\documentstyle[12pt,twoside]{jarticle}
%
\oddsidemargin 0.0cm
\evensidemargin -1.0cm
\topmargin -1.0cm
%
\textwidth 16.8cm
\textheight 22.5cm
\footheight 0.5cm
\footskip 1.2cm
\newcommand{\re}{\vspace{0.15cm}\par\hangindent=0.7cm\noindent}
%
\begin{document}
\setlength{\baselineskip}{3ex}
%\setlength{\baselineskip}{5ex}
%
%Kolmogorov����ʸ, 
% On the preservation of conditionally periodic motion under a small 
% change of Hamiltonian function 
%     in Dokl. Akad. Nayk SSSR Vol.48, 527-530, 1954

\begin{flushright}
ë����δ ��
\end{flushright}

\noindent
Dokl. Akad. Nayk SSSR Vol.48, 527-530(1954)


\begin{center}
{\Large 
{\bf �ϥߥ�ȥ�ؿ��������Ѳ������Ȥ��ν������ư����¸�ˤĤ���\\
On the preservation of conditionally periodic motions under a small 
change of the Hamiltonian function}
}

\vspace{0.5cm}
A.N. Kolmogorov
\end{center}

\vspace{0.2cm}
$s$��ͳ�٤��ϳطϤ�$2s$���������������ΰ�$G$��ͤ��褦. �����ΰ��
$s$�����ȡ��饹$T$��$s$�����桼����åɶ��֤��ΰ�$S$�Ȥ��ѤȤ���
ɽ����Ƥ���Ȥ���. �ȡ��饹$T$�����ϱߺ�ɸ$q_1, \ldots, q_s$
(�������� $q_{\alpha}$��$q'_{\alpha} = q_{\alpha} + 2 \pi$���Ѥ��Ƥ�
��$q$���Ѥ��ʤ�)����ħ�Ť��뤳�Ȥ��Ǥ�, $S$����$p$�κ�ɸ��
$p_1, \ldots, p_s$��ɽ�����Ȥˤ���. 
��ɸ$(q_1, \ldots, q_s, p_1, \ldots, p_s)$��Ȥä�ɽ�����ΰ�$G$�ˤ����� 
��ư�������������
$$ \begin{array}{ll}
\displaystyle
\frac{dq_{\alpha}}{dt} = \displaystyle 
\frac{\partial}{\partial p_{\alpha}} H(q,p), & 
\displaystyle
\frac{dp_{\alpha}}{dt} = \displaystyle 
- \frac{\partial}{\partial q_{\alpha}} H(q,p) 
  \end{array}  \eqno(1)
$$
����Ȥ���. 

�����, �ϥߥ�ȥ�ؿ�$H$�ϥѥ�᡼��$\theta$�˰�¸���뤳��, 
���٤Ƥ�$(q,p) \in G, \theta \in (-c, +c)$���Ф����������뤳��, 
�����ƻ��֤ˤϰ�¸���ʤ����Ȥ��ꤹ��. 
�ܼ�Ū�˰ʲ��ιͻ��ϼ¿�Ū���ʤǤϤ��뤬, �ؿ�$H(q,p,\theta)$��
��餫���˴ؤ��Ƥ�, ̵�²���ʬ��ǽ��궯����餫����ɬ�פǤ���. 
��ñ�Τ���, �ʲ����̤���, �ؿ�$H(q,p,\theta)$�����ѿ�$(q,p,\theta)$
�˴ؤ��Ʋ���Ū�Ǥ���Ȥ���. 

���ꥷ��ʸ����ź�����¤�$1$����$s$�ޤ�����Ȥ���. ���̤Υ٥��ȥ�ɽ����
�Ȥ�. ���ʤ��, $(x,y) = \sum_{\alpha} x_{\alpha} y_{\alpha}$, 
$|x| = + \sqrt{(x,x)}$�Ǥ���. 
�����٥��ȥ�Ȥ�Ф��٥��ȥ��, ��ʬ�������Υ٥��ȥ�Ǥ���. 
$G$����$(q,p)$�ν����$p=c$�ʤ��Τ�$T_c$�Ƚ�. ����1�Ǥ�,  
$S$����$p=0$��ޤ�Ȳ��ꤹ��. ���ʤ��, $T_0 \subseteq G$. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 1.} ���Τ褦�ˤ���. 
$$
  H(q,p,0) 
= \displaystyle m + \sum_{{\alpha}} \lambda_{\alpha} p_{\alpha} + 
\frac{1}{2} \sum_{\alpha \beta} 
\Phi_{\alpha \beta} (q) p_{\alpha} p_{\beta} + O(|p|^3), 
\eqno(2)  
$$
������$m$��$\lambda_{\alpha}$������Ǥ���. �ޤ����$c>0$��
$\eta>0$��Ŭ�������֤�, ���٤Ƥ�������ʬ�٥��ȥ�$n$���Ф���, ������
$$
  (n,\lambda) \geq \displaystyle \frac{c}{|n|^{\eta}} , \eqno(3)
$$
�����������. �ä���, 
�ؿ�
$$
  \Phi_{\alpha \beta} (q) = \displaystyle 
\frac{\partial^2}{\partial p_{\alpha} \partial p_{\beta}} H(q,0,0) ,
$$
��ʿ����
$$
  \varphi_{\alpha \beta}(0) = \displaystyle \frac{1}{(2\pi)^s} 
\int_0^{2\pi} \cdots \int_0^{2\pi} \Phi_{\alpha \beta}(q) 
dq_1 \ldots dq_s ,
$$
���鹽���������󼰤������Ǥʤ��Ȥ���. ���ʤ��
$$
  |\varphi_{\alpha \beta}(0)| \neq 0 .  \eqno(4)
$$

���ΤȤ�, ��ʬ������$\theta$���٤Ƥ���ӽ��� $T_0$�Τ����˵$V$��
��$(Q,P)$���٤Ƥ��Ф��Ʒ�ޤ���ϴؿ�$F_{\alpha}(Q,R,\theta)$
��$G_{\alpha}(Q,P,\theta)$��¸�ߤ���, 
$V$����$V' \subseteq G$�ؤ��ܿ��Ѵ�
$$ \begin{array}{ll}
 q_{\alpha} = Q_{\alpha} + \theta F_{\alpha}(Q,P,\theta) , & 
 p_{\alpha} = P_{\alpha} + \theta G_{\alpha}(Q,P,\theta) 
   \end{array}
$$
�����. �����Ѵ��ˤ�ä�$H$��
$$
  H = \displaystyle M(\theta) + \sum_{\alpha} \lambda_{\alpha} P_{\alpha}
  + O(|P|^2) ,   \eqno(5)
$$
�ʤ���ˤʤ�($M(\theta)$��$Q$�����$P$�˰ͤ�ʤ�).

\vspace{0.3cm}
�ϳؤˤȤäƤ�����1�ν��������ưפˤ狼��. ����1�ˤ���, 
$\theta=0$�ΤȤ���¸�ߤ���������ư��$s$�ѥ�᡼��²
$$ \begin{array}{ll}
 q_{\alpha} = \lambda_{\alpha}t + q_{\alpha}^{(0)}, & p_{\alpha}=0 ,
   \end{array}  
$$
��, ���(2)�����(3)�β���, �ϥߥ�ȥ�ؿ�$H$
�ξ������Ѳ��η�̤Ȥ��ƾä��뤳�Ȥ��Ǥ��ʤ�.
ñ��, ���α�ư�ε��פ������դ��Ƥ���$s$�����ȡ��饹$T_0$���ȡ��饹$P=0$
���ѷ���, ���줬����Ʊ��ο�ư��$\lambda_1, \ldots, \lambda_s$��
�������ư�ε��פˤ�ä����������ΤǤ���. 

����1�ˤ��¸�ߤ��ݾڤ���Ƥ����Ѵ�
$$
  (Q,P) = K_{\theta}(q,p)
$$
��, �Ѵ�
$$
  (Q^{(k)},P^{(k)}) = K_{\theta}^{(k)}(q,p)
$$
�ζ˸¤η��ǹ������뤳�Ȥ��Ǥ���. �������Ѵ�
$$ \begin{array}{ll}
(Q^{(1)},P^{(1)}) = L_{\theta}^{(1)}(q,p), & 
(Q^{(k+1)},P^{(k+1)}) = L_{\theta}^{(k+1)}(Q^{(k)},P^{(k)}) 
   \end{array}  
$$
�ϡְ��̲����줿�˥塼�ȥ�ˡ��(����ʸ��[1]����)��ȤäƸ��Ĥ��뤳�Ȥ���
����. ����ʸ�ˤ����Ƥ�, �Ѵ�$K_{\theta}^{(1)} = L_{\theta}^{(1)}$��
����ˡ�ˤĤ��ƤΤ߽Ҥ٤�. ��������Ǥ�����1�ξ��(3)��(4)����䤬
����Ǥ���. �Ѵ�$L_{\theta}^{(1)}$��
$$
  Q_{\alpha}^{(1)} = q_{\alpha} + \theta Y_{\alpha}(q) , \eqno(6)
$$
�����
$$
  p_{\alpha} = P_{\alpha}^{(1)} = \displaystyle \theta 
\left\{ \sum_{\beta} P_{\beta}^{(1)} 
\frac{\partial Y_{\beta}}{\partial q_{\alpha}} + \xi_{\alpha} + 
\frac{\partial}{\partial q_{\alpha}} X(q) 
\right\}
$$
�ˤ�ä�Ϳ��(��ñ�˳�ǧ�Ǥ���Ȥ���, ������ܿ��Ѵ��Ǥ���), 
���$\xi_{\alpha}$, $\zeta$�ȴؿ�$X(q)$, $Y_{\beta}$��õ����. 
��ȯ���������Ȥ���, 
$$ \begin{array}{rl}
  H = & \displaystyle m + \sum_{\alpha} \lambda_{\alpha} p_{\alpha} 
+ \frac{1}{2} \sum_{\alpha \beta} 
\Phi_{\alpha \beta}(q) p_{\alpha} q_{\beta} \\
 & + \theta \left\{ A(q) + \sum_{\alpha} B_{\alpha}(q) p_{\alpha} \right\}
 + O(|p|^3 + \theta |p|^2 + \theta^2)
   \end{array}  \eqno(7)
$$
��
$$
  H = m + \theta \zeta + \sum \lambda_{\alpha}P_{\alpha}^{(1)} + 
O(|P^{(1)}|^2 + \theta^2) . \eqno(8)
$$
�ʤ���򤷤Ƥ���Ȥ���. 

(6)��(7)����������
$$ \begin{array}{rl}
  H = & \displaystyle m + \sum_{\alpha} \lambda_{\alpha} P_{\alpha}^{(1)} 
+ \theta \left\{ A + \sum_{\alpha} \lambda_{\alpha} 
\left( \xi_{\alpha} + \frac{\partial X}{\partial q_{\alpha}} \right) 
\right\} \\
 & \displaystyle + \theta \sum_{\alpha} P_{\alpha}^{(1)} 
\left\{ B_{\alpha} + \sum_{\beta} \Phi_{\alpha \beta}(q) 
\left( \xi_{\beta} + \frac{\partial X}{\partial q_{\beta}} \right) 
 + \sum_{\beta} \lambda_{\beta} 
\frac{\partial Y_{\beta}}{\partial q_{\beta}} \right\} 
 + O(|P^{(1)}|^2 + \theta^2) . 
   \end{array}  
$$
������.  

��������, �桹������(8)��������
$$
\displaystyle 
  A + \sum_{\alpha} \lambda_{\alpha}
\left( \xi_{\alpha} + \frac{\partial X}{\partial q_{\alpha}} \right) 
 = \zeta ,   \eqno(9)
$$
�����
$$
 B_{\alpha} + \sum_{\beta} \Phi_{\alpha \beta} 
\left( \xi_{\beta} + \frac{\partial X}{\partial q_{\beta}} \right) 
 + \sum_{\beta} \lambda_{\beta} 
\frac{\partial Y_{\alpha}}{\partial q_{\beta}} = 0  ,  \eqno(10) 
$$
����­�����뤳�Ȥ˵��夹��. 

�ؿ�
$$
  Z_{\alpha}(q) = \displaystyle \sum_{\beta} \Phi_{\alpha \beta}(q) 
\frac{\partial}{\partial q_{\beta}} X(q) . \eqno(11)
$$
��Ƴ�����褦. 

�ؿ�$\Phi_{\alpha \beta}, A, B_{\alpha}, X, Y_{\alpha}, Z_{\alpha}$��
�ա��ꥨ���
$$
  X(q) = \sum x(n) e^{i(n,q)} , 
$$
�η���Ÿ����, ʪ����Ϥä��ꤵ���뤿���(dlya oppregelennosti)
$$ \begin{array}{ll}
  x(0) = 0 , &  y(0) = 0 ,
   \end{array}  \eqno(12)
$$
���֤���, �ա��ꥨ����$x(n), y_{\alpha}(n), z_{\alpha}(n)$�����
���$\xi_{\alpha}, \zeta$����뤿���������
$$
  a(0) + \sum \lambda_{\alpha} \xi_{\alpha} = \zeta ,  \eqno(13)
$$
$$ \begin{array}{lcl}
 a(n) + (n,\lambda) x(n) = 0 & {\rm for} & n \neq 0
   \end{array}  \eqno(14)
$$
$$
  b_{\alpha}(0) + \sum_{\beta} \varphi_{\alpha}(0) \xi_{\beta}
  + z_{\alpha}(0) = 0 ,  \eqno(15)
$$
$$ \begin{array}{lcl}
\displaystyle 
 b_{\alpha}(n) + \sum_{\beta} \varphi_{\alpha \beta} (n) \xi_{\beta} 
+ z_{\alpha}(n) + (n,\lambda) y_{\alpha}(n) = 0 & {\rm for} & n \neq 0
   \end{array}  \eqno(16)
$$
������. 

��ñ�ˤ狼��褦��, ��(11)--(16)�Ͼ��(3)��(4)�β���, ��դ˲򤱤�. 
���(3)��(14)����$x(n)$�����ݤ�, �ޤ�(16)����$y_{\alpha}(n)$��
����ݤ��ܼ�Ū������̤���. ���(4)��(15)����$\xi_{\beta}$��
����ݤ��ܼ�Ū������̤���. 
���ϴؿ�$\Phi_{\alpha \beta}, A, B_{\alpha}$��
�ա��ꥨ������$|n|$�����äˤĤ��, $\rho^{|h|}, \ \rho < 1$����
�������ʤ������Ǹ������뤫��, ���(3)����, (13)--(16)������Ū�˲򤱤�
���Ȥ����Ǥʤ�, �ؿ�$X, Y_{\alpha}, Z_{\alpha}$�Υա��ꥨ�����
��«����Ӥ����β�������Ф����. ����ʸ�ζ���ι����ˤϲ���
�����ʺ���Ϥʤ�. ���ǥꥱ���ȤʤΤ��Ѵ�$K_{\theta}^{(k)}$������Ū��
�˸��Ѵ�$K_{\theta}$�˼�«���뤳�Ȥξ����˾��(3)��Ȥ��Ȥ������Ǥ���. 

�־�ʬ��פ�¸�ߤ��ʤ�����ξ��(3)��, �ְ��̤˸��äơ����������Ȥߤ�
���٤��Ǥ���. �ȸ����Τ�, Ǥ�դ�$\eta > s-1$�Τ�Ȥ�, $s$�������֤�
���٤Ƥ���$\lambda = (\lambda_1, \ldots, \lambda_s)$���Ф���, 
���١���¬�٥����ν���������, $c(\lambda)$�򸫤Ĥ���
$$
  (n,\lambda) \geq \displaystyle \frac{c(\lambda)}{|n|^{\eta}}
$$
���ɤ������$n_1, n_2, \ldots, n_s$���Ф��Ƥ�����Ω�Ĥ褦�ˤǤ���
����Ǥ���[2]. 
���(4)��ְ���Ū�˸��äơ����������Ȥߤʤ����Ȥ��Ǥ���. 
�Ȥ�����
$$
  \varphi_{\alpha \beta} (0) = \displaystyle 
\frac{\partial}{\partial p_{\alpha}} \lambda_{\beta}(0) , 
$$
������Ω��. ������, 
$$
  \lambda_{\beta}(p) = \displaystyle \frac{1}{(2\pi)^s} 
\int_0^{2\pi} \ldots \int_0^{2\pi} 
\frac{dq_{\beta}}{dt} dq_1 \ldots dq_s . 
$$
�ϱ�ư��$p_1, \ldots, p_s$����ꤷ���Ȥ��κ�ɸ$q_{\beta}$�ˤ��
��ʿ�Ѽ��ȿ��פǤ���. ������, ���(3)��, ��ư�̤�ʿ�Ѽ��ȿ���
�䥳�ӹ��󼰤������Ǥʤ����Ȥ��̣����. 

����, $H(q,p,0)$��$p$�Τߤ˰�¸������, ���ʤ��$H(q,p,0) = W(p)$�ʤ�
���̤ʾ���ͻ����뤳�Ȥˤ��褦. 
���ξ��, $\theta=0$�ΤȤ�, �ƥȡ��饹$T_p$�ϼ��ȿ�
$$
  \lambda_{\alpha}(p) = \displaystyle 
\frac{\partial W}{\partial p_{\alpha}}
$$
�ν������ư�ε������Τ�������. 

�䥳�ӹ���
$$
  J = \displaystyle \left| 
\frac{\partial \lambda_{\alpha}}{\partial p_{\beta}} \right| = 
 \displaystyle \left| 
\frac{\partial^2 W}{\partial p_{\alpha} \partial p_{\beta}} \right| 
  \eqno(17)
$$
�������Ǥʤ����, �ۤȤ�ɤ��٤ƤΥȡ��饹$T_p$������1��Ŭ�Ѥ��뤳�Ȥ�
�Ǥ���. $\theta$���������Ȥ�, ����1���б�����������
�ְ�ư�����ȡ��饹�פ��ΰ�$G$���礭����ʬ�����뤳�Ȥ������˿���
�����. ����ϰʲ�������2�ǳ�ǧ�����. 
�����������꼰������ˤ����ä�, �ΰ�$S$��ͭ���Ǥ���Ȥߤʤ�, ���޹�
���Ƥ��뽸��$M_{\theta}$���, ��$(q^{(0)}, p^{(0)}) \in G$��
Ƴ������(??). 
������, ���������̤�������(1)�β�
$$ \begin{array}{ll}
 q_{\alpha}(t) = f_{\alpha}(t; q^{(0)}, p^{(0)}, \theta) , &  
 p_{\alpha}(t) = G_{\alpha}(t; q^{(0)}, p^{(0)}, \theta)  
   \end{array}
$$
�Ͻ�����
$$ \begin{array}{ll}
 q_{\alpha}(0) = q_{\alpha}^{(0)} , &  
 p_{\alpha}(0) = p_{\alpha}^{(0)}
   \end{array}
$$
����������ΤǤ���, $t$��$-\infty$����$+\infty$�ޤ�ư���Ȥ�, �ΰ�$G$����
�Фʤ���, ����$\lambda_{\alpha} = \lambda_{\alpha}(q^{(0)},p^{(0)})$��
�����Ū�ʵ��פ�Ƴ��. ���ʤ��, �嵭�β��
$$ \begin{array}{ll}
 f_{\alpha}(t) = 
\varphi_{\alpha}(e^{i \lambda_1 t}, \ldots, e^{i \lambda_s t}), &  
 g_{\alpha}(0) = 
\psi_{\alpha}(e^{i \lambda_1 t}, \ldots, e^{i \lambda_s t}) . 
   \end{array}
$$
�ʤ���򤷤Ƥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 2.} $H(q,p,0) = W(p)$�Ǥ��ä�, ����(17)���ΰ�$S$�ˤ����ƥ���
�Ǥʤ����, $\theta \rightarrow 0$�ΤȤ��˽���$M_{\theta}$�Υ��١���
¬�٤��ΰ�$S$����¬�٤˸�����. 

\vspace{0.3cm}
�����餯, ����$M_{\theta}$�����٤Ƥ�����$\theta$���Ф���, 
������Ȥ�����̩���佸�����Ĥ��Ȥ��ְ��̤ξ��פǤ�����.  
����Ū�ϳط������ˤ����������뤳�Τ褦�ʼ����ʣ�����ˤĤ��Ƥ�, 
�錄���ξ���ʸ�ˤ����Ƥ⤦�������ܤ����Ҥ٤Ƥ�����.

\begin{flushright}
1954ǯ8��31����
\end{flushright}


\begin{thebibliography}{}

   \item
L.V. Kantorovich, {\it Uspekhi, Matem. Nauk} {\bf 3}, 163(1948). 

   \item
J.F. Koksma, {\it Diophantine Approximation}, 1936. 

   \item
A.N. Kolmogorov, {\it DAN} {\bf 93}, 763(1953). 

\end{thebibliography}

\end{document}