subset {\rm Ext} \ N \subset {\rm Int} \ N^*$�Ǥ��롥
������, $\omega(x,f^*) \subset A^*$����$x \in \tilde{\alpha}(A^*,f^*)$��
���롥��ä�$\tilde{\alpha} (A^*,f^*)=X \backslash A$�Ǥ��뤫��
�����Ͼ������줿��\hfill $\Box$

\vspace*{0.3cm}            	
\noindent
{\bf ��2.2C.} $A$��Ǥ�դ��Ķ�˵$N$��$\tilde{\alpha}(A,f)$�˴ޤޤ��
��Τϥ��ȥ饯������˵�Ǥ��롥

\vspace*{0.3cm}            	
\noindent
\underline{����}. $x \in \partial N$�Ȥ����, 
$\omega(x,f^*) \subset A^* \subset {\rm Ext} \ N$�Ǥ��뤫�顥��$\Box$��

\vspace*{0.3cm}
\noindent
{\it Remark.} $\emptyset$��$X$�ϤȤ�˥��ȥ饯�������ĥ�ڥ顼�Ǥ���, 
���ζ�˵�Ϥ��줾��$\emptyset$��$X$�Ǥ��롥

\vspace*{0.3cm}
\noindent
{\bf ����2.2D.} $A_1$��$A_2$ �����ȥ饯�����ʤ�, 
$A=A_1 \cap A_2$��$\overline{A}=A_1 \cup A_2$�⥢�ȥ饯�����Ǥ��롥
�ޤ�$A^*=A_1^* \cup A_2^*$, $\overline{A}^*=A_1^* \cap A_2^*$, 
$\tilde{\alpha}(A,f)= \tilde{\alpha}(A_1,f) \cap \tilde{\alpha}(A_2,f)$��
���$\tilde{\alpha}(\overline{A},f)=$
$\tilde{\alpha}(A_1,f) \cup \tilde{\alpha} (A_2,f)$�Ǥ��롥

\vspace*{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $N_1$��$N_2$�򤽤줾��$A_1$��$A_2$�Υ��ȥ饯����
��˵�Ȥ��롥���ΤȤ�$N_1 \cap N_2$�����餫�˥��ȥ饯������˵�Ǥ��ä�, 
$A_1 \cap A_2$���б����륢�ȥ饯�����Ǥ��롥

(����Ū����Ȱ�ä�)$\beta =1,2$���Ф���
$\tilde{\alpha} (A_{\beta},f)= \{ y | \omega (y,f) \subset A_{\beta} \}$
�Ǥ��뤫��, ���餫��
$\tilde{\alpha}(A_1 \cap A_2,f)= \tilde{\alpha}(A_1,f) \cap$
$\tilde{\alpha}(A_2,f)$�Ǥ��롥�������ä�, 
$A^* = {\rm Comp} \ \tilde{\alpha} (A,f)$��$A_1^* \cup A_2^*$�Ǥ��롥
��ε�����$A_1, A_2$�����$f$�������$A_1^*, A_2^*$�����$f^*$��
Ŭ�Ѥ�����������Ф롥\hfill $\Box$

\vspace*{0.3cm}
\noindent
{\bf ���2.3A.} ���ȥ饯�����ζ�����ʬ��ॢ�ȥ饯�����ȸƤ�(?)��
$f$�ν��ڥ顼��$f^*$�νॢ�ȥ饯�����Τ��ȤǤ��롥

\vspace*{0.3cm}
\noindent
{\it Remark.} ���ȥ饯�����ϸ�Ω������isolated�����ѽ���Ǥ���
([2],[5])��������ॢ�ȥ饯�����Ͻ��Ω���ѽ���Ǥ���([5])��
���ȥ饯�����Ǥ���Ʊ���˥�ڥ顼�Ǥ��뽸���$X$��$\emptyset$�����Ǥ��롥
�������ʤ���, �ॢ�ȥ饯�����Ǥ���Ʊ���˽��ڥ顼�Ǥ���褦��
�����Ǥʤ������ͭ�����롥

\vspace*{0.3cm}
\noindent
{\it Remark.} Ǥ�դ���ʬ����$Y \subset X$���Ф���$Y$��ޤ�褦��
�Ǿ��νॢ�ȥ饯������ͣ��¸�ߤ��롥

\vspace*{0.3cm}
\noindent
{\bf ����2.3B.} $A$��$f$�������ѽ���Ȥ��롥���ΤȤ�$A$��
�ॢ�ȥ饯�����Ǥ��뤿���ɬ�׽�ʬ����$A$��Ǥ�դζ�˵��
���ȥ饯������˵��ޤळ�ȤǤ���, $A$�����ȥ饯�����Ǥ��뤿���
ɬ�׽�ʬ����$A$�ν�ʬ�����ʳ��Ķ�˵�����ȥ饯������˵�Ǥ��뤳�ȤǤ��롥

\vspace*{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. 2.2C��2.3A���餿�����˽Ф롥\hfill $\Box$

\vspace*{0.3cm}
\noindent
{\bf ����2.4A.} ���ȥ饯������Ǥ�դ��Ĥ��ĳ�����ʬ����ϥ��ȥ饯������
���롥�ॢ�ȥ饯������Ǥ�դ���ʬ�Ͻॢ�ȥ饯�����Ǥ��롥

\vspace*{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. �ॢ�ȥ饯��������ʬ�ϥ��ȥ饯��������ʬ��
������ʬ�Ǥ��뤫��, ���ȥ饯�������Ĥ��ĳ�����ʬ����ζ�����ʬ�Ǥ��롥
������, ����μ�ĥ�����μ�ĥ����Ф롥

$A' \subset A$�򥢥ȥ饯����$A$���Ĥ��ĳ�����ʬ����Ȥ��롥���ΤȤ�
$A'$���Ķ�˵$N$�����ä�$N \subset \tilde{\alpha}(A,f)$����
$N \cap A= A'$����������������$N$�ϥ��ȥ饯������˵�Ǥ���
($x \in \partial N$�ʤ�
$\omega(x,f^*) \subset A^* \subset {\rm Ext} \ N)$, 
$A' = \{ x|x \cdot R \subset N \}$�ϥ��ȥ饯�����Ǥ��롥\hfill $\Box$

\vspace*{0.3cm}
\noindent
{\large 2.4B.} ���ȥ饯��������ʬ�����ȥ饯�����Ǥ��뤳�Ȥϰ��̤�
����Ω���ʤ���������, 

\vspace*{0.3cm}
\noindent
{\bf ����.} $x$�ϥ��ȥ饯����$A$�����Ǥ��ä�, $x$��Ǥ�դζ�˵��
$A$�ξ��ʤ��Ȥ⣲�Ĥ���ʬ�ȶ���������ĤȤ��롥���ΤȤ�, $x$�ζ�˵��
��������$\tilde{\alpha}(A,f)$�˴ޤޤ��褦�ʤ�ΤϤɤ��Ϣ��Ǥʤ���

�Ȥ���, $X$��$x$�ˤ����ƶɽ�Ϣ��Ǥʤ���

\vspace*{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. Y��Cl$ \ Y \subset \tilde{\alpha}(A,f)$�ʤ�
Ϣ�뽸��Ȥ��롥���ΤȤ�, $\omega(Y,f)$��$A$���Ϣ�뽸��Ǥ���, 
$Y$�����������Ĥ褦��$A$����ʬ�ȶ���������ġ�
������$Y$��$A$�ΰ�Ĥ���ʬ�ȤΤ߶����������, $x$�ζ�˵�Ǥ�ͭ�����ʤ���
$\Box$

\vspace*{0.3cm}
\noindent
{\bf ����2.4C.} $X$���ɽ�Ϣ��ʤ�ƥ��ȥ饯������ͭ�¸Ĥ���ʬ��������, 
����ʬ�ϥ��ȥ饯�����Ǥ��롥

\vspace*{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. 2.4A��2.4B����Ф롥 $\Box$

\vspace*{0.3cm}
\noindent
{\it Remark.} �ɽ�Ϣ��ʶ��֤Υ��ȥ饯�������ɽ�Ϣ��Ǥ���Ȥϸ����ʤ���

\vspace*{0.3cm}
\noindent
{\bf ����2.4D.} $A$��$f$�Υ��ȥ饯�����Ȥ�, $\overline{A} \subset A$��
$\overline{f} \equiv f|A$�Υ��ȥ饯�����Ȥ��롥���ΤȤ�$\overline{A}$��
$f$�Υ��ȥ饯�����Ǥ��롥

�������ä�, $A$��$f$�νॢ�ȥ饯�����Ȥ���, $\overline{A}$��
$\overline{f} \equiv f|A$�νॢ�ȥ饯�����ʤ�, $\overline{A}$��$f$��
�ॢ�ȥ饯�����Ǥ��롥\hfill $\Box$

\vspace*{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $X$������Ū��$\overline{A}$���Ķ�˵$N$�������
$N \subset \tilde{\alpha} (A,f)$�����
$N \cap A \subset \tilde{\alpha} (\overline{A},\overline{f})$��
�ʤ�褦�ˤ��롥���Ȥ���, 
$\varepsilon = \min \{ \rho (A,X \backslash \tilde{\alpha} (A,f); 
\rho (\overline{A},A \backslash \tilde{\alpha} (\overline{A},
\overline{f}) \}$�Ȥ���, $N$��$\overline{A}$��
��$\varepsilon / 2$��˵�Ȥ��롥���ΤȤ�, $x \in \partial N$���Ф���
$x \in \tilde{\alpha} (A,f) \backslash A$�Ǥ��뤫
$x \in A \cap \tilde{\alpha} (\overline{A},\overline{f})$�Ǥ��롥
���Ԥξ��, $\omega (x,f^*) \subset {\rm Ext} \ \tilde{\alpha} (A,f) 
\subset {\rm Ext} \ N$�Ǥ���, ��Ԥξ��, 
$\omega (x,f^*) \subset A \cap {\rm Ext} \ \tilde{\alpha} 
(\overline{A},\overline{f}) \subset {\rm Ext} \ N$�Ǥ��롥������$N$��
($X$�ˤ�����)���ȥ饯������˵�Ǥ���, �������Ф롥 $\Box$

\vspace*{0.3cm}
\noindent
{\bf ����2.4E.} $X'$��$f$��Ǥ�դ��Ľ���Ȥ�, $A$��$f$�Υ��ȥ饯����
(�ޤ��Ͻॢ�ȥ饯����)�Ȥ��롥���ΤȤ�$A' \equiv A \cap X'$��
$f' = f|X'$�Υ��ȥ饯����(�ޤ��Ͻॢ�ȥ饯����)�Ǥ��롥

\vspace*{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $N$��$A$�Υ��ȥ饯������˵�Ȥ��롥���ΤȤ�
$N \cap X'$��$A'$�Υ��ȥ饯������˵�Ǥ��롥\hfill $\Box$��

\vspace*{0.5cm}
\noindent
{\large 
{\bf 3. ���󵢽����$\Omega$�˸½���}
}

\vspace*{0.2cm}
\noindent
{\large 3.1. $(\varepsilon, t, f)-$��}

\vspace*{0.2cm}
\noindent
{\bf ���3.1A.}  $(x,y) \in X \times X$�����$\varepsilon, t>0$��
Ϳ����줿�Ȥ�, $x$����$y$�ؤ�$(\varepsilon, t, f)-$���Ȥ�, ���ޤ�
$(x=x_1, \cdots, x_{n+1}=y; t_1, \cdots, t_n)$��, $1 \leq i \leq n$��
�Ф���, 
$t_i \geq t$�����$\rho (x_i \cdot t_i, x_{i+1}) \leq \varepsilon$��
��������ΤǤ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ����3.1B.} $x$����$y$�ؤΤ����$y$����$z$�ؤ�
$(\varepsilon, t, f)-$���������$x$����$z$�ؤ�$(\varepsilon, t, f)-$
�������롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}�����Ĥκ���Ĥʤ���Ф褤��\hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\large 3.2. Ⱦ���${\cal P} (f)$}

\vspace*{0.3cm}
\noindent
{\bf ���3.2A.} ${\cal P} (f) \equiv \{ (x,y) |$ Ǥ�դ�
$\varepsilon, t > 0$���Ф���$x$����$y$�ؤ�$(\varepsilon, t, f)-$����
����$\}$.

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ����3.2B.} ${\cal P} (f)$�Ͽ�ܴط��Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. ����3.1B��ꡥ$\Box$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ����3.2C.} $(x, y) \in {\cal P} (f)$�ʤ�, Ǥ�դ�$\overline{t}$��
�Ф���$(x \cdot \overline{t}, y) \in {\cal P} (f)$�Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $\varepsilon, t > 0$��Ϳ����줿�Ȥ���$x$����$y$�ؤ�
$(\varepsilon, t + | \overline{t} |, f)-$���������롥
$x_1=x$��$\overline{x}_1=x \cdot \overline{t}$���֤�����, $t_1$��
$\overline{t}_1 = t_1 - \overline{t}(>t)$���֤��������, 
$x \cdot \overline{t}$����$y$�ؤ�$(\varepsilon, t, f)-$���������롥
$\Box$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ����3.2D.} ${\cal P} (f)^* = {\cal P} (f^*)$(1.6�Ỳ��)��

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $(x,y) \in {\cal P} (f)$�Ȥ�, $\varepsilon, t >0$��
Ϳ����줿�Ȥ��롥$\varepsilon' \leq \varepsilon$������, 
$\rho (y,z) < \varepsilon'$���Ф���
$\rho (y \cdot (-t), z \cdot (-t))< \varepsilon$������Ω�Ĥ褦�ˤ��롥
���ΤȤ�$(x=x_1, x_2, \cdots, x_{n+1}=y; t_1, \cdots, t_n)$��$x$����$y$�ؤ�
$(\varepsilon', 2t, f)-$���Ȥ����, �ưפˤ狼��褦��, 
$(y=x_{n+1}, x_n \cdot (t_n-��), x_{n-1} \cdot t_{n-1}, \cdots, 
x_1 \cdot t_1, x; t, t_n - t, t_{n-1}, \cdots, t_1)$��$y$����$x$�ؤ�
$(\varepsilon, t, f^*)-$���Ǥ��롥(�����ƻ�ɤ�$y$�˲ä�����
�������ʤ��Ⱥ��Ϥ��θɤ򤿤�����ꤹ��.) \hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ����3.2E.} ${\cal P} (f)$��$X \times X$����Ĥ��Ƥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $(x,y)$��${\cal P} (f)$�ζ˸����Ȥ�, 
$\varepsilon, t>0$��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롥
3.2C�ˤ���, $(x \cdot t, y)$�� ${\cal P} (f)$�ζ˸����Ǥ��롥
$\rho ((x', y'), (x \cdot t, y)) < \varepsilon/2$�Ȥʤ�褦��
$(x', y') \in {\cal P} (f)$�����֡�$x'$����$y'$�ؤ�
$(\varepsilon /2, t, f)-$�������֡�
$x_{n+1}=y'$��$\overline{x}_{n+1}=y$���֤��������, $x'$����
$y$�ؤ�$(\varepsilon, t, f)-$���������롥�ޤ�
$(x=x_1, x_2= x'; t_1=t)$��$x$����$x'$�ؤ�$(\varepsilon, t, f)-$���Ǥ��롥
3.1B���$x$��$y$��$(\varepsilon, t, f)-$���Ƿ�٤롥�������������Ф롥
$\Box$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ����3.2F.} $(x,y) \in {\cal P} (f)$�ʤ�, 
Cl$ \ (x \cdot R) \times$ Cl$ \ (y \cdot R) \subset  {\cal P} (f)$�Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. 3.2C, 3.2D, �����3.2E����Ѥ���Ф褤�� $\Box$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ����3.2G.} $x \in  \omega (y, f^*)$�ʤ�$(x,y) \in {\cal P} (f)$�Ǥ��롥

$y \in  \omega (x,f)$�ʤ�, $(x,y) \in {\cal P} (f)$�Ǥ��롥
���ΤȤ�$(x,z) \in {\cal P} (f)$�Ǥ��뤿���ɬ�׽�ʬ����
$(y,z) \in  {\cal P} (f)$�Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $x \in \omega (y,f^*)$�Ȥ�, $\varepsilon, t>0$��
Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롥$t' > t$�������
$\rho (x \cdot t, y \cdot (-t')) < \varepsilon$�Ȥ��롥���ΤȤ�, 
$(x=x_1, x_2=y \cdot (-t'), x_3=y; t_1=t, t_2=t')$��$x$����$y$�ؤ�
$(\varepsilon, t, f)-$���Ǥ��롥

$y \in \omega (x,f)$�Ȥ��롥$(\varepsilon, t) > 0$��Ϳ����줿�Ȥ�
$t' >t$�������$\rho (x \cdot t', y ) < \varepsilon$�Ȥ��롥
���ΤȤ�$(x,y; t')$��$x$����$y$�ؤε��뺿�Ǥ��롥

$(y,z) \in {\cal P} (f)$�ʤ�, 3.2B���$(x,z)$��${\cal P} (f)$�˴ޤޤ�롥
$(x,z) \in {\cal P} (f)$��$\varepsilon, t>0$��Ϳ����줿�Ȥ�, 
$\overline{t}$�������
$\rho (x \cdot \overline{t}, y \cdot t) < \varepsilon$�Ȥ��롥
3.2F�ˤ��$(x \cdot \overline{t},z) \in {\cal P} (f)$�Ǥ��롥
�ޤ�$(y, x \cdot \overline{t}; t)$��$y$����$x \cdot \overline{t}$�ؤ�
$(\varepsilon, t, f)-$���Ǥ��롥������$y$����$z$�ؤ�
$(\varepsilon, t, f)-$����¸�ߤ�, �������Ф롥\hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\large 3.3. ���󵢽����Ʊ�ʹط�}

\vspace{0.2cm}
\noindent
{\bf ���3.3A.} $R(f) \equiv \{ x | (x,x) \in {\cal P} (f) \}$�Ȥ�����
$R(f)$�򺿲󵢽���ȸƤ֤��Ȥˤ��롥

$ {\cal E} (f) \equiv {\cal P} (f) \cap {\cal P} (f)^*$�Ȥ�����

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ����3.3B.} $R(f)$��$f$�������ѽ���Ǥ���, ��ͷ�������ޤ�, 
$R(f) = R(f^*)$����������

${\cal E} (f) = {\cal E} (f^*) \subset R(f) \times R(f)$��
$R(f) \times R(f)$����ǡʤ������ä�$X \times X$����ǡ��Ĥ��Ƥ���, 
Ʊ�ʹط��Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $R(f)$�������ѤǤ��뤳�Ȥ�3.2E��3.2F����Ф롥
$R(f) =R(f^*)$��3.2D����Ф롥
${\cal E} (f) = {\cal E} (f^*)$��3.2D����Ф롥
${\cal E} (f)$���Ĥ��Ƥ��뤳�Ȥ�3.2E����Ф롥
$(x,y) \in {\cal E} (f)$�ʤ�, $x$��$y$��$R(f)$��°����
$x \in R(f)$�ʤ�, $(x,x) \in {\cal P} (f)$�Ǥ��뤫��, 
$(x,x) \in {\cal E} (f)$�Ǥ��롥
${\cal E} (f)$���������оΤǤ���, ${\cal P} (f)$�����Ū�Ǥ��뤫��
${\cal E} (f)$����Ū�Ǥ��롥������${\cal E} (f)$��$R(f)$���Ʊ�ʹط��Ǥ��롥
$x$����ͷ�����Ȥ�, $\varepsilon, t >0$�Ȥ��롥���ΤȤ�, $x$����$x$�ؤ�
$(\varepsilon, t, f)-$������ñ�˹����Ǥ��롥$\Box$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ����3.3C.} ${\cal E} (f)$��Ʊ�����$R(f)$����ʬ���¤Ǥ���, 
���줾���, $X$�Τ���������Ĥ���ʬ��������(non-trivially)����������ġ�

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $R'$��$R(f)$�Τ�����ʬ�Ȥ�, $x,y \in R'$�Ȥ��롥
���ΤȤ�, $R'$���Ĥ��Ƥ��뤫��, $(\varepsilon, t) >0$��Ϳ�������, 
$R$�����ͭ����$\{ x=x_1, \cdots, x_{n+1} =y \}$�����ä�
$\rho (x_i, x_{i+1}) < \varepsilon /2$����������
$(x_i, x_i) \in {\cal P} (f)$�Ǥ��뤫��$x_i$����$x_i$�ؤ�
$( \varepsilon /2, t, f)-$�������롥���κ��κǸ������$x_{i+1}$��
�֤��������, $x_i$����$x_{i+1}$�ؤ�$( \varepsilon, t, f)-$����
�����롥������$x$����$y$�ؤ�$(\varepsilon, t, f)-$�������뤳�Ȥ�
�狼�롥�Ȥ�����$x$��$y$��$R'$��Ǥ�դ����Ǥ��ä�����, $R'$���
���٤Ƥ�����Ʊ�ͤǤ��뤳�Ȥ��狼�롥

$(x,y) \in {\cal E} (f)$�ΤȤ�, $x$����$y$�ؤ�
$(\varepsilon, t, f)-$�������뤬, �����, $x$��$y$��Ǥ�դ�
$\varepsilon$���Ф���$X$��ǡ�$\varepsilon$Ϣ��פǤ��뤳�Ȥ�
�����Ƥ��롥������$x$��$y$��$X$��Ʊ����ʬ�˴ޤޤ�롥\hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\it Remark.} ��Τ��Ȥ�, $x$��$y$��$R(f)$��Ʊ����ʬ��°���뤳�Ȥ�
���äƤϤ��ʤ����ʤ��ʤ�, ����$R(f)$��°���Ƥ��ʤ������Τ�ʤ�
����Ǥ��롥������, 3.6D�򸫤补

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\large 3.4. $\Omega$�˸½���}

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���3.4A.} $C \subset X$���Ф���, 
$\Omega (C,f) \equiv \{ y | (x,y) \in {\cal P} (f)$�ʤ�
$x \in C$��¸�ߤ���$\}$��
���ΤȤ�$\Omega (C,f) = \cup_{x \in C} \Omega (x,f)$�Ǥ��뤳�Ȥ����դ��褦��

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ����3.4B.} $C$���Ĥ��Ƥ����, $\Omega (C,f)$�������ѽ���Ǥ��롥

$\{ C_n \}_1^{\infty}$��$X$���Ľ������
$C= \limsup \{ C_n \}_1^{\infty}$�Ǥ����, 
$\Omega (C,f) \supset \limsup \{ \Omega (C_n, f) \}_1^{\infty}$�Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $\Omega (C,f)$��3.2F�ˤ�����ѽ���Ǥ��롥
����¾��3.2E����Ф롥$\Box$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ����3.4C.} $C$���Ĥ��Ƥ����, $\Omega (C,f) \supset \omega (C,f)$�Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. 
$y  \in \omega (C,f)= \cap_{t \in R} \ {\rm Cl} \ 
\{ C \cdot (t, \infty) \}$�Ȥ��롥���ΤȤ�$n>0$��Ϳ�������, 
$x_n \in C$�����ä�, 
$\rho (x_n \cdot n, y) < 1/n$����������$x \in C$��
$\{ x_n \}_1^{\infty}$�ζ˸����Ȥ��롥$\varepsilon, t>0$��
Ϳ����줿�Ȥ�, $0$��$\varepsilon$�δ֤�$\varepsilon'$�������
$\rho (x', x) < \varepsilon'$�ʤ�
$\rho (x' \cdot t, x \cdot t ) < \varepsilon$�Ȥʤ�褦�ˤ��롥
$n$�������$n > 2t, 1/n < \varepsilon$�����
$\rho (x_n, x) < \varepsilon'$�Ȥ��롥���ΤȤ�
$(x=x_1, x_2=x_n \cdot t, x_3=y; t_1=t, t_2= n - t)$��$x$����
$y$�ؤ�$(\varepsilon, t, f)-$���Ǥ��롥������
$(x,y) \in {\cal P}$�Ǥ���$y \in \Omega (C,f)$�Ǥ��롥\hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ����3.4D.} $C$���Ĥ��Ƥ����, 
$\Omega (C,f) = \Omega (\omega(C,f),f)$�Ǥ��롥��

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. 3.2G���$\Omega (x,f) = \Omega(\omega(x,f),f)$�Ǥ��롥
������$\Omega (C,f) = \cup_{x \in C} \Omega (\omega(x,f),f)$�Ǥ��롥
$x \in C$�ΤȤ��Ϥ��Ĥ�$\omega(x,f) \subset \omega(C,f)$�Ǥ��뤫��, 
$\Omega(C,f) \subset \Omega(\omega(C,f),f)$�Ǥ��롥
�Ȥ�����3.4C�����3.2B���$\Omega(C,f) \supset \Omega(\omega(C,f),f)$
�Ǥ��뤫���������Ф롥\hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ����3.4E.}

\rmk
(1) $y  \in \Omega (x,f)$�Τ����ɬ�׽�ʬ����$x \in \Omega (y, f^*)$�Ǥ��롥

\rmk
(2) $(x,y) \in {\cal E} (f)$�ʤ�, $\Omega (x,f) = \Omega (y,f)$�Ǥ��롥

\rmk
(3) $\Omega (x,f) \cap \Omega (x,f^*)$�����Ǥʤ������ɬ�׽�ʬ����, 
$x \in R(f)$�Ǥ��롥���ΤȤ�, ��������Τ�$x$��Ʊ����Ǥ��롥

\rmk
(4) $x \in R(f)$���Ф���, $\omega (x,f) \cup \omega (x,f^*) \subset 
\Omega (x,f) \cap \Omega (x,f^*)$�Ǥ��롥

\rmk
(5) �ɤ�ʾ��ˤ�, $\Omega (x,f)$�϶�������non-trivially �ˤ��
$R(f)$��Ǥ�դ���ʬ��ޤࡥ

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. (1)��3.2D���Ф롥(2)��(3)��3.2B��������Ф롥
(4)��3.2G���, (5)��3.3C���Ф롥\hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\large 3.5. $\Omega$�˸½����$(\varepsilon, t)$���}

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���3.5A.} $\Omega' (C, \varepsilon, t, f) \equiv \{ y |$
����$x \in C$�����ä�, x����y�ؤ�$(\varepsilon, t, f)$��������$\}$. 
$\overline{C} \subset C$�ʤ�
$\Omega' (\overline{C}, \varepsilon, t, f) \subset \Omega'
( C, \varepsilon, t, f)$�Ǥ��뤳�Ȥ����դ��褦��

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ����3.5B.} $\Omega' (C, \varepsilon, t, f)$�ϳ����Ƥ���, 
$\Omega (C,f)$��ޤࡥ

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $x$����$y$�ؤ�$(\varepsilon, t, f)-$����
Ϳ����줿�Ȥ���, $\varepsilon' \equiv \rho (x_n \cdot t_n, y)$�Ȥ�����
$\rho (z,y) < \varepsilon - \varepsilon'$�ʤ�$z$���Ф���
$x_{n+1}=y$��$\overline{x}_{n+1} = z$���֤��������$x$����$z$�ؤ�
$(\varepsilon, t, f)-$���������롥
������$\Omega' (C, \varepsilon, t, f)$�ϳ����Ƥ��롥$\Box$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ����3.5C.} $\Omega' (C, \varepsilon, t, f)$�������
���ȥ饯������˵�Ǥ���, �б����륢�ȥ饯������$\varepsilon$��˵��ޤࡥ

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. 
$y \in \Omega' \equiv \Omega' (C, \varepsilon, t, f)$��
$\rho (z, y \cdot t) < \varepsilon$�ʤ�$(y,z; t)$��$y$����$z$�ؤ�
$(\varepsilon, t, f)-$���Ǥ��뤫��$z \in \Omega'$�Ǥ��롥
$y \in \partial \Omega'$���Ф���$\omega (y,f^*)$�ζ�˵$U$�������
$z \in U$�ʤ�$\rho (z \cdot t, \omega (y,f^*)) < \varepsilon$��
�ʤ�褦�ˤ��롥���ΤȤ���$z \in U$��$\omega (y,f^*)$��
$(\varepsilon, t, f)-$���ˤ�äƤĤʤ��äƤ���(connected to), 
�������ä�$y$�ؤ�Ĥʤ��äƤ��롥$y \in \partial \Omega'$�Ǥ��뤫��
$y$�ϳ�����$\Omega'$�ˤϴޤޤ�ʤ���������$U \cap \Omega' = \emptyset$
�����$\omega (y,f^*) \subset {\rm Ext} \ \Omega'$�Ǥ��뤫��
Cl$ \ \Omega'$�ϥ��ȥ饯������˵�Ǥ��롥

$\Omega' \supset Y$�ʤ�����κǽ��ʸ�Ϥ�$Y \cdot t$��
$\varepsilon$-��˵��$\Omega'$�˴ޤޤ�뤳�Ȥ��̣���롥
Cl$ \ \Omega'$��Υ��ȥ饯�����Ǥ���$A$���Ф��Ƥ�$A = A \cdot t$��
���롥����������Ͼ������줿��\hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���3.5D.} 
$\Omega (C, \varepsilon, t, f) \equiv \{x | x \cdot R \subset \Omega' 
(C, \varepsilon, t, f) \}$.

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ����.} $\Omega \equiv \Omega (C, \varepsilon, t, f)$��
$\Omega (C,f)$��ޤॢ�ȥ饯�����Ǥ��롥$\tilde{\alpha} (\Omega, f)$��
$\Omega$��$\varepsilon$��˵��ޤࡥ�Ȥ���, �⡹ͭ�¸Ĥν���
$\Omega (C, \varepsilon, t, f)$���ۤʤ�����Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. �ۤʤ뽸��ο��˴ؤ����ĥ�ʳ���3.5B��3.5C��
���������˲᤮�ʤ����Ǹ�μ�ĥ�򸫤�ˤ����, ���Τ褦�ʽ����
�ϥ����ɥ�յ�Υ�Ͼ��ʤ��Ȥ�$\varepsilon$���뤳�Ȥ�Τ�����ߤ�����
����ȷ�̤ϥϥ����ɥ�շ��̤�ͭ����$X$������ʬ����ζ��֤�
����ѥ��ȤǤ���Ȥ������¤���Ф롥\hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ����3.5E.} ���ȥ饯����$A$�ȶ�˵$U \supset A$��Ϳ����줿�Ȥ�, 
$\overline{\varepsilon}, \overline{t} >0$�����ä�, 
$\varepsilon < \overline{\varepsilon}$�����$t \geq \overline{t}$��
�Ф���$\Omega' (A, \varepsilon, t, f) \subset U$�Ǥ��롥���ΤȤ�, 
$U \subset \tilde{\alpha} (A,f)$�Ȥ���, 
$\Omega (A,\varepsilon, t, f) = A$�Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $A$�ζ�˵$N$�������$N \subset U$�����
$A= \omega (N,f)$�Ȥ��롥���ΤȤ�$\overline{t}$�����ä�
$\overline{N} \equiv {\rm Cl} \ \{ N \cdot [\overline{t}, \infty ) \} 
\subset {\rm Int} \ N$����������
$\overline{\varepsilon} = \rho (\partial N, \overline{N})$�Ȥ�����
$x \in N, \varepsilon < \overline{\varepsilon}$�����
$t \geq \overline{t}$��Ϳ����줿�Ȥ�, 
$(x=x_1, \cdots, x_{n+1}=y; t_1, \cdots, t_n)$��$x$����$y$�ؤ�
$(\varepsilon, t, f)-$���Ȥ��롥$x_i \in N$�ʤ�
$x_i \cdot t_i  \in \overline{N}$�Ǥ��뤫��$x_{i+1} \in N$�Ǥ��롥
$x_1 \in N$�Ǥ��뤫��$x_{n+1}=y \in N$�Ǥ��äƷ�̤��Ф롥\hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\large 3.6. $\Omega$�˸½������ħ�Ť�}

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ����3.6A.} $\Omega (C,f)$��$f$�νॢ�ȥ饯�����Τ���
$\omega (C,f)$��ޤ�Ǿ��Τ�Τˤ��礦�ɰ��פ��롥�Ȥ���, 
$\omega (C,f)$��Ϣ��ʤ�$\Omega (C,f)$��Ϣ��Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. ������
$\Omega (C,f) = \cap_{\varepsilon, t >0} \Omega' 
(C, \varepsilon, t, f)$�Ǥ��롥������$\Omega (C,f)$�Ͻॢ�ȥ饯����
$\cap_{\varepsilon, t>0}$ $\Omega (C, \varepsilon, t, f)$��ޤࡥ
����, $\Omega (C,f)$��$\Omega' (C, \varepsilon, t, f)$�ˤ�����
�����ѽ���Ǥ��뤫��, $\Omega (C, \varepsilon, t, f)$�˴ޤޤ��
�Ϥ��Ǥ��롥�����餳��ϸ�Ԥζ�����ʬ��������, �ॢ�ȥ饯�����Ǥ��롥
3.4D�ˤ�ꤳ���$\omega(C,f)$��ޤ�3.5E�ˤ��$\omega (C,f)$��ޤ�
Ǥ�դΥ��ȥ饯�����˴ޤޤ�롥�ॢ�ȥ饯��������ʬ�Ͻॢ�ȥ饯������
���뤫��(2.4A����), $\omega (C,f)$��Ϣ������$\Omega (C,f)$��Ϣ������
��̣���롥\hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ��3.6B.} 
Comp$ R(f)= \cup \{ \tilde{\alpha} (A,f) \backslash A | A$��
$f$�Υ��ȥ饯����$\}$�Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $A$�����ȥ饯�����Ǥ��ä�
$x \in \tilde{\alpha} (A,f) \backslash A$�ʤ�
$\omega (x,f) \subset A$�Ǥ��ä�3.6A���$\Omega (x,f) \subset A$��
���롥������$x \not\in \Omega (x,f)$����$x \in {\rm Comp} R(f)$�Ǥ��롥
$x \not\in \Omega (x,f)$�ʤ�, $\Omega (x, \overline{f})$��ޤ�
����ɤ�$x$��ޤޤʤ����ȥ饯����$A$�����롥���ΤȤ�
$\omega (x,f) \subset \Omega (x,f) \subset A$�Ǥ��뤫��, 
$x \in \tilde{\alpha} (A,f)$�Ǥ��롥\hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ����3.6C.} $A$��$f$�νॢ�ȥ饯�����Ȥ�, $\overline{f}=f | A$�Ȥ��롥
���ΤȤ�, Ǥ�դ�$x \in A$���Ф���
$\Omega (x,\overline{f})=\Omega (x,f)$�Ǥ��롥

$A^*$��$f$�ν��ڥ顼�Ȥ�, $\overline{f}=f | A^*$�Ȥ��롥
���ΤȤ�, Ǥ�դ�$x \in A^*$���Ф���
$\Omega (x, \overline{f})=A^* \cap \Omega (x,f)$�Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. ���ξ��, 2.4D���$\Omega(x, \overline{f})$��
$\overline{f}$�νॢ�ȥ饯�����Ǥ���Ф���Ǥʤ�$f$�νॢ�ȥ饯�����Ǥ�
���롥�����$\omega (x,f)$��ޤ�$\Omega (x,f)$�˴ޤޤ�뤫��, 
3.6A���$\Omega (x,f)$���������Ϥ��Ǥ��롥

����ξ��, 2.4E���$A^* \cap \Omega (x,f)$��$\overline{f}$��
�ॢ�ȥ饯�����Ǥ��ä�$\omega (x,f)$��ޤߤ������ä�
$\Omega (x, \overline{f})$��ޤ�(3.6A���)��$\overline{A}^*$��
$\Omega (x, \overline{f})$��ޤॢ�ȥ饯����������Ū��, 
$\overline{f}$��Ǥ�դΥ�ڥ顼�Ȥ��롥2.4D���$\overline{A}^*$��
$f$�Υ�ڥ顼�Ǥ⤢�롥���ΤȤ�, ����($f$�˴ؤ���)
����Ū���ȥ饯������$\Omega (x,f)$��ޤ�Ϥ��Ǥ���, 
$\Omega (x,f) \cap A^*$��ޤ�Ϥ��Ǥ��롥������$\overline{f}$��Ǥ�դ�
���ȥ饯������$\Omega (x, \overline{f})$��ޤ��Τ�
$\Omega (x,f) \cap A^*$���ޤ�, �������ä�
$\Omega (x, \overline{f}) = \Omega (x,f) \cap A^*$�Ǥ��롥\hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ����3.6D.} $R(f)$��Ʊ����ã�Ϥ��礦��$R(f)$����ʬã�˰��פ��롥

$\hat{f} \equiv f | R(f)$�Ȥ����${\cal P} (\hat{f})= {\cal P} (f)$��
���롥������$R(f)$����Ʊ�Τ���$(\varepsilon, t, f)-$����
$R(f)$�˴ޤޤ��褦�����֤��Ȥ��Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $E(x) = \Omega (x, f) \cap \Omega (x, f^*)$��$x$��
Ʊ����Ȥ��롥$\overline{f} \equiv f | \Omega (x,f)$�����
$\overline{\overline{f}} \equiv \overline{f} | E(x)$�Ȥ�����
3.6C������ʸ�Ϥ��$\Omega (x, \overline{f}) = \Omega (x,f)$�Ǥ���
($x \in \Omega (x,f)$�����դ���)��2.4E���
$E(x) = \Omega (x,f^*) \cap \Omega (x,f)$��$\overline{f}$��
�ॢ�ȥ饯�����Ǥ��롥������3.6C�������ʸ�ϡˤ��
$\Omega (x, \overline{\overline{f}}) = E(x) \cap \Omega 
(x, \overline{f}) = E(x)$�Ǥ��롥

3.6A���$E(x)$��Ϣ��Ǥ���, ������$R(f)$����ʬ�Ǥ���(3.3C�����Ѥ���)��
Ʊ�ͤ�$E(x)$��$\Omega (x, \overline{\overline{f}}^*$����������
$\overline{\overline{f}}$�κ���$\hat{f}$���Ǥ⤢�뤫��$E(x)$�Τ��٤Ƥ�
����$\hat{f}$�β���Ʊ�ͤǤ���, ${\cal E} (\hat{f})$��Ʊ�����
$R(\hat{f})$����ʬ�˴ޤޤ�뤫��$E(x)$��${\cal E} (\hat{f})$��
Ʊ����Ǥ��뤳�Ȥ��Ф롥\hfill $\Box$

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\large 
{\bf 4. $f$�θ�����ʬ}
}

\vspace{0.2cm}
\noindent
{\large 4.1. ��ƻ��Ǹ�������ؿ�}

\vspace{0.2cm}
\noindent
{\bf ��� 4.1.} $X$���ή��$f$��Ϳ����줿�Ȥ�, �����������:
$$ \begin{array}{l}
 {\cal D}' (f) \equiv \{ g:X \rightarrow R | g \ ��Ϣ³, �ޤ� 
\ x \in X \ ����� \ t>0 \ ���Ф��� \ g(x \cdot t) \leq g(x) \}. \\

 R' (f) \equiv \{ x \in X | g \in {\cal D}' (f) \ ���Ф��� 
\ t>0 \ �����ä� \ g(x \cdot t) = g(x) \}. \\

 {\cal D} (f) \equiv \{ g \in {\cal D}' (f) | x \not\in R(f) \ 
����� \ t>0 \ �ʤ� \ g(x \cdot t) < g(x) \}.
   \end{array}
$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
4.1B. �����������Auslander[1]������Ѥ�������Ϥ�äȰ���Ū�ʾ�����
��̣����äƤ���������$R' (f)$��Auslander�ϰ��̲��󵢽���ȸƤ�, 
$R' (f)$������ƻprolongation�ˤ�ä���ħ�Ť�, ����̾��������������
�ʲ�������4.1E����η�̤�Ʊ�������פΤ�ΤǤ���(��������ä�
��ñ�Ǥ���, �����Ǥ���Ū�˱�äƤ���)������4.1C��4.1D����ˤ�ä�
��äȰ��̤ξ����Τ�ȤǾ�������Ƥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 4.1C.} $R' (f)$�������ѽ���Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $R' (f)$��, $g \in {\cal D}' (f)$�����$t > 0$��
�Ф���$C(g,t) \equiv \{ x | g(x \cdot t) - g(x) = 0 \}$����������
�Ľ���$C(g,t)$�ζ�����ʬ�Ǥ��롥������$R'(f)$���Ĥ��Ƥ��롥
$x \not\in R'(f)$���Ф���, $g \in {\cal D}' (f)$��¸�ߤ���, 
$t>0$���Ф���$g(x \cdot t) < g(x)$�Ǥ��롥$\overline{t} \in R$��
Ϳ����줿�Ȥ�, $\overline{g}$��
$\overline{g}(x) = g(x \cdot (- \overline{t}))$��������롥
���ΤȤ�$\overline{g} \in {\cal D}'$�Ǥ���, $t>0$���Ф���
$\overline{g}((x \cdot \overline{t}) \cdot t) = g(x \cdot t) < 
g(x) = \overline{g} (x \cdot \overline{t})$�Ǥ��롥
������$x \not\in R'(f)$�Ϥ��٤Ƥ�$\overline{t} \in R$���Ф���
$x \cdot \overline{t} \not\in R(f)$���̣��, ��ä�
${\rm Comp} \ R'(f)$�����$R'(f)$�����ѤǤ��롥\hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 4.1D.} ${\cal D}' (f)$��(sup norm��Υ�Τ�Ȥ�, ���뤤��
Ʊ����������ѥ���-������Τ�Ȥ�)������Υ���֤Ǥ���, 
${\cal D} (f)$��${\cal D}' (f)$���Baire�����󥫥ƥ��꡼��
��̩�����ޤࡥ�Ȥ���${\cal D} (f) \neq \emptyset$�Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. ${\cal D}'(f)$��, sup norm��Υ�����$X$���
Ϣ³�ؿ��ζ��֤�����ʬ����Ǥ��롥������${\cal D}'(f)$�ϴ�����Υ���֤Ǥ��롥

$R'(f)��X$�ʤ�${\cal D}'(f) = {\cal D}(f)$�Ǥ��ä����꤬����Ω�ġ�

�����Ǥʤ��Ȥ�, $m$�򤢤���ꤷ���������Ȥ��롥
$x \in {\rm Comp} \ R'(f)$���Ф���, $g(x \cdot 1/m) < g(x)$�ʤ�
�ؿ�$g \in {\cal D}'$�����֡�$g$��Ϣ³������, $x$�Υ���ѥ��Ȥ�
��˵$C(x)$��$g | C(x) > g | C(x) \cdot 1/m$(�����Ȥ�pointwise)�ʤ��Τ����롥

������${\rm Comp} \ R'(f)$����ʤ�������, ��������Ļ���ʬ��ʤ
$\{ c_N \}_1^{\infty}$�������롥

���Ƴ���������$n$���Ф���, $\phi(n,m)$�򽸹�
$\{ g \in {\cal D}' (f) | g | C_n > g | C_n \cdot 1/m \}$�Ȥ��롥
$C_n$�ϥ���ѥ��ȤǤ��뤫��, $\phi(n,m)$��${\cal D}' (f)$��ǳ��Ǥ��롥
$C_n$�ι���ˡ����, ����϶��Ǥʤ���$\overline{g} \in {\cal D}' (f)$
�����$\varepsilon > 0$���Ф���, $g \in \phi(n,m)$��
$\overline{g} + \varepsilon g \in \phi(n,m)$���̣���롥
������$\phi (n,m)$��ޤ�${\cal D}' (f)$�����̩�Ǥ���, 
$\cap_{n=1}^{\infty} \phi (n,m)$��Baire�����󥫥ƥ��꡼��
��̩����Ǥ��ä�, �������$g$�����$x \in {\rm Comp} \ R' (f)$��
�Ф���, $g(x \cdot 1/m) < g(x)$�ʤ���������ġ�

$\overline{\phi} (m) \equiv \{ g | x \in {\rm Comp} \ 
R'(f)�ʤ�g(x \cdot 1/m) < g(x) \}$�Ȥ��롥���ΤȤ�, 
$\overline{\phi} (m)$������Baire���ƥ��꡼����̩�����ޤळ�Ȥ�
$\cap_{m=1}^{\infty} \overline{\phi}(m)$��Ʊ�ͤǤ��롥������, 
��ԤϤޤ���${\cal D (f)}$�Ǥ��뤫���������������줿��\hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 4.1E.} $R' (f) \subset R(f)$.

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $\overline{x} \not\in R (f)$�Ȳ��ꤹ�롥3.6B���, 
���ȥ饯����$A$��$\overline{x} \in \tilde{\alpha} (A,f) \backslash A$
�ʤ��Τ����롥$A^*$�����Х�ڥ顼�Ȥ��롥

$\rho: X \rightarrow [0,1]$ ��$\rho \ A^* =1, \rho | A = 0$�ʤ�Ǥ�դ�
Ϣ³�ؿ��Ȥ��롥
$\overline{\rho} (x) = \sup \{ \rho(y) | y \in x \cdot [0, \infty) \}$
��������롥���餫��, $\overline{\rho}$�ϵ�ƻ��Ǹ������롥
������Ϣ³�Ǥ���Ȥ����${\cal D}' (f)$��°���롥

$x \in \tilde{\alpha} (A,F) \backslash A$���Ф���$\rho (x) = \delta$��
������$C \subset \tilde{\alpha} (A,f)$��$x$�Υ���ѥ��Ȥʶ�˵��
$\rho | C > \delta/2$�ʤ��ΤȤ��롥$A$�ζ�˵$u$��$g | u < \delta/2$
�ʤ��Τ����֡�Cl$ \{ C \cdot (t, \infty) \} \subset u$��������$t>0$��
���֡����ΤȤ�, $x' \in C$���Ф���
$\overline{\rho} (x') = \sup \{ \rho (y) | y \in x' 
[0, \infty] \} = \sup \{ \rho (y) | y \in x' \cdot [0, t] \}$�Ǥ��롥
$\rho$��Ϣ³��$x' \rightarrow x$�ΤȤ�
$x' [0, \infty] \rightarrow x \cdot [0, t]$�Ǥ��뤫��
$\overline{\rho}$��$x$�ˤ�����Ϣ³�Ǥ��롥

������$\overline{\rho}$��$\tilde{\alpha} (A,f) \backslash A$��
���٤Ƥ�����Ϣ³�Ǥ��롥���餫�ˤ����$A^*$�����Ǥ�$A$�����Ǥ�
Ϣ³�Ǥ��롥$A$�ζ᤯���������ȯ��������Ⱦ��ƻ��$A$�ζ᤯�ˤ��뤫���
���롥������$\overline{\rho}: X \rightarrow R$��Ϣ³��, 
${\cal D}' (f)$��°���롥

���餫��, $\overline{\rho}$��$\tilde{\alpha} (A,f) \backslash A$���
���٤Ƥε�ƻ�Τ������Ǹ������롥�����餳�ν���, �Ȥ���
$\overline{x}$��${\rm Comp} \ R'(f)$�˴ޤޤ�롥������
${\rm Comp} \ R(f) \subset {\rm Comp} \ R'(f)$�Ǥ������꤬�Ф롥
\hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\it Remark 4.1F.} $R'(f)=R(f)$�ϰ��̤ˤ�����Ω���ʤ������Ȥ���, 
$X$��ʿ�̤�ñ���������Ȥ�, $f$��٥��ȥ��
$\dot{x}=0, \dot{y} = -xy(1-x)(1-y)$�����������ή��Ȥ��롥
���ΤȤ�$R'(f)$���������ζ����Ǥ���(��ư�������餫��$R'(f)$��°��, 
�ؿ�$g(x,y)=y$�Ϥ��Τۤ��Τ��٤Ƥε�ƻ��Ǹ�������), 
$R(f)=X$�Ǥ���(�����ʥ��ȥ饯�����ϤҤȤĤ�ʤ�)��

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\large 4.2. ����ή}

\vspace{0.2cm}
\noindent
{\bf ��� 4.2A.} $R(f)$��������Ϣ��(totally disconnected)�ΤȤ�, 
ή��$f$�ϸ���ή�ȸƤФ�롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\it Note.} ���ΤȤ�$R(f)$����ư����������, ��Ū��(point-like)��ʬ��
���ġ�4.1F�����, ����Ǥʤ���ƻ��Ǹ�������ؿ���¸�ߤ�, ����
�ե��륿���Ť����ʤ�, �Ȥ�����̣�ǡָ��ۡפǤ��롥
�����Ǥϥե��륿���Ť��γ�ǰ�����פǤ���Ȥ��������Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 4.2B.} $f$������Ū(gradient-like)�ʤ�$R'(f) = R(f)$�Ǥ���, 
�Ȥ���$g \in {\cal D}(f)$���Ф���$g$�Ϥ��٤Ƥ�����군ƻ���
���������Ǥ��롥(���Τ��Ȥϡָ���ή�פ�̾�����������Ƥ���.)

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $R(f)$����ư����������, ���٤Ƥ���ư����$R'(f)$��
�ޤޤ�뤫��$R'(f) \supset R(y)$�Ǥ��롥�ո�������޴ط���4.1E����Ф롥
�Ĥ�������ꤷ��������\hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\large 4.3. Domination}

\vspace{0.2cm}
\noindent
{\bf ��� 4.3A.} $f$��$f'$�򤽤줾��$X$�����$X'$���ή��Ȥ�, 
$h$��$X$����$X'$�ξ�ؤ�Ϣ³�����Ȥ��롥��$x \in X$���Ф���
$h(x \cdot [0, \infty)) = h(x) \cdot [0, \infty)$�ʤ�, $f$��
����$h$��$f'$����ۤ���(dominate)�Ȥ������Ȥˤ��롥����Ǥ�, 
$f > f'(h)$�Ƚ񤯡�$f > f'$����$f' > f$�ʤ�, $f$��$f'$��
$\omega-$����Ȥ������Ȥˤ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 4.3B.} ����ѥ��ȵ�Υ���־��ή��δ֤δط�$>$��
ȿ��Ū���Ŀ��Ū�Ǥ��롥

$f > f'(h)$�Ȥ��롥���ΤȤ�$Y$��$f$�������ѽ���ʤ�, $h(Y)$��
$f'$�������ѽ���Ǥ��롥$Y$��$f'$�������ѽ���ʤ�, 
$h^{-1}(Y)$��$f$�������ѽ���Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 4.3C.} $f > f'(h)$�ʤ�, Ǥ�դ�$Y \subset X$���Ф���
$h(\omega(Y,f)) = \omega(h(Y),f')$�Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $X$��$X'$�ϥ���ѥ��Ȥ�Hausdorff�Ǥ��뤫��, 
Ǥ�դ�$U \subset X$���Ф���$h({\rm Cl} (Y)) = {\rm Cl}(h(Y))$�Ǥ��롥

���(4.3A)���, $t \in R$���Ф���
$h(Y \cdot [t, \infty)) = h(Y) \cdot [t, \infty)$�Ǥ���
($\cdot$��$f$�ˤ�$f'$�ˤ�ȤäƤ���)��

������
$h({\rm Cl}(C \cdot [t,\infty)) = {\rm Cl} (h(C) \cdot [t,\infty))$
�����
$\cap_{t \in R} h({\rm Cl}(C \cdot [t,\infty)) = \omega(h(C),f')$�Ǥ��롥

����CL$(C \cdot [t,\infty))$�ϥ���ѥ��Ȥ�$t$�����äȤȤ�˸�����, 
�ޤ�$X'$��Hausdorff�Ǥ��뤫��, 
$\cap_{t \in R} h({\rm C;}(C \cdot [t,\infty)) = h(\cap_{t \in R} 
{\rm Cl}(C \cdot [t,\infty)) = h(\omega(C,f))$�Ǥ��롥
�����������Ͼ������줿��\hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 4.3D.} $f > f'(h)$�Ȥ��롥

$A'$��${A'}^*$��$f'$�Υ��ȥ饯����-��ڥ顼���Ȥʤ�, 
$h^{-1}(A')$��$h^{-1}({A'}^*)$��$f$�Υ��ȥ饯����-��ڥ顼���ȤǤ���, 
$h(\tilde{\alpha} (h^{-1} (A'), f) = \tilde{\alpha} (A', f')$�Ǥ��롥

$A$��$A^*$��$f$�Υ��ȥ饯����-��ڥ顼���Ȥ�
$h(A) \cap h(A^*) = \emptyset$�ʤ�, 
$h(A)$��$h(A^*)$��$f'$�Υ��ȥ饯����-��ڥ顼���ȤǤ���, 
$h(\tilde{\alpha} (A, f) = \tilde{\alpha} (h(A), f)$�Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $f$�Σ��Ĥ������ѽ���$A$��$A^*$��
���ȥ饯����-��ڥ顼���Ȥ������뤿���ɬ�׽�ʬ����, 
����餬�ߤ����ǤǤ��ä�$x \in {\rm Comp}(A \cup A^*)$����
$\omega'x,f^*) \subset A^*$�����$\omega(x,f) \subset A$��
������Ȥ��Ǥ��뤳�Ȥ�ѻ������ߤ�����$A'$��${A'}^*$��$f'$��
���ȥ饯����-��ڥ顼���Ȥʤ�, $h^{-1}(A')$��$h^{-1}({A'}^*)$��
�ߤ����Ǥ������ѽ���Ǥ��롥�ޤ�, 
$x \in {\rm Comp}(h^{-1}(A') \cup h^{-1}({A'}^*))$����
$h(x) \in {\rm Comp}(A' \cup {A'}^*)$������, 4.3C��Ŭ�Ѥ����, 
$h^{-1}(A')$��$h^{-1}({A'}^*)$��$f$�Υ��ȥ饯����-��ڥ顼���Ȥ�
�ʤ����Ȥ��狼�롥

$A$��$A^*$��$f$�Υ��ȥ饯����-��ڥ顼���Ȥʤ�, $h(A)$��$h(A^*)$��
�ǤǤ��ꡤ$C$(??)����$h(A)$��$h(A^*)$��$f$�Υ��ȥ饯����-��ڥ顼��
�Ȥ�ʤ����Ȥ�����������$\Box$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 4.3E.} $f > f'(h)$�ʤ餹�٤Ƥ�$x \in X$���Ф���
$h(\Omega(x,f)) \subset \Omega'(h(x), f')$�����
$h(R(f)) \subset R(f')$�Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $\Omega(h(x),f)$��$\omega(h(x),f')=h(\omega(x,f))$��
�ޤॢ�ȥ饯�����ζ�����ʬ�Ǥ���, ���ȥ饯�����ε����ϥ��ȥ饯������
���뤫��, $h^{-1}(\Omega(h(x),f'))$�����餫��$\Omega(x,f)$��ޤࡥ
$R(f)$�˴ؤ����̤�$\Omega-$�˸½���˴ؤ����̤���Ф롥\hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 4.3F.} $f'$������ή��$f > f'(h)$�ʤ�, $h(R(f)) = R(f')$�Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $x' \in R(f')$�ʤ�, $x'$��$f'$����ư���Ǥ��롥
������$h(x)=x'$�ʤ�$h(\omega(x,f))=x'$�Ǥ��롥
$\omega(x,f) \subset R(f)$�Ǥ��뤫��, $h(R(f)) \supset R(f')$�Ǥ���, 
4.3E�ˤ�������Ͼ������줿��$\Box$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\large 4.4. $f$�θ�����ʬ}

\vspace{0.2cm}
\noindent
{\bf �����Remarks 4.4A.} 
$\overline{\cal E}(f) \equiv {\cal E}(f) \cup \{ (x,x) | x \in X \}$��
���������ΤȤ�$\overline{\cal E}(f)$��$X$���Ʊ�ʹط��Ǥ���, 
��Ʊ�����${\rm Comp} \ R(f)$�����Ǥ��뤫, $R(f)$����ʬ�Ǥ��롥
�ޤ�$\overline{\cal E} (f)$��$X \times X$�ˤ������Ĥ��Ƥ��뤫��
Ʊ�����$X$�ξ�ȾϢ³��ʬ�򤫤������Ľ���Ǥ��롥

$\overline{X}$��${\cal E}$��Ʊ����ν���Ȥ�
$\pi: X \rightarrow \overline{x}$�ϳ����򤽤�Ʊ����������ΤȤ��롥
����$u \subset \overline{x}$��$\pi^{-1}(u)$�����ΤȤ�����������롥
���ΤȤ�������ã��$\overline{x}$������ѥ��Ȥʵ�Υ���֤Ȥʤ�褦��
$\overline{x}$��˰���������롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 4.4B.} $\pi(R(f))$��$\overline{X}$�δ�����Ϣ����ʬ����Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $U \subset X$��$\partial U \cap R(f) = \emptyset$
�ʤ볫����Ȥ��롥$x \in \pi^{-1}(\pi(U))$�Ȳ��ꤷ, $y \in U$��
$\pi(y)=\pi(x)$�Ȥ��������ΤȤ�$x=y$�Ǥ��뤫$x$��$y$��$R(f)$��
Ʊ����ʬ��°�����ɤ��餫�Ǥ��롥�ɤ���ˤ��Ƥ�
(��Ԥξ��$\partial U \cap R(f) = \emptyset$���Ѥ���), 
$x \in U$�Ǥ��롥������, $\pi^{-1}(\pi(U)) = U$�Ǥ���, 
�Ȥ��˳����Ƥ��롥$\pi(R(f))$�Σ��Ĥ�����Ϳ����줿�Ȥ�, 
$R(f)$�Σ��Ĥ���ʬ���б����롥������${\rm Comp} \ R(f)$��
°����褦��$X$���Ǥʳ���������ӳơ�����ʬ�ΰ�Ĥ�ޤ�褦�ˤ��롥
���ΤȤ�����飲�Ĥγ�����������ǤǤ��ä�$\overline{X}$�ˤ�����
���Ǥ���, $\overline{x} \backslash \pi(R(f))$��˶�������ġ�
�ޤ��ơ���$\pi(R(f))$���Ϳ����줿���ΰ�Ĥ�ޤࡥ
������$\pi(R(f))$�ϴ�����Ϣ��Ǥ��롥\hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ��� 4.4C.} $\overline{x} \in \overline{X}$���Ф���, 
$\hat{f} (\overline{x}, t) \equiv \pi (\pi^{-1} 
(\overline{x}) \cdot t)$��������롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ����.} ���٤Ƥ�$\overline{x}$�����$t$���Ф���, ����
$\hat{f} ( \overline{x},t)$�Ϥ��礦�ɰ����������롥�ޤ�
$\overline{x} \in \hat{f}( \overline{x}, t)$�Τ����ɬ�׽�ʬ����
$\overline{x} \in \pi(R(f))$�Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $\overline{x} \not\in \pi(R(f))$�ʤ�, 
$\pi^{-1}(\overline{x})$, �������ä�$\pi^{-1}(\overline{x}) \cdot t$��
$R(f)$��°���ʤ�������Ĥ����������롥���ΤȤ�
$\pi(\pi^{-1}(\overline{x}) \cdot t)$��$\overline{x}$�ˤ�
�������ʤ�������Ĥ����������롥$\overline{x} \in \pi(R(f))$�ʤ�, 
$\pi^{-1}(\overline{x})$��$f$�Τ�Ȥ����ѤǤ���, ������
$\pi^{-1}(\overline{x}) \cdot t = \pi^{-1}(\overline{x})$����
$\hat{f}(\overline{x}, t) = \{ \overline{x} \}$�Ǥ��롥\hfill $\Box$

\vspace{0.2cm}
\noindent
{\bf ��� 4.4D.} 
$\overline{f}: \overline{X} \times R \rightarrow \overline{X}$��
$\overline{f} (\overline{x},t) \in \hat{f} (\overline{x}, t)$��
������롥$\overline{f}$��$f$�θ�����ʬ�ȸƤ֡�

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ����.} $\overline{f}$��$\overline{X}$���
$f > \overline{f}(\pi)$�ʤ����ή�Ǥ��롥$\overline{\overline{f}}$
��$f$�˻��ۤ����Ǥ�դθ���ή�ʤ�, $\overline{f}$��
$\overline{\overline{f}}$����ۤ��롥

�Ȥ���, $\overline{f}$����ư����$R(f)$����ʬ�Ȱ��а���б����롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. ������, ���ο޼����Ĵ��Ǥ��롥
%
\renewcommand{\normalbaselines}{\baselineskip20pt
  \lineskip3pt \lineskiplimit3pt}
\newcommand{ \mapright }[1]
{  \smash{ \mathop{ \hbox to 1cm{\rightarrowfill} } \limits^{#1} }  }
%
\newcommand{ \mapleft }[1]
{  \smash{ \mathop{ \hbox to 1cm{\leftarrowfill} } \limits_{#1} }  }
%
\newcommand{ \mapdown }[1]
{  \Big\downarrow\llap{ $\vcenter{\hbox{$\scriptstyle#1\,$} }$  }  }
%
\def\lmapdown#1
{  \Big\downarrow\llap{ $\vcenter{\hbox{$\scriptstyle#1\,$} }$  }  }
%
\def\rmapdown#1
{  \Big\downarrow\rlap{ $\vcenter{\hbox{$\scriptstyle#1\,$} }$  }  }
%
\newcommand{\mapup}[1]
{  \Big\uparrow\rlap{ $\vcenter{\hbox{$\scriptstyle#1 $ } }$  }  }
%
$$
\begin{array}{ccc}
X \times R & \mapright{f} & X \\
\rmapdown{\pi \times {\rm id}} & & \rmapdown{\pi} \\
\overline{X} \times R & \mapright{\overline{f}} & \overline{X} \\
\end{array}
$$
������$\overline{f}$��ή��ʤ�, �����$f$�ˤ�äƻ��ۤ���롥
�դ�����������, ���٤Ƥ�$\overline{x},t_1$�����$t_2$���Ф���
$\overline{f}(\overline{x}, t_1+t_2) = 
\overline{f}(\overline{f}(\overline{x},t_1),t_2)$�����
$\overline{f}(\overline{x},0) = \overline{x}$�Ǥ��롥

$\overline{x}_n \rightarrow \overline{x}$�����$t_n \overline t$�ʤ�, 
$\limsup \{ \pi^{-1}(\overline{x}_n) \} \subset \pi^{-1} 
(\overline{x})$�Ǥ��뤫��, 
$\limsup \{ \pi^{-1}(\overline{x}_n) \cdot t_n \} \subset 
\{ \pi^{-1} (\overline{x}) \cdot t$�Ǥ��롥������
$\limsup \{ \pi( \pi^{-1}(\overline{x}_n) \cdot t_n) \} = 
\limsup \{ \overline{x}_n \cdot t_n \} \subset \pi( \pi^{-1} 
(\overline{x}) \cdot t) = \overline{x} \cdot t$�Ǥ���, ��Ԥ����Ǥ��뤫��
$\overline{x}_n \cdot t_n \rightarrow \overline{x} \cdot t$�Ǥ��롥
������$\overline{f}$��Ϣ³��, ή���Ϣ³�Ǥ��롥

����$A$�����$A^*$��$f$�Υ��ȥ饯����-��ڥ顼���ȤǤ���Ȥ��롥
$R(f)$�Τɤ���ʬ��$A$��$A^*$��ξ��Ʊ���ˤ϶�����������ʤ�����, 
$\pi(A) \cap \pi(A^*) = \emptyset$�Ǥ���(4.4A)��������$\pi(A)$��
$\pi(A^*)$��$\overline{f}$�Υ��ȥ饯����-��ڥ顼���Ȥ�����
$\pi(\tilde{\alpha}(A,f)) = \tilde{\alpha}(\pi(A),\overline{f})$��
����(4.3D)���Ȥ���, 
$\pi({\rm Comp} \ R(f)) = \pi( \cup \{ \tilde{\alpha}(A,f) 
\backslash A | A��f�Υ��ȥ饯���� \}) = \cup \{ 
\tilde{\alpha}( -(A), \overline{f}) \backslash \pi(A) \} \subset 
{\rm Comp} \ R(\overline{f})$�Ǥ��롥�ޤ�4.3E���, 
$\pi(R(f)) \subset R(\overline{f})$�Ǥ��롥
������$\pi(R(f)) = R(\overline{f})$�Ǥ��롥

4.4C(����)���, $\pi(R(f))$��$\overline{f}$����ư���ν����
���礦�������������ν����4.4B�ˤ�괰����Ϣ��Ǥ��뤫��, 
$\overline{f}$�ϸ���ή�Ǥ��롥�ޤ�4.4C����, 
$R(\overline{f})$��$R(f)$����ʬ�δ֤ˤϰ��а���б������롥

$\overline{\overline{f}}$���̤θ���ή�Ȥ�, 
$f > \overline{\overline{f}} (h)$�Ǥ����, $R(f)$�γ���ʬ��
$R(\overline{\overline{f}})$��ñ������˼̤����Ϥ��Ǥ���(4.3E���, 
�ޤ�$R(\overline{\overline{f}})$����ư���������뤳�Ȥ��)��
���������$\overline{h}: \overline{X} \rightarrow \overline{X}$��
$\overline{h}(\overline{x}) = h(\pi^{-1}(\overline{x}))$��
����Ǥ��롥���ΤȤ���ñ�ˤ狼��褦��, $\overline{h}$��Ϣ³��, 
$\overline{f} > \overline{\overline{f}}(\overline{h})$�Ǥ��롥
\hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 4.4E.} $f$��$f'$��$\omega-$����ʤ�, �����θ�����ʬ�⤽���Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $f > f'(h)$�����$f' > f(h')$�Ȳ��ꤷ, 
$\overline{f}$��$\overline{f'}$�ϻ��ۼ���$\pi$��$\pi'$�θ�����ʬ�Ȥ��롥
���ΤȤ�, $f > \overline{f'} (\pi' \circ h)$�Ǥ��뤫��, 
$\overline{f} > \overline{f'}$�Ǥ��롥Ʊ�ͤ�
$\overline{f'} > \overline{f}$�Ǥ��롥\hfill $\Box$

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\large 
{\bf 5. Morseʬ��ȥե��륿���Ť�}
}

\vspace{0.2cm}
\noindent
{\bf ��� 5.1.} $s$���ॢ�ȥ饯�����Ƚ��ڥ顼�ζ�����ʬ�ʤ�, 
$s$�Ͻ�Morse����ȸƤФ�롥

$s$�����ȥ饯�����ȥ�ڥ顼�ζ�����ʬ�ʤ�, $s$��Morse����ȸƤФ�롥

\vspace{0.2cm}
\noindent
{\it Note.} ��Morse�����Morse����ζ�����ʬ�Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 5.2.} $s$����Morse����Ǥ��뤿���ɬ�׽�ʬ����
$s = \Omega (s,f) \cap \Omega (s,f^*)$�Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. Ǥ�դ��Ľ���$C$���Ф���$\Omega(C,f)$��
�ॢ�ȥ饯�����Ǥ���, $\Omega(C,f^*)$�Ͻ��ڥ顼�Ǥ��롥
������$\Omega(C,f) \cap \Omega(C,f^*)$��Morse����Ǥ��롥

$s = A \cap \hat{A}^*$�Ȳ��ꤹ�롥������$A$�Ͻॢ�ȥ饯������, 
$\hat{A}^*$�Ͻ��ڥ顼�Ǥ��롥$s$�����ѤǤ��뤫��$\omega(s,f)=s$��
����, �椨��$s \subset \Omega(s,f) \subset A$�����
$s \subset \Omega(s,f^*) \subset \hat{f}^*$�Ǥ��롥
������$s = \Omega(s,f) \cap \Omega(s,f^*)$�Ǥ��롥\hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 5.3.} $s$��$\overline{s}$����Morse�����
$s \cap R(f) = \overline{s} \cap R(f)$�ʤ�$s= \overline{s}$��

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. ����ѥ��Ȥʵ�Υ����$Y$��Ǥ�դ�ή��$f$���Ф���, 
$\Omega(R(f),f) = Y$�Ǥ��뤳�Ȥ�ѻ����Ƥۤ��������ʤ��, 
$\Omega(R(f)<f)$�Ͻॢ�ȥ饯�����Ǥ��롥$Y$�ˤ������佸�礬
���Ǥʤ����, ����������ѽ����ޤ�Ϥ��Ǥ��뤫��, 
�����Ϥɤ��$R(f)$�������˸��롥

����, $x \in R(f|\overline{s})$�ʤ�, $x$��$R(f)$�˴ޤޤ�, ��ä�
$\overline{s} \cap R(f)$�˴ޤޤ�, $s$�˴ޤޤ�롥������
$\Omega(s,f) \supset \Omega( R(f|\overline{s}),f) \supset 
\Omega(R(f|\overline{s}), f|\overline{s}) = \overline{s}$�Ǥ��롥
Ʊ�ͤ�, $\Omega(s,f^*) \supset \overline{s}$�Ǥ���, 
��ä�$s \supset \overline{s}$�Ǥ��롥$s$��$\overline{s}$������
���촹����з�̤��Ф롥\hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 5.4.} $s$��Morse����Ǥ��뤿���ɬ�׽�ʬ����
$s = \Omega (s,f) \cap \Omega (s,f^*)$�Ǥ��ä�, 
$s \cap R(f)$��$R(f)$����Ĥ��ĳ��Ǥ��뤳�ȤǤ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $s = A \cap \hat{A}^*$�Ȳ��ꤹ�롥������$A$��
���ȥ饯������, $\hat{A}^*$�ϥ�ڥ顼�Ǥ��롥5.3���, 
$s = \Omega(s,f) \cap \Omega(s,f^*)$�Ǥ��롥�ޤ�, 
$A \cap \hat{A}^* \cap R(f) = \tilde{\alpha} (A,f) \cap 
\tilde{\alpha} (\hat{A}^*, f^*) \cap R(f)$�Ǥ��롥
$\tilde{\alpha} (A,f) \backslash A$��$\tilde{\alpha} 
(\hat{A}^*, f^*) \backslash \hat{A}^*$��$R(f)$���Ǥ�����Ǥ��롥
������$s \cap R(f)$��$R(f)$����Ĥ��ĳ��Ǥ��롥

������$s \cap R(f)$��$R(f)$����Ĥ��ĳ��Ǥ���Ȥ�, 
$s = \Omega(s,f) \cap \Omega(s,f^*)$�Ȳ��ꤹ�롥$u$��$s$��ޤ�
�������$u \cap R(f) = s \cap R(f)$�ʤ��ΤȤ��롥
Comp$(u) \cap \Omega(s,f^*) \subset {\rm Comp} \omega(s,f)$�Ǥ��뤫��, 
�ǽ�ν���˴ޤޤ��$x$���Ф���$\Omega(s,f)$��ޤब$x$��ޤޤʤ�
���ȥ饯����$A(x)$�����롥
Comp$(u) \cap \Omega(s,f^*)$�ϥ���ѥ��ȤǤ��뤫��, 
$\Omega(s,f)$��ޤॢ�ȥ饯������ͭ�¤ν��ޤ�$A_1, \ldots, A_n$��
���ä�, �������佸���Comp$(u) \cap \Omega(s,f^*)$����ʤ���롥
���ΤȤ�, $A \equiv A_1 \cap \cdots \cap A_n$��$\Omega(s,f)$��ޤ�
���ȥ饯�����Ǥ��ä�Comp$(u) \cap \Omega(s,f^*)$���ǤǤ��롥

Ʊ�ͤ�, $\Omega(s,f^*)$��ޤ��ڥ顼$\hat{A}^*$��Comp$(u) \cap A$��
�Ǥʤ�Τ򸫤Ĥ��뤳�Ȥ��Ǥ��롥���ΤȤ�
$A \cap \hat{A}^* = \overline{s}$��$u$�˴ޤޤ��Morse����Ǥ��ä�
$s$��ޤࡥ�ޤ�, $s \cap R(f) = u \cap R(f) \supset \overline{s} \cap R(f) 
\supset s \cap R(f)$�Ǥ��뤫��$s \cap R(f) = \overline{s} \cap R(f)$��
���롥5.3���, $s = \overline{s}$�Ǥ���, ��̤��Ф롥$\Box$

\vspace{0.2cm}
\noindent
{\bf ��� 5.5.} $f$�˴ؤ���$X$��Morseʬ��Ȥ�Morse����ν���Ĥ����ޤ�
$\{ s_1, \ldots, s_n \}$�Ǥ��ä�, �Ĥ����������ΤǤ��롥

(a) $R(f) = \cup_1^n R(f) \cap s_i$, 

(b) $i<j$���Ф���, $\Omega(s_i,f) \cap s_j = \emptyset$����
$\Omega(s_j,f^*) \cap s_i = \emptyset$.

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���. } $f$�˴ؤ���$X$�Υե��륿���Ť��Ȥ�$f$�Υ��ȥ饯������ͭ�¤�
������$\emptyset = A_0, \ldots, A_n =X$�Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 5.6.} �ե��륿���Ť���Morseʬ��ˤϰ��а���б�������, 
�ե��륿���Ť�$\{ \emptyset = A_0, \ldots, A_n = X \}$�ˤ�
$s_i = A_i \cap A_{i-1}^*, i=1, \ldots,n$�ʤ�Morseʬ��
$s_1, \ldots, s_n$���б����롥

���ΤȤ�Morseʬ��$s_1, \ldots, s_n$�ˤϥե��륿���Ť�
$A_i = \Omega (s_1 \cup \cdots \cup s_i, f), i=1, \ldots, n$�����
$A_0 = \emptyset$���б����롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $\{ \emptyset = A_0, \ldots, A_n = X \}$��
�ե��륿���Ť��Ȥ��롥����ã$s_i \equiv A_i \cap A_{i-1}^*$�����餫��
�ߤ����Ǥ�Morse����Ǥ��ä�, $i<j$�ʤ餤�ĤǤ�
$\Omega(s_i,f) \cap s_j = \Omega(s_j,f^*) \cap s_i = \emptyset$��
��������$x \in R(f)$�Ȥ��롥���ΤȤ�����$i$���Ф���, $x \in A_i$����
$x \not\in A_{i-1}$�Ǥ��롥$x \not\in A_{i-1}$����$x \in R(f)$��
���뤫��$x \not\in \tilde{\alpha} (A_{i-1},f)$�Ǥ��롥
������$x \in A_{i-1}^*$�Ǥ���, �椨��$s_i = A_i \cap A_{i-1}^*$�Ǥ��롥������ 
$\cup s_i \cap R(f) = R(f)$�Ǥ���, $\{ s_i, \ldots, S_n \}$��Morseʬ��Ǥ��롥

����$\{ s_1, \ldots, s_n \}$��Morseʬ��Ȥ�, $i=1, \ldots, n$���Ф���
$A_i \equiv \Omega (s_1 \cup \cdots \cup s_i, f)$�����
$A_0 = \emptyset$�Ȥ��������ΤȤ�, $A_0, \ldots, A_n$�����餫��
�ॢ�ȥ饯�����θ�����Ǥ��롥

$j>i$�Ȥ��롥���ΤȤ�$k=1, \ldots, i$���Ф���
$\Omega(s_k,f) \cap s_j = \emptyset$�Ǥ��뤫��, 
$A_i = \Omega(s_1, \ldots, s_i, f) = \cup_{k=1}^i \Omega(s_k,f)$��
$s_j$���ǤǤ��롥������$A_i \cap R(f) = \cup_{k=1}^i s_k \cap R(f)$��
����, �����$R(f)$���Ĥ��ĳ���ʬ����Ǥ��롥$A_i$�Ͻॢ�ȥ饯������
���뤫��, $A_i$��ޤॢ�ȥ饯����$\overline{A}_i$��, 
$\overline{A}_i \cap R(f) = A_i \cap R(f)$�ʤ��Τ�����Ϥ��Ǥ��롥
�����5.3���$A_i = \overline{A}_i$�Ǥ���, �������äƥ��ȥ饯������
���롥������$\{ \emptyset = A_0, \ldots, A_n = X \}$�ϥե��륿���Ť��Ǥ��롥

$A_i$��$s_1, \ldots, s_i$��ޤ�$s_{i+1}, \ldots, s_n$���ǤǤ��뤫��, 
$A_i \cap A_{i-1}^*$��$s_i$��ޤ�Morse����Ǥ��ä�$j \neq i$���Ф���
$s_j$���ǤǤ��롥�����$A_i \cap A_{i-1}^* \cap R(f) = s_i \cap R(f)$��
��̣���뤫��, 5.3���$s_i = A_i \cap A_{i-1}^*$�Ǥ���, ���а��б���
��Ω���줿��\hfill $\Box$

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf References}
\end{center}

\re
[1] J.Auslander. Generalized recurrence in dynamical systems. {\it Contr. Diff. Eqs.} {\bf 3} (1964), 65-74.

\re
[2] R.Churchill. Isolated invariant sets in compact metric spaces. {\it J. Differential Equations}.

\re
[3] C.Conley. On the continuation of invariant sets of a flow. {\it Proc. Intern. Congr. Mathematicians} 1970. Gauthier-Villars, Paris(1971), 909-913.

\re
[4] C.Conley. On a generalization of the Morse index. {\it Proc. NRC-MRC Conf. on ordinary Differential Equations}, Washington, DC, June 1971. Academic Press, New York(1972), 27-33.

\re
[5] C.Conley. Some abstract properties of the set of invariant sets of a flow. {\it Illinois J. Math.} {\bf 16} (1972), 663-668.

\re
[6] C.Conley \& R.Easton. Isolated invariant sets and isolating blocks. Trans. Amer. Math. Soc. {\bf 158} (1971), 35-61. 

\re
[7] J.Montgomery. Some perturbation theorems for flows on a compact metric space. {\it Thesis}. University of Wisconsin(1971).

\end{document}