\documentstyle[12pt,twoside]{jarticle}
%
\oddsidemargin 0.0cm
\evensidemargin -1.0cm
\topmargin 0.0cm
%
\textwidth 16.8cm
\textheight 22.5cm
\footheight 0.5cm
\footskip 1.2cm
%
%\setcounter{page}{77}
%
\newcommand{\re}{\vspace{0.15cm}\par\hangindent=0.7cm\noindent}
\newcommand{\btheta}{\mbox{\boldmath $\theta$}}
\newcommand{\bomega}{\mbox{\boldmath $\omega$}}
%\newcommand{\re}{\vspace{0.3cm}\par\hangindent=0.7cm\noindent}
%
\begin{document}
\setlength{\baselineskip}{3ex}
%\setlength{\baselineskip}{5ex}

%Saha & Tremaine����ʸ
%Aastronomical Journal, Vol.104 (1992), 1633-1640.
%

\begin{flushright}
ë����δ ��
\end{flushright}

\noindent
{\it Astronomical Journal} {\bf 104} (1992), 1633-1640

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\Large
{\bf ���۷��ϳؤΤ���Υ���ץ쥯�ƥ��å���ʬˡ \\
Symplectic integrators for solar system dynamics}
}

\vspace{0.3cm}
Prasenjit Saha and Scott Tremaine
\end{center}

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf ����}

���۷��ϳؤ������¿����$H = H_{Kep} + \epsilon H_{pert}$�η��Υϥߥ�ȥ�ؿ���
���ҤǤ���. ������$\epsilon \ll 1$�Ǥ���, $H_{Kep}$�ϥ��ץ顼���������
�ϥߥ�ȥ�ؿ���, $\epsilon H_{pert}$��(���Ȥ���)��������ΤϤ뤫�˾�����
��ư�ˤ����ʬ�Ǥ���. ���μ�Υϥߥ�ȥ�ؿ����Ф��륷��ץ쥯�ƥ��å���ʬ�Ҥ�
���Ѥ���. ���κ�, $H_{Kep}$�β���ʬ�������Ѥ�����ˡ�˾����򤢤Ƥ�. 
���Τ褦����ʬ�Ҥα�ǯ�����Ϥ��ޤ���ȯ��³����Ȥ���$\epsilon$�ܤۤɾ�����
�Ǥ��뤳�Ȥ򼨤�. 
���Ȥ���, �Ϥ�������˾����ʹ��������Ϥ�ƽ����˺ǽ�Ū
������ޤǤ��礭������Ф褤. ��̤Ȥ�����������ʬ�Ҥ����۷Ϥι���
�ϰϤ�����˻Ȥ����Τ���Ǻ����Ǥ���.

\vspace{0.3cm}
\begin{center}
{\bf ��} 
\end{center}

�����Υǥ������륳��ԥ塼����®�����餹���ľ����ʬ�ˤ�ä�, ����Ĺ���֤�
�錄�ä����۷Ϥε�ƻ�οʲ���Ĵ�٤뤳�Ȥ��Ǥ���.
Ĺ����ʬ�ˤ����ΤǴ�����ʬ���르�ꥺ�बɬ�פǤ���.

������ǯ�֤�ľ���ɸ�ǹ⼡��¿��ˡ��¿���Ȥ��Ƥ���. ¿��ˡ�Ǥ������ʤ�
���֤Ȳ�®�٤�¿�༰�򤢤ƤϤ�ƺǿ��ΰ��֤����.
��äȤ�͵��Τ���Τ�13�ʤ�St$\ddot{\rm o}$rmer��ʬ�ҤǤ���. �����
Sussman \& Wisdom(1988)�ˤ�볰������8.45��ǯ�η׻���ޤ��¿����Ĺ��
��ʬ�˻Ȥ��Ƥ���. St$\ddot{\rm o}$rmerˡ�η�����(¾��¿������ʬ���������
Ʊ��)���֤θ��������֤�2������Ĺ���뤳�ȤǤ���. 
����������о�¿����ʬ��(Lambert \& Watson 1976)�ˤ�äƲ���Ǥ���.
���ξ��, ��������������Ĺ����. �Ƕ�Quinlan \& Tremaine(1990)�����۷Ϥ�
�Ż��˹礦�褦�˹⼡�η�
\footnote{�������ʸ�Ǥ�, $\tau$����ֹ�ߤȤ���
1��ߤ����������$O(\tau^{n+1})$�ΤȤ���ʬ�Ҥμ�����$n$�Ȥ��뽾�����ˡ��
��������. 1�����������ˤϤ��������������, �ޤ�2��������������Ȥ�1����������
�ȹͤ���м����Ǥ���. ����ɤ�2����������������ʸ���ˤ��м�����$n-1$�Ǥ���. 
���Ȥ��Ф�������ˡ�Ǥ�13�ʤ�St$\ddot{\rm o}$rmer��ʬ�Ҥ�14���Ǥ��뤬, 
Henrici(1962)��Quinlan \& Tremaine(1990)����ˡ�Ǥ�13���Ǥ���. �Ȥ��ˤ�12����
�����뤳�Ȥ⤢��. }
��Ƴ����.
Quinn et al.(1991)��12���о�¿��ˡ����������3ɴ��ǯ��ʬ����. 

�嵭�ʳ��ˤ����륷��ץ쥯�ƥ��å���ʬ�Ҥ�Ȥ���ˡ������.
����ϥϥߥ�ȥ����ͭ�Υ��르�ꥺ��Ǥ��ä�, �ϥߥ�ȥ��ϳؤ���ħŪ��
��̩����¸§��Ĵ����. ����Ū�ʳ�����ʸ�Ȥ���Channel \& Scovel(1990), 
�ޤ���äȾܤ�����ΤȤ���Sanz-Serna(1992)����ʸ�򸫤�. 
���Ȥ��Х���ץ쥯�ƥ��å���ʬ�Ҥ������Ѥ���¸����Τ�, �ߤ�����λ��郎�ʤ�. 
������, �⼡�ξ��Ʊ��������¿�ʥ��르�ꥺ�����٤ƥ��르�ꥺ�बʣ���ʤ���
�Ǥ���.
�ϥߥ�ȥ�ؿ������η��˽񤱤�Х���ץ쥯�ƥ��å���ʬ�Ҥι���ˡ�ϴ�ñ�ˤʤ�. 
$$
  H = T({\bf p}) + V({\bf q}).   \eqno(1)
$$
������${\bf p}$��${\bf q}$������ʱ�ư�̤Ⱥ�ɸ�Ǥ���. ��������Ū����$N$������
�Υϥߥ�ȥ�ؿ���${\bf p}$��${\bf q}$��ľ���ɸ����ӱ�ư�̤Ȥ��Ƥ��η���
���Ƥ���($T$��$V$��ñ�˱�ư���ͥ륮���ȥݥƥ󥷥�륨�ͥ륮���Ǥ���).
Gladman \& Duncan(1990)��ľ���ɸ��4���Υ���ץ쥯�ƥ��å���ʬ�Ҥ�Ȥä�
���۷ϳ����$10^3$�Ĥ�γ�Ҥοʲ���$2 \times 10^7$ǯ�ɤ�������. 

���۷��ϳؤ���ħ�ϲ���ʬ���ץ顼����ؤ���ư�������Ƥ��ξ�羮�������ȤǤ���. 
�Ĥޤ걿ư���ϥߥ�ȥ�ؿ�
$$
  H = H_{Kep} + \epsilon H_{pert}   \eqno(2)
$$
�ˤ�äƵ��Ҥ���뤳�ȤǤ���. ������$\epsilon \ll 1$�����������ۤμ�����
���뤤��(�����ξ��ˤ�)Ĭ���Ϥ��������Ϥ���Ǥ���. 
���Τ��Ȥ���, ��ʬ�ϥ��ץ顼����κ��ѡ����ѿ��ǹԤʤ��Τ��ɤ������Ǥ���. 
���ξ��, ����ư��ư��ñ��Ǥ���(���Ѥ�����ǳ��٤ϻ��֤����������礹��).
���Τ�꤫�����񤷤��Ȥ�������ư�ϥߥ�ȥ�ؿ�$\epsilon H_{pert}$��
���ѡ����ѿ��Ƿ׻��������ݤʤȤ����Ǥ���. 

������ʸ�Ǥ�Wisdom \& Holman(1991���ʸ�WH�ȸƤ�)��Ƴ�������췲�����̤�
��ʬ�Ҥ򰷤�.
���Τ����ΤҤȤĤ�Ȥä�WH�ϳ������Ϥ�10��ǯ�ɤ�����, 
Sussman \& Wisdom(1992)����������1��ǯ�ɤ�������. 
���Τ褦����ʬ�Ҥ�Kinoshita et al.(1991���ʸ�KYN�ȸƤ�)���ȼ��˼������Ƥ���. 
��������ʬ�Ҥ���ħ�����Ȥ��ѿ���Ȥ����ȤǤ���Ǥ���. ���ʤ�����ץ顼
�ϥߥ�ȥ�ؿ�$H_{Kep}$����ʬ���뤿��κ��ѡ����ѿ�����ư�ϥߥ�ȥ�ؿ�
$\epsilon H_{pert}$����ʬ����ľ���ɸ�Ǥ���. 
KYN�Ǥ���ʬ�Ҥϡֽ�������ץ쥯�ƥ��å���ʬ�ҡפȸƤФ�, 
WH�Ǥϡ�$N$�μ����פȸƤФ줿��, �����ǤϤ�äȰ�̣�Τ狼��䤹��
�ֺ����ѿ�����ץ쥯�ƥ��å���(���뤤��MVS)��ʬ�ҤȤ���̾����Ѥ���. 
���Ȥ���MVS2��2������ʬ�Ҥ�ɽ��. 

MVS��ʬ�Ҥν��פ�������, (�ޤ������������)�������ץϥߥ�ȥ�ؿ�
$$
 \tilde{H} = H + H_{err}   \eqno(3)
$$
���ϳؤ�̩���ɤ������뤳�ȤǤ���. $H_{err}$�Ϲ����$\tau$�˰�¸��, 
(����Ū�ˤ�)$\tau$�Τ٤������ɽ�����Ȥ��Ǥ���. 
����$n$����ʬ�Ҥξ��, $H_{err} \sim O(\epsilon \tau^n)$�Ǥ���.
�⼡����ʬ�Ҥ��Τ��Ƥ��뤬, 2�������4������ʬ�Ҥ��ʤ��󤺤�ͭ�ѤǤ���.
����ץ쥯�ƥ��å���ʬ�ҤΤ��꤬��������, ���Ȥ��б�ǯ���ͥ륮��������
�ʤ�����, ���٤θ�����(2���Ǥʤ�)1������Ĺ���뤳�Ȥʤɤ�, $\tilde{H}$��
¸�ߤ��뤳�Ȥ��餿�����˸�����
\footnote{�����ϥߥ�ȥ�ؿ������뤳�ȤϷ��٤�����Ū�����礹�뤿���
ɬ�׾��ǤϤʤ�. �����ǹͤ������äȰ��̤Υ���ץ쥯�ƥ��å���ʬ��
�ξ��, �����ϥߥ�ȥ�ؿ�����Ĥ��Ȥ��Τ��Ƥ��ʤ�����ɤ���٤�����Ū��
���礹��. �ޤ�����ץ쥯�ƥ��å�¿����ʬ�Ҥ������������򼨤�. ����
¿��ˡ�ξ��, ����ץ쥯�ƥ��å������������Τ��ưפǤϤʤ�. }
. 
��ʬ�Ҥ�������$H_{err}$�ˤ�äƴ����˵��ҤǤ��뤳�Ȥ���ʬ�Ҥ���Ϥ���Τ�
�����ؤ��Թ礬�褤. 

MVS��ʬ�Ҥ���̩�����뤳�Ȥ�������ʸ�δ�Ϳ�Ǥ���. 
���פ�Ĺ��������$O(\epsilon \tau^n)$���٤��礭����ʿ�ѱ�ư(mean motion)��
��������˵������뤳�Ȥ򼨤�. 
�Ĥ��ˤ��θ��������뤿����ü�ʽ����³���򵭽Ҥ���. 
���μ�³���ˤ�ä�ʿ�ѱ�ư��ʿ�Ѹ����Ϥ�������$O(\epsilon^2 \tau^n)$���٤�
�ʤ�. ���β��ɤˤ�ä�MVS��ʬ�Ҥ����۷ϤΤϤй�������򰷤��Τ�ΤȤ���
���ޤΤȤ��������Τ�Τˤʤä�. 

2��Ǥϥ���ץ쥯�ƥ��å���ʬ�Ҥ������Τ����ط�����¦�̤򳵴Ѥ���. 
3��ǤϿ����������³���ˤĤ��ƽҤ�, 4��ǤϤ⤦�ҤȤĤβ���Ҥ٤�. 
����ˤ��ȥϥߥ�ȥ��꼰����¿������򤷤ĤĤ�Ʊ��������������. 
5��ǤϿ��ͥƥ��Ȥ�Ԥʤ�, �����β���ˡ����������, ���ο�����
�����³���ˤ����ɤ���������. ����ϤޤȤ�Ǥ���.
��ʸ����ʸ�Ǥ�������Ū�����Ϲͤ��ʤ���, ���Ǽ�û�˵�������. 

\vspace{0.3cm}
\begin{center}
{\bf ����ץ쥯�ƥ��å���ʬ�Ҥ˴ؤ���㴳������} 
\end{center}

�֥���ץ쥯�ƥ��å��פϡ�������¸�פΰ��̲��Ǥ���. 
�ϥߥ�ȥ�Ϥ���©����$2N$���������$({\bf p},{\bf q})$�ˤ�����
����ץ쥯�ƥ��å��Ѵ���Ǥ�դ��ĥ롼�פˤ�ä�Ǥ�դζ���$p_jq_j$
��˼ͱƤ��줿���Ѥ���¸�����Ѵ��Ǥ���. �����������, 
$d {\bf p} \wedge d {\bf q}$����¸����. 
(�ܿ��Ѵ����뤤�������Ѵ��Ȥ����Ƥ����⤢��.)
�Ȥ��˥ϥߥ�ȥ�ؿ��Τ�ȤǤλ��ֿʲ��ϥ���ץ쥯�ƥ��å��Ǥ���. 

�ϥߥ�ȥ�Ϥ�Ŭ�Ѥ�������Ū��ʬ�Ҥϼ��Τ褦�ʼ����ȹͤ��뤳�Ȥ��Ǥ���. 
$$
  ({\bf p}, {\bf q})_{t=0} \rightarrow ({\bf p}, {\bf q})_{t=\tau} .
   \eqno(4)
$$
������$\tau$�Ϲ�����Ǥ���, �����Ϥ��μ������٤ⷫ���֤�.

����ץ쥯�ƥ��å���ʬ�ҤǤ���Ȥϼ���(4)��(�ޤ������������)
����ץ쥯�ƥ��å��Ǥ��뤳�Ȥ��ݾڤ���Ȥ��Ǥ���. 
����ˤ����ʬ�Ҥ���ȤΥϥߥ�ȥ�ή��δ�����Ū��¤��¿������¸����. 
�������٤˴ؤ��Ƥϲ���狼��ʤ�. 

����
$$
   H = H_A + H_B ,    \eqno(5)
$$
�η��Υϥߥ�ȥ�ؿ����ä���¤���. ������$H_A$��$H_B$�Ϥ��줾�����ʬ��
����Ȥ���. (2)�������۷ϤΥϥߥ�ȥ�ؿ��Ϥ��η��򤷤Ƥ���. �º�, 
$H_{Kep}$���Ȥϲ���ʬ�Ǥ���, $H_{pert}$����֤����δؿ����������ʬ�Ǥ���. 
�⤦�ҤȤĤ����(1)�Τ褦�˥ϥߥ�ȥ�ؿ�����ư���ͥ륮���Ⱥ�ɸ�����˰�¸����
�ݥƥ󥷥����¤Ȥ���ɽ�������Ǥ���. 

(5)�η��ηϤξ��, �ϥߥ�ȥ��������ϼ��Τ褦�˽񤱤�. 
$$
   \dot{\bf z} = \{ {\bf z}, H_A + H_B \} .   \eqno(6)
$$
������${\bf z}$��$({\bf p}, {\bf q})$�Ǥ���, $\{ \ , \ \}$�ϥݥ��å����̤�
����. �����Ǥ�Ƴ������. 
$$ \begin{array}{lll}
  A \equiv \{  \ , H_A \} & {\rm �����} & B \equiv \{  \ , H_B \} . 
   \end{array}  \eqno(7)
$$
(6)�η�����ϼ���Ϳ������. 
$$
   {\bf z}(\tau) = \exp[\tau(A+B)] {\bf z}(0) .  \eqno(8)
$$
$H_A$��$H_B$�ϲ���ʬ�Ȥ�������$\exp(\tau A)$��$\exp(\tau B)$�η׻�ˡ��
Ƚ�äƤ���. ����ץ쥯�ƥ��å���ʬ�Ҥ�ȯ���뤿��˿��λ��ֿʲ�
������$\exp[\tau(A+B)]$��$\exp(\tau A)$��$\exp(\tau B)$����(����)��
�������. �����Baker-Campbell-Hausdorff(BCH)�ι�������ȤäƤ���. 
���ʤ��
$$
  \exp A \exp B = \exp(A + B + \frac{1}{2} [A,B] + 
\frac{1}{12} [A-B, [A,B]] + \langle �Ĥ�ι� \rangle). \eqno(9)
$$
������$[ \ , \ ]$�ϸ򴹻ҤǤ���, $\langle �Ĥ�ι� \rangle$��$A$��$B$��
����Ҥˤʤä��򴹻ҤΤߤ������äƤ���. 

���Ȥ��м���ͤ��褦. 
$$
  \exp(\tau A) \exp(\tau B) = \exp[ (\tau(A+B) + \langle ���� \rangle] . 
\eqno(10)
$$
�������˼�����褦��, $\langle ���� \rangle$��$\{ \ , H_{err} \}$�Ƚ񤱤�
\footnote{�����Ǽ�����뤿���, 
$[A,B] \equiv \{ \{ \ , H_B \} , H_A \} -  \{ \{ \ , H_A \} , H_B \}$��
�ͤ���. �䥳�Ӥι�����
$\{ \{ X, Y \} , Z \} + \{ \{ Y, Z \} , X \} + \{ \{ Z, X \} , Y \} = 0$
��Ȥ���$[A,B] \equiv \{ \ , \{ H_A, H_B \} \}$�Ǥ��뤳�Ȥ�Ƚ��. 
$\langle ���� \rangle$��$A$��$B$������Ҥˤʤä��򴹻ҤΤߤ������äƤ��뤫��, 
����Ҥˤʤä�$H_A$��$H_B$�Υݥ��å����̤�������ϥߥ�ȥ�ؿ�$H_{err}$
��Ȥä�$\langle ���� \rangle \equiv \{ \ , H_{err} \}$�Ƚ񤱤�}
. �����������
(10)���κ��դκ������, �ϥߥ�ȥ�ؿ�
$$
  H_A + H_B + H_{err}
$$
�Τ�Ȥǻ���$\tau$�����ʲ�����������Ʊ���Ǥ���.
(10)��BCH���������, �������˼����Ф�. 
$$
  H_{err} = (\tau/2) \{ H_A, H_B \} + O(\tau^2).  \eqno(12)
$$
(10)���κ��դǵ��Ҥ������ʬ�Ҥλ��ֹ��$\tau$��1��ʬ��, �Ϥ����$H_B$�Τߤ�
�ƶ��Τ�Ȥ��ϳطϤ����$\tau$�����ʤ�, ����
$H_A$�Τߤαƶ��Τ�Ȥǻ���$\tau$�����ʤ�뤳�ȤǤ���. �����ϥߥ�ȥ�ؿ�
$H_{err}$��$O(\tau)$�Ǥ��뤫��, ���ֹ�ߤ��Ȥθ�����$O(\tau^2)$�Ǥ���. 
�����餳����ʬ�Ҥ�1���Ǥ���. 

(10)���κ��դǵ��Ҥ����1���Υ���ץ쥯�ƥ��å���ʬ�Ҥ�S1�Ƚ񤯤��Ȥˤ���. 
$H_A$��$H_B$��ľ���ɸ�ȱ�ư�̤�(��(1)�˸�����褦��)ʬΥ��ǽ�ʤ�, 
��ʬ�Ҥ�CS1�Ƚ�, $H_A$�κ����ѿ���$H_B$�κ����ѿ������ඦ��Ǥʤ��ʤ�
(�ֺ����ѿ���), ��ʬ�Ҥ�MVS1�Ƚ�. 

�⼡����ʬ�Ҥ����뤿��˼�����ͤ���.
$$
  \exp(\frac{1}{2}\tau A) \exp(\tau B) \exp(\frac{1}{2}\tau A)
= \exp[ (\tau(A+B) + \langle ���� \rangle ] . \eqno(13)
$$
BCH��������Ȥ��Ȥ������˼���������. 
$$
  H_{err} = \frac{\tau^2}{12} 
\{ \{ H_A, H_B \} , H_B + \frac{1}{2} H_A \} + O(\tau^4).  \eqno(14)
$$
������(13)���κ��դǵ��Ҥ������ˡ��2���Ǥ���. 2����1������ʬ�Ҥζᤷ���ط�
�����դ��褦. 
2������ʬ�ҤǷϤ�$N$��߿ʤ�뤳�Ȥ�, $H_A$�Τ�ȤǷϤ����
$\frac{1}{2} \tau$�����ʤ�, ����1������ʬ�Ҥ�$N-1$��߿ʤ�, 
�����$H_A$�Τ�ȤǷϤ����$\frac{1}{2}\tau$�����ʤ�뤳�Ȥ�
�����Ǥ���. ;ʬ��Ⱦ���ʬ����ʬ�Ҥ����٤�1������2���˲�������Τ�
��Ω�äƤ���. 
$H_A = \frac{1}{2}{\bf p}^2, H_B = V({\bf q})$�ξ��ˤ�, ��ʬ�Ҥ�ñ�ʤ�
��ķ��(leapfrog)�Ǥ���
\footnote{�դĤ���ķ�Ӥϼ��Τ褦�˽�.
$$ \begin{array}{l}
  {\bf q}_{1/2} = {\bf q}_0 + \frac{1}{2} \tau {\bf p}_0 , \\
  {\bf p}_n = {\bf p}_{n-1} - \tau \frac{\partial V}{\partial {\bf q}}, 
  {\bf q}_{n+1/2} = {\bf q}_{n-1/2} + \tau {\bf p}_n , \\
  {\bf q}_n = {\bf q}_{n-1/2} + \frac{1}{2} \tau {\bf p}_n .
   \end{array}       
$$
�Ȥ�������ñ��Ƚ��褦��, ���η��Ͼ����ʸ�ǽҤ٤���Τ�Ʊ�ͤǤ���
(Ruth 1983�⻲�Ȥ���).}
. 

4������ʬ�Ҥ�����ˤ�, 2������ʬ��3�Ĥ�$1: -2^{1/3}:1$�ʤ�����ǤĤʤ����
�褤. Yoshida(1990)�Ϥ���˹⼡����ʬ�Ҥ���Ƥ���.

�������о����������餫�ʤ褦��, ���������ʬ�ҤϤޤ�����������ƻ���ȿž
��ǽ(�ĵ�)�Ǥ���. BCH����������ʬ�Ҥθ������оβ����뤿���
Forest \& Ruth(1990)���ǽ�����Ѥ���. �������ϥߥ�ȥ�ؿ�$H_{err}$�ˤ�ä�
���Ҥ���뤳�Ȥ�Yoshida(1990)��������. ������ǽҤ٤����Ȥ�ޤ�Ǥ�ä�
�ܤ������Ȥ�WH�����KYN�˲ä��ƾ��2�Ĥ���ʸ�˽񤤤Ƥ���. 
�ޤ�Wisdom \& Holman(1992)��
($H_{err}$��ɬ������$\tau$�ε��Ÿ�����㼡�����ǵ��ҤǤ��ʤ�����)
��ߤ��礭���Ȥ���MVS2����Ϥ��Ƥ���. 

(2)�η��Υϥߥ�ȥ�ؿ���Ȥä����۷Ϥ���ʬ����Ȥ��ˤ�, $H_{Kep}$�Τߤκ���
�Τ�Ȥǻ��֤�ʤ��ΤϺ��ѡ����ѿ��ޤ��ϵ�ƻ���Ǥ�Ȥ��м¤˴�ñ�Ǥ��뤳�Ȥ�
���դ��褦. 
$\epsilon H_{pert}$�Τ�Ȥǻ��֤�ʤ�뤳�Ȥ�ľ���ɸ��Ȥ��д�ñ�Ǥ���
(���֤���ꤷ���ޤ�®�٤��Ѥ���).
WH����Ŧ���Ƥ���褦��, ľ���ɸ���鵰ƻ���Ǥؤ��Ѵ�, ʿ�Ѷ���Υ�Ѥ�ʤ��
����, ����˵��Ѵ��ʤɤΤ������ϥ�������$f, g$�ؿ���ȤäƸ�ΨŪ��
���β��Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\begin{center}
{\bf 3. ��ȯ��³��} 
\end{center}

�����ϥߥ�ȥ�ؿ�$\tilde{H} = H + H_{err}$��KYN�Ǽ����줿�褦��
��ʬ�������Ѥ��Τ˻Ȥ���. (2)�η������۷ϤΥϥߥ�ȥ�ؿ���
MVS��ʬ�Ҥ�Ŭ�Ѥ������˸����μ��׹�򸫤Ĥ�������Ǥʤ�, �������뤳�Ȥ�
���줫�鼨����. 

��ʬ�Ҥ����٤ΰ��ֽ��פ��ܰ¤�ʿ�ѱ�ư(mean motion)��ʿ�Ѹ����Ǥ���. 
�Ȥ����Τ�, ����ˤ�ä� (a) ���֤θ�������ĹΨ����ޤ�(���ָ����ΤۤȤ�ɤ�
���٤θ����Ǥ��뤫��), (b) ��Ȥ��ϳطϤ�ʿ�ѱ�ư���Ĥ䶦�Ķ�˵�θ��̤�
������ʬ�ˤ⸽��뤫�ɤ�������ޤ뤫��Ǥ���. 

�ʲ��ε����Ǥ�, ��ư����Ȥä�($H_{err}$��$H$�ؤ���ư�Ȥ��Ĥ��ä�)����
�ϥߥ�ȥ�ؿ�$\tilde{H}$����Ϥ�, �����Ϥο�ư��$\tilde{\omega}$��
���·Ϥο�ư��$\omega$����Ӥ�, �դ��Ĥο�ư���κ��򸺾���������ˡ�ˤĤ���
��������. regular�ʵ�ƻ�Τ߹ͤ�, 
�Ȥ���$H$�Ͼ��ʤ��Ȥ���Ū�˺����ѿ�, ���ѿ������
�Ȳ��ꤹ��. �ޤ�$H_{err}$����ʬ��������(�Ĥޤ�$\tau$����ʬ��������), 
1������ư�����褤����Ǥ���Ȳ��ꤹ��. 

�ͤ���Τ�MVS2�Ǥ��뤬, �⼡�ξ��ˤ���������ƤϤޤ�. 
�ϥߥ�ȥ�ؿ�(2)��$H_{err}$��ɽ��(14)���������Ƽ�������. 
$$
  H_{err} = \frac{\epsilon \tau^2}{24} 
\{ \{ H_{Kep}, H_{pert} \} , H_{Kep} \} + O(\epsilon^2 \tau^2).  \eqno(15)
$$
�ݥ��å����̤򸽼·�$(H)$�κ��ѡ����ѿ����Ѥ���ɾ������.
${\bf J}, \btheta$��$H$�κ��ѡ����ѿ��Ȥ�, 
$\bomega \equiv (\partial H / \partial {\bf J})$�����࿶ư���Ȥ���. 
${\bf J}, \btheta$��$H_{Kep}$�κ��ѡ����ѿ�(�ɥ����͡�(Delaunay)����)��
����$O(\epsilon)$�Ǥ���, ������Ϳ������
\footnote{
��ˡ����ʣ���Ƥ��뤳�Ȥ�����. (16)���ǡ�$H$�פϥɥ����͡����Ǥ�ɽ��. 
�����ۤ��ξ��Ǥ�$H$�ϥϥߥ�ȥ�ؿ���ɽ��. �ɥ����͡����Ǽ��Ȥ�, ���Ȥ���
Plummer(1960)��143�ᤢ�뤤��Brouwer \& Clemence(1961)��9.9���Ƴ�Ф���Ƥ���. 
}. 
$$ \begin{array}{lll}
  J_1 = L + O(\epsilon); & J_2 = G + O(\epsilon); & J_3 = H + O(\epsilon); \\
  \theta_1 = l + O(\epsilon); & \theta_2 = g + O(\epsilon); & 
  \theta_3 = h + O(\epsilon) .
   \end{array}    \eqno(16)
$$
$H_{Kep}$��$L$�ˤ����ͤ�ʤ�����, $H_{Kep}$��$O(\epsilon)$�����٤Ǥ�
$J_2, J_3, \theta_1, \theta_2, \theta_3$�Τߤ˰�¸����. �椨��
$\omega_2, \omega_3$��$O(\epsilon)$�Ǥ���. �����鼡������. 
$$
 H_{err} = \displaystyle - \frac{\epsilon \tau^2}{24} 
\left( \frac{\partial H_{Kep}}{\partial J_1} \right)^2 
\left( \frac{\partial^2 H_{pert}}{\partial \theta_1^2} \right) + 
O(\epsilon^2 \tau^2) .   \eqno(17)
$$
$H_{err}$�ϥա��ꥨ��ʬ��ȤäƼ��Τ褦��ɽ����. 
$$
  H_{err} = \epsilon \tau^2 \sum_{\bf m} X_{\bf m}({\bf J}) 
\exp (i {\bf m} \cdot \btheta) + O(\epsilon^2 \tau^2) . \eqno(18)
$$
������${\bf m}$������$m_1,m_2,m_3$�Υ٥��ȥ�Ǥ���, �ޤ�(17)���ι�
$(\partial^2 H_{pert} / \partial \theta_1^2)$�ˤ��, 
$X_{\bf m} = 0$�Ȥʤ�Τ�$m_1=0$�ΤȤ��Ǥ���. 
������$H_{err}$��$H_{pert}$�Ȥϰ㤦����ɤ�$O(\epsilon)$�����٤Ǥ�
��ǯ��(ʿ�Ѷ���Υ��$l$�˰ͤ�ʤ���)������ʤ�. 

������(18)����$O(\epsilon \tau^2)$�ιफ�餯������˾��������Ƥ褦. 
��ư�����, �����Ϥκ����ѿ��ȿ�ư�����Ф���$O(\epsilon^2 \tau^2)$�ޤǤ�
���٤Ǽ�������. 
$$
 \tilde{\bf J} = \displaystyle {\bf J} - \epsilon \tau^2 \sum_{\bf m} 
\frac{{\bf m} X_{\bf m}}{\bomega \cdot {\bf m}} 
\exp(i {\bf m} \cdot \btheta)   \eqno(19a)
$$
$$
 \tilde{\bomega}(\tilde{\bf J}) = \displaystyle 
{\bomega}(\tilde{\bf J}) + 
\epsilon \tau^2 \frac{\partial X_0}{\partial {\bf J}} = 
\bomega(\tilde{\bf J}) .  \eqno(19b)
$$
��ʬ�������������ʤ�. �Ȥ����Τ�, $ \bomega \cdot {\bf m}$��������
�᤯�ʤ�Τ�$m_1=0$�ΤȤ��ΤߤǤ���, ���ΤȤ��ˤ�$X_{\bf m}=0$������Ǥ���. 

$\tilde{\bf J}$��������$(\tilde{H})$�Ǥϰ���Ǥ���, ${\bf J}$�ϸ��·�$(H)$��
����Ǥ��뤫��, ��ư���θ�����(19)����$O(\epsilon \tau^2)$�μ����ޤǥ�����
����(���ʤ��$\tilde{\bomega} = \bomega$)����ˤ�, ��ʬ�ΤϤ����
Ʊ�������ޤ�$\tilde{\bf J} = {\bf J}$�Ǥ��뤳�Ȥ�ɬ�׽�ʬ�Ǥ���. 
���ξ�郎����������, ��ư���θ�����$O(\epsilon^2 \tau^2)$�Ȥʤ�, 
$\epsilon \leq 10^{-3}$�Ǥ��뤳�Ȥ�ͤ����, ���۷Ϥ�����ǤϤ��ʤ�β���
�Ǥ���. 

���ꡧ �����Ϥκ����ѿ������·Ϥκ����ѿ��Ȥκ���$O(\epsilon \tau^n)$�Ȥʤ�
�褦�ˤ���ˤ�(���̤�$n$����)��ʬ�Ҥ�ɤΤ褦�˽�ȯ������Ф褤����
���ʤ��Ȥ�դ��Ĥβ�ǽ��������.

(i) ���ʤ餷��������(warm start): �ϥߥ�ȥ�Ϥ���ä����Ѳ������
�����ѿ�(��Ǯ������)���Ѳ����ʤ�. ������ҤȤĤ���ˡ�Ϲ������$0$����
$\tau$�ޤǤ�ä������ä�����(�ºݤˤ�$H$����$\tilde{H}$�ޤǤ�ä����Ѥ���)
��ʬ�Ҥ����餻�뤳�ȤǤ���. ���줬����$T$�δ֤˹Ԥʤ�줿�Ȥ����, 
�����ѿ����Ѳ���
$$
 \Delta {\bf J} \sim \displaystyle \frac{\epsilon \tau^n}{T} 
\sum_{\bf m} \frac{{\bf m} X_{\bf m}}{({\bf m} \cdot \bomega)^2}
\sim \displaystyle \frac{\epsilon \tau^n}{\omega_1^2 T} .  \eqno(20)
$$
�������ʬ�Ҥθ��ʤ餷(warming up)�ȸƤܤ�. ��ʬ�Ҥ򸪤ʤ餷����ˤϤ��������
�����������. ������, $S$������ʤ�, $2S$��߸��ष, �դ�����
$S$������ʤ���. ���κ�, ����������$\tau / (4S)$�������ä�����. ���β�����
��äƻ��֤Ͻ���ͤ����. �Ի׵Ĥʤ��Ȥ�, ������˾����ʸ�����͹�Ū��
�����ȸ�λ��֤ˤ�������������ʤ긺������. 

(ii) (iterated start): (19)���ˤ���$\tilde{\bf J}$�ϵ�ƻ�������٤δ֤�
��ư����. ���Τ��Ȥ���MVS��ʬ�Ҥ�ƻ��ΰۤʤ��������ȯ����, Ŭ���ʻ��֤δ�
��ʬ��, ��ä�û�����ֹ�ߤǹԤʤä���ʬ�򻲾Ȥ������٤��̣��, ���ɤν�ȯ��
(��������$\tilde{\bf J}$��${\bf J}$�˰��ֶᤤ���Ǥ���)�����ӽФ����Ȥ�
�ͤ�����. 

�����ν�ȯ��³����Ԥʤ���, ���פʸ�����3�Ĥκ����ѿ���û����������
$J_2$�����$J_3$��$O(\epsilon \tau^2)$���٤�Ĺ����������, 
�����ѿ���$O(\epsilon^2 \tau^2)$���٤�ʿ�Ѹ�����������. 
ʿ�Ѹ�����$O(\epsilon)$�ܸ��������뤳�Ȥ��Ǥ���, ��ȯ��³���Ͽ�����ʬ�ˤ�����
ʿ�ѱ�ư�����٤�¼�Ū�˲�������. 

5��Ǥ�ξ���ν�ȯ��³�����̣����. ���̤ν�ȯ��³����Фʤ���ʬ�Ҥ�
cold start�ȸƤ֤��Ȥˤ���. 


\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf 4. �⤦�ҤȤĤβ��} 
\end{center}

������ǤϺ���η�̤Τ����Ĥ����̤Τ������Ƴ��. �����MVS��ʬ�Ҥμ谷��
ˡ�Ȥ��Ƥ�WH�˶ᤤ. 

���۷Ϥ�����Τ���Υ���ץ쥯�ƥ��å���ʬ�Ҥ�Ƴ������˥ϥߥ�ȥ�ؿ�(2)��
�����֤�������. 
$$
  \tilde{H} = H_{Kep} + \epsilon H_{pert} \tau 
\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t-t_0-k\tau) .    \eqno(21)
$$
���ʤ��, $H_{pert}$�˥ǥ륿�ؿ���picket fence��褸��. ����Ʊ��
$\tilde{H} = H + H_{err}$���֤��м�������.
$$
  H_{err} = \epsilon H_{pert} \left[ \tau \sum_{k=-\infty}^{\infty} 
\delta(t-t_0-k\tau) - 1 \right] .    \eqno(22)
$$
$\tau$��(ŵ��Ū�ʵ�ƻ��������٤�)���������, �����ϥߥ�ȥ�ؿ���
�⿶ư���ι�Τߤ�ޤ�, �����ϱ�ư���礷���ƶ���Ϳ���ʤ�(WH����).

�ǥ륿�ؿ������Ѥ���Ȥ��ʳ���$\tilde{H}$�ǵ��Ҥ����Ϥ�$H_{Kep}$
�Τߤαƶ��Τ�Ȥǿʲ�����. ���οʲ���$H_{Kep}$������ʬ�����餿������
�׻��Ǥ���. �ǥ륿�ؿ����ڤ�Ȥ��οʲ���$H_{pert}$�Τߤˤ�äƵ��Ҥ���
$H_{pert}$����ɸ�Τߤ˰�¸���뤫���ñ�˷׻��Ǥ���. ���η��������
��ʬ�Ҥ�, ��ʬ��ǥ륿�ؿ���ľ���ǻϤᤫ�Ľ������2���MVS1
��ʬ�Ҥ�Ʊ�ͤǤ���. ��ʬ��ǥ륿�ؿ�����֤ǻϤᤫ�Ľ������, ��ʬ�Ҥ�
MVS2��Ʊ�ͤǤ���. �����Ĥ��Υǥ륿�ؿ���ҤȤĤλ��ֹ����ǻȤ���
�⼡����ʬ�Ҥ�������. ������������ˡ��2��ǻȤä���ˡ�������ʬ�Ҥ�
Ƴ����������Ū�Ǥʤ�. 
�Ȥ����Τ�, 2��ǽҤ٤���ʬ��MVS4�Ǥϲ��ظ����äƤοʲ����ɤ���Τ�
������ˡ�ǤϤǤ��ʤ�����Ǥ���.

�Ǥ�, ��ʬ�Ҥ�ȤäƷϤ���ֳִ�$[0,t]$�δ��ɤ��������Ȥ���, �����ϥߥ�ȥ�ؿ�
$H_{err}$����ȤΥϥߥ�ȥ�ؿ�$H$�κ����ѿ�${\bf J}$�ˤɤ�ʱƶ���Ϳ����
�Τ�������. 
$\dot{\bf J} = - \partial \tilde{H} / \partial \btheta = - \partial H_{err} / 
\partial \btheta$������. $H_{err}$��$O(\epsilon)$�Ǥ��뤫�鼡������. 
$$
 {\bf J}(t) = \displaystyle {\bf J}_0 - \int_0^t
\left( \frac{\partial H_{err}}{\partial \btheta} \right) dt' + O(\epsilon^2) . 
 \eqno(23)
$$
����������ʬ�ؿ�������ư����ֺ�ɸ
${\bf J} = {\bf J}_0 \equiv {\bf J}(t=0), \btheta = {\btheta}_0 + 
\bomega t, \bomega = (\partial H / \partial {\bf J})_{{\bf J}_0}$
�ˤ�����ɾ������. 

��ư�ϥߥ�ȥ�ؿ���ŵ��Ū�ʹ��
$$
  H_{pert} = Y_{\bf n}({\bf J}) \exp (i {\bf n} \cdot \btheta, \eqno(24)
$$
�μ¿����Ǥ���. â��${\bf n}$�������٥��ȥ�Ǥ���. (��ñ�Τ���, $n_1=0$��
��ǯ���̵�뤷��. ������${\bf n} \cdot \bomega$��$O(1)$�Ǥ���.) 
(22)����Ȥ���(23)����ɾ���Ǥ��Ƽ�������. 
$$ \begin{array}{rl}
{\bf J}(t) = & \displaystyle {\bf J}_0 + 
\epsilon i {\bf n} Y_{\bf n}({\bf J}_0) \exp (i {\bf n} \cdot {\btheta}_0) 
 \left\{ \frac{\exp(i\lambda t) - 1}{i \lambda} \right. \\
 & \displaystyle - \left. \tau \sum_{k=k_1}^{k_2} 
\exp [i \lambda(t_0+k \tau)] \right\} + O(\epsilon^2) .
   \end{array}   \eqno(25)
$$
������$\lambda = {\bf n} \cdot \bomega$�Ǥ���, $k_1$��$k_2$��
$t_0 + k\tau \in [0,t]$���������Ǿ�����Ӻ���������Ǥ���. 
�¤�­����碌�Ƽ�������.
$$ \begin{array}{rl}
{\bf J}(t) = & \displaystyle {\bf J}_0 + 
\epsilon i {\bf n} Y_{\bf n}({\bf J}_0) \exp (i {\bf n} \cdot {\btheta}_0) 
 \left\{ \frac{\exp(i\lambda t) - 1}{i \lambda} - \tau \exp(i\lambda t_0) 
\right. \\
 &  \displaystyle \left. \times 
\frac{\exp[i(k_2+1)\lambda \tau] - \exp[ik_1 \lambda \tau]}
     {\exp(i\lambda \tau) - 1}
 \right\} 
+ O(\epsilon^2) .
   \end{array}   \eqno(26)
$$
������${\bf J}(t)$�λ���ʿ�Ѥ���褦. �����$\langle {\bf J} \rangle$��ɽ��. 
$t$�ޤ���$k_2$������Ȥ��ƴޤ�ؿ��ؿ����ʿ�Ѥ���Ф��٤ƥ����ˤʤ�Τ�, 
�Ĥ�ϼ��Τ褦�ˤʤ�. 
$$ \begin{array}{rl}
\langle {\bf J} \rangle  = & \displaystyle {\bf J}_0 + 
\epsilon i {\bf n} Y_{\bf n}({\bf J}_0) 
\exp (i {\bf n} \cdot {\btheta}_0) \\
 &  \displaystyle \times \left\{ \tau
\frac{\exp[i \lambda (t_0 + k_1 \tau)]}{\exp(i\lambda \tau) - 1}
  - \frac{1}{\lambda} \right\} + O(\epsilon^2) .
   \end{array}   \eqno(27)
$$
MVS2��ʬ�Ҥξ��, �ǽ�Υǥ륿�ؿ��Ƚв񤦤Τ���ʬ�򳫻Ϥ��Ƥ���
$\frac{1}{2} \tau$��Ǥ��뤫��$t_0 + k_1 \tau = \frac{1}{2} \tau$�Ǥ���, 
��������. 
$$ 
\langle {\bf J} \rangle = \displaystyle {\bf J}_0 + 
\epsilon {\bf n} Y_{\bf n}({\bf J}_0) \exp (i {\bf n} \cdot {\btheta}_0) 
 \left\{ \frac{\tau}{2 \sin \frac{1}{2} \lambda \tau} - 
 \frac{1}{\lambda} \right\} + O(\epsilon^2) .    \eqno(28)
$$
�����ϥߥ�ȥ�ؿ��ˤ�ä�ʿ�Ѻ����ѿ���
$\Delta {\bf J} = \langle {\bf J} \rangle - {\bf J}_0$��������, 
���Τ���˿�ư����
$\Delta \bomega = (\partial^2 H / \partial {\bf J}^2) \Delta {\bf J}$
���������. MVS2�ξ���(28)���γ�̤�����̤�$O(\tau^2)$�Ǥ��뤫��, 
�����$O(\epsilon \tau^2)$�Ǥ���.
���Τ��줬Ĺ����ʬ�ˤ�������ָ����μ��׸��Ǥ���. �Ȥ����Τ⤳�Τ���Τ����
���٤θ����ϻ��֤�����Ū����Ĺ���뤫��Ǥ���.

���θ��������������θ���, $T$��$\gamma$��������Ȥ���, $H_{pert}$��
$\exp[\gamma(t-T)]$��褸���͹�Ū�������ͤ���ФǤƤ���. 
�������˼�����褦��, ���ν����θ��̤�(26)����${\bf J}$��ɽ����
$i \lambda$��$\gamma + i \lambda$��, �ޤ�$i{\bf n} \cdot {\btheta}_0$��
$i{\bf n} \cdot {\btheta}_0 - \gamma T$���֤�������Ȥ����ˤ�������ʤ�. 
������, ���$[0,T]$��${\bf J}(t)$��ʿ�Ѥ�, ��֤�Ĺ��$T \rightarrow \infty$��
��, ������ĹΨ$\gamma \rightarrow 0$�Ȥ�, 
$\gamma T$������Ȥʤ�褦�ˤ���. �����
���ä���(27)����������. ����ʿ�Ѹ���$\langle {\bf J} \rangle - {\bf J}_0$�ˤ�
$\exp(-\gamma T)$�������Ȥ��ƤĤ�. ������$\gamma T \gg 1$�ʤ�ʿ�Ѹ�����
$O(\epsilon)$����$O(\epsilon^2)$�ؤȾ������ʤ�. 

���η�̤��餹���, �����ϥߥ�ȥ�ؿ�����ȯ���˥����Ǥ��ä�, �����$\tau$��
�Ȥ�ʤ�����ͤޤǤ�ä�����Ĺ����ʤ�, ʿ�Ѻ����ѿ��Τ���κ��㼡�ιब
���������褦��. �����¸������ü���ᤤ��ˡ�Ϲ�����򾮤����Ϥ��
Ĺ�����֤򤫤��ƹ����$\tau$�ޤ��礭�����뤳�ȤǤ���. ���줬3��Ρָ��ʤ餷ˡ��
�Ǥ���. �̤Τ�����⤢������. ���Ȥ��й⼡����ʬ�Ҥ���Ϥ�ƽ缡�ǽ�Ū�˻Ȥ�
��ʬ�ҤޤǼ����򲼤��Ƥ����ΤǤ���. �軰����ˡ�⤢������. (27)���ˤ���
ʿ�Ѻ����ѿ��ϵ�ƻ�����λ������٤δ֤˽�ȯ����${\btheta}_0$�δؿ��Ȥ���
��ư����. �����餦�ޤ����狼��Ϥ���, ����Ϸ�Ū�˸�������. ���줬
3��Ρ�iterated start�פθ����Ǥ���.  

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf 5. ���ͷ��} 
\end{center}

�Ū������-����-�������Ϥ���ʬ����. ��������
$a=2.6 AU$($3:1$��$8:3$���Ĥδ�), $e=0.25$�����$i=0.2$�饸����ǽ�ȯ������. 
�׻���������ɸ�ǹԤʤ�. ��̤򼨤��Ȥ��ˤϡֵ�ƻ�פ�ñ�̤ˤ��ƹԤʤ���, 
����Ͻ����ƻ�μ���(��4ǯ)�Τ��ȤǤ���. ��ʬ�Ҥ��ۤʤ��1��ߤ�����
�Ϥη׻�������ۤʤ�Τ�, �����������Ǥʤ�1��ƻ��������Ϥη׻������Ȥä�
�ä���ʤ��. ��ƻ��ʬ�θ�����׻����뤿���, Ʊ����ƻ��
(������5�ܰʾ微�����ʤ�褦��)�����ʹ�ߤǷ׻����ʤ���.

MVS��ʬ�Ҥξ��, �ۤȤ�ɤλ��֤�$H_{Kep}$�Τ�Ȥǵ�ƻ��ʤ��Ȥ��˾���
�����. $H_{pert}$�Ǥοʲ��ˤ����׻����֤�10\%���٤����Ȥ�ʤ�. 
����ɤ���ߺ��Ѥ���������$N$�Ĥ���Ϥξ��ˤ�, $H_{Kep}$�ξ�����֤�
$N$�ܤˤʤ�Τ��Ф���, $H_{pert}$�ξ�����֤�$N^2$�ܤˤʤ�.
¿����ʬ�Ҥ�1��ߤ��פ�����֤�, MVS��ʬ�Ҥˤ�����$H_{Kep}$��׻�����
���֤���$60 \%$�Ǥ���. (���θ��Ѥ��Ϥ������׻��ץ�����������������
�ͤ�Τ�������, �����λȤä��ץ������Ϥ���ʤ���ɤ��ä��ȿ����Ƥ���.)

��1��MVS��ʬ�Ҥ�ʸ���˸����ۤ�����ʬ�Ҥ���Ӥ���. 
�Ȥ��˹�����θ��ʤ餷ˡ�ˤ����������դ����ߤ���(MVS2��WH�ȵ����줿����
����Ӥ���). 
���οޤ˼�������ꤺ�äȹ⤤���٤�ɬ�פʾ��ˤ�, Quinlan \& Tremain(1990) 
�νҤ٤��о�¿����ʬ�Ҥ����ɤ�����. ��ͳ��ñ�˹⼡������Ǥ���. ����, 
�����Ǽ���������������礭��������ˤ�, ¿��ˡ����٤��㼡��MVS��ʬ��
�������褤������. 

��1�˼��������ʬ�ҤǤ�, ʿ�ѷ��٤ޤ���ʿ�Ѷ���Υ�Ѥθ����ϻ��֤�������
��Ĺ����. 
�����㳰��St$\ddot{\rm o}$rmer��ʬ�Ҥ�, ���ξ����֤�2������Ĺ����. 
������ˡ�ϤĤ��Ƕ�ޤ����۷Ϥ�Ĺ����ʬ�Ǥ褯�Ȥ��Ƥ�����, ���ޤ俷����
��ʬ�Ҥˤ�äƼ�äƤ�����뱿̿�ˤ���. 

��2(a)��2(b)��MVS2��2������ʬ�ҤǤ��뤳��, �ޤ����ʤ餷�ˤ�ä����٤�����
���뤳�Ȥ�ܤ��������Ƥ���. �ݰ��Ǽ�������ʬ�Ǥ�, �ǽ�Ū�ʹ�����ޤ�
4000��ƻ�ۤɸ��ʤ餷����(���ä��ꤷ�����ʤ餷���֤�����Ū�˾��������Ѥ���, 
���ʤ餷���֤���ʬĹ���¤�, ���֤�Ĺ���˷�̤���¸���ʤ����Ȥ�Τ��᤿).
$\times$������ʬ�Ͽ���ƻ��û�����ʤ餷�ǹԤʤä���ΤǤ���(���ä��ꤷ��
���֤�Ĺ���Ϥ�Ϥ�����Ū���Ѥ���). ���ξ��, ���ʤ餷��­��ʤ��Ƹ����򾮤���
�Ǥ��ʤ�. ��ƻ�ν�����������Ū����������̤�������(?). 
1��ƻ�������Ϥη׻������30̤���ΤȤ��ˤϸ��ʤ餷�θ��̤Ͼ��ʤ�, ��ä�
�׻���������ʤ����ˤϸ��̤Ϥޤä����ʤ��ʤ�.

\vspace{7.5cm}
\hspace*{6cm} ��1, 2

\vspace{10.0cm}
��3�Ͽ�2(b)��Ʊ�ͤη�̤Ǥ��뤬MVS4��ʬ�Ҥ�iterated start��Ԥʤä���ΤǤ���. 
���ξ��, �ޤ������Τ����ʿ�Ѷ���Υ�Ѥ����٤����夷�ʤ�. 
(��1�ˤ�����, �ۤ�����ʬ�Ҥ���MVS4���Ϥη׻�����򾯤ʤ������Τ�
���Τ���Ǥ���.) 

\newpage
\vspace*{6.0cm}
\hspace*{6cm} ��3, 4

\vspace{6.0cm}
�Ǹ��, ��4�˼������Ȥ���, MVS2�Ǹ��ʤ餷��Ԥʤ���, $\epsilon^2$��
���㤹����ٸ������Ǥ�.

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf 6. �ޤȤ�} 
\end{center}

������ʸ��Ĵ�٤Ƥ������۷Ϥ�����Τ������ʬ�Ҥ�, 
�Ƕ�Wisdom \& Holman(1991; WH)��Kinoshita et al.(1991; KYN)�ˤ�ä�Ƴ��
���줿��ΤǤ���. �����ϥ���ץ쥯�ƥ��å���ʬ�ҤǤ��ä�, 
$H_{Kep} + \epsilon H_{pert}, \epsilon \ll 1$�η��Υϥߥ�ȥ�ؿ���
���Ҥ����Ϥ�Ŭ�ѤǤ���. ������$H_{Kep}$�ϥ��ץ顼��ư�򵭽Ҥ�, 
$\epsilon H_{pert}$��������ư(�ޤ������ξ���Ĭ����ư)�򵭽Ҥ���. 
���Τ褦�ʴ����ʷ����ܼ�Ū�Ǥʤ�. ɬ�פʤΤϥϥߥ�ȥ�ؿ����դ��Ĥ���ʬ����
���äƤ���, �ġ��˹ͤ����Ȥ��ˤϤ��줾�줬����ʬ�Ǥ��뤳�ȤǤ���. 

�ºݤ˻Ȥ��ˤ����ä�, ��ʬ�Ҥ�񤭲������Ȥ��ưפǤ���. 
2������ʬ�Ҥξ��, (��$\tau$��)1��ߤ�3�Ĥ���������. 
(i) $H_{Kep}$�Τ�Ȥǻ���$\frac{1}{2} \tau$�����Ϥ�ʲ�������. 
(ii) $\epsilon H_{pert}$�Τ�Ȥǻ���$\tau$�����Ϥ�ʲ�������. 
(iii) �դ�����$H_{Kep}$�Τ�Ȥǻ���$\frac{1}{2} \tau$�����Ϥ�ʲ�������. 
(�ܤ������르�ꥺ��˴ؤ��Ƥ�WH����.) (i)��(ii)�ν���Ǥʤ�(iii)�ν����
���ֿʲ��ϡ������׷Ϥοʲ���Ʊ���ˤʤ�. 
���ηϤΥϥߥ�ȥ�ؿ�$\tilde{H}$�Ǥ��ä�$H$�Ȥκ���$O(\epsilon \tau^2)$
�Ǥ���. �⼡����ʬ�Ҥ��Τ��Ƥ���. 

��������ʬ�Ҥμ��׸����������Ф�, �����������ˡ��
���������Ȥ��������ʸ�δ�Ϳ�Ǥ���.
���θ����ϴ���Ū�ˤ������ϥߥ�ȥ��($\tilde{H}$)�κ����ѿ�����Ȥη�
($H$)�κ����ѿ��Ȱۤʤ뤳�Ȥ���������.
(��ƻ�ΰ���˰�¸����)�����ѿ��θ����Ͽ�ư���θ����ȤʤäƸ���, ���줬
����˻��֤�����Ū����Ĺ���������������������. 
����Ū�ˤޤ����θ����Ū�˼������Ȥ���, ���ޤ���ȯ��³����Ԥʤ���, 
���Ȥ������˾����ʹ��������Ϥ�ƹ�������ä���ǽ�Ū�ʹ�����ޤ�
���ä������, ��������������. 
���δ�ñ�ʲ��ɤˤ�ä�Ĺ��������$\epsilon$��(��������ƻ�Ǥ�2��)
�ۤɾ������ʤ�. ʸ���˺ܤäƤ���ۤ��Υ��르�ꥺ�����Ӥ���. 
���ο�������ʬ�Ҥˤ��ޤ���ȯ��³�����Ȥ߹�碌���, 
���۷Ϥι����ϰϤ�����ˤȤä����̺��ɤη�̤�������. 

¿���ε����򤷤Ƥ���, �ץ�������Ȥ碌�Ƥ��줿Gerald Quinlan�˴��դ���. 
�ޤ�������󶡤��Ƥ��줿Jack Wisdom�����Haruo Yoshida�˴��դ���. 
���θ���ϥ��ʥ��μ����ʳؤ���ӹ��ظ���ɾ�Ĳ񤫤�����������ƹԤʤä�. 

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf ���} 
\end{center}

������ƻ�����Τ���ʬ���褦�Ȥ���ʤ�������Ū���̤���������ɬ�פ�����.
����ˤ�����п���(fractional amplitude)
��$O(G{\cal M}_{\odot} / c^2 r)$���٤Ǥ���. ������$r$��
Ⱦ�¤Ǥ���($r= 1 AU$�ʤ��ι���礭����$\sim 10^{-8}$). 
���ۤ��������Ф���ϥߥ�ȥ�ؿ���$H_{classical} + H_{gr}$�Ƚ񤱤�
(Landau \& Lifshitz 1975). ������
$$ \begin{array}{l}
 H_{classical} = \displaystyle 
\frac{p_{\odot}^2}{2{\cal M}_{\odot}} + \sum_i 
\frac{p_i^2}{2m_i} - G{\cal M}_{\odot} \sum_i \frac{m_i}{r_i} - 
G \sum_{i<j} \frac{m_im_j}{r_{ij}} , \\
 H_{gr} = \displaystyle 
\frac{G^2 {\cal M}_{\odot}^2}{2c^2} \sum_i \frac{m_i}{r_i^2} -  
\sum_i \frac{p_i^4}{8m_i^3c^2} - 
\frac{3G{\cal M}_{\odot}}{2c^2} \sum_i \frac{p_i^2}{m_ir_i}.
   \end{array}  \eqno(29)
$$
������${\cal M}_{\odot}$��$m_i$�����ۤ������μ��̤Ǥ���,
$({\bf p}_{\odot}, {\bf q}_{\odot})$��$({\bf p}_i, {\bf q}_i)$�Ϥ�����
��ư�̤Ⱥ�ɸ�Ǥ���. 
�ޤ�$r_{ij} = |{\bf q}_i - {\bf q}_j|, r_{i} = |{\bf q}_i - {\bf q}_{\odot}|$
�Ǥ���, �¤��������٤Ƥˤ錄�äƼ��. ���п���
$O(Gm_i/c^2r_i)$�ޤ���$O(G{\cal M}_{\odot}/c^2 r_i)^2$�ξ�����
������̵�뤷��. ��ɸ�ϥ�����ĥ���ɷ���(Weinberg 1972)��Ĵ�·������뤤��
�����������б�����. 

��ǰ�ʤ���ϥߥ�ȥ�ؿ�$H_{classical} + H_{gr}$��(5)�Τ褦��ʬΥ���˽񤱤ʤ�. 
������Ū�����Ͼ���������, $H_{gr}$��$U_{gr}$���֤�����������ͭ���Ǥ���. 
�����$H_{gr}$�ι�Τ������׹�Ȥ���Ĺ���к��ι��ޤ�Ǥ���. 
$U_{gr}$��
$$
  U_{gr}(r) = \displaystyle - 
\frac{3(G{\cal M}_{\odot})^2}{c^2r^2} ,   \eqno(30)
$$
����������(Nobili \& Roxburgh 1986), ������ŪĹ���к����������Ƹ������. 
���������Υݥƥ󥷥�뤫���$H_{gr}$��Ʊ��ʿ�ѱ�ư�������ʤ�. 
ʿ�ѱ�ư����������ˤ�$r^{-1}$�����㤹��ݥƥ󥷥���ä���Ф褤. 
���������Ĺ���к��ϱƶ�������ʤ�. ���Τ褦�ˤ���. 
$$
  U_{gr}(r) = \displaystyle 3 
\frac{(G{\cal M}_{\odot})^2}{c^2ar} \left[ \frac{4}{(1-e^2)^{1/2}} - 1 
\right] - \frac{3(G{\cal M}_{\odot})^2}{c^2r^2} ��     \eqno(31)
$$
������$a$��$e$�Ϥ��޹ͤ��Ƥ��뵰ƻ�ε�ƻȾĹ�¤�Υ��Ψ�Ǥ���. ���餫��, 
$a$��$e$��Ĺ���֤ˤ錄�äƤۤܰ���Ǥ���Ȥ��Τߤ��η������Ω��. 

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf ����ʸ��} 
\end{center}

\re
Brouwer, D., \& Clemence, G.M. 1961, {\it Methods of Celestial Mechanics}
(Academic, New York).

\re
Channell, P.J., \& Scovel, C. 1990, {\it Nonlinearity} {\bf 3}, 231.

\re
Forest, E., \& Ruth, R.D. 1990, {\it Physica D} {\bf 43}, 105. 

\re
Gladman, B. \& Duncan, M. 1990, {\it Astron. J.} {\bf 100}, 1680. 

\re
Henrici, P. 1962, {\it Discrete Variable Methods in Ordinary Differential 
Equations}(Wiley, New York).

\re
Kinoshita, H., Yoshida, H., \& Nakai, H. 1991, 
{\it Celest. Mech. \& Dynam. Astr.} {\bf 50}, 59(KYN). 

\re 
Lambert, J.D., \& Watson, I.A. 1976, {\it J. Inst. Maths. Applics.} 
{\bf 18}, 189.

\re
Landau, L.D., \& Lifshitz, E.M. 1975, {\it The Classical Theory of Fields}, 
4th English edition (Pergamon, Oxford), p. 342.

\re
Nobili, A.M., \& Roxburgh, I.W. 1986, in {\it Relativity in Celestial 
Mechanics and Astrometry}, edited by J. Kovalevsky and V.A. Brumberg
(Reidel, Dordrecht), p. 105.

\re
Plummer, H.C. 1960, {\it An Introductory Treatise on Dynamical Astronomy} 
(Dover, New York).

\re
Quinlan, G.D. \& Tremaine, S. 1990, {\it Astron. J.} {\bf 100}, 1964.

\re
Quinn, T.R., Tremaine, S., \& Duncan, M. 1991, {\it Astron. J.} {\bf 101}, 
2287.

\re
Ruth, R.D. 1983, {\it IEEE Trans. Nucl. Sci.} {\bf 30}, 2669.

\re
Sanz-Serna, J.M. 1992, {\it Acta Numerica}, to be published.

\re
Sussman, G.J., \& Wisdom, J. 1988, {\it Science} {\bf 241}, 433.

\re
Sussman, G.J., \& Wisdom, J. 1992, preprint.

\re
Wisdom, J., \& Holman, M. 1991, {\it Astron. J.} {\bf 102}, 1528. 

\re
Wisdom, J., \& Holman, M. 1992, preprint. 

\re
Weinberg, S. 1972, {\it Gravitation and Cosmology} (Wiley, New York).

\re
Yoshida, H. 1990, {\it Phys. Lett. A} {\bf 150}, 262.

\re
Yoshida, H. 1991, preprint.

%
\end{document}

