\documentstyle[12pt,twoside]{jarticle}
%
\oddsidemargin 0.0cm
\evensidemargin -1.0cm
\topmargin 0.0cm
%
\textwidth 16.8cm
\textheight 22.5cm
\footheight 0.5cm
\footskip 1.2cm
%
\newcommand{\re}{\vspace{0.15cm}\par\hangindent=0.7cm\noindent}
%
\begin{document}
\setlength{\baselineskip}{3ex}
%
%���ġ�Ĺ�����ʸ
%Prog. Theor. Phys. 61(1979), 1605-1616.
%
\begin{flushright}
ë����δ ��
\end{flushright}

\noindent
{\it Progress of Theoretical Physics} {\bf 61} (1979), 1605-1616

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\Large
{\bf �����ϳطϤΥ��르��������ؤο���Ū���ץ����� \\
A Numerical Approach to Ergodic Problem \\
of Dissipative Dynamical Systems} 
}

\vspace{0.3cm}
Ippei Shimada and Tomomasa Nagashima

\vspace{0.3cm}
Department of Physics, Hokkaido University, Sapporo 060 \\
Department of Precision Engineering, Faculty of Engineering \\
Hokkaido University, Sapporo 060 
\end{center}

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf ����} 
\end{center}

���ס��Υ������ؿ��˴�Ť��ơ�����ͳ�٤λ����ϳطϤΥ��르�������򡢥������ķϤ���˿���Ū�˸��椹�롥�������ķϤ�1�������ס��Υջؿ��˴ؤ��Ƥ�$(+, 0, -)$���Υ��ڥ��ȥ�򼨤������ȥ饯������ΤۤȤ�ɤ��٤Ƥν���������ȯ���뵰ƻ���Ф��Ƥϻؿ���Ʊ���ͤ��롥

���η�̤ϸ���$A$�Υ��ƥ��꡼��ɬ������°���ʤ����̤��ϳطϤΥ��르����������ס��Υ������ؿ��Υ��ڥ��ȥ���������ħ�Ť����뤳�Ȥ򼨺����롥

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf 1. ��} 
\end{center}

�Ƕᡢ�����ϳطϤ����������˵������륫������ư����ʪ���ؤ�ʪ���ذʳ���ʬ����礭�ʴؿ���Ƥ�Ǥ���$^{1)}$������������$A$���������ʤ����̤��ϳطϤˤ����Ƥϡ�����Ū�˳�Ω���줿��ˡ�ˤ�äƤ����Υ�������ư�β��ϤϾ��������ʤ�Ǥ��ʤ�$^{2) \sim 4)}$��

������ʸ����Ū�ΤҤȤĤϡ������ϳطϤǹ��������륫������ư�����Ū����ħ�Ť��������Ū��ˡ��Ϳ���뤳�ȤǤ��롥���Τ���δ���Ūȯ�ۤϡ��ϳطϤ����ᵰƻ�԰���������ħ�Ť���1�������ס��Υջؿ��δ������Ȥ����Ѥ��뤳�Ȥˤ���$^{5) \sim 9)}$���������Ū�ϡ���������ư��ʬ���������������뤿��μ���Ū��ƻ��Ȥ��ƥ��ס��Υջؿ��γ�ǰ���Ȥ��뤳�Ȥ򼨤����Ȥˤ��롥

��������Ū�Τ���ˤϡ��ʤ�餫�ο���Ū��ˡ�ˤ�äƥ��ס��Υջؿ���ɾ�����뤳�Ȥ����פ�����Ȥʤ롥�ʤ��ʤ顢��������ư�򼨤������������Ū�˰���β��ϲ����Ĥ��Ȥ����̤˴��ԤǤ��ʤ�����Ǥ��롥��¬��ʬƱ������ξ�硢Benettin et al.$^{11)}$�ϺǶᡢ��������ʸ��Ÿ�������ΤȤۤ�Ʊ����ˡ���Ŧ���Ƥ��롥

2��Ǥ�$k$�������ס��Υջؿ���¸�ߤȤ��������ˤĤ��ƴ�ñ�˵������롥�����ؿ�������¬�٤δط��ޤ�¬����Ū����ȥ��ԡ�(����⥴���� ����ȥ��ԡ�)�Ȥδط��ˤĤ��ƥ����Ȥ��롥���Ǥϡ�����Ū��$k$�������ס��Υջؿ���ɾ��������̥���������ñ��Ÿ������¾�ζ��Ū��ˡ�Ȥδط��ˤĤ��Ƶ������롥

3��Ǥ�ͭ̾����ή��ǥ�Ǥ���������ĥ�ǥ�$^{12)}$���������ˡ�˴�Ť���Ĵ�١����ηϤ�1�������ס��Υջؿ��δ������Ȥη�̤�Ϳ���롥���ס��Υջؿ��˴�Ť������μ�ˡ�α��ѤȤ��ơ�4��Ǥϥ������ķϤΥ��������ʬ���������Ĵ�٤롥

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf 2. �Ե�§��ư���Ф�����ס��Υ������ؿ��˴ؤ�����ʬŪ�ޤȤ�} 
\end{center}

��Ū������ܤ��Ƥ��ʤ��Τ˥�������ư�򼨤��ϳطϤϵ�ƻ�Τ������԰���������Ĥȹͤ����Ƥ��롥���������餹��ȡ���ƻ����ξ������Ѱ̤λ���Ū�դ�ޤ���Ĵ�٤뤿��δ���Ū��ˡ�����뤳�Ȥ����դ�����ͤ����롥������ˡ�ϥ��ס��Υդ���ˡ�ȸƤФ�롥����ϵ�ƻ�������ʬ��Ȥ���

���ơ����ֿʲ���$N$�����桼����åɶ��֤���ʬ���������Ȥˤ�äƵ��Ҥ�����
$$
  \dot{\bf x} = {\bf F}({\bf x}),   \eqno(1)
$$
��ͤ��褦�������${\bf x}(0) = {\bf x}_0$�Τ�ȤǤ�������(1)�β��
$$
  {\bf x}(t) = T^t {\bf x}_0,   \eqno(2)
$$
�Ƚ񤱤롥������$T^t$�Ϥ��٤Ƥ������λ���$t$�ʲ��򵭽Ҥ�������Ǥ��롥

��������ƻ�������ʬ�λ��ֿʲ��������ϰʲ�������������ʬ�������ˤ���������
$$
  \delta \dot{\bf x} = \displaystyle 
\frac{\partial {\bf F}}{\partial {\bf x}} (T^t {\bf x}_0) 
\delta {\bf x} .          \eqno(3)
$$
������(3)�β��
$$
  \delta {\bf x} (t) = U_{{\bf x}_0}^t \delta {\bf x}_0 ,    \eqno(4)
$$
�Ƚ񤱤롥������$U_{{\bf x}_0}^t$��������(3)�δ��ܹ���Ǥ��ꡢ$\delta {\bf x}_0$��$t=0$�ˤ��������Ѱ̤Ǥ��롥������(4)�δ��ܹ���ϼ��κ�§����������
$$
  U_{{\bf x}_0}^{t+s} = U_{T^s{\bf x}_0}^t \circ U_{{\bf x}_0}^s 
\eqno(5)
$$
�����Ѱ̤�����Ū�դ�ޤ���$t \rightarrow \infty$�ΤȤ��δ��ܹ��������Ū�դ�ޤ��ǵ��ҤǤ��뤳�Ȥϸ��䤹�������ơ����ι����$t \rightarrow \infty$�ΤȤ�������Ū�դ�ޤ��ϰʲ��λؿ��ˤ�ä���ħ�Ť�����$^{5),6),11)}$�����ʤ����$k = 1, 2, \ldots, N$���Ф��ơ�
$$
  \lambda (e^k, {\bf x}_0) = 
\displaystyle 
\lim_{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \log 
\frac{|| U_{{\bf x}_0}^t {\bf e}_1 \wedge U_{{\bf x}_0}^t {\bf e}_2 \wedge \cdots \wedge U_{{\bf x}_0}^t {\bf e}_k ||}
{|| {\bf e}_1 \wedge {\bf e}_2 \wedge \cdots \wedge {\bf e}_k ||}
               \eqno(6)
$$
(6)�ε���ΰ�̣�ϼ����̤�Ǥ��롥$e^k$��${\bf x}_0$�ˤ������ܶ���${\bf E}_{{\bf x}_0}$��$k$������ʬ���֤Ǥ��ꡢ
$\{ {\bf e}_i \} \ (i=1,2, \ldots, k)$��$e^k$�δ�����ȤǤ��ꡢ$\wedge$�ϳ��ѡ�$|| \circ ||$�Ϥʤ�餫�Υ꡼�ޥ���̤˴ؤ���Υ��Ǥ��롥(6)����������ؿ���${\bf x}_0$���ȯ���뵰ƻ�˱�äƤ��ܶ��֤�$k$����Ω����(parallelopiped)�����Ѥ���ĥΨ��ɽ�路��$k$�������ס��Υջؿ��ȸƤФ�롥��������������餫�ʤ褦�ˡ��ؿ��ϴ�����������˰ͤ餺��$k$������ʬ����$e^k$�ˤΤ߰�¸���롥

�ʲ��ε����ǻȤ����ס��Υջؿ���������ޤȤ�Ƥ����Τ������Ǥ��롥

\noindent
1) 1�����ؿ�$\lambda(e^1, {\bf x})$�Ϥ�������$N$�Ĥΰۤʤ��ͤ��ꡢ�����$\{ \lambda_i \}_{1 \leq i \leq N}$�Ƚ񤭡�
$\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \ldots \geq \lambda_N$����«���롥

\noindent
2) $k$�����ؿ�$\lambda(e^k, {\bf x})$�Ϥ�������$_N C_k$�Ĥΰۤʤ��ͤ��ꡢ���ͤ�$k$�Ĥΰۤʤ�1�����ؿ����¤˴ط����Ƥ��롥���Ȥ��С�$N=3$�ξ�硢$k$�����ؿ�$\lambda(e^k, {\bf x}) \ (k=1,2,3)$�Ϥ��줾��ʲ����ͤ��롥
$$ \begin{array}{ll}
  \lambda(e^1, {\bf x}) =  & 
          \{ \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \} �Τɤ줫 \\
  \lambda(e^2, {\bf x}) =  & 
          \{ (\lambda_1 + \lambda_2), 
             (\lambda_1 + \lambda_3), 
             (\lambda_2 + \lambda_3) \} �Τɤ줫 \\
  \lambda(e^3, {\bf x}) =  & 
             (\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3) 
   \end{array} 
$$

\noindent
3) �������$\{ {\bf e}_i \} \ (i=1,2, \ldots, N)$���ܶ��֤ǥ���������Ф�Ƥ���С�$k=1,2,\ldots, N$���Ф���$k$�����ؿ�$\lambda(e^k, {\bf x})$�ϡ���Ψ1�ǡ����λ�������$_N C_k$�Ĥΰۤʤ��ͤν������Ƕ����ͤ˼�«���롥
(����̿���Benettin et al.�ˤ�ꡢ��ʬƱ������ξ��˾������줿$^{11)}$.)

���ס��Υջؿ��˴ؤ����ε�������̣������Τ�(6)�������������̤ζ˸¤�¸�ߤ��ݾڤ���Ƥ���Ȥ������Ǥ��뤳�Ȥ����դ��褦��

���ζ˸¤�¸�߾�����Oseledec���Ԥʤä��������Ǥε����ˤդ��路��������������򵭽Ҥ��褦��

\underline{Oseledec�ξ�ˡŪ���르��������}. $T^t$���Ѥ�¬��$\mu$��
$||\partial {\bf F}/\partial {\bf x}|| \in L^1(\mu)$������С�$k$�������ס��Υջؿ�$\lambda(e^k, {\bf x}_0) \ (k=1,2,\ldots,N)$��$\mu$�ΰ�̣�ǤۤȤ�ɤ��٤Ƥ�${\bf x}_0$���Ф���¸�ߤ��롥���������ε���ϡ���ε����ǻȤä���Τ�Ʊ���Ǥ��롥

����ʸ塢�ϳطϤΥ��ס��Υջؿ���¬����Ū����ȥ��ԡ�(K����ȥ��ԡ�)�δ֤Τ����Ĥ��δط��ˤĤ��ƹͤ���Ҥ٤롥���ס��Υջؿ���¸�ߤ���K����ȥ��ԡ���ľ�ܴط����뤳�Ȥ��Τ��Ƥ��롥���ޤޤǤ�����줿�ط��Τ������Ǥ�夤��Τϼ��δط��Ǥ��롥
$$
  H(\mu) - \int \sum_{\lambda_i > 0} \lambda_i (x) d \mu \leq 0.  
\eqno(7)
$$
������$H(\mu)$������¬��$\mu$������ϳطϤ�K����ȥ��ԡ��Ǥ��롥

������������Ruelle$^{14),15)}$�������������ϥߥ�ȥ�Ϥ���Ӹ���A�Ϥξ�硢(7)��������������Ω��$^{17)}$��(7)�����������ݾڤ���Ƥ���С����Υ��ס��Υջؿ����¤���ʿ�Ѥ�K����ȥ��ԡ����Τ�Τˤʤ롥����ˡ�(7)�����������������ϳطϤΥ��ƥ��꡼�Ϥ��޽Ҥ٤��ϳطϤ���äȹ����ȴ��Ԥ���롥

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf 3. �������ķϤ�1��2�������3�������ס��Υջؿ�} 
\end{center}

������Ǥϡ�����Ÿ����������Ū��ˡ�˴�Ť��ơ��������Ĥˤ��ͭ̾����ή��ǥ���Ф���1�������ס��Υջؿ��δ������Ȥ˴ؤ���Ϥä��ꤷ����̤�Ф���

�������ĥ�ǥ�ϼ�����ʬ�������Ϥ�Ϳ�����롥
$$ 
\displaystyle 
\frac{d}{dt} \left( \begin{array}{c}
    X \\
    Y \\
    Z
             \end{array} \right) = 
\displaystyle 
\left( \begin{array}{ccc}
    -\sigma X & + \sigma Y  &  \\
    (\gamma - Z) X & -Y     &  \\
     XY       &             & -bZ
       \end{array} \right) = {\bf F} ({\bf x}) , \eqno(8)
$$
������$(\sigma, b, \gamma)$�ϥѥ�᡼���Ǥ��롥�������ĥ�ǥ�ϻ���ϤǤ��ꡢ�������äƥϥߥ�ȥ�ϤȰ�äơ���Ȥ�Ȥ�����¬�٤�����ʤ������ηϤǤϡ��ѥ�᡼��$\gamma$($\sigma$��$b$�Ϥ��ޤ������)�������ͤ�ۤ���ȡ�����ȡ��뽸��Τ褦��ʣ���ʴ�����Ū�ʹ�¤����Ĺ⼡�����ȥ饯���������졢�����饯������ε�ƻ�ϼ���Ū�Ǥʤ���

������դ��Ƥ����ȡ��������ķϤι⼡�����ȥ饯�����ϸ���A�ϤΥ��ȥ�󥸥��ȥ饯�����Τ褦�ʳ�Ω���줿����Ū�ʥ��ƥ��꡼�ˤ�°���ʤ����ʤ��ʤ顢���ȥ饯�����ΤϤ�����ư��$(0,0,0)$�����äơ����ȥ饯�����ΰ����жʹ�¤���¸�����ʤ�����Ǥ��롥

�����η׻��ˤ����ƥѥ�᡼����$\sigma = 16.0, b=4.0$�����$\gamma=40.0$���֤������Υѥ�᡼���ͤϤ�ȤΥ������Ĥ���$\sigma = 10.0, b=8/3$�����$\gamma=28.0$�Ȥϰۤʤ뤬�����ȥ饯������ε�ƻ�δ�����Ū��¤�Ϥ�ȤΤ�Τ��ΰ�$50 \geq \gamma \gamma_T \equiv \sigma(\sigma + b + 3) / (\sigma - b - 1)$���ϰϤ�����Ū��Ʊ���Ǥ��롥������ʬˡ��������Runge-Kutta-Gillˡ�Ǥ��ꡢŵ��Ū���ֺ���$0.01$�Ȥ���������Ĵ�٤���ˡ�ǵ�ƻ�������������ʬ����������ʬ����(�Ƶ��ʲ����֤�$\tau=1.0$�Ȥ���)��1��2�������3�������ס��Υջؿ���׻������������Ϥ��줾�줢�뤭����Ȥ����ͤ˼�«������

${\bf x}_0$�����ȯ������ƻ��3�Ĥλؿ�
$\lambda(e^1, {\bf x}_0), \lambda(e^2, {\bf x}_0), \lambda(e^3, {\bf x}_0)$�ϤϤ������ʬ����$e^k(k=1,2,3)$���������˰�¸���ʤ��ä����Ȥ��Ŧ���Ƥ��������ͷ�̤Ͽ�1�˼�������2���3)�ǵ��Ҥ������ס��Υջؿ��ˤĤ��Ƥ��ĽҤˤ������äơ��ؿ�$\lambda(e^k, {\bf x}_0) \ (k=1,2,3)$��ɾ���ͤϤ��줾�쵿����ʤ������ͤ�����Ǥ��롥�������äƼ��δط�������Ω�Ĥ��Ȥ����ԤǤ��롥
$$
  \lambda(e^1, {\bf x}_0) = \lambda_1 , 
  \lambda(e^2, {\bf x}_0) = \lambda_1 + \lambda_2 , 
  \lambda(e^3, {\bf x}_0) = \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 . 
$$
������$\lambda_i(i=1,2,3)$��1�������ס��Υջؿ��Ǥ��äơ�$j>i$�ʤ�$\lambda_i \geq \lambda_j$�Ȥ��Ƥ��롥�������ä�1�������ס��Υջؿ��򼡤Τ褦��ɾ���Ǥ��롥
$$ \begin{array}{lll}
  \lambda_1 = \lambda(e^1, {\bf x}_0), 
  \lambda_2 = \lambda(e^2, {\bf x}_0) - \lambda(e^1, {\bf x}_0) & 
����� & 
  \lambda_3 = \lambda(e^3, {\bf x}_0) - \lambda(e^2, {\bf x}_0) . 
   \end{array}                    \eqno(10)
$$

��1�μ����Ȥ����ˤ��С����ס��Υջؿ�
$\lambda(e^k, {\bf x}_0) \ (k=1,2,3)$����ʬ����$e^k$�δ���ν���μ�����˰�¸���ʤ��������ֶ��֤ν����${\bf x}_0$�μ�����ˤ��¸���ʤ���

��������ĽҤˤ⤫����餺���������ķϤˤϡ�����¾�ˤ⼫���ʥ��ס��Υջؿ������롥���ʤ����$(0,0,0)$����ư���˸�������ƻ�λؿ��Ǥ��롥�����ε�ƻ��1�������ס��Υջؿ���$(0,0,0)$�ˤ����������٥��ȥ��Υ��ڥ��ȥ�Ȥʤꡢ�桹�����ͼ¸�������$\lambda_i(i=1,2,3)$�Ȥϰۤʤ��ͤ��롥�������äơ�$(0,0,0)$����ư���˸�������ƻ�Ϥ����̣��̵��Ǥ���ȹͤ����롥

��ǽҤ٤���̤ȴ�Ϣ���ơ�2�Ĥΰո���Ҥ٤Ƥ��������ǽ�ϡ�����Ÿ���������ͥ��������ability�ˤĤ��ƤǤ��롥���Ǥ��Τ��Ƥ���褦�ˡ��������ķϤΥ٥��ȥ���ȯ���ϰ����ͤ��롥���ʤ����
${\rm div} {\rm F}(x) = - (\sigma + b + 1) = -21.0$�Ǥ��롥�������ķϤΤ���������ȤäƤ郎���ͥ��������ability��ƥ��Ȥ�����

���ʤ����3�����ؿ�$\lambda(e^3, {\bf x}_0)$���������Ǥγ���Ψ�Ǥ��뤫�顢�٥��ȥ���ȯ����ľ����ӤǤ��롥3�����ؿ��λ��ּ�«����1��2�����ؿ��λ��ּ�«����Ϥä��꼨����̤�ɽI��Ϳ������
3�����ؿ�$\lambda(e^3, {\bf x}_0)$�η�̤��顢�׻����֤���Ĺ���Ȥ�С�����Ū�ˤϡ�$\lambda(e^2,{\bf x}_0$��$\lambda(e^1,{\bf x}_0)$�η׻����٤�$\lambda(e^3,{\bf x}_0)$�����٤�Ʊ�����٤ˤʤ�ȴ��ԤǤ��롥

�ط�(10)�ˤ��С��������ķϤ��Ф���1�������ס��Υջؿ�$\lambda_i \ (i=1,2,3)$�δ������Ȥ�ɾ���Ǥ��롥��̤�ɽII��Ϳ���Ƥ�������Ʊ���ˡ���䵰ƻ������(A.4)��Ȥ���ˡ��ɾ����������1�����ؿ���Ϳ���������ε�����������Ǥ���褦�ˡ��������ˡ��������Τȵ�ƻ��������Ȥä���������1�����ؿ���2�Ĥ��ͤϡ����ǽҤ٤���郎���������Ф褯���פ��롥���줬�����remark�Ǥ��롥

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf 4. �̤η��Υ��ȥ饯��������ӥ������ķϤΥ��ס��Υջؿ�} 
\end{center}

���ס��Υջؿ��Υ��ڥ��ȥ뷿�ȥ��ȥ饯�����η��ϸߤ��˶����ط����Ƥ���������Ǥ��롥�������ķϤ��������ư�����λؿ��������1�����ؿ�$\lambda_i \ (i=1,2,3)$�Υ��ڥ��ȥ��$(+,0,-)$�����ж����򼨤������餫�˰��������ƻ��$(-,-,0)$���Υ��ס��Υջؿ�����ħ�Ť����롥���ΰ�̣�ǡ�1�������ס��Υջؿ��Υ��ڥ��ȥ뷿�Ͽ��������Υ��ȥ饯�����νи���Ĵ�٤�Τ�ͭ�Ѥ�ƻ��Ǥ��롥���������餹��ȡ��������ʸ����𤷤��Ȥ��ꡢ�������ķ�($\sigma$��$b$����ꤷ��)��$\gamma$���礭���Ȥ�����ʼ������ȥ饯�����ǽ���롥

�ʲ��Ǥ�����ʸ����𤷤ʤ��ä�����������򤤤��Ĥ��Ĥ��ä��롥$\gamma$������ΰ�$50 \leq \gamma \leq 330$�ˤ����ƥѥ�᡼��$\gamma$���Ѥ����($\sigma=16.0$�����$b=4.0$)���������ķϤβ������ʣ����ʬ���Τդ�ޤ��򼨤��������Ͽ�2�˼�������

���ȥ饯���������Ū��ʬ���������������ޤ���ͽ�����뤿��ˤϡ����ηϤ��Ф��ƥݥ��󥫥�����ξܤ����μ���ɬ�פǤ��롥��ǵ��������ѥ�᡼��$\gamma$���ϰϤǤϡ����������ˤ���ǽ�������롥�Ĥޤꡢ������$Z = \gamma -1$��ǥݥ��󥫥�������ä��Ȥ�����ƻ���̤���Ū�˲��ڤ�ʤ����⤷��ʤ����������äơ����ޤ��ʳ�������Ʊ�ͤ˥������ķϤ�ʬ��������������Ū��¤��Ҥ٤뤳�ȤϤǤ��ʤ���

����������Ū���ȥ饯�����˴ؤ��Ƥϥѥ�᡼��$\gamma$�Τ������¤��줿�ΰ�ǤϤä��ꤷ��ʬ�������Τ褦�˵����롥�ǽ�η����о����˲����Ȥ�Ƥ֤٤���Τǿ�3(a)�˼���������Ȥΰ����ߥåȥ������뤬�԰��경�������Ȥΰ����ߥåȥ������뤬ʬ���Ǹ����롥����
$(X, Y, Z) \stackrel{S} \mapsto (-X, -Y, Z)$�Τ�Ȥǡ���ߥåȥ�������ΤҤȤĤϤ⤦�����˼̤롥��ƻ�Ͻ���ͤ˱�����2�ĤΥ�ߥåȥ�������Τɤ��餫�˵۰�����롥�������ä��Ѵ�$S$�˴ؤ�������������������о����Ϥ��η���ʬ���θ�Ǥϲ���롥��������̤�Brunovskyʬ��$^{20)}$�Ǥ��ꡢ��3(b)�˼����������η���Brunovskyʬ���θ�Ǥϥ�ߥåȥ�������μ����Ϥ�Ȥμ���$\omega$��2�ܤˤʤ롥����ʬ���Ǥ��о������Ѥ��ʤ���

�Ϥ��۰�������ƻ��������Ѵ�$S$�Τ�ȤǤ��о�������Ĥ褦���ͤ���$\gamma$�򸺾�������ȡ��Ϥ�����о����˲���ʬ���������롥���η���ʬ���θ�ǰ�Ϣ��Brunovskyʬ���������ꡢ��ߥåȥ�������μ�����
$\omega \cdot 2^n \ (n=0, 1, \ldots)$�η��Ǥɤ�ɤ�Ĺ���ʤ롥

��������ϼ���$n$�ΰ���ʥ�ߥåȥ����������Ĥ褦�ʥѥ�᡼����֤����Ǥ���ѥ�᡼��$\gamma$�ζ˸��ͤ�ۤ���ȸ�����ȹͤ����롥����˻���ʬ�����ݤ�R$\ddot{\rm o}$ssler��ǥ�$^{21)}$�䤢���β���ȿ����ǥ�$^{22)}$�˸����롥�������˻�뤳�ΰ�Ϣ��ʬ���ϥȥ�ˤ�ä�Ƴ�����줿���̲��������ȥ��ե�$^{23)}$����Ǥ���ȹͤ����롥

���Τ褦��ʬ������Ϥ���ˤϤ����ؤ���̯�����꤬����Ǥ��뤳�Ȥ����դ��٤��Ǥ��롥���ʤ��������ʥ�ߥåȥ�������ȥ�������ư�Υ��ס��Υջؿ�$\lambda_i(i=1,2,3)$�Υ��ڥ��ȥ뷿�ϸߤ��˰㤦�Ϥ��Ǥ��뤫�顢���ڥ��ȥ뷿��$(+,0,-)$����$(0,-,-)$���Ѥ���׳���������Τ����餫�Ǥ��롥�����׳����ˤ����ƻؿ��ΤҤȤĤ������Ѥ������˽��ह�롥�ؿ������Τ褦�˽��ह����ϳطϤϹ�¤�԰���ˤʤ롥�����餳���׳����ζ᤯�ǿ���Ū���������Ϥ���ˤ����äƤϺٿ������դ�ɬ�פǤ��롥

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf 5. ��������ӵ���} 
\end{center}

�������ķϤΣ��������ס��Υջؿ��δ�������$(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)$��¸�ߤ��뤳�ȡ�����ӻؿ����������ĥ��ȥ饯�����ζ�˵���ȯ����ۤȤ�ɤ��٤Ƥε�ƻ�˴ؤ���Ʊ���ͤ��뤳�Ȥ�����Ū�˼����줿����η�̤ϥ��ȥ饯�����������¬�٤�¸�ߤ��뤳�Ȥ���ӥ������ķϤ���������¬�٤˴ؤ��ƥ��ȥ饯������ǥ��르����Ū�Ǥ��뤳�Ȥ򶯤��ٻ����롥����ˡ�1�����ؿ� $(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)$�Υ��ڥ��ȥ뤬$(+, 0, -)$���Ǥ��뤳�Ȥ��顢���ȥ饯������α�ư��������$K$����ȥ��ԡ����ꡢ�������ä�mixing������ġ�

1�����ؿ��Τ⤦�ҤȤĤμ������Ȥ����äơ�����ϥ������ķϤ���ͷ������ΰ����жʹ�¤���ˤäƤ��뤳�Ȥ�Ҥ٤Ƥ�����������̷�⤹����¤ϼ��Τ褦�˹ͤ����롥�������ķϤϸ���A��̩�ʰ�̣�Ǥ��������ʤ�����¬����Ū�ʰ�̣�ǤϤ���ۤɤҤɤ��ˤäƤ��ʤ����Ĥޤ꼫���ʥ��ס��Υջؿ���°���뵰ƻ����ͷ����������¬�٥����ζ��֤������ʤ���

�����ǵ��Ҥ����������ķϤη�̤�����ʸ�ǻ�Ŧ���Ƥ��ä�������������ʸ�Ǥϵ�ƻ������(A.4)��Ȥ���ˡ����Ѥ������ֶ��֤Ǥλؿ�Ū��ƻΥ����¸�ߤ��в�����Τ��Թ礬�褫�ä�$^{24) \sim 26)}$��tangent��������򤯤��Ȥˤ�ꡢ������ʸ�Ǥϡ����Υ��ס��Υջؿ���¸�ߤ�����Ū�ʴ��äξ���ϳطϤΥ��르���������ȴط����Ƥ��뤳�Ȥ���äȤϤä��ꤷ����

4��ǽҤ٤��褦�ˡ�������ʸ�Ǻ��Ѥ������ס��Υջؿ�����ˡ������Ū���Ե�§��ư����ħ�Ť�������Ǥʤ������ȥ饯������ʬ���������Ŭ�Ѥ���ˤ�ƶ��Ϥ����롥

��ʸ�򽪤���ˤ����äơ�4�����ʾ�λ����ϳطϤΥ�������ư����ס��Υջؿ��δ�������$\lambda_i(i=1,2, \ldots)$�Υ��ڥ��ȥ뷿�ˤ������ä�ʬ�ह�뤳�Ȥ��󾧤��롥4�����ξ�硢���餫��2����Υ�������ư�����äƸߤ��˶��̤Ǥ��뤳�Ȥ�����Ǥ��롥�ºݡ����ס��Υե��ڥ��ȥ�η���$(+, +, 0, -)$��$(+, 0, -, -)$��2�Ĥ��뤫��Ǥ��롥

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf 4. �ռ�} 
\end{center}

���λŻ���ʸ���ʤβʳظ������������������

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf ��� A. $k$�������ס��Υջؿ��ο���ɾ��ˡ} 
\end{center}

���(6)�˴�Ť��ơ�1����ʬ����������ʬ���ƥ��ס��Υջؿ���ɾ������Ȥ��˵���Ū�����꤬���롥���ʤ��������ԥ塼�����η׻���overlflow�δ����������롥�Ȥ����Τ�1����ʬ�������Ͼ��ʤ��Ȥ�ؿ��ؿ�Ū��ȯ����������Ĥ���Ǥ��롥

���δ���������׻����뤿��˳ƻ�����ʬ�θ�Ǽ��Τ褦�˴�����Ѥ��롥
$$ \begin{array}{ll}
  {\bf e}_1^{j+1} = & U_{{\bf x}_0}^{\tau} {\bf e}_1^j / 
||U_{{\bf x}_0}^{\tau} {\bf e}_1^j||, \\
  {\bf e}_2^{j+1} = & U_{{\bf x}_0}^{\tau} {\bf e}_2^j - 
({\bf e}_1^{j+1} \cdot U_{{\bf x}_0}^{\tau} {\bf e}_2^j) \cdot  
  {\bf e}_1^{j+1} / 
||U_{{\bf x}_0}^{\tau} {\bf e}_2^j - 
({\bf e}_1^{j+1} \cdot U_{{\bf x}_0}^{\tau} {\bf e}_1^{j+1}) \cdot  
{\bf e}_1^{j+1}|| , \\
  {\bf e}_3^{j+1} = & U_{{\bf x}_0}^{\tau} {\bf e}_3^j - 
({\bf e}_1^{j+1} \cdot) U_{{\bf x}_0}^{\tau} {\bf e}_3^j) \cdot  
  {\bf e}_1^{j+1} - \\ 
& ({\bf e}_2^{j+1} \cdot) U_{{\bf x}_0}^{\tau} {\bf e}_3^j) \cdot  
  {\bf e}_2^{j+1} / 
||U_{{\bf x}_0}^{\tau} {\bf e}_3^j - 
({\bf e}_1^{j+1} \cdot U_{{\bf x}_0}^{\tau} {\bf e}_3^{j+1}) - 
({\bf e}_2^{j+1} \cdot U_{{\bf x}_0}^{\tau} {\bf e}_3^{j+1}) \cdot 
  {\bf e}_2^{j+1} || , \\
\ldots & \\
  {\bf e}_k^{j+1} = & U_{{\bf x}_0}^{\tau} {\bf e}_k^j - 
({\bf e}_1^{j+1} \cdot U_{{\bf x}_0}^{\tau} {\bf e}_k^j) \cdot  
  {\bf e}_1^{j+1} \ldots \\ 
& ({\bf e}_{k-1}^{j+1} \cdot U_{{\bf x}_0}^{\tau} {\bf e}_k^j) \cdot  
  {\bf e}_{k-1}^{j+1} / 
||U_{{\bf x}_0}^{\tau} {\bf e}_k^j - 
({\bf e}_1^{j+1} \cdot U_{{\bf x}_0}^{\tau} {\bf e}_k^{j+1}) \cdot 
{\bf e}_1^{j+1} \ldots - 
({\bf e}_{k-1}^{j+1} \cdot U_{{\bf x}_0}^{\tau} {\bf e}_k^{j+1}) \cdot 
  {\bf e}_{k-1}^{j+1} || . 
   \end{array}             \eqno(A.1) 
$$

��§��Ȥ�������$\{ U_{{\bf x}_0}^{\tau} {\bf e}_i^j \}_i$��
$\{ {\bf e}_i^{j+1} \}_i \ (i=0, 1, \ldots, n-1)$
�����$i=1,2, \ldots,k$���Ѥ��Ƽ��������������롥
$$ \begin{array}{ll}
\displaystyle 
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n \tau} & 
\log \frac{||\wedge_i U_{{\bf x}_0}^{n \tau} {\bf e}_i^0||}
          {||\wedge_i {\bf e}_i^0||} \\ 
& = \displaystyle 
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n \tau} 
\sum_{j=0}^{n-1} 
\log \frac{||\wedge_i U_{{\bf x}_j}^{\tau} {\bf e}_i^j||}
          {||\wedge_i {\bf e}_i^j||} . 
   \end{array}             \eqno(A.2) 
$$

������(A.2)�˻�������Ѵ�ˡ�ϳ��Ѥμ��Τ褦��������Ȥ����������Ǥ��롥���ʤ����$\{ {\bf e}_i \}$��$\{ {\bf f}_i \}$��Ʊ��$k$�������֤���������ʤ顢���δط�������Ω��
$$ \displaystyle 
\frac{||\wedge_i U {\bf e}_i||}{||\wedge_i {\bf e}_i||} = 
\displaystyle 
\frac{||\wedge_i U {\bf f}_i||}{||\wedge_i {\bf f}_i||} . 
$$

���ˡ�����β桹����ˡ�Ȼ���ʸ��7)��Benettin�餬��ȯ�������ˡ�Ȥδط���Ҥ٤Ƥ����Τ�ͭ�ѤǤ�����������ʸ��7)��Benettin��μ�ˡ�ϡ�$\tau \ll 1$�����$|| {\bf e}_i^j || \ll 1$�ʤ����¤β��ǲ桹����ˡ�˼�«���롥�������¤β��ǡ����ζ���ط�������Ω�ġ�
$$
 U_{{\bf x}_j}^{\tau} {\bf e}_i^j) \approx 
  T^{\tau} ({\bf x}_j + {\bf e}_i^j) - T_{{\bf x}_j}^{\tau}
\eqno(A.3)
$$
�������äƥ��ס��Υջؿ��Ȥ��ƶ��Ū�˼������롥
$$
  \lambda (e^k, {\bf x}_0) \approx 
\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} 
\frac{1}{n \tau} \sum_{j=0}^{n-1} \log 
\frac{||\wedge_i 
  ||T^{\tau} ({\bf x}_j + {\bf e}_i^j) - T^{\tau} ({\bf x}_j)|| }
          {||\wedge_i {\bf e}_i^j||}  \eqno(A.4) 
$$
������$T$��������(2)�˸���������Ǥ��롥

ɽ��(A.4)�����̤ξ��(k=1)�Ϻǽ��Benettin��$^{7)}$���Ȥäƥϥߥ�ȥ�Ϥ�$K$����ȥ��ԡ���ɾ���ˤĤ��Ƶ������������Ԥ������ʸ��������ˡ�򻶰��ϳطϤ˱��Ѥ�������Ϥˤ�������ή���ݤ���ŵ�ϳطϤΥ��르��������������ǵ����Ǥ��뤳�Ȥ��Ŧ������

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf ����ʸ��} 
\end{center}

\re
1) ���Ȥ���{\it Synergetics}(ed. H.Haken, Springer, Berlin, 1977)�򸫤�.

\re
2) S. Smale, Bull. Amer. J. Math. Soc. {\bf 73} (1967), 747. 

\re
3) D. Ruelle, Amer. J. Math. {\bf 98} (1970), 619. 

\re
4) R. Bowen and D. Ruelle, Inventiones Math. {\bf 29} (1975), 181.

\re
5) V.V. Nemytskii and V.V. Stepanov, {\it Qualitative Theory of Differential Equations} (Princeton Univ. Press, Princeton, 1960).

\re
6) V.I. Oseledec, Trans. Moscow Math. Soc. {\bf 19} (1968), 197. 

\re
7) G. Benettin, L. Galgani, and J.M. Strelcyn, Phys. Rev. {\bf A14} (1976), 2338. 

\re
8) T. Nagashima and I. Shimada, Prog. Theor. Phys. {\bf 58} (1977), 1318. 

\re
9) S.D. Feit, Comm. Math. Phys. {\bf 61} (1978), 249. 

\re
10) V.I. Arnold and A. Avez, {\it Ergodic Problems of celestial Mechanics} (Benjamin, New York, 1968). 

\re
11) G. Benettin, L. Galgani, A. Giorgilli, and J.M. Strelcyn, C. R. Acad. Sci. Paris {\bf 286} (1978), A-431. �ޤ����⸫�补\\
G. Contopoulos, L. Galgani, and A. Giorgilli, Phys. Rev. {\bf A} (to appear).

\re
12) E.N. Lorentz, J. Atmos. Sci. {\bf 20} (1960), 130.

\re
13) ��������ǻȤäƤ�������Ѹ�ξܺ٤ˤĤ��Ƥϡ��㤨�м��򸫤�. \\
Y. Matsushima, {\it Introduction to manifold}(in Japnese) (Shokabo, Tokyo, 1965).

\re
14) D. Ruelle, preprint. 

\re
15) D. Ruelle, {\it Proceedings of the International Conference on Bifurcation Theory and Its Applications in Scientific Disciplines} (New York, 1977).

\re
16) Ya. B. Pesin, Soviet Math. Doklady {\bf 17} (1976), 196.

\re
17) J. Guckenheimer, G. Oster, and A. Ipaktchi, {J. Math. Biol.} {\bf 4} (1977), 101.

\re
18) I. Shimada and T. Nagashima, Prog. Theor. Phys. {\bf 59} (1978), 1033.

\re
19) T. Shimizu and N. Morioka, Phys. Letters {\bf 66A} (1978), 182.

\re
20) P. Brunovsky, {\it Symposium on Differential Equations and Dynamical Systems} Warwick, 1968 \& 69.

\re
21) T. nagashima, Prog. Theor. Phys. Suppl. No. 64 (1978), 368.

\re
22) K. Tomita and T. Kai, Phys. Letters {\bf 66A} (1978), 91.

\re
23) R. Thom, {\it Structural Stability and Morphogenesis} (W.A. Benjamine, New York, 1974), Chap.6.

\re
24) H. Fujisaka and T. Yamada, Phys. Letters {\bf 66A} (1978), 450.

\re
25) K. Nakamura, Prog. Theor. Phys. {\bf 59} (1978), 74.

\re
26) H. Yahata, Prog. Theor. Phys. {\bf 61} (1979), 791.

\end{document}

