\documentstyle[12pt,twoside]{article}
%\documentclass{kluwer}% CELE1986)
\oddsidemargin -1.0cm
\evensidemargin 2.0cm
\topmargin -2.0cm
%
\textwidth 14.0cm
\textheight 20.3cm
\footheight 0.5cm
\footskip 1.2cm
%
%
\begin{document}
\noindent
{\it Celest. Mech. \& Dynam. Astr.} {\bf 76}, 23-34(2000)

\begin{center}
{\Large {\bf �켡����������ˤ����뻰�ξ���}\\

{\large TRIPLE COLLISIONS IN THE ONE-DIMENSIONAL THREE-BODY PROBLEM}

}

\vspace{0.3cm}
Kiyotaka  TANIKAWA$^1$ and Seppo MIKKOLA$^2$

\vspace{0.3cm}
National Astronomical Observatory, Mitaka, Tokyo, 181 Japan\\
$^1$Email: tanikawa.ky@nao.ac.jp\\
$^2$Permanent address: Tuorla Observatory,
University of Turku, 21500 Piikki\"o, Finland \\
$^2$Email: seppo.mikkola@astro.utu.fi

\end{center}

\begin{abstract}
�켡���˥塼�ȥ�������ˤ�����γ�Ҥα�ư�����ͤδؿ��Ȥ��ƹͻ�����. 
��ƻ�򵭹���ؤȼ������뤳�Ȥˤ��, ���ξ��ͤˤ��������ͤ򸫤Ĥ���. 
���ν���ͽ��礬������ʤ����Ȥ�Ƚ���������ޤ�����ͤ��Ҵ��˰�¸����
��ư�ΰ�����Τʹ�¤�Τ��뤳�Ȥ򼨤���. ���ξ��͵�ƻ�򸫤Ĥ������Ȥ�
�ä�, ���ˤ�̤��ˤ⻰�ξ��ͤ��뵰ƻ, ���ʤ��, ����Ū�ˤ����Ū�ˤ�
ͭ�¤ʵ�ƻ�ξ������ꤷ��. 
\end{abstract}
�������: one dimensional three-body problem -- triple collision -- chaos
%\end{opening}

\section{��}

�켡����������ϰ��̻�������ΤҤȤĤ�, 3�Ĥμ��������֤˸��ꤵ�줿ľ��
���Ĥ�������Ƥ�����򰷤�. ��������ϼ�ͳ�٤�2�Ǥ���, ��ʬ��
���ͥ륮����ʬ�����ʤ�, �����ʬ�Ǥ��뤳�Ȥ��Τ��Ƥ���. 
Yoshida (1987, 1988)�����������Ȥ���, �����ʬ���ϤۤȤ�ɤμ������
�Ф�������Ω��. �Ȥ��������̤ξ��������ʬ�Ǥ���. �ޤ�McGehee (1974)
�ˤ���, ���ηϤλ��ξ��ͤ���§���Ǥ��ʤ�. 
���ϰϤˤ錄�����Ū���椬����, Mikkola and Hietarinta(1989, �ʸ�MH89; 
1990; 1991)�����Hietarinta and Mikkola (1993)�ˤ�äƹԤʤ�줿.
���Ͻ���ͤδؿ��Ȥ��Ƶ�ƻ�Τդ�ޤ���(�ʻҾ���)�޼���, 
����������ƻ�ΰ�, ��§��ư�ΰ�, ����ӱ�ư������ͤ��Ҵ��˰�¸����
������ΰ��ȯ������. 
���Ρ֥������פϻ��ξ��͵�ƻ��¸�ߤΤ������Ǥ����ͽ�ۤ��줿��, ����
���ȤϾ����Ǥ��ʤ��ޤޤǤ��ä�. �Ƕ�, ���ξ��ͤ��󼡸��Ϥˤ�����
Tanikawa��(Tanikawa {\it et al.} 1995, Tanikawa and Umehara 1998)
���ޤξ��ɽ������. ����ʸ����ʬŪ�ˤ��ηи����������Ƥ���. 

����ʸ�Ǥ�, �켡����������ˤ����ƻ��ξ��ͤˤ����뵰ƻ�ν���ͤ�ޤ�
ɽ�����뿷���ʥ����ǥ����Ѥ���. 
�ޤ�, ���ˤ�̤��ˤ⻰�ξ��ͤˤ����뵰ƻ��Ʊ�ꤹ��. 
ʬ�ä����Ȥ�, �ºݤˡ֥��������ΰ褬(�����餯̵�¤�¿����)������ޤ�, 
���ζ����ΤҤȤĤҤȤĤ����ξ��ͤˤ����뵰ƻ�ν���ͤǤ��뤳�ȤǤ���. 


\begin{figure}[t] % fig1
\vspace{10cm}
\special{psfile=TMfig1.ps hoffset=-35 voffset=-60}
\caption{ ��ƻ�ʲ��Τ����ޤ��ʽ���Ͱ�¸��.}
\end{figure}


\section{�ϥߥ�ȥ�ؿ��ȵ�ƻ�Υѥ�᡼���Ť�}

3�Ĥμ���$m_1, m_0$, ����� $m_2$($m_0 = m_1 = m_2=1$) �򤳤ν��ľ�����
����, ���̤���ꤷ, ���������1�Ȥ���. �����, ��������Υϥߥ�ȥ�
�ؿ��ϼ��� (MH89)��Ϳ������. 
\begin{equation}
  H = \displaystyle \frac{1}{2} \sum_{i=0}^{2} w_i^2 - 
\sum_{i<j} \frac{1}{|x_i-x_j|} .   
\end{equation}

\begin{figure}[t]% fig2
\vspace{10cm}
\special{psfile=TMfig2.ps hoffset=-30 voffset=-50}
\caption{���ξ��ͤϵ������Ѳ�����Ȥ�����������. 
���ޤξ��, ��ƻ$C$��$D$�δ֤ˤ���(��ƻ$C$�ˤ����ƶᤤ). 
γ�Ҥ�$x$��ɸ����֤δؿ��Ȥ���������. 
����ͤ�, $\theta=30^\circ$��, $R = 1.62, 1.63, \ldots, 1.67$�Ǥ���. 
(��ƻ��$X$�����ˤ��餷�Ƥ���. ��ɸ���ͤȤϰ��פ��ʤ����Ȥ�����.)}
\end{figure}



\noindent
������$w_i$�Ϻ�ɸ$x_i$�˶���ʱ�ư�̤Ǥ���.  
$x_1 \leq x_0 \leq x_2$������Ω��. �����濴��ư����̵�뤷, ��������ɸ��
\begin{equation}
 \begin{array}{l}
  q_1 = x_0 - x_1, \\
  q_2 = x_2 - x_0 , 
   \end{array}
\end{equation}
�ˤ�ä�Ƴ�������, �������ϥߥ�ȥ�ؿ���
\begin{equation}
 H = p_1^2 + p_2^2 - p_1p_2 - 
\frac{1}{q_1} - \frac{1}{q_2} - \frac{1}{q_1+q_2} . 
\end{equation}
�Ȥʤ�. �����ͥ륮����$E=-1$�˸��ꤷ, ������ʬ��$q_1(0) = q_2(0) = R$
����Ϥ��. �Ĥޤ�, ��¦��2�Ĥ�γ�Ҥ��濴γ�Ҥ�������Υ�ΤȤ�������
��ȯ����. �����, �ݥƥ󥷥����ͤ�$=2.5/R$�Ǥ���. ��ư���ͥ륮��
$T$��
$
T = 2.5/R - 1  
$
�ˤ�äƷ�ޤ�. MH89�ˤ������ä�, �ѥ�᡼���Ť�
\begin{eqnarray}
  \sqrt{3} (p_1 - p_2)& = & 2 \sqrt{T} \sin \theta ,\\  
  (p_1 + p_2)& = & 2 \sqrt{T} \cos \theta ,   
\end{eqnarray}
��Ƴ�������, $(\theta, R)$������ͤ���ꤹ��. ®�٤�
$\theta$��$R$���� 
\begin{eqnarray}
  \dot{q}_1 &= 2 p_1 - p_2& =  2 \sqrt{T} \cos (\theta - \pi/3),\\  
  \dot{q}_2 &= 2 p_2 - p_1 &=  2 \sqrt{T} \cos (\theta + \pi/3) . 
\end{eqnarray}         
��Ϳ������. �ؿ�$S=p_1Q_1^2+p_2Q_2^2$���̤��Ѵ�����������. 
��������ɸ��$Q_1=\sqrt{q_1}$, $Q_2=\sqrt{q_2}$�ǿ�������ư�̤�
$P_i=2Q_i p_i $�Ǥ���. Ʊ���˻��֤��Ѵ�$t' =q_1q_2$��Ԥʤ���, 
��§�����줿�������ϥߥ�ȥ�ؿ�
\begin{equation}
 \Gamma = \displaystyle 
\frac14(P_1^2Q_2^2+P_2^2Q_1^2-P_1P_2Q_1Q_2)-Q_1^2 -Q_2^2
-\frac{Q_1^2Q_2^2}{Q_1^2+Q_2^2} - Q_1^2Q_2^2E,
\end{equation}
��������. ������$E$�ϥϥߥ�ȥ�ؿ���(���)���ͤǤ���. 
���Υϥߥ�ȥ�ؿ��ˤ���������ư������������Ū����ˡ, ���Ȥ���
Bulirsch-Stoer��ʬ�� (Bulirsch \& Stoer  1966)�ǿ�����ʬ����. 
�������ʬ (MH89)�Ǥ�,  �����$(\theta, R)$�δؿ��Ȥ��Ƥκǽ���ư���ޤ�
��������줿. ��������ħ���1�˼����Ƥ�����. 
��ƻ������ͤȤȤ��Ϣ³���Ѳ�����, ��§�դ�ޤ��ΰ�(REG�ȵ���)��
����, ����ʽ������ƻ(Q--P�ȵ���)���ΰ褬����, �Ǹ���������ʬ�˻Ȥ��
��ʬ��ǽ���ϰϤǤ�ͽ���Բ�ǽ�ʷ�̤ˤ�����֥��������ΰ褬����. 
���ֺ�����§�ΰ� -- �����������ΰ� -- �ˤ����Ƥ�, �ϤϤ���ʾ廰�����
���Ѥ�����ʬ�򤹤�. ���ʤ��, γ��1�����Ȥ�2�Ĥ�γ�Ҥ�Ĥ��ƥ���������
����. ���οޤ�$\theta$��������ؤ�$\theta>180^\circ$�����ؤ��ĥ�Ǥ��뤬, 
�ޤ�$\theta=0^\circ$ (�ޤ��� $\theta=180^\circ$)�˴ؤ���ȿž�˴ؤ���
�оΤʤΤ�, ������ɬ�פʤ�. ���οޤϾ��$q_1=q_2$���������벣����
�Ȥߤʤ����Ȥ�Ǥ���. ����̵�»��֤�ͤ����, �ɤε�ƻ�����1���
�����̤��ڤ뤳�Ȥ����餫�Ǥ���, �����������򤳤β����̤�
��뤳�Ȥ�ƻ���ˤ��ʤäƤ���. 

MH89�Ǥ�, $100 \times 180$�γʻҤ�Ȥä�. ����Ϥ�äȺ٤����ʻ�
$1000 \times 1800$����Ѥ���. ���ʤ��, 
\begin{eqnarray}\nonumber
R_k&=&(k-\frac12)2.5\times 10^{-3},\;\; k=1,..,1000 ,\\ \nonumber
\theta_l&=&(l-\frac12)0.1^{\circ}~~~~~~,\;\;l=1,..,1800 .
\end{eqnarray} 
��ƻ�ο���180����ã����. 

�о������θ����, $\theta < 0$ (�ޤ��� $>180^\circ$)�Ϲͤ��ʤ��ä�. 
���ʤ��, ��$\theta\pm 180^\circ$�� $180^\circ-\theta$�ε�ƻ����ξü��
γ�Ҥ������ؤ��������뵰ƻ���б�����. 

\begin{figure}% fig3
\vspace{19.5cm}
\special{psfile=TMfig3.ps hoffset=+55 voffset=-80}
\caption{���ξ��Ͷ���. �������Ĺ����2, 3, �����4. ����ο�����, 
���ξ���(������)�ޤǤ����ξ��ͤο����狼��.}
\end{figure}
\vspace{3cm}
\begin{figure}% fig4
\vspace{19.5cm}
\special{psfile=TMfig4.ps hoffset=+55 voffset=-120}
\caption{ ���ξ��Ͷ���. �����ǹͤ��뵭�����Ĺ����5, 6, �����7.}
\end{figure}
\vspace{3cm}
\begin{figure} % fig5
\vspace{7.5cm}
\special{psfile=TMfig5.ps hoffset=-40 voffset=-60}
\caption{Ĺ��10, 11, �����12�ε����󤫤������뻰�ξ��Ͷ���, 
Schubart�ΰ褪��Ӱ����ΰ�Τ��������ȯ���뵰ƻ����β����̾��
��. �ܤ�������ʸ����.}
\end{figure}

\section{������Ȼ��ξ���}

�饨�ͥ륮���ΰ켡�����������γ�Ҥ�, ���ξ��ͤ򵯤����ʤ��¤�, ɬ��Ū��
���ξ��ͤ򷫤��֤�. ���Τ��Ȥ�Ȥ���, ��ƻ�˱�äƤ����ξ��ͤι���
(itinerary)�򻲾Ȥ��Ĥ�3γ�Ҥα�ư����ˤ�ʬ�ह�뤳�Ȥ��Ǥ���. 
�������ʲ��Τ褦�ˤ��ƺ��. γ��1��0�����ͤ����鵭���1�פ����
�ä�, γ��0��2�����ͤ����鵭���2�פ�Ҥ���. ���Ȥ���, 
�����������ΰ���ȯ���뵰ƻ�ϵ�����22222.....��������. ��̣��, 
��Υ$q_2$�������֤������ˤʤ뤳�ȤǤ���. �Ȥ����Τ�γ��2��0��
Ϣ���Ȥ��������Ĥä�����Ǥ���. 
����, Q--P�ΰ�Ǥ�(Schubart�ΰ�Ȥ��Ф��. Schubart(1956)�������ΰ��
�濴�˼�����ƻ��ȯ������), �������̵�¤�̤��ޤǸ��巿21212121....�Ǥ���. 
���٤Ƥε�ƻ�ε������ͭ�¤�Ĺ���ޤǹͻ�����Ф狼��褦��, ������̤�
�ۤʤ뵭����ˤ�äưۤʤ��ΰ��ʬ�䤵���. 
���Ȥ���, �ǽ�ε��������ͤ���ʤ�, �ΰ�$0^\circ<\theta<180^\circ$�Ǥ�
�ɤε�ƻ���Ф��Ƥ⵭���2�Ǥ���, ��ǽҤ٤��о����ˤ��, �ΰ�
$-180^\circ <\theta<0$�Ǥϵ����1�Ǥ���. ����2�Ĥ��ΰ�δ�, ���ʤ��
$\theta=0$�ˤ�, �ܼ�Ū�ˤϤҤȤĤε�ƻ�����ʤ�. �����
���٤Ƥλ��֤ˤ錄�ä�$q_1 = q_2$�ʤ�Ʊ����ƻ(homographic orbit)�Ǥ���. 
����ϻ��ξ��͵�ƻ�Ǥ���. ������, ��ư�����α�ư(�¸����̤��Ѥ���)��
���夹�뤫�鱿ư����§�Ǥ���. ��äȰ��̤�, �̾�ǵ�����
�Ѳ����뤳�Ȥϻ��ξ��ͤ�¸�ߤ��̣����. �����Ǥ�(ͭ��)��κǸ�ε����
Ʊ����1��2�Ǥ���. �Ĥޤ�2�Ĥε�Υ��Ʊ���˥����ˤʤ�. 
��2�ˤ�, ���뵭���󤫤��̤ε�����ؤ����ܤ��ͻҤ�޼�����. 
��ƻ$C$��$D$�δ֤ˤϻ��ξ��ͤ��뵰ƻ��¸�ߤ���Ϥ��Ǥ���. 
���ε�ƻ���롼�פ�Ʊ��$\theta=30^\circ$�����, $R$��$0.0125$����
�㤦��ΤǤ���. (��ƻ�ޤνļ����ͤϾ岼3�Ĥοޤ��������ʤ�. �ͤ�����Ƥ�
��.)

��������, �������Ȥ����Ȥˤ��, ���ξ��͵�ƻ��ºݤ˷׻�������, 
��ñ�˿޼����뤳�Ȥ��Ǥ���. 
(���ξ�, ��§��ɸ$Q_1$��$Q_2$�Ͼ������������Ѥ���Τ�, 
$q_1$��$q_2$�Υ�������ޤ��䤹��.) ��3�ȿ�4�ˤ��Τ褦�ʶ�����
�����Ĥ������Ƥ�����. ��3�ΰ��־�Υѥͥ�ˤ�2���ܤξ��ͤ����Ǥ�
���ξ��ͤˤʤä�����ͤ������������������Ƥ���. ���οޤ�2, 3���ܤ�
�ѥͥ�, ����ˤϿ�4�Υѥͥ�ȿʤ��, Ĺ�������󤪤���б����뻰�ξ���
����������. �ޤ����줾����ΰ���б����뵭�����ޤ˽񤭹���Ǥ�����. 
������, �Ǹ��2�ĤΥѥͥ�Ǥ�����¿�����Ƶ������񤭤���ʤ��ä�

\begin{figure} % fig 6
\vspace{10cm}
\special{psfile=TMfig6.ps hoffset=-45 voffset=-60}
\caption{ ̤��ˤˤβ��ˤ⻰�ξ��ͤˤ����뵰ƻ�ν����. �������Ĺ����7.}
\end{figure}

��5�ˤϰ���Ū�������äȹ��ϰϤ˼�����. Ĺ��10, 11, �����12�ε�����
��������. û��������Ϥ����δ֤����뤬��ά����. 
�ޤ�, ��ä�Ĺ�������󤫤�������������ά����. �����ο���¿��, 
�ޤ����ߤ����Ƥ��ޤ�. ���ξ��Ͷ����˲ä���, Schubart�ΰ�򼨤�, �����
������($q_1=q_2$)��ȤäƼ�����׻����ƻ���Фä�����������. 
����Фä��������뤿��˻Ȥä���ƻ(200��)��, �ɤ��Schubart�ΰ��
�����������ͤȤ���. Schubart�ΰ�Τ��ɤ���ФƤ���ֶ����פ�
��ƻ�������椷�Ƥ���Ȥ����Ǥ��ä�, ���ξ��Ͷ����δ֤ζ��������. 
������, �����̾������$\theta$������$180^\circ$�������餷�����������Ȥ�
���դ��Ƥ���. 
%--------------------------------------------------------------------
(��ƻ��׻��������������̾������������ΰ�, (������, ��§, Schubart), 
�򸽽Ф�����. ������, �ܼ�Ū�ʰ㤤������. �����οޤϡֽ���ͤδؿ���
���Ƥ�̤��Ρ׷ϤΤդ�ޤ��򵭽Ҥ���. ����, �����̤�����, 
�ַ׻����줿��ƻ����ˡפ���. �������ä�, ��������, ���֤��������ž
�����Ȥ���������ǽ���ư���б��������ͤ򼨤�. 
(4), (5)������狼��褦��, �����$\theta$��$180^\circ$�������餹����, 
���뤤�������̤ξ����о������, $\theta=90^\circ$�˴ؤ���ȿž������
���Ȥ��̣����. ���Τ��餷��Ԥʤ�ʤ��¤�, 5�ޤΤ褦�ʰ���Ū��¤��
���뤳�ȤϤǤ��ʤ�. ���餵�ʤ���, ��������ƻ����§(����������)�ΰ��
�������Ǥ��ޤ�.)
\begin{figure} % fig 7
\vspace{10cm}
\special{psfile=TMfig7.ps hoffset=-45 voffset=-60}
\caption{ Ĺ��12�ε����󤫤餹�Ǥ����̤�ͭ�µ�ƻ��������}
\end{figure}
%---------------------------------------------------------------------
�ɤ�ɤ�Ĺ���������ͻ������, �б����뻰�ξ��Ͷ����Ϥɤ�ɤ�������, 
��5�λ������ΰ�����Ƥ���. Schubart�ΰ�ζ᤯�Ǥ�, ��ƻ�Ͻ������ƻ
�Τ褦�ˤդ�ޤ�, ¿��������ξ��ͤδ�, �������ƻ�Ȥ���������ݤ�. 
����, ��§�ΰ��ľ���, ���Τߤ����ʤ������ΰ��(����)Ĺ�����Фˤ��. 
γ��1�ϤۤȤ�ɥ��������פ�, ���δֻĤ��Ϣ����, γ��1�����ä����ޤǤ�
(Ǥ�դ�)�礭�ʲ���������ͤ򷫤��֤�. ������ͳ��, �����������ΰ�Ȥ�
�����Ǥϻ��ξ��Ͷ�����̵�¤˵ͤޤäƤ��뤳�Ȥ����餫�Ǥ���. 
������, ������ǧ����ˤ�, ����Ĺ���������׻�����ɬ�פ�����. 

\section{ͭ�µ�ƻ}

̤�����⻰�ξ��ͤ˽��뵰ƻ��¸�ߤ���. 
$\theta$��$ 180^\circ-\theta$���֤��Ѥ���γ�Ҥ������ؤ����
̤��Ȳ������ؤ�뤫��, �ޤ�$\theta=90^\circ$�˴ؤ���ȿž���������
���α�ư�˴ؤ��뻰�ξ��Ͷ��������뤳�Ȥ��Ǥ���. 
��Ȥοޤ�ȿž�����ޤ�Ťͤƶ����θ�����õ����, �����̤��Ȳ��˸�����
�ƻ��ξ��ͤ򵯤�����ƻ�ν���ͤξ�꤬������. 
��ư��(Ʊ����������)���̤˲�����³�Ǥ��ʤ�����, �����ε�ƻ��
ͭ�µ�ƻ�Ǥ���. ���ξ��͵�ƻ�����ͤνִ֤�ۤ��Ʋ�����³�Ǥ��ʤ����¤�
�Ĥ��Ƥ� McGehee (1974)��Ű��Ū�˵������Ƥ���. 

��6�ˤ�̤��Ȳ���, Ĺ��7�ޤǵ����󤫤�����줿�Τ��٤Ƥλ��ξ��Ͷ�����
������. ����, ���ʤ��ͭ�µ�ƻ�ν����, �򻰳Ѱ��Ǽ�����. 

��7��Ĺ��12�ޤǤε����󤫤������뤹�٤Ƥζ����θ����򼨤�. 
ͭ�µ�ƻ�ο����������Ĺ���ȤȤ�˵�®�������뤳�Ȥ����ƤȤ��. 

\section{���ξ��͵�ƻ��̩��}

���ޤޤǤη�̤��������������, ����֤ˤ����뻰�ξ��͵�ƻ��̩�٤�
����Ǥ���. 
��3, 4, �����5���餹���, �������Ĺ�����������, ���ξ���
�����ο��Ϥɤ�ɤ�������. ��5���ʳ��Ƕ�����ΰ�(���Τ�)�⤤�����
��ޤ�, ���ޤ��ˤ�, Schubart�ΰ�ζ�������§�ΰ�ζ�����Ǥ�դ˶᤯�ޤ�
�����������󤻤�褦�˸�����. �����ζ����ο���̵�¤ʤ� (���ηϤ������
�ޤǤ�Ǥ�դ�Ĺ������λ�����ߺ��Ѥ�Ԥʤ���ƻ������в�ǽ�Ǥ���), 
�����ζ�������̩�ˤʤ�Ȥ����ǤϽ��Ѷ���������Ϥ��Ǥ���. 
��̩�ʾ����Ϥʤ���, ���줬����Ω�������Ǥ���. 

����, (ȯ��Ū�ˤ�)���餫�ʤ��ȤǤ��뤬, ������¾�ξ��Ǥ���̩�Ǥʤ�
(���Ѷ����ΤȤ����ǤΤ���̩). ���Τ��Ȥ�, ������ʬ���ƿ�8�˼�����
�֥������׵�ƻ��ͻ�����з����Ǥ������Ǥ���. 
������ߺ��Ѥ�ͭ�»��֤�����³����, �ǽ���ư�ϻ��֤�ξ�����Ȥ�
�ʱ�--�ж�Ū�Ǥ���. ���ʤ��, ñ������Ϣ�����ۤ��ж�Ū�����е�ƻ��
Υ��ƹԤ�. ���ε�ƻ�ϻ��ξ��ͤ�ޤޤʤ�����, �������, ���ξ��ͤ�
̵�¤˶᤯�Ϥʤ�. ������, $t=0$�ˤ�����������ʬ������Ǥ�դ�
�Ѥ��Ƥ�, ��ƻ���Ѳ����������٤˼��ޤäƤ��ޤ�. 
�������ƽ���ͤΤޤ��˳���˵��������, �������ȯ���뵰ƻ�ˤϻ���
���͵�ƻ���ޤޤ�ʤ�. ������, ���ξ��͵�ƻ��¬�٥����ν���ˤ�����
�Τ���̩�Ǥ���, �Ȥ�����. Ʊ�ͤ�, ͭ�µ�ƻ�ΡֿС�(dust, ��7)��¬�٥�����
���������Ƥ�����Ȥ����¤Ǥ����ͽ�ۤ���. 



\begin{figure} % fig 8
\vspace{10cm}
\special{psfile=TMfig8.ps hoffset=-45 voffset=-50}
\caption{�֥������׵�ƻ.}
\end{figure}



\section{����}

�ʲ��Τ��Ȥ˴ؤ��ƿ���Ū�ڵ������: 

\vspace{0.3cm}
\begin{minipage}{13cm}
Schubart�ΰ�, ���ξ��Ͷ���, �������§�ΰ�ˤ�ä���������Τι�¤��
���Τˤʤä� (��5). \\
�������ΰ�λ��ξ��Ͷ����ο���̵��
(���ʤ��Ȥ⥨���������ΰ�ζ����ζ᤯�Ǥ�����γ�ҤϤۤܥ��������פǤ���, 
����γ�Ҥ���äƤ���ޤǤ�Ǥ�ղ�������ξ��ͤ���������)�Ǥ��뤬, ��̩
�ǤϤʤ�. ͭ�µ�ƻ�˴ؤ��Ƥ����������Ū��ĥ���Ǥ���(��7). 
\end{minipage}

\vspace{0.3cm}
�����Ǥη�̤ˤ��, �������ΰ�Ǥν�����˴ؤ����Ҵ��ʰ�¸�����ǧ����. 
�����, ���ͤ�ۤ�����§���Ǥ���, ������³�ΤǤ��ʤ����ξ��͵�ƻ
(McGehee 1974) ��¸�ߤˤ��. 
���ξ�, Schubart�ΰ� -- ����������ư�Υȡ��饹�� -- ������֤����
Ū��¤��̩�ܤʴط�����Ĥ褦�˻פ���. 

{\small 
\begin{thebibliography}{}

\item
Bulirsch, R. and Stoer, J.:(1966),
 {\em Numerical Treatment of Differential
Equations by Extrapolation Methods.} { Num.~Math.}, {\bf  8}, 1--13.
\item

R. McGehee,~R.:(1974) {\em 
Triple collision in the collinear three-body problem},
Inventiones mathematicae 27, 191-227.

\item Mikkola, S. and Hietarinta, J.:(1989)
 {\em  A Numerical Investigation of the     
 One-Dimensional Newtonian Three-Body Problem}
     Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy {\bf 46}, 1-18.       
     
     
\item Mikkola, S. and Hietarinta, J.:(1990)
 {\em  A Numerical Investigation of the     
     One-Dimensional Newtonian Three-Body Problem. II Positive energies.}       
     Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy {\bf 47}, 321-331.    
     
     
\item Mikkola, S. and Hietarinta, J.:(1991)
 {\em  A Numerical Investigation of the
 One-Dimensional Newtonian Three-Body Problem.
     III. Mass Dependence in the Stability of Motion},            
     Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, {\bf 51}, 379-394.   
     
     
\item Hietarinta, J. and Mikkola, S.: (1993)
 {\em  Chaos in the one-dimensional 
     Newtonian three-body problem.}
     Chaos, {\bf 3}~(2), 183-203.           

   \item
 Tanikawa, K., Umehara, H. and Abe, H.:(1995), {\em A search for collision
orbits in the free-fall three-body problem I. Numerical procedure},
 Celestial Mechanics and Dynamical  Astronomy, {\bf 62}, 335-362. 

   \item
 Tanikawa, K. and Umehara, H.:(1998), {\em Oscillatory orbits in the planar 
three-body problem with equal masses},
 Celestial Mechanics and Dynamical  Astronomy, {\bf 70}, 167-180.

\item
Yoshida,~H.:(1987) {\em
A criterion for the non-existence of an additional integral in
Hamiltonian systems with a homgeneous potential},
Physica 29D, 128-142.

\item
Yoshida,~H:(1988) {\em Non-integrability of the three-body problems
with homogenous potential}, in {\em The Few-Body Problem}, ed. M.J.~Valtonen,
proceedings of the 96th colloquium of the IAU, Turku, Finland 1987, Kluwer
Academic Publishers, 1988.
\end{thebibliography}
}

%\end{article}
\end{document}
