%\frac{\displaystyle }{\displaystyle }
\vspace{0.3cm}
\begin{center}
{\bf 10 �ᡥ����harmonics�ξõ�˴ؤ������ꡢ
����Ӽ������ξ�����ɬ�פʵ���Ū������Ľ�}
\end{center}

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 10.1A. ���.} ���Ʊ��${\bf Z}^s$��������ʬ��$s$�����٥��ȥ�γʻҤȤ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 10.1B. ���.} �٥��ȥ�$k = k_1, \ldots, k_s \in {\bf Z}^s$��
�����Ȥ�$|k| = \sum_{i=1}^s |k_i|$�Τ��ȤǤ��롥

$U$��ʣ��${\bf C}^s$���֤ޤ��ϼ¶���${\bf R}^s$��Ǥ�դ���ʬ����Ȥ��롥
$H_0$��$U$���(���ʤ��$U$�Τ����˵���)��ʬ��ǽ�ʤ����ޤä��ؿ��Ȥ���.

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 10.1B. ���.} �٥��ȥ�$k \in {\bf Z}^s$��$U$���Ф���$\nu$
���ĥ٥��ȥ�ȸƤФ��Τϡ����ʤ��Ȥ�1��$I \in U$�ˤ�����
$$
    | \langle k, \omega(I) \rangle | < \nu,
$$
�ʤ�Ȥ��Ǥ��롥������$\langle , \rangle$�ϥ����顼�ѤǤ��ꡢ
$\omega(I) = {\rm grad} H_0|_I$�Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 10.2. $H$�ε���.} �ʲ�������10.3�ˤ�����$H$��
$$
    H = H_0(I) + H_1(I, p, \varphi, q)
$$
�η��δؿ��Ǥ��ꡢ$\varphi_1, \ldots, \varphi_s = \varphi$�˴ؤ���
$2 \pi$�����Ǥ��롥������$I$��$s$������$p$��$q$��
$n \geq s \geq 1$�Ȥ���$(n-s)$�����٥��ȥ�Ǥ��롥
�ޤ��ʲ��ξ�郎����Ω�Ĥ��Ȥ��ꤹ��(���ξ���4.3��Τ�Τȼ㴳�ۤʤ�)��

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 10.2A. .} $H$��ʣ�ǽ���
$$
    \Delta F: I, p, q, \in A, |{\rm Im} \varphi | \leq \rho,
$$
��ǲ���Ū�Ǥ��롥������$A$���Ľ���Ǥ��ꡢ$\rho > 0$�Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 10.2B.} $A_I = \{ I| I, p, a \in A�ʤ�p�����q��¸�ߤ��� \}$��
�����ȡ�����$m < \infty$���Ф���
$$
    \sup_{I \in A_I} \parallel \frac{\partial^2 H_0(I)}{\partial I^2} 
\parallel \leq m
$$
�Ǥ���((4.2)����)��

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 10.3. (����harmonics�ξõ�˴ؤ���)����.} $H$��$\Delta F$���
�������Ƥ���Ȥ��롥�����$H$�����$\Delta F$�Ͼ�ǵ��Ҥ��줿��Τ�
���롥$M,N$�����$\nu$�������ǡ��ʲ���3�Ĥ��������������Ȥ��롥

$$
    \sup_{\Delta F} | {\rm grad} H_1 | \leq M.   \leqno{A.}
$$

B. $\lambda$��$A_I$���Ф���⡹����$N$��$\nu/2$���ĥ٥��ȥ�
$k$ ($|k| \leq N$)���٤Ƥ������ϥ��ɽ�魯�����ΤȤ�dim$ \lambda < s$�Ǥ��롥

C. $\kappa \in (0,1)$�����äơ�$M,N$�����$\nu$���Ф���
$$
    N > N_0,   \leqno(10.1)
$$
�Ǥ��롥������
$$ \begin{array}{rl}
  N_0 = & N_0(s,\kappa) = \\ 
      = & 
\{ \frac{\displaystyle 27(1-\kappa)(s+1)} 
        {\displaystyle \kappa \log 2} 
\log [ \frac{\displaystyle 3(1-\kappa)(s+1)} 
            {\displaystyle 2 \kappa} 
( \frac{\displaystyle 9}
       {\displaystyle \log 2} )^{\frac{1}{1-\kappa}} 
(16L_1)^{ \frac{\displaystyle \kappa}
              {\displaystyle (1-\kappa)(\varepsilon + 1)} } 
      ] \}^{\frac{1}{\kappa}}, 
   \end{array}
$$

$$
 32mL_2 ( \frac{\displaystyle 9}
               {\displaystyle \log 2} )^{2s+2} 
\frac{\displaystyle MN^{2(s+1)(1-\kappa)}}
     {\displaystyle \nu^2} < 1, 
     \leqno(10.2)
$$
$$
 \frac{4n}{\sqrt{n}} 
( \frac{\displaystyle \log 2}
       {\displaystyle 27})^s 
\frac{\displaystyle \nu}
     {\displaystyle N^{s(1-\kappa)}} < 1,
     \leqno(10.3)
$$
�����
$$ \begin{array}{cc}
   L_1 = 6 e (\frac{6s}{e}),  & L_2 = 4 \pi s \sqrt{s 3^{2^s}},
   \end{array}
$$
�Ǥ��롥

$$
  b = \rho L_3 
\sqrt{ \frac{\displaystyle MN^{ (s+2)(1-\kappa)
                              } 
            }
            {\displaystyle \nu
            } 
     },         \leqno(10.4)
$$
�Ȥ�����������
$$
 L_3 = \frac{\displaystyle 8} 
            {\displaystyle 3} 
\sqrt{[2 \pi n \sqrt{3n} 3^s]} 
( \frac{\displaystyle 9}
      {\displaystyle \log 2})^{(s+2)/2}. 
$$
���ΤȤ�����Ū������ʬƱ�����$B: J,P,\psi,Q \mapsto I,p,\varphi,q$�ǡ�
�ʲ�����������Ĥ�Τ����롥

D. $B$��$\Delta F$�˴ޤޤ�뽸��򽸹�
$$
  \Delta F_1 = \{ I, p, q \in A-b, |{\rm Im} \varphi| \leq \rho_1 \},
$$
�ξ�˼̤���������
$$
  \rho > \rho_1 > 0.
$$

E. $B$�ȹ�������${\cal E}$�η���$C$�Ǥκ��ϼ��Τ褦��ɾ�������
$$
  \parallel B {\cal E} \parallel < \frac{b}{15}, 
$$
������
$$
  \parallel B {\cal E} \parallel = \sup_{B^{-1} (\Delta F_1)} 
|B(J, P, \psi, Q) - J, P, \psi, Q|. 
$$

�ѿ�$J,P,\psi,Q$�Ǥϡ��ϥߥ�ȥ�ؿ�$H$��
$$
  H' = \overline{H} (J, P, \psi, Q) + R (J, P, \psi, Q), 
$$
�ʤ���򤷤Ƥ��롥������$\bar{H}$�����$R$�ϰʲ�����������ġ�

F. $\bar{H}$�Υա��ꥨ����Ͽ�$k$��$\lambda \cap {\bf Z}^s$��
°����褦�ʥϡ���˥����Τߤ�ޤࡥ���ʤ����$\bar{H}$�ϼ��η��򤷤Ƥ��롥
$$
  \overline{H} = \sum_{k \in \lambda \cap {\bf Z}^s} 
h_k (J, P, Q) e^{ik \psi}.
$$

G. �¤�$\psi$���Ф��ơ��Ĥޤꡢ���٤Ƥ���
$J,P,\psi,Q \in B^{-1}(\Delta F_1) \cap \{ {\rm Im} \psi = 0 \}$��
�����ơ�$\psi_j$�˴ؤ���$R$����ʬ$R_{\psi_j}$��ɾ���Ȥ��Ƽ������롥
$$ \begin{array}{cc}
  |R_{\psi_j} | < 8 \pi s^{1/2} M \exp (-\rho N^{1-\kappa} ) 
& (j=1, \ldots, s).
   \end{array}
$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 10.4. ����.} ���¡�����10.3�ξ�����ꡢ$\bar{H}$��
$$
  \overline{H} = H_0(J) + \overline{H}_1 (J, P, Q) + 
{\cal H} (J, P, \psi, Q), 
$$
�ʤ���򤷤Ƥ��뤳�Ȥ��Ф롥������
$\bar{H}_1 = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle (2 \pi)^s} 
\oint H_1(J,P,\psi,Q)$�Ǥ��ꡢ$|{\cal H}|$�����
$|{\rm grad} {\cal H}|$��$M$���Ǥ��롥�ܤ��������С�
$|{\cal H}| < 4 \pi M \sqrt{s}$�����
$|{\rm grad} {\cal H}| < 
\frac{\displaystyle 8 \pi M}{\displaystyle \rho} \sqrt{s}$�Ǥ��롥
���ξܤ���ɾ��������4.4�ξ����ǤϻȤ�ʤ���

����������������

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 10.5. (�����ʻҤ������˴ؤ���)����.} ${\bf E}^s$����Ȥä�����
�٥��ȥ�$x = x_1, \ldots, x_s$������$\nu>0$�����${\bf Z}^s$����Ȥä�
$|k^j| \leq N(j = 1, \ldots,r$�ʤ�$r$�Ĥ�������Ω�ʥ٥��ȥ�$k^j$���Ф���
$$ \begin{array}{cc}
  |\langle k^j, x \rangle| < \nu & (j=1, \ldots, r),
   \end{array}
$$
�Ǥ��롥������$\langle , \rangle$�ϥ����顼�ѤǤ��롥$k^j$��ĥ����
${\bf E}^s$��$r$����������ʬ���֤�$\lambda$��ɽ�魯��
���ΤȤ�$\lambda$�ؤ�$x$��ľ��ͱƤ�Ĺ����$r N^{r-1} \nu$��꾮���������ʤ����
$$
  |{\rm pr}_{\lambda} x| < r N^{r-1} \nu
$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 10.6. �޸��۴ؿ��ȳ�ʿ�̶���.} 
$H_0$�Ϥ����ΰ�$G \subset {\bf E}^s$��ǰ��̲��޸��ۤǡ�
����$g,m, C_1, \ldots,$ $C_{s-1}, \delta_1, \ldots, \delta_{s-1}$�����
�ؿ�$\alpha_1, \ldots, \alpha_{s-1}$(���7.3����)����ĤȤ��롥
$\lambda$��${\bf E}^s$��Ǥ�դΥ��ե�����ʬ���֤ǡ�
dim$\lambda = r, r=1, \ldots, s-1$�Ȥ��롥$\gamma$�ϰʲ������������
Ϣ³�����Ȥ��롥

A. $\gamma$��${\bf E}^s$���ʿ��$\lambda$��$b$��˵�ˤ��롥
�Ĥޤꡢ$\gamma \subset \lambda + b$��������$b>0$��

B. $\gamma$��2��$I_0$��$I_1$���ӡ�$I_0$���濴�Ȥ���Ⱦ��$d$��
�ĵ�$\overline{U(I_0,d)}$�˴ޤޤ�롥�ޤ�$I_1$�Ϥ��ε�ζ�����°���롥

C. $\overline{U(I_0,d)}$��$G$�˴ޤޤ�롥

D. $d$��$b$�ϰʲ�������������������
$$
  d < \min [g/3m, \delta_r],   \leqno(10.5)
$$
$$
  \varepsilon < g/4,          \leqno(10.6)
$$
$$
  b < \min [d/4, \varepsilon/4m],   \leqno(10.7)
$$
������
$$
  \varepsilon = \frac{C_r}{5} (\frac{d}{2})^{\alpha_r}.
$$

���ΤȤ�$\gamma$���
$$
  |{\rm grad} (H_0 |_{\tilde{\lambda}})|_{\tilde{I}} | > \varepsilon, 
$$
�ʤ���$\tilde{I}$�򸫤Ĥ��뤳�Ȥ��Ǥ��롥������$\tilde{\lambda}$��
${\bf E}^s$�Υ��ե�����ʬ���֤ǡ�$\lambda$��ʿ�԰�ư�ˤ�ä�����졢
$\tilde{I}$���̤롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 10.7. ����.} $s \geq 2$��Ǥ�դ������Ȥ��롥
$g, m, C_1, \ldots, C_{s-1}, \delta_1, \ldots, \delta_{s-1}$�����
$\rho$��Ǥ�դ������Ȥ���$\alpha_1, \ldots, \alpha_{s-1}$��
1�ʾ�Ǥ���Ȥ���$n \geq s$�Ȥ��롥����餹�٤Ƥο������
�����δؿ�������ȸƤ֡�

���������������Ф���ñ��θ�ִط��פ�Ȥ�������������$M>0$���������
$$
  \kappa, N, N_1, \nu, \nu_0, \nu_1, \ldots, \nu_{s-1}, b, b_1, d_0, 
\ldots, d_{s-1}, \varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_{s-1}, d, T, 
  \leqno(10.8)
$$
��ޤ�ط���ͤ��롥������$r=1, \ldots, s-1$�Ǥ��롥
$$
  \kappa < 1, \leqno(9.8)
$$
$$
  N \leq N_1,  \leqno(9.1)
$$
$$
  \nu_{s-1} \leq g/2sN_1^{s-1},  \leqno(8.5)
$$
$$
  \nu_r \leq \varepsilon_r / r N_1^{r-1},  \leqno(8.6)
$$
$$
  \varepsilon_r = \frac{C_r}{5} (\frac{d_r}{2})^{\alpha_r},  \leqno(8.9)
$$
$$
  d_{r-1} \leq \frac{1}{2mN_1} \nu_r,  \leqno(8.7)
$$
$$
  b \leq b_1,  \leqno(9.3)
$$
$$
  4mbN \leq \nu,  \leqno(5.2)
$$
$$
  b = A_1 
\sqrt{ \frac{\displaystyle MN^{ (s+2)(1-\kappa) 
                              } 
            }
            {\displaystyle \nu } 
     },         \leqno(10.4)
$$
���������$A_1$����Ӱʲ��˽ФƤ������$A_2$��$A_3$��(10.9)��Ϳ�����롥
$$
  N_0 < N,  \leqno(10.1)
$$
������
$$
  N_0 = \{ \frac{\displaystyle 27(1-\kappa)(s+1)}
                {\displaystyle \kappa \log 2} 
\log [ \frac{\displaystyle 3(1-^kappa)(s+1)}
            {\displaystyle 2 \kappa} 
  (\frac{\displaystyle 9}
        {\displaystyle} \log 2)^{1/(1-\kappa)} \cdot 
       A_2^{\frac{\displaystyle \kappa}
                 {\displaystyle (1-\kappa)(s+1)}}    ]  \}
$$

$$
  A_3 \frac{\displaystyle M N^{2(s+1)(1-\kappa)}}
           {\displaystyle \nu^2} < 1,   \leqno(10.2)
$$

$$
  \frac{\displaystyle 4n \sqrt{n}}
       {\displaystyle sm} 
(\frac{\displaystyle \log 2} {\displaystyle 27})^s 
\frac{\displaystyle \nu}{\displaystyle N^{s(1-\kappa)}} < 1,   
\leqno(10.3)
$$

$$
  b < \rho/2,   \leqno(5.3)
$$

$$
  T \leq \frac{\displaystyle \rho}{\displaystyle 16 \pi s} b 
\frac{1}{M} \exp (\rho N^{1-\kappa}), \leqno(5.4)
$$

$$
 4(d_0 + d_1 L \ldots + d_{s-1}) \leq d,   \leqno(9.5)
$$

$$
  d_r < \min [g/3m, \delta_r],   \leqno(8.1)
$$

$$
  \nu_{r-1} \leq \nu_r/2,     \leqno(8.8)
$$

$$
  \nu < \min [\nu_0, \nu_1, \ldots, \nu_{s-1}],   \leqno(9.2)
$$

$$
  \varepsilon_r < g/2,   \leqno(8.2)
$$

$$
  b_1 < d_0,    \leqno(8.4)
$$

$$
  b_1 < \min [d_r/4, \varepsilon_r/4m],   \leqno(8.3)
$$

$$
  4b < d.     \leqno(9.4)
$$
������
$$ \begin{array}{ll}
  A_1 = \frac{8}{3} \sqrt{ [2 \pi n \sqrt{(sn)} 3^s] } 
( \frac{\displaystyle 9}
       {\displaystyle \log 2} )^{(s+2)/2} \rho & 
A_2 = 96 e (\frac{6s}{e})^s, \\
  A_3 = \frac{\displaystyle 128}
             {\displaystyle 9} s^{3/2} 
( \frac{\displaystyle 27}
       {\displaystyle \log 2} )^{2s+2} m. & 
  \end{array}    \leqno(10.9)
$$

���ΤȤ�������������������$M_0>0$($M_0$���ͤ�����ξ��������
Ϳ������)�����롥���ʤ�������٤Ƥ�$M \in (0,M_0)$���Ф���
��(10.8)���ͤ򸫤Ĥ��뤳�Ȥ��Ǥ��������$M$����ˤ��ƾ�δط���
���������Ȥ��Ǥ��롥������
$$ \begin{array}{cc}
 d = M^{ \frac{\displaystyle 3}
              {\displaystyle (12 \zeta + 3s + 14) \alpha_{s-1} } 
       }, & 
 T = \frac{\displaystyle 1}
          {\displaystyle M} \exp 
[  ( \frac{\displaystyle 1}
          {\displaystyle M}
    )^{ \frac{2} 
             {12 \zeta + 3s + 14} 
      } 
], 
  \end{array}
$$
���������$\xi$��(4.1)��Ϳ�����롥

\vspace{0.3cm}
\begin{center}
{\bf 11 �ᡥ�������ξ����˴ؤ�������}
\end{center}

������Ǥϣ����Ʊ�ͼ��η��Υϥߥ�ȥ�ؿ�����ķϤˤĤ��Ƶ������롥
$$
   H = H_0(I) + \varepsilon H_1(I, \varphi).    \leqno(11.1)
$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 11.1. harmonic�Τ٤�������Ӥ��ο��μ����ؤΰ�¸��.} 
$\sum \varepsilon h_k (I) e^{ik \varphi}$����ư$\varepsilon H_1$��
�ա��ꥨ����Ȥ���$I(t), \varphi(t)$���(11.1)��Ǥ�դβ�Ȥ��롥
�ϡ���˥å�$\varepsilon h_k (I) e^{ik \varphi}$�Τ٤��Ȥϡ�
���Υϡ���˥å��αƶ��ˤ�ä�stipulate���줿$I(t)$���Ѱ̤�®����
���ȤǤ��롥�������äƥϥߥ�ȥ���������ꡢ
���αƶ���$\varepsilon h_k(I)$�����㤷��
���褽$\varepsilon |k| h_k(I)$�Ǥ��롥�ϡ���˥å��ο����Ϥ��ο���
����$|k|$������ȤȤ�˵�®�����礹�롥���Ȥ��С�$H_1$������Ū�ʤ顢
����ʸ�����Ψ�ϻؿ��ؿ�Ū�Ǥ��뤳�ȡ��Ĥޤꡢ
$|h_k| < M e^{-|k| \rho}$���ꤹ�롥
������$M>0$��$\rho > 0$��$k$�˰ͤ�ʤ���
������ϡ���˥å��Τ٤���$|k|$������Ū�����礹��Ȼؿ��ؿ�Ū�����礹�롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 11.2. harmonic�ο��ζ��ĥ���������ΰ�¸��.} 
$k$���ܤΥϡ���˥å��ϡ��ۤȤ�ɤ�����Ȥ���$I(t)$�ξ����ʿ�ư�Τߤ�
���������������Υϡ���˥å��϶��������ӡ�
��$\langle k, \omega (I) \rangle = 0$�ζ�˵��
�Τߤ�$I(t)$����Ω�Ĥۤɤ��Ѱ̤�Ϳ���롥

���̡����Υ������thickness��ϡ���˥å��ο��γ���$|k|$��������
��������ˤĤ�ƻؿ��ؿ�Ū�˸��������̤ˤ�ä��ޤ����Ƥ��롥
�����������鸫�ơ�����ɾ����1.13��ΰ�̣��̵�¤˽��ष�������̤ˤ��ơ�
Ǥ�դ�����ư�ϥߥ�ȥ�ؿ�$H_0$����ķϤ��Ф�������Ω�ġ�
$H_0$�����̤ʤ饾����θ����ϥϡ���˥å��ο�������躬�˶ᤤ��

������θ����Υ�����γ���$|k|$�ؤΤ��ΰ�¸���ϼ������ξ����ˤ����Ƥ�
��θ����ʤ��ä���(������θ����϶��Ĥ���$\nu$�˷�ӤĤ��Ƥ��ꡢ
$\nu$��$|k|$�Ȥ���Ω�����Ф줿��)���ΰ�¸����׻�����С�
������������������������֤�ɾ��((4.5)�ޤ���(1.5)����)�����
���$a$���ͤ�ɾ���ϲ���������������

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 11.3. �ȥ�åפ�ľ�¤ζ��Ĥ�¿�����ؤΰ�¸������Ӷ��Ĥ�������
�٥��ȥ�ζ˾�����$|k|$�ؤΰ�¸��.} 
�������ξ����ˤ����ƽ�����$I(0)$��$\varphi(0)$�������
$I(0)$��$r$�ť֥��å���°����褦�ʲ���Ф����ʤ�ľ�¤���$d_r$��
��ä��ޤ����롥������$\varepsilon \ll 1$���Ф���
$d_{r+1} \gg d_r$�Ǥ��롥����Ϥ��Υ֥��å����б����붦�Ĥ�¿���٤�
���礹��ˤĤ��櫤�ľ�¤����礹�뤳�Ȥ�ȿ�Ǥ���롥

櫤Υ������Ϥ��ζ��Ĥ��������٥��ȥ�ζ˾������˰�¸���롥
�������礭���ۤ�櫤�ľ�¤Ͼ����������Τ���櫤ؤΥɥ�եȤ��٤�
(11.1�ᤪ���11.2�Ỳ��)��

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 11.4. ���ĤνŤʤꡥ�����Υ�ɳȻ�.} �������ξ����ˤ����룱�Ĥ�
���פʥѥ�᡼�����ϡ�����ȤʤäƤ��붦�ĤκǤ�⤤����$N$�Ǥ��롥
�����ζ��Ĥ��б����륾�����Ȥäơ��֥��å���������
���Τ��줾�����ǹ�®�ɥ�եȤ�ʿ��$\lambda$�˱�äƤΤߵ����롥
����ʿ�̤Ϥ��Υ֥��å����Ф��붦�ĥ٥��ȥ�ǡ�������$N$�ʲ��Τ�Τ�
�����ϥ뤫��ʿ�԰�ư�������롥���Υ֥��å����Ф��붦�ĥ٥��ȥ��
ʿ��$\lambda$��ʿ�ԤǤʤ���ΤϤ��٤Ƽ�����$N$����礭����
�ϡ���˥����ǿ��������Υ٥��ȥ�Ǥ����Τϡ��֥��å��Ȥ�����
�ϡ���˥������б����륾����Ȥθ���ؤ�$\lambda$���ڤ�ɥ�եȤ�
������������$N$���礭����С����Υɥ�եȤ�®���Ͼ�������
�ɥ�եȤ�����������ϡ���˥����ο���������������Ǥ��롥
����®���Ϥ����Υϡ���˥��������ѥ�˶ᤤ��
($\sim \varepsilon \exp(-N)$)��ɾ������롥

$N$���礭�᤮�ʤ��Ȥ����ƥ֥��å����ʿ��$\lambda$�ζ᤯��ư����
$I(t)$��$1/N$�ȤȤ�˾����ʥȥ�å���ˤ��롥
$N$���礭�����뤳�Ȥˤ�ꡢ$\lambda$���ڤ�ɥ�եȤ�®����ɾ����
�������졢����ˤ�ä�$I(t)$��櫤ǲᤴ�����֤�ɾ������������롥
������ͳ�ˤ�ꡢ$N$�ϤǤ�������礭���Ȥ�ɬ�פ����롥
�Ȥ������ʲ��λ���ˤ�ꡢ$N$��ݸ¤ʤ����䤹���ȤϤǤ��ʤ���
$N$�����礹��ȤȤ�ˡ����ĥ���������ܤϤ������̩�ˤʤꡢ
�����ͤ���ʹߤϡ���Ω����櫤ηϤϤ�����̩�ʳ����򼺤���
�����ѿ����֤ؤ�����֤μͱ�$G$���Τ˹Ԥ��Ϥ����ܤξ���ʬ�ν��ޤ��
�ʤäƤ��ޤ���$G$��Ǥ�դ�2�����Ф��ƷϤβ�μͱ�$I(t)$�ϡ�
����������(transition)�˱�ä�ư���Ĥġ�����������Ǥ�դ˾�����
��˵����⤦����������Ʊ���ͤʶ�˵�˰ܤ����롥����餹�٤ƤϳȻ���
��ǽ���򼨤��Ƥ��롥�Ȼ�Ψ�������ʼ�����1�Ŷ��Ĥαƶ�������Ǥ����Ф�
�礭���褦��(��4)��

\vspace{1cm}
\hspace*{5cm} ��4

\vspace{1cm}
�Ȼ��ε����Ϥޤ������ˤ���������Ƥ��餺���ְ��̤ΰ��֡�(2.1A�Ỳ��)��
����Ϥ��԰���ʲ��¸�ߤ�̩�˾������뤳�ȤϤ����ؤ��񤷤���
�Ȼ������ξܺ٤˴ؤ��Ƥ�[11]��[14]�������[29]�򻲾Ȥ��줿����

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 11.5. $I(t)$��ư�������¤����װ�.} ���������������ˤ����äơ�
������Ĥ��װ��Ǥ��복��ʬ��¸�ߤ��θ�ˤ��줿������������ȡ�
ʿ��$\lambda$�Τ�����������ڤ���$I(t)$��ʿ�ѱ�ư$J(t)$��®����
���˾�������Τ�����ͤ�����������$I(t),\varphi(t)$��(11.1)�β�Ǥ��ꡢ
$J,\psi$������10.3�ǹ������줿�ѿ��Ǥ���(3.2�Ỳ��)����������
�⤦�ҤȤ���������¤����롥����10.4��ꡢ$J(t),\psi(t)$��$H_0(J)$��
�ۤ�ξ����������ʤ�$H_0(J) + \varepsilon {\cal H}_1(J,\psi)$�ʤ�
���򤷤��ϥߥ�ȥ�ؿ�����ķϤβ�Ǥ��롥������${\cal H}_1$�Ϥ���
�ؿ��Ǥ��롥�椨��$I(t)$����������ˤ��Ƥ���֥��å��ˤ���Ȥ�
$J(t)$��$H_0$�Υ�٥��̤ζ᤯��ư����

$I(t)$��ư���˴ؤ��뤳�����¤��θ���ơ�ɾ��(4.5)����ꤹ�����$a$��
�ͤ�������뤳�Ȥ�Ǥ����Ϥ��Ǥ��롥�Ի׵Ĥʤ��Ȥˡ������װ����θ��
�����ȡ��ʲ��Τ褦�ʾ����ˤ����ơ��������ξ�������������֤�
ɾ�������ʤ��ɤ��ʤ롥���ʤ�������̤�����ư�ϥߥ�ȥ�ؿ�$H_0$��
���ķϤβ�ǡ�������$I(0)$�������¿����(���ʤ����$s$����ȿ���
���Ȥ���$s-1$)�ζ��ĥ�����ˤ��ꡢ�ޤ��������������Ȥ��Ǥ��롥
����10.3�ˤ�ꡢ�����β���Ф���(4.5)�η���ɾ������ñ�������롥
���κݡ��������ˤ������Ʊ�͡�$s$�����礹���$a$��$1/s^2$�ǤϤʤ�
$1/s$�Τ褦�˸������롥Ʊ��������Ȥäơ����٤Ƥβ���Ф���
�ɤ�ɾ����������Ȥϻפ��ʤ���

���λ��¤ϡ��ºݤ˴ѻ����졢��ϥߥ�ȥ�Ū��ư�Ǻ���붦�Ĵط���
�������Ȥδط�������(2.1D�Ỳ��)������¿���٤��ľ����ʼ�����
���ĥ�����ˤ����ƥϥߥ�ȥ���ư�Τߤˤ�äƺ����Ȼ��������֤�
����������٤���С����¤ηϤΤ��Τ褦�ʥ�����ؤ����ܤϺ����ѿ�
���٤Ƥ˴ؤ����礭�ʰ�������⤿�餹��

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 11.6. �����ΰ�ˤ������Τդ�ޤ���
���Ĳ��Ĵ�٤�Τ��Թ�Τ褤��ɸ.} ���ޤǤΤȤ�������(11.1)��
��$I(t), \varphi(t)$�μͱ�$I(t)$�Τդ�ޤ��˼�Ȥ��ƶ�̣����äƤ�����
��ϤɤΤ褦�ˤդ�ޤ��Τ�? $H_0$�����̤Ǥ���Ȳ��ꤷ��
$r=1, \ldots, s-1$�Ȥ���Ǥ�դ�$r$�ť֥��å���ͤ��롥$I \in B$�ʤ�
��$I, \varphi$����ʤ�����֤��ΰ�$B \times T^s$�ˤ����ơ���(11.1)��
�����̣�Ǥ�$\varepsilon$���٤Υݥƥ󥷥�륨�ͥ륮��������Ϥξ�ˤ���
$r$�����ȡ��饹�˱�äƤμ����α�ư�򵭽Ҥ���Ϥ˶ᤤ��

����򸫤뤿��ˡ�$B \times T^s$��ˤ����κ�ɸ$J,\psi$�������롥
���κ�ɸ�Ϥ����ΰ�β��ܤ���Ĵ�٤�Τˤ�ͭ�ѤǤ�������
�ޤ�����10.3(�����Ǥ�$J',\psi'$��ɽ�路��)�ˤ����ƹ������줿��ɸ��
�Ѵ����롥����$J=KJ', \psi=(K^T)^{-1} \psi'$�η��������Ѵ���Ԥʤ���
������$K$���������Ǥ�unimodular����Ǥ��ꡢ$(K^T)^{-1}$��$K$��
ž�ֵչ���Ǥ��롥�ޤ����η����Ѵ��������Ѵ��Ǥ��롥
$k', \ldots, k^r$��$B^r$���������٥��ȥ�Ȥ��롥$K$������ǡ�
��ɸ$J$�ǤϹ�®�ɥ�եȤ�ʿ��$\lambda$(���ʤ����$k', \ldots, k^r$��
�����ϥ뤫��ʿ�԰�ư��������ʿ��)��
$J_{r+1} = {\rm const}, \ldots, J_s = {\rm const}$��Ϳ������褦��
���롥���ι���ϤĤͤ�¸�ߤ���(���Ȥ���{28]��7��1��򻲾�)��

$B$���б����붦����${\cal R}$�Ϻ�ɸ$J'$�Ǥ�
$$
   {\cal R} = \{ J' | < k^i, \frac{\partial H_0 (J')}{\partial J'} > 
= 0, i=1, \ldots, r \},
$$
�ʤ���򤷤Ƥ��뤬����ɸ$J$�ǤϤ�äȴ�ñ�ʷ�
$$
   {\cal R} = \{ J | \frac{\partial H_0 (K^{-1}J)}{\partial J_i} = 0, 
i=1, \ldots, r \},               \leqno(11.2)
$$
�򤷤Ƥ��뤳�Ȥ����դ��褦(3.3D�Ỳ��)��

�ϤΥϥߥ�ȥ�ؿ���$J', \psi'$((3.2)����)��ɽ�路���Ĥ�ι�
$R(J',\psi')$��Τơ��ѿ��Ѵ�$J',\psi' \rightarrow J, \psi$��Ԥʤ���
���ΤȤ�$\psi_{r+1}, \ldots, \psi_s$����Ω̾�ؿ�${\cal H}$�������롥
����10.3�ξ������(����10.4����)��${\cal H}$�ϼ¤�
$$
 {\cal H} = H_0 (K^{-1} J) + \varepsilon 
{\cal H}_1 (J_1, \ldots, J_s, \psi_1, \ldots, \psi_r), 
$$
�η��򤷤Ƥ��롥������${\cal H}_1$�Ϥ���ؿ��Ǥ��롥

${\cal H}$��$\psi_{r+1}, \ldots, \psi_s$�˰�¸���ʤ����顢
�ѿ�$J_{r+1}, \ldots, J_s$�ϥϥߥ�ȥ�ؿ�${\rm H}$����ķϤ�
�����ʬ�Ǥ��롥���ηϤ��ܼ�Ū�ˤϼ�ͳ��$r$�ηϤǤ��롥
(�ؿ�$J_{r+1}, \ldots, J_s$�Ϥ�Ȥη�(11.1)�˳���ʬ��¸�ߤ��뤿���
����Ū�Ǥ���.) $\lambda$��$B$�ȸ���Ǥ�դι�®�ɥ�ե�ʿ�̤Ȥ���
$c_{r+1}, \ldots, c_s$�������
$$
   \lambda = \{ J | J_i = c_i (i = r + 1, \ldots, s) \}
$$
���������Ȥ��롥$c_1, \ldots, c_r, c_{r+1}, \ldots, c_s$��
$\lambda$��${\cal R}$�θ����κ�ɸ�Ȥ��롥���ΤȤ�$\lambda$��$B$��
�����ˤ������ѿ�$J_1, \ldots, J_r$�Υ٥��ȥ���ͤ�����٥��ȥ�
$c_1, \ldots, c_r$�ζ�˵�ˤ��롥���ζ�˵��ľ�¤ϡ��֥��å�$B$��
��������Ȥ��˻Ȥä�${\cal R}$�˶ᤤ������θ�����Ʊ�����٤�
�礭���Ǥ���(which is part of it�������Ƥʤ�)��
������$\varepsilon$�ȤȤ�˾������Ȳ��ꤹ�롥

${\cal H}$�ΰ���$J_{r+1}, \ldots, J_s$���ͤ�$J_i=c_i$���֤��Ƹ��ꤷ��
$\lambda \cap B$��η�̤Ȥ���������ؿ���ʲ��Τ褦�ˤ�äȴ�ñ��
������롥(11.2)��ꡢ$J_{r+1}, \ldots, J_s$�Τ������ͤ�Ȥäơ�
��$c_1, \ldots, c_r$�ˤ�����$H_0(K^{-1}J)$��$J_1, \ldots, J_r$�ˤ��
Ÿ���ϡ�3���ޤ��Ϥ���ʾ�ι��̵�뤹��С�
$a_0 + \sum_{i,j=1}^r a_{ij}(J_i-c_i)(J_j-c_j)$�η��򤷤Ƥ��롥
������$a_0$��$a_{ij}$������Ǥ��롥��ư$\varepsilon {\cal H}_1$��ؿ�
$$
 \varepsilon {\cal H}_1 (c_1, \ldots, c_s, \psi_1, \ldots, \psi_r), 
$$
�Ƕ�����롥�����$\varepsilon U(\psi_1, \ldots, \psi_r)$��ɽ�魯��
���η�̡�$J_{r+1}, \ldots, J_s$���ͤ���ꤹ��С�${\cal H}$�ϴؿ�
$$
  a_0 + \sum_{i,j = 1}^r a_{ij} (J_i - c_i)(J_j - c_j) + 
\varepsilon U(\psi_1, \ldots, \psi_r),    \leqno(11.3)
$$
�˶ᤤ���Ȥ��狼�롥������$U$�ϰ����˴ؤ�$2 \pi$�����Ǥ��롥
$H_0$�Ͻ��̤Ǥ��뤫�顢���$a_{ij}$�����ä��оι���$(a_{ij})$��
��ޤä�������ġ�

�ϥߥ�ȥ�ؿ�(11.3)����ķϤ����Ҥ���Τϡ�������̤����
$r$�����ȡ��饹��ǥݥƥ󥷥�륨�ͥ륮��$\varepsilon U$���Ϥξ��
�����α�ư�Ǥ��롥������$\psi_i$�ϥȡ��饹�����κ�ɸ�Ǥ��ꡢ
$J_i-c_i, i=1, \ldots, r$�ϱ�ư�̤���ʬ�Ǥ��롥
������ư�̤϶��Ķ���${\cal R}$��ˤ�������ѿ��ζ��֤������б����롥
