\newpage
%\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\huge \bf V ��. ��������}
\end{center}

IV�ϤǻȤ�������Ϥ��ξϤ˽��᤿. 2��2�� -- 5�प���3��2��Ͻ��פ�
����Ϥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\Large \bf \S 1. $D$���ΰ�(domain)} 

\vspace{0.3cm}
���ΰ�(domain: Ϣ�볫����)�ˤϤ����̡����������ħ�Ť�������տ蘆����. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1.} $\Omega$�϶���$\omega$����ΰ�Ǥ��ä�, ��ʬŪ�˳�餫��
���̤ˤ�äƸ¤��Ƥ���Ȥ���. ���������ϴ�ñ�˼������Ȥ��Ǥ���. 

\re
I. ���$D>0$�����ä�, Ǥ�դ�$d_2 > d_1 > 0$���Ф���
$$
  {\rm mes}~[ (\Omega - d_1) \backslash (\Omega - d_2)] \leq 
D (d_2 - d_1)~{\rm mes}~\Omega .   \eqno(5.1.1)
$$

%\vspace{0.3cm}
%\noindent
%\underline{����}. $\Omega - d_i, i=1,2$�ζ����϶�ʬŪ�˳�餫�ʶ��̤ˤ�ä�
%�¤��Ƥ���. $[ (\Omega - d_1) \backslash (\Omega - d_2)]$�ζ�����
%Ʊ�ͤǤ���. ${\rm mes}(\Omega - d_2)  \leq {\rm mes}(\Omega - d_1)  
%\leq {\rm mes} \Omega$ . 
%$\Omega$�ζ������̤����Ѥ�$K_{\Omega}$�Ȥ����
%${\rm mes}[\Omega \backslash (\Omega - d_1)] = c_1 K_{\Omega} d_1$, 
%${\rm mes}[\Omega \backslash (\Omega - d_2)] = c_2 K_{\Omega} d_2$. 
%${\rm mes}[ (\Omega - d_1) \backslash (\Omega - d_2)] \leq $
%
%.....����̤��. 

\vspace{0.3cm}
���ξ��, $\Omega$��{\bf $D$���ΰ�}�ȸƤ�. 
$\Omega$��Ʊ�����ΰ�$\varepsilon \Omega$��$D/\varepsilon$���ΰ�Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 2.} IV��9��ˤ�����, �ü�ʻ����ǹ������줿�����ΰ�θ��Ѥ���
�Ȥ��Ĥ���. $0 < \varepsilon < \varepsilon_0, 0 < \mu < \mu_0$���֤�. 

$G_0$��$p_0$��������ΰ��, ��ʬŪ�˳�餫�ʶ��������. 

$G$��$p$��������ΰ��, ��ʬŪ�˳�餫�ʶ��������. 

$p = p_0, p_1$.

$G_1(\varepsilon) = \displaystyle \frac{\varepsilon}{2}$��$p_1$���֤���
�ζ�˵�Ǥ���. 
 
$G^*(\varepsilon) = G_0 \times G_1(\varepsilon)$�϶���
$p: p_0 \in G_0, p_1 \in G_1(\varepsilon)$����ΰ�Ǥ���. 

$A_0$��$G_0$����$\Omega$�ξ�ؤ���ʬƱ�����$A_0p_0 = \omega_0 \in \Omega$
�Ǥ���. 

$A$��$G$����$\Xi$�ξ�ؤ���ʬƱ�����$Ap = \xi = \xi_0, \xi_1 \in \Xi$
�Ǥ��ä�, $\mu$�˰�¸����. ���ΰ�¸���ϤȤ�����, $\mu \rightarrow 0$��
�Ȥ�, $p \in G$�˴ؤ���, �ޤ�������ʬ�˴ؤ���(?)���ͤ�
$|A_0p_0 - (Ap)_0| = |\omega_0-\xi_0| \rightarrow 0$.

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 3.} �ΰ�$AG^*(\varepsilon)$�˶�̣������. I��ʲ��Τ褦�˳�ĥ����. ������
�ưפǤ���. 

\re
II. $\varepsilon$�������ˤ�, �ΰ�$G_1(\varepsilon)$���濴$p_1$�ˤ�
��¸���ʤ����$D>0$�����ä�, $G^*(\varepsilon) \subset G$�ʤ��ΰ�
$AG^*(\varepsilon)$�Ϥ��٤�$D/\varepsilon$���ΰ�Ǥ���. 

\re
III. $p_1$�ˤ�$\varepsilon$�ˤ�ͤ�ʤ����$D>0, \overline{\mu}>0, r>0$
�����ä�, $0<\mu < \overline{\mu}, 0 < d < r$���Ф���, �ʲ�����������
�ΰ�$\Xi^*(\varepsilon, d)$��$D/\varepsilon$���Ǥ���. 

������, $\Xi^*(\varepsilon, d)$��, $p \in G^*(\varepsilon) \in G, 
\xi_0 \subset \Omega - d$�ʤ���$\xi=\xi_0, \xi_1 = Ap$���鹽�������. 

��ĥI, II, III�ξ����Ͼ�ά����. �����Ͻ���Ū�Ǥ��뤬, ���ݤǤ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 4.  �� (strips).} Ķ���̤�$\displaystyle \frac{h}{2}$��˵��, 
��$h$����$\Gamma$�Ȥ�Ф��. ���Ȥ���, ������$|(k,\omega)|<a$��, 
$k \geq 1$�ξ��, $\omega$�������, ����$2a$������Ӥ��������. 
��ñ�˷׻��Ǥ���褦��, ��$h$���Ӥ�$\omega$���֤�$n$�Ĥκ�ɸ���ΤҤ�
�ĤȤθ����$nh$���Ĺ���ʤ�. �椨��, (5.1.1)���θ�����, 
$$
 {\rm mes}~(\Omega \cap \Gamma) \leq D n h \ {\rm mes}~\Omega   
\eqno(5.1.2)
$$
��������. 

$\Omega' \subset \Omega$�Ȥ���. $\Omega'$��$\Omega$���$N$���Ǥ���Ȥ�, 
$\Omega' = (\Omega - d) \backslash (\cup \Gamma_i)$�ΤȤ��Ǥ���. ������, 
$d>0$�Ǥ���, $\cup \Gamma_i$��$N$�İ�����Ӥ��¤Ǥ���. $d_2 > d_1 > 0$
���Ф������餫��, 
$$ \begin{array}{rl}
 (\Omega' - d_1) \backslash (\Omega' - d_2) \subseteq &
 [(\Omega - d - d_1) \backslash (\Omega - d - d_2)] \cup \\  
& 
\cup \{ [ (\cup \Gamma_i + d_2) \backslash (\cup \Gamma_i + d_i) ] 
\cap \Omega \}
   \end{array}
$$
������Ω��. �������ä�, (5.1.1)�����(5.1.2)���
$$
 {\rm mes}~[(\Omega' - d_1) \backslash (\Omega' - d_2)] \leq 
D (1+2nN) (d_2-d_1) \ {\rm mes}~\Omega .  \eqno(5.1.3)
$$
����������.

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\Large \bf \S 2. ��������}

\vspace{0.3cm}
�ʲ��������, ̵��٤˼�ä�������Կ�����ɽ������. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1. ������.} ����$k_i = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$����ʬ�Ȥ���٥��ȥ��
$k = k_1, k_2, \ldots, k_n$�Ƚ�, ��$|k_1| + \ldots + |k_n|$��$|k|$
�Ƚ�. ��ñ�˷׻��Ǥ���褦��, $|k| = m \geq 1$�ʤ�ۤʤ�٥��ȥ��
����$2^n m^{n-1}$��ۤ��ʤ�. �ޤ�$|k| \leq m$�ΤȤ�, ����$2^nm^n$��
�ۤ��ʤ�.

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 2.} $\Omega$��$D$�����ΰ�Ȥ���. $\Omega_{KN}$($K>0, N>0$)��$\Omega$��
��$\omega$�Τ���, Ǥ�դ������٥��ȥ�$k, 0 < |k| < N$���Ф���
$$ \begin{array}{ll}
  |(k,\omega)| > K|k|^{-\nu} & (\nu = n+1)     
   \end{array} \eqno(5.2.1)
$$
�ʤ��Τν����ɽ��. $d_1, d_2,\ldots > 0$�����$0 < N_1 < N_2 < \ldots$
�Ȥ���. �ΰ�$\Omega^{(s)}$��ط���
$\Omega^{(0)} = \Omega, \ \Omega^{(s)} = \Omega_{KN_s}^{(s-1)} - d_s$��
Ƴ������. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ����.} Ǥ�դ�$s \geq 1$�����Ǥ�դ�$d>0$���Ф���, ������
$$
  {\rm mes}~[\Omega^{(s-1)} \backslash (\Omega_{KN_s}^{(s-1)}-d)] \leq 
LD [K \sigma_s + d N_s^n]~{\rm mes}~\Omega , \eqno(5.2.2)
$$
������Ω��. ������
$$ \begin{array}{lll}
  \sigma_s = \displaystyle \sum_{N_{s-1} \leq m < N_s} m^{-2}, 
& N_0=1, & L = n 2^{n+2} . 
   \end{array}  
$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 3.} \underline{����}. �ޤ�
$$
  {\rm mes}~[\Omega^{(s-1)} \backslash \Omega_{K N_s}^{(s-1)}] \leq 
L D K \sigma_s ~{\rm mes}~\Omega .      \eqno(5.2.3)
$$
���������Ȥˤ���. ����, (5.2.1)����$2K|k|^{-\nu}$�������$\Gamma_k$
�ˤ����Ƥ�����Ω���ʤ�. $|k|=m$���������褦�ʰۤʤ�$k$�ο���$2^nm^{n-1}$
����Ǥ���. �������ä�, (5.1.2)���
$$
\displaystyle
  \sum_{|k| = m}~{\rm mes}~(\Omega  \cap \Gamma_k) \leq \displaystyle 
\frac{L D K}{m^2}~{\rm mes}~\Omega   
$$
���Ф�. �����$N_{s-1} \leq m < N_s$�ʤ�$m$�˴ؤ����¤����, 
(5.2.3)��������.

����, $|k| \leq m$���������ۤʤ�$k$�ο���$2^nm^n$����Ǥ��뤳�Ȥ�����
���褦. ������, $\Omega^{(s-1)}$��$\Omega$���$2^nN_s^n$���Ǥ���
(1��4�໲��). (5.1.3)���
$$
  {\rm mes}~[\Omega_{K N_s}^{(s-1)} \backslash 
(\Omega_{K N_s}^{(s-1)}- d)] \leq d(1 + 2n 2^n N_s^n) D  
~{\rm mes}~\Omega       \eqno(5.2.4)
$$
������. 

(5.2.2)��(5.2.3)�����(5.2.4)��ꤿ�����ˤ�������. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 4. �ΰ�$\Xi$.}  $\Xi$����$\xi = \xi_0, \xi_1$��$n = n_0+n_1$����
�������$D$���ΰ�Ǥ���Ȥ���. $\Xi_{\mu KN}$(������$0 < \mu < 1$, 
$K>0, N>0$)��$\Xi$��������Ǥ��ä�, 
���٤Ƥ������٥��ȥ�$k, 0<|k|<N$���Ф���
$$
 |(k_0, \xi_0) + \mu (k_1,\xi_1)| \geq \left\{ 
  \begin{array}{lcl} 
    K |k|^{-\nu}, & {\rm if} & |k_0| \neq 0,\\ 
    \mu K|k|^{-\nu}, & {\rm if} & |k| \neq 0,
  \end{array}
\right. \ \ (\nu=n+1)  \eqno(5.2.5)
$$
����������ΤȤ���. $d_1, d_2, \ldots > 0$�����
$0 < N_1 < N_2 < \ldots$���֤�. �ΰ�$\Xi^{(s)}$��
$$ \begin{array}{ll}
  \Xi^{(0)} = \Xi, & \Xi^{(s)} = \Xi_{\mu KN_s}^{(s-1)} - d_s 
   \end{array}  \eqno(5.2.6)
$$
��Ƴ������. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ����.} Ǥ�դ�$s \geq 1$�����Ǥ�դ�$d>0$���Ф���, ������
$$
  {\rm mes}~[\Xi^{(s-1)} \backslash (\Xi_{\mu KN_s}^{(s-1)} - d_s)] 
\leq LD [K \sigma_s + d N_s^n]~{\rm mes}~\Xi
$$
������Ω��. ������, 
$$ \begin{array}{lll}
  \sigma_s = \displaystyle \sum_{N_{s-1} \leq m < N_s} m^{-2}, 
& N_0=1, & L = n 2^{n+2} . 
   \end{array}
$$

\vspace{0.3cm}
������, (5.2.5)������Ω���ʤ��Τ�����$2K|k|^{-\nu}$�ʲ�����$\Gamma_k$
�ˤ����ƤΤߤǤ���Ȥ������¤˴�Ť�. ����, $|k_0| \neq 0$�ʤ�,
�Ϥ��$n_0$�����˱�äƤ�$\Gamma_k$������$2K|k|^{-\nu}$��ۤ��ʤ�. 
������, $k_0=0$�ΤȤ�, (5.2.5)�ˤ�����$\mu$�ϥ���󥻥뤵��, �Ĥ�
(latter)�������ΤҤȤĤ˱�äƤ�$\Gamma_k$������$2K|k|^{-\nu}$��ۤ��ʤ�.
�ʸ�ξ�����3���Ʊ�ͤǤ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 5. �ΰ�$\Xi_{K_0N_0d_0}$.} 4����ΰ�$\Xi$���餽�ΰ���
$\Xi_{K_0N_0d_0}$(������$K_0 \geq K, 0 < N_0 \leq N_1, d_0 \geq 0$)��
�ʲ��Τ褦�˼��Ф�. ��$\xi_0, \xi_1 = \xi \in \Xi$��$\Xi_{K_0N_0d_0}$
��°���Τ�, $|\xi_0-\omega_0| \leq d_0$�ʤ�Ǥ�դ�$\omega_0$���Ф���, 
$$ \begin{array}{ll}
  |(k_0,\omega_0)| > K_0|k_0|^{-\nu} & (\nu = n+1)     
   \end{array} 
$$
�����٤Ƥ������٥��ȥ�$k_0, 0 < |k_0| < N_0$���Ф�������Ω�ĤȤ��Ǥ���. 

��ñ�˼�����褦��, (5.2.6)�ˤ�����$\Xi^{(0)} = \Xi$�������
$\Xi^{(0)} = \Xi_{K_0N_0d_0}$������Ƥ�4������������Ω��. 

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\Large \bf \S 3. ��������}

\vspace{0.3cm}
�����Ǥ�����ˤ��, ���ϴؿ��Υա��ꥨ��������ʬ��ؿ����Ȥ��Ѥ���
ɾ��������, ���εդ�Ԥʤä��ꤹ�뤳�Ȥ��Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1. ������.} Ǥ�դ�$m>0, \nu>0, \delta>0$���Ф���
$$ \begin{array}{ll}
  m^{\nu} \leq \displaystyle 
\left( \frac{\nu}{e} \right)^{\nu} \frac{e^{m \delta}}{\delta^{\nu}}, &
\displaystyle \ln \frac{1}{\delta} \leq \displaystyle 
\frac{\nu}{e} 
\left( \frac{1}{\delta} \right)^{\displaystyle \frac{1}{\nu}} .
   \end{array} \eqno(5.3.1)
$$ 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $f(x) = x - \nu\ln x$��$x=\nu$�ˤ����ƶ˾��ˤʤ�. 
�������ä�, $\displaystyle \frac{e^x}{x^{\nu}} \geq 
\displaystyle \frac{e^{\nu}}{\nu^{\nu}}$.
$x = m \delta$, $x = |\ln \delta|$���֤���(5.3.1)������. \hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
�����, $s \geq 1$���Ф���$\delta_{s+1} = \delta_s^{1+\alpha}, \alpha>0$
�����$\delta_1 \leq \displaystyle 2^{\displaystyle -\frac{1}{\alpha}}$
�Ȥ���. �����
$$ \begin{array}{ll}
 \delta_{s+1} \leq 2^{-s} \delta_1, & \displaystyle 
\sum_{s=1}^{\infty} \delta_s < 2 \delta_1 .
   \end{array}  \eqno(5.3.2)
$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $\delta_1 \leq 2^{\displaystyle - \frac{1}{\alpha}}$
���Ф���$\delta_{s+1} = \delta_s^{\alpha} \delta_s \leq 
\delta_1^{\alpha} \delta_s \leq 2^{-1} \delta_s$�Ǥ���. ���줫��(5.3.2)
���ưפ˽Ф�. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 2. �ա��ꥨ����.} 
$f(q) = \sum_k f_k e^{i(k,q)} \ (q=q_1, \ldots, q_n)$�Ȥ���. ���ΤȤ�, 

1) $|{\rm Im} \ q| \leq \rho$���Ф���$|f(q)| \leq M$���������Ω�Ĥʤ�, 
$|f_k| \leq M e^{-|k|\rho}$�Ǥ���. 

2) $|f_k| \leq Me^{-|k|\rho}$�ʤ� $|{\rm Im} \ q| \leq \rho - \delta$��
�Ф���$|f| < 4^n \delta^{-n} M$������(������, $0 < \delta \leq \rho \leq
1$�Ȥ���). 

\vspace{0.3cm}
���η�̤�, ����$f_k = (2\pi)^{-n} \int f(q) e^{-i(k,q)} dq$�ˤ�����
��ʬ��ϩ��$\pm i \rho$�������餹���Ȥˤ��������. $\delta \leq 1$��
���, $(1+e^{-\delta})(1-e^{-\delta})^{-1} < 4 \delta^{-1}$�Ǥ���. 
�������ä�
$$
 |f| \leq \sum M e^{-|k| \delta} = \displaystyle 
M (1 + 2 \sum_{m>0} e^{-m \delta})^n = 
M(1 + e^{-\delta})^n(1 - e^{-\delta})^{-n} < 
4^n \delta^{-n} M .
$$

��ˡ$R_{N}f = \displaystyle \sum_{|k| \geq N} f_k e^{i(k,q)}$��Ƴ������. 


3) $|f_k| \leq M^{-|k|\rho}$�ʤ�, 
$|{\rm Im} \ q| \leq \rho - \delta - \gamma$���Ф���$
|R_Nf| < \displaystyle \left( \frac{2n}{e} \right)^n
\frac{M}{\delta^{n+1}} e^{-N\gamma}$������
(������, $4\delta \leq 2\gamma \leq \rho \leq1$�Ȥ���). 

�º�, 2��1���(5.3.1)���θ�����, 
$$ \begin{array}{rl}
 |R_Nf| \leq & \displaystyle M \sum_{m \geq N} (2m)^n
 e^{-m(\delta+\gamma)} \leq \displaystyle 
M \left( \frac{2n}{e \delta} \right)^n \sum_{m \geq N} e^{-m \gamma} \\
\leq & \displaystyle \left( \frac{2n}{e} \right)^n \frac{M}{\delta^n} 
\frac{e^{-N\gamma}}{1-e^{-\gamma}} < \displaystyle 
\left( \frac{2n}{e} \right)^n \frac{M}{\delta^{n+1}} e^{-N\gamma} ,
   \end{array}
$$
�Ȥʤ�. $4 \delta \leq 2\gamma \leq 1$�ΤȤ�$1-e^{-\gamma} > \delta$
������Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 3. ���������θ��Ѥ��.} $x \in U$���Ф���, �ؿ�$f(x)$������Ū��
���ä�$|f(x)| \leq M$�Ǥ����, $x \in U - \delta$���Ф���
$$ \begin{array}{ll}
\displaystyle 
\left| \frac{\partial f}{\partial x} \right| \leq 
\displaystyle \frac{M}{\delta}, & \displaystyle 
\left| \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \right| \leq 
\displaystyle \frac{2M}{\delta^2},
   \end{array}  \eqno(5.3.3)
$$
������Ω��. �����ϥ���������ʬ$f(x) = \displaystyle \frac{1}{2\pi i} 
\oint \frac{f(\xi) d\xi}{\xi - x}$����������. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 4. �饰��󥸥太��ӥƥ��顼�θ���.} 
$f(x_1, \ldots, x_n)$��$x$���֤���ʬ$(a,b)$�ζ�˵�ˤ�����Ϣ³��ʬ��ǽ��
(���̤˥٥��ȥ�ؿ�, $f=f_1,\ldots, f_m$)�ؿ��Ǥ��ä�, $ab$���
$|df| \leq C|dx|$�Ǥ����, $|f(b) - f(a)| \leq C|b-a|$�Ǥ���. �Ȥ���, 
$\displaystyle \left| \frac{\partial f_i}{\partial x_j} \right| \leq C$ 
�ʤ�$|df| \leq Cn |dx|$����
$$
|f(b) - f(a)| \leq C n |b-a|   \eqno(5.3.4)
$$
�Ǥ���. 

�ؿ�$f(x)$���ΰ�$|x_i - a_i| < |b_i-a_i|$�ˤ�����2��Ϣ³��ʬ��ǽ�Ǥ��ä�, 
$\displaystyle 
\left| \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} \right| \leq \Theta$
�ʤ��, �ʲ���������������Ω��. 
$$
\displaystyle
 \left| f(b) - f(a) - \left( \frac{\partial f}{\partial x} |_a , 
(b-a) \right) \right| \leq \displaystyle \frac{\Theta n^2}{2} 
|b - a|^2 . \eqno(5.3.5) 
$$

������(5.3.4)�����(5.3.5)�ϼ��ΰ�Ǥ�ʣ���ΰ�Ǥ�����������Ω��. 
������, ��ʬ����ʬ�η�����ʬ��񤱤н�ʬ�Ǥ���. 

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\Large \bf \S 4. ����������} 

\vspace{0.3cm}
�����Ǥ�������ѿ��Ѵ��ΰ���ĵ������ݾڤ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1. $\varepsilon$-�Ѱ�(displacement).} 
$U$��桼����åɶ���$R$�����ΰ�(closed domain), 
$A$��$U$����$R$��ؤ�Ϣ³�����Ȥ�, $|Ax - x| \leq \varepsilon$�Ȥ���. 
�����, ��$AU$��$U- \varepsilon$��ޤ�. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $x_0 \in (U-\varepsilon) \backslash AU$���֤�. ���Τ�
������$A^*x = \displaystyle x_0 + \varepsilon \frac{Ax - x_0}{|Ax-x_0|}$
��$|x-x_0| \leq \varepsilon$���Ф���Ϣ³�Ǥ���. �������ä�, 
��$S_{t\varepsilon}: |x-x_0| = t\varepsilon \ (0 < t \leq 1)$
\footnote{��ʸ�Ǥ�
$S_{t\varepsilon}: |x-\varepsilon| = t\varepsilon \ (0 < t \leq 1)$
�ȤʤäƤ���.}
�����$S_{\varepsilon}$�ξ�ؤμ���$A^*$�μ�����$d(t)$([55]����)��$t$��
�ͤ�ʤ�. �Ȥ�����$d(1)=1$�Ǥ���, $t \rightarrow 0$�ΤȤ�
$d \rightarrow 0$�Ǥ���. ���ʤ��, $x \in AU$.

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 2. $\varepsilon$-�Ѱ̤�inversion.}
1��ξ��ˤ�����, $|dx| \neq 0$�ΤȤ�$|dA| \neq 0$�Ǥ���Ȥ���. 
���ΤȤ�$A$���ΰ�$U - 4\varepsilon$����ʬƱ������Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $x, y \in U - 4 \varepsilon$, $Ax = Ay = z$���֤�. 
�濴�����$xy$�������ˤ���Ⱦ��$2\varepsilon$�ε��$U-\varepsilon$��
�ޤޤ��. ���$xy$����$A_{xy} \subseteq D$�϶���$x$���ĸ̤Ǥ���, 
$D$�����$z$�˼��̤���. 1�प���$|dA| \neq 0$���, ���$xy$��
ü���򤽤Τޤޤ�1���˼��̤�����. �������ä�$x=y$�Ǥ���.  

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 3. �����Ѵ�.}
$G$�����$U$��$n$��������$P$�����$q$���ΰ�Ȥ���. $G \times U$��δؿ�
$S(P,q)$������Ū��$|S| \leq M \leq 16^{-1}n^{-1}\beta^2$����������, 
�ط�$p = P + S_q, \ Q = q + S_p$���ΰ�$P \in G-2\beta$,
$Q \in U - 3\beta$��������ʬƱ�����$B: P,Q \rightarrow p,q$���������. 
������ $|B-E| \leq M \beta^{-1}$, $|dB| < 2|dX|$($X = P,Q$)�Ǥ���. 
�ޤ�$Q \in U - 3 \beta - \delta$���Ф���$|P-p|\leq M\delta^{-1}$������. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. ����$B: q \rightarrow q + S_p = Q$�ˤ����Ƴ�
$P \in G - \beta$���Ф���, ���������ˤ��(3��3��), 
$|S_p, S_q| \leq M \beta^{-1} < 0.2 \beta$, 
$|S_{PP}, S_{Pq}, S_{qq}| \leq 2M\beta^{-2} < 4^{-1} n^{-1}$������Ω��. 
�������ä�, $|Bp-E| \leq M \beta^{-1} < 0.2\beta$�����
$|dB p| \neq 0$�Ǥ���. 
2��˱�����, $Bp$���ΰ�$q \in U - 1.8\beta$����ʬƱ������Ǥ���, 
1��ˤ��, ���������ΰ�$Q \in U - 2\beta$��ޤ�. �������ä�, 
$P \in G - \beta$, $Q \in U - 2\beta$���Ф���, �ʲ��μ���$B$����ޤ�. 
���ʤ��, $P, Q \rightarrow p, q = P + S_q, B_p^{-1}(Q)$(������, 
$S_q$�ˤ���ʬ�Τ��Ȥ�$q = B_p^{-1}(Q)$����������). 
$P \in G - 2\beta$, $Q \in U - 3\beta$���Ф��Ƥ�, 
$|B-E| < M\beta^{-1} < 0.2\beta$�����$|dB - dx| < 0.5|dx|$������. 
������, 3���2��ȥ��������θ��Ѥ꤫�餷������. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 4.} $A$�ϵ�$U_{\varepsilon}(x_0): |x-x_0| \leq \varepsilon$�μ�����
���ä�, $\theta |dx| \leq |dA| \leq \Theta |dx|$�Ǥ���Ȥ���. ���ΤȤ�,
$$
  U_{\theta \varepsilon}(Ax_0) \subseteq AU_{\varepsilon}(x_0) 
\subseteq U_{\varepsilon \Theta}(Ax_0) . 
$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. ������������ϥ饰��󥸥�θ���(2��4��)���餷������. 
$y(t) = y_0 + ty$���֤�. ������, $y_0 = Ax_0, 0 \leq t < \infty$�Ǥ���. 
$t$���������Ȥ�, Ϣ³��ʬ��$A^{-1}(y(t)) \subset U_{\varepsilon}x_0$��
����. ������, $A^{-1}y_0 = x_0$. $\overline{t}$�Ϥ��줬����Ω�ĺ����
$t$�Ǥ���Ȥ���. �����, $\overline{y} = y(\overline{t})$���Ф���, 
$|A^{-1}(\overline{y}) - x_0| = \varepsilon$�Ȥʤ�Ϥ��Ǥ���. 
�Ȥ�����, �饰��󥸥�θ������, 
$|A^{-1}(\overline{y}) - A^{-1}(y_0)| \leq
\theta^{-1}|\overline{y}-y_0|$, �Ĥޤ�, 
$|\overline{y} - y_0| \geq \theta \varepsilon$�Ȥʤ�. ���줬�����٤�
��̤Ǥ��ä�. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 5. ���ȿ�����ư�˴ؤ�������} 
$A$��$p$���֤��ΰ�$G$����$\omega$���֤��ΰ�$\Omega$�ξ�ؤ���ʬƱ�����
�Ǥ���Ȥ�, $\theta|dp| \leq |dA| \leq \Theta |dp|$�Ȥ���. �ޤ�
$A'$���ΰ�$G - \beta$�μ���$p \rightarrow Ap + \Delta(p)$�Ǥ���. ������, 
$|\Delta(p)| < \beta$�����$|d \Delta| < \delta \theta |dp|$. 
$\Omega_0$��$\Omega$����ʬ�ΰ�, �ޤ�$\beta>0, b>0, 0 < \delta < 1$�Ȥ���.
���ΤȤ��ΰ�$G_1$��$G'$�����ä�, �ʲ���������. 

1) $G \supseteq G - \beta \supseteq G_1 \supseteq G' + b \supseteq G'$. 

2) $A'$��$G_1$����ʬƱ������Ǥ���, $\theta' |dp| < |dA'| < \Theta' |dp|$
�Ǥ���. ������, $\theta' = \theta(1-\delta)$, $\Theta' =
\Theta(1+\delta)$. 

3) $A'G' = \Omega' = \Omega_0 - d$. ������, 
$d = 2 \Theta b + (5 + \Theta)\beta$; $A'(G'+b) \subset \Omega_0$.

4) ${\rm mes}~(G \backslash G') \leq \theta^{-n}~{\rm mes}~\Omega
\backslash \overline{\Omega}'$. ������, 
$\overline{\Omega}'= \Omega_0 - \overline{d}$, 
$\overline{d} = 2 \Theta b + (6 + \Theta) \beta$. 
 
\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}.
$\omega \in A(G - \beta)$���Ф���, $|A' A^{-1} - E| < \beta$�����
$|dA'A^{-1}| > (1-\delta)|d \omega|$������Ω�Ĥ��ȤϤϤä��ꤷ�Ƥ���. 
2��˱�����, $\omega \in A(G-\beta) - 4\beta$���Ф���, ����
$A' A^{-1}$����ʬƱ������Ǥ���, 1��˱�����, 
$A' A^{-1}(A(G-\beta) - 4\beta) \supseteq A(G-\beta) - 5\beta$�Ǥ���. 
�������ä�, $A'$��$G'' = A^{-1}(A(G-\beta) - 4\beta)$����ʬƱ�������
����, $A'G'' \supseteq A(G-\beta) - 5\beta$��������. 
�Ȥ�����, 4��˱�����, $A(G-\beta) \supseteq \Omega - \Theta \beta$�Ǥ���, 
�������ä�$A'G'' \supseteq \Omega = \Omega - (5+\Theta)\beta$��������
\footnote{�������������������ʤ���?}. 
������$G_1 = A'^{-1}\Omega_1$, $G' = A'^{-1}\Omega'$���֤�. ������
$\Omega' = \Omega_1 - d$, $d = 2 \Theta b + (5 +\Theta)\beta$�Ǥ���. 
���ΤȤ�, $\Omega' + 2\Theta b \subseteq \Omega_1$�Ǥ���, 4��˱�����, 
$G' + b \subseteq G_1$������. 1), 2), 3)�������������餫�Ǥ���. �ޤ�
1��˱�����$AG' = AA'^{-1} \Omega' \supseteq \Omega' - \beta = 
\overline{\Omega}'$�Ǥ���. �������ä�, 
$$
 {\rm mes}~(G \backslash G') = \displaystyle \int_{\Omega \backslash
 AG'} \left( {\rm det} \left| \frac{\partial A}{\partial p} \right| 
\right)^{-1} d \omega \leq \theta^{-n}~{\rm mes}~(\Omega \backslash AG') 
\leq \theta^{-n}~{\rm mes}~(\Omega \backslash \overline{\Omega}') .
$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 6. �ѷ�(distortion)�˴ؤ�������} 

�����Ѵ�$D$
$$ \begin{array}{lll}
  z = x, ~y \rightarrow x', ~y' = z, & ������ & x' = Ax, ~y' = Bx+Cy, 
~z'=Dz 
   \end{array}
$$
���Ѵ�$A, B, C$�ι����Ǥ��ä�, 
$$ \begin{array}{lll}
 \theta_A|x| \leq |Ax| \leq \Theta_A|x|, & 
|Bx| \leq \Theta_B|x|, & \theta_C|x| \leq |Cx| \leq \Theta_C|x|.
   \end{array}
$$
������Ω�ĤȤ���. ���ΤȤ�
$$
  \theta_D |z| \leq |Dz| \leq \Theta_D |z| ,  \eqno(5.4.1)
$$
�Ǥ���. ������, $\Theta_D = \Theta_A + \Theta_B + \Theta_C$�����
$\theta_D^{-1} = \theta_A^{-1} + \theta_C^{-1} + 
\theta_A^{-1}\theta_C^{-1}\Theta_B$. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. (5.4.1)��������������Ϥ����餫�Ǥ���, ������������
$D^{-1}$��
$$ \begin{array}{l}
  z' = x', ~y' \rightarrow x, ~y = z, \\
\hspace*{1cm} ������ x = A^{-1}x', 
~y = C^{-1}y' - C^{-1}B A^{-1} x', ~z=D^{-1}z' 
   \end{array}
$$
�ʤ���򤷤Ƥ��뤳�Ȥ��餷������. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 7. �˺�ɸ�˴ؤ�������} 
$$ \begin{array}{ll}
 p = \sqrt{2 \tau} \cos \varphi, & q = \sqrt{2 \tau} \sin \varphi , 
   \end{array}\eqno(5.4.2)
$$
���֤�. $f(p,q)$��$|x| \leq R$ ($x = p, q$; $|x| = \max \{ |p|, |q| \}$)
���Ф��Ʋ���Ū�Ǥ���ʤ�, $f[ p(\tau,\varphi), q(\tau,\varphi)]$��
$$ \begin{array}{lll}
 |\tau - \tau_0| < \tau_0, & |{\rm Im}~\varphi| \leq 1 & 
\left( \tau_0 = \displaystyle \left( \frac{R}{4 }\right)^2 \right) 
   \end{array} \eqno(5.4.3)
$$
���Ф��Ʋ���Ū�Ǥ���. �ޤ������, $|{\rm Im}~\varphi| \leq 1$�ʤ�
$$
  \sqrt{\tau} \leq |x| \leq \sqrt{8|\tau|}   \eqno(5.4.4)
$$
������Ω��. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. �ΰ�(5.4.3)�ˤ�����, �ؿ�(5.4.2)�ϰ���Ǥ���, 
$|x| \sqrt{|2\tau|} \cosh 1(?) < \sqrt{8|\tau|} \leq \sqrt {16\tau_0} = R$. 
�����, $2\tau = p^2 + q^2$. �������ä�$\sqrt{|\tau|} \leq |x|$.

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 8. �˺�ɸ�˴ؤ�������.} ���ΰ�ˤ�����, 
$$ \begin{array}{ll}
 p_i = \sqrt{2 \tau_i} \cos \varphi_i, & 
 q_i = \sqrt{2 \tau_i} \sin \varphi_i , 
   \end{array}
$$
$$ \begin{array}{ll}
 x_i = p_i,~q_i (i=1,2), & \Delta z = z_1 - z_2 
~(z = p,~q, ~\tau, ~\varphi, \ {\rm or} \ x)
   \end{array}
$$
���ꤹ��. $|x_i| \leq \displaystyle \frac{1}{2}$, 
$|\Delta x| \leq \sqrt{\tau_i}$�ʤ�, $|\Delta \tau| \leq |\Delta x|$, 
$|\Delta \varphi| \leq \displaystyle \frac{2|\Delta x|}{\sqrt{\tau_1}}$
�Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $r_i = \sqrt{2 \tau_i}$���֤�. 
$|x_i| \leq \displaystyle \frac{1}{2}$�ΤȤ�, ���餫��
$|r_i| \leq \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$�����
$|\Delta \tau| = \displaystyle \left| \Delta \frac{r^2}{2} \right| \leq 
\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} |\Delta r| \leq |\Delta x|$�Ǥ���. 
�ޤ�, $\sqrt{2} |\Delta x| \leq \sqrt{2\tau_1} \leq r_1$�ΤȤ�
$|\Delta \varphi| \leq \displaystyle \arcsin \frac{\sqrt{2}|\Delta
x|}{r_1} \leq \displaystyle \frac{2|\Delta x|}{\sqrt{\tau_1}}$�Ǥ���, 
�׵�ɤ���Ǥ���. 

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\Large \bf \S 5. ��«������} 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1.} �ΰ���$F^{(s)}$�������ʬƱ�������
$B_s: F^{(s)} \rightarrow F^{(s-1)} \ (s=1, 2, \ldots)$��Ϳ����줿�Ȥ�
��. �ʲ����ꤹ��: 

1) $|B_s - E| < d_s$, 

2) $F^{(s)} \subseteq F^{(s-1)} - d_s$, 

3) $|dB_s| < 2 |dx|$,

4) $d_s < C 4^{-s}$.

\noindent
���ΤȤ���$S_s = B_1 B_2 \ldots B_s \ (s=1, 2, \ldots)$��
$F^{(\infty)} = \cap F^{(s)}$��, $|S_{\infty}-E|<C$��������Ϣ³����
$S_{\infty}$�ؤȰ��ͼ�«����. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $x \in F_s$�Ȥ���. 1)���, $|B_s x - x| < d_s$�Ǥ���. 
2)���, �饰��󥸥�θ���(3��4��)�����$x, B_sx$����Ӽ���$S_{s-1}$��
Ŭ�ѤǤ���. 3)���, $|d S_{s-1}| < 2^s|dx|$���Ф�. 
4)�˱�����, 
$|S_s x - S_{s-1} x| = |S_{s-1} B_s x - S_{s-1} x| < 2^s d_s < C 2^{-s}$.
������Ω��. ���줬�������٤����ȤǤ��ä�. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 2.} $F=d$����
$x = x_0 + vt, \ 0 \leq t \leq \displaystyle \frac{d}{\varepsilon}$
�ζ�˵�Ȥ���. $Y(x)$��$F$��γ�餫�ʥ٥��ȥ��Ǥ��ä�, 
$|Y - v| \leq \varepsilon$���������Ȥ���. $x(t)$��������
$\displaystyle \frac{dx}{dt} = Y(x)$�β��, ������$x(0) = x_0$��
��������ΤȤ���. 
���ΤȤ�, $0 \leq t \leq \displaystyle \frac{d}{\varepsilon}$���Ф���
$|x(t) - (x_0 + vt)| \leq d$�Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $y(t) = x(t) - (x_0+vt)$��ͤ���. $t < t_0$���Ф���, 
$|y(t)| < d$�����$|y(t_0)|=d$���������Ω�ĤȤ���. $t < t_0$���Ф���
$\displaystyle \left| \frac{dy}{dt} \right| \leq \varepsilon$�����
$y(0) = 0$�Ǥ��뤫��, �饰��󥸥�������
$|y(t_0)| \leq \varepsilon t_0$�Ǥ���, ������
$t_0 \geq \displaystyle \frac{d}{\varepsilon}$�������, �������٤����Ȥ�
����줿.

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 3.} $F^{(0)}$�˴ؤ���1��ξ��ˤ�����, ��餫�ʥ٥��ȥ��
$Y^{(0)}$��Ϳ�����Ʊ�ư
$S^t_{(0)}(x): \displaystyle \frac{d}{dt} S^t_0(x) = 
Y^{(0)}(S^t_0(x))$, $S^0_0x = x$���������Ȥ���. �����˱�ư
$S_s^t = S_s^{-1} S_0^t S_s$������, �б�����
$F^{(s)}: Y^{(s)}(X^{(s)}) = 
\displaystyle \frac{d}{dt}(S_s^tX^{(s)})|_{t=0}$��˾�$Y^{(s)}$��������. 

�ʲ����ꤹ��: 

5) ��$Y^{(s)}(X)$��$s \rightarrow \infty$�ΤȤ���«����. 
$X \in F^{(\infty)}$����$Y^{(\infty)}(X)$��
\footnote{������������.}, �ޤ�$F^{(\infty)}$���
$|Y^{(s)} - Y^{(\infty)}| < d_{s+1}$;  

6) ���$x = x_0 + vt$, $0 \leq t \leq 1$��$F^{(\infty)}$��°��, 
���ζ�־��$Y^{(\infty)}=v$; 

7) $F^{(s)}$���
$\displaystyle \left| \frac{\partial Y^{(s)}}{\partial X^{(s)}} \right| 
\leq \Theta$��
����Ω��. ������, $\Theta$��$s$�˰ͤ�ʤ�. 

���ΤȤ�$0 \leq t \leq \displaystyle \frac{1}{1+\Theta}$���Ф���, 
$S^t_0(S_{\infty}x_0) = S_{\infty}(x_0+vt) \in F^{(0)}$�Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}.
$$ \begin{array}{lcl}
 |S_s^tx_0 - (x_0+vt)| \leq d_{s+1} & {\rm for} &  
0 \leq t \leq \displaystyle \frac{1}{1+\theta}  
   \end{array}  \eqno(5.5.1)
$$
�Ǥ��뤳�Ȥ򼨤�. 
���$x_0 + vt$  
$\displaystyle \left( 0 \leq t \leq \displaystyle 
\frac{1}{1+\Theta} \right)$���, 
5)�����6)�˱�����, $|Y^{(s)} - v| \leq d_{s+1}$�Ǥ���. 
���ζ��(1���2)��ꤳ���$F^{(s)}$��°����)��$d_{s+1}$��˵�ˤ�����, 
�饰��󥸥�θ�����Ȥ���, 7)���, 
$|Y^{(s)} - v| \leq (1+\Theta)d_{s+1}$������Ω��. 2��ˤ�����
$d = d_{s+1}$�����$\varepsilon = (1+\Theta)d_{s+1}$���֤���, 
(5.5.1)��������. 

(5.5.1)�����2)���餹���, $x_0 + vt$, $S_s^t x_0$��ü���Ȥ����֤�
�ΰ�$F^{(s)}$��°����. �饰��󥸥�θ������, 3)��4)���θ�����, 
$s \rightarrow \infty$, $0 \leq t \leq \displaystyle \frac{1}{1+\Theta}$
�ΤȤ�$|S_s S_s^t - S_s(x_0+vt)| \rightarrow 0$������. ���줬�������٤�
���ȤǤ��ä�.

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 4. �˸¤�¬��.} 
$F$��桼����åɶ��֤�ͭ��Ϣ³��(compactum)�Ȥ�, $S_s(s = 1, 2, \ldots)$
��$F^{(s)} \subset R$���$F$��Ϣ³������Ǥ��ä�, $F^{(\infty)}$���
����$S_{\infty}$�˰��ͼ�«����Ȥ���. ���ΤȤ�
${\rm mes}~F^{(\infty)} \geq \overline{\lim}~{\rm mes}~F^{(s)}$�Ǥ���.

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $\delta < \delta(\varepsilon)$�����Ǥ�դ�$\varepsilon>0$
���Ф���, ${\rm mes}~(F^{(\infty)} + \delta) < {\rm mes}~F^{(\infty)} +
\varepsilon$�Ǥ���. ���ͼ�«�����, ��ʬ�礭��
$s(\delta) F^{(s)} \subseteq F^{(\infty)} + \delta$���Ф���
$$
  {\rm mes}~F^{(s)} < {\rm mes}~(F^{(\infty)} + \delta) < 
{\rm mes}~F^{(\infty)} + \varepsilon , 
$$
������. ���줬�������줿���ȤǤ���. 

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\Large \bf \S 6. ��ˡ} 

\vspace{0.3cm}
IV�Ϥ����V�ϤǷ���Ū�˻Ȥ���ˡ��ʲ��˵��ܤ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1. �ؿ�.} �����ǹͤ���ؿ��Ϥ��٤�ʣ�ǲ���Ū�Ǥ���, ���ѿ��ξ���
�¿�����Ȥ���. ���ඦ���ѿ�$p = p_1, \ldots, p_n$��
$q = q_1, \ldots, q_n$��$n$����ʣ�Ƕ��֤�ͤ���. �ѿ���
$x = p_1, \ldots, p_n, q_1, \ldots, q_n = x_1, \ldots, x_{2n}$�Ȥ��. 
�������ѿ���2�ĤΥ��롼�פ��̤��. $n_0$�ĤΡֹ�®���ѿ�
$p_1, \ldots, p_{n_0}$�ϥ٥��ȥ�$p_0$������, �Ĥ��$n_1$�ĤΡ���®��
�ѿ�$p_{n_0+1}, \ldots, p_n$�ϥ٥��ȥ�$p_1$��������. 
Ʊ�ͤ�, $q_0, q_1$�����$x = p_0, q_0$; $x_1 = p_1, q_1$���������
($p_1$��٥��ȥ�Ȥ��ư��ä�����ʬ�Ȥ��ư��ä��ꤷ�Ƥ⺮��������ʤ�. 
��ʬ�Ȥ��ƤϤۤȤ�ɻ��Ѥ��ʤ������). �ޤ�, ���ȿ�
$\omega = \omega_0, \omega_1$��$n$�������֤ȴԸ����ȿ�
$\xi = \xi_0, \xi_1$��Ȥ�. ������$\omega_0 = \xi_0, ~\omega_1 = \mu \xi_1$
�Ǥ���, $\mu$�������ѥ�᡼���Ǥ���. ��ɸ�������ͤκ�����
$|x| = \max_j ~|x_j|$�Ϥ���餹�٤Ƥζ��֤ǥΥ�����򤹤�. 

�ͤ���ؿ����ѿ�$q$(�ޤ���$q_0$)�˴ؤ�����$2\pi$�Ǥ���, �ա��ꥨ�����
���ǰʲ��Τ褦��ɽ�������:
$$
 f(q) = \displaystyle \sum_k f_k e^{i(k,q)} = f_0 + 
 \displaystyle {\sum}' f_k e^{i(k,q)}
= \overline{f} + \widetilde{f}(q) = 
[f(q)]_N + R_N f(q) . 
$$
������, $\overline{f} = f_0$; 
$(k,q) = \displaystyle \sum_{j=1}^n k_j q_j$, 
${\sum}' = \displaystyle \sum_{k \neq 0}$, \ 
$[ \ ]_N = \displaystyle \sum_{|k|<N}$�Ǥ���, $k$��������ɸ$k_j$�����
�٥��ȥ�Ǥ���. $q$�˶����, $k$�Υϡ���˥����ο��ζ��֤ˤ�����, 
������$|k| = \displaystyle \sum_{j=1}^n |k_j|$�ϥΥ�����򤹤�. 
��ά��
$$
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = f_x = 
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_1}, \ 
\displaystyle ~\frac{\partial f}{\partial x_2}, \ldots, 
\displaystyle ~\frac{\partial f}{\partial x_m}, 
$$
��Ȥ�. ������, $f$�Ͽ��ؿ����뤤�ϥ٥��ȥ�ؿ�
$f(x_1, \ldots, x_m)$�Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 2. �ΰ�.} $U$�򥳥�ѥ���ʣ���ΰ�, ���ʤ��, ʣ�ǿ����֤�ͭ���ΰ�
�Ǥ��ä�, ���ζ�����ޤ��ΤȤ���. $d>0$�ΤȤ�, $U+d$�����$U-d$��
$U$��$d$��˵�����$d$��˵��$U$�����뽸��Ǥ���. 
$U_1$��$U_2$���ΰ�ΤȤ�, $U_1 \cup U_2$�Ϥ�����, $U_1 \cap U_2$�϶���
��ʬ, $U_1 \backslash U_2$��$U_1$�Τ���$U_2$�˴ޤޤ�ʤ���ʬ�Ǥ���. 
$U_1 \subseteq U_2$��$U_1$��$U_2$�˴ޤޤ�뤳�Ȥ�ɽ��, $u \in U$����$u$  
��$U$��°���뤳�Ȥ��̣����. $U_1 \times U_2$��$u_1 \in U_1$, 
$u_2 \in U_2$�ʤ���$u_1, u_2$�ν���Τ��ȤǤ���. 

${\rm Re}~U$��$U$�ȼ¶��֤θ����ɽ��. ${\rm Im}$�ϵ����Ǥ���, 
${\rm mes}~U$��, ���Ȥ�ʣ�ǿ�����Ǥ��ä��Ȥ��Ƥ�, ${\rm Re}~U$��
���١���¬�٤Τ��ȤǤ���. 

ʸ��$G, ~G_0, ~G_1; ~\Omega, ~\Xi, ~\Xi_0, ~\Xi_1$��ʣ�Ƕ���
$p, ~p_0, ~p_1; ~\omega, ~\xi, ~\xi_0, ~\xi_1$�Υ���ѥ����ΰ�Ǥ���. 
ʸ��$F$��$p \in G, ~|{\rm Im}~q| \leq \rho$�η��ξ��ˤ�äƻ��ꤵ���
$x$���֤��ΰ��ɽ��. ��������$q$��$q + 2\pi k$��Ʊ��뤵���Τ�, 
${\rm mes}~F = (2\pi)^n~{\rm mes}~G$�Ǥ���. 

�ΰ���ü�ʵ�ˡ�Υꥹ�Ȥ�IV��12��2��ˤ���(V��1��2��⸫��).

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 3. ����.} �ͤ�������ϲ��ϴؿ��ˤ�ä�Ϳ������. �����ˤ�����, 
1��1�Ǥ��ä�, Ϣ³��ʬ��ǽ, �դ�Ʊ�ͤʼ�����, $U_1$����$U_2$�ξ�ؤ�
��ʬƱ��ʼ������뤤����ʬƱ������Ȥ�Ф��. ����$A$����$x$�ˤ�����
��ʬ(differential)�Ȥ�, ����������
$dx \rightarrow dA = \displaystyle \frac{\partial A}{\partial x} dx$
�Τ��ȤǤ���. 

$p \rightarrow \omega$�����$p \rightarrow \xi$�η����ΰ�$G$����ʬƱ��
������ʸ��$A$��ɽ��. ʸ��$B$��$S$���ΰ�$F$����ʬƱ������Ǥ��ä�, 
�����Ѵ��Ǥ⤢�� (���Ȥ���[14]�򸫤�). $E$�Ϲ���������ɽ��. 
$A \leq E$��Ǥ�դ�$x$���Ф���$|Ax| \leq |x|$�Τ��ȤǤ���. 

�Ѵ�$B$��$S$�ˤ�ä�$x$���֤�$X, ~x^*, ~X^*, ~X^{(s)}$�����ο��ѿ���
Ƴ������. ���ΤȤ�, �ѿ�$X_0, ~X_1; ~P_0, ~P_1; ~Q_0, ~Q_1$�ʤɤ�
$x_0, ~x_1; ~p_0, ~p_1; ~q_0, ~q_1$�ʤɤ��б�����. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 4. ���.} ��$\rho, ~\theta, ~\Theta, ~C, ~\kappa$��������Ǥ���. 
��$\beta, ~\gamma, ~\delta, ~\varepsilon, ~\mu$�Ͼ�����������٤�
���äȾ�����, $\gamma \gg \delta \gg \varepsilon \gg \beta \gg \mu$��
������. ��$N$���礭�������Ǥ���. 

$L$��$\nu$���礭�������Ǥ��ä�, (��ͳ��$n$�ˤΤ߰�¸����)��������Ǥ���. 

ź��$s$�϶���μ����������. 