\documentstyle[12pt,twoside]{article}
\oddsidemargin -1.0cm
\evensidemargin 2.0cm
\topmargin -2.0cm
%
\textwidth 14.0cm
\textheight 20.1cm
\footheight 0.5cm
\footskip 1.2cm
%
\newcommand{\doo}[2]{{\frac{\partial #1}{\partial #2}}}
\newcommand{\fat}[1]{{\bf #1}}
\newcommand{\sun}{{\,M_\odot}}
\newcommand{\WD}{{white dwarf~}}
\newcommand{\omato}{{\widetilde\omega}}
\renewcommand{\topfraction}{1.00}
\renewcommand{\textfraction}{0.0}
\newcommand{\re}{\vspace{0.15cm}\par\hangindent=0.7cm\noindent}
%
%\renewcommand{\baselinestretch}{1.5} 
\begin{document}
\noindent
{\it Chaos} {\bf 10}, 649-657(2000)

\begin{center}
{\Large {\bf �����ϳؤˤ��1������������ \\
One-dimensional three-body problem via symbolic dynamics

}}

\vspace{0.3cm}
{\bf ë����δ$^1$, Seppo Mikkola$^{1, 2}$\\
$^1$National Astronomical Observatory, Mitaka, Tokyo 181, Japan~~~\\
$^2$Tuorla Observatory, University of Turku, 21500 Piikki\"o, Finland~\\
}

\end{center}

\begin{abstract}
 
�����ϳؤ�1������������˱��Ѥ���. 
��ƻ�˱�äƤξ��ͤη����2�Ĥε��椫��ʤ뵭�����ɽ�魯. 
������̤ι�¤�ξܺ٤ʲ��Ϥ˴�Ť���, �¸��Բ�ǽ�ʾ���������Ū��
����. 
̵�¸Ĥμ���������¸�ߤ���. ���Τ��Ȥ���̵�¸Ĥμ�����ƻ��¸�ߤ�
���������. 
�¸��Բ�ǽ�ʵ�����˴ؤ����äȤ�ʲ���β���, �¸���ǽ�ʵ������
���礬����ȡ��뽸������뤳�Ȥ��������. 
\end{abstract}

\noindent
{\bf �������:} 1������������ -- �����ϳ� -- ������

\vspace{0.3cm}
{\bf 
1������������ϰ��̻����������Ǥ�äȤ��ñ������Ǥ��뤬, ����Ǥ�
���̵�ƻ��ܤ������Ϥ��뤳�ȤϤǤ��ʤ��Ǥ���. ����Ū�ˤ��������
Ĵ�٤�Ȥ��κ���ξ㳲�Ͼ���, �Ȥ��˻��ξ��ͤǤ���. ����ʸ�Υ����ǥ�
��, �դˤ����ð�����ȤäƵ�ƻʬ�ष�褦�Ȥ�����ΤǤ���. ��ƻ��
��äƤ����ξ��ͤ����ޡ����Ȥ��ƻȤ�. �Ȥ����Τ�, 1������������Ǥ�
ɬ��Ū�����ξ��ͤ������֤���뤫��Ǥ���. 
3�Ĥμ���$m_1,m_0,m_2$�򤳤ν����ľ������֤�.  
����$m_1$��$m_0$�����ξ��ͤ�'1'��������, $m_0$��$m_2$�����ξ��ͤ�
'2'�������Ƥ�. ��ƻ�˱�äƵ���'1'��'2'����ʤ뵭�����������.  
�����ϳؤ�ɸ��Ū��ˡ���Ѥ���, ���ͥǡ������鵰ƻ�γƼ�������Ƴ��. 
�����Ǥμ�ˡ����ħ�ϻ��֤ȶ��֤�Ʊ����Υ�������뤳�ȤǤ���. 
�ݥ��󥫥������������Ƴ�������. 
}

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\large
{\bf I. ��}
}

\vspace{0.2cm}
���̤ν���ͤ����ȯ����1������������� 
Mikkola \& Hietarinta$^{1 - 3}$�������ѥ�᡼���ϰϤˤ錄�ä�Ĵ�٤�.  
Tanikawa \& Mikkola (Ref.4; �ʸ� ��ʸI�Ȥ��)�ϵ������Ƴ����,  
���ξ��͵�ƻ��, �ۤʤ뵭�������ĵ�ƻ�ζ����Ȥ��������뤳�Ȥ�ȯ������. 
(��������ؤε����ϳؤ��̤α��ѤˤĤ��Ƥϻ���ʸ��5���ȤΤ���.)
����, ���ޤޤǥ������ΰ�ȹͤ����Ƥ�����̵꤬���λ��ξ��Ͷ���, 
���ʤ��, ���ξ��ͤν����郎���Ť������, �ˤ�ä��ؾ���
ʬ�䤵��뤳�Ȥ򸫤Ĥ���.

������ʸ����ʸI�ΤĤŤ��Ǥ���. ��Ū��1�����������������֤ι�¤��
��äȾܺ٤����򤹤뤳�ȤǤ���, ����ˤ�ä�1�������ηϤ��ϳؤ˴ؤ���
����˿���ƶ�������뤳�ȤǤ���. 
��ƻ���Τ�Τ�ͤ��������, ������ν����ͤ���. ������, �������
����֤�ʬ�䤷�ƤǤϤʤ�, ��ƻ�˱�äƤ����ξ��ͤ��󤫤�����. 
���̤ϰʲ��ΤȤ���Ǥ���. �����̤ϰۤʤ뷿�ε�����ˤ�ä��礭��
5�Ĥ��ΰ��ʬ�䤵���. ���˲����̤��о�������, 
�����(�¸��Բ�ǽ)������򸫤Ĥ���. 
�����, �������10�ʿ��ȹͤ��Ƶ���������ޤ��ϸ�������褦���б�����
�����Ӥ�ʤ��Ʋ����̤�ʬ�䤹�뤳�Ȥ򸫤�. 
�ݥ��󥫥�����β��ǤγƼ��ΰ�δ֤��������ܤ�ɽ������դ������, 
�����ȤäƼ��������󤪤�ӿ�ư������, �б����Ƽ�����ƻ�����
��ư��ƻ��¸�ߤ�Ƴ�Ф���. 
�Ǹ��, ���ͷ�̤˴�Ť���, �����������ν�������, ���Ƥʵ�����ν��礬
����ȡ��뽸���ʤ����Ȥ��������. 

II��Ǥ�����������, �ϥߥ�ȥ�ؿ�����ӻ����ѿ��򼨤�.
���ͷ׻������٤��ݤĤ������§���ѿ���Ƴ������. 
�����̤��뤤�Ͻ�����̤��������. 
III��Ǥ�, �������Ƴ����, ������Ȳ����̤δط����������. 
IV��Ƿ�̤�Ҥ٤�. IV.A��ǲ����̤����Τ��ͻҤ򼨤�. 
IV.B��Ǥ�������о�����Ȥä������(�¸��Բ�ǽ)���������ꤹ��. 
IV.C��Ǥϰۤʤ뵭����˴ؤ��Ƥ�äȾܤ��������̤ι�¤����Ϥ���. 
IV.D��Ǥϲ����̤Τ��ޤ��ޤ��ΰ�֤��������ܤ�ɽ������դ���, 
���������󤽤�¾�򸫤Ĥ���. 
IV.E��Ǥ�IV.A��D��ο��ͷ�̤�Ƨ�ޤ��Ƶ��Ƶ������������Ĵ�٤�. 
�ǽ�V��Ƿ�̤�ޤȤ��. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\large
{\bf II. ������꼰��}
}

3����$m_1, m_0$�����$m_2$($m_0 = m_1 = m_2$)�򤳤ν����ľ������¤٤�.
���̤��ͤ���ӽ��������1�˸��ꤹ��. 
����ȥϥߥ�ȥ�ؿ���
$$
  H = \displaystyle \frac{1}{2} \sum_{i=0}^{2} w_i^2 - 
\sum_{i<j} \frac{1}{|x_i-x_j|} .   \eqno(1)
$$
�Ȥʤ�$^1$. 
������$w_i$��ľ����κ�ɸ$x_i$�˶���ʱ�ư�̤Ǥ���. 
$x_1 \leq x_0 \leq x_2$�Ǥ���. ��������ɸ��
$$ \begin{array}{l}
  q_1 = x_0 - x_1, \\
  q_2 = x_2 - x_0 , 
   \end{array} \eqno(2)
$$
��Ƴ�������, �б����ƿ������ϥߥ�ȥ�ؿ�
$$
 H = \displaystyle p_1^2 + p_2^2 - p_1p_2 - 
\frac{1}{q_1} - \frac{1}{q_2} - \frac{1}{q_1+q_2}   \eqno(3)
$$
��������. 

�����ͥ륮����$-1$�˸��ꤷ, ��ƻ�Τդ�ޤ���$q_1(0) = q_2(0) = R$����
��ȯ�����ɤ�������. 
�Ĥޤ�, ��¦��2����������μ�����������Υ�ˤ���Ȥ������鱿ư���Ϥޤ�. 
�������ܶ������ˤ�ɬ�����ξ��֤��̲᤹��Τ�, �ۤȤ�ɤε�ƻ��
�����줫�λ����Ǥ��ξ��֤�����. 
���ΤȤ�, �ݥƥ󥷥����ͤ�$2.5/R$�ȷ�ޤ�. ��ư���ͥ륮��$T$�� 
$$
T = 2.5/R - 1        \eqno(4)
$$
��Ϳ������. 

���Τ褦�ʥѥ�᡼����Ƴ�����褦. 
$$ \begin{array}{rl}
  \sqrt{3} (p_1 - p_2) = & 2 \sqrt{T} \sin \theta ,\\  
  (p_1 + p_2) = & 2 \sqrt{T} \cos \theta . \\  
   \end{array}         \eqno(5)
$$
�����$(\theta, R)$�Ͻ���ͤ���ꤹ��. ®�٤�$\theta$��$R$�ˤ�ä� 
$$ \begin{array}{rl}
  \dot{q}_1 = 2 p_1 - p_2 =  2 \sqrt{T} \cos (\theta - \pi/3) ,\\  
  \dot{q}_2 = 2 p_2 - p_1 =  2 \sqrt{T} \cos (\theta + \pi/3) . 
   \end{array}           \eqno(6)
$$
��ɽ�����. 

�ؿ�$S=p_1Q_1^2+p_2Q_2^2$�Ϥ⤦�ҤȤĤ������Ѵ�����������. ��������ɸ��
$Q_1=\sqrt{q_1}$, $Q_2=\sqrt{q_2}$�ǿ�������ư�̤�$P_i=2Q_i p_i $ 
�Ǥ���. ����˻����Ѵ�$t' =q_1q_2$��ä����, �������ϥߥ�ȥ�ؿ�
$$
 \Gamma = \displaystyle
\frac14(P_1^2Q_2^2+P_2^2Q_1^2-P_1P_2Q_1Q_2)-Q_1^2 -Q_2^2
-\frac{Q_1^2Q_2^2}{Q_1^2+Q_2^2} - Q_1^2Q_2^2E,  \eqno(7)
$$
��������. ������$E$�ϥϥߥ�ȥ�ؿ���(���)���ͤǤ���. 
���Υϥߥ�ȥ�ؿ����������뱿ư��������
 Bulirsch-Stoer��ʬ��$^{6}$�Τ褦�����̤���ˡ�ǿ���Ū����ʬ�Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\large
{\bf III. ������Ȳ�����}
}

\vspace{0.3cm}
��ƻ�˱�ä�3�Ĥη��ξ��ͤ���������.   
$m_1$��$m_0$�δ֤����ξ���, $m_0$��$m_2$�δ֤����ξ���, �����
���ξ��ͤǤ���. 
$m_1$��$m_0$�δ֤����ξ��ͤ�'1'��ɽ��, $m_2$��$m_0$�δ֤����ξ��ͤ�
'2'��ɽ��, ���ξ��ͤ�'0'��ɽ����. 
������ϼ��Τ褦�˺��. $m_1$��$m_0$�����ͤ����Ȥ��ˤϵ���'1'����˲ä�, 
$m_0$��$m_2$�����ͤ����Ȥ��ˤϵ���'2'��ä���.
�����, ���ξ��ͤ��������Ȥ��ˤ����'0'��Ĥʤ�. 

���ξ��ͤ����ȯ�����껰�ξ��ͤ˽��뵰ƻ��ľ�ܵ��뤳�Ȥ������񤷤�. 
�Ȥ����Τ�, ���ξ��ͤϰ��̤˿����ð���������Ǥ���. 
��������ʸI�Ǽ������褦��, '0'��ޤ൭�������ĵ�ƻ��'0'��ޤޤʤ�
���������ĵ�ƻ�ζ����Ȥ������뤳�Ȥ��Ǥ���. 
������, ���ξ��ͤ�'0'�������Ƥ뤳�Ȥ�ñ�ʤ����Ū�ʼ�³���ǤϤʤ�.  
���̤�, ���ξ��ͤ�и����뵰ƻ�Ϥ��������³���뤳�Ȥ��Ǥ��ʤ�. 
������, ̤���(���뤤�ϲ���)'0'���������Ȥ��ˤϤ��Τ�������
(���뤤������)'0'��̵�¤�³����ΤȤ���. 

����, ��ƻ��$0, 1$�����$2$����Ȥ��Ƽ��Τ褦��ɽ������. 
$$
(\ldots n_{-2} n_{-1} . n_0 n_1 n_2 \ldots)
$$
������$n_i, i \in {\bf Z}$��$0, 1$, �ޤ���$2$�Τɤ줫�Ǥ���. 
II���������������狼���ȯ����̤�褪��Ӳ��˸����äƵ�ƻ���ɤ�����
��. �����, $n_0$�Ϻǽ�ξ��ͤ�ɽ��. 
$n_1$��$n_2$������, �軰�ξ��ͤ�ɽ��. �ʲ�Ʊ�ͤǤ���. 
Ʊ�ͤ�, $n_{-1}, n_{-2}, \ldots$�ϲ��ξ��ͤ��б����뵭��Ǥ���. 

$\Sigma$��3�Ĥε��椫��ʤ�ξ̵�¤���
$s = (\ldots n_{-2} n_{-1} . n_0 n_1 n_2 \ldots)$���٤Ƥν���Ȥ���. 
$\Sigma$��ε�Υ��${\rm d}(s,s) = 0$�����$s^1 \neq s^2$�ΤȤ���
${\rm d}(s^1, s^2) = 3^{-|m|}$���֤����������. ������$|m|$��
$s^1_m \neq s^2_m$���������Ǿ��������Ǥ���$^{8}$. 
�����$\Sigma$�ϥ���ѥ��ȵ�Υ���֤Ȥʤ�. 
�����������. 
$$
  \Sigma_2 = \{ s \in \Sigma \ | \ s_i = 1 \ {\rm or} \ 2\} . 
 \eqno(8)
$$
���ΤȤ�, $\Sigma_2$������ȡ��뽸��Ǥ��뤳�Ȥ��Τ��Ƥ���$^{9}$. 
�����������, ���ξ��ͤ򷫤��֤���ƻ���б����뵭����ϵ��������
$\Sigma$����ǥ���ȡ��뽸���ʤ�. �ʲ��Ǥϼ�Ȥ��ƶ���$\Sigma_2$
��ͤ���. 

$\Sigma$��ο�ܥ��ڥ졼����$\sigma$��

$$
 \sigma (\ldots n_{-2} n_{-1} . n_0 n_1 n_2 \ldots)
= (\ldots n_{-2} n_{-1} n_0 . n_1 n_2 \ldots) \eqno(9)
$$
����������.

II��ǽҤ٤��褦��, $q_1=q_2$�ξ��֤�����ʬ��Ϥ��.  
�Ϥ���˷�᤿���ͥ륮�����ͤ��, ������֤ϲ�����$H$: 
$$
 H = \{ (\theta, R) \ | \ 0 \leq \theta < 2\pi, 0 \leq R \leq 2.5 \}. 
 \eqno(10)
$$
���ɽ���Ǥ���. 
$0 < \theta < \pi$�ξ��, $(q_1, q_2)$�̤ε��פ�
\underline{Ʊ����}($q_1=q_2$)��$\dot{q}_1>\dot{q}_2$�ǲ���Ū�˲��ڤ�. 
$\pi < \theta < 2\pi$�ξ��, $(q_1, q_2)$�̤ε��פ�
Ʊ������$\dot{q}_1<\dot{q}_2$�ǲ���Ū�˲��ڤ�. 

3�Ĥ�γ�Ҥ�Ʊ�����̤���ĤΤ�, �����̤�2�Ĥ��о��������. 
����Ƴ�����褦. 
$$ \begin{array}{l}
H_1 = \{ (\theta, R): 0 \leq \theta < \pi, 0 \leq R \leq 2.5 \}, \\
H_2 = \{ (\theta, R): \pi \leq \theta < 2\pi, 0 \leq R \leq 2.5 \},\\ 
H_1^t = \{ (\theta, R): (\pi - \theta, R) \in H_1 \} .
   \end{array} \eqno(11)
$$
�����о�����, $H_2$(�ޤ��� $H_1$)���ȯ���뵰ƻ��̤�褬, 
$H_1$(�ޤ��� $H_2$)���ȯ���뵰ƻ�β����б����뤳�ȤǤ���. 
������θ��դǤ�����, 
$(\ldots m_{-2} m_{-1}. n_0 n_1 \ldots)$����$(\theta,R) \in H_1$�ε�����
�Ǥ����, $(\ldots n_1 n_0. m_{-1} m_{-2} \ldots)$��
��$(2\pi-\theta,R) \in H_2$�ε�����Ǥ���. 

������о�����, $H_1^t$���ȯ���뵰ƻ��̤�褬 $H_1$���ȯ���뵰ƻ��
���Ǥ��뤳�ȤǤ���. ������θ��դǸ�����, 
$(. n_1 n_2 n_3 \cdots)$��$(\theta, R) \in H_1$���ȯ���뵰ƻ���б�����
\underline{̤��}������Ǥ��ä�,  
$(. m_1 m_2 m_3 \cdots)$�� $(\theta, R) \in H_1^t$���ȯ���뵰ƻ��
�б�����̤�赭����Ǥ����, 
$(\cdots m^t_3 m^t_2 m^t_1 . n_1 n_2 n_3 \cdots) \in \Sigma$��
$H_1$���ȯ���뵰ƻ���Τ��б�����ξ̵�µ�����Ǥ���. ������, 
$m_i=1$�ʤ�$m^t_i = 2$�Ǥ���, $m_i=2$�ʤ�$m^t_i = 1$�Ǥ���. 

�ޤȤ���, ��������$H$�ι�¤��Ĵ�٤뤿��ˤ�, 
$H_1$������̤�走ƻ����ʬ����Ф褤. �ʤ��ʤ�, ��ƻ��������о�����
�������, $H_2$�����ε�ƻ������о���, �Ĥޤ����ȿž, �ˤ�ä�������
����Ǥ���.

\vspace{0.3cm}
��������ε���Ȳ����̤������б���1��1�ǤϤʤ�. 
�ʲ���̿�꤫��狼��Ȥ���, ��ƻ���դ�������$H_1$�˸����ʤ�, 
�������Ԥ������ξ��ͤ�$m_1$��$m_0$�δ֤˵�����, �����³�����ξ��ͤ�
$m_2$��$m_0$�δ֤˵�����.  
�����������, ����(������)����³��'1'��'2'�δ֤ˤΤ�����뤳�Ȥ��Ǥ���. 
Ʊ���ڥ������ξ��ͤ�³���¤�, ��ƻ��$H_1$��˸���ʤ�. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ̿�� 3.1.} $(q_1,q_2)$�̤ε��פ�Ʊ����($q_1=q_2$)���ڤ�ʤ�, 
��$(\theta, R) = (0,0)$�ξ�������Ʋ���Ū�˲��ڤ�. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. $q_1 = q_2$����$\dot{q}_1=\dot{q}_2$�ʤ�, ���Ʊ����
���äƤĤͤ�Ʊ������ˤ���. ������, �����Ʊ�����γ��ˤ��뵰�פ�
���ξ��ͤ������, Ʊ�������ܤ��뤳�ȤϤǤ��ʤ�. 
\hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ̿�� 3.2.} $(q_1,q_2)$�̤ǵ��פ�Ʊ�������ڤ��, �դ�����Ʊ������
���ڤ��������ξ��ͤ򵯤���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. ���פ�Ʊ������$t=t_0$��, $(q_1 < q_2)$¦����
$(q_1 > q_2)$¦��, �Ĥޤ�$\dot{q}_1 > \dot{q}_2$�ǲ��ڤä��Ȥ���. 
�����, ������$\varepsilon>0$�����ä�, $t=t_0 + \varepsilon$�� 
$q_1 > q_2$����$\dot{q}_1 > \dot{q}_2$�Ǥ���. 
�Ĥޤ�, �դ�����Ʊ�������ڤ뤿��ˤϥ����Ǥʤ�ͭ�¤ʻ��֤�ɬ�פǤ���. 
$(t_0, t^*)$�δ֤����ξ��ͤ�и����뤳�Ȥʤ�, Ʊ������$t=t^* > t_0$��
���ڤä��Ȥ��Ƥߤ�. ���ξ��Ϣ³���ε������Ȥ���. 
̿��3.1���, ����$t=t^*$��, $q_1=q_2$����$\dot{q}_1 < \dot{q}_2$������Ω
��. ���줬����Ω�Ĥ���ˤ�, �������$t^{**}, t_0 < t^{**} < t^*$��, 
$q_1 > q_2$���� $\dot{q}_1 = \dot{q}_2$������Ω�ĤϤ��Ǥ���. 
�����, $t_0$��$t^{**}$�δ֤Τ�������$\ddot{q}_2 > \ddot{q}_1$��
����Ω�ĤϤ��Ǥ���. �����, ���λ����$q_2 < q_1$�Ǥ��뤳�Ȥ��̣����. 
�����̷��Ǥ���. \hfill $\Box$

\vspace{0.3cm}
�Ǹ��, ���Ū��¤�����뤿���, ������$H_1$��ʻҥ����� 
$(\Delta R , \Delta \theta) = (0.002,$ $0.^{\circ}1)$�����ܤ�ʤ��, 
�Ƴʻ��������ȯ����$66$���ܤ����ξ��ͤ�������ޤǵ�ƻ����ʬ����.  
��ʬ������ƻ�ο���$2.25 \times 10^6$�ĤǤ���. 
����ζɽ�Ū��¤�򸫤뤿���, ����ʳ��ˤ��äȺ٤������ܤǵ�ƻ��
��ʬ����. 

\begin{figure}[t] % fig1
\vspace{9cm}
\special{psfile=
/home/tanikawa/Chosak/mypap/nbody/2000cm/TMfig5.ps
/home/tanikawa/Papers/people/mikkola/tbp1/paper2/pub/TM2fg1.ps 
 hoffset=-30 voffset=-50}
\caption{ �����̤��ع�¤. ��ʸI�ο�5�κƷ�. ������Ƥ��뤤��Τ�, 
Schubart�ΰ�(��), ���ξ��Ͷ���, �����¨�������������ΰ�(����).}
\end{figure}

\newpage
\vspace{0.3cm}
\noindent
{\large 
{\bf IV. ��ƻ�ȵ�����}
}

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\large 
{\bf A. �����̤����Ū��¤}
}

\vspace{0.3cm}
��ʸI��, �ۤʤ뵭�����������ˤ�äƲ����̤���������ʬ��ʬ�䤵���
���Ȥ򸫤�. 
����, ��$H_1$��̤�赭����$1.22 \ldots $��$1.21 \ldots $��������ˤ�ä�
2ʬ�����.  �̤�̤�赭����
$1.222 \ldots$, $1.221 \ldots$, $1.211 \ldots$, �����$1.212 \ldots$
�ˤ�ä�4ʬ�䤵���. �̤�
 $1.2222 \ldots$, $1.2221 \ldots$, $1.2212 \ldots$, 
$1.2122 \ldots$, $1.2121 \ldots$, $1.2112 \ldots$, ����� 
$1.2111 \ldots$�ˤ�ä�7ʬ�䤵���. ����. 
�ۤʤ뵭���������ΰ�֤ζ����϶�����ʤ�, �����ζ����ϻ��ξ��ͤ˽���
��ƻ�ν���ͤǤ��뤳�Ȥ��狼�ä�. 
������, ���ζ�����\underline{���ξ��Ͷ���}�ȸƤ��. 
��������, ������η����夲��ˤĤ�Ʋ����̤Ϥ��¿����
�������ΰ��ʬ�䤵��, ������ΰ�ϻ��ξ��Ͷ����ˤ�äƸ¤���. 
1�ޤϷ�̤ΤҤȤĤ򼨤�. �������ʸI��5�ޤ��Ͽ������ΤǤ���. 
�ޤˤ�, $10, 11$�����$12$��ε����󤫤������뻰�ξ��Ͷ�����������. 
��äȷ����û�������󤫤��������ΤϤ����δ֤�ʬ�ۤ��뤬, �����
�Ͼ�ά����. 
���ξ��Ͷ����˲ä���, 2������ΰ褬������Ƥ���. �ҤȤĤϥ��塼�С���
�ΰ�(��)�Ǥ���. ����ϥ��塼�С��ȵ�ƻ$^{10}$�ȸƤФ�����ʼ�����ƻ��
�ޤ��ΰ����ΰ�Ǥ���. 
�⤦�ҤȤĤ�4�Ĥζ����ΰ�Ǥ���. ���������ȯ���뵰ƻ�Ϥ������˥�������
�פ���, �Ĥޤ�1�Τ�Ϣ����ʬ������.  

��ʸI�Ǥ�, �ۤʤ뵭�������Ĥ��ޤ��ޤ��ΰ�����֤�ʬ�ۤ˴ؤ��Ƥ�
�ͻ����ʤ��ä�. 
�������ʸ�Ǥ�, �����̤ξܺ٤ʹ�¤����Ϥ�, 1��������������ϳؤ�
�ؤ�ƶ�������뤳�Ȥ���ɸ�Ǥ���. 
�ǽ������ʴѻ���, $H_1$����礭�ʹ�¤�Τ��뤳�ȤǤ���. 
4�ܤζ��������塼�С����ΰ�γ�(����)����Ф�, �����̤β��ζ�����
ã���Ƥ���褦�˸�����. 
1�ޤǤ�, ���ζ����ϥ��塼�С����ΰ��ľ�������ȯ���������������Ӥޤ��
��ƻ�ΰ����Ȥ�������줿. 
���塼�С����ΰ�Ǥ�, �������$(21)^{\infty}.(21)^{\infty}$�ʤ����
����. �������ؿ�$\infty$��$21$��̵�²󷫤��֤���뤳�Ȥ��̣����.
(������«��ͭ�²�η����֤��ξ��ˤ�Ȥ����Ȥˤ���.)

���줬�����˶����Ǥ��뤳�Ȥ��ǧ���뤿���, ���ζ���������ڤ�
¿����û����ʬ������ͤȤ��Ƶ�ƻ����ʬ����.  
�ʻҤΥ������Ͽ�ʿ�����ξ���$0^{\circ}.001$, ��ľ�����ξ���
$0.0001$�Ȥ���. ����������ˤ��뤿��ξ���, �б����뵭����, 
$n \geq 36$�Ȥ���$1.(21)^n$�ʤ���򤷤Ƥ���Ȥ��Ǥ���Ȥ���. 
���塼�С����ΰ�ζ����ζ᤯�Ǥ�, ��ä�Ĺ�������ɬ�פǤ��ä�. ���ξ�, 
�����������ʻ�����ʣ���ξ��ˤϰ��֤���֤���. 

��̤�2(a)�ޤ˼�����. 4�ܤζ����ϳ�餫�˥��塼�С����ΰ�ζ����ˤĤʤ���
�Ƥ���褦�˸�����. 
�����ζ����ˤ�ä�ʬΥ������ΰ��${\cal S}$, ${\cal L}$, ${\cal C}$, 
${\cal R}$, �����${\cal T}$�ȵ�����. ��̣�ϥ��塼�С����ΰ�(S), 
����Ӻ�(L), ��(C), ��(R), ��(T)�ΰ�Ǥ���. �б����뵭�����ɽI�˵��ܤ���. 


\vspace{0.3cm}
\begin{center}
ɽ I. ������$H_1$�ε�����. 
\end{center}
$$ 
  \begin{array}{cl}
{\rm Region} & {\rm Sequence}(n \geq 0) \\
\hline
{\cal S} &  (21)^{\infty}.(21)^{\infty} \\
{\cal L} & \ldots 1.(21)^{2n} 22 \cdots \\
{\cal C} &  \ldots 1.(21)^{2n+1} 1 \cdots \\
{\cal R} &  \ldots 1.(21)^{2n+1} 22 \cdots \\
{\cal T} &  \ldots 1.(21)^{2n+2} 1 \cdots \\ 
\hline
   \end{array} \hspace{1cm}
$$ 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ����}.
2(a)�ޤ�ʬ���${\cal S}$�ζ����᤯�Ǥ����ΤǤʤ���ǽ�������뤳�Ȥ�
���դ��٤��Ǥ���. 
���塼�С����ΰ�Τޤ��ˤ�2��������2�Ȥ���. 
(�������۰̶��֤Ǥ�1�ܤε�ƻ���б�����.)
���������� ���塼�С����ΰ�γѤˤ��ä�,  ���塼�С����ΰ�κǳ�¦KAM
�����Ȥ�Υ��Ƥ���Ϥ��Ǥ���. 
���塼�С����ΰ�ζ᤯�Ǥ� 
${\cal L}$, ${\cal C}$, ${\cal R}$, �����${\cal T}$��ʣ���ʻ����Ǥ����
��äƤ����ǽ��������. 
������ʸ�Ǥ�, ���Τ�����ξ��˴ؤ��Ƥϲ��������Ф��ʤ��褦�ˤ���. 

\begin{figure}[t] % fig2
\vspace{15.5cm}
\special{psfile=
/home/tanikawa/Papers/people/mikkola/tbp1/paper2/pub/TM2fg2.ps 
hoffset=-30 voffset=-10}
\caption{ (a) �����̤�ʬ��. 
(b) �����̤���Ӥ���΢�֤��̤��ΰ�Ʊ�ΤνŤʤ�礤.}
\end{figure}

\newpage
\vspace{0.3cm}
\noindent
{\large 
{\bf B. ����Ƶ�����}
}

\vspace{0.3cm}
III��ǻ�Ŧ�����褦��, �����̤��о��������. 
$(\theta, R)$�����ȯ���뵰ƻ�β�����ˤ� $(\pi - \theta, R)$��
��ȯ���뵰ƻ��̤��Ȥ��Ƽ¸������. �դ�����Ω��. 
������, $(\theta, R)$���ȯ���뵰ƻ���б�����ξ̵�µ���������뤿��ˤ�, 
(i) $(\theta, R)$���ȯ���뵰ƻ��̤���׻����Ƥ���̤�赭����
$1. 2 c_2 c_3 \ldots$��Ͽ����.  
(ii)  $(\pi-\theta, R)$���ȯ����̤�走ƻ��׻����Ƥ���̤�赭����
$1. 2 s_2 s_3 \ldots$��Ͽ����. 
(iii) \underline{���}������$\ldots \bar{s}_3 \bar{s}_2 1 . 2$ 
����. ������$s= 2$�ޤ���$1$�˱�����$\bar{s}=1$�ޤ���$2$�Ǥ���. 
(iv) 2�Ĥε������Ĥʤ��� 
$\ldots \bar{s}_3 \bar{s}_2 1. 2c_2 c_3 \ldots$������. 

���μ�³������, Ϳ����줿������\underline{����}(���ʤ��, ������Ȥ�
�Ƽ¸���ǽ)���ɤ��������å�������������������. 
Ǥ�դ�̤�赭�����Ǥ�դβ�����ȤĤʤ��뤳�Ȥ��Ǥ����, Ǥ�դ�ξ̵��
�����󤬵��ƤǤ���. 

ȿž������$H_1^t$��ͤ��褦. $H_1$���ΰ�${\cal R}$, ${\cal C}$, 
${\cal L}$, �����${\cal T}$��ȿž����������$H_1^t$���ΰ��. 
���줾��${\cal L}'$, ${\cal C}'$, ${\cal R}'$ �����${\cal T}'$
�ȵ�����. ���Ȥ���,  ${\cal L}'$�Ϥ�Ȥ�${\cal R}$��ȿž������ΤǤ���. 
�б�����(���)�������'1'�� '2'�������ؤ�����Τ�ɽII�˼�����.  

���å���Ĥ��ȥ��å���ʤ����ΰ褬�Ťʤ��, 2�Ĥ���¦̵�µ������
�Ĥʤ���������ϵ��ƤǤ���. 
�����Ǥʤ��Ȥ�����ƤǤ���. 
������17�Ĥ��ȹ礻����ǽ�Ǥ���. ���ʤ��, 
${\cal L}, {\cal C}, {\cal R}, {\cal T}$�Τɤ줫�� 
${\cal L}', {\cal C}', {\cal R}', {\cal T}'$�Τɤ줫���ȹ礻��16, 
${\cal S}$��${\cal S}'$���ȹ礻���ҤȤ�. ������о������, 
${\cal S} = {\cal S}'$�Ǥ���.
�Ťʤ꤬���Ǥʤ��ȹ礻���2(b)�˼�����. 
IV.A������դǻ�Ŧ�����褦��, ${\cal S} \cap {\cal S}'$�ζ����᤯�Ǥ�, 
�ΰ�νŤʤ��ʣ���ʷ��򤷤Ƥ����ǽ��������. ���ޤϤ����̵�뤹��. 

\vspace{0.3cm}
\begin{center}
ɽ II. ΢�֤�������$H_1^t$�ε�����. 
\end{center}
$$ \begin{array}{cl}
{\rm Region} & {\rm symbol \  sequence}(n \geq 0) \\
\hline
{\cal L}' &  \ldots 11(21)^{2n+1}.2 \cdots \\
{\cal C}' &  \ldots 2(21)^{2n+1}.2 \cdots \\
{\cal R}' &  \ldots 11(21)^{2n}.2 \cdots \\
{\cal T}' &  \ldots 2(21)^{2n+2}.2 \cdots  \\ 
\hline
   \end{array}
$$ 

\vspace{0.3cm}
�Ťʤ�ʤ��ΰ���ȹ礻��ɽIII�����, ������˵��ܤ���. Ʊ����, 
�б����뵭����(�軰��)�������\underline{���}(�����)��ܤ���. 
�����������ǥ�ɤȤϵ����ͭ����Τ��ȤǤ���. 

III��ǵ��Ҥ����褦��, $H_2$��ε������$H_1$��ε����󤫤�̤��Ȳ��
�������ؤ������뤳�Ȥ��Ǥ���. 
ɽIII�������ˤ�, �����Υ�ɤ�ȿž��������줿$H_2$��������
��ɤ򵭺ܤ���. 

ɽIII������ƥ�ɤ���ʬ��Ȥ��ƴޤ�Ǥ�դε����������ƤǤ���. 
�Ȥ����Τ�, �郎������$H_1$(�ޤ��� $H_2$)��$q_1=q_2$���򸽺�
$\dot{q}_1 >\dot{q}_2$(�ޤ��� $\dot{q}_1 < \dot{q}_2$)�ǲ��ڤ뵰ƻ��
���٤Ƥβ�ǽ�ʾ��֤�Ԥ����Ƥ��뤫��Ǥ���. 
����ƥ�ɤ�̤��ޤ��ϲ��˴ޤ൭���󤬤����, ���
���ڥ졼�����򤽤�ˤۤɤ�����, ��ɤ򸽺ߤ˰�ư�����뤳��
�ˤ��, ���ε���������ƤǤ��뤳�Ȥ�������. 

\vspace{0.4cm}
\noindent
ɽ III. �Ťʤ�ʤ��ΰ�Υڥ�������ƥ��.  
�����Υ�ɤ�, �����Υ�ɤ�̤��Ȳ��������ؤ�����ΤǤ���, 
����ƥ�ɤǤ���. 
$$ \begin{array}{cclll}
H_1^t & H_1 & {\rm Form \ of \ symbol \ sequence} & {\rm Unallowable \ word} & 
{\rm Unallowable \ word}\\
    &   & \hspace{1.0cm}{\rm in} \ H_1(m, n \geq 0) & \hspace{0.5cm} 
H_1(k \geq 0) 
& \hspace{0.5cm} H_2(k \geq 0)\\
\hline
{\cal C}' & {\cal L} & \hspace{0.4cm} \ldots 2(21)^{2m+1}.(21)^{2n} 22 
\ldots & \hspace{0.2cm} 2(21)^{2k+1}22 & 22 (12)^{2k+1}2 \\
{\cal R}' & {\cal L} & \hspace{0.6cm} \ldots 11(21)^{2m}.(21)^{2n}22 
\ldots &  11(21)^{2k}22 & 22 (12)^{2k} 11 \\
{\cal R}' & {\cal C} & \hspace{0.6cm} \ldots 11(21)^{2m}.(21)^{2n+1}1 
\ldots &  11(21)^{2k+1} 1 & 1 (12)^{2k+1} 11 \\
{\cal T}' & {\cal C} & \hspace{0.45cm} \ldots 2(21)^{2m+2}.(21)^{2n+1}1 
\ldots &  \hspace{0.2cm} 2(21)^{2k+3} 1 & 1 (12)^{2k+3} 2 \\
{\cal L}' & {\cal R} & \hspace{0.3cm} \ldots 11(21)^{2m+1}.(21)^{2n+1}22 
\ldots &  11(21)^{2k+2}22 & 22(12)^{2k+2} 11 \\
{\cal T}' & {\cal R} & \hspace{0.5cm} \ldots 2(21)^{2m+2}.(21)^{2n+1}22 
\ldots & \hspace{0.2cm} 2(21)^{2k+3}22 & 22(12)^{2k+3} 2 \\
{\cal L}' & {\cal T} & \hspace{0.3cm} \ldots 11(21)^{2m+1}.(21)^{2n+2}1 
\ldots &  11(21)^{2k+3}1 & 1 (12)^{2k+3} 11 \\
{\cal C}' & {\cal T} & \hspace{0.5cm} \ldots 2(21)^{2m+1}.(21)^{2n+2}1 
\ldots & \hspace{0.2cm} 2(21)^{2k+3}1 & 1 (12)^{2k+3} 2 \\
\hline
   \end{array}
$$

\vspace{0.3cm}
����ƥ�ɤ�¾�ˤϤʤ�. 
����, �ΰ�${\cal L}$, ${\cal C}$, ${\cal R}$, �����${\cal T}$��
��������ζ����ˤۤ�ʿ�Ԥ����뻰�ξ��Ͷ����ˤ�ä��ؾ���ʬ�䤵���
���뤫��Ǥ���. �ä���, ${\cal L}$, ${\cal C}$, ${\cal R}$, �����
${\cal T}$��Τ������ؾ��ΰ�ϲ����̤β�ü�ˤ��뻰�ξ������˼���
���Ƥ���. ����, ��Ȥβ����̤�ȿž�����̤λ��ξ��Ͷ����ϲ���Ū��
����. ����Ͽ�1����ӿ�2(b)�޳�ǧ�Ǥ���. �º�, 
��2(b)������, ���ʤ��$H^t$���ΰ�ζ���, �Ͽ�1�λ��ξ��Ͷ�����
����Ū�Ǥ���. �������ä�, 
${\cal L}$, ${\cal C}$, ${\cal R}$, �����${\cal T}$�Τɤ줫�ҤȤĤ�
${\cal L}'$, ${\cal C}'$, ${\cal R}'$, �����${\cal T}'$�Τɤ줫�ҤȤĤ�
������ʬ����Ƥ�, ���Ԥ�Ǥ�դβ�����$(\ldots s_{-2} s_{-1}.)$��
�ΰ�ȸ�Ԥ�Ǥ�դ�̤�赭����$(. t_0 t_1 \ldots)$���ΰ�϶�����ʬ��
����, ������Ĥʤ���ξ̵����$(\ldots s_{-2} s_{-1}.t_0 t_1 \ldots)$
�ϵ��ƤǤ���. �������Ƽ��η�̤�����.  

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ̿�� 4.1.} ����ƥ�ɤ�,  $0 \leq k \leq k_0$�Ȥ���
���η��򤷤Ƥ���: $2(21)^{2k+1}22$, $11(21)^{2k}22$, 
$11(21)^{2k+1}1$, ����� $2(21)^{2k+1}1$ . ������ 
$k_0$�Ϥ����礭���������Ǥ���. ����ƥ�ɤ�Ĺ����
$4(k+1)$�ޤ���$4(k+1)+1$�Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
�ǽ�Τ����Ĥ�������ƥ�ɤ���Ȥ���ɽIV�˺ܤ��Ƥ�����. 
����餬�¸�����ʤ����ȤϿ���Ū�ˤ��ǧ����. 
����, ��ǰ�ʤ���, ��û��� '1122'�� '2211'���ʤ��¸�����ʤ���, 
���β���Ū�������ϤǤ��ʤ��ä�. ������, ȯ��Ū���������ʤ��櫓�ǤϤʤ�. 
����ʶ��Ǥ���. ����22�������, γ��0��γ��2��Ϣ���ȤʤäƤ���
γ��1�ϱ󤯤ˤ���. ����γ��1����Ť��Ƥ���γ��0�Ⱦ��ͤ���. ���줬
221�Ǥ���. ������, γ��1�Ͽ����γ��0��³���ƾ��ͤ��뤳�Ȥ�Ǥ���, γ��
0���Ȥ�Ϣ���Τ������2�����˲������. ������2212�����������ʤ�. 
����Ͽ�3�򸫤Ƴ�ǧ�Ǥ���. ���ζ��ܾ��ͤˤ�����, �濴γ��0��ξü��
γ��1��2���꼡���Ǿ��ͤ���. �����212��(����ξ�ε���)���뤤��
��121��(���沼�ε���)���Ĥͤ˸�����. 

\vspace{0.3cm}
\begin{center}
ɽ IV. Ĺ��13�ʲ�������ƥ��. 
\end{center}
\def\arraystretch{0.7}
$$ \begin{array}{ccccccc}
 4  & 5  & 8 & 9 & 12 & 13  \\
\hline
2211 & 22122 &   22121211 & 
221212122 & 221212121211 & 2212121212122 \\
1122 & 11211 &   11212122 & 
112121211 & 112121212122 & 1121212121211 \\
\hline
   \end{array}
$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf ����.} IV.A������դ��θ����, ̿��4.1������$k \leq k_0$��
�դ��ä���. 

\begin{figure}[t] % fig3
\vspace{9.5cm}
\special{psfile=
/home/tanikawa/Papers/people/mikkola/tbp1/paper2/pub/TM2fg3.ps 
hoffset=+50 voffset=-25}
\caption{���$2211$����¸��. �岼�ε�ƻ�Ϥ��줾�쵭����$22 212 \ldots$��
$22121 \ldots$���б�����.}
\end{figure}

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\large 
{\bf C. �����̤ξܺٹ�¤}
}

\vspace{0.3cm}
��������Ǥε�����ξܺ٤�ʬ�ۤ򸫤뤿���, 
ľ�� $\theta = 30^{\circ},$ $90^{\circ}$, �����$150^{\circ}$�˱�äƺ�
�������ܤǵ�ƻ����ʬ����. 
ľ��$\theta=30^{\circ}$��${\cal L}$��ι�¤�˲���Ū�Ǥ���, ����ľ����
��äƤ�, (̤��)�������10�ʿ��Ȥߤʤ����Ȥ���, $R$�����äȤȤ��
$1.(2)^{\infty}$���� $1.(21)^{\infty}$�ޤǸ������ʤ���ʬ�ۤ��뤳�Ȥ�
�狼�ä�. �������3�ĤΥ��롼�פ�ʬ����: $1.(2)^{\infty}$,  
$1.(2)^{n}1 \ldots$, �����$1.(21)^{2k}22 \ldots$. ������
$n \geq 2, k>0$�Ǥ���. ����鵭���������ΰ�򤽤줾��$I_9, I_5,$ ����� 
$I_1$�Ƚ�. $I_1$��ε�����˴���ؿ����ʤ���ͳ�ϰʲ���Ƴ������$I_3$��
������򸫤��Ǽ������.  

ľ��$\theta=90^{\circ}$�˱�ä�${\cal C}$��Ǥ�, �������10�ʿ���
�ߤʤ����Ȥ���,  $R$�����äȤȤ��$1.2(1)^{\infty}$����$1.(21)^{\infty}$
�ޤ����ä��ʤ���ʬ�ۤ���. �������3�ĤΥ��롼�פ�ʬ����: 
$1.2(1)^{\infty}$, $1.2(1)^n 2 \ldots$, and $1.(21)^{2k+1} 1 \ldots$. 
������$n \geq 2, k>0$�Ǥ���. ����鵭���������ΰ�򤽤줾��
$I_{10}, I_6,$ �����$I_2$�Ƚ�. 
$I_1$�ξ���Ʊ��, $I_3$��ε�����˶����ؿ����ʤ���ͳ�ϰʲ���Ƴ������
$I_4$�ε�����򸫤��Ǽ������.  
 
ľ��$\theta=150^{\circ}$�˱�ä�${\cal R}$��Ǥ�, �������
$R$�����äȤȤ��$1.21(2)^{\infty}$����$1.(21)^{\infty}$�ޤǸ�������. 
�������3�ĤΥ��롼�פ�ʬ����: $1.21(2)^{\infty}$, $1.21(2)^n1 \ldots$, 
����� $1.(21)^{2k+1}22 \ldots$. ������$n \geq 2,k>0$�Ǥ���. 
����鵭���������ΰ�򤽤줾��$I_{11}, I_7,$ �����$I_3$�Ƚ�. 
 
�Ǹ��ľ��$\theta=30^{\circ}, 90^{\circ},$ �ޤ���$150^{\circ}$�Τɤ줫��
��ä�${\cal T}$��Ǥ�, �������$R$�θ����ȤȤ��
$1.212(1)^{\infty}$����$1.(21)^{\infty}$�ޤ����ä���. 
�������3�ĤΥ��롼�פ�ʬ����: $1.212(1)^{\infty}$, $1.212(1)^n2 \ldots$, 
�����$1.(21)^{2k}1 \ldots$. ������$n \geq 2,k>0$�Ǥ���.  
����鵭���������ΰ�򤽤줾��$I_{12}, I_8,$ �����$I_4$�Ƚ�. 

��������${\cal S}$�ʳ���������12�Ĥ��ΰ�$I_i, i=1,2, \ldots, 12$������
(��4����).
$I_1$��$I_5$�δ֤ζ�����, ������$(\ldots 1.20)$����Ļ��ξ��Ͷ����Ǥ���.
Ʊ�ͤ�, $I_2$��$I_6$�δ�, $I_3$��$I_7$�δ�, �����$I_4$��$I_8$�δ֤ζ���
��, ���줾�쵭����$(\ldots 1.210)$, $(\ldots 1.2120)$, �����
$(\ldots 1.21210)$����Ļ��ξ��Ͷ����Ǥ���. 
�ΰ� $I_9$, $I_{10}$, $I_{11}$, �����$I_{12}$��¨�������������ΰ��
�Ƥ֤��Ȥˤ���(��ʸI�Ǥ���§�ΰ�ȸƤ��).
�����Ϥ��줾�쵭����
$(\ldots 1.(2)^{\infty})$, $(\ldots 1.2(1)^{\infty})$, 
$(\ldots 1.21(2)^{\infty})$, ����� 
$(\ldots 1.212(1)^{\infty})$�����.  


\begin{figure}[t] % fig4
\vspace{9.cm}
\special{psfile=
/home/tanikawa/Papers/people/mikkola/tbp1/paper2/pub/TM2fg4.ps 
hoffset=-20 voffset=-10}
\caption{�����̤Τ��ܺ٤ʹ�¤}
\end{figure}

\begin{figure}[t] % fig5
\vspace{9cm}
\special{psfile=
/home/tanikawa/Papers/people/mikkola/tbp1/paper2/pub/TM2fg5.ps 
hoffset=-40 voffset=-10}
\caption{ ${\cal L}$����ΰ����.������. 
$1.(2)^31 \ldots$, $1.(2)^51 \ldots$, $1.(2)^71 \ldots$, �����
$1.(2)^91 \ldots$����� ${\cal L}$���4�Ĥ��Ӥ�, 
${\cal C}'$���4�Ĥ��Ӥ˼̤�. Ʊ��������Ʊ�Τ��б�����.}
\end{figure}

\vspace{0.3cm}
$I_i, i=1,2, \ldots, 8$�򤵤�˺٤���ʬ�䤹�뤳�Ȥ��ǽ�ǤϤ���.
������, �����ǤϤ���򤹤������, $I_5, I_6, I_7$ �����$I_8$��
�����٤�����¤�򸫤뤳�Ȥˤ���. ����������򸫤Ĥ���(�����IV.C���
�Ԥʤ�)�ˤϤ���ǽ�ʬ�Ǥ���. 
 
$I_5$��ͤ��褦. ��ǵ��Ҥ����褦��, $I_5$��ε������, $n \geq 2$��
����$1.(2)^{n}1 \ldots$�ʤ���򤷤Ƥ���,  
ľ��$\theta = 30^{\circ}$�˱�ä�$R$�����ä������, 
10�ʿ��Ȥߤʤ������ε�����ϸ�������. 
������$n$���礭�ʵ�����$1.(2)^{n}1 \ldots$��$n$�ξ����ʤ�Τ�겼�ˤ���.
$n \geq 2$����ꤷ�Ƶ�����$1.(2)^{n}1 \ldots$�����������ι�¤�򸫤�
�ߤ褦. 
(10�ʿ��Ȥ���)����ε������$1.(2)^{n}1(2)^{\infty}$�Ǥ���. 
�Ȥ���������ƥ�� '22122'��ޤ�Ǥ���ΤǤ��ε����������ƤǤ���. 
���������ε��Ƶ������$1.(2)^n 121 (2)^{\infty}$�Ȥʤ�.  
�����Ƽ��Τ褦����������������. 
$1.(2)^{n}121(2)^{\infty} > 1.(2)^n 121 (2)^m 1 \ldots 
> 1.(2)^n 1 (21)^{2m'} 22 \ldots > 1.(2)^n 1 (21)^{\infty} > 
1.(2)^n 1 (21)^{2k} 211 \ldots > 1.(2)^n 1 211 \ldots > 
1.(2)^n 12 (1)^{\infty}$. ������
$m \geq 2$, $m' \geq 1$, �����$k \geq 1$�Ǥ���. 
�����������������ˤ����ä�, ̿��4.1�����Ѥ���. ���Ȥ���, ��
$1.(2)^n 1 (21)^{2m'+1} 22 \ldots$�ϴޤޤ�Ƥ��Ƥ�褵��������, 
���������ƤǤ���. �Ȥ����Τ�, ���������ƥ��'$221(21)^{2m'+1}22$'
��ޤफ��Ǥ���. ��������γƵ������$\sigma^n$����Ѥ����Ƽ�������. 
$1.21(2)^{\infty} \in I_{11}$, $1. 21 (2)^m 1 \ldots \in I_7$, 
$1. (21)^{2m'} 22 \ldots \in I_3$, 
$1. (21)^{2k} 211 \ldots \in I_2$, 
$1. 211 \ldots \in I_6$, ����� $1. 2 (1)^{\infty} \in I_{10}$. 
�Ĥä�������$1. (21)^{\infty}$�ϥ��塼�С����ΰ�γѤΤҤȤĤظ����� 
����¿���ξ�ˤ���. 
��������, $1.(2)^n1 \ldots$�η��ε������������ε�ƻ��, ���˲����̤�
���ڤ�Ȥ��ˤ�$I_{11}, I_7, I_3, I_2, I_6, I_{10}$�Τɤ줫, ���뤤��
${\cal C}$��${\cal R}$�δ֤ζ�����ǲ��ڤ�ȸ�����. 

��ιͻ���ƻ�ο�����ʬ�ˤ�äƳ�ǧ���褦. 
�ΰ�${\cal L}$���, ������$1.(2)^31 \ldots$, $1.(2)^51 \ldots$, 
$1.(2)^71 \ldots$, �����$1.(2)^91 \ldots$�����������, 
���˲����̤��ڤ�ޤǤ��ε�ƻ����ʬ����. 
��̤��4�˼�����. �����4�ܤ��Ӥ�����, ��Ϥ��Ӥη���${\cal C}'$��
���äƤ���. �����Ϥ�������$I_{11}, I_7, I_3, I_2, I_6$, �����
$I_{10}$���̤�. ���ޤ�$1.(2)^n 1 (21)^{\infty}$����$1. (21)^{\infty}$��
${\cal C}$��${\cal R}$�δ֤ζ����ˤ��뤳�Ȥ����Ƥ˸��ƤȤ��. 

$I_6, I_7$, �����$I_8$�˴ؤ��Ƥ�Ʊ�����Ȥ��Ǥ���. 
�٤���ʬ�䤹����Ͼ�ά����, ���ͷ�̤Τߤ��6�˼���. 
��6(a), (b), �����(c)�򸫤��, ���줾��${\cal C}$, ${\cal R}$, �����
${\cal T}$���4�ܤ��Ӥ�
${\cal R}'$, ${\cal L}$, �����${\cal C} \backslash {\cal C}'$
���4�ܤ��Ӥ˼̤���Ƥ��뤳�Ȥ��狼��.


$I_1$��$I_3$������ϸߤ����ΰ��ܤ�礦. ���ʤ��,  
$I_1 \rightarrow I_3 \rightarrow I_1 \rightarrow I_3 
\rightarrow \ldots$��ư����, �Ǹ��$I_1 \rightarrow I_7$�����ܤ�
�Ԥʤ�, $I_7$����$I_5$���������. 
Ʊ�ͤ�, $I_2$��$I_4$�����ϸߤ����ΰ��ܤ�礦. ���ʤ��,  
$I_2 \rightarrow I_4 \rightarrow I_2 \rightarrow I_4 
\rightarrow \ldots$��ư����, �Ǹ��$I_2 \rightarrow I_8$�����ܤ�
�Ԥʤ�, $I_8$����$I_6$���������.
����Τդ�ޤ��ϥ��塼�С����ΰ�ζ����᤯��2������ƻ�Τդ�ޤ���
���Ƥ���. ��ư�Ϥۤ���§�Ǥ��ä�, ���塼�С����ΰ�Τޤ���§
��������������. ����˶���\\

\noindent
����Υ���, �֥��������ΰ�$I_5$�ޤ��� 
$I_6$�ζ����˶�Ť�. ����Ͽ��ͷ׻��ǳ�ǧ�Ǥ���.  
��7(a)�򸫤��, $I_1$���$1.(21)^2 22 \ldots$, $1.(21)^4 22 \ldots$, 
�����$1.(21)^6 22 \ldots$

\vspace{0.3cm}
\begin{center}
ɽ V. ��ʬ�ΰ�ȵ�����.
\end{center}
$$ 
\begin{array}{cc}
  \begin{array}{lll}
{\rm Name} & {\rm Sequence}  & {\rm next} \\
       &      n \geq 2,k>0,m>0  &         \\
\hline
I_1  & 1.(21)^{2k} 22 \cdots  &    I_3{\rm or}I_7\\
I_3  & 1.(21)^{2k+1} 22 \cdots &  I_1 \\
%\hline
I_5  & 1.(2)^n 12(1)^{\infty}    & I_{10}  \\
     & 1.(2)^n 1211  \ldots      & I_6  \\
     & 1.(2)^n 1(21)^{2m} 211 \ldots & I_2  \\
     & 1.(2)^n 1(21)^{2m} 2122..     & I_3 \\
     & 1.(2)^n 121(2)^{2m}1 \ldots      & I_7 \\
     & 1.(2)^n 121(2)^{\infty}     & I_{11} \\
%\hline
I_7    & 1.2 1(2)^n1 \ldots            & I_5 \\
I_9    & 1.(2)^{\infty}         & {\rm escape} \\
I_{11} &  1.21 (2)^{\infty}   & I_9\\
\hline
  \end{array} & 
  \begin{array}{lll}
{\rm Name} & {\rm Sequence} & {\rm next} \\
       &      n \geq 2,k>0,m>0  &            \\
\hline
I_2 & 1.(21)^{2k+1} 1 \cdots  & I_4{\rm or}I_8\\
I_4 & 1.(21)^{2k+2} 1 \cdots & I_2\\ 

I_6 & 1. 2(1)^n 21(2)^{\infty}  & I_{11}  \\
    & 1. 2(1)^n 21(2)^{2m}1 \ldots     & I_7  \\
    & 1. 2(1)^n (21)^{2m} 2122 \ldots    & I_3  \\
    & 1. 2(1)^n (21)^{2m} 21211..  & I_4 \\
    & 1. 2(1)^n 212(1)^m1 \ldots    & I_8 \\
    & 1. 2(1)^n 212(1)^{\infty} & I_{12} \\

I_8 & 1.212(1)^n2 \ldots           & I_6  \\
I_{10} & 1.2(1)^{\infty}     & {\rm escape} \\
I_{12} & 1.212 (1)^{\infty}  & I_{10} \\
\hline
    \end{array}
\end{array}
$$

\begin{figure}[t] % fig6
\vspace{16.1cm}
\special{psfile=
/home/tanikawa/Papers/people/mikkola/tbp1/paper2/pub/TM2fg6.ps 
hoffset=-20 voffset=-20}
\caption{ ${\cal C}$, ${\cal R}$, �����${\cal T}$����ΰ����. 
(a) ������$1.2(1)^31 \ldots$, $1.2(1)^51 \ldots$, 
$1.2(1)^71 \ldots$, �����$1.2(1)^91 \ldots$����� ${\cal C}$���4�Ĥ���
 ��${\cal R}'$���4�Ĥ��Ӥ˼̤�. 
(b) ������$1.21(2)^31 \ldots$, $1.21(2)^51 \ldots$, 
$1.21(2)^71 \ldots$, �����$1.21(2)^91 \ldots$�����${\cal R}$���4�Ĥ�
�Ӥ�${\cal L}$���4�Ĥ��Ӥ˼̤�.  
(c) ������$1.212(1)^31 \ldots$, $1.212(1)^51 \ldots$, 
$1.212(1)^71 \ldots$, �����$1.212(1)^91 \ldots$�����${\cal T}$����Ӥ�
${\cal C} \backslash {\cal C}'$���4�Ĥ��Ӥ˼̤�. 
�б������ΰ�ο���Ʊ���ˤ���.}
\end{figure}

\vspace{0.3cm}
\noindent
�η��ε���������3�ܤ��Ӥ�
${\cal R} \backslash ({\cal C}' \cup {\cal R}')$���3�ܤ��Ӥ˼̤����
����. 
��7(b)�Ǥ�, $I_2$��ε�����$1.(21)^3 1 \ldots$, $1.(21)^5 1 \ldots$, 
�����$1.(21)^7 1 \ldots$���б�����3�ܤ��Ӥ� 
${\cal T} \backslash {\cal R}'$���3�ܤ��Ӥ˼̤���Ƥ���.
��7(c)�Ǥ�, $I_3$��ε�����$1.(21)^3 22 \ldots$, $1.(21)^5 22 \ldots$, 
�����$1.(21)^7 22 \ldots$���б�����3�ܤ��Ӥ�$I_1$���3�ܤ��Ӥ�
�̤���Ƥ���. 
��7(d)�Ǥ�, $I_4$��ε�����$1.(21)^4 1 \ldots$, $1.(21)^6 1 \ldots$, 
�����$1.(21)^8 1 \ldots$���б������Ӥ� $I_2 \backslash {\cal C}'$���
3�ܤ��Ӥ˼̤���Ƥ���. 

\begin{figure}[t] % fig7
\vspace{15.5cm}
\special{psfile=
/home/tanikawa/Papers/people/mikkola/tbp1/paper2/pub/TM2fg7.ps 
hoffset= 20 voffset=-10}
\caption{ $I_1$, $I_2$, $I_3$, �����$I_4$����ΰ����. 
(a) ������$1.(21)^2 22 \ldots$, $1.(21)^4 22 \ldots$, �����  
$1.(21)^6 22 \ldots$�����$I_1$���3�Ĥ��Ӥ�
${\cal R} \backslash ({\cal C}' \cup {\cal R}')$���3�Ĥ��Ӥ˼̤�.  
(b) ������$1.(21)^3 1 \ldots$, $1.(21)^5 1 \ldots$, ����� 
$1.(21)^7 1 \ldots$�����$I_2$���3�Ĥ��Ӥ�${\cal T} \backslash {\cal R}'$
���3�Ĥ��Ӥ˼̤�. 
(c) ������$1.(21)^3 22 \ldots$, $1.(21)^5 22 \ldots$, �����
$1.(21)^7 22 \ldots$�����$I_3$���3�Ĥ��Ӥ�$I_1$���3�Ĥ��Ӥ˼̤�. 
(d) ������$1.(21)^4 1 \ldots$, $1.(21)^6 1 \ldots$, �����
$1.(21)^8 1 \ldots$�����$I_4$���3�Ĥ��Ӥ�$I_2 \backslash {\cal C}'$
���3�Ĥ��Ӥ˼̤�. 
�б������ΰ��Ʊ�����ˤ���.}
\end{figure}

\vspace{0.3cm}
$I_7$��$I_8$�Ϥ��줾��$I_5$��$I_6$�˼̤����. 
$I_{11}$��$I_{12}$�Ϥ��줾��$I_9$��$I_{10}$�˼̤����. 
�Ǹ��, $I_9$��$I_{10}$�ϥ��������׵�ƻ���б�����. 
������$I_9$, $I_{10}$, $I_{11}$�����$I_{12}$��¨�������������ΰ��
�Ƥ�. 

ɽV�ˤ��ΰ�$I_i, i=1,2, \ldots,12$�Ȥ�����б����뵭����, �ä��Ʋ�����
�Ȥμ��θ����򵭺ܤ���. ���Ǥ˻�Ŧ�����Ȥ���, $I_5$��$I_6$�ξ��ˤ�
�ۤʤ�$n$�ε����󤬾岼�ˤ���ŤʤäƤ��뤳�Ȥ����դ��褦. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\large 
{\bf D. ���������󤪤�Ӽ�����ƻ}
}

\vspace{0.3cm}
�������������뤿���, ɽV�Υǡ�����Ȥä�$I_i$�δ֤��������ܥ����
�����8�˼���. �����󤬼���Ū�Ǥ��뤿���ɬ�׾���, ����$I_i$����
��ȯ����Ʊ��$I_i$����뤳�ȤǤ���. 
�ޤˤϺ�û�Υ롼�Ȥ�4�Ĥ���. ���ʤ��
$I_1 \rightleftharpoons I_3$,  
$I_2 \rightleftharpoons I_4$,  
$I_5 \rightleftharpoons I_7$, �����
$I_6 \rightleftharpoons I_8$�Ǥ���. 
������, �ǽ��2�ĤϽ����٤��Ǥ���. IV.C��ǵ��Ҥ����Ȥ���, ����2�Ĥ�
���ܤϤ��줾����ΰ�Ǥΰ���Ū�ʰ�ư���б����Ƥ���, �����������
���ԤǤ��ʤ�. 
  
����$I_5 \rightleftharpoons I_7$��ͤ���. 
$I_5$��ε�����η���$1.(2)^n 1 \ldots$, $n \geq 2$, $I_7$���
������η���$1.21(2)^m \ldots$, $m \geq 2$�Ǥ���. 
�����, ������ϥ��$1(2)^n 12, n \geq 2$��ޤ�Ϥ��Ǥ���.
Ʊ�ͤ�$I_6 \rightleftharpoons I_8$�����ܤ�����$12(1)^n2$������. 
�ǽ�Τ����Ĥ��Υ�����ɽVI�˵��ܤ���. 

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
ɽ VI. ��ǽ�ʼ������
\end{center}
\def\arraystretch{0.8}
$$ \begin{array}{cccc}
 5  & 6  & 7 & 8  \\
\hline
12212 & 122212 & 1222212 & 12222212 \\
12112 & 121112 & 1211112 & 12111112 \\
\hline
   \end{array}
$$

\vspace{0.3cm}
������Ū�ˤϼ���������϶����ޤ����Ӥθ����Ȥ��Ƶ��뤳�Ȥ��Ǥ���. 
���$1 c_2 c_3 \ldots c_{n-1} 2$������������κǾ�ñ�̤Ǥ���Ȥ���. 
�б���������������$(2 c_2 c_3 \ldots c_{n-1} 1)^{\infty}. 
(2 c_2 c_3 \ldots c_{n-1} 1)^{\infty}$�η��򤷤Ƥ���Ϥ��Ǥ���. 
���ΤȤ�$1. (2 c_2 c_3 \ldots c_{n-1} 1)^{\infty}$��$I_i$�Τɤ줫��
���äƤ���, ��
$1. (2 \bar{c}_{n-1} \ldots \bar{c}_3 \bar{c}_2 1)^{\infty}$���̤�
$I_j$�����äƤ���.
�б���������������, ̤�赭����
$1. (2 c_2 c_3 \ldots c_{n-1} 1)^{\infty}$����������Ӥ�̤�赭����
$1. (2 \bar{c}_{n-1} \ldots \bar{c}_3 \bar{c}_2 1)^{\infty}$�������
���Ӥζ�����ʬ�Ǥ���. ���Ԥ�
$I(1. (2 c_2 c_3 \ldots c_{n-1} 1)^{\infty}$�Ƚ�, ��Ԥ�
$I^t(1. (2 \bar{c}_{n-1} \ldots \bar{c}_3 \bar{c}_2 1)^{\infty})$ 
�Ƚ񤳤�. ������
$I^t(1. (2 \bar{c}_{n-1} \ldots \bar{c}_3 \bar{c}_2 1)^{\infty})$
��
$I(1. (2 \bar{c}_{n-1} \ldots$ $\bar{c}_3 \bar{c}_2 1)^{\infty})$
��$(\theta, R) \rightarrow (\pi - \theta, R)$�ˤ�ä��Ѵ�������ΤǤ���. 
��9��, ����������
$(22121)^{\infty}.(22121)^{\infty}$, 
$(222121)^{\infty}.(222121)^{\infty}$, ����� 
$(2222121)^{\infty}.$ $(2222121)^{\infty}$�ξ��򼨤���. 
������ʬ(�ޤ��϶�����)�Ͼ�����Ȣ��˸�����. 
$(\theta,R) = (25.20951 , 1.8645681)$��
$(22121)^{\infty}.(22121)^{\infty}$�ζ�����֤Ǥ���. 
�ޤ�, �������뤤���Ӥ���Ϣ³�˸�����Τ�, ��ƻ��ʬ�����ܤ��Ƥ��Τ���Ǥ�
��. 

\begin{figure}[t] % fig8
\vspace{8cm}
\special{psfile=
/home/tanikawa/Papers/people/mikkola/tbp1/paper2/pub/TM2fg8.ps 
hoffset=-60 voffset=-50}
\caption{ $I_i$�֤����ܥ����.}
\end{figure}

\vspace{0.3cm}
��������ä�Ĺ���롼�Ȥ�����.
ɽVII�ˤϲ�ǽ�ʤ��٤ƤΥ롼�Ȥ򵭺ܤ���($H_2$���ȯ���뵰ƻ����, 
ɽVII�Υ�ɤ�����ȿž����������ɤ������뤳�Ȥ����դ��褦). 
������ɤ�Ʊ�ͤˤ��Ƶ���
���Ȥ��Ǥ���. ɽ�ˤ�4����, ������, ϻ����, ������, �����Ȭ���ܤΥ롼��
��$I_3 \rightleftharpoons I_1$��$I_4 \rightleftharpoons I_2$������.  
������б����뵰ƻ��, �������ΰ�򵭹������'21'�ο�������������
���Ȥ��̣����. 

̤�������Ȳ���������б����������礬�����̾���ӤˤʤäƤ����, 
������ʬ�ϰ����ǤϤʤ����Ѥ����. ���ξ��, �����ΰ�ϱ��פ�Ʊ���
���������顢��ư���������, ������˼��������ޤޤ��Ϥ��Ǥ���. 
����Ϥ��α��פ�����ΰ�Ȥ������������Ǥ���. 
����, ξ�Ԥ������ξ��ˤ�, ������ʬ�ϰ����Ǥ���. 
���������԰���ʼ������ΤϤ��Ǥ���. 
������, ������ˤ��Ƥ�, 1������������ˤ�̵���μ�����������б�����
̵�¸Ĥμ�����ƻ�����뤳�Ȥ����Ԥ����. 

��ǹͻ�������Τ��Ĺ�������μ�����ƻ��¸�ߤ����뤳�Ȥ����դ��褦. 
ɽVII�˵��ܤ���������ɤϼ���������ˤϰ�դ��б����뤬, ������ƻ
�ˤϤ����ǤϤʤ�. ɽVII�δ��ܥ롼�Ȥ�ʣ����ޤ�ä��Ĥ��������ƻ��
��������. 

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
ɽ VII. ����ƻ����Ӽ������. 
\end{center}
$$ \begin{array}{ll}
{\rm Path} & {\rm Periodic \ word} \\
     & (n,m \geq 2, k,k' > 0) \\
I_5 \rightleftharpoons I_7 & 1(2)^n12\\
I_6 \rightleftharpoons I_8 & 12(1)^n 2\\
I_5 \rightarrow I_6 \rightarrow I_7 \rightarrow I_5 & 
1(2)^n12 (1)^m 22\\
I_5 \rightarrow I_3 \rightleftharpoons I_1 \rightarrow I_7 
\rightarrow I_5 &
1(2)^n 1 (21)^{2k+1}22 \\
I_5 \rightarrow I_6 \rightarrow I_3 \rightleftharpoons I_1 
\rightarrow I_7 \rightarrow I_5 & 
1(2)^n1 2 (1)^m (21)^{2k} 22\\
I_5 \rightarrow I_2 \rightarrow I_8 \rightarrow I_6 
\rightarrow I_7 \rightarrow I_5 &
1 (2)^n 1 (21)^{2k} 2 (1)^m 22\\
I_5 \rightarrow I_2 \rightarrow I_8 \rightarrow I_6 
\rightarrow I_3 \rightleftharpoons I_1 \rightarrow  I_7 
\rightarrow I_5 & 
1 (2)^n 1 (21)^{2k} 2 (1)^m (21)^{2k'} 22\\
I_6 \rightarrow I_4 \rightleftharpoons I_2 \rightarrow I_8 
\rightarrow I_6 & 
12(1)^n(21)^{2k}2
   \end{array}
$$ 

\begin{figure}[t] % fig9
\vspace{9cm}
\special{psfile=
/home/tanikawa/Papers/people/mikkola/tbp1/paper2/pub/TM2fg9-boxes.ps 
 hoffset=-40 voffset=-5}
\caption{����������뤿��μ�³��. 
$(22121)^{\infty}.(22121)^{\infty}$, 
$(222121)^{\infty}.(222121)^{\infty}$, �����  
$(2222121)^{\infty}.(2222121)^{\infty}$�ξ��. ������Ȣ�����
����Ʊ�Τθ�����������������б�����.}
\end{figure}

\vspace{0.3cm}
�Ǹ��, ��ư���������뤳�Ȥ��Ǥ���. ��ư�������ľ��, ��ư��ƻ��
���ꤹ��(ʿ�̻�������ο�ư��ƻ�˴ؤ��Ƥ�Ref.11����).  
����$I_5 \rightleftharpoons I_7$��ͤ��褦. 
�б����������ɤ�$1(2)^n12, n \geq 2$�Ǥ���. 
�롼�Ȥ�ҤȲ�ꤹ�뤿�Ӥ�$n$���Ѥ��ʤ����, ����Ʊ�ͼ���������
������. 
����������$\{ n_i \}_i$, $n_i \geq 2$�� 
$\lim n_i \rightarrow \infty$����������Τ���, 
������ 
$1.(2)^{n_1}12 1 (2)^{n_2} 12 \ldots 1 (2)^{n_i} 12 \ldots$��ͤ���. 
���ε�����ϵ��ƤǤ���. ����Ͽ�ư������Ǥ���, ��ư��ƻ��Ϳ����. 
Ʊ�ͤˤ���, ɽVII��¾�μ�����ɤ����̤ο�ư����������Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\large 
{\bf E. ���Ƶ�����ν��������}
}

\vspace{0.3cm}
���ξ���Ǥ�, ���ͷ׻���̤�Ƨ�ޤ���, ���Ƶ����󤬥���ȡ��뽸���ʤ�
���Ȥ򼨤�. Ϳ����줿��ɤ򤢤���ϰϤ˴ޤ൭����ν����
\underline{��������}�ȸƤ�$^{9}$. 
���Ȥ���, ɽIII���軰��ε����󽸹�������Υ�ɤ�ޤॷ�������Ǥ���. 
 
\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf Theorem 4.2.} ���Ƶ�����ν���$\Omega$��$\Sigma_2$���, �������ä�
$\Sigma$��ǥ���ȡ��뽸���ʤ�. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
\underline{����}. 
����ƥ���������̿��4.1������ƥ�ɤ��������뤫��, ���ο��ϲĻ���
����. �������ä� 
$\Omega = \Sigma_2 \backslash \{ ����ƥ�������\}$�ϥ���ѥ��ȤǤ���. 

Ǥ�դε��Ƶ����� 
$s =(\ldots s_{-2} 1.2 s_1 s_2, \ldots, s_n, \ldots)$����. 
$i \rightarrow \infty$�ΤȤ� 
������
$1 < k_1 < k_2 < \ldots (i \rightarrow \infty �ΤȤ�k_i \rightarrow
\infty)$�����ä�$s_{k_i}=1$����$s_{k_i+1} =2$���������Ȥ���.
���ΤȤ�$s$�ϸ�Ω(isolated)���Ƥ��ʤ�. 
�Ȥ����Τ�, $\sigma^{k_i} s = (\ldots 1.2 s_{k_i+2} s_{k_i+3} \ldots)$
�Ǥ���, ���η��ε��Ƶ������̵�¤ˤ��뤫��Ǥ���. 
�Ĥޤ�, $s$��Ǥ�դζ�˵�˵��Ƶ����󤬤���. 
$N>0$�����ä�, $n>N$���Ф���$s_n=1$�ޤ���$s_n=2 $�ʤ��
$s$�ϸ�Ω���Ƥ��ʤ�. 
�Ȥ����Τ�, Ǥ�դ�$n \geq 2$���Ф���
$.(2)^n121 \ldots$�ޤ���$.(1)^n 212 \ldots$�ʤ���ε�����¸�ߤ���
����Ǥ���. 

$\Omega$��������Ϣ��Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ˤ�, $\Omega$��ε������Ǥ�դ�
��˵��$\Omega$��°���ʤ�������¸�ߤ��뤳�Ȥ�����н�ʬ�Ǥ���. 
Ǥ�դ˹⤤����ξ��˸����ɤ��������ƥ���������ͤ����, 
Ϳ����줿���Ƶ������Ǥ�դζ᤯��$\Omega$��°���ʤ��������������
���Ȥ��Ǥ���.  \hfill $\Box$  

\vspace{0.3cm}
����Ȥ��Ƽ�������. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf �� 4.3.} ���塼�С����ΰ�ε�ƻ�ʳ���, 
��Ļ��Ĥ��󥨥������׵�ƻ��¸�ߤ���. 

\vspace{0.3cm}
$(21)^{\infty}. (21)^{\infty}$�ʳ�����Ļ��Ĥε����󤬤��뤳��, 
����ӤҤȤĤε�����1�İʾ�ε�ƻ���б����뤳�Ȥ��餳���
���餫�Ǥ���. ���ξ�, �󥨥������׵�ƻ�ν������������Ļ��Ĥ�������. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf �� 4.4.} �����֤��Τʤ�������ν�����֤����Ѥϥ����Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
�б����뵰ƻ�������̾�ΰۤʤ����̵�²󸽤�뤫��, ��������餫�Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\large 
{\bf V. �ޤȤ�}
}

\vspace{0.3cm}
�����ϳؤ�1������������θ����ͭ���Ǥ��뤳�Ȥ������줿. 
���̤ϰʲ��ΤȤ���Ǥ���. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
(i) ����Ͷ���(������)���礭��5�Ĥ��ΰ��ʬ�䤵���(��2(a)). 
���塼�С����ΰ��������ΰ�ϰۤʤ뵭�������ľ������ΰ��
����Ū�˺�ʬ�����(ɽV). 
�������ΰ�δ֤ˤ�, ���Ū��ñ������§������(��8).  

\vspace{0.3cm}
\noindent
(ii) ���ξ��ͤ���Ȥ��������(�¸��Բ�ǽ)���󤬤���. 
$2211$��$1122$��ޤ��󤬤�äȤ�ñ�����Ǥ���(̿�� 4.1). 

\vspace{0.3cm}
\noindent
(iii) ��������������Ū�˸��Ĥ���. �����Ĥ��μ�����ƻ�ΰ��֤��᤿. 
��äȤ��ñ�����$(22121)^{\infty}.(22121)^{\infty}$�Ǥ���(ɽVII). 
��ư��ƻ��Ƴ���Ф���.  

\vspace{0.3cm}
\noindent
(iv) �����󤪤�ӿ�ܥ��ڥ졼������ȤäƲ����̾�ΰ��̵�ƻ��
����Ū�����򤢤��������򤷤�(���� 4.2). 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf �ռ�}

���Ԥϵ����ϳؤ˴ؤ���ͭ�Ѥʼ������Ф��Ʊ��߽Ź��� (�������)��
���դΰդ�ɽ��. Yolande McLean�᤬�Ѹ������å�����. 

%\footnotesize

\vspace{1.0cm}
\noindent
{\large 
{\bf References}
}

\re
$^1$S. Mikkola and J. Hietarinta,  
{\it Celestial Mechanics and Dynamical  Astronomy} {\bf 46}, 
1-18(1989). 

\re
$^2$S. Mikkola and J. Hietarinta,  
{\it Celestial Mechanics and Dynamical  Astronomy} {\bf 47}, 
321-331(1990). 

\re
$^3$S. Mikkola and J. Hietarinta,  
{\it Celestial Mechanics and Dynamical  Astronomy} {\bf 51}, 
379-394(1991). 

\re
$^4$K. Tanikawa and S. Mikkola, (Paper I), 
{\it Celestial Mechanics and Dynamical  Astronomy}(submitted), 1999. 

\re
$^5$K. Zare and S. Chesley, {\it Chaos} {\bf 8}, 475-494(1998). 

\re
$^6$R. Bulirsch and J. Stoer, 
 {\em Numerical Treatment of Differential
Equations by Extrapolation Methods.} { Num.~Math.}, {\bf  8}, 
1-13(1966).

\re
$^7$C.L. Siegel and J.K. Moser, {\it Lectures on celestial Mechanics}, 
Springer-Verlag, Berlin, 1971. 

\re
$^8$L.S. Block and W.A. Coppel, {\it Dynamics in One Dimension}, 
Lecture Notes in Mathematics Vol. 1513, Springer-Verlag, 1992. 

\re
$^9$C. Robinson, {\it Dynamical Systems}, CRC Press, Boca Rayton, USA, 1995. 

\re
$^{10}$J. Schubart, {\it Astron. Nachr.} {\bf 283}, 17-22(1956). 

\re
$^{11}$K. Tanikawa and H. Umehara,  
{\it Celestial Mechanics and Dynamical  Astronomy} {\bf 70}, 
167-180(1998). 

\end{document}
