\newpage
\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\huge \bf III ��. ������ư�ΰ�����}
\end{center}

IV�Ϥδ��������ν����ˤ��, ���ξϤǤϻ������ꤪ���¿������ˤ��������
���ױ�ư����(class)��Ĵ�٤�. �����μ��̤���ʬ���������, �����νִֵ�ƻ
��Ʊ��ʿ����Ǳߤ˶ᤤ�褦����¿���ν�������Ф���, 
����Ʊ�Τ������ư��, ̵�»��֤ηв���ˤ����α�ư�ˤۤ�ξ�������
�ƶ���Ϳ���ʤ�.

�Ȥ���, �����η�̤��餹���, $n$������ˤ�����, ���Υ��١���¬��
����Ľ����ｸ�礬���ä�, ʪ�Τν�����֤�®�٤����ν����°���ʤ�, 
ʪ�δ֤���ߵ�Υ�ϱʱ��ͭ���ˤȤɤޤ�. 

���Τ褦�ʲ����ŷʸ�ؼԤˤ�äƤ��äȰ�������Ƥ��줿��, �Ƕ�Birkhoff
����, ���ؼԤ�ȿ�Фθ���ؤη�������äƤ���([3],[8]����).

��̤���̩���꼰����1��ǽҤ٤�. ʿ�̻������������ܤ����ͤ���. 
2��Ǥ�Ŭ�ڤʺ�ɸ��Ƴ������3�������򳬿��߲�����, IV�Ϥǹͻ��������
��äƤ���. 4��Ǥ�IV�Ϥδ���������Ŭ�Ѥ���Τ�ɬ�פ����ಽ���γ�ǧ��
�Ԥ�. �ǽ���Ǥ�, ����������ʿ���������ꤪ��Ӷ���¿������θ���˱��Ѥ�
������ˤĤ��Ƽ�û���˻�Ŧ����. 

���ξϤ�񤯤ˤ����äƥݥ��󥫥�ζ��ʽ�[1]���ϰϤˤ錄�ä����Ѥ���(��
����2��ˤ�����). 


\vspace{0.5cm}
\noindent
{\Large \bf \S 1. ��ư������ }
\vspace{0.3cm}

������Ǥ�, ������濴ŷ�ΤΤޤ���$n_0$�ĤΡ������פα�ư����ؤ�IV��
�δ���������Ŭ�Ѥ�����̤��꼰������(����3-5). 
����1�����2�Ǥ�, ��ŵ��ư���θ�̩�Ǥʤ������η�������������. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1. ���ץ顼��ư.}
$n_0$�Ĥμ���(��������)��ͤ���. �����μ���
$m_1, \ldots, m_{n_0}$�ϡ��濴ŷ�ΡפȤ�Ф������μ���$M$����٤ƾ���
���Ȥ���. ���������Ϥ��٤ƥ˥塼�ȥ��ˡ§�˽��ä�, ���ʤ��
$$
 f = \displaystyle \frac{m_i m_j}{r_{ij}^2}
$$
�˽��äƸߤ��˰�����äƤ���Ȥ���. $m_1, \ldots, m_{n_0}$��$M$����٤�
��ʬ���������, �֥���������פˤ�����, ����Ʊ�Τΰ��Ϥ�̵��Ǥ���, 
�濴ŷ��$M$����ư�Ǥ���Ȥߤʤ���. �����β���β��Ǥ�, ������$m_k$��
�ۤ��������Ȥ�̵�ط���, ������$M$������Ȥ��륱�ץ顼�ʱߤ˱�äƱ�ư
����. 

��������, ����������ˤ�����, �Ϥα�ư�Ͻ����Ū�Ǥ���, $M$�Τޤ���
������ž��$n_0$�Ĥμ��ȿ��ǵ��Ҥ����. 

�ʲ��Ǥ�, ���ץ顼�ʱߤε�ƻ�̤Ϥߤʶ᤯,�������פ��ʱ߾��Ʊ��������ư
���Ȳ��ꤹ��. 

����Ʊ�Τ���ư�ˤ�äƿ��α�ư�ȥ���������α�ư�δ֤˰㤤��������. 
��ư���ϼ��Τ褦���������󶡤���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 2. �饰��󥸥屿ư.} 
��ñ�Τ���, ʿ�̻�������($n_0=2$)��ͤ�, ���
�˥��ץ顼�ʱߤ�Υ��Ψ$e_k \ (k=1,2)$���������Ȳ��ꤹ��. 
������ʱߤΰ��֤�, �ʱߤ�Ĺ��$2a_k$����ɸ���Ȥʤ�����$g_k$($g_k$�϶���
�����٤Ȥ�Ф��. 14��)�ˤ�ä���������. 

\vspace{2.5cm}
\hspace*{6cm} ��14.

\vspace{2.5cm}
��ư��ư��, �Ѳ�����ѥ�᡼��$a_k, e_k, g_k$����ĥ��ץ顼��ư�Ȥ��Ƶ�
�Ҳ�ǽ�Ǥ���. 1������Ǥ�, $a_k, e_k, g_k$����ư�ϰ����ͤΤޤ���
$a_k(t), e_k(t), g_k(t)$�������μ������٤ξ����ʡֿ�ư�פ˵��夵���.  

2������Ͼ���������ɤ�ͭ���Ǥʤ�(��ǯ){\bf ��������ư}���ޤޤ��. 
$e_k$�����$g_k$�Τ��ξ�������ư�ϰʲ��Τ褦�ʻ����ǵ��ҤǤ���. 
���ץ顼�ʱߤ�Ĺ�����������, Ĺ��
$\sqrt{m_k} \ ^4 \hspace{-0.3cm}\sqrt{a_k e_k}$��
Υ��Ψ�����㤹��٥��ȥ�${\bf e}_k$�ǥ��ץ顼�ʱߤ���ħ�Ť���
\footnote{${\bf e}_k$�ϥ�ץ饹�٥��ȥ�Ȥ�Ф��.}.
���������Ф���, ���Υ٥��ȥ��2�Ĥΰ��Ͳ�ž����٥��ȥ���¤Ǥ��뤳�Ȥ�
�狼��. �Ĥޤ�, ${\bf e_k} = {\bf e}_{k_1} + {\bf e}_{k_2}$. 
�٥��ȥ�${\bf e}_{k_1}$��${\bf e}_{k_2}$�γ�®�٤Ͼ�����, ξ������Ʊ����
����. 

��ƻȾĹ��$a_k$�ϱ�ǯ�Ѳ����ʤ�. ���Τ褦����ư�����ʱߤ˱�äƤ�������
��ư�ϥ饰��󥸥屿ư�Ȥ�Ф��. 

��ư���μ����Ȥ�������(�����ˤϤʤäƤ��ʤ�), {\bf �����μ��̤�Υ��Ψ��
����ͤ���ʬ���������, ${\bf e}_{k_l}$��¿����β�ž�δ�, ���α�ư��
�饰��󥸥屿ư�˶ᤤ.} 

$n_0$�Ĥμ��ȿ�$\nu_1, \ldots, \nu_{n_0}$to
$n_0^2$�ĤΥ٥��ȥ�${\bf e}_{kl}$�����Ʊ�ͤ�������$n_0$�Ĥ�
������ʿ������ˤ����Ƥ�������.

��������ˤ�����, ���ץ顼�ʱߤ�, ��ƻ���г�$i_k$(��ƻ�̤Ⱥ�ɸʿ�̤�
�֤γ���)����Ӹ���(�����դ��Ĥ�ʿ�̤θ���)�ˤ�ꤵ��˷�ޤ�. 
�����α�ǯ�Ѳ���, ���������˿��Ӥ�Ĺ��
$\sqrt{m_k} \ \sqrt[4]{a_k i_k}$�Υ٥��ȥ�$i_k$�ˤ�äƵ��Ҥ����.
$i_k$�ϰ��Ͳ�ž�٥��ȥ���¤Ǥ⤢�뤬, ���ξ��, �Ŀ���$n_0-1$�Ǥ���. 

��������, �饰��󥸥屿ư�Ͻ����Ū�Ǥ���, ���ץ顼��ư�Ρֹ�®��
���ȿ���, $n_0$��(ʿ������)���뤤��$2n_0-1$��(��������)�α�ǯ��ư��
����®�׼��ȿ����ä��.

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 2. ���α�ư.}  
�����δ��ܷ�̤�, 

{\bf �����μ���, Υ��Ψ, ����ӵ�ƻ���гѤ���ʬ���������, ��¿����
����ͤ��Ф��ƿ��α�ư�Ͻ����Ū�Ǥ���, ̵�»��ֳִ�
$-\infty < t < +\infty$�δ���, Ŭ����������饰��󥸥屿ư�Ⱦ�������
���ʤ�.}

\noindent
�Ȥ�����ΤǤ���. 

�Ϥ����ʿ�̻��������ͤ��褦. �ſ�����ꤹ���, �Ϥ�4��ͳ�٤����, 
8��������֤����. ��ɸ�Ȥ���, ���Ȥ���, ����������
���ץ顼�ʱߤ��������3�Ĥ���(���Ȥ���$a_1, e_1, g_1$)�Ȥ����ʱ߾�Ǥ�
�����ΰ��֤���, �����������Ʊ�ͤ��̤���. 

���$\alpha_k, c_k, C_k > 0$����ꤷ�褦. ŷ�Τμ��̤�
$$ \begin{array}{lll}
 m_k = \mu \alpha_k, & M = 1, & (\mu \ll 1) .
   \end{array}
$$
�Ȥ���. �������Ǿ��
$$
  \alpha_1 \sqrt{a_1} e_1^2 + \alpha_2 \sqrt{a_2} e_2^2 \leq \varepsilon, 
\eqno(3.1.1) 
$$
�����
$$ \begin{array}{lll}
c_1 \leq a_1 \leq C_1, & c_2 \leq a_2 \leq C_2 , & (������ \ 
c_1 < C_1 < c_2 < C_2) .
   \end{array} \eqno(3.1.2)
$$
�����������ΰ�(domain)��ͤ���. ����ͭ���ΰ��$F(\varepsilon)$��
ɽ��. 

IV�Ϥη�̤˴�Ť���, 2���4��Ǽ��μ�ĥ���������. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ����.} Ǥ�դ�$\kappa > 0$���Ф���, $\varepsilon_0>0$�򸫤Ĥ���, 
$$ \begin{array}{ll}
  \varepsilon < \varepsilon_0, & \mu < \varepsilon^4 , 
   \end{array}
$$
�ΤȤ��ˤ�$F(\varepsilon)$��2�Ĥ���ʬ��ʬ���뤳�Ȥ��Ǥ���. ���ʤ��, 
$$
  F(\varepsilon) = {\bf F}(\varepsilon) + f(\varepsilon) , 
$$
�Ƚ�, ���Τ����ΤҤȤ�${\bf F}(\varepsilon)$�����ѤǤ���, �Ĥ��
$f(\varepsilon)$�Ͼ�����. ���ʤ��
$$
  {\rm mes} f(\varepsilon) \leq \kappa \ {\rm mes} F(\varepsilon) . 
$$
${\bf F}(\varepsilon)$��°�������Ͻ����Ū�Ǥ���, ${\bf F}(\varepsilon)$
���4�����β���Ū���ѥȡ��饹�򤢤֤�Ф�. 

�����郎${\bf F}(\varepsilon)$��°����ʤ�, Ǥ�դνִ֤������ο���
���֤�, ����饰��󥸥屿ư���Ԥ������ΰ��֤���$\kappa$̤���ΰ㤤
�����ʤ�. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 4. $n_0$�Ĥ�������ʿ������.} 
����η�̤�$n_0 > 2$�Ĥ��������Ф������뤳�Ȥ��Ǥ���. ���ξ���
IV�Ϥδ��������ؤȵ��夵���뤳�Ȥ��Ǥ���. �б�����׻���5��ǳ���
����. ���˰����ˤ������ʤΤ�, ���٤Ƥ�Ҥ٤뤳�ȤϤ��ʤ�. 

ʿ������Ǥ�$4n_0$�������������ΰ�$F(\varepsilon)$��(3.1.1), 
(3.1.2)�ΰ��̲��Ȥʤ���
$$ \begin{array}{lll}
\displaystyle \sum_{k=1}^{n_0} a_k \sqrt{a_k} e_k^2 \leq \varepsilon, & 
c_k \leq a_k \leq C_k , & 
( {\rm where} \ C_{k-1} < c_k < C_k ) .
   \end{array} \eqno(3.1.3)
$$
��Ϳ������. 3��������ˤ�����ͣ��ΰ㤤��, ��4�����פ��$2n_0$�����פ�
�֤������뤳�ȤǤ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 5. $n_0$�Ĥ������ζ�������.}  
��������Ǥ�, ����֤�$6n_0$�����Ǥ���, (3.1.3)�ξ���������
$$
\displaystyle \sum_{k=1}^{n_0} a_k \sqrt{a_k} i_k^2 \leq \varepsilon
 \eqno(3.1.4)
$$
��ä��ͤФʤ�ʤ�. ������, 3��������ˤ����ơ�4�����פ�
��$3n_0-1$�����פ��֤�������ɬ�פ�����. 
���Τ褦���ѹ������3�������������Ω��. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 6. ��������ξ��.} 
���ξ��, �ѱ�ư����¸(5��)��Ȥ���3��η�̤�궯�����Ȥ�������. 
Υ��Ψ�����������Ȥ��ꤹ��ɬ�פ��ʤ����Ȥ��狼��. ɬ�פʤΤ�, 
���ͤβ�ǽ�����ӽ�����ۤ�Υ��Ψ����ʬ���������Ȥ��ꤹ�뤳�Ȥ�����
����(��15). 3���������(3.1.1)������, 
$$
\displaystyle \sum_{k=1}^{2} a_k \sqrt{a_k} (1 - \sqrt{1 - e_k^2})
\leq \varepsilon_0 (a_k, c_k, C_k) ,
 \eqno(3.1.5)
$$
����������н�ʬ�Ǥ���. ������, 
$$
  \varepsilon_0 = \displaystyle \min_{e_1, e_2} 
\sum_{k=1}^{2} a_k \sqrt{a_k} (1 - \sqrt{1 - e_k^2}) ,
$$
�Ǥ��ä�, $C_1(1+e_1) = c_2(1-e_2), 0 \leq e_1, e_2 \leq 1$�ʤ���
��������. 

(3.1.5), (3.1.2)�����������ΰ��$F$��ɽ����, 3��������򶯤�뼡��
��ĥ������Ω��. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ����.} Ǥ�դ�$\kappa >0$���Ф���, $\mu_0 > 0$�򸫤Ĥ���, 
$$
  \mu < \mu_0 , 
$$
�ʤ��$F$��2�Ĥ��ΰ�
$$
  F = {\bf F} + f ,
$$
��ʬ���뤳�Ȥ��Ǥ���. ���Τ����ΤҤȤ�${\bf F}$�����ѤǤ���, �Ĥ��
$f$�Ͼ�����. ���ʤ��, 
$$
  {\rm mes} \ f \leq \kappa \ {\rm mes} F . 
$$
${\bf F}$��°�������Ͻ������ư��, 4��������Ū���ѥȡ��饹�򤢤֤�Ф�, 
${\bf F}$��˱ʹ�Ȥɤޤ�. �����郎${\bf F}$��°�����, ��ư�������֤�
�錄�äƤε�ƻȾĹ�¤��Ѳ���$\kappa$��ۤ��ʤ�. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 7.} ��������������ֻ�������Ǥ�����Ω��. ���ξ��, 
$F(\varepsilon)$��(3.1.5), (3.1.2)�����(3.1.4)�ˤ�ä�, ��ʬ������
$\varepsilon$�ΤȤ�����������. 

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\Large \bf \S 2. �䥳��, �ɥ����͡�, ����ӥݥ��󥫥��ѿ� }
\vspace{0.3cm}

�䥳�Ӥ�ǰ���ƤĤ��������ѿ���$(p,q)$, �ɥ����͡��ѿ�
$(L, G, l, g)$����ӥݥ��󥫥��ѿ�$(\Lambda, \Gamma, \lambda, \gamma$
�����$\Lambda, \xi, \lambda, \eta)$�򤳤����Ƴ������. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1. �䥳�Ӻ�ɸ.} 
ʿ�̻��������ͤ��褦. ����$M_0, m_1, m_2$��ľ�Ѻ�ɸ$x_0, x_1, x_2$
�����. ���������1�Ȥʤ�ñ�̷Ϥ�Ȥ�. ����ȥ饰��󥸥�ؿ���
$$
  L = \displaystyle \frac{1}{2} \left(
  M_0 \dot{x}_0^2 + m_1 \dot{x}_1^2 +  m_2 \dot{x}_2^2 \right)
 + \frac{m_1M_0}{|x_1 - x_0|} + \frac{m_2M_0}{|x_2 - x_0|}
 + \frac{m_1m_2}{|x_2 - x_1|}  \eqno(3.2.1)
$$
�η�����. �Ƽ�ſ����������. $M_0$���Τ��, $M_0$��$m_1$�νſ�, 
$M_0, m_1, m_2$�νſ��򤽤줾��$X_0, X_1, X_2$��ɽ��. �䥳�Ӥ�
���к�ɸ
$$ \begin{array}{ll}
 q_1 = x_1 - X_0 , & q_2 = x_2 - X_1,  
   \end{array}   \eqno(3.2.2)
$$
��Ƴ�������
$$
  L = \displaystyle \frac{1}{2} \left(
  \mu_1 \dot{q}_1^2 + \mu_2 \dot{q}_2^2 +  M_2 \dot{X}_2^2 \right)
 + \frac{m_1M_0}{|q_1|} + \frac{m_2M_0}{|x_2 - x_0|}
 + \frac{m_1m_2}{|x_2 - x_1|}  \eqno(3.2.3)
$$
������. ������$\mu_i$�ϼ��̤Ǥ��ä�, 
$$ \begin{array}{llll}
\mu_1 = \displaystyle m_1 \frac{M_0}{M_1}, & 
\mu_2 = \displaystyle m_2 \frac{M_1}{M_2}, & 
( M_1 = M_0 + m_1, & 
  M_2 = M_0 + m_1 + m_2 )
   \end{array} \eqno(3.2.4)
$$
��Ϳ������. 

\vspace{3cm}
\hspace*{6cm} ��16

\vspace{3cm}
�������򼺤����Ȥʤ�, ��ŷ�Τνſ����ߤޤäƤ���ȸ��ʤ����Ȥ��Ǥ���. 
����ȷϤΥϥߥ�ȥ�ؿ���
$$
  H  = \displaystyle \frac{1}{2} \left( \frac{p_1^2}{\mu_1} + 
\frac{p_2^2}{\mu_2} \right) -  \frac{m_1M_0}{|q_1|} - 
  \frac{m_2M_0}{|q_2|} - \left[ 
 \frac{m_1m_2}{|x_2 - x_1|} + \left( 
 \frac{m_2M_0}{|x_2 - x_0|} - \frac{m_2M_0}{|q_2 |} \right)
\right]   \eqno(3.2.5)
$$
�Ȥʤ�. ������$p_k = \mu_k \dot{q}_k$�Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 2. �ɥ����͡�����.} 
���ꤷ���濴����$M$�˰���������$m$��ʿ��������ܤ�����褦. ����
����Ǥ�
$$
  H = \frac{1}{2} \frac{p^2}{m} - \frac{mM}{|q|}  
$$
�Ǥ���. ������
$$ \begin{array}{ll}
 p^2 = (p^{(1)})^2 + (p^{(2)})^2, & 
|q| = \displaystyle \sqrt{(q^{(1)})^2 + (q^{(2)})^2}, \\
  p = p^{(1)}, p^{(2)}, &  q = q^{(1)}, q^{(2)}
   \end{array}   \eqno(3.2.6) 
$$
�Ǥ���. ŷ��$m$��$M$������Ȥ��륱�ץ顼�ʱߤ˱�ä�ư�����Ȥ��Τ���
����. �ʱߤη��ϵ�ƻȾĹ��$a$��Υ��Ψ$e$�Ƿ�ޤ�. �ʱߤΰ��֤ϳ���$g$ 
(����������)��ŷ��$m$�ε�ƻ��ΰ��ֳ�$l$ (ʿ�Ѷ���Υ��)�Ƿ�ޤ�. 
��$a, e, l, g$���ʱ����ǤȤ�Ф��. 

�Τ��Ƥ���褦��([1]�򸫤�), �����Ѵ��ˤ�ä� 
$$ 
  p^{(1)}, p^{(2)}, q^{(1)}, q^{(2)} \rightarrow L, G, l, g
   \eqno(3.2.7) 
$$
�ɥ����͡�����$L, G, l, g$��Ƴ�������. ������, 
$$ \begin{array}{lll}
 L = m \sqrt{M} \sqrt{a}, & G = L \sqrt{1 - e^2}, & 
H = \displaystyle - \frac{m^3M^2}{2L^2} . 
   \end{array}   \eqno(3.2.8) 
$$
�Ǥ���. $G$�ϳѱ�ư�̤Ǥ��뤳�Ȥ����դ���:
$$ 
  G = [mq, q] = p^{(1)}q^{(1)} - p^{(2)}q^{(2)} . 
$$

$S_{m, M}(L, G; q^{(1)}, q^{(2)})$���Ѵ�(3.2.7)����ؿ��Ȥ���. 
������,
$$ \begin{array}{llll}
p^{(1)} = \displaystyle \frac{\partial S}{\partial q^{(1)}}, & 
p^{(2)} = \displaystyle \frac{\partial S}{\partial q^{(2)}}, & 
  l     = \displaystyle \frac{\partial S}{\partial L}, & 
  g     = \displaystyle \frac{\partial S}{\partial G}
   \end{array}  \eqno(3.2.9)
$$
�Ǥ���. ʿ�̻�������ˤ�����, �ѿ�$L_k, G_k, l_k, g_k$ $(k=1,2)$��
��ؿ���
$$
 S = S_{\mu_1, M'_1}(L_1, G_1; q_1^{(1)}, q_1^{(2)}) + 
     S_{\mu_2, M'_2}(L_2, G_2; q_2^{(1)}, q_2^{(2)}) ,
$$
�Ȥ���, ����(3.2.9)�ˤ��Ƴ�������. ������, $M'_1 = M_1$�����
$M'_2 = \displaystyle M_2 \frac{M_0}{M_1}$�Ǥ���. 

(3.2.4), (3.2.6), (3.2.8)���餹���, �ϥߥ�ȥ�ؿ�(3.2.5)��
$$
  H  = \displaystyle -  \frac{ \mu_1^3 {M'_1}^2}{2L_1^2} -
\frac{\mu_2^3 {M'_2}^2}{2L_2^2} - 
\left[ \frac{m_1m_2}{|x_2 - x_1|} + \left( 
 \frac{m_2M_0}{|x_2 - x_0|} - \frac{m_2M_0}{|q_2 |} \right)
\right]   \eqno(3.2.10)
$$
�ʤ����Ȥ�. ������$x_0, x_1, x_2, q_2$��, �ط���(3.2.9), (3.2.2)
�ˤ��, $L, G, l, g$���Ѥ���ɽ�������. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 3. ���̤ζҵ���ˤ��Ÿ��.} 
����$m_1$��$m_2$��$M_0$����٤ƾ������Ȳ��ꤹ��. ���ʤ��, 
$$ \begin{array}{lll}
 M_0 = 1, & m_1 = \mu \alpha_1, & m_2 = \mu \alpha_2 
   \end{array}  \eqno(3.2.11)
$$
������$\alpha_1, \alpha_2$��ͭ��, $\mu$�������ʥѥ�᡼���Ǥ���.
$\mu^k f_k + \mu^{k+1}f_{k+1} + \ldots$�η��μ�«�����$(\mu^k) \ldots$
��ɽ��. ���餫��
$$
\left. 
   \begin{array}{lll}
 M_1 = 1 + (\mu) + \ldots, &  M_2 = 1 + (\mu) + \ldots, & 
M'_2 = 1 + (\mu) + \ldots, \\
 \mu_1 = \mu \alpha_1 + (\mu^2) + \ldots, &  
 \mu_2 = \mu \alpha_2 + (\mu^2) + \ldots, & 
   \end{array}
\right\}   \eqno(3.2.12)
$$
������Ω��. $L_k, G_k$
$$ \begin{array}{ll}
L_k = \mu_k \sqrt{M'_k} \sqrt{a_k}, & G_k = L_k \sqrt{1-e_k^2} . 
   \end{array}  \eqno(3.2.13)
$$
���б�������ܿ��ץ��ץ顼�ʱ����Ǥ�$a_k, e_k$��ɽ��. ��ñ�˷׻��Ǥ���
�褦��, (3.2.10)���Τ��������ʬ��
$$
 [(3.2.10)�Τ��������] = \displaystyle \mu^2 \alpha_1 \alpha_2 
\left[ \frac{1}{|q_1 - q_2|} - \frac{|q_1|^s}{|q_2|^2} \right] 
+ (\mu^3) + \ldots , 
  \eqno(3.2.14)
$$
�η�����. ������, $q_k$�ϸ����Τޤ�������$a_k, e_k; l_k, q_k$��
���ץ顼��ƻ�˱�ä�ư������ư�¥٥��ȥ�Ǥ���, $s$�ϥ٥��ȥ�$q_1$��
$q_2$�δ֤γ��٤�;����ɽ��. 
(3.2.14)�ˤ��, �ϥߥ�ȥ�ؿ�(3.2.10)��
$$
  H  = \displaystyle -  \frac{ \mu_1^3 {M'_1}^2}{2L_1^2} -
\frac{\mu_2^3 {M'_2}^2}{2L_2^2} - \mu^2 \alpha_1 \alpha_2
\left[ \frac{1}{|q_1 - q_2|} - \frac{|q_1|^s}{|q_2|^2} \right] 
+ (\mu^3) + \ldots , 
  \eqno(3.2.15)
$$
�η��˽񤱤�. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 4. �ݥ��󥫥��ѿ�.} 
$H, L$��$G$�����$\mu$�ǳ���, ��ư�������Υϥߥ�ȥ������¸�����. 
�����Ѵ�
$$ \begin{array}{lllll}
\mu^{-1}L_k, \mu^{-1}G_k; l_k, g_k & \rightarrow & 
\Lambda_k, \Gamma_k; \lambda_k, \gamma_k & \rightarrow &  
\Lambda_k, \xi_k; \lambda_k, \eta_k 
   \end{array}  \eqno(3.2.16)
$$
�ˤ�äƥݥ��󥫥��ѿ�$\Lambda, \Gamma, \lambda, \gamma$�����
$\Lambda, \xi, \lambda, \eta$
$$
\left.
  \begin{array}{lll}
\mu \Lambda_k = L_k, &  \mu \Gamma_k = L_k - G_k, &  
\xi_k = \sqrt{2\Gamma_k} \cos \gamma_k , \\
\lambda_k = l_k + g_k, &  \gamma_k = - g_k, &  
\eta_k = \sqrt{2\Gamma_k} \sin \gamma_k , 
   \end{array}
 \right\}  \eqno(3.2.17)
$$
��Ƴ������. �ѿ�$\Lambda, \Gamma$��(3.2.8)�����(3.2.17)����Ф����
�ˤ��, �ʱ����Ǥ�ɽ�������: 
$$ \begin{array}{llll}
\Lambda_k = \beta_k \sqrt{a_k}, & 
\Gamma_k = \Lambda_k (1 - \sqrt{1 - e_k^2}), & ������ & 
\beta_k = \displaystyle \frac{\mu_k\sqrt{M'_k}}{\mu} = \alpha_k + 
(\mu) \ldots
   \end{array}  \eqno(3.2.18)
$$
�ѿ�$\Lambda, \Gamma, \lambda, \gamma$ (���뤤��
$\Lambda, \xi, \lambda, \eta$)�λ�����ư��, (3.2.5)����������ϥߥ��
��ؿ� $F = \displaystyle \frac{H}{\mu}$
$$
  F  = \displaystyle -  \frac{ {\beta'_1}^3}{2\Lambda_1^2} -
\frac{{\beta'_2}^3}{2\Lambda_2^2} - \mu^2 \beta_1 \beta_2
\left[ \frac{1}{|q_1 - q_2|} - \frac{|q_1|^s}{|q_2|^2} \right] 
+ (\mu^2) + \ldots , 
  \eqno(3.2.19)
$$
����������Ѵ��ˤ�äƵ��Ҥ����. ������
$\beta'_k = \displaystyle \frac{\mu_k}{\mu} {M'}_k^{2/3} =
\beta_k + (\mu) \ldots$��ŷ�Τμ��̤Τߤ˰�¸����. 

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\Large \bf \S 3.  �С������Ѵ�}
\vspace{0.3cm}

������Ǥ�, �������ѿ�$\overline{\overline{\Lambda}}$, 
$\overline{\overline{\lambda}}, \overline{\overline{\xi}}$, 
$\overline{\overline{\eta}}$������. ��������(4��, 1��)�򤳤����ѿ���
ɽ���������������Ŭ�Ѥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1. �ϥߥ�ȥ�ؿ�.} 
(3.2.9)���ѿ�$\Lambda, \lambda, \xi, \eta$��ɽ������. ���餫��, 
$$
 F = F_0(\Lambda) + \mu F_1(\Lambda, \lambda; \xi , \eta) + 
(\mu^2) \ldots 
$$
$$ \begin{array}{ll}
  F_0 = \displaystyle - \frac{\beta^{'3}_1}{2\Lambda_1^2}
- \frac{\beta^{'3}_2}{2\Lambda_2^2}, & 
F_1 = - \beta_1 \beta_2 \ [\hspace{0.5cm} ]
   \end{array}  \eqno(3.3.1)
$$
�Ǥ���. �����, $F$��$\Lambda_1, \Lambda_2$ 
($\Lambda_1 - \Lambda_2 \neq 0$)�����$|\xi|, |\eta| < R$ 
($R$��$\Lambda$�˰�¸����)���Ф��Ʋ���Ū�Ǥ���, $F$��
$\lambda_1, \lambda_2$�˴ؤ��Ƽ���$2\pi$�Ǥ���. $F$�Ρֱ�ǯ��ʬ��, 
���ʤ��$\lambda$�˴ؤ���$F$��ʿ����
$$
 F_1(\Lambda, \lambda; \xi , \eta) =  
 \overline{F}_1(\Lambda; \xi , \eta) + 
 \widetilde{F}_1(\Lambda, \lambda; \xi , \eta) ,  \eqno(3.3.2)
$$
���������. ������
$\displaystyle \int \int \widetilde{F}_1 d \lambda_1 d \lambda_2 = 0$
�Ǥ���. ��ñ�ˤ狼��褦��, $\overline{F}_1$��$\xi, \eta$�˴ؤ��ƶ���
����. $\overline{F}_1$�ˤ�����, �ѿ�$\Lambda$��ѥ�᡼���ȹͤ���. 
��$\xi = \eta = 0$�ϥϥߥ�ȥ�ؿ���(�Ƹ��ꤷ��$\Lambda$���Ф���)
$\overline{F}_1(\xi,\eta)$�Ȥ���Ϥ�ʿ�����ΰ��֤Ǥ���. �С���������
(I��, 9��)��$\overline{F}_1(\xi,\eta)$��Ŭ�Ѥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 2. ��ɸ$\xi', \eta'$.} 
�ϥߥ�ȥ��������˲��αƶ�������ʤ����$\overline{F}_{10}$��̵�뤹���, 
$\xi, \eta$�ζҤ�Ÿ������$\overline{F}_1$
$$
  \overline{F}_1 =  \overline{F}_{10} +  \overline{F}_{12} + 
\overline{F}_{14} + \ldots , 
$$
�������ͤ�2������$\overline{F}_{12}$����Ϥޤ�
\footnote{�郎�ϥߥ�ȥ�ؿ�$F$��ŷ���ϳؤ���ư�ؿ����������㤦.}. 
���������Ѵ�$\xi, \eta \rightarrow \xi', \eta'$�ˤ��, 
$\overline{F}_{12}$��
$$ \begin{array}{lrrr}
\overline{F}_{12} = v'_1 \Gamma'_1 + v'_2 \Gamma'_2  \ & \  
( 2\Gamma'_k = \xi^{'2}_k + \eta^{'2}_k = p'_k q'_k; & 
p_k = \xi_k + i \eta_k, & q_k = \xi_k - i \eta_k ) 
   \end{array} \eqno(3.3.3)
$$
�ʤ���˴Ը��Ǥ���. �����Ƿ���$v'_k$��$\Lambda$�˰�¸����. 
$\overline{F}_{14}$��
$$ 
\overline{F}_{14} = v'_{11} \Gamma^{'2}_1 + 2v'_{12} \Gamma'_1\Gamma'_2 
+  v'_{22} \Gamma^{'2}_2 + \ldots , \eqno(3.3.4)  
$$
�ʤ���˽�. �����ǥɥåȤ�$\xi', \eta'$�˴ؤ���4��(degree)�ι��ɽ��. 
$p', q'$�ζҤ�Ÿ�������Ȥ�, �����
${p'}_1^k {q'}_1^l {p'}_2^m {q'}_2^n$�Τߤ�Ϳ����. ������
$(k-l)^2 + (m-n)^2 \neq 0$�Ǥ���. (3.3.4)�η���$v_{ij}$��
$\Lambda$�˰�¸����. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 3. ��ɸ$\xi^{(s)}, \eta^{(s)}$.} 
$\Lambda$��
$$ \begin{array}{lcl}
 k_1 v'_1 + k_2 v'_2 \neq 0 & {\rm for} & 0 < |k_1| + |k_2| \leq 6 ,  
   \end{array} \eqno(3.3.5)
$$
���������褦�ʤ�ΤǤ����, �С���������(I��, 9��)�˱�����, ����ʤ�
�����Ѵ�
$$ 
\xi, \eta \rightarrow \xi' \eta' \rightarrow 
\xi^{(2)}, \eta^{(2)} \rightarrow 
\xi^{\displaystyle \left( 2 \frac{1}{2} \right)} , 
\eta^{\displaystyle \left( 2 \frac{1}{2} \right)}
\rightarrow \xi^{(3)}, \eta^{(3)} \rightarrow 
\xi^{\displaystyle \left( 3 \frac{1}{2} \right)} , 
\eta^{\displaystyle \left( 3 \frac{1}{2} \right)} 
   \eqno(3.3.6)
$$
��¸�ߤ���, $\overline{F}_1$��
$$ \begin{array}{ll}
\overline{F}_1 = \overline{\overline{F}}_1^{(s)}(\Gamma^{(s)}) + 
O(|\xi^{(s)}|^{2s}, |\eta^{(s)}|^{2s}) & 
(2\Gamma_k^{(s)} = (\xi_k^{(s)})^2, (\eta_k^{(s)})^2)
   \end{array} \eqno(3.3.7)
$$
�η��˴Ը�����. $\overline{F}_1$�϶��ؿ��Ǥ��뤫��, 
$\xi^{(2)}, \eta^{(2)} = \xi', \eta'$����������. ��ˡ
$$ \begin{array}{lll}
 \overline{\xi} = 
\xi^{\displaystyle \left( 2 \frac{1}{2} \right)}, 
& \overline{\eta} = 
\eta^{\displaystyle \left( 2 \frac{1}{2} \right)}, 
& 2 \overline{\Gamma} = \overline{\xi}^2 +  \overline{\eta}^2 , \\
 \overline{\overline{\xi}} = 
\xi^{\displaystyle \left( 2 \frac{1}{2} \right)}, 
&  \overline{\overline{\eta}} = 
\eta^{\displaystyle \left( 2 \frac{1}{2} \right)}, 
 & 2 \overline{\overline{\Gamma}} = \overline{\overline{\xi}}^2 + 
  \overline{\overline{\eta}}^2 , \\
   \end{array}
$$
��Ƴ�����褦. 
�Ѵ�$\xi', \eta' \rightarrow \overline{\xi}, \overline{\eta}$([3],[8]��
����)�θ����η�����, $2s = 5$���Ф��Ƥ�, (3.3.7)���, 
$$
 \overline{\overline{F}}_1^{\displaystyle \left( 2 \frac{1}{2} \right)}
= \overline{v}_0 + \overline{v}_1 \overline{\Gamma}_1 + 
\overline{v}_2 \overline{\Gamma}_2 + 
\overline{v}_{11} \overline{\Gamma}_1^2 + 
2 \overline{v}_{12} \overline{\Gamma}_1 \overline{\Gamma}_2 + 
\overline{v}_{22} \overline{\Gamma}_2^2  ,  \eqno(3.3.8)
$$
�Ǥ��뤳�Ȥ��狼��. ������
$$ \begin{array}{llcl}
\overline{v}_0 = \overline{F}_{10}, & 
\overline{v}_k = v'_k, & ����� & 
\overline{v}_{kl} = v'_{kl}
   \end{array}
$$
�Ǥ���((3.3.4)�򸫤�).

�������ä�, I��, 9��˱�����, (3.3.7)����$2s = 7$�Ȥ����, 
$$
 \overline{\overline{F}}_1^{\displaystyle \left( 3 \frac{1}{2} \right)}
= \displaystyle \overline{v}_0 + 
\sum \overline{v}_k \overline{\overline{\Gamma}}_k + 
\sum \overline{v}_{kl} \overline{\overline{\Gamma}}_k
                       \overline{\overline{\Gamma}}_l + 
\sum  \overline{v}_{klm} \overline{\overline{\Gamma}}_k
\overline{\overline{\Gamma}}_l\overline{\overline{\Gamma}}_m ,
    \eqno(3.3.9)
$$
������Ω��. ������, ����$\overline{v}_k$�����$\overline{v}_{kl}$��
(3.3.8)���Τ�Τ�Ʊ���Ǥ���
(������$\overline{v}_{kl} = \overline{v}_{lk}$). 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 4. �����Ѵ� $\Lambda, \lambda; \xi, \eta \rightarrow 
\overline{\overline{\Lambda}}, \overline{\overline{\lambda}},  
\overline{\overline{\xi}}, \overline{\overline{\eta}}$.} 
$S(\overline{\overline{\xi}}, \overline{\overline{\eta}})$���Ѵ�
$\xi, \eta \rightarrow \overline{\overline{\xi}}, 
\overline{\overline{\eta}}$����ؿ���ɽ���Ȥ���((3.3.6)�򸫤�).
����ϥѥ�᡼��$\Lambda$�˰�¸����. ���ʤ��, 
$S = S(\Lambda; \overline{\overline{\xi}}, \eta)$�Ǥ���. ����������Ѵ�
$$ \begin{array}{lll}
 \Lambda \rightarrow \overline{\overline{\Lambda}} = \Lambda, & 
 \lambda \rightarrow \overline{\overline{\lambda}} = \displaystyle
\lambda + \frac{\partial S}{\partial \overline{\overline{\Lambda}}}, & 
\xi, \eta \rightarrow \overline{\overline{\xi}} , 
\overline{\overline{\eta}}
   \end{array}
$$
���������. $\lambda$��$\lambda$�˰�¸���ʤ�������ѹ�����뤫��, 
�ϥߥ�ȥ�ؿ�$F_1$�α�ǯ��ʬ�ȼ�����ʬ�ؤ�ʬ��(3.3.2)����¸�����. 
������
$\overline{\overline{\Lambda}}, \overline{\overline{\lambda}},  
\overline{\overline{\xi}}, \overline{\overline{\eta}}; F; \overline{v}$ 
�򤽤줾��$p_0, q_0; p_1, q_1; H; \lambda,\tau$��ɽ����. �ϥߥ�ȥ�ؿ�
(3.3.1)��, (3.3.1), (3.3.2), (3.3.7), (3.3.8)�˱�����
$\overline{\overline{\Lambda}}, \overline{\overline{\lambda}},  
\overline{\overline{\xi}}, \overline{\overline{\eta}}$��ɽ����, 
IV��, 1���(4.1.1), (4.1.2), (4.1.3), (4.1.4)�η�����($n_0=2, n_1 = 2$).

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 5. �������.} 
����$G_0, \rho, R$�����$C$�������, IV��, 1��δ��������ξ���
����������. 

�Ѵ�(3.3.6)�Ͼ��(3.3.5)���ˤ�����ˤ������ð��������. ����������
����$\Lambda$��ͭ�¸Ĥ���ʬ¿���Τ�ʤ�. �Ȥ����Τ�
$$
\displaystyle \left| 
 \frac{\partial (v'_1, v'_2)}{\partial (\Lambda_1, \Lambda_2)}
\right|  \not\equiv 0   \eqno(3.3.10)
$$
������Ǥ���. (3.3.10)����������4��, 7��Ǿ�������. 


�������򼺤����Ȥʤ�, ����$\Lambda$���ΰ�$G_0$����˻�Ŧ����¿���Τ���
ͭ�¤ε�Υ�˰��֤���Ȳ��ꤹ�뤳�Ȥ��Ǥ���. ���ΤȤ�, ɽ��
$|k_1 v'_1 + k_2 v'_2|$ ($0 < |k_1| + |k_2| \leq 6$)��$G_0$���
���ͤʲ��¤����. ���η��, ��ʬ������$R$��$\rho$���Ф���, 4����������
�ؿ�$H$���ΰ�$|p_1q_1| \leq R, |{\rm Im} \ q_0| \leq \rho, p_0 \in G_0$
�ˤ����Ʋ���Ū�Ǥ���. $C$����ʬ�礭�����, ��������(IV��, 1��)�ξ��
3)�����������. ���4)��
$$
\displaystyle \left| 
 \frac{\partial^2 F_0}{\partial \Lambda_k \partial \Lambda_l}
\right|  \not\equiv 0   \eqno(3.3.11)
$$
�����
$$
\displaystyle \left| 
 \overline{v}_{kl} \right|  \not\equiv 0   \eqno(3.3.12)
$$
�Ǥ��뤳�Ȥ���������. (3.3.11)����������(3.3.1)���餷������. ������
(3.3.12)��4��, 7��Ǿ�������. ��������, ��ǻ��ꤷ���褦��
$G_0, \rho, R$�����$C$�����֤�, ���������Τ��٤Ƥξ�郎���������. 
���������η���I -- IV�����ܾϤ�1��, 1���������Ϳ������. 

\newpage
\vspace{0.5cm}
\noindent
{\Large \bf \S 4.  $\overline{F}_1$��Ÿ������������Ū�դ�ޤ��η׻�}
\vspace{0.3cm}

������ǤϹ���(3.3.10)�����(3.3.12)������Ū�ˤϥ����ˤʤ�ʤ����Ȥ�
��������. ������, ��ƻȾĹ�¤���
$\alpha = \displaystyle \frac{\alpha_1}{\alpha_2}$�������˸������Ȥ���
�����ι��󼰤�����Ū�դ�ޤ��η׻��˴�Ť�. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1. $\overline{|q_1 - q_2|^{-1}}$��Ÿ��.} 
(3.2.19)�����(3.3.2)���, 
$$
 \overline{F}_1 = \displaystyle - \beta_1 \beta_2 \overline{\left[ 
|q_1 - q_2|^{-1} + \frac{|q_1|^s}{|q_2|^2}\right]}
$$
���Ф�. ��������ñ�ˤ狼��褦��, $\lambda_1$�˴ؤ���$|q_1|$��ʿ����
�ϥ�����������. �������ä�
$$
 \overline{F}_1 = \displaystyle - \beta_1 \beta_2 \overline{\left[ 
|q_1 - q_2|^{-1}\right]}  \eqno(3.4.1)
$$
�Ǥ���. 

$a_1 = \alpha, a_2 = 1$���֤�, �ѿ�$\xi', \eta'$�ˤ���«��Ÿ��
�ˤ�����$\nu'$�η�����$\alpha \rightarrow 0$�ΤȤ�������Ū�դ�ޤ�
(3.4.3)�����((3.3.7)��(3.3.8)�򸫤�).
$$
\displaystyle |q_1 - q_2|^{-1} = \nu'_0 + \nu'_1 \Gamma'_1 + 
 \nu'_2 \Gamma'_2 +  \nu'_{11} \Gamma^{'2}_1 + 
2 \nu'_{12} \Gamma'_1 \Gamma'_2 + \nu'_{22} \Gamma^{'2}_2 + 
R'_4 + R'_5 , 
  \eqno(3.4.2)
$$
������, $R'_4$��$p', q'$�˴ؤ���4��(degree)�ιफ��ʤ�, 
$(k-l)^2 + (m-n)^2 \neq 0$�Ȥ���${p'_1}^k{q'_1}^l{p'_2}^m{q'_2}^n$
�ʤ���򤷤Ƥ���. �ޤ�$R'_5$��5���ʾ�ι�Ǥ���. 
7��ˤ�����, (3.4.3)�����麤��ʤ�����(3.3.10)�����(3.3.12)��
����Ū�դ�ޤ�������Ĥ��Ǥ���.   

(3.4.2)�η���$\nu'$��
$$
\left. 
   \begin{array}{lll}
 \nu'_0 = 1 + O(\alpha^2), & \nu'_1 = \displaystyle \frac{3}{4\beta_1} 
\alpha^{3/2} + O(\alpha^{7/2}), & 
\nu'_2 = \displaystyle \frac{3}{4\beta_2} \alpha^2 + O(\alpha^{7/2}), \\ 
%
\nu'_{11} = \displaystyle - \frac{3}{8\beta_1} \alpha + O(\alpha^3), & 
\nu'_{12} = \displaystyle - \frac{9}{8\beta_1\beta_2} \alpha^{3/2} 
+ O(\alpha^{7/2}), & \\
& \nu'_{22} = \displaystyle \frac{3}{2\beta_2^2} \alpha^2  
+ O(\alpha^{7/2}),  
   \end{array}
\right\}      \eqno(3.4.3)
$$
�ʤ���򤷤Ƥ��뤳�Ȥ�������褦. 
������2��--7��ˤ����ƹԤ�. 6��������Ȥ�. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 2. $e_1,e_2$�ζҤˤ��Ÿ��.} 
��٥ꥨ��ɽ[32]���, 
$$ \begin{array}{l}
\displaystyle |q_1 - q_2|^{-1} = \\
 \displaystyle 
 (1^0) + (2^0)\left( \frac{e_1}{2} \right)^2 + 
(3^0) \left( \frac{e_2}{2} \right)^2 + 
(4^0) \left( \frac{e_1}{2} \right)^4 + 
(5^0) \left( \frac{e_1}{2} \right)^2 \left( \frac{e_2}{2} \right)^2  
+ (6^0) \left( \frac{e_2}{2} \right)^4 
\\
 \displaystyle 
+ \left[ 
(21^{-1})\left( \frac{e_1}{2} \right)\left( \frac{e_2}{2} \right) + 
(22^{-1})\left( \frac{e_1}{2} \right)^3 \left( \frac{e_2}{2} \right) + 
(23^{-1})\left( \frac{e_1}{2} \right) \left( \frac{e_2}{2} \right)^3  
\right] \cos ( \gamma_1 - \gamma_2) \\
 \displaystyle 
+ (31^{-2})\left( \frac{e_1}{2} \right)^2 \left( \frac{e_2}{2} \right)^2 
 \cos 2(\gamma_1 - \gamma_2) + R_5^0,  
   \end{array}  \eqno(3.4.4)
$$
�Ǥ��뤳�Ȥ��狼��. ������$R_5^0$��$e \cos \gamma, e \sin \gamma$�˴ؤ�
��5���ʾ�ιफ��Ϥޤ����Ǥ���. �ʲ��ε�ˡ����Ѥ���. 
$$ \left.
   \begin{array}{l}
(1^0) = \displaystyle \frac{1}{2}A_0^0, \ \ 
(2^0) = \displaystyle A_1^0 + A_2^0, \ \
(3^0) = \displaystyle A_1^0 + A_2^0, \ \
(4^0) = \displaystyle 3A_3^0 + A_4^0, \\
%
(5^0) = \displaystyle 2A_1^0 + 14A_2^0 + 24A_3^0 + 12A_4^0 , \ \
(6^0) = \displaystyle 3A_1^0 + 9 A_2^0 +  9A_3^0 +  3A_4^0 , \\
%
(21^{-1}) = \displaystyle 2A_0^{-1} - 2A_1^{-1} - 2A_2^{-1} , \ \
(22^{-1}) = \displaystyle - 4A_2^{-1} - 18A_3^{-1} - 12A_4^{-1}, \\
%
(23^{-1}) = \displaystyle 2A_0^{-1} - 2A_1^{-1} - 22A_2^{-1} 
             - 30A_3^{-1} - 12A_4^{-1} , \\
%
(31^{-2}) = \displaystyle 3A_0^{-2} - 3A_1^{-2} +  3A_2^{-2} 
             + 12A_3^{-2} +  6A_4^{-2} , 
   \end{array}
   \right\}         \eqno(3.4.5)
$$
����(3.4.5)�ˤ�����, ����$A_k^i$��
$$ \begin{array}{lcll}
A_k^i = \displaystyle \frac{a^k}{k!} 
\frac{d^k b^i}{da^k}, & ������ & 
\displaystyle (1 + \alpha^2 - 2 \alpha \cos \varphi)^{-1/2} = 
\displaystyle \frac{1}{2} \sum_{t = -\infty}^{+\infty} 
b^i \cos i \varphi, & b^i = b^{-i} ,
   \end{array}  \eqno(3.4.6)
$$
��Ϳ������. ������$\alpha$�Τ٤������ɽ����$A_k^i$��Ÿ����
$$ \left.
   \begin{array}{lll}
A_0^0 = \displaystyle 2 + \frac{\alpha^2}{2} + O(\alpha^4), &  
A_0^{-1} = \alpha + O(\alpha^3), & 
A_0^{-2} = \displaystyle \frac{3}{4}\alpha^2 + O(\alpha^4), \\
%
A_1^0 = \displaystyle \alpha^2 + O(\alpha^4), &  
A_1^{-1} = \alpha + O(\alpha^3), & 
A_1^{-2} = \displaystyle \frac{3}{2}\alpha^2 + O(\alpha^4), \\
%
A_2^0 = \displaystyle \frac{\alpha^2}{2} + O(\alpha^4), &  
A_2^{-1} = O(\alpha^3), & 
A_2^{-2} = \displaystyle \frac{3}{4}\alpha^2 + O(\alpha^4), \\
%
A_3^{0} = O(\alpha^3), & A_3^{-1} = O(\alpha^3), & 
A_3^{-2} = O(\alpha^3), \\
%
A_4^{0} = O(\alpha^3), & A_4^{-1} = O(\alpha^3), & 
A_4^{-2} = O(\alpha^3), \\
   \end{array}
   \right\}         \eqno(3.4.7)
$$
�ʤ����Ȥ�. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 3. $\xi, \eta$�ζҤˤ��Ÿ��.} 
(3.2.18)�˱�����, 
$$
\displaystyle \frac{e}{2} = \displaystyle
\sqrt{\frac{\Gamma}{2\Lambda}} \left( 
 1 - \frac{\Gamma}{4\Lambda} + \ldots \right),  \eqno(3.4.8)
$$
�Ǥ���. (3.4.8)��(3.4.4)�����������
$$ \begin{array}{l}
\displaystyle |q_1 - q_2|^{-1} \\
= \nu_0 + \nu_1 \Gamma_1 + \nu_2 \Gamma_2
 + 2 \nu \sqrt{\Gamma_1 \Gamma_2} \cos (\gamma_1 - \gamma_2) 
+ \nu_{11} \Gamma_1^2 +  \nu_{12} \Gamma_1 \Gamma_2 \\
\displaystyle + \nu_{22} \Gamma_2^2 
+ \left[ \kappa_{13} \sqrt{\Gamma_1 \Gamma_2^3} + 
\kappa_{31}\sqrt{\Gamma_1^3 \Gamma_2} \right] \cos (\gamma_1 - \gamma_2) 
\\
+ \kappa_{22} \Gamma_1 \Gamma_2 \cos 2(\gamma_1 - \gamma_2) + R_5 ,  
   \end{array}  \eqno(3.4.9)
$$
��������. ������, �ʲ��ε�ˡ���Ѥ���:
$$ \left.
   \begin{array}{lll}
\nu_0 = (1^0), \ \nu_1 = \displaystyle \frac{(2^0)}{2\Lambda_1}, 
& \nu_2  = \displaystyle \frac{(3^0)}{2\Lambda_2},   
& \nu   = \displaystyle \frac{(21^{-1})}{2\sqrt{\Lambda_1\Lambda_2}}, \\
%
\nu_{11} = \displaystyle \frac{(4^0) - (2^0)}{4\Lambda_1^2}, & 
 2 \nu_{12}  = \displaystyle \frac{(5^0)}{4\Lambda_1\Lambda_2}, &
 \nu_{22} = \displaystyle \frac{(6^0) - (3^0)}{4\Lambda_2^2}, \\  
%
\kappa_{13} = \displaystyle 
\frac{2(23^{-1}) - (21^{-1})}{8\sqrt{\Lambda_1\Lambda_2^3}}, & 
\kappa_{31} = \displaystyle 
\frac{2(22^{-1}) - (21^{-1})}{8\sqrt{\Lambda_1^3\Lambda_2}}, & 
\kappa_{22} = \displaystyle 
\frac{(31^{-2})}{4\Lambda_1\Lambda_2},
   \end{array}
   \right\}         \eqno(3.4.10)
$$
�ޤ�$R_5$��$\xi, \eta$�˴ؤ���5��(degree)�ʾ�ιफ��Ϥޤ����Ǥ���. 

$\Lambda_1 = \beta \sqrt{\alpha}, \Lambda_2 = \beta_2$�Ǥ��뤳�Ȥ��餹��
��, Ÿ��(3.4.9)��η�����, ɽ��(3.4.5)�����(3.4.7)�����(3.4.10)��
���������, 
$$ \begin{array}{llll}
\nu_0 = \displaystyle 1 + O(\alpha^4), &  
\nu_1 = \displaystyle \frac{3}{4\beta_1}\alpha^{3/2} + O(\alpha^{7/2}), &  
\nu_2 = \displaystyle \frac{3}{4\beta_2}\alpha^2 + O(\alpha^4), &
\nu = O(\alpha^{11/4}) 
   \end{array}  \eqno(3.4.11)
$$
$$ \begin{array}{lll}
\nu_{11} = \displaystyle - 
\frac{3}{8\beta_1^2}\alpha + O(\alpha^3), &  
\nu_{12} = \displaystyle \frac{9}{8\beta_1\beta_2}\alpha^{3/2} 
+ O(\alpha^{7/2}), &
\nu_{22} = \displaystyle \frac{3}{2\beta_2^2}\alpha^2 + O(\alpha^4),
   \end{array}  \eqno(3.4.12)
$$
$$ \begin{array}{lll}
\kappa_{13} = \displaystyle  O(\alpha^{11/4}), &  
\kappa_{31} = \displaystyle  O(\alpha^{9/4}), &
\kappa_{22} = \displaystyle  O(\alpha^{7/2}),
   \end{array}  \eqno(3.4.13)
$$
�ʤ������. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 4. $\xi', \eta'$�ζҤˤ��Ÿ��.} 
6�������2�ϴؿ�
$$
  H_2 = \nu_1 \Gamma_1 +  \nu_2 \Gamma_2 + 
\nu \sqrt{\Gamma_1 \Gamma_2} \cos(\gamma_1 - \gamma_2)
$$
��Ŭ�Ѥ����. ������, 
$$ \begin{array}{ll}
H_2 = \nu'_1 \Gamma'_1 +  \nu'_2 \Gamma'_2, & 
2 \Gamma' = \xi^{'2} + \eta^{'2} , 
   \end{array}  \eqno(3.4.14)
$$
����������. ������, $x = \xi, \eta, p$�ޤ���$q$���Ф�, ���
$$
  (\nu_1 - \nu_2) \sin 2 \varphi + \nu \cos 2 \varphi = 0
$$
�ˤ�ä�$\varphi$�����, 
$$
\left.
   \begin{array}{l}
 x_1 = x'_1 \cos \varphi + x'_2 \sin \varphi , \\
 x_2 = - x'_1 \sin \varphi + x'_2 \cos \varphi , \\
   \end{array}
\right\}  \eqno(3.4.15)
$$
������. ������, (3.4.11)�����6���(3.4.27), (3.4.29)�˱�����, 
$$ \begin{array}{lll}
\varphi = \displaystyle  O(\alpha^{5/4}), &  
\nu'_1 = \displaystyle \nu_1 + O(\alpha^{7/2}), &
\nu'_2 = \displaystyle \nu_2 + O(\alpha^{7/2}),
   \end{array}  \eqno(3.4.16)
$$
������Ω��. 

(3.4.15)��(3.4.9)����������, $x'$�Τ٤��ˤ��(3.4.2)��Ÿ��������:
$$
\displaystyle \overline{|q_1 - q_2|^{-1}} = 
\nu'_0 + \nu'_1 \Gamma'_1 + \nu'_2 \Gamma'_2 +  \nu'_{11} \Gamma^{'2}_1 + 
2 \nu'_{12} \Gamma'_1 \Gamma'_2 + \nu'_{22} \Gamma^{'2}_2 + 
R_4 + R_5 , 
  \eqno(3.4.17)
$$
������, (3.4.11), (3.4.14)�����(3.4.15)�˱�����,
$$ \begin{array}{ll}  
\nu'_1 = \displaystyle \frac{3}{4\beta_1}\alpha^{3/2} + O(\alpha^{7/2}), &  
\nu'_2 = \displaystyle \frac{3}{4\beta_2}\alpha^2 + O(\alpha^4), \\
   \end{array}  \eqno(3.4.18)
$$
�Ǥ���. ������$R_4$��, $(k-l)^2 + (m-n)^2 \neq 0$�Ȥ���
${p'}_1^k{q'}_1^l{p'}_2^m{q'}_2^n$�η���4��(degree)�ιफ��ʤ�, 
$R_5$��4�����⤤�����ιफ��ʤ�. ��5�ˤ�����, ����${\nu'}_{ij}$��
(3.4.17)������äƤ���, ɽ��(3.4.3)������. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 5. $\nu'_{ij}$�η׻�.} 
$x$��ɽ��(3.4.15)�����������, $x$�γƴؿ���$x'$�˴ؤ������Ȥ���Ÿ��
�Ǥ���. ľ�ܷ׻��ˤ���, ������Ÿ���η����Ȥ���, 
(3.4.19)--(3.4.21)�ʤ�ɽ����, ���и���$O(\varphi^2)$���٤�������. 

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|cc|}
\hline
coefficient of $\rightarrow$        &         &       \\
in the expansion of $\downarrow$    & $x'_1$ & $x'_2$ \\
\hline 
$x_1$  & 1 & $\varphi$ \\
$x_2$  & $-\varphi$ & 1 \\
\hline
\end{tabular} \hfill (3.4.19)
\end{center} 
(3.4.19)���, $x = p$�ޤ���$q$���֤���, ��������. 

\begin{center}
\begin{tabular}{|r|c|c|c|c|}
\hline
   & $2\Gamma'_1 = p'_1q'_1$ & $p'_1q'_2$ & $p'_2q'_1$ &
$p'_2 q'_2 = 2\Gamma'_2$ \\
\hline
$2\Gamma_1 = p_1 q_1$  & 1 & $\varphi$ & $\varphi$ & $\varphi^2$\\
$p_1 q_2$  & $-\varphi$ & 1 & $-\varphi^2$ & $\varphi$ \\
$p_2 q_1$  & $-\varphi$ & $-\varphi^2$ & 1 & $\varphi$ \\
$2\Gamma_2 = p_2 q_2$ & $\varphi^2$ & $-\varphi$ & $-\varphi$ & 1 \\
\hline
\end{tabular} \hfill (3.4.20)
\end{center} 
(3.4.20)��Ȥä�$p', q'$�Τ٤�����ˤ��Ÿ��������׻����Ƽ�������. 

\begin{center}
\begin{tabular}{|r|c|c|c|}
\hline
   & $(2\Gamma'_1)^2$ & $(2\Gamma'_1)(2\Gamma'_2)$ & $(2\Gamma'_2)^2$ \\
\hline
$(2\Gamma_1)^2$  & 1 & $4\varphi^2$ & $\varphi^4$ \\
$(2\Gamma_1)(2\Gamma_2)$  & $\varphi^2$ & 1 & $\varphi^2$ \\
$(2\Gamma_2)^2$  & $\varphi^4$ & $4\varphi^2$ & 1 \\
\hline
\end{tabular} \hfill (3.4.21)
\end{center} 
�������ä�, ���������Τʹ���(3.4.21)��ñ�̹����$O(\varphi^2)$�����ۤʤ�. 

6�������1��(3.4.23), (3.4.24), (3.4.25), ����Ӹ���(3.4.20)����ñ��
�׻��Ǥ���褦��, ��
$$ \begin{array}{lll}
 8 \sqrt{\Gamma_1^3\Gamma_2} \cos (\gamma_1 - \Gamma_2), & 
 8 \sqrt{\Gamma_1\Gamma_2^3} \cos (\gamma_1 - \Gamma_2), & 
 8 \Gamma_1\Gamma_2 \cos 2(\gamma_1 - \Gamma_2), 
   \end{array}
$$
��$p', q'$�Τ٤��ˤ��Ÿ����$(2\Gamma'_1)^2$, $(2\Gamma'_1)(2\Gamma'_2)$
�����$(2\Gamma'_2)^2$�η����Ϥ��٤�$O(\varphi)$�Ǥ���. 

�Ȥ�����, (3.4.16)���, $\varphi = O(\alpha^{5/4})$�Ǥ���. (3.4.12)�ˤ�
���$\nu_{ij} = O(\alpha)$�Ǥ���, (3.4.13)�ˤ��
$\kappa_{ij} = O(\alpha^{9/4})$�Ǥ��뤫��, Ÿ��(3.4.17)�η����� 
$$
 \nu_{ij} = \nu_{ij} + O(\alpha) O(\varphi^2) + 
O(\alpha~{9/4}) O(\varphi) = \nu_{ij} + O(\alpha^{7/2})
$$
�Ǥ���, (3.4.12)�η��, $\nu'_{ij}$������Ū��(3.4.3)�Τ褦�ˤդ�ޤ�. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 6. 2�Ĥ�����.} 
�ʲ��ε�ˡ���Ѥ���. 
$$ \begin{array}{ll}
\left.
    \begin{array}{ll}
  \xi_k = \displaystyle \sqrt{2\Gamma_k} \cos \gamma_k , & 
  p_k = \xi_k + i \eta_k, \\
  \eta_k = \displaystyle \sqrt{2\Gamma_k} \sin \gamma_k , &
  q_k = \xi_k - i \eta_k, \\
    \end{array}
\right\} & (k=1,2)
   \end{array}  \eqno(3.4.22)
$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 1.} �ʲ�������������Ω��: 

$$
  2\Gamma_k = \xi_k^2 + \eta_k^2 = p_kq_k ,  \eqno(3.4.23)
$$

$$
 4 \sqrt{\Gamma_1 \Gamma_2} \cos (\gamma_1 - \gamma_2) = 
2(\xi_1\xi_2 + \eta_1 \eta_2) = p_1 q_2 + p_2 q_1 ,  \eqno(3.4.24)
$$ 

$$
 8 \Gamma_1 \Gamma_2 \cos^2 (\gamma_1 - \gamma_2) = \displaystyle
2\left[ (\xi_1^2 - \eta_1^2)(\xi_2^2 - \eta_2^2) + 
4\xi_1 \xi_2 \eta_1 \eta_2 \right] 
= p_1^2 q_2^2 + p_2^2 q_1^2 ,  
              \eqno(3.4.25)
$$ 

\vspace{0.3cm}
���������餫�Ǥ���. ����1���, ������ñ�˾����Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 2.} (3.4.22)�ε�ˡ��Ȥä�, 
$x_k$��$\xi_k$�����$\eta_k$�ޤ���$p_k$�����$q_k$��ɽ���Ȥ���, 
����
$$
\left.
   \begin{array}{l}
 x_1 = x'_1 \cos \varphi + x'_2 \sin \varphi , \\
 x_2 = - x'_1 \sin \varphi + x'_2 \cos \varphi , \\
   \end{array}
\right\}  \eqno(3.4.26)
$$
�������Ѵ�$\xi, \eta \rightarrow \xi', \eta'$���������. 
$\varphi$���ط���
$$
  \nu' = (\nu_1 - \nu_2) \sin 2 \varphi + \nu \cos 2 \varphi = 0, 
\eqno(3.4.27)
$$
����������, �ؿ�
$H_2 = \nu \Gamma_1 + \nu_2 \Gamma_2 + \nu \sqrt{\Gamma_1 \Gamma_2} 
\cos (\gamma_1 - \gamma_2)$��, �������ѿ�$x'$��Ȥä�, ����
$$ \begin{array}{ll}
H_2 = \nu'_1 \Gamma'_1 +  \nu'_2 \Gamma'_2, & 
(2 \Gamma'_k = \xi_k^{'2} + \eta_k^{'2} = p'_k q'_k) , 
   \end{array}  \eqno(3.4.28)
$$
�ˤ��ɽ�����. ������
$$ \begin{array}{ll}
  \nu'_1 = \displaystyle 
\nu_1 - \frac{\nu}{2} \sin 2 \varphi - (\nu_1 - \nu_2) \sin^2 \varphi, & 
  \nu'_2 = \displaystyle 
\nu_2 + \frac{\nu}{2} \sin 2 \varphi + (\nu_1 - \nu_2) \sin^2 \varphi, 
   \end{array}  \eqno(3.4.29)
$$
�Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 7. ����(3.3.10), (3.3.12)������Ū�դ�ޤ�.} 
(3.4.1)��(3.3.8)�ε���Ȥ���, ����$v' = \overline{v}$��
$$ \begin{array}{lll}
 \overline{v}_0 = \displaystyle - \beta_1 \beta_2 a_2^{-1} \nu'_0, & 
 \overline{v}_k = \displaystyle - \beta_1 \beta_2 a_2^{-3/2} \nu'_k, & 
 \overline{v}_{kl} = \displaystyle - 
\beta_1 \beta_2 a_2^{-2} \nu'_{kl}, 
   \end{array}  \eqno(3.4.30)
$$
�ʤ�������. �������ä�, (3.4.3)���, 
$$ \begin{array}{rl}
\displaystyle \left| 
  \begin{array}{cc}
    \overline{v}_{11} &  \overline{v}_{12} \\
    \overline{v}_{21} &  \overline{v}_{22} 
  \end{array}
\right| = & \displaystyle a_2^{-4} \beta_1^2 \beta_2^2 \left|
  \begin{array}{cc} 
    v'_{11} &  v'_{12} \\
    v'_{21} &  v'_{22} 
  \end{array}
\right| \\
 = & \displaystyle a_2^{-4} \beta_1^2 \beta_2^2  \left| 
  \begin{array}{cc} 
\displaystyle - \frac{3}{8\beta_1^2} \alpha + O(\alpha^{5/2})  &   
\displaystyle  \frac{9}{8\beta_1\beta_2} \alpha^{3/2} + O(\alpha^{5/2})\\   
\displaystyle  \frac{9}{8\beta_1\beta_2} \alpha^{3/2} + O(\alpha^{5/2}) & 
\displaystyle  \frac{3}{2\beta_2^2} \alpha^2 + O(\alpha^{5/2}) 
  \end{array}
\right| \\
 = & \displaystyle - \frac{117}{64} \frac{\alpha^3}{a_2^4} + 
O(\alpha^{7/2}) \not\equiv 0
   \end{array}  \eqno(3.4.31)
$$
������Ω��. �����
$$
\displaystyle 
\frac{\partial (v'_1, v'_2)}{\partial (\Lambda_1, \Lambda_2)} = 
\frac{\partial (v'_1, v'_2)}{\partial (\alpha, a_2)} \left/  
\frac{\partial (\Lambda_1, \Lambda_2)}{\partial (\alpha, a_2)}
\right. = \displaystyle \frac{27}{16} \frac{\alpha^3}{a_2^4} + 
O(\alpha^{9/2}) \not\equiv 0 .  \eqno(3.4.32)
$$
�Ǥ��뤳�Ȥ򼨤���. (3.2.18)�˱�����, $a_1 = \alpha a_2$���Ф���
$$ \begin{array}{ll}
 \Lambda_1 = \beta_1 \sqrt{a_1} = \beta_1 \sqrt{\alpha a_2} , & 
\Lambda_2 = \beta_2 \sqrt{a_2} .
   \end{array}   \eqno(3.4.33)
$$
�Ǥ���. �������ä�, 
$$
\displaystyle 
\frac{\partial (\Lambda_1, \Lambda_2)}{\partial (\alpha, a_2)}
= \displaystyle \frac{\beta_1\beta_2}{4\sqrt{\alpha}} .
  \eqno(3.4.34)
$$
������Ω��. (3.4.30)�����(3.4.3)���, 
$$ \begin{array}{rl}
\displaystyle 
\frac{\partial (v'_1, v'_2)}{\partial (\alpha, a_2)} 
 = & \displaystyle \beta_1^2 \beta_2^2  \left| 
  \begin{array}{cc} 
\displaystyle \frac{9}{8\beta_1^2} \frac{\alpha^{1/2}}{a_2^{3/2}}
 + O(\alpha^{5/2})  &   
\displaystyle - \frac{9}{8\beta_1} \frac{\alpha^{3/2}}{a_2^{5/2}}
+ O(\alpha^{7/2}) \\   
\displaystyle  \frac{3}{8\beta_2} \frac{\alpha}{a_2^{3/2}}
+ O(\alpha^{5/2}) & 
\displaystyle - \frac{9}{8\beta_2} \frac{\alpha^2}{a_2^{5/2}}
+ O(\alpha^{7/2}) 
  \end{array}
\right| \\
 = & \displaystyle 
- \frac{27}{64} \frac{\beta_1\beta_2\alpha^{5/2}}{a_2^4} + O(\alpha^4)
   \end{array}  \eqno(3.4.35)
$$
�Ǥ���. (3.4.35)��(3.4.34)����Ӥ����, (3.4.32)��������. 

%\newpage
\vspace{0.5cm}
\noindent
{\Large \bf \S 5. ¿������}
\vspace{0.3cm}

ʿ�̤����3�����λ��Τ����¿������������Τ���, �ѱ�ư�̤���¸��
��Ϣ������Τ�ʲ��ǵ�������. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1. $n_0>2$�Ĥ�������ʿ������.} 
2���3��ε�����3�İʾ�������ξ��ش�ñ�ˤ�äƹԤ���. ��������$n_0$
��ɽ����, ��ͳ�٤ο���$n = 2n_0$�Ǥ���(��ʪ�Τνſ��ϸ��ꤷ�ƹͤ���). 
2�ᤪ���3��ǻȤä�ʸ��$\Lambda, \lambda, \Gamma, \gamma, \xi, \eta$��
$n_0$�����Υ٥��ȥ��ɽ��. ������(3.3.10), (3.3.12)��$n_0=2$�ξ���4��
��Ʊ����ˡ�ǳΤ����(verify)���Ȥ��Ǥ���. 1���4��η�̤ؤȻ��׻�
�ξܺ٤ˤ�Ω������ʤ�.

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 2. ʿ�̻�������Υ⡼������ʬ.} 
2���4��ε����ϳѱ�ư�̤���¸§��ޤä�����θ���ʤ��ä�. �����2���
��ˡ�Ǥ�
$$
  \sum G_k = C . 
$$
�Ȥ���������. 

$n$������Τ��������ʬ�ϥϥߥ�ȥ�ؿ���$F_1$�Ȥ���������������
��ʿ�ѷϡפ������ʬ���б�����:
$$
  \sum \Gamma_k = C . 
$$
���������ʬ��¸�ߤΤ�������, ʿ�ѷϤ�$n_0=2$�ξ��ϲ���ʬ�Ǥ���, 
�������ä��ѿ�$p_1, q_1$��Ŭ�������֤��Ȥˤ��, $\overline{F}_1$��
$$ \begin{array}{ll}
 \overline{F}_1(\Lambda, \lambda; \xi, \eta) = 
\overline{\overline{F}}(p_0; p_1, q_1) & (p_0 = \Lambda)
   \end{array}  \eqno(3.5.1)
$$
�ʤ���˴Ը��Ǥ���. ���κ�, ;�פʹ�$\widetilde{\overline{F}}_1$
(IV��, 1�Ỳ��)��ɬ�פʤ�. $\xi, \eta$����$p_1, q_1$�ؤΰܹԤ�
��������Ѵ��Ǥ���. $|\xi|, |\eta|$���������Ȥ�, $p_1, q_1$��
ɽ���ϥС����յ���ˤ�ä�Ϳ������(I��, 9��򸫤�). 
���ξ��, ʿ�ѷϤϲ���ʬ�Ǥ��뤫�����ϼ�«����.  

(3.5.1)�˱������, $|\xi|, |\eta|$�������������ä���ꤹ�뤳�Ȥ�
�Ǥ��ʤ���, IV��, 1��δ�������������, I��, 8��η�̤�Ȥ����Ȥ��Ǥ���
(���η�̤ϴ�����������ñ�Ǥ��ä�, �������������ưפ�Ƴ�ФǤ���). 
���ͤξ����ӽ����뤿���$\Lambda, e$�˾���ݤ��ͤФʤ�ʤ�((3.1.5)
����): 
$$
  \Gamma_1 + \Gamma_2 < \varepsilon_0 
(\Lambda_{1 \max},\Lambda_{2 \min} ) .  \eqno(3.5.2)
$$
���(3.5.2)��, I��, 8��ξ�������������$\Gamma, \Lambda$����ΰ�
$G$����̤���(??). �����ξ���Ȥä�, 1��, 6��η�������ã����. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 3. ��������ˤ�����ɥ����͡�����ӥݥ��󥫥��ѿ�.} 
$n_0$�Ĥ������ζ�������μ�ͳ�٤�$3n_0$�Ǥ���(����Ʊ��, �ſ�����ꤹ��). 
��������6�Ĥ��ʱ����Ǥ����(2��, 2��򸫤�). ���ʤ��, 
$a, e, i; l, g, h$�Ǥ���. �����ǳ���$h$, ��������, �ϸ��������������.
�����Ȥ�, ���ץ顼�ʱߤ�$p_1, q_1$�̤Ȥθ������Τ��ȤǤ���. ����$i$, 
��ƻ���г�, �Ϥ����2�Ĥ��̤δ֤γ��٤Ǥ���. �Ǹ��, $g$, ��������, 
�ϸ����ȵ�ƻȾĹ�������Ȥδ֤γ��٤Ǥ���. �ɥ����͡�����$L, G, H$��
����$l, g, h$���б�����. ������, $H = \cos i$��$q^{(3)}$���ؤγѱ�ư��
�μͱƤǤ���(2��Ȱ�ä�, �����Ǥ�$H$�ϥϥߥ�ȥ�ؿ��ǤϤʤ�). 

����(3����)����ˤ�����, �ѱ�ư�̤���¸�����. ������, 3�Ĥ���ʬ��
������. 
$$
 \sum G_k \sin i_k \cos h_k = \sum \sqrt{G_k^2 - H_k^2} \cos h_k = C_1 , 
  \eqno(3.5.3)
$$
$$
 \sum G_k \sin i_k \sin h_k = \sum \sqrt{G_k^2 - H_k^2} \sin h_k = C_2 , 
  \eqno(3.5.4)
$$
$$ \begin{array}{lrr}
 \sum G_k \cos i_k  & = \sum H_k^2 &  = C_2 , 
   \end{array}  \eqno(3.5.5)
$$
�ݥ��󥫥�����$\Lambda, \Gamma, Z; \lambda, \gamma, \zeta$�����
$\Lambda, \xi, p; \lambda, \eta, q$�ϸ���
$$ \begin{array}{lllll}
\mu \Lambda = L, & \mu \Gamma = L - G, & \mu Z = G - H, & 
\xi = \sqrt{2 \Gamma} \cos \gamma, & p = \sqrt{2Z} \cos \zeta\\
\lambda = l + g + h, & \gamma = -g - h, & \zeta = - h, & 
\eta = \sqrt{2 \Gamma} \sin \gamma, & q = \sqrt{2Z} \sin \zeta
   \end{array}
$$
�ˤ�äƷ�ޤ�. $\lambda$�˴ؤ���ʿ�Ѥ����ϥߥ�ȥ�ؿ�
$$
 \overline{F}_1 (\Lambda; \xi, \eta; p, q) = \overline{F}_{10} + 
\overline{F}_{12} + \overline{F}_{14} + \ldots 
$$
��$\xi, \eta, p, q$�˴ؤ��ƶ���, ʿ����$\xi = \eta = p = q = 0$��
����. 2���ι��$\overline{F}_{12} = \overline{F}'_{12}(\xi, eta) + 
\overline{F}''_{12}(p,q)$�Ǥ���(������$\overline{F}'_{12}(\xi,\eta)$��
(3.3.3)��$\overline{F}_{12}$�Ǥ���), 2������$\overline{F}''_{12}$��
$$ \begin{array}{ll}
 \overline{F''}_{12} = v''_1 Z_1 + \ldots + v''_{n_0} Z_{n_0} & 
(v''_1 \equiv 0, v''_2, \ldots, v''_{n_0} > 0) . 
   \end{array}  \eqno(3.5.6)
$$
�˴Ը������. ���ȿ�$v''_1$���ä���Τ�, ��ʬ(3.5.3), (3.5.4)�θ���
�Ǥ�������������. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 4. ��������ˤ���������ξõ�.} 
�Τ��Ƥ���褦��([1]�򸫤�), ��ʬ(3.5.3)--(3.5.5)�ˤ��, �Ϥμ�ͳ�٤�
����2��������. ��������ξ��, �䥳�Ӥˤ���, �ѿ�$H, h$������
�õ�뤳�Ȥ���ǽ�Ǥ���. 

��ɸ��$q^{(1)}, q^{(2)}$���Ϥγѱ�ư�̥٥��ȥ�˿�ľ�Ǥ���Ȥ���. 
�����, (3.5.3)--(3.5.5)�ˤ�����, $C_1 = C_2 = 0, C_3 = C$�Ǥ���, 
$$
\left.
   \begin{array}{rrr}
  G_1 \cos i_1 + G_2 \cos i_2 = C, \\
  G_1 \sin i_1 = - G_2 \sin i_2 = \varepsilon , \\
  h_1 - h_2 = \pi
   \end{array}
\right\}   \eqno(3.5.7)
$$
������Ω��. ������$C=����$��, $\varepsilon$�⵰ƻ���гѤ⾮����. 
(3.5.7)���, 
$$  \begin{array}{ll}
  H_1 + H_2 = C, & H_1^2 - H_2^2 = G_1^2 - G_2^2,
   \end{array}
$$
������Ω��, �������ä�
$$  \begin{array}{ll}
  H_1 = \displaystyle \frac{C}{2} + \frac{1}{2C} (G_1^2 - G_2^2), &  
  H_2 = \displaystyle \frac{C}{2} - \frac{1}{2C} (G_1^2 - G_2^2), 
   \end{array}  \eqno(3.5.8)
$$
�Ǥ���. ��ɸ$h_1$��$h_2$�ϥϥߥ�ȥ�ؿ��˴ޤޤ�ʤ����ȤϤϤä��ꤷ��
����. �ϥߥ�ȥ�ؿ��Ϥ������ä�ʿ��������ѿ�$L, G; l, g$��ɽ�������
($H_1, H_2$��ɽ��(3.5.8)���֤�������). $\varepsilon^2$�Τ٤��ˤ��Ÿ��
$$  \begin{array}{lll}
  C = \displaystyle G_1 + G_2 - \frac{1}{2}\varepsilon^2 \left( 
\frac{1}{G} + \frac{1}{G_2} \right) , & 
  G_1 - H_1 = \displaystyle \frac{\varepsilon^2}{2G_1} + \ldots, & 
  G_2 - H_2 = \displaystyle \frac{\varepsilon^2}{2G_2} + \ldots, 
   \end{array} 
$$
���, ����줿$L, G; l, g$�δؿ�(�ޤ��ѥ�᡼��$C$�ˤϰ�¸����)��
ʿ�̻�������Υϥߥ�ȥ�ؿ�����$\varepsilon^2$��Ʊ���褦�˾�����
($G_1 + G_2 - C$��Ʊ��)���Ϲ�����㤦���Ȥ�Ƴ���Ф����ȤϤऺ�������ʤ�.

������3�������������, ��ƻ���гѤ������˸����ä��Ȥ���ʿ�̻��������
�ʤ�褦�ʤ���ʿ������˴Ը������. 2��Ȥ����, �����I��, 8���Ȥä�,
1��, 7��η�̤���ã����.

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 5. ����¿������.}  
���Τ���ʪ�Τ�¿�����, ��ͳ�٤ο��򸺤餹���쥬��Ȥ���ˡ�Ϥʤ�. 
�����Ǥ�, ��ͳ�٤�1�����õ����ˡ�ˤĤ��ƽҤ٤褦. �ä��Τ�
(3.5.6)�Υ������ȿ�$\nu''_1$�Ǥ���. 

�Τ��Ƥ���褦��, �ѱ�ư�̤���ʬ$C_1, C_2, C_3$�Υݥ��å����̤�
��
$$  \begin{array}{lll}
 -(C_1, C_2) = C_3, &  -(C_2, C_3) = C_1, &  -(C_3, C_1) = C_2, 
   \end{array} 
$$
��Ϳ������. $C_1, C_2, C_3$��2�Ĥδؿ�$\Phi_1, \Phi_2$�����ඦ��
�ѿ��ȸ��ʤ���Τ�, ���Υݥ��å����̤�$(\Phi_1, \Phi_2) \equiv 1$
�ΤȤ��Ǥ���. ���η�
$$  \begin{array}{ll}
 \Phi_1 = y + \varphi_1(x, y, z), &  \Phi_2 = z + \varphi_2(x, y, z), \\
\varphi_1(x,y,z) = \varphi(x,y,z), &  \varphi_2(x,y,z) = \varphi(x,y,z),
   \end{array} 
$$
�δؿ�$\Phi_1, \Phi_2$��õ����. ������, 
$-C_3 = 1 + x, \ -C_1 = y, \ -C_2 = z$�Ǥ���. 

�ؿ�$\varphi(x,y,z)$���Ф��Ƥ�, ������
$$
 (\Phi_1, \Phi_2) = \displaystyle \left| 
   \begin{array}{ccc}
 1+ x        & y                & z  \\
\varphi_{1x} & 1 + \varphi_{1y} & \varphi_{1z} \\
\varphi_{2x} & \varphi_{2y} & 1 + \varphi_{2z}  
   \end{array}
\right| \equiv 1 .   \eqno(3.5.9)
$$
��������. (3.5.9)���, ���Ȥ���, $\varphi$����
$\varphi = ax + by + cz + \ldots$�Τ褦��Ÿ������, �оΤʲ�
$\varphi(x,y,z) = \varphi(x,z,y)$�򸫤Ĥ��뤳�Ȥ��ǽ�Ǥ���. 

$n_0$�Ĥ�����������������. (3.5.9)���餹���, $3n_0$�Ĥ������ѿ����Ȥ�
����ǰʲ������������Ȥ���ǽ�Ǥ���. 

1) $\Lambda_k$��$\lambda_k$��$n_0$�ĤΥڥ�����ʤ�. 

2) $n_0$�ĤΥڥ���Υ��Ψ���б�����($G$��$g$��$\Gamma$��$\gamma$, $\xi$��
$\eta$�Τ褦��).

3) $n_0$�ĤΥڥ��ϵ�ƻ���гѤ��б�����($H$��$h$��$Z$��$\zeta$, $p$��
$q$�Τ褦��).

4) $\Phi_1$��$\Phi_2$�Ͼ嵭��ԤΥڥ��ΤҤȤĤ���ʤ�.

\vspace{0.3cm}
$\Phi_1$��$\Phi_2$�������ʬ�Ǥ��뤫��, �ϥߥ�ȥ�ؿ�����ˤϷ褷������
�ʤ�. �����Ƽ�ͳ��$3n_0-1$�ηϤ�������. (3.5.6)���б�����Ÿ���ˤ�����,
$n_0-1$�Ĥμ��ȿ���$n_0-1$�Ĥ��ѿ����Ȥ�������. 3��μ�ˡ�ˤ��, 
�ϥߥ�ȥ�ؿ���(4.1.1)�η��˴Ը��Ǥ�($n = 3n_0-1$, $n_1 = 2n_0-1$��
����. ������, $n_0$�������θĿ��Ǥ���), �����������, 1��, 5��η�̤�
������. 

(3.5.9)��򤯤���Τ��ʤ�Ĺ���׻���ɬ�פǤ���, ���1)--4)���������ѿ���
����, 4��ε����˻����������γ�ǧ�ʤɤ�, �����Ǥϵ������ʤ�.

%III�Ͻ���