\begin{flushright}
ë����δ ��
\end{flushright}

\noindent
Uspkhii Math. Nauk {\bf 32}:6 (1977), 5-66

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\Large 
{\bf �����ʬ�ϥߥ�ȥ�Ϥΰ�����֤λؿ��ؿ�Ūɾ�� \\
An exponential estimate of the time of \\
stability of nearly-integrable Hamiltonian systems }
}

\vspace{0.5cm}
N. N. Nekhoroshev

\vspace{0.3cm}
�ܼ�
\end{center}

\vspace{0.3cm}
\noindent
1 ��. ��

\noindent
2 ��. ̤�������. ͽ��. ���̲�

\noindent
3 ��. �ؿ��ؿ�ɾ���ξ����δ���Ūȯ��

\noindent
4 ��. �޸��۾��. �����������Ľ�

\noindent
5 ��. �ػ߱�ư

\noindent
6 ��. ����. �����Ӥ���ӥ֥��å�

\noindent
7 ��. ̵��ư�ϥߥ�ȥ�ؿ��θ��ۤؤι�®�ɥ�եȱ��פ�ľ�¤ΰ�¸��

\noindent
8 ��. ���Ĥ��Ťʤ�ʤ�����ξ��

\noindent
9 ��. ��ư�Ϥˤ�������. ���������ξ����δ���

\noindent
10 ��. ���ĥϡ���˥����ξõ�˴ؤ�������, 
����Ӵ��������ξ�����ɬ�פʵ���Ū�����\\
\hspace{1.3cm}�꼰��

\noindent
11 ��. ���������ξ����˴ؤ�������

\noindent
12 ��. ¿������ؤδ��������α���

\noindent
����ʸ��

\vspace{0.3cm}
�Ϥ����3���������˽񤤤�. 
��(1��)�κǽ����ʬ����ư���˴�Ť������ʬ�ϸ���γ��ѤǤ���. 
1��θ�Ⱦ�ǤϤ�����ʸ�η�̤˴ؤ��ƾܤ����Ҥ٤�. 
3��Ǥϴ��������ξ����ˤĤ��ƾ��⤹��. �����ǰ��������֤λؿ��ؿ�ɾ����
��Ω����. 
4�ᤫ��9��ޤǤ��������ĽҤ���Ӿ�������䤵���. 
�����������������Τ�ɬ�פʤ���������ξ������̤ΤȤ�����ȯɽ����. 
������������꼰����10������ƤǤ���. 
���ξ�����5�ᤫ��9������Ƥ����������δ����ʾ�����������. 

11���������˽񤤤�. 
�����Ǥϴ��������ξ�������ˡ��ȯ�ۤ��Ѥ��ƶ����ʬ�ϤΤդ�ޤ��˴ؤ�
�����Ĥ��ε����Ф�. �Ǹ��12��Ǥϴ��������ε���Ȥ��������Ϥΰ���������
��ؿ��ؿ�Ū��ɾ������. 

\newpage
\vspace{0.3cm}
\begin{center}
{\bf 1 ��. ��}
\end{center}

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1.1. �����ʬ�ϥߥ�ȥ��. �ʹ�����������ͭ�»��֤ΰ�����.} 
������ʸ�Ǥ�������������
$$
   \dot{I} = - \frac{ \partial H}{\partial \varphi}, \ 
\dot{\varphi} = \frac{ \partial H}{\partial I}, 
$$
��, �ϥߥ�ȥ�ؿ���
$$
   H = H_0(I) + \varepsilon H_1 (I, \varphi),      \leqno(1.1)
$$
�Υϥߥ�ȥ�Ϥˤ������ѿ�$I$�Τդ�ޤ���Ĵ�٤�. 
������$\varepsilon \ll 1$�Ͼ����ʥѥ�᡼���Ǥ���, 
��ư$\varepsilon H_1(I, \varphi)$���ѿ�
$\varphi = \varphi_1, \ldots, \varphi_s$�˴ؤ�$2 \pi$�����Ǥ���, 
$I$��$s$�����٥��ȥ�$I = I_1, \ldots, I_s$�Ǥ���. 

$\varphi_i$�ϳ��ѿ�, $I_i$�Ϻ����ѿ��ȸƤФ��. 
�����ѿ��Τߤ˰�¸����ϥߥ�ȥ�ؿ�����ķϤϲ���ʬ�Ȥ����, 
��(1.1)�϶����ʬ�ϤȸƤФ��. ��(1.1)�Ϥޤ��ϥߥ�ȥ�ؿ�$H_0$�����
̵��ư�Ϥؤ���ư�ȸƤФ��. 

�ϥߥ�ȥ����������, �ѿ�$I_i$��̵��ư�Ϥ������ʬ�Ǥ��뤳�Ȥ��狼��. 
�ޤ���ư�Ϥβ�˱�äƤΤ����ѿ����Ѳ�Ψ�Ϥ����餫��$\varepsilon$���٤�
�礭���Ǥ���. �Ȥ�����Ĺ�����ֳִ֤δ֤�($1/\varepsilon$��꤫�ʤ�Ĺ��), 
�����ѿ����ͤϤۤ�ξ���������Ȥ��ͤȰ��ʤ�. 

����˴ؤ���, �����Ĥ�ε��䤬������. ���פʤ�ΤΤߵ󤲤褦. 
��$I(t), \varphi(t)$�Τ��٤Ƥޤ��ϰ������Ф���, ��$I(t)$�Ϥ��ν���ͤ�
�᤯�˱ʱ�ˤȤɤޤäƤ����������, ���ʤ��, ����餹�٤Ƥβ���Ф���
$| I(t) - I(0) | < \alpha(\varepsilon)$�����٤Ƥμ¿�$t$���Ф�������Ω�Ĥ�?
������$\varepsilon \rightarrow 0$�ΤȤ�
$\alpha(\varepsilon) \rightarrow 0$�Ǥ���. 
���Τ褦�ʲ�ϱʹ����Ǥ���Ȥ���. �ʹ�����¸�ߤ����, 
����Ϥɤΰ̤��̤��뤫? �ʹ����Ǥʤ��򤬤���Ȥ���, 
���Ρְ��������֡פ��礭�������٤ϡ���Ȥ���, �����Ǥϰ��������֤�
���¤˶�̣������. ���ʤ��, ��ʬ�����ʤ��٤Ƥ�$\varepsilon$���Ф���, 
���ֶ��$[0,T(\varepsilon)]$�δ֤�$I(t)$��$I(0)$�˶᤯�Ȥɤޤ�, �Ĥޤ�, 
$$ \begin{array}{ccc}
 | I(t) - I(0) | \ll 1 & {\rm for} & t \in [0,T(\varepsilon)]
   \end{array}
$$
�Ȥʤ�褦�ʴؿ�$T(\varepsilon)$�˶�̣������. 

������ʸ���̤���, ������(ͭ�»��֤Ǥ�������̵�»��֤Ǥ�������)��
���ΰ�̣���Ѥ���. �̾�Υ��ס��Υհ������ǤϤʤ�. 

��ǽҤ٤�����Τ����Ĥ��ϥ�ץ饹��饰��󥸥�ˤޤǤ��̤�. 
�������۷Ϥΰ������������������ष����������򤷤褦�Ȥ���. 
Poincar\'{e}[2], Birkhoff[3], �����Siegel[4], [5]���̤��������Ф���. 
��äȺǶ�Ǥ�, Kolmogorov[6], [7], Arnold[8]-[11]�����Moser[12], 
[13]�������������������Τ�¿��ι׸��򤷤Ƥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1.2. ����⥴���ա��ȡ��饹. 2���ȿ��Ϥαʹ������. �����Υ�ɳȻ�.} 
Arnol'd [8],[10]�ϤȤ��˼��μ�ĥ���������. 
̵��ư�ϥߥ�ȥ�ؿ�$H_0$��ְ��̷��פδؿ��Ȥ���. 
���ΤȤ��ϥߥ�ȥ�ؿ�(1.1)����ķϤ�
����֤ˤ�������$I_1=����, \ldots, I_s=����$��Ϳ������ȡ��饹��
�ᤤ$s$�������ѥȡ��饹�ν��礬¸�ߤ���. 
���ν���ϥ���⥴����(Kolmogorov)�����
�ƤФ�, �Ĥ��Ĥ�����Ȥ����¤Ǥ��뤬, ����֤Ρ��礭����ʬ�פ��������. 
��äȾܤ���������, ����⥴����K������佸���¬�٤�
$\varepsilon \rightarrow 0$�ΤȤ�$0$�˸�����. 

$\varepsilon \rightarrow 0$�ΤȤ�, ��(1.1)�Υ���⥴���եȡ��饹��
̵��ư�Ϥ����ѥȡ��饹$\{ I, \varphi | I=���� \}$���Ѥ��. 
�椨�˥���⥴���ս����ˤ��뵰�פ��б������(����ϲ����¿���Ǥ���)��
�ʹ����Ǥ���. 

����⥴���ս����¸�ߤν�ʬ����
$$
    \Delta_1 = 
{\rm det} \left( \frac{\partial^2 H_0} {\partial I^2} \right), \leqno(1.2)
$$
$$
    \Delta_2 = {\rm det} \left( 
 \begin{array}{cc}
\displaystyle
    \frac{\partial^2 H_0} {\partial I^2}  &  
\displaystyle \frac{\partial H_0} 
{\partial I}  \\ 
\displaystyle 
    \frac{\partial H_0} {\partial I}      &  
\displaystyle 0 
 \end{array}   \right)     \leqno(1.3)
$$
�ʤ����$\Delta_1,\Delta_2$�ξ��ʤ��Ȥ�ɤ��餫1�Ĥ�����Ū�˥�����
�ʤ�ʤ����ȤǤ���. ������$\Delta_1$��$H_0$�Υإ�����, ���ʤ��, 2����ʬ
$\frac{\displaystyle \partial^2 H_0}{\displaystyle \partial I_i 
\partial I_j}$�����ǤȤ���$s$���ι���ι��󼰤Ǥ���. 
(1.3)�ι�����оΤǤ���, $(s+1)$���Ǥ���, 
$\frac{\displaystyle \partial H_0}{\displaystyle \partial I}$��$H_0$��
������ʬ����ʬ�Ȥ���٥��ȥ�Ǥ���. 

�����η�̤ε���Ȥ���, ��ͳ��2($s=2$)�ηϤξ��ϼ��Τ褦�ʶ�����ĥ��
��������Ƥ���. ���ʤ������$\Delta_2$�������Ǥʤ����, �ϤΤ��٤Ƥβ��
�ʹ����Ǥ���. ���$\Delta_1 \not\equiv 0$�����
$\Delta_2 \not\equiv 0$��ʹ�������������ΰ�̣�ξܤ��������϶��ʽ�[27], 
365-383�˽񤫤�Ƥ���. 

��ǽҤ٤���̤ϤϤ���$H$������Ū�Ǥ���Ȥ�������줿. J. Moser�Ϥ��ξ���
��ʬ�礭��(���ʤ��, 333��)��ʬ��¸�ߤ��֤�������([12], [13]). 
Moser�����R$\ddot{\rm u}$ssman[31], [32]�����Ϥˤ��, 
��ʬ�γ�����6�ˤޤǲ�����줿. 

Zehnder�ϥ���⥴���ս����¸�ߤ�, ��餫�Ǥʤ��ƴؿ��˴ؤ���
���ؿ��������ΰ����������齾�����Ȥ��������([33]�����[34]����). 

�����θ��椹�٤Ƥˤ�����, $s \geq 3$�Υ���⥴���եȡ��饹�����
�佸��ˤ������Τդ�ޤ���̤�������Ȥ��ƻĤä�. Arnold��, 
�����β�$I(t)$�ΰ�����$I(0)$����Ǥ�դ�Υ���褦�ʷϤ����
��������([11]����). ���θ��̤ϡ֥����Υ�ɳȻ��פ�̾�Ť���줿([14]). 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1.3. ���������֤λؿ��ؿ�Ūɾ��.} [11]�ǹ������줿�԰���ʲ��
��$I(t)$��$I(0)$�ζ᤯�ˤ�����ֳִ֤�$\varepsilon$�������˸�������Ȥ�
�ؿ��ؿ�Ū�����礹��. ����˴�Ϣ����, 
V.I.Arnold[15]��ͽ�ۤ����Ȥ����ˤ���, ���̷��Υϥߥ�ȥ�ؿ�����ķϤǤ�, 
$I(t)$��$I(0)$�ζ᤯�ˤ����«�����֡פϤ��٤Ƥν�������Ф���
$1/\varepsilon$�ΤɤΥ٥�����®����Ĺ����. ���μ�ĥ�Ϥ����Ǿ��������. 
������ʸ�Ǥϰ��������֤λؿ��ؿ�Ūɾ�����Ω����. 

�ؿ��ؿ�Ū��ɾ������̩���꼰����������ʸ�μ��׷������4.4�����ƤǤ���. 
�����Ǥϴ��������ΤǤʤ�, ����4.4�Ⱥ٤������ǰۤʤ�������Ҥ٤�. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1.4. ����.} $H_0$��1.7���������뤢��ֵ޸��ۡ׾����������Ȥ���. 
���ΤȤ�, �ʲ������������������$a,b$�����$\varepsilon_0$������. 

$0 < \varepsilon < \varepsilon_0$�Ȥ���. ���ΤȤ�, �ϥߥ�ȥ�ؿ���
$H_0(I) + \varepsilon H_1(I,\varphi)$�Ȥ���ϤγƲ�
$I(t),\varphi(t)$���Ф���
$$
      | I(t) - I(0) | < \varepsilon^b,                  \leqno(1.4)
$$
�����٤Ƥ�$t \in [0,T]$���Ф�������Ω��. ������
$$
     T = \frac{1}{\varepsilon} \exp (\frac{1}{\varepsilon^a}) 
\leqno(1.5)
$$
�Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
���$a$��$b$��$H_0$�Τߤ˰�¸����. ���$\varepsilon_0$��$H_0$��$H_1$���
2�ĤΥѥ�᡼��
\footnote{����4.4������Υѥ�᡼��������餺��Τ�$H_1$������Ū��
����褦���ѿ�$\varphi$�μ�ʿ�̤�ʣ�Ƕ�˵����$\rho$�Ǥ���. 
�褯�Τ��Ƥ���褦��, �������ϥա��ꥨ�����θ���Ψ�����. }
�Τߤ˰�¸����. ��Ԥ�$H_1$��$\varphi$�ˤ��ա��ꥨ���Ÿ���η�����
�����̤ȸ���Ψ�Ǥ���. ���$a$��$b$���ͤ�1.10���Ϳ��, 1.10, 1.11, 
�����2.1B��ǵ�������. 

ɾ��(1.5)��$H$������Ū�Ȥ�������β��Ǿ��������. 
$H$����餫�Ǥ��뤳�ȤΤ����������, ɾ���ϻؿ��ؿ�Ū�Ǥʤ��ʤ�, 
���ɾ���ˤʤ�. ���κ�, ���Τ٤���$H$���⤤��ʬ����Ĥۤ��礭���ʤ�. 

�ؿ��ؿ�Ū��ɾ����, �ϥߥ�ȥ�ؿ���(1.1)��꾯������Ū�ʷ��򤷤Ƥ���
�ϤǤ�����Ω��. 1.5�����1.6��Ǥ��μ�ηϤ���󤹤�. 
(1.1)���ܼ�Ū�˰ۤʤ�Ϥؤ�ɾ���ΰ��̲���2.2��ǵ�������. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1.5. �ѥ�᡼������ķϤ˴ؤ���ؿ��ؿ�Ūɾ��.} 4�ᤫ��9���
�����Ƽ��Υϥߥ�ȥ�ؿ�����ķϤλؿ��ؿ�Ūɾ�����������. 
$$
   H = H_0(I) + \varepsilon H_1(I, p, \varphi, q) .   \leqno(1.6)
$$

������$p$��$q$��$(n-s)$�����٥��ȥ�$(n \geq s)$, �ѿ�$I$��$p$��
���줾��$\varphi$��$q$�����ඦ��, �ؿ�$H_1$��
$\varphi= \varphi_1, \ldots, \varphi_s$�˴ؤ�����$2\pi$�Ǥ���. 
$n=s$�ΤȤ��ϥߥ�ȥ�ؿ�(1.6)��(1.1)�˰��פ���. 

���ΰ��̲��ˤ����������۷ϤΤ褦�������Ϥ˼�������
���ѤǤ���(�ܺ٤�1.18�Ỳ��). ��(1.6)��ɾ������̲����Ƥ�����η׻���
�ۤȤ��ʣ���ˤʤ�ʤ���, ɾ���������ʤ뤳�Ȥ�ʤ����Ȥ����դ��Ƥ���. 

��(1.6)���Ф���ɾ��(1.4)��(1.5)���������˴ؤ����ĥ����ܼۤ�ưŪ��
Ʊ�ͤʼ��μ�ĥ���Ǥ�. ���ʤ����������ɾ������ư�����٤����֡�
$\varepsilon t$�˰�¸���������, ���ʤ��, �ϥߥ�ȥ�ؿ���
$$
   H = H_0(I) + \varepsilon H_1(I, \varphi, \varepsilon t)
$$
�Ȥ���ϤǤ�����Ω��. 

(1.6)�����ѿ�$p$��$q$�ϥѥ�᡼���Ȥ�Ƥ٤�. �ѥ�᡼�����٤�
���֤ؤ���ư�ΰ�¸���ϼ������ˤ�����ɾ��(1.4)��(1.5)�򰭤������ʤ�. 

����⥴���ա������Υ�ɡ��⡼����������(1.2�Ỳ��)��, 
�ϥߥ�ȥ�ؿ���(1.1)�η��򤷤Ƥ��뤫, �ޤ��Ϥ����ص���Ǥ��ʤ��¤�, 
��������ǹͤ����Ϥؤϻ�������ʤ�. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1.6. ���֤˼���Ū�˰�¸������ư����ķ�.} 

���Υϥߥ�ȥ�ؿ�����ķϤ�ͤ���. 
$$ \begin{array}{ccc}
   H = H_0(I) + \varepsilon H_1(I, \varphi, t), & ������ & 
H_1(I, \varphi, t + 2 \pi) = H_1(I, \varphi, t ) 
   \end{array}
\leqno(1.7)
$$
���۾��ʳ���$H_0$�˴ؤ�����ˤ��, �Ϥβ�ΰ��������֤�
�ؿ��ؿ�Ūɾ�����ݾڤ����. �����ξ���($P$���۾��ȸƤФ��), 
1.9B���Ϳ����. ������$(s+1)$�Ĥ��ѿ�$I_1, \ldots, I_s, T$�δؿ�
${\cal H}$�˴ؤ�����۾���, $H_0$�ˤ��${\cal H}(I,T) = H_0(I) + T$��
���������Τ�Ʊ�ͤǤ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1.7. �޸��۴ؿ�.} ̵��ư�ϥߥ�ȥ�ؿ�$H_0$�˴ؤ������, ��(1.6)��
���������֤λؿ��ؿ�Ūɾ�����ݾڤ�������꼰�����褦. �����Ͼ��
$|\frac{\displaystyle dH_0(I)}{\displaystyle dI}| \geq g > 0$��
���̲��Ǥ���. �����(?)���餫��ñ��μ��ȿ�$s=1$����ķ�(1.1)��$I$��
�ؤ���ʹ���������ݾڤ��Ƥ���. 

$H_0$�ϥ桼����åɶ���${\bf E}^s$�Τ����ΰ�(domain)$G$(�ΰ�Ȥ�
������Τ���)��������줿Ǥ�դδؿ��Ǥ���Ȥ���. ${\bf E}^s$�Υ��ե���
��ʬ���֤Ȥ�Ǥ�դμ�����ʿ�̤Τ��ȤǤ���. $I$��$G$��Ǥ�դ����Ȥ�, 
$\lambda$��$I$��ޤ�ʿ�̤�dim$\lambda \neq 0$�Ȥ���. 
grad$(H_0|_{\lambda})$��, $\lambda$
�����¤���$H_0$�θ��ۤ�ɽ�路, $m_{I, \lambda}(\eta)$���濴$I$Ⱦ��
$\eta$�ε��Τ��θ��ۤ�Ĺ���κǾ��ͤ�ɽ�魯. 
$$
   m_{I, \lambda} (\eta) = \min_{ \{ I' \in \lambda: |I - I'| = \eta \} } 
|{\rm grad} (H_0|_{\lambda})|_{I'} |.
$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1.7A. ���.} �ؿ�$H_0$��ʿ��$\lambda$�����$I$�ˤ�����
\underline{�޸���}�Ǥ���Ȥ�, ���$C>0, \delta>0$�����
$\alpha \geq 0$�����ä�, ���٤Ƥ�$\xi \in (0, \delta]$���Ф���
$$
   \max _{0 \leq \eta \leq \xi} m_{I, \lambda} (\eta) > C \xi^{\alpha},
\leqno(1.8)
$$
�����������Ȥ��Ǥ���. ���$C$��$\delta$��\underline{���۷���}�ȸƤ�, 
$\alpha$��\underline{���ۻؿ�}(index)�ȸƤ�. 

�ʲ���2�Ĥ�����Ǥ�, �ܼ�Ū��ɾ��(1.8)�ΰ������˴ؤ�����Τߤ�ݤ���. 

$\Lambda^r(I)$��, ��$I \in {\bf E}^s$��ޤ�${\bf E}^s$���$r$����ʿ��
���٤Ƥν����ɽ�魯. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1.7B. ���.} $s$��($s \geq 1$)���ѿ��δؿ�$H_0$����$I$�ˤ�����
�޸��ۤǤ���Ȥϼ��ξ�郎����Ω�ĤȤ��Ǥ���. 
�ޤ�, $g>0$�Ȥ���$|{\rm grad} H_0|_{I}| \geq g$. 
����$s \geq 2$�ΤȤ����٤Ƥ�$r=1, \ldots, s-1$���Ф���, 
��$C_r>0, \delta_r>0,$�����$\alpha_r \geq 1$�����ä�$H_0$��
$I$�ˤ�����grad$H_0|_I$��ľ�򤹤뤹�٤Ƥ���
$\lambda \in \Lambda^r(I)$�ˤ�����, ����$C_r$�����$\delta_r$�ޤ�
�ؿ�$\alpha_r$����äƵ޸��ۤǤ���. ��
$g, C_1, \ldots, C_{s-1}, \delta_1, \ldots, \delta_{s-1}$��
$I$�ˤ�����$H_0$��\underline{�޸��۷���}, 
$\alpha_1, \ldots, \alpha_{s-1}$��\underline{�޸��ۻؿ�}�ȸƤ�. 

�ʲ��ξ���, �ؿ�����������Ȥ����ǤϤɤ��Ǥ���1.7B��
���ͤǤ��뤳�Ȥ��ݾڤ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1.7C. ���.} $s$�Ĥ��ѿ��δؿ�$H_0$���ΰ�$G$�ˤ����Ʒ���
$g, C_1, \ldots, C_{s-1}, \delta_1, \ldots, \delta_{s-1}$�����
�ؿ�$\alpha_1, \ldots, \alpha_{s-1}$����äƵ޸��ۤȸ�����Τ�, 
�����η����Ȼؿ�����äƤ��٤Ƥ���$I \in G$�ǵ޸��ۤǤ���Ȥ��Ǥ���. 

���1.7C�ˤ���(1.1)�β�$I(t), \varphi(t)$�Τ���, �����郎
�ΰ�$G \times T^s$��ˤ��äƤ����ΰ�ζ����ξ����ʶ�˵�γ���
����褦�ʤ��٤Ƥβ���Ф��ư��������֤λؿ��ؿ�Ūɾ�����ݾڤ����. 
������$T^s$��$s$�����ȡ��饹�Ǥ��ä�, $\varphi \in T^s$�Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1.8. �޸��۾��ˤĤ��Ƥ�����. �޸��ۤδ�����Ū��̣.} 
�����3��(���1.7A)�δ���Ū�������������. $H_0$��ʿ��$\lambda$��
$I$�ˤ����Ƶ޸��ۤǤ��ä�, ����$C$��$\delta$, ����ӻؿ�$\alpha$��
���ĤȤ���. $\gamma$��$\lambda$���Ǥ�դζ�����$I$�����Υ$d$�ˤ���
¾��Ǥ�դ�����$I$�˷�֤Ȥ���. ������$d<\delta$�Ȥ���. 
���ΤȤ����ζ������$\tilde{I}$�򸫤Ĥ���, �������ˤ�����
grad$(H_0|_{\lambda})$��Ĺ�������ɾ��
$$
   | {\rm grad} (H_0|_{\lambda})|_{\tilde{I}} > C d^{\alpha} ,
$$
�ˤ�äƲ�����¤��Ƥ���Ȥ���. 

�ޤ������޸��۴ؿ��Τ����������������ξ����˻Ȥ���. 

����������ľ��Ū����Ҥ٤뤳�Ȥ��Ǥ���. 
$H_0|_{\lambda}$�Υ���դ�ͤ���. 
���ΤȤ�����դζ��̾��$I$�ξ���������̤����˸����ä�ư��ι�ԼԤ�
ɬ��Ū�ˤ��ζ��̤ε޸��ۤ��Ф�ۤ��ͤФʤ�ʤ�. 

ʿ��$\lambda$��grad$H_0|_{\lambda}$��ľ�򤷤ʤ����, 
grad$(H_0|_{\lambda})_I \neq 0$�Ǥ���, ��ǽҤ٤����$C, \delta$�����
$\alpha$��Ĥͤ˸��Ĥ��뤳�Ȥ��Ǥ���. ���ξ�, $\alpha$�򥼥��ˤȤ��. 
���1.7B�ˤ�����褦��$\lambda \bot {\rm grad} H_0|_{\lambda}$�ʤ�
\rm grad$H_0|_{\lambda} = 0$�Ǥ���. ���ξ��, $H_0$�ϵ޸��ۤǤ�
�������ʤ�. ���Ȥ���$I$���̤�$\lambda$��ˤ������$\gamma$��, 
���٤Ƥ�����grad$ (H_0|_{\lambda})$�������ˤʤ��Τ򸫤Ĥ��뤳�Ȥ�
�Ǥ���(�ܤ�����1.15�Ỳ��). $\lambda$���$I$�ˤ�����$H_0$���޸��ۤʤ�
�Ĥͤ�$\alpha \geq 1$�Ǥ���, 
���ۻؿ��Ϥ����꾮�������ȤϤ������ʤ�(�����$H_0$�γ�餫���η�̤Ǥ���). 

�ޤ��ۤʤ�$r$, $r = {\rm dim} \lambda$, ���Ф������ˤ�����޸��۾���
����Ū��Ω�������դ��褦. �ʲ��λ��¤Ϥ�����Ω�����Ŧ���Ƥ���. 
���ѿ��δؿ���, �����Τ�$r=1$���Ф��Ƥ��ξ���������$r=2$���Ф��Ƥ�
�������ʤ���Τ�����, �����դδؿ��⤢��. �ǽ�η��δؿ���, 
���Ȥ���$I_1 - I_2^2 = 0$�����$I_3 \neq 0$�ʤ����ˤ�����
$(I_1 - I_2^2)^2 + I_3^2$�Ǥ���, ���������ؿ��Ϥ��٤Ƥ����ˤ�����
$I_1 + I_2^2 - I_3^2$�Ǥ���. 

�޸��۾��˻�������Glimm��[16]��Ƴ�����Ƥ���. 

�����ξ��ϼ��Τ褦�ʾ�����Ƭ�������Ƥ���. ����Ĵ�٤Ƥ���Ϥ�
(1.1)�Ǥʤ���Ǥ�դΥϥߥ�ȥ�Ϥ�ʿ�հ��֤ζ�˵�Ǥ���(2.2B�Ỳ��). 
���ξ��, Glimm�Ϥ�����Ϥη���Ū��������, �Ϥˤ�ä���������
�����δؿ����޸��۾��˶ᤤ�����������Ȥ�������Τ�ȤǾ�������. 
Glimm�ϡְ��̤ΰ��֡פδؿ�������ξ������������ɤ������餫��
���ʤ��ä�. �����δؿ���
[17]�Ǿ�������Ƥ���褦�˵޸��۾���������(���1.13��⻲��). 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1.9. �޸��۾����ѷ�. 1.9A. $S-$�޸��۾��.} 
���$|\frac{\displaystyle d H_0 (I)}{\displaystyle d I}| \geq g > 0$��
$s=1$���Ф��Ʒ�(1.1)�αʹ���������ݾڤ��Ƥ��뤬, 
������äȼ��뤳�Ȥ��Ǥ���. 
$\frac{\displaystyle d H_0 }{\displaystyle d I}$�򥼥��ˤǤ���. 
���������ɾ�������������Ȥ���������. ���ξ���¿���ȿ��Ϥؤγ�ĥ��
�ʲ��ǽҤ٤�$S$�޸��۾��Ǥ���. ���ξ���grad$ H_0$�������ˤʤ뤳�Ȥ�
�������. �������ʤ���, �����Ϸ�(1.6)�ΰ��������֤λؿ��ؿ�Ūɾ��(1.5)
���ݾڤ���. ��äȤ�$a$���ͤϰ����ʤ�. ����Ϥ郎�������δ�ñ�ʵ���Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{���.} $s$�ѿ��δؿ�$H_0$��$I$�ˤ������о�Ū��
�޸���(symmetrically steep), �ޤ���$S$�޸��ۤǤ���Ȥ�, 
��������Ω�Ĥ��ȤǤ���. ��$r = 1, \ldots, s$���Ф���, ��
$C_r>0$, $\delta_r>0$�����$\alpha_r\geq 0$��¸�ߤ���, 
$H_0$�Ϸ���$C_r$�����$\delta_r$�ޤ��ؿ�$\alpha_r$�ʤ����
$\lambda \in \Lambda^r(I)$�����$I$�ˤ����Ƶ޸��ۤǤ���.  

�����ξ�郎, $H_0$���������Ƥ��뤤����Ȥ����ǰ��ͤ�����Ω��
�Ȥ��������ϻؿ��ؿ�Ūɾ�����ݾڤ���. ���������������ˤ�����
�޸��۾��Ȥ�������꼰�������(1.7C�Ỳ��). 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1.9B. $P-$�޸��۾��.} �ʲ��ξ�郎, $H_0$���������Ƥ���
������Ȥ����ǰ��ͤ�����Ω�ĤȤ���������, 1.6�����ư������Ū�˻��֤�
��¸����Ϥΰ��������֤λؿ��ؿ�Ūɾ�����ݾڤ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{���.} $s$�ѿ��δؿ�$H_0$��$I_0$�ˤ����Ʒ���$C_r>0$, 
$\delta_r>0$����ӻؿ�$\alpha_r \geq 1 (r=1, \ldots, s)$����ä�
$P$�޸��ۤǤ���Ȥ�, ���ξ�郎����Ω�Ĥ��ȤǤ���. 

${\cal K}$�Ǵؿ�
${\cal K}(I) = H_0(I) - \langle \omega(I_0), I \rangle$��ɽ�魯. 
������$\omega(I_0) = {\rm grad} H_0|_{I_0}$�Ǥ���(${\cal K}$��$H_0$��
�����ؿ������ۤʤ�, ����$I_0$�ˤ�������ۤϥ����Ȥ�����ħ���äƤ���). 
���ΤȤ�${\cal K}$�Ϸ���$C_r$��$\delta_r$����ӻؿ�$\alpha_r$�����, 
$I_0$�ˤ�����$S$�޸��ۤΤϤ��Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1.10. �޸���index����ӷϤΰ��������־��.} 
��������ɾ��(1.4)�����(1.5)������������$a$��$b$��
����ư�ϥߥ�ȥ�ؿ�$H_0$�ε޸��ۻؿ�
$\alpha_1, \ldots, \alpha_{s-1}$(1.7C���������Ƥ���)�ˤΤ߰�¸��, 
���Τ褦�ˤ����ˤ�ä�ɽ�蘆���. 
$$ \begin{array}{cc}
   a = \displaystyle \frac{2}{12 \zeta + 3s + 14}, & 
\displaystyle b = \frac{3a}{2 \alpha_{s-1}},
   \end{array}     \leqno(1.9)
$$
������$s>2$���Ф��Ƥ�
$$
  \zeta = [ \alpha_1 ( \alpha_2 \cdots ( \alpha_{s-3}(\alpha_{s-2} 
\cdot s + s - 2) + s - 3) + \cdots + 2) + 1] - 1
$$
�Ǥ���, $s=2$���Ф��Ƥ�$\zeta=1$�Ǥ���. $s$�ϼ��ȿ�
$I = I_1, \ldots, I_s$�ο��Ǥ���. 

$a$�˴ؤ��ƤϤ�ä��ɤ���
$$
     a = \frac{1}{3 \zeta + s + 4} - \sigma,
$$
��������. ������$\sigma > 0$��Ǥ�դ˾�����. ����³����ʸ�Ǥ�, 
�ɤΤ褦�ˤ���򤹤�Τ�����������. ��äȤ⤳���ͤϲ����Ǥ������Ǥ���. 

$\alpha_r \geq 1$�Ǥ��뤫��, $\zeta > s(s-1)/2$������. 
�����������Ϥ��٤Ƥ�$r$���Ф���$\alpha_r=1$�ΤȤ�������Ω��. 
��������ȿ��ο�$s$��Ʊ�����٤ƤηϤˤ����ư��������֤κ���ɾ����
$s$�����礹��ȶ�����������. 

����2�Ĥ�����Ǥϵ޸��۴ؿ��ν��פ����2�ĵ��Ҥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1.11. ���̴ؿ�. ���.} �ؿ�$H_0$���ΰ�$G, G \subset {\bf E}^s$��
�����ƽ��̤ȸ�����Τϡ�
���٤Ƥ�$I \in G$���Ф��Ƽ��ξ�郎����Ω�ĤȤ��Ǥ��롥

a) grad$H_0|_I \neq 0$;

b) ��
$$ \left\{ \begin{array}{r}
\displaystyle 
 \sum_{i=1}^s \frac{\partial H_0(I)}{\partial I_i} \eta_i = 0 , \\
\displaystyle 
 \sum_{i,j=1}^s \frac{\partial^2 H_0(I)}
{\partial I_i \partial I_j} \eta_i \eta_j = 0 ,
          \end{array}  \right.        \leqno(1.10)
$$
��(�����ʲ�$\eta=0$�������)�¤β�$\eta = \eta_1, \ldots,eta_s$������ʤ���

���b)�ϼ��Τ褦�ˤ�Ҥ٤��롥$I$�Τޤ���$H_0$�Υƥ��顼�����2����
��$\sum_{i,j=1}^s \frac{\displaystyle \partial^2 H_0(I)}
{\displaystyle \partial I_i \partial I_j}$��$I$�ˤ�����$H_0$��
��٥���̤��ܤ���Ķ����
$\sum_{i=1}^s \frac{\displaystyle \partial H_0(I)}{\displaystyle 
\partial I_i } \eta_j = 0$�����¤���Ȱ����������ġ�

�����δؿ��Υ�٥���̤��̤Ǥ��뤫�顢
�ֽ��̡פȤ����Ѹ줬�դ��路�����Ȥ��狼�롥

������Ǥ�դ����Τ����˵�ˤ�������̴ؿ��ε޸����������餫�Ǥ��롥
$I$��ޤ���Ķ����
$\sum_{i=1}^s \frac{\displaystyle \partial H_0(I)}
{\displaystyle \partial I_i } \eta_j = 0$��ˤ��뤹�٤Ƥ���ʬ����
$\lambda$���Ф��ơ�$I$�ζ�˵���$H_0|_{\lambda}$�Υ���դ�
�ʱߥѥ�ܥ�����(����)�˶ᤤ����������ۻؿ�$\alpha_i(i=1, \ldots, s-1$��
���٤�1�����������Ȥ�狼�롥���ۻؿ��δ֤��󥼥��θ��ۤ���Ĥ��٤Ƥ�
����̴ؿ����Ф��ơ����ʤ��Ȥ�1�Ĥ�1����礭����Τ����뤳�Ȥ����դ��褦��
��������̴ؿ��ϰ��ֵ֡ޡפʤΤǤ��롥

2�ѿ�($s=2$)�δؿ��ξ�硢�������Ϲ���(1.3)�������Ǥʤ����Ȥ�
Ʊ�ͤǤ��뤳�Ȥ򼨤��Τ��񤷤��ʤ����椨��2�ѿ��Ρְ��̤ΰ��֤ˤ����
�ؿ��Ͻ��̤Ǥ��롥3�ѿ��δؿ��˴ؤ��Ƥϡ��������Ϲ���(1.3)����Ȥ���
����Ʊ�ͤǤ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ����.} 1.10��ǻ�Ŧ�����Ȥ��ꡢ���������֤�ɾ��(1.5)���������
���$a$��$H_0$�θ��ۻؿ��Τߤ˰�¸���롥���λؿ����������ۤ�ɾ����
�礭���ʤ롥���Ԥ�ͽ�ۤˤ��С����¡�Ʊ�����μ��ȿ�����ķ�(1.6)��
��Ӥ���ȡ�$H_0$�������ʵ޸��ۻؿ�����Ĥۤɡ������̣���礭��
�޸��ۻؿ�����ķϤ�����Ǥ��롥
�Ȥ��˽��̤�����ư�ϥߥ�ȥ�ؿ�����ķϤ���äȤ����Ǥ��롥

3���ȿ��ηϤξ�硢����ͽ�ۤ���������С��Ϥΰ��������ܼ�Ū��
����(1.3)�˰�¸���뤳�Ȥˤʤ롥���󼰤���ʤ�Ȼ��Ϲ��󼰤�
���ξ������ä���Ǥ��롥���ΰ�¸����ʤ�餫����ˡ�ǡ�
���Ȥ��з׻����ǡ�����������򤤡�

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ����.} ������(1.7)�Ǥϲ�ΰ��������֤κ���ɾ�����̤�$H_0$��
�Ĥޤ�ƥ��顼Ÿ����2���ιब����������Ĵؿ��򡢻��ķϤ��Ф��������롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1.12. 3-�����åȴؿ��˴ؤ�����.} �����Τ��٤Ƥ���
$$
   I = I_1, \ldots, I_s
$$
�Ǽ��ξ����������ؿ���ͤ��롥

a) grad$H_0|_I \neq 0$;

b) ��
$$ \left\{ \begin{array}{r}
\displaystyle
 \sum_{i=1}^s \frac{\partial H_0(I)}{\partial I_i} \eta_i = 0 , \\
\displaystyle
 \sum_{i,j=1}^s \frac{\partial^2 H_0(I)}
{\partial I_i \partial I_j} \eta_i \eta_j = 0 , \\
\displaystyle
 \sum_{i,j,k}^s \frac{\partial^3 H_0(I)}
{\partial I_i \partial I_j \partial I_k} \eta_i \eta_j  \eta_k= 0 
          \end{array}  \right.         \leqno(1.11)
$$
�ϼ����ʲ�$\eta= \eta_1, \ldots, \eta_s = 0$�ʳ��˼¤β������ʤ���

�����Τ��٤ƤΤ����˵�ǡ����Τ褦�ʴؿ����޸��۾������������Ȥ�
��������Τ��񤷤��ʤ���

���餫�˾��(1.11)��(1.10)���夤�����̴ؿ���(1.11)����������

�ޤ��ְ��̤ΰ��֤ˤ����3�ѿ��δؿ���(1.11)�����������Ȥ����դ��Ƥ�����

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1.13. �󥸥��åȴؿ���̵�½���.} 4�Ĥޤ��Ϥ���ʾ���ѿ���
�ְ��̤ΰ��֡פδؿ������Τ����˵�ǵ޸��ۤǤ��뤫���Ȥ������䤬�����롥
�����ϵ޸��ۤǤ��뤳�Ȥ��狼�롥���ξ塢����������[17]�Ǿ������줿��

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1.13A. ����.} $s$�ѿ�($s \geq 2$)�δؿ�$H_0$��$I$�ˤ�������ۤ�
�󥼥��Ǥ���Ȥ��롥$H_0$��$I$��Ǥ�դζ�˵�ǵ޸��ۤǤʤ���С�
�����̵�¤˽��ष�Ƥ��롥���ʤ����
�������Τޤ���$H_0$�Υƥ��顼����η�������Ω�������������̵�¤���������

���������ξ����򾯤���������С�1.9����������$P$�޸��ۤ����
$S$�޸��۴ؿ��˴ؤ���Ʊ�ͤμ�ĥ�������롥����1.13A�Ȱ㤦�Τϡ�
���grad$H_0|_{I} \neq 0$���ʤ����ȤǤ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1.13B. ����.} $I$��Ǥ�դζ�˵�ˤ�����$H_0$��$P$�޸���($S$�޸���)��
�ʤ���С����������1.13A�ΰ�̣��̵�¤˽��ष�Ƥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1.14. ���Ū�޸��۵���. 1.14A.} �󥼥��θ��ۤ������޸��۴ؿ���
�����åȤν��硥��޸��۴ؿ���̵�½������ϼ��λ��¤���Ǥ롥

$J^r(s)$�ǡ�Ǥ�դ���$I$�ˤ�����$s$�ѿ��δؿ���$r$�����åȤζ��֡�
���ʤ���������Τޤ��Ǥδؿ��Υƥ��顼�����$r$���ޤǤη�������
�����٥��ȥ���֡���ɽ�魯�����ΤȤ����٤Ƥζ���
$J^r(s)(r,s = 2,3,4, \ldots)$��˰ʲ��ξ���������semi-algebraic
����$\Sigma^r(s)$�򸫤Ĥ��뤳�Ȥ��Ǥ��롥
�ޤ������ۤ������Ǥʤ���޸��۴ؿ����٤Ƥ�$r$�����åȤ�
$\Sigma^r(s)$��ˤ��롥�ܤ��������С�$r$�����åȤ�$\Sigma^r(s)$��
���ˤ���ؿ�$H_0$�Ϥ��٤�grad$H_0|_I = 0$�Ǥ��뤫��
$I$�Τ����˵�ǵ޸��ۤǤ��롥
����ˡ����٤Ƥ�$s=2,3,4, \ldots$���Ф��ơ�$J^r(s)$���$\Sigma^r(s)$��
;������$r \rightarrow \infty$�ΤȤ�̵����˸�������

����$\Sigma^r (s)$�������������ɾ���ε���Ǥ���
\footnote{$J^r(s)$�ˤ�����$\Sigma^r(s)$��;������(1.12)�α��դ�
���礦���������Ȳ��ꤹ�롥}��
�����[17]�η�̤��Ȥ˾����Ǥ��롧
$$ {\rm codim} \sum^r (s) \geq \left\{ \begin{array}{lcc}
 \max [0, r-1-\frac{s(s-2)}{4}] & {\rm for \ even} & s, \\
 \max [0, r-1-\frac{(s-1)^2}{4}] & {\rm for \ odd} & s. 
          \end{array}   \right.       \leqno(1.12)
$$

$r_m(s)$�ǡ�$I$�ˤ������󥼥��θ��ۤ����$s$�ѿ��δؿ���$r$�����åȤ�
�ְ��̤ΰ��֡פˤ����Τ�$i$�ζ�˵�ǵ޸��ۤǤ����Τ���$r$��
�Ǿ��ͤ�ɽ�魯��(1.12)��꼡��������
$$ r_m (s) \leq \left\{ \begin{array}{lcc}
 \frac{s(s-2)}{4} + 2 & {\rm for \ even} & s, \\
 \frac{(s-1)^2}{4}] + 2 & {\rm for \ odd} & s. 
          \end{array}    \right.
$$
�Ȥ���$r_m(2) \leq 2$�����$r_m(3) \leq 3$�Ǥ��롥�ְ��̤ΰ��֡פ�
����2�ѿ��ޤ���3�ѿ��δؿ������줾��(1.10)�����(1.11)�����������Ȥ�
��ĥ�����Ȥ��ˡ����Τ��Ȥ�1.12�����1.12��ǽҤ٤���
�ºݤˤ�$r_m(2)�� 2$�����$r_m(3) �� 3$�Ǥ��뤳�Ȥ����դ��褦��

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1.14B.} 
\underline{��޸��۴ؿ��Υ����åȤ�ʬ������ι���Ū����.} 
(1.12)���̤ξ��Ǿ�������
\footnote{Ʊ�ͤǤϤ��뤬����äȰ���ɾ����[17]�ǳ�Ω���줿��}��
�����Ǥ�$J^r(s)$�Τ�������ʬ����$\sigma^r(s)$�Ǥ�������
$\Sigma^r(s)$�˰��פ����Τ�����������Ū���򵭽Ҥ�����
��ǰ�ʤ��餳���ξ��ϱ��η��򤷤Ƥ��롥
�Ĥޤ�(1.2)���뤤��(1.3)�η��Ǥʤ�(1.10)�ޤ�����(1.11)�η��򤷤Ƥ��롥
(�ܤ��������ȡ��������㤤order�Υƥ��顼������
�ۤ����ѿ�(�ѥ�᡼����)��¿������������������Ϥν��ޤ�������Ƥ��롥
�ƥ��顼��������ꤷ���Ȥ��ˡ����ν��ޤ�ηϤ��ҤȤĤǤ�򤱤뤳�Ȥ�
�������ͤ���������٥��ȥ뤬$\sigma^r(s)$��°���뤳�Ȥ��̣����.) 
�����ξ�郎������������äƤ���ˤ⤫����餺��
\underline{�������٤ޤǤϡ������åȤ˱�äƤδؿ��ε޸�������
��ΨŪ�˼����Ȥ�������������Ƥ���}��

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1.14C. ����.} $\sigma^r(s)$�����������ϵ޸��۾��(1.10)
�����(1.11)�ΰ��̲��ȸ��뤳�Ȥ��Ǥ��롥�Ȥ����Τϡ�������(1.10)
�����(1.11)�˷����ᤤ����Ǥ��롥
���Τ�����$s=2,3,4, \ldots$���Ф���$\sigma^2(s) = \Sigma^2(s)$��
���������Ͻ�����(1.10)�Τ���ξ���Ʊ�ͤǤ��ꡢ
$s=2$�����$3$���Ф���$\sigma^3(s)=\Sigma^3(s)$������������
(1.11)�Ȥۤ�ξ����������ʤ���

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1.14D. ����.} $I$�ˤ������󥼥��θ��ۤ���Ĵؿ��ǡ�
�������ˤ����뤽��$r$�����åȤ�$\Sigma^r(s)$�γ��ˤ����Τ�
�޸��ۻؿ�$\alpha_i$��$s$��$r$�ˤΤ߰�¸�����̤Ǿ夫��¤��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1.15. �޸��ۤǤʤ��ؿ�����.} ��޸��۴ؿ��κǤ��ñ�����
2�Ĥޤ��Ϥ���ʾ���ѿ��������ؿ��Ǥ��롥
$$
   H_0 = \sum_{i=1}^s a_i I_i + b.
$$

$H_0$�������$G$��ͭ�¤ޤ���̵�¸Ĥ�ľ��ʬ��ޤߡ�$H_0$�򤽤���
���¤���Ȱ���Ǥ���Ȳ��ꤹ�롥���ΤȤ�$H_0$�Ϥ�����ʬ�Τɤ�����Ǥ�
�޸��ۤǤʤ��������餳��ȸ���ɤ���ΰ�Ǥ�޸��ۤǤʤ���

��äȰ��̤ξ�����ͤ��롥���ʤ����dim$\lambda \neq 0$�ʤ�
ʿ��$\lambda$�Ȥ���ʿ�̾�ˤ������$\gamma$�����äơ�$H_0$�Τ���
$\lambda$�ؤ����¤θ��ۤ�$\gamma$��Τ��٤Ƥ����Ǿä��Ƥ��ޤ��Ȥ��롥
�Ĥޤꡢ
$$ \begin{array}{ccc}
   {\rm grad} (H_0|_{\lambda})|_I = 0 & {\rm for \ all} & i \in \gamma 
   \end{array}               \leqno(1.13)
$$
���ΤȤ�$H_0$��$\gamma$��Ǥ�դ����ǵ޸��ۤǤʤ���

��޸��۴ؿ��Τ�������ϡ���$P$�޸��ۤ������$S$�޸��۴ؿ���
��Ǥ⤢�뤳�Ȥ����դ��Ƥ�����

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1.16. ���Ūɾ������ɤ����������֤�ɾ������Τ˵޸��۾�郎
���פǤ��뤳�ȡ����Τ褦��ɾ����ɬ�׾�} 
�ϥߥ�ȥ����������ꤿ�����ˡ��ϥߥ�ȥ�ؿ�
$$
   H = H_0(I) + \varepsilon H_1(I, \varphi)     \leqno(1.14)
$$
����ķϤΤ��٤Ƥβ�$I(T), \varphi(t)$���Ф��ơ�$1/\varepsilon$���
���äȾ����ʻ��֤δ֡���$I(t)$��$I(0)$�˶ᤤ���Ȥ��Ф롥
����ɾ��($\ll 1/\varepsilon$)��Ϥβ�ΰ��������֤����踳Ūɾ���ȸƤ֡�
����ư�ϥߥ�ȥ�ؿ��˴ؤ���޸��۾��ˤ���踳Ūɾ�����褤ɾ����
�ݾڤ����($H$������Ū�ʤ�ؿ��ؿ�Ūɾ����$H$�������Ĥ�����ʬ����Ƥ�
���ɾ��)��
����������ɾ����Ǥ�դ�$H_0$��ͭ����ϤǤ�����Ω�ĤΤ���������
�������ݤǤ��뤳�Ȥ��狼�롥��޸��۴ؿ��Τ��ʤ��礭����${\cal M}$��
�ʲ�����������Ĥ��Ȥ��ĥ�Ǥ��롥$H_0 \in {\cal M}$�Ȥ��롥
���ΤȤ��ϥߥ�ȥ�ؿ�(1.14)�������Ŭ������ư
$\varepsilon H_1, H_1 = H_1(H_0)$����ķϤϡ�
Ǥ�դ�$\varepsilon > 0$���Ф��Ʋ�
$I_{\varepsilon}(t), \varphi_{\varepsilon}(t)$�ǡ�
$I_{\varepsilon}(t)$�����ֳִ�$1/\varepsilon$�δ֤�
order $\varepsilon$��®���ǽ������$I_{\varepsilon}(0)$����
Υ��Ƥ�����Τ���ġ������餳���β�ΰ��������֤�
$1/\varepsilon$���Ϥ뤫�˾��������踳Ūɾ���˰��פ��롥

���������δʰ��Ǥ򤳤��ǽҤ٤褦��

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1.16A. ���.} ������ʬ����ĥ٥��ȥ������hull����ʿ�԰�ư��
������ʿ��$\lambda$��ͭ��Ū�ȸƤФ�롥(���Ʊ�͡�ʿ�̤Ȥ�
Ǥ�դμ����Υ��ե�����ʬ���֤Τ��ȤǤ���.) 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1.16B. ��ˡ.} ����褬${\bf E}^s, I \in {\bf E}^s$�˴ޤޤ��
�ؿ�����ǡ��ʲ�����������Ĥ�Τ�${\cal M}$��ɽ�魯��
���٤Ƥ�$H_0 \in {\cal M}$���Ф���${\bf E}^s$���ͭ��ʿ��$\lambda$��
����$\gamma, \gamma \subset \lambda$�ǡ��ޤ�(1.13)����������
�����������$\dot{I} = V(I)$��$\gamma$��������ˤʤ�褦�ʤʤ�餫��
���դ�ͭ�����Τ򸫤Ĥ��뤳�Ȥ��Ǥ���(?)��

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1.16C. ����.} ���٤Ƥ�$H_0 \in {\cal M}$���Ф��ơ�
�ʲ���������ͭ����$H_1 = H_1(I, \varphi)$�Ȱ��а����
$\xi: [0,1] \rightarrow {\bf E}^s$�򸫤Ĥ��뤳�Ȥ��Ǥ��롥
���٤Ƥ�$\varepsilon > 0$���Ф��ơ���(1.14)�β�
$I_{\varepsilon}(t), \varphi_{\varepsilon}(t)$��$[0, 1/\varepsilon]$��
������졢$I_{\varepsilon}(t) = \xi(\varepsilon t)$�ʤ��Τ����롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1.16D. ����.} $H_0$�ȥ٥��ȥ��$V$������Ū�ʤ顢�ϥߥ�ȥ�ؿ�
$H_1$������Ū�ˤʤ�褦��$H_1$��Ȥ뤳�Ȥ��Ǥ��롥����������ξ�������Ф롥

���η�̤�����1.16C���餷��������

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1.16E. ��.} ����ư�ϥߥ�ȥ�ؿ�$H_0$�˴ؤ��������Τ�����
���$H_0 \not\in {\cal M}$��(1.14)�β�ΰ��������֤�ɾ����
�踳Ūɾ������ɤ��ʤ뤿���ɬ�׾��Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1.16F. ����.} ${\cal M}$��°����ؿ���1.15��ν����˹ͤ���
��޸��۴ؿ��ν��פʰ㤤�ϡ�${\cal M}$�����äƤ����ؿ����б�����
ʿ��$\lambda$��ͭ��Ū�Ǥ��뤳�ȤǤ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1.16G. ����.} $I_{\varepsilon}(t)$�ε��פ϶���
$\gamma$ ($\{ | I = \xi(t), t \in [0,1] \} \equiv \gamma$)��
Ŭ������ư�Τ�Ȥǡ�����$\gamma$�ϡ�Ķ��Ƴ�����ͥ�פȤʤꡢ
����˱�ä�$I(t)$��®��$\varepsilon$��ư����

2���ȿ�($s=2$)�ηϤ��Ф��ơ��踳Ūɾ������ɤ����������֤�ɾ����
�����ɬ�׾��ϡ�${\bf E}^2$��$H_0 = H_0(I_1,I_2)$�����
\footnote{$H_0$��ͭ������ǰ���ʤ顢����ľ���������ư��ư�ο�ư��
$\dot{\varphi}_i(I) = \frac{\displaystyle \partial H_0 (I)}
{\displaystyle \partial I_i} (i=1,2)$�����ޤ������ͭ�����Ǥ��롥
��ư��$\dot{\varphi}_I(I)$�ϡ�$I$���᤿�Ȥ��ֳ��ٺ�ɸ��
$\varphi = \varphi_1, \varphi_2$����ĥȡ��饹��α�ư�ο�ư���Ǥ��롥
��ư��$\dot{\varphi}_i$�δ֤�Ʊ�ͤδط�����$H_0 \in {\cal M}$�ʤ�
2��ư������礭�ʷ�($s>2$)�Ǥ�$\lambda$��ͭ�����Ǥ���褦���б�����
�̤�����Ω�ġ�}
�Ȥʤ�褦��ͭ�������ۤ�ľ����ޤޤʤ����ȤǤ��롥
�ʲ��ǡ�$H_0$�����Τ褦��ľ����ͭ�����ֹ�®�ײ�
$I_{\varepsilon}(t), \varphi_{\varepsilon}(t)$��ͭ����褦�����󤲤롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1.17. ��®�ʲ�����Ϥ���.} 
�ϥߥ�ȥ�ؿ�
$$
   H = \frac{1}{2} (I_1^2 - I_2^2) + \varepsilon 
\sin (\varphi_1 - \varphi_2)    \leqno(1.15)
$$
����ķϤϹ�®��
$I_1=-\varepsilon t, I_2 = \varepsilon t, \varepsilon_1 = -\frac{1}{2} 
\varepsilon t^2, \varphi_2 = - \frac{1}{2} \varepsilon t^2$����ġ�

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����.} �������äơ�
���η�$H_0 = \frac{1}{2} ( I_1^2 - I_2^2)$���Ф��ơ�����(1.2)��
�ɤ��Ǥ�褷�ƥ����ˤʤ�ʤ������������ѥȡ��饹��ͭ��¬�٤�
����⥴���ս����¸�ߤˤ⤫����餺�������ѿ�$I$�ζ��֤ˤ�����
1.16G�ǵ��Ҥ�����Ķ��Ƴ�����ͥ�פ��������롥
���ξ�硢ľ��$I_1 + I_2 = 0$�����Τ褦�ʥ����ͥ�Ǥ��롥

(1.15)�˻��ƹ�®�ʲ�����Ϥ����Moser[18]��Khapaev[19]��
����Ӥ��Τۤ��οͤˤ�ä�Ϳ�����Ƥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1.18. ���������翶ư�ҡ�
�ؿ��ؿ�Ū���礭�ʻ��֤δ֤������Ϥΰ�������} 
���������翶ư�ҤȤϡ��ϥߥ�ȥ�ؿ�(1.16)����ķϤǡ�
$H_0 = \sum_{i=1}^s f_i(I_i)$�Ǥ��ꡢ$f_i$��2����ʬ��$H_0$�θ��ۤ�
�����ˤʤ�ʤ��ϤΤ��ȤǤ��롥���ξ塢������2����ʬ��Ʊ������
ͭ���Ƥ���С�$H_0$���̤Ǥ��ꡢ�������äƽ��̤Ǥ��뤫��޸��ۤǤ��롥

�������������ϤǤ��롥$s+1$�Ĥ������ߤ��˥˥塼�ȥ��ˡ§�ǰ����礤��
��Ĥ���(����)�μ��̤��Ĥ�(����)�μ��̤��Ϥ뤫���礭����
���¡��褯�Τ��Ƥ���褦�ˡ�����֤Τ����ΰ�ǷϤΥϥߥ�ȥ�ؿ���
(1.6)�η��˴�ñ�ˤʤꡢ
$$
   H_0 = - \sum_{i=1}^s \frac{C_i^{(0)}}{I_i^2}, 
$$
�Ȥʤ롥������$C_i^{(0)} > 0$������Ǥ��롥

ʪ�Τν�����֤�®�٤����۷Ϥˤ������Τˤۤ��������Ȥ��롥
12��Ǿ��������褦�ˡ����ξ�硢$1/\varepsilon$����٤ƻؿ��ؿ�Ū��
�礭�ʻ���$T$�δ֡��Ϥ������ϵ�����ʤ���
������$\varepsilon$���������̤����ۼ��̤���Ǥ��롥��ä����Τˤ����ȡ�
���ηϤ�ʪ�Τα�ư������˰ʲ����������Ȳ��ꤷ�褦��
a) �������ʱߤ˱�äƱ�ư���������ʱߤϤ���ۤɤĤ֤�Ƥ��ʤ���
�����ʱߤε�ƻȾĹ�¤�Ĺ���ϸߤ��˽�ʬ��äƤ��롥
c) ��ƻ�̤δ֤γ��٤��礭�����ʤ����ޤ������Ϥߤ�Ʊ��������ư���Ƥ��롥
���ΤȤ�������$T$�δ֤�ʪ��Ʊ�Τ����ͤ�����ʪ�Τ��Ϥ���ƨ�����ꤹ��
���Ȥ��Բ�ǽ�Ǥ��롥���ξ塢���λ������Τˤ錄�äƾ��a)��b)��
�����c)���������쵰ƻȾĹ�¤�Ĺ���ϤۤȤ���Ѥ��ʤ���

���μ�ĥ�ϼ����������ľ�ܽФƤ��ʤ����Ȥ����դ��Ƥ������ʤ��ʤ顢
���ʤ��Ȥ�2�Τ��᤹ܶ��Ȥ�����ư$H-H_0$�Ͼ������ʤ뤫��Ǥ��롥
�̤λ���(�ѱ�ư����ʬ��¸��?)��[9]�ˤ������Ʊ��ɬ�פǤ��롥���¤ϡ�
��ƻȾĹ�¤�Ĺ��$a_i$����ꤷ���Ȥ��ѱ�ư�̥٥��ȥ��Ĺ��$G$��������
��ư���߱�ư��Ʊ��ʿ�̤�Ʊ�������˵�����Ȥ����б���������֤����ζ᤯��
����ˤʤ롥������ڥ���˰ۤʤ�$\alpha_i>0$���Ф��ƿ�$\gamma$��
���Ĥ��뤳�Ȥ��Ǥ��ƾ��$a_i = \alpha_i (i=1, \ldots, s)$�����
$G \geq \gamma$������ߤε�Υ���������ʤ�᤮�ʤ��褦�ʷϤ�ŷ�Τ�
���֤��б���������֤����������ħ�դ��뤳�Ȥ��Ǥ��롥
(���$a_i=\alpha_i$�����$G \geq \gamma$��a)��b)��
�����c)����Ԥ�(sharp?)��)��
�������äƤ�������ˤ��Ƥ�����֤δ֤˶��ܾ��ͤ��Բ�ǽ�Ǥ��뤳�Ȥ�
��������ˤϡ����δ�$a_i$���Ѳ������������Ȥ��������н�ʬ�Ǥ��롥
�������褯�Τ��Ƥ����̤ꡢ$C_i^{(1)}>0$������Ȥ���
$a_i = C_i^{(1)} I_i^2$�Ǥ��롥�椨�ˡ�����ͤ����$a_i$��
�絬���к�������к����ѿ�$I_i$�����ͤ����絬���к����뤳�Ȥˤʤ롥
�Ȥ�����������Ͼ���ư��involve���뤫�顢��������̷�⤹�롥

����2�Ĥ���Ǥϼ��꤫����Υ�����ϥߥ�ȥ���ư��ͤ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1.19. ���۷Ϥΰ�����.} ���������۷Ϥ�$4 \times 10^9$ǯ���
Ĺ���ˤ錄�ä�¸�ߤ��Ƥ���ȸ��Ѥ��Ƥ��롥���δ��֤�ɾ����(1.5)
���뤤�Ϥۤ��Τ�ä����Τ�ɾ������ӤǤ��뤬�������Ϥ���򤷤ʤ���
���Ȥ����δ��֤������Υ�ɳȻ����ٸ������ˤΤ����������ˤ��Ƥ⡢
���������Ĥλ����Ǥܱۤ߱�ư�ǡ�������ۤ�Ʊ��ʿ�����ư���Ф����Τ�
�ޤä����Ϥä��ꤷ�Ƥ��ʤ����椨�����۷Ϥΰ������θ���Ǥϡ�
��ϥߥ�ȥ�Ū��ư���θ����ɬ�פ����롥�����ϥϥߥ�ȥ�Ū��ư��
��٤Ƥ��äȾ���������ɤ⡢��Ԥθ��̤�Ĺ���֤ˤ錄�ä����˾�������
�������ϥߥ�ȥ�Ū��ư�κ��Ѥˤ�ä��Ǥ��ä��졢
�Ϥ����ʾ��֤ظ����碌��褦�˸����롥

��ϥߥ�ȥ�Ū��ư�Τ���������������1�ĤȤ��Ƽ����ͤ����롥
������Ĺ��$G$����ष��γ�ҤΥ��ͥ륮��
$h_i = C_i^{(0)} C_i^{(1)} \frac{1}{a_i}$�����Ǥ��ä���
������$a_i$�Ȥ��Ʋ�ǽ���ͤ��Ф��ơ�$G$�϶���˸���������������
���ΤȤ���1.18����Ϥ�Υ��Ψ�����ε�ƻ��ư�˸�������ƻ�̤ϸߤ��ˤ���ʤ���

Ĭ���αƶ�����Ӥޤ����޼����񹳤�����Ū����̤����Ƥ����ǽ�������롥
��ñ�ʷ׻��ˤ��С�$a_i$��$G$�θ����δ֤δط����ʤꤿ�ĤΤϡ�
�ޤ����޼����񹳤Τߤ��θ�����޼���γ�Ҥ��Ϥνſ��˴ؤ���
�Żߤ��Ƥ���Ȳ��ꤷ���Ȥ��Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 1.20. �������������ϥߥ�ȥ�Ū��ư.} 
�¤ΤȤ�������ʸ�ǽҤ٤��褦�ˡ���ϥߥ�ȥ�Ū��ư���������ʤ顢
�Ϥΰ��������֤�����Ĺ���ʤ�Ȥ������Ȥϼ���������ϽФƤ��ʤ���
�������ؿ��ؿ�Ūɾ��(1.5)�����˾�������ϥߥ�ȥ�Ū��ư��������Ϥˤ�
����Ω�Ĥ��Ȥϡ����������ξ�������Ϥ���нФƤ��롥
���ΰ��̲���Ӥäݤ������м��Τ褦�ˤʤ롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����.} �ϥߥ�ȥ���ư���礭����$\varepsilon_H$��ɽ�路��
��ϥߥ�ȥ���ư���礭����$\varepsilon_N$��ɽ�魯�����Τ褦�˽񤯡�
$$
  \varepsilon = \max [2 \varepsilon_{H'}(\log \frac{1}
{(2 \varepsilon_N)^{1-\delta}})^{-1/\alpha}],
$$
������$\delta=\delta(\varepsilon)>0$��$\varepsilon \rightarrow 0$��
�Ȥ��˥����˸��������δؿ��Ǥ��롥$0 < \varepsilon < \varepsilon_0$��
���ꤹ�롥���ΤȤ�(1.4)��(1.5)���ϤΤ��٤Ƥβ���Ф�������Ω�ġ�
������$a$�����$\varepsilon_0$�ϼ�������Ʊ����ΤǤ��롥

\vspace{0.3cm}
���μ�ĥ�ϼ��Τ褦�˽Ҥ٤��롥��ʬĹ���֤ˤ錄�äƤ�\underline{�Ȼ�}��
®�����Ĥޤꡢ\underline{�����ѿ�} \underline{���Ѱ̤�ʿ��¬��}��
$$
  \max \{ 2 \varepsilon_H \exp [-(\frac{1}{2\varepsilon_H})^{\alpha}], 
(2\varepsilon_N)^{1-\delta}\}.
$$
�ˤ�ä��ޤ����Ƥ��롥�������ɾ���νŤ͹�碌�פ����Ū������Ω�ġ�
�դ��Ĥη�����ư�η����̤ˤ������Ȼ���®����ɾ����
�����Υ�ɳȻ�(���ʤ���ϥߥ�ȥ�Ū��ư����������Ȼ�)��®���˴ؤ���
�桹��ɾ������ϥߥ�ȥ�Ū��ư�ˤ��Ȼ���®�����踳Ūɾ�����¤���
�����������ʤ���

���ԤϤ��������Ҳ𤷤Ƥ��졢�༡���ˡ�ˤ�ä��ѿ��Ѵ��������뵭�Ҥ�
�����Ƥ��줿V.I.Arnold�˴��դ��롥������ˡ�ˤ�ꡢ���������
Ĵ�٤�Τ��Թ�Τ褤����֤κ�ɸ�����뤳�Ȥ��Ǥ�����
�ޤ����Ԥ�ͭ�Ѥʰո���Ҥ٤Ƥ��줿A.D.Bryuno�˴��դ��롥
