
\newpage
\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf \LARGE I ��. ��ư��}
\end{center}

���ξϤǤ�, ȯ�ۤȹ���ˡ�򵭽Ҥ���. ������Ѥ���, II�Ϥ����III�Ϥ�
�ϳؤ������������. 

�Ȥ��Τ�, 

1) 19������ŷ���ϳؼԤˤ�ä�ȯŸ�������, H. Poincare[1](1, 2, 3, 4�Ỳ
��)�θ���Ǵ���������ˡ;  

2) ʿ��������Ӽ������ΰ��֤ΰ������˴ؤ���G.D. Birkhoff�θ���[3](9�Ỳ
��); 

3) A.N. Kolmogorov�μ��������˥塼�ȥ󷿤��༡���ˡ(4�Ỳ��). 

���Ԥθ���[14]-[17]�Ϥ��������˴ؤ����ΤǤ���. 6���7������դˤ�
��, ��ͭ����(proper degeneracy?)��8��ǰ������Ȥ��Ǥ���. 
�˸½���Τ����ξ���10��Ƕ�̣�����
\footnote{������û��ʸ[14-17]���������줿�Τ�Ʊ����, J.Moser��2�Ԥ�
��ʸ[24,25]�κǽ�Τ�Τ��Ф�. ����ˤ���, [12]�β�����������, ��ɴ
����ʬ��ǽ���ǽ�ʬ�Ǥ���. ������J.Moser�η�̤⵻�Ѥ�Ȥ�ʤ�. �Ȥ�
���Τ�, ������ʸ�μ�����ʬ��[24-25]�ν��Ǥ����ˤǤ��Ƥ���. ����10��Ǥ�,
J.Moser��[14]�η�̤򶯤�Ƥ���ΤǤ�����θ����(VI��6��⸫��)}.  

���ξϤǤ�, ��̩���꼰���ȸ�̩�ʾ������򤱤�. ʣ���ʹ���ˡ�ȸ�̩�ʾ�����
��ä������Τߤ�Ҥ٤�. 


\vspace{0.5cm}
\noindent
{\Large \bf \S 1. �ϳؤβ���ʬ����������ʬ����}
\vspace{0.3cm}

����Ū�ϥߥ�ȥ�ؿ�$H(p,q)$��������౿ư������
$$ \begin{array}{lll}
 \dot{p} = \displaystyle - \frac{\partial H}{\partial q}, & 
 \dot{q} = \displaystyle  \frac{\partial H}{\partial p}, & 
 (p = p_1, \ldots, p_n; \ q=q_1, \ldots, q_n)
   \end{array}  \eqno(1.1.1) 
$$
���������뼫ͳ��$n$����¸�ϳطϤ�ͤ���. �ϳؤθ�ŵŪ��ˡ�ˤ���, 
���������ʬ�ηϤ�������Ĵ�٤뤳�Ȥ��Ǥ��ʤ�. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf �� 1.} �����$p,q$��$n$�����ȡ��饹��$n$�����桼����åɶ��֤�
���볫�ΰ�(domain)�Ȥ�ľ�ѤǤ���Ȥ���. $q_i({\rm mod} \ 2\pi)$��
�ȡ��饹��γ����ѿ��Ȥ�, $p_i$����ֺ�ɸ�Ȥ���. �����ƥϥߥ�ȥ�ؿ���
$p$�Τߤ˰�¸����Ȳ��ꤹ��. ���ʤ��, $H=H(p)$. 
�ϥߥ�ȥ�������(1.1.1)��
$$ \begin{array}{lll}
 \dot{p} = 0, & 
 \dot{q} = \omega(p), & 
 (\omega = \displaystyle \frac{\partial H}{\partial p} = 
\omega_1 \ldots, \omega_n) 
   \end{array}
$$
�ʤ����Ȥ�. �����⤿��������ʬ��ǽ�Ǥ���. �ƥȡ��饹$p=����$��
���ѤǤ���. ���ȿ�$\omega$���Կ��ط��ˤʤ����(�Ĥޤ�, 
����$k_i$�˴ؤ��뼰$\omega_1 k_1 + \ldots + \omega_n k_n = 0$����$k_i=0$
����������)�ʤ�, ��ư��$n$�Ĥμ��ȿ�$\omega_1, \ldots, \omega_n$�˴ؤ���
�����Ū(conditionally periodic, quasi-periodic)�Ȥ�Ф��. ���ΤȤ�
��ñ�˾����Ǥ���褦��, ����$p(t),q(t)$�ϥȡ��饹�򤤤���Ȥ�����̩��
����. �ѿ�$p,q$��{\bf ����--���ѿ�}�Ȥ�Ф��.  

����, ���ʤ�¿���β���ʬ���꤬�Τ��Ƥ���. ��ͳ��$n$�Τ���������β��
���(involution)�ط��ˤ���
\footnote{ �ؿ�$f(p,q)$��$g(p,q)$�����ط��ˤ���Ȥ�, 
�����Υݥ��å�����
$\displaystyle 
\frac{\partial f}{\partial p}\frac{\partial g}{\partial q} - 
\frac{\partial f}{\partial q}\frac{\partial g}{\partial p}$
������Ū�˥����ΤȤ��Ǥ���. }$n$�Ĥΰ�������ʬ��¸�ߤ���(�����Ƹ��Ĥ�
�뤳�Ȥ��Ǥ���)�Ȥ������¤˴�Ť��Ƥ���. 

��������ʬ��¸�ߤ�, $2n$���������$p,q$�ˤ�����ʲ��Τ褦�ʵ��פ�
�դ�ޤ����̣���뤳�Ȥ򼨤����Ȥ��Ǥ���([20], VI��1��).
���������$(2n-1)$�������礬����֤������ΰ�(domain)��ʬ�䤹��. 
���ΰ�����Ѥ�$n$����¿���Τ����ز�����Ƥ���. �ΰ褬ͭ���ʤ�, 
������¿���Τϥȡ��饹�Ǥ��ä�, �������ư����ȤʤäƤ���. ��1��
����--���ѿ������Τ褦���ΰ��Ƴ���Ǥ���. ���ط��ˤ���$n$�Ĥ�
�����ʬ�����Ĥ����, ����--���ѿ���Ƴ�����������Ѵ��ϵ��Ѥǵ���
���Ȥ��Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf �� 2.} �ʲ��ϲ���ʬ����Ǥ���: ��������, ���濴����, ���������ʱ���
��ɽ�̤�¬�����˱褦��ͳ���α�ư, �оι��Τ������оμ������
�Ǹ��ꤵ�줿�Ȥ��α�ư, �ſ��Ǹ��ꤵ�줿���оι��Τα�ư. 

�����ʬ
\footnote{��ä����տ���������, ��ʬ������Ǥ��ʤ�����, �Ǥ���. �Ȥ�����
�������ʬ���ξ�����ʣ���Ǥ���, �ġ��ξ��˸¤äƸ�̩�˹Ԥ����Ȥ��Ǥ���
����Ǥ���.}
�������: ������ʿ�̱����»��������ޤ�$n$������, �̶���
���¬�����˱�äƤμ�ͳ���α�ư, �оι���, ��ͳ��$n>1$����������ư. 

����ʬ�Ϥ�õ���ϼ�Ȥ���19�����˹Ԥ�줿(Jacobi, Liouville, Kovalevska¾).
����, �ݥ��󥫥�λŻ��ˤ�ä����餫�ˤʤä��Ȥ���, �ϳطϤϤ��ΰ��̷���
�����Ƥ������ʬ�Ǥ���. ��ʬ���Τ��Ƥ��ʤ��Ф���Ǥʤ�, ¸�ߤ��ʤ��Τ�
����. �ʤ��ʤ�, �������Τ�����$n$����¿���Τ˾�äƤ��ʤ�����Ǥ���. 

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\Large \bf \S 2. ��ŵŪ��ư��}
\vspace{0.3cm}

�Ϥ�����ʬ�Ϥ��龮���ʡ���ư�פ����㤦�Ȳ��ꤹ��. ��1�ε�ˡ��Ȥä�
$$
  H(p,q) = H_0(p) + \mu H_1(p,q) + \ldots,   \eqno(1.2.1)
$$
�Ƚ�. ������$\mu$�Ͼ�����, $\mu H_1 + \ldots$��$q$�˴ؤ��Ƽ���
$2\pi$�Ǥ���. �ݥ��󥫥�[1]�ˤ���, ���Υ�������Ĵ�٤뤳�Ȥ��ϳؤ�
��������Ǥ���. ��ư$\mu H_1$��$t \rightarrow \infty$�Ǥε��פ�
�դ�ޤ��ˤɤ�ʱƶ�����ĤΤ�? ���ѥȡ��饹����¸�����Τ�? 
���פϥȡ��饹$p=����$�ζ᤯��α�ޤ뤳�Ȥ��Ǥ���Τ�? 

��2�β���ʬ����������ʬ�������Ӥ��餹���, �����ε��䤬�ϳؤ�
�����ƽ��פǤ��뤳�Ȥ��狼��. �����˴�����������ʤ��, �Ȥ���, 
�����Ϥΰ�����������ؤ�������������Ǥ�����. 

$t$���礭�����ε��פζ��Ū�ʸ���Τ����, ŷʸ�ؤ���ư���ˤ�����, 
�����������̤�ƻ��ȯŸ���Ƥ���. �����Ѵ�$p,q \rightarrow p',q'$��
$H$��
$$
  H(p,q) = H'_0(p') + \mu^2 H'_1(p',q') + \ldots,   \eqno(1.2.2)
$$
�η��˴Ը������Ȥ����, ����$t \sim \displaystyle \frac{1}{\mu}$
�δ֤�, ��ư$p'(t), q'(t)$��$H'_0(p')$�ǵ��Ҥ����������ư����
��$\sim \mu$�����ۤʤ�. $p,q$������, $p(t), q(t)$���Ф���, 
$t \sim \displaystyle \frac{1}{\mu}$�δ�$\mu$���٤θ����ζ��ɽ����
����. ��ä����٤�ɬ�פʤ�, �ʲ��Τ褦�ʶ����Ԥ��Ф褤. ���ʤ��,
$p',q' \rightarrow p'',q''$��, $H$��
$$
  H(p,q) = H''_0(p'') + \mu^3 H''_1(p'',q'') + \ldots,  
$$
�η��˴Ը�����. ���ξ��θ�����$\sim \mu^3 t$�Ǥ���. �༡�������«
�����, �˸¤Ȥ���, $H(p,q) = H_0^{(\infty)}(p^{(\infty)})$�������, 
�Ϥϲ���ʬ�Ǥ���. �ȡ��饹$p^{(\infty)}=����$�����ѤǤ���, �������ƻ��
���������. 

���Υץ�������¹Ԥ���ˤ����ä�2�Ĥκ������������. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf $1^{\circ}$. ��ʬ��.}
�����Ѵ�$p,q \rightarrow p',q'$��, 
$p = \displaystyle p' + \mu \frac{\partial S}{\partial q}$, 
$q' = \displaystyle q + \mu \frac{\partial S}{\partial p'}$, 
$S(p',q) = \displaystyle \sum_{k \neq 0} S_k(p') e^{i(k,q)}$
�ʤ���Τ�Τ�õ����. ��ɸ$p',q'$�Ǵؿ�$H(p,q)$��񤯤�
\footnote{$H_1$�ξ������$q$�˴ؤ���ʿ�Ѥ��̣����. ���ʤ��, 
$\overline{H}_1(p) = (2\pi)^{-n} \int H_1(p,q)dq$.}
$$
  H_0(p) + \mu \overline{H}_1(p) + \mu \widetilde{H}_1(p,q) + \ldots 
= \displaystyle H_0(p') + \mu \overline{H}_1(p') + 
\mu \left[ \frac{\partial H_0}{\partial p} \frac{\partial S}{\partial q}
  + \widetilde{H}_1 \right] + \mu^2 \ldots 
$$
�Ȥʤ�. (1.2.2)�����뤿��ˤ�, $q$�˰�¸���륪������$\mu$�ι��õ��
ɬ�פ�����. �Ĥޤ�, 
$\displaystyle (\omega, \frac{\partial S}{\partial q}) + 
\widetilde{H}_1 = 0$�Ȥʤ뤳��, ���ʤ��,
$$ \begin{array}{lcl}
 S_k(p') = \displaystyle \frac{ih_k(p')}{(\omega, k)}, & ������ & 
\widetilde{H}_1 = \displaystyle \sum_{k \neq 0} h_k e^{i(k,q)} . 
   \end{array}  \eqno(1.2.3)
$$
��ɬ�פǤ���. ʬ��$(\omega,k)$��$k$�Ρֶ��ġ��ͤˤ����ƥ����ˤʤ�, 
���٤Ƥ�$\omega$���Ф���Ŭ����$k$�����֤Ȥ�����Ǥ⾮�����ʤ�. 
���ξ�ʬ��$(\omega,k)$�Τ����, $n>1$���Ф��Ʒ����Ѵ�����������
���路���ʤ�. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf $2^{\circ}$. �����ȯ��.} 
�ƶ���ε����������ڤ�, �������äƼ�«�����礬����. 
���Τ褦�ʾ���Birkhoff[3](9�Ỳ��)�Ͼܤ���Ĵ�٤�. ������, Siegel[10]
���������Ȥ����ˤ���, ���̤�, Birkhoff��Ĵ�٤�����ޤ��, 
��������碌���ȯ������. ��«�η�̤Ȥ���, ���פι�¤��
��1�ǵ��Ҥ����褦���ͻҤˤʤ�٤��Ǥ���. ������, ���¤�, ��ư�Ϥε��פ�
���ѥȡ��饹�ξ�ˤϤʤ�. 

$\displaystyle {\rm det}\left| \frac{\partial \omega}{\partial p}
\right| \neq 0$�Ȳ��ꤹ��. ���ΤȤ�, ����ư�Ϥ����ѥȡ��饹��Ǥ�դζ�˵
��$n$�����ȡ��饹�����ä�, ���ξ�Ǥ��٤Ƥε��פϤ�����֤θ���Ĥ���. 
��������ư��������, �ĵ��פ���ʤ뤳��$n$����¿���Τϰ��̤˲����. 
���η��, ��ư���ε����, ����Ū�˸��ä�, ����֤Τɤ��ΰ�ˤ����Ƥ�
��«���ʤ�. 

�嵭�ͻ���, ɬ������$(\omega,k) \neq 0$�Ǥ���褦�����ѥȡ��饹����ư��
��¸�ߤ����ǽ�����ӽ�����櫓�ǤϤʤ�. ������, �����Υȡ��饹��
�褷���ΰ���������ʤ�. 

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\Large \bf \S 3. ��ʬ��}
\vspace{0.3cm}

��ʬ��$(\omega, k)$�αƶ���Ĵ�٤뤿���, ŷʸ�ؼԤ�Ĺ���ֻ���Ū��
������ȤäƤ���([1],[5]�򸫤�). ���Τ�����äȤ�ñ��ʵ�����, 
������ˤϤ��̵����Ū�ʤ�Τ�����, �Ȥ�����ΤǤ���. 

�����, �Ǥ��������Ф줿�٥��ȥ�$\omega$����ʬƱ�ΤϿԿ��ط��ˤʤ�. 
�������ä�, �ۤȤ�ɤ��٤Ƥ�
\footnote{���١���¬�٥����ν���������, ���٤�} 
�٥��ȥ�$\omega$���Ф���, ����$k \neq 0$��ɤ�����Ǥ�
$(\omega, k) \neq 0$������Ω��.

�ǥ����ե��󥿥������������ΰʲ�������([54]����)�Ϥ��Υ����ǥ����ä�
���Τ�ɽ������. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ����.}
�ۤȤ�ɤ��٤ƤΥ٥��ȥ�$\omega = \omega_1, \ldots, \omega_n$��
���٤Ƥ�����$k \neq 0$����Ӥ���$K(\omega)>0$���Ф���������
$$ \begin{array}{ll}
 |(\omega, k)| \geq K |k|^{-\nu}, & 
(|k| = |k_1|+ \ldots + |k_n|; \nu = n+1)
   \end{array}  \eqno(1.3.1)
$$
��������. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. ͭ�����ΰ�(domain)$\Omega$, ���ꤷ��$K>0$, ���������
$k$��ͤ���. ���ΤȤ�, ������(1.3.1)������$2K|k|^{-\nu}$��궹��
�ֶ��ĥ�����פˤ����ƤΤ�����Ω���ʤ�.  $\Omega$��
�Τ߰�¸���������$D>0$�Ȥ���, ���Υ���������Ѥ�$K|k|^{-\nu}D$��ۤ���
��. 

$|k|=m$��������$k$�ο���$Lm^{n-1}$��ۤ��ʤ�(���$L>0$��$n$�ˤΤ߰�¸��
��). �������ä�, $|k|=m$�����������ĥ������¬�٤�$Km^{-2}DL$��ۤ���, 
$|k|>0$�ʤ륾���󤹤٤Ƥ�¬�٤�
$\displaystyle \sum_{m=1}^{\infty}Km^{-2}DL \leq K\overline{D}(\Omega)$, 
$\overline{D} = 2LD$, ��ۤ��ʤ�. $K \rightarrow 0$�ΤȤ�, ���ĥ������
��¬�٤ϥ����˸�����, �椨�˼�ĥ�ξ������������ˤ�������. 
\hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
��������¿���Υ٥��ȥ�$\omega$���Ф���, ��ʬ��$(\omega,k)$�ϥ����ˤʤ��
���Ф���Ǥʤ�, $|k|$�ζҤǲ������ޤ��뤳�Ȥ��Ǥ���. 
���Τ��Ȥ���, ��ư���ε��(1.2.3)����¿���Υ٥��ȥ�$\omega$���Ф���
��«����Ȥ���˾�ߤ�ȯ������([1],[5],[7]�򸫤�). ����, ���ϴؿ�$H_1$��
�ա��ꥨ����$h_k$�ϴ������Ū��(in geometric progression)��������. 

$H_1$��$|{\rm Im} \ q| \leq \rho$�ˤ����Ʋ���Ū�Ǥ���, 
$|H_1(p,q)| \leq M$�Ǥ���Ȥ���. 
�����$|h_k| \leq Me^{-|k|\rho}$�Ǥ���(V��3.2�Ỳ��). 
���(1.3.1)����������, ����$S_k = \displaystyle \frac{ih_k}{(\omega,k)}$
��$h_k$��Ʊ���褦�ʥ��ԡ��ɤǴ������Ū�ˤ˸�������. 
Ǥ�դ�$\delta >0$���Ф���
$$
  |S_k| \leq \displaystyle \frac{ML}{K\delta^{\nu}} 
e^{-|k|(\rho-\delta)}
$$
������Ω��. ������, $\nu, L$����������Ǥ���(IV�Ϥ�(4.6.5)��).
�������ä�, ���$S$��$|{\rm Im} q| < \rho$�ˤ����Ƽ�«��, �㴳������
�ΰ�$|{\rm Im} q| < \rho - 2\delta$�ˤ�����
$$
  |S_k| \leq \displaystyle \frac{ML}{K\delta^{\nu}}   \eqno(1.3.2)
$$
������Ω��(IV��(4.6.6)��).

��������, (1.2.3)���ϤۤȤ�ɤ��٤Ƥ�$\omega$���Ф��Ƽ�«����. ������, 
1) ���Τ褦�ˤ�������줿�ؿ���$p$�˴ؤ��Ƥ�����Ȥ�����Ϣ³�˰�¸����. 
2) $s \rightarrow \infty$�κݤΤ��٤Ƥζ��$p^{(s)}, q^{(s)}$�μ�«��
���路��. 

\newpage
\vspace{0.5cm}
\noindent
{\Large \bf \S 4. �˥塼�ȥ�ˡ}
\vspace{0.3cm}

�嵭1)��2)��������뤿���, A.N.Kolmogorov[12]�ϰʲ��Τ褦�˼�������. 

\underline{���� 1)} ���ȿ�$\omega^*$�ǽ����Ū�ʱ�ư����äƤ���
��ư�Ϥ����ѥȡ��饹$T_{\omega^*}$�Τߤ�õ��. 
(1.3.1)�����������ȿ�$\omega^*$�ν����
�Ϥ���˷��Ƥ���. �б���������ư��: $p: p^* + \mu ...$; 
$\displaystyle \frac{\partial H_0}{\partial p^*} = \omega^*$
�����ѥȡ��饹�ζ�˵��˥ȡ��饹$T_{\omega^*}$��õ��. 

��(1.2.3)�ˤ�����, $\omega(p) = \displaystyle \frac{\partial
H_0}{\partial p}$������$\omega^*$�������. �����, �������ѿ���
ɽ���줿$H(p,q)$���ղ�Ū�ʹ�
$\displaystyle \mu \left[ (\omega - \omega^*) \frac{\partial S}{\partial
q} \right]$��ޤ�. $|p - p^*| \sim \mu$���Ф���, ���ι���礭����
$\sim \mu^2$���٤Ǥ���. 

\underline{���� 2)} �ȡ��饹$p = p^*$�λ��ꤷ����˵�ˤ�����, 
�������ѿ�$p',q'$�����Ū�����Ѵ�$p,q \rightarrow p',q'$�ˤ�ä�
Ƴ������. ����ˤ��, �ϥߥ�ȥ�ؿ�$H(p,q) = H_0(p) + H_1(p,q)$��
$$
  H(p,q) \equiv H^{(1)}(p',q') = H_0^{(1)}(p') + H_1^{(1)}(p',q'),
$$
�ʤ���ˤʤ�. ������, $|H_1^{(1)}| \sim |H_1|^2$�Ǥ���. 

���Τ褦�ˤ���������2��(quadratic)��«��, �˥塼�ȥ�ˡ([51]�򸫤�)��
ŵ��Ū�Ǥ��뤬, ����ˤ�ä����ѥȡ��饹$T_{\omega^*}$�򸫤Ĥ��뤳�Ȥ�
�Ǥ���. �⤦�������Τ˸�����, �嵭����2)���ʲ��Τ褦�˴ط�����. 
���ʤ��, $|{\rm Im} \ q| \leq \rho$���Ф���$|H_1| \leq M_1$�Ǥ���Ȥ���. 
(1.2.3), (1.3.1), (1.3.2)����Ӿ嵭1)�ˤ��, �ѿ�$p',q'$�򤦤ޤ������, 
 $|{\rm Im} \ q'| \leq \rho - L\delta$, $|p' - p'^*| \leq M_1$���Ф���
$$
  |H_1^{(1)}(p',q')| \leq M_2 = \displaystyle 
\frac{M_1^2}{\delta^{2\nu}} ,  \eqno(1.4.1)
$$
������Ω�Ĥ褦�ˤǤ���. ������$L>0, \nu>0$�ϼ�ͳ�٤ο�$n$�ˤΤ�
��¸��������Ǥ���. ��$p'^*$�ˤ�����
$\displaystyle \frac{\partial H_0^{(1)}}{\partial p'} = \omega^*$��
����Ω��, $\delta>0$��, $H_0, \omega^*, \rho$�ˤΤߤ˰�¸���뤢�������
�ۤ��ʤ��¤꼫ͳ�����֤��Ȥ��Ǥ���. 

������, ��ȯ����(1.4.1)������Ω�Ĥ��Ȥ��ꤷ��, ���ѥȡ��饹
$T_{\omega^*}$�˼�«�����༡�����ɤ���äƹ������뤫�򼨤���. 
$H^{(1)}(p',q')$��$H(p,q)$��Ʊ�����򤷤Ƥ��뤫��, (1.2.3)��Ȥ���, 
�����Ѵ�
$$
  p',q' \rightarrow p'',q'' \rightarrow \ldots \rightarrow 
p^{(s)},q^{(s)} \rightarrow \ldots
$$
$$
  H(p,q) = H^{(s)}(p^{(s)},q^{(s)}) = 
H_0^{(s)}(p^{(s)}) + H_1^{(s)}(p^{(s)},q^{(s)})
$$
�������뤳�Ȥ��Ǥ���. 
������
$$ \begin{array}{lll}
 |p^{(s)} - p^{*(s)}| \leq M_s, & |{\rm Im}~q^{(s)}| \leq \rho_s &
(\rho_0 = \rho, M_1 = M), 
   \end{array}
$$
�����
$$ \begin{array}{llll}
 M_{s+1} = \displaystyle \frac{M_s^2}{\delta_s^{2\nu}}, & 
\rho_{s+1} = \rho_s - L\delta_{s+1}, & \displaystyle 
\frac{\partial H_0^{(s)}}{\partial p^{(s)}}\left|_{p^{*(s)}} = \omega^*   
\right. & (s=1,2, \ldots)
   \end{array}
$$
��������줿���̤����ΰ�ˤ�����, (1.4.1)���
$$
  |H_1^{(s)}| \leq M_{s+1} = \displaystyle 
\frac{M_s^2}{\delta_s^{2\nu}} .   \eqno(1.4.2)
$$
������Ω��. 

����ʸ�, $\delta_s$�򰷤�. $\delta_{s+1} = \delta_s^{3/2}$
($s=1,2,\ldots$)���֤�. $M_s < \delta_s^T$��$T$����ʬ�礭�����, 
(1.4.2)�ˤ��
$$
 M_{s+1} \leq \delta_s^{2T-2\nu} \leq \delta_s^{3/2} = \delta _{s+1}^T
  \eqno(1.4.3)
$$
�Ǥ���. $T$���礭���ȤäƸ��ꤹ��. ���Ȥ���$T=4\nu+1$�ȼ��. �ޤ�
$|{\rm Im} \ q| \leq \rho$���Ф���$|H_1(p,q)| \leq M_1 = \delta_1^T$
������Ω�ĤȤ���. ������, $\delta_1$�Ͻ�ʬ������. ���ΤȤ�, 
���٤Ƥ�$s=1,2,\ldots$���Ф���, �ΰ�$|{\rm Im} \ q^{(s)}| \leq \rho_s$, 
$|p^{(s)} - p^{*(s)}| \leq M_s$�ˤ�����
$|H_1^{(s)}(p^{(s)},q^{(s)})| \leq \delta_s^T$������Ω��. �ä���, 
��ʬ������$\delta_1$���Ф���, 
$\delta_s > \displaystyle \frac{\rho}{2} > 0$ $(s=1,2,\ldots)$��
����Ω��. 
��ñ�˼�����褦��, (1.4.2)�����(1.4.3)���, ��Τ褦�˹��������ΰ��
���Ѳ��ϥȡ��饹$T_{\omega^*}$�ؤȽ̤�Ǥ���. 

��������, ��ư��ư�˴ؤ��ưʲ��Τ褦��������ã����([13]����). 
$\displaystyle 
{\rm det}\left| \frac{\partial \omega}{\partial p} \right| = 
\displaystyle 
{\rm det}\left| \frac{\partial^2 H_0}{\partial p^2} \right| \not\equiv
0 $���ꤹ��. ���ΤȤ��� Ǥ�դ���$p$�ξ����ʶ�˵��, ���ȿ�$\omega$��
�Կ��ط�����������������, �ޤ�$\omega(p) = \omega^*$��(1.3.1)��������
�褦�����⤢��. ����˱�����, �ϥߥ�ȥ�ؿ�$H_0(p)$�����������������, 
����ȡ��饹$p=����$��Ǥ�����Ȥ�����̩�ʽ������ư�����. ¾��
�ȡ��饹�ˤĤ��Ƥϲ�����ʤ�. 

�狼�ä��Τϼ��Τ��ȤǤ���. ��������ư
$H = H_0(p) + \mu H_1(p,q)$ ($\mu \ll 1$)���Ф���, �Կ��ط��ˤʤ�, 
���ꤷ��$K$���Ф���(1.3.1)�����������ȿ�$\omega^*$����Ĥ����Ƥ���(most)
���ѥȡ��饹�Ͼä����˻Ĥ�, �ѷ���������Ǥ���. 
�ѷ������ȡ��饹$T_{\omega^*}$���ȯ������ư�Ϥε��פϤ��Υȡ��饹��
������Ȥ�����̩�˽����Ū������. �ȡ��饹$T_{\omega^*}$��
������Ȥ����¤��Ľ���(nowhere dense set)��ʤ�(�����δ֤��˲����줿
�Կ��ط��ȡ��饹�λĳ���������).
������, ��������ѤǤ�����Ȥ����¤ʽ��������¬�٤����. ����¬�٤�
$K \rightarrow 0, \ \mu \rightarrow 0$�ΤȤ�, ����֤���¬�٤˸�����
(7��򸫤�).

$n=2$�ξ��, 2�����ȡ��饹$T_{\omega^*}$��3�������ѡ֥��ͥ륮����٥��
$H=����$��ʬ�䤹��(7��).
�������ä�, 2�ĤΥȡ��饹$T_{\omega^*}$�δַ䤫���ȯ�������פϤ���
�ַ䤫��ȴ���Ф����ȤϤǤ��ʤ�. ��������, {\bf $n=2$�ξ��, 
���ѥȡ��饹��¸�ߤ���б�ư�ΰ������˴ؤ��Ʒ�����Ф����Ȥ��Ǥ���}. 

$n>2$�ξ��, $n$�����ȡ��饹$T_{\omega^*}$��$(2n-1)$����¿����
$H=����$��ʬ�䤻��, �ִַ�פ�̵�±�ˤޤ�ã���Ƥ���. ���ξ��, 
�������majority���Ф��ƤΤ߱�ư�ξ�������뤳�Ȥ��Ǥ���. 

\vspace{3cm}
\hspace*{9cm} ��7. 

\vspace{3cm}
%\newpage
\vspace{0.5cm}
\noindent
{\Large \bf \S 5. ��ͭ����}
\vspace{0.3cm}

4��ε����ˤ�����, ���ȿ�
$\omega(p) = \displaystyle \frac{\partial H}{\partial p}$����Ω�Ǥ���
����, �Ĥޤ�, $\displaystyle {\rm det} 
\left| \frac{\partial \omega_i}{\partial p_j} \right| \not\equiv 0$
���ꤷ��. ������, �ָ�ͭ����פξ�礬����ۤɵ��Ǥʤ���������. 
����ư�Ϥˤ����Ʊ�ư��, ��ͳ�٤ο�$n$��꾯�ʤ����μ��ȿ�$n_0$��
��äƵ��Ҥ�����礬����Ǥ���([5]�򸫤�). �����ȥ�åפ�����
($n_0=1, \ n=2$)��ŷ���ϳؤ�¿�����꤬�ޤ��ˤ���Ǥ���. �Ȥ���
¿������Ǥ�, ��������$(n_0=1, \ n=3)$������ư�Ϥ�����̤���. 
�����ξ��, ����
$$
\displaystyle {\rm det} \left| 
\frac{\partial \omega_j}{\partial p_j} \right| = 
\displaystyle {\rm det} \left| 
\frac{\partial^2 H_0}{\partial p_i \partial p_j} \right| 
$$
�Ϲ���Ū�˥����Ǥ���. ����Ǥ�, ��ŵ��ư����Ω��(2�Ỳ��)�����ͭ����
��ͤ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ��.} �� 1(1��)�κ��ѡ����ѿ�$p_1, \ldots, q_n$�ˤ�����
$$
  H = H_0(p_1, \ldots, p_{n_0}) ,
$$
������Ω�ĤȤ���. ������, $n_0 < n$�Ǥ���. 
�ֹ�®�ѿ���$p_1, \ldots, p_{n_0}$�Υ٥��ȥ��$p_0$�Ƚ�, ����®�ѿ���
$p_{n_0+1}, \ldots, p_n$��$p_1$�Ƚ񤯤��Ȥˤ���. $q_0$��$q_1$���б�����
��ɸ�Ǥ���. 

����������
$$ \begin{array}{llll}
  \dot{q}_0 = \omega_0(p_0), & \dot{p}_0 = 0, & \dot{q}_1 = 0, & 
\dot{p}_1 = 0 
   \end{array}
$$
$\left( ������\omega_0(p_0) = \displaystyle 
\frac{\partial H_0}{\partial p_0} \right)$
��$n_0$�Ĥμ��ȿ�$\omega_0 = \omega_1, \ldots, \omega_{n_0}$�����
�������ư��$n_0$���������ѥȡ��饹$p_0=����,p_1=����,q_1=����$��Ǥ�
�褦���򵭽Ҥ���. 

������, ��ư
$$
  H(p,q) = H_0(p_0) + \mu H_1(p,q) + \ldots   \eqno(1.5.1)
$$
������Ȳ��ꤹ��. �����, ��ŵ��ư��
\footnote{���ޤξ��, ��ʿ��ˡ�פȤ��Ф��([5],[7]����).}
���鼡�Τ褦�ʱ�ư��������������$\left( ���٤�
t \sim \displaystyle \frac{1}{\mu}���Ф���\sim \mu\right)$. 
$H_1$��ֱ�ǯ��ʬ��
$$
  \overline{H}_1(p,q_1) = 
\overline{H}_1(p_1, \ldots,p_n; q_{n_0+1}, \ldots, q_n) = 
(2\pi)^{-n_0} \int H_1 dq_0 
$$
�ȡּ�����ʬ��$\widetilde{H}_1(p,q)$��ʬ����: 
$$
  H_1(p,q) = \overline{H}_1 + \widetilde{H}_1
$$
��ư�α�ǯ��ʬ�ȼ�����ʬ���ޤä����ۤʤ�����̤������Ȥ��狼��. 
�ϥߥ�ȥ�ؿ���$\mu \overline{H}_1$�Ȥ�������������
$$ \begin{array}{ll}
 \dot{p}_1 = \displaystyle - \mu 
\frac{\partial \overline{H}_1}{\partial q_1} + \ldots, & 
  \dot{q}_1 = \displaystyle  \mu 
\frac{\partial \overline{H}_1}{\partial p_1} + \ldots,
   \end{array}
$$
�����ѥȡ��饹���������ѥ�᡼��$p_1, q_1$�Τ�ä���Ȥ�����ǯ�Ѳ���
����. �ϥߥ�ȥ�ؿ�$H_0 + \mu \overline{H}_1$�ˤ�äƵ��Ҥ����, 
�ѥ�᡼���Τ�ä����Ѳ�����������ư�Τޤ��ο�ư��ư
�����򵭽Ҥ���Τ�������ʬ$\widetilde{H}_1$�Ǥ���. 

��ǻؤ���������ư��������, $p_1, q_1$��ѥ�᡼���Ȥߤʤ��ʤ��, 
2����Ѵ�$p_0,q_0 \rightarrow p'_0, q'_0$�ˤ�ä����뤳�Ȥ��Ǥ���.

��ư��ư�������˴ؤ��Ƥ�ä���̩�ʷ��������뤿��ˤ�, �ϥߥ�ȥ�ؿ���
$\overline{H}_1(p_1,q_1)$(�ѥ�᡼��$p_0$�˰�¸����)�Ȥ����ʿ�ѡ�����
��������Ĵ�٤�ɬ�פ�����. �ʲ��Ǥ�, ������������������ʬ���뤤�϶�
����ʬ�Ǥ������ͻ�����. �����, ���Ȥ���, �����̤�ʿ�̻��������, 
����$n$������ˤ����ƾ�����, ��Υ��Ψ, ����ƻ���гѤξ���������. 

����ʬ�ξ��, Ŭ�����ѿ�$p_1,q_1$�����֤�, ��ǯ��ʬ
$\overline{H}_1 = \overline{H}_1(p_1, \ldots, p_n)$�ϳ��ѿ�$q_1$�˰�¸
����, ������Ǥ�, $n_0$�Ĥι�®���ȿ�$\omega_0 = \xi_0$��
$n_1=n - n_0$�Ĥ���®���ȿ�$\omega_1 = \mu \xi_1$����ʤ�������ư
$$ \begin{array}{llll}
  \dot{q}_0 = \omega_0(p_0), & \dot{p}_0 = 0, & 
\dot{q}_1 = \omega_1(p), & \dot{p}_1 = 0 
   \end{array}
$$
��������. $\mu \widetilde{H}_1$�˵���������ư��ʿ�Ѥ������Ǥ���, 
���α�ư�˽Ť͹�蘆�äƤ���. 

{\bf �����δ���Ū�ʷ�̤�, ��ͭ����ξ���4��ǵ��Ҥ�����Τ˻���
��̩����ư�������������Ȥˤ���. �ʲ��Ǽ������Ȥ�, $\mu$����ʬ������
�Ȥ�, ��¿���ν�������Ф���, ��ư��ư���ºݽ����Ū�Ǥ���, �ޤ�
���٤Ƥλ���$-\infty < t < + \infty$�ˤ錄�ä�, ��ǵ��Ҥ���
������˶ᤤ���ȤǤ���(8��򸫤�).} 

4��ε��Ѥ�Ŭ�Ѥ���ˤ����ä�, �����Ĥ�κ���˽в�. �ǽ�Ǻ���Τ��
��, ��ʬ��$(\omega,k)$�����, ���������뤳�ȤǤ���. 
�Ȥ����Τ�, $\mu=0$�ξ��, ���ä���$n_0$�Ĥμ��ȿ�$\omega_0$�����ʤ�����
�Ǥ���. �����, �ʸ�ζ���ˤ�����, $n$�Ĥμ��ȿ�$\omega_0, \omega_1$
�Ͼ�ʬ��$[(\xi_0,k_0) + \mu(\xi_1,k_1)]$����뤬, �����Τ���
�����Ĥ���, ���ȿ�$\omega$�ζ��Ū�Կ��ط��ˤ�꾮����, �Ĥ�Ͻ����
����˾�����. $k_0=0$�ξ��, $\mu$�Υ���������ʬ�줬�Τ���������.

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\Large \bf \S 6. ���� I}
\vspace{0.3cm}

����˷���դ��������[15], [16]�����[17]�ˤ�äƹ������줿. �ޤ�, 
��ǥ������$n_0=1$�ξ��[15], ������Ǯ�����̤�����[16]�ˤ�����, ������
���̤ξ��[17]��. �����ι���ˡ��2�Ĥ�remarks�˴�Ť��Ƥ���. 
����Ǥ�, �ǽ��remark�ˤĤ��ƹͻ�����. $n_0=1$�ξ���Ĵ�٤��
���줬�狼��. 

5��ˤ��������դ����褦��, ʬ��$[(\xi_0,k_0) + \mu(\xi_1,k_1)]$��
�����Ĥ��ϼ��ȿ�$\omega$���Կ��ط��˶ᤤ���Ȥ˵������ƾ�����, ¾�Τ��
($k_0=0$)��$\mu$�����������Ȥˤ�꾮����. 
ŵ��Ū�ʾ�ʬ��$(\xi_0,k_0) + \mu(\xi_1,k_1)$��
$$
 |(\xi_0,k_0) + \mu (\xi_1,k_1)| \geq \left\{ 
   \begin{array}{lcl}
 K |k|^{-\nu} , & {\rm if} & k_0 \neq 0, \\
 \mu K |k|^{-\nu} , & {\rm if} & k \neq 0
   \end{array}
\right. (\nu = n+1)  \eqno(1.6.1)
$$
�η��ǲ������礭�����Ѥ�뤳�Ȥ��Ǥ��뤳�Ȥ��狼��. 

�Ȥ����Τ�, ��ñ�˳Τ������褦��, $\xi_0,\xi_1$���֤Ǥ�, 
$K, \mu, k$����ꤷ���Ȥ�, ���(1.6.1)��$2K|k|^{-\nu}$�������
�����ʤ��ֶ����ӡ�( resonance strip)�ˤ����ƤΤ��ˤ���. ����ʸ��
������3���Ʊ�ͤ˿ʤ�. 

���δ�ñ��remark���餹���, �ϥߥ�ȥ�ؿ���
$$ \begin{array}{ll}
  H = H_0(p_0) + \mu H_1(p) + H_2(p,q) + \ldots, & H_2 \sim \mu^2
   \end{array}  \eqno(1.6.2)
$$
�η��ξ���, ���ѥȡ��饹�ؤȼ�«�������������뤳�Ȥ��Ǥ���. 

�ʤ��ʤ�, $H_0 + \mu H_1$������ư�ϥߥ�ȥ�ؿ��ȸ��뤳�Ȥ��Ǥ��뤫���
����. �������ѿ�$p',q'$��2��, 4���������������Ѵ��ˤ�ä�Ƴ������. 
$|H_2| \leq M$�Ȳ��ꤹ��. �����, (1.6.1)�����(1.2.3)���, 
(1.4.1)--(1.4.3)��Ƴ���Ȥ���Ʊ��, 
$$ \begin{array}{llll}
 |S| \sim \displaystyle \frac{M}{\mu}, & |p_0 - p'_0| \sim M^2 , & 
|p - p'| \sim \displaystyle \frac{M}{\mu} , & 
|q - q'| \sim \displaystyle \frac{M}{\mu} . 
   \end{array}  \eqno(1.6.3)
$$
�Ǥ��뤳�Ȥ��狼��. �������ѿ��Ǥ�
$$ \begin{array}{ll}
  H = H_0(p'_0) + \mu H_1(p') + H_3(p',q') , 
   \end{array} 
$$
�Ǥ���. ������, 
$$
  |H_3| \sim \displaystyle \frac{M^2}{\mu} .   \eqno(1.6.4)
$$
(����$\sim$�����ˤ���äݤ���̣�ǡ����٤��礭���פ�ɽ��. �����Ǥ�
 $M$��$\mu$��$K\delta^{\nu}$��꤫�ʤ꾮������뤳�Ȥˤ��, 
����$K\delta^{\nu}$��̵�뤷�Ƥ���.)

����, (1.6.4)���, $|H_2| \leq M \sim \mu^2$���Ф���
$|H_3| \sim M^{3/2}$������. ���Τ��Ȥ���, 
$M_{s+1} = M_s^{3/2-\Delta}$, $\Delta >0$�Ȥ���(���Ȥ���
$M_{s+1} = M_s^{4/3}$)�˥塼�ȥ��༡�����Ƴ�����뤳�Ȥ��Ǥ���. 

�ĤäƤ���Τ�, �ϥߥ�ȥ�ؿ�(1.5.1)��(1.6.2)�η��ˤ��뤳�ȤǤ���. 
�������Ϲ�®�ѿ��˴ؤ���ʿ�Ѥ��뤳�ȤǤ��뤬, $n_0=1, n=2$�˾��, 
�����������ǥ���ɬ�פȤ��ʤ�. 

����, $n_0=1$���Ф���, (1.2.3)�ˤϾ�ʬ��Ϥʤ�, �����Ѵ�
$p,q \rightarrow p',q'$����ؿ���ñ��˸���
$$
  S(p'_0,p'_1,q_0,q_1) = \displaystyle 
\frac{1}{\omega}(p'_0,p'_1,q_1) \int_0^{q_0} 
\tilde{H}_1(p'_0,p'_1,q_0,q_1) dq_0 .     \eqno(1.6.5)
$$
�ˤ�äƷ�ޤ�. ��ñ�˼�����褦��, �������ѿ�$p', q'$�ˤ�����(2��򸫤�), 
�ϥߥ�ȥ�ؿ�(1.5.1)��
$$ \begin{array}{ll}
  H_0(p'_0) + \mu \overline{H}_1(p',q'_1) + H_2(p',q') + \ldots, & 
H_2 \sim \mu^2
   \end{array}  \eqno(1.6.6)
$$
�ʤ������. 

�����, $n_0=1, n=2$�ʤ�$n-n_0=1$�Ǥ���, �ϥߥ�ȥ�ؿ���$\overline{H}_1$
�Ȥ���ʿ�ѷ�($p'_0$�ϥѥ�᡼���Ǥ���, $p'_1$��$q'_1$�����ඦ���ѿ��Ǥ�
��)�ϼ�ͳ��1�Ǥ��äƲ���ʬ�Ǥ���. $p'_1, q'_1$�����˺��ѡ����ѿ�
$p''_1,q''_1$��Ƴ������, $\overline{H}_1(p'_0, p'_1; q'_1)$��
$\overline{H}''_1(p'_0, p''_1)$�η��˴Ը���, ����ˤ�ä�(1.6.6)��
(1.6.2)�η��ˤ�äƤ���. 

$n_0=1, n=2$�ξ��˵���Ǥ��������, �ϥߥ�ȥ�ؿ�����ä������Ū��
��ư���뼫ͳ��1�ο�ư�Ϥ���Ǯ�����̤Τդ�ޤ��������, ���оμ����ȥ��
�פˤ����뼧���⡼���Ȥ���Ǯ������������(II�Ϥ򸫤�)�Ǥ���. 

$n>2$�ΤȤ�, (1.6.2)�ؤδԸ�����ǽ�ʤΤ�, ʿ�ѷϤ�����ʬ�����뤤��
�����ʬ�ΤȤ��Ǥ���. 

$n_0>1$�ξ��, �ϥߥ�ȥ�ؿ�(1.5.1)��(1.6.2)�η��شԸ����뤳��, 
���⤷��(1.6.6)�η��ؤȴԸ����뤳�ȤϿ����ʼ¼�Ū�����ȼ��. 
����ϰʲ��Τ褦�ʤ�ΤǤ���. ��®�ѿ���ʿ�Ѥ���Ȥ���, 
���Ѥ��$|H_2| \sim \mu^2$��4��ˤ������ä�������Τ�, 
�����$p_0^*$�Τޤ����ΰ�$\sim \mu$�ˤ����ƤΤߤʤΤǤ���. 

�Ȥ�����, ���ΤȤ�, �ʸ�ζ���ؤȿʤळ�Ȥ��Ǥ��ʤ�. �º�, 
$|H_2| < M$���Ф��Ƹ���(1.6.3)�ˤ�����, ���������θ����ˤ�ä���ʬ��
���Ѥ���, $|q_0 - q'_0| \sim \displaystyle \frac{M}{\mu^2}$������. 
�������ä�, (1.6.4)�ˤ�����, 
$|H_3| \sim \displaystyle \frac{M^2}{\mu^2}$�Ǥ���, $M \sim \mu^2$��
���ˤ�$H_3 \sim H_2$�ȤʤäƤ��ޤ�, �˥塼�ȥ����������ʤ�. 

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\Large \bf \S 7. ���� II}
\vspace{0.3cm}

�嵭�κ�����������ˤϼ��Τ褦�ˤ���Ф褤. �����ξ��(2��, 4��)��
���餿��ƹͤ��褦. �ΰ�$|p - p^*| \sim \mu$�˴ؤ������¤�4��μ��� 1)��
����դ��Ƥ���. ����ˤ��, $H_1^{(1)}$��$|p-p^*|^2$���٤��礭����
�बƳ�������. 

��ư���θ�ŵŪ��ˡ(2��)������, 4��μ���1)��ΤƤ�, 2��(1.2.3)�����
$\omega$��ؿ�
$\omega(p) = \displaystyle \frac{\partial H_0}{\partial p}$�ȼ��. 
�Ȥ��������ΤȤ�, $p$�Τ�����Ȥ�����Ϣ³�ʴؿ��򰷤�ʤ��ƺѤ�褦�ˤ�
�뤿���, 
$$
  S = \displaystyle \sum_{0 < |k| < N} S_k e^{i(k,q)}
$$
���֤���, ��ư���ε����ͭ�¸ĤΥϡ���˥��������¤���. 

�����, $H_1^{(1)}$�����$\mu \widetilde{H}_1 - \mu [\widetilde{H}_1]_N = 
\mu \displaystyle \sum_{|k| \geq N} h_k e^{i(k,q)}$�ʤ���ιब������.
���ιब$\mu^2$���٤��礭���Ǥ��뤿��ˤ�, $N$��
$\displaystyle \ln \frac{1}{\mu}$���٤˼��н�ʬ�Ǥ���(���ϴؿ�
$\widetilde{H}_1$�Υա��ꥨ�����ϴ������Ū�˸�������). 

����줿�ؿ�$S$�������Ѵ�$p,q \rightarrow p',q'$���������. �����Ѵ���, 
$p'$�������ΰ�$G_{KN}$��°���Ƥ���о�����. �ΰ�$G_{KN}$��$H$����������
�����ΰ�$G$����ͭ�¸�($\sim N^n$)�ζ��ĥ�����������������. 
�ΰ�$G_{KN}$��Ǥ� 
$$ \begin{array}{ll}
 |(\omega(p), k)| \geq K|k|^{-\nu} & (0<|k|<N; \nu = n+1) . 
   \end{array} \eqno(1.7.1)
$$
������Ω��. 

(1.7.1)���Ƚ��Ȥ���, �ΰ�$G_{KN}$����ʬ���礭��(magnitude)��
$\displaystyle \left( \ln \frac{1}{\mu} \right)^{-n}$����, �Ĥޤ�
$\sim 1$���٤Ǥ���. �������ä�, 6��κǸ�˸��ڤ�������Ϥ⤦�����ʤ�. 
��®�ѿ��˴ؤ���ʿ�Ѥ���ˤ����ä�remark 2�����Ѥ����, $\sim 1$����
���礭�����ΰ�ˤ�����(1.6.2)����, �������ä�(1.6.3)������. 

remark 2�������ξ��ˤ�ͭ�ѤǤ���. �����Ȥ���, ���ѽ����¬�٤�
���Ѥ��Τ�, �ܥ��(Borel)��monogenic�ؿ���ƻ��Ω��[18]��Ȥ�ɬ�פ�
�ʤ�. ��ʸ[19]�ˤϤ��Υ����ǥ��η���Ū��������Ϳ���Ƥ�����. 
�����Ǥ�, Remark 2�α��Ѥδ���Ū�ʵ���Ū�����㴳�Ҥ٤�. 

$|{\rm Im} \ q| \leq \rho$���Ф���$|f(q)| \leq M$������Ω�Ĥʤ�, 
�ա��ꥨ����λ�;��
$$ \begin{array}{lclcl}
|f(q) - [f(q)]_N| \leq M^2 & {\rm for} & |{\rm Im} \ q| \leq \rho - \gamma
& {\rm if} & N = \displaystyle \frac{1}{\gamma} \ln \frac{1}{M} . 
   \end{array}
$$
�η��Ǹ��Ѥ�뤳�Ȥ��Ǥ���(�ܤ�����V��3.2���3)��򸫤�). 

����, �ϥߥ�ȥ�ؿ�$H_0(p) + H_1(p,q)$���ΰ�$G$��
$|{\rm Im} \ q| \leq \rho$���Ф���������$|H_1| \leq M$���������Ȳ��ꤹ��. 
�����ι���ˡ�ϥѥ�᡼��$\beta, \gamma, \delta, K$�˰�¸����. 
����ʸ�, �������ͤ�ʬ����������, 
$\gamma \gg \delta \gg \beta \gg M$���������Ȥ���. 

remark 2���θ����, 2���4��ε�������, �������ѿ�$p',q'$��Ƴ������
$H = H_0^{(1)}(p') + H_1^{(1)}(p',q')$�Ȥ�, 
�ʲ��Ǿ������������ΰ����$|H_1^{(1)}| \sim M^2$��
���������褦�ˤǤ���. ���ʤ��, 1) $p'$�Ϥ���$\beta$��˵�ȤȤ��
$G_{KN}$��°��((1.7.1)�򸫤�. $p' \in G_{KN} - \beta$�Ƚ�);  
2) $|{\rm Im} \ q| < \rho - \delta - \gamma$. ������
$N = \displaystyle \frac{1}{\gamma} \ln \frac{1}{M}$�Ǥ���, 
$|H_1^{(1)}| \sim M^2$��
$$
  |H_1^{(1)} < \displaystyle \frac{M^2}{\beta^2 \delta^{2\nu}}
    \eqno(1.7.2)
$$
�Τ��ȤǤ���(�ܤ�����, [19]�δ�������򸫤�).

��$\beta, \gamma, \delta >0$��, $H_0, \rho, K$�˰�¸��������ˤ�äƾ夫
��¤���ʳ���Ǥ�դ����֤��Ȥ��Ǥ���. ������, $K$��Ǥ�դǤ���. 
$\kappa>0$��Ϳ����줿�Ȥ�, ��$K, \beta, \gamma, \delta, M$���ä�, 
$|H_1| \leq M$���Ф���, ���ѥȡ��饹���佸�礬������֤�$\kappa$���٤�
��ʬ������褦�ˤ���. 

��ñ��Ƚ��褦��(V�Ϥλ�������򸫤�), �������(admissible)$p'$���ΰ�
$G_{KN} - \beta$��$G$�Ȥ϶����Ӥ����ۤʤ�. �����Ӥ���¬�٤�
$$ \begin{array}{ll}
  K \sigma + \beta N^n & 
(\sigma = \displaystyle \sum_{1 \leq m < N} m^{-2}, \  
N = \displaystyle \frac{1}{\gamma} \ln \frac{1}{M}) . 
   \end{array} \eqno(1.7.3)
$$
�η��ξ�¤����. Ʊ�ͤʾ�¤ϰʸ��³������ˤ����Ƥ�������. ������, 
$\sigma$������, $s$������Ǥ�
$\sigma_s = \displaystyle \sum_{N_{s-1} \leq m < N_1} m^{-2}$��Ȥ�. 
�������ä�$\displaystyle \sum_s \sigma_s < 2$�Ǥ���. 

��$K, \beta_s, \gamma_s, \delta_s, M_s$�ϼ��Τ褦������: 

1) $\displaystyle \sum_s (\gamma_s + \delta_s) < 
\displaystyle \frac{\rho}{2}$(��������Ȥ��٤Ƥζ������ǽ�ˤʤ�), 

2) $M_{s+1} = M_s^2 \beta_s^{-2} \delta_s^{-2\nu} < \displaystyle 
M_s^{3/2}$(��������ȶ���ϼ�«����. (1.7.2)�򸫤�), 

3) $\displaystyle \sum_s (K\sigma_s + \beta_sN_s^n) < \kappa$(���������,
(1.7.3)�ˤ��, ���ѽ�����佸���¬�٤�$\sim \kappa$�ˤʤ�). 

���Τ褦���֤�. 
$$ \begin{array}{lllll}
 \gamma_s = \delta_s^{\alpha}, & \beta_s = \delta_s^3, & 
M_s = \delta_s^T, & 
N_s = \displaystyle \frac{1}{\gamma_s} \ln \frac{1}{M_s} , & 
\delta_{s+1} = \delta_s^{3/2} \\
 & & & & (0 < \alpha \ll 1, \ T \gg 1)  
   \end{array} 
$$
$T$��ʬ�礭����ä�2)�����������褦�ˤ���. $\alpha$��ʬ������
��ä�$\beta_sN_s^n < \delta_s$�Ȥʤ�褦�ˤ���($\delta_1$����ʬ��������
��). ���ΤȤ�, ��ʬ������$\delta_1$���Ф���, 1)�����������. 
�����, ��ʬ������$K$��$\delta_1$���Ф���, 3)�����������. 
$K$�򤳤Τ褦������, ����$\delta_1$��ʬ����������Ǿ�����������٤�
���������褦�ˤ���. 

$M = \delta_1^T$���Ф���, ���ѥȡ��饹�˼�«����������, ������
�ȡ��饹���佸���¬�٤�3)���餹���$\kappa$���٤��礭���Ǥ���.

\newpage
\vspace{0.5cm}
\noindent
{\Large \bf \S 8. ��ͭ��������ؤ�Ŭ��}
\vspace{0.3cm}

Remark 1��2�����դ���, ��ͭ����κ��񤬤��٤ƹ����Ǥ���(5��򸫤�).
������, ���������ؤȰܤ���(���������������, ���Ȥ��л�������ˤ�����
2�Ĥ������μ��̤�������, ���Υ��ץ顼�ʱߤε�ƻ���гѤ⾮�������ʤ�
���������).

�ϥߥ�ȥ�ؿ�������Ū�Ǥ��ä�, �����$p,q$(������, $p = p_0, p_1$; 
$p_0$��$n_0$�����Υ٥��ȥ�, $p_1$��$n_1 = n - n_0$�����Υ٥��ȥ�; 
$q = q_0, q_1$�Ϥ��줾���®�������®���ѿ�(${\rm mod} \ 2 \pi$)�Ǥ���)
����ΰ�$F$�ˤ�����
$$
H(p,q) = H_0(p_0) + \mu H_1(p,q) +  \ldots ,   \eqno(1.8.1)  
$$
�ʤ���򤷤Ƥ���. 

\vspace{0.3cm}
\underline{�ʲ���2�Ĥ��ꤹ��}. 

1) \underline{��ư�α�ǯ��ʬ}
$$
  \overline{H}_1 = \displaystyle (2\pi)^{-n_0} \oint H_1 dq_0
$$
\underline{����®��ư�ΰ���$q_1$�˰�¸���ʤ�}. 
\underline{���ʤ��$\overline{H}_1 = \overline{H}_1(p)$
�Ǥ���}. 

2) \underline{����$n_0$�����$n_1$�α�ư�̤˴ؤ�����ȿ�����ʬ�����ι���}
$$ \begin{array}{ll}
\displaystyle \left| \frac{\partial \omega_0}{\partial p_0} \right|
= \displaystyle \left| \frac{\partial^2 H_0}{\partial p_0^2} \right|
 \not\equiv 0 , & 
\displaystyle \left| \frac{\partial \xi_1}{\partial p_1} \right|
= \displaystyle \left| \frac{\partial^2 \overline{H}_1}{\partial p_1^2} 
\right| \not\equiv 0  
   \end{array}
$$
\underline{�Ϲ���Ū�ˤϥ����ˤʤ�ʤ�}. 

\underline{���ΤȤ�, ��ʬ������$|\mu|$�����$F$�����¿����}
\footnote{���١���¬�٤ΰ�̣��}
\underline{��������Ф���, �ϥ�}\\
\underline{��ȥ�ؿ�(1.8.1)������������������������뱿ư�Ͻ����Ū��
����. ��}\\ 
\underline{���ν��������ı�ư��, ���٤Ƥ�$-\infty < t < +\infty$��
�Ф���, $n_0$�Ĥι�®} \\
\underline{���ȿ�$\omega_0$�����$n_1$�Ĥ���®���ȿ�
$\omega_1 = \mu \xi_1$����Ľ������ư(1.8.2)}
$$ \begin{array}{llll} 
 \dot{p}_0 = 0, & \dot{q}_0 = \omega_0(p_0) = \displaystyle 
\frac{\partial H_0}{\partial p_0}, & \dot{p}_1 = 0, & 
\dot{q}_1 = \mu \xi_1(p) = \displaystyle 
\frac{\partial \overline{H}_1}{\partial p_1} 
   \end{array}  \eqno(1.8.2)
$$
\underline{�˶ᤤ(��(1.8.2)��Ŭ���ʽ������Ȥä�)}.

\vspace{0.3cm}
�����ˤ�, �ޤ�Remark 2(7��)��Ȥäƹ�®�ѿ��˴ؤ���ʿ�Ѳ���Ԥ�
(�ѿ�$p_0,q_0$�˴ؤ���7����Ѵ�$p,q \rightarrow p',q'$��Ԥ�. ������, 
$p_1, q_1$�ϥѥ�᡼���Ȥߤʤ�). ����, ������, �軰����ʲ���Ԥ�. 
���κ�, Remark 1�����Ѥ���(6��). 

�����ξܺ٤ˤ錄�뤳�Ȥ��򤱤�. �Ȥ����Τ�, $n$������($n>3$��
Ŭ�Ѥ��뤿��ˤϤ�äȰ��̤η��(IV�ϻ���)��ɬ�פ�����Ǥ���.
���ΰ��̷�̤�, �����ǹͻ��������ð۽���ξ��򤤤���˸½����
��ӤĤ��ư��Ѥ��뤫��Ǥ���. 

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\Large \bf \S 9. �˸½���. �С����դ��Ѵ�}
\vspace{0.3cm}

����ʬ�Ϥ�����֤��ؾ���ʬ�䤹��$n$�����ȡ��饹$p = ����$�δ֤�
�ֶ˸�Ū�ʾ��פȤ���, �ġ��Υȡ��饹�μ���$k < n$�ξ�礬���Ф��Ф���. 
��Ȥ���, �ϥߥ�ȥ�ؿ���$H = \displaystyle \frac{x^2 + \dot{x}^2}{2}$
�Ȥ��뿶ư�Ϥ�ͤ��褦. ���פ�$x,\dot{x}$ʿ�̤�Ʊ����($n=1$)�Ǥ���. 
ʿ�����ΰ��֤�$x=\dot{x}=0$$(k=0)$��Ϳ������. 

���Τ褦�ʾ��, �ֶ˸½���פȤ���([5]�򸫤�). �˸½���Ȥ���2�Ĥ�
��礬��ˤ��Ф��и�����(��ư��!): ʿ�����ΰ���($k=0$)�ȼ�����ư
($k=1$)�Ǥ���. �����ξ���Birkhoff[3]���ܤ������椷��. ��η�̤�
�ʲ��ε��������Ѥ���. ������[3]�����[8]�򸫤�. 

��$p=q=0$���ϥߥ�ȥ�ؿ�$H(p,q)$����ķϤ�ʿ�����ΰ��֤Ǥ���Ȥ���. 
�ϥߥ�ȥ�ؿ��ϸ����ζ�˵��, $p=p_1, \ldots, p_n, q=q_1, \ldots, q_n$
�ζҵ��
$$
H = H_2(p,q) + H_3(p,q) + H_4 + \ldots ,   \eqno(1.9.1)  
$$
�Ȥ���Ÿ�������($H_m$�ϼ���$m$�ι�Ǥ���).

�ϥߥ�ȥ�ؿ���$H_2$�Ȥ��������������������Ǥ��뤫�����ʬ�Ǥ���. 
�ϥߥ�ȥ�ؿ���$H_2$�Ȥ��������Ϥ�ʿ�����ϰ���Ǥ���Ȳ��ꤹ��(������
\underline{�ʱ߷�}). ���ΤȤ�, ���������Ѵ�$p,q \rightarrow p',q'$��
���ä�, $H_2$��
$$ \begin{array}{lcl}
 H_2(p,q) = (\lambda, \tau), & ������ & \tau= \tau_1. \ldots, \tau_n, \ 
2\tau_1 = {p'_i}^{2} + {q'_i}^{2} ;
   \end{array}
$$
�η��˴Ը�����. ������$\lambda = \lambda_1, \ldots, \lambda_n$�ϥϥߥ��
��ؿ���$H_2$�Ȥ���������ư�Ϥδ��ܼ��ȿ����ȤǤ���. 
���ηϤǤ�, ����$n$�����ȡ��饹��������$\tau= ���� > 0$��Ϳ������. 
���ȿ�$\lambda$������Ū����Ω�ʤ�, ��ư�Ͻ����Ū�Ǥ���, ���פϤ�����
�ȡ��饹�򤤤���Ȥ�����̩������. ���ȿ�$\lambda$�ϤɤΥȡ��饹��Ǥ�
Ʊ���Ǥ���. ���ѡ����ѿ�$\tau, \varphi$��$p', q'$�ȼ�
$$ \begin{array}{ll}
 p = \sqrt{2\tau} \cos \varphi , & q = \sqrt{2\tau} \sin \varphi .
   \end{array}  \eqno(1.9.2)
$$
�Ƿ�Ф������˺�ɸ�Ǥ���. 

�����ξ����ʶ�˵�ˤ�����, (1.9.1)���ι�$H_3, H_4, \ldots$��$H_2$����٤�
������. ��ư����ȯ�ۤ˽��ä�, Ŭ���������Ѵ�
$p'' = p' + \ldots, q'' = q' + \ldots$�ˤ�ä�$H_3$����¾��õ��褦
���Ϥ��Ƥߤ�. ��ʬ��$(\lambda, k)$��������Ǥ�����. �����, �׻���
����, $H_3$�Ͼõ�Ǥ��뤱��ɤ�$H_4$�ΰ����ȻĤ�ζ�������ΰ������Ĥ�. 
��������, Ǥ�դ�����$2s \geq 3$���Ф���, (1.9.1)�Ϥ�����������(1.9.4)
�˴Ը�����뤳�Ȥ��狼��. 

\vspace{0.3cm} 
$$ \begin{array}{lcl}
 (\lambda, k) \neq 0 & {\rm for} & |k| = |k_1| + \ldots + |k_n| 
\leq 2s - 1 .
   \end{array}  \eqno(1.9.3)_s
$$
\underline{���ꤹ��}. 

\underline{���ΤȤ�, �����ζ�˵�Ǽ�«����ҵ��}
\footnote{¿�༰���⤷��ʤ�}
\underline{�����Ѵ�$p^{(s)} = p' + \ldots, q^{(s)} = q'$}\\
\underline{$ + \ldots$��¸�ߤ���, (1.9.1)��$p^{(s)}, q^{(s)}$�ˤ��}
$$
  H(p,q) = \overline{H}^{(s)}(\tau^{(s)}) + 
\widetilde{H}^{(s)}(p^{(s)},q^{(s)}) ,   \eqno(1.9.4)
$$
\underline{�ʤ����ɽ�����. ������}
$$ \begin{array}{ll}
 2\tau_i^{(s)} = (p_i^{(s)})^2 + (q_i^{(s)})^2 , & 
\overline{H}^{(s)} = \displaystyle (\lambda, \tau^{(s)}) + 
\sum_{i,j} \lambda_{ij} \tau_i^{(s)} \tau_j^{(s)} + \ldots 
   \end{array} 
$$
\underline{��$\tau_i^s$��¿�༰($\lambda_{ji} = \lambda_{ij}$)�Ǥ���, 
$\widetilde{H}^{(s)} = O(|\tau^{(s)}|^s)$��$p^{(s)}, q^{(s)}$�˴ؤ���
��«��}\\
\underline{����Ǥ��ä�, ����$2s$�ιफ��Ϥޤ�. ¿�༰
$\overline{H}^{(s)}$�η���$\lambda_i, \lambda_{ij}, \ldots$��$s$�˰�} \\
\underline{¸���ʤ���, (1.9.1)��(1.9.4)�˴Ը�������ˡ�ˤ��¸���ʤ�. 
������, $p,q$��}\\
\underline{�����Ѵ��˴ؤ���ؿ�(1.9.4)�������̤Ǥ���}. 

\vspace{0.3cm}
�ϥߥ�ȥ�ؿ���$\overline{H}^{(s)}$�Ȥ���Ϥϲ���ʬ�Ǥ���. ���ѡ����ѿ�
��$p^{(s)}, q^{(s)}$�ȼ�(1.9.2)�Ƿ�Ф������˺�ɸ
$\tau^{(s)}, \varphi^{(s)}$�Ǥ���. ���ѥȡ��饹��������
$\tau^{(s)}=����$��Ϳ������. �б�������ȿ�
$\lambda_i^{(s)} = \lambda_i + 2 \sum_j \lambda_{ij} \tau_j^{s}$��
����Ū�˸�����, �ȡ��饹��˰ۤʤ�. ����
$$ \begin{array}{ll}
 |2\lambda_{ij}| = \displaystyle 
\left| \frac{\partial^2 \overline{H}}{\partial \tau^2} \right|_0 \neq 0, & 
\left| 
      \begin{array}{cc}
        2\lambda_{ij} & \lambda_i \\
          \lambda_j   &    0
      \end{array} 
\right| =   
\left| 
      \begin{array}{cc} 
\displaystyle  
        \frac{\partial^2 \overline{H}}{\partial \tau^2} & 
\displaystyle  
                 \frac{\partial \overline{H}}{\partial \tau} \\
\displaystyle  
        \frac{\partial \overline{H}}{\partial \tau}  &    0
      \end{array} 
\right| \neq 0 
  \end{array}  \eqno(1.9.5)_{1,2}
$$
(������$n$�ޤ���$n+1$)�Τɤ줫�ҤȤĤ������Ǥʤ����, (1.9.1)��
{\bf �����ʱ߷�}�Ȥ�Ф��. 

������(1.9.4)�ˤ��, �����ξ�����($\sim \varepsilon$)��˵�˻Ϥޤ뵰��
�Τդ�ޤ���Ĵ�٤뤳�Ȥ��Ǥ���. $t \sim \varepsilon^{-s}$���Ф���, 
���פ�, �ϥߥ�ȥ�ؿ���$\overline{H}^{(s)}$�Ȥ������ʬ�Ϥε��פ�
�᤯�ˤȤɤޤ�. ��Ԥε��פ�$-\infty < t < +\infty$���٤Ƥ��Ф���
�����ζ�˵�ˤȤɤޤ�. ������, $k \neq 0$���Ф���$(\lambda, k) \neq 0$
�ʤ�, ������$\varepsilon$��˵�����ȯ���뵰�פ�, ���ʤ��Ȥ����
$C_s\varepsilon^{-s}$�δ�, �����ζ᤯�ˤȤɤޤ�. ������$\varepsilon$��
��ʬ�˾��������, $s$��Ǥ�դ��礭��. 

������, 2������դ����褦��, �����
$p^{(s)} = p' + \ldots, q^{(s)} = q' + \ldots$��$s \rightarrow \infty$
�ΤȤ�ȯ������. �������ä�, ��$0,0$�ΰ�������(1.9.4)����ϽФʤ�. 

��ͳ��$n$����¸�Ϥμ�����ư�ζ�˵�θ���[3]��, ��ͳ��$n-1$�ηϤ�
ʿ�����ΰ��֤θ���˴Ը��Ǥ���. ������, ���ξ��, �ϥߥ�ȥ�ؿ�
(1.9.1)�ϻ��֤˼���Ū�˰�¸����. ���ʤ��
$H(p,q; t + 2\pi) = H(p,q; t)$. (1.9.3)������, $|k| \leq 2s-1$��
�Ф���$(\lambda, k) \neq k_0$, $k_0 = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$
���׵᤹���, �С������Ѵ�$p,q \rightarrow p^{(s)}, q^{(s)}$�����ä�, 
$H(p, q; t)$��(1.9.4)�η��˴Ը�����. 
�ؿ�$p^{(s)}(p,q), q^{(s)}(p,q)$��$\tilde{H}^{(s)}(p^{(s)}, q^{(s)})$
�Ϥ��ξ���Ϥ�$t$�˰�¸����(����$2\pi$).

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\Large \bf \S 10. �ϥߥ�ȥ�Ϥ�ʿ�����ΰ�����}

\vspace{0.3cm}
�����ʱ߷�����¸�Ϥ�ʿ�����ΰ������ϤϤ�������Ԥ���ʸ[14]�ˤ�ä�, 
��ͳ��2�ξ���, ����(1.9.3)$_{\infty}$�����(1.9.5)$_2$�β���
�������줿. A.M. Leontovich[23]�Ϥ��η�̤�ͭ�����������Ŭ�Ѥ�, 
�饰��󥸥�μ����򤬰���Ǥ��뤳�Ȥ��������. 

����J.Moser��, $\lambda_1/\lambda_2$��̵������(���(1.9.3)$_{\infty}$)
�����˾��(1.9.3)$_{2 \frac{1}{2}}$����н�ʬ�Ǥ��뤳��, ���ʤ��, 
$|k_1| + |k_2| \leq 4$���Ф���$k_1 \lambda_1 + k_2 \lambda_2 \neq 0$
����Ф������Ȥ�ѻ�����. ��ͳ�٤�2����礭���ʤ�, ��������̤����
����. ��������Ƥ���Τ���¿���ν�������Ф��ƤΤߤǤ���. 

Ʊ�ͤʷ�̤�����Ϥξ���(���Ԥˤ�ä�[14], ������Moser�ˤ�ä�[25])
�����Ƥ���. 2���ȿ�����, ���ʤ��, ��ͳ��2�μ���Ϥμ�����ư�ξ���
��ͳ��1�ǥϥߥ�ȥ�ؿ��������Ѳ�����Ϥ�ʿ�����ξ��, �Ǥϰ�������
�������줿. 

�����Ǥϰ����ʱ߷��Υϥߥ�ȥ�Ϥ�ʿ�����ΰ������ξ�����, 
$|k_1| + |k_2| \leq 4$���Ф���$k_1 \lambda_1 + k_2 \lambda_2 \neq 0$
((1.9.3)$_{2 \frac{1}{2}}$�򸫤�)�Ȥ�������β��ǽҤ٤�. 

9��˱�����, �ϥߥ�ȥ�ؿ���
$$ \begin{array}{lcll} 
 H = H_0(\tau) + H_1(\tau,\varphi), & ������ & 
H_0(\tau) = (\lambda,\tau) + \sum \lambda_{ij}\tau_i\tau_j, & 
|H_1| \leq C |\tau|^{2 \frac{1}{2}} .
   \end{array}  \eqno(1.10.1)
$$
�ʤ���򤷤Ƥ��뤳�Ȥ��������Ǥ���((1.9.4)�򸫤�). 
������$H_1(\tau, \varphi)$��$\tau, \varphi$�˴ؤ��ΰ�
$|\tau_i - \varepsilon| < \varepsilon, \ |{\rm Im} \ \varphi| < 1$��
�����Ʋ���Ū�Ǥ���. ���(1.9.5)$_1$������Ω�Ĥ��Ȥ�ʤˤ����褺���ꤹ
��. �����ΰ�$|\tau - \varepsilon| < \varepsilon$���$\tau$��ư������, 
���ȿ�$\lambda(\tau) = \displaystyle \frac{\partial H_0}{\partial \tau}$
����$\lambda=\lambda(0)$�Τޤ���$\varepsilon$���٤��礭�����ΰ��
������. 

�Ȥ�������ñ�˵��Ť��褦��, 
\underline{$\varepsilon$���٤��礭�����ΰ������$\lambda$����¿����}
$$ \begin{array}{ll}
 |(\lambda,k)| \geq K \varepsilon |k|^{-\nu} & 
(|k| > 0, \ \nu = n+1)
   \end{array}  \eqno(1.10.2)
$$
\underline{�η���ʬ��$(\lambda, k)$���Ф���}, 
\underline{Ŭ����$K>0$����Ȳ��¤��Ѥ�뤳�Ȥ��Ǥ�}\\
\underline{��}. 

�Ȥ����Τ�, ��ñ�ˤ狼��褦��, ��$k$�ζ����Ӥ�¬�٤�, ���޹ͤ��Ƥ���
�ΰ��¬�٤�$K|k|^{-\nu}$���٤���ʬ�������뤫��Ǥ���. �ʲ��ε�����
3���Ʊ��ƻ�ڤǿʤ�. 

����remark���, ��ʬ������($\varepsilon$�˰�¸���ʤ�)$K>0$���Ф���, 
��ʬ��$(\lambda(\tau), k)$��, �ΰ�
$G: |\tau_i - \varepsilon| < \varepsilon$�����¿����$\tau$���Ф��Ʋ���
(1.10.2)�����. �����η�����$\lambda = \lambda(0)$�λ���Ū������
�ˤϰͤ�ʤ�. 

������7��ι���ˡ���ΰ�$G$��δؿ�(1.10.1)��Ŭ�Ѥ��褦. 
$\beta = \delta^3 \varepsilon$���֤�. $|H_1| \leq M$�Ȥ��褦. 
��ʬ������$\delta$���Ф���, �ΰ�$G_{\varepsilon K,N} - \beta$���
(1.7.2)���
$$
  |H_1^{(1)}(\tau',\varphi')| < \displaystyle 
\frac{M^2}{\varepsilon^2 \delta^{2\nu+6}} . 
$$
������. $M < C \varepsilon^{5/2}, M < \delta^T$�ʤ�, ��ʬ�礭��$T$�����
��ʬ������$\delta$���Ф���, ������θ������, 
$$ \begin{array}{ll}
  |H_1^{(1)}(\tau',\varphi')| < \displaystyle 
   M^{11/10} & ({\rm ���̤� \  < M^{6/5-\Delta}, \ \Delta > 0})
   \end{array} 
$$
����������. �������ä�,
$$ \begin{array}{lllll}
 \gamma_s = \delta_s^{\alpha}, & \beta_s = \delta_s^3 \varepsilon, & 
M_s = \delta_s^T, & 
N_s = \displaystyle \frac{1}{\gamma_s} \ln \frac{1}{M_s} , & 
\delta_{s+1} = \delta_s^{11/10}  
   \end{array} 
$$
���֤�. ��ʬ������$\alpha$, ��ʬ������$K$, ��ʬ�礭��$T$, ��ʬ������
$\delta_1$�����$\varepsilon < \delta_1^R = \delta_1^{2/5T}$���Ф���, 
7��ǹ�����������ϼ�«����. ������$\varepsilon$��˵�ˤ����ƽ����
��ư�ξ�����ѥȡ��饹������. 

���λ����ޤ�, �����ε�����Ǥ�դμ�ͳ��$n$���Ф����������ä�. 
������, $n=2$�ʤ��, ���Ĥ���2�����ȡ��饹�Ϥ����ޤ�3����¿����
$H=����$��ʬ�䤹��. ������˵�Τ�����¿���ξ�����ѥȡ��饹������ʤ�, 
�����Ϥ���������ʿ�����Ǥ���. 

�����ι���ˡ��$H=����$���Ϳ����줿�ȡ��饹��¸�ߤ���Τ�
��$\displaystyle \frac{\lambda_1(\tau)}{\lambda_2(\tau)}$����
$H_0(\tau)=0$�˱�ä��Ѳ�����Ȥ��Ǥ���. ��ͳ��$n$�ξ��, �����
���
$$
\displaystyle 
\frac{ 
        D \left( \displaystyle 
                 \frac{\lambda_1}{\lambda_n}, \ldots, 
                 \frac{\lambda_{n-1}}{\lambda_n} 
          \right) 
     }
       { D(\tau_1, \ldots, \tau_{n-1}) } \neq 0   \eqno(1.10.3)
$$
�ˤ�ä�ɽ�����(������$\tau_n$�ϼ�$H_0(\tau)=0$���, 
$\tau_1, \ldots, \tau_{n-1}$�ˤ�ä�ɽ�����).

��(1.10.3)���оΤʷ��ˤ����(1.9.5)$_2$�η��ˤʤ�. ������, $n=2$��
���ϲ���(1.9.5)$_2$�����(1.9.3)$_{2\frac{1}{2}}$������������Ф�. 
����(1.9.5)$_2$�Ϥ�äȼ��뤳�Ȥ��Ǥ���([14]�򸫤�)
\footnote{(1.9.3)�����˼ΤƵ�뤳�Ȥ��Ǥ��ʤ��㤬�Τ��Ƥ���([4]��
��).}.

$n \geq 2$�ξ��, ����줿�ȡ��饹��ʿ������$\varepsilon$��˵���礭��
��ʬ������. ���Τ��Ȥ�(1.7.3)�η��θ��Ѥ���Ȥäƾ��������. 
���θ��Ѥ��϶��ĥ�����$G \backslash (G_{\varepsilon K, N} - \beta)$��
�ΰ�$G$���Τ�¬�٤����ɽ������. �ܤ���������IV�ϤǽҤ٤�(�����Ǥ�
$n_0=0$���֤��٤�). ����Ū���ص��Τ����, 
�����ϲ���(1.9.3)$_{3 \frac{1}{2}}$
(�Ĥޤ�$|k| \leq 6$���Ф���$(\lambda, k) \neq 0$)�����(1.9.5)$_1$�β�
�ǹԤ�. 

���̤�¿�����ʱߤξ��ΰ�������̤���Ǥ���. ����ñ���̤��������, 
4�������֤��餽�켫�Ȥ���ؤ������������ư���ΰ���������ꤹ�뤳�Ȥ�
����. 

%I�� �����





