\begin{flushright}
ë����δ ��
\end{flushright}

\noindent
Russian Mathematical Survey {\bf }(1962), 85-191


\begin{center}
{\Large 
{\bf ��ŵ�ϳؤ����ŷ���ϳؤˤ�����\\
��ʬ�줪��ӱ�ư�ΰ�����������\\
Small denominators and problems of stability \\
of motion in classical and celestial mechanics}
}

\vspace{1.0cm}
{\large V.I. Arnold}
\end{center}

\vspace{1.0cm}
\begin{center}
{\bf �ܼ�}
\end{center}

\vspace{0.3cm}
\noindent
����  \hfill 86

\S 1. ��� \hfill 86

\S 2. �ϳؤ����ͽ��Ū���\hfill 87

\S 3. ���ؤ����ͽ��Ū���\hfill 89

\S 4. ��äȤ�ñ��ʰ���������\hfill 91

\S 5. ��ʸ������\hfill 94


\vspace{0.3cm}
\noindent
I ��. ��ư�� \hfill 94

\S 1. �ϳؤβ���ʬ����������ʬ���� \hfill 95

\S 2. ��ŵŪ��ư��  \hfill 96

\S 3. ��ʬ�� \hfill 98

\S 4. �˥塼�ȥ�ˡ \hfill 99

\S 5. ��ͭ����  \hfill 101

\S 6. ���� 1 \hfill 103

\S 7. ���� 2 \hfill 104

\S 8. ��ͭ���������ؤα��� \hfill 106

\S 9. �˸½���. �С������Ѵ� \hfill 107

\S 10. �ϥߥ�ȥ�Ϥ�ʿ�հ��֤ΰ����� \hfill 109

\newpage
\vspace{0.3cm}
\noindent
II ��. ��Ǯ������ \hfill 111

\S 1. ��Ǯ�����̤γ�ǰ \hfill 112

\S 2. �ϥߥ�ȥ�ؿ�����ä������Ū�Ѳ�������κ��Ѥαʹ���Ǯ������ \\
\hfill 114

\S 3. ��¸�Ϥ���Ǯ������ \hfill 118

\S 4. �����ȥ�å� \hfill 121

\S 5. ¿�����ξ�� \hfill 124

%\newpage
\vspace{0.3cm}
\noindent
III ��. ������ư�ΰ����� \hfill 125

\S 1. ��ư���ͻ� \hfill 125

\S 2. �䥳��, �ɥ����͡�, ����ӥݥ��󥫥��ѿ� \hfill 129

\S 3. �С������Ѵ� \hfill 131

\S 4. $\overline{F}_1$��Ÿ������������Ū�դ�ޤ��η׻� \hfill 134 

\S 5. ¿������ \hfill 139 

\vspace{0.3cm}
\noindent
IV ��. ��������  \hfill 142

\S 1. �������� \hfill 143

\S 2. ��Ǽ���� \hfill 144

\S 3. ��Ǽ���� \hfill 145

\S 4. �������� \hfill 146

\S 5. û�����ѿ���ʿ�Ѥ˴ؤ������� \hfill 147

\S 6. ��������ξ��� \hfill 149

\S 7. ��Ǽ����ξ��� \hfill 151

\S 8. ��Ǽ�����ξ��� \hfill 152

\S 9. ��ʬƱ���������������˴ؤ�������\hfill 154

\S 10. ��®�ѿ��˴ؤ���ʿ�� \hfill 156 

\S 11. �˺�ɸ \hfill 157

\S 12. ��Ǽ�����Ŭ���� \hfill 158

\S 13. �˸¤ؤΰܹ� \hfill 160

\S 14. ���������ξ��� \hfill 161 


\vspace{0.3cm}
\noindent
V ��. �������� \hfill 163 

\S 1.  $D$�����ΰ� \hfill 163

\S 2.  �������� \hfill 164 

\S 3.  �������� \hfill 166 

\S 4.  ���������� \hfill 167 

\S 5.  ��«���� \hfill 169 

\S 6.  ��ˡ \hfill 171 

\vspace{0.3cm}
\noindent
VI ��. ��� \hfill 172 

\S 1. ����ʬ�� \hfill 173

\S 2. ̤������� \hfill 177 

\S 3. ����¿���Τζ�˵ \hfill 180 

\S 4. ����(intermixing) \hfill 183 

\S 5. ʿ�경�ε��� \hfill 186

\vspace{0.3cm}
\noindent
����ʸ��

  [1] �� [60] 

\newpage
\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\huge \bf �� ��}
\end{center}

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\Large \bf \S 1. ���}
\vspace{0.3cm}

��ŵ�ϳؤ�����Ū����κ��񤵤Ϥ褯�Τ��Ƥ���. Ĺ���ˤ錄��¿���ο��ؼ�
�����Ϥˤ⹴�餺, �����¿���������̤���Ǥ���. �ۤ�Τ����Ƕ�, 
C.L.Siegel�λŻ�(1942)�����A.N.Kolmogorov�λŻ�(1954)�ˤ�ä��ϳطϤ�
��ư�ΰ������˴ؤ��������򤯤ˤ����äƤ������٤ο�Ÿ������줿. 
�Ȥ���

1) ��ͳ��2����¸�Ϥ�{\bf ʿ��������Ӽ�����ΰ�����}�Ϥ�����
�����ʱߥ������Ǿ������줿. 

2) �����ѿ���{\bf �ʹ���Ǯ������}����ͳ��1����������ư�Ϥˤ�����
�ѥ�᡼������ä�������Ѳ�������˾������줿. 
{\bf ���оμ���Ρּ����ȥ�åס�}������γ�Ҥ�ʱ���Ĥ��������뤳�Ȥ���
Ω���줿. 

3) ¿������ˤ����ƽ������ư��ȯ�����줿. $n$�����μ��̤��濴ŷ�Τμ���
����٤ƽ�ʬ���������, ���ץ顼�ʱߤ�Υ��Ψ�ȵ�ƻ���гѤ��������褦��
��¿���ν�������Ф��Ʊ�ư�Ͻ����Ū�Ǥ���. �����, 
{\bf ��ƻȾĹ�¤ϱʱ�˸����ͤζ᤯�ˤȤɤޤ�, Υ��Ψ�ȵ�ƻ���гѤϾ���
���ޤޤȤɤޤ�}. 

\vspace{0.3cm}
����ʸ��, �����η�̤˴ؤ��ƴ����ʾ�����Ϳ����. ���ޤޤ�, �Ρ��Ȥη���
������ȯɽ���Ƥ���[14]--[17]. 

��ʬ����Ф������Ԥζ�̣��A.N.Kolmogorov��1957ǯ�ιֵ��ˤ�äƻɷ㤵�줿. 
���ε����ڤ��, ������ʸ�ؤδؿ����Ф���A.N.Kolmogorov�˿������դΰդ�
ɽ����. 

���Ԥ�, ŷ���ϳؤ˴ؤ���Ż�����ʬ�˴ؤ��Ƥ�V.M.Alekseev�ν����������. 
1958ǯ�Ƥ�L.A.Artsimovich�����M.A.Leontovich����ʸ����, ���Ԥ����դ�
�����⡼���Ȥαʹ���Ǯ������������˸�����줿. B.V.Chirikov�Ȥ�¿����
�����Ϥ��ε���ؤθ�����ǽ�ˤ���Τ���Ω�ä�. G.A.Merman�ϸ��Ƥ�����
�����ɤ�, �����Ĥ�ν긫��Ҥ٤Ƥ��줿. L.Yu.Pius��III��4��η׻���
��ǧ���Ƥ��줿. ��˷Ǥ�������˴��դΰդ�������. 

���ؼԤˤϤ��ޤ�褯�Τ��Ƥ��ʤ��ϳؤη�̤�ɬ�פǤ���ȤȤ��, 
�ϳ�ʬ��θ���ԤˤۤȤ���Τ��Ƥ��ʤ�����Ūȯ�ۤ�ɬ�פǤ���. 
�ʲ���2�Ĥ����, �����ˤĤ��ƽҤ٤�. 

\newpage
\vspace{0.5cm}
\noindent
{\Large \bf \S 2. �ϳؤ����ͽ�����}
\vspace{0.3cm}

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1. ��ʬ��Ȥϲ���?} 
ŷʸ�ؼԤ�Ĺ����, ��ߺ��Ѥ��뱿ư�μ�����
�Կ��ط��˷���դ������ĸ��ݤ��־�ʬ��פ�⤿�餷, ����Ū������������
�����Ȥ˵��Ť��Ƥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf �� 1.} �����δ֤������ϵ�ƻ���$\omega_1 = 299''.1$����, ������
$\omega_2 = 120''.5$����ư��.

���ȿ�$\omega_1, \omega_2$�ϤۤܿԿ��ط�
$$
  2 \omega_1 - 5 \omega_2 \approx 0 .
$$
�ˤ���. ɽ��$m\omega_1+n\omega_2$����ư���˸��������ʬ��Ȥ���
$$
\displaystyle \sum_{m, n \neq 0} a_{mn} 
\frac{e^{i(m\omega_1 + n\omega_2)t}}{m\omega_1 + n\omega_2}
   \eqno(0.2.1)
$$
�η��ǽФƤ���. 

��ץ饹�λ������, ���ξ�ʬ��$2\omega_1 - 5\omega_2$�˴ط���������
�ޤ���������ư���礭�ʼ���Ū��ư��¸�ߤ��Τ��Ƥ���.


\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 2. ����������Ȥϲ���.} 
���η�������(������̤��������)�Τ���, ���Ǥ��Ĺ��٤˻ɷ�Ū�ʤΤ�
������ƻ�ΰ������ؤε���Ǥ���. 
����Ʊ�Τξ�������ư�Ͻ�ʬĹ�����֤θ�Ǥ�, ���ͤ�̵�±�ؤ�ƨ���������
�����ΤǤ�������.

H. Poincar\'{e}����� A.M. Lyapunov��ͭ̾�ʻŻ���Ÿ�����줿��ư��
�����������ˤ��������꤬��ǽ�Ǥ��뤳�Ȥ�ȯ�����줿. ������ŵ�ϳؤ�
����������Ϥ��Ĥ������ؿ���������Ȥ�������Ω�פξ����б����Ƥ���, 
��������Ѥ���¸(��塼�ӥ������)�Τ�����������ʱ�ư�ϲ�ǽ�Ǥʤ�. 
���������Τ�����ˡ����������¸�Ϥα�ư�ΰ������θ���ˤϤʤ����ˤ�
Ω���ʤ�.

�����θ��椬ľ�̤������Ū�ʺ������ư���ε��(0.2.1)����ʬ��
$m\omega_1+n\omega_2$�ˤ�ä�ȯ�����뤫�ɤ����˷�ӤĤ��Ƥ���. 
H. Poincar\'{e}��ʿ�����»��������Ĵ��, ȯ���κ��񤬼¤˴�ñ���꼰����
�Ǥ����ǥ�����ˤ��������뤳�Ȥ򼨤���. G.D. Birkhoff�Ϥ����������
�ҤȤĤ�ܤ���Ĵ�٤�([3]����).

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf �� 2}(�С����դ�����). $p,q$ʿ�̤θ����ζ�˵���餽�켫�Ȥξ�ؤ�
������¸���ϼ���$T$��Ϳ����줿�Ȥ���. ��������ư���Ǥ���Ȥ���. 
�������ϰ��꤫? 

\vspace{0.3cm}
$T$��������ʬ�ϸ����ˤ�����$p,q$�̤β�ž�Ǥ��뤳�Ȥ����ꤵ��Ƥ���. 

�Ƕᤳ�ε���ؤ�����������Ū�Ǥ��뤳�Ȥ��狼�ä�. ����ˤĤ��Ƥ�4���
��������. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 3. } �ʲ��ξϤǤ�, ���ϳؤζ���٤�����Ūƻ��פ�Ȥ�. ��ư������
����������Ϥ�������ˤ��Ƥ�����ˡ��Ŭ�Ѥ������ܼ�Ū�ǤϤʤ�(���Ȥ���
[18]�򸫤�). �����׻����ưפˤʤ�. �۰̶���, �����, �饰��󥸥�
������, �ϥߥ�ȥ�������, �۴ĺ�ɸ, ��¸§, �����Ѵ�, �ݥ��å�
����, ��ʬ������, ����-���ѿ��ʤɤ˴���Ƥ����������Ǥ���.
������ʸ��[4]��[3], [5], ���뤤��[6]�˵��ܤ���Ƥ���. �����Ѥ�
���������򤤤Ƥ������Թ礬�褤. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ����.} ����$S$�ξ�����ˤ�ä�(���Ϥκ��Ѥʤ���)����ư���Ƥ����
����. ��������2��������¿���Τ򸫤Ĥ�, ���ξ�Ǥ��군�פα�ư��Ĵ�٤�.
$S$��a) �ȡ��饹, b) ��ž�ʱ���, 3) �����ʱ���, �ξ���ͤ���([57]����).


\vspace{0.5cm}
\noindent
{\Large \bf \S 3. ���ؤ����ͽ�����} 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1. �������ƻquasi-periodic(����դ�������ƻconditionally periodic)
�Ȥϲ���.} 
�ȡ��饹(������Υ��塼�֤��뤤���⤭��)��ɽ�̤�ͤ��Ƹ��褦(��1����). 

\vspace{2cm}
\hspace*{5cm} ��1, ��2.  

\vspace{3cm}
ɽ�̤ˡ������׺�ɸ: ����$q_1$�Ȱ���$q_2$��Ƴ������. ����$q_1$��$q_2$��
�饸�����ɽ��, $2\pi$����������̵�뤹��.
$q_1, q_2$�̤λͳ�$0 \leq q_{1,2} \leq 2\pi$�ϥȡ��饹���ϿޤȤ��ƻȤ���. 
�ޤ�$q_1, q_2$�����Τ��դ�Ĺ��$2\pi$�λͳѤ�ʬ�䤷�ƻȤ��Τ������Ǥ���. 
�ȡ��饹�γ����Ϥ��Τ褦���Ͽޤγơ�����ɽ�������(��2). 

�ȡ��饹�˱�ä���®��ư����$q_1(t), q_2(t)$��ͤ��褦: 
$$ \begin{array}{ll}
\displaystyle
\frac{dq_1}{dt} = \omega_1, & 
\displaystyle
\frac{dq_2}{dt} = \omega_2.   
   \end{array}  \eqno(0.3.1)
$$
$q_1, q_2$�޾��, ���α�ư��ľ����ɽ�����. 

$m,n$�������Ȥ���
$\displaystyle \frac{\omega_1}{\omega_2} = \displaystyle \frac{m}{n}$
�ʤ�, ����$t = \displaystyle 2\pi \frac{m}{\omega_1} = \displaystyle
2\pi \frac{n}{\omega_2}$�˵�ƻ�ϸ��ΰ��֤���äƤ���. ���δ�, ����������
$m$��ž, ����������$n$��ž����(��2�Ǥ�$m=2, n=3$�Ǥ���).

������$\displaystyle \frac{\omega_1}{\omega_2}$��̵�����ʤ�, ư���Ϸ褷
�Ƹ��ΰ��֤ˤ����ʤ�. ���ξ��, ��ư(0.3.1)��2���ȿ�$\omega_1,
\omega_2$�ǽ����Ū(conditionally periodic)�Ȥ�����. 
����$q_1(t), q_2(t)$�ϥȡ��饹�򴬤�(a winding of the torus)�Ȥ�����.

�������ư�ˤϽ�����ؿ���̩�ܤ˴ط����Ƥ���. $F(q_1, q_2)$���ȡ��饹��
�δؿ��Ǥ��äƥա��ꥨ�����
$$
  F(q_1, q_2) = \displaystyle \sum_{m,n=-\infty}^{+\infty} 
f_{mn} e^{i(mq_1+nq_2)} , 
$$
��Ÿ�������ʤ�, ��ư(0.3.1)�ξ��Τ��δؿ��λ����Ѳ���
$$
 f(t) = F[q_1(t), q_2(t)] = \displaystyle  \sum_{m,n=-\infty}^{+\infty} 
f_{mn} e^{i[(m\omega_1+n\omega_2)t + \varphi m_n]} , 
   \eqno(0.3.2)
$$
�η��򤷤Ƥ���. �ؿ�(0.3.2)�Ͻ����Ū�Ȥ�����. ��Ȥ���
$f(t) = \cos t + \cos \sqrt{2} t$��󤲤뤳�Ȥ��Ǥ���. 
�ɤ������ˤ����Ƥ�, (0.3.2)�η��ε���������ʤ�, �����
(0.3.1)�η��α�ư�����줿���Ȥ��̣����. 

%\newpage
\vspace*{3.5cm}
\hspace*{6cm}  ��3�ȿ�4


\vspace{3.5cm}
\noindent
{\bf 2. �������ƻ�Τ���������.} 

\noindent
{\bf ���� 1.} �������ư�ε��פϥȡ��饹�夤����Ȥ�����̩�Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
����ϤĤޤ�, Ǥ�դ��ΰ�(domain)$\Delta$��Ϳ����줿�Ȥ�, ư��
$p(t), q(t)$���٤����ᤫ�줽�������뤳�Ȥ��̣����. ����1�ϼ��λ��¤���
�������˽Ф�. 

1a) $\alpha$��̵�����Ȥ�, $\Delta$���$|z|=1$��Ǥ�դθ̤Ȥ���. �����, 
��$e^{2\pi i n \alpha}$($n=1,2,3, \ldots$)�����$\Delta$����������
\footnote{��$2^n$��7����Ϥޤ����뤫? 1a)�ˤ���, $2^n$��Ǥ�դ�
���Υ���ӥ͡������ǻϤޤ�����}.

�ޤ�, �������ư�ε��פϰ���ʬ�ۤǤ��뤳�Ȥ��Ŧ���Ƥ���([58]����). 
����$t=0$����$t=T$�ޤǤδ֤�, ư����$\Delta$���ںߤ�����֤�, $T$��
�礭���Ȥ����ΰ�$\Delta$(��3����)�����Ѥ����㤹��
\footnote{$2^n$��7����Ϥޤ�Τ�8����Ϥޤ�ΤȤɤ��餬¿����?}. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 2.} Ǥ�դΥ꡼�ޥ���ʬ��ǽ�ʴؿ�$F(q_1,q_2)$���Ф���, 
����ʿ�Ѥ϶���ʿ�Ѥ�������. ���ʤ��, 
$$
\displaystyle
\lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_0^T 
F(\omega_1 t, \omega_2 t) dt = \displaystyle 
\frac{1}{4\pi^2} \int_0^{2\pi} \int_0^{2\pi} F(q_1, q_2) dq_1 dq_2 . 
$$

\vspace{0.3cm}
�ʲ��Ǥ�, ����2��褯���������̤���򼨤���(�ɼԤ��ɤ����Ф��Ƥ�褤). 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 3. ��������ʿ�ѱ�ư�˴ؤ���饰��󥸥������.}
$x,y$ʿ�̤Υ٥��ȥ뤬3�ĤΥ٥��ȥ����
$$
  {\bf a}(t) = {\bf a}_1(t) + {\bf a}_2(t) + {\bf a}_3(t) , 
$$
��Ϳ������Ȥ���. ������, Ĺ���Ϥ��줾��$a_1, a_2, a_3$�Ǥ���, 
��Ω��
\footnote{��$\omega_1, \omega_2, \omega_3$����Ω�Ǥ���Τ�, 
$k_1 \omega_1 + k_2 \omega_2 + k_3 \omega_3 = 0$����$k_i=0$��������Ȥ�
�Ǥ���. ������, $k_i$�������Ǥ���.}
��®��$\omega_1, \omega_2, \omega_3$�ǰ��Ͳ�ž���Ƥ���Ȥ���. 
$\varphi(t)$�ϥ٥��ȥ�${\bf a}(t)$��$x$���Ȥʤ��ѤǤ���Ȥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ����.} �٥��ȥ�${\bf a}$��ʿ�ѳ�®�٤���뤳��. 
$$
  \omega = \displaystyle \lim_{T \rightarrow \infty} 
\frac{\varphi(T)}{T} . 
$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ��.} $\omega = \displaystyle \frac{\alpha_1 \omega_1 + 
\alpha_2 \omega_2 + \alpha_3 \omega_3}{\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3}$
������, $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$���դ�$a_1, a_2, a_3$�λ��ѷ���
���٤Ǥ���. 

�������α�ư�Ȥδ�Ϣ��III��1.2�ᤫ�����򤹤뤳�Ȥ��Ǥ���. ���������
��ˤ�ʸ���ˤĤ��Ƥ�[52]����. ���������Bol.Sierpenski��H.Weyl�ˤ�ä�
�򤫤줿. 

\newpage
\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 4. }
�ʲ��ξϤǤ�, �ɼԤ�����ʬ¿���Τγ�ǰ([55]����)�˿Ƥ���Ǥ��뤳�Ȥ�
���ꤹ��. �Ȥ���, $n$�����ȡ��饹������$n$�ĤγѺ�ɸ
$q_1, \ldots, q_n$��Ϳ������. �嵭1���2���$n$�����ȡ��饹�˰��̲�
���ƹͤ��뤳�Ȥ��ɼԤˤȤä�ͭ�ѤǤ���. �ޤ�¬�����ν���([56]����)��
�Ȥ�(�ɼԤ�ͭ�����ν��礬¬�٥����Ǥ��뤳�Ȥ��ΤäƤ���ɬ�פ�����). 

�������˹Ԥ�����, ���줫��Ĵ�٤븽�ݤδ���Ū�������Ϥä���ȸ���������
��ñ����ˤĤ��ƹͻ����Ƥ���.

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\Large \bf \S 4. �������Τ�äȤ�ñ�������}
\vspace{0.3cm}

2�����2�������. {\bf $p,q$ʿ�̤θ����ζ�˵���餽�켫�Ȥξ�ؤ�
������¸���ϼ���$T$��Ϳ�����Ƥ���. ��ư��$O$�ϰ��꤫?} 

����Ū��ˡ(I��)�򤳤ξ���Ŭ�Ѥ�����̤���Ϥ�褦.

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1. 3�Ĥ���.}
�����Ѵ��ξ��, ��ͭ��$\lambda_1, \lambda_2$��׻����������ϲ򤱤�. 
������¸�����$\lambda_1 \lambda_2=1$�Ǥ���. $\lambda_1$��$\lambda_2$��
�¿��Ǥʤ����, $\overline{\lambda}_1 = \lambda_2$, $|\lambda_{1,2}|=1$,
$\lambda_{1,2}= e^{\pm i\omega}$�Ǥ���.

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{�� A}. $p, q$�̤���$O$���濴�Ȥ��Ƴ���$\omega$���̾�β�ž
$A$��ͤ��褦. �Ʊ�$p^2 + q^2 = ����$�����ѤǤ���. �Ĥޤꤽ�켫�Ȥ����
���Ѵ������. �ߤ����ΤȤ���$\omega$������ž����. 
$\omega \neq \displaystyle 2\pi \frac{m}{n}$�Ǥ���¤�, 
���פϱ߾夤����Ȥ�����̩�Ǥ���. 

$\lambda_{1,2} = e^{\pm i\omega}$�ʤ�ɤ������Ѵ���, ��ɸ�������Ѳ�\\
(change)$S$�ˤ�ä�$A$�η��ˤ�äƹԤ���. ���ʤ��


$$ \begin{array}{lcll}
 p,q  & {\rightarrow}^T & p,q & \hspace*{7cm}\\
 \downarrow_S  &  &  \downarrow_S & \\
 p',q'  & \rightarrow^A & p' q' &\\
   \end{array}
$$

\vspace{0.3cm}
���Τ褦�ʼ���$T$��{\bf �ʱ߲�ž}�Ȥ�Ф��. 

\vspace{0.3cm}
\hspace*{11cm} ��5

�����������˰ܤ���. Ϳ����줿������\\
�����ˤ�����������ʬ���ʱ߲�ž�Ǥ���\\
�Ȥ�, $T$��{\bf �ʱ߷�}�����Ȥ�Ф��. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{�� B}. ��$p^2 + q^2 = 2 \tau$�����
$$
  \omega(\tau) = \omega_0 + \omega_1 \tau + \ldots  
\eqno(0.4.1) 
$$
������ž�������$B$��ͤ��褦(��5).

���μ������ʱ߷��Ǥ���, ����Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
$p,q$�Ȳ���Ū�Ѵ�$S$�Ƿ���դ��Ƥ����ɸ��$p',q'$��ͤ��褦. �������Ѵ�
$S$��������¸�Ǥ��ä�, ����$O$���Ȥξ�꤫��ư�����ʤ��Ȥ���. 
$p',q'$ʿ�̤ˤ�������B�μ���B��ͤ��褦. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{�� C}. ����B��{\bf ��ɸ$p,q$�ǽ񤳤�. ����ȼ���
$C = S^{-1}BS$������}. 

\vspace{0.3cm}
���μ������ʱ߷��Ǥ������Ǥ���. �Ȥ����Τ�, �ѿ��Ѵ�$S$�ˤ�ä�
����ʼ���B���Ѵ��Ǥ��뤫��Ǥ���. 

��C�ι���ˡ�ˤ�ä�Ǥ�դ��ʱ߷����������뤳�Ȥ��Ǥ��뤫? �⤷�����ʤ�, 
����ˤ�äư�����������˹���Ū�ʲ������뤳�Ȥˤʤ�. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 2. ������.} 
Birkhoff�λ������[3], ����μ�«����̵�뤹���, ���
$$ \begin{array}{ll}
  \omega \neq \displaystyle 2\pi \frac{m}{n}
& (m=0, \pm 1, \pm 2, \ldots; n=1, 2, \ldots)
   \end{array}  \eqno(0.4.2)
$$
�β���, �ʱ߷��μ���$T$�Ϥ��ĤǤ���B��$STS^{-1}= B$�η��ؤȷ���Ū��
�ѿ��Ѵ�$S$�ˤ�äƴԸ��Ǥ���. $S$����ư���ε���˻����֥С����յ���פ�
��äƷ���Ǥ���. ���̤ξ��, �����ε����{\bf ȯ��}����. ����$T$��
�������Ϸ������$S$��¸�ߤ���ϽФʤ�. 

�Ȥϸ���, ���$S$��������ڤ뤳�Ȥϲ�ǽ�Ǥ���, ��«�����ѿ��Ѵ�
$S^{(s)}$�ˤ�ä�, $B$��Ǥ�դ˹⤤��������$O(\tau^s)$�����������ʤ�
�褦��$T$���ѷ����뤳�Ȥ���ǽ�Ǥ���. ���κݤ�������(0.4.1)�η���
$\omega_0, \omega_1, \ldots$��$T$��$B$�شԸ�������ˡ$S^{(s)}$�˰ͤ�ʤ�.
������������¸�����Ѵ��˴ؤ���$T$�������̤Ǥ���.
$\omega_1 \neq 0$�ʤ�, ����$T$��{\bf �����ʱ߷�}�Ȥ�Ф��. 

���ξ��, ����$B$����Ѥ������Ȥ��˱�$\tau=����$����ž�������
$\omega(\tau)$��$\tau$�ȤȤ���Ѳ�����((0.4.1)����). 
�������ä�, ����ߤ�$2\pi$�ȿԿ��ط��ˤ�����٤ǲ�ž��, �̤αߤ�
�Կ��ط��ˤʤ����٤ǲ�ž����. 

Ŭ�����ѿ���Ϳ�������, $O$�ζ᤯��, ����$T$�����˾������ɲù��
��ư���줿, ����$\omega(\tau)$�β�ž$B$�ȸ��뤳�Ȥ��Ǥ���. 
�������ä�, �����������, $\tau^s$����٤ƾ�������ưʬ����$B$��
�ۤʤ����$T$�θ���ؤȴԸ������. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 3. ���Ѷ���.}
Birkhoff�������«�����, $O$�ζ�˵���Τϱ�$\tau=����$�˶ᤤ$T$��
���Ѷ����������äƤ���Ϥ��Ǥ���. 

���¤�, {\bf ����$B$�����ѱߤΤ���, ��ž����$\omega(\tau)$��
$2\pi$�ȿԿ��ط��ˤʤ���Τ����Τ���¿�������뤬, ������$B$��
��������ư�Τ�ȤǾä���, �����ѷ���������Ǥ���}���Ȥ��狼�ä�.
�������ä�, ��ư��$O$��Ǥ�դ˾����ʲ���Ū����$T$���Ѷ����ˤ�äưϤޤ�, 
��äư���Ǥ���. �����ζ�����$O$�������Ȥ�����¬�٤ν����
���������Ȥ������Ǥ���(I�Ϥ����IV�Ϥ򸫤�).

�Ȥ�����, �����ζ�����$O$�ζ�˵�����ˤ��������ʤ���, ���̤�, 
Ǥ�դ��ΰ�(domain)���������ʤ�. ��������֤ˤϡ��԰��꥾�����(zones 
of instability)���Ĥ�. ������$\omega(\tau)$��$2\pi$�ȿԿ��ط���
����褦�ʱ�$\tau=����$������ư��������. $O$����γ�Ⱦ������, 
���Ѷ����ϥ���ȡ��봰������Τ褦���ڤ�. ��������¬�٤��ڤ�. 

\vspace{5.5cm}
\hspace*{6cm} ��6. 

\vspace{5.cm}
\noindent
{\bf 4. �԰��꥾����.}
����$\omega(\tau) = \displaystyle 2\pi \frac{m}{n}$������ž����
��̵��ư���Ѵ�$B$�����ѱߤ�ͤ��褦. $B$��$n$��η����֤��ˤ��, �ߤ�
�����ϸ��ξ������. $B$�Τ���������, ����Ū�˸�����, ��������ư�β���
���ݻ����줺, ���ѱߤϤ�����ƤФ�Ф�ˤʤ�.
G.D.Birkhoff�����������Ȥ����ˤ���, $B^n$�˴ؤ������Ѥʴ����ʱߤ�
����, $T^n$�ϰ��̤ˤ��αߤζ᤯��ͭ�¸Ķ�������ư�������. ���Τ�����
Ⱦʬ�������ʱ߷��Ǥ���, �Ĥ�ϡ��ж�Ū�פǤ���. 

3�Ǽ������褦��, �ʱ߷������ϰ���Ū�˸����а���Ǥ���, $O$��Ϥޤʤ�
���Ѷ����ˤ�äưϤޤ�Ƥ���(��6). �������ä�, ���̤ξ��, $O$�ζ�˵��
�����Ķ����ˤ�ä��ؾ��˶�ʬ������Ƥ��ʤ�. ��ǻ�Ŧ����Birkhoff�����.
ȯ���Ϥ��Τ��Ȥ��齾��(����2����).

�ж����Υ��ѥ�ȥ�å����ϸߤ��˸򺹤�, ���԰��꥾����פ�ʣ�������ܤ�
�Ĥ���Ф�. ���ʱ����ζ�˵�ˤ�Ʊ������������Ω��. ���ʤ�����Ѷ�����
�԰��꥾���󤽤�¾.

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 5. �������ξ��.}
���Ѷ�����¸��(3����)�����$T$�ΰ�������������뤿��β����Ҥ٤褦. 

���Ԥ�[14]�ǻȤä�����, $\displaystyle \frac{\omega_0}{2\pi}$��
̵�����Ǥ��뤳��, $\omega_1^2 + \omega_2^2 + \ldots \neq 0$, �����
$T$������Ū�Ǥ��뤳��, �Ǥ��ä�. �����, J. Moser[25]��, 
$\displaystyle \frac{\omega_0}{2\pi}$��̵������������, 
$\omega_0 \neq \displaystyle 2\pi \frac{m}{3}, 2\pi\frac{m}{4}$��
���뤳��, $T$�β�����������333��������ʬ��Ϣ³�����������������
��ʬ�ʤ��Ȥ򼨤���. 
$\omega_0 = \displaystyle 2\pi \frac{m}{3}$�ΤȤ���, T. Levi-Civita��
���Ǥ˼������褦��([8]����, Ʊ�������G.A.Merman����ʸ��񤤤Ƥ���
[21, pp.18-41]), �԰�����������������. 

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\Large \bf \S 5. ���}
\vspace{0.3cm}

������ʸ��6�ĤξϤ�������. ����Ū�ʥ����ǥ�����ˡ��I�Ϥ˽񤤤�. ���Ҥ�
��̩�������ˤ���ȯ��Ū���ʤˤ���. ���������������ɼԤ�I�Ϥ򸫤�����
�Ǹ�̩�ʿ���Ū���ä�Ҥ٤�IV��V�Ϥ򸫤뤳�Ȥʤ����ܷ�̤ξ�����ƹ���
�Ǥ���Ǥ�����. 

II�Ϥ����III�Ϥ�I�Ϥΰ������α��Ѥ�Ҥ٤�. �ּ����ȥ�åספ˱��Ѥ���
��Ǯ�����̤γ�ǰ��II�ϤǾܤ�����̣����. III�ϤǤ�, ¿����������ˤ�����
��. Υ��Ψ��������, ���̤�����������ʿ�̻��������ܤ����ͻ�����. 

IV�Ϥ�V��, �����III�Ϥ�1��,5����������ʬ�Ϸ���Ū�˽񤤤�. V�Ϥ�
�Ǹ�˵����ޤȤ�ƽ񤤤Ƥ������Τǻ��ͤˤ����ߤ���. 

�����ϤϤ��ޤ��ޤʳн񤫤�ʤ�. ��ˤ�̤�������ؤθ��ڤ⤢��. 
