\newpage
%\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\huge \bf IV ��. ��������}
\end{center}

���ξϤǤ�, II�Ϥ����III�Ϥε����δ�ˤʤäƤ������������Τ��꼰����
�����ʾ�����Ԥ�. �꼰���ˤ����äƤ�(1��), ŷ���ϳؤؤα��Ѥ��Թ��
�ɤ��褦�ˤ����Τ�, ��̤ΰ�������ǽ����ˤϵ����ۤ�ʤ��ä�. 

����(9��-14��)�Ϥ��ʤ����ݤǤ���. I�Ϥǿ����夲��ȯ�۰ʳ���, ������
¿���Τܼۤ������������˴�Ť�. ���ξϤκǤ��������ʬ��6��Ǥ���. 
�����Ǥ�4����꼰����������������������. 
V�Ϥν���˵󤲤�����ꥹ�Ȥ��ɼԤν����ˤʤ������. 
��������V�Ϥ��������äȤ���. ��������������Ƴ���ˤ����ä�, 
������Ѥ�ݤΥ��쥬�󥹤����٤ˤ����դ�ʧ��ʤ��ä�. 
ɬ�װʾ�˸���������ݤ����Ȥ����Ф��ФǤ��ä�(���Ȥ���1���
$\mu < \varepsilon^4$). �ɼԤ��ưפ˷�̤򶯤�뤳�Ȥ��Ǥ���. 

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\Large \bf \S 1. ��������} 

\vspace{0.3cm}
�ϥߥ�ȥ�ؿ�$H(p_0,p_1,q_0,q_1)$, �ΰ�$G_0$, ����$\rho, R, C$��ͤ���. 
�ʲ���4�Ĥξ�郎���������Ȳ��ꤹ��. 

\vspace{0.3cm}
1) �ؿ�$H(p,q)$ (������$p = p_0, p_1$; $q = q_0, q_1$�Ǥ���, $p_0$��
$n_0$�����٥��ȥ�, $p_1$��$n_1$�����٥��ȥ�. ������$n_0+n_1 = n$�Ǥ���. 
$q_0$�ϳ����ѿ���, $H(p_1, p_1, q_0 + 2\pi, q_1) = 
H(p_1, p_1, q_0, q_1 )$)���ΰ�$F: p_0 \in G_0, |{\rm Im} \ q_0| \leq
\rho$, $|x_1| \leq R$ ($x_1 = p_1, q_1$)�ˤ����Ʋ���Ū��, �ѥ�᡼��
$\mu, 0 < \mu \leq \mu_0$�˰�¸����. 

\vspace{0.3cm}
2) $H$�ϼ��η��򤷤Ƥ���. 
$$
  H = H_0(p_0) + \mu H_1(p,q) +(\mu^2) H_2(p,q)   \eqno(4.1.1)
$$
������
$$ \begin{array}{ll}
  H_1(p,q) = \overline{H}_1(p_0,p_1,q_1) + 
\widetilde{H}_1(p_0,q_0,p_1,q_1),  & \displaystyle
\int \widetilde{H}_1 dq_0 = 0, 
   \end{array}  \eqno(4.1.2)
$$
������
$$
  \overline{H}_1(p_0,p_1,q_1) = \overline{\overline{H}}_1(p_0,\tau) 
+ \widetilde{\overline{H}}_1(p_0,p_1,q_1)  \eqno(4.1.3) 
$$
�����
$$
  \overline{\overline{H}}_1(p_0,\tau) = \lambda_0 + 
\sum_{i=1}^{n_1} \lambda_i \tau_i + 
\sum_{i,j=1}^{n_1} \lambda_{ij} \tau_i \tau_j + 
\sum_{i,j,k=1}^{n_1} \lambda_{ijk} \tau_i \tau_j \tau_k . \eqno(4.1.4)
$$
������$\lambda_0, \lambda_1, \lambda_{ij} = \lambda_{ji}$�����
$\lambda_{ijk}$��$p_0$�δؿ��Ǥ���, 
$$ \begin{array}{ll}
  2 \tau_i = p_{n_0+i}^2 + q_{n_0+i}^2 & (i=1, \ldots, n_1) 
   \end{array}  \eqno(4.1.5)
$$

\vspace{0.3cm}
3) $F$��ǰʲ�����������(����$C \geq 1$���Ф���)���������.
$$
  |(\mu^2) H_2| \leq \mu^2 C, \eqno(4.1.6)
$$
$$ \begin{array}{lll}
  |\widetilde{H}_1| \leq C, & |\overline{H}_1| \leq C
, & 
\overline{\overline{H_1}} \leq C
   \end{array}  \eqno(4.1.7)
$$
\footnote{����ʸ�Ǥ�(4.1.7)������μ���$H_1$�˾������ʤ�.}
$$
  |\widetilde{\overline{H}}_1| \leq C |x_1|^7. \eqno(4.1.8)
$$

\vspace{0.3cm}
4) $G_0$��Ǥ�
$$
  {\rm det} \left| \frac{\partial^2 H_0}{\partial p_0^2}\right| 
\not\equiv 0, \eqno(4.1.9)
$$ 
$$
  {\rm det} | \lambda_{ij}(p_0)| \not\equiv 0. 
\eqno(4.1.10)
$$

\vspace{0.3cm}
����1) - 4)�β���, Ǥ�դ�$\kappa>0$���Ф���, 
$\varepsilon_0(\kappa; H_0, \overline{\overline{H}}_1, G_0; 
\rho, R, C; \mu_0) > 0$�򸫤Ĥ��뤳�Ȥ��Ǥ�, 
$0 < \varepsilon < \varepsilon_0$����$0 < \mu < \varepsilon^4$��
�Ȥ��˰ʲ���4�Ĥξ�郎����Ω�Ĥ褦�ˤǤ���. 

\vspace{0.3cm}
\re
I. �ΰ�${\rm Re}~F_{\varepsilon}$: 
$$ \begin{array}{lll}
  p_0 \in {\rm Re}~G_0, & |{\rm Im}~q_0| = 0, & 0 < \tau_i < \varepsilon, 
   \end{array}
$$
��2�Ĥν���${\bf F}_{\varepsilon}$��$f_{\varepsilon}$��������, 
���Τ����ΤҤȤ�${\bf F}_{\varepsilon}$�ϥϥߥ�ȥ�ؿ���(4.1.1)��
���������������˴ؤ������ѤǤ���, �⤦�ҤȤ�$f_{\varepsilon}$�Ͼ�����, 
���ʤ��
$$
  {\rm mes} f_{\varepsilon} < \kappa \ {\rm mes} F_{\varepsilon} .
$$

\vspace{0.3cm}
\re
II. ${\bf F}_{\varepsilon}$��$���Ѥ�n$��������Ū�ȡ��饹$T_{\omega}$
��������. �����ϥѥ�᡼����ȤäƼ��Τ褦��ɽ�����. 

$$ 
\left.
   \begin{array}{l} 
  p_0 = p_{0_{\omega}} + f_{0_{\omega}}(Q), \ 
  q_0 = Q_0 + g_{0_{\omega}}(Q), \\
  p_1 = \sqrt{2 ( \tau_{\omega} + f_{1_{\omega}}(Q))} 
\cos [Q_1 + g_{1_{\omega}}(Q)]\\
  q_1 = \sqrt{2 ( \tau_{\omega} + f_{1_{\omega}}(Q))} 
\sin [Q_1 + g_{1_{\omega}}(Q)]
   \end{array} \right\} \eqno(4.1.12)
$$
������$Q = Q_0,Q_1$�ϳ��٥ѥ�᡼���Ǥ���, $p_{0_{\omega}}$��
$\tau_{\omega}$�ϥȡ��饹$\omega$���ֹ�˰�¸��������Ǥ���. 


\vspace{0.3cm}
\re
III. ���ѥȡ��饹$T_{\omega}$�ϥȡ��饹
$$ \begin{array}{ll}
  p_0 = p_{0_{\omega}} = ����, & \tau = \tau_{\omega} = ����\\
  |f_{i_{\omega}}(Q)| < \kappa \varepsilon, & 
  |g_{i_{\omega}}(Q)| < \kappa \varepsilon,  
   \end{array}  \eqno(4.1.13)
$$
�Ⱦ����������ʤ�. 


\vspace{0.3cm}
\re
IV. �ϥߥ�ȥ�ؿ�(4.1.1)�ˤ�äƷ�ޤ�ȡ��饹$T_{\omega}$��α�ư
��$n$�Ĥμ��ȿ�$\omega$����äƽ����Ū(conditionally periodic)�Ǥ���. 
�Ĥޤ�, 
$$ \begin{array}{lll}
  \dot{Q}_0 = \omega_0, & \dot{Q}_1 = \omega_1 & 
\left( ������ \ \ 
\omega_0 = \displaystyle \frac{\partial H_0}{\partial p_{0_{\omega}}}, \ 
\omega_1 = \displaystyle \mu 
\frac{\partial \overline{\overline{H}}_1}{\partial \tau_{\omega}}
\right)
   \end{array}  \eqno(4.1.14)
$$

\vspace{0.3cm}
���������ϰʲ���������Ϳ�����뵢Ǽ�����˴�Ť���9��-14��Ǿ�������. 

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\Large \bf \S 2. ��Ǽ����}

\vspace{0.3cm}
�ؿ�$H(p,q)$, �ΰ�$G, \Xi$���������$d, \Theta, \theta, \rho, \kappa; 
\beta, \gamma, \delta, \varepsilon, \mu, M, K$���ʲ�����������ĤȤ���.

\vspace{0.3cm}
\noindent
1) �ΰ�$F = \{ (p,q) : p \in G, \ |{\rm Im} \ q| \leq \rho\}$
�ˤ�����, �ؿ�
$$
  H(p,q) = H_0(p_0) + H_1(p) + H_2(p,q)  \eqno(4.2.1)
$$
�ϲ���Ū�Ǥ���. ������, $p = (p_0,p_1)$�Ǥ���, $q = (q_0,q_1)$��
���ѿ�\footnote{[��] ���������Ǥ�$q_0$���������ѿ��Ƚ񤫤�Ƥ���.}, 
${\rm dim} \ p_0 = n_0$, ${\rm dim} \ p_1 = n_1$, $n_0+n_1 = n$. 


\vspace{0.3cm}
\noindent
2) �ΰ�$G$�����ΰ�$\Xi$�ξ�ؤμ���$A$: 
$$ \begin{array}{ll}
  p \rightarrow Ap = \displaystyle \frac{\partial}{\partial p_0} 
(H_0 + H_1), & \displaystyle \frac{1}{\mu}\frac{\partial H_1}{\partial p_1}
   \end{array}  \eqno(4.2.2)
$$
����ʬƱ��Ǥ���. ������, 
$$ \begin{array}{llll}
  \theta |dp| \leq |dA| \leq \Theta |dp|, & \displaystyle 
\left| \frac{\partial^2 H_0}{\partial p_0^2} \right| \leq \Theta, & 
\displaystyle 
\left| \frac{\partial^2 H_1}{\partial p^2} \right| \leq \mu \Theta, & 
(0 \leq \theta \leq 1 \leq \Theta < \infty)
   \end{array} \eqno(4.2.3)
$$

\vspace{0.3cm}
\re
3) $F$���
$$
  | H_2(p,q) | \leq \mu M .  \eqno(4.2.4)
$$

\vspace{0.3cm}
\re
4) ���������������������. 
$$ \begin{array}{rl}
  \delta  & \leq \delta^{(4)} (n, \Theta, \theta, \rho, \kappa, D)\\
  & = \displaystyle 
\min \left\{ \delta^{(1)} \left( n, 2 \Theta, \frac{\theta}{2} \right) ; 
\delta^{(2)}(\rho,n); \delta^{(3)}(n, \Theta, \theta, D, \kappa) 
\right\}
   \end{array}  \eqno(4.2.5)
$$
$$
  \mu \leq K , \eqno(4.2.6)
$$
������, $\delta^{(1)}$��3����������. �ޤ�
$$ \begin{array}{ll}
  \delta^{(2)} = \displaystyle \min \{ 10^{-4n} \rho^{4n}, 2^{-55n} \} \\
  \delta^{(3)} = \displaystyle 
\min \{ e^{2n} [2^8n(n+4)]^{-2n}; 
(6+14 \Theta)^{-1}; 4^{-n-3}\theta^n \Theta^{-n} D^{-1}n^{-1} \kappa
\}
   \end{array}
$$

\vspace{0.3cm}
\re
5) ���Τ褦���֤�. 
$$ \begin{array}{llllll}
 \beta = \delta^3 \varepsilon, & \gamma = \displaystyle 
\delta^{\frac{1}{4n}}, & \varepsilon = \delta^T, & K = \delta \varepsilon, 
& M = \varepsilon^{7/2}\delta^{-1}, & T = 16(n+4) . 
   \end{array}  \eqno(4.2.7)
$$

\vspace{0.3cm}
\re
6) �ΰ�$\Xi$��, 5��2��5��ε�ˡ�ˤ��, ���η��򤷤Ƥ���. 
$$ \begin{array}{lll}
  \Xi = \Xi^*_{K_0N_0d_0}, & N_0 < \displaystyle 
\frac{1}{\gamma} \ln \frac{1}{2M}, & K_0 \geq K, 
   \end{array}  \eqno(4.2.8)
$$
������$\Xi^*$��$\displaystyle \frac{D}{\varepsilon}$�����ΰ�Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
��$\delta_s$ $(s \geq 1)$��
$\delta_1= \delta, \ \delta_{s+1} = \delta_s^{15/14}$�ˤ��Ƴ������. 
$s \geq 1$���Ф���
$$ \begin{array}{lllllll}
 \beta_s = \displaystyle \delta_s^3 \varepsilon_s, & 
\gamma_s = \displaystyle \delta_s^{\displaystyle \frac{1}{4n}}, & 
\varepsilon_s = \delta_s^T, & 
M_s = \displaystyle \varepsilon_s^{7/2}\delta_s^{-1} & 
(���ΤȤ� \ M_{s+1} = M_s^{15/14}) , 
   \end{array} \eqno(4.2.9)
$$
���֤�. 

\vspace{0.3cm}
����1)-6)�β���,  
$P^{(s)}, Q^{(s)} = X^{(s)} \in F^{(s)}: P^{(s)} \in G^{(s)}, 
|{\rm Im}~Q^{(s)}| \leq \rho_s$�η����ΰ���$F^{(0)}= F, F^{(1)}, \ldots$
������ΰ�$F^{(s)}$����$F^{(s-1)}$����ؤ�������ʬƱ���������
$B_s: P^{(s)}, Q^{(s)} \rightarrow P^{(s-1)}, Q^{(s-1)}$�����äưʲ���
������. 

\re
I. ���٤Ƥ�$s \geq 1$���Ф���
$$ \begin{array}{lllll}
|B_s-E|<\beta_s, & |dB_s| < 2 |dX^{(s)}|, & 
F^{(s)} \subseteq F^{(s-1)} - 2\beta_s, & \rho_s > \displaystyle 
\frac{\rho}{3} . 
   \end{array} \eqno(4.2.10)
$$

\re
II. 
$P^{(s)}, Q^{(s)} = X^{(s)} \in F^{(s)}, p^{(s)} = P_0^{(s)}, P_1^{(s)}$
�ΤȤ�, 
$p,q = B_1 B_2 \ldots B_s(P^{(s)}, Q^{(s)})$���Ф��Ƽ�������Ω��. 
$$
  H(p,q) = H^{(s)}(P^{(s)},Q^{(s)}) = 
H_0(P^{(s)}) + H_1^{(s)}(P^{(s)}) + H_2^{(s)}(P^{(s)},Q^{(s)}), 
\eqno(4.2.11)
$$
$$ \begin{array}{lll}
|H_2^{(s)}(P^{(s)},Q^{(s)})| < \mu M_{s+1}, & 
\displaystyle
\left| \frac{\partial H_2^{(s)}}{\partial X^{(s)}} \right| < 
\delta_s\beta_{s+1}, & 
\displaystyle
\left| \frac{\partial^2 H_2^{(s)}}{\partial {X^{(s)}}^2} \right| < 
\delta_s,
   \end{array} \eqno(4.2.12)
$$

\re
III. ����$A^{(s)}$
$$
 P^{(s)} \rightarrow A^{(s)}P^{(s)} = \displaystyle 
\frac{\partial}{\partial P_0^{(s)}} \left[ 
H_0(P_0^{(s)}) + H_1^{(s)}(P^{(s)})\right], \ 
\frac{1}{\mu} \frac{\partial}{\partial P_1^{(s)}}H_1^{(s)}(P^{(s)})
\eqno(4.2.13)
$$
���ΰ�$G^{(s)}$����ʬƱ������Ǥ��ä�, ����������. 
$$ \begin{array}{llll}
 \underline{\theta} |dP^{(s)}| < |dA^{(s)}| < 
\overline{\Theta}|dP^{(s)}|, & 
|A^{(s)} - A^{(s-1)}| < \beta_s\delta_s, & 
\underline{\theta} = \displaystyle \frac{1}{2}\theta, & 
\overline{\Theta} = 2 \Theta .
   \end{array}\eqno(4.2.14)  
$$

\re
IV. ��$s \geq 1$���Ф���, ��������Ω��.
$$
  {\rm mes}(G - G^{(s)}) \leq \displaystyle
\frac{\kappa}{2} \Theta^{-n} {\rm mes}~\Xi^* . \eqno(4.2.15)  
$$

\vspace{0.3cm}
���ε�Ǽ�����ϵ�Ǽˡ�ˤ��8��Ǿ�������. 

�����γ��ʳ��ϼ��������˴�Ť�. 

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\Large \bf \S 3. ��Ǽ����} 

\vspace{0.3cm}
�ؿ�$H(p,q)$, �ΰ�$G, \Xi$���������
$\Theta, \theta, \rho; \beta, \gamma, \delta, M; K, \mu$���ʲ���������
���ĤȤ���\footnote{(��) �ʲ���$H_1$��$p_1$�����δؿ��ȤʤäƤ���. �����,
(4.3.2)�κǽ�μ���$p_0$�ˤ������ʬ�ΤȤ�$H_1$�����äƤ���Τ�̵��̣. 
�ޤ�(4.3.3)��$p$�ˤ������ʬ��$p_1$�ˤ������ʬ�Ƚ񤯤٤�. 
�⤷������$H_1$��$p$�δؿ��ǤϤʤ��Τ�? ����ʤ�(4.3.2)��(4.3.3)��
��̣������.}. 

\re
1) �ΰ�$F: p \in G, |{\rm Im}~q| \leq \rho$�ˤ�����, �ؿ�
$$
  H(p,q) = H_0(p_0) + H_1(p_1) + H_2(p,q)  \eqno(4.3.1)
$$
�ϲ���Ū�Ǥ���
(������, $p=p_0, p_1$�Ǥ���; $q=q_0, q_1$�ϳ��ѿ�, ${\rm dim}~p_0 = n_0$, 
${\rm dim}~p_1 = n_1$; $n_0+n_1=n$). 

\re
2) $G$����$\Xi$�ξ�ؤμ���$A$
$$ \begin{array}{ll}
  p \rightarrow Ap = \displaystyle \frac{\partial}{\partial p_0} 
(H_0 + H_1) , & \displaystyle \frac{1}{\mu} 
\frac{\partial H_1}{\partial p_1},  
   \end{array}  \eqno(4.3.2)
$$
����ʬƱ��Ǥ���, ����������. 
$$ \begin{array}{llll}
  \theta |dp| \leq |dA| \leq \Theta |dp|, & \displaystyle 
\left| \frac{\partial^2 H_0}{\partial p_0^2} \right| \leq \Theta, & 
\displaystyle 
\left| \frac{\partial^2 H_1}{\partial p^2} \right| \leq \mu \Theta, & 
(0 < \theta \leq 1 \leq \Theta < \infty) .
   \end{array} \eqno(4.3.3)
$$

\re
3) $F$�ˤ�����
$$ \begin{array}{ll}
 |H_2(p,q)| \leq \mu M, & M \leq \delta^{2n+3} K \beta^2
   \end{array}  \eqno(4.3.4)
$$

\re
4) �ʲ��������������������. 
$$ \begin{array}{lll}
  15 \delta \leq 3 \gamma \leq \rho \leq 1, & 3 \beta \leq 2 \delta, 
& \mu \leq K \leq 1, 
   \end{array}  \eqno(4.3.5)
$$
$$
 \delta \leq \delta^{(1)}(n, \Theta, \theta) = \displaystyle 
\min \{ \delta^{(0)}(n, \Theta); \frac{\theta}{2n} \} .  \eqno(4.3.6)
$$
������, $\delta^{(0)}(n, \Theta)$�ϴ����������������(4��). 

\vspace{0.3cm}
����1)-4)�β���, �ΰ�
$F'(������X = (P,Q) \in F': P \in G' \subset G, |{\rm Im}~Q| \leq 
\rho' < \rho - 3\gamma)$, �����$F'$��$F$����˼̤�������ʬƱ��
$B: P,Q \rightarrow p,q$��¸�ߤ��Ƽ���������. 

\re
I. $|B��E| < \beta$, $|dB| < 2|dX|$, $F' \subset F - 2\beta$. 

\re
II. $(p,q) = x = BX; X = (P,Q \in F'); P = (P_0, P_1)$���Ф��Ƽ���
����Ω��. 
$$
 H(p,q) = H_0(P_0) + H'_1(P) + H'_2(P,Q), \eqno(4.3.7)
$$
$$ \begin{array}{lll}
 |H_2'(P,Q)| < \mu M', & \displaystyle 
\left| \frac{\partial H_2'}{\partial X} \right| < \displaystyle 
\mu \frac{M'}{\beta}, &  \displaystyle 
\left| \frac{\partial^2 H_2'}{\partial X^2} \right| < \displaystyle 
2\mu \frac{M'}{\beta^2},
   \end{array}  \eqno(4.3.8)
$$
$$ \begin{array}{ll}
 M' = \displaystyle \frac{M^2}{K\beta^2} \delta^{-\nu}, & 
\nu = 4n + 7
   \end{array}  \eqno(4.3.9)
$$

\re
III. ����$A'$
$$
  P \rightarrow A'P = \displaystyle \frac{\partial}{\partial P_0} 
(H_0+H'_1), \ \ \frac{1}{\mu} \frac{\partial H'_1}{\partial P_1}
   \eqno(4.3.10)
$$
��$G'$����$\Xi'$�ξ�ؤ���ʬƱ������Ǥ���, ����������. 
$$ \begin{array}{llll}
  \theta' |dp| < |dA'| < \Theta' |dp|, & \displaystyle 
\left| \frac{\partial^2 H_0}{\partial P_0^2} \right| < \Theta, & 
\displaystyle 
\left| \frac{\partial^2 H'_1}{\partial P_1^2} \right| < \mu \Theta',
   \end{array} \eqno(4.3.11)
$$
������$\theta' = (1-\delta)\theta, \Theta' = (1+\delta)\Theta$�Ǥ���. 

������, 5��2��ε�ˡ�ˤ���, 
$$ \begin{array}{lll}
\Xi' = \Xi_{\mu K N} - d, & d = (5+7\Theta)\beta, & 
N = \displaystyle \frac{1}{\gamma} \ln \frac{1}{2M}
   \end{array}  \eqno(4.3.12)
$$

\re
IV. ${\rm mes}~(G-G') < \theta^{-n}~{\rm mes}~(\Xi - \overline{\Xi'})$
�Ǥ���. 
������, $\overline{\Xi'} = \Xi' - \beta = \Xi_{\mu K N} - \overline{d}$
�����$\overline{d} = (6 + 7 \Theta) \beta$�Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
��Ǽ�����7��Ǿ�������. �����θ��ϼ���������Ȥ��Ȥ����Ǥ���. 

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\Large \bf \S 4. ��������} 

\vspace{0.3cm}
�ؿ�$H(p,q)$, �ΰ�$G, \Xi$, ���������
$\theta, \Theta, \rho; \beta, \gamma, \delta; \mu, M, K$���ʲ���������
���ĤȤ���. 

\re
1) �ΰ�$F: p \in G$, $|{\rm Im}~q| \leq \rho$ ($p=p_0,p_1$�Ǥ���; 
$q=q_0,q_1$�ϳ��ѿ�, ${\rm dim}~p_0 = n_0$, ${\rm dim}~p_1 = n_1$, 
$n_0+n_1=n$)�ˤ�����, �ؿ�
$$ \begin{array}{ll}
  H(p,q) = H_0(p_0) + H_1(p) + \widetilde{H}_2(p,q) & \displaystyle 
\left( \oint \widetilde{H}_2 dq_0 \equiv 0 \right)
   \end{array} \eqno(4.4.1) 
$$
�ϲ���Ū�Ǥ���. 

\re
2) $G$����$\Xi$�ξ�ؤμ���$A$
$$
  p \rightarrow Ap = \displaystyle \frac{\partial}{\partial p_0} 
(H_0 + H_1), \ \ \frac{1}{\mu} \frac{\partial H_1}{\partial p_1} ,
  \eqno(4.4.2)
$$
����ʬƱ��Ǥ���. ������, 

\vspace{-0.5cm}
$$ \begin{array}{llll}
  \theta |dp| \leq |dA| \leq \Theta |dp|, & \displaystyle 
\left| \frac{\partial^2 H_0}{\partial p_0^2} \right| \leq \Theta, & 
\displaystyle 
\left| \frac{\partial^2 H_1}{\partial p^2} \right| \leq \mu \Theta, & 
(0 < \theta \leq 1 \leq \Theta < \infty) .
   \end{array} \eqno(4.4.3)
$$

\re
3) $F$�ˤ�����
$$ \begin{array}{lll}
 |\widetilde{H}_2(p,q)| \leq \mu M, & M \leq \delta^{\nu} K \beta^2, & 
(\nu = 2n+3) .
   \end{array}\eqno(4.4.4)
$$

\re
4) �ʲ��������������������. 
$$ \begin{array}{lll}
10 \delta \leq 2 \gamma \leq \rho \leq 1, & 3 \beta \leq 2 \delta, & 
\mu \leq K \leq 1, 
   \end{array}\eqno(4.4.5)
$$
$$
  \delta \leq \delta^{(0)}(n, \Theta) = 4^{-2n} n^{-1} 
(n+1)^{-(2n+2)} e^{2n+2} \Theta^{-1} .  \eqno(4.4.6)
$$

\vspace{0.3cm}
$N = \displaystyle \frac{1}{\gamma} \ln \frac{1}{M}$�����
$G_{\mu KN} = A^{-1} \Xi_{\mu KN}$���֤�. ������, 
$\Xi_{\mu KN}$��$\xi \in \Xi, \xi = \xi_0, \xi_1$
�Τ���, ���٤Ƥ������٥��ȥ�$k, 0 < |k| < N$���Ф���
$$
|(\xi_0, k_0) + \mu(\xi_1,k_1)| \geq 
\left\{ 
   \begin{array}{lcl}
     K|k|^{-(n+1)}, & {\rm if} & k_0 \neq 0 \\
     \mu K |k|^{-(n+1)} & {\rm if} & k \neq 0
   \end{array}
\right.  \eqno(4.4.7)
$$
����������Τ�������. 

\vspace{0.3cm}
����1)-4)�β���, �ΰ�
$P \in G_{\mu KN} - 2\beta$, $|{\rm Im}~Q| \leq \rho - 2\gamma$����
$F$����ؤ���ʬƱ�����$B: P,Q \rightarrow p,q$��¸�ߤ��ưʲ���������. 

\re
I. $|B - E|< \beta$, $|dB|<2|dX|$ $(X=P,Q)$. 

\re
II. $(p,q) = x = BX$�����
$P \in G_{\mu KN} - 2\beta$, $|{\rm Im}~Q| \leq \rho - 2\gamma$���Ф���
$$
  H(p,q) = H_0(P_0) + H_1(P) + H'_2(P,Q) ,   \eqno(4.4.8)
$$
������Ω��. ������
$$ \begin{array}{lll}
 |H'_2| < \mu M', & M' = \displaystyle \frac{M^2}{K\beta} \delta^{-2\nu} 
& (2\nu = 4n+6) . 
   \end{array}   \eqno(4.4.9)
$$

\vspace{0.3cm}
���������ξ����������(10�Ỳ��)�ϰʲ��������Ȥ�. 

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\Large \bf \S 5. û�����ѿ���ʿ�Ѳ��˴ؤ�������} 

\vspace{0.3cm}
�ؿ�$H(p,q)$, �ΰ�$G_0, F_1, \Omega$, ���������
$\theta, \Theta, \rho; \beta, \gamma, \delta; K, M, \overline{M}$��
�ʲ�����������ĤȤ���. 

\re
1) �ΰ�$F: p_0 \in G_0$, $|{\rm Im} \ q_0| \leq \rho, \ x_1 \in F_1$ 
$(p = p_0,p_1; q = q_0,q_1; x_1 = p_1, q_1$; �ѿ�$q_0$�ϳ��ѿ�
\footnote{��������ˤ����Ƥ�, ¾�Τ��٤ξ��Ȱ�ä�, $q_1$�����ѿ��Ǥ�
�뤳�Ȥ��ݾڤ���Ƥ��ʤ�.}; 
dim $p_0 = n_0$, dim $p_1 = n_1$, $n_0+n_1=n$)�ˤ�����, �ؿ�
$$ \begin{array}{ll}
 H(p,q) = H_0(p_0) + \overline{H}_1(p_0,p_1,q_1) + 
\widetilde{H}(p_0,p_1; q_0,q_1) & \displaystyle 
(\oint \widetilde{H}_1 dq_0 \equiv 0)
   \end{array} \eqno(4.5.1)
$$
�ϲ���Ū�Ǥ���. 

\re
2) $G_0$����$\Omega$�ξ�ؤμ���$A_0$
$$
  p_0 \rightarrow A_0p_0 = \omega_0 = \displaystyle 
\frac{\partial H_0}{\partial p_0}   \eqno(4.5.2)
$$
����ʬƱ��Ǥ���. ������, 
$$ \begin{array}{lll}
  \theta |dp_0| \leq |dA_0| \leq \Theta |dp_0|, & \displaystyle 
\left| \frac{\partial^2 H_0}{\partial p_0^2} \right| \leq \Theta & 
(0 < \theta \leq 1 \leq \Theta < \infty) .
   \end{array} \eqno(4.5.3)
$$

\re
3) $F$�ˤ�����, 
$$ \begin{array}{llll}
 |\overline{H}_1| \leq M, & |\widetilde{H}_1| \leq M, & M \leq 
\delta^{\nu}\beta^2 & (\nu = 2n+3) .
   \end{array}  \eqno(4.5.4)
$$

\re
4) �ʲ���������������Ω��. 
$$ \begin{array}{llll}
 10\delta \leq 2 \gamma\leq \rho\leq 1, & 3\beta \leq \delta , & 
\delta \leq K, & M \leq \bar{M}, 
   \end{array}  \eqno(4.5.5)
$$
$$
 \delta \leq \delta^{(0)}(n, \Theta) = 4^{-2n} n^{-2} (n+1)^{-(2n+2)} 
e^{2n+2} \Theta^{-1} . \eqno(4.5.6)
$$

\vspace{0.3cm}
$N = \displaystyle \frac{1}{\gamma} \ln \frac{1}{M}$���֤�, 
$(G_0)_{KN} = A_0^{-1} \Omega_{KN}$�ʤ뵭ˡ��Ƴ������. 
������, $\Omega_{KN}$��, ���٤Ƥ������٥��ȥ�$k_0, 0 < |k_0| < N$���Ф���
$$
  |(\omega_0, k_0)| \geq K |k_0|^{-(n+1)}    \eqno(4.5.7)
$$
������Ω�Ĥ褦��$\omega_0 \in \Omega$����ʤäƤ���.

\vspace{0.3cm}
����1)-4)�β���, �ΰ�$F':$
$$ \begin{array}{llll}
 P_0 \in G'_0, & |{\rm Im}~Q_0| \leq \rho - 2\gamma, & 
X_1 \in F_1 - 3\beta & (X_1 = P_1, Q_1) 
   \end{array}
$$
����$F$����ؤ���ʬƱ�����$B: P,Q \rightarrow p,q$�����äưʲ���������. 

\re
I. $|B-E|< \displaystyle \frac{M}{K\beta \delta^{2n+2}}$, \
$|dB| < 2|dX|$  \ \ ($X=P,Q$)

\re
II. $p, q = x = BX, X \in F'$���Ф���
$$
  H(p,q) = H_0(P_0) + \overline{H}_1(P_0,P_1,Q_1) + 
H'_2(P_0,P_1,Q_0,Q_1), \eqno(4.5.8)
$$
������
$$ \begin{array}{lll}
  |H'_2| < M', & M' = \displaystyle \frac{M\overline{M}}{\beta^2} 
\delta^{-2\nu}, & 2\nu = 4n+6 .
   \end{array}  \eqno(4.5.9)
$$

\re
III. $G'_0 = (G_0)_{KN} - 2\beta = A_0^{-1} \Omega_{KN} - 2\beta$. 

\vspace{0.3cm}
��������ξ����ϴ�������ξ�����Ʊ�ͤǤ���(6, 8�Ỳ��). 

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\Large \bf \S 6. ��������ξ���}

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1. ����.} 
��ؿ���$Pq + S(P,q)$, $S = \sum_{|k|>0} S_k(P) e^{i(k,q)}$�Ȥ���
�����Ѵ�
$$ \begin{array}{ll}
  p = \displaystyle P + \frac{\partial S}{\partial q}, &
  Q = \displaystyle q + \frac{\partial S}{\partial P} 
   \end{array} \eqno(4.6.1)
$$
�ˤ��, �ϥߥ�ȥ�ؿ�$H(p,q)$�ϼ��η��ˤʤ�. 
$$
 H(p,q) = H_0(P_0) + H_1(P) + \Sigma_1 + \Sigma_2 + \Sigma_3 + 
\Sigma_4 + \Sigma_5(P,Q) , \eqno(4.6.2)
$$
������, 
$$ \begin{array}{l}
  \Sigma_1 = \displaystyle \left[ 
 \left( \omega(P) \frac{\partial S}{\partial q} \right) 
+ [ \widetilde{H}_2(P,q)]_N \right] ,\\
   \Sigma_2 = \displaystyle \left[ 
 H_0(P_0+\Delta P_0) - H_0(P_0) 
- \left( \frac{\partial H_0}{\partial P_0} \right) \Delta P_0 \right] , \\
   \Sigma_3 = \displaystyle \left[ 
 H_1(P+\Delta P) - H_1(P) 
- \left( \frac{\partial H_1}{\partial P} \Delta P \right) \right] ,\\
   \Sigma_4 = \displaystyle \left[ 
 \widetilde{H}_2(P+\Delta P, q) - \widetilde{H}_2(P,q) \right] ,\\
   \Sigma_5 = \displaystyle \left[ \widetilde{H}_2(P,q) - 
[\widetilde{H_2}(P,q)]_N\right] ,\\
   \end{array}
$$
�����
$$ \begin{array}{ll}
 \widetilde{H}_2(P,q) = \sum_{|k|>0} h_k(P) e^{i(k,q)}, & 
[\widetilde{H}_2(P,q)]_N = \sum_{0 < |k| < N} h_k(P) e^{i(k,q)} . 
   \end{array}
$$
$$
  \omega(P) = \displaystyle \frac{\partial}{\partial P} 
[H_0(P_0) + H_1(P)], 
$$
$$ \begin{array}{ll}
 \Delta P = p - P = \displaystyle \frac{\partial S}{\partial q}, & 
\Delta P_0 = p_0 - P_0 = \displaystyle \frac{\partial S}{\partial q_0} , 
   \end{array}
$$
(4.6.2)����, ��ʬ�򤹤٤ƹԤä�����, �ѿ�$p,q$��(4.6.1)��Ȥä�$P,Q$
�ˤ��ɽ����ɽ�����. 

$S$��$\Sigma_1 \equiv 0$�Ȥʤ�褦���������. ���Τ����
$$ \begin{array}{llll}
 S_k(P) = \displaystyle \frac{ih_k(P)}{(k,\omega(P))} & (0 < |k| < N), 
& S_k = 0 & (|k| \geq N)
   \end{array} \eqno(4.6.3)
$$
���֤�. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 2. $S$�θ��Ѥ��.} 
$p \in G_{\mu KN}$���Ф���
$$
 |(\omega(P), k)| = |(\xi_0,k_0) + \mu(\xi_1,k_1)| \geq 
\left\{ 
   \begin{array}{lcl}
     K |k|^{-(n+1)}, & {\rm if} & k_0 \neq 0, \\
    \mu K |k|^{-(n+1)}, & {\rm if} & k \neq 0, 
   \end{array} 
\right. \eqno(4.6.4)
$$
������. ������$\xi =\xi_0, \xi_1$��, ���ȿ��٥��ȥ�
$\omega = \omega_0, \omega_1$��$\omega_0 = \xi_0, \omega_1 = \mu \xi_1$
�ȴط�����褦��Ƴ�����줿���ȿ��٥��ȥ�Ǥ���. 

V��3��2���1)�˱���, ���3)����$|h_k| \leq \mu M e^{-|k| \rho}$���Ф�. 
(4.6.3)��(4.6.4)����Ӥ��, (5.3.10)���θ�����, 
$$ \left.
   \begin{array}{ll}
  |S_k| < \displaystyle \frac{\mu M}{\mu K} \frac{L_1}{\delta^{\nu_1}} 
e^{-|k|(\rho - \delta)} & (k \neq 0), \\  
  |S_k| < \displaystyle \frac{\mu M}{K} \frac{L_1}{\delta^{\nu_1}} 
e^{-k(\rho - \delta)} & (k_0 \neq 0), \\  
   \end{array} \right\}  \eqno(4.6.5)
$$
������Ω�Ĥ��Ȥ��狼��. 
������$L_1 = \displaystyle \left( \frac{\nu_1}{e} \right)^{\nu_1}$
�����$\nu_1 = n + 1$�Ǥ���. 

�������ä�, 5��3��2���2)�˱�����, $|{\rm Im}~q| \leq \rho - 2 \delta$��
�Ȥ�
$$ \begin{array}{ll}
 |S| < \displaystyle \frac{M}{K} \frac{L_2}{\delta^{\nu_2}} & 
(L_2 = 4^n L_1, \nu_2 = 2n+1) ,
   \end{array} \eqno(4.6.6)
$$
������. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 3. $B$�θ��Ѥ��.} ���3)�˱�����, (4.6.6)���,  
$$ \begin{array}{lcll}
 |S| < \displaystyle \frac{\beta^2}{16n} & {\rm for} & 
\delta \leq L_3^{-1}, & L_3 = 16nL_2
   \end{array}  \eqno(4.6.7)
$$
����������. 

�������ä�, �����Ѵ��˴ؤ���V��, 4��3������꤬Ŭ�ѤǤ���. ��������ˤ��
��, ��(4.6.1)��������ʬƱ�����$B: P, Q \rightarrow p, q$���������. 
���μ�����, �ΰ�$P \in G_{\mu KN} - 2\beta, \ 
|{\rm Im}~Q| \leq \rho - 5\delta$($\leq \rho - 2\delta -3\beta$. �ʤ���
��, (4.4.5)���$3\beta \leq 2 \delta$�Ǥ��뤫��) ��$F$��ؤȼ̤�. 
������, (4.6.7)�����(4.6.5)���餹���, 
$$ 
\left.
   \begin{array}{lll}
  |B-E| < \beta, & |dB| < 2|dX|, & |\Delta P| < \displaystyle 
\frac{M}{K} \displaystyle \frac{L_2}{\delta^{\nu_2+1}}, \\
   & |\Delta P_0| < \displaystyle \mu \frac{M}{K} \frac{L_2}{\delta^{\nu_2+1}}
   \end{array} \right\} \eqno(4.6.8)
$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 4. $\Sigma_2, \Sigma_3$�θ��Ѥ��.} �ƥ��顼�θ���(5.3.4)
\footnote{����ʸ�ˤ�(5.3.14)�Ȥ��뤬, �б����뼰�ֹ�ϤФ�.}
�򤢤ƤϤ�褦. 
$P \in G_{\mu KN} - 2\beta, \ |{\rm Im}~Q| \leq \rho -5\delta$�Ȥ����, 
$|\lambda| \leq 1$���Ф���, (4.6.8)���, 
$P + \lambda \Delta P \in G_{\mu KN} - \beta$������Ω��. ������(4.6.8), 
���2), �����$\delta \leq L_4^{-1} \Theta^{-1}$���, 
$$ \begin{array}{ll}
 |\Sigma_2| < \displaystyle \mu^2 \frac{M^2}{K^2} 
\frac{\Theta n^2 L_2^2}{2 \delta^{2\nu_2+2}} < \displaystyle 
 \mu^2 \frac{M^2}{K^2} \frac{1}{\delta^{\nu_3}}  
& (\nu_3 = 2\nu_2+3, L_1 = n^2L_2^2) .
   \end{array}  \eqno(4.6.9)
$$
����������. Ʊ������ˤ��, Ʊ���ΰ��
$$
  |\Sigma_3| < \displaystyle \frac{M^2}{K^2} \mu 
\frac{\Theta n^2 L_2^2}{2 \delta^{2\nu_2 + 2}} < \displaystyle 
\mu \frac{M^2}{K^2} \frac{1}{\delta^{\nu_3}} . 
\eqno(4.6.10)
$$
������Ω��. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 5. $\Sigma_4$�θ��Ѥ��.} ����(5.3.4)��Ȥ�. 
$P \in G_{\mu KN} - 2\beta, \ |{\rm Im}~Q| \leq \rho -5\delta$, 
$|\lambda|<1$���Ф���, $P + \lambda \Delta P \in G_{\mu K N} - \beta$��
��Ω��, �ޤ����������θ���(5.3.3)���, 
$\displaystyle \left| \frac{\partial \widetilde{H}}{\partial P} \right| 
< \displaystyle \frac{\mu M}{\beta}$������Ω��. 
�������ä�, $\delta \leq L_3^{-1} < L_2^{-1} n^{-1}$���Ф���, 
$$ \begin{array}{ll}
 |\Sigma_4| < \displaystyle \mu \frac{M^2}{K\beta} 
\frac{L_2 n}{\delta^{\nu_2+1}} \leq \displaystyle \mu 
\frac{M^2}{K\beta}\frac{1}{\delta^{\nu_4}}  & 
(\nu_4 = \nu_2 + 2) . 
   \end{array} \eqno(4.6.11)
$$
�Ǥ��뤳�Ȥ��狼��. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 6. $\Sigma_5$�θ��Ѥ��.}
V��3��2���3)����Ѥ��褦. $P \in G_{\mu KN} - 2\beta$, 
$|{\rm Im} Q| \leq \rho - 5\delta - \gamma$���Ф���, 
(4.6.8)�˱�����$P \in G, \  |{\rm Im}~q| \leq \rho - \gamma - \delta$
������Ω��. $N = \displaystyle \frac{1}{\gamma}ln \frac{1}{M}$, 
$\delta \leq L_5^{-1}$���Ф���, (4.4.5)���θ�����, 
V��3��2���3)���, 
$$ \begin{array}{ll}
 |\Sigma_5| < \displaystyle \mu 
\frac{M^2L_5}{\delta^{n+1}} < \displaystyle \mu 
\frac{M^2}{\delta^{\nu_5}} & \displaystyle 
\left( \nu_5 = n+2, L_5 = \displaystyle 
2 \left( \frac{2n}{e} \right)^n \right) . 
   \end{array} \eqno(4.6.12)
$$
������Ω��. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 7. $H'$�θ��Ѥ��.}  
���4)���, 
$\delta \leq \delta^{(0)}(n, \theta) = L_4^{-1}\Theta^{-1}$������. 
$L_3 \leq L_4, L_5 \leq L_4$���ưפˤ狼��. $\Theta>1$�Ǥ��뤫��, 
$\delta < \delta^{(0)}(n,\Theta)$���Ф���, $\delta \leq L_3^{-1}$, 
$\delta \leq L_5^{-1}$������Ω�ĤϤ��Ǥ���, ���Ѥ�(4.6.9)-(4.6.12)��
$P \in G_{\mu KN} - 2 \beta$, 
$|{\rm Im}~Q| \leq \rho - 2\gamma \leq \rho - \gamma - 5\delta$���Ф���
����Ω��. �����ΰ�ˤ�����(4.6.2)��
$H(p,q) = H_0(P_0) + H_1(P) + H'_2(P,Q)$�η�����. ������, 
4--6�प��Ӿ��4)���θ�����,
$$
 |H'_2(P, Q)| \leq \displaystyle 
\left( \mu^2 \frac{M^2}{K^2} + \mu \frac{M^2}{K^2} + 
\mu \frac{M^2}{K\beta} + \mu M^2 \right) \delta^{-\nu_3} < 
\displaystyle \mu \frac{M^2}{K\beta} \delta^{-(4n+6)} , 
$$
������Ω��. ����Ǵ������꤬�������줿. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 8. ʿ�Ѳ�����ξ���.} 
�����Ͼ�ǽҤ٤���Τ˻��Ƥ���Τ�, ɬ�פ��ѹ����Τߤ��Ŧ���褦. 

1��ˤ�������ؿ���$P_0q_0 + P_1q_1 + S$�η��ˤȤ�. ������, 
$$
  S(P_0, P_1, q_0, q_1) = \displaystyle \sum_{k_0 \neq 0} 
S_{k_0} (P_0, P_1, q_1) e^{i(k_0,q_0)} . 
$$
�ޤ�, (4.6.3)�������
$$ \begin{array}{ll}
  S_{k_0}(P_0, P_1, q_1) = \displaystyle 
\frac{ih_{k_0}(P_0, P_1, q_1)}{(\omega_0(P_0), k_0)} & 
(0 < |k_0| < N) ,
   \end{array}
$$
������. 

���η��, $\Sigma_3$��
$$
 \Sigma_3 = \overline{H}_1(p_0, p_1, q_1) - 
\overline{H}_1(P_0, P_1, Q_1) ,  \eqno(4.6.13)
$$
�η��ˤʤ�. 

$X \in F'$�ˤĤ��Ƥ�, (4.6.8)�������
$$ \begin{array}{llll}
 |\Delta P_0| < \displaystyle \frac{ML_2}{K\delta^{\nu_2+1}}, & 
|\Delta Q_0| < \displaystyle \frac{ML_2}{K\beta \delta^{\nu_2}}, & 
|\Delta X_1| < \displaystyle \frac{ML_2}{K\beta \delta^{\nu_2}} & 
(\nu_2 = 2n+1) , 
   \end{array} \eqno(4.6.14)
$$
������. ��$|\Sigma_3|$�ϥ饰��󥸥����(5.3.4)���鸫�Ѥ����. 

(4.6.13)�����(4.6.14)���, ���Ѥ��
$$
  |\Sigma_3| < \displaystyle \frac{M^2 2n L_2}{K\beta^2 \delta^{\nu_2}} 
\leq \displaystyle \frac{M^2}{\beta^2 \delta^{\nu_4}} , \eqno(4.6.15)
$$
������. �����, $N = \displaystyle \frac{1}{\gamma}\ln \frac{1}{M}$�Ȥ���, 
$\Sigma_5$�θ��Ѥ���
$$
  |\Sigma_5| \leq \displaystyle \frac{M \overline{M}}{\delta^{\nu_5}} 
\eqno(4.6.16)
$$
������. 

$M \leq \overline{M}$�Ǥ��뤫��, ���Ѥ��(4.6.15)��(4.6.16)��
$$
  |H'_2| < \displaystyle \frac{M \overline{M}}{\beta^2} \delta^{-2\nu} ,  
$$
�˵��夹��. �����5������꤬�������줿. 

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\Large \bf \S 7. ��Ǽ����ξ���}

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1. } $H_2(p,q) = \overline{H}_2(p) + \widetilde{H}_2(p,q)$���֤�. 
������$\displaystyle \oint \widetilde{H}_2(p,q) dq \equiv 0$�Ǥ���. 
���ΤȤ�, $H(p,q) = H_0(p_0) + H'_1(p) + \widetilde{H}_2(p,q)$�Ǥ���. 
������, $H'_1 = H_1(p) + \overline{H}_2(p)$�Ǥ���. ����$A':$
$$ \begin{array}{lll}
 p \rightarrow A'p = \displaystyle \frac{\partial}{\partial p_0} 
(H_0 + H'_1), & \displaystyle 
\frac{1}{\mu} \frac{\partial H'_1}{\partial p_1} = Ap + \Delta (p); & 
\Delta = \displaystyle \frac{\partial \overline{H}_2}{\partial p_0}, \ 
\frac{1}{\mu}\frac{\partial \overline{H}_2}{\partial p_1} , 
   \end{array}
$$
��ͤ���. ���ȿ�����ʬ�˴ؤ�������(V��4��5��)��Ŭ�Ѥ���. ���3), 4)���, 
$M < \displaystyle \frac{\delta \theta}{2 n} \beta^2$������. ��������
��, ���������θ���(5.3.3)���, $p \in G - \beta$���Ф���
$|\Delta| < \displaystyle \frac{M}{\beta} < \delta \beta$, 
$|d \Delta| < \delta \theta |dp|$������Ω��. V��4��5�������ˤ�����
$\Omega_0 = \Xi_{\mu K N}$, $b = 3\mu$���֤���, $A'$���ΰ�
$G' = A'^{-1}$����ʬƱ��Ū��$\Xi' = \Xi_{\mu K N} - d$, 
$d = (5 + 7 \Theta) \beta$�ξ�˼̤�����, �ޤ�$G' + 3 \beta$��
$\Xi_{\mu K N}$����˼̤����Ȥ��狼��. 
����ˤ��, ��Ǽ����η���III��IV�����������. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 2. } ����������ΰ�$F$��δؿ�
$$
  H(p,q) = H_0(p_0) + H'_1(p) + \widetilde{H}_2(p,q)
$$
��Ŭ�Ѥ���. 1��˱�����, $|\widetilde{H}_2| < 2 \mu M$, 
$\theta'|dp| < |dA'| < \Theta' |dp|$�Ǥ���, �ޤ���
$\theta', \Theta', \rho, \beta, \gamma, \delta$, $\mu, 2M, K$��
��������ξ���������(��Ǽ����ξ��1)-4)���θ����)����, 
����������Ŭ�Ѳ�ǽ�Ǥ���. 
����ˤ��, �ΰ�$P \in G_{\mu KN} - 2\beta$, 
$|{\rm Im}~Q| \leq \rho -2\gamma$�����ʬƱ�����
$B: P, Q \rightarrow p, q$��������$|H'_2(P, Q)| < \mu M'$���Ѱդ����. 
�椨�˥��������θ������, $P \in G_{\mu KN} - 3\beta$, 
$|{\rm Im}~Q| \leq \rho -3\gamma$���Ф��Ƶ�Ǽ����η���II�θ��Ѥ���
����. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 3. } 1��˱�����, $P, Q \in F'$; 
$P \in G', |{\rm Im}~Q| \leq \rho - 3\gamma$�Ǥ��뤳�Ȥ��, 
$P \in G_{\mu KN} - 3\beta$���Ф�. �Ȥ��������ΤȤ�, 2��˱�����
��Ǽ����η���I��II������Ω�Ĥ���, ����ˤ�äƵ�Ǽ�����
�����˾������줿. 


\vspace{0.5cm}
\noindent
{\Large \bf \S 8. ��Ǽ�����ξ���} 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1.} \underline{��Ǽ�����ξ��β���}, 
\underline{��Ǽ���꤬Ŭ�ѤǤ��뤳��}�򼨤���. ���Τ���ˤޤ�, 2�ᤪ��
��3��ξ��1), 2) �����̤Ǥ��뤳�Ȥ����դ���.
$\delta \leq \delta^{(4)}$ 
���, $\delta \leq \delta^{(1)}(n, \Theta, \theta)$��3���4)���餷������. 
$\delta \leq \delta^{(2)}$���, $\gamma \leq 0.1 \rho$; 
$\gamma \leq 2^{-14}$���Ф�. �ޤ�, $\delta \leq \delta^{(1)}$, 
$\delta^{(2)}$���Ф���
$$ \begin{array}{ll}
  15 \delta < \displaystyle 15 \delta^{\displaystyle \frac{1}{2}} 
\delta^{\displaystyle \frac{1}{4n}} \leq 3 \delta^{\displaystyle 
\frac{1}{4n}} = 3\gamma , & 3\beta = 3 \delta^3 \varepsilon < 
2 \delta^2 \varepsilon < 2\delta
   \end{array}
$$
������Ω�ġ� ������, 3���4)��2���4)�����5)��ꤷ������. 
�Ǹ��, 3��ξ��3)�ˤ�����, $M < \delta^{2n+3} K \beta^2$
��������$-3T - 1 > 3T + 2n + 10$(�¤�$T=16n+24$)���餷������.
�������Ƶ�Ǽ����ξ��Ϥ��٤����������. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 2. } $\delta \leq \delta^{(2)}$�Ǥ��뤳�Ȥ��, (5.3.2)�˱�����, 
$s \geq 1$���Ф���
$$ \begin{array}{ll}
 \delta_s + \delta_{s+1} + \ldots < 2 \delta_s, & 
3(\gamma_s +\gamma_{s+1} + \ldots) < 6\gamma_s \leq 6\gamma_1 < 
\displaystyle 2 \frac{\rho}{3}
   \end{array}  \eqno(4.8.1)
$$
������Ω��. 

(4.8.1)���, $s \geq 1$���Ф���
$$ \begin{array}{l}
\theta_s = \theta_{s-1}(1-\delta_s),  \ \ 
\Theta_s = \Theta_{s-1}(1+\delta_s), \ \ 
\rho_s = \rho_{s-1} - 3\gamma_s, \\ 
\hspace*{2cm}(\theta_0 = \theta, \Theta_0 = \Theta, \rho_0=\rho)
   \end{array}
$$
���֤���, ��������������������뤳�Ȥ��狼��.
$$ \begin{array}{lll}
 \theta_s > \underline{\theta} = \displaystyle \frac{\theta}{2}, & 
\Theta_s < \overline{\Theta} = 2 \Theta, & \rho_s > \rho_{\infty} = 
\displaystyle \frac{1}{3} \rho .
   \end{array}  \eqno(4.8.2)
$$

��ñ�˳�ǧ�Ǥ���褦��, Ǥ�դ�$s \geq 1$���Ф���, ��
$\beta_s, \gamma_s, \delta_s, \varepsilon_s, M_s; K, \mu$�ϵ�Ǽ�����
���3), 4)�������������$\theta_{s-1}, \Theta_{s-1},\rho_{s-1}$��
������. $s=1$�ΤȤ�, ���������4�ǳΤ����. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 3. } $\delta \leq \delta^{(3)}$�Ǥ��뤫��, ������(5.3.10)���θ����
��, $N_s = \displaystyle \frac{1}{\gamma_s} \ln \frac{1}{2M_s} < 
\displaystyle \frac{1}{\gamma_s} \ln \frac{1}{\delta_s^{4T}}$���Ф���
������
$$
 \delta_s N_s^{n} = \displaystyle \delta_s 
\left( \delta_s^{\displaystyle -\frac{1}{4n}} \ln 
\delta_s^{-4T} \right)^n \leq \displaystyle \delta_s 
\left( \frac{16nT}{e} \delta_s^{\displaystyle - \frac{1}{2n}}
\right)^n \leq \displaystyle 
\delta_s^{\displaystyle \frac{1}{2}} \left( 
\frac{16nT}{e} \right)^n < 1     \eqno(4.8.3) 
$$
������Ω��. �����, 
$\sigma_1 = \displaystyle \sum_{1 \leq m < N_1} m^{-2}$�����
$s>1$���Ф���
$\sigma_s = \displaystyle \sum_{N_{s-1} \leq m < N_s} m^{-2}$���֤�. 
$\displaystyle \sum_{s=1}^{\infty} \sigma_s < 2$�Ǥ��뤫��, 
$\delta < \delta^{(3)}$, 
(4.8.1)�����(4.8.3)���, ������������Ƴ�����Ȥ��Ǥ���.
$$
\displaystyle
\sum_{s=1}^{\infty} [ K\sigma_s + (6 + 7 \Theta_s)\beta_s N_s^n] \leq 
\displaystyle \sum_{s=1}^{\infty} [\delta_1 \sigma_s + \delta_s] 
\varepsilon < 4 \delta_1 \varepsilon < \displaystyle 
\frac{\kappa \varepsilon}{2 \overline{D}} , \eqno(4.8.4)
$$
������
$$ \begin{array}{ll}
  \overline{D} = \displaystyle \left( 
 \frac{2\Theta}{\theta} \right)^n LD, & L = n 2^{n+2} .
   \end{array}
$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 4. } ��
$$ \begin{array}{lllll}
 A^{(s-1)}; & F^{(s-1)}, G^{(s-1)}; & H^{(s-1)}(P^{(s-1)}, Q^{(s-1)}); 
& \Xi^{(s-1)} & (s \geq 1)
   \end{array} \eqno(4.8.5)_{s-1}
$$
����Ǽ����ξ����������Ȥ���. ������, ���κ�, ���
$$ \begin{array}{llll}
\theta_{s-1}, \Theta_{s-1} ; & \rho_{s-1}; & \beta_s, \gamma_s, \delta_s, 
M_s; & K, \mu, 
   \end{array} \eqno(4.8.6)_{s-1}
$$
�Ͼ��������줿��ΤȤ���. ���ΤȤ���Ǽ�����
$$ \begin{array}{lllll}
A', B; & F', G'; & H'_1(P), H'_2(P,Q); & \Xi', \overline{\Xi}'; & 
\theta', \Theta', \rho'
   \end{array} 
$$
���������. ������
$$ \begin{array}{lllll}
 A^{(s)}, B_s; & F^{(s)}, G^{(s)}; & H_1^{(s)}(P^{(s)}), 
H_2^{(s)}(P^{(s)}, Q^{(s)}); & \Xi^{(s)}, \overline{\Xi}^{(s)}; & 
\theta_s, \Theta_s, \rho_s .  
   \end{array}  \eqno(4.8.7)_s
$$
�Ƚ񤯤��Ȥˤ���. ��Ǽ����η���II���, $T=16(n+4)$�Ǥ��뤳�Ȥ��, 
$F^{(s)}$���
$$
 |H_{2}^{(s)}| \leq \displaystyle \mu \frac{M_s^2}{K \beta_s^2} 
\delta_s^{-\nu} < \mu \delta^{7T - 3T - 4n - 16} < \mu 
\delta_s^{\displaystyle 1 \frac{1}{14}(3 \frac{1}{2}T - 1)} = 
\mu M_{s+1}  \eqno(4.8.8)
$$
������. ��Ǽ����η���I, II, III���, 2���(4.8.8)�����դ����, 
(4.8.5)$_{s-1}$�ιब��Ǽ����ξ���, ���(4.8.6)$_{s-1}$��������
�ʤ��, (4.8.5)$_{s}$�ι�ϵ�Ǽ����ξ������(4.8.6)$_s$��������
�Ȥ���������ã����. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 5. } �Ȥ�����1��˱�����, (4.8.5)$_0$�ι�
($A^{(0)} = A, F^{(0)} = F, G^{(0)} = G, H^{(0)} = H, P^{(0)}=p, 
Q^{(0)} = q, \Xi^{(0)} = \Xi$)�ϵ�Ǽ����ξ������(4.8.6)$_0$��������.
�椨��, ��Ǽ�����̵�²�Ŭ�ѤǤ���. ���η��, (4.8.7)$_s$�ι��
$s = 1, 2, \ldots$���Ф�������.

(4.8.2)�����(4.8.8)���餹���, ��Ǽ�����η���I, II, III�ϵ�Ǽ�����
����I, II, III���餷������. $F^{(s)}$�����Ǥʤ����Ȥ�ޤ��������Ƥ��ʤ�.
����ϵ�Ǽ�����η���IV���餷������. ����IV�򤳤줫��������褦.

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 6. } ��Ǽ����η���III�����IV���, 
$$
 {\rm mes}~(G^{(s-1)} \backslash G^{(s)}) \leq \underline{\theta}^{-n} 
{\rm mes~(\Xi^{(s-1)} \backslash \overline{\Xi}^{(s)})} , 
\eqno(4.8.9)
$$
�Ǥ��뤳�Ȥ��狼��. ������, 
$\overline{\Xi}^{(s)} = \xi_{\mu KN_s}^{(s-1)} - \overline{d}_s$, 
$\overline{d}_s = (6 + 7\Theta_s)\beta_s$�Ǥ���, $\Xi^{(s-1)}$��
$\Xi^{(0)}$�������
$$ \begin{array}{llll}
 \Xi^{(k)} = \Xi_{\mu KN_k}^{(k-1)} - d_k, & 
d_k = (5 + 7\Theta_k) \beta_k, & N_k = \displaystyle 
\frac{1}{\gamma_k} \ln \frac{1}{2M_k} & (k=1, \ldots, s-1)
   \end{array}
$$
�ˤ�ä�������. ������$d_k > 0, N_1 < N_2 < \ldots$�Ǥ���, 
�ΰ�$\Xi = \Xi^{(0)}$�ϵ�Ǽ�����ξ��6)�˱�����
$$ \begin{array}{ll}
  \Xi^{(0)} = \Xi_{K_0N_0d_0}^*, & N_0 < N_1, K_0 > K, d_0 > 0, 
   \end{array}
$$
�ʤ���򤷤Ƥ���. ������, $\Xi^*$��$\displaystyle \frac{D}{\varepsilon}$
�����ΰ�Ǥ���. 

V��2��5��λ���������, 
$$
 {\rm mes}~(\Xi^{(s-1)} \backslash \Xi^{(s)}) \leq 
\displaystyle \frac{DL}{\varepsilon} [ 
K\sigma_s + (6+7\Theta_s)\beta_s N_s^n] 
{\rm mes}~\Xi^* , 
\eqno(4.8.10)
$$
�Ǥ��뤳�Ȥ��狼��. (4.8.9), (4.8.10)�����(4.8.4)���, 
$$ \begin{array}{l}
 {\rm mes}~(G \backslash G^{(s)}) = \displaystyle \sum_{k=1}^{s} 
{\rm mes}~(G^{(k-1)} - G^{(k)}) \leq \\
\leq \displaystyle \sum_{k=1}^s [K \sigma_k + (6 + 7\Theta_k)\beta_kN_k^n] 
\frac{DL}{\varepsilon \underline{\theta}^n} {\rm mes}~\Xi^* 
\leq \displaystyle \frac{\kappa \varepsilon}{2}
\frac{DL \underline{\theta}^n}{DL \Theta^n \varepsilon \underline{\theta}^n}
{\rm mes}~\Xi^* \\
= \displaystyle \frac{\kappa}{2} \Theta^{-n} {\rm mes}~\Xi^* 
   \end{array}\eqno(4.8.11)
$$
���Ф�. ������, ��Ǽ�����η���IV������Ω��, �����ϴ����˾������줿. 

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\Large \bf \S 9. ��ʬƱ����������ಽ�˴ؤ�������} 

\vspace{0.3cm}
���������ξ����Τ����, �����μ��������ಽ��ɽ������1��ξ��4)��
��ä���̩�ˤ��褦. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1. ����.} 
���������ξ��ˤ�����, Ǥ�դ�$\kappa>0$���Ф���, 
$\kappa, G_0, \rho, R, H_0$�����$\overline{\overline{H}}_1$�Τߤ�
��¸��������$\theta, \Theta, D, m, r, \overline{\mu}$��¸�ߤ�, 
�ΰ�$G_0$��$m+1$�Ĥ���ʬ��ʬ�����. ���ʤ��, 
$$
 G_0 = G_{01} \cup G_{02} \cup \ldots \cup G_{0m} \cup \overline{G}_0 ,
$$
������,
$$
  {\rm mes}~\overline{G}_0 \leq \displaystyle \frac{\kappa}{2} 
{\rm mes}~G_0 . \eqno(4.9.1)
$$
�ޤ�, Ǥ�դ�$0 < \mu < \overline{\mu}$
���Ф���, 
�ΰ�$G_{0i}$�γơ��ϰʲ���3�Ĥ����������. 

1) ����$A_0: p_0 \rightarrow Ap_0 = \omega_0 = \displaystyle 
\frac{\partial H_0}{\partial p_0}$��$G_{0i}$����$D$���ΰ�$\Omega_i$(V��1
��ε�ˡ)�ξ�ؤ���ʬƱ������Ǥ���, $G_{0i}$�γ����ˤ�����
$$ \begin{array}{ll}
  \theta |dp_0| \leq |dA_0| \leq \Theta|dp_0|, & 
\displaystyle 
\left| \frac{\partial^2 H_0}{\partial p_0^2} \right| \leq \Theta ,  
   \end{array}  \eqno(4.9.2)
$$
��������. 

2) ����$A: p\rightarrow Ap = \xi$��ͤ���. ������,
$$ \begin{array}{lll}
 p = p_0, \tau; & \xi=\xi_0,\xi_1; & \xi_0 = \displaystyle 
\frac{\partial}{\partial p_0} (H_0 + \mu \overline{\overline{H}}_1), 
\ \ \xi_1 = \displaystyle 
\frac{\partial \overline{\overline{H}}_1}{\partial \tau} .
   \end{array}  
$$
����$A$���ΰ�$G_i(r)$($p_0 \in G_{0i}$, $|\tau| \leq r$)�����ΰ�
$\Xi_i(r)$�ξ�ؤ���ʬƱ������Ǥ���, $G_i(r)$�γ����ˤ�����
$$ \begin{array}{ll}
  \theta |dp| \leq |dA| \leq \Theta|dp|;  & 
\displaystyle 
\left| \frac{\partial \overline{\overline{H}}_1}{\partial p} \right|, 
\displaystyle 
\left| \frac{\partial^2 \overline{\overline{H}}_1}{\partial p^2} \right|
 \leq \Theta , 
   \end{array}  \eqno(4.9.3)
$$
��������. 

3) ��$p = p_0, \tau$���ΰ�
$$ \begin{array}{ll}
 p_0 \in G_{0i} , & \displaystyle 
\left| \tau_j - \frac{\varepsilon}{2} \right| \leq \displaystyle 
\frac{\varepsilon}{2} 
   \end{array} 
$$
��$G^*_i(\varepsilon)$�ȵ���. 

$\xi_0 \in \Omega_i - d$�ʤ���$Ap, p \in G^*_i(\varepsilon)$�ν����
$\Xi_i^*(\varepsilon, d)$�ȵ���. 

����3)��, Ǥ�դ�$0 < \varepsilon < r, \ 0 < d < r$���Ф���, �ΰ�
$\Xi^*_i(\varepsilon, d)$��$\displaystyle \frac{D}{\varepsilon}$��
�Ǥ��뤳�Ȥ���äƤ���(V��1��3�໲��).

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 2. ����ξ���.} 
$\overline{G}_0$�Ȥ��Ƥ�, ����(4.1.9), (4.1.10)�������Ȥʤ����
¿���Τν�ʬ�����ʶ�˵����ɬ�פ�����. ���ΤȤ�, $\overline{G}_0$��
���Ǥ�, ������
$$ \begin{array}{lll}
 \theta^* E < \displaystyle \left| \left| 
 \frac{\partial^2 H_0}{\partial p_0^2} \right|\right| < \Theta^* E, & 
\theta^* E < || \lambda_{ij} || < \Theta^* E, & 
\displaystyle \left| \frac{\partial \lambda_i}{\partial p_j} \right| 
\leq \Theta^* 
   \end{array} 
$$
��, ��ʬ������$\theta^*$������礭��$\Theta^*$���Ф�������Ω��. ������
���������, �ѷ��˴ؤ�������(V��4��6��)�ν�����ڤ���ưפ˼�����褦��, 
����$\theta, \Theta, 0 < \theta \leq 1 \leq \Theta < \infty$����ӽ�ʬ
������$r, \overline{\mu}$���Ф���������(4.9.2)�����(4.9.3)��Ƴ����. 
���ΤȤ�, $r, \overline{\mu}$�����$G_{0i}$��$A_0$��$A$����ʬƱ�������
�ʤ�褦�����Ф��. �Ǹ��, ��ʬ������$r, \overline{\mu}$����ӽ�ʬ
�礭��$D$���Ф���, ���3)�����������(V��1��3���III�˱�����). $D$��
���Τ褦�����������ξ�������λ����. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 3. ����.} ���ΰ�$G_{0i}$�˴ؤ��Ƥ��줾���̡��˴����������������줿
�Ȥ���. �Ĥޤ�, 
$$
  \varepsilon_{0i} = \varepsilon_0 
(\kappa; \ H_0, \overline{\overline{H}}_1; \ G_{0i}, R_0, C, \rho) . 
$$
�����Ĥ��ä��Ȥ���. 
$$
\varepsilon_0 = \varepsilon_0( \kappa; \ H_0, \overline{\overline{H}}_1;
\ G_0, R_0, C, \rho) = \displaystyle \min_{1 \leq i \leq m} 
\varepsilon_0 \left( \frac{\kappa}{2m}; \ H_0, \overline{\overline{H}}_1;
\ G_{0i}, R_0, C, \rho \right)
$$
���֤�. (4.9.1)���餹���, ������$\varepsilon_0$�ϴ��������������򤹤٤�
��­����.

������դ򿴤�α���, �ʸ���ΰ�
$$ \begin{array}{llll}
 p_0 \in G_0; & p \in G(r) & ({\rm i.e.} \ p_0 \in G_0, \ |\tau| \leq r); 
& p \in G^*(\varepsilon)
   \end{array}
$$
$$
 \left( {\rm i.e.} \ p_0 \in G_0, 
\left| \tau - \frac{\varepsilon}{2} \right|\leq \displaystyle 
\frac{\varepsilon}{2} \right) \ (0 < \varepsilon < r)
$$
�ˤ�����1��ξ��1), 2), 3)�����������Ȳ��ꤹ��. 

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\Large \bf \S 10. ��®�ѿ��˴ؤ���ʿ��} 

\vspace{0.3cm}
���������ξ�����5��������ؿ�
$$
 H_0(p_0) + \mu \overline{H}_1(p_0, p_1, q_1) + \mu 
\tilde{H}_1(p_0, q_0, p_1, q_1)  \eqno(4.10.1)
$$
��Ŭ�Ѥ��뤳�Ȥ���Ϥޤ�. �����Τ�������ʳ���ʲ��ǿ�Ԥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1. ����.} 
�ؿ�$H(p,q)$, �ΰ�$F, G_0$���������$\rho$, $R=\sqrt{r}, C$; 
$\theta, \Theta, D, m, r$; $\kappa$�����������ξ��1)-4)��������, 9��
1��ξ��1)-3)�����������Ȥ��ꤹ��. �ä���, 
$$ \begin{array}{lllll}
\mu \leq \varepsilon^4, & 
\varepsilon = \delta^T, & T > n+2, & \rho \leq 1, & D > 1
   \end{array} \eqno(4.10.2)
$$
���ꤷ, ��
$$ \begin{array}{lllll}
\beta = \delta^3, & \gamma = 2 \delta^{\displaystyle \frac{1}{4n}}, 
& K_0 = \delta, & M = \mu \delta^{-1}, & 
\overline{M} = \varepsilon^4 \delta^{-1} 
   \end{array} \eqno(4.10.3)
$$
��Ƴ������. 

�Ǹ��$\delta$����ʬ���������Ȥ��ꤹ��. ���ʤ��, 
$$
 \delta \leq \delta^{(5)} (n, \theta, \Theta, C, T, R, \rho, \kappa, D) .
\eqno(4.10.4)
$$
������, 
$$
  \delta^{(5)} = \min \{ \delta^{(0)}(n, \Theta); \ 
\delta^{(6)}(n,\rho, R, C); \ \delta^{(7)}(n, \theta, \Theta, T, \kappa,
  D) \} .
$$
������$\delta^{(0)}$��5���������줿��ΤǤ���, 
$\delta^{(6)} = \displaystyle \min \left\{ 
0.04; \rho^n 8^{-4n}; \frac{R}{2}; \frac{1}{C} \right\}$
�Ǥ���, �ޤ� 
$$
  \delta^{(7)} = \displaystyle \min 
\{ \frac{1}{4\Theta}, \left( \frac{e}{16nT} \right)^{2n}, 
\frac{\kappa \theta^n}{6 \Theta^n D n 2^{2n+2}}  
\}  
$$
�Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 2. ��ĥ.} 1��β���β���, $P, Q$���֤��ΰ�$F'$
$$ \begin{array}{lll}
P_0 \in G'_0, & |{\rm Im}~Q_0| \leq \rho - 2\gamma \leq \rho' = 
0.5 \rho , & |X_1| \leq R - 3\beta \leq R' = 0.5R ,
   \end{array}  \eqno(4.10.5)
$$
�ˤ�����, �ʲ��ξ���������������ʬƱ�����$B: P, Q \rightarrow p, q$
��¸�ߤ���. 

I. $|B-E| < \mu \delta^{-(2n+7)}$, $ |dB| < 2|dX|$. 

II. $p, q = BX$(������, $X \in F'$)���Ф���, (4.1.1)�δؿ�$H(p,q)$��
$$
 H(p,q) = H_0(P_0) + \mu \overline{H}_1(P_0, P_1, Q_1) + 
H_2(P_0, P_1, Q_0, Q_1)  \eqno(4.10.6)
$$
�η��򤷤Ƥ���. ������$H_0$��$\overline{H}_1$��(4.1.1)-(4.1.3)�Τ�Τ�
Ʊ���Ǥ���, �ޤ�
$$
  |H_2| < \mu \varepsilon^4 \delta^{-(4n+15)}   \eqno(4.10.7)
$$
�Ǥ���. 

III. $G'_0 = A_0^{-1} \Omega_{K_0N_0} - 2 \delta^3$
$ \displaystyle \left( ������, 
N_0 = \displaystyle \frac{1}{2} \delta^{\displaystyle - \frac{1}{4n}} 
\ln \frac{\delta}{\varepsilon^4} \right) $.


IV. $G''_0$��$P_0$���֤��ΰ�Ǥ��ä�, 
$A_0 G''_0 \supseteq \Omega_{K_0N_0} - 4\Theta \delta^3$�Ǥ����, 
${\rm mes}~(G_0 \backslash G''_0) \leq \displaystyle \frac{\kappa}{2} 
{\rm mes}~G_0$�Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 3. ����.} $\delta \leq \delta^{(6)}$, (4.10.3)�����(4.10.2)���, 
$$ \begin{array}{llll}
 10 \delta \leq 2 \gamma \leq \displaystyle \frac{\rho}{2} \leq 
\displaystyle \frac{1}{2}, & 3\beta \leq \delta \leq \displaystyle 
\frac{R}{2}, & \delta \leq K, & \mu C \leq M \leq \overline{M} \leq 
\delta^{2n+3} \beta^2 
   \end{array}  \eqno(4.10.8)
$$
����������. 

(4.1.7), (4.10.8), �����(4.9.2)����Ӿ��(4.10.4)��(4.10.2)�˱�����, 
�ؿ�(4.10.1), �ΰ�$F, G_0$, $G_1: |x_1| \leq R$����ӿ�
$\theta, \Theta, \rho$; $\beta, \gamma, \delta$; $K_0, M, \overline{M}$
��5���ʿ�Ѳ�����ξ��1)-4)��������. ��������ˤ��, �ΰ�$F'$��
����$B$���Ѱդ����. 

������(4.10.5)��(4.10.8)��ꤷ������. (4.10.3)���餹���, ��ĥI��5��1��
���餷������. ��ĥII��5��II�����1���(4.1.6)���餷������. �Ȥ����Τ�, 
$H_2 = (\mu^2)H_2 + H'_2$�Ǥ���, �椨��, (4.10.3)�����(4.10.2)���
$$
|H_2| \leq \mu^2 \delta^{-1} + \mu \varepsilon^4 \delta^{-(4n+14)} 
\leq \mu \varepsilon^4 \delta^{-(4n+15)}  
$$
�Ǥ��뤫��Ǥ���. 
��ĥIII��5��III��Ʊ���Ǥ���. 

��ĥIV��������褦. (4.10.4)�ˤ�����$\delta \leq \delta^{(7)}$�Ǥ��뤳��
��ͤ����
$$ \begin{array}{ll}
 {\rm mes}~(G_0 \backslash G''_0) \leq \theta^{-n} 
~{\rm mes}~[\Omega \backslash (\Omega_{K_0N_0} - 4 \Theta \delta^3)] 
\leq \theta^{-n}(2 K_0 + \delta^2 N_0^n) DL ~{\rm mes}~\Omega \\
\leq \theta^{-n} 3 \delta DL ~{\rm mes}~\Omega \leq 
3 \delta \Theta^n \theta^{-n} DL ~{\rm mes}~G_0 \leq \displaystyle 
\frac{\kappa}{2} ~{\rm mes}~G_0
   \end{array}  
$$
�Ǥ���. 

�����ǻ�������(V��2��2��)��������$\delta \leq \displaystyle 
\left\{ \frac{1}{4\Theta}, \frac{1}{N_0^n}, 
\frac{\kappa \theta^n}{6\Theta^nLD} \right\}$
���༡�Ȥä�. 

������$\delta < N_0^{-n}$��
$\delta < \displaystyle \left( \frac{e}{16nT} \right)^{2n}$, 
$N_0 < \displaystyle \delta^{\displaystyle -\frac{1}{4n}} \ln 
\frac{1}{\delta^{4T}}$���餷������. 
����, (5.3.1)���餹���, $\displaystyle \ln \frac{1}{\delta^{4T}} \leq 
\displaystyle 4T \frac{4n}{e} \left( \frac{1}{\delta} 
\right)^{\displaystyle \frac{1}{4n}}$�Ǥ���, �椨��
$N_n^0 \leq \displaystyle \delta^{\displaystyle -\frac{1}{2}} 
\left( \frac{16nT}{e} \right)^n < \delta^{-1}$�Ǥ���. 
��ĥI-IV�Ͼ������줿.

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\Large \bf \S 11. �˺�ɸ} 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1. ��ˡ.}
2������Ӥ���ʸ�ζ����¹Ԥ��뤿���, 10���ľ���ɸ$P_1, Q_1$����
�˺�ɸ$\tau, \varphi$�������Ѵ�
$$ \begin{array}{ll}
 P_1 = \sqrt{2 \tau} \cos \varphi, & Q_1 = \sqrt{2 \tau} \sin \varphi
   \end{array} \eqno(4.11.1)
$$
�ǰܤ���. 

�ѿ�$P_0, Q_0, \tau, \varphi$��ʸ��$P_0^*, Q_0^*, P_1^*, Q_1^*$��ɽ��, 
�Ѵ�(4.11.1)��ʸ��$B^*: B^*X^* = X$��ɽ��. ������, 
$X^* = P_0^*, P_1^*, Q_0^*, Q_1^* = P_0, \tau, Q_0, \varphi$; 
$X = P_0, P_1, Q_0, Q_1$�Ǥ���. �ѿ�$Q^*$�Ϥ��٤Ƴ��٤ΰ�̣����Ĥ��Ȥ�
���դ��Ƥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 2. ����.}
10��1��ξ��ˤ�����, ������
$$ \begin{array}{ll} 
 T > 8n + 30, & \delta \leq \delta^{(8)} = 2^{-15} C^{-1}
   \end{array} \eqno(4.11.2)  
$$
������Ω�ĤȤ���. �ΰ�$X^* \in F^{*'}(\varepsilon)$��ͤ���. ������, 
$P_0^* \in G'_0$��10��2��ΤȤ���Ǥ���, $P_1^* \in G_1(\varepsilon)$, 
$\displaystyle \left[ \left| P_1^* - \frac{\varepsilon}{2} \right| < 
\displaystyle \frac{\varepsilon}{2} \right]$, $|{\rm Im}~Q^*| \leq
0.5\rho$. �����ΰ�Ǥ�, $p, q = x = BX = B B^* X^*$�δؿ�(4.1.1)��
$$
 H(p,q) = H_0(P_0^*) + \overline{\overline{\mu}} H_1(P_0^*, P_1^*) + 
H_3(P_0^*, P_1^*, Q_0^*, Q_1^*) = H^*(P^*, Q^*) ,  \eqno(4.11.3)
$$
�ʤ������. ������$H_0$�����$\overline{\overline{H}}_1$��
(4.1.1)-(4.1.4)�δؿ���Ʊ���Ǥ���, $H_3$��$Q^*$�ˤĤ��Ƽ���$2\pi$��
���ϴؿ��Ǥ��ä�, $F^{*'}(\varepsilon)$���
$$
  |H_3| < \displaystyle \frac{\mu \varepsilon^{3.5}}{\delta}  
 \eqno(4.11.4)
$$
��������. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 3. ����.} 
$\delta < \delta^{(6)}$�Ǥ��뤫��, 
$\displaystyle \frac{\varepsilon}{2} < 2^{-6}R^2 = \displaystyle 
\left( \frac{R'}{4} \right)^2$������. �������ä�, �˺�ɸ�˴ؤ���
����(V��4��7��)��Ŭ�ѤǤ�, ����˱�����, (4.10.6)��
$$
 H(p,q) = H_0(P_0^*) + \mu \overline{\overline{H}}_1(P_0^*, P_1^*) 
+ \mu \widetilde{\overline{H}}_1 + H_2 , \eqno(4.11.5)
$$
�ʤ������. ������, (4.1.8), (5.4.4)�����(4.10.7)�˱�����
$$ \begin{array}{ll}
 |\widetilde{\overline{H}}_1| \leq C|8P_1^*|^{3.5}, & 
|H_2| < \mu \varepsilon^4 \delta^{-(4n+15)} 
   \end{array}
$$
�Ǥ���. (4.11.2)��$\delta < \delta^{(6)}$���, 
�ΰ�$F^{*'}(\varepsilon)$�ˤ�����  
$$
 |\mu |\widetilde{\overline{H}}_1| \leq \mu C 8^{3.5} \varepsilon^{3.5}
 < \displaystyle \frac{\mu}{2\delta} \varepsilon^{3.5} , \eqno(4.11.6)
$$
������Ω��, (4.11.2)��$T > 8n +30$���, 
$$
 |H_2| < \mu \varepsilon^{3.5} \varepsilon^{0.5} \delta^{-(4n+15)} 
< \displaystyle \frac{\mu \varepsilon^{3.5}}{2\delta}  \eqno(4.11.7)
$$
�Ǥ��뤳�Ȥ��狼��. (4.11.5)-(4.11.7)����Ӥ���, �ط���(4.11.3)�����
(4.11.4)������.

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\Large \bf \S 12. ��Ǽ������Ŭ����} 

\vspace{0.3cm}
�ʲ��Ǥ�, $\delta$����ʬ�������Ȥ��ؿ�(4.11.3)��2��ε�Ǽ�����ξ��
1)-6)�����������Ȥ򼨤���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1. ����.}
$$
  \delta \leq \delta^{(9)}(n, \theta, \Theta, C, R, \rho, \kappa, D)
$$
���֤�. ������, 
$$
 \delta^{(9)} = \displaystyle \min \left\{ 
\delta^{(4)} (n, \Theta, \theta, \frac{\rho}{2}, \frac{\kappa}{2}, D); \ 
\delta^{(5)} (n, \Theta, \theta, C, 16(n+4), \rho, \kappa, D); \
\delta^{(8)}(C) \right\} .
$$
$\delta^{(4)}$��2����������, $\delta^{(5)}$��10���, $\delta^{(8)}$��
11���������줿. 

���������ξ��1)-4)��9��1��ξ��1)-3)����������Ƥ���Ȳ��ꤹ��. �ä���, 
$$ \begin{array}{ll}
  \mu \leq \varepsilon^4, & \rho \leq 1
   \end{array}
$$
���ꤹ��. ���ΤȤ�, $T = 16(n+4)$���Ф���, 10�ᤪ���11��β��꤬����
�����. ������(4.1.1)���ѿ�$P^*, Q^* \in F^{*'}$�˴ؤ���(4.11.3)�η���
���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 2. �ΰ� $\Xi, G$.}
���Ƴ�����������Ĥ����ΰ�ε�ˡ��פ���������. 

$G_0$��$p_0$���֤θ����ΰ�Ǥ���(9�Ỳ��). 

$\Omega = A_0 G_0$��$\omega_0$���֤��ΰ�. 

$G_1(\varepsilon)$��
$\displaystyle \left| p_1 - \frac{\varepsilon}{2} \right| \leq
\displaystyle  \frac{\varepsilon}{2}$��������$p_1$����ʤ�. 

$G^*(\varepsilon) = G_0 \times G_1(\varepsilon)$��, $p_0 \in G_0$, 
$p_1 \in G_1(\varepsilon)$��������$p = p_0, p_1$����ʤ�. 

$\Xi^*(\varepsilon, d_0)$��$\xi = Ap$��������$\xi = \xi_0, \xi_1$�����
��. ������, $p \in G^*(\varepsilon), \xi_0 \in \Omega - d_0$�Ǥ���. 

�������ΰ�$\Xi$��Ƴ������. �����$\xi=Ap$��������$\xi = \xi_0, \xi_1$��
��ʤ�. ������, $p \in G^*(\varepsilon)$�����
$$
  \xi_0 \in \Omega_{K_0N_0} - d_0
$$
�Ǥ���. ������$K_0 = \delta$, 
$N_0 = \displaystyle \frac{1}{2} \delta^{\displaystyle - \frac{1}{4n}} 
\ln \frac{\delta}{\varepsilon^4}$, $d_0 = 3 \Theta \delta^3$
�Ǥ���(��ˡ$\Omega K_0 N_0$�ˤĤ��Ƥ�V��2��2�໲��). �ޤ��ΰ�
$$
  G = A^{-1} \Xi . 
$$
��Ƴ������. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 3. �ΰ� $\Xi, G$������.}
�ʲ��μ�ĥ���������(V��1�ᤪ���2��򸫤�).

I. �ΰ�$\Xi^*(\varepsilon,d_0)$��$\displaystyle \frac{D}{\varepsilon}$��
�Ǥ���, ����������.
$$
 {\rm mes}~\Xi^*(\varepsilon, d_0) \leq \Theta^n 
{\rm mes}~G^*(\varepsilon) . 
$$

II. $\Xi^*(\varepsilon, d_0)$�ˤ�����, �ΰ�$\Xi$��
$[\Xi^*(\varepsilon,d_0)]_{K_0N_0d_0}$�η��򤷤Ƥ���. 

III. $G \subseteq G'_0 \times G_1(\varepsilon)$, ������
$G'_0 = A_0^{-1} \Omega_{K_0N_0} - 2 \delta^3$.

IV. $G \supseteq G''_0 \times G_1(\varepsilon)$, ������
$G''_0 = A_0^{-1}(\Omega_{K_0N_0} - 4\Theta \delta^3)$.

\vspace{0.3cm}
I��(4.9.3)�����9���3)���餷������. �Ȥ����Τ�, (4.10.4)�����
(4.10.2)�˱�����
$$ \begin{array}{ll}
  0 < \varepsilon < r = R^2, & 0 < d_0 < r = R^2 , 
   \end{array}
$$
������Ǥ���. 

II��$\Xi$�������������Ǥ���(2����).

III��IV�ξ����ϼ��λ��¤˴�Ť�. ���ʤ��, (4.9.3)���θ�����, 
$p=p_0, p_1$; $\xi = \xi_0, \xi_1$; $\omega_0 = A_0 p_0, \xi = Ap$�ΤȤ�,
$|\xi_0 - \omega_0| < \mu \Theta < \delta^3 \Theta$������Ω��. 

$G$��������, $p \in G$����
$\xi_0 \in \Omega_{K_0N_0} - 3 \Theta \delta^3$���Ф�. 
�Ĥޤ�, $\omega_0 \in \Omega_{K_0N_0} - 2 \Theta \delta^3$ �����
$p \in A_0^{-1}(\Omega_{K_0N_0} - 2 \Theta \delta^3)$���̣����. 
�������ä�, V��4��4��˱�����, $p_0 \in G'_0$�Ǥ���. �����III������
���줿. 

������$p_0 \in G''_0$, �Ĥޤ�, 
$\omega_0 \in \Omega_{K_0N_0} - 4 \Theta \delta^3$�ΤȤ�, 
$\xi_0 \in \Omega_{K_0N_0} - 3 \Theta \delta^3$�Ǥ���, 
$p_1 \in G_1(\varepsilon)$���Ф���$p \in G$������. �����IV���������줿.

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 4. ��Ǽ�����ξ��1)-6)�γ�ǧ.}
1��β���β���, (4.11.3)���δؿ�$H^*(p^*, q^*)$, 3��ǹ������줿�ΰ�
$G, \Xi$, �����10��ο�$D, \Theta, \theta$, 
$\displaystyle \frac{\rho'}{2}$, $\kappa$��
$$ \begin{array}{llll}
\beta = \delta^3 \varepsilon, & \varepsilon = \delta^T, & T = 16(n+4), 
& \gamma = \delta^{\displaystyle \frac{1}{4n}},\\
 \mu \leq \varepsilon^4, & M = \varepsilon^{3.5} \delta^{-1}, & 
K = \delta \varepsilon 
   \end{array}  \eqno(4.12.1)
$$
�ȶ��˵�Ǽ����ξ��1)-6)�����������Ȥ򼨤���. 

���1)(������$\overline{\overline{H}}_1(P^*)$��$H_1(p)$������̤���, 
$H_3(P^*, Q^*)$��$H_2(p,q)$������̤���)��11��2�प���3���III
���餷������.

���2)��9��2)���餷������.

���3)��(4.11.4)�����(4.12.1)���餷������.

���4)��1��ˤ�����$\delta \leq \delta^{(4)}$�Ǥ��뤳�Ȥ�ꤷ������.

���5)��(4.12.1)��ꤷ������.

���6)��3���I�����II���餷������. ���κ�, $\Xi^*(\varepsilon, d_0)$��
$\Xi^*$������̤���.

����, $K_0 = \delta > \varepsilon \delta = K$, 
$N_0 = \displaystyle \frac{1}{2} \delta^{\displaystyle -\frac{1}{4n}} 
\ln \frac{\delta}{2\varepsilon^{3.5}} = \displaystyle \frac{1}{\gamma} 
\ln \frac{1}{2M}$������Ω��. 

��������, ��Ǽ�����ξ��Ϥ��٤����������. �����餽�η���I��IV��������. 

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\Large \bf \S 13. �˸¤ؤΰܹ�}

\vspace{0.3cm}
�����Ǥ�(4.11.3)���Υϥߥ�ȥ�ؿ�$H^*(P^*,Q^*)$����������������������
���ѥȡ��饹��������. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1. ��«��.}
����$P^*, Q^*$����ΰ�$P_0^* \in G = G^{(0)}, \ 
|{\rm Im}~Q^*| \leq \displaystyle \frac{\rho}{2}$��$F = F^{(0)}$��ɽ�� 
(�ΰ�$G$��12��2����������). 
12��4��˱�����, 2��ε�Ǽ�����ˤ���ΰ���$F^{(s)}$�����
$P^{(s)}, Q^{(s)}$��$P^*, Q^* = S_s(P^{(s)}, Q^{(s)})$: 
$S_s = B_1 B_2 \ldots B_s$�ˤĤʤ���ʬƱ�������$B_s$���Ѱդ����. 
��ɸ$P^{(s)}, Q^{(s)}$�ˤ�����, $F^{(s)}$��Υϥߥ�ȥ�ؿ�
$H^*(P^*,Q^*)$ (4.11.3)��2��η�$H^{(s)}(P^{(s)}, Q^{(s)})$����. 

2��I�˱�����, V��5��1��μ�«�������, $d_s = \beta_s < 4^{-s}$�Ȥ���
��$B_s$�����$F^{(s)}$��Ŭ�ѤǤ���. 
��������Τ�������, ����$F^{(\infty)} = \cap_{s \geq 0} F^{(s)}$���
��ʬƱ���������$S_s$�ϰ��ͤˤ������$S_{\infty}$: 
$$
  |S_{\infty} - E| < 2 \beta_1   \eqno(4.13.1)
$$
�˼�«����. ����$F^{(\infty)}$��$P^{(\infty)} \in G^{(\infty)}$, 
$|{\rm Im} \ Q^{(\infty)}�� \leq \rho_{\infty}$
$$ \begin{array}{ll}
\displaystyle 
 \left( \rho_{\infty} \geq \displaystyle \frac{\rho}{6}, \right. & 
\left.  
G^{(\infty)} = \displaystyle \cap_{s \geq 0} G^{(s)} \right) . 
   \end{array}
$$
�η��򤷤Ƥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 2. ������.}
��������ѿ��Ϥ��٤Ƽ¿��Ȥ���. 

����$S_{\infty}F^{(\infty)}$��, $H^*(P^*,Q^*)$�ˤ�äƷ�ޤ뱿ư�˴ؤ���
���ѤǤ��뤳�Ȥ򼨤���. �ϥߥ�ȥ�ؿ���
$H^{(s)}(P^{(s)}, Q^{(s)}) = H^*(P^*, Q^*)$�Ȥ���������������
$$ \begin{array}{lllll}
\dot{X} = Y^{(s)}(X^{(s)}) & (������ & X^{(s)} = P^{(s)}, Q^{(s)}; 
& Y^{(s)} = -H_{Q^{(s)}}^{(s)}, H_{P^{(s)}}^{(s)})
   \end{array}  \eqno(4.13.2)
$$
�η��˽�. 

�Ѵ�$S_s$������Ǥ���. �������ä�, $X^{(s)}(t)$��(4.13.2)$_s$����������, 
$X^*(t) = S_s X^s(t)$��(4.13.2)$_*$����­����. 

�ޤä���Ʊ���������, �ϥߥ�ȥ�ؿ���
$H_0(P_0^{(s)}) + H_1^{(s)}(P^{(s)})$�Ȥ����������ϥ٥��ȥ��
$\overline{Y}^{(s)} = (0; A_0^{(s)}, \mu A_1^{(s)})$���������. 
������, $A_0^{(s)}, A_1^{(s)}$��2��III�Υ٥��ȥ�$A^{(s)}(P^{(s)})$��
�ǽ��$n_0$�Ĥ���ӺǸ��$n_1$�Ĥ���ʬ�Ǥ���. 

2��III�˱�����, $s \rightarrow \infty$�ΤȤ�, $G^{(\infty)}$���
��ʬƱ�������$A^{(s)}$�϶˸�$A^{(\infty)}$�˼�«����. 
������((4.8.1)����)
$$
  |A^{(s)} - A^{(\infty)}| \leq \displaystyle \sum_{k=s+1}^{\infty} 
\beta_k \delta_k < \displaystyle \frac{1}{2} \beta_{s+1}
$$
�Ǥ���. 

$A^{(\infty)}$��$A_0^{(\infty)}, A_1^{(\infty)}$�η��˽񤫤�Ƥ���Ȥ�, 
$F^{(\infty)}$��Υ٥��ȥ��$(0; A_0^{(\infty)}$, $\mu A_1^{(\infty)})$��
$\overline{Y}^{(\infty)} = Y^{(\infty)}$�ȵ���, ������
(4.13.2)$_{\infty}$�β�(ľ��)��$X^{(\infty)}(t)$�ȵ���. 
2��II���, $F^{(s)}$���
$|Y^{(s)} - \overline{Y}^{(s)}| < \displaystyle \frac{1}{2} \beta_{s+1}$
������Ω��. (4.13.3)���餹���, $F^{(\infty)}$���
$|Y^{(s)} - Y^{(\infty)}| < \beta_{s+1}$������. 2��II���, 
$\displaystyle \left| \frac{\partial Y^{(s)}}{\partial X^{(s)}} \right| 
< 2n \delta_{s} + 2 \Theta < 3 \Theta$������. �������ä�, 
V��5��3������꤬Ŭ�ѤǤ�, $X^{(\infty)}(0) \in F^{(\infty)}$���Ф���
��$X^*(t) = S_{\infty}(X^{(\infty)}(t))$��$F$��°��(4.13.2)$_*$��������
���Ȥ��狼��. 

�����齸��$F^* = S_{\infty} F^{(\infty)}$�����ѤǤ���. 

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\Large \bf \S 14. ���������ξ���} 

\vspace{0.3cm}
10��˻Ϥޤä����������ξ����򤳤��Ǵ��������褦. �ѿ��Ϥ��٤Ƽ¿��˼��. 
����ˡ�ȵ�ˡ��10��-13��Τ�Τ�Ȥ�. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1. ${\bf F}_{\varepsilon}$�ι���.}
$$
  {\bf F}_{\varepsilon} = B B^* {\bf F}^* = B B^* S_{\infty} F^{(\infty)} 
\eqno(4.14.1)
$$
���֤�. $B$��10����������, $B^*$��11��, $S_{\infty}$��
$F^{(\infty)}$��13���������줿. ���������μ�ĥI-IV���������. 

�ޤ�
$$
  {\bf F}^* \subseteq F^{*'}(\varepsilon) - \beta_1  \eqno(4.14.2)
$$
���������. ������$P^*, Q^* \in F^{*'}(\varepsilon)$��
$P^* \in G'_0 \times G_1(\varepsilon)$�Τ��ȤǤ���(11��2�໲��).
2��I���, ${\bf F}^* \subseteq B_1 F^{(1)} \subseteq F - \beta_1$�Ǥ��뤳��,
�ޤ�12��3��III���, $G \subseteq G'_0 \times G_1(\varepsilon)$���Ф�. 
�������ä�, (4.14.2)������Ω��, $B B^*$��$F^*$����������, (4.14.1)��
��̣�����. 

�����
$$ \begin{array}{llll}
 x^* = V^{*-1}x, & x = BX, & X = B^*X^*, & X^* \in F^* \\
x^* = p_0^*, p_1^*, q_0^*, q_1^*, & x = p_0, p_1, q_0, q_1, & 
X = P_0, P_1, Q_0, Q_1, & X^* = P_0^*, P_1^*, Q_0^*, Q_1^* \\
%
x_0^* = p_0^*, q_0^*, & x_0 = p_0, q_0,  & 
X_0 = P_0, Q_0, & X_0^* = P_0^*, Q_0^*,\\
%
x_1^* = p_1^*, q_1^*, & x_1 = p_1, q_1, & 
X_1 = P_1, Q_1, & X_1^* = P_1^*, Q_1^*
   \end{array}
$$
���֤�. $B^*$��������, $x_0^* = x_0, X_0^* = X_0$������. 10��I���餹��
��,
$$ \begin{array}{llll}
 |x_0^* - X_0^*| < \mu \delta_1^{-(2n+7)} < \varepsilon^3 < \beta_1, & 
|x_1 - X_1| < \varepsilon^3 < \sqrt{\delta_1^3 \varepsilon}  
   \end{array} \eqno(4.14.3)
$$
�Ǥ���. �ޤ�, 
$|X_1| < \sqrt{2\varepsilon}, \ |x_1| < \displaystyle \frac{1}{2}$�Ǥ���
���Ȥ����餫�Ǥ���. (4.14.2)���餹���, 
$|P_1^*| \geq \beta_1 = \delta_1^3 \varepsilon$������Ω��, (4.13.3)��
������$|x_1 - X_1| < \sqrt{P_1^*}$�Ǥ���. 
�������ä�, V��4��8�������ˤ��, 
$|x_1^* - X_1^*| \leq \displaystyle \max 
\left\{ \varepsilon^3, 2 \frac{\varepsilon^3}{\sqrt{\delta_1^3 \varepsilon}}
\right\} < \varepsilon^2$�Ǥ���. (4.13.3)�����(4.14.2)��ʻ�����, ���줫��
$$
  |x^* - X^*| < \varepsilon^2  \eqno(4.14.4)
$$
��������. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 2. ���ѥȡ��饹.}
$P^{(\infty)} \in G^{(\infty)}$����ꤷ, $x$���֤ˤ����ƥȡ��饹
$$
  x = B B^* S_{\infty} (P^{(\infty)}, Q^{(\infty)})  \eqno(4.14.5)
$$
��ͤ���. ��ɸ��$Q^{(\infty)}$�Ǥ���. 13��2��˱���, �ޤ��Ѵ�$B, B^*$������
�Ǥ��뤳�Ȥ���, �ϥߥ�ȥ�ؿ���(4.1.1)�Ȥ��뤳�Υȡ��饹�����������
$$ \begin{array}{lllll}
 \dot{Q}^{(\infty)} = \omega & (������ & \omega = \omega_0, \ \omega_1 & 
����� & \xi = \omega_0, \ \mu \omega_1 = A^{(\infty)}(P^{(\infty)}))
   \end{array}  \eqno(4.14.6)
$$
�ʤ������. 

��ˡ
$$
  p_{\omega}^* = A^{-1} \xi = A^{-1} A^{(\infty)} (P^{(\infty)}) , 
\eqno(4.14.7)
$$
��Ƴ������. ������$A$��9�����ʬƱ������Ǥ���. (4.13.3)�˱�����
$|A - A^{(\infty)}| < \beta_1$�Ǥ���. �������ä�, 
$|AP^{(\infty)} - Ap^*_{\omega}| < \beta_1$�Ǥ���, V��4��4���������
$$
 |P^{(\infty)} - p_{\omega}^*| < \theta^{-1} \beta_1  \eqno(4.14.8)
$$
�Ǥ���. 

�ȡ��饹(4.14.5)��$T_{\omega}$�Ƚ�, $p^*_{\omega} = p_{0 \omega}$, 
$\tau_{\omega}$, $Q^{(\infty)} = Q$���֤�, ���������μ�ĥII-IV��
�������褦. 

��ĥIV��(4.14.6)�����(4.14.7)����ľ���ˤ�������.

��ĥII��$x = B^* x^*$�Ǥ��뤳�Ȥ����դ�, 
$$ \begin{array}{lllll}
 f_{0_{\omega}} = p_0 - p_{0_{\omega}}, & 
g_{0_{\omega}} = q_0 - Q_0^{(\infty)},\\
%
 f_{1_{\omega}} = p_1 - \tau_{\omega}, & 
g_{1_{\omega}} = q_1^* - Q_1^{(\infty)},\\
   \end{array}
$$
���֤���, (4.14.5)����������. 

$f_{i_{\omega}}(Q)$, $g_{i_{\omega}}(Q)$�β�������ʣ���ΰ�$F^{(\infty)}$
�ˤ�����$S_s$�μ�«��(13��1��)���餷������.

���˼�ĥIII��������褦. (4.14.4), (4.13.1), (4.14.8)�˱���, �ޤ�
$\delta < \delta^{(7)}$(10��1��)�Ǥ��뤫��
$$ \begin{array}{l}
 |p^*-p_{\omega}^*�� \leq |p^*-P^*| + |P^*-P^{(\infty)}| + 
|P^{(\infty)} - p_{\omega}^*| \leq \varepsilon^2 + 2 \beta_1 + 
\theta^{-1}\beta_1 < \kappa \varepsilon, \\
|q^*-Q^{(\infty)}| \leq |q^*-Q^*| + |Q^*-Q^{(\infty)}| < 
\varepsilon^2 + 2\beta_1 < \kappa \varepsilon , 
   \end{array}
$$
������. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 3. ${\bf F}_{\varepsilon}$��¬�٤θ��Ѥ��.}
2��IV�����12��I���餹���, 
$$
  {\rm mes}~(G \backslash G^{(\infty)}) \leq \displaystyle 
\frac{\kappa}{2} \Theta^{-n} {\rm mes}~\Xi^* (\varepsilon, d_0) \leq 
\displaystyle \frac{\kappa}{2} {\rm mes}~G^*(\varepsilon)  \eqno(4.14.9)
$$
������Ω��. �����, 2��3��IV�����10��2��IV�˱�����
$$ \begin{array}{ll}
 {\rm mes}~[G^*(\varepsilon) \backslash G] = 
{\rm mes}~[(G_0 \times G_1(\varepsilon)) \backslash G] \\
\leq {\rm mes}~[(G_0 \backslash G''_0) \times G_1(\varepsilon)] \leq 
\displaystyle \frac{\kappa}{2}{\rm mes}~[G_0 \times G_1(\varepsilon)] = 
\displaystyle \frac{\kappa}{2}{\rm mes}~G^*(\varepsilon)
   \end{array} \eqno(4.14.10)
$$
������.

V��5��4���������, (4.14.9)�����(4.14.10)���θ�����, 
$$ \begin{array}{rl}
 {\rm mes}~S_{\infty}^{(\infty)} \geq {\rm mes}~F^{(\infty)} = &  
(2\pi)^n {\rm mes}~G^{(\infty)} \\
\geq & (2\pi)^n (1-\kappa) {\rm mes}~G^*(\varepsilon) = 
(1-\kappa) {\rm mes}~F(\varepsilon)
   \end{array} 
$$
������Ω��. 

�Ȥ�����, �����Ѵ�$B B^*$��¬����¸�Ǥ��뤫��, 1��I������. ���ʤ��, 
$$
  {\rm mes}~F_{\varepsilon} = {\rm mes}~B B^* S_{\infty} F^{(\infty)} 
= {\rm mes}~S_{\infty} F^{(\infty)} \geq 
(1-\kappa) {\rm mes}~F(\varepsilon) . \eqno(4.14.11)
$$

���Ѥ��(4.14.11)�μ����Ȥ����ˤ���, �����ι����������ѥȡ��饹��
����${\bf F}_{\varepsilon}$�϶��Ǥʤ�. ����Ǵ��������ξ�������λ����.
