\documentstyle[12pt,twoside]{jarticle}
%
\oddsidemargin 0.0cm
\evensidemargin -1.0cm
\topmargin 0.0cm
%
\headsep 0.8cm
\textwidth 16.8cm
\textheight 22.5cm
\footheight 0.5cm
\footskip 1.2cm
\newcommand{\re}{\vspace{0.15cm}\par\hangindent=0.7cm\noindent}
%
\begin{document}
\setlength{\baselineskip}{3ex}
%
\begin{flushright}
ë����δ ��
\end{flushright}

\noindent
Commun.Math. Phys. {\bf 82}(1981)137-151.

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\LARGE \bf �ϳطϤξ����ʥ�������ư�ȥ��ȥ饯���������\\
Small random perturbations of dynamical systems and 
the definitions of attractors}
\end{center}

\vspace{0.3cm}
\begin{center}
{\large David Ruelle}
\end{center}

\vspace{0.4cm}
\noindent
{\bf ����.}

\noindent
����ԥ塼�����ˤ�äƺ��Ф��줿�ꡢʪ���¸��˸�����֥��ȥ�󥸥��ȥ饯�����פˤ�ɬ�����Ⳬ�٥����󤬤ʤ������Τ��Ȥ��θ����Conley�Υ����ǥ��˴�Ť��ƥ��ȥ饯�����򿷤���������ʤ����������ʥ��������ư�Τ�ȤǴѻ�����륢�ȥ饯�����Ϥ��ο�����������б������ΤǤ��뤳�Ȥ��ĥ���롣

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf 1. ��}

\noindent
$(f^t)$���ϳطϤȤ��롣���ʤ������Ϣ³�ޤ���Ϣ³�ʻ���$t$��ѥ�᡼�����Ȥ������$M \mapsto M$�η��ޤ���Ⱦ���Ȥ��롣$M$�ϰ��깽¤�ޤ��ϲ���ʬ��¤��ͭ����Ȥ���$f^t$��Ϣ³�ޤ��ϲ���ʬ�Ȥ��롣���Ф���$M$����ʬ����
$\Lambda$�����äƶ�˵����$x$������󤻤롣���ʤ����
$t \rightarrow \infty$�ΤȤ���$f^tx$��$\Lambda$�˼�«���롣���Τ褦����ʬ����$\Lambda$�ϵ۰�����(attracting set)�ޤ��ϥ��ȥ饯�����ȸƤФ�롣��äȤ��ñ�ʾ��ˤϡ�$\Lambda$����ư����(attracting fixed point)�ޤ��ϼ�����ƻ�Ǥ��롣����������ä�ʣ���ʾ������Ȥ��˥��᡼��θ���$A$���ȥ饯��������Ĵ�٤��Ƥ���(Smale[35],Bowen[4],Williams[37])��

ʪ���Ϥ�����Ū�դ�ޤ�(�ޤ��Ϥ����뼫�����ݤ�Ĺ���ˤ錄��դ�ޤ�)�򵭽Ҥ��뤿��˥��ȥ饯�����϶�̣�������Ȥ��ˡ�(���䥹�ȥ�󥸥��ȥ饯�����ȸƤФ��)�����Υ��ȥ饯�����Ͻ�������Ҵ��˰�¸���븽�ݤ򼨤������ʤ����������ξ������Ѳ������֤ȤȤ�˻ؿ��ؿ�Ū�����礹��(��ư�Ͼ������Ȥ��ˤΤ����礹��Ф褤)��Landau[20]��Hopf[16] ��ή���ϳؤ���ή�򵭽Ҥ���Τ˽����Ū���ȥ饯�������Ѥ���(���Υ��ȥ饯�����Ͻ�����˴ؤ����Ҵ��ʰ�¸���򼨤��ʤ�)��Lorentz[23]�϶����ή������������Ҵ��ʰ�¸���򼨤����ȥ饯�����򸫤Ĥ������Τ��Ȥ�ŷ����Ĺ��ͽ�����ˤ��Ƥ���ΤǤϤʤ����Ȼ�Ŧ������Ruelle and Takens[33]��ή���ϳ���ή��������Ū���ȥ饯�����ˤ�äƵ��Ҥ��٤��Ǥ���ȼ�ĥ����(�ޤ����ȥ�󥸥��ȥ饯������̾�Τ�Ƴ������)��Ahler[1], Gollub and Swinney[14]���ή���ϳؼ¸����餹��ȡ���ή����������Τˡ�������˴ؤ����Ҵ��ʰ�¸������ĥ��ȥ�󥸥��ȥ饯������Ȥ������褵�����Ǥ��롣��ή�λϤޤ�Ϥ��Τ�����Ǥ��ޤ�����Ǥ���(Ruelle[29]�ǥ�ӥ塼����Ƥ���)��

�ϳطϤϷ׻�����Ĵ�٤뤳�Ȥ��Ǥ��롣���Τ�����ǳƼ�ο��������ȥ饯������ȯ������(Henon[15],Feigenbaum[10-12])���褯Ĵ�٤��Ƥ�����

��ǹͻ��������Ȥ��餹��ȡ����ȥ饯���������Τ˿���Ū��������뤳�Ȥ�˾�ޤ���������򤹤�Τ�������ʸ����Ū�Ǥ��롣�Ƽ���������������褦������������Τ�����������������ˤ���̷�⤹���Τ����롣����Ǥϡ��۰�������������ݤ˲ݤ����٤��Ȼפ�����ˤĤ��Ƶ������롣����ȣ���Ǥϡ����줾��۰�����(attracting set)�ȥ��ȥ饯����(attractor)�������������������Ĵ�٤롣����Ǥϡ�Ŭ���ʾ��Τ�ȤǾ����ʥ�������ư��������ϳطϤ�����Ū�˥��ȥ饯�����ξ�ˡ���餷�Ƥ���פȼ�ĥ���롣����Ǥϡ������Ĥ��긫��Ҥ٤롣

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf 2. �۰����礪��ӥ��ȥ饯�����˴ؤ�����}

\noindent
$M$��ˤϵ�Υdist��Ϳ�����Ƥ���Ȳ��ꤹ��Τ��Թ�褤��������������Ǥϰ��ꡢ����Ǥϰ��͹�¤�Τ�ɬ�פǤ��롣Ϣ³����
$f^t:M \mapsto M$��²$(f^t)$��{\bf Z}, ${\bf Z}_+$(��Ϣ³����)��
{\bf R}, �ޤ���${\bf R}_+$(Ϣ³����)�ˤ�ä�ź��(index)����Ƥ��롣���ޤ���Ⱦ��������
$$
f^0=\mbox{identity}, \ \ f^s \circ f^t = f^{s+t},
$$
���������Ƥ���Ȥ����ǤϤɤ��Ǥ�����Ω�ġ�$(x,t) \mapsto f^tx$��������Ϣ³�Ǥ���Ȥ���(�����Ϣ³���֤ΤȤ��Τ߿����������Ǥ��äơ�����Ǥ����Ȥ�)������4.4�Ǥϡ�����Ϣ³�����������뤬������ʬ�ϳطϤر��Ѥ���Ȥ��ˤϡ�����ϼ�ưŪ����������롣���ơ��۰�����ޤ��ϥ��ȥ饯���������Ĥ٤������Υꥹ�Ȥ�Ĥ�������

\vspace{0.4cm}
\noindent
(A) {\bf ������}�����ʤ�������٤Ƥ�$t$���Ф���$f^t \Lambda = \Lambda$.

\vspace{0.4cm}
\noindent
(B) {\bf �۰���}��$\Lambda$�ζ�˵$U$�����äơ�$t$����ʬ�礭�����
$\Lambda$�Τɤ�ʶ�˵$V$��ȤäƤ�$f^t U \subset V$�����������Ȳ��ꤹ�롣��äȼ夤���Ȥ��ơ�$\Lambda$�ζ�˵$W$�����äơ��ɤ��$x \in W$��ȤäƤ�$\lim_{t \rightarrow \infty} \mbox{dist} (f^tx, \Lambda)=0$�Ȥʤ롢�����롣�۰����������ˤ϶������ξ���Ȥ����Ȥˤ��롣���ȥ饯�����Ͼ����ĤȤ��̤ε۰���������������������

\vspace{0.4cm}
\noindent
(C) {\bf �Ľ������ޤ��ϥ���ѥ�����}��

\vspace{0.4cm}
\noindent
(D) {\bf ������}���۰����礬�����Ĥ��νŤʤ�ʤ����Ѥ����Ҥ�������Ȥ���(���֤�)ͷ�����Τ褦�ʡ���Ŭ���פ���������Ƴ����Ҥ򥢥ȥ饯�����Ȼפ��������������ξ�����Ȥ��Ƥϡ�����������($x \in \Lambda$�����äơ�
$(f^t x)_{t>0}$�ζ˸½��礬$\Lambda$�˰��פ���)�ޤ��ϡ�$\Lambda$����Ȥ��륨�르����¬�٤�¸�ߡ������롣������ʸ�Υ��ȥ饯����������Ǥϡ�������̤ξ��(��������chain transitivity)��ݤ���

\vspace{0.4cm}
\noindent
(E) {\bf �������Ҥؤΰ��ʬ����}��

\vspace{0.4cm}
\noindent
(F) {\bf ��������ư���Ф��������}���¸��ˤ���ư�����׻����¸��ˤϴݤ�������Ĥ���ΤǤ��롣�椬���ȥ饯����������ˤ����ƾ�������ư���ܼ�Ū������̤�����

\vspace{0.4cm}
����Ǥϡ��۰������(A)-(C)�ˤ�ä�������롣����ǡ��۰����礬��������Ҥؼ�����ʬ�򤵤��褦�ˤ��ƥ��ȥ饯������������롣���Ȥ��С�{\bf R}��Υ٥��ȥ��$x \mapsto X(x) = -x^4 \sin (\pi/x)$�϶��$[-1,1]$��۰�����Ȥ����б������������(���ȥ饯����)��$n$�����Ȥ���$\pm 1/n$��$0$�Ǥ��롣$\{ 0 \}$�ϵ۰�����Ǥʤ����Ȥ����դ��褦�����ȥ饯�����ϼºݤ���ư����������פ�̵�»��ָ�ζ˸½���Ǥ��������顢�桹������η�̤Ȥ��ơ�Ϣ��ʥ���ѥ���¿���ξ�ǳ�餫��¬�٤���¸�����ϳطϤξ���¿�������Τ����ȥ饯�����ˤʤ롣�ºݡ�Ϣ���¿���ξ�Ǥ��٤Ƥ�$t$���Ф���
$f^t=$���������ʤ뼫���ʷ�$(f^t)$�ξ�硢���������ȥ饯�����Ǥ���Ȥ��äƤ�褤����¿�������Τ����ȥ��������Ǥ���Ȥ��äƤ�褤���۰�������⥢�ȥ饯�����������夯����ɬ�����ϥե�������Х���Υ���ȡ��뽸����㤫�����餫�Ǥ���(6.1�Ỳ��)�����ν����(��۰�Ū)�������ζ˸¤Ǥ��뤫�顢���ȥ饯�����ǤϤ��뤱��ɤ�۰�����ǤϤʤ���

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf 3. �۰�����}

\noindent
$M$��ϥ����ɥ�ն��֤Ȥ���$(f^t)$���ϳط�
$({\bf Z}, {\bf Z}_+, {\bf R}$, �ޤ���${\bf R}_+$�ˤ�ä�index����Ƥ��ꡢ$f^t: M \mapsto M$��Ϣ³)�Ȥ��롣�Ľ���$\Lambda \subset M$�϶�˵$U$�����äưʲ��ξ��(a)�������������(b)��(b$'$)��(b$''$)��(b$'''$)�Τ����줫���������Ȥ����۰�����Ȥ����롣

(a) \ $\Lambda$�Τɤ�ʶ�˵$V$��ȤäƤ⡢$t$����ʬ�礭�����
$f^t U \subset V$.

(b) \ $t$����ʬ�礭�����$f^t \Lambda \supset \Lambda$.

(b$'$) \ ���٤Ƥ�$t$���Ф���$f^t \Lambda = \Lambda$.

(b$''$) \ ����$T$�����ä�$\cap_{t \geq T} f^t U = \Lambda$.

(b$'''$) \ ���٤Ƥ�$T$���Ф���$\cap_{t \geq T} f^t U = \Lambda$.

\vspace{0.4cm}
\noindent
{\bf 
3.1. ̿��. ���(a)��Ϳ����줿�Ȥ������(b)��(b$'$)��(b$''$)��
(b$'''$)�Ϥ��٤�Ʊ�ͤǤ��롣$U \neq \emptyset$�ʤ�
$\Lambda \neq \emptyset$�Ǥ��롣
}

\vspace{0.4cm}
\noindent
{\bf ����.} (b) $\Rightarrow$ (b$'$)�����(b$'''$). ��$T$���Ф��ơ�(a)����$\Lambda \subset \cap_{t \geq T} f^t U$�Ǥ��ꡢ����(b)��꽽ʬ�礭��$T$���Ф���$\Lambda \supset \cap_{t \geq T} f^t U$�Ǥ��롣�����齽ʬ�礭��$T$, $T + \tau$���Ф���

\vspace{0.2cm}
$$
��\Lambda = \bigcap_{t \geq T+ \tau} f^t U 
\supset f^{\tau} \bigcap_{t \geq T} f^t U = f^{\tau} \Lambda   \eqno(1)
$$

\vspace{0.3cm}
�Ȥ��ˡ����٤Ƥ�$\tau$���Ф���$f^{\tau} \Lambda \subset \Lambda$�Ǥ��롣������޴ط������椬�ޤޤ�ʤ��Ȥ����(b)��̷��Ǥ��뤫�顢������
(b$'$) ���Ф롣���η�̤��顢(1)�������٤Ƥ�$T$���Ф�������Ω�Ĥ��Ȥ��狼�ꡢ$\tau =0$�Ȥ���(b$'''$) ���Ф롣

\vspace{0.3cm}
(b$''$) $\Rightarrow$ (b). $\tau$��Ϳ����줿�Ȥ��ơ�
$x \not\in f^{\tau} \Lambda$�Ȥ���ȡ�
$\Lambda \subset {(f^{\tau})}^{-1} (M \backslash \{ x \})$�Ǥ���ޤ�(a)�ˤ�ꡢ$t$��ʬ�礭���Ȥ��
$f^t U \subset {(f^{\tau})}^{-1} (M \backslash \{ x \})$�Ȥʤ롣�������äơ�$t$����ʬ�礭�����$f^t U \subset M \backslash \{ x \}$�Ǥ��뤫�顢
(b$''$)���$x \not\in \Lambda$�����롣�����
$f^{\tau} \Lambda \supset \Lambda$�������줿���顢(b)���Ф���

\vspace{0.3cm}
(b$'$) $\Rightarrow$ (b)�����(b$'''$) $\Rightarrow$ (b$''$)�����餫�Ǥ��롣�����Ʊ�ͤǤ��뤳�Ȥ������줿��$\Lambda$�����ʤ�$V = \emptyset$�ȤȤ�뤬�������$U \neq \emptyset$�ΤȤ�(a)��̷�⤹�롣

\vspace{0.3cm}
����(a)��(b)������������$U$��۰�����$\Lambda$��{\bf ���ܶ�˵}(fundamental neighborhood)�ȸƤܤ���������$W =  \cup_t {(f^t)}^{-1} U$��$\Lambda$��{\bf �٥�����}(basin of attraction)�ȸƤФ�롣
$W$��$t \rightarrow \infty$�ΤȤ�$f^t x \rightarrow \Lambda$����������
$x \in W$�������롣����椨$W$��$U$��ɤ���������ˤϰͤ�ʤ���$(f^t)$�����ΤȤ��ˤϡ�$\Lambda$��¿����$M$���ΤȤȤ뤳�Ȥ��Ǥ��롣���ΤȤ�
$\Lambda = U = W$�Ǥ��롣

\vspace{0.4cm}
\noindent
{\bf 
3.2. ̿��. $U$��$M$�γ�����ǡ���ʬ�礭�ʤ��٤Ƥ�$t$���Ф���$f^t U$��$U$�˴ޤޤ졢���Х���ѥ��ȤΤȤ���
$$
��\Lambda = \bigcap_{t \geq 0} f^t U,
$$
�ϥ���ѥ��Ȥʵ۰�����Ǥ��äơ�$U$�����δ��ܶ�˵�Ǥ��롣
}

\vspace{0.4cm}
\noindent
{\bf ����.} ����ˤ�ꡢ��ʬ�礭��$\tau$��Ȥ�С�$f^{\tau} U$������$K$�ϥ���ѥ��Ȥ�$U$�˴ޤޤ�롣�����顢
$$
 \bigcap_{t \geq 0} f^t K \subset \Lambda \subset 
\bigcap_{t \geq \tau} f^t U \subset \bigcap_{t \geq 0} f^t K,
$$
�Ǥ��äơ�
$$
  \Lambda = \bigcap_{t \geq 0} f^t K,
$$
�ϥ���ѥ��ȤǤ��롣

$V$�ϳ������$V \supset \Lambda$�Ȥ��롣
$\cap_{t \geq 0} f^t K \backslash V = \emptyset$�Ǥ��뤫�顢����ѥ������ˤ�ꡢ$t_1, t_2, \ldots, t_n$�����äơ�
$$
           f^{t_1} K \cap \ldots \cap f^{t_n} K \subset V,
$$
�Ǥ��롣�����顢$t$��ʬ�礭���Ȥ�С�$f^t K \subset V$�Ǥ��ꡢ����椨��$t$��ʬ�礭���Ȥ�С�$f^t U \subset V$�Ǥ��롣������������(a)���������졢����ˤ��(b$''$)������Ω�Ĥ���$\Lambda$�ϵ۰�����Ǥ��롣

\vspace{0.4cm}
\noindent
{\bf 3.3. ������.} ����ʵ۰����������ϣ�������ǽҤ٤롣

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf 4. ���ȥ饯����} \\
������Ǥϡ�$M$�ϵ�Υdist�ˤ�ä�Ϳ��������Ͱ������Ĥ�ΤȤ��롣�ޤ�
$(x,t) \mapsto f^t x$��$M \times \{ t \}$���Ϣ³�Ȳ��ꤹ�롣����(ɬ������Ϣ³�Ǥʤ�)���ʤ����$M$����
${(x_t)}_{t \in [t_0,t_1]} (t_1 \geq t_0)$��²�ϡ�
$\alpha, \beta \geq 0$, $\alpha + \beta \leq 1$�����
$t, t + \alpha \in [t_0,t_1]$�ΤȤ��Ϥ��Ĥ�
$$
��\mbox{dist} (f^{\beta} x_{t+\alpha}, f^{\alpha + \beta} x_t) < 
\varepsilon
$$
�����������ʤ顢$\varepsilon$����ƻ($\varepsilon$ pseudoorbit)�ȸƤФ�롣��Ϣ³���֤ξ��ˤϡ������$t = t_0, \ldots, t_1 - 1$���Ф���
dist$(f x_t, x_{t+1}) < \varepsilon$�Ǥ��뤳�Ȥ��̣����(Bowen[3]����Ӥ�����ΰ���ʸ������)�����$\varepsilon$����ƻ��Ĺ����$t_1 - t_0$�Ǥ��äơ�$x_{t_0}$����$x_{t_1}$�ޤǹԤ��Ȥ������Ȥˤ��롣$a$����$b$�˹Ԥ�
$\varepsilon$����ƻ��Ĺ��$T$�Τ�Τ�$b$����$c$�˹Ԥ�$\varepsilon$����ƻ��Ĺ��$T'$�Τ�Τ�Ĥʤ���ȡ�$2 \epsilon$����ƻ(��Ϣ³�ξ���
$\varepsilon$����ƻ)��Ĺ��$T + T'$��$a$����$c$�˹Ԥ���Τ������롣�������ط�$a \succ b$��Ƴ�����褦��������$a$����$b$�˹Ԥ��פ��ɤࡣ�����$a$����$b$�˹Ԥ�������ư���������ƻ�����뤳�Ȥ��̣���롣�ºݡ�$a,b \in M$��Ϳ����줿�Ȥ���Ǥ�դ˾�����$\varepsilon > 0$���Ф���$a$����$b$�˹Ԥ�$\varepsilon$����ƻ������Ȥ���$a \succ b$�Ƚ񤯡���������������Ω�Ĥ��Ȥ��ưפ�ʬ���롣

\vspace{0.4cm}
\noindent
{\bf 
4.1. ̿��. �ط�$\succ$��������Ǥ��롣���ʤ����ȿ��Ū($a \succ a$)���Ŀ��Ū($a \succ b$����$b \succ c$�ʤ�$a \succ c$)�Ǥ��롣�ޤ��ط�
$\succ$���Ĥ��Ƥ���($x,y$�����줾��$a,b$�˼�«����������$x \succ y$�ʤ�
$a \succ b$�Ǥ���)��
}

\vspace{0.4cm}
$a \succ b$����$b \succ a$�ΤȤ�$a \sim b$�Ƚ񤯡�$\succ$��������Ǥ��뤫�顢$\sim$��Ʊ�ʹط��Ǥ��äơ�Ʊ����ξ�˽����ͶƳ���롣���Τ��Ȥ�
$a \succ b$�ʤ�$[a] \geq [b]$�ȵ������˾���Ʊ�����{\bf ���ȥ饯����}�ȸƤܤ���$a$����ư���ޤ���card$[a] > 1$�ΤȤ�Ʊ����$[a]$��{\bf ������}(basic class)�Ǥ���Ȥ������Ȥˤ��롣

������������Conley[9](Hurley[17]�⻲�Ȥ��줿��)�ˤ�롣�������������Ǥϡ��㴳�ۤʤ��Ѹ�������Τ������򤷤�����������¤�Conley��
{\bf ���󵢽���}(chain recurrent set)�Ǥ��롣���ν���ϵ۰�����ˤ�äƤ��ޤ���ħ�Ť��뤳�Ȥ��Ǥ���(Conley[9,p.37])������$S$�ϴ�����˴ޤޤ�Ƥ���Ȥ���{\bf ������Ū}(chain transitive)�Ȥ���졢�������{\bf ����ʬ}(chain component)�ȸƤФ�롣�桹�Τ����۰������Conley�ΰ�̣�Υ��ȥ饯�����Ǥ��롣���ȥ饯������̾���ϴ�������������������Τ���ˤȤäƤ������Ȥˤ��롣�桹�Υ��ȥ饯������Hurley��{\bf ������Ū�ॢ�ȥ饯����}(chain transitive quasiattractor)�Ǥ��롣Conley��Hurley�ϥ���ѥ��Ȥ�$M$(�����Ϣ³����)�˶�̣��ʤä����桹�ϡ�ʪ��Ū����(���Ȥ���Navier-Stokes��������
$M$�ϥХʥå϶���)�Τ��Ȥ�ͤ��ơ���äȰ��̤ξ����ˤĤ��Ƶ������롣������η�̤Ϥ����ʤ٤ơ�����ۤɿ������ʤ�(�����⤽��ۤ��񤷤��ʤ�)�������Ǥη�̤ϡ�����ξ����ʥ�������ư�ε���(���줬������ʸ�ο���������ʬ�Ǥ���)�Τ���δ��äǤ��롣

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf 
4.2. ̿��. ��Ʊ����$[a]$���Ĥ��Ƥ��롣

$[a]$��������Ǥ��뤿���ɬ�׽�ʬ���ϳ�$\varepsilon > 0$�Ф��ơ�$a$����$a$�˹Ԥ�Ĺ��$>1$��$\varepsilon$����ƻ�����뤳�ȤǤ��롣

�����ह�٤Ƥ��¤��Ĥ��Ƥ��롣���ȥ饯�����ϴ�����Ǥ��롣

$a$����ͷ�����ʤ�$[a]$�ϴ�����Ǥ��롣

$[a]$��������ʤ顢���٤Ƥ�$t$���Ф���$f^t [a] \subset [a]$�Ǥ��롣
}

\vspace{0.3cm}
�����Ϥ�Ϥ�����ʷ�̤Ǥ��롣���Ȥ��С�$[a]$��������ʤ龮����
$\delta$���Ф���$a$����$a$�˹Ԥ�Ĺ��$\delta$����ƻ�����ꡢ�������äơ�
$a$����$f^t a$�˹Ԥ�$\varepsilon$����ƻ��$f^t a$����$a$�˹Ԥ�
$\varepsilon$����ƻ�����롣������$f^t a \in [a]$�Ǥ��ꡢ����椨
$f^t [a] \subset [a]$�Ǥ��롣

\vspace{0.4cm}
\noindent
{\bf 
4.3. ��. $(f^t)$�Υ��르���ɳ�Ψ¬��$\rho$������ѥ��Ȥ������ƤС�������ϴ�����˴ޤޤ�롣
}

\vspace{0.4cm}
\noindent
{\bf ����.} supp$\rho$��μ�Ϣ³�ؿ��δĤϲ�ʬ�Ǥ��롣�����饨�르���������ˤ��$a \in \mbox{supp} \rho$�����äơ�supp$\rho$��$\{ f^t a \}$������Ǥ��롣̿��4.2���$f^t a  \in [a]$�Ǥ��뤫��supp$\rho \subset [a]$�Ǥ��롣

\vspace{0.4cm}
\noindent
{\bf 
4.4. ����. $\Lambda$�򥳥�ѥ��Ȥʵ۰�����Ȥ��롣$\Lambda$�ζ�˵�����äơ�$f^1$�Ϥ��ξ�ǰ���Ϣ³�Ǥ���Ȥ���($M$���ɽꥳ��ѥ��ȤΤȤ����ޤ���$M$���Хʥå�¿���Τ�$f^1$��$C^1$�ΤȤ������ξ�郎���������)��

(a) $a \in \Lambda$��$a \succ b$�ʤ�$b \in \Lambda$.

(b) $a$��$\Lambda$�Υ٥�������ˤ��ꡢ$[a]$��������ʤ顢
$[a] \subset \Lambda$���Ĥ��٤Ƥ�$t$���Ф���$f^t [a] = [a]$�Ǥ��롣

(c) $a$��$\Lambda$�Υ٥�������ˤ���С����ʤ��Ȥ��ĥ��ȥ饯����$[b]$�����äơ�$a \succ b$�Ǥ��äơ�ɬ��Ū��$[b] \subset \Lambda$�Ǥ��롣

(d) ��$[a] \subset \Lambda$�����ȥ饯�����Ǥ��뤿���ɬ�׽�ʬ����$[a]$�Τɤ�ʶ�˵$V$���Ф��Ƥ�$[a]$�ζ�˵$V'$�����äơ�$x \in V'$����
$x \succ y$�ʤ�$y \in V$������Ω�Ĥ��ȤǤ��롣

(e) ����ѥ��Ȥʽ���$K \subset \Lambda$��Ϳ����줿�Ȥ���
$K^* = \cup_{z \in K} [z]$������ѥ��ȤǤ��뤳�ȤϤ狼�äƤ���(̿��4.1���)�����٤Ƥ�$\theta >0$���Ф���Ŭ����$\varepsilon > 0$�����ܤ������ΤȤ���$y \succ x \in K$�Ǥ��äơ�$x$����$y$�˹Ԥ�$\varepsilon$����ƻ������ʤ�С�dist$(y,K^*) < \theta$�Ǥ��롣

(f) $\Lambda$�����ȥ饯�����Ǥ��뤿���ɬ�׽�ʬ����$\Lambda$��������Ǥ��뤳�ȤǤ��롣
}

\vspace{0.4cm}
\noindent
{\bf ����.} $\Omega$��$\Lambda$�ζ�˵�Ȥ���$f^1$��$\Omega$�ξ�ǰ���Ϣ³�Ǥ���Ȥ��롣$\delta > 0$��$\Lambda$�ζ�˵${\Omega}'$�򤦤ޤ��Ȥ��
${\Omega}'$��$\delta$��˵��$\Omega$�˴ޤޤ��褦�ˤǤ��롣$\Lambda$��Ǥ�դδ��ܶ�˵$\overline{U}$���Ф��ơ�$t$��ʬ�礭���Ȥ��
$f^t \overline{U} \subset {\Omega}'$�Ȥʤ뤳�ȤϤ狼�äƤ��롣�����顢���٤Ƥ�$n \geq 0$���Ф���$f^n U \subset {\Omega}'$�Ȥʤ�褦�ˤ�äȾ����ʴ��ܶ�˵�����֤��Ȥ��Ǥ��롣

\vspace{0.3cm}
$\Lambda$�ζ�˵$V$�Ȥ���$U$�˴ޤޤ���Τ�Ȥ롣${\delta}' > 0$��
$\Lambda$�ζ�˵$V'$�򤦤ޤ��Ȥ��$V'$��${\delta}'$��˵��$V$�˴ޤޤ��褦�ˤǤ��롣$\Lambda$��$[0,1]$�Υ���ѥ����������$(x,t) \mapsto f^t x$��Ϣ³�������Ѥ���С�$0 \leq t \leq 1$�ΤȤ���$f^t V'' \subset V'$�Ȥʤ�褦��$\Lambda$�ζ�˵$V''$�����٤롣�������ä�$V''$�����ȯ����Ĺ��
$t \leq 1$��${\delta}'$����ƻ��$V$�����ǽ���롣�Ǹ��${\delta}'' > 0$��
$\Lambda$�ζ�˵$V'''$������ǡ�$V'''$��${\delta}''$��˵��$V''$�˴ޤޤ��褦�ˤȤ롣

\vspace{0.3cm}
$U$��$\Lambda$�δ��ܶ�˵�Ǥ��뤫�顢��������$N$�����äơ�$t \geq N$�ʤ�
$f^t U \subset V'''$�Ǥ��롣�Ȥ��ˡ�
$$
    n = N, N+1, \ldots, 2N-1 \ \mbox{�ΤȤ�} \ f^n U \subset V'''.
$$
$f^1$�ΰ���Ϣ³�����顢Ŭ����$\varepsilon > 0$�����٤С�$U$���������ȯ����Ĺ��$N, N+1, \ldots, 2N-1$��$\varepsilon$����ƻã��$V''$������ǽ���롣
$\varepsilon < {\delta}'$�Ȳ��ꤷ�ư�����ͳ�Ϥʤ����顢$U$���������ȯ����Ĺ��$t \in [N,2N]$�Τ��٤Ƥ�$\varepsilon$����ƻã��$V$������ǽ���롣
$V \subset U$�Ȳ��ꤷ�Ƥ��뤫�顢$U$���������ȯ����Ĺ��$t \geq N$��
$\varepsilon$����ƻ�Ϥ��٤�$V$������ǽ���롣

\vspace{0.3cm}
(a) $a \in \Lambda$�ΤȤ���$c \in \Lambda$���Ѥ���$a = f^N c$�Ƚ񤱤롣�����顢$a$����$b$�˹Ԥ�Ĺ��$t \geq 0$�γ�$\varepsilon$����ƻ���Ф��ơ�$c$����$b$�˹Ԥ�Ĺ��$N+t \geq N$��$\varepsilon$����ƻ�����뤫�顢
$b \in V$�Ǥ��롣��������$a \succ b$��$a \in \Lambda$�ʤ�$b \in \Lambda$�Ǥ��뤳�Ȥ������줿��

\vspace{0.3cm}
(b) $a$��$\Lambda$�Υ٥�������ˤ��äơ�$[a]$��������ʤ龮����
$\varepsilon$���Ѥ���$a$����$a$�˹Ԥ�Ĺ��$\varepsilon$����ƻ�����Ǥ��롣���ε���ƻ��$U$������Ȳ��ꤹ�뤳�Ȥ��Ǥ����������äơ�$a$��$\Lambda$��Ǥ�դζ�˵$V$��ˤ���Ȳ��ꤹ�뤳�Ȥ��Ǥ��롣������$a \in \Lambda$�Ǥ��롣$x$�����ε���ƻ�彪������Ĺ��$t$�ΤȤ����ˤ������Ǥ���Ȥ���ȡ����ε���ƻ��Ĺ����$\infty$�ˤʤꡢ$\varepsilon$��$0$�˸����ä��Ȥ���$x$�϶˸�
$c \in \Lambda$�˸�������(����ѥ�����)���鲾��Ǥ��롣���ΤȤ���
$f^t c = a$����$c \sim a$�Ǥ��뤫�顢$f^t [a] \supset [a]$�Ǥ��롣̿��4.2���$f^t [a] \subset [a]$�Ǥ��뤫�顢���٤Ƥ�$t$���Ф���$f^t [a] = [a]$�����롣

\vspace{0.3cm}
(c) ����ɤϡ�$a$��$\Lambda$�Υ٥�������ˤ���Ȥ������ȥ饯����$[b]$��
$a \succ b$�ʤ��Τ����äơ�$b$��ɬ��Ū��$\Lambda$��°���뤳�Ȥ򼨤������������$a \in U$�ξ��˵��夹�뤫�顢���Ǥ˽Ҥ٤������ˤ������äơ�����
$\{ [x]: a \succ x \}$�˶˾������Ǥ����뤳�Ȥ򼨤��Ф褤��
$a \succ x_{\alpha}$����������$[x_{\alpha}]$�����������$X$��ͤ��롣$X$������ͭ���Ǥ��뤳�Ȥ�������Хĥ�����������$\{[x]:a \succ x \}$�˶˾����ǤΤ��뤳�Ȥ��Ǥ롣���٤Ƥ�$\alpha$���Ф���
$x_{\alpha} = f^{t_{\alpha}} x$��$t_{\alpha} \geq 0$��ͭ���ξ��ϼ����Ǥ��롣����ʳ��ξ��ϡ����Ǥ˽Ҥ٤������ˤ�ꡢ
��Υd$(x_{\alpha}, \Lambda)$��$0$�˼�«����d$(x_{\alpha},y_{\alpha})$��
$0$�˼�«����褦��$y_{\alpha} \in \Lambda$�����٤롣$b$��$(y_{\alpha})$��Ŭ�����������ʬ�ͥåȤζ˸¤Ǥ���С��б�������ʬ�ͥå�$(x_{\alpha})$��$b$�˼�«���롣�������äơ����٤Ƥ�$a$���Ф���$x_{\alpha} \succ b$�Ǥ��뤫�顢$[b]$��$X$�β��¤Ǥ��롣

\vspace{0.3cm}
(d) $V$��$[a] \subset \Lambda$�ζ�˵�Ȥ���$[a]$�Τɤ�ʶ�˵$V'$��ȤäƤ⡢$x \in V'$����$x \succ y$�ΤȤ���$y \in V$�ȤϤʤ�ʤ��Ȥ��롣���ΤȤ���$x_{\alpha} \succ y_{\alpha}$, d$(x_{\alpha}, [a]) \rightarrow 0$����
$y_{\alpha} \not\in V$��������$(x_{\alpha})$, $(y_{\alpha})$��ߤĤ��뤳�Ȥ��Ǥ��롣��ʬ�ͥåȤ�Ȥ뤳�Ȥˤ�ꡢ
$x_{\alpha} \rightarrow x \in [a]$, 
$y_{\alpha} \rightarrow y \in \Lambda \backslash V$�Ȳ���Ǥ��롣������
$x \succ y \not\in V$�Ǥ��ꡢ$[a]$�ϥ��ȥ饯�����Ǥ�ͭ�����ʤ����դˡ�
$[a]$�����ȥ饯�����Ǥʤ���С�$x \in [a]$��$y \not\in [a]$��$x \succ y$�ʤ��Τ����롣�������äơ�$V_{\alpha} \ni y$�ʤ��ǵ󤲤���������
$V'$�Ϥ��ꤨ�ʤ���

\vspace{0.3cm}
(e) ����������Ω���ʤ��Ȥ���ȡ�$x_n \in K$�ʤ���$(x_n)$,$(y_n)$�����äơ�$y_n \succ x_n$�Ǥ��ꡢ$x_n$����$y_n$�˹Ԥ�$1/n$����ƻ�����ꡢ�ޤ���
$y_n$����$K^*$�ؤε�Υ$\geq \theta$�Ǥ��롣
$x_n \rightarrow \overline{x} \in K$, 
$y_n \rightarrow \overline{y} \in \Lambda$�Ȳ���Ǥ��뤫��
$\overline{x} \sim \overline{y}$�Ǥ��ꡢ$\overline{y} \in K^*$�Ȥʤä�
dist$(\overline{y}, K^*) \geq \theta$��̷�⤹�롣

\vspace{0.3cm}
(f) $\Lambda$�����ȥ饯�����ʤ�̿��4.2�ˤ�ä�$\Lambda$�ϴ�����Ǥ��롣������$\Lambda$��������ʤ�(c)�ˤ�äƥ��ȥ饯�����Ǥ��롣

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 4.5. ����۰���������.} ����4.4�ξ����Τ�Ȥǡ��۰����礬������Ǥ���ʤ��(�ޤ���Ʊ�����ȤǤ��뤬�����ȥ饯�����Ǥ���ʤ��)����Ǥ��롢�Ȥ����Τϼ����Ǥ��롣�Ȥ��ˡ��۰��������������Ū�Ǥ��뤫�����르���ɳ�Ψ¬�٤���ˤʤäƤ���д���Ǥ���(��4.3����)��

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 4.6. Remark.} ����4.4�ξ����Τ�Ȥǡ�$[a]$���۰�����ζ�����ʬ�Ǥ���С�$[a]$�ϥ��ȥ饯�����Ǥ���(����4.4(a)��Ȥ�)���դˡ�$\{ f^t \}$�����ΤȤ������뤤��$\Lambda$�˶�˵$U$�����ä�$t$���礭���Ȥ���$f^t U$�����Х���ѥ��ȤΤȤ�(���ξ�硢$U$������ѥ��Ȥ�$S \subset U$�������$s$������ǡ�$t \geq s$�ΤȤ���$f^t U \subset S$�ȤǤ���)���ɤ�ʥ��ȥ饯�����⤽���ޤ�۰�����ζ�����ʬ�Ǥ��롣���η�̤ϴ���Ū�ˤ�Conley[9,p.37] �Τ�ΤǤ��ꡢHurley�ˤ�뺿����Ū�ʽॢ�ȥ饯������Ƴ����ư���ˤʤä��������������뤿��ˡ�$[a]$�򥢥ȥ饯�����Ȥ���$a$����$x$�˹Ԥ�Ǥ�դ�Ĺ��
$\varepsilon$����ƻ������褦����$x$�ν���������ν����
$U_{\varepsilon}$�Ȥ����������ꡢ$U_{\varepsilon}$�ϡ�$t \geq 1$�Ȥ��ơ�$f^t U_{\varepsilon}$��
$\varepsilon$��˵��ޤࡣ
$K_{\varepsilon} = \cap_{t \geq 0} f^t U_{\varepsilon}$�Ƚ񤳤���
$\varepsilon$��ʬ�������Ȥäơ�$U_{\varepsilon}$��$\Lambda$�δ��ܶ�˵�˴ޤޤ��褦�ˤ��롣���ΤȤ�$K_{\varepsilon} \subset \Lambda$�Ǥ⤢�롣����ˤ�ꡢ$t \geq s$�ΤȤ�clos$f^t U \subset S$, clos$S \subset U$����
$t \geq 0$�ΤȤ�$f^t S$���Ľ���Ǥ���Ȳ���Ǥ��롣�Ȥ��ˡ�
$$
 ������K_{\varepsilon} = \bigcap_{t \geq 0} f^t S,
$$
�Ǥ��ꡢ$K_{\varepsilon}$�ϥ���ѥ��ȤǤ��롣������
$V \supset K_{\varepsilon}$���Ф��ơ�$t$����ʬ�礭�����
$f^t U_{\varepsilon} \subset V$�Ǥ��뤳�Ȥ�����������줬����Ω���ʤ��Ȥ��ơ�$t_{n+1} - t_n \geq s$����$x_n \in f^{t_n} S \backslash V$�Ȥ����������(��)$f^{t_n+1} S \subset f^{t_n} S$�Ǥ��롣$U_{\varepsilon}$��
$\Lambda$�δ��ܶ�˵�˴ޤޤ�뤫�顢
$x_n \rightarrow x \in \Lambda \backslash V$�ȤȤ�ơ�
$x \in \cap f^t S = K_{\varepsilon}$�����뤬�������$x \not\in V$��̷�⤹�롣�������ơ�$K_{\varepsilon}$�ϵ۰�����Ǥ��ꡢ
$$
����[a] \subset \bigcap_{\varepsilon > 0} K_{\varepsilon} \subset
\bigcap_{\varepsilon > 0} U_{\varepsilon} = [a],
$$
������졢���꤬�������줿��

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf 5. �����ʥ�������ư}

\noindent
�ϳطϤ˾����ʥ�������ư���ä���줿�Ȥ�����ư������Ū�˥��ȥ饯�����˽��椹�뤳�Ȥ򼨤��Τ��������ȯ�ۤǤ��롣������Ϣ³�׾���������ͭ����ư��ä���줿Υ�����֤��ϳطϤ˴ؤ��Ƥ���(...��)�򼨤����Ȥ��Ǥ��롣

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 5.1. ����ѥ��Ȥ����ͭ����Ȼ�.} $M$���Υ���֤Ȥ���
$f:M \mapsto M$��Υ���ϳط�$(f^t)$����������Ϣ³�����Ȥ��롣
$\varepsilon > \delta > 0$�Ȥ��롣$M$��˥���ѥ��Ȥ������ĳ�Ψ¬�٤ζ��֤��餽�켫�ȤؤΥ��ե������$F$�ϰʲ��ξ����������Ȥ�$f$��Ʊȼ����
$(\varepsilon, \delta)$�Ȼ��Ǥ��롢�Ȥ������Ȥˤ��롧

\vspace{0.3cm}
(����) $\delta$��$x$�ˤ�����ñ�̼��̡�$B_x (\varepsilon)$��$x$���濴�Ȥ���Ⱦ��$\varepsilon$�ε塢$\overline{B}_x (\varepsilon)$�Ϥ�������

\vspace{0.3cm}
(a) supp$F \delta_x \subset f \overline{B}_x (\varepsilon)$

(b) supp$F \delta_x \supset f \overline{B}_x (\delta)$

(c) $\phi:M \mapsto {\bf R}$��Ϣ³�ʤ�$x \mapsto (f \delta_y)\phi$��Ϣ³�ǡ�$(F\mu)\phi = \int \mu (dx)[(F \delta_x)\phi]$�Ǥ��롣�Ȥ��ˡ�
$$
����\mbox{supp}F \mu = \mbox{closure} \bigcup_{x \in \mbox{supp}\mu}
\mbox{supp} F \delta_x.
$$

(d) $\phi:M \mapsto {\bf R}$��Ϣ³�ʤ齸��
$\{ (F \delta_y)\phi:y \in \overline{B}_x (\delta) \}$���Ķ�֤Ǥ��롣

\vspace{0.3cm}
$\overline{B}_x(\delta)$��ˤ�äȼ夤����򸫤Ĥ��ơ����ν��礬����ѥ��ȤǤ��ꡢ����$y \mapsto (F \delta_y)$��$\overline{B}_x (\delta)$��Υ���ѥ��Ȱ��ꤪ���¬�پ��������(vague topology)�˴ؤ���Ϣ³�ˤǤ���С�����(d)������Ω�ġ�

\vspace{0.4cm}
\noindent
{\bf 5.2. Remark.} ����꼰����$F$��$f$�����˾����ʳȻ����ää���Τȹͤ��뤳�Ȥ��б����Ƥ��롣����ˤ�äơ�̵�¼����ξ��ˤ⥳��ѥ��Ȥ�������¬�٤򰷤��롣ͭ�¼���(�ɽꥳ��ѥ���)�ʾ��ˤ�$F$��$f$�θ�˾����ʳȻ����ä�ä���Τȹͤ��뤳�Ȥ��Ǥ��롣

���(a)����ư��ͭ���Ǥ��뤳�Ȥ�ɽ�������(b)�ϡ�����Ϣ³�׷��ξ��Ǥ��롣�����ʤ��ˤϼ��η�̤�����Ω�Ĥ��Ȥϴ��ԤǤ��ʤ���

\vspace{0.4cm}
\noindent
{\bf 
5.3. ����. $(f^t)$��Υ���ϳطϤȤ�����$[a]$�ϥ��ȥ饯�����Ǥʤ��Ȥ��롣��ʬ������$\varepsilon$��Ȥäơ�$F$��$f$��Ʊȼ����
$(\varepsilon,\delta)$�Ȼ���$\nu$��$M$��˥���ѥ��Ȥ������ĳ�Ψ¬�٤Ȥ��롣���ΤȤ���
$$
 \lim_{t \rightarrow \infty} (F^t \nu) (B_a (\delta)) = 0.   \eqno(2)
$$
�Ȥ��ˡ�$\nu_{\infty}$��¬��$F^t \nu$�����˸�(vague limit)�ΤȤ���
$a \not\in \mbox{supp} \nu_{\infty}$�Ǥ��롣
}

\vspace{0.3cm}
(����) $\nu_{\infty}$��$F^t \nu$�����˸¤Ǥ���Ȥϡ����٤Ƥ�
$\alpha>0,N$�����Ϣ³��$\phi_1,$ $\ldots, \phi_N : M \mapsto {\bf R}$���Ф��ơ�Ǥ�դ��礭��$t$��¸�ߤ���
$$
 \mid (F^t \nu)(\phi_i) - \nu_{\infty} (\phi_i) \mid < \alpha \ \ 
\mbox{for} \ \ i=1, \ldots, N
$$
�ΤȤ��Ǥ��롣

\vspace{0.4cm}
\noindent
{\bf ����.} $a \succ b$�����$b \not\in [a]$�Ȥ��롣$b \not\in [a]$�Ǥ��뤫�顢$\varepsilon$��ʬ�������Ȥ��$b$����$a$�˹Ԥ�$2 \varepsilon$����ƻ�Ϥʤ����������äơ�$B_{fb} (\varepsilon)$����$B_a(\varepsilon)$�˹Ԥ�����ƻ�Ϥʤ����Ȥ��ˡ�$B_{fb}(\varepsilon)$����$B_a(\delta)$�˹Ԥ�����ƻ�Ϥʤ���

$x \in \overline{B}_a (\delta)$�ʤ顢(b)���
supp$F \delta_x \supset f\overline{B}_x (\delta) \ni fa$�����롣
$a \succ b$�Ǥ��뤫�顢$a$����$b$�˹Ԥ�$\delta$����ƻ�����Ȥ���
$x_0 = a$, $x_m = b$�Ȥ���$(x_0,x_1, \ldots, x_m)$�����롣
$fx_0 \in \mbox{supp} F\delta_x$�Ǥ��뤳�ȤϤ��޸�����(c)��Ȥ��С�
$$
        fx_1 \in \mbox{supp} F^2 \delta_x, \ldots, 
fx_m \in F^{m+1} \delta_x,
$$
�������롣$\phi$��$[0,1]$���ͤ������$\overline{B}_{fb} (\varepsilon)$���������Ϣ³�ؿ��Ȥ���$\phi (fb) > 0$�Ȥ��롣�����
$$
  \mbox{���٤Ƥ�} \ x \in \overline{B}_a (\delta) \ \mbox{���Ф���} \ 
(F^{m+1} \delta_x) (\phi) > 0,
$$
�Ǥ��롣(d)���θ����ȡ�$\beta > 0$�����äơ�
$$
   x \in \overline{B}_a (\delta) \ \mbox{���Ф���} \ 
(F^{m+1} \delta_x) (\phi) \geq \beta,
$$
�Ǥ��롣�������äơ�$\mu$������¬�٤Ȥ���ȡ�(c)���
$$
    (F^{m+1} \mu) (B_{fb} (\varepsilon)) \geq (F^{m+1} \mu) (\phi) 
\geq \beta \mu (B_a (\delta)).
$$

\vspace{0.3cm}
$y \in B_{fb} (\varepsilon)$�Ȥ��롣(a)��(c)��ꡢsupp$F^n \delta_y$�γ����ϰ���$2 \varepsilon$����ƻ$(b, y, y_1,$ $\ldots, y_n)$���Ф���$fy_m$�η��򤷤Ƥ��롣$b$����$a$�˹Ԥ�$2 \varepsilon$����ƻ�Ϥʤ����顢
supp$F^n \delta_y$��$B_a (\delta)$�ȶ�����������ʤ���

\vspace{0.3cm}
��Ψ¬��$\nu$��Ϳ����줿�Ȥ��ơ�
$$
   t = t_1, \ldots, t_k \ \mbox{�ΤȤ�} \  
F^t \nu(B_a (\delta)) \geq \gamma > 0,
$$
�Ȥ��롣���ΤȤ���$T \geq t_1, \ldots, t_k$�ʤ�
$$ \begin{array}{ccl}
������1 & \geq & (F^{T+m+1} \nu) (M \backslash B_a( \delta)) \\
        & \geq & k \beta \gamma,
   \end{array}
$$
�����롣���줫�餿������(2)���������롣

\vspace{0.4cm}
\noindent
{\bf 5.4. ���礭�ʡ������ĳȻ�.} ��Ǥ�$F \delta_x$�������ʥ���ѥ��Ȥ������ĤȤ��������٤ϡ�supp$F \delta_x$���������ʤ���硢���Ȥ��Х���ѥ��ȤǤʤ����ˤĤ��Ƶ������褦����Ψ¬�٤����Ψ¬�٤ؤΥ��ե�������ϡ���� \\

\noindent
$(a')$ \hspace{5cm} 
$(F \delta_x) (f \overline{B}_x (\varepsilon)) > 1 - \alpha,$ \\

\noindent
����������5.1�ξ��(b)��(d)���������Ȥ���$f$��Ʊȼ����
$(\varepsilon, \delta, \alpha)$�Ȼ��Ǥ��롢�Ȥ������Ȥˤ��롣
$\varepsilon$����ʬ�������Ȥ�������5.3�ξ�����Ʊ�ͤʵ����򤷡�Ʊ��
$\beta$�����٤С�
$$
{\limsup}_{N \rightarrow \infty} \frac{1}{N} 
\sum_{t=0}^{N-1}(F^t \nu) (B_a (\delta)) \leq \frac{\alpha}{\beta},
$$
�������롣�����Ĥ��ξ��ˤϡ�$\alpha/\beta \rightarrow 0$�Ȳ��ꤷ�ơ����$a$��ޤޤʤ�����¬�٤����뤳�Ȥ��Ǥ��롣����������ñ���İ���Ū�ʷ�̤�����Τ��񤷤��褦�Ǥ��롣���礭�ʡ������ĳȻ���Ϣ³�ϤǤϼ����˵���������Τǽ��פǤ��롣

\vspace{0.4cm}
\noindent
{\bf 5.5. ����.} ����$f$��Ʊȼ����$(\varepsilon, \delta)$�Ȼ��ε��������������Ψ¬��$\nu$�Υ���ѥ��Ȥ���ϥ���ѥ��Ȥʵ۰�����$\Lambda$�Υ٥�����˴ޤޤ�Ƥ��ꡢ������$\Lambda$�Τ����˵�ˤ�����$f$�ϰ���Ϣ³�Ǥ���Ȥ��롣���ΤȤ�������4.4������5.3��ξ���Ȥ�Ŭ�ѤǤ��롣

$A$��$\Lambda$��������ȥ饯�������½���Ȥ���$\overline{A}$�򤽤�����
$A^* = \cup_{z \in A} [z]$�Ȥ��롣$a$��$\Lambda$�Υ٥�������ˤ���С�����4.4(c)��ꡢ$a \succ b \in A$�Ȥߤʤ��롣$\theta > 0$��Ϳ����줿�Ȥ�������4.4(e)��ꡢ$\varepsilon$��Ŭ��������ǡ�$a$��$A^*$��$\theta$��˵�˴ޤޤ줺��$a \succ b \in A$�ʤ��$b$����$a$�˹Ԥ�$2 \varepsilon$����ƻ���ʤ��褦�ˤǤ��롣����5.3�ξ��������$a,b, \varepsilon$�򤳤Τ褦�����֤ȡ�(2)��������Ω�ġ�����������ȡ�$\theta > 0$��Ϳ����줿�Ȥ���
$\varepsilon$��ʬ�������Ȥäơ�$F$��$f$��Ʊȼ����
$(\varepsilon, \delta)$�Ȼ��Ǥ��äơ�$\nu$��$\Lambda$�Υ٥�������Υ���ѥ��Ȥ������ĳ�Ψ¬�٤ΤȤ���
$$
    \lim_{t \rightarrow \infty} (F^t \nu) (B_a (\delta)) = 0,
$$
������$\delta = \delta (a)$�����$A^*$��$\theta$��˵�˴ޤޤ�ʤ����٤Ƥ�$a$���Ф�������Ω�ġ�$t \rightarrow \infty$�Ȥ������θ�
$\varepsilon \rightarrow 0$�Ȥ����Ȥ���$F^t \nu$�����˸¤�����Ǥ��������$A^*$���������$\Lambda$��γ�Ψ¬�٤Ǥ��롣�������ơ�����5.3�ηϤ�����줿(�ºݾ������ξ����ηϤǤ��뤬)��

\vspace{0.4cm}
\noindent
{\bf 
5.6. ��. $(f^t)$��Υ���ϳطϤȤ���$F$��$f$��Ʊȼ����
$(\varepsilon, \delta)$�Ȼ���$\nu$�ϵ۰�����$\Lambda$�Υ٥�������˥���ѥ��Ȥ������ĳ�Ψ¬�٤Ȥ��롣$\Lambda$�Τ����˵���$f$�ϰ���Ϣ³�Ȳ��ꤹ�롣$\Lambda$��������ȥ饯�������½����$A$��ɽ����$\overline{A}$��$A$������$A^* = \cup_{z \in A} [z]$�Ȥ��롣

$A^*$�γƶ�˵$\Theta$���Ф��ơ�$\varepsilon$����ʬ���������
$$
��������\lim_{t \rightarrow \infty} F^t \nu (M \backslash \Theta) = 0,
$$
�Ǥ��롣�Ȥ��ˡ�Ǥ�դ����˸�
$\lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \lim_{t \rightarrow \infty} F^t \nu$��
$A^*$��������ġ�
}

\vspace{0.4cm}
�����������ǡ�$A^*$���äȾ����ʽ�����֤������뤳�Ȥ��Ǥ��뤫�⤷��ʤ���������ˤ��衢$A$���Ľ���(���Ȥ��Х��ȥ饯�����ο���ͭ��)�ξ�硢
$A^* = A$�Ǥ��ꡢ�椬����Ū��$A$�˴ޤޤ��褦��¬�٤������롣

\vspace{0.4cm}
\noindent
{\bf 6. ����.}

\noindent
{\bf 6.1. ��.} �ե�������Х���[10-12]�϶�֤μ�����Ĵ�٤Ƥ���Ȥ��ˡ�ʬ����̵���󤬶˸¤ؽ��Ѥ������ܤ��٤����ݤ˽в�ä���$n=0,1, \ldots$�Ȥ����Ȥ�������$2^n$�ε۰�������ƻ��ȿȯŪ�ˤʤꡢ����$2^{n+1}$�ε۰�������ƻ�������롣$n \rightarrow \infty$�ΤȤ�������ȡ��뽸�礬����롣�����4��ΰ�̣�ǥ��ȥ饯�����Ǥ��롣���Υե�������Х���Υ���ȡ��뽸��ϵ۰�����ǤϤʤ����ʤ��ʤ顢���Τ�����Ǥ�᤯�˼���$2^n$��ȿȯ������ƻ�����뤫�顣

���$[0,1]$����֤ޤ���Σ�ʬ�Σ��פζ�֤��꼡���Ǽ���뤳�Ȥˤ���̾�Υ���ȡ��뽸��ι���ˡ�����ȯ���ơ��ơּ����줿�׶�����ȿȯ��ư����Ƴ�������ϳطϤ��Ĥ���롣�����ϳطϤǤϡ�����ȡ��뽸��ϵ۰���ư���������롣���ξ�硢���ȥ饯�����ν������Ļ��Ǥ���(Hurley[17,3.4]����)��

2��ǥ٥��ȥ��$X(x)=-x^4 \sin(\pi/x)$�����Ф����������$x<0$�ΤȤ���
$X(x)=-{\rm e}^{1/x}$�Ƚ�������С�$n$���������$1/n$�ϥ��ȥ饯�����Ǥ��롣�Ȥ��������ζ˸�$0$�ϥ��ȥ饯�����Ǥʤ��������饢�ȥ饯�����ν����ɬ�������Ľ���Ǥʤ���

��${\bf R}(\bmod 2\pi)$�ξ�˥٥��ȥ��$X(x)=1- \cos x$��ͤ��롣�����Τ����ȥ饯�����Ǥ��롣����������ͷ������$0$�����Ǥ��롣�����饢�ȥ饯������ͷ������ޤ����롣������Ȥ��ˡ��ɤ�ʥ��르����Ū��Ψ¬�٤���Ȥ�ۤʤ����롣

\vspace{0.4cm}
\noindent
{\bf 6.2. ���ꤪ����԰���¿����.} ��ñ�Τ����$(f^t)$�Ϸ��Ǥ���Ȥ��ơ���$a$�ΰ��ꤪ����԰���¿���Τ򼡼���������롧
$$ \begin{array}{cl}
   \Psi_a^- = & \{x: \lim_{t \rightarrow \infty} \mbox{d} 
(f^t x, f^t a) = 0 \}, \\
   \Psi_a^+ = & \{x: \lim_{t \rightarrow \infty} \mbox{d} 
(f^{-t} x, f^{-t} a) = 0 \}, 
   \end{array}
$$
���ΤȤ���$[a]$��������ʤ�$\Psi_a^- \succ a \succ \Psi_a^+$�Ǥ��롣(�Ȥ��ˡ�$[a]$��$[b]$���������$\Psi_a^+ \cap \Psi_b^- \neq \emptyset$�ʤ�
$a \succ b$�Ǥ��롣$a \sim b$�ʤ�$\Psi_a^+ \cap \Psi_b^- \subset [a]$�Ǥ��롣$[a]$�����ȥ饯�����ʤ�$\Psi_a^+ \subset [a]$�Ǥ��롣)���η�̤Ϥ����ư���Ū������Ω�Ĥ�������ʬ�ϳط�(����ʬ�����ޤ���ή��)�ξ�礬���Ȥ˶�̣�������Ȥ����Τϡ�$\Psi_a^{\pm}$�Ϥ��ΤȤ����Ф��ФϤ���ޤ줿����ʬ¿���ΤǤ��ꡢ����˴ؤ��Ƥϡ��ʤˤ����������򤬿ʤ�Ǥ��롣

\vspace{0.4cm}
\noindent
{\bf 6.3. �������ϳط�.} $(f^t)$($t \in {\bf Z}$�ޤ���$t \in {\bf R}$)�ϸ���������ӥ�������ʤ������������ϳطϤȤ��롣���ΤȤ������������ܽ��礪��ӥ��ȥ饯�����ϲ桹�������प��ӥ��ȥ饯�����ȸƤ����Τ˳��ʤ�ʤ������ܽ����ͭ�¸Ĥ����ʤ����̾�桹����������Ƴ�������Τ�Ʊ���ط��ǽ���դ����Ƥ��롣�������Ϥϲ���ʬ�ϳطϤΰ�������ޤͤƹ��ۤ��褦�Ȥ���Ȥ������ϤǤ��롣���Ȥˡ����줫��桹���������褦�Ȥ�������¬�٤˴ؤ��Ƥ��ƤϤޤ롣

\vspace{0.4cm}
\noindent
{\bf 6.4. ����¬�٤ȥ��ȥ�󥸥��ȥ饯����.}���ϳط�$(f^t)$�˾����ʥ��ȥ����ƥ��å�����ư��ä����Ȥ������¬�٤Ρֻ����ʤ��פζ˸¤Ȥ���������¬�٤�����¬�٤ȸƤܤ��������Ǥϣͤϥ���ѥ��Ȥ�¿���ΤǤ���Ȥ����Ȼ�$F$�γ�$F \delta_x$��$M$��Υ��١���¬�٤˴ؤ�������Ϣ³�Ǥ���Ȥ��롣5��ε������顢����¬�٤���˴ؤ��ƾ��������롣(��������ʤ���)����������ʬ���������ή��ξ�硢¬�٤��Τ�Τ˴ؤ��ƾ��������롣���ȥ饯�������Ȥ����ٰ�Ĥ�����¬�٤������롣����ϡ��԰���¿���ξ�Υ��١���¬�٤ʴؤ�������Ϣ³���԰���¿���ξ�ξ���ճ�Ψ����Ĥ�ΤȤ�����ħ�դ����롣�������Ϥξ��ϡ���۰�Ū���ܽ���ζ᤯�Ǥ�$t$���礭���Ȥ���
$f^t \nu$�Τդ�ޤ����Τ��Ƥ��롣���ʤ����$\nu$�����١���¬�٤˴ؤ���Ϣ³��̩�٤���ƤС����ܽ���ζ�˵��˻ĤäƤ�����̤ϻؿ��ؿ�Ū�˸��ꤹ�롣������������Ω���ʤ��Ȥ��Ǥ⡢���������ʾ�������¬�٤��԰���¿���Τξ������Ϣ³�Ǥ���ȴ��ԤǤ��롣���������㳰���Τ��Ƥ��롣Pugh and Shub[26]�ˤ�äƼ����줿�̤ꡢ�԰���¿���ξ������Ϣ³��¬�٤�����С������¿���ξ���١���¬��$>0$�ν����ʤ�������˴ؤ��륨�르����ʿ�ѤǤ��롣

����¬�٤򸫤Ĥ�������Ϥ������ɾ�������������ܼ�Ū�˿�������Ǥ��뤳�Ȥ��Ŧ���Ƥ�������������򤹤뤿��ˡ�5��ε�����$M$($M$�ϥ���ѥ��ȤȤ��ơˤΰ���Τߤ�Ȥä����Ȥ����դ��褦������������¬�٤��ܼ�Ū�˲���ʬ��¤�˰�¸���롣���Ȥ��С����Υ�����ʬƱ�������¬�٤�¬����Ū����ȥ��ԡ�����ʬƱ�꤬��¤����Ǥ���ˤ⹴�餺����ʬƱ�꤬��ư���������Ѳ����롣

���ȥ饯�����ϼ�Ȥ��Ƽ¸�(�׻�����ʪ������Ӳ��ؼ¸�)����Ǥ��λѤ򸽤�������������¬�٤������Ƥ��ꡢ���ȥ�󥸥��ȥ饯����(strange attractor)������¬�٤����Υ��ס��Υջؿ�����Ļ��¡����ʤ����(�ۤȤ�ɤ�����Ȥ�����)$f^�� x$��$f^t (x+\Delta x)$���ؿ��ؿ�Ū��Υ��ƹԤ����ȡ��ˤ�ä�����Ǥ��뤫���Τ�ʤ������ޤλ����Ǥϡ����ȥ�󥸥��ȥ饯����������¬�٤˴ؤ���ͻ��Ȥ�̵�ط����������뤫�ɤ����Ϥä��ꤷ�ʤ�������Ͼ�����դ����褦�ˡ���¤�δ���������פ�����Ǥ��롣

\vspace{0.4cm}
\noindent
{\bf 6.5. �ǥ�������׻����ˤ�륢�ȥ饯����������.} �ǥ�������׻����ˤ�ä�Ĺ����ƻ$\{ f^t x:t \in [0,N] \}$��׻�����Ȥ��ϴݤ������¸�ߤ˵����դ��ʤ���Фʤ�ʤ����ݤ������ͭ���Ǥ��ꡢ����ʬ�ۤϤ����̣������Ϣ³�Ȳ��ꤷ�Ƥ褵�����Ǥ��롣�������äơ�5��ε�����Ŭ�ѤǤ����׻�����¿ʬ�����ˤ���������������ȥ饯������񸽤���֥��ȥ饯�����פ��������Ƥ���ΤǤ�������(�׻�������ʬ��������򤤤Ƥ�����Ǥ⡢���ĤǤ�Υ���ϳطϤ򤷤�٤Ƥ��뤳�Ȥ����դ��褦��) ������������Ĥ��ʤ���Ф����ʤ��Τϡ�������ˤϡ�����Ū�ʤդ�ޤ���ã���뤿��ˤ�$N$�������礭������ɬ�פ����뤳�ȤǤ��롣�ޤ����ˤȤɤ�Ƥ���ɬ�פ�����Τϡ��ޤä���Ʊ�����˺��Ѥ���Ȥ����׻����Ϥޤä���Ʊ���ݤ�����������뤳�ȤǤ��롣�׻���������ˬ�줿������äƤ�����ü�ˡ�����������Ϣ³����Ω��ʬ�ۤ򤹤�Ȥ����桹�β���˰��ؤ��롣�׻�����ͭ�µ����Ǥ��뤫�顢���μ�Υ롼�פ�ɬ��Ū�������뤬�����Υ롼�פ�������Ĺ���Ȼפ��롣���¤ˡ�Levy[22] �δѻ��ˤ��С�Henon���ȥ饯�������̾�����٤Ƿ׻�����ȡ����Ūû���롼��(Ĺ��$\sim 10^3$)������롣������򤱤뤿��ˤϡ��롼�פ�Ĺ����$N$�˴ؤ����礭���ʤ�褦�����٤�����ɬ�פ����롣

\vspace{0.4cm}
\noindent
{\bf 6.6. ʪ���¸��ؤα���.} ή���ϳط�(�ޤ��ϲ��طϡ�����¾)�μ¸��ˤĤ��Ƶ�������Ȥ��ˤϤ����Ĥ��κ���˽в񤦡����֤�Ϣ³�Ǥ��뤳�ȤϤ��켫�ο��������ǤϤʤ�����������ʤ�餮��ͭ���Ǥ���Ȳ���Ǥ��ʤ��ʤ�
(��餮���ۤʤ����ˤ�������ؤʤ��ΤȤ�)������ˡ���餮��ʬ�ۤϤۤȤ�ɤ狼�äƤ��ʤ�(ʿ�վ��֤ˤ����벹�٤�餮�˴ؤ��ƤϤ褤���������뤬������������ʿ�վ��֤���Ϥ��줿�Ȥ����ؤϴ�ñ�˳�ĥ�Ǥ��ʤ���Fox[13]����)��5.4��򻲹ͤˤ���С����ȥ饯�����Ǥʤ����ܽ��礫��Υ����ޤǤλ���(�����$\beta^{-1}$���٤��礭���Ǥ���)����٤ˤ����礭�ʤ�餮������
($\alpha$�ˤ�ä�¬����)���������Ȥ���С��¸��ǡ����ϥ��ȥ饯�����ζ᤯�ˤ�������������ξ��ϡ����Ȥ����¤ˤ褯���������ˤ��Ƥ⡢����Ū�ˤϼ¾ڤ���Τ��񤷤���

\vspace{0.4cm}
\noindent
{\bf References}

{\small
\re
1. Ahlers, G: Low-temperture studies of the Reyleigh-B\'{e}nard instability and turbulence. {\it Phys. Rev. Lett.} {\bf 33}, 1185-1188 (1974).

\re
2. Bourbaki, N.: {\it Topologie G\'{e}n\'{e}rale} (fascicule de r\'{e}sultats). Paris: Hermann 1953.

\re
3. Bowen, R.: Equilibrium states and the ergodic theory of Anosov Diffeomorphisms. {\it Lecture notes in Mathematics} Vol.470. Berlin: Springer 1975.

\re
4. Bowen, R.: On Axiom A Diffeomorphisms. CMBS Regional Conference, Ser. 35, Providence RI, Am. Math. Soc. 1978.

\re
5. Bowen, R, Ruelle, D.: The ergodic theory of Axiom A flows. {\it Invent. Math.} {\bf 29}, 181-202 (1975).

\re
6. Campanino, M., Epstein, H.: On the existence of Feigenbaum's fixed point. {\it Commun. Math. Phys.} {\bf 79}, 261-302 (1981).

\re
7. Collet, P., Eckmann, J-.P.: Iterated maps on the interval as dynamical systems. {Progress in Physics} Vol.1, Boston, Birkhauser 1980.

\re
8. Collet, P., Eckmann, J-.P., Lanford, O.E.: Universal properties of maps of an interval. {\it Commun. Math. Phys.} {\bf 76}, 211-254 (1980).

\re
9. Conley, Ch.: Isolated invariant sets and the Morse index. CBMS Regional Conference, Ser. 38, Providence, RI: Am. Math. Soc. 1978.

\re
10. Feigenbaum, M.J.: Quantitative universality for a class of nonlinear transformations. {\it J. Stat. Phys.} {\bf 19}, 25-52 (1978).

\re
11. Feigenbaum, M.J.: The universal metric properties of nonlinear transformations, {\it J. Stat. Phys.} {\bf 21}, 669-706 (1979).

\re
12. Feigenbaum, M.J.: The transition to a periodic behavior in turbulent systems. {\it Commun. Math. Phys.} {\bf 77}, 65-86 (1980).

\re
13. Fox, R.F.: Hydrodynamic fkuctuation theories. {\it J. Math. Phys.} {\bf 19}, 1993-1999 (1978).

\re
14. Gollub, J.P., Swinney, H.L.: Onset of turbulence in a rotationg fluid. {\it Phys. Rev. Lett.} {\bf 35}, 927-930 (1975).

\re
15. H\'{e}non, M.: A two-dimensional mapping with a strange attractor. {\it Commun. Math. Phys.} {\bf 50}, 69-77 (1976).

\re
16. Hopf, E.: A mathematical example displaying the features of turbulence. {\it Commun. Pure Appl. Math.} {\bf 1}, 303-322 (1948).

\re
17. Hurley, M.: Attractors: persistence and density of their basins (to appear).

\re
18. Kifer, Yu.I.: On small random perturbations of some smooth dynamical systems. {\it Izv. Akad. Nauk SSSR} Ser. Math. {\bf 38}, 1091-1115 (1974). English translation: {\it Math. USSR Izv.} {\bf 8}, 1083-1107 (1974).

\re
19. Kifer, Yu.I.: Stochastic stability of the topological pressure. {\it J. Anal. Math.} {\bf 38}, 255-286 1980).

\re
20. Landau, L.D.: Turbulence. {\it Dokl. Akad. Nauk SSSR} {\bf 44}, 339-342 (1944).

\re
21. Lanford, O.E.: A computer-assisted proof of the Feigenbaum conjectures (to appear).

\re
22. Levy, Y.: Some remarks about computer studies of dynamical systems (to appear).

\re
23. Lorenz, E.N.: Deterministic Nonperiodic flow. {\it J. Atmos Sci.} {\bf 20}, 130-141 (1963).

\re
24. Misiurewicz, M.: Structure of mappings of an interval with zero entropy. {\it Publ. Math. IHES} {\bf 53}, 5-15 (1981).

\re
25. Pesin, Ya.B.: Invariant manifold families which correspond to non-vanishing characteristic exponents. {\it Izv. Akad. Nauk SSSR} Ser. Math. {\bf 40}, 1332-1379 (1976). English translation: {\it Math. USSR Izv.} {\bf 10}, 1261-1305 (1975).
\re
26. Pugh, C.C., Shub, M.: Differentiability and continuity of invariant manifolds (to appear).

\re
27. Ruelle, D.: {\it Ame. J. Math.} {\bf 98}, 619-654 (1976).

\re
28. Ruelle, D.: Dynamical systems with turbulent behavior. Mathematical problem in theoretical physics. {\it Lecture Notes in Physics}, Vol.80, pp.341-360, Berlin: Springer 1978.

\re
29. Ruelle, D.: Thermodynamic formalism. {Encyclopedia of math and its Appl.} Vol.5, Reading, Mass.: Addison-Wesley 1978.

\re
30. Ruelle, D.: Ergodic theory of differentiable dynamical systems. 
{\it Publ. Math. IHES} {\bf 50}, 275-306 (1979).

\re
31. Ruelle, D.: Characteristic exponents and invariant manifolds in Hilbert space. {\it Ann. Math.} (to appear).

\re
32. Ruelle, D.: Differentiable dynamical systems and the problem of turbulence. {\it Bull. Am. Math. Soc.} (New Series) {\bf 5}, 29-42 (1981).

\re
33. Ruelle, D., Takens, F.: On the nature of turbulence. {\it Commun. Math. Phys.} {\bf 20}, 167-192 (1971).

\re
34. Sinai, Ya.G.: Gibbsian Measures in ergodic theory. {\it Usp. Math. Nauk} {\bf 27}, 21-64 (1972). English translation: {\it Russ. Math. Surv.} {\bf 27}, 21-69 (1972).

\re
35. Smale, S.: Differentiable dynamical systems. {\it Bull. Am. Math. Soc.} {\bf 73}, 747-817 (1967).

\re
36. Smale, S.: The $\Omega -$stability theorem. Global analysis. {\it Pure Math.} Vol.14, pp.289-298, Providence, R.I.: Am. Math. Soc. 1970.

\re
37. Williams, R.F.: Expanding attractors. {\it Publ. Math. IHES} {\bf 43}, 169-203 (1974).

}

\end{document}
