\vspace{0.3cm}
\begin{center}
{\bf 12 �ᡥ¿������ؤμ������α���}
\end{center}

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 12.1. ������.} �˥塼�ȥ��ˡ§�ˤ������äƸߤ��˰����礦$s+1$�Ĥ�
�����Ϥ�ͤ��롥�����Τ���1�Ĥμ���(����)�ϻĤ�(����)�Τɤμ��̤��
�Ϥ뤫���礭���Ȥ��롥���ηϤϰʲ��ηϤ�����Ū����ư������Ƥ����
�������Ȥˤ��롥���ηϤȤϡ������������濴�˥˥塼�ȥ��ˡ§�ˤ��
�����졢��ߺ��ѤϤʤ��ϤǤ��롥����ư�Ϥˤ����������α�ư����ư�Ϥ�
�����Ƽ��̤򥼥��ˤ�äƤ��ä��Ȥ��α�ư�ζ˸¤Ǥ��롥
����ư�Ϥ�������ư���������̤˰�¸���ʤ����Ȥ����դ��褦��

���ۤμ��̤Ƚ����濴�μ��̤ϤȤ��1�Ǥ���Ȥ���
�����μ���$m_i$�������ꤹ�롥���ʤ����
$m_i = \,u \kappa_i(i=1, \ldots,s)$�Ȥ��롥
��������$\kappa_i>0$������Ǥ��ꡢ$\mu$�Ͼ����ʥѥ�᡼�����Ǥ��롥

����ư�Ϥϵ��Ѥˤ����ʬ��ǽ�Ǥ��뤫�顢Ű��Ū��Ĵ�٤��Ƥ��롥
�ɤ������Υ��ͥ륮����̵�±��ƨ����ˤ�­��ʤ��Ȥ���
�����濴�˴ؤ���������γѱ�ư�̤ϥ����Ǥʤ��Ȥ��롥
���ΤȤ��������ϰ����濴������ΤҤȤĤȤ������ʱߵ�ƻ���ư����
���α�ư�ν��פʥѥ�᡼�����ϵ�ƻ��ȾĹ��$a_i$��
Υ��Ψ$e_i'i=1, \ldots, s)$����ӵ�ƻ�̴֤�
����$b_{ij}(i,j=1, \ldots,s)$�Ǥ��롥

����ư�Ϥ�����֤����Ͻ����濴������Ū�������ΰ��֤�®�٤���ħ�Ť���졢
��ư�Ϥξ�硢����Τ��٤Ƥ�ŷ�Τνſ��˴ؤ��������ΰ��֤�®�٤�
��ħ�Ť����롥���Τ��Ȥ���ξ�Ϥ��۰̶��֤�����֤�Ʊ���Ǥ��롥
�Ȥ�������ư�Ϥΰ����濴����ư�Ϥνſ���Ʊ������Ȳ��ꤷ�������$O$��ɽ�魯��

$V_e$�ϡ�����ư�ϤΤ��٤Ƥ��������ʱߵ�ƻ���б���������֤��ΰ�Ȥ��롥
$a_i,e_i$�����$b_{ij}$��$V_e$�δؿ��Ȥߤʤ�������������ư�Ϥ�
�����ʬ�Ǥ��롥����ư�Ϥβ�ˤ����Ƥϡ������δؿ��ϻ��֤ȤȤ��
�Ѳ����롥�Ϥ�ŷ�δ֤ε�Υ�����������ʤ���С��Ѱ̤�®����$\mu$���٤�
�礭���Ǥ��롥���ʤ��Ȥ�2�Ĥ�ŷ�Τε�Υ���������ȡ�����®�٤��礭����
��Υ�������˶�Ť��ˤĤ��̵����˸�������

�ʲ�������12.3�μ�ĥ�ˤ��С�$V_2$�ˤϤ����Ĥ�����ʬ�ΰ褬���äơ�
���������ȯ����Ƶ�ƻ��δؿ�$a_i$���ͤ�$1/\mu$����٤ƻؿ��ؿ�Ū��
�礭�ʻ��֤δ֡��ۤȤ���Ѳ����ʤ������Τ��������δ������Τˤ錄�äơ�
ŷ�δ֤ξ��ͤ���ܾ��ͤ��Բ�ǽ�Ǥ��롥��������ʬ�ΰ��������ư�ΰ��
�ƤФ�롥�Ȥ����Τϡ������Ϥ郎���۷Ϥ�ŷ�Τα�ư��
���Ƥ��뤫��Ǥ��롥���줫�餳���Ρ���ʬ�ΰ��������褦��

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 12.2. ������ư���ΰ�.} $G_i$��$O$������Ū��$i$���ܤ�������
�ѱ�ư�̥٥��ȥ�Ȥ���$G_H$��$O$������Ū������ư�����Τ�
�ѱ�ư�̥٥��ȥ�Ȥ��롥���ʤ����$G_H = \sum_{i=1}^s G_i$�����
$N = \frac{1}{\mu} G$�Ǥ��롥��ñ�ˤ狼��Ȥ��ꡢ$V_e$���
$|G_i| = m_i \sqrt{a_i(1-e_i^2)}$�Ǥ��롥�椨��$V_e$��Ǥ�$N$��Ĺ����
$a_i, e_i, b_{ij}$�����$\kappa_i$�Τߤ˰�¸����$\mu$�ˤϰͤ�ʤ���

$\alpha = \alpha_1, \ldots, \alpha_s$�����
$\beta = \beta_1, \ldots, \beta_s$��Ǥ�դΥ٥��ȥ�Ȥ���
$\gamma$����Ȥ��롥�ʲ�����������$V_e$����ʬ�����
$B(\alpha, \beta, \gamma)$��ɽ�魯: 
$$ \left\{ \begin{array}{ll}
 \alpha_i \leq a_i(v) \leq \beta_i, & (i=1, \ldots, s), \\
 |N(v)| \geq \gamma . 
           \end{array} \right.     \leqno(12.1)
$$
������$v \in V_e$������֤����Ǥ��롥������ʬ�����$\mu$�˰ͤ�ʤ���
����ư�Ϥ������̤Ǥ��롥�ޤ����餫��$B(\alpha,\beta,\gamma)$��
����������$a_i, e_i$�����$b_{ij}$�˴ؤ�����Ǥ��롥

$\alpha$�����$\beta$��
$$
  0 < \alpha_1 \leq \beta_1 < \alpha_2 \leq \beta_2 < \cdots 
< \alpha_s \leq \beta_s ,   \leqno(12.2)
$$
�ʤ�Ǥ�դ˸��ꤷ���٥��ȥ�Ȥ��롥$\gamma$�Τ����������ͤ��Ф���
$B(\alpha, \beta, \gamma)$�η��򸫤Ĥ��褦��$\gamma$����ʬ���礭�����
����϶��Ǥ��롥��ñ�ˤ狼��褦�ˡ�$B(\alpha, \beta, \gamma)$��
���ˤʤ�ʤ��褦��$\gamma$�κ����ͤ����롥
�����$\gamma_m(\alpha,\beta)$�Ƚ񤳤���
($B(\alpha,\beta, \gamma_m(\alpha,\beta))$�����ˡ�
Ʊ��ʿ�̤�Ⱦ��$\beta_i$�αߵ�ƻ��������ư���б�����.) 
�⤦�ҤȤĤ�$\gamma$���׳��ͤ�$B(\alpha,\beta,\gamma)$��
(��������Τ�)�������ߤ��Τ��뤤�ϰ����濴$O$�Ȥ������ξ��ͤ�
�б���������ޤ�褦��$\gamma$�κ����ͤǤ��롥
�����ͤ�$\gamma_0(\alpha,\beta)$�Ƚ񤯡����餫��
$0<\gamma_0(\alpha,\beta) < \gamma_m(\alpha,\beta)$�Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 12.2A. ���.} ����$B(\alpha, \beta, \gamma)$��(12.1)��������
$\gamma_0(\alpha,\beta) < \gamma < \gamma_m(\alpha, \beta)$��
��������Τ�������ư�ΰ�ȸƤФ�롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 12.3. ����.} $B$��Ǥ�դ�������ư�ΰ�Ȥ��롥���ΤȤ����
$\kappa = \kappa_1, \ldots, \kappa_s$�����$B$�Τߤ˰�¸���������
$C_1, C_2, C_3$�����$\mu$�����äưʲ�����������������

$\mu$��$(0, \mu_0)$��Ǥ�դ����Ȥ��롥$v(t)$�Ϥ���$\mu$���ͤ����
����ư�Ϥβ�Ǥ��äơ�$v(0) \in B$�ʤ��ΤȤ��롥
$$
  T = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle M} \exp 
\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle M^a},    \leqno(12.3)
$$
�Ȥ�����������
$$ \begin{array}{cc}
 M = C_1 \mu, & a = \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 6s^2-3s+14}.  
   \end{array}                    \leqno(12.4)
$$
���ΤȤ��Ϥ�ŷ�Τϻ��ִ���$[0,T]$�δ֡����ͤǤ��ʤ���
���ξ塢���٤Ƥ�$t \in [0,T]$���Ф���
$$ \begin{array}{lcc}
 |a_i(v(t)) - a_i(v(0))| < C_2 \mu^b (i=1, \ldots, s), & {\rm where} & 
b=\frac{3}{2}a \\
 |N(v(t)) - N(v(0))| < C_3 \mu^b, 
   \end{array}                    \leqno(12.5)
$$
�Ǥ��롥���ʤ������ƻȾĹ����Ĺ��$a_i$�ȳѱ�ư�̤���$N$�ϤۤȤ���Ѳ����ʤ���

12��λĤ������12.3�ξ�������䤹��

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 12.4. �ݥ��󥫥��ѿ�.} ��������Ǥϡ��������ѿ���
������ݥ��󥫥��ѿ���Ȥ��С���ư������������4.4��Ʊ������
�ϥߥ�ȥ�ؿ�����ĥϥߥ�ȥ��������Ǥ��뤳�Ȥ�������롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 12.4A. ����.} ������ư�ΰ�Ϥ��٤ƥ���ѥ��ȤǤ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����.} ������ư�ΰ�$B$�Ϥ��٤�ͭ���Ǥ��롥
������$B$��$V_e$�������˴ޤޤ�롥�Ȥ����Τϡ������Ǥʤ��Ȥ���ȡ�
$B$�ζ����������Τɤ줫�ҤȤĤ��濴$O$�Ⱦ��ͤ��뤳�Ȥ��б���������
�ޤ�Ǥ��ޤ�����Ǥ��롥�椨��$B$��$V_e$����Ĥ��Ƥ���((12.1)����)
�Ф���Ǥʤ�����������������Τ�����Ĥ��Ƥ��롥���������Ͼ������줿��

�Ϥ�ŷ�Τ�ޤ�桼����åɶ���${\bf E}^3$�ˡ�������$O$�Ȥ���Ǥ�դ�
ľ���ɸ��Ƴ�����롥$x_i = x_{i1}, x_{i2}, x_{i3}$��$i$���ܤ�������
��ɸ�Ȥ���$x_0 = x_{01}, x_{02}, x_{03}$�����ۤκ�ɸ�Ȥ��롥���ΤȤ���
��ư�Ϥα�ư���ͥ륮��$T$�ȥݥƥ󥷥�륨�ͥ륮��$U$��
$$ \begin{array}{cc}
T = \frac{1}{2} \sum_{i=0}^s m_i \frac{\dot{x}_i^2}{2}, & 
U = - \sum_{0 \leq i < \leq s} 
\frac{\displaystyle m_im_j}{\displaystyle |x_i-x_j|}
   \end{array}                    \leqno(12.6)
$$
�ʤ���򤷤Ƥ��롥�Ϥνſ���$0$�ˤ��ꡢ�ޤ����ۤμ���$m_0$��1��
�ȤäƤ��뤫��
$$ \begin{array}{cc}
x_0 = \sum_{i=1}^s m_i x_i, & 
\dot{x}_0 = - \sum_{i=1}^s m_i \dot{x}_i ,
   \end{array}                    \leqno(12.7)
$$
�Ǥ��롥��������������Ȥäƥ饰��󥸥�ؿ�
$L = T - U$��
$x, \dot{x} = x_1, \ldots, x_s, \dots{x}_1, \ldots, \dots{x}_s$��
ɽ�綠����$P_i = P_{i1}, P_{i2}, P_{i3}$��
$x_i = x_{i1}, x_{i2}, x_{i3}$���б�������̲���ư�̤Ȥ��롥���ʤ����
$$ \begin{array}{cc}
P_i = \frac{\displaystyle \partial L}{\displaystyle \partial \dot{x}_i} 
= m_i \dot{x}_i + m_i \sum_{j=1}^s m_j \dot{x}_j  & (i=1, \ldots, s).
   \end{array}                    \leqno(12.8)
$$
�Ϥ������ͥ륮��$E = T + U$��$P,x = P_1, \ldots, P_s, x_1, \ldots, x_s$
��ɽ�路��$E(P,x)$��
$$
  E = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^s 
\frac{\displaystyle P_i^2}{\displaystyle m_i} - 
\sum_{i=1}^s \frac{\displaystyle m_i}{\displaystyle |x_i|} + 
\mu^2 R_{\mu} (P,x) ,  \leqno(12)
$$
�η���ɽ�魯��

$B'$��Ǥ�դ�������ư�ΰ�Ȥ��롥�����ΰ�������$B'$������ѥ��Ȥ�
���뤳�ȡ������(12.6)-(12.9)��Ȥ��С��������꤬��ñ�˾����Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 12.4B. ����.} $R(\mu, x, \dot{x}) = R_{\mu} (P(\mu, \dot{x}), x)$
�Ȥ��ơ�$R$��$\mu, x$�����$\dot{x}$���Ф���������ơ�
�ѥ�᡼����$\mu$��ʣ�����塢$\mu=0$�ζ�˵��$x,\dot{x}$��
ʣ�Ƕ��֤ˤ�����$B'$�ζ�˵�Ȥ�ľ�ѤΤ��Ʋ���Ū�Ǥ���褦�ˤǤ��롥

���ƥݥ��󥫥��ѿ�$Y = \lambda, \xi, p, l, \eta, q$��������롥
�٥��ȥ�$\lambda, \xi, p, l, \eta$�����$q$�Τ��줾���$s$�����Ǥ���. 
���Ȥ��С�$\Lambda = \lambda_1, \ldots, \lambda_s$�Ǥ��롥
�ޤ�������ư�Ϥ��Ф��ƥݥ��󥫥��ѿ���������롥
��$i = 1, \ldots, s$���Ф���
$\lambda_i, \xi_i, p_i, l_i, \eta_i, q_i = Y_i$��$x_i, \dots{x}_i$
�����$\kappa_i$�Τߤ˰�¸����$\mu$��$i$�ˤϰ�¸���ʤ��ؿ��Ȥ���Ϳ������:
$$
  Y_i = \Phi(\kappa_i, x_i, \dot{x}_i).   \leqno(12.10)
$$
�����δؿ���[9](144�����135�ڡ�������)�ˤ��롥
����ε��Ҥ򷫤��֤����ȤϤ��ʤ������ʲ��ǿ��󤳤����Ѥ��롥

��ư�ϤΥݥ��󥫥��ѿ���$Y_{\mu}$��ɽ�魯������ϰʲ��ξ����������롥
ξ���η�(��ư�Ϥ��������ư��)�ˤ����ơ�
�������ѿ��������α�ư�̵ڤӺ�ɸ�ؤΰ�¸�����������ؿ���$\mu$��
Ʊ���ͤ��Ф��Ƥ�Ʊ���Ǥ��롥����ư�Ϥˤ����ơ�
��ư�̤�$m_i\dot{x}_i$�η��򤷤Ƥ��롥�椨��(12.10)��ꡢ
�ѿ�$Y_{\mu} = Y_{\mu 1}, \ldots, Y_{\mu s}$�ϼ��η��򤹤Ƥ���:
$$ \begin{array}{cc}
  Y_{\mu i} = \Phi (\kappa_i, x_i, 
   \frac{\displaystyle P_i}{\displaystyle \mu x_i}) & 
(i=1, \ldots, s).   
   \end{array}    \leqno(12.11)
$$
�ط�(1.28)�ˤ�ꡢ������$x$��$\dot{x}$��ɽ�魯���Ȥ��Ǥ���: 
$$ \begin{array}{cc}
  Y_{\mu i} = \Phi (\kappa_i, x_i, \dot{x}_i + 
   \mu \sum_{j=1}^s \kappa_j \dot{x}_j ) & 
(i=1, \ldots, s).   
   \end{array}    \leqno(12.12)
$$
$\mu=0$�ΤȤ���
����(12.12)������ư�ϤΥݥ��󥫥��ѿ���������뤳�Ȥ����դ���((12.10)����)��

���Ȥ�$\mu=0$�ΤȤ��Ǥ�ݥ��󥫥��ѿ���$V_e$����
(����ư�Ϥ��������ʱߵ�ƻ���б���������֤��ΰ�)�Ǥ��������ʤ���
�ʲ��Ǥϡ��������ѿ�����������$V_e$�Τ�����ʬ�����ͤ��롥

$\nu$��${\bf E}^3$��Ǥ�դΥ����Ǥʤ��٥��ȥ�Ȥ���$\delta>0$�Ȥ��롥
$K(\nu, \delta)$������֤μ��Τ褦����ʬ�����ɽ�魯�����ʤ����
���γ����������ΰ��֤�®�٤��б�����������$i$���ܤ�������
�ѱ�ư��$G_i$�ȥ٥��ȥ�$\nu$�δ֤γ��٤����٤Ƥ�$i=, \ldots, s$��
�Ф���$\pi - \delta$�ʲ��Ǥ��롥
$$
  K(\nu, \delta) = \{ v | G_i(v) \neq 0, G_i(v), \nu \leq \pi - \ delta 
 (i=i, \ldots, s) \}    \leqno(12.13)
$$

$e_1, e_2, e_3$��${\bf E}^3$�Τ�����ľ���ɸ�Υ٥��ȥ��Ȥ��롥
$B'$��Ǥ�դ�������ư�ΰ�Ȥ��롥�����ꡢ$B' \subset V_e$�Ǥ��롥
�椨�˥ݥ��󥫥��ѿ��ε��Ҥ��([9]����)��$\mu=0$�ΤȤ���
�����κ�ɸ�ϳ�$\delta>0$���Ф���$B' \cap K(e_3, \delta)$���
����������Ū�Ǥ��롥���ξ塢�������꤬����Ω�ġ�

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 12.4C. ����.} ��$\delta>0$���Ф��ơ��ѿ�$x, \dot{x}$��
ʣ�Ƕ������$B' \cap K(e_3, \delta)$�ζ�˵$U_{x \dot{x}}$�����ä�
�ʲ��ξ������������ѥ�᡼����$\mu$��ʣ��ľ�����$\mu=0$�ζ�˵
$U_{\mu}$�����äơ�$\mu, x$�����$\dot{x}$�δؿ�((12.12)����)�Ȥ��Ƥ�
�ݥ��󥫥��ѿ�$Y=Y_1, \ldots, Y_s$��$U_{\mu} \times U_{x \dot{x}}$��
�����Ʋ���Ū�Ǥ��롥�ä��ơ�$Y_{\mu}(x, \dot{x}) = Y(\mu,x,\dot{x})$��
��$\mu \in U_{\mu}$���Ф���$U_{x \dot{x}}$��κ�ɸ�Ǥ��롥

����ξ����ϥݥ��󥫥��ѿ���$\mu$�ؤΰ�¸��((12.12)����)�����
$B' \cap K(e_3, \delta)$������ѥ��ȤǤ��뤳�Ȥ�꽾������Ԥ�$B'$��
����ѥ�����(����12.4A)����������ư�ΰ���Ф���������
$\min_{B'} \left| \frac{1}{\mu} G_i \right| > 0 (i=1, \ldots,s)$��
����ӽ���$K$((12.13)����)�η�����Ф롥������$|\frac{1}{\mu} G_i$��
$i$���ܤ������γѱ�ư�̤Ǥ��롥

�ݥ��󥫥��ѿ��ε��Ҥ�ꡢ$\mu=0$���Ф���
$\lambda_{\mu i} = x_i \sqrt{a_i}$�Ǥ��롥
��������Ϥ������������12.4C����Ф롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 12.4D. ����.} ��$\delta>0$���Ф��ƿ�$C_4>0$�����
$\mu_1>0$�����äơ����٤Ƥ�$\mu \in (0, \mu_1)$���Ф���
$$ \begin{array}{cc}
 \max_{b \in B' \cap K(e_3, \delta)} 
|\Lambda_{\mu i} (v) - \kappa_i \sqrt{a_i(v)} | \leq C_4 \mu & 
(i=1, \ldots, s).
   \end{array}
$$
�Ǥ��롥������
$$
  \Lambda_{\mu i} (v) = \Lambda_{\mu i} (x(v), \dots{x}(v)).
$$

(12.11)��Ȥä�$P,x$��ݥ��󥫥��ѿ�$Y = Y_{\mu}$��ɽ�魯��
�ؿ�
$H_{\mu}(Y_{\mu}) = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \mu} 
E_{\mu}(P(Y_{\mu}), x(Y_{\mu}))$��$H = H_{\mu}$�ä�ɽ�路��
${\cal R}_{\mu}(Y_{\mu}) = R_{\mu}(P(Y_{\mu}), x(Y_{\mu}))$��
${\cal R}_{\mu}$��ɽ�魯((12.9)����)����������ϥݥ��󥫥��ѿ���
����([9]����)����ӥ��ͥ륮���ؿ�$E=E_{\mu}(P,x)$�η�(12.9)��꽾����

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 12.4E. ����.} �ݥ��󥫥��ѿ�$Y = Y_{\mu}$�����������ΰ�Ǥϡ�$H$��
$$
  H(Y) = - \sum_{i=1}^s 
\frac{\displaystyle \kappa_i^3}{\displaystyle 2 \Lambda_i^2} + 
\mu {\cal R}_{\mu} (Y).
$$
�η��򤷤Ƥ��롥������${\cal R}_{\mu}(Y)$��$l = l_1, \ldots, l_s$��
�ؤ�$2 \pi$�����Ǥ��롥�ѿ�$Y$�Ǥα�ư�������ϥϥߥ�ȥ�ؿ�$H(Y)$��
���ĥϥߥ�ȥ��������η��򤷤Ƥ��롥

�Ǹ�μ�ĥ�ϼ��λ��¤���Ф롥���ʤ�����ѿ��Ѵ�
$P,x \rightarrow Y_{\mu}$�������Ѵ��ǤϤʤ������ѿ�$Y=Y_{\mu}$�ˤ�����
2����$dP \wedge dx = \sum_{i,j=1}^{s,3} dP_{ij} \wedge dx_{ij}$��
$$
  \mu \sum_{i=1}^s (d \Lambda_i \wedge dl_i + d \xi_i \wedge d \eta_i 
+ dp_i + \wedge dq_i).
$$

����12.4E�ˤ��С�$H=H(Y)$��$\lambda$��$l$�����Ѥ���ӳ��ѿ���
����Ȥ��Ƽ�������Ʊ�����򤷤Ƥ��롥

���Τ褦�ˤ�����
$$
  H_0(\Lambda) = - \sum_{i=1}^s 
\frac{\displaystyle \kappa_i^3}{\displaystyle 2 \Lambda_i^2}.
$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 12.4F. ����.} �ݥ��󥫥��ѿ�$Y$��$\mu, x$�����$\dot{x}$�ؤ�
��¸����Ϳ����ؿ��ϸ�����$O$�Ȥ���${\bf E}^3$�κ�ɸ�Ϥ��������˰ͤ�ʤ���
Ǥ�դ˸��ꤷ��$B'$��$\delta$���Ф��ơ���ɸ$x, \dot{x}$�ˤ�����
$B' \cap K(e_3,\delta)$�η��⤳�κ�ɸ�Ϥ��������˰ͤ�ʤ���
���ξ塢$H_0$��${\cal R}_{\mu}$�Ϥ����������˰ͤ�ʤ���

�ǽ�μ�ĥ�ϥݥ��󥫥��ѿ������([9]����)�����(12.12)����Ф롥
����μ�ĥ��$B'$��$K$���������Ф롥�軰�μ�ĥ�Ϻǽ�μ�ĥ�����
(12.9)�α��դ�3�ह�٤Ƥη���������$O$�Ȥ���${\bf E}^3$�κ�ɸ�Ϥ�
�������˰ͤ�ʤ����Ȥ���Ф롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 12.5. �������α���.} �������ˤ����ƥϥߥ�ȥ�ؿ���������
������ľ�Ѥη��򤷤Ƥ����������Ǥ�����֤����̤ʷ�����ʬ�����ͤ��롥
�����Τ��줾����Ф��ơ��ݥ��󥫥��ѿ����ۤ��Ƥ����Ͱ��
����ľ�Ѥη��ˡ��ޤ������򤳤���ʬ����ˤȤ�롥
�������η�����������ʬ����ˤ����Ƥ�����Ω�Ĥ��Ȥ�������롥

������������12.2A��Ȥäƴ�ñ�˾����Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 12.5A. ����.} $B$��Ǥ�դ�������ư�ΰ�Ȥ��롥���ΤȤ��̤�
������ư�ΰ�$B'$�����äơ���������$B'^{(0)}$��$B$��ޤࡥ
���ʤ����$B'^{(0)} \supset B$��

$\alpha = \alpha_1, \ldots, \alpha_s$��$s$�����٥��ȥ롢
$\nu \neq 0$��3�����٥��ȥ�Ȥ��롥$V$�Ͻ���
$$
  W(\alpha, \nu) = \{ v \in V_e | a_i(v) = \alpha_i (i=1, \ldots, s), 
N(v) = \nu \}   \leqno(12.14)
$$
��ɽ�魯�Ȥ��롥$W$������������ư�ΰ�˴ޤޤ��Х���ѥ��ȤǤ���
(�����ΰ褬����ѥ��Ȥ�����Ǥ���(����12.4A����))��

����֤ε�Υ�Ȥ�${\bf E}^3$��Υ桼����åɷ��̤���ͶƳ�����
�桼����åɷ��̤Τ��ȤǤ��롥2���֤ε�Υ�������κ�ɸ$x_i$�κ���
®��$\dot{x}$�κ���2���2�躬�Ǥ��롥$X$������֤���ʬ����Ȥ��ơ�
$X+\delta$��$X$��$\delta$��˵���̣���롥

$B$��$B'$��$B'^{(0)} B$�ʤ�Ǥ�դ�������ư�ΰ�Ȥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 12.5B. ����.} �������$\delta_1$��$\delta_2$�����äơ�
�ƽ���$W \subset B$���Ф���
$$
  W + \delta_1 \subset B' \cap K(\nu, \delta_2), 
$$
�Ǥ��롥������$\nu$��$W = W(\alpha, \nu)$�ʤ�٥��ȥ�Ǥ��롥

�����������ư�ΰ�����������$W$��$K$�����((12.14)����)��
�����$B$��$B'$�Υ���ѥ���������Ф롥

$W = W(\alpha, \nu)$��(12.14)�η���Ǥ�դν���Ȥ��롥${\bf E}^3$��ˡ�
$e_3$��٥��ȥ�$\frac{1}{|\nu|} \nu$�ȤȤꡢ�Ĥ��2�Ĥδ�٥��ȥ��
Ǥ�դ�����ǡ�������$O$�Ȥ����ɸ�Ϥ�������롥
12.4��Ȥޤä���Ʊ���褦�ˡ����ηϤ��б�����ݥ��󥫥��ѿ���
${\bf E}^3$���Ƴ�����������$Y_{\mu W}$�Ƚ񤯡�
$W$������������ư�ΰ�˴ޤޤ��Ȥ��롥����12.4C��12.5B��
�����12.5A��ꡢ$Y_{\mu W}$�ϡ�$\mu=0$�Τ����˵��Τ��٤Ƥ�
$\mu$���Ф���$W$�Τ����˵���������롥

$Y_{0 W}$��$\mu=0$�ΤȤ����ѿ�$Y_{\mu W}$��ɽ�魯�����������[9]��
������ݥ��󥫥��ѿ��ε���(�Ȥ���12.4��δط���
$\Lambda_{0i} = x_i \sqrt{a_i} (i=1, \ldots, s)$��Ȥ�ɬ�פ�����)����Ф롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 12.5C. ����.} $W$�򤢤�������ư�ΰ�˴ޤޤ��(12.14)�η���
Ǥ�դν���Ȥ��롥���ΤȤ��ѿ�$Y_{0W} = \Lambda, \xi, p, l, \eta, q$��
�񤯤ȡ����ν���ϼ��η��򤷤Ƥ���
$$
  W = \{ v | \Lambda(v) = {\rm const}, (\xi, p, \eta, q)(v) \in 
\tilde{D}_{\xi p \eta q} \},
$$
������$\tilde{D}_{\xi p \eta q}$���ѿ�$\xi, p, \eta, q$��
$4s$�������֤Τ�����ʬ����Ǥ��롥

��������ˤ���������$W$�ζ�˵�˱��ѤǤ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 12.5D. ����.} $b$��Ǥ�դ�������ư�ΰ�Ȥ��롥���ΤȤ������
$C_1, c_5, \mu_2, \delta_3, \delta_5$�����$\rho$�����äơ�$B$��
�ޤޤ��(12.14)�η��γƽ���$W$���Ф��ơ����줾���ѿ�$\Lambda$�����
$\xi, p, \eta, q$��$s$���������$4s$�������֤γ�����$D_{\Lambda}$
�����$D_{\xi p \eta q}$�ǰʲ�����������Ĥ�Τ򸫤Ĥ��뤳�Ȥ��Ǥ��롥

a) $D_{\Lambda}$������ϥ���ѥ��ȤǺ�ɸĶ����
$\Lambda_i=0 (i=1, \ldots, s)$�ȸ���ʤ���

b) $F$��������ˤ�����Τ�Ʊ�����򤷤�ʣ�ǽ���Ȥ��롥���ʤ����
$$
  F = \{ Y = \Lambda, \xi, p, l, \eta, q | 
{\rm Re} \Lambda \in D_{\Lambda}, 
{\rm Re} \xi, p, \eta, q \in D_{\xi p \eta q}, |{\rm Im} Y| \leq C_1 \}.
$$
���ΤȤ�$H_0$��${\cal R}_{\mu}$(����12.4E��12.4F�������������Ƥ���)��
���ν����ǲ���Ū�Ǥ��ꡢ������������
$$ \begin{array}{cc}
 \sup_{Y \in F} \parallel 
\frac{\displaystyle \partial^2 H_0(\Lambda)}
     {\displaystyle \partial \Lambda^2} \parallel \leq C_5, & 
\sup_{Y \in F, \mu \in (0, \mu_2)} |{\rm grad} {\cal R}_{\mu} (Y)| \leq C_1.
   \end{array}
$$

c) ��$\mu \in (0, \mu_2)$���Ф��ơ�����
$$
  \{ v | \lambda(v) \in D_{\Lambda} - \delta_3, 
 (\xi, p, \eta, q) (v) \in D_{\xi p, \eta q} - \delta_3 \}
$$
��$W+\delta_4$��ޤࡥ
������$\Lambda, \xi, p, l, \eta, q = Y_{\mu W}$�Ǥ��롥
������$D_{\Lambda} - \delta_3$���ѿ�
$\Lambda = Lambda_1, \ldots, \Lambda_s$��$s$�����桼����åɶ��֤�
������Ǥ��äơ�����$\delta_3$��˵�ȤȤ��$D_{\Lambda}$�˴ޤޤ�롥
����$D_{\xi p \eta q} - \delta_3$��Ʊ�ͤ��������롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����.} $B'$��$B'^0 \supset B$�ʤ�������ư�ΰ�Ȥ��롥
$W$��(12.14)�η���Ǥ�դν����$W \subset B$�ʤ��ΤȤ��롥
����12.5B�����12.4F��ꡢ$B$�Τߤ˰�¸�������$\delta_2>0$�����
$\delta>0$�����äơ��ѿ�$x, \dot{x}$��ʣ�Ƕ������$W$��$\delta$��˵�ϡ�
����12.4C��¸�ߤ��ݾڤ���Ƥ���$B' \cap K(e_3, \delta_2)$�ζ�˵��
�ޤޤ�롥����12.4C�����12.4F��ꡢ$B$�˰�¸����$\mu=0$��ʣ�Ƕ�˵
$U'_{\mu}$�����äơ��ݥ��󥫥��ѿ�$Y_{\mu W}$�����٤Ƥ�
$\mu \in U'_{\mu}$���Ф���$W$��ʣ��$\delta/2$��˵���������롥
����$\delta/2$��˵��ˡ�
����$Y_{\mu W}^{-1} : Y \rightarrow x, \dot{x}$�ˤ�ä��ѿ�$Y$���֤�
�桼����åɷ��̤���ͶƳ�������̤Ϥ��٤Ƥ�$\mu \in U'_{\mu}$�����
$W \in B$���Ф���Ʊ�ͤǤ��롥

����12.5C�����12.4F��ꡢ���$\delta_4 = \delta_4(B) >0$�����
������$D_{\Lambda}$�����$D_{\xi, p \eta q}$�����äơ�$\mu=0$���Ф��ơ�����
$$
  \{ v | \lambda(v) \in D_{\Lambda}, 
 (\xi, p, \eta, q) (v) \in D_{\xi p, \eta q} \}
$$
��$W + \frac{\delta}{4}$�˴ޤޤ졢$W + 2 \delta_4$��ޤࡥ
������$\Lambda, \xi, p, l, \eta, q = Y_{\mu W}$�Ǥ��롥
�椨�˼�ĥc)���Ф롥�����ɾ��������12.4B��12.4F����Ф롥
�ǽ��ɾ������Ӽ�ĥa)������12.4D�����������ư�ΰ���������Ф롥
���������12.5D���������줿��

�ؿ�$H_0 = H_0(\Lambda)$�Ϻ�ɸĶ����$\Lambda_i=0 (i=1, \ldots, s)$��
���ǤϽ��̤Ǥ���(���̴ؿ��������1.11�Ỳ��)��
�椨�˺�ɸĶ���̤γ��ˤ���Ǥ�դΥ���ѥ��Ȥʽ���ˤ϶�˵�����äơ�
������Ǥ�$H_0$�ϳƵ޸��ۻؿ���1���������褦�ʵ޸��۴ؿ��Ǥ���
(1.11�Ỳ��)��
��������Ϥ��Τ��ȡ�����12.4E��12.5D��12.4D���������4.4����Ф롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 12.5E. ����.} $B$��Ǥ�դ�������ư�ΰ�Ȥ��롥���ΤȤ������
$C_1, C_2, \mu_3$�����$\delta_4$�����äƼ�����������������
$W$��(12.14)�η���Ǥ�դν����$W \subset B$�ʤ��ΤȤ��롥
$\mu$��$(0,\mu_3)$��Ǥ�դ�����$v(t), 0 \leq t \leq \tau$��$\mu$��
�����ͤ������ư�Ϥ�Ǥ�դβ�ǡ����ε��פ�$W + \delta_4$�˴����˴ޤޤ졢
$\tau>0$��Ǥ�դȤ��롥���ΤȤ����٤Ƥ�$t \in [0, \min  [\tau, T]]$���Ф���
$$ \begin{array}{cc}
  |a_i(v(t)) - a_i(v(0))| < C_2 \mu^b & (i=1, \ldots, s)
   \end{array}
$$
�Ǥ��롥��������$b$��$T=T(C, \mu)$��(12.3)��(12.4)�����(12.5)��Ϳ�����롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 12.6. �ؿ��ؿ�Ū���礭�ʻ��ֶ�֤ˤ����������ε�ƻĹȾ�¤�Ĺ����
����������γѱ�ư�̤��¤ΰ�����.} 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 12.6A. ����.} $B$��������ư�ΰ�Ȥ��롥���ΤȤ������$\delta_5$
�����$C_3$�����äưʲ�����������������$\mu>0$��Ǥ�դο��Ȥ���
$v(t), 0 \leq t < \tau $��$\mu$�Τ����ͤ������ư�Ϥ�Ǥ�դβ�ǡ�
���ε��פ�$B + \delta_3$�˴����˴ޤޤ졢$\tau>0$��$\infty$��Ȥ��Ȥ��롥
���ΤȤ����β��ǡ�����$t$�Ƚ���ͤˤ����������γѱ�ư�̤���$N$�κ���
$\mu$���٤��礭�����̤ˤ�ä��ޤ����롥���ʤ����
$$
  \sup_{t \in [0, \tau)} |N(v(t)) - N(v(0))| < c_3 \mu.
$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����.} $B'$��$B'^0 \supset B$�ʤ��̤�������ư�ΰ�Ȥ��롥
$B$��$B'$�ϥ���ѥ��ȤǤ��뤫��$\rho(\partial B', B)>0$�Ǥ��롥
���ε�Υ��$\delta_5$�ȤȤ�(?)�����ΤȤ�����ˤ�ꡢ
���޹ͤ��Ƥ����$v(t)$�ε��פ�$B'$��ˤ��롥

$G$��$O$�˴ؤ�����ư�Ϥγѱ�ư�̥٥��ȥ�Ȥ���$G_i$��$i$���ܤ�������
�ѱ�ư�̤Ȥ���$G = \sum_{i=0}^s G_i$�Ȥ���$G_0$�����ۤγѱ�ư�̤Ȥ��롥
$B'$�ϥ���ѥ��ȤǤ��뤫�顢(12.7)������$C_3>0$�򸫤Ĥ���
$$
 \max_{v \in B'} |G_0(v)| < \frac{\displaystyle C_3}{\displaystyle 2} 
\mu^2.   \leqno(12.15)
$$
�ȤǤ��롥����ư�Ϥγѱ�ư��$G_H$��$G_i$�����$N$��
$G_H = \mu N = \sum_{i=1}^s G_i$�Ǵط����Ƥ��뤳�Ȥ�פ���������
(12.15)��ꡢ�������롥
$$
 \max_{v \in B''} |G - G_H)| 
< \frac{\displaystyle C_3}{\displaystyle 2} \mu^2.  
$$
�Ȥ�����$G$����ư�Ϥ������ʬ�Ǥ��롥�椨������μ�ĥ�������롥

$W=W(\alpha, \nu)$��(12.14)�η��ν���Ȥ���$B$��������ư�ΰ衢
$O_{\mu W B}$�򼡼���Ϳ������$W$�ζ�˵�Ȥ��롥
$$
  O_{\mu W B} = \{ v: |a_i(v) - \alpha_i| < C2 \mu^b (i=1, \ldots, s), 
|N(v) - \nu| < C3 \mu \},
$$
������$b, C_2 = C_2(B)$�����$C_3=C_3(B)$������12.5E�����12.6A��
Ϳ����������Ǥ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 12.6B. ����.} $B$��������ư�ΰ�Ȥ��롥���ΤȤ���$\delta>0$���Ф���
���$\mu_4 = \mu_4(\delta)>0$�򸫤Ĥ��ơ���$\mu \in (0, \mu_4)$�����
$W \subset B$���Ф���$O_{\mu W B} \subset W + \delta$�ȤǤ��롥

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf 12.6C. ����12.3�ξ���.} ���������12.5E��12.6A�������12.6B���齾����

$B$��������ư�ΰ�Ȥ��롥$C_1, C_2$�����$C_3$�Ȥ�������12.5E�����
12.6A��¸�ߤ�������줿�����Ȥ롥
$\delta = \frac{1}{2} \min [\delta_4, \delta_5]$�Ȥ���
$\mu_0 = \min [\mu_3, \mu_4(\delta)]$�ȤȤ롥
������$\mu_3, \mu_4(\delta), \delta_4$�����$\delta_5$��
����12.5E��12.6A�����12.6B��¸�ߤ��ݾڤ��줿�̤Ǥ��롥

����12.3������ˡ�Ǿ������롥�������ʤ��Ȳ��ꤷ�褦��
���ΤȤ�$\mu$������$\bar{\mu}, \bar{\mu} \in (0, \mu_0)$��������
��ư�Ϥβ�$v(t)$�����äơ�$v(0) \in B$�Ǥ��꤫�İʲ�����������ġ�
$\bar{W}$��(12.14)�η��ν����$\bar{W} = W(\bar{\alpha}, \bar{\nu})$
�ʤ��ΤȤ��롥������$\bar{\alpha} = a(v(0))$�����
$\bar{\nu} = N(v(0))$�Ǥ��롥���ΤȤ�$\tau \in [0,T]$�򸫤Ĥ��ơ�
���٤Ƥ�$t \in [0, \tau)$���Ф���$v(t) \in O_{\bar{\mu} \bar{W} b}$
����$v(t) \in \partial O_{\bar{\mu} \bar{W} b}$�ˤǤ��롥
������$\partial O_{\bar{\mu} \bar{W} b}$�Ͻ���
$O_{\bar{\mu} \bar{W} b}$�ζ����ǡ�(12.15)���������롥
�Ȥ��������������12.5E�����12.6A��̷�⤹�롥����������12.3���������줿��

\vspace{0.3cm}
\begin{center}
{\bf References}
\end{center}

\vspace{0.3cm}
\re
[1] N. N. Nekhoroshev, Behaviour of nearly integrable Hamiltonian 
systems, {\it Funktsional. Analiz i Prilozhen} {\bf 5} (1971), 82-83. $=$
{\it Functional Analysis and Appl.} {\bf 5} (1971), 338-339.

\re
[2] H. Poincar\'{e}, Les M\'{e}thodes nouvelles de la m\'{e}cjanique 
c\'{e}leste. 3 vols., Paris 1892, 1893, 1899.

\re
[3] G. Birkhoff, Dunamical Systems, {\it Amer. Math. Sco. Publ.} 
{\bf 9}, Am. Math. Soc., New York, 1927.

\re
[4] C. L. Siegel, Uber die Existenz einer Normalform analytischer 
Hamiltonscher Differentialgleichungen in der Nahe einer 
Gleichgewichtslosungen, {\it Math. Ann.} {\bf 128} (1952), 144-170. 
MR {\bf 16}-704, MR {\bf 16}-704. 

\re
[5] C. L. Siegel, Vorlesungen uber Himelsmechnik, Springer-Verlag, 
Berlin-Gottingen-Heidelberg 1956. MR {\bf 18}-178.

\re
[6] A.N. Kolmogorov, On the conservation of conditionally periodic 
motions for a small change in the Hamiltonian, 
{\it Dokl. Akad. Nauk SSSR} {\bf 98} (1954), 527-530. MR {\bf 16}-924.

\re
[7] A.N. Kolmogorov, The general theory of dynamical systems and 
classical mechanics, Mezhdunarodnyi Matematicheskii Kongress y 
Amsterdame, (internt. Congress Mathematicians, Amsterdam), 
Fizmatgiz, Moscow 1961, pp. 187-208.

\re
[8] V. I. Arnold, Proof of a theorem of A>N> Kolmogorov on the 
invariance of conditionally periodic motions under small perturbations 
of the Hamiltonian, Uspekhi Mat. Nauk {\bf 18}:5 (1963), 13-40. 
Mr {\bf 29} \# 328. $=$ Russian Math. Surveys {\bf 18}:5(1963), 9-36.

\re
[9] V. I. Arnold, Small denominators and problems of stability of 
motion in calssical and celestial mechanics, Uspekhii Mat. Nauk 
{\bf 18}:6 (1963), 91-192. $=$ Russian Math. Surveys {\bf 18}:6 (1963), 
85-191.

\re
[10] V. I. Arnold and A. Avez, Ergodic problems of classical mechanics, 
Benjamin, New York - Ameterdam 1968. MR 38 \# 1233.

\re
[11] V. I. Arnold, Instability of dynamical systems with many degrees 
of freedom, Dokl. Akad. Nauk SSSR {\bf 156} (1964), 9-12.

\re
[12] J.Moser, On invariant curves of area-preserving mappings of an 
annulus, {\it Nachr. Akad. Wiss. Gottingen, Matrh.-Phys.} Kl II, 1962, 1-20.

\re
[13] J.Moser, A rapidly convergent iteration method and non-linear 
partial differential equations, I, II. {\it Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa} 
(3), {\bf 20} (1961), 265-315; 499-535.

\re
[14] G. M. Zaslavskii and B. V. Cherikov, Stochastic instability of 
non-linear oscillaitons, {\it Uspekhi Fiz. Nauk} {\bf 105}:1 (1971), 3-40.

\re
[15] V. I. Arnold, A stability problem and ergodic properties of 
classical dynamical systems, Proc. Internat. Congress Mathematician 
(Moscow 1966), "Mir", Moscow 1968, 387-392. MR {\bf 39} \# 574. $=$ 
Amer. Math. Soc. Transl. (2) {\bf 70} (1968), 5-11.

\re
[16] J. Glimm, Formal stability of Hamiltonian systems, 
Comm. Pure Appl. Math. {\bf 17} (1964), 509-526. MR {\bf 32} \# 7876.

\re
[17] N. N. Nekhoroshev, Stable lower estimates for smooth mappings and 
for gradients of smooth functions, Mat. Sb. {\bf 90} (1973), 432-478. 
$=$ Math. USSR-Sb. {\bf 19} (1973), 425-467.

\re
[18] J. K. Moser, On the elimination of the irrationality condition and 
Birkhoff's concept of the complete stability, Bol. Soc. Mat. Mexicana 
(2) {\bf 5} (1960), 167-175. MR {\bf 24} \# A3375.

\re
[19] M. M. Khapaev, Generalization of Lyapunov's second method and 
the investigation of some resonance problems, Dokl. Akad. Nauk SSSR 
{\bf 193} (1970), 46-49. MR {\bf 44} \# 4300. $=$ 
Soviet Math. Dokl. {\bf 11} (1970), 868-872.

\re
[20] V. V. Beletskii, Dvizhenie sputnika otnositel'no tsentra mass 
$\nu$ gravitatsionnom pole(Motion of a satellite relative to 
its centre of mass in a gravitational field), Izv. Moskov. Gos. Univ., 
Moscow, 1975.

\re
[21] J. Moser, Lectures on Hamiltonian systems, Mem. Amer. Math. Soc. 
{\bf 81}, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1968.

\re
[22] J.K. Moser, Stabilit$\ddot{\rm a}$tsverhalten kanonischer 
Differentialgleichungssysteme, {\it Nachr. Akad. Wiss. 
G$\ddot{\rm o}$ttingen, Math.-Phys.} Ki. IIa 1955, 87-120.

\re
[23] J.K. Moser, New aspects in the theory of stability of Hamiltonian 
systems, Comm. Pure Appl. Math. {\bf 11} (1958), 81-114. MR {\bf 20} \# 3354.

\re
[24] G. Contopoulos, On the existence of a third integral of motion, 
{\it Astronomiacl J.} {\bf 68} (1963), 1-14.

\re
[25] M. H\'{e}non and C. Heiles, The applicability of the third 
integral of motion; some numerical experiments, {\it Astronomical J.} 
{\bf 69} (1964), 73-79.

\re
[26] A. D. Bryuno, Formal stability of Hamiltonian systems, Math. 
Zametki {\bf 1} (1967), 325-330. $=$ Math. Notes {\bf 1}, (1967), 216-219.

\re
[27] V. I. Arnold, Mathematicheskie metody klassicheskoi 
mekhaniki(mathematical methods of classical mechanics), Nauka, Moscow, 1974.

\re
[28] N. Bourbaki, El\'{e}ments de math\'{e}matique. Partie I. 
Les structures fondamentales de l'analyse. Livre III, 
Topologie g\'{e}n\'{e}rale, Chaps. III-VIII, 
Actualities Sci. Ind. No. 916 and No. 1029, Hermann, Paris 1942 and 1947.

\re
[29] B. V. Cherikov, Investigation of the theory of a non-linear 
resonance and the stochastic property, Dissertation, 
Sibirsk. Otdel. Akad. nauk SSSr, Novosibirsk, 1969.

\re
[30] V. I. Arnold, Small denominators, I. Mappingthe circle onto 
itself, Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. {\bf 25} (1961), 21-86.

\re
[31] H. R\"{u}ssman, \"{U}ber invariante Kurven differenzierbarer 
Abbildungen eines Kreisringes(Kleine Nenner. I) Nachr. Akad. Wiss. 
G\"{o}ttingen Math.-Phys. Kl. IIa 1970, 67-105.

\re
[32] H. R\"{u}ssman, Kleine Nenner II. Bermerkungen zur Newtonschen 
Methode, Nachr. Akad. Wiss. G\"{o}ttingen Math.-Phys. Kl. II 1972, 1-10.

\re
[33] E. Zehnder, Generalized implicit function theorems with
applications to some small divisors problems. I, 
{\it Comm. Pure Appl. math.} {\bf 28} (1975), 91-140.

\re
[34] E. Zehnder, Generalized implicit function theorems with 
applications to some small divisors problems. II, 
{\it Comm. Pure Appl. math.} {\bf 29} (1976), 49-111.

\re
[35] A. I. Neishtadt, Passage through a resonance in a two frequency 
problem, {\it Dokl. Akad. Nauk SSSR} {\bf 221} (1975), 301-304.

\re
[36] A. I. Neishtadt, Certain resonance problems in nomn-linear systems, 
Dissertation, Moscow State Univ., Moscow, 1976.

\re
[37] V. I. Arnold, Nekotorye zadachi teorii differentsial'nykh
uravnenii. Tezisy lektsii(Lectures notes: Some problems in the theory of 
differential equations), Moscow, 1974.
