\documentstyle[12pt,twoside]{jarticle}
%
\oddsidemargin 0.0cm
\evensidemargin -1.0cm
\topmargin 0.0cm
%
\textwidth 16.8cm
\textheight 22.5cm
\footheight 0.5cm
%
\newcommand{\re}{\vspace{0.15cm}\par\hangindent=0.7cm\noindent}
%
\begin{document}
\setlength{\baselineskip}{3ex}
%
\begin{flushright}
ë����δ ��
\end{flushright}

\noindent
{\it Commun. Math. Phys.} {\bf 99} (1985), 177-195

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\large
{\bf ���ȥ饯�����γ�ǰ�ˤĤ��� \\
On the concept of attractor}
}

\vspace{0.3cm}
John Milnor
\end{center}

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf ����}

��ƻ�γΤ��餷����probable������Ū�դ�ޤ��˴�Ť���, �֥��ȥ饯�����פ�
��ǰ�ο�����������󾧤���. ��������Ͻ�ʬ�����Τ�, ��餫�ǥ���ѥ��Ȥ�
�ϳطϤʤ�ɤ������ĤΥ��ȥ饯��������Ĥ��Ȥˤʤ�. 

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf 0. ��}

���ȥ饯������20ǯ������Ƴ������ư���, �ϳطϤˤĤ��ƹͤ���Ȥ���, 
�������ν������Ϥޤ��ޤ����礷�Ƥ���. �ˤ⤫����餺, ���κǤ�ͭ�Ѥ������
�ؤ��Ƥ�, ���פ������ʤ�. 1��Ǥ�, ʸ����˸���뤤���Ĥ����������Ӥ���. 
2���, �ۤȤ�ɤɤν�����ˤĤ��Ƥ⤢�ƤϤޤ�����Ū�դ�ޤ��˴�Ť���, 
����������������󾧤���. �Ĥ����Ĥ����, ¿������ˤ�äƤ��������
������, �����Υ��ȥ饯�����ΰ������ȴ�椵��robustness�ˤˤĤ��Ƶ�������. 
3�Ĥ�����Ĥ���. �������Ǥ�, �ߤ��˶�̩�˴�Ϣ������˰���Ū��
���Ʊ�Τ����, ����Ǥϥƥ��ȥ������Ȥ���, ��֤μ�2��������Ĵ��, 
�軰�Ǥϥ��ȥ�󥸥��ȥ饯�����ˤĤ��Ƶ�������. 

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf 1�����}

Auslander, Bhatia, and Seibert(1964)�ˤ��С�

\begin{quotation}
\noindent������
����ʬ�������ΰ���Ū������Ĵ�٤�ˤ����ä�, ����ѥ��Ȥ����ѽ���
�ʤ�����׳������ߥåȥ�������ΰ��̲��Ȥߤ뤳�Ȥ��Ǥ���ˤΰ�������������
�濴Ū����̤���. ������������ѥ��Ȥ����ѽ���$M$�Υ��ס��Υհ�����
�ʤ��뤤��ñ�˰������ˤȤ�$M$�ν�ʬ�᤯�����ȯ����ɤε�ƻ��$M$�ΰ���Ϥ����
Ϳ������˵���α�ޤ뤳�ȤȤ���. ����$M$���������Ǥ���Τ�, 
���줬����Ǥ��ä�, ������֥��ȥ饯�����פǤ���Ȥ�, ���ʤ��, 
$M$�Ρ����������˵��Τ��٤Ƥε�ƻ��$M$�˶�Ť��Ȥ��Ǥ���. 
\end{quotation}

\noindent
(La Salle and Lefschetz(1961, p.31)����Ӥ���.) ���ȥ饯�����Ȥ������դ�
��餫��ή��ˤ������Ĥ���ư����Ŭ�Ѥ����, 
���Ǥ�Coddington and Levinson(1955)��Mendelson(1960)�ˤ�äƻȤ��Ƥ���. 
������, ʣ����������ʤ륢�ȥ饯������Auslander-Bhatia-Seibert��
��ʸ�ǽ���Ĵ�٤�줿�褦��. �����԰���ʾ��, ���ʤ��, ��ƻ��
���ȥ饯�����ζ᤯�����ȯ���ƥ��ȥ饯�����˺ƤӼ�«�������˱󤯤ޤ�
�⤭��äƤ������ͤ���. 4�����1����Ӥ��Ƹ���. ��������ϤȤ��ɤ�
���Ѥ���Ƥ��뤬��La Salle,1976, Hirsch,1984����Ӥ��֤�Smale,1977�򸫤��, 
��������������ƤϤ��餺, ���θ�Τ����Ƥο͡����������˲��餫�ΰ�������
�������Ƥ���. Smale(1967)��, �褯�ɤޤ�Ƥ�����γ���Ū����ʸ�ˤ�����, 
����$A$���ȥ饯�����Ȥ⤤���٤���ä�ʣ�����о�ʪ���������. Smale��
���ȥ饯������, ����ѥ��Ȥ�¿���Τ��餽�켫�Ȥؤγ�餫�ʼ���$f$�ˤ�����
���жʽ���פǤ��ä�, ��̩�ʵ�ƻ��ޤ�, ��������������Ȥ�����̩��, 
���ʤ����ʰ��������, ���ʤ��, ���ȥ饯����$A$�϶�˵$U$�����, $A$��
��$f^m(U), m>0$�ζ�����ʬ���������Ȥ������, ��������. 
Williams(1968) �ϴ�Ϣ�Ϥ��뤬, ��äȴ�ñ�������Ϳ������

\begin{quotation}
\noindent������
$\Omega(f)$����ʬ����$A$��, ���줬ʬ���Բ�ǽ(indecomposable)��, 
$f(U) \subset U$����
$\cap_{i>0} f^i(U) = A$�ʤ��˵$U$������Ȥ�, $f$�Υ��ȥ饯�����Ǥ���. 
\end{quotation}

������$\Omega(f)$��$f$����ͷ������Ǥ���, �ޤ�$f$���Ѥ��Ľ��礬ʬ���Բ�ǽ�Ȥ�, 
��Ĥ��Ǥ���������ʬ�����ľ�¤Ǥʤ��Ȥ��Ǥ���. 
���ȥ饯�����γ�ǰ�����ʶ�̣��Ƥӵ��������Τ�, 
Ruelle and Takens(1971)��ή�Τ���ήŪ�դ�ޤ���
�֥��ȥ�󥸡ץ��ȥ饯�����ˤ�äư�����������Ƥ��뤫�⤷��ʤ��ȼ�������
�Ȥ��Ǥ���. �¤�, ���ιͤ���ٻ�����������㤬���äȰ�����Lorentz(1963)��
��äƷ׻�����Ƥ���. Ruelle and Takens���Ѥ������ȥ饯�����������, 
Smale�Τ�Ʊ��, �������˴ؤ�, ���ʷ��򤷤Ƥ��롧

\begin{quotation}
\noindent������
��ͷ������$\Omega$������ʬ����$A$��, ��˵$U$�����ä�
$\cap_{t>0} D_{X,t} (U) = A$�ΤȤ����ȥ饯�����Ǥ���. 
\end{quotation}

\noindent
�����ǵ���$D_{X,t}$�ϥ٥��ȥ��$X$�ˤ�ä�����������餫��¿���ξ��ή���
ɽ��. (���ξ���������������̣���ʤ����Ȥ����դ��褦. ���Ȥ���, 
Besicovitch, 1937�ˤ���, ��������ư�ˤ���ʿ�̤�Ʊ����������ä�, 
�����Ǥʤ��ɤε�ƻ�⤤����Ȥ�����̩�Ǥ���ˤ⤫����餺, ñ�̱��פ���³��
���ζ�����ʬ�������Ǥ���. Anosov and Katok(1970)�⸫��.)

ɮ�Ԥ�������, �ʾ�󤲤�������ߤʸ���������Ȥ������ȤǤ���. �Ȥ����Τ�, 
������������餹���, ¿���ζ�̣�����㤬�ӽ�����Ƥ��ޤ�. �����, ¿����
���, ����������ˤ���������, ή�������������ɤäƹԤä��Ȥ���, 
�����Ƥ����������¤ˤϤɤ��عԤ��Τ��򵭽Ҥ��������ʸ��դ��ʤ��Ȥ�������
�����˴٤�. ���������������뤿���, ����Ǥ�, �������ˤ��Х��ȥ饯������
�ޤä���¸�ߤ��ʤ�����ɤ�ۤȤ�ɤ��٤Ƥε�ƻ��ͣ��Υ���ѥ��Ȥʽ����
��«����褦�ʶ�֤Σ��������ˤĤ��ƽҤ٤�. ��äȸ������ʤ������
Guckenheimer(1976)����Ф���. ����ˤ���, ���ȥ饯���������Ĥ٤��ʤΤϡ�

\begin{quotation}
\noindent������
$\ldots X$�ˤ�ä����������ή��Τ�Ȥ������������Ѥʶ�˵�δ��ܷ�. ��
\end{quotation}

Auslander, Bhatia, and Seibert�θ��դǸ�����, ����ϥ��ס��Υհ������ξ��
�Ǥ���(4�Ỳ��). ������������Ľ���Ͻ��פ�ͭ�ѤǤ���. �������ʤ���, 
���ס��Υհ���ʽ��礬���٤ƥ��ȥ饯�����ȸƤФ��٤����Ȥ�ɮ�Ԥ�
�פ�ʤ�. �㤬����. �����˼�«���밿��Ʊ���ߤν��ޤ��ǤϹ���������
���夹�뤬, ����¾�����Ǥϸ����������򾯤��󤶤���褦��ʿ�̾�β���ʬ����
�ޤ���ή���ͤ��褦. ���ΤȤ�, �����ϥ��ס��Υհ���Ǥ��뤫��
Guckenheimer������ˤ��Х��ȥ饯�����ȸƤФ��٤��Ǥ��뤬, ������¾��
�ɤ���������󤻤ʤ�. 

ʸ���ˤϤۤ��ˤ�¿���Υ��ȥ饯���������������. ɮ�Ԥι��ߤΤ�Τ�
Collet and Eckmann(1980)�ˤ���ΤǤ���. ���ϼ���$f$�Υ��ȥ饯������
������˼��Τ褦��������롧

\begin{quotation}
\noindent������
$f$�κ��ѤΤ�ȤǤ����Ƥ�����������������
\end{quotation}

���ιͤ����������ʸ�δ��äˤʤäƤ���. ��ä��̤ε����䤽��¾�������
�ؤ��Ƥ�, Conley(1978), Guckenheimer and Holmes(1983, 5.4��), Kan(1984),
Ruelle(1981,1983)��Zeeman(1983)�򻲾Ȥ��Ƥۤ���. 

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf 2�����ȥ饯����, �˾����ȥ饯����, �������˸½���(likely limit set)}
��
$M$���餫�ǥ���ѥ��Ȥ�¿���ΤȤ���. ���������äƤ�褤. $f$��$M$����$M$��
��ؤ�Ϣ³�����Ȥ���. ����$f^n = f \circ \cdots \circ f$��$f$��$n$���ܤ�
�����֤��Ȥ���. 
��$x \in M$��$\omega$�˸½���$\omega(x)$��$x$����³��������
$x, f(x), f^2(x), \ldots$�Τ��٤Ƥν������ν��ޤ�Ǥ��뤳�Ȥ�
�פ���������. �������$M$�˲��餫�ε�Υ�����֤�, $\omega(x)$��, $f^n(x)$����
$S$�ΰ��ֶᤤ���ޤǤε�Υ��$n \rightarrow \infty$�ΤȤ������˼�«����
�褦�ʺǾ����Ľ���$S$�Ȥ��Ƥ⵭�ҤǤ���. $M$���Ϣ³��ή��ξ���ޤä���
Ʊ�ͤ�$\omega$�˸½��礬����Ǥ���. $\omega(x)$�Ͼ�˶��Ǥʤ��Ľ���Ǥ��ä�, 
$\omega(f(x)) = \omega(x)$�Ǥ��뤳�Ȥ����դ��褦. �����, $\omega(x)$�Ϥ��Ĥ�
��ͷ������$\Omega(f)$�˴ޤޤ��. 
   
$M$���, �ɤ�ʺ�ɸ��˵�����¤��Ƥ���١���¬�٤�Ʊ�ͤ�¬��$\mu$�����ܤ�. 
�����$1$��ʬ����Ѥ��Ƥޤ��ϥ꡼�ޥ���̤�Ʊȼ�������ѷ������Ѥ��ƹ���
�Ǥ���. ����Τɤ�¬�٤��Ѥ��뤫������Ǥʤ�. �ʤ��ʤ�, �����Ƥ���¬�٥�����
�����¬�����ν������̤������������Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{���}. ����ʬ����$A \subset M$�ϼ�����Ĥξ����������Ȥ�
\underline{���ȥ饯����}�ȸƤФ��: 

(1) \underline{�۰�����}(realm of attraction) $\rho(A)$, 
���ʤ��$\omega(x) \subset A$�ʤ���$x \in M$���٤Ƥν���, 
�ϸ�̩������¬�٤����. 

(2) ��̩�˾������Ľ���$A' \subset A$��$\rho(A')$��$\rho(A)$��¬�٥����ν���
��������������ư��פ����ΤϤʤ�. 

\vspace{0.3cm}
���ξ���, �Ǥ��������Ф줿����$A$�˵۰�������Ψ�����Ǥ��뤳�Ȥ�
����, ����ξ���, $A$�Τɤ���ʬ���ܼ�Ū������̤��Ƥ��뤳�Ȥ���äƤ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}��ʸ���Ǥ�, �դĤ�, ����$\rho(A)$��������ξ��ˤ�
�֥٥������(basin of attraction)�Ȥ�Ф�, �㼡�γ�餫��¿���Τξ��ˤ�
�ְ���¿���ΡפȸƤФ�Ƥ���. �������Ѹ���򤱤��Τ�, �椬����$\rho(A)$��
���̤˳�����Ǥʤ���(3�Ỳ��), ��������㼡��¿���ΤǤ�ʤ�����Ǥ���. 
Ǥ�դ��Ľ���$A$��Ϳ����줿�Ȥ�, $\rho(A)$��ɬ��Ū�˥ܥ�뽸��(���뤤��
���Τ˸�����, �Ļ��Ĥ�$\sigma$����ѥ��Ƚ���ζ�����ʬ)�Ǥ��뤳��, �������ä�
��¬�Ǥ��뤳�Ȥ�Τ����Τ��ưפǤ���. 

���ȥ饯�����δ���Ū�����ϼ����̤�Ǥ���. ���ȥ饯����$A$��ɬ�����Ǥʤ�
�Ľ���Ǥ��ä�, ��ͷ������$\Omega(f)$�˴ޤޤ�, $f(A) = A$�Ǥ���. 
���ȥ饯������ͭ�¸Ĥ��¤Ϥޤ����ȥ饯�����Ǥ���. 
��äȰ��̤�, ���ȥ饯������Ǥ�ոĤ��½��������ϥ��ȥ饯�����Ǥ���. 
�����ϴ�ñ�Ǥ���. ���ȥ饯���������Ĥ�¸�ߤ��뤳�Ȥ򼨤������, 
�Ȥ��˽��פʥ��ȥ饯�����������褦. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{���}����˸½���(likely limit set)$\Lambda = \Lambda(f)$�Ȥ�
¬�٥����ν���γ��ˤ���ɤ���$x \in M$���Ф��Ƥ�
$\omega(x) \subset \Lambda$�ʤ����������$M$�κǾ�������ʬ����Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 1.} ��˸½���$\Lambda$�Ϥ�������������Ƥ���, $f$�Υ��ȥ饯����
�Ǥ���. ����, $\Lambda$��¾�Τ��٤Ƥ�ޤ�ͣ��κ���Υ��ȥ饯�����Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{�����Υ����å�}. $\{ U_i \}$��$M$�γ���ʬ����ã�βĻ���Ȥ�, 
$U$�ϤۤȤ�ɤ��٤Ƥ�$x$���Ф���$U_i \cap \omega(x) = \emptyset$�Ǥ���褦��
$U_i$���½���Ȥ���. ���ΤȤ�, �ۤȤ�ɤ��٤Ƥ�$x$���Ф���
$U \cap \omega(x) = \emptyset$�Ǥ���. 
$U$���佸��Ϥ��޵��Ƥ�����˸½���Ǥ���. ������ε����ϰ�ľ���Ǥ���. 
\hfill  $\Box$

\vspace{0.3cm}
$f$����¬�����Ǥ����, ���ʤ��, �Ʋ�¬�ʽ���$S$���Ф���
$\mu(S) = \mu(f(S))$�Ǥ����, $\Lambda(f)$��¿����$M$���Τ�������. �����, 
�ƥ��ȥ饯������¬�٥����ν��������Ƥ��줾��۰����ڤȰ��פ���. 
���ξ��, ���μ�ι�¤ʪ�Ϥ��֤󤽤�ۤɶ�̣������ʤ�. �������ʤ���, 
$\Lambda$��$M$�ο���ʬ����ΤȤ���, �ۤȤ�ɤ��٤Ƥε�ƻ������Ū�դ�ޤ���
Ĵ�٤뤿��Τ褤ƻ��ˤʤ�. 

��äȰ���Ū�˥��ȥ饯����������������������. $S \subset M$��¬������
Ǥ�դ���ʬ����Ȥ���Ȥ�, $S$�ΤۤȤ�ɤ��٤Ƥ���$x$��$\omega(x)$��ޤ�$M$��
�Ǿ�������ʬ����Ȥ���, $\Lambda(f,S)$���������. $\Lambda(f,S)$���������
�������Ƥ���, ���줬���ȥ饯�����Ǥ��뤳�Ȥ�Τ����Τ��ưפǤ���. 
����ε۰����ڤ�¬�٥����ν���������$S$��ɬ��Ū�˴ޤळ�Ȥ����դ��褦. 
���餫��, �ɤΥ��ȥ饯�����⤳�Τ�����ǹ����Ǥ���. �������̤ʾ�礬�Ȥ���
��̣����. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 2.} $S$��¬�����Υ���ѥ��Ȥʽ����$f(S) \subset S$���������Ȥ�, 
$S$��ɬ�����ʤ��Ȥ��ĤΥ��ȥ饯������ޤ�. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. �ʤ��ʤ�, $\Lambda(f,S)$�ϥ��ȥ饯�����Ǥ���, ���餫��
$S$�˴ޤޤ��. \hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
�Ȥ��˶�̣�����Τ϶˾����ȥ饯����, ���ʤ��, ���ȥ饯��������ʬ����Ȥ���
�ޤޤʤ����ȥ饯�����Ǥ���. ���餫��, �Ľ���$A \subset M$���˾����ȥ饯������
���뤿���ɬ�׽�ʬ����

(1) �۰�����$\rho(A)$������¬�٤����, 

(2) ��̩�˾������Ľ���$A' \subset A$��$\rho(A')$������¬�٤Ǥ���褦��
��Τ��ʤ�. 

\vspace{0.3cm}
$f$�ΰۤʤ�˾����ȥ饯�����ο��Ϲ⡹�Ļ��ĤǤ���. $A$���˾����ȥ饯������
�Ȥ�, $\rho(A)$��ΤۤȤ�ɤ��٤Ƥ�$x$���Ф���$\omega(x)$�����Τ�$A$��
���������Ȥ����դ��褦. $f$�ζ˾����ȥ饯�������¤���˸½���$\Lambda$���Τ�
��������, ���뤤�Ϥ����ʤ��Ȥ�$\Lambda$��Ǥ�����Ȥ�����̩�Ǥ���褦��
��������ζ�̣������礬����. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 3.} ��˸½���$\Lambda$��ͭ�¸Ĥθߤ����Ǥʶ˾����ȥ饯����
$A_1, \ldots, A_n$��ľ�¤Ǥ���Ȥ���. ���ΤȤ�, �б�����۰�����$\rho(A_i)$
��¬�٥����ν���������, �ߤ����Ǥ�¬�٤����ν���ؤ�$M$��ʬ����������. 
�ɤΥ��ȥ饯������˾����ȥ饯�������¤Ǥ���, $M$��ΤۤȤ�ɤ��٤Ƥ���
$x$���Ф��ƶ˸½���$\omega(x)$�Ϥ��礦�ɰ���$A_i$��������. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. ��$A_i$�ζ�˵$U_i$�������$f(U_i)$��$U_i, i \neq j$��
�ߤ����ǤǤ���褦�ˤ�, $U$��$U_i$���½���Ȥ���. ���ΤȤ�, 
�ۤȤ�ɤ��٤Ƥε�ƻ$x_0, x_1, \ldots$��$t$����ʬ�礭���Ȥ�, 
$x_t \in U$��������. ������, 
$t$����ʬ�礭���Ȥ�, $x_t$�Ϥɤ줫��Ĥ�$U_i$��°����. ���θ�ξ�����
��ľ���Ǥ���. \hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
�������꤬Ŭ�ѤǤ�����ˤ�, �˾����ȥ饯�����ν��ޤ������������ƻ���
�ʤ�. �������ʤ���, �˾���郎����Ω�Ĥ��Ȥ򼨤��Τ������񤷤�, �ޤ�, 
$f$���˾����ȥ饯��������ĤȤ����ݾڤ�ʤ�. ����������1���Ʊ���߼�����
ȿ��Ǥ���. �ޤ�, 2�ѿ���¿�༰����
$$
��(c,y) \mapsto (c, y^2 - c)
$$
�Ϥ�äȶ�̣����ȿ��Ǥ���(1�޻���). ��ʬ�ʿ��ζ˾����ȥ饯������
�ʤ��ä���, �˾����ȥ饯������Ƚ�äƤ��ʤ����, ��äȰ��̤Υ��ȥ饯������
��ǰ�ˤ�������ɬ�פ�����. 

\vspace{4cm}
\hspace*{6cm} ��1

\vspace{4cm}

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf 3. �ե�������Х��ॢ�ȥ饯����}

������Ǥ�, 2�������ˤ���ͣ��Υ��ȥ饯��������Ĥ���ɤ�, 1���
�����Ƥ�������ˤ��Фޤä������ȥ饯����������ʤ��褦�ʳ�餫�ʼ�����
���Ҥ��뤳�Ȥˤ�ä�, ��ǽҤ٤��ͤ�����������. $c = 1.401155189...$��
��2������$x \rightarrow x^2 - c$��̵���ΰۤʤ��������ͭ����褦�ʺǾ���
�¿��Ȥ���. 
���μ���$f(x) = x^2 - c$�ϥե�������Х���ˤ�ä�Ĵ�٤�줿. �Ȥ����Τ�, 
���μ����ϰ���ʼ���Ū�դ�ޤ����饫����Ū�դ�ޤ��ؤΰܹ����ˤ��뤫��Ǥ���. 
�����������򥳥�ѥ��Ȥˤ��뤿��, ������ޤ���$I$��$f(I) \subset I$
�ʤ��Τ�Ȥ�, $f$��$I$����$I$����ؤμ����Ȥ���(2�޻���). 

$f$�Τ�ȤǤΥ����ε�ƻ�ϤۤȤ�ɼ���Ū������Ǥ��ä�, 
�ʲ��Τ褦�˵��ҤǤ��� (Misiurewicz, 1979����). 
��$0 \leq a_0 \leq a_1 \leq a_2 \leq \ldots$ �Ϥ��٤ưۤʤ�. 
�������ʤ���, ��$a_m - a_n$��$m - n$�����ι⼡�Τ٤���
����ڤ��Ȥ��Ϥ��Ĥ����˾�����. ��������, ���ε�ƻ������$A$��
����ȡ��뽸��Ǥ��ä�, ����$a_n = f^n(0)$�򣲿�����$n$���б��������, 
$A$�ϣ��������δ�$\lim_{\leftarrow} ({\bf Z} / 2k {\bf Z})$��Ʊ��Ǥ���. 
$f$��$A$�����¤�����Τ�, �ƣ���������$1$��ä���Ʊ��������б����뤳�Ȥ�
���դ��褦. �������ä�, $A$�ˤϼ��������ʤ�. ������, $A$�γ�����Ǥ�դ˶ᤤ
�����������뤳�Ȥ򼨤���. �����μ�������$2$�Τ٤���μ��������, 
���٤��԰���Ǥ���. 

$f: I \rightarrow I$���ϳ�Ū��¤�ϼ����̤�Ǥ���. $I$�ΤۤȤ�ɤ��٤Ƥ�
�����$x_0$���Ф���, 
��³����$x_n = f^n(x_0)$�ϥ���ȡ��뽸��$A$�˼�«����. ������, 
$A = \Lambda(f)$��$f$��ͣ��Υ��ȥ饯�����Ǥ���. ������, �Ļ��Ĥ��㳰����
���ä�, ��������³������$A$�˼�«���ʤ�. �����, �������㳰����$I$�����
������Ȥ�����̩�Ǥ���. �ʤ��ʤ�, Guckenheimer(1979)�ˤ���, $f$�ϼ���Ū��
���ȥ饯����������ʤ�����ɤ��Ǥ�դ˾����������$U \subset I$��ȤäƤ�, 
���ΰ��뾭�����$f^n(U)$��������ޤफ��Ǥ���. ������ޤळ�ζ�˵���
�������˼̤����褦����$x \in U$��Ȥ��, $\omega(x)$��$A$���Ǥʼ�����ƻ
�Ǥ��뤳�Ȥ��狼��. ������, $A$�Ϥ��������������Ǥʤ�. 

\vspace{3.5cm}
\hspace*{6cm} ��2

\vspace{3.5cm}
������, $A$�ϥ��ס��Υհ���Ǥ���, �ºݤ�, �������ʽ���θ�����
��nested sequence�ˤζ�����ʬ��������. �㳰������̩�ʽ���Ǥ���ˤ�
������餺, $A$�ؤμ�«�η����Ϥ����ƶ���. $U$��Ǥ�դ˾�����$A$�ζ�˵
�Ȥ���, ����˾�������˵$V$��$f(V) \subset V$�ʤ��Τ�Ȥ���. �����, 
$I$���Ǥ�դ���$x_0$�����ȯ������³����$x_n = f^n(x_0)$���ɤäƤ�����, 
���礦����Ĥβ�ǽ��������. ���ε�ƻ���ǽ�Ū�ˤ��γ�����$V$�˹Ԥ�������, 
���θ夺�ä�$V \subset U$��ª�����Ƥ��ޤ���, ���ޤ�$V$�γ��ˤ���ͭ�¸Ĥ�
�������Τɤ줫�˹Ԥ�������, ���θ�$V$�γ���ͭ�¼�����ƻ��ª�����Ƥ��ޤ���, 
�ɤ��餫�Ǥ���. ���β�ǽ���Ͻ����$x_0$����̩�ʳ�����˴ؤ��Ƶ�����, 
����β�ǽ���ϲĻ��ʤ�����Ȥ����¤ʽ����$x_0$�ν���˴ؤ��ƤΤߵ�����. 

��äȾܤ������������2�ǹԤ�. ή������򹥤��ɼԤΤ���˽Ҥ٤Ƥ�����, 
Kan(1984)��3�������γ�餫��ή������, �ۤȤ�ɤ��٤Ƥε�ƻ��
�֥���Υ��ɡ�, ���ʤ��, �ɽ�Ū�˥���ȡ��뽸���1����¿���Τ�ľ�Ѥ�
Ʊ��ʤ�ΤǼ�����ƻ���Ĥ�ޤޤ�, �����������ƻ�ˤ�ä�Ǥ�դ˶᤯
����Ǥ�����, �˼�«����褦��, �桹�Τ�ΤȻ�����򵭽Ҥ��Ƥ���. 
���������ס��Υհ���Ǥ��뤬�������ǤϤʤ�. 
(Grebogi, Ott, Pelikan, and Yorke(1984)�򻲾�, ��Ϣ���Ƥ��뤬, 
��ʬ��ǽ���μ������㤤���Bowen and Franks(1976)��Franks and Young
(�ץ�ץ���)�����Ҥ��Ƥ���.) �������Ǥʤ����Ȥ�, 
¾��¿���Υե饯���륢�ȥ饯�����Ȥⶦͭ�������Ǥ���Ȼפ���. 

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf 4. �������ȴ�椵}

$f: M \rightarrow M$�򰿤���ꤷ�������Ȥ���. �����Ʊ��, ����ʬ����
$A \subset M$��$f(A) = A$����������Τ�, $f(U) \subset U$��������Ǥ�դ˾�����
��˵$U$����ĤȤ�, ���ס��Υհ���(�ޤ��ֵ�ƻ����פȤ�)�ȸ�����. 
���ס��Υհ���Ǥ���Auslander-Bhatia-Seibert���, ���ʤ��, �۰�����
$\rho(A)$��������Ǥ��뤳��, ���������Ȥ�, �������ȸ�����. 
�������ξ��, ����$\rho(A)$�˴ޤޤ�뽸��$U$��Ȥ��, 
�ưפˤ狼��褦��, $A$������������
$U \supset f(U) \supset f^2(U) \supset \ldots$�ζ�����ʬ��������. 
��
���ȥ饯����������ΰ����˲��ΰ���������ݤ��Ƥ��ʤ����Ȥ����դ��褦. 
�������, ¿���ζ�̣�������ȥ饯�������������Ǥ��뤫, ���ʤ��Ȥ�
���ס��Υհ���Ǥ���. �������ʤ���, ���餫�ΰ�����������ΰ����Ȥ���
���������, ����Ū�ʾ���������Ȥ������ʤ��Ȥˤʤ�, ����ѥ��Ȥ�
¿���ξ�Τɤ�ʳ�餫�ʼ����⾯�ʤ��Ȥ��ĤΥ��ȥ饯��������Ĥ��Ȥ�
����Ω���ʤ��ʤ�. �����������������ñ���㤬����. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{�� 1}. $M$�ϼ¿���${\rm mod} \ 2 \pi$��Ȥä��ߤȤ�, 
$$
   f(\theta) = \theta + 1 - \cos (\theta) \ ({\rm mod} \ 2 \pi )
$$
�Ȥ���. ���ΤȤ�, ��ư��$\theta=0$��ͣ��Υ��ȥ饯�����Ǥ���. ����
���ȥ饯�����ϥ��ס��Υհ���Ǥʤ�. �ʤ��ʤ�, �����Ǥʤ���˵��$f$�ˤ�ä�
���켫�Ȥ���˼̤�����Τ��ʤ�����Ǥ���. (��3����Ӥ���. ���Τ褦��
��ư�������¦����פȵ��Ҥ��뤳�Ȥˤ���.) �¼ͱ���$R \rightarrow \infty$��
�ǤΤޤä���Ʊ�ͤ��㤬̵�±�����ͣ��Υ��ȥ饯�����Ȥ��ƻ��ļ���
$f(x) = x+1$�Ǥ���. Ʊ�ͤʰ������򼨤�ͭ̾�ʸ�ŵŪ�ե饯���륢�ȥ饯������
�㤬����. ���ʤ��, ����ȡ��뽸�礬ͣ��Υ��ȥ饯�����Ǥ���ߤΥ��󥸥��
(Denjoy) $C^1$�����Ǥ���(Schweitzer, 1974����). �¤�������Ū���㤬����. 
$|x| \leq 1$�ΤȤ�$f(x) = 4x(1-x^2)^2$ , ����ʳ��ΤȤ�$f(x) = 0$�Ȥ���. 
���ΤȤ�, ��������, ͣ��Υ��ȥ饯�����ϸ����Ǥ��뤬, ����ϸ�̩��ȿȯŪ��
��ư���Ǥ���. 

\vspace{2cm}
\hspace*{6cm} ��3

\vspace{1.5cm}
��1�δ�ñ���Ѽ郎����. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{�� 2}. �¿���${\rm mod} \ 2 \pi$��Ȥä��߾��, 
$f(\theta) = \theta + \sin^2(\theta)$�Ȥ���. ���ΤȤ�, $A$�ϣ���$0$��$\pi$
����ʤ�. ���줾��϶˾����ȥ饯�����Ǥ��뤬, �ɤ�������Ǥʤ�. 
�Ȥ����Τ�, �����ˤ�����Ǥ�ᤤ���Ǥ�����³�������⤦�����˼�«������
������. 

����¬�٤���ĥ��ȥ饯���������γ��ˤ���ɤ������۰�����ɬ�פϤʤ����Ȥ�
���դ��褦. ���Ȥ���, �ߤ�̵������ž�Ǥ�, �����Τ��˾����ȥ饯�����Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{�� 3}. Ulam-von Neumann ���ȥ饯��������$R \infty$���餽�켫�Ȥؤ�
��������$f(x) = 2x^2 - 1$��ͤ���. ���ΤȤ�, ���$I = [-1,1]$��
�ۤȤ�ɤ��٤Ƥ���$x$���Ф���, �˸½���$\omega(x)$�϶��$I$���ΤǤ���. 
����ξ�����ñ�̱߾�Σ�������$z \mapsto z^2$�˴ؤ����б����������˴�Ť�. 
���ʤ��, $f$��$I$�ؤ����¤�, $z$��ñ�̱߾��ư���Ȥ���, �б�
${Re} (z) \mapsto {Re} (z^2)$���������Ȥ����ѻ������Ѥ���. ����, 
$I$�γ��Τɤ����$x$���Ф��Ƥ�, $x$�ε�ƻ��̵�±��ȯ������. 
�������ä�, $\Lambda(f)$���԰���ʶ˾����ȥ饯�����Ǥ�����$I$��
����ʥ��ȥ饯�����Ǥ���̵�±�������ʤ�. 
$I$�γ�¦�Τɤ������$I$����ȿȯ�����. 

��������ɸ�Ѵ��ˤ�ä�, ���μ�����$x \mapsto x^2-2$�η��ˤǤ���. 
��äȰ��̤�, $c$��Ǥ�դΥѥ�᡼�����Ȥ���, ����$x \mapsto x^2 - c$��
�ͤ��뤳�Ȥ��Ǥ���. $c$�����$[-1/4, 2]$��°����Ȥ�, ���μ����ˤ�ͭ����
���ȥ饯���������ʤ��Ȥ��Ĥ���. ���μ����ˤ�ͭ���ʥ��ȥ饯���������
���������ʤ������Τ�ʤ�. �����, ������ƻ�Ǥ��뤫, ��֤�ͭ���¤Ǥ��뤫, 
���뤤��(��Ļ��Ĥ��㳰Ū�ʾ���)3��Τ褦�ʳ�����Ū�ʥ���ȡ��뽸���
����(���2������4����). ���֤�, �ۤȤ�ɤ��٤ƤΥѥ�᡼�������ͤ�
�Ф���, ����ͭ�����ȥ饯�������������Ǥ���. ������, ������Ū�ʾ��ˤ�
ñ�˥��ס��Υհ���Ǥ���, ���ʤ��Ȥ�Ļ��Ĥξ�礬���ä�, ���ס��Υ�
����Ǥ���ʤ�. ��������ˤ���Ĥζ˸�Ū�ʾ��, $c=-1/4$��$c=2$�ξ�礬
�ޤޤ��. �ޤ�, ����3����¦����ʵ�ƻ���б�����$c=7/4$�ξ�礬�ޤޤ��. 

��Ĥΰۤʤ�˾����ȥ饯������ɬ������ߤ����ǤǤʤ����Ȥ����դ��褦. 
������, ��Ĥζ˾����ȥ饯�����ζ�����ʬ�Ϥ��ޤ�˾�������, ¬�٤����ʤɤ��
���������۰����ʤ��Ϥ��Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{�� 4}. 3������$f(x) = 3\sqrt{3}(x-x^3)/2$����˸½����
��Ĥ��԰����
�˾����ȥ饯����$[-1, 0]$��$[0, 1]$�Ȱ���ʥ��ȥ饯����$\{ \infty \}$����
����. �����Ƿ���$3 \sqrt{3}/2$��Ȥä��Τ�, ������Ĥζ�֤Τɤ����
���Τˤ��켫�Ȥξ�˼̤����褦�ˤ��뤿��Ǥ���. ���ξ��, ���򤤤��Ȥ�, 
��ĤΥ��ȥ饯��������$[-1, 1]$���������Ǥ���. ($[0,1]$���˾����ȥ饯����
�Ǥ��뤳�Ȥξ����γ�ά�ϰʲ����̤�Ǥ���. �ޤ�, ���ζ�֤����¤���$f$��
�ѿ��Ѵ�$x = \sin^2 (\theta)$�ˤ�äƳ�������ˤʤ뤳�Ȥ���ǧ�Ǥ���. 
�������ä�, Li and Yorke(1978)�ˤ�ä�, ���μ����ϥ��١���¬�٤�Ʊ�ͤ�
���르��������¬�٤�ͭ����.)

���Τ褦����ˤ������԰������򵭽Ҥ���Τ�, Ʊȼ���륰��դ�������Τ�
���Ф��������Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{���}. ����$f$��Ʊȼ�������޼�(stability diagram)�Ȥ�
�ƶ˾����ȥ饯����$A_i$���Ф���ĺ��$a_i$����ģ�����ʣ�ΤǤ��ä�, ���Τ褦��
�դ����. $A_i$��Ǥ�դ˶ᤤ��$x$�����ä�, ���ζ˸½���$\omega(x)$��$A_j$��
����Ȥ��Ϥ��ĤǤ�ĺ��$a_i$�����̤�ĺ��$a_j$�˸����������Ĥ����դ�����. 
�ޤ�, $A_i$��Ǥ�դ˶ᤤ��$x$�����ä�, �����������ϰ��Ū��$A_i$�ΰ�����ꤷ��
��˵�γ��򤦤��Ĥ���뤬, �˸½���$\omega(x)$��$A_i$�Ȥޤ����Ȥ��Ϥ��ĤǤ�
$a_i$�򤽤켫�Ȥ˷�֥롼�פ�����. 

$A_i$�����ס��Υհ���ʤ�, �б�����ĺ������ɤ����̤�ĺ���˹Ԥ��դϤʤ�. 
4�Ĥ�����б��������޼���4�ޤ˼�����. 

\vspace{3cm}
\hspace*{6cm} ��4

\vspace{2cm}
����, ����$f$����ư��ä����Ȥ��ν���$\Lambda = \Lambda(f)$�Τդ�ޤ���
Ĵ�٤褦. ��Ĥ��Ľ���δ֤Υϥ����ɥ�յ�Υ(Hausdorff distance)�Ȥ�
�ɤ��餫�ν���������濴�Ȥ���Ⱦ��$\delta$���ĵ夬ɬ���⤦�����ν��������
�ޤ�褦��$\delta$�κǾ��ͤǤ��뤳�Ȥ�פ���������. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{���}. Ϳ����줿����$f$����˸½���$\Lambda = \Lambda(f)$��
���(robust)�Ǥ���Ȥ�����Τ�, $g$��$f$��$C^{\infty}$����Ǽ�«����
(�Ӥäݤ�������, ��$k \geq 0$���Ф���, $g$��$k$���ܤ���ʬ�����ͤ�$f$��
$k$���ܤ���ʬ�˼�«����)�Ȥ��Ͼ��$\Lambda(f)$��$\Lambda(g)$�Υϥ����ɥ��
��Υ�������˼�«����Ȥ��Ǥ���. Ʊ�ͤ�, $f$�Υ��ȥ饯����$A$�����ʤΤ�, 
$f$��$C^{\infty}$�᤯��Ǥ�դ�$g$�˥��ȥ饯����$A'$�����ä�, ���줬$A$��
�ϥ����ɥ�նᤤ�Ȥ��Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
���Υ��ȥ饯����$A'$��$A$������Ū�ˤޤä����ۤʤ����뤳�Ȥ����դ��褦. 
�ϥ����ɥ�ն��ܤξ��Ϥ������Ĥν��礬�׻����¸��Ǥ϶��̤��ˤ������Ȥ�
�ݾڤ��Ƥ�������Ǥ���. ���Ȥ���, ���ꣲ���, Ǥ�դ��������ʼ�����ƻ��
ɬ�����Ǥ���. �������ʤ���, ���ε�ƻ$A$��ϥ����ɥ�ն�����륢�ȥ饯����
$A'$��$A$�μ����Τ��������ܤμ�������Ĥ��⤷��ʤ���, ̵�¤μ�����
���äƤ��뤫�⤷��ʤ�. ��äȤ����̤β�ǽ����ʬ���Ǥ���. ���Ȥ���, 
����$x \mapsto x-x^3$��$x \mapsto x^2 - 3/4$�Τɤ����ͣ��ΰ����
ͭ����ư����ͭ��, ����������ư�Τ�Ȥ�ʬ������. ����Υե�������Х������
$f$��ͣ��Υ��ȥ饯����$\Lambda(f)$����Ǥ���. �ޤ�, $g$��$f$�˶᤯�Ƥ�
��˸½���$\Lambda(g)$������Ū��$\Lambda(f)$�Ȥޤä����ۤʤ�����. 
���Υ���ȡ��뽸��ϰ���ʼ�����ƻ�˴�ñ��������, �ޤ��ϥ��������ȥ饯������
ʣ����������. 

���ʥ��ȥ饯�����Ϥɤ����ס��Υհ���Ǥ����ͽ�ۤ����. ����ͽ�ۤ�
�������뤿���, ��1, 2, 3��4�ϰ���Ǥʤ�, ��ñ�˼�����褦��, 
���Ǥʤ����Ȥ����դ��Ƥ���. 

���ʤ��Ȥ�3����ΰۤʤä������ǥ��ȥ饯�����ϴ��Ǥʤ��ʤ�����. 
ñ�˾�ȯ���Ƥ��ޤ���, ��ä��礭�ʽ������ȯ���Ƥ��ޤ���, ��äȾ����ʽ����
���̤��Ƥ��ޤ�������. ���������ʥ��ȥ饯�����ξ��, ���ꣲ�ˤ�ä�, 
�Ǹ�β�ǽ������������������. �ˤ��Σ��Ĥβ�ǽ�������������㤬����. 
��������¦����ʥ��ȥ饯��������ļ���$x \mapsto x + x^2$��, ͣ���
���ȥ饯������̵�±�ˤ�������ˤ�ä�Ǥ�դ˶᤯��������. 
̵�±�����ͣ��Υ��ȥ饯������
������1��ʿ�԰�ư$x \mapsto x+1$��, �ɤε�ƻ����̩�Ǥ��ä�ͣ��Υ��ȥ饯������
����$R \cup \infty$���ΤǤ���褦��ʬ�������Ѵ�
$x \mapsto (1+x)/(1 - \varepsilon x)$�ˤ�ä�Ǥ�դ˶᤯��������. 
�Ǹ��, $c = 1.543689...$��������
$c^3 - 2c^2 + 2c -2 = 0$�μº��Ȥ���, $f(x) = x^2 - c$�Ȥ���. 
$f^4(0) = f^3(0) = - f^2(0)$�Ǥ���. ���ΤȤ�, $f$�ˤ���������ͣ���
ͭ�¥��ȥ饯����$A = [f(0), f^2(0)]$������. 
(��������4�ξ�����Ʊ�ͤǤ���.) ����, $f$��, ͣ���ͭ�¥��ȥ饯����$A_n$��
$0$��$n-2$�Ĥ���������ͣ�������$f^2_n(0)$�����������$n$��Ķ�����
��ƻ�Ǥ���褦��2������$f^n$����$f^3, f^4, \ldots$�ζ˸¤�������. 
������$A_n$�����Ƥ�$n$���Ф��Ƽ¼�Ū��$A$��꾮����. 

�ɤΥ��ȥ饯��������Ǥ��äƤ⿷�������ȥ饯�������������Ǥ��Ƥ��ޤ�
��������, ��˸½��礬���Ǥʤ����Ȥ�ͭ�����뤳�Ȥ����դ��褦. 
��Ȥ���, ����$f(x) = x + x^3$��ͣ��Υ��ȥ饯������̵�±�ΰ����
��ư���Ǥ��뤬, $f$��Ǥ�դ˶ᤤ�����Ǹ����ˤ⤦��Ĥΰ������ư����
���Ĥ�Τ�����. 

��������ư��ä����Ȥ��˥��ȥ饯���������Ǥ��Ƥ�, �ֶ��ġ�, ���ʤ��, 
���������ǽ�Ū��ƨ�����ޤ���Ĺ�������֤��δ�ª�����Ƥ����ΰ�, 
���Ĥ뤳�Ȥ������Grebogi, Ott, and Yorke, 1983���ȡ�. �ºݾ�α��Ѥ�
�����Ƥ�, ��ư�����˾�������ƨ�����ޤǤλ��֤�����Ĺ�����, 
���μ�ζ��Ĥ������Υ��ȥ饯��������̤���Τ��񤷤�. 

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf ��� 1. ����Ū�˸½���(Generic Limit Set)}

�������˸½���ΰʲ��Τ褦���Ѽ���������Ф��а����䤹��. ��$x \in M$��
��������������Ū��(generic)$x$�˴ؤ�������Ω�ĤȤϤ���������
�١����Baire�ˤΥ��ƥ��꡼�����ΰ�̣�ǤۤȤ�ɤ��٤Ƥ�$x$�ˤĤ���
����Ω�ĤȤ�, ���ʤ��, $M$�Τ�����Ȥ����¤���ʬ����βĻ��¤γ���
$x$������Ω�ĤȤ��Ǥ���. ����Ū�˸½���(generic limit set)
$\Gamma \subset M$��, ����Ū��$x$���Ф���
�˸½���$\omega(x)$��ޤ�褦��$M$���Ľ���Τ����Ǿ��Τ�Τ�
�������. ������Ū���ȥ饯�����פʤ복ǰ�⤢�뤬, ����������ɼԤ�Ǥ����. 

¿���ξ��, ��Ĥζ˸½���$\Gamma$��$\Lambda$�ϸߤ���������. �������ʤ���, 
���Ĥ⤽���Ȥϸ¤�ʤ�. ���椬����Ω�Ĥ���Τ褤Ƚ�����ɮ�Ԥˤ�ʬ����ʤ�. 
����$\Gamma$�������׻����䤹���褦��. �ʤ��ʤ�, $\Gamma$������Ͻ��˰���Ū��
����Τ��Ф���, $\Lambda$������ˤϰ����¬�������Ȥ��Ƥ���. ����, 
����$\Lambda$�����ϱ��Ѥκݤ�Ĵ�٤����Τ��餷������Ū�դ�ޤ��ˤ��̩�ܤ�
�ط����Ƥ���. �ޤ�, ����$\Lambda$�Ͽ��ͼ¸��κݤ˼ºݤ˿ޤ��񤱤�褦�ʲ�����
�ᤤ. 

������Ĥν���δ֤�����Ω�İ���Ū�ط���ɮ�Ԥ��Τ�ͣ��Τ�Τ�, ������ʬ
$\Gamma \cap \Lambda$����˶��Ǥʤ����ȤǤ���. ���Τ��Ȥ�, 
����Ū��$x$���Ф��ƶ�����ʬ$\omega(x) \cap \Lambda$�����Ǥʤ�, 
�Ȥ�����ä����Τʼ�ĥ����ε���Ǥ���. 
����, $\Lambda$��Ǥ�դζ�˵$U$��Ȥä��Ȥ�, ��ƻ���Τ�$U$���ǤǤ���褦��
��$x$�ν�����Ľ���Ǥ��ä�, ¬�٤������Ǥ���, �����餤����Ȥ����¤Ǥ���. 
�������ä�, ����Ū����$x$�ε�ƻ�Ϥ��Τ褦�ʶ�˵�Τɤ�Ȥ����, ��ä�, 
$\omega(x) \cap \Lambda \neq \emptyset$��������. 

������ĤϤ��ʤ�������Ū����Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{�� 5}. ��˸½���$\Lambda$����̩��$\Gamma$����礭�����Ȥ�ͭ������. 
��������ξ�γ�餫�ʼ¿��ʹؿ���, ¬�����Υ���ȡ��뽸��˱�ä�
�˾��ˤʤ�, ����¾�����Ǥ��������׳�������������, ������Ĥζɽ������
$x_0$����Ĥ��, ��Ʊȼ�������ή��gradient flow�ˤ�ͤ��褦. ���ΤȤ�, 
$\Gamma = \{ x_0 \}$�Ǥ��뤬, $\Lambda$�ϥ���ȡ��뽸�����Τ�ޤ�. 
$C^1$���������horseshoe�ˤ�ޤ�Ʊ�ͤ��㤬Bowen(1975)�ˤ�ä�Ϳ����줿. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{�� 6}. ���ʤ��Ȥ�, ��ʬ�Բ�ǽ�ʼ���$f$�ξ��Ͻ���$\Lambda$����̩��
$\Gamma$��꾮�������Ȥ�ͭ������. ��ä����Τ˸�����, ��֤�Ϣ³������, 
����Ū��ƻ����̩�Ǥ���Τ�$\Gamma$�϶�����ΤǤ���, $\Lambda$������ȡ��뽸���
����褦�ʤ�Τ�����. ����, ��򤦤ޤ����������, $\Lambda$��, ���ߤ˱�����
�ߤ����ǤǤ��ä���ʤ��ä��ꤹ����Ĥޤ��Ϥ���ʾ�ζ˾����ȥ饯������
ʬ���뤳�Ȥ��Ǥ���. ��餫�ʼ����Ǥ�����������Ĥ�Τ����뤫�ɤ���, 
ɮ�Ԥ��Τ�ʤ�. 

���$[-1, 1]$���Ϣ³����¬����$F(x) = 2|x| - 1$����Ϥ�褦. 
���ΤȤ�, ����ۤɺ���ʤ�������褦��, ����Ū��$x$���Ф���, 
�˸½���$\omega(x)$�϶��$[-1, 1]$���Τ�����������䣲���ȡ�. 
������$\Gamma = [-1, 1]$�Ǥ���. ������, $M$��˥ܥ���Ψ¬��$\mu$��������, 
$\mu$�ݳ�Ψ����, �˸½���$\omega(x)$��$[-1, 1]$�ΰ�����ꤷ������ʬ�����
�򤱤�褦�ˤ��褦. $C$��, ��ƻ���Τ����$(1/2, 1]$�ȸߤ����ǤǤ���褦��
��$x$���٤Ƥ���ʤ��Ľ���Ȥ���. $C$������ȡ��뽸��Ǥ��뤳�Ȥ�ߤ�Τ�
�ưפǤ���. ����, $C$��ε�ƻ$x_0, x_1, \ldots$��Ʊȼ����֤������
('kneading sequence') ${\rm sgn}(x_0), {\rm sgn}(x_1), \ldots$����Ĥ�
$+1$���¤Фʤ��褦������Ǥ�����ͭ������. 
�������ä�, �椬$C$����������Ψ¬��$\mu_0$�������, 
����¬�٥����Ǥ���褦�ˤǤ���. ����, 
$$
  2 \mu_{n+1}(S) = \mu_n(F(S \cap [-1,0])) + \mu_n(F(S \cap [0,1])), 
$$
�Ȥ�����, ��ǼŪ�˳�Ψ¬�٤���������, $\mu_n$���椬$n$�Ťε���
$f^{-n}(C)$���Τ��������ʤ�褦�ˤ��褦. 
���ΤȤ�, ¬��$\sum \mu_n / 2^{n+1}$�϶��
$[-1, 1]$���Τ˰��פ���������. ����, $\mu$-��Ψ����, 
�˸½���$\omega(x)$��$C$�˴ޤޤ��. 
[$\mu_0$���ä����տ�����������, $\omega(x)$�ϼºݤ˳�Ψ$1$��
$C$��������������.] 
Ϣ³���ѿ��Ѵ�$y = \int_{-1}^x d \mu$�ˤ�ä�, $\mu$��ñ�̶�־��ɸ��Ū��
���١���¬�٤��Ѵ�����뤳�Ȥ����դ��褦. �������ä�, $F$��, $\Gamma$����̩��
$\Lambda$����礭��Ϣ³�����˰��궦��(topologically conjugate)�Ǥ���. 

Ʊ�ͤ�, $\hat{C}$��, ��ƻ�����$(-1/2, 0)$�ȸߤ����Ǥ���
���٤Ƥ���ʤ뽸��Ȥ�, $\hat{\mu}$��Ʊȼ����¬�٤Ȥ���
��Ψ$1$�Ƕ˸½���$\omega(x)$��$\hat{C}$���������ʤ�褦�ˤ���. 
��Ψ¬��$(\mu  + \hat{\mu})/2$���Ѥ���, �������Ĥι���ʪ���礹���, 
$\omega(x)$�ϳ�Ψ$1/2$��$C$��������, ��Ψ$1/2$��$\hat{C}$���������ʤ�. 
��������, 
���ξ��, ��Ĥζ˾����ȥ饯���������ä�, �����ϼ�����ƻ
$C \cap \hat{C} = \{ -3/5, 1/5 \}$�˱�äƤΤ߸���. 
$\hat{C}$��������Τ˾����礭��
���$(-4/4, 0)$���Ѥ��뤳�Ȥˤ��, �������������, ��Ĥζ˾����ȥ饯������
�ߤ����Ǥˤʤ�褦�ˤ�Ǥ���. 

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf ��� 2. ��֤μ���}

�ʲ��ε����϶���Guckenheimer(1979)[17]�˰�¸���Ƥ���. 

$x \mapsto f(x)$�ϰ���ͭ�¶��$I$�򤽤켫�Ȥ���ؼ̤��£��������Ȥ���. 
���ζ��$I$�Ȥ��ƶ���Τ�Τ�Ȥ��, $f: I \rightarrow I$��Guckenheimer��
Ĵ�٤����������°����. ���ʤ��, $f$��$C^3$��Ǥ��ä�, ������ͣ����׳�����
����, ����Х����ʬ����Ǥ��ꡧ
$$
    2 (Df) (D^3f) - 3 (D^2f)^2 < 0, 
$$
$f$��$I$��ξ����ü����, ��ʬ$Df(x_0) \geq 1$�ʤ�������ü���˼̤�. 
(�Ǹ�ξ�郎�ܼ�Ū�Ǥ��뤬, [17]�ǤϤ���򤦤ä�����Ȥ��Ƥ���.) 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 4.} �����ξ���������$f:I \rightarrow I$���Ф���, 
����Ū�˸½���$\Gamma$��ͭ�¼����μ�����ƻ�Ǥ��뤫, �׳����ε�ƻ�������
����������ȡ��뽸��Ǥ��뤫, �ޤ����׳����κǽ��$2n$�Ĥ��������ˤ�ä�
�¤���$n$�Ĥζ�֤�ͭ���¤Ǥ��ä�, �׳����򤽤������˴ޤफ, 
�Τ����줫�Ǥ���. �����, ����Ū��$x$���Ф���, $\omega$�˸½���
$\omega(x)$�����Τ�$\Gamma$��������. 

�Ϥ������Ĥξ��, ¬�٥����ν���γ��Τɤ��$x$���Ф��Ƥ�, 
$\omega(x) = \Gamma$�Ǥ���. ������, ��˸½���$\Lambda$��$\Gamma$��������, 
�˾����ȥ饯�����Ǥ���. �軰�ξ��ˤ⤳�Τ��Ȥ�����Ω�Ĥ��Ȥ��礤��
ͭ������Ȼפ��뤬, ɮ�ԤϤ����������Ǥ��ʤ��ä�(�����6����). 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. �ޤ�, $f$���������ȥ饯����, ���ʤ��, ���ꤢ�뤤��
��¦����ʼ�����ƻ, $A$����ĤȲ��ꤹ��. ���ΤȤ�, ��˵(�ޤ�����¦��˵)
$U$�����ä�, ���ͤ�$A$�˼�«���뵰ƻ���������������. [17,p.135�����2.8,3.1]
�ˤ���, ¬�٥������Ľ���γ��Τɤ����$x$���Ф��Ƥ�, $x$�ε�ƻ�Ϸ��
���ζ�˵$U$���������, �������ä�$A$�˼�«����. ���������餫��
$\Gamma = \Lambda = A$�Ǥ���. 

����ʸ�$f$�ϰ���ޤ�����¦����ʼ�����ƻ������ʤ��Ȥ���. ���ξ���
���������, ����ɬ�פǤ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\underline{���}. $f$������Ǥ���ȸ������, �����μ�����Ķ��$I$��
����$N \geq 2$�����ä�, ��³����$J, f(J), f^2(J), \ldots, f^{n-1}(J)$��
�ߤ����Ǥ����������, $f^n(J) \subset J$���������Ȥ��Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
����ȯ�ۤ�, �夬����Ω�ĤȤ�, $f$�˴ؤ��븦���, ��ʬ���$J$�ʤ��餽�켫�Ȥ�
��ؼ̤������Ȥߤʤ���$n$�Ťη����֤�$g = f^n$�˴ؤ��븦��˵���Ǥ���
���ȤǤ���. ����, $f$������ʤ�, [17, 2.6�����3.1]�Ǿ�������Ƥ����̤�, 
¬�٥������Ľ���γ��Τɤ����$x$���Ф��Ƥ�, $x$�ε�ƻ�Ϥ������$J$��������
����. �������ä�, ��˸½���$\Lambda = \lambda(f)$��$n$�Ť���
$\Lambda(g) \cup f(\Lambda(g)) \cup \ldots \cup f^{n-1}(\Lambda(g))$��
������. $\Gamma(f)$��Ʊ�ͤ˵��ҤǤ���. 

���$J$�϶���Ǥ���褦�����Ф�Ƥ���Ⱦ�˹ͤ��뤳�Ȥ��Ǥ���. ���ΤȤ�, 
��ñ��ʬ����褦��, $g = f^n$��$J$�ζ����������ζ������˼̤�. 
����ʼ�����ƻ���ʤ�����, �����Τ�����ư���ˤ�����$g$����ʬ�ϺǾ��Ǥ�
$1$�Ǥʤ���Фʤ�ʤ�. ����Х����ʬ����ξ��Ϲ����ˤ�ä���¸����뤫��, 
����������$g: J \rightarrow J$��Guckenheimer�ξ��򤹤٤�������. 

���ο���������$g: J \rightarrow J$�����Ǥ���ʤ�, ���ʤ����Ȥ�⤦���٤��. 
ͭ�²�δԸ������θ�˴���ʷϤ����뤳�ȤΤǤ����ͭ�²���ϡפȴԸ�������
̵�¤�³����̵�²���ϡפ���̤��ʤ���Фʤ�ʤ�(2��). ���餫��, 
ͭ�´���Ϥ����򤹤뤿��ˤ�, ����ʼ��������򤹤�Ф褤. 

������, $f$������Ǥ���Ȥ���. $\log(s) > 0$����ꥨ��ȥ��ԡ��Ȥ���
[17, 4.5], 
$f$��
$$ \begin{array}{lll}
  f(y) = c \cdot |y| - 1 & {\rm for} & |y| \leq 1/(s-1) , 
   \end{array}
$$
�η����ޤ��������˰��궦��Ǥ��뤳�Ȥ򼨤���. $f$������ޤ�����¦�����
��ư������ļ����ʾ���������Ƥ��뤫��, $f$����̩�����ΰ��ꥨ��ȥ��ԡ���
�����ͤФʤ�̤��Ȥ��ñ�˳Τ���뤳�Ȥ��Ǥ���. ������, 
Milnor and Thurston(1985)[35]���, $f$��$F$��Ⱦ����(semi-conjugate)�Ǥ���. 
�Ĥޤ�, ñĴ�ʼ���$h$���Ѥ���, $h \circ f = F \circ h$�Ƚ񤱤�. ������, 
�ɤ�ʵ���$h^{-1}(y)$�����Ǥ��뤫���$J$�Ǥ���. ����$h^{-1}(y)$����֤ʤ�, 
$y$�ε�ƻ���׳���$0$��ޤ�, ���ʤ��, $F^m(y) = 0$, �Ǥ�����. �Ȥ����Τ�, 
�����Ǥʤ��Ȥ����, $J$��Ǥ�դ�2����Ʊ�����������Ĥ��Ȥˤʤ뤬, 
�����[17,2.6]�ˤ�ä��Բ�ǽ�Ǥ���. �ºݤ�, ���$f^{m+1}(J)$��$h$�Τ�Ȥ�
�����˼̤���뤫��, ��ε�ƻ�ϰ��٤ʤ餺$0$��ޤ�. ������, ����$1$���
�礭��$n$���Ф���$F^n(0)$��$0$�ˤʤäƤ��ޤ�. �������ä�, $f^n$�϶��
$h^{-1}(0)$�򤽤켫�Ȥ���˼̤����Ȥˤʤ�, $f$�ϲ���ˤʤäƲ����ȿ����. 
����̷��ˤ��, $h$������Ʊ������Ǥ��ä�, $f$��$F$�˰��궦��Ǥ��뤳�Ȥ�
�����줿. 

��������, �ޤ�������$F$��Ĵ�٤�Ф褤���Ȥˤʤä�. 
��Ĺ��$s$��$\sqrt{2}$����礭��
�Ȳ���Ǥ���. �Ȥ����Τ�, �����Ǥʤ��Ȥ����, $F$������Ǥ��뤳�Ȥ��ưפ�
�Τ������. ���ΤȤ�, $F$������Ū�˸½��礬���
$$
  A = [-1, s-1] = [F(0), F^2(0)], 
$$
�����������Ȥ򼨤���. ����, �ưפ˳Τ������褦��, $F(a) = A$�Ǥ���, 
�����$|y| < 1/(s-1)$��Ǥ�դ���$y$�ε�ƻ�Ϥ�����Ϥ�����ʬ���$A$��
ª�����Ƥ��ޤ�. 

$A$���餽�켫�Ȥؤμ���$F$��, �ʲ��Τ褦�ʶ��������������. Ǥ�դ���ʬ���
$J \subset A$���Ф���, ��������$n$�����ä�, $F^n(J)$�϶��$A$���Τ�������. 
�Ȥ����Τ�, $J$����ʬ�˾���������Ĥν���$J$��$F(J)$���Ȥ�ˤ�$0$��ޤޤʤ�
�Ȥ�, $F^2(J)$��$J$��꾯�ʤ��Ȥ�$s^2/2 > 1$�ܤ���Ĺ��. ������, $J$����³��
���ϻؿ��ؿ�Ū�˳��礷��, ���Ĥ���$F^{m-1}(J)$��$F^m(J)$���Ȥ��$0$��
�ޤ�褦�ˤʤ�, ����椨, $F^{m+1}(J) = A$�Ǥ���. 

�����������, ����Ū����$y$���Ф���, �˸½���$\omega(y)$�Ͻ���$A$���Τ�������. 
�ʤ��ʤ�, $\{ U_i \}$��$A$�γ���ʬ����δ�Ȥ����, ��ƻ��$U_i$�ȸ���
��$y$�ν������̩���ĳ��Ǥ���. ������, ����Ū��$y$�ε�ƻ�Ϥɤ�$U_i$�Ȥ�
����, �������ä�, $A$�ˤ�������̩�Ǥ���. �������ä�, ����Ū�˸½���
$\Gamma(F)$��$A$��������, ��äƳ�餫�ʼ���
$f$������Ū�˸½���$\Gamma(f)$���б�������$h^{-1}(A)$�Ǥ���. 
��äȤϤä�������ʤ�, $c$�����ʼ���$f$���׳����Ȥ���Ȥ�, $\Gamma(f)$��
$f(c)$��$f^2(c)$�ˤ�äƸ¤����Ķ�֤�������. Ʊ�ͤ�, ͭ�²������$f$��
����Ū�˸½�����׳�����Ŭ�����������ˤ�äƸ¤���ͭ�¸Ĥζ�֤��¤Ǥ���. 

��˸½���$\Lambda$�����ΤϤ��ä��񤷤��褦�˻פ���. $\Lambda$��
$\Gamma$����ʬ����Ǥ��뤳�ȤϾ�ε��������ưפ�ʬ���뤬, ɮ�Ԥϴ���ޤ���
ͭ�´���ʾ���, $\Lambda = \Gamma$�򤷤᤹���Ȥ��Ǥ��ʤ��ä�. 

�Ǹ��, �Ը�������ͭ�²�ǽ���餺, ̵�²�³���褦�ʾ���ͤ��ʤ����
�ʤ�ʤ�. ����̵�²���Ϥξ��, ͣ��Υ��ȥ饯����$A = \Lambda = \Gamma$��
���ä�, ����ȡ��뽸��Ǥ���, ͭ�±߷�$Z / n Z$�εն˸¤�Ʊ��Ǥ���Τ�
�ߤ�ΤϤ��䤹��. �����, ����$f$��$A$��ǳ�����Ū�Ǥ���, ���ζ˸·�����
���켫�Ȥؤβû�������$\alpha \mapsto \alpha + 1$���б�����. 
ͭ�±߷��Τ��Τ褦�ʵն˸¤Ϥɤ�ⵯ��������Τ�, ��Ļ��Ĥΰۤʤ��㤬����. 
�ܺ٤Ͼ�ά����. \hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
��ε������, $f$��������˴ؤ����Ҵ��ʰ�¸��([17]���������Ƥ���)��
���Ĥ����ɬ�׽�ʬ����$\Gamma$����֤�ͭ���¤Ǥ��뤳��, ���ưפ�ʬ����. 
Guckenheimer��Ĵ�٤���������ξ��, ����Ū�˰ۤʤ���Τդ�ޤ���������Ĥ���. 
$f$������Ū�ޤ��ϳ�����Ū�ʥ��ȥ饯����$A$����Ĥʤ�, 
$A = \Lambda(f) = \Gamma(f)$��¬�٥����ν���Ǥ���, $f$�Ͻ�����˴ؤ���
�Ҵ��ʰ�¸���������, $f | A$�ΰ��ꥨ��ȥ��ԡ��ϥ����Ǥ���. ���Τۤ��ξ���
���٤�, ����Ū�˸½����, ����¬�٤�ͭ�����֤ޤ��϶�֤��¤Ǥ���, 
������˴ؤ����Ҵ��ʰ�¸�������, $f | \Gamma(f)$�Υ���ȥ��ԡ��ϸ�̩��
���Ǥ���. ��ԤǤ�, $f$���ϳؤϥ�����Ū�ȸ����٤��Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{���}����֤μ£��������ξ��Ǥ�, ̤�������꤬�������󤢤�. 
���Ȥ���, ������Ū�ʥ������Ǥ�, $\Lambda = \Gamma$���ɤ���, ʣ����
���ȥ饯����������Τ��ɤ���, �������ɮ�Ԥ��Τ�ʤ�. Ʊ�ͤʤ��Ȥ���, 
��֤���$\Gamma$����ΤۤȤ�ɤ��٤Ƥε�ƻ��$\Gamma$��Ǥ�����Ȥ���
��̩��? 
��äȰ��̤�, $R \cup \infty$���餽�켫�Ȥؤμ����˴ؤ���
���δ���Ū����ˤɤ���ä�
�����Ƥ����Τ�ʬ����ʤ�. $f(x)$�Ͼ��ʤ��Ȥ⣲����ͭ���ؿ��Ǥ��뤫, 
��Υ���Х����ʬ��ͭ����Ȥ���. ���줫����˸½���$\Lambda(f)$��
$\Gamma(f)$�����������Ȥ��Ф�, ͭ�¸Ĥζ˾����ȥ饯�������¤Ȥ���
ɽ���뤫?  
Ʊ�ͤ�, ����$\Gamma(f)$��[��äȤ��äȾ��ʤ�$\Lambda(f)$��]�ɤ�ʤȤ���
���Ǥ��뤫����뤿�����ˡ�˴ؤ��Ʋ���ȯ�ۤ��⤫�Фʤ�. 
Guckenheimer�ιͤ�����������˴ؤ��Ƥ�, �Ϥä��ꤷ����¬��Ҥ٤�
���Ȥ��Ǥ���: 
���$[f(0), f^2(0)]$�����ʶ˾����ȥ饯�����Ǥ��뤿���ɬ�׽�ʬ����
�׳����ε�ƻ�����ζ����Ǥ�����Ȥ�����̩�Ǥ��뤳��, ��ͽ�ۤ����. 
(4���$x \mapsto x^2 - 1.543689 \ldots$�˴ؤ����������Ӥ���.)

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf ��� 3�����ȥ�󥸥��ȥ饯����}

���ȥ�󥸥��ȥ饯�����γ�ǰ��Ruelle and Takens(1971)�ˤ�äƵ��Ҥ��줿��, 
���֤�տ�Ū�����Τ��������Ƥ��ʤ�. ��Ȥ�Ȥε���������Ū�ȥݥ�������
��Ĵ���Ƥ���. ���μ���ؤΤ��Ф餷��������Ruelle�γ���Ū����(1979-1980)
�ˤ���. �����ǤϤष��������Ū���ϳ�Ū�դ�ޤ�����Ĵ����Ƥ���. 
Guckenheimer and Holmes(1983)�ϥ��ȥ�󥸥��ȥ饯��������Ū�ۥ⥯��˥å���
����ĥ��ȥ饯����, �������äƥ�����Ū�դ�ޤ��򤹤��ΤȤ����������. 

����Ū�ȥݥ������ޤ��ϥե饯��������ؤȥ��ȥ�󥸤��ϳ�Ū�դ�ޤ��δ֤ˤ�
ɬ���������դ����ʤ����Ȥ����դ��뤳�Ȥ����פǤ���. ���Ȥ���, �����
�ե饯���륢�ȥ饯�����ϰ���Ū������Ū�Ǥ��뤬, ���ꥨ��ȥ��ԡ���������
���ä�, �¤���̣�ʳ�����Ū�ϳؤ�ͭ����. ����, ����$S^1  \times [-1, 1]$����
���켫�Ȥؤμ���$(\theta, t) \mapsto (2 \theta, t/2)$�ϳ�餫��¿����
$S^1  \times 0$��ͣ��Υ��ȥ饯�����Ȥ��ƻ��Ĥ�, �ϳ�Ū�ʤդ�ޤ��ϴ�����
������Ū�Ǥ���. ����, ���μ����ϱߤξ��ɸ��Ū������¬�٤˴ؤ���
���르����Ū���ĺ���Ū�Ǥ���, ���Υ���ȥ��ԡ���ͭ����. ���������ư��ä���
�Ȥ��Τդ�ޤ���ʲ���Ĵ�٤褦. 
�����֤�����������˲���ʬ�����ޤ���ή����Ѥ���Ʊ�ͤ���Ȥ���, 
�ȡ��饹��Υ��Υ��ղ���ʬ����, ���뤤�����Ψ��¿���Τ�ñ���ܥХ�ɥ���
¬��ή��߾�Σ�������������˹ͤ��Ƥ�褤. 

������Ū��, ����Ū������Ū�Ǥ���ʤ���, �ܴۤ����˲��ϤǤ���ۤɴ�ñ��
���ȥ饯�������㤬����(Kaplan and Yorke, 1970). ����$S^1 \times R$����
���켫�Ȥؤμ���$f_0(e^{i \theta}, x) = (e^{2i \theta}, cx)$����Ϥ�褦. 
������, $c$��
$0 < c < 1/2$�ʤ�����Ǥ���. ���餫��, $f_0$����������ͣ��Υ��ȥ饯������
����. �Ȥ����Τ�, ���٤Ƥε�ƻ�ϱ�$S^1 \times 0$�˸���, �߾�ΤۤȤ��
���٤Ƥε�ƻ�Ϥ�����Ȥ�����̩�Ǥ��뤫��. ���Υ��ȥ饯����$S^1 \times 0$��
��餫��¿���ΤǤ��뤱��ɤ��ϳ�Ū�˥�����Ū�Ǥ���. ����$f_0$�˾�������ư��
�ä��Ƽ���
$$
   f_{\varepsilon} (e^{i \theta}, x) = 
(e^{2i \theta}, cx + \varepsilon \cos \theta) , 
$$
�ˤ���. ���ΤȤ�, ��餫��¿����$S^1 \times 0$�ϥե饯���륢�ȥ饯������
�Ȥä��ؤ����(5��). 


\vspace{3cm}
\hspace*{6cm} ��5

\vspace{3cm}
����򸫤뤿���, $x$��ɸ�Υ��������Ѵ��ˤ�ä�, $f_{\varepsilon}$�����
$$
    f_1 (e^{i \theta}, x) = 
\left( e^{2i \theta}, cx + \cos \theta \right) ,
$$
���Ѥ���. 

�軰���ѿ�$y$��Ƴ�����ƴ�ñ����, $f_1$��$S^1 \times R \times R$���餽��
���Ȥؤγ�餫�ʼ���
$$
   (e^{i \theta}, x, y) \mapsto 
(e^{2i \theta}, cx + \cos \theta, cy + \sin \theta), 
$$
�˳�ĥ����. $w = e^{i \theta}$�����$z = x + iy$�Ȥ�����, 
���μ����򣳼���¿����
$S^1 \times C$���餽�켫�Ȥؤμ���
$$
    F(w, z) = (w^2, cz + w), 
$$
�Ƚ񤱤�. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 5.} ͣ��Υ��ȥ饯����$A \subset S^1 \times C$�����ä�, 
���İ��ȤΡ�dyadic�˥���Υ��ɤ�Ʊ��Ǥ���, �������Ǥ��ä�, ����, 
���٤Ƥε�ƻ��۰�����. ��ä����Τ˸�����, $A$��Ǥ�դΥ���ѥ��Ȥʶ�˵
$K$���Ф���, ��³����$F^n(K)$��$A$�˼�«��, $S^1 \times C$�ΤۤȤ�ɤ��٤Ƥ�
��$(w, z)$���Ф���, $\omega$�˸½���$\omega(x)$��$A$��������. $F$��$A$��
���¤�����Τ�, ¬����Ū�˥���ȥ��ԡ���$\log 2$�Υ٥�̡������ե����Τ�
Ʊ�ͤǤ���褦��¬�٤򤳤ν���$A$�ϻ٤���. 

������dyadic����Υ��ɤȤ�, ��褹��Ʊ������ε���
$$
   S^1 \leftarrow S^1 \leftarrow S^1 \leftarrow \ldots, 
$$
�ζ˸¤Ǥ���. ������, ����ˤ�ä�, $\hat{S}$������, ñ�̱߾������
$\hat{w} = (w_0, w_1, w_2, \ldots)$��
$$
  w_1 = \pm \sqrt{w_0},  w_2 \pm \sqrt{w_1}, \ldots, 
$$
�ʤ��Τ�������. $A = g(\hat{S})$��Ϣ³����
$$
  g(\hat{w}) = (w_0, w_1 + cw_2 + c^2 w_3 + \ldots), 
$$
�ˤ��$\hat{S}$�������������. $|c| < 1/2$�Ȳ��ꤷ�Ƥ��뤫��, 
$g$�����������ߤǤ��뤳�Ȥ�Τ����ΤϤ��䤹��. 
(��äȴ�ĥ���, ����礭��$c$�Ǥ�
���Τ��ȤϳΤ������.) $F$��$A$�򤽤켫�Ȥξ��Ʊ��Ū�˼̤����Ȥ�
���դ��褦. ����, 
$$
 F((w_0, w_1 + cw_2 + c^2 w_3) = (w_0^2, w_0 + c w_1 + c^2 w_2 + \ldots), 
$$
�Ǥ��뤫��, $F$��$A$�ؤ����¤�, ���귲$?$���餽�켫�ȤؤΡ֥��եȼ���Ʊ����
$$
  (w_0, w_1, w_2, \ldots) \mapsto (w_0^2, w_0, w_1, \ldots), 
$$
���б�����. 

����, $S^1 \times C$���Ǥ�դν�ȯ��$(w, z)$���Ф���, $F^n(w, z)$�Ƚ���
$A$�ε�Υ��������Ū��(����Ǥ�դΥ���ѥ��Ȥʽ���ξ�ǰ��ͤ�)�����˼�«����. 
����, $\hat{S}$���Ǥ�դ���$\hat{w} = (w_0, w_1, \ldots)$�������
$w_0 = w$�Ȥ�, 
$g(\hat{w}) = (w_0, z_0) \in A$�Ȥ���. ���ΤȤ�, $F$�������Ĵ�٤��, 
$F^n(w, z)$����$F^n(w_0, z_0) \in A$�ε�Υ�����Τ�$c_n |z - z_0|$��������, 
$n \rightarrow \infty$�ΤȤ������˼�«���뤳�Ȥ��狼��. 

��äȴ�����Ū�˸�����, $k$��$1/(1-c)$����$1/c$�ޤǤγ������ΰ�������Ȥ�, 
$T$��$|z| \leq k$�ʤ뤹�٤Ƥ���$(w, z)$����������̣�εͤޤä��ȡ��饹
(solid torus)�Ȥ���. ���ΤȤ�, $F$��������2��$T$�򤽤�������Ʊ��Ū�˼̤�, 
$A$��$F^n(T)$���������θ�������������Ȥ��ưפ�ʬ����. ���η���, 
�㤬Smale(1967)��Ruelle and Takens(1971), Ruelle(1979-1980)�ˤ�ä�Ĵ�٤�줿. 

$F$��$A$�ؤ�����, �ޤ���Ʊ�ͤʤ��Ȥ���, $\hat{S}$�Υ��եȼ���Ʊ��, 
�Υ��르����Ū��
�դ�ޤ���Ĵ�٤뤿���, $w_n = \exp(\pi i x_n)$�Ȥ���, $\hat{S}$�γ�����
$(w_0, w_1, \ldots)$�Ƚ�. ��$x_0$��2��ˡ��$a_0 + a_1/2 + a_2/4 + \ldots$��
ɽ����, $x_1$��$a_{-1} + A_0/2 + A_1/4 + \ldots$ ��ɽ��, 
�⼡��$x_n$��Ʊ�ͤ�ɽ����. ��������, $\hat{S}$�Υ��եȼ���Ʊ����
�����ȣ��Σ��Ť�
̵�¤���$\ldots a, a_0, a_1, a_2, \ldots$�ξ�Υ٥�̡������եȤ��б�����. 

$A \subset S^1 \times C$�Υϥ����ɥ�ռ�����$1 - \log (2) / \log (c)$��
�׻��Ǥ���. ����ϸ�̩�ˣ��ȣ��δ֤ˤ���Τ�, $A$��Mandelbrot(1982)�ˤ�ä�
������줿�ե饯���뽸��Ǥ���. 

����, $A'$��$S^1 \times C$����$S^1 \times R$�ؤμͱƼ����Τ�ȤǤ�$A$��
���Ȥ���. ���ΤȤ�, $A'$������$f$�Υ��ȥ饯�����Ǥ��뤳�Ȥ�, ��ε�������
�ưפˤ狼��. ����, $A'$��Ǥ�դΥ���ѥ��Ȥʶ�˵$N$���Ф���, ��³����
$f^k(N)$��$A'$�˼�«����. �����, $A'$�ϥ���ȥ��ԡ���$\log 2$������¬�٤�
�٤��뤫��, $A'$��ΤۤȤ�ɤ��٤Ƥε�ƻ����̩�Ǥ���. ���Υ��ȥ饯����$A'$��
������Ȥ����¤Ǥ���. �ʤ��ʤ�, ����ϥϥ����ɥ�ռ���
$d \leq 1 - \log (2) / \log (c) < 2$�Υ���ѥ��Ȥʽ���Ǥ��뤫��. 
����, $A'$�ϳ�餫�ʳ������ؿ�
$$ \begin{array}{rl}
  g^n(\theta) =  & \cos ((\theta + 2 \pi n)/2) + 
                c \cdot \cos (( \theta + 2 \pi n)/4) + \\ 
  & c^2 \cdot \cos ((\theta + 2 \pi n)/8) + \ldots, 
   \end{array}
$$
�Υ���դ��¤�����Ȥ��Ƶ��ҤǤ���. ������, ������$n$�Ϥ��٤Ƥ������ξ��ư��. 
���ʰ����$n$��$m$�˶ᤤ�Ȥ��ˤϤ��Ĥ�$g^n$��$g^m$�˰��ͤ˶ᤤ����, Ǥ�դ�
��������$N$���Ф���, �ؿ�$g^N$������Ǥ���, �²���Ū�Ǥ���. ������«�Τ�Ȥ�, 
��ñ��$A'$����Ļ��Ĥΰۤʤ�ؿ�$g^N$�Υ���դ��¤Ǥ���, �ȸ������Ȥ��Ǥ���. 
��������, $A'$�ϳΤ���¿���ΤǤʤ�. ���Υϥ����ɥ�ռ�����
$1 - \log (2) / \log (c) > 1$�Ǥ���褦��. 
(Farmer, Ott, and Yorke, 1983����Ӥ���.) ����, $1$�˽�ʬ�ᤤ$c$�������
��������������, �б����륢�ȥ饯����$A'$�������ΰ��볫��ʬ�������Τ�
�ޤळ�Ȥ�������. (Frederickson, Kaplan, Yorke, and Yorke, 1983����.)

�߾�Σ��������������, �ȡ��饹�Υ��Υ��ղ���ʬ����
$(\phi, \psi) \mapsto (2 \phi + psi, \phi + \psi)$����Ϥ��Ʊ�ͤι�����
�Ԥ���, ����Ū�˥ȡ��饹$S^1 \times S^1$�����������ȥ饯����������. 
$\lambda = (\sqrt{5}-1)/2$�����������Ʊȼ���뾮�������θ�ͭ�ͤȤ���. 
���ΤȤ�, 
$\lambda  < c < 1$�ʤ餳�Υȡ��饹�Ϥ�����Ȥ�����ʬ�Բ�ǽ�ʻ�����¿����
$S^1 \times S^1 \times R$�������ޤ�Ƥ��뤬, $0 < c < \lambda^n$�ʤ�
$n$��Ϣ³��ʬ��ǽ�Ǥ���(Kaplan, Mallet-Paret, and Yorke(to appear)����).  

\vspace{1.0cm}

\begin{thebibliography}{}

   \bibitem{}  
Anosov, D.V., Katok, A.B.: New examples in smooth ergodic theory. 
{\it Trans. Moscow Math. Soc.}(1970) {\bf 23}, 1-35.

   \bibitem{}
Auslander, J., Bhatia, N.P., and Seibert, P.: Attractors in Dynamical 
Sysytems. {\it Bol. Soc. Mat. Mex.} {\bf 9} (1964), 55-66.

   \bibitem{}
Auslander, J., Bhatia, N.
Besicovitch, A.S.: A problem on topological transformation on the plane. 
{\it Fundam. Math.} {\bf 27} (1937), 61-65. 

   \bibitem{}
Bowen, R.: A horseshoe with positive measure. {\it Invent. Math.} {\bf 28} 
(1975), 203-204.\re
   \bibitem{}
Bowen, R.: Invariant measure for Markov maps of the interval. 
{\it Commun. Math. Phys.} {\bf 69} 
(1979), 1-17. 

   \bibitem{}
Bowen, R. and Franks, J.: The periodic points of maps of the disk and 
the interval. {\it Topology} {\bf 15} (1976), 337-342.

   \bibitem{}
Coddington, E. and Levinson, N.: {\it Theory of ordinary differential 
equations}, McGrawhill, New York, 1955.

   \bibitem{}
Collet, P. and Eckmann, J.-P.: {\it Iterated maps on the interval as
 dynamical systems}, Birkh$\ddot{\rm a}$user, Boston, 1980. 

   \bibitem{}
Conley, C.: Isolated invariant sets and Morse index, 
{\it C.B.M.S. Regional Lect.} {\bf 38}, A.M.S., 1978. 

   \bibitem{}
Farmer, J.D., Ott, E., and Yorke, J.A.: The dimension of chaotic
 attractors, {\it Physica} {\bf 7D}, 153-180(1983).

   \bibitem{}
Feigenbaum, M.: Quantitative universality for a class of nonlinear 
transformations, {\it J. Stat. Phys.} {\bf 19}, 25-52(1978); 
{\bf 21}, 669-706(1979).

   \bibitem{}
Franks, J. and Young, L.-S.: A $C^2$ Kupka-Smale diffeomorphism of 
the disk with no sources or sinks(preprint). 

   \bibitem{}
Frederickson, P., Kaplan, J. Yorke, E., and Yorke, J.: The Liapunov 
dimension of strange attractors, {\it J. Diff. Eq.} {\bf 49}, 
185-207(1983).

   \bibitem{}
Grebogi, C., Ott, E., Pelikan, S., and Yorke, J.: Strange attractors
 that are not chaotic, {\it Physica} {\bf 13D}, 261-268(1984). 

   \bibitem{}
Grebogi, C., Ott, E., and Yorke, J.: Crises, sudden changes in chaotic 
attractors, and transient chaos, {\it Physica} {\bf 7D}, 181-200(1983). 

   \bibitem{}
Guckenheimer, J.: A strange attractor, in {\it The hopf bifurcation and 
applications}(eds. Marsden and McCraken), Springer, Berlin, 1976, 
pp. 368-381.

   \bibitem{}
Guckenheimer, J.: Sensitive dependence on initial conditions for 
one-dimensional maps, {\it Commun. Math. Phys.} {\bf 70}, 133-160
(1979). 

   \bibitem{}
Guckenheimer, J. and Williams, R.F.: Structural stability of Lorentz 
attractors, {\it Publ. Math. I.H.E.S.} {\bf 50}, 59-72(1979).

   \bibitem{}
Guckenheimer, J. and Holmes, P.: {\it Nonlinear oscillations, 
dynamical systems and bifurcation of vector fields}, 
Springer, Berlin, 1983. 

   \bibitem{}
H\'{e}non, M.: A two-dimensional mapping with a strange attractor, 
{\it Commun. Math. Phys.} {\bf 50}, 69-77(1976). 

   \bibitem{}
Hirsch, M.: The dynamical system approach to differential equations, 
{\it Bull. Am. Math. Soc.} {\bf 11}, 1-64(1984)

   \bibitem{}
Jakobson, M.V.: Absolutely continuous invariant measures for 
one-parameter families of one-dimensional maps, 
{\it Commun. Math. Phys.} {\bf 81}, 39-88(1981). 

   \bibitem{}
Jonker, L. and Rand, D.: Bifurcations in one dimension, {\it Invent. 
Math.} {\bf 62}, 347-365(1981); {\bf 63}, 1-15(1981). 

   \bibitem{}
Kan, I.: Strange attractors of uniform flows, Thesis, Univ. Ill. 
Urbanana, 1984. 

   \bibitem{}
Kaplan, J.L., Mallet-Paret, J., and Yorke, J.A.: The liapunov dimension 
of a nowhere differentiable attracting torus, {\it Erg.Th. Dyn. Syst}
(to appear).

   \bibitem{}
Kaplan, J.L. and Yorke, J.A.: Chaotic behavior of multidimensional 
difference equations, pp. 204-227. In {\it Functional differential 
equations and the approximation of fixed points}
(eds. Peitgen and Walther), Lecture Notes in Mathematics, Vol. 730, 
Berlin, Springer, 1970. 

   \bibitem{}
Lanford, O.: A computor assisted proof of the Feigenbaum conjecture. 
{\it Bull. Am. Math. Soc.} {\bf 6}, 427-434(1982).

   \bibitem{}
La Salle, J.P.: The stability of dynamical systems, Reg. Conf. App. 
Math. {\bf 25}, S.I.A.M., 1976


   \bibitem{}
La Salle, J.P. and Lefschetz, S.: {\it Stability by Liapunov's 
direct method}, Academic Press, New York, 1961

   \bibitem{}
Li, T. and Yorke, J.: Ergodic transformation from an interval 
into itself, {\it Trans. Am. Math. Soc.} {\bf 235}, 183-192(1978). 

   \bibitem{}
Liapunoff, M.A.: Probleme generale de la stabilite du mouvement. 
{\it Annal. Math. Stud.} {\bf 17}, Princeton Univ. Press, 1947
(1907, translation from the 1892 Russian original). 

   \bibitem{}
Lorentz, E.N.: Deterministic nonperiodic flow, {\it J. Atmosph. Sci.} 
{\bf 20}, 130-141(1963). 

   \bibitem{}
Mandelbrot, B.: {\it The Fractal Geometry of Nature}, Freeman, 
San Francisco, 1982.  

   \bibitem{}
Mendelson, P.: On unstable attractors, {\it Bol. Soc. Mat. Mex.} 
{\bf 5}, 270-276(1960).

   \bibitem{}
Milnor, J and Thurston, W.: On iterated maps of the interval
(in preparation). 

   \bibitem{}
Misiurewics, M.: Invariant measures for continuous transformations 
of $[0,1]$ with zero topological entropy, pp. 144-152 of Ergodic theory, 
 Denker and Jacobs, Lecrue Notes in Mathematics, Vol. 729, Berlin, 
Springer, 1979. 

   \bibitem{}
Misiurewics, M.: Absolutely continuous measures for certain maps of 
an interval, {\it Publ. Math. I.H.E.S.} {\bf 53}, 17-51(1981). 

   \bibitem{}
Nusse, L.: Chaos, yet no chance to get lost, Thesis, Utrecht, 1983. 

   \bibitem{}
Ruelle, D. and Takens, F.: On the nature of turbulence, 
{\it Commun. Math. Phys.}  {\bf 20}, 343-344(1971).

   \bibitem{}
Ruelle, D.: Strange attractors, {\it Math. Inell.} {\bf 2}, 126-137
(1979-80).

   \bibitem{}
Ruelle, D.: Small random perturbations and the definition of attractor, 
 {\it Commun. Math. Phys.} {\bf 82}, 137-151(1981). 

   \bibitem{}
Ruelle, D.:  Small random perturbations and the definition of 
attractor, pp. 663-676 of {\it Geometric Dynamics}(ed. Palis), 
Lecture Notes in Mathematics, Vol. 1007, Springer, New York, 1983. 
 
   \bibitem{}
Schweitzer, P.A.: Counterexamples to the Seifert conjecture and opening 
closed leaves of foliations, {\it Annal. Math.} {\bf 100}, 
386-400(1974). 

   \bibitem{}
Shaw, R.: STrange attractors, chaotic behavior and information flow, 
{\it Natuforsch.} {\bf A36}, 80-112(1981). 

   \bibitem{}
Smale, S.: differentiable dynamical systems, {\it Bull. Am. Math. Soc.} 
{\bf 73}, 747-817(1967). 

   \bibitem{}
Smale, S.: Dynamical systems and turbulence, pp. 71-82 of Turbulence 
seminar(eds. Chorin, Marsden, Smale), Lecture Notes in Mathematics, 
Vol. 615, Springer, Heidelberg, 1977. 

   \bibitem{}
Ulam, S. and v. Neumann, J.: On combination of stochastic and 
deterministic processes, {\it Bull. Am. Math. Soc.} {\bf 53}, 
1120(1947).

   \bibitem{}
Williams, R.F.: The zeta function of an attractor, pp. 155-162 of 
Conference on the Topology of Manifolds(ed. J. Hocking), 
Prindle, Weber \& Schmidt, Boston, 1968. 

   \bibitem{}
Williams, R.F.: Expanding attractors, {\it Publ. Math. I.H.E.S.} 
{\bf 43}, 169-203(1974). 

   \bibitem{}
Williams, R.F.: The structure of Lorentz attractors, pp. 94-112 of 
Turbulence Seminar(eds. Chorin, Marsden, Smale), 
Lecture Notes in Mathematics, Vol. 615, Springer, Heidelberg, 1977. 

   \bibitem{}
Williams, R.F.: The structure of Lorentz attractors, {\it Publ. 
Math. I.H.E.S.} {\bf 50}, 73-100(1979). 

   \bibitem{}
Williams, R.F.: Attractors, strange and perverse(to appear). 

   \bibitem{}
Zeeman, E.C.: Catastrophe theory and applications, Summer school on 
dynamical systems, I.C.T.P. Trieste, 1983. 

\end{thebibliography}

\end{document}
