\documentstyle[12pt,epsf]{jarticle}
%
\oddsidemargin 0.0cm
\evensidemargin -1.0cm
\topmargin 0.0cm
%
\textwidth 15.5cm
\textheight 23.0cm
\footheight 0.5cm
\footskip 1.2cm
\newcommand{\re}{\vspace{0.15cm}\par\hangindent=0.7cm\noindent}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}
%
\begin{document}
\setlength{\baselineskip}{3ex}

\begin{flushright}
%2001.11.12 $\sim$ 11.30\\
%����: ë����δ(��Ωŷʸ��)
ë����δ ��
\end{flushright}

\noindent
{\it Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy} {\bf 71}, 
109-136(1999)


\begin{center}
{\LARGE 
{\bf �ϵ�򺹵�ƻ��ʿ�Ѳ�}\\
Averaging on Earth-crossing orbits
}

{\Large
G.F. Gronchi and A. Milani
}

\end{center}

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ����.}

�����򺹾�����(���������)�϶��ܾ��ͤ�ľ�ܾ��ͤ������Τɤ줫�Ȱ���������
��ǽ��������. ����ˤ��, $N$�Υϥߥ�ȥ�ؿ����ð����������, 
�Τ���Ȥ����ǯ��ư��׻����뤿��˻Ȥ��뱿ư��������ʿ�Ѥ�
�������ʤ��ʤ�. 
����ʸ�Ǽ����Τ�, ��̩�ʻ����Ǥ����ΰ��̲�����ʿ�ѱ�ư��������
�����, ���̲�ϰ��, ��ʬŪ�˳�餫�Ǥ���褦�ˤǤ��뤳�ȤǤ���. 
ʿ�̤ξ���3�����ξ���, Kantorovich���ð������ˡ�ˤ�äƹԤ�. 
�ð����������뤿��˻Ȥ��������줿��Υ��Wetherill�����ͤγ�Ψ��׻�
���뤿��˻Ȥä���ΤǤ���. ʿ���ϳؤΤ����Ĥ������׻�����. ʿ��
����֤����Ū��õ�����Ʊ�ǯ���Ĥξ�����ꤹ��Τϼ��Υ��ƥåפǤ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\Large \bf 1. ��}

�ϵ嵰ƻ�򺹾�������, ���ε�ƻ��\underline{������}�򵯤������Ȥ���ħ
�Ť�����. ���ʤ��, �ϵ�ε�ƻ�̾���ܿ��ʱߤ����ΤҤȤĤ��ϵ���ܿ�
�ʱߤ�°����. ���줬����Ω�ĤȤ�, ���ܾ��ͤ���������. ������������
������. �ƶ��ܾ��ͤˤ�����, ��ƻ���Ǥϵ�®���Ѳ�����. ¾�������ε�ƻ��
���ڤ�Ȥ���Ʊ�����Ȥ�������. ���Ȥ���, ������������ƻ���ڤ�Ȥ���
�����Ǥ���. 

�����ؤ�Ǥ�դζ��ܾ��ͤβ�ǽ����ľ�ܤ�ʪ�����ͤβ�ǽ�����б�����. 
����ⵯ��������. ����Ū�ʴ������餹���, �����򺹾������ε�ƻ��
����������Ȥ��ƽ���$N$������Ȥ��ƥ�ǥ벽�����ʤ�, ���ͤ�
���ϥݥƥ󥷥����ð���, �Ĥޤ�ϥߥ�ȥ�ؿ����ð����ˤ����Ƶ�����. 
�����ð�����1���ζ˷��Ǥ���. 

�����ð�����¸�ߤϲ��餫�β���Ū�������ۤ���ݤˤϴ���Ū�����
���ƹͤ����Ƥ���. �ȤϤ�����Τ�, ���˶��ܤ������ͤ򼨤�$N$��
����β�Ǥ���¸�ߤ��뤷, ���줬�ޤä����磻��ɤʤդ�ޤ��򼨤��Ȥ���
�櫓�Ǥ�ʤ�. ��Ȥ���, ��1-4���ϵ�򺹾�����(�¤϶����򺹾������Ǥ�
����)�ε�ƻ���Ǥλ��ֿʲ��򼨤�. ��ƻ���Ǥλ�����ϥ��ڡ��������ɥץ�����
����(SPACEGUARD PROJECT)��ʸ̮�������Ƥ���. ���������, 
�����򺹵�ƻ�ο��ͷ׻��Ȥ��ƺ����θ���Ǥ���(Milani et al., 1989).
��ƻȾĹ�¤�2�Ĥε�ƻ�򺹤δ֤Ǥϰ���Ǥ���, ���ܾ��ͤδ֤ˤ��������Ѳ�
����. �ۤ��ε�ƻ���Ǥ��Ȥ���$e, I, \omega$�ϳ�餫�˸����뵰�פ�ư��
�ʤ����礭������Ū�Ѳ��������. ����, ����ķ�ӤϾ�����, �ޤΥ�������Ǥ�
�����ʤ�. 

\newpage
\vspace*{10cm}
\hspace*{6cm} ��1,2

\vspace{9cm}
����, ��ƻ����$e, I, \omega, \Omega$�Ρֱ�ǯ�ױ�ư��, �Τ����
�������ӤǹԤ��Ƥ���(Williams and Faulkner, 1981)��Ʊ��, ������
ʿ���������ˤ�äƵ��Ҥ��뤳�ȤϤǤ��ʤ��Τ�, �Ȥ������꤬������. 
���줬�Ǥ���ʤ�, �����򺹵�ƻ���Ф��Ƥ��{\bf ��ǯ����}�פγ�ǰ��
��̩�ʰ�̣��Ϳ���뤳�Ȥ���ǽ�ˤʤ������. ���ޤޤǤΤȤ���, 
�������򺹵�ƻ���ϵ���ܵ�ƻ���Ф��ƤΤ��������Ƥ���(Michel and 
Froeschl\'e, 1997). �դ�, ̵̷

\newpage
\vspace*{9cm}
\hspace*{6cm} ��3,4

\vspace{8.5cm}
\noindent
���ʿ��ˡ��¸�ߤ��ʤ��ʤ�, 
������ƻ�򺹤α�ǯ���ĤʤɤȤ�����ΤϤʤ�. 
�Ի׵Ĥʹ�Υ��ꥹ�����ˤ������ä�, �����Τʤ���ʤɤˤ��������뤳��
�����.  
�Ȥ�������ǯ���Ĥ�¸�ߤ���. ��ɴ��ǯ�ˤ錄�������򺹵�ƻ�οʲ�������
����Τ��礭������̤����Ƥ���(Michel et al., 1996).

����ʸ��, ����Ū������Ȥ���, ����Ū��, �ð����Τ���ʿ��ˡ������. 
\underline{��ǯ��ư}���������̲�����. ��ŵŪ��������ͤ�
��äƼ�«���ʤ��ʤ���ˤ�Ŭ�Ѳ�ǽ. �����ϸź߶�������¤���. 
�Ĥޤ�, ��ưŷ�Τϱ߱�ư��Ʊ��ʿ��(Kozai, 1962). ������,
�褯�Τ��Ƥ���褦��, ����Ϻǽ�β���ʬ�ʳ��Ǥ��ä�, ��ư���Ϥ���
��˷��ߤ���(Morbidelli and Henrard, 1991).

���̤�, ��®�ѿ�(����������������ʿ�ѱ�ư)�˴ؤ���ʿ�Ѥ���
�ϥߥ�ȥ�ؿ�����������ϥߥ�ȥ��������β��¸�������Ǥ���.  
���β��, ���פ���(����)�����(3�����ξ��; 2�����ξ�����ʬ��ǽ)
�����򺹤ˤ����ư��̲����줿��̣�����(??). 
����$\omega$�μ���ޤ�����ư�Ρֱ�ǯ�׼��ȿ��Ϥ��ΰ��̲��
��������. �ޤ�$\Omega$�μ�����ȿ��ϵ��ѤǷ׻��Ǥ���. 

����ʸ�ι����ϰʲ��ΤȤ���Ǥ���. 2��Ǥ�, ʿ�̤ξ���, 
��Ǻ����������̣�Ǥ�{\bf ��ǯ��ư}��¸�ߤ��������. 
3��Ǥ�Ʊ�ͤʵ������äȸ���Ū��3�����˳�ĥ����. 

����ʸ�Ϥ��Ρ��ð�ʿ��ˡ�׶����¸��������Ū�˸���Ū�ʥ��르�ꥺ���
�ޤ�Ǥ��ʤ�. �ð�ʿ��ˡ�Ͽ��Ĥ���ʬ�򴬤�����Ǥ���, �����Τ���
�����Ĥ��Ͽ���Ū�˰����Τ��񤷤�. �ȤϤ�����Τ�, �����Ĥ��θ��䤹��
��򺣤ޤǤ��Τ�줿���ͥ��르�ꥺ��Ƿ׻���, 4��Ǽ�����. 

5��Ǥ�, �����򺹵�ƻ�α�ǯ��ư���ͭ���Ǥ��������ۤ��뤿����̤�٤�
�����ƻ�ڤ򼨺�����. �ޤ�ʿ�Ѥ��ʤ�����
����������θ������Ѥ�뤳�Ȥκ���ˤĤ��Ƥ�Ҥ٤�. 

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\Large \bf 2. ʿ�̤ξ��}

�Ϥ����ʿ�̤ξ����������. ��ưŷ��, �㤨���ϵ夬������Ϥ�
�ߵ�ƻ$C_{\oplus}$��ˤ���, �������Ϥ����̤��Ф��Ƶ�ƻ���гѥ���. 
�����ɬ�����⸽��Ū�ǤϤʤ���, 3�����ξ��˻Ȥ���ˡ�Τ褤Ƴ����
�ʤäƤ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\large \bf 2.1. Wetherill���}

��ƻ�̾�, ����������$x$���ˤȤ�. ���������ʱߵ�ƻ$E_{\rm ast}$��
�ϵ嵰ƻ$C_{\oplus}$��
$$ \begin{array}{ll}
E_{\rm ast} : \left\{ 
      \begin{array}{l}
        x = a(\cos u - e) ,\\
        y = a(1-e^2)^{1/2} \sin u ,
      \end{array} 
\right. & 
C_{\oplus} : \left\{ 
      \begin{array}{l}
        x' = a' \cos u' ,\\
        y' = a' \sin u ,
      \end{array} 
\right.
   \end{array}
$$
$u,u'$��Υ������Υ��. 2�Ĥε�ƻ��$P,Q$�Ǹ���Ȥ���. 
$P$�Ǥ�$u,u'$��$\overline{u}, \overline{u}'$�Ǥ���Ȥ���. 
�б�����ʿ�Ѷ���Υ�Ѥ�$\overline{\ell}, \overline{\ell}'$�Ǥ���Ȥ���.
$Q$��$x$���˴ؤ����оΤʰ��֤ˤ���. 
$C_{\oplus}$�����$E_{\rm ast}$�ؤ�$P$�ˤ�����������Ȥ�(��5). 
$$ \begin{array}{rl}
 r': & \left\{ 
     \begin{array}{l}
       x' = a' \cos \overline{u}' - a' \sin \overline{u}' 
           (\ell' - \overline{\ell}') , \\
       y' = a' \sin \overline{u}' + a' \cos \overline{u}' 
           (\ell' - \overline{\ell}') , 
     \end{array}
\right. \\
 r : & \left\{ 
     \begin{array}{l}
       x = \displaystyle a (\cos \overline{u} - e) - 
          \frac{a \sin \overline{u}}{1 - e \cos \overline{u}} 
           (\ell - \overline{\ell}) , \\
       y = \displaystyle a (1 - e^2)^{1/2} \sin \overline{u} + 
          \frac{a(1-e^2)^{1/2} \cos \overline{u}}
           {1 - e \cos \overline{u}} 
           (\ell - \overline{\ell}) , 
     \end{array}
\right. 
   \end{array}
$$
������, ľ���Υѥ�᡼�����Ȥ��Ƥ�, ľ�����®�٤����礦���ʱߤ�$P$��
������®�٤�Ʊ���ˤʤ�褦�ˤ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���.} \\ 
(1) $D$��$\ell, \ell'$�δؿ��Ȥ���, $C_{\oplus}$���ư����$E_{\rm ast}$���
ư���ε�Υ�Ǥ���Ȥ���. 

\noindent
(2) $d$��$\ell, \ell'$�δؿ��Ȥ���, $r$�������$r'$������ε�Υ�Ǥ���Ȥ���. 

\newpage
\vspace*{3cm}
\hspace*{6cm} ��5

\vspace{2.5cm}
\noindent
(3) $d_1$���оΤ���$Q$�˴ؤ���������줿Ʊ�ͤʴؿ��Ǥ���Ȥ���. 

\vspace{0.3cm}
$d$�����Ȥ���, û����Υ�δֻȤ����Ȥ�Wetherill(1967)�ˤ�ä�Ƴ������, 
���ͳ�Ψ�η׻�ƻ��Ȥ������Ѥ��줿. 

��Υ��, �ɤν��Ϥ�Ȥä����˰�¸���ʤ�. ������, ʿ�Ѥ�Ԥä���Ǥ�, 
��������$\varpi$���ɤ��ˤ�����������ˤʤ�ʤ�. �Ĥޤ�,
$$
\displaystyle \frac{\partial}{\partial \varpi} 
\int_T \frac{1}{D} d\ell d\ell' = 0
$$
�Ǥ���. ������, ��ʬ�ϥȡ��饹$T = [-\pi,\pi] \times [-\pi, \pi]$
��ǹԤ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{ʿ���ͤζ���׻�}

�ȡ��饹��
��ʿ�Ѥ�����ư�ؿ���׻�����Τ�, ����ȥ��ӥå�(Kantorovich)
���ð������ˡ(Demidovic and Maron, 1966)��Ȥ�: 

$$
\displaystyle 
 \int_{-\pi}^{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{D}d \ell d \ell' 
= \displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} 
\left( \frac{1}{D} - \frac{1}{d} - \frac{1}{d_1} \right)d \ell d \ell' 
+  \int_{-\pi}^{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{d} d \ell d \ell' 
+ \int_{-\pi}^{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{d_1} d \ell d \ell' 
$$
���2�Ĥ���ʬ�ϲ���Ū�˼¹ԤǤ���. Ʊ�����Ѥ�Ȥä�$\varpi$�˶����
�ѿ�$G = \sqrt{k^2 a(1-e^2)}$ ($k$�ϥ������ν������)�˴ؤ�����ʬ��
�׻��Ǥ���. ��ƻȾĹ�¤�ʿ�Ѳ��������β�˱�äƤϰ���Ǥ��뤫��, 
$$
\displaystyle \frac{d}{dG} \int_T \frac{1}{D} d\ell d\ell' = 
\displaystyle - \left( \frac{\sqrt{1-e^2}}{e\sqrt{k^2a}} \right)
 \frac{d}{de} \int_T \frac{1}{D} d\ell d\ell' 
$$
�Ǥ���, $e$�˴ؤ�����ʬ��
$$
\displaystyle 
 \frac{d}{de} \int_T \frac{1}{D} = \displaystyle 
 \frac{d}{de} \int_T \frac{1}{d} +
 \frac{d}{de} \int_T \frac{1}{d_1} +
 \frac{d}{de} \int_T 
\left( \frac{1}{D} - \frac{1}{d} - \frac{1}{d_1} \right) \eqno(2) 
$$
����׻��Ǥ���. 

��ˡ���ñ�����뤿�ᵭ���Ƴ������
$$ \begin{array}{lcl}
\xi = \ell - \overline{\ell}, & \xi' = \ell' - \overline{\ell}', & 
\underline{\bf \xi} = (\xi', \xi) \\
A = a'^2 , & B = a^2 (1-e^2)^{1/2} , & 
C = \displaystyle \frac{a^3}{a'} \left( 2 - \frac{a'}{a} \right)
   \end{array}
$$

�����˱�äƤε�Υ$d$���ѿ�$\xi, \xi'$�˴ؤ���Ʊ��2�������Ȥ���
�׻��Ǥ���. ���ʤ��, 
$$ \begin{array}{ll}
 \underline{\underline{{\bf M}}} = \left( 
   \begin{array}{cc}
      A & -B \\
     -B &  C
   \end{array}
\right) , & 
   d^2 = \underline{\bf \xi}  \ \underline{\underline{{\bf M}}} 
\ \underline{\bf \xi} . 
   \end{array}  \eqno(3)
$$

��ñ�˥����å��Ǥ���褦��, 
$$ \begin{array}{lcl}
  {\rm tr}({\underline{\underline{{\bf M}}}}) \geq 0 , & &
  {\rm det}({\underline{\underline{{\bf M}}}}) \geq 0 \\
   {\rm det}({\underline{\underline{{\bf M}}}}) = 0 & \Leftrightarrow & 
-e \sin \overline{u} = 0 
   \end{array}
$$

������, 2�Ĥε�ƻ�����ץ������ܿ����ʤ��¤�, �Ĥޤ�, 
����($\overline{u}=0$)�ޤ��ϱ���($\overline{u}=\pi$)���ܤ��ʤ��¤�, 
2�������������Ǥ���. ���ץ������ܤ�����, �ʱߤȱߤ�1�ܤ�������ͭ��
��. �ʲ��ε����ǤϤ��ξ������. $d_1^2$��Ʊ�ͤʷ׻���������. �����
Ʊ���������������2�������Ǥ���. ������$d$�ˤĤ��ƤΤߵ�������. 

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\large \bf 2.2. ������ʬ}

$\xi, \xi'$��������θ����, ����յ�Υ�ؿ���ʿ�Ѥ�
$$
  I = \displaystyle 
\int_{-\pi - \overline{\ell}}^{+\pi - \overline{\ell}}
\int_{-\pi - \overline{\ell}'}^{+\pi - \overline{\ell}'}
\left( A \xi'^2 + C \xi^2 - 2 \xi \xi' B \right)^{-1/2} d\xi d\xi'
$$
�Ǥ���. 

�����Ѵ���Ȥä�, ����2���������гѲ�������. $d^2 = L^2 + M^2$�ˤ�����. 
������, $L$��$M$�Ͽ������ѿ��Ǥ���(��6). �����Ѵ��Ϥ����ҤȤĤǤϤʤ�. 
��������. 
$$ \begin{array}{lll}
 \xi = \displaystyle \frac{1}{\rho} M, & \xi' = \displaystyle 
\frac{1}{\tau} \left[ L - \frac{\sigma}{\rho} M \right] , \\
\rho = \displaystyle - \frac{a^2}{a'} e \sin \overline{u}, & 
\sigma = \displaystyle - \frac{a^2}{a'} (1-e^2)^{1/2}, & 
\tau = a'
   \end{array}  \eqno(4)
$$

�Ѵ��Υ䥳�ӹ���$\Delta$�����餫��$\Delta = |1/\rho \tau��$�Ǥ���. 
��ä�
$$ \begin{array}{rl}
 I = & \displaystyle
\int \int (A\xi'^2 + C\xi^2 - 2B\xi\xi')^{-1/2} d\xi' d\xi \\
= &\displaystyle 
\int \int (L^2 + M^2)^{-1/2} 
\partial (\xi', \xi) / \partial (L, M) dL dM \\
= & \displaystyle \Delta \int_R (L^2 + M^2)^{-1/2} dL dM \\
   \end{array}
$$
������, $R$��$(L,M)$�̤Ǥ���ʬ�ΰ��ʿ�Ի��շ�. ����ʿ�Ի��շ�$R$��
�Ĥ֤��Τ�, 2������������ΤȤ��Ǥ���, ������ܿ��������ޤ���
�������������Ȥ��Ǥ���.

��ʬ��¹Ԥ��뤿��ˤ�, ʿ�Ի��շ���������Ф�ľ���ˤ��4�Ĥ�
���ѷ���ʬ�䤹��. $\theta_i, \ i=1,2,3,4$��ľ���γ��������Ȥ���. 
��ʬ�϶˺�ɸ���Ѵ���, $\theta$�˴ؤ�4�Ĥ��̡�����ʬ��¹Ԥ����
������. 
$$ \begin{array}{rl}
  I = & \displaystyle \Delta \left[ 
\rho(\pi - \overline{\ell}) \log \left( \frac{z_2}{z_1} \right)
+ \frac{-2 \tau(\pi + \overline{\ell}')}{\zeta_2 - \zeta_1} \log 
\frac{(z_3-\zeta_2)(z_2-\zeta_1)}{(z_2-\zeta_2)(z_3-\zeta_1)} 
 - \right. \\
& \hspace*{0.5cm} \displaystyle \left.  
- \rho(\pi + \overline{\ell}) \log \left( \frac{z_4}{z_3} \right)
+ \frac{2 \tau(\pi - \overline{\ell}')}{\zeta_2 - \zeta_1} \log 
\frac{(z_1-\zeta_2)(z_4-\zeta_1)}{(z_4-\zeta_2)(z_1-\zeta_1)}
\right] 
   \end{array}
$$

\newpage
\vspace*{3cm}
\hspace*{6cm} ��6

\vspace*{3cm}
\noindent
������, $z_i = \tan (\theta_i/2)$�Ǥ���, $\zeta_1, \zeta_2$��������
$$
  f(z) = \displaystyle - z^2 - 2 \frac{\sigma}{\rho} z + 1 = 0,
$$
�κ��Ǥ���. ���ʤ��,
$$ \begin{array}{rl}
 \zeta_1 = \displaystyle 
\frac{-\sigma + \sqrt{\sigma^2 + \rho^2}}{\rho}, & 
 \zeta_2 = \displaystyle b
\frac{-\sigma - \sqrt{\sigma^2 + \rho^2}}{\rho} .
   \end{array}
$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 1.} ����յ�Υ�ؿ���ʿ��
$$
 I = \displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} 
\frac{1}{d} d \ell d \ell'
$$
��, �ܾ��ͤξ��������, �ѿ�$G, \varpi$�˴ؤ��Ʋ���ʬ(�²���Ū)�ؿ�
�Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. ���̤���ʬ��§������������Ū��ɽ���˺��Ѥ��Ƥߤ��
�褤. 

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\large \bf 2.3. ʿ���ͤ���ʬ��ǽ��}

ʿ����ư�ؿ��˴ؤ��Ʋ���Ū�ʷ�����Ƴ������ˤ�, ���$1/d$��$1/d_1$��
ʿ�ѤΤդ�ޤ��Ф���Ǥʤ�, 
��$1/D - 1/d - 1/d_1$��ʿ�Ѥ��������Τ�ɬ�פ�����. 3�ʳ��ǹԤ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{���ƥå� I}: ��;�ؿ�$1/D - 1/d - 1/d_1$�ϥȡ��饹
$T = [-\pi, \pi] \times [-\pi, \pi]$�ˤ�����limited(?)�Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
Υ������Υ�Ѥ�ʿ�Ѷ���Υ�Ѥδ֤��Ѵ��ϳ�餫�Ǥ���. ���ץ顼������
$$
\displaystyle 
  \ell = u - e \sin u 
%  \tan \frac{\ell}{2} = \displaystyle \sqrt{\frac{1+e}{1-e}}
% \tan \frac{u}{2}
$$
��;��ɽ����$u,u'$�δؿ��ȸ��뤳�Ȥ��Ǥ���. �������, ��;�ؿ���
�ȡ��饹���㳰Ū����������Ƴ�餫�Ǥ���. �㳰Ū�����Ȥ�, 
$(u,u') = (\overline{u}, \overline{u}')$($P$���б�)��, 
$(u,u') = (-\overline{u}, -\overline{u}')$($Q$���б�)�Ǥ���. 
�о��������뤫��, $1/D - 1/d$��$(\overline{u}, \overline{u}')$��
��˵��limited(ͭ��?)�Ǥ��뤳�Ȥ��������н�ʬ�Ǥ���. 
$$
\displaystyle \frac{1}{D} - \frac{1}{d} = 
\displaystyle \frac{d-D}{dD} = \displaystyle 
\frac{d^2 - D^2}{dD(d+D)}
$$
��Ȥ�. ���ε�Υ$D$��
$$
 D^2 = \displaystyle \left[ a' \cos u' - a(\cos u - e) \right]^2 
+ \left[ a' \sin u' - a(1-e^2)^{1/2} \sin u \right]^2
$$
����$d^2$��ɽ���Ϥ��Ǥ˵�᤿. 
$$ \begin{array}{rl}
 d^2 = & A \xi'^2 - 2B \xi' \xi + C \xi^2 \\
= & a'^2 (\ell' - \overline{\ell'})^2 - 
a^2(1-e^2)^{1/2} (\ell' - \overline{\ell'}) (\ell - \overline{\ell}) 
+ \displaystyle \frac{a^3}{a'} \left( 2 - \frac{a'}{a} \right) 
(\ell - \overline{\ell})^2
   \end{array}
$$
������$(u,u')$�δؿ��Ȥ���ɽ��. ���Τ����
$$ \begin{array}{lll}
 v = u - \overline{u}, & v' = u' - \overline{u}', & 
\displaystyle 
 \ell - \overline{\ell} \approx v(1 - e \cos \overline{u}) + 
    v^2 \frac{e \sin \overline{u}}{2}
   \end{array}
$$
��Ƴ������. 

$D^2$��$d^2$��$v,v'$�˴ؤ���ơ��顼Ÿ��������, 2���ιफ��Ϥޤ�. 
������Ʊ���ʤΤ�, ������Ⱦä���3������Ϥޤ�. ���ʤ��, 
$$
 d^2 - D^2 = J v^3 + K v' v^2 + L v'^2 v + \ldots
$$

ľ��$v' = \lambda v$�˱�ä�, 
$$ \begin{array}{l}
  d^2 - D^2 = v^3(J + \lambda K + \lambda^2 L) + \ldots , \\
  d^2 D + d D^2 = 2 v^3 (G \lambda^2 - 2I \lambda + H) 
\sqrt{G\lambda^2 - 2I\lambda + H} + \ldots, 
   \end{array}
$$
������Ω��. ������, $J, K, L, G, I, H$��$(a, e, e')$�Τߤ�Ϣ³�ؿ���
����, �ȡ��饹��ǰ���Ǥ���. �����Τ����餵�ޤ�ɽ����
Gronchi(1997)��Ϳ�����Ƥ���. ����
$$
  f(\lambda) = \displaystyle 
\frac{J + \lambda K + \lambda^2 L}{2(G \lambda^2 - 2I\lambda + H)^{3/2}}
$$
���֤�. ľ���˱�äƤζ˸¤�׻��Ǥ���: 
$$
\displaystyle
 \lim_{v \rightarrow 0} \left[ 
 \frac{d^2 - D^2}{dD(d + D)} (v, \lambda v) = f(\lambda) . 
\right]
$$

��;�ؿ���ͭ���Ǥ��뤳�Ȥ�������뤿��ˤ�, �ؿ�$f(\lambda)$��ͭ���Ǥ���
���Ȥ�����å�����Ф褤. �����¿�༰
$$
  g(\lambda) = G\lambda^2 - 2\lambda I + H ,
$$
��Ƚ�̼�����Ф�. ���ʤ��, 
$$ \begin{array}{lcl}
 \Delta_s = 4 I^2 - 4GH < 0 & \Longleftrightarrow & 
GH - I^2 = \displaystyle \left( \frac{a'}{a} \right)^2 
{\rm det}(\underline{\underline{\bf M}}) \geq 0 . 
   \end{array}
$$

2.1��Ǽ������褦��, ����Ƚ�̼��������ˤʤ�Τ��ܾ��ͤΤȤ��ΤߤǤ���. 
$$
  \lim_{\lambda \rightarrow 0} f(\lambda) = 0
$$
�Ǥ��뤫��, $1/D - 1/d$��$(v,v') = (0,0)$�ζ�˵��ͭ���Ǥ���ȷ���
�Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{���ƥå� 2}: ��;�ؿ�����ʬ
$$
\displaystyle \frac{\partial}{\partial e} \left( 
 \frac{1}{D} - \frac{1}{d} - \frac{1}{d_1} \right)
$$
�ϥȡ��饹��Ǽ���1�ζ��ð����Τ߻���. 

\vspace{0.3cm}
�о������θ����, $1/D - 1/d$�ΤߤˤĤ��Ƶ�������. $e$�˴ؤ�������ʬ
�ϥ��ƥå�1��Ʊ��$v, v'$�˴ؤ��ƥơ��顼Ÿ�������. 
���ʤ��, 
$$ \begin{array}{ll}
\displaystyle
\frac{\partial}{\partial e} \frac{1}{d} = 
\displaystyle \frac{C_1 d + D_1 v' + \ldots}{d^3}, & 
\displaystyle
\frac{\partial}{\partial e} \frac{1}{D} = 
\displaystyle \frac{C_2 d + D_2 v' + \ldots}{D^3},
   \end{array}
$$
�Ƚ񤱤�. �����ǥɥåȤ�$v,v'$�˴ؤ���⼡�ι��ɽ��, 
$C_1, D_1, C_2, D_2$��$(a,e,e')$�Τߤδؿ��Ǥ���. 
Gronchi(1997)��ľ�ܷ׻��ˤ���, ʬ�Ҥ�1���η�����Ʊ���Ǥ���. ���ʤ��, 
$$ \begin{array}{ll}
  C_1 = C_2, & D_1 = D_2
   \end{array}
$$
���Τ�������, ������ʬ��Ÿ���Ǥ���, 
$$ \begin{array}{rl}
\displaystyle \frac{\partial}{\partial e} \left( 
 \frac{1}{D} - \frac{1}{d} \right) = & \displaystyle 
(C_1 v + D_1 v') \left( \frac{1}{D^3} - \frac{1}{d^3} \right) + 
\frac{E_1 v^2 + F_1 v v' + G_1 v'^2}{D^3} - \\
 & \displaystyle  
- \frac{E_2 v^2 + F_2 v v' + G_2 v'^2}{d^3} + \ldots
   \end{array}
$$

��θ����Τ���, ����$>1$�ζ��ð��������߽Ф���������ʬ��
$$
(C_1 v + D_1 v') \left( \frac{1}{D^3} - \frac{1}{d^3} \right)
$$
�Ǥ���. �����Ĵ�٤뤿���, Ÿ��
$$
\displaystyle
\frac{1}{D^3} - \frac{1}{d^3} = \displaystyle 
\left( \frac{1}{D} - \frac{1}{d} \right)
\left( \frac{1}{D^2} + \frac{1}{dD} + \frac{1}{d^2} \right)
$$
�����Ѥ�, ľ��$v' = \lambda v$���̤�ʿ��$(v,v')$��õ�����褦. ���ƥå�1
�ˤ��, $1/D - 1/d$��$(v,v') = (0,0)$�ζ�˵��ͭ��(limited)�Ǥ���. 
���$m$��
$$
  m = \displaystyle \max_{\lambda \in {\bf R}} \left\{ 
\left| \lim_{v \rightarrow 0} \left( 
\frac{1}{D} - \frac{1}{d} \right) (v, \lambda v)
\right|
\right\}
$$
���������. ���ð����μ������Ѥ�뤿���, ����ؿ�
$$
  h(\lambda, v) = \displaystyle 
\frac{1}{v} h_1(\lambda) + \Gamma(\lambda) ,
$$
��Ȥ����Ȥ��Ǥ���. ������, 
$$ \begin{array}{rl}
 h_1(\lambda) = & \displaystyle 
\frac{3m(C_1 + \lambda D_1)}{(G \lambda^2 - 2I\lambda + H)} + 
\frac{(E_1-E_2) + \lambda(F_1-F_2) + \lambda^2(G_1-G_2)}
     {(G \lambda^2 - 2I\lambda + H)^{3/2}} , \\
 \Gamma(\lambda) = & \displaystyle 
\frac{\Gamma_0 + \lambda \Gamma_1 + \lambda^2 \Gamma_2 + \lambda^3 \Gamma_3}
     {(G \lambda^2 - 2I\lambda + H)^{3/2}} , \\
   \end{array}
$$
�Ǥ���. ������, $E_1, E_2, E_3, G_1, G_2, \Gamma_0, \Gamma_1, \Gamma_2,
\Gamma_3$��$(a,a',e)$�Τߤ�Ϣ³�ؿ��Ǥ���. $G,I,H$�ϥ��ƥå�1���������
�̤Ǥ��뤳�Ȥ����դ��Ƥ���. ������, ʬ���������(6)��Ʊ��¿�༰
$g(\lambda)$�Τߤ�ޤ�Ǥ���, ����Ϸ褷�ƥ����ˤʤ�ʤ�(������, ������
�ޤ��ϱ������Ǥ��ܾ��ͤϲ��򤵤��Ȥ��Ƥ���).

����Ÿ��, ����ӥ��ƥå�1�ǻȤä���Ʊ�ͤ�$\lambda \rightarrow \infty$��
�η׻�����, ����ؿ�$h$������1�ζ��ð����Τߤ���Ĥȷ����Ǥ���. 
��;�ؿ�����ʬ��Ʊ���������ð���, �Ĥޤ꼡��1�ζ��ð����Τߤ����. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{���ƥå� 3}: ��ʬ���沼�Ǥ���ʬ

������, �ܾ��ͤ�ޤޤʤ�$(a,a',e)$���֤Υ���ѥ��Ȥ���ʬ��������¤���
���Ȥˤ��, $(0,0)$�˼���1�ζˤ����ͥ(majorant)�ؿ�$K^* = K^*(v,v')$
��, 
$$
\displaystyle \left| \frac{\partial}{\partial e} \left( 
\frac{1}{D} - \frac{1}{d} \right) \right| \leq K^*(v,v') ,
$$
��$P$�ζ�˵������Ω�ĤȤ�������Ǥ���. �����, ����ͥ�ؿ��ϥȡ��饹$T$
�����ʬ��ǽ�Ǥ���. Ʊ���������о���$Q$�ˤĤ��Ƥ�Ԥ����Ȥ��Ǥ���. 

������ʬͥ�ؿ��������ʬ���Ǥ���ʬ��ɸ��Ū����(���Ȥ���, Fleming, 1964)��
�Ȥ���, ʿ�ѻ�;�ؿ���$e$�˴ؤ�����ʬ��ǽ�Ǥ��뤳��, �ޤ�
$$
\displaystyle \frac{d}{de} \int_T \int \left( 
\frac{1}{D} - \frac{1}{d} - \frac{1}{d_1} \right) dv dv' = 
\displaystyle \int_T \int \frac{\partial}{\partial e} \left( 
\frac{1}{D} - \frac{1}{d} - \frac{1}{d_1} \right) dv dv'  
$$
������Ω�Ĥ��Ȥ�������. 

��������, ����줬���������Τ�, 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 2.} ʿ����ư�ؿ���, �ܾ��ͤξ��������, �ѿ�$e, \varpi$��
�ؤ���Ϣ³��ʬ��ǽ�Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. 2.2�ᤪ��Ӿ�Υ��ƥå�3�ˤ�����, ʿ����ư�ؿ���
�ۤʤ���$e$��ʬ��¸�ߤ��뤳�Ȥ��������. $\varpi$�˴ؤ�����ʬ�ϥ�����
����. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\large \bf 2.4. ʿ�ѥϥߥ�ȥ�ؿ�}

\vspace{0.3cm}
��ʿ�����»�������Υϥߥ�ȥ�ؿ���������ɸ�ǽ񤯤�, 
$$
  H = H_0 - R_{\rm dir} - R_{`\rm ind}
$$
�Ȥʤ�. $H_0$��̵��ư��������ϥߥ�ȥ�ؿ�, $R_{\rm dir} = k^2m/D$
��ľ����ư�ؿ�($m$���������̤����ۼ��̤ǳ�ä����)�Ǥ���, 
$R_{\rm ind}$����ư�ؿ��δ��ܹ�Ǥ���. 

ʿ�ѥϥߥ�ȥ�ؿ���
$$
 \overline{H} = \displaystyle \frac{1}{(2\pi)^2} \int_{-\pi}^{\pi} 
\int_{-\pi}^{\pi}  (H_0 - R_{\rm dir} - R_{\rm ind}) d \ell d \ell' , 
$$
�ˤ�ä���������. ���ܹ��Υ�Ѥˤ��ʿ�Ѥϸ�ŵ��̤ˤ�ꥼ���Ǥ���
����, �ޤ�$H_0$��$\ell, \ell'$�˰ͤ�ʤ�����, 
$$
 \overline{H} = \displaystyle H_0 - 
\frac{k^2m}{(2\pi)^2} \int_{-\pi}^{\pi} 
\int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{D} d \ell d \ell' = 
H_0 - \overline{R},  \eqno(8)
$$
�Ȥʤ�. 

��ŵŪ��̤ˤ���ʿ�ѥϥߥ�ȥ�ؿ�$\overline{H}$�ϤĤͤ�¸�ߤ�, 
�����򺹤ξ��Ǥ�Ϣ³�ؿ��Ǥ���. �ʤ����Ȥ�����, ����1�ζ��ð�����
���Ĵؿ���2�����ȡ��饹���improper��ʬ��������м�«������Ǥ���
(Fleming, 1964). ����Ǿ�������2�Ĥ��������, ʿ�ѥϥߥ�ȥ�ؿ���
�ѿ�$(a,e,\varpi)$����ʬ��ǽ�ؿ��Ǥ���. ������, ���ܿ��ξ��, �Ĥޤ�
$a(1 \pm e_c) = a'$�ʤ�$e$���׳���$e_c$�ξ������. ������, 
�ɤ�$a > a'/2$���Ф��Ƥ�, �ѿ�ʿ��$(e \cos \varpi, e \sin \varpi)$
�ϱ�$e = e_c$�ˤ�ä�3�Ĥ�Ϣ����ʬ��ʬ�䤵��, ʿ�ѥϥߥ�ȥ�ؿ���
���줾�����ǳ�餫�Ǥ���. �����ΰ�ϸ�ŵŪ������, �����ΰ��
����ʸ�Ǿ��������. 

$H$����������ϥߥ�ȥ�ؿ���ʿ��ˡ��Ŭ�Ѥ����, ��ʬ��������
���դϾ������ˤ����Ƽ���2�ζ��ð��������. �б�����improper��ʬ
�Ϸ褷�����м�«���ʤ�. ������, ��ʬ���沼����ʬ������Ŭ�ѤǤ���, 
�����򺹤������������ʬ��������ʿ�Ѳ��Ǥ��ʤ�. 
�ˤ⤫����餺, ʿ�ѥϥߥ�ȥ�ؿ�$\overline{H}$��Ϣ³��ʬ��ǽ
�ؿ��Ǥ���, $\overline{H}$��ϥߥ�ȥ�ؿ��Ȥ���ϥߥ�ȥ�������
��������뤳�Ȥ���ǽ�Ǥ���. ������������, 
(ʿ��)�ѿ�$(e \cos \omega, e \sin \omega)$�ζ��֤�, ʿ��$a$����ʬ��
����褦��Ϣ³��ʬ��ǽ�ϳؤ�Ϳ����. 

$\overline{H}$��$\varpi$�˰�¸���ʤ�����, ��ƻȾĹ��$a$��Υ��Ψ$e$��
$\overline{H}$����������ϥߥ�ȥ�Ϥβ�˱�äƤ��Ѳ����ʤ�. 
���Υϥߥ�ȥ�Ϥβ�ϳ�$e = ����$�α߾�ΰ��Ͳ�ž��Ϳ������. 
���θ�ͭ���ȿ��ϰ����
$$
\displaystyle \frac{d \varpi}{dt} = \displaystyle 
\frac{d \overline{R}}{de} \frac{\sqrt{(1-e^2)}}{e\sqrt{k^2a}} 
= g(e)
$$
��Ϳ������. ��ͭ���ȿ��Τդ�ޤ��Ͽ�7�˼�����. 

\vspace{3cm}
\hspace*{6cm} ��7.

\vspace{2cm}
���η�̤�3�����������ؤν��Ȥ��ƾҲ𤵤�뤳�Ȥ�¿��. 
������, 3�����ξ��η�̤�, ��ƻ���гѤ������ξ��ζ˸¤Ȥ���
2�����ξ��η�̤�ޤळ�Ȥ�����Ǥ���ʤ�, 2�����ξ���ͤ��뤳�Ȥ�
�Ȥ���, �к����ȿ��������ʤ�, ���ͤ�����Ϥ��Ǥ���. 
�ºݤ��줬����Ω�Ĥ餷�����Ȥ�3.3��ǽҤ٤�. ����, �����ʾ���������
���ʤ�. 

�����ǽҤ٤��̤�ʿ���ʱ���������, ���ʤ��, $e' \neq 0$�ξ���
��ĥ��ǽ�Ǥ�������ͽ¬����. 
Wetherill������Ȥ���, ����ؿ�$1/d$���ܼ�Ū��Ʊ�����򤷤Ƥ���. 
������, �ܾ��ͤ�����ʬ����, �ϥߥ�ȥ�ؿ��Ϥ�Ϥ�$\varpi$������Ω�Ǥ�
�ʤ��ʤ�, $(e \cos \varpi, e \sin \varpi)$ʿ�����ʣ���ʴ�����Ϳ����. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\Large \bf 3. 3�����ξ��}

\vspace{0.3cm}
��ƻȾĹ��$a$, Υ��Ψ$e$, ����������$\omega$���ʱߤ�Ⱦ��$a'$�αߤ�
Ϳ����줿�Ȥ�, ������Υ(nodal distance)�ϼ��μ����餭�ä���׻�
�Ǥ���: 
$$ \begin{array}{ll}
d_{\rm nod}^+ = \displaystyle \frac{a(1-e^2)}{1+e\cos \omega} - a'; & 
d_{\rm nod}^- = \displaystyle \frac{a(1-e^2)}{1-e\cos \omega} - a'; 
   \end{array}  \eqno(9)
$$
���դ��Ƥ�����, ������Υ����ˤʤ�����. �������θ����������θ������
���ۤ˶ᤤ������Ǥ���. 

$a,a'$����ꤷ���Ȥ�, ��ɸ$(e \cos \omega, e \sin \omega)$�ʤ�ʿ�����, 
������$d_{\rm ond}^+=0$�����$d_{\rm ond}^-=0$��2�Ĥαߤ��������. 
������$e=1$�ߤ�ȿ�������ܤ���(��8).

Kozai(1962)�ˤ������ä�, ��������ƻ����ư��ڤܤ��Τ�, �ߵ�ƻ, Ʊ��ʿ��
�ˤ���ҤȤĤޤ���ʣ���������ΰ��ϤΤߤǤ���Ȥ����������Ѥ���. 
���ΤȤ�, �ϥߥ�ȥ�ؿ���(8)�Ȥ���ʿ���������ʬ�����. ������ʬ��, 
������ƻ�̤�ľ�Ѥʳѱ�ư�̤���ʬ���б�����:
$$
  Z = k \sqrt{a(1-e^2)} \cos I.  \eqno(10)
$$
�����ǵ�ƻȾĹ��$a$��ʿ�ѷϤ���ʬ�Ǥ���. 

�������ä�, �����狼��$Z$��ʬ���ͤ���ޤ��, ��ƻ���гѤκ����ͤ�, 
$e=0$�ΤȤ���
$$
  I_{\max} = \arccos \frac{Z}{k\sqrt{a}}
$$
�Ȥʤ�. ����, Υ��Ψ��
$$
  e_{\max} = \sqrt{1 - \frac{Z^2}{k^2a}}
$$
�����¤����. �����ͤ�$I=0$�ΤȤ��˼¸������. $a$��$Z$����ꤹ���, 
��8�˼������褦��, ʿ�ѥϥߥ�ȥ�ؿ�$\overline{H}$��
$(e \cos \omega, e \sin \omega)$ʿ�̤�$e = e_{\max}$�Ǹ¤����ΰ��
��������. ������, $e < e_{\max}$�˴ޤޤ�������ʬ�ξ��, 
$(\ell, \ell')$�Ǥ�ʿ�Ѥ����improper��ʬ���Ф�. ���ͤ�����1�ζˤʤΤ�
����ϼ�«����. $Z = ����$���̾�Ǥϵ�ƻ���г�$I$��$e$�δؿ��Ǥ��ä�
�õ�Ǥ���. 

ʿ�̤ξ���Ʊ��(2.4��򸫤�), ��ư�������˸�����ϥߥ�ȥ�ؿ���
��ʬ�Ͼ��ͻ��˼���2�ζ��ð��������. ������, ʿ���������ϸ�������
�˱�äƤ��������ʤ�(���ʤ��Ȥ����м�«������ʬ���äƤ�).

\newpage
\vspace*{4.5cm}
\hspace*{6cm} ��8

\vspace{4.cm}
���������Ū��, ʿ�ѥϥߥ�ȥ�ؿ�$\overline{H}$�ˤ�äƻ��ꤵ��, 
���٤Ƥλ��֤ˤ錄�äƲ����İ��̲�(��餫�Ǥʤ�)��ʬ��������
������뤳�Ȥ���ǽ�Ǥ��뤳�Ȥ򼨤����ȤǤ���. 

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\large \bf 3.1. Wetherill���}

\vspace{0.3cm}
ʿ�̤ξ���Ʊ��, �����ε�ƻ$C_{\oplus}$�ϱߤ�$e' = I' = 0$, Ⱦ�¤�
$a'$�Ȥ���. ���������ܿ���ƻ$E_{\rm ast}$�ϥ����Ǥʤ���ƻ���г�
$I \neq 0$����ĤȤ���. �����, $E_{\rm ast}$���2��$P,Q$, $C_{\oplus}$
���2��$P',Q'$�����ä�, ���줾��������˾�äƤ���, $P,P'$�����ۤ˴ؤ���
$Q,Q'$��ȿ�������ˤ���. ��$(P,P')$�����ܤ��褦. �������߾�����
(����ˡ��$Q,Q'$�ˤĤ��Ƥ�Ʊ��)�Ǥ���Ȥ���. ��ˡ���ñ�ˤ��뤿��, 
$d_{\rm nod} = d_{\rm nod}^+$��Ƴ������. 

$r,r'$��$P$�ˤ�����$E_{\rm ast}$���ܤ���ľ����, $P'$�ˤ�����
$C_{\oplus}$���ܤ���ľ���Ǥ���Ȥ���(��9). 
����������$\ell, \ell'$�ˤ�äƥѥ�᡼��������Ƥ���Ȥ���. 
2�ĤΥѥ�᡼�����ͤ����$P, P'$�ˤ�������ʬ��, �ܿ���ƻ�˱�äƤ�
$\ell, \ell'$(ʿ�Ѷ���Υ��)���ͤ���Ӥ���˴ؤ�����ʬ��Ʊ����
����褦�ˤ���. 

$D$��$C_{\oplus}$�������$E_{\rm ast}$������ε�Υ�Ȥ���. �����
ʿ�Ѷ���Υ��$\ell, \ell'$�δؿ��Ǥ���. 
$d$��Wetherill(1967)�ˤ�����褦��, ľ��$r$�������ľ��$r'$�������
��Υ�Ȥ���. �����ѥ�᡼��$\ell, \ell'$�δؿ��Ǥ���. 
$d_1$��¾��2�Ĥ�ľ��������ε�Υ�Ȥ���. ����ϸ���$Q, Q'$���Ȥ���Ʊ�ͤ�
���ƹ��������. 

ȯ�ۤ�, �դ�����Kantorovichˡ��Ȥä�, $T = [0, 2\pi] \times [0,2\pi]$��
��
$$ \begin{array}{lcl}
\displaystyle 
\frac{\partial}{\partial e} \int_T \frac{1}{D} d\ell d\ell'
& ����� & \displaystyle 
\frac{\partial}{\partial \omega} \int_T \frac{1}{D} d\ell d\ell'
   \end{array}
$$
��׻����뤳�ȤǤ���. 

\newpage
\vspace*{3.5cm}
\hspace*{6cm} ��9

\vspace{3.cm}
3�����ξ��ˤ�, �⤦�ҤȤĤ���ʬ������. ���ʤ��, 
$$
\displaystyle 
\frac{\partial}{\partial I} \int_T \frac{1}{D}d \ell d \ell' .
$$
�ϥߥ�ȥ��������ˤ����Ƥ�
$$ \begin{array}{rl}
\displaystyle 
\frac{\partial}{\partial G} \int_T \frac{1}{D}d \ell d \ell' = & 
\displaystyle - \frac{(1-e^2)^{1/2}}{e\sqrt{k^2a}} 
\frac{\partial}{\partial e} 
\int_T \frac{1}{D}d \ell d \ell' + \\
& \displaystyle
+ \frac{\cos I}{\sin I \sqrt{k^2a(1-e^2)}} \frac{\partial}{\partial I} 
\int_T \frac{1}{D}d \ell d \ell'
   \end{array}
$$
��׻����ʤ���Фʤ�ʤ�. ��������ñ�ʷ׻��Ǥ狼��褦��
$$
\displaystyle
\frac{\partial}{\partial I} \int_T \frac{1}{D}d \ell d \ell'  
$$
��1���ζ��ð�������ĤΤ�, Kantorovicˡ��Ȥ鷺�˷׻��Ǥ���. 

$\overline{\ell}, \overline{\ell}'$����$P, P'$���б�����ʿ�Ѷ���
Υ�ѤǤ���Ȥ���. ����$P, P'$�ˤ����Ƹ����򺹤�������Ȥ�, 
$D$��$d$��$(\ell, \ell') = (\overline{\ell}, overline{\ell}')$
�ˤ����ƥ����Ǥ���. $(e \cos \omega, e \sin \omega)$�̤Τ��Τ褦��
�����򺹤ζ�˵�ˤ�����, ʬ��
$$ \begin{array}{l}
\displaystyle 
\frac{\partial}{\partial e} \int_T \frac{1}{D}d \ell d \ell' = 
\displaystyle 
\frac{\partial}{\partial e} \int_T \frac{1}{d}d \ell d \ell' + 
\frac{\partial}{\partial e} \int_T \left( 
\frac{1}{D} - \frac{1}{d} \right) d \ell d \ell'  \\
%
\displaystyle 
\frac{\partial}{\partial \omega} \int_T \frac{1}{D}d \ell d \ell' = 
\displaystyle 
\frac{\partial}{\partial \omega} \int_T \frac{1}{d}d \ell d \ell' + 
\frac{\partial}{\partial \omega} \int_T \left( 
\frac{1}{D} - \frac{1}{d} \right) d \ell d \ell'
   \end{array}
$$
��Ȥ�. 

$1/d$����ʬ��$1/D$����ʬ��ꤤ���Τ�, $d^2$��ñ��ʲ���ɽ������Ĥ��Ȥ�
����. 
$$ \begin{array}{lll}
 \xi = \ell - \overline{\ell}; \ & \ 
 \xi' = \ell' - \overline{\ell}'; \ & \
\underline{\xi} = (\xi', \xi) 
   \end{array}
$$
���������. �ޤ�2�ܤ�ľ���δ֤ε�Υ
$$
d^2 = \displaystyle d_{\rm nod}^2 + a^2 \left( 
\frac{1 + e \cos \overline{u}}{1 - e \cos \overline{u}} \right) \xi^2 
+ a'^2 \xi'^2 - 2 \xi \xi' (Ga' \cos I) - 2 \xi d_{\rm nod} F, 
$$
���������. ������, 
$$ \begin{array}{l}
F = F(e,\omega) = \displaystyle a \left[ 
 \frac{\sin \overline{u} \cos \omega + 
       (1-e^2)^{1/2} \cos \overline{u}\sin \omega}
      {1 - e \cos \overline{u}} \right] , \\
G = G(e,\omega) = \displaystyle a \left[ 
 \frac{- \sin \overline{u} \sin \omega + 
       (1-e^2)^{1/2} \cos \overline{u}\cos \omega} 
      {1 - e \cos \overline{u}} \right] 
   \end{array}
$$
�Ǥ���. 

�٥��ȥ�--����ɽ���Ǥ�, 
$$
  d^2 = \underline{\xi}\cdot \underline{\underline{\bf A}} 
\underline{\xi} + \underline{B} \cdot \underline{\xi} + d_{\rm nod}^2
$$
�Ȥʤ�. ������, ����$\underline{\underline{\bf A}}$�ȥ٥��ȥ�
$\underline{B}$��$(a,e,\omega,I,a')$�η����ؿ������: 
$$ \begin{array}{lll}
 A_{11} = a'^2 , \ & \ A_{12} = A_{21} = - Ga' \cos I, \ & \ 
A_{22} = \displaystyle a^2 \left( 
  \frac{1+e \cos \overline{u}}{1 - e \cos overline{u}}, 
\right)
   \end{array}
$$

$$ \begin{array}{ll} 
B_1 = 0, \ & \ B_2 = - \{ a [(\cos \overline{u}-e) \cos \omega - 
(1-e^2)^{1/2}\sin \omega \sin \overline{u}] - a' \} F . 
   \end{array}
$$

ʿ�̤ξ��(3)�Ȱ�ä�, �����Υ$d^2$����Ʊ����2�������Ǥ���. ����
$\underline{\underline{\bf A}}$��$I \neq 0$�ʤ�Ĥͤ������Ǥ���. 
������
$$ \begin{array}{ll}
 1 - \cos^2 I \sin^2 \omega \geq \cos^2 I \cos^2 \omega, \ & \ 
 1 - \cos^2 I \cos^2 \omega \geq \cos^2 I \sin^2 \omega
   \end{array}
$$
��Ȥ�. ������, ������$I=0$�ΤȤ��Τ�����Ω��. �����, ������
$$
{\rm det}(\underline{\underline{A}}) \geq \displaystyle 
\frac{a'^2a^2 \cos I}{(1-e \cos \overline{u})^2} \left[ 
 \sin \overline{u} \cos \omega + 
(1-e^2)^{1/2} \cos \overline{u} \sin \omega \right]^2 \geq 0 
   \eqno(11)
$$
��Ƴ����. �����Ƿ�����$\overline{u}$, ���ʤ��, ʿ�Ѷ���Υ��
$\overline{\ell}$���б��������$P$��Υ������Υ�Ѥδؿ��Ǥ���, 
$\overline{u}$��$overline{\ell}$��$(a,e,\omega,I,a')$�γ�餫��
�ؿ��Ǥ���. 

��������, $I>0$���Ф���, $\underline{\underline{\bf A}}$�ι��󼰤�
������Ǥ���. ������������ϴ�����Ū�˲��Ǥ���. �Ȥ����Τ�, 
2�ܤ�ľ��$r$��$r'$��ʿ�Ԥ��������ʤ�����Ǥ���. $I=0$�ξ��, 
��������2.1��ǵ���������Τ˵��夹��. 

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\large \bf 3.2. ������ʬ}

\vspace{0.3cm}
ʿ�Ѥ���ݤ�����ʬ�ؿ����ñ�ˤ��뤿��, 2������$d^2$���������õ�
���뤿��κ�ɸ�Ѵ���õ��. ��Ʊ��2������
$$
 Q(\underline{\xi}) = 
\underline{\xi} \cdot \underline{\underline{\bf A}} \underline{\xi} + 
\underline{\bf B} \cdot \underline{\xi} + C , 
$$
��Ϳ����줿�Ȥ�, �Ѵ�
$$
  \underline{\xi} = \underline{\underline{\bf T}} \underline{y} + 
\underline{\bf S} ,  \eqno(12)
$$
�ˤ���������õ��. ������, 
$\underline{\bf S} = (S_1,S_2) \in {\bf R}^2$, 
$\underline{y} = (y_1,y_2) \in {\bf R}^2$�Ǥ���, 
$\underline{\underline{\bf T}}$��$2 \times 2$����Ǥ���. 
�����ब�õ�Ǥ���Τ�
$$
  2 \underline{\underline{\bf A}}\underline{\bf S} + 
\underline{\bf B} = \underline{0} \eqno(13)
$$
�ΤȤ��Ǥ���. 

$\underline{y}$��ɸ�Ǥ���˴�ñ�ʷ�$y_1^2 + y_2^2$��2���������夹��
�����, ����
$$
\underline{\underline{\bf T}} = \displaystyle \left( 
   \begin{array}{cc}
     1/\tau & -\sigma/\tau \rho \\
      0     & 1/ \rho
   \end{array}
\right)
$$
��Ȥ����Ȥ��Ǥ���. ������, 
$$ \begin{array}{lll}
 \tau = \sqrt{A_{11}}, \ & \ 
\rho = \displaystyle 
\sqrt{ 
    \frac{ {\rm det} \underline{\underline{\bf A}} }{A_{11} 
          } 
     }, \ & \ 
\sigma = \displaystyle A_{12} \sqrt{\frac{1}{A_{11}}}
   \end{array}
$$

�Ѵ�(12)�Τ��Ȥ�, 
$$
  d^2 = y_1^2 + y_2^2 + \tilde{C}
$$
�Ȥʤ�. ������, ���$\tilde{C}$($\underline{\xi}$�˴ؤ���)��
$$
 \tilde{C} = d_{\rm nod}^2 + \underline{\bf S} \cdot
 \underline{\underline{\bf A}} \underline{\bf S} + 
\underline{\bf B} \cdot \underline{\bf S} = \displaystyle 
d_{\rm nod}^2 + \frac{1}{2} \underline{\bf B} \cdot \underline{\bf S}
$$
�Ǥ���. �����2�ܤ�ľ��$r$��$r'$�δ֤κǾ���Υ��2���ɽ��. ����
�Ǿ���Υ�ϰ��̤˸�����Υ��꾮������, �����ˤʤ�Τϸ�����Υ��������
�Ȥ��ΤߤǤ���. ������$1/d$�ˤϤ�������(spurious)�ð����ϽФƤ��ʤ�

��ʬ��׻�����ˤ�, �ؿ�$1/D$��$\ell$��$\ell'$�˴ؤ��Ƽ���Ū�Ǥ���
���Ȥ����Ѥ���. ��������, ��ư��ȡ��饹
$$
 \tilde{T} = [-\pi + S_1 + \overline{\ell}', 
                   \pi + S_1 + \overline{\ell}'] \times 
 [-\pi + S_2 + \overline{\ell}, 
                   \pi + S_2 + \overline{\ell}] 
$$
�ξ�Ǥ���ʬ��ԤʤäƤ��̤��Ѥ��ʤ�. ��ʬ��֤�ü����
$(a,e,\omega,I,a')$�δؿ��Ǥ���. ���Τ褦�ˤ���, �ð����ϸ���
$\underline{y} = \underline{0}$�ˤ����ƤΤ���������. ��ʬĹ������
�����˱�äƤ��ð������򤱤뤳�Ȥ��Ǥ��Ƥ���. 

��ư�ؿ�����ʬ��(������Ҥ������)
$$ \begin{array}{rl}
 I = & \displaystyle 
\int_{-\pi + S_1 + \overline{\ell}'}^{\pi + S_1 + \overline{\ell}'}
\int_{-\pi + S_2 + \overline{\ell}}^{\pi + S_2 + \overline{\ell}}
\frac{1}{d(\ell, \ell')} d \ell d \ell'\\
 = & \displaystyle 
\int_{-\pi + S_1}^{\pi + S_1}
\int_{-\pi + S_2}^{\pi + S_2}
\frac{1}{d(\xi, \xi')} d \xi d \xi'\\
 = & \displaystyle \Delta
\int \int_{R} (y_1^2 + y_2^2 + \tilde{C})^{-1/2}d y_1 d y_2
   \end{array}
$$
�Ǥ���. ������$\Delta = 1/| \sigma \tau | $�Ǥ���, ��ʬ�ΰ�$R$�ϥ��ե���
�Ѵ�$\underline{\bf y} = \underline{\underline{\bf T}}^{-1} 
(\underline{\xi} - \underline{\bf S})$�ˤ��$\tilde{T}$��ʿ�Ի��շ���
����. �о���$(y_1, y_2) \rightarrow (-y_1, -y_2)$�����Ѥ���ȷ׻���
��äȴ�ñ�ˤʤ�: 
$$
 I = \displaystyle 2 \Delta
\int \int_{R_1} (y_1^2 + y_2^2 + \tilde{C})^{-1/2}d y_1 d y_2
$$
������$R_1$��$R$�Τ���$y_2 \geq 0$����ʬ�Ǥ���. �˺�ɸ��Ȥ���, 
$$
 I = \displaystyle 2 \Delta
\int \int_{S} \frac{r}{\sqrt{r^2 + \tilde{C}}} d r d \theta
$$
�Ȥʤ�. $S$��$R_1$���б������ΰ�Ǥ���. $r$�˴ؤ�����ʬ��
����Ū�Ǥ��ä�
$$
 I = \displaystyle 2 \Delta \sum_{i=1}^3
\int_{\theta_i}^{\theta_{i+1}} \left[ 
\sqrt{\tilde{C} + r_i^2(\theta)} - \sqrt{\tilde{C}} \right] d \theta
$$
������. ������, ����$\theta_i$�϶˺�ɸ����ʬ�ΰ�Τ��ɤ��������: 
$$ \begin{array}{lll}
 0 = \theta_1 \leq \theta_1 \leq \theta_3 \leq \theta_4 = \pi, &
\tan \theta_2 = \displaystyle \frac{\rho}{\sigma +\tau}, &
\tan \theta_3 = \displaystyle \frac{\rho}{\sigma -\tau}, 
   \end{array}
$$

\noindent
�ޤ��ؿ�$r_i(\theta)$��ʿ�Ի��շ�$R_1$���դ�ѥ�᡼��ɽ������: 
$$ \begin{array}{lll}
 r_1(\theta) = \displaystyle 
\frac{\pi \tau}{\cos \theta - \sigma/\rho \sin \theta}, & 
 r_2(\theta) = \displaystyle 
\frac{- \pi \rho}{\sin \theta}, & 
 r_3(\theta) = \displaystyle 
\frac{- \pi \tau}{\cos \theta - \sigma/\rho \sin \theta} .
   \end{array}
$$

$\theta$�˰�¸���ʤ���ʬ��ʿ�Ѥ��뤳�Ȥˤ�ä�, ��ʬ�׻��ϼ��Τ褦��
�ʤ�: 
$$
 I = \displaystyle 2 \Delta \sum_{i=1}^3 \left( 
\int_{\theta_i}^{\theta_{i+1}} 
\sqrt{\tilde{C} + r_i^2(\theta)} d \theta  - \pi \sqrt{\tilde{C}} 
\right) .  \eqno(15)
$$

��ʬ�������ʬ���ʱ���ʬ�Ǥ���, ����ϵ�ƻ����$(a,e,\omega,I,a')$��
��餫�ʴؿ��Ǥ���. ��§��������Ϥ��٤�ͭ�¹�$\sqrt{\tilde{C}}$��
���椹��. ������Υ$d_{\rm nod}$�������ΤȤ�, ľ��$r$��$r'$�δ֤�
�Ǿ���Υ$\sqrt{\tilde{C}}$�⥼���ˤʤ�, ���躬����§�ʴؿ���
�ʤ��ʤ�, �����Ĥ������Ǥ��Ȥ���$e, \omega$�˴ؤ��뤽����ʬ�ϸ�����
�ˤ�����¸�ߤ��ʤ��ʤ�. 

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\large \bf 3.3. ��ʬ����ʬ}

\vspace{0.3cm}
ʿ����ư�ؿ��β���Ū�����˴ؤ��Ʒ�����Ф�����ˤ�, ��;�ؿ���������
�Τ�ɬ�פ�����, �ޤ���(15)�˸������ʱ���ʬ�������򤤤��Ĥ��Τ�ɬ�פ�
����. ������Ǥ�, ������$P=P'$�Ϥ⤦�ҤȤĤθ�����$Q=Q'$�Ȥ�
Ʊ���˵�����ʤ��Ȳ��ꤹ��(����ˤ��, $a'=a(1-e^2)$�����
$\omega = \pm \pi/2$�ι⡹2�����ӽ������).

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{���ƥå� 1}: ��;�ؿ�$1/D - 1/d$�ϥȡ��饹$\tilde{T}$��
���¤���Ƥ���(limited). ������ȡ��饹���������ʬ��ǽ�Ǥ���, 
��ʬ���ѿ�$(e \omega)$�˴ؤ�Ϣ³�Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
���Υ��ƥåפ�2.3���ʿ�̤ξ��ȸ�̩��������Ƥ���. �����򺹤������, 
2������$d^2$��ʿ�̤ξ���Ʊ��Ʊ���Ǥ���, $(v,v')$�̤�ľ���˱�ä�
Ĵ�٤ޤ�뤳�Ȥˤ��, (5)�˷���Ū��Ʊ���������������. ʬ��$g(\lambda)$
��(6)�Τ褦�Ǥ���. �������ۤʤ�ɽ�������. �����$(a,e,\omega,I,a')$��
�ؿ��Ǥ���. ʬ��$g(\lambda)$��3�����ξ����󥼥��Ǥ���. �ʤ��ʤ�, 
����Ƚ�̼���${\rm det} \underline{\underline{\bf A}}$��ޤब, 
����ϵ�ƻ���гѤ������Ǥʤ��Ȥ��ϥ����ˤʤ�ʤ�((11)���򸫤�).

��;�ؿ���ͭ���Ǥۤܤ�����Ȥ���Ϣ³�Ǥ��뤫����ʬ��ǽ�Ǥ���. 
���ξ�, ʿ�̤ξ���Ʊ��, $(e, \omega)$�̤Υ���ѥ��Ȥ���ʬ�����
�����ư��ͤ�ͭ���Ǥ���. ���Τ��Ȥ�����ʬ��Ϣ³�����Ф�(Fleming, 1964��
����).

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{���ƥå� 2}: ��;�ؿ�������ʬ
$$ \begin{array}{ll}
\displaystyle \frac{\partial}{\partial e} \left( 
 \frac{1}{D} - \frac{1}{d} \right),  & 
\displaystyle \frac{\partial}{\partial \omega} \left( 
 \frac{1}{D} - \frac{1}{d} \right), 
   \end{array}
$$
�ϥȡ��饹$\tilde{T}$��Ǽ���1�ζ��ð����Τߤ����. 

\vspace{0.3cm}
���Υ��ƥåפ�ʿ�̤ξ��ȸ�̩��������Ƥ���. �����Υ$D^2$��$d^2$��
����ʬ�Ͼ������ζ�˵�ǥơ��顼�����Ÿ������, 1���ι�ϰ��פ��뤳�Ȥ�
�狼��. (7)���ˤ�����Τ�Ʊ��������Ȥä�, 2���ζ��ð����η�����
�껦����. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{���ƥå� 3}: ��ʬ���沼����ʬ

���Υ��ƥåפ�ʿ����������������äƤ���. �ʤ����Ȥ�����, ��ư��
�ȡ��饹$\tilde{T}$�����, ���ʤ��, ʿ�԰�ư$\underline{\bf S}$�����
(13)�ˤ��, �ѿ�$e \omega$�ؤ���ʬ�ΰ�ΰ�¸����Ƴ������, ���Τ���, 
����ʬ�˿����ʹब�դ��ä��ΤǤ���. ���ʤ��, $e$�˴ؤ�����ʬ��
$$ \begin{array}{rl}
\displaystyle \frac{\partial}{\partial e} & \displaystyle 
\int_{f_1}^{f_2} \int_{g_1}^{g_2} 
\left( \frac{1}{D} - \frac{1}{d} \right) d \ell d \ell' \\
 = & \displaystyle \frac{\partial f_2}{\partial e} \int_{g_1}^{g_2} 
\left. \left( \frac{1}{D} - \frac{1}{d} \right)\right|_{\ell = g_2} 
d \ell - \frac{\partial f_1}{\partial e} \int_{g_1}^{g_2} 
\left. \left( \frac{1}{D} - \frac{1}{d} \right)\right|_{\ell = g_1} 
d \ell + \\
& \displaystyle + \int_{f_1}^{f_2} \left[ 
  \frac{\partial g_2}{\partial e}
\left. \left( \frac{1}{D} - \frac{1}{d} \right)\right|_{\ell = g_2} 
-  \frac{\partial g_1}{\partial e}
\left. \left( \frac{1}{D} - \frac{1}{d} \right)\right|_{\ell = g_1}
\right] d \ell' + \\
 & \displaystyle + \int_{f_1}^{f_2} \int_{g_1}^{g_2} 
\frac{\partial}{\partial e} 
\left( \frac{1}{D} - \frac{1}{d} \right) d \ell d \ell' 
   \end{array}
$$
�Ǥ���, $\omega$�˴ؤ�����ʬ��Ʊ�ͤǤ���. ��ʬ��֤�ξü�ϼ�(14)�������
��, $(e,\omega)$�γ�餫�ʴؿ��Ǥ���. ��������ʬ�ˤ�Ϣ³�ؿ���������. 

���ƥå�1--3�ǻȤä��Τ�Ʊ��������$1/D - 1/d_1$��Ŭ�ѤǤ���. ���κ�, 
�ȡ��饹��ʿ�԰�ư��Ʊ���ǤϤʤ�. �����򺹤���ľ��������Ȥ�, ���
����(ξ���θ�����Ʊ����������ƻ���ܤ���)�ˤ�����, �׻���ʣ���ˤʤ뤬
��̤��Ѥ��ʤ�. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{���ƥå� 4}: Wetherill�������ʬ(15)��, ��
$2\pi \Delta \sqrt{\tilde{C}}$�������, $e, \omega$�γ�餫�ʴؿ��Ǥ���. 
�����Ǵؿ�$\delta$�ϳ�餫�Ǥ��뤫��, ��餫�Ǥʤ���Ϥ����ҤȤ�
$$
 \sqrt{\tilde{C}} = \displaystyle \sqrt{d_{\rm nod}^2 + \frac{1}{2} 
\underline{\bf B}^t \underline{\bf S}}
 = \displaystyle |d_{\rm nod}| \left[ 
1 - \frac{a^2 a'^2 e^2 \sin^2 \omega}
{(1-e^2){\rm det}(\underline{\underline{\bf A}})} \right]^{1/2}
$$
�Ǥ���(��äȾܤ���������, $|d_{\rm nod}|$��$\sqrt{\tilde{C}}$�����餫
���ҤǤ���).

�����򺹤��б�����$e, \omega$��ʿ���ͤ�
$$
\displaystyle 
1 - \frac{a^2 a'^2 e^2 \sin^2 \omega}
{(1-e^2){\rm det}(\underline{\underline{\bf A}})} 
= \displaystyle 
\frac{a^4(1-e^2)}{{\rm det}(\underline{\underline{\bf A}})} \sin^2 I
$$
�Ǥ���. ������, ��ʬ(15)�����餫��ʬ��$I \rightarrow 0$�ΤȤ�������
������. �����ʿ�̤ξ�����§����̵̷��Ǥ���. ����$I \rightarrow 0$
�ΤȤ��ζ˸¤��ðۤǤ���. 
$Z$��ʬ���ͤ��᤿�Ȥ�, $I=0$�����ͣ���ľ��$e = ����$������. 
���ζ�����$Z = ����$������ζ�����$(e \cos \varpi, e \sin \varpi)$
ʿ�̤˼ͱƤ����˸¤Ǥ���. ������, $I \rightarrow 0$�ΤȤ�
$\omega + \Omega \rightarrow \varpi$�Ǥ���. ������, $Z = ����$���̤�
$I=0$ʿ�̤˲���Ū�Ǥʤ�. 

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\large \bf 3.4. ʿ�ѥϥߥ�ȥ�ؿ�����§��}

\vspace{0.3cm}
�����򺹤��ʤ��Ȥ�, ʿ�ѥϥߥ�ȥ�ؿ�(8)��, $e, \omega$�δؿ��Ȥ���
������$W = \{ 0 < e < e_{\max} \}���$��餫�Ǥ���. 
$e=0$�ΤȤ�, ��ɸ�ð���������. �����ð�����
$(e \cos \omega, e \sin \omega)$�˻������ðۺ�ɸ��ȤäƤ��������
�Ϥ��Ǥ���. $e = e_{\max}$���Ф��Ƥ�$I=0$����, ʿ�̤ξ��˵��夹��. 

$W$�ˤ����Ƹ����򺹤�������Ȥ�, $\tilde{W} = \cup W_i$���������
������Ǥ���Ȥ���. $W_i$�ϳ�Ϣ����ʬ(���Ȥ���, ��8�ˤ�3�Ĥ���ʬ������)
�Ǥ���. ��ŵŪ�ʵ����ˤ��, $\overline{H}$��$\tilde{W}$��Ǥʤ�餫��
����, ��ʬ(15)����Τ��٤Ƥ�, $\sqrt{\tilde{C}}$�������$W$��ǳ�餫
�Ǥ���. ��������, $|d_{\rm nod}|$�Τդ�ޤ�����Ϥ�������Ǥ褤. 
�����(16)�ˤ���$\sqrt{\tilde{C}}$�����餫���ҤǤ���. 
����ϵ�Υ�Ǥ���, ���Ūñ��ʤդ�ޤ��򤹤�. 

2�Ĥθ�����Υ����ҤȤ�, ���Ȥ��о�����������. ���ʤ��, 
$d_{\rm nod} = d_{\rm nod}^+$�ȼ��. ������Υ��
$(e \cos \omega, e \sin \omega)$�̤�$d_{\rm nod}=0$�ʤ�ߤ������Ǥ���, 
�����Ǥ���Ǥ���. �Ȥ��˳�Ϣ�볫����$W_i$��ǰ����������. 
$\tilde{W}$��ǳ�餫��Ǥ�դδؿ�$f$���Ф���, 
$$
\displaystyle 
\frac{\partial^+}{\partial e}f, \ \ 
\frac{\partial^+}{\partial \omega}f
$$
��, $d_{\rm nod}>0$�ʤ�$\tilde{W}$����ʬ$W^+$��Ƿ׻�������ʬ�Ǥ����
��, 
$$
\displaystyle 
\frac{\partial^-}{\partial e}f, \ \ 
\frac{\partial^-}{\partial \omega}f
$$
��, $d_{\rm nod}<0$�ʤ�$\tilde{W}$����ʬ$W^-$��Ƿ׻�������ʬ�Ǥ����
����. 

�����������ʬ(15)���˸������$|d_{\rm nod}|$��Ŭ�Ѥ���. 
���(9)�����explicit�ʷ׻��ˤ��, 
$$ \begin{array}{l}
\displaystyle
\frac{\partial^+}{\partial e} |d_{\rm nod}| = \displaystyle 
- \frac{a[\cos \omega (1+e^2) + 2e]}{(1+e \cos \omega)^2} \\
\displaystyle
\frac{\partial^+}{\partial \omega} |d_{\rm nod}| = \displaystyle 
 \frac{a(1-e^2) e \sin \omega}{(1+e \cos \omega)^2}
   \end{array}
$$
������. �����δؿ���\fbox{limited}�Ǥ���, �������ä�$W^+$��$W$��
����������ؤȳ�ĥ�Ǥ���. ���Τ�ɽ������狼��褦��, ������
$W$���$W^+$�ζ�����Ǥ��餫�Ǥ���. ����, 
$$ \begin{array}{l}
\displaystyle
\frac{\partial^-}{\partial e} |d_{\rm nod}| = \displaystyle 
\frac{a[\cos \omega (1+e^2) + 2e]}{(1+e \cos \omega)^2} \\
\displaystyle
\frac{\partial^+\-}{\partial \omega} |d_{\rm nod}| = \displaystyle 
- \frac{a(1-e^2) e \sin \omega}{(1+e \cos \omega)^2}
   \end{array}
$$
�Ǥ���. �����δؿ���\fbox{limited}�Ǥ���, �������ä�, ��餫�ʻ�����
$W^-$��$W$�ˤ���������ؤȳ�ĥ�Ǥ���. ������, ��ĥ�ϸ��������ξ��
���פ��ʤ�. ��θ�������, 2�Ĥγ�ĥ����(opposite)�Ǥ���(��������̤�
�󥼥�)���Ȥ�����å��Ǥ���. ��������, �����ϼ��η�̤��������. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 3.} 3�����ξ���ʿ�ѥϥߥ�ȥ�ؿ�$\overline{H}$��
$W$���$W^+$�����$W^-$�������ǳ�餫�Ǥ���. $W$��Ǥϳ�餫�Ǥʤ�. 
���������Υ�٥����Ϥ��ɤ����/���뤤�ϥ����פ����������˻���. 
���ɤ�$e \rightarrow e_{\max}$(�Ĥޤ�, $i \rightarrow 0$)�ΤȤ���
$\pi$�˸��������٤��������. 

\vspace{0.3cm}
ʿ�ѥϥߥ�ȥ�ؿ�$\overline{H}$�ˤ�ä���������ϥߥ�ȥ���������
���¸�ߤˤĤ��Ʒ����Ť��뤳�Ȥ��Ǥ���. �������α��դϸ����������
�������ʤ�. ������, $W^+$�����$W^-$���������줿��餫�ʲ����
��(��餫�ʻ�����)���������˽����Τ϶�ʬŪ�˳�餫�ʶ����ؤȳ�ĥ
��ǽ�Ǥ���. ����ϰ��̲�ȹͤ��뤳�Ȥ��Ǥ���. 
���ΰ�̣��, $W$�Τɤ������̤äƤ��դβ򤬤���. �㳰����Ÿ���
(ξ������Ʊ����)�Ǥ���, �����Ǥ���������Ŭ�ѤǤ��ʤ�. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\Large \bf 4. ��}

\vspace{0.3cm}
3��ǽҤ٤��������������뤿���, ������ȷ׻�������򸫤��褦. 
$\overline{H}$�ζ�ʬŪ�˳�餫�ʥ�٥�����򼨤�. ����򤹤�ˤ�
���ѤΥ��르�ꥺ�������, ���ѿ�$\ell, \ell'$�Υȡ��饹�ˤ錄��
�����ʬ��Ȥäƿ��ͷ׻���, Ŭ���ʥ���ԥ塼��������ե��å�����
ɬ�פǤ���. 

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\large \bf 4.1. ������ʬ����ӥ���ե�����}

\vspace{0.3cm}
ʿ�ѥϥߥ�ȥ�ؿ�$\overline{H}$��׻�����Τ�, ����(15)��Ȥ��ФǤ���. 
Ķ���������Ȥä���, �ʱ���ʬ���ѿ�$\theta$�ǿ��͵��Ѥ���Ф褤. ������, 
$\overline{H}$��׻�����Τˤ����ɬ�פʤ�. �Ȥ����Τ�, ���м�«����
improper��ʬ�����Ū�˷׻����뤿���ͭ̾�ʥ��르�ꥺ�ब���뤫��Ǥ���. 
������, �Ѵ���������ʬ(8)��ľ��Ŭ�ѤǤ���. 3���Ƴ�����줿���르�ꥺ��
��$\overline{H}$����ʬ��׻�����Ȥ��ˤΤ�, �������äƥϥߥ�ȥ�������
�α��դ�explicit�˷׻�����Ȥ�, ���Ȥ���Ϳ����줿��������̤���׻�
����Ȥ����ܼ�Ū�Ǥ���. 

�������Ѥ˶�����Ƥ���饤�֥�꡼ QUADPACK��ȤäƷ׻�����. �����
Gauss--Kronrod���Ѹ���(Piessens et al., 1983)��adaptive form��ȤäƤ���. 
����Ҥˤʤä��롼�ƥ���dqags��2��Ƥ�. ����������ʬ�Ȥ��ƤΥȡ��饹��
����ʬ(15)��׻�����. 

QUADPACK�κ��Ѥ��륢���ץƥ��֥��르�ꥺ��ϡ�����ʬ�ؿ��Τդ�ޤ������
�˰����פȤ�����ʬ�Ϥ����餯ȯ������פȤ��֤�ä����«����פȤ���
�ٹ��ȯ���뤳�Ȥ��Ǥ���. ��ƻ���гѤ����������Ȥ�, ���줬�º�������. 
���Τ褦�ʷٹ�򤫤ʤ긺�餹���Ȥ��Ǥ���. �ޤ���ƻ���гѤ򥼥�����
Υ�����Ȥˤ��׻����֤��礤�˸��餹���Ȥ��Ǥ���. ���ʤ��, ���뾮����
$\epsilon>0$��Ȥä�$\cos I < 1 - \epsilon$�Ȥ���. 

�ƿޤ�$a$��(10)������������ʬ$Z$��Ϳ�����Ȥ���ʿ����ư�ؿ�
$\overline{R}$�򼨤�. ����줬�񤤤�ñ��ʥ��եȥ������ˤ��, 
2��(�ޤ��Ϥ���ʾ��)��������ư�ݥƥ󥷥���­����碌�뤳�Ȥ��Ǥ���. 
�׻������줿�����򤹤٤ƹ�θ�����Ȥ��˸��������������, �����
�������. $\omega$���ͤ�, $0$��$\pi/2$�δ֤˸¤���. �ʤ��ʤ�, 
�ؿ�$\overline{R}$��$\omega$�˴ؤ��Ƥ����$\pi$�Ǽ���Ū������Ǥ���. 
��10��11�Ǥ�, �ؿ��Υ���դ���̤Ȥ��Ƽ�����. 
��ɸ$(\omega, e, \overline{R})$��3�����������ܤǶ�����Ƥ���. 
$\overline{R}$�Υ�٥�����$(\omega,e)$�̤ˤ⸽����. 

\vspace*{10cm}
\hspace{6cm} ��10. 

\vspace*{8cm}
\vspace{0.5cm}
\noindent
{\large \bf 4.2. 4�ĤΥƥ��ȥ�����}

\vspace{0.3cm}
�ǽ�����, �����������δ֤ε�ƻȾĹ�¤���ĵ�ƻ�Ǥ���. ��ʬ
$Z = k \sqrt{a} \cos I_{\max}$���ͤ��������Ȥ��Ƥ�, $I_{\max} 
\simeq 30^{\circ}$�Ȥ�, $e_{\max}$�϶���������������¦, ��������������
��¦�ˤʤ�褦�ˤ���. ξ�����Ȥθ����������ʿ����ư�ؿ�����ʤ�餫
�ʤդ�ޤ��Ͽ�10�ˤ褯������. ��ʤ�餫�����򥰥�ե��å�����ɽ������
���ȤϤऺ��������. ���������˱�äƤ�angular������ӥ����פ�������.

\vspace*{10cm}
\hspace{6cm} ��11. 

\vspace*{8cm}
�������, ���󥿥��륹���ε�ƻ�β�ǽ�ʤդ�ޤ��ζ����ɽ�����Ƥ���. 
�ճ�������⸫����. Kozai���ĤǤ���. ���ξ��, $\omega$��
$\simeq 40^{\circ}$�Τޤ������о�Ū����ư����. 
�ޤ�$\omega = 90^{\circ}$�ն��web--shaped����������. ������ˤ������Ȥ�
����������ӹ߸����򺹤�����. ���줬�򤱤��뤳�Ȥʤ�����Ū�˷����֤���
��. ��Ԥ�֥�������롼��åȡ���ư�ȸƤ�. �Ȥ����Τ�, �����ε�ƻ��
���������ȼ������Ǥ���. ��ʿ�ѵ�ƻ�����Τ褦�ʾ��֤�Ĺ��α�ޤ뤳�Ȥ�
�ͤ��ˤ���. ���ܾ��ͤγ�Ψ�����˹⤤����Ǥ���. ���ξ�, �ɼԤ˷ٹ�
���Ƥ�����, ������ư�ξ��, ���������ǻȤ������Ϥ���äݲ᤮��. 
�Ȥ���$e'=0$�ξ�礬�����Ǥ���. 

��������, �ϵ�ȶ�����ƻ���ڤ륢�ƥͷ�������$(2100)$RaShalom��
����. ���ξ���, �����򺹤ϵ������ʤ�����������������ư�ؿ����Ȥ������. 
��11��ʿ����ư�ؿ��Υ����(��)�Ǥ���. ����������3�ܸ�����. 2�ܤ�
�ϵ��, 1�ܤ϶�����, �Ǥ���. �����Ǥ϶��̤ϳ�餫�Ǥʤ�. 

Ʊ��(���ޤ�)�Υ�٥�����ˤ���, ���������������ư�η��, ������
����$\omega$�Ϥ��Ĥ���󤹤�. 3�����������ְ���Ū�ʰ�̣�ǡ�, 
�ϥߥ�ȥ�ؿ���$\overline{H}$�Ȥ���ϥߥ�ȥ��������β�, �������κк���
�ȿ���well--defined�Ǥ���(??).

���ξ�������¾�ˤ��������������. ���Ф���, �ϵ�Ȥθ����򺹤ζ᤯��
ʿ�ѱ�ư����(Toro����)��ª������(Milani \& Bacelli, 1998). 
���ʤ��, ������Υ�����������̲᤹��Τ�, 
�ϵ�Ȥζ��ܾ��ͤγ�Ψ�Ͻ����������������ϽФʤ�. 

�軰����Ǥ�, �����򺹾�����$(1866)$Sisyphus���ܿ����ǤȰ��פ���
$a$��$Z$���ͤ�����. Sisyphus��$q=a(1-e)$��1AU��꾮�����Τ����Ѷ�̣
����. ���������򺹤ϵ�����ʤ�. �����ɸ浡����Milani et al.(1989)��
��ä�Kozai���ʬ�व�줿. ��12����ư�ؿ��Υ�٥����ˤ���, 
$\omega$��ư�ȶ���$e$-$\omega$���β�ǽ��������. �����Kozai���
�դ�ޤ�����������. ������, $\omega$��ư����������ư�ؿ��ˤ�äƶ�ư
����Ƥ���, �ϵ�θ��̤Ͼ�����. �ޤ������θ��̤Ϥۤ�̵��Ǥ���. 
������, �ϵ������Ȥθ����򺹤����˱�äƤΥ�٥�����Τ��ɤ�$\pi$��
�᤯, �ޤǤϤ褯�����ʤ�. 

��ͤ����, ����²�μ�������\underline{49P/Arend--Rigaux}�κ��ε�ƻ����
����Ѥ���. �����ŵ��Ū�������򺹵�ƻ�Ǥ���, ���������˱�äƤ�
��٥����Τ��ɤϿ�13�Ǥ褯������. ���ε�ƻ�ϲ����򺹤Ǥ⤢�뤬, 
�����μ��̤Ͼ������Τ�, ����ư�ؿ��ؤαƶ��Ͼ�����. 


\vspace{0.5cm}
\noindent
{\Large \bf 5. ��������Ӿ���θ���}

�����򺹵�ƻ�α�ǯ��ư����������Τʤ���ǤϤʤ��ʤä�. ��դβ�����
ʿ����������Ū�˷���������Ǥ���. �����Ϲ���Ū�Ǥ��뤫��, �����β��
�б����������������μ���θ�ͭ���ȿ���׻�����well-defined��
���르�ꥺ�ब����. 

�Ż���2�Ĥΰ�̣�Ǥޤ����äƤ��ʤ�. �ޤ�, ʿ�Ѳ�������(�ϥߥ�ȥ�ؿ�
$\overline{H}$)�α��դ�׻����뤿�������������르�ꥺ���, 
�����Ĥ�improper��ʬ��ޤ�Ǥ���. ���������м�«�Ǥ��뤬, ����
Ū�˰���ʥ��르�ꥺ����������ɬ�פ�����. ��ΨŪ�ʥ��르�ꥺ���
�����, �������Ǥ��륽�եȥ񥢤Ȥ��Ƽ��β����뤳�Ȥϲ�ǽ�Ǥ��뤬, 
�����¸�����ɬ�פ�����. 

����, ʿ�Ѳ��������β�ȿ��β��ʿ�ѤȤκ���ޤ����Ѥ�äƤ��ʤ�. 
��Ԥϸ�̩���������Ƥ⤤�ʤ�. ���Ԥο�����Ȥ����ˤ���, 
���ͷ׻��ˤ�äƤΤ�, �ɤξ���, �����Ƥɤ����٤����٤�ʿ�Ѳ�������
����ο��Τդ�ޤ���ɽ�����뤫���Τ뤳�Ȥ��Ǥ���. 
����Ū�ʼ����, ʿ�Ѳ��������ˤ�äƷ׻����줿��ǯ���Ĥξ�꤬, 
��Ȥ�������������֤�¸�ߤ����ǯ�����ΰ��ɤ�����ͽ¬�Ǥ��뤫, �Ǥ���. 

�����Ϥ���줬�Ԥ��٤�ĩ��Ǥ���. 

\newpage
\vspace*{10cm}
\hspace{6cm} ��12, 13.

\newpage
\begin{thebibliography}{}

   \item
Demidovic, B.P. and Maron, I.A.: 1996, {\it Foundations of Numerical 
Mathematics}, SNTL, Praha.  

   \item
Fleming, W.H. : 1964, {\it Functions of Several Variables}, 
Addison-Wesley. 

   \item
Gronchi, G.F.: 1997, 'Asteroidi incrociatori dell'orbita terreste: 
studio analitico dell'hamiltoniana mediata', Thesis, University of
	Pisa. 

   \item
Kozai, Y.: 1962, 'Secular perturbation of asteroids with high 
inclination and eccentricity', 
{\it Astron. J}, {\bf 67}, 591-598. 

   \item
Michel, P. and Froeschl\'{e}, C.: 1997, 'The location of linear 
secular resonaces for semimajor axes smaller than 2 AU',
{\it Icarus}, {\bf 128}, 230-240. 

   \item
Michel, P., Froeschl\'{e}, C., and Farinella, P.: 1996, 
'Dynamical evolution of two near-Earth asteroids to be explored by 
spacekraft: (433)Eros and (4660)Nereus',
{\it Astron. Astrophys.}, {\bf 313}, 993-1007. 

   \item
Milani, A., Baccili, S.: 1998, 'Dynamical classification of
Earth-crossing orbits: the dance of the Toro asteroids', Preprint. 

   \item
Milani, A., Caprino, M., Hahn, G., and Nobili, A.M.: 1989, 
'Dynamics of planet-crossing asteroids: Classes of orbital behavior', 
{\it Icarus} {\bf 78}, 212-269. 

   \item
Morbidelli, A. and Henrard, J.: 1991, 'Secular resonances in the 
asteroid belt: theoretical perturbation approach and the problem of 
their location', {\it Celest. Mech.} {\bf 51}, 131-168. 

   \item
Piessens, R., De Doncker-Kapenga, E and Uberhuber, C.W.: 1983, 
{\it QUADPACK: A Subroutine Package for Automatic Integration}, 
Springer-Verlag.

   \item
Wetherill, G.W.: 1967, 'Collisions in the asteroid belt', 
{\it J. Geophys. Res.} {\bf 72}, 2429-2444. 

   \item
Williams, J.G. and Faulkner, J.: 1981, 
'The position of secular resonance surface',
{\it Icarus} {\bf 46}, 390-399. 

\end{thebibliography}

\end{document}
