フィラメントの重力場

半径$R$、密度 $\bar{\rho}$、長さ$\ell$の等密度フィラメントの軸上の重力を計算する。 $r-r+\Delta r$、$\Delta z$、 $\phi-\phi+\Delta \phi$、 にある質量 $\Delta m=\rho r \Delta r \Delta z \Delta \phi$が $z$方向に$\zeta$の距離に作る重力場は、図1左のように計算して、

$$\Delta g_z=-\frac{\zeta}{(\zeta^2+r^2)^{1/2}}\frac{G\Delta m}{\zeta^2+r^2},$$ (1)

となる。 $\Delta z$の円盤状の質量が $円盤軸上の\zeta$だけ離れた点に作る円盤に垂直な加速度成分は、

$$\int_0^R \int_0^{2\pi} \Delta g_z dr d\phi =-\int_0^R \frac{\zeta}{(\zeta^2+r^2)^{1/2}}\frac{2\pi G\rho r \Delta z }{\zeta^2+r^2}dr$$

$$=-2\pi G \rho \Delta z \int_0^R \frac{rdr}{\zeta^{2}(1+r^2/\zeta^2)^{3/2}}$$

$$=-\pi G \rho \Delta z \int_0^{R^2/\zeta^2} \frac{d\xi}{(1+\xi)^{3/2}}$$

$$=2\pi G \rho \Delta z \left\vert\frac{1}{(1+\xi)^{1/2}}\right\vert _0^{R^2/\zeta^2}$$

$$=2\pi G \rho \Delta z \left[\frac{1}{(1+R^2/\zeta^2)^{1/2}}-1\right],$$ (2)

と書き表せる。ここで、 $\xi=r^2/\zeta^2$と置いた。

図 1: (左): $\zeta$だけ離れた体積素片 $r\Delta r \Delta z \Delta \phi$が 含む質量$\Delta m$が作る重力加速度の$z$成分を計算する。 (右): $-\ell /2 \le z \le \ell /2に置かれた$円柱内部の点$z$での重力は、区間 $[z-\ell /2,z]$と区間 $[z,\ell /2]$からの重力は打ち消し合うので、$z$での重力は $z=-\ell /2$から $z=2z-\ell /2$までの重力の合力となる。

図1右でわかるように、 $z$の位置の重力は、 $[z-\ell /2,z]$と $[z,\ell /2]$の部分は打ち消し合うので、 $z=-\ell /2$から $z=2z-\ell /2$までの重力の合力となる。 式(2)で、$z=-\ell /2$は $\zeta=z+\ell/2$、 $z=2z-\ell /2$は $\zeta=\ell/2-z$に対応するから、$g_z$は

$$g_z =2\pi G\bar{\rho}\int_{\zeta=\ell/2-z}^{\zeta=\ell/2+z}\left[\frac{1}{(1+R^2/\zeta^2)^{1/2}}-1\right]d\zeta$$

$$=2\pi G\bar{\rho}\left[-2z+\int_{\zeta=\ell/2-z}^{\zeta=\ell/2+z}\frac{\zeta d\zeta}{(\zeta^2+R^2)^{1/2}} \right]$$

$$=2\pi G\bar{\rho}\left[-2z+\left\vert(R^2+\zeta^2)^{1/2}\right\vert _{\zeta=\ell/2-z}^{\zeta=\ell/2+z}\right]$$

$$=-2\pi G\bar{\rho}\left\{2z+\left[R^2+\left(\frac{\ell}{2}-z\right)^2\right]^{1/2}-\left[R^2+\left(\frac{\ell}{2}+z\right)^2\right]^{1/2}\right\},$$ (3)

となる。 これで、Burkert & Hartmann[2]の式(20)、この論文の式(8)が得られた。

ここで、 $R\ll \ell/2\pm z$のもとに、これを展開して整理すると、以下のようになる。

$$g_z \simeq -2\pi G \bar{\rho}\left\{ 2z+\left(\frac{\ell}{2}-z\right)... ...l}{2}+z\right)\left[1+\left(\frac{R}{\frac{\ell}{2}+z}\right)^2\right] \right\}$$

$$=-\pi G \bar{\rho} R^2 \left(\frac{1}{\frac{\ell}{2}-z}-\frac{1}{\frac{\ell}{2}+z}\right)$$

$$=-\lambda G \left(\frac{1}{\frac{\ell}{2}-z}-\frac{1}{\frac{\ell}{2}+z}\right).$$ (4)

ここで、 $\lambda=\pi R^2\bar{\rho}$は、線質量を表す。

また、式(3)を

$$g_z(z,r=0) =-2\pi G \bar{\rho} \left\{ 2z-\left[ \left(\frac{\ell}{2}+z\righ... ...right]^{1/2} +\left[ \left(\frac{\ell}{2}-z\right)^2+R^2 \right]^{1/2}\right\},$$

$$=-2\pi G \bar{\rho}\ell \left\{ 2\left(\frac{z}{\ell}\right)-\lef... ...2}-\frac{z}{\ell}\right)^2+\left(\frac{R}{\ell}\right)^2 \right]^{1/2}\right\},$$ (5)

ここで、$R/\ell$をパラメータとして、 $-1/2 \le z/\ell \le 1/2$に対して、中括弧内を図示すると 図2のようになる。 端点に向かって重力加速度が増加する様子がわかる。 $z=\ell/2$とすると、式(5)は、

$$g(z=\ell/2,r=0) =-2\pi G \bar{\rho}\left[\ell-\left(\ell^2+R^2\right)^{1/2}+R\right]$$

$$\simeq -2\pi G \bar{\rho}R\left(1-\frac{R}{2\ell}\right)$$ (6)

となり、 $R \ll \ell$の場合、 $g(z=\ell/2,r=0)$は$\ell$によらず、

$$a(z=\ell/2,r=0)=-2\pi G \bar{\rho} R$$ (7)

一定となる(本論文の式(9))。

図: (左): $R/\ell =0.01,0.05,0.1$に対する、式(5)の中括弧内の値を $-1/2 \le z/\ell \le 1/2$に対して示したもの。 0.1が絶対値が最も大きく、0.01が最も小さい。 $z=\pm \ell /2$で絶対値が最大値を取ることがわかる。 (右): 様々な初期半径分布 $\rho (r;t=0)$に対する$a_z$の違い。Theoryは式(5)、 Constantは、これを数値ポアソン方程式解法で解いたもの、 Ostrikerは式(8)+(9)、 Ostriker SEは式(8)+(10)に対するものを示す。

上記では一様密度 $\bar{\rho}$の円柱に働く自己重力を考察したが、 本論文では、様々な初期半径分布 $\rho (r;t=0)$を検討している(図2右)。 等温平衡解はStodkiewicz (1963)やOstriker (1964)により、

$$\rho_\mathrm{SO}(r)=\rho_c\left[1+\left(\frac{r}{H}\right)^2\right]^{-2},$$ (8)

ここで、 $H^2=2c_s^2/(\pi G \rho_c)$、で与えられているが、この解で シャープに打ち切った

$$\rho(r,z)=\left\{ \begin{array}{ll} \rho_\mathrm{SO}&(\vert z\vert<\ell/2)\\ 0&(\vert z\vert>\ell/2) \end{array}\right.$$ (9)

(図2右でOstriker)や、

$$\rho(r,z)=\rho_\mathrm{SO}\mathrm{sech}{\left(2\frac{z-\ell/2}{H}\right)^2}$$ (10)

(図2右でOstriker SE)を数値ポアソン方程式解法で解くと図2右のようになる。