\newpage
\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\huge \bf II ��. ��Ǯ������}
\end{center}

���ξϤǤ�, ��Ǯ�����̤γ�ǰ(����Ͻ��פ��Ķ�̣�����ˤ⤫����餺���ؼ�
���ۤȤ��Ĵ�٤Ƥ��ʤ��ä�)�ˤĤ��ƹͤ���. ��ͳ��1�ο�ư�ϤΥѥ�᡼����
������������ư�������̵�»��֤ˤ錄����Ǯ�����̤��Ѳ���Ĵ�٤�. 
\underline{�Ϥ��������ʤ�, ������ư�Ϥ��٤Ƥ�$-\infty <$}
\underline{$t < + \infty$�ˤ錄�äƾ�����}, ���Ȥ��狼�ä�([16]�򸫤�).

1��Ǥ���Ǯ�����̤ȱʹ���Ǯ�����̤��������. 2��Ǥ�, ���Ѥ��ʹ����Ѥ�
���뤳�Ȥξ�����I��8��η��ΰ��������شԸ�����. 3��Ǥϼ�ͳ��2����¸��
���Ф��Ƥ�����μ�³���򳵴Ѥ���. ����줿��̤�4��ˤ����Ƽ��оμ���
��β���γ�Ҥα�ư�θ���˱��Ѥ���. \underline{��Ǯ����ȥ�åפ�γ�Ҥ�
�ʱ�˰���α��}\\
\underline{���֤����Ȥ��Ǥ���}���Ȥ򼨤���. �ǽ����¿�����ξ��
�Τ����Ĥ������դ�Ҥ٤�. 

\vspace{0.4cm}
\noindent
{\Large \bf \S 1. ��Ǯ�����̤γ�ǰ}

\vspace{0.3cm}
������Ǥ�, ��Ǯ�����̤γ�ǰ�ο���Ū����Τ����β�ǽ�ʤҤȤĤ�Ϳ����. 
��ͳ��1�������������������ư�Ϥˤ�������Ǯ�����̤���ư�����Ѥ�
������������. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1. ��Ǯ�Ѳ�.}
�ѥ�᡼�����Ѳ��������ϳط�, ���Ȥ��в���Ĺ�ο���Ҥ�ͤ��褦. 
(�Ϥα�ư����٤�)���ˤ�ä���ѥ�᡼�����Ѥ��Ȥ�, �ۤʤ�����Ū����
��������. ����Ҥ���Ǥ�, ��ư������(�˸¤Ǥ�)Ĺ���δؿ��Ǥ��뤳�Ȥ���
����. Ĺ��������Ŭ����ˡ§�ˤ������äƽ�ʬ��ä����Ѳ�����ʤ�, Ĺ������
��Ĺ������뤿�Ӥ�, ��ư�ο����������ͤ����. 

�ѥ�᡼���Τ��Τ褦�ʴ������Ѳ�����ǮŪ�Ȥ�Ф��. ��Ǯ�Ѳ��γ�ǰ��
ʪ���ؼԤˤ�äƤ��ۣ��ʷ���Ƴ�����줿. �ϤΥѥ�᡼�����Ѥ��Ƥ���
��ʪ�ˤϤ����Ѳ��������ʤ�(����ʤ����, �ѥ�᡼����Ϥα�ư��Ʊ������
�褦���Ѥ��ƷϤ��ɤ餻�뤳�Ȥ��Ǥ���)�����ꤵ�줿. �����������Ф���
����Ū���꼰����������̯�Ǥ���. 

[26]�ˤ������ä�, ���κ������, $\lambda = f(\mu t)$�η��Υѥ�᡼��
$\lambda$����®�Ѳ���ͤ���. ������$f(x)$�ϸ��ꤷ����餫�ʴؿ��Ǥ���, 
$\mu$�����˾����ʿ��Ǥ���. �������򼺤����Ȥʤ�, ��������٤����֡�
$\lambda t$���ä����Ѳ�����ѥ�᡼���ȹͤ��뤳�Ȥ��Ǥ�, 
�ϥߥ�ȥ�ؿ�$H(p,q; \lambda)$����ꤹ��. 
���˾�����$\mu$��ͤ�, �礭������ɤ�ͭ�¤ʻ��ֳִ�
$t \sim \displaystyle \frac{1}{\mu}$�δ֤ηϤα�ư������ˤ��褦. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 2. ��Ǯ������.}
�ϥߥ�ȥ�ؿ���
$$ \begin{array}{ll}
 H(p,q; \lambda) & (p=p_1, \ldots, p_n; \ q= q_1, \ldots, q_n; \ 
\lambda = \mu t)
   \end{array}
$$
�Ȥ����ϳطϤ�ͤ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���.} �ؿ�$J(p, q; \lambda)$���Ϥ���Ǯ�����̤ȸ�����Τ�, 
������$\mu$���Ф���
$$
  J(t) = J[p(t), q(t); \lambda(t)]
$$
��$t \sim \displaystyle \frac{1}{\mu}$�δ֤˾��������Ѳ����ʤ��Ȥ��Ǥ���
(������, $\lambda$��$H$���Ѳ���1���٤Ǥ���). 

�⤦�����ܤ���������, $J$��\underline{��Ǯ������}�Ǥ���Τ�, Ǥ�դ�
$\kappa >0$���Ф���$\mu_0>0$�򸫤Ĥ��뤳�Ȥ��Ǥ�, $0 < \mu < \mu_0$
�ʤ�ж��$0 < t < \displaystyle \frac{1}{\mu}$�Τ��٤Ƥ�$t$���Ф���
$$
  |J(t) - J(0)| < \kappa .
$$
�ˤǤ���Ȥ��Ǥ���. 

���餫��, ������¸(����)�̤Ϥɤ����Ǯ�����̤Ǥ���. �����Ǥʤ����ʲ���
����. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
I. ��ͳ��1�ǥϥߥ�ȥ�ؿ���$H(p,q; \lambda)$�Ȥ��뿶ư�Ϥ�\\
�ͤ��褦. �ѥ�᡼��$\lambda$���ͤ���ꤹ�����ʿ��$p,q$���, \\
���ͥ륮���Υ�٥����²$H(p,q; \lambda)=����$���񤱤�. \\
��$p_0,q_0$���̤�����Ϥ����ΰ��Ϥ�. �������Ѥ�\\
$2\pi I(p_0, q_0; \lambda)$�Ƚ�. 
$I$����Ǯ�����̤Ǥ��뤳�Ȥ�\\
�������Ȥ��Ǥ���[5],[6]. ��$I$��
\underline{�����ѿ�}���뤤��\\
\underline{����}�Ȥ�Ф��. 

���ؿ����
$$ 
  H = \displaystyle \frac{p^2 + \omega^2 q^2}{2} , 
\eqno ��8
$$
�ξ��, $I = \displaystyle \frac{H}{\omega}$�Ǥ���. ������, 
$\omega = \omega(\lambda)$�Ͽ�ư���ȿ��Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
II. �������Ȥ��Ƥ�ä���ư��2���ʿ��ʿ�̤δ֤δ���������α�ư��
�ͤ���(8��). ʿ�̴֤ε�Υ�ȵ��®�٤��Ѥ���Ǯ�����̤Ǥ���. ����Ͻ���Ū
�ʤ�����Ǥ⼨�����Ȥ��Ǥ���([26]�򸫤�). ��II����I�ζ˸�Ū�ʾ���
�ͤ��뤳�Ȥ�Ǥ���.

\vspace{0.3cm}
\noindent
III. �⤦�ҤȤĤ����, �������β���γ�Ҥα�ư��ͤ���������. ��$B$��
����������Ū�ˤ����Ū�ˤ����ʤ�, γ�Ҥ������Τޤ��α����˱�ä�
ư��. γ�Ҥ�®��$v$����ʿ�Ԥ���ʬ�ȿ�ľ����ʬ��ʬ����:
$$
  v = v_{||} + v_{\bot} . 
$$

��$B(\lambda)$����ä����Ѳ�����Ȥ�, �ּ����⡼���ȡ�
$$
  I = \displaystyle \frac{W_{\bot}}{B} ,
$$
���礭������Ǯ�����̤Ǥ��뤳�Ȥ򼨤����Ȥ��Ǥ���([28]�򸫤�). ������
$W_{\bot} = \displaystyle \frac{v_{\bot}^2}{2}$�ϲ���Ū�����α�ư���ͥ�
�����Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 3. �ʹ���Ǯ������.}
��Ǯ������$I$�ϻ���$t \sim \displaystyle \frac{1}{\mu}$�δ�, ��������
�Ѳ����ʤ�. ������, ̵�»��ַФƤ�, �礭���Ѳ�������. �����$I$�ξ�����
�Ѳ������Ѥ����ǽ���ȴط�����. ���Ȥ���, ������ư��(�֤��)
$$ \begin{array}{ll}
  \ddot{x} = - \omega^2 (1 + \alpha \cos \mu t) x  & 
(\alpha \ll 1)
   \end{array}
$$
��ͤ��Ƥߤ褦. �Τ��Ƥ���褦��([6]), ������(���ʤ��, 
$\mu \approx \displaystyle \frac{2\omega}{k}, \ k=1,2, \ldots$)�ΤȤ���
�ѥ��ȥ�å����Ĥ���ǽ�Ǥ���. �Ĥޤ�, $t \rightarrow \infty$�ΤȤ�
$I(t) \rightarrow \infty$�Ȥʤ�. ���Τ褦�ʤ֤�󤳤�, �ѥ�᡼��$\mu$
���Ѳ���Ǥ�դ˾��������Ǥ���������. 

������, \underline{��ͳ��1����������ư�ϤΥϥߥ�ȥ�ؿ�
$H(p, q; \lambda)$����ä������}\\
\underline{Ū����ư�����Ȥ�}, \underline{��Ǯ�����̤ϱʱ����¸�����}.
\underline{���ʤ��}, \underline{Ǥ�դ�$\kappa > 0$��}\\
\underline{�Ф���, $\mu_0(\kappa)>0$�򸫤Ĥ��뤳�Ȥ��Ǥ���}, 
\underline{$|\mu| < \mu_0$�ʤ�}, 
\underline{���٤Ƥ�$-\infty < t <$} \\
\underline{$+\infty$���Ф���}
$$
  |I(t) - I(0)| < \kappa ,
$$
\underline{�Ȥ��뤳�Ȥ��Ǥ���}. ���μ�ĥ��2��Ǿ�������. 

�����Ϥ��㳰�Ǥ���. �Ȥ����Τ�, ���ο�ư�μ��ȿ��������˰ͤ�ʤ�����Ǥ�
��. �������ϤǤϤ���Ȱ�ä�, �����������ȼ��ȿ����Ѥ��, ��ư�����礹��
���Ȥ��Ǥ��ʤ��ʤ�. �ʤ��ʤ�, ���ľ��
$\mu \approx \displaystyle \frac{2\omega}{k}$���ˤ�뤫��Ǥ���. 

\newpage
%\vspace{0.5cm}
\noindent
{\Large \bf \S 2. �ϥߥ�ȥ�ؿ��δ����ʼ����Ѳ��ˤȤ�ʤ��ʹ���Ǯ������}
\vspace{0.3cm}

������Ǥ�, ��ͳ��1�Ǥ��ä�, �٤�����$\lambda t$�˼���Ū�˰�¸����
����Ū�ʥϥߥ�ȥ�ؿ�$H(p, q; \lambda)$: 
$$
  H(p,q; \lambda + 2\pi) = H(p,q; \lambda) . 
$$
�������������ư�Ϥ�ͤ���. ����$I$���ʹ���Ǯ�����̤Ǥ��뤳�Ȥ��������. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1. ��¸���.}
�ޤ�����äݤ������������ͤ���. $\lambda=����$�ǷϤϼ���Ǥ���Ȥ���. 
��ͳ��1����¸�ϤȤ���, ���ηϤϲ���ʬ�Ǥ���. �Ϥμ�����ư�򵭽Ҥ���
�Τ�, ���ѡ����ѿ�$I, \omega$��Ȥ��Τ��Թ�褤. �������ѿ�������
�Ѵ�
$$ \begin{array}{ll}
  p = \displaystyle \frac{\partial S}{\partial q} , &
  w = \displaystyle \frac{\partial S}{\partial I} 
   \end{array}  \eqno(2.2.1)
$$
�ˤ�ä�Ƴ�������. ��ؿ���
$$
  S(I,q) = \displaystyle \int_{H=h}^q p dq ,   \eqno(2.2.2)
$$
�Ǥ���. ������, $h = H_0(I)$��
$$
  I(h) = \displaystyle \frac{1}{2\pi} \oint_{H=h} p dq , \eqno(2.2.3)
$$
�εմؿ��Ǥ���, (2.2.2)�����(2.2.3)���$p$��, ������$H(p,q) = h$
������������$p(h,q)$��ɽ��. 

��(2.2.1)��, �Ƹ��ꤷ��$\lambda$���ͤ��Ф���, �����Ѵ�
$p, q \rightarrow I, w$���������. $I, w$�λ����Ѳ��ϥϥߥ��
��ؿ���$H_0(I)$�Ȥ��������������ˤ����ꤵ���. �������ä�, ��$I$��
��¸����, �߼�$I = ����$��γ��ٺ�ɸ$w$�ϼ��ȿ�
$$
  \dot{w} = \omega(I) = \displaystyle 
\frac{\partial H_0}{\partial I} .    \eqno(2.2.4)
$$
�ǰ��ͤ��Ѳ�����. ���٤Ƥδؿ�$H(p,q; \lambda), \ S(I,q;\lambda)$, 
$H_0(I; \lambda), w(I; \lambda)$�ϥѥ�᡼��$\lambda$�˰�¸����. 
���ΰ�¸����(2.2.1)--(2.2.4)�ǤϤ����餵�ޤ˽񤫤ʤ��ä�. 
��¸����Ǥ�, �ѥ�᡼��$\lambda$���ͤϸ��ꤵ���. �����$t \sim 1$
�δ�Ŭ�Ѳ�ǽ�Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 2. ��Ǯ���.}
1���Ƴ���������ѡ��Ѻ�ɸ�ϥѥ�᡼��$\lambda$�������Ѳ��������
�����Ǥ���. �Ѵ�$p, q \rightarrow I, w$������Ǥ��뤬, �ѥ�᡼��
$\lambda$�˰�¸���뤫��, ����$t$�˰�¸����. ������, $I, w$�λ���
�Ѳ��ϥϥߥ�ȥ�ؿ���
$$
  H(I, w; \lambda) = H_0(I) + \mu H_1(I,w; \lambda) ,   \eqno(2.2.5)
$$
�Ȥ��������������ˤ�äƷ��ꤵ���. ������
$H_1 = \displaystyle \frac{\partial S}{\partial \lambda}$��1���ؿ���
���ä�, $w$��$\lambda$�˴ؤ�����$2\pi$�Ǥ���. 

��ŵ��ư��(I�Ϥ򸫤�)�ˤ���, �����$p, q; \lambda$��\\
�����ưʲ��Τ褦��������������. \\
��ɸ$\lambda$��$2\pi$�ۤʤ�����Ʊ��뤹��. \\
�����, ������$I=����$��2����\\
�ȡ��饹�����. ���Υȡ��饹\\
��γ��ٺ�ɸ$w$��$\lambda$��\\
����, ���٤ȸƤ֤��Ȥˤ���(��9).

��¸���$(\mu=0)$�ˤ����Ƥ�, \\
�ȡ��饹�γ����ϻҸ���$\lambda=����$��\\
��ä�, ���٤˰�¸�����®��$\omega(I; \lambda)$\\
��ư��. $\mu \neq 0$�Ǥ�, �Ҹ������ڤ�\\
��ä��ꤷ����ư$(\lambda=\mu)$��
�ä�ä�, ��ư��2���ȿ��ˤʤ�. ������, ��ư���ζ����Ǥ�, ����������
�ȡ��饹$I=����$�ξ�ˤȤɤޤ�. ���ζ������Ǯ�Ȥ�Ф��. 
����ʤ��狼��褦��, ���α�ư�ϻ���$t \sim \displaystyle \frac{1}{\mu}$
�δ���Ǯ����˶ᤤ. �����$I$����Ǯ���������������줿. 

�����������Ϥˤ���$I$��\underline{�ʹ�}��Ǯ�������ξ����˰ܤ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 3. ���ѥȡ��饹.}
�����Ϥˤ����Ƥ�, $\omega(I) = ����$����$H_0(I) = I\omega$�Ǥ���. 
��ư���������Ǥ���Ȳ��ꤹ��. $\overline{\omega}(I)$��ʿ�Ѽ��ȿ�
$$ \begin{array}{lcl}
 \overline{\omega}(I) = \displaystyle \frac{1}{\omega} 
\oint \omega(I; \lambda) d\lambda = \displaystyle 
\frac{d \overline{H}_0}{dI}, & ������ & 
\overline{H}_0(I) = \displaystyle \frac{1}{2\pi} 
\oint H_0(I; \lambda) d \lambda . 
   \end{array}  
$$
��ɽ���Ȥ���. �ޤ�
$$
\displaystyle 
\frac{d^2 \overline{H}_0}{dI^2} = \displaystyle 
\frac{d \overline{\omega}}{dI} \not\equiv 0 .   \eqno(2.2.6)
$$
���ꤹ��. ���(2.2.6)�β���, $I$��\underline{�ʹ�}��Ǯ������
��������褦. ���Τ��Ȥ�Ƭ������Ƥ�����, �ϥߥ�ȥ�ؿ���(2.2.5)��
����Ϥ�\underline{����}(���Ū�Ǥʤ�)���ѥȡ��饹�򤿤�����õ����. 
�����Υȡ��饹��$\mu$����������Хȡ��饹$I=����$�˶ᤤ. ������
2�����Ǥ���, 3���������$p,q; \lambda$�������ؤ�ʬ����. 
�����$p_0, q_0; \lambda_0$��2�ĤΥȡ��饹$\lambda_1$��$\lambda_2$
�δ֤ˤ����, ����$p(t), q(t); \lambda(t)$�����Τ�
$\lambda_1$��$\lambda_2$�δ֤˴ޤޤ��. ����̿����������. 

\vspace{0.3cm}
1. Ǥ�դ�$\kappa>0$���Ф���, $\mu_0$�򸫤Ĥ��뤳�Ȥ��Ǥ���, 
$|\mu|<\mu_0$�ʤ�Ǥ�դ���$p_0, q_0; \lambda_0$��
2�Ĥ����ѥȡ��饹$T_1$��$T_2$�δ֤˶��ޤ��褦�ˤǤ���. ������, 
$$
 |I(p_1,q_1; \lambda_1) - I(p_2,q_2; \lambda_2)| < \kappa , 
$$
�Ǥ���, $p_1, q_1; \lambda_1$��$T_1$��°��, 
$p_2, q_2; \lambda_1$��$T_2$��°����Ȥ���.  

\vspace{0.3cm}
����̿��1������Ѥαʹ����������������˽���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 1.} ��ư�Ϥ�����--���ѿ��˴ؤ���ϥߥ�ȥ�ؿ�(2.2.5)��
���ĤȤ�, $\displaystyle \frac{\partial H_0}{\partial I} \neq 0$, 
$\displaystyle \frac{\partial^2 H_0}{\partial I^2} \neq 0$
���ΰ�$|I - I_0| \leq r$�⤤����Ȥ�������Ω�ĤȤ���. ���ΤȤ�
Ǥ�դ�$\kappa>0$���Ф��� $\mu_0$�򸫤Ĥ��뤳�Ȥ��Ǥ���, 
$|\mu|<\mu_0$����$|I(0) - I_0| \leq r - \kappa$�ʤ�, ���٤Ƥ�
$-\infty < t < +\infty$���Ф���$|I(t) - I(0)| \leq \kappa$
������Ω�Ĥ褦�ˤǤ���. 

\vspace{0.2cm}
����1������Τ�Ȥ�̿��1��������褦. 

\vspace{0.2cm}
\noindent
{\bf 4. ͽ�������Ѵ�.} 
�ϥߥ�ȥ�ؿ�(2.2.5)��(1.8.1)�η��˴Ը�������. ���Τ���ˤ�, ��®��ư
$w$�ΰ������Ω�ѿ��ˤȤ���Թ礬����. 

\vspace{0.2cm}
\noindent
{\bf ����.} ���ȿ�
$\omega(I; \lambda) = \displaystyle \frac{\partial H_0}{\partial I}$
����������ˤ��Ƥ����ΰ�ǥ����ˤʤ�ʤ��Ȥ���. ���ΤȤ�, �ѿ�
$I, w, \lambda$�β��ϴؿ�$P, Q, T$��, $\mu$�˰�¸���ʤ���Τ�¸�ߤ���, 
�ʲ���3�Ĥ�������������. 

1) $P, Q-\lambda$�����$T - w$��$w$�����$\lambda$�˴ؤ�����$2\pi$��
����. 

2) �ϥߥ�ȥ�ؿ���(2.2.5)�Ȥ�������������������������
$$ \begin{array}{ll}
\displaystyle 
\frac{d P}{d T} = \displaystyle - \frac{\partial k}{\partial Q} , & 
\displaystyle 
\frac{d Q}{d T} = \displaystyle \frac{\partial k}{\partial P} 
   \end{array}
$$
�������Ǥ���. ������, �����������Υϥߥ�ȥ�ؿ���
$$
 k(P,Q; T) = \mu k_0(P) + \mu^2 k_1(P,Q; T) + \ldots ,  \eqno(2.2.7)
$$
�Ǥ���, $Q,T$�˴ؤ��Ƽ���$2\pi$�Ǥ��ä�, �ȡ��饹��$|P - I_0| \leq r$
��ʣ�Ƕ�˵�ˤ����Ʋ���Ū�Ǥ���. 

3) (2.2.7)�ˤ�����, �ؿ�$k_0(P)$��$\overline{H}_0(I)$�εդǤ���. 
�������ä�$\overline{H}_0(k_0(P)) = P$�Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
�ޤ����򤪤��Ƥ⿷��������$T=w$��Ƴ������. �Τ��Ƥ���褦��[4], 
$I,w; \lambda$���֤ˤ�����ϥߥ�ȥ�Ϥ���ʬ��������ʬ����
$$
  I dw - H(I,w, \mu t) dt = \displaystyle - \frac{1}{\mu} 
(H d\lambda - \varepsilon I dw) .   \eqno(2.2.8)
$$
�ˤĤͤ˷���դ��Ƥ���. ���η����������褸�Ƥ�ط������Ѥ��ʤ�. 
(2.2.8)�ˤ�����, $I, w; t$�ǤϤʤ���$H, \lambda; w$����Ω�ѿ��Ȥߤʤ�. 
(2.2.5)��$I$�˴ؤ��Ʋ򤤤�
$$
  I(H, \lambda; w) = I_0(H, \lambda) + \mu I_1(H, \lambda; w) + \ldots
$$
������. ��ˡ
$$ \begin{array}{llll}
 p' = H, & q' = \lambda, & T = w, & K = \mu I . 
   \end{array}
$$
��Ƴ������. �����, 
$$
 K(p',q'; T) = \mu I_0(p',q') + \mu^2 I_1(p',q'; T) + \ldots  \eqno(2.2.9)
$$
�����
$$
  H d\lambda - \mu I dw = p'dq' - K(p',q'; T)dT , 
$$
������Ω��. ������ϥߥ�ȥ�ؿ���(2.2.5)�Ȥ���Ϥ�, (2.2.9)�Ȥ���Ϥ�
�����Ǥ���([4]�򸫤�).

2.�ˤ�������ȿ�$\omega(I; \lambda)$�ϻ����Ѳ����뤳�Ȥ����դ��褦. 
�����Ѵ�$p', q' \rightarrow P, Q$�ˤ�ä�, ��ɸ$q' = \lambda$(slow time)
���Ѥ�, ���������֤˴ؤ��Ƽ��ȿ�$Q$��������$\overline{\omega}(I)$�Ȥʤ�
�褦�ˤ���. ���Τ��Ȥ�Ƭ������Ƥ�����, �ϥߥ�ȥ�ؿ���$I_0(p',q')$��
����Ϥ�, �����Ѵ�
$$ \begin{array}{ll}
 p' = \displaystyle \frac{\partial S}{\partial q'}, & 
 Q  = \displaystyle \frac{\partial S}{\partial P} 
   \end{array}
$$
�ˤ�äƺ���--���ѿ���Ƴ������. �����Ѵ�����ؿ���
$$
  S(P,q') = \displaystyle \int^{q'} H_0(I, \lambda) d \lambda , 
$$
�Ǥ���. ������, $I = k_0(P)$��$H_0(I)$�εմؿ��Ǥ���. ���餫��, ��
$P, Q; T$��4.������������򤹤٤�������. 

��������˱�����, �ϥߥ�ȥ�ؿ���(2.2.7)�Ȥ���Ϥ˴ؤ�������μ�ĥ����
3.��̿��1����������. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 5. �ϥߥ�ȥ�ؿ�(2.2.7)����ķϤθ���.}
�ؿ�(2.2.7)�Ϸ���Ū�ˤ�I��8��ε����ϰϤˤ�����ʤ�. �Ȥ����Τ�, 
(2.2.7)�ϡֻ��֡�$T$������Ū�˴ޤ�Ǥ��뤫��Ǥ���. �Ȥ�����, I��8���
������������, I�Ϥǳ��⤵�줿��ˡ���ưפ����뤳�Ȥ��Ǥ��뤷, IV�ϤǤ�
��äȹ������ä�����Ǿܤ����¹Ԥ���. �����ǤϾ����ξܺ٤ˤϤ���ʾ�
Ω������ʤ�. �����Ǥ��̤���ˡ�ˤ��, ��(2.2.7)��ͳ��2����¸�Ϥ˴Ը�
�Ǥ��뤳�Ȥ򼨤�. ���Τ����, ���������� 
$$ \begin{array}{llll}
\displaystyle 
\frac{\partial P}{\partial \tau} = \displaystyle - 
\frac{\partial k}{\partial Q} , &
\displaystyle 
\frac{\partial R}{\partial \tau} = \displaystyle - 
\frac{\partial k}{\partial T} , &
\displaystyle 
\frac{\partial Q}{\partial \tau} = \displaystyle  
\frac{\partial k}{\partial P} , &
\displaystyle 
\frac{\partial T}{\partial \tau} = 1 
   \end{array}
$$
��, �ϥߥ�ȥ�ؿ���
$$
 R + k(P,Q,T) = R + \mu k_0(P) + \mu^2 \ldots   \eqno(2.2.10)
$$
�Ȥ�, ���ٺ�ɸ��$Q, T$�Ȥ����Τ�, 
�ϥߥ�ȥ�ؿ���(2.2.7)�Ȥ���������������ޤळ�Ȥ����դ���. 
�ؿ�(2.2.10)��(1.8.1)�η��򤷤Ƥ���.

(1.9.5)�������I��8��η�̤����������ݾڤ�����������(2.2.6)���餷������.

��������ˡ�Τɤ����ȤäƤ�, ����̿���������뤳�Ȥ��Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ̿�� II.} (2.2.7)����$|\mu| < \overline{\mu}$���Ф���, �ΰ�
$|
{\rm Im} Q, T| \leq \rho$, $|P - P_0| \leq r$�ˤ����Ʋ���Ū�Ǥ����
����. ������, $|k_0| \leq M$, $|k_1 + (\mu) \ldots| \leq M$, 
$\displaystyle \left| \frac{d^2 k_0}{dP_0^2} \right| \geq \theta > 0$
�Ȥ���. ���ΤȤ�, �ɤ�$\kappa>0$���Ф��Ƥ�, 
$\mu_0(\kappa, \overline{\mu}, r, \rho, M, \theta) > 0$�򸫤Ĥ��뤳�Ȥ�
�Ǥ���, $|\mu| < \mu_0$�ʤ�, �¥ȡ��饹��$F$(������$|P-P_0|\leq r$)��, 
$\kappa \ {\rm mes} F$̤����¬�٤λ�;�����������٤����ѥȡ��饹��
��������Ƥ���, ����ȡ��饹$P=����$���餳�������ѥȡ��饹�ε�Υ��
$\kappa$̤���Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
̿��I, �����3.������1��, 4.�ˤ��̿��II�����ñ�˽Ф�. 

\vspace{0.4cm}
\noindent
{\Large \bf \S 3. ��¸�Ϥ���Ǯ������}
\vspace{0.2cm}

������Ǥ�, ��ͳ��2����¸�Ϥˤ�����, �����ѿ����ʹ������̤Ǥ��뤳�Ȥ�
��������. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1. ��Ǯ���.}
��ͳ��2����¸�ϳط�($X,Y$)��ͤ��褦. ���κ�ɸ�Τ����ΤҤȤ�, ���Ȥ���
$X$�������Ѳ����Ƥ�Ϥξ��֤ˤۤȤ�ɱƶ����ʤ��Ȳ��ꤹ��. ���ΤȤ�, 
��ä����Ѳ�����ѥ�᡼��$\mu X$�˰�¸����1��ͳ�ٷ�$Y$�����Ū��
¸�ߤ���Ȳ���Ǥ���. �����ѿ�$I_Y$�ϰʲ��ΰ�̣����Ǯ���ѤǤ��뤳�Ȥ�
�������Ȥ��Ǥ���.

4�ѿ��δؿ�$H(\ldots)$����ꤷ�褦. $X, Y, P_X, P_Y$�����ඦ���ѿ���
����. �ϥߥ�ȥ�ؿ�$H(\mu X, Y; P_X, P_Y)$�����������ϳطϤ�ͤ���. 
$\mu$�����������, $X$��1���٤��礭���Ѳ����Ƥ�Ϥξ��֤Ͼ��������Ѥ��
�ʤ�. $X$��$P_X$���ͤ���ꤹ��. ���ΤȤ�, $H$�ϴؿ�$H_Y(Y, P_Y)$��
�Ѵ������. �ϥߥ�ȥ�ؿ���$H_Y(Y, P_Y)$�Ȥ���Ϥˤ���������ѿ���
$I_Y(Y, P_Y)$�Ƚ�. ������$I_Y$���礭���ϥѥ�᡼��$\mu X, P_X$��
��¸����. �ϥߥ�ȥ�ؿ���$H(\mu X, Y; P_X, P_Y)$�Ȥ��븵�ηϤ�
�Ф��Ƥ�, 
$I_Y[\mu X(t), Y(t), P_X(t), P_Y(t)]$����ư��
$t \sim \displaystyle \frac{1}{\mu}$�δ֤˾�����, $\mu$�⾮����, 
�Ȥ�����̣��, ����$I_Y$����Ǯ�����̤Ǥ���. 

�ؿ�$H(\mu X, Y; P_X, P_Y)$��$H = H_X(\mu X, P_X; I_Y)$�η��˽񤯤��Ȥ�
�Ǥ���. $X, P_X$�λ�����ư����Ū�˷��뤿��ˤ�, �ϥߥ�ȥ�ؿ���
$H_X(\mu X, P_X)$ (����ѥ�᡼��$I_Y$�˰�¸����)�Ȥ���������������
���н�ʬ�Ǥ���. ����1��ͳ�ٷϤˤ����Ʊ�ư������Ū�ʤ�, �����ѿ�
$I_{\chi} \sim \displaystyle \frac{1}{\mu}$��Ƴ�����뤳�Ȥ��Ǥ���. 
��Ǯ����ˤ�����, ��ư�ϼ��ȿ�$\omega_Y$�Ǥ�$Y$�ι�®��ư��, 
$\mu$���٤��礭���μ��ȿ�$\omega_X$�Ǥ�$X$�Τ�ä��ꤷ����ư�ι���
�Ǥ���. ���κ�, $I_Y$��$\mu I_X$����¸�����. 

���ζ���ϰʲ��Ǿ�������. ���ͥ륮������$h$����ꤷ���Ȥ�, 
��$\displaystyle \frac{\omega_Y}{\omega_X}$��ʿ����
$\displaystyle \frac{\overline{\omega}_Y}{\overline{\omega}_X}$ 
��$I_Y$�˰�¸����, �Ȥ�������β���, $I_Y$��$\mu I_X$�αʹ���Ǯ��������
�������褦.

\vspace{2.5cm}
\hspace*{5cm} ��10

\vspace{2.cm}

\vspace{0.4cm}
\noindent
{\bf 2. ��.}
$x$���˱�äư���ĥ����֥ݥƥ󥷥��ǥ��å�(ditch)����α�ư��
�ͤ��褦(��10). 
$$
  H = \displaystyle \frac{P_X^2 + P_Y^2 + U(x,Y)}{2}
$$
������
$$ \begin{array}{llll}
 U = \omega^2 Y^2, & \omega= 1 + x^2, & x = \mu X, & \mu \ll 1
   \end{array}
$$
1.��Ƴ�����줿�̤�
$$ \begin{array}{llll}
 H_Y = \displaystyle \frac{P_Y^2 + U}{2} + \frac{P_X^2}{2}, & 
I_Y = \displaystyle \frac{P_Y^2 + U}{2\omega_Y}, & 
\omega_Y=  \omega = 1 + x^2, & \overline{\omega} = \displaystyle 
\frac{2h}{3I_Y} + \frac{1}{3}, \\
H_X = \displaystyle \frac{P_Y^2 + 2I_Y x^2}{2} + I_Y, &
\mu I_X = \displaystyle \frac{P_X^2 + 2I_Y x^2}{2\sqrt{2I_Y}}, & 
\omega_X = \mu \sqrt{2I_Y} . 
   \end{array}
$$
�ʤ������. 
$\displaystyle \frac{\overline{\omega}_Y}{\overline{\omega}_X}$��$I_Y$��
�ΰ�¸���˴ؤ���桹�β�������������. ������$I_Y, \mu I_X$�ϱʹ�
��Ǯ���ѤǤ���.

�ǥ��å�����ˤ�����, ̵�±�ؤȤ��Ȥ����뤳�Ȥ���ǽ�Ǥ���
($Y = P_Y = I_Y = 0, P_X - v, X = X_0 + vt$). �Ȥ�����, $I_Y \neq 0$�ʤ�,
��ư�Ͼ��ʤ��Ȥ⽽ʬ������$\mu$���Ф��Ƥ�, ͭ���ΰ��������(��11). 
�Ȥ����Τ�, $h$��$I_Y \neq 0$����������������������б�����
�ͤ˸��ꤷ, ������$\mu$�򥼥��˻��äƤ���. $\mu$����ʬ��������
$$ \begin{array}{lcl}
 |I_Y(t) - I_Y(0)| < O(\mu) & {\rm for \ all} & 
-\infty < t < + \infty
   \end{array}
$$
������Ω��. 

�Ȥ�����
$$
 h - I_Y(1+x^2) = \displaystyle \frac{P_X^2}{2} \geq 0
$$
�Ǥ��뤫��, $x$�����α�ư��
$$
 |x_{\max}| = \displaystyle \sqrt{\frac{h}{I_Y} - 1} + O(\mu) . 
$$
�ˤ�äƸ¤���. 

\vspace{2cm}
\hspace*{5cm} ��11

\vspace{2.cm}
\noindent
{\bf 3. ͽ�������Ѵ�.} 
�ϤΥϥߥ�ȥ�ؿ���(2.2.9)�η��˴Ը����褦. $I_Y$��$\mu I_X$�αʹ���Ǯ
��������, ��ԤηϤ�2�������ѥȡ��饹��¸�ߤ����ñ�˱��褹�뤳�Ȥ�
�Ǥ���. �Ȥ����Τ�, �����Υȡ��饹�ϥ��ͥ륮��$H = h$��3������٥�
���̤�ʬ�䤹�뤫��Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ����.} �ϥߥ�ȥ�ؿ�$H(x, Y; P_X, P_Y)$ ($x = \mu X$)�ϲ���Ū��
����, ���ꤷ��$x, P_X$���Ф���, ����--���ѿ���$I_Y(x, P_X; h)$, 
$w(x, Y, P_X, P_Y)$�Ȥ��뿶ư�Ϥ��������Ȥ���. ���ΤȤ�, 
$x, Y, P_X, P_Y$�򿷤����ѿ�$x', w', P', I'$��ɽ���������Ū�ѿ��Ѵ���
���äƼ���������.

1) �ؿ�$x, Y, P_X, P_Y$��$w$�˴ؤ��Ƽ���$2\pi$�Ǥ���. 
$\mu \rightarrow 0$�ΤȤ�, �ѿ�$x', w', P', I'$��$x, w_Y, P_X, P_Y$
�˰ܹԤ���. 

2) ����������
$$ \begin{array}{llll}
\displaystyle \frac{dP_X}{dt} = 
\displaystyle - \frac{\partial H}{\partial X}, & 
\displaystyle \frac{dP_Y}{dt} = 
\displaystyle - \frac{\partial H}{\partial Y}, & 
\displaystyle \frac{dX}{dt} = 
\displaystyle \frac{\partial H}{\partial P_X}, & 
\displaystyle \frac{dY}{dt} = 
\displaystyle \frac{\partial H}{\partial P_Y}
   \end{array}
$$
����ʬ�����˱�ä�, �ѥ�᡼��$h$�˰�¸����ϥߥ�ȥ�ؿ���
$K(P', x'; w'; h)$�Ȥ�������������
$$ \begin{array}{ll}
\displaystyle \frac{dP'}{d\omega'} = 
\displaystyle - \frac{\partial K}{\partial x'}, & 

\displaystyle \frac{dx'}{d\omega'} = 
\displaystyle \frac{\partial K}{\partial P'} 
   \end{array}  \eqno(2.3.1)
$$
�����������. 

3) $K$��$K = - \mu I'$�ʤ���򤷤Ƥ���. ������
$$
 I' = I_0(P', x'; h) + \mu I_1 (P', x'; w'; h) + \ldots \eqno(2.3.2)
$$
��$w'$�˴ؤ��Ƽ���$2\pi$�β��ϴؿ��Ǥ���, 
$I_0(P', x'; h) = I_Y(x', P'; h)$�Ǥ���. 


\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. �ط�$H(x, Y; P_X, P_Y)$���, $P_Y$��
$P_Y(x, P_X, Y; h)$�η���ɽ�����Ȥ��Ǥ���. 
$2\pi I_Y(x, P_X; h) = \oint P_Y dY$���֤�. ���δط��ϴؿ�
$h(x, P_X; I_Y)$���������. ��ؿ�
$P' X + S(x, P', Y, I')$��
$$
  S = \displaystyle \int^Y P_Y [x, P', Y; h(x, P'; I')] dY . 
$$
�ʤ��Τ�, �����Ѵ�$X, Y, P_X, P_Y \rightarrow X', w', P', I'$��, 
����
$$ \begin{array}{ll}
 X' = \displaystyle X + \frac{\partial S}{\partial P'}, & 
 w' = \displaystyle \frac{\partial S}{\partial I'}, \\
 P_X = \displaystyle P' + \mu \frac{\partial S}{\partial x}, & 
 P_Y = \displaystyle \frac{\partial S}{\partial Y} . 
   \end{array}
$$
��ȤäƷ���. �ޤ�$x' = \mu X'$���֤�. 
$$
 H \{ x, Y; P', P_Y[x, P', Y; h(x, P'; I')] \} = h(x, P'; I')
$$
�Ǥ��뤫��, 
$$
 H \{ x, Y; P_X, P_Y[x, P', Y; h(x, P'; I')] \} = \displaystyle 
h(x, P'; I') + 
\mu \frac{\partial S}{\partial x} \frac{\partial H}{\partial P_X} + 
\ldots
$$
������Ω��. �������ä�, $X, Y$�򿷤����ѿ���ɽ����, 
$$
 H (x, Y; P_X, P_Y)  = \displaystyle h(x', P'; I') + 
\mu \frac{\partial S}{\partial x} \frac{\partial H}{\partial P_X} - 
\mu \frac{\partial S}{\partial P'} \frac{\partial H}{\partial x} +   
\ldots    \eqno(2.3.3)
$$
������. (2.3.3)��
$$
 H (x, Y; P_X, P_Y) = H'(x', P', I', w') = 
 \displaystyle h_0(x', P'; I') + \mu h_1(x', P', I', w') +    
\ldots    \eqno(2.3.4)
$$
�η���($h_0 \equiv h$)�񤯤��Ȥ��Ǥ���. ������$\mu h_1 + \ldots$��
$w'$�˴ؤ��Ƽ���$2\pi$�β��ϴؿ��Ǥ���. 

���֤�$w'$�ΰ����¬��. ������Ū�Τ����, ɽ��
$P' dX' + I'dw'- Hdt$�ˤ�������Ω�ѿ��Ȥ���$P', X'; I', w'; t$��
����$P', X'; -H, t; w'$����([4]�򸫤�). $h$��ѥ�᡼���Ȥߤʤ�,
$w'$����֤ȸ���. �ϥߥ�ȥ�ؿ������򤹤�Τ�
$-I'(X', P'; w'; h)$�Ǥ���. ������$I'$��������
$$
 H'(\mu X', P', I', w') = h .   \eqno(2.3.5)
$$
�����ޤ�. ��ɸ$t$�Ͻ��Ū�Ǥ���. �ѿ�$-H, t$��ΤƤ��, ��ͳ��1����
����Ϥ�����. ��ɸ$X'$�ȥϥߥ�ȥ�ؿ�$-I'$��$\mu$��褸��. ���ʤ��, 
$\mu X' = x', -\mu I' = K$. $w'$�˴ؤ���$x'$��$P'$����ʬ�ϥϥߥ�ȥ�
�ؿ���$K$�Ȥ�������������(2.3.1)�ˤ�äƷ�ޤ�. 

(2.3.5)��(2.3.4)���餹���, �ؿ�$I'$��(2.3.2)�η��򤷤Ƥ���. ����������
�ξ������Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 4. ���Ѥ��ʹ���Ǯ����������Ĥ��Ȥξ���.}
(2.3.2)���˱�����, �ؿ�$K$��(2.2.9)�η��򤷤Ƥ���. (2.2.6)��1.�κǸ��
�꼰��������狼�餷������. �������ä�2�������Ŭ�ѤǤ���. ����
�ȡ��饹�������, $I_Y$��$\mu I_X$�αʹ���Ǯ�������ξ�����������. 

\vspace{0.4cm}
\noindent
{\Large \bf \S 4. �����ȥ�å�}

\vspace{0.3cm}
������Ǥ�, �������β���γ�Ҥα�ư��ͤ���. γ�Ҥ���ä�ư���٤�
�������νִ֤ͤ���Ⱦ�¤ϼ��줬ͭ�դ��Ѳ������Υ����٤ƾ�������
���ꤹ��. ���ξ�郎���������Τ�, �줬�礭����, ���뤤�Ϥۤܰ����
�Ȥ���, ���뤤��γ�Ҥ�®�٤��������Ȥ��Ǥ���. �Ǹ�ξ���ͤ��뤳�Ȥˤ���
(������Ȥ��äư������򼺤��櫓�ǤϤʤ�). 

���оμ����ȥ�åפ���Ǥ�, ��Ǯ������$\displaystyle \frac{W_{\bot}}{B}$
�ϱʹ���¸�Ǥ��뤳�Ȥ򼨤�. �������äƤ��Τ褦�ʥȥ�åפϲ���γ�Ҥ�
�ʱ��ª���Ƥ������Ȥ���ǽ�Ǥ���.

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1. ��ư������.}
����${\bf B}$�ϥ٥��ȥ�ݥƥ󥷥��${\bf A}$�����ޤ�Ȥ���. 
${\bf A}$�϶˺�ɸ$r, \varphi, z$��ͣ�����ʬ$A \varphi = A(r,z)$�����. 
�����, ����ζ���${\bf B}$����ʬ��
$$ \begin{array}{ll}
  B_r = \displaystyle - \frac{\partial A}{\partial z}, & 
  B_z = \displaystyle  \frac{1}{r} \frac{\partial rA}{\partial r}
   \end{array}
$$
�Ǥ���. �������ä�������������
$$ \begin{array}{ll}
  rA = ����, & \varphi = ����
   \end{array}
$$
�ˤ�äƷ��ꤵ���. Ŭ���������ñ�̷Ϥˤ�����, ����1, ñ���Ų٤�
�饰��󥸥�ؿ���
$$
  L = \displaystyle \frac{1}{2} \left( 
\dot{r}^2 + \dot{z}^2 + r^2 \dot{\varphi}^2 \right) + 
rA \dot{\varphi}
$$
�Ǥ���. ���줫��, �֥���ѥ륹��(��: ��ư�̤Τ���)
$$ \begin{array}{lll}
 p_r = \dot{r}, & p_z = \dot{z}, & 
p_{\varphi} = r^2 \dot{\varphi} + rA
   \end{array}
$$
�ȥϥߥ�ȥ�ؿ�
$$
 H = \displaystyle \frac{1}{2} \left[ 
p_r^2 + p_z^2 +  \frac{(p_{\varphi} - rA)^2}{r^2} \right]
$$
��������. $\varphi$�Ͻ���ɸ�Ǥ��뤫��, $p_{\varphi} = M$����¸����, 
�Ĥ�Τ�, �ݥƥ󥷥��
$$
  U(r, z) = \displaystyle \frac{(M - rA)^2}{2r^2}  \eqno(2.4.1)
$$
�����ޤ�����Ǥ�ʿ�̱�ư����뤳�ȤǤ���. ������$M$�ϸ��ꤷ�����
�Ǥ���. 

�ؿ�(2.4.1)��, ����$rA = M$�˱�äƥ�����������
�֥ݥƥ󥷥��ǥ��å��פ��������. �������ζ�˵�ˤ�����
$$
  U(r, z) = \displaystyle \frac{1}{2} B^2 y^2 + \ldots , \eqno(2.4.2)
$$
������Ω��. ������$y$����������ε�Υ�Ǥ���, $B$��������Ǥμ���ζ�����
�����ͤǤ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 2. �ѿ��Ѵ�.}
3��η�̤�Ŭ�Ѥ��뤿���, $r,z$ʿ�̤˶�����ɸ$x,y$��Ƴ������. ��$r,z$��
�������˿����򲼤���, ���δ����ޤǤ���ư��$O$����ε�Υ��$rA = M$�˱�ä�¬��, 
��Ĺ��$x$�Ƚ�. (2.4.2)�ˤ�����褦��, ������Ĺ����$y$�Ȥ���(��12). 

�����
$$
 dr^2 + dz^2 = [ 1 + yk(x)]^2 dx^2 + dy^2 , 
$$
��������. ������$k(x)$����$x,0$�ˤ����������ζ�Ψ�Ǥ���. �������ä�
$$ \begin{array}{ll}
 p_x = [1 + yk(x)]^2 \dot{x}, & p_y = \dot{y}
   \end{array}
$$
�Ǥ���, �椨��
$$ \begin{array}{lcl}
H = \displaystyle \frac{1}{2} 
\left( \frac{p_x^2}{[1+yk(x)]^2} + p_y^2 \right) + U, &  ������ & 
  U(x, y) = \displaystyle \frac{1}{2} B(x) y^2 + \ldots 
   \end{array}
$$
�Ǥ���. 

\vspace{2.0cm}
\hspace*{6cm} ��12, 13

\vspace{2cm}
�����˶�̣������Τ�, ����γ�Ҥ����������Τޤ��Υ顼�ޡ�������
Ⱦ�¤������ħŪ���礭������٤����˾��������Ǥ���. ���Ƴ������
��ˡ��Ȥ���, ���$M$�������ͥ륮��$h$���ͤȤ���, ������
$$
  U \leq h
$$
������$rA = M$�Τޤ���$\sim \mu$��������(strip)���������褦���ͤ�
�ͤ��뤳�Ȥ��̣����(��13). �������ä�, �������ѿ�$X, Y, P_X, P_Y$��
�ط��� 
$$ \begin{array}{llll}
x = \mu H, & y = \mu Y, & p_x = \mu P_X, & p_y = \mu P_Y , 
   \end{array}
$$
�ˤ�ä�Ƴ������Τ������Ǥ���. �������ѿ��������Ѳ����������
�ϥߥ�ȥ�ؿ���$H' = \mu^{-2} H$�Ȥ��������������ˤ�äƵ��Ҥ����. 
$$ \begin{array}{ll}
H' = \displaystyle \frac{1}{2} 
\left( \frac{P_x^2}{[1+\mu Y k(\mu X)]^2} + P_y^2 \right) + U', 
& U'(\mu X, Y) = \displaystyle \frac{1}{2} B(\mu X) Y^2 + \ldots 
   \end{array}
$$
���Υϥߥ�ȥ�ؿ���
$$
H' = \displaystyle \frac{P_x^2+ P_Y^2 + B^2(x^2)Y^2}{2} + 
\mu H_1 (x, Y, P_X, P_Y) + \ldots 
$$
�η��˽񤱤�. ���δؿ���$H'(\mu X, Y; P_X, P_Y; \mu)$�η��Ǥ��ä�, 
3��ǹͻ��������˻��Ƥ���. (��ñ�ˤ狼��褦��, $\mu$�ؤΤ⤦�ҤȤĤ�
��¸����3��ε�����Ŭ�Ѳ�ǽ�����ܼ�Ū�ǤϤʤ�.)

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 3. �����⡼���Ȥαʹ�������.}
���줫������٤���̤��꼰����ͻ�����ˤ����ä�, �ɤ�������ư��
������äƤ���Τ����ä����Τ�������Ƥ�����. ����ζ���${\bf B}$
����ꤷ, �ޤ�������¸��$M$����ꤹ��. ����$x$�ν����
\footnote{$x$�ν���ͤ�ͭ���ΰ����ꤹ������ǽ�ʬ�Ǥ���. 
$Y, \dot{X}, \dot{Y}, M$����ꤹ��Ȥ��⤪�ʤ����Ȥ�����Ω��} 
����ꤷ, �Ǹ��$y, \dot{x}, \dot{y}$�ν���ͤ������$H \sim \mu^2, 
\mu \ll 1$�Ȥʤ�褦�ˤ���. ���Τ����, $y, \dot{x}, \dot{y}$��$\mu$����
���礭���˼��ɬ�פ�����. $Y, \dot{X}, \dot{Y}$����ꤷ, 
$y = \mu Y, \dot{x} = \mu \dot{X}, \dot{y} = \mu \dot{Y}$�ȼ��, 
$\mu$�򥼥��˸����碌��. 

3�����ˡ�ˤ��ʲ��η�̤�����. 

I. ���줬����Ū�Ǥ��ä�, $B(x) > 0$, $|x| \rightarrow \infty$�ΤȤ�
$B(x) \rightarrow \infty$�Ǥ����, Ǥ�դ�$\kappa>0$���Ф���$\mu_0>0$��
���Ĥ��뤳�Ȥ��Ǥ���, $|\mu| < \mu_0$�ΤȤ�, ���٤Ƥ�
$-\infty < T < +\infty$���Ф���$|I_Y(t) - I_Y(0)| < \kappa$�ˤǤ���. 
������$I_Y = \displaystyle \frac{P_Y^2 + B^2 Y^2}{2B}$�Ǥ���.

���줫�餿�����ˤ狼��Ȥ���, $I_Y \neq 0$�ʤ�γ�Ҥ�, 
$x \rightarrow \infty$�ΤȤ��˾�$B$��̵�¤����礹��ʤ��(���ȥåѡ�
�դ��Υȥ�å�), ͭ���ΰ�����Ĥ��������. 

$I_Y$��ʪ��Ū��̣��, $Y=0$�ΤȤ��Υ⡼���Ȥ�ͤ�������餫�ˤʤ�. 
���Υ⡼���ȤΤȤ�, $\dot{\varphi} = 0$�����
$\displaystyle \frac{\dot{y}^2}{2} = W_{\bot}$�Ǥ���(1��, 2.III�򸫤�). 
�������ä�$\displaystyle \mu^2 I_Y = \displaystyle \frac{W_{\bot}}{B}$.
�Ǥ���. ��������, ̿��I�ϼ��Τ褦���꼰���Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
II. ���оμ����ȥ�åפˤ�����, �����⡼���Ȥ��礭��
$\displaystyle \frac{W_{\bot}}{B}$�ϱʹ���Ǯ���ѤǤ���. 

\vspace{0.4cm}
\noindent
{\Large \bf \S 5. ¿�����ξ��}
\vspace{0.2cm}

������Ǥ�, 2�ᤪ���3��η�̤�¿��ͳ�٤ξ��˻��äƤ����뤫�ɤ�����
��ñ�˵�������. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1. ¿�ťѥ�᡼������.}
����1���������Τ�, �ϥߥ�ȥ�ؿ��������Ū���Ѳ�����Ȥ��Ǥ���. 
���ʤ��, $H(p, q;$ $\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$�����Ĥγѥѥ�᡼��
$\lambda_i$�˰�¸��, ���Υѥ�᡼���γơ����ȼ��μ��ȿ�
$\dot{\lambda}_i = \mu \xi_i$���Ѳ�����Ȥ��Ǥ���. 

$\nu = n+1$����Ӥ���$K>0$���Ф���
$$ \begin{array}{lcl}
 |(k, \xi)| \geq K |k|^{-\nu}, & {\rm if} & |k| > 0
   \end{array}  \eqno(2.5.1)
$$
���ꤹ��. �����, �ֻ��֡�$T = w$�˰ܹԤ����, �ϥߥ�ȥ�ؿ���
$K(\pi', q'_i, T)$�η�������. ������$\pi' = \sum \xi_i p'_i$�Ǥ���. 
(2.5.1)�Τ�������, �Ѵ�$p', q' \rightarrow P, Q$���Ǥ���. 
��$P_i$�ϥϥߥ�ȥ�ؿ�(2.2.7)���ȹ礻$\Pi = \sum \xi_i P_i$�η���
�������äƤ��ʤ�. 2���5���Ʊ��, ������$\Pi = F_{\mu} (Q_i, P_i)$
������������¿���Τ򸫤Ĥ��뤳�Ȥ��Ǥ���. 
����$(n+2)$��������$p,q; \lambda_1, \ldots, \lambda_n$��$(n+1)$����
�ȡ��饹���������б�����. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 2. ¿��ͳ�٤ξ��.}
���λ�����, ���ʤ�κ���Ω��������. ���ʤ��, ��Ǯ�����̤�
$t \sim \displaystyle \frac{1}{\mu}$�δ֤���¸����뤳�Ȥ��餤�ޤޤ�
���椵�����ʤ��ä�([29]�򸫤�). ���ξ����ü����ˤĤ��ƤϾ�������
���֤�䤱�ʤ�.

��������Ǥ��뤫�Ȥ�����, ��®��ư�μ��ȿ��֤��椬��®��ư�ΰ���˰�¸��
���ǽ�������뤫��Ǥ���. ���θ��ݤδ�ñ����Ȥ���, 3�����ȡ��饹���
��������
$$
\left. 
 \begin{array}{l}
   \dot{x} = \omega_1(z) + \mu f(x,y,z), \\
   \dot{y} = \omega_2(z) + \mu g(x,y,x), \\
   \dot{z} = \mu 
   \end{array}
\right\}      \eqno(2.5.2)
$$
��󤲤뤳�Ȥ��Ǥ���. (������$x,y,z$�ϥȡ��饹������γ��ٺ�ɸ�Ǥ���.) 
����(2.5.2)���ѿ��Ѵ��ˤ�ä�ʿ�Բ��Ǥ��ʤ�.

�������ä�, �������ư���������줿���ѥȡ��饹��, ��ä������Ū��
�������Ѳ�������̤μ�ͳ��$n$�ǲ���ʬ�Ϥξ��Ǥ�ۤȤ��¸�ߤ��ʤ�. 
���Τ褦�ʥȡ��饹���ºݤ�ȯ�����줿�ʤ�, ������$(n+1)$�����Ǥ���, 
$(2n+1)$��������$p_i, q_i; \lambda$��ʬ�䤷�ʤ��Ǥ���������, 
�����ѿ��αʹ���������������뤳�Ȥϰ����Ȥ����Բ�ǽ�Ǥ���.

¿�����ξ��Τ⤦�ҤȤĤΥ��ץ�������[30]��Ϳ�����Ƥ���. 


% �Ѥ�. 
% II�� �����