\documentstyle[12pt,twoside]{jarticle}
%\documentstyle[12pt,twoside,leqno]{jarticle}
\oddsidemargin 0.0cm
\evensidemargin -1.0cm
\topmargin 0.0cm
%
\headsep 0.8cm
\textwidth 16.8cm
\textheight 22.5cm
\footheight 0.5cm
\footskip 1.2cm
%
\newcommand{\re}{\vspace{0.15cm}\par\hangindent=0.7cm\noindent}
\begin{document}
\setlength{\baselineskip}{3ex}
%\setlength{\baselineskip}{5ex}

%John FRANKS����ʸ
%Publ. I.H.E.S.
%

\begin{flushright}
ë����δ ��
\end{flushright}

\noindent
{\it Publ. I.H.E.S.} {\bf 71} (1990), 105-120

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\Large
{\bf ʿ�̤�������¸��ʬƱ������μ������Ȳ�ž��\\
Periodic points and rotation numbers for area preserving 
diffeomorphisms of the plane}
}

\vspace{0.3cm}
John FRANKS
\end{center}

\vspace{0.3cm}
{\bf ����.} $f$��${\bf R}^2$��������¸����ʬƱ��Ǥ��ä���¬�Ǥ���Ȥ���. 
$f$��2�Ĥ���ư����ͭ��, ������̵�¾���ž��(infinitesimal rotation
number)�Τɤ��餫��$0$�Ǥʤ��Ȳ��ꤹ�������, $f$����ư���Τޤ���
��ž���ΰۤʤ��������̵�¸Ĥ��뤳�Ȥ��������. 

�ޤ�$f$����ư��$z$����ñ��إƥ�����˥å���������פ˰Ϥޤ�Ƥ���, 
�����Ǥʤ�̵�¾���ž��$r$����Ƥ�, ü����$0$�����$r$�Ȥ��������
�����Ǥʤ����٤Ƥβ�ž��$p/q$���Ф���, ���Υإƥ�����˥å����������
����, $z$�Τޤ��˲�ž��$p/q$�μ�����ƻ������. 

%{\large
\vspace{0.5cm}
������ʸ�Ǥ�${\bf R}^2$����¬����ʬƱ��ˤĤ���, �ޤ�Ϳ����줿��ư����
�ޤ��Τ��餫������ꤷ����ž���μ�������¸�ߤˤĤ���Ĵ�٤�. ư���Ť���
����Ȥ���, 2�Ĥ��ж���ư��$p_1,p_2$�����Ť˥��ɥ���³��, ���δ֤�
�ʱ���ư������Ĥ褦����ʬƱ��$f:{\bf R}^2 \rightarrow {\bf R}^2$��
��갷��(Fig.1a����). Poincar\'{e}�����Birkhoff�θ�ŵŪ��ư��������
�Ȥä�, ���ξ��ˤ�$0$��$z$�ˤ�����̵�¾���ž�δ֤γƲ�ž��$p/q$��
������ƻ�����ɥ���³�ǰϤޤ�������ˤ��뤳�Ȥ�������. �������$z$��
���Ĥ�ޤ���פ��ȤǤǤ���. ���ʤ��, ���ɥ���³��$z$���Ĥ�ޤ���
���ޤ��ߴĤ�Ʊ�������Ĥ���, Poincar\'{e}�����Birkhoff��������
���αߴĤ�Ŭ�Ѥ���Ф褤. 

��$p_1$��$p_2$�Υإƥ�����˥å���³����ä�ʣ���ʾ��(Fig.1b����), 
���Τ�����Ϥ��ޤ������ʤ�. $z$��ޤ�褦�����Ѥ�ͭ�¤ʱ��פ�
¸�ߤ��ʤ����⤷��ʤ�����Ǥ���. ������, Ʊ����̤�����Ω�Ĥ�
�ɤ����Τꤿ��. ����ʣ���ʾ���, �ж����˴ؤ����ʤ깵����ʲ����
��Ȥ�((3.2)�Ρ�ñ��ʥإƥ�����˥å���������פ��������), ��ž��
$p/q$�μ������Τ��뤳�Ȥ����������Ȥ򼨤�. ���η�̤ϰʲ�������(3.4)�Ǥ���. 

\vspace{3cm}
\hspace*{6cm} ��1a

\newpage
%\vspace*{5cm}
2��Ǥ�, ����˰���Ū������ǹͤ���. ���ʤ��������¸����¬����ʬƱ��
$f:{\bf R}^2 \rightarrow {\bf R}^2$��2�Ĥ���ư��$z_0$�����$z_1$��
ͭ�����Τ�ͤ���. (2.2)��(2.5)�ˤ����Ƽ����Ȥ���, ����������������
��֤�¸�ߤ���. ���ζ�֤˴ޤޤ��Ǥ�դΥ����Ǥʤ�$p/q$���Ф��Ƽ�����
$x$��¸�ߤ�, ���β�ž��$p/q$��$z_1$��$z_0$�β�ž���κ��Ǥ���. ���Τ褦��
��֤�$z_1$��̵�¾���ž����$z_0$��̵�¾���ž����ü���Ȥ��뤫, $0$��
�嵭2�Ĥβ�ž���Τɤ��餫��ü���ˤ���. ������ˤ���, $z_1$��$z_0$��
̵�¾���ž�����ɤ���⥼���Ǥʤ��¤�, ���ʤ��Ȥ�ɤ��餫����ư����
�ޤ��ˤϲ�ž���ΰۤʤ�̵�¸Ĥμ�����ƻ������. 

\vspace{3cm}
\hspace*{6cm} ��1b

\vspace*{5.0cm}
Robert Mackay�Ϥ��ä����Ȥʤ������錄���˼���, 
���������β�ǽ���ˤĤ��Ƥ����Ĥ��������Ƥ��줿. 

%{\large
\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf 1. �طʤ����}

${\bf R}^2$����¬����ʬƱ��μ�����ƻ��¸�ߤ�Ĵ��, Ϳ����줿��ư����
�ޤ��Τ����β�ž��¬�뤳�Ȥ˶�̣������. �ߴĤ�Ʊ��������Ф���
��ž���������פ��Ф����Ȥ���Ϥ�褦. $f:B \rightarrow B$�ϱߴ�$B$��
Ʊ������ǹ��������˥ۥ�ȡ��פǤ���Ȥ���($B={\bf T}^1 \times {\rm I}$
�ȹͤ���. ������I��$[0,1]$, $(0,1)$�ޤ���$[0,\infty)$�Ǥ���). 
$\pi:\tilde{B} \rightarrow B$��������ʤ�Ȥ�, 
$F: \tilde{B} \rightarrow \tilde{B}$��$f$�λ����夲�Ȥ���. 
$x \in \tilde{B}$�ʤ�, $F$�˴ؤ���$x$�β�ž����, �˸¤�¸�ߤ���Ȥ���
���Τ褦����������. 
$$
  R_F(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(F^n(x) - x)_1} {n}.
$$
������$( \ )_1$��$\tilde{B}={\bf R} \times {\rm I}$�������ʬ�ؤ�
�ͱƤǤ���. ($\tilde{B}$��${\bf R} \times {\rm I}$��Ʊ��뤹���
�����ä�${\bf R}$����������ꤹ��������$H_1(B)$�����֤�, ���뤤��
��ʤ$\pi$��deck�Ѵ���������$T$������ɬ�פ�����.)

$R_F(x)$��¸�ߤ�, $\pi(x)=y \in B$�ʤ�, $R_F(x)$�ξ�����ʬ�ϻ����夲
$F$������˰ͤ餺$\pi^{-1}(y)$�Τ��٤Ƥ������Ф���Ʊ���Ǥ���. 
�����餳���$y \in B$�Ρֲ�ž���פȸƤФ�$R(y)$��ɽ�蘆���. 
��$R(y)$��mod 1�ǤΤߤ��ޤ��������, �ֿ��פȤ�������${\bf T}^1$��
���Ǥȹͤ�������������. 

${\bf T}^1$�����ǤǤϤʤ��Ƽ¿��Ǥ���褦�������̤�ͤ�����. 
���ޤ�������줿${\bf R}$�����Ǥ����뤿��ˤϻ����夲
$F:\tilde{B} \rightarrow \tilde{B}$����ꤹ��ɬ�פ�����. 
����򤹤�Τ˼����ʤ������, Ϣ³ƻ$\gamma: [0,1] \rightarrow B$��
$f(\gamma(0))=\gamma(1)$�ʤ��Τ������, $\gamma$��$\tilde{B}$�ؤ�
��������夲(�������äƤ��٤Ƥλ����夲)$\Gamma$���Ф���
$F(\Gamma(0))=\Gamma(1)$�ʤ�����夲$F$��Ȥ����ȤǤ���. 2�ĤΡֿ��פ�
���̤��뤿��, ������������̤��Ф��Ƥ�$\gamma$�˴ؤ��������ž���פȤ���
̾���դ��뤳�Ȥˤ���. ��äȷ���Ū�ˤϼ��Τ褦������򤹤�. 

\vspace{0.3cm}
{\bf (1.1) ���}. $f:B \rightarrow B$�ϱߴ�$B$��Ʊ������Ǥ��ä�
���������˥ۥ�ȡ��פǤ���Ȥ���. $\Gamma:[0,1] \rightarrow \tilde{B}$��
$\gamma$�λ����夲�Ȥ�, $F:\tilde{B} \rightarrow \tilde{B}$��
$F(\Gamma(0))=\Gamma(1)$�ʤ�$f$�ΰ�դλ����夲�Ȥ���. $\gamma$��
�ؤ���$x \in B$������ž����${\cal R}_{\gamma}(x,f)$�Ƚ�, 
�����$R_F(x_0)$ (¸�ߤ���Ȥ���)���������. ������$\pi(x_0) = x$�Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
��ñ�˥����å��Ǥ���Ȥ���, �����ͤ�$\Gamma$���������ˤ�
$x_0 \in \tilde{B}$���������ˤ���ʤ�. 

$y$��$f$����ư���Ǥ��ä�$\gamma$���Ĥͤ�$y$�Ȥʤ�����ƻ�Ǥ�����, 
���ʤ��������ư��$y$����Ӥ��٤Ƥ�$t \in [0,1]$���Ф���$\gamma(t)=y$��
�ʤ���ˤ⤷�Ф��ж�̣������. ���ξ��, ��������Ѥ���$\gamma$��
������$y$�Ƚ�. �Ĥޤ���ư��$y$�˴ؤ�������ž����${\cal R}_y(x,f)$�Ƚ�. 

������ʬƱ��$f$����ư��$z$����Ĥ�ޤ��ײ�����פ�������. ľ��Ū�ˤ�
��ư��$z$�������������ˡ������Τߤ�ͭ����ߡפ��֤�����ʬƱ���
�����ޤǳ�ĥ����ΤǤ���. ���Τˤ�, 
$f: {\bf R}^2 \rightarrow {\bf R}^2$����ʬƱ�����ư��$z$����ĤȤ�, 
$A = {\bf T}^1 \times [0,\infty)$�Ȥ���, $h(x,t) = tx$��Ϳ������
Ʊ�����
$h: A - ({\bf T}^1 \times \{ 0 \}) \rightarrow {\bf R}^2 - \{ 0 \}$��
�ͤ���. ������${\bf T}^1$��${\bf R}^2$��ñ�̥٥��ȥ�ã��Ʊ��뤹��. 
$g: A \rightarrow A$�򼡼����������. 
$$ g(x,t) = \left\{  
 \begin{array}{cc}
  (f(tx)) / \parallel f(tx) \parallel, \parallel f(tx) \parallel) & 
      {\rm if} \ \ t>0, \\
  (Df_0(x) / \parallel Df_0(x) \parallel, 0 ) &  {\rm otherwise}.
 \end{array}  \right.
$$

���줬Ϣ³�ؿ���������뤳�Ȥ򸫤�ΤϤ䤵����. �Ȥ����Τ�, 
$\lim_{t \rightarrow 0} f(tx)/t = Df_0(x)$�Ǥ��뤫��
$$
  \lim_{t \rightarrow 0} \frac{f(tx)} {\parallel f(tx) \parallel} = 
  \lim_{t \rightarrow 0} \frac{f(tx)} {t} 
                         \frac{t} {\parallel f(tx) \parallel} = 
  \frac{Df_0(x)} {\parallel Df_0(x) \parallel}. 
$$

���餫��$g$��$A$��Ʊ������Ǥ���, Ʊ�����$h$���̤���
$A - ({\bf T}^1 \times \{ 0 \})$��${\bf R}^2 - \{ 0 \}$��Ʊ��뤹���, 
���ν�����$g=h$�Ǥ���. $g: A \rightarrow A$��$z$���Ĥ�ޤ�������
Ʊ������ȸƤ֤��Ȥˤ�, Ʊ�����$h$���̤���$A$��${\bf R}^2$���б�����
����Ʊ��뤹��. Ʊ�ͤ�Ǥ�դ��̤�Ʊ���������ư�����Ĥ�ޤ���������
Ʊ�����������Ǥ���. 

������ư��$z$�Τޤ��μ�����$x$�β�ž����������褦. 

\vspace{0.3cm}
{\bf (1.2) ���}. 
$f:{\bf R}^2 \rightarrow {\bf R}^2$��������¸��ʬƱ��Ǥ��ä���ư��
$z$�ȼ�����$x$��ͭ����Ȥ���. $\gamma: [0,1] \rightarrow {\bf R}^2$��
$f(\gamma(0)) = \gamma(1)$�ʤ�ƻ�Ȥ���. $g: A \rightarrow A$��$z$��
�Ĥ�ޤ�������줿Ʊ������Ȥ���. $\gamma$�˴ؤ���$z$�Τޤ���$x$��
����ž��${\cal R}_{\gamma}(x,z,f)$������ž��${\cal R}_{\gamma}(x,g)$
(¸�ߤ���Ȥ���)�Ǥ�����������. $z$�Τޤ���$x$�β�ž��
${\cal R}(x,z,f)$�ϲ�ž��$R(x,g)$�Ǥ���. 
�����${\cal R}_{\gamma}(x,z,f)$�ξ�����ʬ��������. 
$y$��$f$����ư���ΤȤ�, $\gamma$���Ĥͤ���$y$��Ȥ����ƻ�ʤ�
${\cal R}_{\gamma}(x,z,f)$�Τ�����${\cal R}_{y}(x,z,f)$�Ƚ�. 
�����ͤ�$y$�˴ؤ���$Z$�Τޤ���$x$������ž���ȸƤ�. 

\vspace{0.3cm}
��ư����̵�¾���ž��®�����Ѥ�ɬ�פ�����. 

\vspace{0.3cm}
{\bf (1.3) ���}. 
$f:{\bf R}^2 \rightarrow {\bf R}^2$��������¸��ʬƱ��Ǥ��ä�
��ư��$z$��ͭ����Ȥ���. $\gamma: [0,1] \rightarrow {\bf R}^2$��
$f(\gamma(0)) = \gamma(1)$�ʤ�ƻ�Ȥ���. $g: A \rightarrow A$��$z$��
�Ĥ�ޤ�������줿Ʊ������Ȥ���. $\gamma$�˴ؤ�����ư��$z$��
��̵�¾���ž��$\rho_{\gamma}(x,f)$��$\gamma$�˴ؤ���Ǥ�դ���
$x \in {\bf T}^1 \times \{ 0 \}$������ž��${\cal R}_{\gamma}(x,g)$��
�������. $z$��̵�¾���ž��$\rho(x,f)$��$R(x,g)$�Ǥ���. �����
$\rho_{\gamma}(x,f)$�ξ�����ʬ��������. 

\vspace{0.3cm}
$\rho(x,f)$���ͤ�$Df_z$�����ñ��������. ���Ȥ���$z$��ʣ�ǿ���ͭ��
$\lambda$��$\overline{\lambda}$����Ƥ�, $\rho(x,f)$��
$\pm {\rm arg}(\lambda) / 2 \pi$�Ǥ���. $Df_z$���ж�Ū�ΤȤ���, 
��ͭ�ͤ����ʤ�$\rho(x,f)$��$0$��, ��ͭ�ͤ���ʤ�$1/2$�Ǥ���. 

����Charles Conley[C]��ȯŸ���������ס��Υմؿ��Ⱥ������˴ؤ���
����Ū��̤��ñ�˳��Ѥ��褦. �ʲ��Ǥ�$f:X \rightarrow X$�ϥ���ѥ���
��Υ���֤�Ʊ������Ȥ���. 

\vspace{0.3cm}
{\bf (1.4) ���}. $x$����$y$�ؤ�$\varepsilon-$���Ȥ�$X$�������
$x_1, x_2, \cdots, x_n$�Ǽ�����������ΤǤ���. 
$$ \begin{array}{lll}
    d(f(x_i),x_{i+1}) < \varepsilon & {\rm for} & 1 \leq i \leq n-1,
   \end{array}
$$
�����
$$ \begin{array}{ll}
     d(x,x_1) < \varepsilon/2, & d(y,f(x_n)) < \varepsilon/2.
   \end{array}
$$
���٤Ƥ�$\varepsilon > 0$���Ф���$x \in X$���餽�켫�Ȥؤ�
$\varepsilon-$��������Ȥ�, ��$x$�Ϻ���Ū�Ȥ�����. �������ν���
$R(f)$��$f$�κ��󵢽���ȸƤФ��. 

\vspace{0.3cm}
$x$����$y$�ؤ�$\varepsilon-$��������ˤ����Ƥ�, ����
$x_1, x_2, \cdots, x_n$��$x_1=x$�����$d(y,f(x_n)) < \varepsilon$��
���������Ȥ����Ф������������. ������Ϳ����������Ϻ������亿��������
�ؤ���Ʊ�ͤʳ�ǰ��������. �����Ǥη���$f$�����$f^{-1}$�˴ؤ����оΤ�
����. �Ȥ��˾������ˤ���$x_1, x_2, \cdots, x_n$��$x$����$y$�ؤ�$f$��
$\varepsilon-$���Ǥ����, $f(x_n), f(x_{n-1}), \cdots, f(x_1)$��$y$����
$x$�ؤ�$f^{-1}$��$\varepsilon-$���Ǥ���. ξü��$\varepsilon/2$��, 
$x$����$y$�ؤ�$\varepsilon-$����$y$����$z$�ؤ�$\varepsilon-$����
�Ĥʤ���$x$����$z$�ؤ�$\varepsilon-$����Ĥ��뤿���ɬ�פʾ��Ǥ���. 

$R(f)$��$f$�Τ�Ȥǥ���ѥ��Ȥ������ѤǤ��뤳�Ȥ����餫�Ǥ���. 
���٤Ƥ�$\varepsilon>0$���Ф���$x$����$y$�ؤ�$\varepsilon-$��������, 
$y$����$x$�ؤ�$\varepsilon-$��������Ȥ�, $x \sim y$�Ǥ���Ȥ���
$R(f)$��˴ط�$\sim$����������, ���餫��$\sim$��Ʊ�ʹط��Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
{\bf (1.5) ���}. ���Ʊ�ʹط�$\sim$���Ф���$R(f)$��Ʊ�����$R(f)$��
��������ʬ�ȸƤФ��. ����ѥ��Ȥ����ѽ���$\Lambda$��ñ���������ʬ��
��ʬ����ΤȤ�������Ū�Ȥ�����. 

\vspace{0.3cm}
���η�̤Ϥ褯�Τ��Ƥ����ưפǤ���. ������[F1]��(1.2)�ˤ���. 

\vspace{0.3cm}
{\bf (1.6) ̿��}. $X$��Ϣ���$R(f)=X$�ʤ�$X$�Ϻ�����Ū�Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
{\bf (1.7) ���}. $f: X \rightarrow X$���Ф��봰�����ס��Υմؿ��Ȥ�
���ξ���������Ϣ³�ؿ�$g: X \rightarrow {\bf R}$�Ǥ���. 

\noindent
a) $x \not\in R(f)$�ʤ�$g(f(x)) < g(x)$;

\noindent
b) $x,y \in R(f)$�ʤ�$g(x)=g(y)$�Ǥ��뤿���ɬ�׽�ʬ����$x \sim y$��
���뤳�ȤǤ���(���ʤ��, $x$��$y$�Ȥ�Ʊ����������ʬ��°����);

\noindent
c) $g(R(f))$��${\bf R}$�Υ���ѥ��Ȥʤ�����Ȥ����¤���ʬ����Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
����������C.Conley[C]�η�̤Ǥ���. �����ή�줫��Ʊ��������Ѥ���. 
��������Ǥξ�����[F2]�򻲾Ȥ��줿��. ��餫���ˤĤ��Ƥ�[W]����. 

\vspace{0.3cm}
{\bf (1.8) ����}[C]. $f: X \rightarrow X$������ѥ��Ȥʵ�Υ���֤�
Ʊ������Ǥ����, $f$���Ф��ƴ������ס��Υմؿ�
$g: X \rightarrow {\bf R}$������. $X$��¿���Τʤ�$g$��$C^{\infty}$�ˤȤ��. 

\vspace{0.3cm}
���餫������ꤷ����ž������ļ�������¸�ߤ��������Τ˻Ȥ��礿��
ƻ��ϼ��������Ǥ���([F1]��(2.2)�����(2.3)����). 

\vspace{0.3cm}
{\bf (1.9) ����}[F1]. 
$f:B \rightarrow B$�ϱߴ�$B = {\bf T}^1 \times [0,1]$��Ʊ�������
���������˥ۥ�ȡ��פȤ�, $\Lambda \subset B$�Ϻ�����Ū����ѥ���
���ѽ���Ǥ���Ȥ���. $\pi: \tilde{B} \rightarrow B$��������ʤ�Ȥ�, 
$F: \tilde{B} \rightarrow \tilde{B}$��$f$�λ����夲�Ȥ���. 
$x,y \in \pi^{-1}(\Lambda)$��
$$
  {\lim \inf}_{n \rightarrow \infty} 
   \frac{(F^n(x) - x)_1} {n} \leq \frac{p}{q} \leq
  {\lim \sup}_{n \rightarrow \infty} 
   \frac{(F^n(y) - y)_1} {n},
$$
�ʤ�, $f$��Ǥ�դ�$z_0 \in \pi^{-1}(z)$���Ф���$R_F(z_0) = p/q$�ʤ�
������$z$��ͭ����. 

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf 2. �������Ȳ�ž��}

������Ǥ�2�Ĥ���ư����ͭ����ʿ�̤���ʬƱ��β�ž���˴ؤ����̤��������. ���Τ褦����ʬƱ��$f$��Ϳ����줿�Ȥ�, �ޤ�$f(\infty)=\infty$�Ȥ�����${\bf R}^2$�ΰ�������ѥ��Ȳ�$S^2$��$f$���ĥ��, ���ˣ��Ĥ���ư�����Ĥ�ޤ��ƱߴĤ�Ʊ����������Ǥ���. ���������, ���αߴ�Ʊ���(1.9)��Ŭ�Ѥ��Ƥ�Ȥ�$f$�˴ؤ����̤����뤳�Ȥ��Ǥ���. �ߴ�Ʊ�꤬(1.9)�β�������������Ȥ�, ��¬��Ʊ��������������ѥ��Ȳ�����Ȥ��٤Ƥ��������󵢤Ǥ���褦��Ʊ�������������Ȥ����ä��٤���̤���������. 

\vspace{0.3cm}
{\bf (2.1) ̿��}. $M$�ϥ���ѥ��ȤǤʤ�Ϣ���¿���ΤȤ�, $f:M \rightarrow M$�ϳ�����ξ�������ĥ���ѥ��Ȥʽ���ξ��ͭ�¤�¬��$\mu$�����Ѥˤ���褦��Ʊ������Ǥ���Ȥ���. $X=M \cup \{ \infty \}$��$M$�ΰ�������ѥ��Ȳ��Ȥ�, $f(\infty)=\infty$�Ȥ�����$f$��$X$�س�ĥ����. ���ΤȤ�$X$�Τ��٤Ƥ�����$f:X \rightarrow X$�κ��󵢽���$R(f)$��°����. 

\vspace{0.3cm}
{\bf ����}. $x$��$M$�����Ȥ���. $x$������Ū�Ǥ��뤳�Ȥ򤷤ᤵ�ͤФʤ�ʤ�. $\varepsilon$��Ϳ����줿�Ȥ�, $U$��$x$���濴�Ȥ���Ⱦ��$\varepsilon/2$�α��פȤ���. $n \in {\bf Z}, n \not= 0$�����ä�$f^n(U) \cap U \not= \emptyset$�ʤ�, $d(x,x_1) < \varepsilon/2$����$d(x,x_n)< \varepsilon/2$�ʤ뵰ƻ����$x_1,x_2, \cdots, x_n$������. �����餳�ξ��ɬ�פ�$\varepsilon$-����������. ���Τ褦��$n$���ʤ���н���$f^n(U), n\geq 0$�ϸߤ����ǤǤ��뤫��
$$
  ����\mu ( \cup_{n \geq 0} f^n(U) ) = \infty.
$$
�������äƤ����¤�$M$�Τɤ�ʥ���ѥ��Ȥ���ʬ����ˤ�ޤޤ�ʤ�. �椨��$X$�ˤ�����$x$����$\infty$�ؤ�$\varepsilon-$��������. Ʊ�ͤˤ���, Ʊ�����$f^{-1}$��ͤ����, $x$������Ū�Ǥ��뤫$\infty$����$x$�ؤ�$\varepsilon-$��������. �椨�ˤ��٤Ƥξ��$x$�Ϻ���Ū�Ǥ���. $\Box$

\vspace{0.3cm}
��η�̤�$f:M \rightarrow M$�˴ؤ�����$x \in M$������Ū�Ǥ���Ȥϸ��äƤ��ʤ����Ȥ����դ��褦. ��������, �ɤ�metric���ä����˰�¸���뤫��, ����ѥ��ȤǤʤ����֤ˤ����Ƥϰ���Ū�����ǤϤʤ�. ��������ϥ���ѥ��Ȥʵ�Υ���֤Ǥϵ�����ʤ�. ������ʸ�ǤϤ��Τ褦�ʶ��֤�Ʊ������κ�����������ˤ���. 

\vspace{0.3cm}
{\bf (2.2) ����}. $f:{\bf R}^2 \rightarrow {\bf R}^2$��������¸Ʊ������Ǥ��äƳ������������ͭ���ʽ����ͭ�¤�¬��$\mu$����¸����Ȥ�, $z_0,z_1$��$f$����ư���Ǥ���Ȥ���. $\gamma:[0,1] \rightarrow {\bf R}^2 - \{ z_0, z_1 \}$��$f(\gamma(0)) = \gamma(1)$�ʤ�ƻ�Ȥ���. $p/q$�������Ǥʤ�ͭ�����Ǥ��ä�ü����$\rho_{\gamma}(z_0)$�����$\rho_{\gamma}(z_1)$�ʤ��֤˴ޤޤ��Ȥ���. ���ΤȤ�$f$��
$$
  {\cal R}_{\gamma}(x,z_1) - {\cal R}_{\gamma}(x,z_0) = p/q,
$$
�ʤ������$x$��ͭ����. ����, ����$u_0, u_1 \in {\bf R}^2$���Ф���${\cal R}_{\gamma}(u_i,z_i)$��¸�ߤ����, ü����${\cal R}_{\gamma}(u_0,z_0)$�����${\cal R}_{\gamma}(u_1,z_1)$�Ȥ����֤˴ޤޤ��Ǥ�դ�������$p/q$���Ф���, 
$$
  {\cal R}_{\gamma}(x,z_1) - {\cal R}_{\gamma}(x,z_0) = p/q,
$$
�ʤ��������¸�ߤ���. 

\vspace{0.3cm}
{\bf ����}. ü����$\rho_{\gamma}(z_0)$�����$\rho_{\gamma}(z_1)$�Ȥ����֤��Ф����������������. �⤦��Ĥξ��ξ�����ۤȤ��Ʊ���Ǥ��뤬�⤦������ñ�Ǥ���. �ߴ�$A = {\bf T}^1 \times [0,1]$��Ʊ�����$g: A \rightarrow A$�򼡤Τ褦�ˤ��Ƶ���. �ޤ����Ĥ���ư��$z_0$��$z_1$���Ĥ�ޤ���, ���Ĥγ����פ��������ʿ�̤μ�����ʬƱ������. ${\bf R}^2$��¬�٤�$g$�Τ�Ȥ����Ѥ�¬�٤˻����夬��. ���ˤ��ζ��֤ΰ�������ѥ��Ȳ���$A$�Ǥ��뤳�Ȥ����ܤ���. $g(\infty)=\infty$�Ȥ�����$g$��$\lambda$�˳�ĥ����. (2.1)���$g$�κ��󵢽����$A$���ΤǤ���. ������(1.7)���$g$��$A$��Ǻ�����Ū�Ǥ���. $\pi: \tilde{A} \rightarrow \tilde{A}$��$A$��������ʤ�Ȥ�, $G: \tilde{A} \rightarrow \tilde{A}$��$G(\Gamma(0))=\Gamma(1)$�ʤ�$g$�λ����夲�Ȥ���. ������$\Gamma$��ƻ$\gamma$�λ����夲�Ǥ���. $C_i$��$z_i$���Ĥ�ޤ����Ȥ��˲ä���줿�ߤ�ʿ�̤�������Ѥ���(ȿ���פޤ���)������ͭ�����ΤȤ����, $C_0$��$C_1$�ϤȤ��$H_1(A)$�������ҤǤ��뤬, �դ��������. $C_1$��������Ȥä�$\pi$��deck�Ѵ��������Ҥ���Ѥ�, ����ˤ�ä�$y \in \tilde{A}$�β�ž��$R_G(y)$���������. $y_i$��$\tilde{A}$������$\pi(y_i) \in C_i$�ʤ�, ����ˤ�ä�
$$
  \rho_{\gamma}(z_1) = R_G(y_1),
$$
�����
$$
  \rho_{\gamma}(z_0) = - R_G(y_0),
$$
�Ǥ���. �ʤ��ʤ�$\rho_{\gamma}(z_i)$��$C_i$������������Ū���������Ƥ��뤫��. 

(1.9)��������$x \in A$�����ä�, Ǥ�դ�$w \in \pi^{-1}(x)$���Ф���$R_G(w) = p/q$�Ǥ���. Ʊ�����Ȥ���, $\pi^{-1}(x)$�Τ��٤Ƥ�����$T^{-p} \circ G^q$����ư���Ǥ���. ������$T$��$\pi$��deck�Ѵ��������ҤǤ��ä�$C_1$��������̷�⤷�ʤ���ΤǤ���. $p/q$�������Ǥʤ�����$x \not= \infty \in A$�Ǥ��뤳�Ȥ��狼��. 

$x_0 \in \pi^{-1}(x)$������$\alpha: [0,1] \rightarrow A$��$x$����$g(x)$�ؤ�ƻ�Ȥ��Ƽ��Τ褦�˹�������. $A - \{ \infty \}$��������$\pi(x_0)=x$����$\gamma(0)$�˸�����ƻ$\varphi$������. �����$\gamma$���դ���$\gamma(1)$�ޤǹԤ�, ����ˤ����$g \circ \varphi$��դ˥ѥ�᡼�����դ�������Τ��դ���$\gamma(1)$����$g(x)$�عԤ�. ����줿ƻ�Υѥ�᡼�������դ��Ѥ���, �����$\alpha$�ȸƤ�. $\alpha_0: [0,1] \rightarrow \tilde{A}$��$\alpha$�λ����夲��$\alpha_0(0)=x_0$�ʤ��ΤȤ���. ɸ��Ū����ʤ�������������ñ�ˤ狼��褦��
$$
   G(\alpha_0(0)) = G(x_0) = \alpha_0(1).
$$
ƻ$G^i \circ \alpha_0, \ i=0,1, \cdots, q-1$��Ĥʤ�, �ѥ�᡼�������դ�ľ����, ƻ$\beta_0: [0,1] \rightarrow \tilde{A}$��������. ���ΤȤ�$\beta_0$��$x_0$����$G^q(x_0)$�ؤ�ƻ��, $T^q(\beta_0)) = \beta_0(1)$�Ǥ���. $\beta: [0,1] \rightarrow A$��$\pi \circ \beta_0$����������, $\beta$��$A$�����ƻ�Ȥʤ�, $H_1(A)$�ˤ����뤽�Υۥ��������$[\beta]$��$p[C_1]$��������. ������$[C_1]$��$C_1$�Υۥ��������Ǥ���. 

$A_0 = A - \{ \infty \}$�Ȥ���. ���ΤȤ�, �����Ҥ�$[C_0]$�����$[C_1]$�Ȥ���$H_1(A_0) = {\bf Z}^2$�Ǥ���. $H_1(A_0)$�ˤ�������$[\beta]$��$r-s=p$����������������$r$��$s$���Ф���$r[C_1] + s[C_0]$��������. 

������
$$
   {\cal R}_{\gamma}(x,z_1,f) = R_{G_0}(\beta_1(0)) = r/q.
$$

Ʊ�ͤ�${\cal R}_{\gamma}(x,z_0,f)=s/q$��������. ������
$$
   {\cal R}_{\gamma}(x,z_1,f) - {\cal R}_{\gamma}(x,z_0,f) = 
 (r-s)/q = p/q. \Box
$$

\vspace{0.3cm}
{\bf (2.3) ���}. $f:{\bf R}^2 \rightarrow {\bf R}^2$��������¸Ʊ�������
�ж���ư��$z$��ͭ����Ȥ���. $z$�ΰ���(�ޤ����԰���)¿���Τ�ʬ�ޤȤ�$z$��$W^s(z) - \{ z \}$(�ޤ���$W^u(z) - \{ z \}$)����ʬ�ΰ�Ĥ�ä�����ΤǤ���. ����ѥ�᡼��ɽ��$\varphi: [0,\infty) \rightarrow X, \varphi(0)=z$���Ф���$\lim_{t \rightarrow \infty} \varphi(t) = \infty$�ΤȤ�, ʬ�ޤ������������ޤ�Ƥ���Ȥ������Ȥˤ���. 

\vspace{0.3cm}
{\bf (2.4) ��}. $f:{\bf R}^2 \rightarrow {\bf R}^2$��(2.2)�β����������������¸Ʊ�������, ��ư��$z_i, i=0,1$��ͭ����Ȥ���. $z_0$�����θ�ͭ�ͤ�����ж����Ǥ��äư���ޤ����԰���¿���ΤΤҤȤĤ�ʬ�ޤ������������ޤ�Ƥ���Ȥ���. $p/q$��$0$��$\rho_{z_0}(z_1,f)$�δ֤���������ͭ�����Ǥ����, ����ž��${\cal R}_{z_0}(x,z_1,f)$��$p/q$��������������$x$������. ������$\rho_{z_0}(z_1,f)$��$z_0$�˴ؤ���$z_1$����̵�¾���ž���Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
{\bf ����}. $W^u(z_0)$�Τ���ʬ�ޤ������������ޤ�Ƥ���Ȥ���. �̤�ʬ�ޤξ���Ʊ�ͤǤ���. ƻ$\gamma: [0,1] \rightarrow W^s(z_0,f)$��$f(\gamma(0)) = \gamma(1)$�ʤ��Τ�����. ����ˤ�ä�$\rho_{\gamma}(z_0,f) = 0$�����$\rho_{\gamma}(z_1,f) = \rho_{z_0}(z_1,f)$���ݾڤ����. 

$$
   {\cal R}_{z_0}(x,z_1,f) = {\cal R}_{\gamma}(x,z_1,f) = p/q.
$$

\vspace{0.3cm}
{\bf (2.5) ��}. $f:{\bf R}^2 \rightarrow {\bf R}^2$��������¸Ʊ�������, ��������������ͭ��������ͭ�¤�¬��$\mu$����¸�����ΤȤ���. $z_0,z_1$��$f$����ư���Ȥ���. ü����$- \rho(z_0)$�����$\rho(z_1)$�Ȥ���${\bf T}^1$�ζ�֤Τ������ʤ��Ȥ⣲�Ĥϼ������������. $p/q$�����ζ�֤������˴ޤޤ�를���Ǥʤ�ͭ�����Ǥ����, $f$��
$$
   {\cal R}(x,z_1) - {\cal R}(x,z_0) = p/q.
$$
�ʤ������$x$��ͭ����. Ʊ�����Ȥ�, $0$�����$- \rho(z_0)$��ü���Ȥ����֤Τɤ줫����, �����$0$�����$- \rho(z_1)$��ü���Ȥ����֤Τɤ줫���Ĥˤ���������Ω��. 

\vspace{0.3cm}
{\bf ����}. �ǽ�μ�ĥ(ü��$\rho(z_0)$��$\rho(z_1)$��Ȥ�)��, (2.2)�ˤ����Ƥ��٤Ƥβ�ž����mod 1�����������������Τ�(2.2)��ľ�ܤηϤǤ���. 

����¾�ξ��򰷤�����˼��Τ褦�˿ʤ�. ���֤򥳥�ѥ��Ȳ���, $z_0$�����$z_1$���Ĥ�ޤ��뤳�Ȥˤ��, (2.2)�ˤ�����$g: A \rightarrow A$��������. $G: \tilde{A} \rightarrow A$��$\pi^{-1}(\infty)$��������ư���ˤ���褦��$g$�λ����夲�Ȥ���. ƻ$\Gamma: [0,1] \rightarrow \tilde{A}$�������, ��������$\tilde{A}$�������˴ޤޤ�, ����$\pi^{-1}(\infty)$���ǤǤ���褦�ˤ�, �ޤ�$G(\Gamma(0)) = \Gamma(1)$���������褦�ˤ���. $\gamma: [0,1] \rightarrow A$��$\pi \circ \Gamma$�Ȥ���. $w \in \pi^{-1}(\infty)$�ʤ�$G(w) =w$�Ǥ��ä�, $R_G(w)=0$�Ǥ��뤳�Ȥ��ǧ�����ߤ���. (2.2)�ξ���Ʊ��, $y_1$��$\tilde{A}$������$\pi(y_1) \in C_1$�ʤ�, 
$$
   \rho_{\gamma}(z_1) = R_G(y_1),
$$
�Ǥ���. �����(1.9)���, $p_0/q_0$��$0$��$\rho_{\gamma}(z_1)$��ü���Ȥ�������ˤ������$x \in A$�����ä�, $\pi(x_0) = x$�ʤ�$R_G(x_0) = p_0/q_0$�Ǥ���. ������(2.2)�Ȥޤä������ʤ��褦�˿ʤ��
$$
   {\cal R}_{\gamma}(x,z_1,f) - {\cal R}_{\gamma}(x,z_0,f) =  p_0/q_0,
$$
�򼨤�. �����mod 1����������е����̤�������. ü����$0$��$- \rho_{\gamma}(z_0)$�ζ�֤�$p/q$���ޤޤ�����Ʊ�ͤ˰�����. $\Box$

\vspace{0.3cm}
{\bf ����.} (2.2), (2.4)�����(2.5)�ˤ�����$f$����¬�Ǥ���Ȥ�������Τߤ�Ȥä���ư��$z_1,z_2$��Ʊ����������ʬ�˴ޤޤ�뤳�Ȥ��������. ���뤤��Ʊ������, Ǥ�դ�$\varepsilon>0$���Ф���, ��������ư�����Ĥ�ޤ����Ȥ��˲ä������Ĥαߤδ֤�ξ������$\varepsilon-$����¸�ߤ��뤳�Ȥ��������. ��������¬�β����$z_1$��$z_2$��Ʊ����������ʬ��°����Ȥ���������֤������뤳�Ȥ��Ǥ���. ���Ȥ���, ����餬�Ȥ��Ʊ���إƥ�����˥å���������(�ʲ���(3.1)����)����ʬ�Ǥ���н�ʬ�Ǥ���. 

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf 3. �إƥ�����˥å���������}

\vspace{0.2cm}
{\bf (3.1) ���}. ��ʬƱ��$f:{\bf R}^2 \rightarrow {\bf R}^2$��
�إƥ�����˥å���������Ȥ�$f$���ж���ư���ν���$\{ p_i \}_{i=1}^n$
�����$x_i \in W^u(p_i) \cap W^s(p_{i+1})$(������$p_{n+1}=p_1$)�ʤ�
�إƥ�����˥å���$\{ x_i \}_{i=1}^n$�Τ��ȤǤ���.

\vspace{0.3cm}
��������$n=1$�β�ǽ�������ꤷ�ʤ�. ���Τ褦�ʥ����������������
�إƥ�����˥å��Ȥ������ϥۥ⥯��˥å��ȸƤ֤٤��Ǥ��뤬, 
���Ҥ��ñ�ˤ��뤿��, ���ξ���إƥ�����˥å��Ȥ������Ȥˤ���. 

\vspace{0.3cm}
{\bf (3.2) ���}. ��ʬƱ��$f:{\bf R}^2 \rightarrow {\bf R}^2$��
ñ��إƥ�����˥å���������Ȥϥإƥ�����˥å���������Ǥ��ä�
���ξ�����������ΤǤ���. 

\noindent
a) $p_i$�ˤ�����$Df$�θ�ͭ�ͤ���, 

\noindent
b) $p_i$�����$x_i$�Ǹ¤���$W^u(p_i)$�θ�ã��$x_i$�����$p_{i+1}$��
�¤���$W^s(p_{i+1})$�θ�ã��${\bf R}^2$�ˤ����ƥ������������ʤ�, 

\noindent
c) ���Υ�����������˰Ϥޤ����פ�$D$�Ȥ����, ��$\{ p_i \}_{i=1}^n$
��$D \cup f(D)$���佸��Τ�����ͭ������ʬ������˴ޤޤ��. 

\vspace{0.3cm}
$D \cup f(D)$��������פǤ���о��c)�ϤĤͤ�����Ω�Ĥ��Ȥ����դ��褦. 
�ޤ����a)��$f$��������¸�Ǥ��뤳�Ȥ��̣����. 

�����󥳥�ѥ��Ȥ���$M^2$(����������ѥ��Ȥʶ��������äƤ�褤)���
����ʬƱ��ΰ�������ѥ��Ȳ����Ф��ƺ�������ʬ��Ĵ�٤褦. 
$f:M^2 \rightarrow M^2$����ʬƱ��Ǥ��ä��ж���ư��$\{ p_i \}_{i=1}^n$
����ӥإƥ�����˥å���$\{ x_i \}_{i=1}^n$��������
�إƥ�����˥å����������ͭ����Ȥ��褦. $X=M^2 \cup \{ \infty \}$��
$M^2$�ΰ�������ѥ��Ȳ��Ȥ�, $f(\infty)=\infty$�Ȥ�����$f$��$X$�˳�ĥ����. 

\vspace{0.3cm}
{\bf (3.3) ����}. ü����$p_i$�����$x_i$�Ȥ���$W^u(p_i)$�θ�ã��ü����
$x_i$�����$p_{i+1}$�Ȥ���$W^s(p_{i+1})$�θ�ã��$X$�ˤ������佸���Ǥ��
����ʬ��$U$�Ȥ���. $U$���¬��$\mu$�����äƳ�������������
$V \cup f(V) \subset U$�ʤ�Ĥͤ�$\mu(V) = \mu(f(V))$�Ǥ���Ȥ���. 
���ΤȤ�, $x \in U$��$f: X \rightarrow X$�κ������Ǥ����, ��������
$\{ p_i \}_{i=1}^n$�γ�����Ʊ����������ʬ��°����. 

\vspace{0.3cm}
{\bf ����}. ���餫����$\{ p_i \}_{i=1}^n$��Ʊ����������ʬ$\Lambda$��
°����. ������Ʊ��Υإƥ������˥å����������ˤ��뤫��Ǥ���. 
$x \not\in \Lambda$�Ȥ��褦. ���ΤȤ�(1.8)����餫�ʴ������ס��Υ�
�ؿ�$g:X \rightarrow {\bf R}$������. $g(x) < g(\Lambda)$��
���ꤹ��($g(x) > g(\Lambda)$�ʤ�$f$��$f^{-1}$���֤�������Ф褤). 

$c \in {\bf R}$��$g$����§����$g(x)<c<g(\Lambda)$�ʤ����Ȥ�, 
$C_0=g^{-1}(c)$�Ȥ���. �����$C_0$����$X_0=g^{-1}((-\infty,c])$��
�����Ǥ���, $x \in X_0$�Ǥ���. $C_0$������$R(f)$�˴ޤޤ�ʤ�����, 
$f(X_0)$��$X_0$�������ˤ���. $p_i \not\in C_0$�Ǥ��뤫��, $n>0$�����ä�
$C=f^n(C_0)$�Ϥ��٤Ƥ�$i$���Ф���ü����$p_i$�����$x_i$�Ȥ���$W^u(p_i)$
�θɤ��ǤǤ���. Ǥ�դ�$z_1 \in C$���Ф���$g(z_1)<c<g(\Lambda)$�Ǥ���, 
Ǥ�դ�$z_2 \in W^s(p_i)$���Ф���$g(z_2)>g(\Lambda)$�Ǥ��뤫��, 
���餫��$C$��Ʊ�������٤Ƥ�$i$���Ф���$W^s(p_i)$���ǤǤ���. 

$C$����$X_1=f^n(X_0)$�ζ����Ǥ���$x \in X_1$�Ǥ��뤫��, 
$X_1 \subset U$�Ǥ���. �Ȥ�����$f(X_1)$��$X_1$�������˸�̩�˴ޤޤ��. 
�Ȥ�����$\mu(f(X_1))=\mu(X_1)$�Ǥ��뤫�餳����Բ�ǽ�Ǥ���. 
�����$x \not\in \Lambda$�ʤ벾���̷�⤹��. $\Box$

\vspace{0.3cm}
����ñ��إƥ�����˥å��������뤬������ˤ��餫������ꤷ����ž����
������ƻ��¸�ߤ˴ؤ����̤�Ҥ٤�������Ǥ���. ���η�̤����뤿���
����ϣ���η�̤ξ�����䶯����, �����������ƻ��
�ۥ⥯��˥å���������˰Ϥޤ����פ������˴����˴ޤޤ��Τ�, 
���μ�����ƻ�ΰ��֤ˤĤ��Ƥ�äȤ��ä�¿������������. 

\vspace{0.3cm}
{\bf (3.4) ����}. $f:{\bf R}^2 \rightarrow {\bf R}^2$����ʬƱ���, 
��������������ͭ��������ͭ�¤�¬�٤���¸�����ΤȤ���. $f$��
����$D$��Ϥ�ñ��إƥ�����˥å����������ͭ����Ȥ�, $z$��$D$���
����$f$����ư���Ȥ���. $p/q$��$0$��$\rho_{p_i}(z,f)$�δ֤ˤ����ž����
����. ��������ԤϤ���$i$���Ф���$p_i$�˴ؤ�����̵�¾���ž���Ǥ���. 
���ΤȤ�$D$�����$z$�Τޤ�������ž��${\cal R}_{p_i}(x,z,f)$��$p/q$��
������������$x$������. $x$�ε�ƻ���Τ�$D$��ˤ���. 

\vspace{0.3cm}
{\bf ����}. $X$���������ѥ��Ȳ�${\bf R}^2 \cup \{ \infty \}$�Ȥ�, 
$f(\infty)=\infty$�Ȥ�����$f$���ĥ����. ��ɸ��, ��ʬƱ��$f$��$D$��
���¤�, ���餿���$D$�γ��ǤϤ��٤Ƥ������ϳؤ���ñ�ˤ狼��褦�ˤ����
$X$��Ʊ�����$h$�˳�ĥ���뤳�ȤǤ���. �Ȥ���$h$���Ф��Ƥ�$D$�γ���
���٤Ƥ�����̤��ε�ƻ������$i$���Ф���$p_i$�����᤹�뤫, ���ε�ƻ��
$\infty$��˸¤Ȥ���褦��arrange����. ���Τ��Ȥ�$h$�������ž����
������ƻ����Ĥ���(�����ɬ��Ū��$D$��ˤ���)���������. 

���Υץ������˱�äƿʤ�. ñ��إƥ�����˥å��������������c)���, 
��$q_i \in W_{\varepsilon}^s(p_i)$�����ä�$D \cup f(D)$���佸��Τ���
$\infty$����ʬ�˴ޤޤ��. $J_i$��ü����$q_i$�����$x_{i-1}$��
$W^s(p_i)$�θɤȤ���. $p_i \in J_i$�����դ���(Fig.2����). ������
$\alpha_i: [0,1] \rightarrow X$�������
$\alpha_i(0)=q_i, \alpha_i(1)=\infty$���Ĥ��Τۤ���$t$�Ǥ�
$D \cup \{ \infty \}$���ǤˤǤ���. ���餫��, �����������ߤ�
$\infty$������Ƹߤ����Ǥ����٤�. $p_i$��$D \cup f(D)$���佸���
����$\infty$����ʬ�ζ����ˤ��뤳�ȤϤޤ�$x_i$�⤽���Ǥ��뤳�Ȥ�
��̣����. ������������$\beta_i:[0,1] \rightarrow X$�������
$\beta_i(0) = x_i$�ʳ��Ϥ��٤�$\alpha_i$��Ʊ����������Ĥ褦��, 
�ޤ�����������$\infty$������Ƥ��٤Ƥ�$\alpha_i$���ǤǤ���褦�ˤǤ���. 

�����ޤ줿��$J_i, \alpha_i, \beta_i$�ϥ������������������
���פ�Ϥ�. ���α��פ�$D \cup f(D)$�θ���ϸ�$J_i$�Ǥ���. ���α��פ�
$\infty$�ζ᤯�ζ�������ʬ�˱�äƽ̤�, ��������������������߱���
$E_i$(Fig.2����)������. 

\noindent
a) $i \not= j$�ʤ�$E_i$��$E_j$����;

\noindent
b) $E_i \cap (D \cup f(D)) = J_i$;

\noindent
c) $D \cup (\cup_i E_i)$��$\{ \infty \}$���Ǥ��İ�����פǤ���. 

\vspace{0.3cm}
��������򤳤ξ�����Ŭ�Ѥ��褦. 

\vspace{0.3cm}
{\bf (3.5) ����}. $E$��${\bf R}^2$�ΰ�����פǤ��äƤ��ζ����ϣ��Ĥ�
�����߸�I��J��������Ȥ���. $h_0: J \rightarrow J$����ʬ��֤ؤ�J��
���а�̾������Ǥ��ä�, ������¸����ư��$p$��ͭ����Ȥ���. ���ΤȤ�
$E$�򤽤���ʬ��������������$h$�Ǽ��Τ褦���������Ĥ�Τ�$h_0$��
��ĥ�Ǥ��롧

\noindent
a) $h(E) \subset (h(J) \cup E^0)$. ������$E^0$��$E$������;

\noindent
b) $E$��Τ��٤Ƥ�$x$���Ф���$\lim_{n \rightarrow \infty} f^n(x) = p$.

$h_0$��I��ü��ã�ζ�˵�Ǥ��������Ƥ���, J�Ȥ�������ʬ�����$E$��
������ʤ�, I��ü��ã��(�⤦����������)��˵���$h = h_0$�Ȥʤ�褦��
Ĵ��Ǥ���. 

\vspace*{5cm}
\hspace*{6cm} ��2


\vspace{3.8cm}
{\bf ����}. 
$E_0 = \{ (x,y) \in {\bf R}^2 \mid y \geq 0, x^2 + y^2 \leq 1 \}$
�����$J_0 = \{ (x,y) \in E_0 \mid y=0 \}$�Ȥ���. 
$g: E_0 \rightarrow E_0$��$g(x,y) = ( x/2, y/2 )$���������. 
Ʊ�����$\varphi: J \rightarrow J_0$�������$g$��$h_0$����ˤ���. 
���ʤ��, $\varphi$�������$g(\varphi(x)) = \varphi(h_0(x))$�Ȥ���. 
$\varphi$��, ��$I$�����$\{ (x,y) \in E_0 | x^2 + y^2 \}$�ξ�ؤ�
Ʊ������˳�ĥ����. �����$E_0$�ζ�������$E$�ζ����ؤ�Ʊ�����������
���Ȥˤʤ�. �����Ʊ�����$\varphi: E_0 \rightarrow E$�˳�ĥ����. 
$h: E \rightarrow E$��$h(y) = \varphi(g(\varphi^{-1}(y)))$���������. 
���ΤȤ�$J$���$h = h_0$��, $E$���$h$��$E_0$���$g$�˰��궦��Ǥ���. 

$h_0$��$J$��Ф���Ǥʤ�$I$��ξü���ζ�˵�Ǥ��������Ƥ���Ȥ�, $Z$��
$I$��ξü����ޤ�$I$�Σ��Ĥξ����ʶ�֤Ǥ��ä�$h_0$�����ξ����������
����Ȥ���. $J$����������Ƥ���$\varphi$�����ȯ����, �����
$J \cup Z \cup h_0(Z)$��ؼ��Τ褦�˳�ĥ����. $\varphi(Z)$��$E_0$��
������Ⱦ����ʬ��ü����ޤࣲ�Ĥζ�֤�������, �������ä�$x \in Z$��
�Ф���$g(\varphi(x)) = \varphi(h(x))$�Ǥ���褦�ˤ���ΤǤ���. 
������$\varphi$���ǽҤ٤��褦��$E_0$���Τ˳�ĥ��, 
$h: E \rightarrow E$��$h(y) = \varphi(g(\varphi^{-1}(y)))$����������, 
���Ƥ��������ߤ�������. $\Box$

\vspace{0.3cm}
(3.4)�ξ����������. $J_i$��$J$�Ȥ���б���$E_i$��(3.5)�β����������
���Ȥ����դ��褦. �桹����ɸ����ʬƱ��$f$��$D$�����¤�, ���ˤ����$X$��
Ʊ�����$h$�˳�ĥ����$D$�γ��Τ��٤Ƥ�����̤��ε�ƻ������$i$���Ф���
$p_i$�˸����������ε�ƻ��$\infty$��˸¤Ȥ���褦�ˤ��뤳�ȤǤ���. 
���Τ����$x \in D$�ʤ�$h(x) = f(x)$�������, $h: E_i \rightarrow E_i$
��(3.5)��Ϳ������褦��$J$���$h$�γ�ĥ�Ȥ���. ����ˡ�ˤ��, $J_i$
�ޤ���$D_i$�ζ������$x_{i-1}$�ζ�˵�ޤ���$p_i$�ζ�˵��Ǥ�դ�$x$��
�Ф���$h(x)=f(x)$������. �����ޤǤ��İ������$D \cup (\cup_{i} E_i)$
���$h$���������. ���α��פ򤹤����Ѥ���$h$�������������˼̤��褦��
����ɬ�פ�����. 

����򤹤뤿��, $q_i$�����$\beta_i$���$x_i$�˶ᤤ���ޤǱ�Ӥ�
��餫�ʸ�$\gamma_i$������(Fig.3����). ����򤹤�Τ�, ü����
$q_i$�����$p_i$�Ȥ���$W^s(p_i)$�θɤ����ü����$p_i$�����$x_i$
�Ȥ���$W^u(p_i)$�θɤ����˶᤯$\gamma_i$��Ȥ�. �����Σ��Ĥθɤ�
$\gamma_i$�����û����$\beta_i$�Ͻ�ʬ�˺٤��Ӿ��ΰ��Ϥळ���$Y_i$��
������(Fig.3����). ��$\beta_i$����ʬû�����, ���θɤξ��$h=f$�Ǥ���. 
$\gamma_i$�򤦤ޤ����֤��Ȥˤ�ä�, $x$��$\gamma_i$�����ʤ�$f(x)$��
$YI \cup D (\cup_i E_i)$�������ˤ���褦�ˤǤ���. �����, $x$��
$\gamma_i$�����Ǥ��뤫$Y_i$�����������ʤ�, ����$n$���Ф���
$f^{-n}(x) \not\in Y_i$(�������ä�$D$�γ��ˤ���)�ȤǤ���. 

\vspace*{3cm}
\hspace*{6cm} ��3


\vspace*{2.5cm}
$Q$�ϰ������$D \cup (\cup_i E_i) \cup (\cup_i Y_i)$��ɽ�魯��ΤȤ���. 
$Y_i$���$h=y$���֤���$h$��$Q$�ޤǳ�ĥ����. ���ΤȤ�����ˡ�ˤ��, 
$h(Q)$��$Q$�������˴ޤޤ��. 

$P$��$X$�ˤ�����$h(Q)$���佸��Ȥ�, $P$���$h^{-1}$��������뤳�Ȥˤ��
$X$�Τ��٤Ƥؤ�$h$�γ�ĥ����������. ������$P$�ϰ�����פǤ���$h^{-1}$
�Ϥ��Ǥˤ��ζ�������������Ƥ���, ����, $h^{-1}$��$P$�ζ����򤽤�
�����ؼ̤�. �褯�Τ��Ƥ���, �ޤ�(3.5)��Ʊ�ͤ���ˡ�Ǵ�ñ�˾����Ǥ���
�Ȥ���, �����ξ����Τ�ȤǤ�$h^{-1}$��$P$�򤽤������ؼ̤������ߤ�
��ĥ�Ǥ�, $\infty$��ͣ��۰�Ū����ư���Ǥ���. $h$��$\infty$�ζ�˵��
��餫�Ǥ���褦��, �ޤ�$\infty$��̵�¾���ž����̵�����ˤʤ�褦�ˤǤ���. 
���ޤ�, $x \in E_i$�ʤ�
$$
  \lim_{n \rightarrow \infty} h^n(x) = p_i,
$$
�Ǥ���, $x \in P$�ޤ���$x \in Y_i - D$�ΤȤ���
$$
  \lim_{n \rightarrow \infty} h^{-n}(x) = \infty.
$$
�Ǥ���. ������ξ���$D$�γ�¦�ˤ�$\infty$������Ƽ������Ϥʤ�. 
$D$���$h=f$�Ǥ��뤫��, �����Ǥ���¬�Ǥ���. 

����(3.3)���, ��$z \in D$���Ĥ�ޤ�, $z_0$���Ĥ�ޤ��κݤ��դ��ä����
���ߤκ������Ǥ����, $z_0$��$p_i$��Ʊ����������ʬ��°��. 
�����$\infty$���Ĥ�ޤ���Ʊ�����
$h: A \rightarrow A,$ $A = {\bf T}^1 \times [0,1]$��Ĥ��äƤ�, 
$z_0$��$p_i$�Ϥ�Ϥ�Ʊ����������ʬ��°��. 
$\pi: \tilde{A} \rightarrow A$��������ʤ���֤Ȥ�
$F: \tilde{A} \rightarrow \tilde{A}$��$h$�λ����夲�Ǥ��ä�
$\pi^{-1}(p_i)$�����Ѥˤ���Ȥ���. ���ΤȤ�$w \in \pi^{-1}(p_i)$���Ф���
$$
  \lim_{n \rightarrow \infty} \frac {(F^n(w)-W)_1} {n} = 0,
$$
�����$y_0 \in \pi^{-1}(z_0)$���Ф���
$$
  \lim_{n \rightarrow \infty} \frac {(F^n(y_0)-y_0)_1} {n} = 
R_G(y_0) =\rho_{p_i}(z,f).
$$
�Ǥ���. ������(1.9)��������$x \in A$�����ä�, $\pi(y) = x$�ʤ�
$R_f(y) = p/q$�Ǥ���. ���������餫��
$$
  {\cal R}_{p_i}(x,z,f) = R_F(y) = p/q.
$$

$\infty$���Ĥ�ޤ����Ȥ��˲ä���줿�߾�����Ϥ��٤Ʋ�ž����̵������
���뤫��, $x$�Ϥ��������ǤϤʤ�. ������$x \in D$�Ǥʤ���Фʤ�ʤ�. 
Ʊ��������$f^i(x)$�ˤ⤢�ƤϤޤ뤫��, $x$�ε�ƻ���Τ�$D$��ˤ���Ϥ���
����. $\Box$

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf 4. ̵�±�β�ž��}

���ᤪ��ӣ��������줿��̤�, ��(�󥳥�ѥ��Ȥ��̤�ޤ��)����¬��ʬƱ���������ʤ���֤ؤλ����夲�Ȥ����������̤���ʬƱ���Ŭ�Ѥ���Ȥ����Ĥ����򤤷�̤�������. ������Ǥ�Ʊ���褦������ǹͤ��뤬, ��Ŀ��������ơ�̵�±�ˤ������ž���ݤ�ä���. 

$M^2$�������դ�Ϣ���̤Ȥ�, $\pi: U \rightarrow M^2$�򤽤�������ʤ���֤Ȥ���. $M^2$������ѥ��Ȥʶ�����ʬ����Ĥ��Ȥ����, �ޤ�$m^2$������ѥ��ȤǤ��뤳�Ȥ����. $M^2$�Υ����顼ɸ������Ǥ��뤫, $M^2$��${\bf T}^2$�Ǥ��뤫, ${\bf T}^1 \times [0,1]$�ʤ�, $U$�μ����ʥ���ѥ��Ȳ�������. �����$\overline{U}$��ɽ�魯��, ����ϰ�����פǤ���. $M^2$�˶������ʤ����, $\overline{U}$�ζ����ߤ�̵�±�Ρ��������פ�������. �����Ǥʤ����, ����Ϥ��Τ褦���������Ĥ���, $\pi$�Τ�Ȥ�����$M^2$�ζ����˴ޤޤ������ޤ�. $F$��$M^2$��Ʊ�������$U$�ؤλ����夲�Ǥ����, $\overline{U}$�Τ��٤Ƥ�����Ʊ������س�ĥ�Ǥ���. $F_t$��$M^2$��Υ����ȥԡ��λ����夲�Ǥ��ä�$M^2$�˶������ʤ����, ̵�±�αߤؤγ�ĥ��$t$������Ω�Ǥ���(�����λ��¤Τ����Ĥ��˴ؤ��Ƥ�[Th]����). 

\vspace{0.3cm}
{\bf (4.1) ���}. $M^2$���ǵ��Ҥ����̤Ȥ�, $f: M^2 \rightarrow M^2$����ư��$z$��ͭ����������¸��ʬƱ��Ǥ���Ȥ�, $\pi: U \rightarrow M^2$��������ʤ���֤Ȥ���. $F: U \rightarrow U$��$f$�λ����夲�Ǥ��ä���$z_0 \in \pi^{-1}(z)$����ư�ˤ���Ȥ���. ��ư��$z$�˴ؤ���̵�±�β�ž����, $F: \overline{U} \rightarrow \overline{U}$��̵�±�αߤ����¤����Ȥ���$F$�β�ž���Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
��ñ�ˤ狼��褦��, ̵�±�β�ž����$z_0 \in \pi^{-1}(z)$���������ˤ��ʤ�. �̤�Ǥ�դ�������������̤λ����夲�������뤬, �������ʤ�Ѵ��ˤ�ä�$F$�ȶ���Ǥ��뤫��Ǥ���. �椨�ˣ��Ĥλ����夲��̵�±�α߾�Ƕ����Ʊ������˳�ĥ�Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
{\bf (4.2) ̿��}. $\chi(M^2) < 0$�ޤ���$M^2 = {\bf T}^2$�ޤ���$M^2 = {\bf T}^1 \times [0,1]$�Ȥ�, $f: M^2 \rightarrow M^2$����¬����������¸����ʬƱ�����ư��$z$����ĤȤ�, $\pi: U \rightarrow M^2$��������ʤ���֤Ȥ���. $F:U \rightarrow U$��$f$�λ����夲��, ��$z_0 \in \pi^{-1}(z)$����ư�ˤ���Ȥ���. ���ΤȤ�, ü����$z_0$��̵�¾���ž��$\rho(z_0)$�����$z$�˴ؤ���$f$��̵�±�ˤ������ž���Ȥ���${\bf T}^1$�ζ�֤�Ǥ�դ�$p/q$���Ф���, $F$�μ�����$x \in U$�����ä�${\cal R}(x, z_0, F) = p/q$�Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
{\bf ����}. $F: \overline{U} \rightarrow \overline{U}$�����$M^2$���¬�٤�����夲������������(̵��)¬��$\mu$��ͤ���. �Ϥ����, $\overline{U}$��Ǥ�դ�����$x$���Ф���$x \in R(F)$�Ǥ��뤫, Ǥ�դ�$\varepsilon$���Ф���$x$����̵�±�αߤޤǤΤޤ�̵�±���ߤ���$x$�ޤǤ�$\varepsilon-$��������. ���ξ�����(2.1)�ξ����Ȥۤ�Ʊ��Ǥ���. ����¬�٤Τ�������$x$�ξ����ʶ�˵����ˤϼ����򷫤��֤�����˵��äƤ�������, Ǥ�դΥ���ѥ��Ƚ���γ��˽ФƤ��������ޤޤ��. 

(1.6)��Ŭ�Ѥ���$F$��$\overline{U}$��Ǻ�����Ū�Ǥ��뤳�Ȥ򤤤������, ̵�±�α߾�����Ϻ��󵢽���$R(F)$�˴ޤޤ�뤳�Ȥ򼨤��Ф褤. ̵�±�β�ž����̵�����ʤ�, ���������Ω��. ��Ʊ�������̵������ž�ޤ���Denjoy������˶���ΤϤ�������Ǥ���. ̵�±�β�ž����ͭ�����ʤ�, ̵�±�α߾�˼�����$p_0$������. ���ξ�礳�α߾�˥����ȥԡ������ä�, ̵�±�α߾��Ϳ����줿Ʊ����������ȯ����finite order��Ʊ������Ǥ����, �����ȥԡ��γ��ʳ���$p_0$�ε�ƻ��κ��Ѥ�Ʊ��Ǥ���. ������$\overline{U}$�ζ����˥��顼��˵$s^1 \times [0,1]$��Ĥ��ä��Ƥ�����$F$���ĥ��, ���顼��Ʊ���ߤ���¸�������ȥԡ��ˤ�äƻ��ꤵ�줿�����Ǥ����αߤ˺��Ѥ���褦�ˤ���. 

�����¤�$D$��ɽ�路, ��ĥ���줿Ʊ�������$F: D \rightarrow D$��ɽ�魯. ����Ʊ��������Ф���, ���顼��˵�Τ��٤Ƥ����Ϻ���Ū�Ǥ��뤳��, �ޤ������Ϥ��٤�Ʊ����ž�����Ĥ���, ���ʤ��$z$�˴ؤ���$f$��̵�±�ˤ������ž������Ĥ��Ȥ����դ��褦. (ͭ�����ξ��, ���顼��ä���ɬ�פϤʤ�. $D = \overline{U}$�Ȥ���.) ���ޤ�(1.6)��Ŭ�ѤǤ�, $F$��$D$��Ǻ�����Ū�Ǥ���ȷ����Ǥ���. 

����$F$����ư��$z_0$��$D$����Ĥ�ޤ���, �ߴĤ�Ʊ�����������. �Ĥ�ޤ����Ȥ��������ߤΤ��٤Ƥ����Ϻ���Ū�Ǥ���. �ʤ��ʤ�$U$���¬�٤�����夲��$z_0$���Ĥ�ޤ���$U$���¬�٤ˤ�, ��ǽҤ٤�(2.1)�ε����򷫤��֤���, ���αߤΤ��٤Ƥ���$y$�Ϻ��󵢤Ǥ��뤫, Ǥ�դ�$\varepsilon$���Ф���$y$����$\overline{U}$���̵�±�αߤޤ�, �ޤ�̵�±�αߤ���$y$�ؤ�$\varepsilon-$��������. �Ȥ��������Τ��Ȥ�$y$��$z_0$���Ĥ�ޤ���$D$��Ǻ��󵢤Ǥ��뤳�Ȥ��̣����. ������(1.6)�������餫�ʤ褦��, �ߴľ��Ʊ�Ǽ����Ϻ�����Ū�Ǥ���. 

������(1.9)��Ŭ�ѤǤ���, ��ž��$p/q$�μ�����$x$��������. �������Ϥ����ΤĤ��ä������顼��ˤϤ������ʤ�. ���顼��Τ��٤Ƥ����ϲ�ž�������޹ͤ��Ƥ����֤�ξü��������, �����Ǥ�$p/q$������Ǥ���. �������ä�, $U$�����Ȥ��ƹͤ���$x$���������Ǥ���. $\Box$

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf References}
\end{center}

\re
[C] C.Conley, Isolated invariant sets and the Morse index, {\it C.B.M.S. Regional Conference Series in Math.}, {\bf 38} (1978), Amer. Math. Soc. Providence, R.I.

\re
[F1] J.Franks, Recurrence and fixed points of surface homeomorphisms, 
{\it Ergod. Th. and Dyn. Systems}, {\bf 8} (1988), 99-107.

\re
[F2] J.Franks, A variation on the Poincar\'{e}-Birkhoff Theorem, "Hamiltonian Dynamics", Contemporary Math. Amer. Math. Soc., {\bf 81}, 111-116.

\re
[Th] W.Thurston, On the geometry and dynamics of diffeomorphisms of surfaces, {\it Bull. Amer. Math. Soc.}, {\bf 19} (1988), 417-431.

\re
[W] W.Wilson, Smoothing derivatives of functions and applications, {\it Trans. Amer. Math. Soc.}, {\bf 139} (1969), 416-428.

\end{document}