\vspace{0.3cm}
\begin{center}
2�ᡥ̤������ꡥͽ�ۡ����̲�
\end{center}

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 2.1. �礿�뵿�䡥2.1A. ���������֤λؿ��ؿ�ɾ���ξ��.} 
$I(t)$��$I(0)$����ؿ��ؿ�Ū�ˤ�ä����Υ��Ƥ�����������������
(1.2�����1.3�Ỳ��)���ְ���Ū�ʰ��֡פˤ���ϥߥ�ȥ�ؿ������Ǥ�դ�
�Ϥ��Ф��Ƥ��Τ褦�ʲ��¸�ߤ���������櫓�ǤϤʤ��������ϡ���ư��
�礭���ؤηϤΰ��������֤ΰ�¸���λؿ��ؿ�Ū��ħ��once and for all
��Ω����褦�ʤ�ΤǤ���Ϥ������԰���ʲ��¬�٤�ɾ����¸�ߤ��ʤ���

�԰���ʲ��¸�ߤβ�ǽ�������ʤ�������Υ�ɳȻ��β�ǽ����11.4��ǲ������롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 2.1B. �Ϥΰ��������֤θ��ۥ���ǥå����ؤΰ�¸��.} 
���ΰ�¸���ϻ�Ŧ���������Ǿ����Ϥ��Ƥ��ʤ����������η�̤ˤ���
���¤ζ�̣��椯�Ǥ���פʵ���Ǥ��롥

���ΰ�¸���Ϥޤ�1.11���ͽ�ۤȤ�����Ф���롥�����ǤϷ׻����ǳΤ����
��ǽ������������롥��̤����Ū�˾����Ǥ���ʤ��ä����򤤡�
(���٤Ƥβ�˴ؤ���)���������֤κǾ��ͤξ�¤���Ӳ��¤����������٤褯
���ۻؿ��������뤳�Ȥ��Ǥ�������Ԥϴ����Ƥ��롥���줬������С�
��˽Ҥ٤���¸������̩�˾����Ǥ����������

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 2.1C. �Ȼ�������.} �԰���ʲ�ư��������Ȼ������Ӽ��������
Ĵ�٤뤳�Ȥ����򤽤��Ǥ��롥�����̣�Ǥϡ�$H_0$�θ��ۤ��������ۤʤ��
�ۤʤ롥������Ȼ��������ˤ�ƶ����Ф롥���ξ塢¾�ΰ��Ҥ�Ȼ���������
�ƶ���Ϳ���롥���Ȥ���3���������붦���Ӥκ����ѿ����֤ˤ�������֤�
����Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 2.1D. �������ȶ���.} 
�����붦�Ĵط��˴ؤ��ƴ�¬��������������������Ȥ��������
����(�ܤ����ϡ����Ȥ���[20]����)�������Ȥ�����ϥߥ�ȥ�Ū��ư��
�ºݤηϤˤ��ΰ�������Ϳ���롥�ɤ�ʾ�郎������ݾڤ���Τ���

̵��ư�Ϥ��ϥߥ�ȥ�ϤǤʤ����̤η��򤷤Ƥ���Ȥ��⡢������ʸ��
Ʊ��([37]����)��Ʊ�����꤬�����롥2���ȿ��ξ�硢���η��ηϤˤ�����
���Ĥΰ�������Neishtadt[35],[36]���������Ƥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 2.2. �ؿ��ؿ�Ūɾ����¾�η��Υϥߥ�ȥ�Ϥ���������ر��Ѥ��뤳��.}
1.6��ǽҤ٤��Ȥ��ꡢ�����ѿ��ǤηϤΰ������λؿ��ؿ�Ūɾ���Ϸ�(1.6)��
�Ф��ƤФ���Ǥʤ������֤˼���Ū�˰�¸������ư��ޤ��(1.7)���Ф��Ƥ�
����Ω�ġ������Ǥϡ������2�Ĥη��Υϥߥ�ȥ�Ϥ�ͤ��롥�Ȥ���
�ϥߥ�ȥ�Ϥ�ʿ�հ��֤ζ�˵�����2�Ĥη�����������Ǥ��롥
�����ηϤ�����ΰ������λؿ��ؿ�Ūɾ���˴ؤ���̿���Ҥ٤롥

�����μ�ĥ�������˾������뤳�ȤϤ��ʤ����������ʤ���ʲ��λ��¤���
�����������������롥��(1.1)��(1.7)���Ф��Ƥ�ޤ�������ǵ�������Ϥ�
�������Ф��ƽ��פǤʤ��ѹ���ä��Ƥ⤤���Ĥ�������������Ω�ġ�
�����ηϤ���Ǥ⡢����⥴���եȡ��饹�˴ؤ����Τǻؿ��ؿ�Ūɾ����
�ᤤ��Τ�����(���������ˤ�1.2��ǿ���롥[27]�⻲��)���ؿ��ؿ�Ūɾ����
���η��������Ǥ����ɮ�Ԥ�Ǽ�����Ƥ��롥

�ʲ��ηϤȼ����ϲ��ͤ��ο͡��ˤ�ä�Ĵ�٤��Ƥ��롥���ʤ����
Siegel[4]�����[5]��Moser[21]��[22]��[23]��[12]��[13]�������[18]��
Arnold[10]��Glimm[16]��Contopoulos[24]��H\'{e}non[25]��Bryuno[26]��
����Ӥ��Τۤ��ο͡��Ǥ��롥���Ͽ������פʷ�̤����Ƥ��ꡢ
�����Τ����Ĥ��ϸ��������Ѥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 2.2A. $2s-$�����ߴĤμ���.} ����
$$ \begin{array}{cccc}
  A: (I,\varphi) \mapsto (I',\varphi'), & ������ & 
I' = I - \frac{\partial S}{\partial \varphi}, & 
\varphi' = \varphi + \frac{\partial S}{\partial I'},
    \end{array}
$$
��ͤ��롥�ؿ�$S$�Ϥ�������ؿ��Ǥ��ꡢ
$S(I',\varphi) = S_0(I') + \varepsilon S_1(I', \varphi), 
\varepsilon \ll 1$�ʤ���򤷤Ƥ��롥������
$I \in G \subset {\bf E}^s$�����$\varphi \in T^s$�Ǥ��롥
�ޤ�${\bf E}^s$��$T^s$�Ϥ��줾��$s$�����Υ桼����åɶ��֤ȥȡ��饹�Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
{\bf ����.} $L_0$��$G$�ˤ�����$P$���ۤǤ���Ȥ���(����˴ؤ��Ƥ�
1.9B����)�����ΤȤ�$G$���$S_0$��$P$���ۤλؿ��Τߤ˰�¸�������
$a>0$��$b>0$�����äơ��ʲ�����������������

$I^{(0)}, \varphi^{(0)}$���ΰ�$G \times T^s$��Ǥ�դ����Ǥ����ΰ��
�����ξ����ʶ�˵�ˤ����äƤ��ʤ���ΤȤ��롥���ΤȤ�
$$
   |I^{(m)} - I^{(0)} | < \varepsilon^b
$$
�����٤Ƥ�����$m \in [0, T]$���Ф�������Ω�ġ�������
$$
  T = \frac{1}{\varepsilon} \exp (\frac{1}{\varepsilon^a})
$$
�Ǥ��ꡢ$I^{(m)}, \varphi^{(m)}$����$A^m(I^{(0)}, \varphi^{(0)})$��ɽ�魯��

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 2.2B. ��¸�Ϥ�ʿ�հ��֤ζ�˵.} 
��ͳ��$s$��Ǥ�դμ���ϥߥ�ȥ�Ϥ��ð����ζ�˵��ͤ��롥
�����Ϥθ�ͭ�ͤϽ�����Ǥ���Ȳ��ꤷ��������
$\pm i \omega_1, \ldots, \pm i \omega_s$�ȵ�����
��ͭ��ư��$\omega_j$��order l�ޤ��Ϥ���ʲ��Τɤ�ʶ��Ĵط���
���������ʤ��Ȳ��ꤹ�롥���ʤ����$l$�򤢤뼫�����Ȥ��ơ�
$0 < \sum_{j=1}^s |k_j| \leq l$��������������ʬ�Υ٥��ȥ�
$k = k_1, \ldots, k_s$���٤Ƥ��Ф���
$$
   \sum_{j=1}^s k_j \omega_j \neq 0.
$$
]
�褯�Τ��Ƥ���Ȥ���(���Ȥ���[27]����)�����ξ�硢�ð����ζ�˵��
�����Ѵ���Ԥʤäƿ������ѿ�$q,p$���������ǥ����ˤʤꡢ���κ�ɸ�Ϥ�
�ϤΥϥߥ�ȥ�ؿ������η��ˤʤ�褦�ˤǤ��롥
$$
   H = H_0(I) + H^{(l+1)} (p,q).    \leqno(2.1)
$$
������$H_0$��$I = I_1, \ldots, I_s$�˴ؤ���¿�༰�Ǥ��äơ�
������$l/2$��������ʬ$[l/2]$���⤯�ʤ���$I_j = (p_j^2 + q_j^2)/2$��
���ꡢ�����Τޤ���$H^{(l+1)}$��$p$�����$q$�˴ؤ���ƥ��顼�����
$l+1$��̤���ι��ޤޤʤ���

(2.1)�η��򤷤��ϥߥ�ȥ�ؿ�����ķϤ�Ĵ�٤�

\vspace{0.3cm}
{\bf ����.} $H_0 = H_0(I)$��$I=0$�ζ�˵�ǵ޸��ۤǤ���Ȥ��롥
���ΤȤ�$H_0$�ε޸��ۻؿ�$\alpha_0$�ˤΤ߰�¸�������$a>0$�����
$b>0$�����äơ��ʲ�����������������
$$
  l \geq \frac{2}{b} + 1 \ (b=b(\alpha_1, \ldots, \alpha_{s-1})).
\leqno(2.2)
$$
�Ȥ�����
$p(t),q(t)$�ϸ����˽�ʬ�ᤤ������$p(0),q(0)$���������Ϥ�Ǥ�դβ��
���롥$\varepsilon = |I(0)|^{(l-1)/2}$�Ȥ�����������
$I_j(t) = (p_j^2(t) + q_j^2(t))/2$�Ǥ��롥���ΤȤ����٤Ƥ�$t \in [0,T]$
���Ф��ơ�$|I(t) - I(0)| < \varepsilon^b$�Ǥ��롥������
$T = \frac{1}{\varepsilon} \exp \frac{1}{\varepsilon^a}$�Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
�����������顢��ε��פ��ð����ξ����ʶ�˵����ˤȤɤޤ���֤�ɾ����
����������������������ɾ�����ð����ؤν����Υ�˻ؿ��ؿ�Ū�˰�¸���롥
�ð����ΰ������ν�ʬ����$H_0$�ε޸������ȳ���$l$�ޤ��Ϥ���ʲ��ζ��Ĥ�
��¸�ߤǤ��롥������$l$��$\alpha_j$��(2.2)����������

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 2.2C. ���֤˼���Ū�˰�¸����Ϥ�ʿ�հ��֤ζ�˵.} 
�ϥߥ�ȥ�ؿ���$t$�˴ؤ��Ƽ���$2 \pi$�ηϤ�stationary�ð����ζ�˵��
�ͤ��롥(��¸�ϤΥϥߥ�ȥ�ؿ��ϼ������פζ�˵�Ǥ��η��˵���Ǥ���.) 
���٤Ƥξ�������ʤ��������$2 \pi$���������Ϥβ�δ��ܹ����
substitution�θ�ͭ��$\lambda_1^{\pm}, \ldots, \lambda_s^{\pm}$��
��������$1$����ĤȲ��ꤹ�롥����餬���Ĵط�
$$
  \lambda_1^{k_1} \ldots \lambda_1^{k_s} = 1     \leqno(2.3)
$$
�ǳ���$l$����Ӥ���ʲ��Τ�Ρ��Ĥޤꤹ�٤Ƥ�$k = k_1, \ldots, k_s$��
�Ф���$0 < \sum |k_j| \leq l$�ʤ��Τ�褷���������ʤ��Ȥ��롥
���ΤȤ��ð����ζ�˵�ǷϤΥϥߥ�ȥ�ؿ���$t$�˴ؤ���$2 \pi$������
�����Ѵ��ˤ��(2.1)�η��˵���Ǥ��롥������$H^{(l+1)}$��$t$�˴ؤ�
����$2 \pi$�Ǥ��뤳�ȡ��Ĥޤꡢ
$H^{(l+1)}(p,q,t+2 \pi) \equiv H^{(l+1)}(p,q,t)$�Ǥ��뤳�Ȥ��ۤʤ롥

���η��Υϥߥ�ȥ�ؿ�����ķϤ��Ф���桹�μ������ϡ�$H_0$��
�޸��۾��������$P$�޸��۾���ݤ��Ȥ���������������2.2B�Ȱۤʤ롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 2.2D. �����������ư���ζ�˵.} ����$A$���������θ�ͭ��
$\lambda_1^{\pm}, \ldots, \lambda_s^{\pm}$����ư���ˤ����Ƥ��٤�
������$1$����ĤȲ��ꤹ�롥�����ϳ���$l$����Ӥ���ʲ��ζ��Ĵط�
(2.3)�Τɤ���������ʤ��Ȥ��롥���ΤȤ���ư���ζ�˵�ˡ��������ǥ�����
�ʤ��ɸ$p,q$������������$A$($p=q=0$�Τޤ��Υƥ��顼����γ���$l$��
����������������)�����η�����Ĥ褦�ˤǤ��롥
$$
    (I,\varphi) \mapsto (I, \varphi + \frac{\partial S_0}{\partial I}).
$$
������
$I=I_1, \ldots, I_s, \varphi = \varphi_1, \ldots, \varphi_s$�Ǥ��ꡢ$
I_j$��$\varphi_j$��
$p_j = \sqrt{2I_j} \sin \varphi_j, q_j - \sqrt{2I_j} \cos \varphi_j$��
������졢$S_0(I)$��$I_1, \ldots, I_s$�μ���$[l/2]$�ʲ���¿�༰�Ǥ��롥

���η��μ�����Ĵ�٤롥

\vspace{0.3cm}
{\bf ����.} $S_0$�ϸ����Τ����˵��$P$�޸��ۤǤ���Ȥ��롥���ΤȤ�$S_0$
��$P$�޸��ۻؿ��Τߤ˰�¸�������$a>0$�����$b>0$�ǰʲ���������
���Ĥ�Τ����롥$l \geq \frac{b}{2} + 1$�Ȥ��롥���ΤȤ���ư��$p=q=0$��
�����˵�Τ��٤Ƥ���$p{(0)},q^{(0)}$���Ф��ơ�
$I^{(m)} - I^{(0)}| < \varepsilon^b$�����٤Ƥ�$m \in [0,T]$���Ф���
����Ω�ġ�������
$T = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \varepsilon} \exp 
\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \varepsilon^a}$��������
$I^{(m)}$��$[(p_j^{(m)})^2+(q_j^{(m)})^2]/2$��ɽ�魯��������
$p^{(m)}, q^{(m)} = A^{(m)} (p^{(0)},q^{(0)}$�����
$\varepsilon = |I^{(0)}|^{(l-1)/2}$�Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\begin{center}
3�ᡥ�ؿ��ؿ�ɾ���ξ����μ礿��ȯ��
\end{center}

������Ǥϼ�����(����4.4)�ξ����Τ���Τ�����ȯ�ۤȼ�ˡ�ˤĤ���
�������롥��ñ�Τ��ᡢ�ѥ�᡼�����Τʤ��ϡ����ʤ�����ϥߥ�ȥ�ؿ�
$$
    H = H_0(I) + \varepsilon H_1(I, \varphi),   \leqno(3.1)
$$
����ķϤ��Ф��Ƶ�����Ÿ�����롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 3.1. �����β���Ū����Ӵ�����Ū��ʬ.} 
�������ξ����ϣ��Ĥ���ʬ��ʬ�����롥�ǽ�β���Ū����ʬ��Kolmogorov
�����Arnold�ˤ�äƳ�ȯ���줿��ư������ˡ([6]-[9]����)�˰ͤ롥
������ʬ�Ǥ�[8]�ǳ�ȯ���줿���Ѥ���ľ�˻Ȥ����ǽ����ʬ�μ�׻���
��Ū�Ϥ�����ֶ��Ĺ�פ�õ�뤳�ȤǤ��롥�������ʬ�ϰʲ���
���Ҥ���ֶ��ĥ�����פȡֹ�®�ɥ�եȡפδ����ؤθ���˴��ä��֤���

�������ξ����ΰ��̥��������Glimm��[16]�Ǽ����������ΰ��̥�������
(1.8�Ỳ��)�˶ᤤ���Ȥ����դ��Ƥ�����

�����β���Ū����ʬ��3.2����������롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 3.2. ����ʬ.} ��������ǤϺ����ѿ�$I$�ζ��־�Ƿ�(3.1)�β��
�ͱ�$I(t)$�ΰ������μ����ͳ���������롥$H_0$���ΰ�$G(i \in G)$�ϡ�
�ۤʤ뼡���ζ��̤ˤ�äƼ��Τ褦�ˡֽ����פ���Ƥ��롥���ʤ����
�����ζ��̤��ڤ�$I(t)$�μͱƤ�ʿ��¬�٤���ư$\varepsilon$����٤�
���äȾ�������ʿ��¬�٤ȤϽ�����Ⱥǽ����ε�Υ�ȷв���֤���Τ��Ȥ�
���äơ�����Ͻ�ʬ�礭���Ȳ��ꤹ�롥

�������̤��ѿ�$I$�ζ��֤�ʿ�̤Ǥ��롥��äȾܤ��������С�ʿ�̤�$G$��
��������ʬ�ΰ�ζ�����ʬ�Ǥ��롥�����Ǥ�¾�Ǥ⡢ʿ�̤Ȥ�Ǥ�դμ�����
���ե�����ʬ���֤�ؤ���

$G$�ν�ʬ�˾����ʤ��٤Ƥ���ʬ�ΰ�$U$���Ф��ơ��ʲ������������
�����ؿ��򸫤Ĥ��뤳�Ȥ��Ǥ��롥�����δؿ���$U$�����¤����Ȥ���
��٥���̤θ��꤬��ǵ��Ҥ����褦����������Ķ��̤Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 3.2A. ����ʬ�Υ�٥��̤θ򺹤ε���.} $U$��$G$��Ǥ�դ���ʬ�ΰ�Ȥ��롥

${\bf Z}^s$�ǡ�������ʬ��$s$�����٥��ȥ�$k=k_1, \ldots, k_s$�γʻҤ�
ɽ�魯��$\nu>0$��Ǥ�դο��Ȥ��롥

\vspace{0.3cm}
{\bf ���.} �٥��ȥ�$k \in {\bf Z}^s$�ϡ�����$I \in U$���Ф���
$|\langle k, \omega(I) \rangle | < \nu$�ΤȤ�������$U$���Ф���
$\nu$���ĥ٥��ȥ�ȸƤФ�롥������$\omega(I)= {\rm grad} H_0|_I$��
���ꡢ$\langle k, \omega \rangle$�ϥ����顼��
$$
     < k, \omega > = \sum{i=1}^s k_i \omega_i,
$$
�Τ��ȤǤ��롥

�٥��ȥ�$k \in {\bf Z}^s$��order�Ȥϡ�$|k|= \sum_{j=1}^s |k_j|$��
���ȤǤ��롥$\lambda_0$�ǡ������$N$����礭���ʤ�����(order)��$U$��
�Ф��뤹�٤Ƥ�$\nu$���ĥ٥��ȥ������hull��ɽ�魯��
$r= {\rm dim} \lambda_0$�Ȥ��ơ�$r \leq s$�Ȥ��롥

���ΤȤ�$U$���$s-r$�Ĥ�������Ω�ʳ���ʬ��¸�ߤ��롥
��������ʬ�Υ�٥���̤θ����ʿ��$\lambda_0$��ʿ�԰�ư���������롥

����ʬ�������ϥѥ�᡼����$\varepsilon, \nu, N$�ˤ�äƷ�ޤ롥
�Ȥ��ˡ�$\varepsilon$���������ۤɡ��ޤ�$\nu$���礭���ۤɡ�������
�����ʬ�˻��Ƥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 3.2B. ����ʬ�ι���.} $H= \sum_k h_k (I) e^{ik \varphi}$��
�ϥߥ�ȥ�ؿ��Υա��ꥨŸ���Ǥ���Ȥ��롥����ʬ��¸�ߤϹ����Ѵ��˶ᤤ
�����ѿ��Ѵ��ˤ�ä�$H$�����̤ʷ��˵��夵���뤳�Ȥˤ�äƾ�������롥
�������̤ʷ��϶��Ŀ�$k$����ĥϡ���˥����Τߤ�ޤ�ա��ꥨ�����
Ÿ�������ؿ��ȤۤȤ�ɰ��ʤ������δԸ�������10.3�ǹԤʤ��롥

��������ϡ����ĥϡ���˥����ξõ�פ˴ؤ����ΤǤ��뤬���Ӥäݤ�
�����м����̤�Ǥ��롥$U \times T^s$����ѿ��Ѵ�
$I, \varphi \rightarrow J, \psi$�ǥϥߥ�ȥ�ؿ���
$$
   H = \overline{H} (J, \psi) + R(J,\psi),   \leqno(3.2)
$$
�ʤ����Ȥ�褦�ˤǤ��롥
������$\bar{H}$�Υա��ꥨ����γƥϡ���˥å��ο�$k$��$\lambda_0$��°����
$$
   \overline{H} = \sum_{k \in \lambda_0 \cap {\bf Z}^s} 
\overline{h}_k (J) e^{ik \psi},
$$
�ޤ���;$R$�θ���$|{\rm grad} R|$��$N$���礭��������˾�������
$$
   | {\rm grad} R | < \varepsilon e^{-N^{1-\kappa}};   \leqno(3.3)
$$
������$\kappa >0$��Ǥ�դ˾������Ȥ�롥�ѿ��Ѵ��Τ�ȤǤκ�ɸ��
�ѷ�$|(J, \psi) - (I, \varphi)|$��$\varepsilon, \nu$�����$N$��
�٤����Ѥˤ�äƾ夫��¤��롥

����ʬ��¸�ߤ��������ˤϡ��ϥߥ�ȥ��������ε���Ǥ���ñ��ʼ���
���¤�Ȥ����Ȥ��ĤäƤ��롥${\cal H} = \sum h_k (J) e^{ik \psi}$��
����Ǥ�դΥϥߥ�ȥ�ؿ�����ķϤ�ͤ��롥���ΤȤ������ηϤΤ��٤Ƥ�
����Ф��ƥϡ���˥å�$h_k (J) e^{ik \psi}$����������٥��ȥ�$J$��
$k$�����������礹�롥

�������äƤ���̿�꤫��ϥߥ�ȥ�ؿ�$\bar{H}$����ķϤβ�μͱ�$J(t)$��
���礦��$\lambda_0$��ʿ�԰�ư����������ʿ�̾�ˤ��뤳�Ȥ��Ф롥
������ϥߥ�ȥ�ؿ�(3.2)����ķϤβ�$J(t),\psi(t)$���Ф��ơ�
$\lambda_0$�˿�ľ��$\dot{J}(t)$����ʬ��Ĺ����$|{\rm grad} R|$
����礭���ʤ���$N$��ʬ�礭���Ȥ�С�(3.3)�ˤ�ꡢ$|{\rm grad} R|$
��$\varepsilon$���Ϥ뤫�˾��������ѿ�$I$�����$\varphi$���������
��ɸ���ѷ�����ʬ�������褦��$\varepsilon, \nu$�����$N$�����٤С�
��ǵ��Ҥ�������ʬ�������롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 3.2C. ����(�ɥ�եȤȿ�ư).} �ϥߥ�ȥ�ؿ���(3.2)�η��˴Ը�����
���Ȥδ�����Ū�ʰ�̣�ϰʲ����̤�Ǥ��롥$I(t), \varphi(t)$���(3.1)��
Ǥ�դβ�Ǥ��ε��פ�$U \times T^s$�ˤ����ΤȤ��롥���ΤȤ�$I(t)$��
��ư��2�Ĥα�ư��ʬΥ���롥�ҤȤĤ���$J(t) = J(I(t),\varphi(t))$�α�ư��
���ꡢ�⤦�ҤȤĤϺ�ɸ���Ѵ��ˤ�äƾõ����ư�Ǥ��롥����α�ư��
���������ο�ư�Ǥ��롥����ϷϤΰ������ˤȤä��ܼ�Ū�Ǥʤ�������$J(t)$��
��ư��$I(t)$�α�ư���ñ��Ǥ��ꡥ$\lambda_0$������$J(t)$��®��������
����������Ǥ��롥

$J(t)$�α�ư��$I(t)$��ʿ�ѱ�ư�ޤ��ϡ֥ɥ�եȡפȸƤ٤롥������
$\lambda_0$����ʿ�԰�ư��������ʿ��$\lambda$���ڤ�ɥ�եȤ�����
�٤��������˱褦�ɥ�եȤ�®����$\varepsilon$���٤Ǥ��롥���Τ���ʿ��
$\lambda$��ֹ�®�ɥ�ե��̡פȸƤ֡�

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 3.2D. ����.} ¿����Ρ�������ͭ�²�($\sim N$)���ѿ��Ѵ��ˤ�ä�
�������ѿ�$j,\psi$��$I,\varphi$��ɽ�路���������ϥ���⥴���դ�
�����Υ�ɤ���¬�ʤۤ��礭�����ѥȡ��饹��¸�ߤ��������(1.2�Ỳ��)�Τ�
�Ȥä���Τ˻��Ƥ��롥�����Ϥ������ѿ��Ѵ���̵�����ͤ������Ȥ�
��Ŧ���Ƥ�����

���Ƽ������ξ���������δ�����Ū����ʬ���������褦��

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 3.3. �ȥ�å�.} ������Ω�ʳ���ʬ��������ѿ��ζ��֤ǤΤ�����
��٥���̤ΰ��֤�����ȤʤäƤ���$G$����ʬ�ΰ�˰�¸���롥�Ȥ���
��ʬ�ΰ褬���äơ������Ǥ�������Ω��$s$�Ĥγ���ʬ�δ������Ȥ�ʬ����
���Ȥ��Ǥ��롥��������ʬ�ΰ�Ǥ�ʿ��$\lambda$�����˽��ह�롥
�椨�ˤ����Ǥβ�$I(t),\varphi(t)$�μͱ�$I(t)$�Υɥ�եȤ�®����
��ʬ�礭��$N$���Ф��Ƥϼ¼�Ū�˥����Ǥ��롥

����ʬ�ο���$s$��꾯�ʤ����Ǥ���$I(t)$��$\varepsilon$���٤�®����
(�Ĥޤ�����Ū���礭��®����)�����Ǥʤ���������$\lambda$�˱�ä�
�ɥ�եȤ����롥���������ξ���, $H_0$���޸��ۤǤ����, 
Ϳ����줿��ʬ�ΰ褪��Ӥ�������ܤ�����ʬ�ΰ�Ǥγ���ʬ����$I(t)$��
ľ��$\varepsilon$�ξ����ʽ�����Ĥ������. ��$I(t)$��®��$\varepsilon$��
���뾮���ʥ������Τ����ˤ���(?).

��ʤ�������Τ˼��γ�ǰ��ɬ�פǤ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 3.3A. �����̤����.} 
$k \in {\bf Z}^s$��Ǥ�դ��󥼥��٥��ȥ�Ȥ��롥������$I \in G$��
$\langle k, \omega(I) \rangle = 0$�ʤ��Τ�$k$�ˤ�ä���������
\underline{1�Ŷ�����}�ȸƤ֡�$k^1, \ldots, k^r$��${\bf z}^s$����Ȥä�
$r$�Ĥ�������Ω�٥��ȥ�Ȥ��롥$I \in G$�ν���Ǥ��٤Ƥ�
$j=1, \ldots,r$���Ф���$\langle k^j, \omega(I) \rangle = 0$�ʤ��Τ�
$k^1, \ldots, k^r$�ˤ�ä���������\underline{r�Ŷ�����}�ȸƤ֡�

$k-1, \ldots, k^r$�ˤ�ä�����������̤�$r$�Ĥ�1�Ŷ�����
${\cal R}(k^j)(j=1, \ldots, r)$�θ����Ʊ��Ǥ��롥
������${\cal R}(k^j)$��$k^j$�ˤ�ä��������Ƥ��롥

����$N>1$����ꤷ�ơ�������$n$�ʲ��Υ٥��ȥ�ˤ�ä���������
�����̤Τߤ�ͤ��褦���������ν��硢�Ĥޤꤳ���ζ��̤��٤Ƥθ��ꡢ
�ι�¤��Ļ벽����Τ�ͭ���Ǥ���(��1)�����ν���ι�¤�϶��ļ��ȿ��ν���
$$
   \{ \omega \in {\bf R}^s | k \in {\bf Z}^s��¸�ߤ���0<|k|\leq N�����
<k,\omega> = 0 \}.
$$
�ι�¤�ˤ�äƷ�ޤ뤳�Ȥ����դ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 3.3B. ���ĥ�����ȥ֥��å�.} 
���Ķ��̤ˤϤ��ζ�˵���Ф��Ƥۤɶ�̣�Ϥʤ���
��Ԥ���\underline{������}�ȸƤܤ����������ξ����ˤ����ƥ������
���̤ʷ��ζ���${\cal R}$�ζ�˵�Ǥ��ꡢ����ϥ������\underline{������}��
�ƤФ�뤢��ѥ�᡼����$\nu$����ħ�Ť����롥$\nu \rightarrow 0$��
�Ȥ����󡼤�${\cal R}$�˼��̤��롥

������˲ä��ơ��ƶ��Ķ���${\cal R}$��\underline{�֥��å�}�ȸƤФ��
������տ蘆���롥�����${\cal R}$�ζ��ĥ������${\cal R}$��ޤޤ�
���٤Ƥζ���${\cal R}'$ ${\cal R}' \not\supset {\cal R}$�ζ��ĥ������
�¤Ȥκ��Ǥ���(��1)��

\vspace{1cm}
\hspace*{5cm} Fig. 1.

\vspace{1.cm}
�����󤪤�ӥ֥��å���¿���٤Ȥϡ��б��������${\cal R}$��¿���٤�
���ȤǤ��ꡢ�������֥��å����������٥��ȥ�ȤϤ��ζ��̤��������
�٥��ȥ�Τ��ȤǤ��롥

$G$��ζ��ĥ����󤹤٤Ƥ��佸���\underline{$0$�Ŷ���}�ޤ���
\underline{����}�֥��å��ȸƤ֡���������٥��ȥ�ϥ����٥��ȥ�Ǥ���Ȥ��롥

�ɤΥ٥��ȥ�$k \in {\bf Z}^s$�������Υ֥��å��䥾������Ф���
���ĥ٥��ȥ�ʤΤ����������

���̾�Ǥ⥾�����Ǥ⡢��̩�ʶ��Ĵط�
$\langle k, \omega(I) \rangle = 0$�Ϥ����ؤ�ۤʤ�$k$���Ф�������Ω�ġ�
������о�Ū�ˡ���ʬ������$\nu>0$���Ф��ơ��֥��å����Ф���
$\nu$���ĥ٥��ȥ�Ϥ��Υ֥��å����������٥��ȥ������hull $\lambda_0$��
°���롥�椨��3.3��ε�����֥��å���Ŭ�ѤǤ����֥��å���ǡ�$\lambda_0$
����ʿ�԰�ư��������ʿ��$\lambda$���ڤäƤ�$I(t)$�Υɥ�եȤ�®����
��ʬ�礭��$N$���Ф��Ƥϼ¼�Ū�˥����Ǥ��뤳�Ȥ��狼�롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 3.3C. ��®�ɥ�եȤ�ͭ����.} �ƶ��Ķ��̤˥֥��å����տ蘆����
���Τ褦�ʥ֥��å����٤Ƥν��礪��Ӥ�������ĥ֥��å���Ĥ��ä���
��Τ�ͤ��롥�֥��å���Ȥꡢ�֥��å���Ǥ�դν����������Ȥ���
�ط��������٤Ƥ�1�ť�����Ʊ������������Ĥ褦�ˤ��롥���ξ�硢
����Υ֥��å���$G$���Τ�ʤ����

$I(t)$���ƥ֥��å����ʿ��$\lambda$�˱�äƤΤ�ư���뤳�Ȥ��ꤹ�롥
�֥��å����б����륾����ΰ����Ǥ��롥$H_0$�ε޸��۾���$I(t)$��
ʿ��$\lambda$�˱�äƤ�Ǥ�դ������ؤ��Ѱ̤ˤ�äƶ��ĥ����󤫤�Ф�
�����Τ��ݾڤ��뤳�Ȥ��狼��(Fig.2)��

\vspace{1cm}
\hspace*{5cm} Fig.2

\vspace{1cm}
�֥��å��ν����������Ȥ��˻Ȥä�������ζ�����������ǡ���
���б�����֥��å��ζ᤯�ǳƥ������ФƤ����ʤ顢���줬���Υ�������
¿���٤��㤤�֥��å��˰ܤäƤ����褦�ˤǤ��롥������ͳ�ˤ�ꡢ$I(t)$��
�����$I(0)$����ư���ˤĤ�ơ�����ϼ�����¿���٤��㤤�֥��å��˰ܤꡢ
�Ǹ�����ĥ֥��å��ˤ��ɤ��夯�����ĥ֥��å��Ǥ�ʿ��$\lambda$������
���ष�Ƥ��롥����ˤ�ꡢ���Υ֥��å���Ǥ�®���ϥ����Ǥ��ꡢ������
$I(t)$��$I(0)$���餵��˱󤶤��뤳�ȤϤǤ��ʤ�����$I(t)$�϶��ĥ������
ʿ��$\lambda$�θ��꤫�鹽��������ʤ��Ĥ��������(Fig.3)��

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 3.3D. ��®�ɥ�ե��̤ȶ����Ӥθ򺹡��޸��۾������.} ����ɤϡ�
����ʿ��$\lambda$�˱�äƤΰ�ư�ˤ�äƶ����Ӥ���ȴ���Ф��뤳�Ȥ�
�޸��۾�郎�ɤΤ褦���ݾڤ��뤫���������롥

�ޤ�ʿ��$\lambda$�ȶ����̤θ����ͻ����롥${\cal R}$��Ǥ�դ�
���Ķ��̤Ȥ���$\lambda$��${\cal R}$���б�����֥��å����Ǥ�դ�
��®�ɥ�ե��̤Ȥ���$k^1, \ldots, k^r$��${\cal R}$���������٥��ȥ�
�Ȥ��롥ʿ��$\lambda$�Ϥ����Υ٥��ȥ������hull����ʿ�԰�ư������졢
${\cal R}$��$\omega(I) = {\rm grad} H_0|_I$�������˿�ľ�Ǥ���褦��
������Ǥ��롥�椨��grad$H_0|_I$��$\lambda$�˿�ľ�Ǥ���Τ�
$I \in {\cal R}$�ΤȤ�����Ӥ��ΤȤ��ΤߤǤ��롥�Ȥ�����grad$H_0$��
$\lambda$�ؤμͱƤϤ��٤Ƥ�$I \in \lambda$���Ф���
grad$(H_0|_{\lambda})_I$�Ǥ��롥�椨��$I \in {\cal R} \cap \lambda$��
ɬ�׽�ʬ���grad$(H_0|_{\lambda})_I = 0$�Ǥ��롥

���ĤΤȤ����������̤Ǥ��μ�ĥ�򶯤��Ǥ��롥
$|{\rm grad}(H_0|_{\lambda})_I|$���礭���ۤ�$I$����${\cal R}$�ؤ�
��Υ���礭�������ۤ�Ĺ���β������ɾ�������Ū���ʤ򤷤Ƥ��뤳��
����(�޸��۴ؿ����Ф���������)��$\lambda$�ȶ��ĥ�����θ����ľ�¤�
�夫���ɾ����ɬ�פȤ���롥����Ϥ��Υ�����ζ������˰�¸���롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 3.3E. ����.} ${\cal R}$��$\lambda$�θ��꤬����Ǥʤ���С�
�Ỵ�ʷ�̤�⤿�餹��Ŭ������ư$\varepsilon H_1$���Ф��ơ�
${\cal R} \cap \lambda$��ˤ��뤹�٤Ƥγ�餫�ʶ���$\gamma$��
��Ķ��Ƴ���ϡפȤʤꡢ����˱�ä�$I(t)$��$\varepsilon$��®����ư����
�����α��Ϥ�1.16��ǵ��Ҥ����������Ǥ��̤ξ�����ħ�Ť����줿��
���ʤ����$\gamma$��ͭ����$\lambda$��ˤ��ꡢ���٤Ƥ�$I \in \gamma$��
�Ф���grad$(H_0|_{\lambda})_I =0$�Ǥ��ä���3.3D��λϤ�ε����ˤ�ꡢ
���ξ��ϼº�$\gamma \subset {\cal R} \cap \lambda$��Ʊ�ͤǤ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 3.3F. ����.} ��®�ɥ�եȤΤ��٤Ƥ�ʿ��$\lambda$��
${\cal R} \cap \lambda$�γ����ˤ�����$H_0$�Υ�٥��̤��ܤ���
����ʳ��Ϥɤ��Ǥ��ܤ��ʤ���

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 3.4. �ؿ��ؿ�ɾ����Ƴ��.} �����Ǥϻؿ��ؿ�Ūɾ����Ƴ����褦��
�ط���ɤΤ褦�����뤫���������롥

�����Ӥ�ʿ��$\lambda$�θ���(3.3C��Ǥ���äݤ����Ҥ���)����������
�ȥ�åפ������Ǥ��뤫�Τ���뤿��ˡ������Υ�����ζ�������ʬ��
�������Ȥ�ɬ�פ����롥1�ť�����ϺǾ���������ĤΤǡ�$1/N$�Τ�������
�٤�����礭���Ȥ�ʤ���н�ʬ�Ǥ��롥�����$\nu_0 = \nu_0(N)$��ɽ�魯��
($\nu_0$�䤳������ǹͤ���ۤ��δؿ������Τ�������̤ΤȤ����ǹԤʤ�.) 
�������ξ����ǻȤ����٤Ƥε���ϡ�$\varepsilon$�������$M$��Ȥ����Ȥ�
�����Ƥ����Τ�Τ�Ʊ���Ǥ��롥¿����$M$�Ϥ���ä���̣���Ѥ��롥
����ɾ���ε��Ū���ʤϵ޸��۾���ɾ�����餷�������������κݤ�1�ť�����
�ζ�����$\nu_0(N)$�ϲ�ǽ�ʸ¤��礭���Ȥ롥

�֥��å���α�ư��ʿ��$\lambda$�˱�äƤΤߵ�����Ȳ��ꤷ�Ƥ�����
���¤Ϥ����Ǥʤ�����ǹԤʤä��ȥ�åפι����ˤ�����ʿ��$\lambda$��
���ζ�˵���֤�������ɬ�פ����ä��������ζ�˵�θ�����$1/N$�Τ٤�
�Ȥ��Ƥ���$b_1 = b_1(N)$����礭���ʤ���С������ι���ˡ�ؤΤ���
�����Ϥʤ�����Ū�ʰ㤤��⤿�餵��������Ʊ��$1/N$�ȤȤ�˾�����ľ�¤�
�ȥ�åפ�Ϳ���롥

�ƥ֥��å����$I(t)$��ʿ��$\lambda$��$b_1$��˵��ư���Ȥ�����ĥ��
���������뤿��ˡ����ĥϡ���˥����ξõ�˴ؤ�������(3.2B�Ỳ��)��
�Ȥ������Ǥ褤�����Τ���ˤϼ���3�Ĥξ�郎����Ω�Ƥн�ʬ�Ǥ��롥
�ޤ��õ�˴ؤ�������Ϥ��٤ƤΥ֥��å���Ŭ�Ѳ�ǽ�Ǥ��롥���Τ���ˤ�
�֥��å���������Ȥ��Υ�����κǾ��ζ�����$\nu_0$��������$\nu$��
�礭���Ȥ�ʤ���н�ʬ�Ǥ��롥������ˡ�
�ѷ�$|(I,\varphi) - (J,\varphi)|$��$b_1/2$��Ķ���ʤ���
�����$I(t)$��$\lambda$��$b_1/2$��˵��ֿ�ư�פǽФʤ��褦�ˤ���
�����ɬ�פǤ��롥�軰��$I(t)$�Ϥ��ζ�˵��ɥ�եȤˤ�äƽФʤ���
���Τ���ˤϤ������α�ư����$T$�����¤���ɬ�פ����롥

3.2B�����դ����褦�ˡ���ɸ���ѷ��Ͼ夫���ɾ����$\varepsilon, \nu$
�����$N$�ε���Ѥη��򤷤Ƥ��ꡢ�����$b = b(\varepsilon, \nu, N)$��
ɽ�魯���ޤ�ʿ��$\lambda$���ڤ�ɥ�եȤ�®����
$\varepsilon \exp (-N^{1 - \kappa})$��Ķ���ʤ���
������$\kappa>0$��Ǥ�դ˾��������椨�ˤ����3�Ĥξ�郎����Ω�Ĥ���ˤ�
$$  \begin{array}{r}
   \nu \leq \nu_0 (N), \\
   b(\varepsilon, \nu, N) \leq \frac{1}{2} b_1(N), \\
   T \cdot \varepsilon \exp ( -N^{1-\kappa}) \leq \frac{1}{2} b_1(N).
    \end{array}
$$
�Ǥ���н�ʬ�Ǥ��롥

��������������������$T$���ͤϷϤΰ��������֤�ɾ���Ǥ��롥
�����$T$���ͤȤ��Ʋ�ǽ�ʤ�äȤ��礭���ͤ����뤳�ȤǤ��롥
�����ܤ���������ꡢ���Τ���ˤ�$N$���Ǥ�������礭������ɬ�פ����롥
$\nu_0(N), b(\varepsilon, \nu, n)$�����$b_1(N)$�ζ���Ū���ͤ������ܤ�
����������������Ф狼��褦�ˡ��������������������ˤ��ơ�$\nu$��$N$
��$\varepsilon$��ɽ�碌�С�$N$�κ����ͤ������롥�����������ϵ��Ū
�����ʤ򤷤Ƥ��뤫�顢$\nu$��$N$�Ϥ��줾��$\varepsilon$��$1/\varepsilon$
��������Ǥ��롥

�����ܤ���������ꡢ
$T = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \varepsilon} 
\exp N^{1-2 \kappa}$�ȤȤ�롥$N=N(\varepsilon)$��$1/\varepsilon$��
����Ǥ��뤫�顢����������$T$�λؿ��ؿ�Ūɾ��
$$
     T = \frac{1}{\varepsilon} \exp \frac{1}{\varepsilon^a}.
$$
�����롥

��������4����꼰������5-9��Ǿ������롥���������ĥϡ���˥�����
�õ�˴ؤ��������10��Τ����ε���Ū������ˤ��롥