\documentstyle[12pt,twoside]{jarticle}
%
\oddsidemargin 0.0cm
\evensidemargin -1.0cm
\topmargin -1.0cm
%
\textwidth 16.8cm
\textheight 22.5cm
\footheight 0.5cm
\footskip 1.2cm
\newcommand{\re}{\vspace{0.15cm}\par\hangindent=0.7cm\noindent}
%
\begin{document}
\setlength{\baselineskip}{3ex}
%
%Moser����ʸ, On Invariant curves of area-preserving mappings 
%             of an annulus
% 
\begin{flushright}
ë����δ ��
\end{flushright}

\noindent
Nachr. Akad. Wiss. Gottingen Math.-Phys. Kl. II, 1-20(1962)


\begin{center}
{\Large 
{\bf �ߴĤ�������¸���������Ѷ����ˤĤ���\\
On invariant curves of area-preserving mappings of \\
an annulus}
}

\vspace{0.5cm}
J. Moser
\end{center}

\vspace{0.2cm}
\begin{center}
{\bf 1. ��}
\end{center}


a) �ݥ��󥫥�[1]�����»�������θ���ˤ�����, �ߴĤ��餽�켫�Ȥξ�ؤ�
������¸�����θ���ؤ�Ƴ����Ƥ��ä�. �¤�, ��Ϥ��Τ褦�ʼ�������ư����
¸�ߤ˴ؤ���������Ҥ٤���, ��������»��������̵�¸Ĥμ�����ƻ��¸��
�򼨤�����˻Ȥ����Ȥ��Ǥ���. 
���Υץ������ؤ�ƶ��˭���ʾ����ϸ��G.D. Birkhoff[2]�ˤ�ä�Ϳ����줿. 

�ߴĤ򸦵椹�뤳�Ȥ�, ���������������ʬ�������ˤȤäƽ��פǤ���. ����
����������ܼ�Ū�ʺ����ñ��ʷ��Ǽ����Ƥ���, ��������ʬ��������
��ǥ�ȹͤ��뤳�Ȥ��Ǥ���. ������¸�������໤�Τʤ���ư�򵭽Ҥ���
����ʬ����������������. 

������ʸ�Ǥ�, ���Τ褦�ʼ����������Ѷ�����¸�ߤ��ݾڤ����������������. 
�����Ѷ�����, ����������������ʬ�������γ���������б�����. ������
������ΰ�������Ĵ�٤뤿��˽��פǤ���. 

\vspace{0.3cm}
b) $r, \theta$��ʿ�̤ζ˺�ɸ�Ȥ�, �ߴ�
$$
  0 < a \leq r \leq b ,
$$
��ͤ���. �Ϥ����ñ��ʼ���
$$
  \left\{ 
  \begin{array}{l}
    \theta_1 = \theta + \alpha(r) \\
    r_1 = r 
  \end{array}
\right.   \leqno(1.1)
$$
��ͤ���. ������, ��ž��$\alpha(r)$��$r$��ñĴ�˰�¸���뤳��, ���ʤ��, 
$$
\displaystyle
\frac{d \alpha}{d r} > 0
$$
���ꤹ��. ���μ����ϱߤ���¸����. �ߤ򤢤���٤�����ž����. ���γ��٤�
ư�¤ȤȤ�����礹��. (1.1)��֤ͤ�������פȤ��. 

���ˤͤ����������ư
$$
  \left\{ 
  \begin{array}{l}
    \theta_1 = \theta + \alpha(r) + F(r,\theta)\\
    r_1 = r \hspace{1.3cm} + G(r, \theta)
  \end{array}
\right.   \leqno(1.2)
$$
��ͤ���. ������$F, G$�Ͼ������̤Ǥ��ä�, $\theta$�˴ؤ�����$2 \pi$��
����Ȥ���. ���μ�����, �ͤ�����������Ѷ����ζ᤯�������Ѷ�������Ĥ�. 
���줬����Ǥ���. 

����ʾ�β����ä��ʤ������ꤽ�Τ褦�����Ѷ�����ɬ������¸�ߤ��ʤ�
���ȤϤϤä��ꤷ�Ƥ���. ���Ȥ���, $G$�����ʤ�, �����β���$r$�����ä���
���������Ѷ�����¸�ߤ��ʤ�. 
������, ���Τ褦�ʲ����ä���. ���ʤ��, ��$r = ����$�˶ᤤ
�ɤ��Ķ���
$$
  r = f(\theta) = f(\theta+2 \pi)  \leqno(1.3)
$$
�⼫ʬ���Ȥ����ȸ���Ȥ���. ������$f'(\theta)$�Ͼ������Ȥ���. 
(1.2)����������¸�Ǥ��뤳��, �ޤ���$r=a$�����Ѥˤ��뤳�Ȥ����������, 
��β�������������\footnote{�ۤ��ˤ⤳�ξ�郎�������������Ϥ���. 
���Ȥ���, reversible�ʷϤξ��Ǥ���. [4]����.}. 
�Ȥ��˱�$r=����$���������Ϥ��αߤȸ���Ϥ��Ǥ���. �Ĥޤ�, 
$G(r, \theta)$�ϳƸ��ꤷ��$r$�ˤĤ��ƾ��ʤ��Ȥ�1�ĥ����������. 

�ʲ��������ϼ��Τ褦�ʰ�̣�Ǥ���. ��ξ��β���, $F,G$����ʬ������, 
�����⽽ʬ�ʲ��������ʬ��ǽ�ʤ��, �ºݤ����Ѷ�����¸�ߤ���. 
�������꼰���Τ���ε�ˡ��Ƴ�����褦. 
$h(r,\theta)$�ϳ���$s$�ޤǤ�Ϣ³��ʬ����Ĵؿ��Ǥ���Ȥ���. ���ΤȤ�
��$s$����ʬ�ΥΥ��� 
$$ \begin{array}{ll}
|h|_s = \displaystyle \sup 
\left| 
\left( \frac{\partial}{\partial r} \right)^{\sigma_1} 
\left( \frac{\partial}{\partial \theta} \right)^{\sigma_2} 
h(r, \theta) \right|, & \sigma_1 + \sigma_2 \leq s , 
   \end{array}
$$
������$r, \theta$��$h$����������ư��. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 1.} $\varepsilon>0$������$s \geq 1$��Ϳ����줿�Ȥ�, 
�ؿ�$p,q$�����$2\pi$�δؿ��Ȥ�, $s$��Ϣ³��ʬ��ǽ��
$$
  |p|_s + |q|_s < \varepsilon
$$
���������Ȥ���, ����(1.2)�������Ѷ���
$$
  \left\{ 
  \begin{array}{l}
    \theta = \theta' + p(\theta')\\
    r = r_0 + q(\theta')
  \end{array}
\right.   \leqno(1.5)
$$
����ĤΤ�, �ʲ��β���(����)�β��Ǥ���. 

(1) ����(1.2)���Ф��Ƥ�, �ߤ˶ᤤ�ɤ��Ķ���(1.3)�⤽�����ȸ���.

(2) $b - a \geq 1$�Ȥ�, ����������Ф���
$$
  0 < c_0^{-1} \leq \displaystyle
\frac{d \alpha(r)}{dr} \leq c_0
$$

(3) ����$\delta_0 = \delta_0(\varepsilon, s, c_0)$�����
����$l = l(s)$�������뤳�Ȥ��Ǥ�, $F,G$�ϳ���$l$�ޤ���ʬ��ǽ�Ǥ��ä�
������
$$
  |F|_0 + |G|_0 < \delta_0   \leqno(1.7)
$$
$$
  |\alpha|_1 + |F|_1 + |G|_1 < c_0   \leqno(1.7')
$$
��������. 

\vspace{0.3cm}
�����, ����(1.4)���ͶƳ���줿������
$$
  \theta'_1 = \theta' + \alpha(r_0)  \leqno(1.8) 
$$
��Ϳ������. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ����.} �¤�, (1.8)�β�ž��$\alpha(r_0) = \omega$�ˤ�äƶ��̤����
���Ѷ����Ϥ������󤢤�. ��˼��򼨤�. ���ʤ��, 
$$
  \alpha(a) + \varepsilon < \omega < \alpha(b) - \varepsilon , 
\leqno(1.9)
$$
���Ǥ�դ�$\omega$��Ϳ������, $\omega/2\pi$��ͭ�����ˤ�ä��ưפˤ�
����Ǥ��ʤ��Ȥ�, �Ĥޤ�
$$
  | n \omega - m 2 \pi | \geq \varepsilon  n^{-3/2} , \leqno(1.10)
$$
�����٤Ƥ�����$n>0, m$���Ф�������Ω�ĤȤ�, ���β�ž��
$\omega = \alpha(r_0)$����Ķ���(1.4)��¸�ߤ���. 

\vspace{0.3cm}
c) 1954ǯ�������������Kolmogorov[6], [7]�ˤ�äƽҤ٤�줿. Kolmogorov
���ĽҤ϶����ʬ��ʬ�������β���Ū�ϥߥ�ȥ�Ϥγ��������¸�ߤ˴ؤ���
��ΤǤ��ä�. ������ʸ�Ͼ����������Ƥ��ʤ�
\footnote{�Ĥ��Ƕ�, V.I. Arnold[8]����ʸ�����줿. ������ʬ��פ�Denjoy��
������, ����¾�������Ƥ���. �����Arnold��[9], [10]��1954ǯ��
Kolmogorov�μ�ĥ���ĥ�����ȽҤ٤Ƥ���}
����Kolmogorov��������
���������ߤ���Ϥޤä�. ���Ԥ�Kolmogorov�μ�ĥ��, �Ǥ��ñ�ʷ���
�Ҥ�, ������Ū�˰�����褦�ˤ���. �⼡(������)�ؤγ�ĥ�ˤϺ����ȼ��ʤ�. 

����η�̤�[7]�Ȱ㤦���ϼ��ΤȤ���Ǥ���. Kolmogorov����ʸ�Ǥ�, 
��ʬ�������Ϥ��٤Ƥ��ѿ��˴ؤ��Ʋ���Ū�Ǥ���Ȥ��줿��, �����Ǥ�ͭ�²��
��ʬ��¸�ߤΤߤ����ꤵ�줿. ���λ��¤ϼºݾ�ϲ��ΰ�̣��ʤ�. 
�Ȥ����Τ�, (1.7$'$)�ˤ������$l$�������礭������Ǥ���
(��(2.4)�����, $\sigma=4, s=1$�ΤȤ�$l=333$��������).

����Ȥδ�Ϣ��, ���Ѷ�����¸�ߤ������Ƥ��ޤ���, ���Ѷ�����Ǥ�դ����٤ޤ�
�׻������뤳�Ȥϴ�ñ�Ǥ��뤳�Ȥ�Ĵ���Ƥ���. ���Ȥ���, ����Ū�ʾ��, 
�����ѥ�᡼���ˤ����Ÿ���ϴ�ñ�˹��פǤ���. �����, ���ε����
��«���뤫�ɤ����Ǥ���. �����ΰ����������Ǥ�, ����®����«����
�༡������������. �¤�, �༡�����ε�®�ʼ�«���Ϥ����뾮ʬ���
�ƶ����Ǥ��ä�������ܼ�Ū�Ǥ���([11]�⻲��). 

\vspace{0.3cm}
d) ������ʸ����Ū�Ͼ�������δ����ʾ�����Ϳ���뤳�ȤǤ���. ����������
���ѤΤ����Ĥ�, �ޤ����ե�����������������»�������ؤ������γ�ĥ��
�Ĥ��Ƥ�[12]�ǽҤ٤��ΤǤ����Ǥϵ������ʤ�. 

�Ȥ��˽��פʤΤ�, ���� 1���äȤ���ɤ������, ������ΰ������ξ�����
�Ȥ���Ȥ������¤Ǥ���. Birkhoff({3], [4]����)�ˤ������ä�, 
$r=0$���������ư���᤯��������¸����(1.2)��Ĵ�٤뤳�Ȥؤ�Ƴ�����. 
��ư���ΰ������ξ����Τ���ˤ�$r=0$�Τɤζ�˵����ˤ�$r=0$��Ϥ�
���Ѷ��������뤳�Ȥ��Ω���ʤ���Фʤ�ʤ�(����ȯ�ۤ˴ؤ��Ƥ�[5]����
\footnote{Ʊ�ͤη�̤�V.I.Arnold[9]�ˤ�äƤ�ȯɽ���줿.}). 
���Τ���ˤ�, ����$\alpha(r)$�������ʶ�־���Ѥ�����ؤ�
����1���ĥ���뤳�Ȥ����������. ���Τ褦�ʷ�̤ˤĤ��Ƥ�5���
��������. 

���������, �˥塼�衼����ؤǤΥ��ߥʡ��ǹֱ餷����ΤǤ���. 
F. John, L. Nirenberg�䤽��¾�ο͡����������Ƥ��줿. ����, ����ʬ��ˤ�
���륤�󥹥ԥ졼�����򤯤줿C.L.Siegel�˴��դ���.   


\vspace{0.3cm}
\begin{center}
{\bf 2. �����Υ����ȥ饤��}
\end{center}

����1�ξ�����ȯ�ۤ򼨤������, ����1��
$$
  \alpha(r)=r, \ \ s=1
$$
�ؤ��ü첽���Ƥߤ�. ���̤ξ���5��˻Ĥ��Ƥ���. �ޤ������ѿ�$\theta$��
$x$, ư���ѿ���$y$��ɽ��. �����, �����ϼ��η��ˤʤ�. 
$$ \begin{array}{lcl}
 \left\{ 
  \begin{array}{l}
    x_1 = x + y + f(x,y)\\
    y_1 = y + \hspace{0.85cm} g(x,y)
  \end{array}
\right. & {\rm in} & a \leq y \leq b
  \end{array}   \leqno(2.1)
$$
������$f,g$��$x$�˴ؤ�����$2\pi$�Ǥ���, $b-a \geq c_0^{-1}$�Ǥ���.
$f, g$���������˴ؤ��벾���
$$
  |f| + |g| < \delta_0,        \leqno(2.2)
$$
�����
$$ \begin{array}{lcl}
  |D_x^{\rho_1}D_y^{\rho_2}f| + |D_x^{\rho_1}D_y^{\rho_2}g| < c_0 
& {\rm for} & \rho_1 + \rho_2 = l
   \end{array}
$$
��Ϳ������. ��$\omega$��
$$
  a + \varepsilon < \omega < b - \varepsilon,  \leqno(2.3)
$$
���
$$ \begin{array}{lclcl}
\displaystyle
  \left| \omega - \frac{2\pi m}{n} \right| \geq 
\varepsilon n^{-\sigma + 3/2}
& {\rm for \ all \ integers} & n,m & {\rm with} & n>0 
   \end{array}  \leqno(2.3')
$$
���������褦������. ������$\sigma$��4�ʾ�������Ǥ���. 

���Ѷ����ϰʲ��Ǽ����褦���༡�������̤��ƹ�������. Ϳ����줿�ߴ�
$a < y < b$�ˤ�����, �����ߴĤ�����, ������Ŭ���ʶ˺�ɸ
$\xi({\rm mod} \ 2\pi)$�����$\eta$��Ƴ������. 
�������, �Ѵ�������줿�������Ϥ���μ������ͤ�������ؤ�
�褤����ˤʤ�褦�ˤ���. 
���β����򷫤��֤�, �����ⶹ���ߴ�, �����Ƥͤ��������������
�褤�����Ȥ褤��ɸ��缡���ƹԤ�. 
�˸¤Ǥ�, �ߴ���϶����˽̤ޤ�. ���줬�������Ѷ����Ǥ���. 
Ʊ���˶�����γ��٥ѥ�᡼���������, ͶƳ���줿�����ϲ�ž�ˤʤ�. 

�������, �����ʳ���Ƴ�����뵬�ʲ��ѥ�᡼���ʤ������Ѷ�����������ʤ�
����Ǥ褤. ������, ���Ѷ����������뤿��ˤ� ���β�ž����$2\pi$
��ͭ�����ܤˤ�������Ҥɤ��������Ȥ����������. 
��ž�����༡�����κݤ����椵��ʤ���Фʤ�ʤ�. ������ͳ����, 
���ʲ���ɸ��Ʊ���˸��Ĥ��뤳�Ȥʤ������Ѷ�������ꤹ�뤳�Ȥ�
�Բ�ǽ�Ǥ���褦�˸�����. 

���ι���ˡ��¹Ԥ����μ�«����������뤿���, ��$(n-1)$�ʳ��αߴĤ���
��$n$�ʳ��αߴĤؤȿʤ���̤���$n$�ʳ��򵭽Ҥ��褦. 
�ߴĤΥ�����, ����������к�(deviation)�Ϥ����Ĥ��Υѥ�᡼���ˤ�ä�
���Ѥ��. ���Υѥ�᡼����Ƴ�����褦. 
�ѥ�᡼����$N, M, \delta$�Ǥ��ä�, �����δ֤δط��Ϥ��餫����
���Ƥ���. ���ʤ��, 
$$ \begin{array}{lll}
  \kappa = \displaystyle 
\frac{4}{3}, & \nu = 6(\sigma+1), & l = 3 + 11 \nu
   \end{array}  \leqno(2.4)
$$
���֤�, $N>1$���Ф���
$$ \begin{array}{ll}
  M = N^{\nu} > N, & \delta = M^{-2\kappa} .
   \end{array} \leqno(2.5)
$$

�ʲ��ξ����ˤ�������ܤ�, �ͤ����������ΤϤ��줬
$\delta_0^{\kappa^n}$�Ǹ�������Ȥ�����̣��, �༡�����μ�«��
��®�Ǥ��뤳�ȤǤ���. ���λ��ϼ��������ˤ�����ɽ�������. 

�ѥ�᡼��$N_-, M_-, \delta_-$�Ϸ����֤���$(n-1)$���ܤΥ��ƥåפ��տ魯
���̤Ǥ���, 
$$\begin{array}{lll}
  N = N_-^{\kappa}, & M = M_-^{\kappa}, & \delta = \delta_-^{\kappa} .
   \end{array}
$$
�ˤ�ä�$N, M, \delta$�ȴط����Ƥ���. 

���Ѥ��(2.2), (2.2')�����, ������Ǽ������Ŭ������, �ޤ�
$$\begin{array}{lcl}
 |f| + |g| < \delta_- & {\rm in} & |y - \omega| < \displaystyle 
\frac{1}{M_-} ,
   \end{array}  \leqno(2.6)
$$
�����
$$\begin{array}{lcl}
  |D_x^{\rho_1}D_y^{\rho_2}N_- f| + |D_x^{\rho_1}D_y^{\rho_2}M_- g| < 
N_-^{\rho_1+1}M_-^{\rho_2} & {\rm for} & \rho_1 + \rho_2 = l
   \end{array}  \leqno(2.6')
$$
���ꤹ��. �ѥ�᡼��$\delta_-$��$\delta_{n-1} = \delta_0^{\kappa^{n-1}}$
���֤�����, Ʊ�ͤΤ��Ȥ�$N_-, M_-$�ˤĤ��Ƥ�Ԥ�. 

$n=1$�ξ��ˤ�, Ϳ����줿���������(2.6)��(2.6')���������Τ�, 
$\delta_0$����ʬ���������줿�Ȥ��Ǥ���. 
���ʤ��, (2.2)��(2.6)�ϰ��פ�, $M_0 > \varepsilon^{-1}$�ΤȤ��ˤ�
(2.3)��$|y-\omega| < \displaystyle \frac{1}{M_0}< \varepsilon$��
$a < y < b$���ݾڤ���. �Ǹ��(2.2')����
$$\begin{array}{l}
  |D_x^{\rho_1}D_y^{\rho_2}N_0 f| + |D_x^{\rho_1}D_y^{\rho_2}M_0 g| < 
c_0 M_0 
   \end{array} 
$$
���Ф�. �ޤ�$M_0 > N_0$�����$rho_0 + \rho_1 = l \geq \nu$�Ǥ��뤫��
$$
  N_0^{\rho_1}M_0^{\rho_2} \geq N_0^l \geq N_0^{\nu} \geq M_0
$$
�Ǥ���, $N_0>c_0$�ʤ�
$$
  c_0M_0 \leq c_0 N_0^{\rho_1} M_0^{\rho_2} \leq 
N_0^{\rho_1+1} M_0^{\rho_2}
$$
������Ω��. 
�椨��(2.6)��(2.6')��$n=1$�ΤȤ�������Ω�ĤΤ�, $M_0 > \varepsilon^{-1}$
����$N_0 > c_0$��������Ȥ�, �Ĥޤ�
$$\begin{array}{ll}
  \delta_0 < \varepsilon^{2\kappa}, & c_0^{2\kappa\nu} . 
   \end{array} 
$$
�ΤȤ��Ǥ���. �������ʤ���, $\delta_0$���äȾ��������뼫ͳ�٤ϻĤ���
����. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 2.} (2.1)����ɽ���Τ�, (2.6)�����(2,6')��������, �ޤ�$y=����$��
�ᤤ�ɤ���Ϣ³�����⤽�����ȸ���Ȥ���������ͭ����ߴļ����Ǥ����
����. 

���ΤȤ�, ��ʬ������$\delta_0$���Ф���, ��ɸ�Ѵ�
$$ \begin{array}{lcl}
\left\{ 
   \begin{array}{ll}
  x = \xi + u(\xi,\eta) \\
  y = \eta + v(\xi,\eta)
   \end{array} \right.  & {\rm in} & 
|\eta-\omega| < \displaystyle \frac{1}{M_-} - \frac{1}{M} < 
\displaystyle \frac{1}{M}
   \end{array}
\leqno(2.7)
$$
��¸�ߤ�, 
$$
  |u|_1 + |v|_1 < \displaystyle \frac{1}{N}  \leqno(2.7')
$$
��������, �ޤ�
$$
  |\eta-\omega| < \displaystyle \frac{1}{M}
$$
���, ����(2.1)�Ϻ�ɸ$\xi, \eta$���Ѵ������
$$
\left\{ 
   \begin{array}{ll}
  \xi_1 = \xi + \eta + \varphi(\xi,\eta) \\
  \eta_1 = \eta \hspace{0.7cm} + \psi(\xi,\eta)
   \end{array} \right. \leqno(2.8)
$$
�ʤ������. ������, 
$$ \begin{array}{lcl}
 |\varphi| + |\psi| < \delta = \delta_0^{\kappa}
& {\rm in} & |\eta - \omega| < \displaystyle \frac{1}{M}
   \end{array} \leqno(2.9)
$$
�����
$$\begin{array}{lcl}
  |D_{\xi}^{\rho_1}D_{\eta}^{\rho_2}N \varphi| + 
|D_{\xi}^{\rho_1}D_{\eta}^{\rho_2}M \psi| < N^{\rho_1+1}M^{\rho_2} 
& {\rm for} & \rho_1 + \rho_2 = l .
   \end{array}  \leqno(2.9')
$$
�Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
����2�ξ����Ϥ�����ʸ�μ�����ʬ�Ǥ���. �����4��˻Ĥ��Ƥ���. �����Ǥ�
����2����, $\alpha(r) = r, s=1$�����̤ξ�������1�ξ����������뤳�Ȥ�
��������. 

������Ū�Τ����, ����(2.1)��${\cal F}_0$��ɽ��,�ͤ������
$x_1 = x + y; y_1 = y$��${\cal F}_{\infty}$��ɽ��. ������(2.2)��
$$
 |{\cal F}_0 - {\cal F}_{\infty}| < \delta_0 . 
$$
��ɽ���Ǥ���. ���������2�ˤ��, �Ѵ�(2.7), �����${\cal U}_1$��ɽ����
����, �����ä�${\cal F}_0$��
$$
  {\cal U}_1^{-1} {\cal F}_0 {\cal U}_1 = {\cal F}_1
$$
�ؤ��Ѵ���, (2.8)��
$$
 |{\cal F}_1 - {\cal F}_{\infty}| < \delta_0^{\kappa} = \delta_1 .   
$$
��ɽ������. �����򵬳ʲ����뤳�β����򶹤��ߴĤǷ����֤����Ȥˤ��, 
�ߴļ���
$$ \begin{array}{ll}
  {\cal F}_n = {\cal U}_n^{-1} {\cal F}_{n-1} {\cal U}_n 
& (n=1,2, \ldots)
   \end{array} \leqno(2.10)
$$
��������. ������, 
$$
 |{\cal F}_n - {\cal F}_{\infty}| < \delta_n = \delta_{n-1}^{\kappa} .   
   \leqno(2.11)
$$
${\cal F}_n$��ɽ������ɸ��$x^{(n)} = \xi; y^{(n)} = \eta$�Ƚ񤯤�, 
${\cal F}_n$��
$$
  |\eta - \omega| < \displaystyle \frac{1}{M_n} = \displaystyle 
\frac{1}{M_{n-1}^{\kappa}}  \leqno(2.12)
$$
�����������. ���ξ�, (2.7')�ˤ���, $x^{(n-1)}, y^{(n-1)}$����
$x^{(n)}, y^{(n)}$�ؤκ�ɸ�Ѵ�${\cal U}_n$�Ϲ��������˶ᤤ. ���Τ��Ȥ�
$$
  |{\cal U}_n - I| < \displaystyle \frac{1}{N_n} = \displaystyle 
\frac{1}{N_{n-1}^{\kappa}}  \leqno(2.13)
$$
��ɽ������. ������(2.11)��(2.12)��, �߼�$\eta = \omega$��, ����
${\cal F}_n$�����ʲ�ž$\xi_1 = \xi + \omega$��ɽ��${\cal F}_{\infty}$��
��«���뤳�Ȥ�ɽ�����Ƥ���. �Ǹ��, $x^{(n)}, y^{(n)}$�ȵ��ɸ
$x=x^{(0)}, y=y^{(0)}$�Ȥδط���
$$
  {\cal W}_n = {\cal U}_1 {\cal U}_2 \cdots {\cal U}_n
$$
�����
$$
  {\cal F}_n = {\cal W}_n^{-1} {\cal F}_0 {\cal W}_n .
$$
��Ϳ������. 

����${\cal W}_n$��$|y^{(n)} - \omega| < \displaystyle \frac{1}{M_n}$��
�������������, ���αߴĤ򶹤��ߴ�
$|y-\omega|< \displaystyle \frac{1}{M_0}$�˼̤�. ${\cal W}_n$��
$$ \begin{array}{lcl}
\left\{ 
   \begin{array}{ll}
  x = \xi + p_n(\xi,\eta) \\
  y = \eta + q_n(\xi,\eta)
   \end{array} \right.  & {\rm with} & 
\xi = x^{(n)}, \eta = y^{(n)}
   \end{array}
\leqno(2.14)
$$
�η��˽񤤤����, $p_n(\xi,\omega), q_n(\xi,\omega)$����Ӥ��������ʬ��
���ͤˤ���ؿ�$p(\xi),q(\xi)$�˼�«���뤳�Ȥ򼨤��ͤФʤ�ʤ�. ���ΤȤ�
$$ \begin{array}{ll}
  x = \xi + p(\xi), & y = \omega + q(\xi)
   \end{array}
$$
������1�����Ѷ�����ɽ��. 

$p_n, q_n$�μ�«�����Τ�Τ�
$$
  |p_n| + |q_n| < \sum_{\nu=1}^{n} 
(|u_{\nu}| + |v_{\nu}|) < \displaystyle \sum_{\nu=1}^n 
\frac{1}{N_{\nu}}
$$
��ꤿ�����ˤ�������. 

��ʬ�礭��$N_0$���Ф���, ���դ�$\varepsilon$��꾮�����Ǥ���. $p_n,q_n$
����ʬ�μ�«����������뤿���, ${\cal U}_n$�Υ䥳�ӹ��󼰤�
$$
 U_n = \left( 
  \begin{array}{cc}
    1+u_{\xi} & u_{\eta} \\
     v_{\xi} & 1 + v_{\eta}
  \end{array}
\right) , 
$$
�Ƚ�. �����, ((2.7')���Ф���)(2.13)���, 
$$
  |U_n - I| <\displaystyle \frac{1}{N_n}
$$
������. ������$|V|$�Ϲ���$V$�����Ǥ������ͤκ����ͤ�ɽ��. ��§�ˤ��, 
${\cal W}_n$�Υ䥳�ӹ����
$$
  W_n = U_1 U_2 \cdots U_n
$$
��Ϳ������. ���դϹ���ξ軻�Ǥ���. $p_n,q_n$����ʬ�μ�«����
$W_n$�μ�«��, �Ĥޤ������Ѥμ�«����Ʊ�ͤǤ���. 
(2.13)���ˤ��й���$U_{\nu}$��
$$ \begin{array}{lcl}
\displaystyle 
  I + \frac{1}{N_{\nu}} & {\rm ������} & 
J = \left( 
  \begin{array}{cc}
     1 & 1 \\
     1 & 1
  \end{array}     
\right)
   \end{array}
$$
�ˤ�ä�majorize����뤫��, ����(commutative product)
$$ \begin{array}{lcl}
\displaystyle 
 \prod^{\infty} \left( I + \frac{1}{N_{\nu}} J \right)
& {\rm �ޤ���} & \displaystyle
 \prod_{\nu=1}^{\infty} \exp \frac{1}{N_{\nu}} J 
   \end{array}
$$
�μ�«�����������н�ʬ�Ǥ���. ����μ�«�������餫�Ǥ���. 
���ξ�, ���Ѥ��
$$ \begin{array}{rl}
 |W_n - I| \leq & \displaystyle 
\left| \prod_{\nu=1}^{\infty} \left( 
1 + \frac{1}{N_{\nu}} J \right) - I \right| \leq \displaystyle 
\left| \exp \left( \sum_{\nu=1}^{\infty}  
\frac{1}{N_{\nu}} J \right) - I \right| \\
 \leq & \displaystyle 
\exp 2 \sum_{\nu=1}^{\infty} \frac{1}{N_{\nu}} - 1 \leq \displaystyle 
\exp \frac{c_2}{N_0} - 1 \leq \displaystyle 
\frac{c_3}{N_0} . 
   \end{array}
$$
������. $N_0$��ʬ�礭����뤳�Ȥˤ��, 
$$
  |W_n - I| < \varepsilon
$$
��ã���Ǥ���. ���줫��$s=1$�ξ���(1.5)��������. 

�ʾ�Τ��Ȥ���,($s=1, \alpha(r)=r$�����̤ξ���)����1�ξ���������2��
�����˵��夵���. ����2�ξ����Τ����3��Ǥ����Ĥ���ƻ��Ω�Ƥ�Ÿ����, 
������4��ǹԤ�. 

\vspace{0.2cm}
\begin{center}
{\bf 3. ��ʬ������; ʿ�경������}
\end{center}

\noindent
a) ����2���Ѵ�(2.7)���ۤ���Τ˺�ʬ������
$$
  w(x+\omega) - w(x) = h(x)  \leqno(3.1)
$$
��򤯤��Ȥ�����Ū�˽��פǤ���. ������, $w, h$�ϼ���$2\pi$, ʿ�ѥ�����
�ؿ��Ǥ���. ��$\omega$�Ͼ��(2.3')�����������Ȥ����ꤵ��Ƥ���: 
$$
 \left| \omega - \frac{2\pi m}{n} \right| \geq 
\varepsilon n^{-\tau + 1/2} \leqno(3.1)
$$
������$\tau = \sigma - 1 \geq 3$�������Ǥ���. 


\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 1.} $h$��$\tau \geq 3$��Ϣ³��ʬ����Ƥ�, (3.1)����Ϣ³���
����. ���β��$w = Lh$�Ƚ񤯤�, $c$����������Ȥ���
$$
  |Lh|_0 \leq \frac{c}{\varepsilon} |h|_{\tau}  \eqno(3.2)
$$
������Ω��. $h$������ξ��ˤ�$Lh=0$���������. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. ����¿�༰
$$
  h = \sum_{k \neq 0} h_k e^{ikx}
$$
�β��
$$
  w = \sum_{k \neq 0} \frac{h_k}{e^{ik\omega}-1}e^{ikx} \leqno(3.3)
$$
��Ϳ������. ������(3.2)����ա��ꥨ�����˴ؤ��븫�Ѥ�꤬���������. 
���ʤ��, $h$��$\tau$��Ϣ³��ʬ��ǽ�Ǥ��뤫��, 
$$ \begin{array}{ll}
  |h_k| \leq |k|^{-\tau} |h|_{\tau}  &  (k \neq 0) 
   \end{array}
$$
������Ω��. ���(3.1')�Ͼ�ʬ����Ф���
$$
 |e^{ik\omega} - 1| = \displaystyle 2 \sin 
|\frac{\omega k- 2\pi l}{2}| \geq \displaystyle 
\frac{2}{\pi} \cdot \varepsilon |k|^{-\tau+3/2} .
$$
�Ǥ��뤳�Ȥ��̣����. �椨��
$$
  |\frac{h_k}{e^{ik\omega}-1}| \leq \displaystyle 
\frac{\pi}{2 \varepsilon} |k|^{-3/2} |h|_{\tau} ,
$$
�Ǥ���, ��������(3.3)���м�«��, 
$$
  c = \pi \sum_{k=1}^{\infty} k^{-3/2} .
$$
�Ȥ���(3.2)�Ͼ������줿. \hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
$h(x,y)$��2�ѿ��ؿ��Ǥ��ä�, $x$�˴ؤ�����$2\pi$��ʿ�Ѥ������Ǥ����, 
��ʬ������
$$
  w(x+\omega,y) - w(x,y) = h(x,y) 
$$
��Ʊ�ͤˤ��Ʋ�, ����1����, ��$w = Lh$���Ф��Ƹ��Ѥ��. 
$$
  |Lh(x,y)|_0 \leq \displaystyle \frac{c}{\varepsilon} 
|D_x^{\tau}h|_0  \leqno(3.4)
$$
��������. ������, ���դ�¸�ߤ�, Ϣ³�Ǥ��뤳�Ȥ��ꤹ��. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
b) {\bf ʿ�경������}([11]����). 2�ѿ��ؿ����Ф���ʿ�경�����Ǥ�Ƴ��
����. �����Ǥ�դδؿ�$h(x,y)$���餫�ʴؿ��ˤ�äƶ������. 
������, ���κ����Ǥ���ħ��, �Ϥ��ᤫ���餫�ʴؿ�$h(x,y)$����������
�����٤��⤤���ȤǤ���. ��������������2��ɽ�������. 

$h(x,y)$�Ϥ����ΰ����������Ϣ³�ؿ��Ǥ���Ȥ���. �����ΰ�Ȥ���
̵����
$$
a < y < b
$$
������. $x$���������$y$�����ؤζ�����ٹ���̡��ˤ��Ƥ���, �礭��
�ѥ�᡼��$N,M > 1$��¬�뤳�Ȥˤ���. ʿ�경���줿�ؿ�$T_{NM}h$��
��äȶ�����
$$
  \alpha = a + \frac{1}{M}< y < b - \frac{1}{M} = \beta
$$
�ˤ�����
$$
 T_{NM} h(x,y) = \displaystyle { \int \int }_{a < y' < b} 
\chi_{NM}(x-x', y-y') h(x',y') dx'dy' .  \leqno(3.5)
$$
�ˤ�ä��������뤳�Ȥˤʤ�. ������$2M^{-1} < b - a$�Ȳ��ꤹ��. 
��ʬ��$\chi_{NM}$��
$$
 \chi_{NM}(x,y) = N \chi(Nx) \cdot M \chi(My)
$$
�η��˼��. ������$\chi(x)$����ʬ�����٤�Ϣ³�ʴؿ��Ǥ��ä�
$$ \begin{array}{lcl}
  \chi(x) \equiv 0 & {\rm for} & |x| > 1 ,  
   \end{array}   \leqno(3.6)
$$
�����
$$
\displaystyle
  \int_{-\infty}^{+\infty} x^k \chi(x) dx = \left\{ 
    \begin{array}{lcl}
     1 & {\rm for} & k=0 \\
     0 & {\rm for} & 0 < k < l
    \end{array}
\right.   \leqno(3.7)
$$
��������. ������$l$�ϸ��ꤷ�����Ǥ���. ��������, $T_{NM}$��$l$�˰�¸����. 
$l$��(2.4)�Τ褦�˼��. 

���(3.6)�ˤ���, $|x| > N^{-1}$�����$|y| > M^{-1}$�ΤȤ�$\chi_{NM}$��
�����ˤʤ�. �������ä�, (3.5)�����ˤ�����, ��ʬ��
$\chi_{NM}(x-x', y-y')$����ξ�ǹԤ��٤��Ǥ���. $\alpha < y < \beta$��
���뤫��, ���$a< y' < b$�˴ޤޤ��. 
�椨�˿�������ʬ�ѿ���Ƴ������, (3.5)��
$$
 T_{NM} h(x,y) = \displaystyle { \int \int }_{|\xi|<1, |\eta|<1} 
\chi_{11}(\xi,\eta) h(x - \frac{\xi}{N}, y - \frac{\eta}{M}) d\xi d\eta .
  \leqno(3.8)
$$
�η��˽񤯤��Ȥ��Ǥ���. 

���(3.7)�ϼ���(degree)��¿�༰$p(x,y)$����¸���뤳�Ȥ��̣����. ���ʤ�
��, 
$$
  T_{NM} p(x,y) = p(x,y) .  \leqno(3.9)
$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 2.} $h(x,y)$��$a < y < b$�ˤ�����Ϣ³�Ǥ����, 
$\alpha < y < \beta$�ˤ�����
$$  \begin{array}{lcl}
 |D_x^{Q_1}D_y^{Q_2}T_{NM}h| \leq c_{\rho} N^{Q_1} M^{Q_2} 
\sup_{a \leq y \leq b} |h| & {\rm for \ all} & \rho_1, \rho_2
    \end{array}  \leqno(3.10)
$$
�Ǥ���. ������, $c_{\rho}$�ϴؿ�$\chi$�����$\rho_1, rho_2$�˰�¸����. 
$h(x,y)$��$l$��Ϣ³��ʬ��ǽ�Ǥ����, $\alpha < y < \beta$�ˤ�����
$$
|h - T_{NM}h| \leq c \sup_{\rho_1+\rho_2=l, a < y < b} 
N^{-Q_1} M^{-Q_2} |D_x^{Q_1}D_y^{Q_2}h|   \leqno(3.11) 
$$
�Ǥ���. ������, ���$c$�ϴؿ�$\chi(x)$�˰ͤ뤬, $M, N$�ˤϰͤ�ʤ�. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. (3.10)�ξ�����(3.5)��ꤿ�����ˤ�������. ���ʤ��, 
$$ \begin{array}{rl}
|D_x^{Q_1}D_y^{Q_2}T_{NM}h(x,y)| \leq & \displaystyle 
\sup_{a < y < b} 
|h| \int \int |D_x^{Q_1} D_y^{Q_2} \chi_{NM}(x-x',y-y')| dx' dy' \\
 \leq & \displaystyle \sup_{a < y < b} 
|h| N^{Q_1} M^{Q_2} \int |D_x^{Q_1}\chi(x)|dx 
\int |D_y^{Q_2} \chi(y)| dy .
   \end{array}
$$

(3.11)�ξ����Τ���˼�(3.8)��Ȥ�. 
$\displaystyle h(x - \frac{\xi}{n}, y - \frac{\eta}{M})$��
$\xi = \eta =0$�ˤ����Ƽ���$< l$�ޤǥƥ��顼Ÿ������. 
$T_{NM}$�ϼ���$< l$��¿�༰����¸���뤫�� 
$\displaystyle h(x - \frac{\xi}{n}, y - \frac{\eta}{M})$�λ�;��
$\tau_l(x,y,\xi,\eta)$�Τߤ�$(I - T_{NM})h$�˴�Ϳ����. 
���ι��
$$
  |r_1(x,y,\xi,\eta)| \leq \displaystyle \sup_{\rho_1+\rho_2=l, x',y'} 
2 \frac{|\xi^{Q_1}\eta^{Q_2}|}{N^{Q_1}M^{Q_2}} 
| D_x^{Q_1} D_y^{Q_2}h(x',y')| , 
$$
�ˤ�äƸ��Ѥ�뤳�Ȥ��Ǥ���. 
������$|x'-x| < \displaystyle\frac{1}{N}$, 
$|y'-y|< \displaystyle \frac{1}{M}$�����$|\xi|, |\eta|<1$�Ǥ���. 
�椨��(3.8)�����, 
$$
  |(I - T_{NM})h(x,y)| \leq \displaystyle 
\sup_{\rho_1+\rho_2=l, x',y'} N^{-Q_1}M^{-Q_2} 
| D_x^{Q_1} D_y^{Q_2}h(x',y')| c , 
$$
������. ������
$$
  c = \displaystyle 2 \sup_{\rho_1+\rho_2=l} \int \int 
|\xi^{Q_1} \eta^{Q_2} \chi_{11}(\xi,\eta)| d\xi d\eta . 
$$
�Ǥ���. ���������2���������줿. \hfill $\Box$ 

\vspace{0.3cm}
���Ѥ��(3.2)�����(3.10)����Ȥ��ưʲ���2�Ĥ�󤲤褦. 
$\alpha < y < \beta$���Ф���$\rho_1=\tau, \rho_2=0$�Ȥ���
$$
 |L T_{NM} h(x,y)| \leq \displaystyle \frac{c}{\varepsilon} 
|D_x^{\tau} T_{NM} h|_0 \leq \displaystyle 
c_Q c \frac{N^{\tau}}{\varepsilon} |h|_0
$$
������Ω��. �ޤ�
$$ \begin{array}{ll}
  N > \varepsilon^{-1}, & \sigma = \tau + 1 
   \end{array}
$$
�����٤�, 
$$
   |L T_{NM} h| \leq \displaystyle 
c_Q c N^{\tau+1}|h|_0 = c_q c N^{\sigma} |h|_0  .   \leqno(3.12)
$$
������Ω��. Ʊ�ͤ�
$$
  |L^2 T_{NM} h| \leq c_q c^2 N^{2\sigma} |h|_0 . \leqno(3.13)
$$
������Ω��. $T_{NM}h$��$h$���Ȥ�꾮�����ΰ�ǤΤ��������Ƥ��뤳�Ȥ�
����ƻ�Ŧ���Ƥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
c) �������������, ����(3.6), (3.7)����Ĵؿ�$\chi(x)$�ι���ˡ�򼨤���
����. $\varphi(x)$��Ǥ�դ�$C^{\infty}$�ؿ��Ȥ�, $|x|> \frac{1}{2}$��
����, $|x|<\frac{1}{2}$�����Ǥ���Ȥ���. ���ΤȤ�$l$�Ĥ����
$a_1, \ldots, a_l$�����
$$ \begin{array}{lcl}
  \chi(x) = \displaystyle \sum_{\lambda=1}^{l} a_{\lambda}
\varphi(x - \delta_{\lambda}) & {\rm with} & 
\delta_{\lambda} = \displaystyle \frac{\lambda}{2l} 
   \end{array}
$$
���������줿��������Ĥ褦�ˤǤ���. ���$a_1, \ldots, a_l$�Ϲ��󼰤�
�����Ǥʤ�������(3.7)�ˤ�ä���������. ���ʤ��, �����Ǥʤ��Ȥ���
$$
  \int_{-\infty}^{+\infty} x^{\mu} \varphi(x - \delta_{\lambda}) dx 
=   \int_{-\infty}^{+\infty} (x+\delta_{\lambda})^{\mu} \varphi(x) dx 
$$
��������������礬�����ˤʤ������. �Ĥޤ�, ����$< l$��¿�༰
$p(x) \not\equiv 0$��
$$ \begin{array}{lr}
  \int_{-\infty}^{+\infty} p(x+\delta_{\lambda}) \varphi(x) dx = 0, &  
  \lambda = 1, \ldots, l . 
   \end{array}
$$ 
�ʤ��Τ�¸�ߤ���Ϥ��Ǥ���. 
$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} p(x+\delta) \varphi(x) dx$
��$p$��Ʊ��������¿�༰�Ǥ��뤫��, $l$��̤���Υ������������ʤ�. 
����Ǽ�ĥ���������줿. 


\vspace{0.2cm}
\begin{center}
{\bf 4. ���� 2�ξ���}
\end{center}

\noindent
a) $u,v$�ι���

����2��������뤿���, �դ����ӱߴļ���
$$
\left\{ 
  \begin{array}{lcl}
   x_1 = x + y + f(x,y) & {\rm in} & |y - \omega| < 
\displaystyle \frac{1}{M_-} \\
   y_1 = y \hspace{0.77cm} + g(x,y)
  \end{array}
\right.   \leqno(4.1)
$$
��ͤ�, 
$$
\left\{ 
  \begin{array}{l}
   x = \xi + u(\xi,\eta) \\
   y = \eta + v(\xi,\eta)
  \end{array}
\right.   
$$
�ˤ�ä��Ѵ����ƿ���������
$$
\left\{ 
  \begin{array}{lcl}
   \xi_1 = \xi + \eta + \varphi(\xi,\eta) \\
   \eta_1 =\eta  \hspace{0.72cm} + \psi(\xi,\eta)
  \end{array}
\right.  
$$
�˻��äƹԤ�����. �����������Ϥͤ�������˶ᤤ. 

�ޤ�$u,v$�ˤĤ��Ƥΰʲ��ι���ˡ��motivate����. 
$$
\left\{ 
  \begin{array}{lcr}
   \xi + \eta + \varphi + u_1 & = & \xi + u + \eta + v + f(\xi+u,\eta+v) \\
   \eta + \psi + v_1 & = & \eta + v  + g(\xi+u,\eta+v)
  \end{array}
\right.  
$$
�����Ǵ�ñ�Τ���$u_1 = u(\xi_1,\eta_1); v_1 = v(\xi_1,\eta_1)$�Ƚ񤤤�. 
$\varphi=\psi=0$���֤����Ȥ�����������ʲ��Τ褦�ʰ�̣������������. 
���ʤ��, $f,g,u,v$�����$|\eta-\omega|$��$\lambda$��Ʊ�����٤��礭��
�Ǥ���ȹͤ�, $\lambda^2$���٤��礭�����̤�ΤƤ�. ���Ȥ���, 
$u_1$��$u(\xi+\omega,\eta)$���֤�������. 
$|u_1 - u(\xi+\omega, \eta)| \leq |u|_1 \cdot |\eta-\omega| + \cdots$
�Ǥ���, �����$\lambda$��2���ǥ����˸���������, ����֤������Ϥ���������
�ץ����������̷�⤷�ʤ�. �����������ˤ��
$$ \begin{array}{l}
   u(\xi+\omega,\eta) - u(\xi,\eta) = v + f(\xi,\eta) \\
   v(\xi+\omega,\eta) - v(\xi,\eta) = g(\xi,\eta) \\
  \end{array}
$$
��Ƴ�����. ���κ�ʬ�������Ͼ�ʬ���Ƴ������. ����μ���$g$��ʿ���ͤ�
�����ΤȤ��Τ߲򤱤뤳�Ȥ��Ŧ���Ƥ���. �ޤ�, �ؿ�$f, g$����ʬ���ʤ��ʤ�
���Ȥ��껦���뤿���Ŭ���˳�餫�ˤ���뤳�Ȥϰʲ��ε����ˤȤä�
���פǤ���. 

������ͳ��, $u,v$���
$$ \left\{ 
  \begin{array}{l}
   u(\xi+\omega,\eta) - u(\xi,\eta) = v + Tf(\xi,\eta); [u] = 0 \\
   v(\xi+\omega,\eta) - v(\xi,\eta) = T(g - [g]) . 
  \end{array}
\right.  \leqno(4.5)
$$
�β�Ȥ��Ƥ������������. $T$������κ�����$T_{NM}$�Τ��ȤǤ���, 
$[ \cdot ]$�ϳ��ѿ��˴ؤ���ؿ���ʿ���ͤ�ɽ��. (4.5)����켰��ʿ���ͤ���
$$
  [v] + [Tf] = 0
$$
�������, ������
$$
  v = L(Tg) + [v] = L(Tg) - [Tf] . 
$$
�Ǥ���. (4.5)����켰�α��դ�ʿ���ͤϥ����Ǥ��뤫��, 
$$
  u = L(v + Tf) = L^2 Tg + LT f . 
$$
�Ǥ��뤳�Ȥ��狼��. 
�ط���
$$
\left\{ 
  \begin{array}{l}
   u = L^2 Tg + LT f  \\
   v = LT g - [Tf]
  \end{array}
\right.   
$$
�ϱߴ�
$$
  |\eta - \omega| < \displaystyle \frac{1}{M_-} - \frac{1}{M} . 
$$
���$u,v$���������. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
b) $u,v$�θ��Ѥ��. 

(3.12), (3.13)����Ӳ���(2.6)���
$$
 |u| + |v| \leq c_3 N^{2\sigma} (|f|_0 + |g|_0) < 
c_3 N^{2\sigma} \delta_- = c_3 N^{2\sigma} M^{-2}    \leqno(4.7)
$$
����������, Ʊ�ͤ�
$$
\left\{ 
  \begin{array}{l}
   |D_{\xi}u| + |D_{\xi}v| \leq c_4N^{2\sigma+1}M^{-2} \leq 
c_4 N^{2\sigma} M^{-1}\\
   |D_{\eta}u| + |D_{\eta}v| \leq c_4 N^{2\sigma} M^{-1} .
  \end{array}
\right.   \leqno(4.7')
$$
���Ф�. (2.4)���$\nu > 2\sigma + 1$�Ǥ��뤫��
$$
\left\{ 
  \begin{array}{l}
   |u| + |v| \leq \displaystyle \frac{1}{NM} \\
   |u|_1 + |v|_1 \leq \displaystyle \frac{1}{N} .
  \end{array}
\right.   \leqno(4.8)
$$
��������. �����(2.7')�������줿. 

��������, $u,v$�ϱߴ�
$$ \begin{array}{lcl}
|\eta - \omega| < \displaystyle \frac{1}{M_-} - \frac{1}{M} > 
\displaystyle \frac{3}{M} & \left( {\rm if} \ \  M_0 > 
\displaystyle 
4^{\displaystyle \frac{1}{\kappa-1}} \right)
   \end{array}
$$
����������, ������(4.7)����­����. ���ؿ��������, (4.2)�β��Ǥ�
$|\eta - \omega| < \displaystyle \frac{3}{M}$������, ���ʤ��Ȥ�
�ߴ�
$$
  |y - \omega| < \frac{2}{M}
$$
����ʤ����. �椨��(4.2)�εռ�����$|y - \omega| < \displaystyle \frac{2}{M}$
��ǰ�դ��������, ������Ϣ³��ʬ��ǽ�Ǥ���(������$M \geq M_0$����ʬ��
�������Ф�Ƥ���Ȥ���). 

���Τ��Ȥ���, ����(4.3)��$|\eta - \omega| < \displaystyle \frac{1}{M}$
������������ʬ��ǽ�Ǥ��뤳�Ȥ��狼��. ���ʤ��, (4.2)�Ϥ��αߴĤ�
$$
  |y - \omega| \leq |\eta - \omega| + |v| < \displaystyle 
\frac{1}{M} + \frac{1}{MN}
$$
����˼̤�, (4.1)��
$$
 |y_1 - \omega| < |y - \omega| + \delta_- < \displaystyle 
\frac{1}{M} + \frac{1}{MN} + \frac{1}{M^2}
$$
����˼̤�. �����Ǥ�(4.2)�εդ��������Ƥ���. �椨��(4.3)��
$|\eta - \omega| < \displaystyle \frac{1}{M}$����������, ��ʬ��ǽ�Ǥ���. 


\vspace{0.3cm}
\noindent
c) $|\varphi| + |\psi|$�θ��Ѥ��. 

$|\varphi|$, $|\psi|$��$|\eta - \omega| < \displaystyle \frac{1}{M}$���
���Ѥ�뤿���, �ǽ�˻�Ŧ���Ƥ��������Τ�, ����ˤ��, ��$y=����$��
�ᤤ�ɤ��Ķ���, ���Ȥ���$\eta = \eta^{\circ}$��������
$$
  \eta_1 = \eta^0 + \psi(\xi, \eta^0)
$$
��$\eta = \eta^{\circ}$�ȸ���, ���ʤ��, $\psi(\xi, \eta^{\circ})$��
���ʤ��Ȥ⥼������ҤȤĻ���. �����
$$ \begin{array}{rl}
  \sup_{\xi}|\psi(\xi,\eta^0)| \leq & {\rm osc}_{\xi} \psi(\xi,\eta^0) \\
    \leq & 2 \sup_{\xi} |\psi(\xi,\eta^0) + w(\eta^0)|
   \end{array}
$$
�Ǥ��뤳�Ȥ��̣����. ������$w(\eta)$��$\eta$�Τߤ�Ǥ�դδؿ��Ǥ���, 
${\rm oso}_{\xi} \psi(\xi, \eta^{\circ})$��$\psi$�ο�ư��ɽ��. 
$w(\eta) = -[Tg(\xi,\eta)]$�����֤��Ȥˤ���. 

���ΤȤ�(4.4)���, 
$$
\frac{1}{2} |\psi(\xi,\eta)|_0 \leq |\psi(\xi,\eta) - [Tg(\xi,\eta)]|_0 
= |v(\xi,\eta) - v(\xi_1,\eta_1) + g(\xi+u, \eta+v) - [Tg]|_0
$$
�Ǥ���. $v$��(4.5)�����������Ȥ�Ȥ���, 
$$ \begin{array}{rl}
\displaystyle
\frac{1}{2} |\psi(\xi,\eta)|_0 \leq & 
|v(\xi+\omega,\eta) - v(\xi_1,\eta_1)|_0 + 
|g(\xi+u, \eta+v) - Tg|_0 \\
\leq & |D_{\xi} v|_0 |\eta - \omega + \varphi|_0 + 
       |D_{\eta} v|_0 |\psi|_0 + 
|Tg(\xi+u, \eta+v) - Tg|_0 \\
 & \displaystyle  
\hspace*{1cm} + \sup_{|y - \omega| < \frac{1}{M_-} - \frac{1}{M} }
                        |(I - T)g(x,y)|
   \end{array}
$$
�Ǥ���. (4.7')���θ�����, 
$$ \begin{array}{rl}
\displaystyle
\frac{1}{2} |\psi|_0 \leq & 
c_4 N^{2\sigma+1}M^{-2} |\eta - \omega| + 
|v|_1(|\varphi|_0 + |\psi|_0) + |Tg(x,y)|_1(|u|_0+|v|_0) \\
 & \displaystyle  
\hspace*{3.6cm} +  |(I - T)g(x,y)|_0
   \end{array}
$$
������. �Ǹ��2�Ĥι�ˤ��ѿ�$x,y$�򼨤��Ƥ�����. ���ι�Ǥ��礭������
�ߴ�$|y - \omega| < \displaystyle \frac{1}{M_-} - \frac{1}{M}$�ˤ錄��
�������. 

$\varphi$�˴ؤ��Ƥ�(4.4)�����(4.5)����켰���Ʊ�ͤθ��Ѥ�������. ����
���, 2�Ĥδط����򺹤�������
$$
  \varphi = u(\xi+\omega,\eta) - u(\xi_1,\eta_1) + 
f(\xi+u,\eta+v) - Tf
$$
�����
$$ \begin{array}{rl}
\displaystyle
 |\varphi|_0 \leq & 
c_4 N^{2\sigma+1}M^{-2} |\eta - \omega| + 
|u|_1(|\varphi|_0 + |\psi|_0) + |Tf(x,y)|_1(|u|_0+|v|_0) \\
 & \displaystyle  
\hspace*{3.6cm} +  |(I - T)f(x,y)|_0
   \end{array}
$$
������Ω��. ���δط���$|\psi|_0$�θ��Ѥ��˲ä�, (4.7)���θ�����, 
$$ \begin{array}{rl}
\displaystyle
|\varphi|_0 + |\psi|_0 \leq & 
3c_4 N^{2\sigma+1}M^{-3} |\eta - \omega| +
(|u|_1 + 2|v|_1)(|\varphi|_0 + |\psi|_0) \\
 & \displaystyle 
\hspace*{3.84cm} + (2|Tg(x,y)|_1 + |Tf|_1c_3N^{2\sigma}M^{-2}) \\
  & \displaystyle 
\hspace*{3.84cm} +  |(I - T)g|_0  +  |(I - T)f|_0
   \end{array}
$$
�Ȥʤ�. ������̵��Ǥ���. �Ȥ����Τ�, (4.8)���$N>4$���Ф���
 $|u|_1 + 2|v|_1 < \displaystyle \frac{2}{N} < \displaystyle \frac{1}{2}$ 
�Ǥ���, ���ι�Ϻ��դ˰ܤ����Ȥ��Ǥ��뤫��Ǥ���. 
��$|Tf|_1$������2�ˤ��
$$
  |Tf|_1 \leq c_5 M |f|_0 < \displaystyle \frac{c_5}{M}  .
$$
�ȸ��Ѥ�뤳�Ȥ��Ǥ���. $g$�ˤĤ��Ƥ�Ʊ�ͤʸ��Ѥ���Ԥ���
$$ \begin{array}{l}
\displaystyle
|\varphi|_0 + |\psi|_0 \leq 
c_6 \{ N^{2\sigma+1}M^{-3} + |(I - T)g|_0  +  |(I - T)f|_0 \}
   \end{array}
$$
�Ǥ��뤳�Ȥ��狼��. 

����(2.6')������2��Ȥä�
$$ \begin{array}{rl}
\displaystyle
|(I - T)g|_0  +  |(I - T)f|_0 \leq & \displaystyle
c_7 \sup_{\rho_1 + \rho_2 = l} 
(N^{Q_1} M^{-Q_2} N_-^{Q_1+1} M_-^{Q_1})\\
\leq & \displaystyle 
c_7 N_- \sup_{\rho_1 + \rho_2 = l} 
\left( \frac{N_-}{N} \right)^{Q_1} 
\left( \frac{M_-}{M} \right)^{Q_2} = \displaystyle 
c_7 N_- \left( \frac{N_-}{N} \right)^{l} 
= \displaystyle c_7 N_-^{1+(1-\kappa)l}  
   \end{array}
$$
������. �������ä�
$$
  |\varphi|_0 + |\psi|_0 \leq 
c_8 \{ N^{2\sigma+1} M^{-3} + N_-^{1+(1-\kappa)l} \}. \leqno(4.9)
$$
�����Ǵط�(2.4)��Ȥ�. �����
$$
  c_8 N^{2\sigma+1}M^{-3} = \displaystyle 
c_8 M^{\displaystyle \frac{2\sigma+1}{\nu} - 3} < \displaystyle 
\frac{1}{2}M^{2\kappa} . 
$$
�Ǥ��뤳�Ȥ�, $M_0$����ʬ�礭��
$$
\nu > \displaystyle \frac{2\sigma+1}{3 - 2\kappa} = 6\sigma+3
\leqno(4.10)
$$
�Ǥ���¤�����Ω��. (4.10)��(2.4)����Ф�. Ʊ�ͤ�
$$
  c_8 N_-^{1 + (1-\kappa)l} < \displaystyle 
\frac{1}{2}  M^{-2\kappa} = \displaystyle 
\frac{1}{2}N_-^{-2\kappa^2 \nu} . 
$$
��
$$
  (\kappa-1)l  > 1 + 2 \kappa^2 \nu  \leqno(4.11)
$$
�Ǥ���¤�����Ω��. ���μ���(2.4)����Ф�. �椨��(4.9)����
$$
  |\varphi|_0 + |\psi|_0 \leq M^{-2\kappa} = \delta 
$$
��Ƴ�����. �����(2.9)���������줿. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
d) �ⳬ��ʬ�θ��Ѥ��. 

�Ǹ��, (2.9')��������뤿���, �������ѿ�
$$ \begin{array}{ll}
  \hat{x} = N x, & \hat{\xi} = N \xi, \\
  \hat{y} = M y, & \hat{\eta} = M \eta .
   \end{array}
$$
��Ƴ������. ����(4.1)��
$$ \left\{ 
   \begin{array}{ll}
  \hat{x}_1 = \displaystyle 
\hat{x} + \frac{N}{M} \hat{y} + \hat{f}(\hat{x}, \hat{y})\\
  \hat{y}_1 = \hat{y} \hspace{1.3cm} + \hat{g}(\hat{x},\hat{y})  .
   \end{array}
\right. \leqno(4.12)
$$
�η��ˤʤ�. ������
$$ \begin{array}{ll}
  \hat{f} = N f, & \hat{g} = M g
   \end{array}
$$

�ޤ�, $\hat{f},\hat{g}$��$\hat{x},\hat{y}$�˴ؤ��볬��$l$�ޤǤ���ʬ��
$N,M$�˰ͤ�ʤ�����ˤ�äƸ��Ѥ�뤳�Ȥ��Ǥ��뤳�Ȥ򼨤�����. 

���Τ����, ����(2.6')��Ȥ�, $\rho_1+\rho_2=l$���Ф���, 
$$ \begin{array}{rl}
 |D_{\hat{x}}^{Q_1}D_{\hat{y}}^{Q_2} Nf| + 
 |D_{\hat{x}}^{Q_1}D_{\hat{y}}^{Q_2} Mg| \leq \displaystyle
N_- \frac{M}{M_-}\cdot \left( \frac{N_-}{N} \right)^{Q_1}
\left( \frac{M_-}{M} \right)^{Q_2} \leq &  \displaystyle
N_- \frac{M}{M_-} \left( \frac{N_-}{N} \right)^l \\
= & N_-^{1 + (1-kappa)(l-\nu)} \leq 1
   \end{array}
$$
������. �ʤ��ʤ�, (4.11)���ؿ����������Ǥ���. ����, �ΰ�
$|y - \omega| < \displaystyle \frac{1}{M_-}$�ˤ�����
$$
  |Nf| + |Mg| \leq M \cdot \delta_- = \displaystyle \frac{1}{M} \leq 1
$$
�Ǥ���. �椨�˴ؿ�$\hat{f}(\hat{x},\hat{y}), \hat{g}(\hat{x},\hat{y})$
�Ϥ��٤Ƥμ¿�$\hat{x}$���Ф����������, 
$$
  |\hat{y} - M\omega| < \displaystyle \frac{M}{M_-} > 1 , 
$$
���ͭ���Ǥ��ä�1��꾮����, ����$l$����ʬ�Ϥ��٤�ͭ���Ǥ��ä�1��꾮��
��. ���Τ��Ȥ���, (ʿ���������򷫤��֤��Ȥä�)����$l$�ޤǤΤ��٤Ƥ���ʬ
��
$$
  |\hat{f}(\hat{x}, \hat{y})|_l + |\hat{g}(\hat{x}, \hat{y})|_l < c_0 
$$
�ˤ�äƸ��Ѥ����. �����$l$�Τߤ˰�¸����. 

�椨�˼���(4.12), �����${\hat{\cal F}}$�Ȥ�񤯤��Ȥˤ���, ��
$\hat{x}_1 = F(\hat{x}, \hat{y}), \hat{y}_1 = G(\hat{x},\hat{y})$�η���
�񤯤�, 
$$
  |F|_l + |G|_l < c_{10}
$$
������Ω��. û���񤱤�, $|\hat{\cal F}|_1 < c_{10}$�Ǥ���. 

Ʊ�ͤʸ��Ѥ���$\hat{\cal U}$�ˤĤ��Ƥ�Ǥ���. ���ʤ��, 
$$ \begin{array}{ll}
  \hat{x} = \hat{\xi} + \hat{u} (\hat{\xi}, \hat{\eta}) : & 
  \hat{y} = \hat{\eta} + \hat{v} (\hat{\xi}, \hat{\eta}) 
   \end{array}
$$
������$\hat{u} = Nu, \hat{v} = Mv$�Ǥ���. $\xi, \eta$�˴ؤ���
$\hat{u},\hat{v}$����ʬ��(4,6)���������2���鸫�Ѥ�뤳�Ȥ��Ǥ���
($\rho_1+\rho_2 \leq l + 2\sigma$�Ȥ���)
$$
 |\hat{u}|_l + |\hat{v}|_l \leq c' M N^{2\sigma} \delta_- = 
c' M^{-1} N^{2\sigma} < \displaystyle \frac{1}{N} < \displaystyle 
\frac{1}{4}
$$
�Ȥʤ�. ��������ʬ��$\hat{\xi}, \hat{\eta}$�˴ؤ��Ƽ��. ���ؿ�����
���ݾڤ���Ȥ����ˤ���, �ռ�����¸�ߤ���, ����$l$�ޤǤ���ʬ�θ��Ѥ��
��$|y - \omega| < \displaystyle \frac{2}{M}$���$N,M$�˰�¸���ʤ�. 
����Ū�ˤ�
$$ \begin{array}{ll}
  |\hat{\cal U}|_l < 2, & |\hat{\cal U}^{-1}|_l < 2
   \end{array}
$$
�Ƚ񤱤�. ���������
$$
 \hat{\Phi} = \hat{\cal U}^{-1} \hat{\cal F} \hat{\cal U}
$$
�ϳ�����$l$�ޤǤ���ʬ��$N,M$�˰ͤ�ʤ��������, ���Ȥ���$c_{11}$�ˤ�ä�
���Ѥ�뤳�ȤΤǤ���ؿ��ˤ�ä�ɽ���Ǥ���. �Ĥޤ�, $\varphi, \psi$��
�Ф���
$$ \begin{array}{lcl}
 |D_{\hat{x}}^{Q_1}D_{\hat{y}}^{Q_2} N\phi| + 
 |D_{\hat{x}}^{Q_1}D_{\hat{y}}^{Q_2} M\psi| \leq \displaystyle
c_{11} N^{Q_1}M^{Q_2} & {\rm for} & |\eta - \omega| < \displaystyle 
\frac{1}{M}
   \end{array}
$$
����$\rho_1+\rho_2 \leq l$�Ǥ���. $N_0 > c_{11}$�Ȥ���, ���Ѥ��(2.9')
�򼨤������Ȥˤʤ�. ���������2�ξ�������λ����. 

\vspace{0.2cm}
\begin{center}
{\bf 5. �����Ĥ��ΰ��̲�}
\end{center}

\noindent
a) ���ޤޤǤΤȤ���, ����1�ξ�����$\alpha(r) = r$�����$s=1$���Ф�����
�Ǥ��ä�. ������Ǥ�, ���̤�$\alpha(r)$�ξ�礬��ǹͤ������˵��夵��
�뤳�Ȥ򼨤�. ���ξ�, $s(>1)$����ʬ��ǽ�ʶ��������뤿��ξ�����ɤΤ褦
�˽������뤫���Ŧ����. 

$$ \begin{array}{ll}
 \theta_1 = \theta + \alpha(r) + F(r,\theta), & a \leq r \leq b, \\
 r_1 = r + G(r,\theta)
   \end{array}
$$
��Ϳ����줿�����Ȥ���. ��Ω�ѿ��Ȥ���
$$ \begin{array}{ll}
 x = \theta, & y = \alpha(r)
   \end{array}
$$
��Ƴ������. ����(1.6), (1.7')���, �����Ѵ���1:1�Ǥ���, Ϳ����줿bound
�����$l$�Ĥ���ʬ�����. ���ξ�, ������
$$ \begin{array}{ll}
 f(x,y) = F(r,\theta), & g(x,y) = \alpha(r+G(r,\theta)) - \alpha(r)
   \end{array}
$$
�Ȥ���(2.1)�η�����. ���줫�餹���, ���(2.2), (2.2')�Ϥ���$c_0$��
��Ȥ����������. �ߴĤ�����$\alpha(b) - \alpha(a) \geq c_0^{-1}$��
���Ѥ�뤳�Ȥ��Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
b) ���Ѷ����ι⼡����ʬ��ǽ����, $l$���礭�����뤳�Ȥˤ�ä�������. 
���Τ���ˤ�, (2.4)��Υѥ�᡼��$\kappa, \nu, l$�����������Ѥ�, 
$\delta$��$M$�δط���������ɬ�פ�����. ���ν����ˤĤ��ƻ�Ŧ���褦. 
���ʤ��, $s \geq 1$������λ��Ĥ٤�Ϣ³��ʬ����Ȥ���. ���ΤȤ�
(2.4)��
$$ \begin{array}{lll}
 \kappa = \displaystyle 1 + \frac{1}{2s+1}, & \nu = 6(\sigma+1), & 
l = 2s+1+3(s+1)^2 \nu
   \end{array}   \leqno(5.1)
$$
���֤�����, (2.5)��
$$
  \delta = M^{-(s+1)\kappa}
$$
���֤�������. 4��ξ�����Ʊ���褦�ʤ������, �ʲ����ѹ��β��Ǽ¹ԤǤ���. 
c)���(4.9)�������
$$ \begin{array}{rl}
 |\varphi|_0 + |\psi|_0 \leq & 
c_8 \left\{ 
  N^{2\sigma+1} ( M^{-s-2} + M^{-2s-1}) + N_-^{1+(1-\kappa)l} \right\}\\
 \leq & 2 c_8 \left\{ 
 N^{2\sigma+1} M^{-s-2} + N_-^{1+(1-\kappa)l}
\right\} .
   \end{array}
$$
������. ���դ�$\leq M^{-\kappa(s+1)}$�ˤ��뤿���, 
$$
 s + 2 > \displaystyle \kappa(s+1) + \frac{2\sigma+1}{\nu}
$$
�����
$$
  (\kappa - 1)l > 1 + (s+1)\kappa^2 \nu
$$
������Ω�Ĥ褦��$\nu, l$��ʬ�礭�����ͤФʤ�ʤ�. �����2�Ĥδط���
�Ϥɤ����(5.1)���餷������. 

(5.2)��$\delta$���������η��, (4.8)��
$$
  |u|_s + |v|_s \leq \displaystyle \frac{1}{N}
$$
���֤������뤳�Ȥ��Ǥ���. ����ˤ�äƼ���(2.14)����$s$������ʬ��
���ͼ�«��, �������äƶ˸¶�������$s$������ʬ��Ϣ³���������Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
c) {\bf �����ͤ���.} ��������ư���ΰ������θ���Τ����, �ͤ������(1.1)
�ˤ������ž�Ѥ�����������ư�����ؤ�����1���ĥ���Ƥ������Ȥ����פ�
����. �����Ǥ��γ�ĥ�ˤĤ��Ƶ��Ҥ��褦. 

���Τ���˥ѥ�᡼��$\gamma$���ϰ� 
$$
  0 < \gamma \leq 1
$$
���Ƴ����, ����(1.2)��
$$
 \left\{ 
   \begin{array}{l}
     \theta_1 = \theta + \gamma (\alpha(r) + R(r,\theta)) + \beta \\ 
     r_1 = r + \gamma G(r,\theta)
   \end{array}
\right.  \leqno(5.3)
$$
�η��˽�. ������$r$��$a \leq r \leq b, b - a \geq 1$��ư��. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ���� 3.} ����(1.6), (1.7), (1.7')�β���, (1.8)��
$$
  \theta'_1 = \theta' + \gamma \alpha(r_0)
$$
���֤������Ƥ�����1������Ω��. ��
$\delta_0 = \delta_0(s, \varepsilon, c_0)$��$\gamma$�Ȥ���Ω�����֤��Ȥ�
�Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
���η��Ǥ�(5.3)������ư������
$$ \begin{array}{ll}
 \theta_1 = \theta + \gamma \alpha(r) + \beta, & r_1 = r
   \end{array}
$$
�Ǥ���. ��������ž��$\gamma \alpha(r)$�϶��
$(\gamma \alpha(a), \gamma \alpha(b))$��ư��. ���ζ�֤�$\gamma$��������
��о�����. 

���ξ��, ���Τ褦�ʾ����ʶ�֤�(1.10)���������褦�ʿ�$\omega$�����뤫��
�����Ϥä��ꤷ�ʤ�. �������ä�, (1.9)��(1.10)��������
$$
  \alpha(a) + \varepsilon < \displaystyle \frac{\omega-\beta}{\gamma} 
< \alpha(b) - \varepsilon , \leqno(5.4)
$$
�����
$$
  |n\omega - 2\pi m| \geq \gamma \varepsilon n^{-3/2} . \leqno(5.5)
$$
�ˤ���. �����, (5.4)�ˤ�����������$\omega$��̩�٤�1�˶�Ť��Ϥ��Ǥ���. 

���Ϳ����������, �ѥ�᡼��$\gamma$��Ŭ�ڤʾ��ˤ�����Ʊ�ͤ˿�ԤǤ���. 
(5.5)���θ�����, (3.2)��
$$
  |\gamma L h| \leq \displaystyle \frac{c}{\varepsilon} |h|_{\tau}
$$
�ؤȽ�������٤��Ǥ���. ����, (4.6)��
$$
 \left\{ 
   \begin{array}{l}
     u = (\gamma L)^2 Tg + \gamma LT f \\ 
     v = \gamma LT g - [Tf]
   \end{array}
\right.  \leqno(5.6)
$$
�ˤ�ä��֤���������٤��Ǥ���. ���μ��ˤ���, $\gamma L$
�˴ؤ���bound�Τߤ�����٤��Ǥ���. �Ĥ�ξܺ٤϶��ޤʤ��˹Ԥ���. 


\begin{thebibliography}{}
   \item
H. Poincar\'{e}, Sur une th'{e}or\'{e}me de g\'{e}om\'{e}trie, 
{\it Rend. Circ. mat. Palermo} {\bf 33}, 375-407(1912). 

    \item
G.D. Birkhoff, The restricted problem of three bodies. 
{\it Rend. Circ. mat. Palermo} {\bf 39}, 1-70(1915). 

    \item
G.D. Birkhoff, Surface transformation and their dynamical applications. 
{\it Acta Math.} {\bf 43}, 1-110(1922). 

    \item
G.D. Birkhoff, {\it Dynamical Systems}, New York, 1927. 

    \item
G.L. Siegel, {\it Vorlesungen $\ddot{\it u}$ber Himmelsmechanik}, 
Springer Verlag, 1956. 

    \item
A.N. Kolmogorov, General theory of dynamical systems and 
classical mechanics, Proceedings of the International Congress of Math. 
1954, vol.1, pp.315-333, Amsterdam, 1957.

    \item
A.N. Kolmogorov, Doklady Akad. Nauk {\bf 98}, 527-530(1954). 

    \item
V.I. Arnold, Isvest. Akad. Nauk vol.25, 21-86(1961).

    \item
V.I. Arnold, Doklady Akad. Nauk {\bf 137}, 255-257(1961). 

    \item
V.I. Arnold, Doklady Akad. Nauk {\bf 138}, 13-15(1961). 

    \item
J. Moser, A new technique for the construction of solutions of 
nonlinear differential equations, {\it Proc. Nat. Acad. Sciences} 
{\bf 47}, 1824-1831(1961). 

    \item
J. Moser, Perturbation theory for almost periodic solutions for 
undampted nonlinear differential equations, presented at the Symposium 
on Nonlinear Differential Equations, Colorado Springs, Aug. 1961, 
to appear.

\end{thebibliography}


\end{document}