\newpage
\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\huge \bf VI ��. ���}
\end{center}

���ξϤ�, ¿���β�褪���̤�������˴ؤ�������(remarks)����ʤ�. 
5�Ĥ���Ϥ��줾����Ω�Ǥ���. 

1��Ǥ�, �ϳؤβ���ʬ����ˤ����Ƥɤ����Ʊ�ư�������Ū�Ǥ��뤫�򼨤�.

������̤��������2��ǹͻ�����. ¿�����Ϥΰ���Ū�԰������β�ǽ��
(�԰��꥾����)�������, ��ư���礭�ʥ�ǥ������2�ĵ�������(�ߤ���ߤ�
��ͤμ���������Ƚ��������������������δԸ���ǽ��).
C.L.Siegel��E.G.Belaga�η�̤ˤ���, 
ʿ�հ���, ������, ���뤤�Ͻ������ζ�˵����ʬ�������Ϥ�
�����������˴Ը��Ǥ���. ����ˤĤ���3�����𤹤�. 

����(intermixing)��������������뵡���ˤĤ���4��ǵ�������. �Ǹ��5��� 
�ϥߥ�ȥ�ؿ�������Ū�Ǥ���٤��Ȥ���������ˤ᤿J.Moser��ʿ�경����
���ñ�˵��Ҥ���.

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\Large \bf \S 1. ����ʬ��}
\vspace{0.3cm}

�ϳؤβ���ʬ����˽������ư���ʤ����Ĥ⸽����Τ�����������. 

J. Liouville([4]�򸫤�)�ξ����ˤ���, $n$��ͳ�٤η�
$$ \begin{array}{lll}
 \dot{p} = \displaystyle - \frac{\partial H}{\partial q}, & 
 \dot{q} = \displaystyle \frac{\partial H}{\partial p}, & 
 (p = p_1, \ldots, p_n; q = q_1, \ldots, q_n)
   \end{array}  \eqno(6.1.1)
$$
�ˤ�����, ���ط�(1�໲��)�ˤ���$n$�Ĥ���ʬ
$$ \begin{array}{ll}
 H = F_1, F_2, \ldots, F_n, & (F_i, F_j) = 0
   \end{array}  \eqno(6.1.2)  
$$
���Τ����, �Ϥϵ��Ѥˤ�ä���ʬ��ǽ�Ǥ���. ����ʬ�����¿���Τ���
����. �������㤹�٤Ƥˤ�������ʬ(6.1.2)�򸫤Ĥ��뤳�Ȥ��Ǥ���. 

���äȰ�����, ��������ˤ�����, ������$F_i = f_i = ����$�ˤ�äƻ���
�����¿���Τ��ȡ��饹�Ǥ��뤳��, �ޤ����ξ�α�ư�������Ū�Ǥ��뤳��
���Τ줿. [20]�ˤ������ä�, �������ʬ(6.1.2)�����Ǥ�դ�����ˤ�����, 
���Τ褦�ʾ������Բ���Ǥ��뤳�Ȥ򤳤줫���������. ������ñ���
���������Ū�����˴�Ť�. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1. ��ˡ.} $2n$�����桼����åɶ��֤���$p, q$��
$x = x_1, \ldots, x_{2n}$��ɽ��. �ؿ�$F(x)$�θ��ۥ٥��ȥ�
$F_{x_1}, \ldots, F_{x_{2n}}$��${\rm grad}~F$��ɽ��. �����, 
�ϥߥ�ȥ�������(6.1.1)��
$$ \begin{array}{lcl}
 \dot{x} = I ~{\rm grad}~H, & ������ & 
I = \displaystyle \left( 
      \begin{array}{cc}
         0 & -E \\
         E & 0
      \end{array}
\right)
   \end{array}  \eqno(6.1.3)
$$
�η�����. ������$E$�ϳ���$n$��ñ�̹���Ǥ���. 

2�ĤΥ٥��ȥ�$x, y$��skew--scalar�Ѥ�Ƴ������: 
$$
 [x, y] = (Ix, y) = - [y, x] ,  \eqno(6.1.4) 
$$
����ϴ�ñ�˼������Ȥ��Ǥ���褦��, �դ�$x, y$�Ȥ���ʿ�Ի��շ���
��ɸʿ��$p_iq_i$ ($i=1, \ldots, n$)�˼ͱƤ����Ȥ������Ѥ��¤�ɽ������. 

skew--scalar�Ѥ���¸���������Ѵ�$S$(�������ä�, ���٤Ƥ�$x, y$���Ф���
$[Sx, Sy] = [x, y]$)�ϥ���ץ쥯�ƥ��å��Ȥ�Ф��. ���Ȥ���, ����$I$��
����Ѵ��ϥ���ץ쥯�ƥ��å��Ǥ���. 

���饸����Ȥ�skew--scalar��$[{\rm grad}~F, {\rm grad}~G]$�ϴؿ�$F$��$G$
��{\bf �ݥ��å�����}$(F,G)$�ȸƤФ��. �����餫��, $F$����(6.1.3)��
�����ʬ�Ǥ��뤿���ɬ�׽�ʬ���ϥϥߥ�ȥ�ؿ��ȤΥݥ��å�����
$(F, H)$������Ū�˥����ˤʤ뤳�ȤǤ���. 
2�Ĥδؿ��Υݥ��å����̤�����Ū�˥����ΤȤ�, �����δؿ���
{\bf ���ط��ˤ���}�Ȥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 2. ����.} $n$��ͳ�٤Υϥߥ�ȥ��(6.1.3)���ߤ������ط��ˤ���
$n$�Ĥΰ�������ʬ(6.1.2)����ĤȤ���. ������$F_i = f_i = ����$
($i=1, \ldots, n$)��$2n$����$x$�������, $n$��������ѥ���¿���Τ������, 
����¿���Τγ����ˤ����Ƹ���${\rm grad}~F_i$ ($i=1, \ldots, n$)������
��Ω�Ǥ���Ȥ���. 

���ΤȤ�$M$��$n$�����ȡ��饹�Ǥ���, ������(6.1.3)�β��ɽ��������$x(t)$
�ϥȡ��饹�˱�äƽ����Ū�Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. A) $M$��ʿ�Բ���ǽ�Ǥ���. ���ʤ��, �����ˤ�����������
Ω��$n$�Ĥ������٥��ȥ������. 

����򼨤������, �ϥߥ�ȥ�ؿ���$F_i$�Ȥ����(6.1.3)��ͤ���. 
$(F_i, F_j) = 0$�Ǥ��뤫��, �ؿ�$F_j$�Ϥ��٤������ʬ�Ǥ���, �ɤε��פ�
����$M$��ˤ���. �������ä�, ®�پ�$I~{\rm grad}~F_i$��$M$���ܤ���
(��17). $I$�������Ǥ��뤫��, �٥��ȥ�$I~{\rm grad}~F_i$ ($i=1, \ldots,
n$)�ϳ����ˤ�����������Ω�Ǥ���. 

\vspace{2.5cm}
\hspace*{5cm} ��17

\vspace{2.5cm}
B) $D$��$M$����̤Ǥ���, $\Gamma$�Ϥ��ζ����Ǥ���Ȥ���. ���ΤȤ�
$\displaystyle \oint pdq$ (���ʤ����ɸ��$p_i, q_i$ ($i=1, \ldots, n$)��
��$D$�μͱƤ����Ѥ���)�ϥ����Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
����ξ�����$M$���̵�¾�ʿ�Ի��շ��˴ؤ��ƹԤʤ��н�ʬ�Ǥ���. 
$\Gamma$���դ�$\xi, \eta$�Ȥ���ʿ�Ի��շ��Ǥ���Ȥ���. ���ΤȤ�, 
�ͱƤ������Ѥ��¤�$\xi$��$\eta$��skew-scalar�ѤǤ���. ���ʤ��,
$$
 \oint_{\Gamma} p dq = [\xi, \eta] . 
$$

������, $\xi$��$\eta$����������$M$���ܤ���Ȥ���. A)�˱�����, $M$���ܤ�
��Ǥ�դΥ٥��ȥ��$n$�ĤΥ٥��ȥ�$I~{\rm grad}~F_i$���������Ǥ���. 
�Ȥ����������Υ٥��ȥ��skew--orthogonal�Ǥ���. �Ȥ����Τ�, (6.1.2)��
������
$$
 [{\rm grad}~F_i, {\rm grad}~F_j] = 0 , 
$$
�Ǥ���, �椨��, $I$������ץ쥯�ƥ��å��Ǥ��뤳�Ȥ��, 
$$
 [I~{\rm grad}~F_i, I~{\rm grad}~F_j] = 0 , 
$$
������Ω��. �������ä�, �����ɤ���, $[\xi, \eta] = 0$�Ǥ���. 

C) �٥��ȥ��$I~{\rm grad}~F_i$�����žŪ(irrotational, �Ĥޤ�¿���ؿ���
����)�Ǥ���. 

B)��$\displaystyle \int_{q_0}^q p dq$��$M_F$�����ʬϩ�˰�¸���ʤ�. ����
���ä�, ��ʬ��¿���ؿ�$S(q; f)$�Ȥߤʤ����Ȥ��Ǥ���. ������
$p = \displaystyle \frac{\partial S}{\partial q}, 
~g = \displaystyle \frac{\partial S}{\partial f}$�ϳƶ�˵�ˤ�����, 
��ؿ���$S$�Ȥ��������Ѵ�$f,g \rightarrow p, q$���������([4]�򸫤�).
�ѿ�$f,g$�ˤ�����, �ϥߥ�ȥ�ؿ�$F_i$��$f_i$�Ǥ���, �ϥߥ�ȥ���������
$$ \begin{array}{lll}
  g_1 = 1, & g_j = f = 0 & (j \neq i)    
   \end{array}    \eqno(6.1.5)
$$
�˴Ը�����. 

®�پ�$I~{\rm grad}~F_i$��������Ω�Ǥ��뤫��, ��ʬ$dg_i$��$M$�γ����ˤ�
����������Ω�Ǥ���. $g_i$��$M$��ζɽ��ɸ�ȹͤ��褦. 2�Ĥζ�˵�θ���
�ˤ�����, ��������������㤦. ������, ��ʬ$dg_i$�����Ū������Ǥ���. 
������, �ؿ�$g_i$��$M$���¿���Ǥ���. 

$g$��ɸ�ˤ�����$M$��Υ٥��ȥ��$I~{\rm grad}~F_i$��$g_i$�θ��ۤ�
Ʊ�����ž�Ǥ���. ������¿����$M$�����ž��ˤ�ä�ʿ�Բ���ǽ�Ǥ���. 
�椨��, $M$���ȡ��饹�Ǥ��뤳�Ȥϴ�ñ�˸�����. 

D) ����. $n$����¿����$M$���$n$�Ĥ���ʬ$dg_i$�����äƳ����ˤ�����������
Ω�Ǥ���Ȥ���(1��(degree)������ʬ����). ���ΤȤ�, ����¿���Τ�$n$�Ĥα�
��ľ����ľ�ѤǤ���. 

\vspace{0.3cm}
������������. $O$��$M$�����Ȥ�, $N$��$M$��������ʤ�Ȥ���. $M$���
��ƻ$OA$��$N$���ƻ$O'A'$���б�����. �ؿ�
$g_i(A') = \displaystyle \int_{O'A'} dg_i$��$N$��桼����åɶ���
$g_1,\ldots, g_n$�ؤ��Ѵ�����. ��ñ�˳�ǧ�Ǥ���Ȥ���([60]����), 
$dg_i$����Ω���η�̤Ȥ���, 

$\alpha$) ���μ����϶���$g$���Τξ�ؤμ����Ǥ���. 

$\beta$) $g$�γ�����$N$��ͣ�����$A'$���б�����. 

$\gamma$) $N$��$O'$��$O''$��$O$����ʤ��, ����
$g(O''') = g(O') + g(O'')$�ʤ�, $O'''$��$O$\\
\hspace*{0.9cm}����ʤ����. 

$\alpha$)��$\beta$)���餹���, $N$�ϥ桼����åɶ���$g_1, \ldots, g_n$
��Ʊ���Ǥ�, $\gamma$)���餹���, $O$����ʤ��������$N$��ǳʻҤ�ʤ�
($k$�Ĥ�������Ω�٥��ȥ������������������). ���餫��, $N$����$A'$��
$A''$����$A$����ʤ����Τ�$A' - A''$���ʻҥ٥��ȥ�ΤȤ�, �����Ƥ��ΤȤ�
�ΤߤǤ���. �桼����åɶ���$N$�ˤ����Ƥ���������Ʊ��뤹���, 
$k$�Ĥαߤ�$n-k$�ܤ�ľ����ľ�Ѥ�����. ��������꤬�������줿. 

E) �����ξ����δ���. C)�˱�����, ¿����$M_f$������ξ���������. �����
���ȤǤ��뤫��$n$�����ȡ��饹�Ǥ���. (6.3.5)�˱����ƺ�ɸ$g$�ϱ�ư
(6.3.3)�δ֤˰��ͤ��Ѳ����뤫��, ���α�ư�Ͻ����Ū�Ǥ���. �����������
�������줿. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 3. ����.} A) ����--���ѿ�. $n$�ĤΥ٥��ȥ�${\rm grad}~F_i$������
��Ω�Ǥʤ�$2n$��������$x$��������μ����ϰ��̤�$n-1$�Ǥ���. �������ä�
${\rm grad}~F_i$��������Ω�Ǥʤ�$n$����¿����$M_f$���㳰�Ǥ���($2n$����
�������$n$���������$(n-1)$����¿���Τϰ��̤ˤϸ���ʤ�).
������, �ְ��̤ξ���, $(2n-1)$�����ð۽���ϲ���ʬ�Ϥ�$2n$��������֤�
$n$�����ȡ��饹��$n$�����桼����åɶ��֤���ʬ�Ȥ�ľ���ΰ�ؤ�ʬ�䤹��. 
�Τ��Ƥ���Ȥ���, ����--���ѿ�$I$ -- $\omega$(I��1��Ǥ�$p, q$�Ƚ񤤤�)
�򤳤Τ褦���ΰ�ˤ��ưפ�Ƴ���Ǥ���. 

����򼨤���. �ȡ��饹$M_f$������, $M_f$�δ��ܥ�������$\gamma_i$�ξ��
$n$�Ĥ���ʬ
$$ \begin{array}{ll}
  \Delta_i S(f) = \displaystyle 
\oint_{\gamma_i} p dq & (i = 1, \ldots, n)
   \end{array}
$$
��ͤ��褦. ���餫��, ��
$$ \begin{array}{ll}
  I_i(x) = \displaystyle \frac{1}{2\pi} \Delta_i 
S(F_1(x), \ldots, F_n(x)) & (i=1, \ldots, n)
   \end{array}
$$
��$F_j$�δؿ��Ǥ��ä�, ���켫�Ȥ����ط��ˤ��������ʬ�Ǥ���. 

$I_i(x)$�ϴؿ�Ū����Ω�Ǥ���Ȳ��ꤹ��. ���ΤȤ�, 2��ε�����Ŭ�ѤǤ���. 
2���C)�ˤ�����, �����Ѵ�$p, q \rightarrow I, w$���ۤ���(2��Ǥ��ѿ�
$I, w$��$f, g$�Ƚ񤤤�). ��������$\gamma_i$�ΤҤȲ�꤫���ѿ�$w_j$��
����
$$
 \Delta_i w_j = \displaystyle \Delta_i \frac{\partial S}{\partial I_j} 
= \displaystyle \frac{\partial}{\partial I_j} \Delta_i S = 
\displaystyle \frac{\partial 2\pi I_i}{\partial I_j} = 
2\pi \delta_{ij}
$$
��������. �������ä�, �ѿ�$W$�ϥȡ��饹��γ��ѿ��Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
B) ���๽¤. ��ñ�Τ���, 1�प���2��ˤ�����, �����$p, q$���桼�����
�ɶ��֤Ǥ�������ä�¤���. ������, ����֤����๽¤��Ϳ����줿����ʬ
¿����(�����2--�����������$dp \wedge dq$�����򤵤���)�Ǥ�����̤�
���ˤ�����Τ��٤Ƥ�����Ω�Ĥ��Ȥ��ǧ����Τ��ưפǤ���. 

\vspace{0.3cm}
C) ���ϳطϡפȸ�ŵ�ϳ�. 2���������ñ��ʷ���Ū���ä����. �ݥ��å����
�̤ϥ꡼���������, �ϥߥ�ȥ��������ǵ��Ҥ���뱿ư���б�����꡼����
��������. �ϥߥ�ȥ�ؿ���$F_i$�Ȥ��뱿ư�βĴ�����(6.4.2)���餷������. 
�꡼�Ĵ���������Ū�˺��Ѥ��륳��ѥ��Ȱ��Ͷ��֤ϥȡ��饹�Ǥ���. 

���δ������餷��, ��äȰ��̤ξ��, ���ʤ�����ط��ˤʤ�$m$�Ĥΰ��
�����ʬ$F_1, \ldots, F_m$
$$
  (F_i, F_j) = \varphi_{ij} (F_1, \ldots, F_m)
$$
���������ͤ���Τ����򤽤���. �ؿ�$\varphi_{ij}$�ϥ꡼������������. 
����ϤɤΤ褦�������, ����������¿����$M_f$ ($F_i = f_i = ����$)�Υȥݥ�
������, �ޤ����ξ�α�ư(6.3.3)�ˤɤΤ褦�����¤�ݤ��ΤǤ�������? 
�����α�ư��$M_f$��ˤ�����¬�٤���¸����. ¬�٤���¸����¿���Τ�
��餫���Ѵ���1--�ѥ�᡼�����ϡ��ϳطϡפȤ�Ф��. 

��餫��¿���ξ��������줿���ϳطϡפȤ��Ƥɤ�ʤ�Τ��ϳؤ����꤫��
������ΤǤ�������? 

¬��ή(���Ȥ���[3], [33]�򸫤�)�Ƚ������ư�������뤳�Ȥ��ΤäƤ���. 
�ۤ���¿�����ϳط�([34]�򸫤�)��ޤ��Ƕ�Ĵ�٤��Ƥ���. �������ϳ�
����ǽв񤦤��Ȥϲ�ǽ��? �Ȥ��˥ϥߥ�ȥ�ؿ���$H=T+U$($T$�ϱ�ư���ͥ�
����, $U$�ϥݥƥ󥷥�륨�ͥ륮��)�Ȥ���ּ����ϡפǽв񤦤��Ȥ����뤫? 

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\Large \bf \S 2. ̤�������}
\vspace{0.3cm}

���Ǥ˻ž夲����ˡ��Ŭ�ѤǤ�������Ϥ������󤢤�. ���Ȥ���,
G.D. Birkhoff�Ρ֥ӥ�䡼�������[3], �̲���¿���ξ��¬��ή����
���르�������γ�Ω, �ּ����̡פ�����([35], [36]), �����ϳؤΤ��ޤ��ޤ�
����[37], ŷ���ϳؤο�¿�������꤬����Ǥ���. ����������ˤ������
���Ȥʤ�, ��äȴ���Ū�ʵ����ͻ�����.  

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1. �԰��꥾����.} ����ޤǤ�������ƤȤδط������������Ū���ļ���
������ϼ��Τ褦�ʤ�ΤǤ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� I.} ���ѥȡ��饹������֤�ʬ�䤷�ʤ��Ȥ�, ��ư����¿��������
�ˤ��������԰������Ϥ���Τ�? 

\vspace{0.3cm}
���Ǥ˻�Ŧ�����Ȥ���(I��10��), �ǽ��̤ĩ�������, 4�������֤��餽�켫��
�ξ�ؤ������������ư���ΰ���������Ǥ���. ¿��������ˤ�����, 
���ѥȡ��饹������֤�꼡�������ʤ��Ȥ�2���㤤. �ȡ��饹������֤����, 
3�������֤����Τ褦��¸�ߤ���(��18). 

\vspace{2.0cm}
\hspace*{4cm} ��18

\vspace{2.0cm}
�����԰�������ŵ��Ū�Ǥ������ȿ仡�����. ���ѥȡ��饹�δַ���ȯ����
�����ε��פϱ󤯤ޤǹԤ�����. �Ȥ����Τ�, �ַ�Ϥ��٤�Ϣ�뽸��ˤʤä�
����, ̵�±�ˤޤǹ����äƤ��뤫��Ǥ���(��18�򸫤�).
������ư�ΰ����԰������ϤȤ��ˤ�����������������餷������. 
III�Ϥη�̤����, �������Ǥ�դ˾����ʰ㤤�ˤ�ä�, ̵�»��֤δ֤�
��ư���������ޤä����ۤʤäƤ��ޤ���ǽ�����ӽ��Ǥ��ʤ�. III�Ϥˤ�����
����줬���������Τ�ñ�˽�����Τ��Τ褦�ʰ㤤�����٤��ü�ʷ���
�Ȥ�٤����ȤǤ���. ���ʤ��, ���������¿���ˤȤäƱ�ư�Ͻ����Ū
�ΤޤޤǤ���. ������Τ�, ��ư�Ρ�¬����Ū�װ�����, �Ĥޤ꾮����¬��
�ν��������Ƥۤ��Τ��٤Ƥν�������Ф��Ƥΰ������Ǥ���. ������
�����ʲ��Τ褦���꼰�����褦. 

��ư������¿��������ˤ�����ŵ��Ū�ʤΤ�, �����԰������Ƚ������ư��
¬����Ū���������ȹ礻�Ǥ���. 

��������γ�ǧ�Τ���ˤ�, ���Ĥ�Ŭ������������ˡ���äȾܤ����ͻ�����
ɬ�פ�����. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 2. ���ѥȡ��饹������֤�ʬ�䤹��.} 

����ˤ�ä��԰��꥾����ξܤ���������������. �Ϥä��ꤵ���뤿��, 
Birkhoff������(��6)��ͤ��褦. �ݥ��󥫥�λ�������Τ��Ƥ���褦��, 
�٤�礦2�Ĥ��ж������ѥ�ȥ�å����Τդ�ޤ��ϰ��̤˿�19�˼����Ȥ����
ʣ���ʥͥåȥ��\footnote{�����ȯ�����ƥݥ��󥫥�ϼ��Τ褦�˽Ҥ٤�. 
�ָ򺹤ϰ��γʻ�, �������, ���뤤�ϥͥåȥ���������, ̵�¤˴�����
�롼�פ���. �ɤ�2�Ĥζ����⼫ʬ���ȤȤϸ��餺, ʣ�����ޤ���ޤ��, 
�ͥåȥ���Υ롼�פΤ��٤Ƥ�̵�²����

���οޤ�ʣ�������Ǥ����, �ޤ�񤯵��ˤ�ʤ�ʤ�. ��������Ф���Ǥʤ�
ư�ϳؤΤ��٤Ƥ������ʣ�����˴ؤ��Ƥ褤������Ϳ���Ƥ�����ΤϤʤ�
�ҤȤĤʤ�. ��§����ʬ�Ϥʤ����ܡ��������ȯ������.��([1], III��,
p.369). 

��19��V.K. Melnikov�λŻ�����ž�ܤ���.}�Ǥ���. 
��̩�˸�����, �����ʬ����¸�ߤ���ư���ε����ȯ��[10], [38]��
����ȯ�ۤ��ˤ��Ƥ���. ����, ���ϷϤˤ�����$O$��Ǥ�դζ�˵��
���̷����жʷ����ð�����¸�ߤ��뤳�ȤϤޤ���̩�ˤϾ�������Ƥ��ʤ�. 
�԰��꥾�����¸�ߤϤ������äƾ�������Ƥ��餺, ���̤ξ��˥��ѥ�ȥ��
������������¤��������Ƥ��ʤ�. ����Ǥ������ȿ����Ƥ��뤬, ʸ��
�ˤϸ�̩�ʾ������ʤ����Ȥ�Ĵ���Ƥ���. 

\vspace{3.0cm}
\hspace*{4cm} ��19

\vspace{3.0cm}
�԰��꥾�������ŵ��Ū���פΤդ�ޤ��Υ��르��������Ū��������θ����
���򤽤���. ��ñ�ʥ�ǥ�Ȥ���, ���$[0, 1)$����ʬ$\Delta_1 = [0, a)$, 
$\Delta_2 = [a, b)$, $\delta_3 = [b, 1)$��$\Delta_3, \Delta_2, \Delta_1$
�ν�ؤ��¤��ؤ���ͤ��뤳�Ȥ��Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 3. ����ư} 

���ѥȡ��饹�α�̿��, ��ư�ѥ�᡼��$\mu$�����˾��������˰����ξϤ�
�ɤ�������. ��ư���礭���Ȥ��ˤ�������ư���ݤ����ΤǤ�������? 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� II.} Ǥ�դμ�����Ǹߤ��ε�Υ��Ʊ�����٤λ���($n$��)�����
��������¬�٤�����ͭ����ư�Ϥ��뤫? ���ѥȡ��饹������Ƥ��ޤ�
������$\mu$���׳��ͤϤ��뤫? 

\vspace{0.3cm}
��ǥ�����ˤ����Ƥ�, ��������ؤ������ϽФ���Ƥ��ʤ�. 
���Τ�����2�Ĥ򤳤��Ǽ�û���˹ͤ��Ƥߤ褦. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 4. �ߤ��餽�켫�Ȥξ�ؤβ��ϼ���} 

�߾�˳��ٺ�ɸ$\varphi$ (${\rm mod}~2\pi$)��Ƴ������. ���ΤȤ�, 
$2\pi \omega$�β�ž��
$$
 T_0: \varphi \rightarrow \varphi + 2\pi \omega .  \eqno(6.2.1)
$$
�ʤ���˽񤫤��. �ߤ��餽�켫�Ȥξ�ؤΤ�äȰ��̤μ�����ͤ��褦. 
��ư�������$f(\varphi)$�β�ž
$$
 T: \varphi \rightarrow \varphi + f(\varphi) .  \eqno(6.2.2)
$$
�Ǥ���. ������$f(\varphi)$�ϼ���$2\pi$�δؿ��Ǥ���. 
$\varphi_1 < \varphi_2$���Ф��ƤĤͤ�
$\varphi_1 + f(\varphi_1) < \varphi_2 + f(\varphi_2)$������Ω�Ĥʤ�, 
�Ѵ�(6.2.2)��1��1�Ǥ���. 

$\varphi$�����Ѵ����༡���Ѥ�����������߾������
$\varphi, T\varphi, T^2 \varphi, \ldots$�˶�̣������. 
�ݥ��󥫥�[2]�ξ����ˤ���, ��ž�Ƥλ���ʿ�Ѥ��Ĥͤ�¸�ߤ���. ������
{\bf ��ž��}(rotation number)�Ǥ���: 
$$
 2\pi \omega = \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} 
\frac{f(\varphi) + f(T\varphi) + \ldots + f(T^{n-1}\varphi)}{n}
$$

��$\omega$�λ���Ū��������$T^n \varphi$�Τդ�ޤ����ܼ�Ū�ʱƶ������. 
$\omega$���̾��̵���������������������Ȥ���. ���ʤ��, ����$K>0$��
�Ф���
$$
  |n \omega + m| \geq K |n|^{-2} . \eqno(6.2.3)
$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� III.} ����$T$�ϲ���Ū�Ǥ���Ȥ���. ����Ū���ѿ��Ѵ�$S$��Ԥʤ�
���Ȥˤ��, ����$T$�����$2\pi \omega$�β�ž$T_0$�˻��äƤ������Ȥϲ�ǽ
��? ���ʤ��, 
$$
  STS^{-1} = T_0~?   \eqno(6.2.4)
$$

(6.2.4)�ˤ�����, $S$�ϼ���$\varphi \rightarrow \varphi + g(\varphi)$��
����, �ؿ�$g(\varphi)$�ϲ���Ū�Ǽ���$2\pi$����$|g'|<1$�Ǥ���. 
Denjoy[39]��, (6.2.4)���������ѿ��Ѵ�$S$��¸�ߤ�Ϣ³�Ǥ��뤳�Ȥ򼨤���. 
A. Finzi[40]��, $S$��Ϣ³��ʬ��ǽ�Ǥ��뤳�Ȥ��Ω����. $S$�β�������
�����Ǥ���Τ�, $T$����ž���龯�������㤦�Ȥ��ΤߤǤ���. 
����˴ؤ��Ƥ�[18]�򸫤�. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 5. Floquet�����ΰ��̲�.} $k$�����ȡ��饹����
$q = q_1, \ldots, q_k$�˲���Ū�˰�¸�������$A(q)$��Ϳ����줿�Ȥ���
($A(q + 2\pi) = A(q)$������). ��$q(t)$�ϥȡ��饹��ǽ������ư�Ǥ����
��, ���ȿ���$\dot{q} = \omega$ ($\omega = \omega_1, \ldots, \omega_k$)
�Ǥ���Ȥ���. 

������������������ʬ��������
$$ \begin{array}{ll}
  \dot{x} = A[q(t)] x & (x=x_1, \ldots, x_n)
   \end{array}   \eqno(6.2.5)
$$
��ͤ���. ��(6.2.5)����������η�
$$ \begin{array}{ll}
  \dot{y} = B y & (y=y_1, \ldots, y_n)
   \end{array}   \eqno(6.2.6)
$$
�ؤ�{\bf ����}�Ǥ���Τ�, ����$C(q)$�����ä�, �ȡ��饹��ǲ���Ū
�����Ѵ�$x = C(q)y$��(6.2.5)��(6.2.6)���Ѥ���Ȥ��Ǥ���. 

��������($k��1$)�ξ��, Ǥ�դηϤϲ���Ǥ���. �����Floquet-Lyapunov��
�����ˤ��(ʣ�ǿ��ξ���Ǥ�դ�rate�Ǥ���(?). �¿��ξ��, $C(q)$�ϼ���
$4\pi$�Ǥ���).

$k \geq 2$�ʤ�, (6.2.5)�η����Ͻ����Ū�Ǥ���, �Ϥ�$n=1$�ξ��Ǥ�
����Ȥʤ뤳�Ȥ⤢��(��ʬ��Τ����).
�Ȥ�����, ���ȿ�$\omega$��(6.2.3)�����̾�λ���Ū��������������, 
��(6.2.5)��$n=1$�ξ��Ǥ����Ǥ���. ����Ū�׺ɤ�����������Τ�
���ꤹ��. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� IV\footnote{D.G.Mackle�λ�Ŧ�ˤ���, A.M. Gleason����Ǥ�
$A(q)$�γ�餫�����ꤷ�ʤ�������Ū�������ˤ�����. �����˶�̣��
����Τ�$A(q)$��$q$�˲���Ū�˰�¸������Ǥ���.}.} 
$k, n >1$�ΤȤ��ϤϤĤͤ˲���Ǥ��뤫? 

\vspace{0.3cm}
A.E. Gelman[41]��$n=2$�ΤȤ������$A(q)$�ϥȡ��饹��ι������Τζ��֤�
�����ΰ�����������Ȥ��������. L.Ya. Adrianova[42]�Ϥ��η�̤�
$n>2$�ؤȳ�ĥ����. �����$A(q)$���ΰ褬¸�ߤ����, ��������������
���꤬������. $q=q(t)$�������ϳطϤ������Ǥ���褦�� 
������(6.2.5)���������Τ�äȰ��̤������Ĵ�٤�Τ�����. 
���Τ褦�������, �ʲ��Ǹ���褦��, ����¿���Τζ�˵�θ��椫�鼫����
������. 

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\Large \bf \S 3. ����¿���Τζ�˵}

����ʬ�������Ϥβ�Τդ�ޤ�������Ū����������ñ��ʲ�򸫤Ĥ��뤳�Ȥ�
��Ϥޤ�. ���ʤ��, ʿ�հ��֤���Ӽ������פ�����Ǥ���. ���Τ��Ȥ�, 
�����β�ζ�˵����ʬ������ʬ�ۤ�Ĵ�٤�. ���η��, �Ȥ��ˤ�
�����ΤΤդ�ޤ��˴ؤ��ƽ��פʷ����������뤳�Ȥ⤢��. 

��ư����������פΤ�Τ��ʣ���ʹ�¤���������¿���Τζ�˵����ʬ������
�դ�ޤ���ͻ�����Τ�����. ʣ�����Ǽ��˰��֤���ΤϽ������ư��
�������줿�ȡ��饹�Ǥ���. ���Τ褦�ʥȡ��饹�ζ�˵�θ���ˤ�����
E.G. Belaga[22]��������̤򤳤��Ǽ�����. ��ư����������פ˴ؤ���Ʊ�ͤ�
��̤Ϥ��������C.L. Siegel[9]�ˤ�ä������Ƥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1. ʿ�հ��֤ζ�˵} 

��$O$��ʿ�հ��֤Ȥ������Ū����ʬ�������Ϥ�ͤ��褦. ��켡�����, 
�������������Ǥ���: 
$$ \begin{array}{ll}
  \dot{x} = A x + O(x^2) & (x=x_1, \ldots, x_n) .
   \end{array}   \eqno(6.3.1)
$$
������$A$���������Ǥ���. ����$A$�θ�ͭ��$\lambda_i$���ۤʤ�ʤ�, 
�����Ѵ�$y = Bx$�ˤ��, ����$A$���гѷ� 
$$ \begin{array}{ll}
  \dot{y} = \Lambda y + O(y^2) & (y=y_1, \ldots, y_n)
   \end{array}   \eqno(6.3.2)
$$
�˴Ը������. ������$\Lambda$�ϸ�ͭ�ͤ���ʤ��гѹ���Ǥ���. 

������
$$
  \dot{z} = \Lambda z    \eqno(6.3.3)
$$
�ξ��, $O$�ζ�˵�ι�¤��Ĵ�٤�ˤϲ��κ����ʤ�. ����, (6.3.2)��
��$O(y^2)$���������������Ѥ��Ƥ��ޤ��ΤǤϤʤ���? 

�ݥ��󥫥�ϳذ���ʸ�ˤ����ưʲ��β����Ԥʤ��ʤ�Ф��줬������ʤ�
���Ȥ򼨤���. 

1) ʣ��ʿ�̤���$\lambda_i$�������$O$��ޤޤʤ�. 

2) ��$\lambda_i$�Τɤ�ҤȤĤ�, ¾��$\lambda$��������������������
�񤱤ʤ�. 

\vspace{0.3cm}
����1), 2)�˴�Ť���, �ݥ��󥫥���������ѿ��Ѵ�
$$
   z = y + O(y^2) ,   \eqno(6.3.4)
$$
�ˤ�ä�, $O$�Τ����˵��(6.3.2)��(6.3.3)�η��˴Ը����褦�Ȥ���. 
�֤�����(6.3.4)�ˤ�ä�$O$�ζ�˵������������ϲ򤱤�. ���ʤ��, ��
(6.3.1)��(6.3.3)����ʬ������Ʊ���ˤդդޤ�. 

���1)��$\Lambda$���֤���ʬ�ΰ���������ʤ�. ������, (6.3.3)�η���
�Ը��Ǥ��ʤ��Ϥ��㳰Ū�Ǥ��뤳�Ȥ��狼�ä�. �Ĥޤ�, �ۤȤ�ɤ��٤Ƥ�
$\lambda$���Ф���(���١���¬�٥����ν���������), 
(6.3.2)�β�����ʬ$O(y^2)$�����Ǥ�������, (6.3.4)����(6.3.3)�η��ؤ�
����Ū�Ѵ�������. ���η�̤�C.L. Siegel[9]�ˤ��. 

�֤�����(6.3.4)��$y$�˴ؤ���ơ��顼���Ÿ���η��ǵ��뤳�Ȥ��Ǥ���. 
�����Ͼ�ʬ��(6.3.5)��ޤ�����ˤ�ä��༡�׻����뤳�Ȥ��Ǥ���. 
Siegel��Ϳ������«���ξ�����, ʬ��Τ���, ��ʬ��˽в񤦤ΤϤۤ��
���ޤˤǤ���Ȥ��������˴�Ť��Ƥ���. 

�֤�����(6.3.4)�����ˤ����äƥ˥塼�ȥ�ˡ���Ѥ����, ��ε�����
�Ȥ鷺��Ʊ����̤����뤳�Ȥ��Ǥ���. 

�˥塼�ȥ����ϼ�«����ʤ���Ǥʤ�, ����ˤʤ�. �ơ��顼�����
�Ʒ�����ͭ�²�ζ���򤹤�����Τ˷�ޤ�($s$������Τ��Ȥ�, 
$2^{s-1} + 1$���ιब����ˤʤ�).

�֤�����(6.3.4)��¸�ߤ��뤿��ˤ�, �����뾮ʬ�줬, ����$K>0$���Ф���, 
�����������ʬ$k_j$����ĥ٥��ȥ�$K$��Ȥä�, 
$$ \begin{array}{ll}
 |\lambda_i - (\lambda, k)| \geq K |k|^{-(n+1)} & 
\displaystyle (|k| = \sum_{j=1}^n |k_j| > 1; i=1, \ldots, n)
   \end{array}   \eqno(6.3.5)
$$
�ȸ��Ѥ�뤳�Ȥ��Ǥ���н�ʬ�Ǥ���. ���(6.3.5)��, ���1)��2)������Ω��
�ȼ�ưŪ�����������(��򸫤�). ����ϤۤȤ�ɤ��٤Ƥ�$\lambda$���Ф���
���������. ��������ϤǤ���������ʤ�(?).  

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 2. ������ư�ζ�˵} 

Ǥ�դ����ˤ����뵰�פ˿�ľ�����Ѥ򤽤켫�Ȥξ�˼̤������ϼ�����ư�˼���
�˷�ӤĤ�. �Ǥ�ñ��ʾ��ˤ��Τ褦�ʼ����ι��ۤ򰷤ä�Siegel[8]�η��
(��������濴�����, [53]�򸫤�)���꼰�����褦. 

$$
 z \rightarrow Tz = e^{2\pi i \omega} z + a_2 z^2 + a_3 z^3 + \ldots 
  \eqno(6.3.6)
$$
��ʣ����$z$��$O$�ζ�˵�򤽤켫�Ȥξ�˼̤����Ѽ����Ǥ���Ȥ�, $\omega$��
���(6.2.3)���������Ȥ���. ���ΤȤ���ưž$O$�ϰ���Ǥ���. �����, 
����Ū�֤�����
$$
  w = z + b_2 z^2 + b_3 z^3 + \ldots 
$$
��¸�ߤ���, $T$�����$2\pi \omega$�β�ž
$$
  w \rightarrow e^{2\pi i \omega} w . 
$$
�ؤ��Ѵ�����. 

�������ä�, $z$�̤�$O$�ζ�˵�ϲ������Ѷ���$|w|=����$�ˤ�ä�ʬ�䤵���. 
����$T^nz$ ($n = 1,2, \ldots$)�Ϥ��ζ����򤤤���Ȥ�����̩��������. 

���Ѽ����������������Ӥ���Τ϶���Ū�Ǥ���(��4��򸫤�).

¿�����ξ���Ʊ�ͤη�̤�������. Floquet����(2��3��)�򤳤η�̤ȷ��
�Ĥ����, �ְ��̤ξ��פμ������פζ�˵�θ��椬��������������Ϥθ����
�Ը�������Ǽ���Ǥ���. ���η�̤ˤ�Ĺ���Ȥɤޤ�Ĥ��Ϥʤ�. �Ȥ����Τ�, 
���η�̤ϼ�����Τ�äȰ��̤������˴ޤޤ�뤫��Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 3. �������ư�ζ�˵} 
$n+m$�Ĥ���ʬ�������ηϤ�, ���ȿ�$\omega_, \ldots, \omega_m$�ν����
��ư�ε��פ��������줿$m$�������ѥȡ��饹$T$����ĤȤ���. ��ɸ
$q_1, \ldots, q_m$; $x_1, \ldots, x_n$�����Υȡ��饹�ζ�˵��Ƴ���Ǥ����
����. ������$q$�ϥȡ��饹$T$��γ����ѿ��Ǥ���, �ȡ��饹���$x=0$��
����(?). �郎��ʬ��������
$$
\left.
   \begin{array}{ll}
 \dot{x} = A(q) x + f(x, q) & (x = x_1, \ldots, x_n), \\
 \dot{q} = \omega + g(x, q) & (q = q_1, \ldots, q_m), 
   \end{array}   \right\}   \eqno(6.3.7)
$$
�ʤ������. ������$f = O(x^2)$, $g = O(x)$�Ǥ���. 

����$A(q)$����������Ϥ�����(5��򸫤�)�Ǥ���Ȥ���. �������ä�, (6.3.7)
������, ��
$$
   \begin{array}{ll}
 \dot{y} = \Lambda y + f(y, g),  & \dot{q} = \omega + g(y, g) \\
   \end{array}     \eqno(6.3.8)
$$ 
��ͤ���. ������$\Lambda$�ϸ�ͭ��$\lambda_1, \ldots, \lambda_n$�����
�гѹ���Ǥ���, $f = O(y^2)$, $g=O(y)$�ϲ���Ū��, $q$�˴ؤ�����$2\pi$��
����. 

Ʊ���˥塼�ȥ�ˡ��Ȥä�, E.G. Belaga[22]����������Ȥ����ˤ���, 
����(6.3.11)�β���, ����Ū�ѿ��Ѵ�
$$
   \begin{array}{ll}
 Y = y + \varphi(y, q),  & Q = q + \psi(y, g) \\
   \end{array}     \eqno(6.3.9)
$$ 
�����ä�, (6.3.8)��������
$$
   \begin{array}{ll}
 \dot{Y} = \Lambda Y ,  & \dot{Q} = \omega 
   \end{array}     \eqno(6.3.10)
$$ 
�˴Ը�����. (6.3.9)���ѿ�($\varphi = O(y^2)$, $\psi = O(y)$��$q$�˴ؤ�
����$2\pi$)��Ƴ���Ǥ���Τ�, �ʲ��λ��Ѿ�郎���������Ȥ��Ǥ���. 
���ʤ��, ����$K>0$���Ф���
$$
   \begin{array}{c}
 |(k, \lambda) - \varepsilon \lambda_j + i(l, \omega)| \geq 
K (|k| + |l|)^{-(m+n+1)} \\
(\varepsilon=0, 1; j = 1, \ldots, n; i^2 = -1)
   \end{array}     \eqno(6.3.11)
$$ 
��, ���٤Ƥ������٥��ȥ�$k = k_1, \ldots, k_n$; 
$l = l_1, \ldots, l_m$���Ф�������Ω��. �ޤ�(6.3.11)�ˤ�����
$$
   \begin{array}{lll}
 |k| = \displaystyle \sum_{\alpha=1}^n k_{\alpha} > 1 + \varepsilon, 
& k_{\alpha} \geq 0, & |l| = 
\displaystyle \sum_{\beta=1}^m |l_{\beta}| . 
   \end{array}  
$$ 

��������(6.3.8)�Ϥ��������ưפ���ʬ��ǽ��������(6.3.10)�˴Ը������. 
���(6.3.11)��, (6.3.7)�ι���$A$�ˤ�ä����������ͭ�ͤ����
�������ư�μ��ȿ�$\omega$�����¤�ݤ��ΤߤǤ��뤳�Ȥ��Ŧ���Ƥ���. 
�ޤ�(6.3.7)�δؿ�$f$��$g$��Ǥ�դǤ���. ���(6.3.11)���ˤ��Τ�
$\lambda, ~\omega$���֤Υ��١���¬�٥����ν���ξ�ǤΤߤǤ���. 
��ǰ�ʤ���, ����ϤϤ����㳰Ū�ʽ���˴ޤޤ��. 

����Ϥν������ư�ζ�˵�˴ؤ���������, Birkhoff(I��9��)��ʿ�հ��֤ζ�˵
����Ӽ������פζ�˵�˴ؤ��ƹ��ۤ��������˻����ƤĤ���Τ����򤤤��Ȥ�. 
���Τ褦���������Ǥ����, ¿�����ξ����԰��꥾����(2��1��)�ι�¤�����
������ˤʤ���. ����, ���ޤΤȤ��������μ����ˤʤ�����������
��Ť��ƺ��ͤФʤ�ʤ�. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 4. ��ä�ʣ���ʾ��} 
�������ư����ʣ���ʱ�ư�ζ�˵�ι�¤�Ϥޤä������椵��Ƥ��ʤ�
\footnote{������˽񤤤�����: ����Ϥˤ���������¿���Τ�¸�ߤ˴ؤ���
���򤤷�̤��Ƕ�N.N. Bogolyubov�����J. Moser�ˤ�äƥ˥塼�ȥ�ˡ��
�Ȥä�����줿.}. ʣ�ǻ��֤ξ��˷Ϥ������Ϥ˴Ը����������錄���ˤ�
���򤯻פ���. ���֤�ʣ�ǿ��Ǥ����, ����ʬ�����פ�2��������(�¿��ΰ�̣��) 
�Ǥ���. �����ζ��̤����Ū�դ�ޤ��θ���ϻϤޤä��Ф���Ǥ���[43], 
[44]. 

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\Large \bf \S 4. Intermixing}
\vspace{0.3cm}

�����ϳؤΡ֥��르���ɲ���פ�, �ְ��̷��Ρ��ϳطϤˤ����������ͥ륮����
$H=h$��Τ����르�������Ⱥ�����(intermixing)����ĤȤ���ȯ�ۤ˴ط�����. 
���ޤޤǤξϤη�̤ˤ���, ���르�������Ⱥ������ϰ��̸��ݤǤϤʤ�, 
�ü�ʾ��ȷ�ӤĤ��Ƥ���. �����Ǥ�, ��������������������뤢�뵡��
��ͻ�����. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1. ����} 
�Ǥ��ñ�ʥ�ǥ�Ȥ���, �桼����åɷ��̤����2�����ȡ��饹�̾��
����������γ��2�Ĥα�ư��ͤ���. ��ñ�Τ���, �Ϥ����γ�ҤΤҤȤĤ�
���ꤵ��Ƥ���Ȥ���. �����γ��(��������Ȥߤʤ�)��
�֥ȡ��饹�ӥ�䡼�ɥơ��֥�׾��, �����ͳѤ�ȿ�ͳѤ��������פȤ���ˡ§
�ˤ������äƸ����̤�ȿ�ͤ���ʤ���ư��(��20). 

\vspace{2.5cm}
\hspace*{4cm} ��20, 21

\vspace{2.5cm}
Ʊ����, �ʱߥӥ�䡼�ɥơ��֥�(��21)��ͤ���. �ʱߤ���ʿ(oblate)���ʱ���
�ȹͤ��뤳�Ȥ��Ǥ�, ����¬�����˱�ä�ư��, ȿ�ͤ�ˡ§�ˤ⤷������. 
�ޤä���Ʊ���褦�ˤ���, �ȡ��饹�ӥ�䡼�ɥơ��֥�Ϸ�Τ�����
ξ��(two-sided)�ȡ��饹�Ǥ���, 
γ�ҤϤ��ξ��¬�����˱�ä�ư���ȹͤ��뤳�Ȥ��Ǥ���. 
�Ȥ�����, ξ���ʱߤ���ʿ�ʱ��Τʤ�, �ꤢ��ξ�̥ȡ��饹��(���2��)��ʿ
�ִ����ѥ��(Kringel)�Ǥ���. ������, �郎�ȡ��饹�ӥ�䡼�ɥơ��֥���
��ư�Ϸ���ܷ�����(knotted shaped surface)���¬�����˱�äƤα�ư��
�˸¤ˤʤä�����. 

�褯�Τ��Ƥ���Ȥ���, ¬�����˱�äƤα�ư����ħ��, ���ζ��̤Υ�����
��Ψ�˶�����¸����. ���Ψ���̾�Ǥ�¬�����϶����԰���Ǥ���. 
���ξ��, ���르������, ���˶���������, ����¾����������Ƥ���
([33], [46], [47]).

�ǽ�Υӥ�䡼�ɥơ��֥�����, ��20�ȿ�21�ο޷��ζ�Ψ��ͤ��褦. 
�ʱ��Τ����ζ�Ψ�����, ��ʬ�����$4\pi$��������(���������ܥ�ͤ�����). 
�ʱ��Τ�ɤ�ɤ���ʿ�ˤ����, ��Ψ���ʱߤζ����˱�äƽ��Ѥ���. 
�ִ����ѥ�פξ��, ��Ψ����ʬ��$-4\pi$��������. ������, ξ��
�ȡ��饹�ӥ�䡼�ɥơ��֥��, ������Ȥ������Ψ����ʿ���̤Ȥߤʤ����Ȥ�
�Ǥ���. ��ʿ�ˤ��뤳�Ȥˤ��, ��Ψ�Ϥ��٤Ƽ��˱�äƽ��Ѥ���. 

��ε�����, �������郎��ǥ�Υ��르�������ξ����ǤϤʤ�. ����, ���Ψ
�ζ��̾��¬������Ĵ�٤���ˡ��Ŭ�Ѥ���, ���르���ɲ�����������
��ߤ򤹤뤳�Ȥ���ǽ�Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��Ƥ���
\footnote{���������ؤκǽ�λ�ߤ�N.S. Krylov[48]���Ԥʤä�. ���������
��: Ya.G. Sinai�ϤĤ��Ƕᤳ���ǹͤ����ӥ�䡼�ɥơ��֥����ꤪ���������
�ؤΤ��ޤ��ޤ�����ˤ����ƥ��르���������������.}. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 2. �ðۥ��ڥ��ȥ�} 
����˴ؤ����̤ξ�礬����. ���ˤ�ä��ꤷ������Ǥ���. 
A.N. Kolmogorov��Ϳ������d�Ǥ���: 
$$
   \begin{array}{ll}
 \dot{x} = \omega_1 A(x,y)  ,  & \dot{y} = \omega_2 A(x,y) 
   \end{array}     \eqno(6.4.1)
$$ 
($x, y ({\rm mod}~2\pi)$�ϥȡ��饹�����γ��ٺ�ɸ, $A>0$�ϥȡ��饹���
���ϴؿ�, $\displaystyle \frac{\omega_2}{\omega_1}$��̵����).

ͭ�����ˤ�äư۾�ʤۤɤ褯����Ǥ���
$\displaystyle \frac{\omega_2}{\omega_1}$�Τ����ͤ��Ф���, 
$A(x, y)$�򤦤ޤ����֤�, (6.4.1)�Ϻ���Ϥˤʤ�. �ϳط�(6.4.1)�Υ��ڥ���
������������餫�ˤ���Τ����򤽤���(���ڥ��ȥ���ðۤǤ����ͽ�ۤ����).

�⤦�ҤȤı�ǯ��ư�˴�Ϣ���ƺ��絡��������. �Ǥ��ñ�ʥ�ǥ�Ȥ���, ��
�໤��1�����Ϥ���. ����, ����θ��ݤ���¸�Ϥˤ�¸�ߤ���([49]����). 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 3. �ʲ�.}  
�ݥƥ󥷥�륨�ͥ륮��$U(q)$(��22)�����, ���໤$\mu F(p, q)$, $\mu \ll 1$
��Ư��1�����Ϥ�ͤ��褦. ���餫��, $M$�ΤۤȤ�ɤ��٤Ƥ����ϻ��֤��ФĤ�
�Ĥ�ƥݥƥ󥷥��˾�$A$�ޤ���$B$�Τɤ��餫����ã����. ����, �ɤ����
�Ԥ�? 

\newpage
\vspace*{2.5cm}
\hspace*{4cm} ��22, 23

\vspace{2.5cm}
������ͥ륮��$h>0$�ΤȤ�, $A$�ޤ���$B$����ã�����Ψ$p_A$�ޤ���$p_B$
�����ꤹ��. �����γ�Ψ�ϸ���(��23�򸫤�)
$$
   \begin{array}{ll}
\displaystyle 
 \frac{p_A}{p_B} = \displaystyle 
\frac{\displaystyle \oint_a F dq}{\displaystyle \oint_b F dq} , 
& p_a + p_B = 1 . 
   \end{array}     \eqno(6.4.2)
$$ 
�ˤ�ä�Ϳ������. 

\vspace{0.3cm}
��ư�Ͻ�����Ƿ�ޤ뤫��, $x$����$A$��ư����Ψ���������ɬ�פ�����. 
$\Omega(d) = d$������֤���$x$�ζ�˵�Ȥ�, $\Omega_A(d, \mu)$��
$\Omega(d)$���ȯ���������Τ���, �໤��$\mu F$�ΤȤ���$A$����ã
���뽸��Ǥ���Ȥ���. ����ˤ��
$$
 p_A = \displaystyle \lim_{d \rightarrow 0} \lim_{\mu \rightarrow 0} 
  \frac{{\rm mes}~\Omega_A(d, \mu)}{{\rm mes}~\Omega(d)}  
$$
�Ǥ���. ����(6.4.2)�ˤ���, $p_A$��$x$�˰�¸����($H(x)>0$�ʤ�), 
�׳����ͥ륮����٥�$H(p,q) = 0$�ˤ�����$F(p,q)$���ͤˤ�äƷ��ꤵ���. 
(6.4.2)�ξ������ɼԤ�Ǥ����. 

����ξ��, ��¸�ϤǤ�������򼺤���礬��������(I��5��).
���ѥȡ��饹�ˤ������ư����֤��ؾ�ʬ�䤬�ð�������ľ�礬����. 
$n_0$�������ѥȡ��饹����ǯ�Ѳ�����, ���Τ褦���ð�¿���Τؤ�
�Ը������Ȥ��������򼺤�. 

�⤦�ҤȤĤ�ä��ꤷ����������϶��Ĥ��̤����Ϥοʲ��ˤ˴ط�����
(II��5��). �����θ��ݤϤ��٤Ƹ�̩�ʿ���Ū�谷�����ԤäƤ���. 
��̩�Ǥʤ��谷����B.V. Chirikov�γذ���ʸ(Novosibirsk, 1959)�ǵ���
����Ƥ���. 

A.M. Molchanov��[21, pp.42-49]�ˤ�����, �ְ�ä��ֱ�ư��ʬ��˴ؤ���������
���꼰������. �夤���μ�ĥ(��ä��ꤷ����ư�˼�����������Ȥ��ѿ����Ѳ�
��¿���Ǥ���)��������. ����, A.M. Molchanov�Ϥ��μ�ĥ�ˤĤ��ƤϾ�������
���ʤ��ȽҤ٤Ƥ���. 

\newpage
\vspace{0.5cm}
\noindent
{\Large \bf \S 5. ʿ�굻��}

������Ǥ�, J. Nash[50]�ˤޤ��̤�ʿ�경���Ѥδ���Ūȯ�ۤ��������褦. 
J. Moser�Ϥ����Ȥäƥϥߥ�ȥ�ؿ�������Ū�Ǥ���٤��Ȥ�������
333������ʬ����餫�Ǥ���٤��Ȥ��������֤�������. 
Moser�Τ��Ф餷����ʸ[24], [25]�˾ܤ�������������Τǻ��Ȥ����ߤ���. 
������, ������ʸ�����, ���פ�ȯ�ۤΤҤȤ�(������(6.5.6)�λ���)��
��䱣����Ƥ���. J. Moser��1962ǯ�βƤ˥⥹������ؤǹԤʤä�������
�ɤäƤߤ褦. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1. ��������.}  
�����ؿ�
$$
   \begin{array}{ll}
 f(x) = \displaystyle \sum_{k \neq 0} f_k e^{i(k,x)} 
& (x = x_1, \ldots, x_n; k = k_1, \ldots, k_n) 
   \end{array}     \eqno(6.5.1)
$$ 
��ͤ���. ��ˡ
$$
   \begin{array}{lll}
\displaystyle \sum_{|k| \leq N} f_k e^{i(k,x)} = f_N(x),  
& \displaystyle \sum_{|k| > N} f_k e^{i(k,x)} = R_N f  
& (|k| = |k_1| + \ldots +  |k_n|) 
   \end{array}     \eqno(6.5.2)
$$ 
��Ƴ������. ��ʬ
$$
  |f^{(l)}| = |f^{(l)}(x)| = \displaystyle 
\max_{0 \leq l_1 + \ldots + l_n \leq l} 
\left| \frac{\partial^{l_1 + \ldots + l_n}}
{\partial x_1^{l_1} \ldots \partial x_n^l} f \right|   \eqno(6.5.3)
$$
�θ��Ѥ��򸫤Ĥ��褦. 

$0 \leq \lambda \leq l$�������Ȥ���. �ʲ��μ�ĥ���Τ��Ƥ���, ������
��ñ�Ǥ���: 
$$ \begin{array}{lll}
 |f^{(l)}| \leq M & �ΤȤ� & |R_N f^{\lambda}| \leq 
CMN^{-(l - \lambda - \delta)} . 
   \end{array}   \eqno(6.5.4)
$$
$$ \begin{array}{lll}
 |f| \leq M_0 & �ΤȤ� & |f_N^{\lambda}(x)| \leq 
CM_0N^{\lambda + \delta} . 
   \end{array}   \eqno(6.5.5)
$$
$$ \begin{array}{llll}
 |f| \leq M_0, & |f^{(l)}| \leq M & �ΤȤ� & |f^{\lambda}| \leq 
\displaystyle 
CM_0 \left( \frac{M}{M_0}\right)^{\lambda/l} . 
   \end{array}   \eqno(6.5.6)
$$

������$\delta>0$��$f, M_0, M, N, l, \lambda$�˰ͤ�ʤ�����Ǥ���, 
$C>0$��$f, M_0, M, N$�˰ͤ�ʤ�����Ǥ���([59]�򸫤�). 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 2. ʿ�경�Ĥ��˥塼�ȥ���.} 
I�Ϥǵ��Ҥ����Τ˻����˥塼�ȥ��༡���������¸�ߤ���Ȳ��ꤹ��.
����ư��$f(x)$�˴ؤ���, ���ѿ��Ѵ���$x \rightarrow x + g(x)$��
���ۤ����Ȳ��ꤹ��. �����Ǵؿ�$g(x)$��, ���Ȥ���, ���
$$
  g(x) = \displaystyle \sum_{k \neq 0} \frac{i f_k}{(k, \omega)} 
e^{i(k,x)}   \eqno(6.5.7)
$$
�ˤ�ä���������. ($\omega$���̾�λ���Ū�����ˤ��)
$$
  |g(x)| \leq K |f^{(\nu)}(x)| . \eqno(6.5.8)
$$
���ꤹ��. �����, ���ζ���Ǥ���ư�����򤹤�Τϴؿ�$f'$, ���ʤ��
$$ \begin{array}{lll}
 \Sigma_1 = \displaystyle f(x) 
\frac{\partial g}{\partial x}, & \Sigma_2 = f(x) - f(x + g(x)),  & 
�ۤ�
   \end{array}   \eqno(6.5.9)
$$
�η��ο��Ĥ��̤��¤Ǥ���Ȳ��ꤹ��. $g$���Ȥ�$f$��$g$��
��ʬ��$f$��Ʊ�����٤ξ������̤Ǥ���Ȥ����, (6.5.9)����̤�$f^2$���٤�
�礭���Ǥ���. ���β����, $f(x)$������Ū�ʤ�����Ω��(I�Ϥ����IV�Ϥ򸫤�).

����, $f(x)$��ͭ�²�Τ߲���ʬ�Ǥ����, �ֳ�餫�����Ӽ���(6.5.8)�ˤ��, 
ͭ�²󤷤������ʤ�뤳�Ȥ��Ǥ��ʤ�. ���κ����ʿ�경�ˤ�ä��򤱤뤳��
���Ǥ��뤳�Ȥ��狼�ä�. $f(x)$��̵�²���ʬ��ǽ�ʴؿ�$F_N(x)$((6.5.2)��
��)���֤�����, ��;$R_Nf$�򼡤ζ��(6.5.9)���Ϥ�. ��ʬ�礭��(������ͭ��
��)����$f(x)$����ʬ�Ƚ�ʬ������$|f|$���Ф���, ��$N_s$ ($s$�϶���ο�, 
$N_s \rightarrow \infty$)�϶������«����褦�˰������Ȥ��Ǥ���. 

(6.5.6)�˱�����, �ؿ��Ȥ��κǹ⼡����ʬ���Ѥ��н�ʬ�Ǥ���. 
$f(x)$��������
$$ \begin{array}{lll}
 |f^{(0)}| < M_0 , & |f^{(l)}| < M,  & 
(M_0 \ll 1 \ll M) , 
   \end{array}   \eqno(6.5.10)
$$
����������, ���ζ���ˤ�����, ��ư$f'$���Ф���, ���Ѥ��
$$ \begin{array}{ll}
 |f'^{(0)}| < M'_0 \leq M_0^{1+\alpha}, & 
|f'^{(l)}| < M \leq M^{1+\alpha}
   \end{array}   \eqno(6.5.11)
$$
��, $f, M_0, M$�˰�¸���ʤ�����$0 < \alpha < 1$ $\left( ���Ȥ���
\alpha = \displaystyle \frac{1}{2} \right)$���Ф���, ����. 
���Ѥ��(6.5.11)���, ����μ�«�����ưפ�Ƴ����. ������(6.5.11)��
Ƴ�Фϰʲ��ǳ��⤹��. ���������ˤ��ʤ�����, ���$\delta, K, C$�ʤɤ�
�񤫤ʤ����Ȥˤ���. ���Ȥ���, (6.5.5)��
$$
  |f_N^{(\lambda)}(x)| \leq M_0 N^{\lambda} . 
$$
�Ƚ�. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 3. $|f'|$�θ��Ѥ��.} 
2��˱�����, ͭ�»��Ѵؿ���$g(x)$�ϸ���(6.5.7)�����ޤ�. ������, 
$0 < |k| \leq N$�Ǥ���. (6.5.6)�ν�����ڤ��(6.5.8)��$|f^{(\nu)}(x)|$
���Ѥ��ˤ����ä�, (6.5.10)���, $1 \leq \nu \leq l$���Ф���
$$ \begin{array}{ll}
|g^{(0)}| \leq \displaystyle M_0 \left( 
 \frac{M}{M_0} \right)^{\displaystyle \frac{\nu}{l}} ,  & 
|g^{(l)}| \leq M N^{\nu}
   \end{array}   \eqno(6.5.12)
$$
������Ω��($g^{(l)} = g_N^{(l)}(x)$�θ��Ѥ���(6.5.5)���餷������).
(6.5.6)��Ȥä�(6.5.10)��(6.5.12)����֤����, $0 \leq \nu$, 
$\lambda \leq l$���Ф���
$$ \begin{array}{ll}
|f^{(\lambda)}| \leq \displaystyle M_0 \left( 
 \frac{M}{M_0} \right)^{\displaystyle \frac{\lambda}{l}} ,  & 
|g^{(\lambda)}| \leq \displaystyle M_0  \left( 
 \frac{M}{M_0} \right)^{\displaystyle \frac{\nu}{l} + \frac{\lambda}{l}} 
N^{\displaystyle \frac{\nu \lambda}{l}} ,
   \end{array}   \eqno(6.5.13)
$$
�Ǥ��뤳�Ȥ��狼��. 

$0 \leq \lambda \leq l$�������$\displaystyle f \frac{\partial
f}{\partial x}$����ʬ����, (6.5.13)��ꤢ��äݤ����Ѥ��
$$ \begin{array}{ll}
\displaystyle 
\left| \left( f \frac{\partial g}{\partial x} \right)^{(\lambda)} \right| 
\leq \displaystyle M_0^2 \left( \frac{M}{M_0} 
\right)^{\displaystyle \frac{\lambda}{l} + \frac{2\nu}{l}} N^{2\nu} 
   \end{array}   \eqno(6.5.14)
$$
������.

(6.5.4)�˱�����, 
$$ \begin{array}{ll}
|R_N f^{(0)}| \leq \displaystyle M_0 N^{-1} ,  & 
|R_N f^{(l)}| \leq M 
   \end{array}   \eqno(6.5.15)
$$
������. �Ȥ�����, 2��˱�����$f'$��
$\displaystyle f \frac{\partial g}{\partial x}$((6.5.9)����)��$R_Nf$��
�����̤���Ǥ��Ƥ���. �������ä�, (6.5.14), (6.5.15)���, 
$$ \begin{array}{l}
|f'^{(0)}| \leq M'_0 = \displaystyle M_0^2 \left( 
 \frac{M}{M_0} \right)^{\displaystyle \frac{2\nu}{l}} 
N^{\displaystyle \frac{\nu}{l}} + M N^{-1}, \\
|f'^{(l)}| \leq M' = \displaystyle M_0^2  \left( 
 \frac{M}{M_0} \right)^{\displaystyle 1 + \frac{2\nu}{l}} 
N^{2\nu} + M ,
   \end{array}   \eqno(6.5.16)
$$
��������. 


\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 4. ��«��.} 
����$N$������, ��ʬ�礭��$l$����ӽ�ʬ������$M_0$���Ф���������(6.5.11)
��(6.5.16)����Ф뤳�Ȥ򼨤���. $M < M_0^{-\kappa}$, $N = M_0^{-\beta}$
�Ȥ���. ������, $\kappa > 0$�����$\beta>0$�ϰʲ�������. 
(6.5.16)�˱�����, 
$$ \begin{array}{l}
\displaystyle 
 2 - \frac{2\nu}{l}(1 + \kappa) - \frac{\beta \nu}{l} > 1 + \alpha, \\
\beta l - \kappa > 1 + \alpha, \\
\displaystyle
\left( 1 + \frac{2\nu}{l} \right)(1 + \kappa) + 2\beta \nu 
< \kappa(1 + \alpha) + 2 .
   \end{array}   \eqno(6.5.17)
$$
������Ω�Ƥ�, ������(6.5.11)�����������. 

����������������̤�, $\nu$�������, ���٤Ƥ���줬����Ǥ���. 
�ǽ��$0 < \alpha < 1$������. (6.5.17)����������ξΩ���뤳�Ȥ򼨤���. 
$l \gg \nu, ~\beta \nu, ~\kappa \nu$���Ф���, ������(6.5.17)$_1$��
���������. $l \gg \displaystyle \frac{\kappa}{\beta}$���Ф���
(6.5.17)$_2$�����������. �ޤ�, 
$\displaystyle \left( \alpha - \frac{2\nu}{l} \right) \kappa \gg 
\beta \nu$���Ф���(6.5.17)$_3$�����������. ����$\beta>0$������, ����
$\kappa$��ʬ�礭�������$\alpha \kappa \gg \beta \nu$�Ȥʤ�褦�ˤ�, 
����$l$��ʬ�礭�������$l \gg \displaystyle \frac{\kappa}{\beta}$, 
$\displaystyle \frac{\nu}{l} \ll \alpha$, 
$\displaystyle \frac{\nu \kappa}{l} \ll 1$, 
$\displaystyle \frac{\beta \nu}{l} \ll 1$�Ȥʤ�褦�ˤ���. 
$M_0$�Ͻ�ʬ�������Ȥ���. 

���Τ褦�ˤ���������ѥ�᡼��$\alpha, \beta, \kappa, l$��Ȥ���, 
(6.5.11)��(6.5.10)���餷������. �ޤä���Ʊ���������, $(s+1)$�����
$N_{s+1} = N_s^{1+\alpha} = (M_0^{(s)})^{-\beta}$���֤���, 
(6.5.11)�����פθ��Ѥ��� 
$$ \begin{array}{ll}
 M_0^{s+1} \leq (M_0^{(s)})^{1+\alpha} , & 
M^{(s+1)} \leq (M^{(s)})^{1+\alpha} \leq (M_0^{(s+1)})^{-\kappa} . 
   \end{array}
$$
�ʤ�ط���Ʊ�������뤳�Ȥ��Ǥ���. 

$M_0 \ll 1$�Ǥ��뤫��, ����μ�«����(6.5.18)�����ưפ˽Ф�. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 5. ����.} 
1) $l \gg \kappa \gg \delta$������Ω��, ������(6.5.17)��;͵���ä�
����Ω��, �ޤ�$M_0 \ll (1, K, C^{-1})$����ʬ�������¤�
���$\delta, C, K$��񤫤ʤ��Ȥ���2��κǸ����«�ϴ����Ǥʤ�. 

2) �˥塼�ȥ�ˡ�Ϥ��Ф���$x$�˴ؤ��ƤǤϤʤ�, $y = x + g(x)$���Ф���
��ʬ$f'$���Ѥ�뤳�Ȥ���������. ����ɤ�, ���ξ���ޤ�, (6.5.16)��
���������������뤳�Ȥ��񤷤��ʤ�. 

3) $l$��ʬ�礭�����ˤ����ä�, $r$����ʬ($r \ll l$)��Ȥä�(?)�����
��«�������뤳�Ȥ��Ǥ���. 

4) $f(x)$�ޤ���$g(x)$�˻��Ѵؿ��¤������������ˤ�ä���̩��ʿ�경��
���Ѥ��������Ȥ���ͭ�ѤǤ���. 


\newpage
\begin{thebibliography}{}

   \item
H. Poincare, {\it Les M\'ethodes nouvelles de la m\'ecanique c\'eleste}, 
Vol.I -- III, Paris, 1892, 1893, 1899.  

   \item
H. Poincare, {\it Sur les courbes d\'efinies par lres \'equations 
diff\'erentielles} (Translated into Russian, O krivykh, oppredelyaemykh 
differentsialnymi uravneniami, Moscow-Leningrad, Gostekhisdat, 1947.)

   \item
G.D. Birkhoff, {\it Dynamical Systems}

   \item
E.T. Whittaker, {\it Analytical Dynamics}, 3rd edition, Cambridge, 1927.

   \item
M. Born, {\it Vorlesungen uber Atommechanik}, Springer, berlin, 1925.

   \item
L.D. Landau and E.M. Lifshits, {\it Mekhanika}, Moscow, Fizmatgiz, 1956.

   \item
N.N. Bogolyubov and Yu. Mitropol'skii, {\it Asimptoticheskie metody v
teorii nelineinyx kolebanii}, 2nd edition, Moscow, Fizmatgiz, 1958.

   \item
C.L. Siegel, {\it Vorlesugen uber Himmelsmechanik}, Springer, berlin, 
1956.

   \item
C.L. Siegel, Uber die Normalform analytoscher Differentialgleichungen 
in der Nahe einer Gleicgewichtslosung, {\it Nachr. Akad. Wiss. Gottingen
	
Math.-Phys.} Kl. IIa, Jahrg. 1952, 21-30

   \item
C.L. Siegel, Uber die Existenz einer Normalform analytischer 
Hamiltonscher Differentialgleichungen in der Nahe einer 
Gleichgewichtsloseng, {\it Math. Ann.} {\bf 128}(1954), 144-170.

   \item
A.N. Kolmogorov, Dynamical systems with an integral invariant on a 
torus, {\it Dokl. Akad. Nauk SSSR} {\bf 93}(1953), 763-766.

   \item
A.N. Kolmogorov, The conservation of conditionally periodic motions with 
a small variation in the Hamiltonian, {\it Dakl. Akad. Nauk SSSR} 
{\bf 98} (1954), 527-530.

   \item
A.N. Kolmogorov, The general theory of dynamical systems and classical 
mechanics, {\it International mathematical Congress in Amsterdam}, 1954.

   \item
V.I. Arnold, The stability of the equilibrium position of a Hamiltonian
system of ordinary differential equations in the general 
elliptic case, {\it Dakl. Akad. Nauk SSSR} {\bf 137} (1961), 255-257.

   \item
V.I. Arnold, Generation of conditionally periodic motion from a family
of periodic motions, {\it Dakl. Akad. Nauk SSSR} {\bf 138} (1961), 
13-15.

   \item
V.I. Arnold, On the behaviour of the adiabatic invariant with a slow
periodic variation of the Hamiltonian, {\it Dakl. Akad. Nauk SSSR} 
{\bf 142} (1962), 758-761.

   \item
V.I. Arnold, On the classical perturbation theory and the stability
problem of planetary systems, {\it Dakl. Akad. Nauk SSSR} 
{\bf 145} (1962), 487-490.

   \item
V.I. Arnold, Small denominators. I. Mapping the circle onto itself, 
{\it Izv. Akad. Nauk SSSR} Ser. Math. {\bf 25} (1961), 21-86.

   \item
V.I. Arnold,  Small denominators. II. Proof of A.N. Kolmogorov's theorem
on the preservation of conditionally periodic motions with a small 
variation in the Hamiltonian,	
{\it Uspekhi Mat. Nauk SSSR} {\bf 18} (1963), 13-39.

   \item
V.I. Arnold, A theorem of Liouville concerning integrable problems of
dynamics, {\it Sibirsk. Mat. Zh.} {\bf 4} (1963), 471-474.

   \item
Problemy dvizheniya iskusstvennykh nebesnykh tel, Moscow, Izd. AN SSSR, 
1963.

   \item
E.G. Belaga, The reducibility of a system of ordinary differential 
equations in the neightbourhood of a conditionally periodic motion, 
{\it Dakl. Akad. Nauk SSSR} {\bf 143} (1962), 255-258.

   \item
An.M. Leontovich, On the stability of Lagrangian periodic solutions of 
the restricted three-body problem, 
{\it Dakl. Akad. Nauk SSSR} {\bf 143} (1962), 525-528.

   \item
J. Moser, A new technique for the construction of solutions of
non-linear differential equations, {\it Proc. Nat. Acad. Sci. USA} 
{\bf 47} (1961), 1824-1831. 

   \item
J. Moser, On the invariant curves of area-preserving mappings of an 
annulus, {\it Nachr. Akad. Wiss. Gottingen Math.-Phys.} Kl. II 
1962, 1-20. 

   \item
A.A. Andronov, M.A. Leontovich, L.I. mandelshtam, A contribution to the 
theory of adiabatic invariants, {\it Zhurnal Russkogo Khimicheskogo 
Obshchestva} {\bf 60} (1928), 413; L.I. Mandelshtam, 
{\it Sobranye sochinenii}, Vol. I, 1948, and Vol. II, 1954.

   \item
M. Kruskal, {\it Adiabatic invariants}, Princeton, 1961.

   \item
L.A. Artsimovich, {\it Upravlyaemye termoyardernye reaktsii}, Fizmtgiz, 
1961. 

   \item
V.M. Volosov, Averaging in systems of ordinary differential equations, 
{\it Uspekhi Mat. Nauk SSSR} {\bf 17} (1962), 3-126.

   \item
T. Kasuga, On the adiabatic theorem for the hamiltonian system of
differential equations in classical mechanics I, II, III, 
{\it Proc. Japan Acad.} {\bf 37} (1961), 366-371; 372-376; 377-382. 

   \item
C.V.L. Charlier, {\it Die Mechanik des Himmels}, I-II, Leipzig,
1902-1907. 

   \item
U.J. le Verrier, {\it Annales de l'pbservatoire Imperial de Paris}
Vo. I (1855).

   \item
E. Hopf, The statistics of geodesics on manifolds of negative curvature, 
{\it Uspekhi Mat. Nauk SSSR} {\bf 4} (1949), 129-170.

   \item
L. Auslander, F. Hahn, L. Markus and L.W. Green, Flows on nil-manifolds, 
{\it Bull. Amer. Math. Soc.} {\bf 67} (1961), 298-299; 414-415. 

   \item
V.K. Melnikov, On lines of force in a magnetic field, 
{\it Dakl. Akad. Nauk SSSR} {\bf 144} (1962), 747-750.

   \item
I.M. Gelfand, M.I. Graev, N.M. Zueva, M.S. Mikhailova and A.I. Morozov, 
An example of a toroidal magnetic field not having magnetic surfaces, 
{\it Dakl. Akad. Nauk SSSR} {\bf 143} (1962), 81-83.

   \item
R.I. Chertkov, {\it Metod Yakobi v dinamike tverdogo tela}, Sudpromgiz, 
1960

   \item
G.A. Merman, Almost-periodic solutions and the divergence of Lindstedt's
series in the plane bounded three-body problem, 
{\it Trudy Inst. Teoret. Astronam.} {\bf 8} (1961), 1-134. 

   \item
A. Denjoy, Sur les courbes d\'efinies par les \'equations
diff\'erentielles \'a la surface de tore, {\it J. Math. Pures Appl.} 
{\bf 11} (1932), 333-375.

   \item
A. Finzi, Sur le probleme de la g\'en\'eration d'une transformation 
donn\'ee d'une courbe ferm\'ee par une transformation infinit\'esimal, 
{\it Ann. Sci. Ecole Norm. Sup.} {\bf 67} (1950), 273-305; 
{\bf 69} (1952), 371-430.

   \item
A.E. Gelman, On the reducibility of a class of systems of differential 
equations with quasi-periodic coefficients, 
{\it Dakl. Akad. Nauk SSSR} {\bf 116} (1957), 535-537.

   \item
L.Ya. Adrianova, Reducibility of systems of $n$ linear differential 
equations with quasi-periodic coefficients, 
{\it Vestnik Leningrad. Univ.} {\bf 17} (1962), 14-24.

   \item
I.G. Petrovskii and E.M. Landis, On the number of limiting cycles of 
the equation $\displaystyle \frac{dy}{dx} = \displaystyle 
\frac{P(x,y)}{Q(x,y)}$, where $P$ and $Q$ are polynomials of the 
second degree, {\it Mat. Sb. (N.S.)} {\bf 37}(79) (1955), 209-250.

   \item
M.B. Khudai-Verenov, A property of the solutions of a differential 
equations, {\it Mat. Sb. (N.S.)} {\bf 56}(98) (1962), 301-308.

   \item
V.I. Arnold and A.L. Krylov, Uniform distribution of points on a sphere 
and certain ergodic properties of solutions of linear differential 
equations in a comlex domain, 
{\it Dakl. Akad. Nauk SSSR} {\bf 148} (1963), 9-12.

   \item
Ya.G. Sinai, Geodesic flows on compact surfaces of negative curvature, 
{\it Dakl. Akad. Nauk SSSR} {\bf 136} (1961), 549-552.

   \item
D.V. Anosov, Roughness of geodesic flows on compact Riemannian manifolds
of negative curvature, 
{\it Dakl. Akad. Nauk SSSR} {\bf 145} (1962), 707-709.

   \item
N.S. Krylov, {\it Raboty po obosnovaniyu statisticheskoi fiziki}, 
Moscow, Izd. AN SSSR, 1950.

   \item
I.M. Lifshits, A.A. Slutskii and V.M. Nabutovskii, On the phenomenon of
the ``scattering'' of charged quasi-particles at singular points in 
$p$-space, 
{\it Dakl. Akad. Nauk SSSR} {\bf 137} (1961), 553-556.

   \item
J. Nash, The imbedding problem for Riemannian manifolds, 
{\it Ann. Math.} {\bf 63} (1956), 20-63.

   \item
L.V. Kantorovich, Functional analysis and applied mathematics, 
{\it Uspekhi Mat. Nauk} {\bf 3} (1948), 89-185.

   \item
B. Jessen, Some aspects of the theory of almost-periodic function, 
{\it International mathematical Congress in Amsterdam}, 1954.

   \item
N.G. Chebotarev, {\it teoriya gruppu Li}, Moscow-Leningrad,
Gostekhizdat., 1940. 

   \item
A.Ya. Khinchin, {\it Tsepnye drobi},  Moscow-Leningrad, ONTI, 1935. 

   \item
H. Seifert and W. Threlfall, {\it Lehrbuch der Topologie}, 
Leipzig-Berlin, Teubner, 1934.

   \item
A.N. Kolmogorov and S.V. Fomin, {\it Elementy teorii funktsii i 
funktsionalnogo analiza} Part 2, Moscow, Fizmatgiz, 1960.

   \item
V.F. Kagan, {\it Osnovy teorii poverkhnostei} Vol.I, Gostekhizdat., 
Moscoe-Leningrad, 1947.

   \item
G. Polya and G. Szego, {\it Aufgaben und Lehrsatze aus der Analysis}, 
Berlin, Springer, 1925.

   \item
G.H. Hardy, J.E. Littlewood and G. Polya, {\it Inequalities}, 
Cambridge, 1934. 

   \item
E. Cartan, {\it Lecons sur la g\'eom\'etrie des espaces de riemann}, 
Paris, 1928. 

\end{thebibliography}